hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

Átírás

1 A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi változók normalizált részletösszegeinek az eloszlása nagyon általános feltételek teljesülése esetén közelítőleg a standard normális eloszlás. Megfogalmazom, majd később bebizonyítom a centrális határeloszlástétel legáltalánosabb alakját. Ezután ismertetek néhány fontos eredményt, amelyeket ez a tétel speciális esetként tartalmaz. Mutatok néhány példát, amelyek magyarázatot adnak a tételben megfogalmazott feltételek szerepére. Megfogalmazom, és a kiegészítésben bebizonyítom a centrális határeloszlástétel megfordítását is. Ez az eredmény azt állítja, hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. Röviden tárgyalom az úgynevezett lokális centrális határeloszlástételt is. Ez, némileg informálisan megfogalmazva azt állítja, hogy alkalmas feltételek teljesülése esetén független valószínűségi változók normalizált összegeinek nemcsak az eloszlásfüggvényük van közel a standard normális eloszlásfüggvényhez, hanem a sűrűségfüggvényük is közel van a standard normális sűrűségfüggvényhez. Ennek az eredménynek a bizonyításában hasonló gondolatok jelennek meg, mint amilyenekkel a Stirling formula korábban ismertetett bizonyításában találkoztunk. Az eredmények ismertetése előtt bevezetek néhány fogalmat. A centrális határeloszlástétel általános alakja szériasorozatok részletösszegeinek eloszlásáról szól. Ezért ismertetem a szériasorozatok definicióját. Szériasorozatok definiciója. A ξ,,...,ξ,n.. ξ k,,...,ξ k,nk.... valószínűségi változók rendszere, k, szériasorozat, ha az egy sorban levő ξ k,,..., ξ k,nk valószínűségi változók függetlenek. A különböző sorokban levő valószínűségi változók kapcsolatáról nem tételezünk fel semmit. A centrális határeloszlástétel szériasorozatokra azt állítja, hogy egy ξ k,j, k =,,..., j n k, szériasorozat S k = n k ξ k,j, k =,,..., sorösszegei alkalmas feltételek teljesülése esetén eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz. Természetes megkövetelni, hogy nagy k indexre a ξ k,j, j n k, sornak ne legyen olyan eleme, amely ugyanolyan nagyságrendű, mint a többi tag összege együttvéve. Ilyen követelményt fogalmaz meg az egyenletes kicsiség alább bevezetett feltétele.

2 Egyenletes kicsiség feltétele szériasorozatokra. Legyen ξ k,j, k =,,..., j n k, olyan szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k =,,..., j n k, és =. Egy ilyen szériasorozat teljesíti az egyenletes kicsiség feltételét, ha Eξk,j sup Eξk,j j n k = 0. A centrális határeloszlástétel általános szériasorozatok sorösszegeiről szóló alakjában fontos szerepet játszik az alábbi Lindeberg feltétel. Lindeberg feltétel definiciója szériasorozatokra: Legyen ξ k,j, k =,,..., j n k, olyan szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k =,,..., j n k, és =. Ez a szériasorozat akkor és csak akkor teljesíti a Lindeberg feltételt, Eξk,j ha tetszőleges ε > 0 számra ahol IA egy A halmaz indikátor függvénye. Eξ k,ji { ξ k,j > ε} = 0, Megfogalmazom a centrális határeloszlástétel általános alakját szériasorozatok sorösszegeire. A centrális határeloszlástétel szériasorozatok sorösszegeire. Legyen ξ k,j, k =,,..., j n k, olyan szériasorozat, amelynek tagjaira Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k =,,..., j n k, =, és teljesítse ez a szériasorozat a Lindeberg feltételt. Ekkor Eξk,j a. A szériasorozat teljesíti a b. Az S k = n k sup Eξk,j j n k = 0 egyenletes kicsiség feltételét. ξ k,j, k <, véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a standard, azaz nulla várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszláshoz, ha k. Igaz a szériasorozatok sorösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel következő megfordítása is. A szériasorozatok sorösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel megfordítása. Legyen ξ k,j, k =,,..., j n k, olyan szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k =,,..., j n k, =, és teljesíti a szériasorozatokra Eξk,j

3 megfogalmazott egyenletes kicsiségi feltételt is. Ha ez a szériasorozat teljesíti a centrális határeloszlástételt, azaz az S k = n k ξ k,j, k <, véletlen összegek eloszlásban konvergálnak az egy szórásnégyzetű és nulla várható értékű normális eloszláshoz k esetén, akkor a ξ k,j, k <, j n k, szériasorozat teljesíti a Lindeberg feltételt. Megjegyzés: A fenti eredményben a centrális határeloszlástétel teljesülésének a feltétele nemcsak azt jelenti, hogy az S k sorösszegek eloszlásban konvergálnak egy normális eloszláshoz, hanem azt is, hogy ennek a normális határeloszlásnak a helyes szórásnégyzete van. Fogunk példát látni olyan az egyenletes kicsiség feltételét teljesítő szériasorozatokra, amelyek sorösszegei eloszlásban egy rossz túl kicsi szórásnégyzetű normális eloszláshoz konvergálnak és nem teljesítik a Lindeberg feltételt. A centrális határeloszlás megfordításáról szóló eredmény felételei némileg gyengíthetőek. Azt a feltételt, hogy a határeloszlás legyen nulla várható értékű valószínűségi változó csak kényelmi okokból tettem fel. A tétel bizonyításából látható, hogy ez a feltétel elhagyható. Ha a szériasorozat teljesíti az egyenletes kicsiség feltételét és a sorösszegek egy egy szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változóhoz konvergálnak, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy a határeloszlás a nulla várható értékű standard normális eloszlás. A fenti tételek kielégítő magyarázatot adnak arra a kérdésre, hogy szériasorozatok sorösszegei mikor teljesítik a centrális határeloszlástételt. Minket azonban további a centrális határeloszlás problémaköréhez tartozó kérdések is érdekelnek. Például szeretnénk azt is tudni, hogy független valószínűségi változók normalizált részletösszegei mikor teljesítik a centrális határeloszlástételt. Részletesebben megfogalmazva ez a kérdés a következő: Tekintsük független valószínűségi változók egy ξ n, n =,,..., sorozatát, amelyre Eξ n = 0, és σn = Eξn <, n =,,... Jelölje S n = n ξ k e sorozat első n tagjának az összegét, és legyen s n = VarS n = n σk ezen véletlen összeg szórásnégyzete. Tegyük fel, hogy az s n számsorozat teljesíti a n s n = relációt. Azt szeretnénk tudni, hogy az S n sn normalizált részletösszegek mikor konvergálnak eloszlásban a standard normális eloszláshoz. Nem nehéz látni, hogy ez a probléma speciális esete annak a kérdésnek, hogy szériasorozatok sorösszegei mikor teljesítik a centrális határeloszlástételt. Valóban, tekintsük független valószínűségi változók egy ξ n, n =,,..., sorozatát, amelyre Eξ n = 0, és σn = Eξn <, n =,,... Jelölje S n = n ξ k a sorozat első n tagjának az összegét, és legyen s n = VarS n = n σk ezen véletlen összeg szórásnégyzete. Definiáljuk ezen ξ,ξ,... független valószínűségi változók, illetve a segítségükkel bevezetett s n, n =,... mennyiségek felhasználásával a következő ξ k,j, k =,,..., j =,...,n k, szériasorozatot: 3

4 n k = k és ξ k,j = ξ j s k, ha j k minden k =,,... számra. Ezzel a választással a az S n sn normalizált részletösszegek akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban a standard normális eloszláshoz, ha a ξ k,j = ξ j s k, k =,,..., j k, szériasorozat sorösszegei teljesítik a centrális határeloszlástételt. Ezenkívül ezt a szériasorozatot úgy definiáltuk, hogy az teljesíti a n k =, k =,,..., relációt. Eξk,j Ezért a szériasorozatok sorösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel természetes következményeként független valószínűségi változók normalizált részletösszegeire érvényes centrális határeloszlástételt kaphatunk. Ennek megfogalmazása érdekében vezessük be a Lindeberg feltétel és az egyenletes kicsiség feltételének természetes átfogalmazását független valószínűségi változók részletösszegeire. Az egyenletes kicsiség feltétele független valószínűségi változók sorozataira: Legyen ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ n = 0, σn = Eξn <, n =,,... Vezessük be az s n = n σk, n =,,..., mennyiségeket. Azt mondjuk, hogy a ξ n, n =,,..., sorozat teljesíti az egyenletes kicsiség feltételét, ha n s n =, és sup σ k n s = 0. n k n Lindeberg feltétel független valószínűségi változók sorozataira: Legyen ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ n = 0, σn = Eξn <, n =,,..., és az s n = n σk, n =,,..., sorozat teljesíti a n s n = feltételt. Azt mondjuk, hogy a ξ n, n =,,..., sorozat teljesíti a Lindeberg feltételt, ha minden ε > 0 számra n s n EξkI{ ξ k > εs n } = 0. A következő centrális határeloszlástétel, illetve annak megfordítása egyszerű következménye a szériasorozatok részletösszegeiről kimondott centrális határeloszlástételnek és annak megfordításának. A centrális határeloszlástétel független valószínűségi változók normalizált részletösszegeire. Legyen ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ n = 0, σn = Eξn <, n =,,..., n s n =, ahol s n = n σk. Teljesítse ez a ξ n, n =,,..., sorozat a független valószínűségi változók összegeire megfogalmazott Lindeberg feltételt. Ekkor ez a sorozat teljesíti a független valószínűségi változók sorozataira megfogalmazott egyenletes kicsiségi feltételt, és az S n sn = s n normalizált részletösszegek eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz, ha n. 4 ξ k

5 Független valószínűségi változók normalizált részletösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel megfordítása. Legyen ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ n = 0, σn = Eξn <, n =,,..., n s n =, ahol s n = n σk. Teljesítse ez a ξ n, n =,,..., sorozat a független valószínűségi változók összegeire megfogalmazott egyenletes kicsiség feltételét. Ha az S n sn = s normalizált részletösszegek eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz n esetén, akkor a ξ n, n =,,... sorozat teljesíti a független valószínűségi változók sorozataira megfogalmazott Lindeberg feltételt. Szeretnénk látni, hogy a fent megfogalmazott általános, centrális határeloszlástétel alkalmazható a minket érdeklő esetekben. A fő probléma az, hogy mikor teljesül a centrális határeloszlás feltételeként megfogalmazott Lindeberg feltétel. Tekintsük először azt a fontos, speciális esetet, amikor független, egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizált részletösszegeit vizsgáljuk. Centrális határeloszlástétel független, egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizált részletösszegeire. Legyen ξ,ξ,..., független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ <. Vezessük be a σ = Varξ = ξ k neξ Eξ Eξ mennyiséget. Ekkor az S n neξ nσ = nσ normalizált összegek eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz n esetén. Bizonyítás. Azt fogom megmutatni, hogy ez az eredmény megkapható a független valószínűségi változók normalizált részletösszegeire vonatkozó centrális határeloszlástétel speciális eseteként. Feltehetjük, hogy Eξ = 0, Eξ =. Valóban, bevezetve a ξ k = ξ k Eξ k σ, k =,,..., mennyiségeket, egy független egyforma, eloszlású, nulla várható értékű és szórásnégyzetű valószínűségi változókból álló ξ,ξ... sorozatot definiáltunk, ξ k amelyre S n n = az új esetre belátni. n = S n neξ nσ. Ezért elegendő a centrális határeloszlástételt csak erre Ha ξ,ξ,..., független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, amelyekre Eξ = 0, Eξ =, akkor a centrális határeloszlástétel bizonyításához elég belátni, hogy ez a sorozat teljesíti a Lindeberg feltételt. Mivel ebben ez esetben s n = n Eξk = n, ez azt jelenti, hogy azt kell megmutatni, hogy ξ k s n EξkI ξ k > εs n = n EξjI ξ j > ε neξj = EξI ξ > ε n 0 minden ε > 0 számra, ha n. Viszont Eξ I ξ > ε n 0, ha n. Ez következik a Lebesgue tételből, mert ξ I ξ > ε n 0 valószínűséggel, ha n. 5

6 Ezenkívül ξ ωi ξ ω > ε n ξ ω minden ω Ω pontban és n =,,... indexre, és Eξ <. Megfogalmazok egy további eredményt, amely azt mondja ki, hogy a centrális határeloszlástétel érvényes alkalmas feltételek teljesülése esetén. Ez az eredmény arról szól, hogy a Lindeberg feltétel teljesül, ha bizonyos könnyebben ellenőrizhető feltételek teljesülnek. A centrális határeloszlástétel függgetlen valószínűségi változók normalizált részletösszegeire. Legyen ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók sorozata, amelyre Eξ n = 0, σn = Eξn <, n =,,..., n s n =, ahol s n = n σk. Ez a sorozat teljesíti a Lindeberg feltételt, így a s n normalizált összegek, n =,,..., eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz, ha a következő feltétel teljesül. a E ξ k +α <, minden k =,,... számra valamilyen α > 0 konstanssal, és n E ξ k +α s +α n = 0. b Az a feltétel és ezért a centrális határeloszlástétel teljesül abban az esetben, ha Eξk K valamilyen K > 0 számmal minden k =,,... indexre, és ezenkívül érvényes a k α/ E ξ k +α = 0 reláció. Bizonyítás. Alkalmazzuk a Hölder egyenlőtlenséget mindegyik Eξk I ξ k > εs n, k n, tagra p = +α és q = +α α választással, majd a becslésként kapott összegre alkalmazzuk megint a Hölder egyenlőtlenséget ugyanezzel a p,q párral. Íly módon a következő becslést kapjuk. EξkI ξ k > εs n ξ k E ξ k +α /+α P ξk > εs n α/+α n /+α n α/+α E ξ k +α P ξ k > εs n. Másrészt, a Csebisev egyenlőtlenség alapján n P ξ k > εs n n Eξ k ε s = n ε. Ezért n α/+α P ξ k > εs n ε α/+α, és ha teljesül a tétel a feltétele, akkor sup n s n EξkI ξ k > εs n ε α/+α n E ξ k +α s +α n /+α = 0 6

7 minden ε > 0 számra, azaz teljesül a Lindeberg feltétel. Az b részben megfogalmazott feltételek teljesülése esetén s n const. n, és ezenkí- E ξ k +α = o n α+/ = os +α n, ha n. Ezért ekkor teljesülnek az a vül rész feltételei is. Ekkor teljesül a Lindeberg feltétel, és így a centrális határeloszlástétel is. Értsük meg a fenti tétel szemléletes tartalmát. Tudjuk, hogy s n = n Eξk = Eξk I ξ k ε + n Eξk I ξ k > ε minden ε > 0 számra. A Lindeberg feltétel azt fejezi ki, hogy a fenti azonosság jobboldalán szereplő összeg második tagja sokkal kisebb, mint s n. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az Eξk = ξk ω dpω integrálokban azon ω-k hozadéka, ahol ξ k ω túl nagy, pontosabban az {ω: ξ k ω εs n } halmaz hozadéka elhanyagolhatóan kicsi. Ennek kívántuk valamilyen viszonylag könnyen ellenőrizhető, és sok érdekes esetben teljesülő feltételét megadni. A gondolat a következő volt. Az E ξ k +α = ξ k +α ω dpω integrálokban az α > 0 esetben azon ω-k hozadéka, ahol ξ k ω rendkívül nagy, nagyobb, mint az Eξk kifejezést megadó integrálokban. Szép esetekben az E ξ k +α integrál nem túl nagy. Például, ha mindegyik ξ k valószínűségi változó abszolut értéke kisebb, mint egy a k indextől nem függő korlát, akkor E ξ k +α const. Eξk minden k indexre, és E ξ k +α const. s n. A fenti tétel a pontban megfogalmazott feltételében az a n E ξ k +α összegre egy ennél gyengébb feltételt fogalmaztunk meg. Jegyezzük meg, hogy az ez az a feltétel csak akkor teljesülhet, ha n s n =. Az a feltétel megengedi, hogy legyenek olyan ω-k, amelyekre ξ k ω viszonylag nagy, de ezek hatása elhanyagolhatóan kicsi. Így sikerült olyan feltételt találni, amely biztosítja a Lindeberg feltétel teljesülését. Annak érdekében, hogy a centrális határeloszlástétel tartalmát, illetve a Lindeberg feltétel szerepét ebben az eredményben jobban megértsük lássunk olyan példákat is, amelyekben a centrális határeloszlástétel nem érvényes, mert nem teljesül a Lindeberg feltétel. Két különböző példát fogok mutatni, amelyekben a centrális határeloszlástételben előírt függetlenségi és egyenletes kicsiségi feltételek teljesülnek, mégsem érvényes a centrális határeloszlástétel, mert nem teljesül a Lindeberg feltétel. Példa olyan modellre, amelyben nem teljesül a centrális határeloszlástétel. Legyenek ξ n, n =,,..., független valószínűségi változók a következő eloszlással: Pξ n = n = Pξ n = n = 4n, Pξ n = = Pξ n = = 4, és Pξ n = 0 = n, n =,,... Ekkor Eξ n = 0, Eξ n =. Az S n = n ξ n normalizált részletösszegek sorozata egyrészt teljesíti az ES n = 0, és Var S n = relációkat, másrészt, mint látni fogjuk, eloszlásban konvergál egy nulla várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változóhoz, ha n. 7

8 Ebben a példában független valószínűségi változók olyan normalizált részletösszegeit tekintettük, amelyre nem teljesül a centrális határeloszlástétel. Ugyanis a centrális határeloszlástétel szerint az S n normalizált részletösszegeknek a nulla várható értékű és egy szórásnégyzetű normális eloszláshoz kellene konvergálni. Az egyenletes kicsiség feltétele teljesül ebben a példában, mert s n = n, és sup = n nullához konvergál, k n ha n. Viszont nem teljesül a Lindeberg feltétel, mert például ε = választással s n Eξk I ξ k > εs n = n k P ξ k > n = n Eξ k s n k= n + k k = 4. A példa indoklása. Az ES n = 0 és ESn = reláció nyilvánvaló. A határeloszlásról szóló állítás bizonyítása érdekében vezessük be az X n = ξ n I ξ n, Y n = ξ n I ξ n >, U n = n X k és V n = n Y k mennyiségeket. Ekkor S n = n U n + n V n. A független, k=n egyforma eloszlású valószínűségi változók részletösszegeire vonatkozó centrális határeloszlástétel alapján az n U n, n =,,..., sorozat eloszlásban konvergál a nulla várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszláshoz n esetén, mert az X k, EX k = 0, EXk =, valószínűségi változók k =,,..., függetlenek és egyforma eloszlásúak. Az n V n kifejezések sztochasztikusan konvergálnak nullához, ha n. Ugyanis PY k 0 <, ezért a Borell Cantelli lemma alapján egy valószínűséggel csak véges sok Y k ω nem egyenlő nullával, és Y k ω Kω valószínűséggel. A példa állítása következik a fenti állításokból és a kiegészítésben bizonyított egyébként egyszerű Slutzky lemmából. Ez a lemma azt mondja ki, hogy amennyiben valószínűségi változók valamely P n sorozata eloszlásban konvergál egy F eloszláshoz, és valószínűségi változók egy másik Q n sorozata sztochasztikusan konvergál nullához, akkor a P n + Q n sorozat is konvergál eloszlásban az F eloszláshoz. Mivel S n = n U n + n V n, a példa állítása következik a fenti relációkból és a Slutzky lemmából P n = n U n és Q n = n V n választással. Egy másik példa olyan modellre, amelyben nem teljesül a centrális határeloszlástétel. Tekintsünk egy ξ k,j, k =,,..., j n k, szériasorozatot, amelyre n k, ha k, a ξ k,j, j n k, valószínűségi változók függetlenek, P ξ k,j = = P ξ k,j = 0 = λ k,j, j n k, és a λ k,j konstansok teljesítik a sup λ k,j = 0 és a λ k,j = feltételeket. Legyen ξ k,j = ξ k,j E ξ k,j. A j n k ξ k,j, j n k, szériasorozat a Lindeberg feltétel kivételével teljesíti a szériasorozatokra vonatkozó eloszlástétel feltételeit. Másrészt az S k = n k ξ k,j sorösszegek eloszlásban konvergálnak egy η Eη valószínűségi változóhoz, ahol η Poisson eloszlású λ = paraméterrel. A példa indoklása. A ξ k,j, j n k, szériasorozat teljesíti a szériasorozatokra 8

9 vonatkozó Poisson határeloszlástétel feltételeit λ = paraméterrel. Ezért,mint később látni fogjuk, az S k = n k ξ k,j összegek egy λ = paraméterű Poisson eloszlású η valószínűségi változóhoz, az S k = S k E S k valószínűségi változók pedig az η Eη valószínűségi változóhoz konvergálnak eloszlásban. Könnyen látható, hogy a ξ k,j, j n k szériasorozat a Lindeberg feltételt kivéve a szériasorozatokra vonatkozó centrális határeloszlástétel összes feltételét teljesíti. A Lindeberg feltételt viszont nem teljesíti. Ugyanis létezik olyan k = k 0 index, hogy E ξ k,j = λ k,j < minden k k 0 és j n k indexre. Ezért ξk,j I ξ k,j > ε = ξk,j I ξ k,j =, ha k k 0 és ε =. Innen Eξ k,j I ξ k,j > ε = Eξk,j I ξ k,j = = λ k,j λ k,j, és n k Eξk,j I ξ k,j > ε = n k λ k,j λ k,j, ha k k j, és ε =. Viszont nem nehéz belátni, hogy a λ k,j számokra tett feltételek mellett λ k,j λ k,j =. Rátérek a centrális határeloszlástétel bizonyítására. Az eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel egyszerűsített változata alapján elég azt bebizonyítani, hogy ha teljesülnek a megfelelő centrális határeloszlástétel feltételei, akkor a sorösszegek szériasorozat esetén vagy a normalizált részletösszegek független valószínűségi változók sorozata esetén karakterisztikus függvényei konvergálnak a standard normális eloszlás karakterisztikus függvényéhez. Ezért érdemes először a standard normális eloszlás karakterisztikus függvényét kiszámolni. Ez történik a következő lemmában. A lemma bizonyításában kihasználom a komplex függvénytan néhány fontos eredményét. Lemma a standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről. A ϕx = π e x /, < x <, sűrűségfüggvénnyel rendelkező standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye a gt = e t / függvény, azaz e itx π e x / dx = e t /. Bizonyítás. gt = = e t / e itx e x / dx = π it it π e x / dx. π e x it / e t / dx A fenti számolásban a szokásos technikát alkalmaztuk, az exponensben szereplő kvadratikus alakot teljes négyzetté alakítotuk át. Azt állítom, hogy it it π e x / dx =. 9

10 Ez az integrál abban különbözik a standard normális sűrűségfüggvény integráljától, hogy a normális sűrűségfüggvény integrálját nem a valós tengelyen, hanem egy vele párhuzamos egyenesen tekintjük. Ez az integrál ugyanannyi, mintha a valós tengelyen integráltuk volna az π e x / függvényt. Ez egyszerűen következik a komplex függvénytan talán legfontosabb eredményéből, amely szerint egy analitikus függvény körintegrálja egy zárt görbén nulla. Azt kell kihasználni, hogy a hz = e z / függvény analitikus az egész számsíkon, és ezenkívül a hz függvény olyan, hogy amennyiben a z argumentum imaginárius részének az abszolut értéke kisebb mint valamely fix K szám, reális részének az abszolut értéke pedig nagyon nagy, akkor a hz függvény nagyon kicsi. Mivel ez a bizonyítás a komplex függvénytani ismeretek felhasználása segítségével egyszerűen végrehajtható, viszont ez a komplex függvénytani rész, amelyet nem tanult mindenki elengedhetetlen ebben a bizonyításban, ezért a részletek kidolgozását elhagyom. Következmény. Két független normális eloszlású valószínűségi változó összege normális eloszlású valószínűségi változó. Bizonyítás. A következmény állítását be lehet bizonyítani két normális sűrűségfüggvény konvoluciójának a kiszámításával, és a gyakorlaton ezt meg fogjuk tenni. De egyszerűbben célhoz érünk két független normális eloszlású valószínűségi változó összegének a karakterisztikus függvényének a kiszámolásával és annak felhasználásával, hogy egy eloszlást meghatároz a karakterisztikus függvénye. Legyen ξ egy m várható értékű és σ szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Akkor ξ felírható ξ = σ ξ + m alakban, ahol ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ezért ξ karakterisztikus függvénye ϕ t = Ee itσ ξ +m = e itm Ee itσ ξ = e σ t /+itm. Legyen η a ξ-től független m várható értékű és σ szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Akkor η karakterisztikus függvénye ϕ t = e σ t /+itm, ξ + η karakterisztikus függvénye pedig ϕ tϕ t = e σ +σ t /+itm +m. Innen következik, hogy ξ + η m + m várható értékű és σ + σ szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. A szériasorozatok sorösszegeire érvényes centrális határeloszlástételt fogom bebizonyítani. A bizonyítás előtt ismertetek egy heurisztikus indoklást, majd megmutatom, hogy e heurisztikus indoklás részleteit kidolgozva hogyan kaphatunk pontos bizonyítást. Tekintsünk egy ξ k,j, k =,,..., j n k, szériasorozatot, amelynek tagjaira Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k =,,..., j n k, és Eξk,j =. Jelölje ϕ k,jt = Ee itξ k,j, < t <, a ξ k,j valószínűségi változó karakterisztikus függvényét, és vezessük be az S k = n k ξ k,j jelölést. 0

11 Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy EeitS k = e t / minden < t < számra. Viszont tudjuk a független valószínűségi változók szorzatának várható értékéről szóló eredmény alapján, hogy Ee its k = E exp itξ k,j nk = Ee itξ k,j = n k ϕ k,j t A fenti azonosságban logaritmust véve a bizonyítandó állítást így fogalmazhatjuk át: log ϕ k,j t = t /, < t <. Viszont a ϕ k,j t karakterisztikus függvényeket Taylor sorba fejtve a t = 0 pont körül, és felhasználva a valószínűségi változók momentumainak kifejezéséről a karakterisztikus függvényük segítségével megadott kifejezéséről szóló eredményt az előző előadásból a ϕ k,j t karakterisztikus függvényekre a következő közelítést tudjuk adni. Itt felhasználjuk, hogy mint azt később látni fogjuk, a tekintett valószínűségi változók kicsisége miatt az alábbi Taylor sorfejtéseket a nulla egy kis környezetében végezzük. ϕ k,j t ϕ k,j 0 + tϕ k,j0 + t ϕ k,j0 = + iteξ k,j t Eξ k,j = t Eξ k,j. Továbbá, mivel log u u kis u számokra, azt várjuk, hogy a log ϕ k,j t t Eξ k,j jó közelítést ad. E közelítő relációkat összegezve, és felhasználva a tétel feltételeit azt kapjuk, hogy n k log ϕ k,j t t Eξk,j t, és ezt kellett megmutatni. Belátjuk, hogy a fenti közelítő azonosságok pontosabb kifejtése segítségével be tudjuk bizonyítani a kívánt centrális határeloszlástételt. E program végrehajtásánek érdekében azonban fel kell tenni, hogy teljesül a Lindeberg feltétel. A részletek kidolgozása előtt belátok egy a bizonyításban hasznos lemmát, amely arról szól, hogy az e iu trigonometrikus függvényt milyen jól közelítik Taylor sorának szeletei. Lemma trigonometrikus függvények Taylor sor közelítéséről. Tetszőleges nem negatív egész k és valós u számra eiu + iu! + + iuk u k+ k! k +!. 3 Bizonyítás: Vezessük be az Fu = e iu + iu! + + iuk k! függvényt, és tekintsük ennek F j u deriváltjait. F j 0 = 0, ha 0 j k, és F k+ u = e iku = minden u valós számra. Teljes indukcióval kapjuk, hogy F j u u 0 F j+ s ds

12 u 0 s k j ds k j! = u k+ j k+ j! minden j = k +,k,...,0 számra. Tehát Fu u k+ k+!, és ez a Lemma állítása. A centrális határeloszlástétel bizonyítása szériasorozatok sorösszegeire. Lássuk először be, hogy a Lindeberg feltétel teljesüléséből következik az egyenletes kicsiség tulajdonsága. Rögzítsünk egy ε > 0 számot. Ekkor Eξk,j = Eξk,jI{ ξ k,j < ε} + Eξk,jI{ ξ k,j ε} ε + Eξk,jI{ ξ k,j ε}, ezért a Lindeberg feltétel alapján sup sup Eξk,j ε. Mivel ez az állítás minden j n k ε > 0 számra érvényes, innen következik az egyenletes kicsiség feltétele. A centrális határeloszlástétel bizonyítása érdekében először azt mutatom meg, hogy az Eξ k,j = 0 reláció és a Lindeberg feltétel teljesülése miatt Mivel Eξk,j ϕ k,j t = =, ez ekvivalens azzal, hogy E E e itξ k,j itξ k,j = t. 4 e itξ k,j itξ k,j + t ξ k,j = 0. Alkalmazva a 3 formulát u = tξ k,j választással k = -re, ha tξ k,j ε és k = -re, ha tξ k,j ε azt kapjuk, hogy E e itξ k,j itξ k,j + t ξ k,j n k I{ ξ k,j ε} E tξ k,j 3 I{ ξ k,j ε} 6 ε t 3 E ξ k,j 6 és a Lindeberg feltétel alapján E e itξ k,j itξ k,j + t ξ k,j I{ ξ k,j > ε} Et ξ k,ji{ ξ k,j > ε} = 0. const. ε,

13 Mivel ezek a relációk minden ε = 0-ra érvényesek, innen következik a 4 formula. Meg akarom mutatni, hogy igaz a 4 formula azon módosítása, amelyben az ϕ k,j t függvényt a log ϕ k,j t függvénnyel helyettesítem, azaz igaz a formulában felírt azonosság. Ennek érdekében belátom a következő technikai jellegű lemmát. Lemma karakterisztikus függvény logaritmusának a becsléséről. Tekintsük egy ξ valószínűségi változó ϕt karkakterisztikus függvényét valamilyen rögzített t számra. Ha Eξ = 0, Eξ ε egy elég kis ε = εt > 0 számmal akkor ϕt t Eξ, és log ϕt + ϕt t4 4 Eξ. A lemma bizonyítása. Alkalmazva a 3 formulát k = -re kapjuk, hogy e itξ itξ t ξ. Ezért véve a baloldalon az abszolútérték jelek közötti kifejezés várható értékét kapjuk, hogy ϕt t Eξ. Ha Eξ < ε elég kis ε = εt > 0 számmal, akkor ϕt 4. Vegyük észre, hogy véve a log z függvény Taylor sorát a z 4 halmazon, azt kapjuk, hogy log z z z. Innen log ϕt + ϕt = log ϕt ϕt ϕt t4 4 Eξ, ha Eξ εt. Megjegyzés. A fenti bizonyításban is felhasználtam a komplex függvénytan néhány fontos eredményét. Ugyanis ϕt komplex értékű függvény, így a számolásban a logaritmus függvény analitikus kiterjesztésével kellett dolgoznunk. Azt az eredményt használtam ki, hogy az e +z függvénynek kis z, pontosabban z < 4, számokra létezik olyan egyértelmű log + z inverze, amely a z = 0 pontban nullával egyenlő, és ezt a függvényt ki lehet fejezni a log + z = k+ z k k hatványsor segítségével. A bizonyítandó tétel feltételeinek teljesülése esetén, a ξ k,j, k =,,..., j n k, szériasorozat teljesíti az egyenletes kicsiség tulajdonságát, ezért alkalmazhatjuk a fenti lemmát mindegyik ξ k,j, j n k valószínűségi változóra elég nagy a t paramétertől függő k indexre. Innen kapjuk, hogy sup log ϕ k,j t + ϕ k,j t sup t 4 4 Az utolsó egyenlőtlenség azért igaz, mert küszöbindex-szel, és számra érvényes, ezért Eξk,j Eξ k,j ε t 4 4. sup j n k Eξ k,j ε, ha k k 0ε valamely k 0 =. Mivel a fenti egyenlőtlenség minden ε > 0 log ϕ k,j t ϕ k,j t = 0. Ebből a relációból, és a 4 formulából következik a formula. Ezután véve mind a két oldal exponenciális hatványát a formulában, és felhasználva az formula 3

14 azonosságát azt kapjuk, hogy EeitS k = e t /. Ezt az azonosságot akartuk bebizonyítani. Röviden tárgyalni fogom az úgynevezett lokális centrális határeloszlástételt független, egyforma és rácsos eloszlású valószínűségi változók összegére. Megfogalmazom a fő eredményt, és teszek néhány megjegyzést, amelyek segítenek megérteni az eredmény tartalmát, illetve azt, hogy miért természetes várni egy ilyen eredményt. A tétel részletes bizonyítását a kiegészítésben írom le. Az eredmény megfogalmazása előtt bevezetem a rácsos eloszlás fogalmát, illetve definiálom azt, hogy mikor nevezhetjük az egész számok halmazát egy eloszlást tartalmazó legritkább rácsnak. Rácsos eloszlás fogalma. Egy ξ valószínűségi változó rácsos eloszlású az egész számok rácsán, ha értékei az egész számok rácsára vannak koncentrálva, azaz egy valószínűséggel csak egész értékeket vesz fel, másképp fogalmazva Pξ = k =. Azt mondjuk, k= hogy az egész számok rácsa a ξ valószínűségi változó eloszlását tartalmazó legritkább rács, ha tetszőleges A > és B egész számokra Pξ = Ak + B <. k= Általánosabban, egy ξ valószínűségi változót rácsos eloszlásúnak nevezünk, ha azok értékei egy valószínűséggel egy {b + kh: k = 0, ±, ±,...} alakú halmazra vannak koncentrálva valamilyen h > 0 és b valós számokkal, azaz Pξ = kh + b =. k= Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó értékei egy h, h > 0, szélességű rácsra mint legritkább rácsra vannak koncentrálva, ha létezik olyan b valós szám, amelyre Pξ = kh + b =, és Pξ = Akh + B < tetszőleges A > egész és B k= valós számokra. k= Megfogalmazom a következő, az egész számok halmazára, mint legritkább rácsra koncentrált eloszlású független és egyforma eloszlású valószínűségi változók összegére vonatkozó lokális centrális határeloszlástételnek nevezett eredményt. Lokális centrális határeloszlástétel független, egyforma, rácsos eloszlású valószínűségi változók összegére. Legyen ξ,ξ,..., független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, mely valószínűségi változók rácsos eloszlásúak az egész számok rácsán, és az egész számok rácsa a legritkább a ξ j valószínűségi változók közös eloszlását tartalmazó rács. Legyen Eξ = m, Eξ = m <, tehát feltesszük, hogy a ξ valószínűségi változó második momentuma véges, és legyen σ = m m a ξ valószínűségi változó szórásnégyzete. Tekintsük az S n = ξ + + ξ n, n =,,..., részletösszegeket. Ekkor PS n = k = πnσ exp { ahol o egyenletes a k változóban. } k nm nσ + o n, k = 0, ±, ±,..., 4

15 Megjegyzés. Legyen ξ,ξ,... független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, amelyek rácsos eloszlásúak, és eloszlásuk egy kh+b k = 0, ±, ±,..., h szélességű rácsra, mint legritkább rácsra, legyen koncentrálva. Vezessük be az S n = n ξ j, n =,,..., részletösszegeket. A fenti tétel segítségével jó aszimptotikus becslést tudunk adni a PS n = kh + nb alakú valószínűségekre is. Ennek érdekében vezessük be a ξ j = ξ j b h, j =,,..., az egész számok rácsára mint legritkább rácsra koncentrált valószínűségi változókat, és ezek S n = n ξ j részletösszegeit. Ekkor a PS n = kh+b = P S n = k azonosság segítségével az előző tétel jó aszimptotikát ad a minket érdeklő valószínűségre. Értsük meg a fenti lokális centrális határeloszlástétel tartalmát, és azt is, hogy miért nevezik ezt az eredményt lokális centrális határeloszlástételnek. A centrális határeloszlástétel szerint P < x Φx, ahol Φ a standard S n nm nσ normális eloszlásfüggvény. Ezenkívül azt is tudjuk, hogy a most vizsgált esetben az valószínűségi változó a k nm nσ, k = 0, ±, ±,..., nσ sűrűségű rácson veszi fel S n nm nσ az értékeit. Azt várjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az S n nm nσ valószínűségi változó a [ k nm nσ, k nm+ nσ ] intervallumban veszi fel az értékét, azaz S n = k, körülbelül annyi, mint annak a valószínűsége, hogy egy standard normális eloszlású valószínűségi változó is ebben a kis intervallumban veszi fel az értékét. Ennek valószínűsége pedig Φ k nm+ nσ Φ k nm nσ πnσ exp { k nm nσ }. A lokális centrális határeloszlástétel ezt az állítást mondja ki pontosabb formában. A lokális jelző a tételben arra utal, hogy a PS n = k valószínűség viselkedése az S n eloszlás lokális viselkedését írja le. A lokális centrális határeloszlástétel bizonyításának az az alapgondolata, hogy a PS n = k valószínűségeket pontosan ki tudjuk számolni a ξ valószínűségi változó ϕt = Ee itξ = k= Pξ = ke itk karakterisztikus függvénye segítségével. Valóban, Ee its n = ϕ n t, és a Fourier sorok együtthatóit kifejező formula segítségével azt kapjuk, hogy PS n = k = π e ikt ϕ n t dt. 5 π π A feladat ezután az, hogy adjunk jó aszimptotikus formulát az 5 formula jobboldalán szereplő integrálra. Ennek érdekében érdemes először az integrálban szereplő ϕ n t kifejezésre jó becslést adni. Tudjuk, hogy ϕ0 =, ϕ 0 = imt, ϕ 0 = m. Ezért azt várjuk, hogy kis t értékekre a karakterisztikus függvény origó körüli Taylor sorfejtése alapján elég jó közelítést kapunk a ϕt függvényre, illetve annak n-ik hatványára. A karakterisztikus függvény Taylor sorfejtése azt sugallja, hogy ϕ n t n + imt m t e nimt m t / elég jó közelítés kis t argumentumokra. Valójában érdemes a fenti érvelés kissé finomított változatát alkalmazni. Célszerű az alkalmas 5

16 közelítés kiszámításában nem a ϕt, hanem a log ϕt Taylor sor közelítésével dolgozni és utána a ϕ n t = e n log ϕt azonosságot használni. De ez az eljárás is csak kis t paraméterekre ad jó közelítést a ϕt n mennyiségre, és felmerül a kérdés, hogy hogyan tudjuk jól becsülni a karakterisztikus függvényt nem kis t argumentumokra. Ezen a ponton jelenik meg az a feltétel, hogy a ξ valószínűségi változó eloszlásását tartalmazó legritkább rács az egész számok rácsa. Arra, hogy a ξ valószínűségi változó rácsos eloszlásású azért volt szükség, mert ez biztosítja az 5 formula érvényességét. A következő lemmában belátjuk, hogy a ξ eloszlásának előbb említett tulajdonságából következik, hogy a [ π,π] intervallumban, azaz az 5 formulában szereplő integrál integrálási tartományában a t = 0 pont az egyetlen olyan pont, ahol ϕt =. Ennek a ténynek, illetve a karakterisztikus függvény folytonosságának a segítségével könnyen belátható, hogy az ε t π tartomány hozadéka exponenciálisan kicsi az 5 formulában szereplő integrálban minden ε > 0 számra. Lemma egy rácsos eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a viselkedéséről. Legyen egy ξ valószínűségi változó eloszlása az egész számok rácsára, mint legritkább rácsra koncentrálva. Tekintsük a ξ valószínűségi változó karakterisztikus függvényét definiáló Pt = k= e ikt Pξ = k Fourier sort. A Pt Fourier sor periódusa π, P0 =, Pt minden valós t számra, és Pt <, ha t π, és t 0. A lemma bizonyítása. Nyílvánvaló módon Pt minden t valós számra, és P0 =. Mutassuk meg, hogy a ξ valószínűségi változó eloszlásának egy h > 0 szám akkor és csak akkor periódusa, azaz akkor és csak akkor koncentrálódik ξ eloszlása valamely kh + b, k = 0, ±, ±,... alakú halmazra, ha Ee iπξ/h =. Valóban, ha Ee iπξ/h =, akkor Ee iπξ/h = e iπa, azaz Ee iπξ/h a = valamilyen, valós a számra. Mivel Re e iπx minden x valós számra, és Re e iπx = csak akkor teljesül, ha x egész szám, az Ee iπξ/h a = azonosság csak akkor állhat fenn, ha a ξ h a valószínűségi változó eloszlása a k, k = 0, ±, ±,..., pontokba van koncentrálva, azaz a ξ valószínűségi változó a kh + b, k = 0, ±, ±,..., rácsra van koncentrálva, ahol b = ha. Megfordítva, ha a ξ valószínűségi változó eloszlása egy kh+b, k = 0, ±,..., rácsra van koncentrálva, akkor Ee iπξ = e iπb, tehát Ee iπξ =. Ha a ξ valószínűségi változó eloszlása nincsen semmilyen h > szélességű rácsra koncentrálva, akkor az előbbiek alapján P π h < minden h > számra, tehát a lemma feltételeinek teljesülése esetén Pt < minden 0 < t < π, speciálisan minden 0 < t π számra. Mivel P t = Pt, ahol a felülvonás komplex konjugáltat jelöl, ezért Pt <, ha t π, és t 0. A lemmát bebizonyítottuk. Mivel minden karakterisztikus függvény folytonos, a fenti lemmából következik, hogy a független, egyforma, rácsos eloszlású valószínűségi változók összegére megfogalmazott lokális centrális határeloszlástétel feltételeinek teljesülése esetén minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δε > 0 szám, amelyre a ξ valószínűségi változó ϕt karakterisztikus függvénye teljesíti a ϕt δ egyenlőtlenséget minden ε t π 6

17 számra. Ezért minden ε > 0 számhoz létezik olyan 0 < δ < szám, amelyre e ikt ϕ n t dt π δn. 6 {t: ε t π} Ez azt jelenti, hogy az 5 formula jobboldalán szereplő integrál becslésében elég az integrálnak egy [ ε, ε] intervallumba eső részére jó becslést adni. Ez, mint jeleztem, lehetséges a karakterisztikus függvény origó körüli Taylor sorfejtése segítségével. A részletes bizonyítást a kiegészítésben adom meg. Megjegyzem, hogy a Stirling formula bizonyításában hasonló érvelést alkalmaztunk a Poisson eloszlásra. Az egyetlen különbség az volt, hogy ott a karakterisztikus függvényre egyszerű, explicit formulát tudtunk adni, ami egyszerűsítette a számolásokat. A rácsos eloszlású valószínűségi változókra bizonyított lokális centrális határeloszlástételt a Fourier sorok Fourier együtthatóit kifejező 5 formula segítségével tudjuk bizonyítani. Ismertetek egy az 5 formulához hasonló eredményt, amely lehetővé teszi egy függvény értékeinek kiszámítását a függvény Fourier transzformáltjának segítségével. Inverziós formula egy függvény Fourier transzformáljára. Legyen fx integrálható függvény a számegyenesen, azaz tegyük fel, hogy fx dx <. Tekintsük az f függvény Fourier transzformáltját, azaz az ft = eitx fx dx, < x <, függvényt. Ha az ft függvény szintén integrálható, azaz ft dt <, akkor fx a Lebesgue mérték szerint majdnem minden x R pontra megegyezik az alábbi folytonos és korlátos függvénnyel: fx = e itx ft dt. 7 π Ezen inverziós formula segítségével sűrűségfüggvénnyel rendelkező független valószínűségi változók normalizált összegének a sűrűségfüggvényére is lehet lokális centrális határeloszlástételt bizonyítani. Ez azt állítja, hogy független, sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változók normalizált összegének a létező sűrűségfüggvénye alkalmas feltételek teljesülése esetén minden < x < pontban konvergál az fx = π e x / standard normális sűrűségfüggvényhez, és ez a konvergencia egyenletes. Az eredmény pontos megfogalmazását és bizonyítását, amely a rácsos eloszlású valószínűségi változók összegéről szóló centrális határeloszlástétel bizonyításához hasonló, és a 7 formulában felírt integrál becslésén alapul, elhagyom. Egy ilyen lokális centrális határeloszlástétel bizonyításának végrehajtásához tudnunk kell, hogy mikor alkalmazhatjuk sűrűségfüggvény kiszámításához a 7 formulát. Ehhez az kell, hogy mind a sűrűségfüggvény mind annak Fourier transzformáltja integrálható legyen. Egy sűrűségfüggvény mindig integrálható, és a Fourier analízis eredményei alapján a Fourier transzformáltja is integrálható, ha a sűrűségfüggvény elég sima. 7

18 Kiegészítés. Néhány a jegyzetben megfogalmazott eredmény bizonyítása. Először a következő eredmény bizonyítását ismertetem. Szériasorozatok sorösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel megfordításának bizonyítása. Jelölje ϕ k,j t a ξ k,j valószínűségi változó karakterisztikus függvényét. Először azt mutatom meg, hogy a tétel feltételeinek teljesülése esetén Re ϕ k,j t = t. 8 Valóban a centrális határeloszlástételből, illetve abból a kissé gyengébb állításból, hogy a n k ξ k,j sorösszegek eloszlásban konvergálnak egy szórásnégyzetű ismeretlen m várható értékű normális valószínűségi változóhoz következik, hogy n k ϕ k,j t = e t /+imt illetve először abszolut értéket majd logaritmust véve Relog ϕ k,j t = t minden valós t számra, minden valós t számra. 9 Továbbá az egyenletes kicsiség feltétele miatt minden ε > 0 számhoz létezik olyan k 0 = k 0 ε küszöbindex, amelyre Eξk,j ε minden j n k indexre, ha k k 0. Ezért a karakterisztikus függvény logaritmusának a becsléséről szóló lemma alapján minden t > 0 és elég kis ε = εt > 0 számhoz létezik olyan k 0 = k 0 ε küszöbindex, amelyre Re log ϕ k,j t+re ϕ k,j t log ϕ k,j t+ ϕ k,j t t4 4 Eξk,j εt 4 4 Eξ k,j minden k k 0 és j n k indexre. Ezen egyenlőtlenségeket összegezve, és felhasználva a = relációt, azt kapjuk, hogy Eξk,j sup Relog ϕ k,j t + Re ϕ k,j t εt4 4. Mivel ez a reláció minden ε > 0 számra igaz, ezért a 9 relációval együtt implikálja a 8 formulát. Mivel nagy k indexre a szériasorozat sorainak az összege közel egy szórásnégyzetű, ezért a 8 formulából következik, hogy E costξ k,j + t ξk,j = 0 minden t R számra. 0 8

19 Vegyük észre, hogy cos u + u 0 minden u R számra. Valóban, az Fu = cos u + u függvényre F u = cos u 0 minden u valós számra, és F0 = F 0 = 0. Innen az F u = u 0 F s ds függvényre F u 0, ha u 0, és F u 0, ha u < 0. Hasonlóan, további integrálással Fu 0 minden u számra. Ezenkívül cos u + u u + u 4, ha u > 3. Ezért a 0 formulában szereplő várható értékekre felírhatjuk, hogy E costξ k,j + t ξk,j + E costξ k,j + t ξ k,j = E costξ k,j + t ξk,j Ezt felhasználva a 0 formulából következik, hogy azaz minden t számra. Innen t = 3 ε t 4 Eξ k,ji Eξk,jI I tξ k,j 3 I tξ k,j > 3 t 4 Eξ k,ji tξ k,j > 3. { ξ k,j 3 } = 0, t { ξ k,j 3 } = 0 t választással megkapjuk a tétel állítását. A következő ismertetendő eredmény a Slutzky lemma és annak bizonyítása. Határeloszlástétel véletlen sorozatok kis perturbációjára. Slutzky lemma. Legyen adva valószínűségi változók egy T k és ε k sorozata, k =,,..., úgy, hogy a T k sorozat eloszlásban konvergál egy F eloszláshoz, és az ε k sorozat sztochasztikusan konvergál nullához, ha k. Ekkor az S k = T k + ε k, k =,,..., sorozat szintén eloszlásban konvergál az F eloszláshoz, ha k. A Slutzky lemma bizonyítása. Tekintsük az F határeloszlás függvény egy x folytonossági pontját. Rögzítsünk egy kis δ > 0 számot, és válasszunk olyan η > 0 számot, amelyre Fx + η < Fx + δ, Fx η > Fx δ, és mind az x + η, mind az x η pont folytonossági pontja az F függvénynek. Ezzel a választással és PT k + ε k < x PT k < x + η + Pε k < η PT k + ε k < x = PT k + ε k x Innen PT k x η + Pε k > η = PT k < x η + Pε k > η. PT k < x η Pε k > η PT k + ε k < x PT k < x + η + Pε k < η, 9

20 és k határátmenetet alkalmazva és felhasználva azt, hogy az ε k valószínűségi változók sztochasztikusan nullához konvergálnak azt kapjuk, hogy Fx δ Fx η inf PT k + ε k < x sup PT k + ε k < x Fx + η Fx + δ. Mivel ez az állítás minden δ > 0 számra érvényes, innen következik a Slutzky lemma. Ismertetem még a lokális centrális határeloszlástétel bizonyítását is rácsos eloszlású valószínűségi változókra. A lokális centrális határeloszlástétel bizonyítása független, egyforma, rácsos eloszlású valószínűségi változók összegére. Az 5 formula alapján PS n = k = ahol Pt = π π k= π e ikt P n t dt = + t < ε n + ε < t <ε n ε< t <π = I + I + I 3, e ikt Pξ = k, és ε > 0 tetszőleges kis pozitív szám. A tétel bizonyítása érdekében jó becslést adunk az I, I és I 3 integrálokra. Az I 3 integrált már megbecsültük a 6 formulában. Az I és I integrálok kiszámításához jó becslést kell adnunk a P n t függvényre, ha t < ε. Kényelmesebb a log Pt függvénnyel dolgozni. Ez kis ε > 0 számra lehetséges, mert ebben az esetben a Pt függvény értéke a [ ε, ε] intervallumban szeparálva van nullától. Egyszerű számolással kapjuk, hogy d log Pt dt = P t Pt, d log Pt dt d log Pt dt = P tpt P t P, t = im, t=0 d log Pt dt ezért az origó körüli Taylor sorfejtéssel kapjuk, hogy log Pt = imt σ t + ot, ha t < ε. = m + m = σ, t=0 Innen, mivel P n t = e nre log Pt = e nσ t /+ot e nσ t /3, ha t < ε és n nε, ezért I P n t dt π ε < t <ε π n π n 0 e nσ ε < t <ε n ε t /3 dt e σ t /3 dt n e σ /4ε.