ELEKTROMOSSÁGTAN. Elektromos erőhatás. Coulomb törvénye szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

Átírás

1 ELEKTROMOSSÁGTAN Elektromos erőhatás Coulomb törvénye Ősrégi tapasztalat, hogy gyakran a testek dörzsöléssel olyan állapotba hozhatók, amelyben egymásra erőt fejtenek ki. A testeknek ezt az állapotát elektromos állapotnak nevezzük. Bizonyos testek tehát, mint például üvegrúd, műanyagrúd, szövet dörzsöléssel elektromos állapotúvá tehetők. Az elektromos állapotú testek más tulajdonságai legtöbbször nem változnak meg, az elektromos állapotba került üvegrúd nem görbül el, nem nyúlik meg, színe sem változik és a tömege sem. Azt a testet, amelyre elektromos állapotú testek nem fejtenek ki elektromos erőhatást, elektromosan semleges állapotú testnek (röviden semleges testnek) nevezzük. A testek elektromos állapotát az elektromos töltéssel jellemezzük. Az elektromos állapot kétféle. A vonzó- és a taszítóerőt csak így lehet értelmezni. A kétféle elektromos állapotnak megfelelően kétféle elektromos töltés van. Az egyik töltést pozitívnak, a másikat negatívnak nevezzük. Az elnevezést szabadon választottuk, ugyanígy szabadon döntünk afelől, hogy melyik töltést nevezzük pozitívnak. Abban állapodunk meg, hogy a bőrrel megdörzsölt üvegrúd elektromos töltését nevezzük pozitívnak. Pozitív töltésű testek taszítják egymást, ugyanígy a negatív töltésűek között is taszítóerő hat. Pozitív és negatív töltéssel rendelkező testek között vonzóerő lép fel. Az egynemű, azaz azonos előjelű töltések között taszítóerő hat, az ellentétes előjelű különnemű töltések vonzzák egymást. A semleges tehát nem elektromos állapotú test töltése nulla. Így ugyanannyi pozitív és negatív töltés egyesítése után a test semlegessé válik. Az elektromos töltés számértéke tetszőleges valós szám lehet, pozitív, negatív és nulla. Nulla töltésű test és bármely más test között nem lép fel (elektromos állapotból származó) erő. Az elektromos töltés egyik testből a másikba áramolhat, az egyik test a másiknak átadhat elektromos töltést. Az elektromos töltés fogalmilag más mennyiségekre nem vezethető vissza. Az elektromos töltés tehát alapfogalom, mint az anyag mennyisége és a mozgás mennyisége. Az elektromos töltést legtöbbször Q-val vagy q-val jelöljük. Az elektromos töltéssel kapcsolatban egy fontos alapelvet fogalmazunk meg. Axiómaként kezeljük, hiszen most fizikai eszközökkel alátámasztani nem lehet. Az alapelvre alapozott elmélet azonban a tapasztalattal tökéletesen összhangban van. Magyarán, azt az elméletet, amelynek ez az alapelv az egyik logikai kiindulópontja a tapasztalat nem cáfolja. Az elektomosságtan kiindulópontja tehát a következő axióma: Az elektromos töltés megmaradó mennyiség. Más szavakkal kifejezve ez azt jelenti, hogy elektromosan zárt rendszerben az elektromos töltés összes mennyisége állandó. Vizsgáljuk meg most az elektromos töltés szerepét az elektromos erőhatásban, és egyúttal állapodjunk meg az elektromos töltés mértékegységében. Célszerű pontszerű testek között megvizsgálni az erőhatás természetét, hiszen bonyolultabb alakú kiterjedt testek között fellépő erőhatás nagyon bonyolult lehet. Az is fontos, hogy egyelőre nyugvó töltések közötti erőhatásokkal foglalkozzunk. Könnyen elképzelhető, hogy ha az elektromos erőhatás például folyadékban lép fel, mondjuk olajban, akkor az anyag szerkezete megváltozik és ez módosítja a fellépő erőt. Ezért célszerű döntés a következő. Állapodjunk meg abban, hogy egyelőre az elektromosan töltött, pontszerű, nyugvó testek között fellépőerőhatással foglalkozunk. Feltesszük, hogy ezek a pontszerű testek vákuumban vannak. Ekkor érvényben van a Coulomb-törvény: A pontszerű, elektromosan töltött testek között fellépő vonzó vagy taszítóerő a két pont közötti távolság négyzetével fordítottan, a töltések szorzatával egyenesen arányos. Ha az egyik test töltését Q 1 -gyel, a másikét Q -vel jelöljük, akkor alkalmasan megválasztott k arányossági tényezővel az F = k Q 1Q r 1

2 egyenlet fejezi ki. Itt most a töltés mértékegységét kell megneveznünk és az arányossági tényezőt megválasztanunk. Rögzítsük először, hogy a távolságot méterben, az erőt newtonban mérjük. Ezután arról döntünk, hogy a töltés mértékegységét coulombnak nevezzük és ezt C-vel jöljük. Ebből már következik is, hogy k mértékegysége [k] = Nm /C. Az arányossági tényező megválasztásában nagy szabadságunk van. A fizikusok a k = Nm /C mellett döntöttek. A k ilyen választása mellett (a Coulomb-törvény alapján) 1 coulomb töltéssel rendelkező pontszerű test egy másik 1 coulomb töltésű szintén pontszerű testet 1 méter távolságból Nerővel taszít. Ez nagyjából 100 méter alapélű 100 méter magas négyzetalapú téglából épült gúla súlya. Ebben az értelemben 1 coulomb nagyon nagy töltés. Ezért igen gyakori, hogy C helyett μc-ban (mikrocoulomb) számolunk. Nyilvánvaló, hogy 1 μc =10 6 C. Általában, a Q 1 és Q pontszerű testek között fellépő erő nagysága F = k Q 1Q r, ahol azonban F előjele pozitív, ha a Q 1 és Q azonos előjelű, és negatív, ha ellentétes előjelű. A Columbtörvénynek ebből a formájából az erő iránya nem olvasható ki, csak arra következtethetünk, hogy taszító vagy vonzó erő lép fel: ha F pozitív, akkor a töltések taszítják egymást, ha negatív, akkor vonzzák. Két kisméretű, egyenlő m =3, 4 g tömegű, azonos q pozitív töltésű golyót a mennyezet egy pontjában egy-egy l = 0, m hosszúságú fonálra felfüggesztjük. A két test taszítja egymást, és eltávolodnak egymástól. Nyugalmi helyzetben a távolságuk r = 0, m. Határozzuk meg a két kis test elektromos töltését! A megoldás érdekében vegyük szemügyre először az 1 ábrát geometriai szempontból! 1. ábra. A két test távolsága (az adatok választása miatt) megegyezik a fonalak hosszával, ezért a két test és a mennyezetnél a felfüggesztési pont egy szabályos háromszöget határoznak meg. A fonalak a vízszintessel 60 -os, a függőlegessel α =30 -os szöget zárnak be. A két test teljesen azonos körülmények között nyugalomban van. (Különbséget közöttünk nem is tehetünk, hiszen a két golyót és a fonalakat a két fonál síkjának két oldaláról úgyanúgy látja két személy.) Elég tehát az egyik mondjuk a jobb oldali test egyenúlyát vizsgálni. Erre a testre három erő hat, ezek: a G = mg =0, = 0, 34 N nagyságú nehézségi erő, az F -fel jelölt (még ismeretlen) elektromos erő és a kötél által kifejtett K kötélerő. A testre ható erők eredője nulla, ez a vízszintes irányú erőkomponensekre nézve azt jelenti, hogy K sin α F =0. (Az ábrán látszik, hogy az F erőt K erő

3 α szöggel szemközti összetevője egyensúlyozza. A függőleges erőkomponensekre vonatkozóan pedig a K sin α mg =0egyenlet érvényes. Összefoglalva: } K sin α F =0. K sin α mg =0 Adjunk az első egyenlethez F -et, a második egyenlethez mg-t, majd osszuk el a két egyenletet egymással: tg α = F mg. Innen F = mg tg α =0, =0, 1870 N. A Coulomb-törvény szerint azonban Azaz F = k qq r. 0, 1870 = q 0,, és így q =9, C =0, 91 μc. Szükségünk lesz egy szóhasználattal kapcsolatos megjegyzésre. Tegyük fel, hogy adott két elektromos állapotú test, az egyiket jelöljük 1-gyel, a másikat -vel. Ekkor a -es test eletromos erőt fejt ki az 1-es testre: az 1-es test észleli a -es test által kifejtett elektromos erőt. Egyrészt azt a kérdést vizsgáljuk, hogy milyen elektromos hatása van a -es testnek, másrészt azt tanulmányozzuk, hogy milyen hatást észlel az 1-es test. Erre tekintettel a -es testet (ennek a töltését) forrástöltésnek, az 1-es test töltését próbatöltésnek nevezzük. Világos, hogy ha az 1-es test töltése forrástöltés és a -es test töltése hozza létre az elektromos hatást, akkor fordítva is igaz, ha az 1-es test a hatás forrása, akkor a -es test a próbatöltés. Mindazonáltal bár az 1-es és -es test szerepe szimmetrikus, mégis pontszerű töltésnek adjuk a próbatöltés szerepét, így megvizsgálhatjuk egy kiterjedt (esetleg bonyolult) töltéseloszlás által létrehozott hatást a tér különböző pontjaiban. Egy 0,8 m oldalú négyzet csúcsaiban rögzített pontszerű testeket rendre 1 μc, μc, 3 μc, 4 μc töltéssel látjuk el. Mekkora elektromos erő hat a négyzet középpontjába helyezett 5 μc töltésű pontszerű testre? A megoldás 1 első lépéseként vegyük észre, hogy a négyzet átlója 0, 8 = 1, 1313 m, a középpontjába helyezett Q =5μCtöltés csúcsoktól mért távolsága r = 0, 8=0, 5657 m. Tegyük fel, hogy a négyzet csúcsaiban a töltések az óra mutatói járásával ellentétes irányában növekednek. Helyezzük el négyzet középpontjába egy koordinátarendszer origóját, és válasszuk meg a tengelyeket a. a. ábrán látható módon: fektessük a tengelyeket a négyzet átlóira és helyezzük el a töltéseket úgy, hogy a Q 1 =1μCaz x-tengely pozitív felén az 0, 5657 m pontban legyen. Ekkor a Q =μcaz y-tengely negatív felén az 0, 5657 m pontban, a Q 3 =3μCazx-tengely negatív felén a 0, 5657 m koordinátájú pontban, Q 4 =4μCazy-tengely negatív felén az 0, 5657 m pontban van. Ekkor a négyzet középpon- 1 A következő feladatok nem neház feladatok, de meglehetősen munkaigényesek. Feltétlenül javasoljuk, hogy ne csak átfussák a kidolgozott megoldásokat, hanem sajátítsák el a gondolatmeneteket és számolják végig a feladatokat. 3

4 . ábra. tjába helyezett Q =5μC töltésre a Q 1,...,Q 4 töltések F 1 = k Q 1Q r F = k Q Q r F 3 = k Q 3Q r F 4 = k Q 4Q r = =0, N, (1) ( 0, 8) =9 10 =0, 815 N, () ( 0, 8) =9 10 =0, N, (3) ( 0, 8) =9 10 =0, 565 N (4) ( 0, 8) nagyságú erőt fejtenek ki. A Q 1 és Q 3 által kifejtett mindkét erő vízszintes, a Q 1 által kifejtett erő negatív, a Q 3 által kifejtett erő pozitív irányú. Az eredőjük a töltések szerencsés elhelyezése miatt pozitív: F x =0, 815 N. A Q és Q 4 által kifejtett mindkét erő függőleges, a Q által kifejtett erő negatív, a Q 4 által kifejtett erő pozitív irányú, az eredőjük (összegük): F y =0, 815 N. Az eredőerő két komponense F x,f x egenlő nagy: (F x = F y ), ezért az eredő erővektor nagysága F = F x =0, 3977 N és az x-tengellyel 45 -os szöget zár be. (. b. ábra). Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk, de fontoljuk meg, hogy van-e a feladatnak olyan megoldási módszer, amely általánosítható és nem támaszkodik a probléma megfogalmazásában megtalálható szimmetriát. Vizsgáljuk meg ismét a feladatot! A négyzet középpontjába Q töltést helyzetünk, a négyzet csúcsaiba pedig Q 1, Q, Q 3, Q 4 töltéseket és a négyzetet úgy helyeztük el, hogy ezek a töltések a koordinátarendszer tengelyein legyenek. A négyzet csúcsai az origótól r = 0, 8=0, 5657 m távolságban vannak. Ezért az 1-es töltéshez az r 1 =(r, 0), a -es töltéshez az r =(0,r), a 3-es töltéshez az r 3 =( r, 0), a 4-es töltéshez az r 4 =(0, r) vektor mutat. 4

5 Az 1-es töltés az ordigóba helyezett Q töltésre r 1 -gyel párhuzamos de ellentéses irányú, F 1 = k Q 1Q r nagyságú erőt fejt ki. Ennek az erőhatásnak vektori vonását úgy fejezhetjük ki, hogy F 1 -et megszorozzuk az r 1 -gyel párhuzamos r 0 1 = r 1 egységnyi hosszú vektorral: r F 1 = k Q 1Q r r0 1 = k Q 1Q r 1 r r, ez a Q 1 töltés által Q-ra kifejtett erővektor. (A negatív előjel szükségessége nyilvánvaló, ha meggondoljuk, hogy a Q 1 töltéshez mutató r 1 vektor balról jobbra mutat, Q 1 által kifejtett erő pedig mert taszító erő jobbról balra.) Az eredőerő így F = k Q 1Q r r0 1 k Q Q r r0 k Q 3Q r r0 3 k Q 4Q r r0 4. Itt azonban r 0 1 =(1, 0), r0 =(0, 1), r0 3 =( 1, 0), r0 4 =(1, 1), és helyettesítsük be az erők korábban már kiszámított értékét és az egységbektorokat: F = 0, (1, 0) 0, 815 (0, 1) 0, ( 1, 0) 0, 565 (1, 1). Ha elvégezzük a kijelölt vektorműveleteket 3, akkor eredményül a már ismert F =(0, 815, 0, 815) N erővektort kapjuk. Egy x y koordinátarendszer origójában q =1μCpontszerű rögzített töltés van. Az r 1 =( 4, 5 m, 1 m) helyvektorú pontba Q 1 =5, 65 μc töltést, az r =( 5m, 5 m) helyvektorú pontba Q =10, 0 μc töltést helyezünk el. Határozzuk meg a két töltés által az origóban nyugvó töltésre ható elektromos erők eredőjét! A megoldáshoz először vegyük észre, hogy a Q 1 töltésű test origótól mért távolsága r 1 = 4, 5 +1 = 1, 5 m, a Q töltésű test origótól mért távolsága r = 5 +5 = 50 m. Jelöljük a két helyvektor x-tengellyel bezárt szögét α 1 -gyel és α -vel (3. ábra): ekkor tg α 1 =14, 5=0,, illetve tg α 1 =55=1, ezért α 1 =1, 5 és α 1 =1, 5. Az origóban található q töltésű pontszerű testre ható (taszító) elektromos erők F 1 = k Q 1q r1 F = k Q q r1 = = , , =, N, =1, N. Legyen például r =(3m, 4 m) egy síkbeli vektor. Ennek hossza (vagyis abszolút értéke): r = r = 3 +( 4) )= 5 m =5m. Ezért r 0 =( 3, 4 )=(0, 6, 0, 8). Azr vektor párhuzamos az 5 5 r0 egységnyi hosszú vektorral. (Itt persze 0 felső index és nem hatványkitevő.) 3 Most érdemes fellapozni matematika tankönyvünket, és átismételni a vektorokkal végzett legegyszerűbb műveleteket és feleleveníteni a műveleti szabályokat. Az a legfontosabb, hogy a) ha egy r =(x, y) vektort egy α számmal szorzunk, akkor a szorzást koordinátánként végezzük el: αr = α(x, y) =(αx, αy) a mi esetünkben most 0, (1, 0) = (0, 14065, 0). b) Vektorok összegének koordinátai az tagok koordinátinak összegével egyenlő: (x 1,y 1)+(x,y ) =(x 1 + x,y 1 + y ). A mi esetünkben (0, 14065, 0) + (0, 0, 815) + ( 0, 41875, 0) + (0, 0, 565) = ( 0, 815, 0, 815). 5

6 3. ábra. A két erőt x-tengely és y-tengely irányú összetevőkre bontjuk: F 1,x = F 1 cos α 1 =, , 9761 =, N, F 1,y = F 1 sin α 1 =, , 168 = 5, N, F,x = F cos α =1, , 7071 = 1, N, F,y = F sin α =1, , 7071 = 1, N. Fejezzük ki az erővektorokat koordinátákkal és vegyük figelembe, hogy az 1-es jelű erővektor második koordinátája negatív, azaz jobbra lefelé taszítja az origóban található töltést. Tehát: F 1 =(, , 5, ) N, F =(1, , 1, ) N. Az eredőerővektor koordinátái az összetevők koordinátáinak (előjeles) összege: F =(, , ; 5, , ) N, azaz F =(3, , 7, ) N. Az eredőerő nagysága F = F = (3, ) +(7, ) =3, N, és ha az x-tengellyel beszárt szöge α, akkor tg α = 7, , =0, 1, így tehát α =11, 85. Az origóban elhelyezett pontszerű töltésre a két másik pontszerű elektromos test 3, N, azaz 3,678 mn (millinewton) nagságú, a vízszintes tengellyel mintegy 1 -os szöget bezáró erőt fejt ki. 4 A Coulomb-törvény általánosításának egyik iránya az, hogy olyan formát keresünk, amely kifejezi az erő vektorjellegét és tartalmazza az erő nagysága mellett az irányára vonatkozó információt is. Ez 6

7 4. ábra. különösen akkor fontos, amikor egy pontszerű elektromosan töltött testre nem egy, hanem több pontszerű elekromos állapotú test hat. Vizsgáljuk meg azt a 4. ábrán látható egyszerű esetet, amikor egy ponttöltésre két másik pontszerű töltés hat. 5 Ha az 1-es számjeggyel jelölt pontszerű testre két másik - vel és 3-mal jelölt elektromos állapotú pontszerű test hat, akkor ezek által kifejtett erők vektori összege az F 1 = F 1 + F 3 1. Ebben nem az a lényeg, hogy két vektort vektorilag (tehát parallelogrammaszabály szerint) kell összadni, hanem abban, hogy a -es test által kifejtett erő nem függ a 3-as test által kifejtett erőtől. Az F 1 úgy lép fel, hogy nem vesz tudomást a 3-as test által kifejtett F 3 1 erőről. Az ilyen erőket szabaderőknek nevezzük. Hamarosan tanulni fogunk nem szabaderőkről, hanem az úgynevezett kényszererőkről. A kényszererők nagysága, iránya függ a testre ható más erőktől. Az eredő kiszámításánál ajánlatos úgy eljárni, hogy az 1-es testet egy koordinátarendszer origójába helyezzük. Ügyesen elhelyezzük a -es és a 3-as testeket is, majd meghatározzuk a koordinátákat. 6 A két erőt egymástól függetlenül meghatározzuk, majd ezeket az erővektorokat összegezzük. Sok esetben ajánlatos az erővektorokat koordinátánként meghatározni és ezután az eredő vektor koordinátáit kiszámítani. Ha a töltések azonos előjelűek, akkor a fellépő erők mind taszító erők, és ekkor (például) az 1-es test felől a -es felé mutató helyvektor ellentétes irányú a -es test által az 1-esre kifejtett erővel. Egy x y koordinátarendszerben az x-tengely x 1 = 0, 5 m koordinátájú pontjában Q 1 = +400 μc, az x =0, 5 m koordinátájú pontjában Q = 400 μc pontszerű töltés van. Egy q =1μC nagyságú, pontszerű töltést helyeztünk az origóba. Mekkora a ráható eredő elektromos erő? Mekkora az elektromos erő, ha a q töltést áthelyeztük az y-tengely y =0, 3 m koorinátájú pontjába? Mekkora az eredő, ha a q töltés koordinátái: x =0, 5 mésy =0, 3 m? A megoldáshoz első lépésként vezessük be a következő jelölést. Legyen Q = Q 1, ekkor Q = Q.A feladat megoldása három szakaszból áll. (1.) Az első esetben a q töltésre az 1 jelű töltés k Qq x = , 5 =14, 4 N taszító erőt, a -es jelű töltés ugyanekkora nagyságú vonzó erőt fejt ki. A két erő egyirányú, ezért az eredőerőebben az esetben F =8, 8 N. 4 Ez a feladat és a megoldása inkább fegyelmet és koncentrálást igényel, mint fantáziát. A problémákat azonban nemcsak azért tűzzük ki, hogy agytornául szolgáljanak, hanem a fizika fogalmainak illusztrálására, a fogalmak születésének szemléltetésére. 5 Megjegyzés a szóhasználatot illetően: ponttöltés, pontszerű töltés kifejezések a pontszerű elektromos állapotú test kifejezést rövidítik. 6 Azaz a két elektromos test helyének helyvektorát és a helyvektorok koordinátáit. 7

8 (.) A második esetben is egyenlő távolságban van a q töltés az 1-es és a -es jelű töltéstől, ez a távolság r = 0, 3 +0, 5 = 0, 34 0, 583 m, ezért a két erő nagysága azonos: k Qq r = , 34 =10, 588 N. A két erő eredője vízszintes, nagysága az egyik töltés által kifejtett erő vízszintes összetevőjének kétszeresével. Legyen α a ( 0, 5; 0) m pontból a (0; 0, 3) m pontba mutató vektor vízszintessel bezárt szöge. Ekkor cos α = 0,5 0,583 =0, Aq töltésű testre ható eredő erő ebben az esetben 10, 588 cos α =18, 16 N. (3.)A harmadik esetben a q töltés a ráható töltések helyzete nem szimmetrikus. Az 1-es jelű töltés r 1 = (x) + y = 1 +0, 3 = 1, 09 = 1, 044 m távolságra van a q töltéstől, míg a -es jelű töltés és q távolsága r =0, 3 m. Ekkor az 1-es töltés =3, 3 N nagyságú erőt fejt ki q-ra. A -es 1,044 töltés függőleges vonzó erőt fejt ki ugyanerre a töltésre, nagysága =40N. Jelöljük most 0,3 a ( 0, 5; 0) m pontból a (0, 5; 0, 3) m pontba mutató vektor vízszintessel bezárt szögét β-val. Ekkor cos β = 1 1,044 =0, 9578, vagyis β =16, 7. A harmadik estben a q töltésre ható erők eredőjének vízsintes összetevője 3, 3 0, 9578 = 3, 16 N, a függőleges összetevő pedig: 3, 3 sin β 40 = 39, 05 N. Az eredőerőt az összetevőkből Pitagorász-tétellel számoljuk: 3, 16 +( 39, 05) =39, 18 N. 3,16 Ha az eredő erő vektora γ szöget zár be a vízszintessel, akkor cos γ = 39,180,080, vagyis γ =85, 4. A harmadik esetben az 1-es és a -es jelű töltés által kifejtett eredő erő nagysága 39, 18 N, majdnem párhuzamos a függőleges tengellyel és balról jobbra lefelé mutat. A három erőt ábrázoltuk a??. a) ábrán. Ha (például számítógép segítségével) sok pontban meghatároznánk ezeket az erőket, akkor azt látnánk, hogy az erővektorok a b) ábrán látható görbesereg egy-egy görbéjét érintenék. Ezeket a görbéket különben jól láthatóvá lehet tenni, ha elvégzünk egy ismert demonstrációs kísérletet. Rögzítsünk egy vékony üveglap alá két egyforma kis testet és adjunk az egyiknek pozítív, a másiknak ugyanakkora negatív töltést, majd szórjunk a lapra finom fűrészport. Ha kissé megmozgatjuk a lapot, akkor a fűrészport a c) ábrán látható vonalakba rendeződik. Ezeket a vonalakat Faraday 7 erővonalaknak nevezte. Helyezzünk egy kis elektromos testet az egyik pontba, ekkor a ráható elektromos erőazerővonal érintőjének irányába mutat. Mi ebben a feladatban a tér három pontjában meghatároztuk az 1 μc töltésű testre ható erő irányát és nagyságát. Elektromos térerősség, Gauss törvénye A Coulomb-féle erőtörvény a pontszerű testek között vákuumban fellépő elektromos erőt írja le. Most ennek az egyszerű erőtörvénynek az általánosítását tűzzük ki célul. Gondolatmenetünk egyik legfontosabb pontja az, hogy az elektromos erő szabaderő, azaz az egyik test által kifejetett erő nem függ más testek által kifejtett elektromos erőtől. 8 7 Jó megtekinteni a oldalt. 8 Éapozzuk fel az internetes tankönyv második részében a Tömegpontok dinamikájában a szabaderőt és Newtoin IV. törvényét elemző gondolatmenetet! Engedtessék meg kiegészítésképpen egy hasonlat: az, hogy egy kisdiák mennyi zsebpénzt kap az apukájától, nagyon függhet attól, hogy mennyit kapott édeanyjától. Ha már az édeanyja ellátta zsebpénzel, akkor lehetséges, hogy az édesapja elhalasztja a támogatást. Az, hogy a koldus a templom előtt mennyi pénzt kap az arra járó emberektől, általában nem függ attól, hogy mennyit kapott korábban. Ezért gondoskodik arról, hogy kalapja mindig üres legyen. 8

9 A Coulomb-törvény általánosításának az első lépése az az eset, amikor egy elektromosan töltött pontszerű testre, az úgynevezett próbatestre néhány más, elektromos töltéssel rendelkező pontszerű test hat. Láttunk már arra példát, hogy mit kell ilyen esetben tenni. Emlékezzünk arra a feladatra, amikor 5. ábra. egy 0,8 m oldalú négyzet csúcsaiban rögzített pontszerű testeket rendre 1 μc, μc, 3 μc, 4 μc töltéssel látjuk el. Azt vizsgáltuk, hogy mekkora elektromos erő hat a négyzet középpontjába helyezett 5 μc töltésű pontszerű testre. Kiszámoltuk a négy pontszerű töltés által erőket (5. ábra), F 1 = k Q 1Q r = =0, N, ( 0, 8) F = k Q Q r =9 10 =0, 815 N, ( 0, 8) F 3 = k Q 3Q r =9 10 =0, N, ( 0, 8) F 4 = k Q 4Q r =9 10 =0, 565 N ( 0, 8) Az eredő erő két koordinátája F x =0, 815 NésF y =0, 815 N volt. Ebből azt kaptuk, hogy az eredőerőnagysága F = F x =0, 3977 N és ez a vízszintessel 45 -os szöget zár be. A most látott módszert kívánjuk általánosítani. Ezért az erővektor nagyságát megszorozzuk az erő irányba mutató egységnyi hosszú (és egységnyi mértékegységű) vektorral. Az így kapott erővektorokat összegezzük, az eredő erő így F = k Q 1Q r r0 1 k Q Q r r0 k Q 3Q r r0 3 k Q 4Q r r0 4. (5) Itt azonban r 0 1 =(1, 0), r0 =(0, 1), r0 3 =( 1, 0), r0 4 =(0, 1), és helyettesítsük be az erők korábban már kiszámított értékét és az egységbektorokat: F = 0, r 0 1 0, 815 (r 0 0, r 0 3 0, 565 r 0 4, azaz F = 0, (1, 0) 0, 815 (0, 1) 0, ( 1, 0) 0, 565 (0, 1). Végezzük el a kijelölt műveleteket, ekkor eredményül az F =(0, 815, 0, 815) Nerővektort kapjuk. Figyeljünk fel most arra, hogy az (5) erőtörvényben jobb oldalon a Q tényező kiemelhető: ( F = k Q 1 r r0 1 k Q r r0 k Q 3 r r0 3 k Q ) 4 r r0 4 Q. (6) 9

10 Általánosabban tegyük fel, hogy a tér különböző pontjaiban Q 1,Q,Q 3,..., Q n töltések vannak. Vizsgáljuk meg, hogy mekkora erőt fejt ki ez a töltésrendszer valamely q pontszerű töltésre. Legyenek r 1, r, r 3,..., r n a q töltéstől a pontokhoz mutató vektorok. Osszuk el mindegyik ilyen vektort a hosszával: r 0 1 = r 1 r 1, r0 = r r, r0 3 = r 3 r 3,..., r0 n = r n r n. Ekkor a {Q 1,Q,Q 3,..., Q n }, a térben különböző pontokba elosztott töltésrendszer a q töltésre ( F = k Q 1 r1 r 0 1 k Q r r 0 k Q 3 r3 r 0 3 k Q ) n rn r 0 n q. (7) elektromos erőt fejt ki. A q töltésre ható erő két tényező szorzatára bontható. Az egyik tényező a {Q 1,Q,Q 3,..., Q n } pontszerű töltések összességére és ezek térbeli elhelyezkedésére jellemző, a másik tényező aq töltés. Lépjünk tovább az általánosításban! Induljunk ki abból, hogy egy elektromos állapotú test erőt fejt ki egy pontszerű próbatestre. Ekkor a pontszerű testre ható elektromos erő két tényező szorzatára bontható: az egyik tényező csak a próbatestre jellemző, ez ugyanis a próbatest töltése, a másik tényező pedig nem függ a próbatesttől, csak az elektromos erőt kifejtő töltéseloszlás függvénye. Így a q töltésű próbatestre ható elektromos erő: F = E q, itt az E vektormennyiséget elektromos térerősségnek nevezzük. Az elektromos térerősség az egységnyi pozitív töltéssel rendelkező próbatestre ható elektromos erő. Mértékegysége a newton/coulomb (N/C). Egy nagyméretű elektromos állapotú test környezetében valamely X pontban egy m =g tömegű q =μc töltésű pontszerű testre a 6. ábrán látható módon az x-tengellyel párhuzamos 0, 3 N nagyságú F elektromos erő hat. Határozzuk meg az X pontban az elektromos térerősséget! Számítsuk ki a test gyorsulását! (8) 6. ábra. A feladat megoldása nagyon egyszerű: az X pontban a q =μc töltésű testre F =0, 3 N nagyságú elektromos erő hat. Innen látszik, hogy ebben a pontban az elektromos térerősség nagysága E = F q = N C, és a testre ható erővel egyirányú. (A kis test az elektromos térnek ebben a pontjában a = F m gyorsulással mozog.) = 150 m/s A (8) egyenlet általánosítása a (6) egyenletnek, és így természetesen a Coulomb-törvénynek is. Tegyük fel ugyanis, hogy Q töltésű test elektromos erőt fejt ki a q töltésű próbatestre. Ha a köztük lévő távolság r, akkor a fellépő erő nagysága: F = k Q r q, 10

11 a Coulomb-törvény szerint. A próbatestre ható erő a két töltést összekötő egyenes mentén hat. A (8) egyenlőség jobb oldala a k Q mennyiségnek és a próbatest töltésének szorzata. Pontszerű Q töltésről r r távolságra tehát E = k Q r a térerősség nagysága. Ebben az esetben a térerősségvektor a Q töltést és a próbatöltést összekötő egyenessel párhuzamos, és a Q töltésű pontszerű test felé mutat, ha Q < 0, és az ellentétes irányba, ha Q>0. Figyeljünk fel arra, hogy a távolság növekedésével a térerősség rohamosan csökken. Ha egy r sugarú gömböt képzelünk el, amelynek a középpontjában van a tér forrása, akkor a gömb felületén mindenütt azonos nagyságú a térerősség, és a gömb felületére merőlegesen vagy befelé, vagy kifelé mutat. Ha gondolatban a gömböt felfújjuk úgy, hogy a forrástöltés továbbra is a középpontban marad, akkor a nagyobb sugarú gömbfelületeken kisebb a térerősség nagysága. Minél nagyobb a gömb felülete, annál kisebb a térerősség. A térerősség és a felület fordítottan arányos egymással, hiszen a térerősség r -tel fordítva arányos, a gömb felülete pedig r -tel egyenes arányban változik: E = k Q r, A =4r π. Szorozzuk most össze ezt a két egyenlőséget, azt kapjuk, hogy EA =4r π k Q r =4πkQ, vagyis az E és A valóban fordítottan arányosak: a gömb felületének és a térerősségnek a szorzata állandó. Vegyük észre az érdekes tényt: úgy adódott, hogy térerősséget (erőt) felülettel szoroztunk össze, ehhez a fogalomhoz természetes úton jutottunk, most azonban az EA mennyiséget szeretnénk általánosítani. Tegyük fel ezért, hogy adott egy A nagyságú felület. Osszuk fel ezt a felületet ΔA nagyságú részekre (7. ábra). Szorozzunk meg minden egyes ilyen felületelemet az elektromos térerősség felületre 7. ábra. merőleges összetevőjével és összegezzük. Az így kapott mennyiség az elektromos fluxus (jele Ψ): Ψ= E ΔA Az elektromos fluxus mértékegysége [Ψ] = N C m. Néha a felületet irányítani is lehet. Az egyik oldalát pozitívnak, a másikat negatívnak nevezzük. Egyszerű zárt felületnél ez általában úgy történik, hogy a térrész belseje felé mutató oldalt negatívnak, 11

12 a kifelé mutatót pozitívnak tekintjük. Egy önmagát nem metsző zárt görbére illeszkedő felületnél sem okoz ez gondot. Az irányíthatóság azonban általában komolyabb probléma. Mindenesetre tegyük fel, hogy a szóban levő felület irányítható, ekkor a E ΔA szorzatot pozitívnak tekintjük, ha az elektromos térerősség a felület pozitív oldalára mutat, és negatívnak, ha a felület negatív oldala felé irányul a térerősségvektor. Az elektromos erőteret erővonalakkal szemléltetjük. Az elektromos erővonal olyan képzeletbeli irányított térgörbe, amelynek érintője bármely pontban az elektromos térerősség. Az erővonalak irányát az erővonalat érintő térerősségvektor határozza meg (8.oldal). 8. ábra. Az elektromos erővonalak nem ágazhatnak el, nem metszhetik egymást. Ez magától értődik, hiszen a metszéspontban, az elágazási pontban nem lehetne a térerősséget egyértelműen definiálni. Statikus elektromos térben az elektromos erővonalak pozitív töltésből indulnak, és negatív töltésen végződnek. Előfordul, hogy az egyik töltést végtelen távolinak gondoljuk. Ha például a pozitív töltést a végtelen távoli pontokba gondoljuk, akkor azt mondjuk, hogy az erővonalak a végtelenből közelednek a negatív töltéshez. Ha a negatív töltés van a végtelenben, akkor úgy fogalmazunk, hogy az erővonalak a végtelenbe távolodnak. Statikus elektromos térben az erővonalak nem alkotnak zárt görbéket. Éppen azért, mert töltésből indulnak és töltésen végződnek. Milyen sűrűnek képzeljük az erővonalakat? Mivel szemléltetésről van szó, meglehetősen önkényesen járunk el. Állapodjunk meg abban, hogy az erővonalakra merőleges egységnyi felületen át annyi erővonalat rajzolunk, amennyi a felület középpontjában a térerősség számértéke. Például ha egységnyi mondjuk 1 m -es felület közepén a térerősség számértéke E =3, N/ C, akkor képzeletünkben 10 m -es felületen 3 erővonal halad át. Innen következik az elektromos fluxus szemléltetésének a lehetősége is: ha 1 m nagyságú felületen E számú erővonal halad át, akkor az A felületen EA. Az A felületen áthaladó erővonalak száma szemléletesen az elektromos fluxust jelenti. Térjünk most vissza a korábban említett egyszerű esethez, ahhoz, amikor egy pontszerű mondjuk pozitív Q forrástöltés egy gömb közepén helyezkedett el. Ennek a gömbnek a felületén az elektromos fluxus: Ψ=4πkQ. Ennyi erővonal indul ki a Q töltésből, és az erővonalak a gömb felületére merőlegesen a végtelen felé haladnak. Ha a gömböt nagyobbnak képzeljük, akkor azt is ugyanannyi erővonal döfi. De nem változik a felületet döfő erővonalak száma akkor sem, ha a forrástöltés nem a gömb közepén van, akkor sem, ha a gömböt kockává lapítottuk. Mi történik, ha a térrészbe egy másik töltést is elhelyezünk? Az elektromos erő szabaderő, zavartalanul összegződik. Zavartalanul adódnak össze az elektromos térerősségek is a felület bármely pontján. Ez azonban világos módon azt jelenti, hogy az egyik és a másik töltéstől származó fluxusuk összege megegyezik a két töltés összegétől származó fluxussal. Fogalmazzuk meg most az elektrosztatikában alapvető jelentőségű állítást: Az elektrosztatika első alaptörvénye (Gauss-tétel elektromos térre): Zárt felületen az elektromos tér fluxusa egyenlő a felületen 1

13 belül elhelyezkedő töltés 4πk-szorosával: Ψ= E ΔA =4πkQ. Szemléletesen így is fogalmazhatunk: ha zárt felületen belül Q töltés van bármilyen is a töltéseloszlás, akkor a felületet 4πkQ erővonal döfi. Ha Q pozitív, akkor az erővonalak elhagyják a felületet, ha Q negatív, akkor az erővonalak befelé döfik a felületet. Még egyszerűbben fogalmazva: Q pozitív töltésből 4πkQ erővonal indul ki, és Q negatív töltésen 4πkQ erővonal végződik (9. ábra). 9. ábra. Tegyük fel most, hogy adott egy vékony, egyenletes töltéseloszlású műanyag szál. A hosszegységre jutó töltése legyen σ, tehát L hosszú részén Q = Lσ töltés van. A száltól r távolságra elhelyezünk egy m tömegű, q töltésű pontszerű testet (10. ábra). A testre ható elektromos erő nagysága 10. ábra. F = Eq. Az elektromos térerősség pedig az erővonalakra merőleges, egységnyi felületen átmenő erővonalak számával egyezik meg: E = Ψ A Itt a fluxust a Gauss-törvényből ismerjük: Ψ=4πkQ =4πkLσ 13

14 ahol L a fonál hossza. Gondolatban rajzoljunk egységnyi felületet úgy, hogy merőleges legyen az erővonalakra, és a középpontjában legyen az m tömegű, q töltésű próbatest. Ez a felület egy hengerpalást része. A hengerpalást szimmetriatengelye az elektromos töltéssel rendelkező szál, az alapkörének sugara r, magassága L. Az erővonalak az elektromosan töltött szálat a szálra merőlegesen hagyják el, és a hengerpalást felületén merőlegesen hatolnak át. Ennek a palástnak a felülete: A =rπl. Az elektromos térerősség E = 4πkLσ rπl =kσ1 r. és így az elektromos erő F = Eq =kσ 1 r q, iránya merőleges a hengerpalástra. Ha két töltés azonos előjelű, akkor taszítóerő, ha ellentétes előjelű, akkor vonzóerő lép fel. Képzeljük el, hogy A felületű síklemez töltése Q, a töltéssűrűsége egyenletes: ρ = Q A. A lemezből jobbra és balra összesen 4πkQ erővonal indul ki. Az erővonalak merőlegesek a lemez felületére, és 11. ábra. egymással párhuzamosak, egyenletes sűrűséggel haladnak mindkét oldalon (jobbra 9 és balra) egyaránt Ψ =Ψ =πkq erővonala halad. A jobbra haladó Ψ fluxus és a rá merőleges felület nagyságának hányadosa az elektromos térerősség: E = Ψ A = πkaρ A =πkaρ. Így nyilvánvaló, hogy a q töltésre F = Eq =πkaρq elektromos erő hat. Ha Q és q azonos előjelű, akkor taszítóerő lép fel, az ellenkező esetben vonzóerő. 9 Az alkalmi jelölések a jobbra és balra haladó Ψ, Ψ fluxust jelölik. 14

15 Egy A =1m elektromos állapotú síklemezt egyenletes sűrűségű töltéssel láttunk el. A környezetében tőle 1 cm távolságban egy m =g tömegű q =μc töltésű pontszerű testre a 1. ábrán látható módon 0, 3 N nagyságú F elektromos erő hat. Határozzuk meg a síklemez elektromos töltését! A feladat megoldása nagyon egyszerű. Láttuk, hogy az elektromos térerősség szemléletesen szólva az egységnyi pozitív töltésre ható erő, tehát F = E q, másrészt az egységnyi felületen az elektromos fluxus, (szemléleten: az egységnyi felületen áthaladó erővonalak száma): E = Ψ A, azonban a Gauss-tétel szerint a Q töltésű lemezből (jobbra és balra összesen) Ψ=4πkQ erővonal indul ki, ennek fele jobbra, fele balra halad. Azaz: Ψ =πkq. Innen azt kapjuk, hogy E = πkq A = F q. A lemez töltése tehát Q = AF πkq = 0, 3 π =, C. Figyeljünk fel arra, hogy a pontszerű töltések között fellépő Coulomb-törvényt általánosításával meghatároz- 1. ábra. tuk egy elektromosan töltött síklemez és egy pontszerű töltés között ható erőt nagyságát. Ez az erő nem függ a két elektromos test távolságától, legalább is, ha ez a távolság kicsi a lemez éleihez képest, szóval mindaddig, amíg az erővonalak párhuzamosan haladnak. Ezért fontos az a kikötés is, hogy a lemez töltéssűrűsége egyenletes legyen. Ezt azzal lehet biztosítani, hogy a lemez szigetelő anyagből készül. Ha a lemez fémlemez, akkor a helyzet bonyolultabb. Illusztráljuk a Gauss-tételt egy harmadik példával! Tegyük fel most, hogy adott két párhuzamos síklemez, mindkettő A felületű, és a lemezek távolsága legyen d. A két lemezen egyenletes a töltéseloszlás, az egyik lemez negatív, a másik pozitív töltésű, a töltések abszolút értéke azonban egyenlő. Tegyük fel tehát, hogy a pozitív lemezen Q>0 töltés van, a negatív lemez töltése ( Q <0). A rendszer összes töltése így nulla! 10 Ez azt jelenti, hogy a lemezek rendszeréből nem távozik erővonal a végtelenbe. Az 10 A kondenzátor lemezeinek az összes töltése nulla. Amikor azonban azt mondjuk, hogy a kondenzátort feltöltöttük Q töltéssel, vagy azt, hogy a kondenzátor töltése Q, akkor ezen azt értjük, hogy a pozitív lemez töltése Q, és a negatív lemezé ennek ( 1)-szerese. Természetesen vannak olyan problémák, amikor a két lemez összes töltése nem nulla. Ebben az esetben ezzel a szóhasználattal nem élhetünk, azaz meg kell adni a két lemez töltését. 15

16 egyik lemezből kiinduló erővonalak mind a másik lemezen végződnek. Ezért az erővonalak csak a két lemez közötti térben találhatók (13. ábra). (Feltéve, hogy a lemezek lineáris méreteihez képest a lemezek távolsága kicsi. Különben a lemezek szélénél az erővonalak szóródásával kellene számolnunk.) A pozitív lemezből kiinduló erővonalak száma Ψ=4πkQ, 13. ábra. és ez megegyezik a lemezek közötti térrész fluxusával. A lemezek közötti tér erőssége ezért E = Ψ A = 4πkQ A. Ha például két lemez között egy q töltésű részecske van, akkor erre a részecskére F = Eq = 4πkQ A q elektromos erő hat. Az előző feladatban szereplő párhuzamos lemezpárt síkkondenzátornak nevezzük. A sikkondenzátor lemezei között az erővonalak párhuzamosak és mindeütt azonos sűrűségűek, ezért az elektromos térerősség nem függ a lemezektől mért távolságtól. A két lemez között bármelyik két pontban azonos az elektromos térerősség. A lemezeken kívüli tér pontjaiban elektromos térerősség nem észlelhető. Eletromos potenciál 16