Mérés és jelfeldolgozás

Átírás

1 Vázlt érés és elfeldolgozás Dr Pdul Zoltá érés hbá sttszt szemotból Alo Sőrőségfüggvé Eloszlásfüggvé Várhtó érté Szórás Sttszt mt Átlg tuldoság ormáls eloszlás Budest ősz és Gzdságtudomá Egetem Géészmérö Kr Hdrodm Redszere Tszé, Budest, őegetem r D é Tel: F: 6--9 htt://wwwvzgebmehu Vázlt Idıbe változó mesége folmtos mérése folmtráítás lfeltétele Kofdectervllum becslése Változó özt csolt Potozásos redszer eseté - rgorrelácó Legsebb égzete módszere Foszám meghtározás Illesztés óság Illesztett egees örül hb Wld módszer egees llesztés Illeszedés vzsgált v éredı meség A ÉRÉSI EREDÉY ALAKJA q { q} [ q] érıszám ( részbıl áll vlód érté, cs elmélet, mert h smeré, em ellee mérü Helette:, leolvsott, télegese mért érté h vg heles érté, melet vl szám módszereel becslü A legvlószíőbb várhtó érté (µ, vg z ezt legobb özelítı átlg ( A mérés cs or befeezett, h hbszámítást s elvégeztü! { h H ± } H smert redszeres hbá eredıe Elméletbe: H v Gorltb: H h δ µ δ Etlo mértéegség bzotl eredető, véletle hbá eredıe Bzotlság trtomá őszerövbe ± elıellel szerelı hb ÉRÉSI EREDÉY KORREKT EGADÁSA Eredmé EGYETLE ÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉ: Leolvsott érté H ± t s Eredı redszeres hb (orrecó Bzotlság, m z elárás és vtelezés hbár vezethetı vssz (Szőebbe értelmezve mőszer bzotlság egbízhtóság (vlószíőség szt ftor

2 ÉRÉSI EREDÉY KORREKT EGADÁSA Eredmé TÖBB ÉRÉSI SOROZAT ELVÉGZÉSE ESETÉ A TÍPUSÚ BECSLÉSSEL: Sorozto átlg átlg H ± t s H ± t Eredı redszeres hb s Átlg szórás egbízhtóság szt ftor EGJEEÍTÉSI FORA Abszolút hb Hbsz h Reltív hb mért érté h heles érté h Hrel mért érté százléáb h Reduált hb H érés hbá elölése (egszerősítés red h m Potosság osztál m H bsz v PO ± ± % m m H X H X h X X X otos érté sttszt mt, mért A mérés mu eredméét dötıe ét hbtíus befolásol : Redszeres hbá eredıe de mérés eredmét zoos módo terhel (Ismert, számíthtó Pl ullot, meredeség, lertás, hszterézs Véletle hbá Azoos örülmée özött eltérı eredmére vezet (Cs becsülhetı, o és gság smeretle Többször méréssel csöethetı -> sttszt módszere Továbbb CSAK véletle hbá A vlószíőség számítás törtéet áttetése 6 úl 9 Pscl eg Fermt-hoz írt levélbe vlószíőség számítás elsı tudomáos géő tárglás olvshtó 7 8 Az elsı vlószíőség defícó Beroull: A vlószíőség ol bzoosság fo, mel úg vszoul teles bzoossághoz, mt rész z egészhez Llce: Azoos vlószíőséggel beövetezı esemée eseté Kedvezı esemée szám P Összes lehetséges esemé szám 8 9 Guss, Posso, rov stb A legfotosbb véletle folmto és vlószíőség eloszláso uttás 9 Kolmogorov A vlószíőség elmélet hlmzelmélet loo ugvó omtus meglozás A vlószíőség e szert eg eseméhlmzr ormált mérté Teredelem Gorság Eg dott otos értéhez (l mudrb mérete többször mérést végzü eghtározzu teredelmet: I m m m m X otos érté I teredelmet felosztu blról zárt, obbról tott (htárot hele egértelmő résztervllumor em feltétel, hog mde zoos hosszú lege (em ell evdsztás felosztás eghtározzu résztervllumob esı eleme számát: Ez gorság: ν Illetve reltív gorságát: ν ν

3 Gorság Gorság ν ν Láthtó, hog ésszerőbb lesz ν/ ábrázolás, mert övelésével z ordát z egebe ı! r r Gorság ábrázolás Gorság öveedı elemszámml em hsolíthtó össze ν ν Reltív gorság Jól ezelhetı, összehsolíthtó mérése H em evdsztás eloszlás, em láthtó, hog hol mle sőrőséggel tlálhtó ν/ Reltív gorság teresztése Reltív gorság: ν Osszu el z dott tervllum hosszávl, lege ez z ordát: f ( ν Grfo ltt terület: ν ν f ( ν -d tervllumb esés reltív gorság: ν f ( Több tervllum: f (

4 Tsztlt sőrőségfüggvé Vlószíőség f( 8 6 tszámot övelve ( reltív gorság gdoz eg szám örül Ez -d tervllumb esés vlószíősége, ele: P P tszám öveedésével csöe z eltérés 6 P Vlószíőség és tuldoság Vlószíőség változó Bzoos esemée beövetezéséhez trtozó számérté, Lege z esemé ele: : Tuldoságo: P( A P( I bztos esemé Egmást ároét záró esemée összegée vlószíősége megegez vlószíősége összegével P A [ b A, P( A h A A Eg rögzített tervllumb esés vlószíősége, esemétér elemehez redelt számérté Jelölés: görög s betőel, l: Lehet: Foltoos (l mérés eredmé, érezés dı, élettrtm Dszrét (l telefohíváso szám, meghbásodás Eloszlásfüggvé Változó ellemzésére szolgál: Itervllumb esı dtoál Tuldoságo: (vázltos ooto [, b] P( F < P( < em feltétle foltoos dfferecálhtó (törése em feltétle foltoos (ugrás blról foltoos F < < b b Eloszlásfüggvé vlószíőség változó F( eloszlás függvée zt d meg, hog mle vlószíőséggel vesz fel -él sebb értéet F P( < Tuldoság mooto övevı, F(, h lm F( b lm F c d Blról foltoos F >

5 Eloszlásfüggvé Sőrőségfüggvé defálás eloszlásfüggvéel Az A esemé eletse zt, hog értéére feáll P( A P( < b F ( b F( < b ; eor sőrőségfüggvéée evezzü z f( függvét, h F( eloszlásfüggvé dfferecálhtó és: df f d F( b P( < F( P( < < b F( b F( P( < b F( b ebbıl övetez f F ( t dt Sőrőségfüggvé Sőrőségfüggvé Tuldoság: f Korább felrzolt f ( tsztlt sőrőség-függvé (hsztogrm fomítv felosztást f ( f( h (em overgec f d f ( b 8 / 8 sőrőségfv fom felosztás durv felosztás 6 b F(b F( b f (d Péld Testmgsság reltív gorság Vegü testmgsságot mt vlószíőség változót emberbıl álló csoorto ν Homogé eloszlás Kevert eloszlás F ( f ( } m m ν 9

6 Testmgsság hsztogrm Testmgsság Eloszlás f( F m m ν 9 7 f ( ν m m ν 9 f ( F ( f temt sttszt ltétele Várhtó érté Glveo tétel: öveedésével z F ( emrus eloszlásfüggvé z egész számegeese egeletese trt z F( elmélet eloszlásfüggvéhez: P lm su F < < F A várhtó érté vlószíőség változó gdozásá özee } f ( ν ν ν ν T f ( ν ν ν Itervllum de egérdezette dee ν f ( f d Várhtó érté Várhtó érté Várhtó érté Sőrőségfüggvé ltt terület súlot, mert S T f d s ( T f d } f ( Tuldoság Addtív ( ( ( ( ( Kosts várhtó értée ömg Leárs várhtó értée b;, b osts ( ( b ( b 6

7 7 Várhtó érté Áltláosítv: h és függetlee: Várhtó érté Lertás b b b b ( ( (, ; osts b b b b b b,, :,, : K K Várhtó érté Addtívtás (vázltos ζ ζ,,,, :,, : K K K Átlg várhtó értée A várhtó érté becslésére szolgál z átlg Az átlg várhtó értée s eresett érté!?,, : K K Szórás A vlószíőség változó várhtó értée örül gdozását, szóródását mér szórás, ee égzete szóráségzet Átlgos égzetes eltérés szóráségzet A szóráségzet oztív égzetgöe szórás [ ] ( osts ( ( ( ( ( D D σ σ Szórás Tuldoság: H vlószíőség változó szórás létez, or z trszformált vlószíőség változó szórás H és függetle σ σ σ ( ; D b D D D ; ; σ σ b D D D D D

8 Összeg szórás Szórás tuldoság ; σ ; σ függetle!!!! ( D ( D ( D [ ] [ ] D ( ( ( (( ( ( [( ( ( ( ( ( ( ( ] [( ( ] [( ( ( ( ] ( ( ( D ( [ ( ] [ ( ] [ ] Függetleség Szórás számítás: Szórás számítás sőrőségfüggvébıl: D ( ( ( [( ( ] [ ( ( ] ( ( ( ( ( ( D ( f ( f ( f d f d d d Tsztlt szóráségzet Korrgált tsztlt szóráségzet drb mtelem, átlg: s s Ksebb mt esetébe σ obb özelítése Lásd szóráségzet defícóát! Értée mdg Testmgsság Sttszt mt A sttszt vzsgált tárgát éezı egede összességét sttszt soság evezzü f A mtvétel zt elet, hog sttszt soságból számú egedet véletleszerőe válsztu Átlg: Szórás: A mt zoos eloszlású, függetle vlószíőség változó sorozt A mt vzsgáltá eredméébıl öveteztetü soságr 8

9 Sttszt mt grázt: rerezettív, összetételébe évsele helese soságot, melbıl vetté ( soságévl megegezı, zoos eloszlás, mteleme egmástól függetle vlószíőség változó (függetle, A mt mérete: elegedıe g hhoz, hog mt lá levot öveteztetése hszálhtó legee (ésıbb tárglu mtellemzı: átlg, tsztlt szórás, tsztlt eloszlás és sőrőségfüggvé A g számo törvée Beroull (7 g számú ísérlet eseté reltív gorság trt z esemé vlószíőségéhez ísérlete szám edvezı esete szám, z esemé vlószíősége lm P( < ε A g számo törvée g számo törvée ε { ε { lm P ( < ε Sztochsztus overgec Átlg és várhtó érté csolt,, st m Átlg drb mtelem _ Az átlg várhtó érté becslése Az átlg vrcá (szóráségzete és szórás: Eze vlószíőség változó ár átlgo s lehete! D D s Az átlg szórás D s sorozt szórás: s Eg elemő mérés D D ( D ( [ ] D D ( D ( D ( s Átlg sőrőségfüggvée Sorozt sőrőségfüggvée Az átlg gdozás 9

10 Az átlg várhtó értée és szórás σ _ ( ( σ H eg mérés soroztból rom megbecsül z X smeretle gságát, or ee legobb becslése z átlg, mert várhtó értée eresett X, és h övelem z elemszámot, szórás trt -hoz Tsztlt eloszlásfüggvé Az eloszlásfüggvé defícó: F( P( < Hog becsülhetı (özelíthetı mtából? Redezett mt:,,, elemő mt,, elemő redezett mt Tsztlt eloszlásfüggvé Tsztlt eloszlásfüggvé P(< özelítése / reltív gorság z -él sebb mteleme szám <,,, A tsztlt (emrus eloszlásfüggvé ol lécsıs függvé, mel mde eges mtelem helé /-et ugr (H több ( mt elem egbees, or z ugrás / Lécsısfüggvé Tsztlt sőrőségfüggvé Kofdec tervllum A sőrőségfüggvé: A várhtó érté becslése z átlg f ( b f df d Tudu, hog _ st ( X b P( b f (d b Becslést ru d z eltérésre: (?

11 ^ Kofdec tervllum Kofdec tervllum Kofdec tervllum Kofdec tervllum X X ( Kofdec tervllum Kofdec tervllum Jelöle: Keresem értéét ( X X Az tervllum véletle helzető, cs z esemé vlószíősége dhtó meg: P( X P( X Szvb: Az átlg örül rzolt sugrú tervllum, mel dott vlószíőséggel trtlmzz z X várhtó értéet Kérdés: Adott -hez? szgfc szt

12 Kofdec tervllum Redezés: P( X Osztás: σ σ változó szórás ( smer ell! mérése szám X P( σ σ σ Kofdec tervllum Jelöle: X λ és σ σ Ezzel elöléssel: P( λ λ ormáls eloszlás ormáls eloszlás Az X vlószíőség változó ormáls eloszlást övet - vg rövdebbe ormáls eloszlású - otos or, h sőrőségfüggvée Sőrőségfüggvé: Hsztogrm és sőrőségfv hol m, σ R, σ > Jelölés: Eloszlásfüggvée: A ormáls eloszlást szotá Guss-eloszlás s evez Stdrd ormáls eloszlás Stdrd ormáls eloszlás sőrőség és eloszlásfv Secáls: h X (,, or X-et stdrd ormáls eloszlású (vg sztederd ormáls eloszlású evezzü

13 ormáls eloszlás ellemzı Sőrőségfüggvé: Eloszlásfüggvé: Szmmetrus (, otr < φ φ ( φ Φ Φ Φ ormál eloszlás A sttsztáb legfotosbb és leggrbb llmzott eloszlás A ormáls eloszlás göbéét elıször eg frc mtemtus, Abrhm de ovre fedezte fel és özölte le 7-b A ormáls eloszlást tudomáos ét mtemtus-csllgász, frc Perre-Smo Llce és émet Crl Fredrch Guss lozt meg Többe úg vél, hog Llce hozzáárulás ormáls eloszlás tuldoság tsztázásához eletısebb volt, mt Gussé égs Guss utá evezté el ormáls eloszlást Guss eloszlás, mutá Guss volt z elsı, ormáls eloszlást égteste mozgásár llmzt A természetbe, z orvostudomáb go so mért rméter ormáls eloszlássl írhtó le, mt éldául z egée mgsság, véromás, súl, stb A ormáls elevezés s rr utl, hog mért dttól ezt váru, mert ez természetes vseledésü ár 989-be émet Szövetség B ol márás beget bocsátott, mele Guss ée mellett stdrd ormáls eloszlás sőrőségfüggvéée grfo, és élete s láthtó Ez beg - g volt forglomb, mor émetország áttért z Euror Glto desz bomáls eloszlás Kofdec tervllum Kofdec tervllum Jelöle: X λ és σ σ Ezzel elöléssel: P( λ λ Tudu: ( X,σ Ezzel: X σ σ X, (, (stdrdzálás

14 ormáls eloszlás Guss eloszlás Stdrd ormáls eloszlás függvée (, Φ (- λ Φ( Φ ( λ Φ ( λ Φ ( λ Kofdec tervllum P λ λ Φ λ Φ λ Φ ( λ Φ ( λ Adott -hez λ megtlálhtó Allmzás dott elemő mt és szgfc sztet válsztom 9%9 Ismert, hog tából számítom, hog 97 σ mm mm φ( λ λ 96 Stdrd ormáls eloszlás függvée - éld Φ ( λ 6 Φ( (, Φ (- λ Allmzás λ 96 σ σ mm Az eredmé megdás: X ± % X ± mm 9%

15 Vlós eset elıre em smert szórás Vlós eset elıre em smert szórás H σ em smert Becslés: s ( Az összefüggésébe ezzel feezéssel becsülü szórást s X em ormáls eloszlású vlószíőség változó s és mtt Vlós eset elıre em smert szórás Ismert és elıre em smert szórású eset összehsolítás Bzoítottá, hog Studet eloszlású vl változó (WGosset; Guess So & Co Ezértλλ st Studet eloszlás tábláztából ereshetı meg λ λ, st st A szgfc szttıl és (mérése szám - ( szbdság fotól függ Hsolítsu össze λ és λ st értéet: Azoos szgfc szthez: λ < λ st ( gobb bzotlság Azoos szgfc sztél eseté λ st λ Számértée: 9% λ 96 λ st Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Q cm ford, 7, Q cm ford, 7, Q Q,,

16 Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Q cm ford, 7, Q Q, cm ford Q cm ford, 7, Q s, cm ford ( Q Q,, Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Q cm ford, 7, Q s, cm s,8 cm ford ( Q Q ford Q cm ford, 7, Q, cm s,8cm 9% ford ford,, Allmzás: (csvrszvttú geometr szállítás Q, cm ford s,8 cm 9% ford, λ 9 st,8,8,,9 Q,,9 Q, ±,7 cm ford 9% Kofdec tervllum - összefogllás Kofdec tervllum szeresztése: P( X Adott -hez eresem -t H szórás smert: σ Φ( λ λ λ H szórás em smert: λ λ, s,,- st st s 6

17 Péld Péld Közvetle mérés eredméet mutt övetezı számsor: 7; 8; 97; 8; 87 Ad meg mérés eredméét z átlg és 9%-os szthez trtozó hborlát láb b Fogdu el, hog z otb számolt orrgált tsztlt szórás ó becslése szórás Ee lá számol, hog há mérést ell végeze hhoz, hog reltv hborlát % lá süllede λst (, ( s s λst ( - átl s s ls λ St X ( - átl ± % IVERZT(; % Péld - folttás Becslés Próbálgtás: X 86 ± % ás megoldás Felülrıl becslem l: λ ( 9%, St κ s λ ( 9%, St s κ, h > s s κ κ s κ 6 [ % ] [ % ] 86 [ % ] λ(9%, % A becslés z eloszlás eg rméterét özelít Torzíttl becslés Kozsztes becslés Torzíttl becslés Keresett rméter: Becsült rméter: α H ( α A várhtó érté torzíttl becslése z átlg: ( ( ( m m Kozsztes becslés α, α α z α,, becslés sorozt ozsztes, h sztochsztus trt z -hoz 7

18 Változó özött csolt vzsgált V-e csolt változó özött? (éldá: fzetés-távolság; felvétel otszám - görgetett átlg Felvétel otszám-görgetett átlg felvétel otszám görgetett átlg JF 7/8 II félév Kérdése: Felvétel otszám Görgetett átlg V-e csolt változó özött? (éldá: fzetés-távolság; felvétel otszám - görgetett átlg Válsz: orrelácós egütthtó A csolt létezése dott (l fz, eressü csolt özelítı mtemt lát Regresszó-lízs ( l legsebb égzete módszere Korrelácós egütthtó Korrelácós egütthtó Adott ét változór votozó megfgelés-sorozt:,,,, Átlgot számolo és felrzolom A tegelere mérem: ( ( ( c 8

19 Korrelácós egütthtó Korrelácós egütthtó A oto tedecá c < c > c > c < C ( ( C > Korrelácós egütthtó Korrelácós egütthtó A oto tedecá ( ( C < C Kovrc Kovrc: S ( ( Hsoló szóráségzet feezéséhez Egeletese elosztott esetbe zoos oztív és egtív érté, Sttsztlg: S ( ( ( Problém: függ z érté mtszámtól és z értéetıl s De: S D ( Osszu el szórássl Korrelácós egütthtó C függ megfgelése számától: z változó szórásától: s s ( ( ρ(, s s tsztlt orrelácós egütthtó ( ( ( ( s s 9

20 Tsztlt orrelácós egütthtóból orrelácós egütthtó: A orrelácós egütthtó tuldoság: ( ( ρ(, s s szmmetrus: értée: lertás: (, r(, r (, r ( ( ( r(, σ σ r (, ± b H értée ±, or ét változó özött csolt leárs r r, ± b A orrelácós egütthtó defícóából: (, r Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás (, ( ( ( ( σ σ σ σ Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Ezzel: ( σ és σ Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Belátu, hog σ ( σ ( σ Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Belátu, hog D D D σ D σ

21 Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás tudu: ( ( D ( Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Hsoló módo láthtu, hog D és Íg: Ktu, hog ( Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Eddg tu: Vzsgálu meg: ( ( feltétel szert? ( ( ( ( Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás σ σ σ σ σ σ b Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Eddg zt láttu, hog:, ± r b Vsszfelé s gz: b A bzoítás sol egszerőbb: Idulás orrelácós egütthtó defícóából: r (, ± Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás r (, ( ( ( ( σ σ Tudu, hog: b ( b ( b A szórás: σ D ( b σ A várhtóérté:

22 Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Behelettesítü é összefüggéseet def-b: r r (, (, ( ( ( ( σ σ ( ( ( ( b b σ σ Korrelácós téezı leárs csolt bzoítás Ku: r r (, (, ( ( ( ( σ σ ( ( σ Korrelácós téezı tuldoságo Eddg zt láttu, hog r (, ± b A orrelácós egütthtó leárs csolt szorosságát mér H orrelácós egütthtó zérus: orreláltlo változó H orreláltlo és ormáls eloszlású, or függetlee R < -6 erıtle csolt R 7- fooztos erısödı leárs összefüggés Korrelácós egütthtó várhtó értée és ofdec t Korrelácós egütthtó: Tsztlt orrelácós eh: Torzított becslés: Kofdec tervllum: ( ( ( r(, σ σ ( ( ρ(, s s r ( r ρ r ρ ρ ( ρ ρ ± λ Korrelácós téezı - elleéld Felvétel otszám-görgetett átlg Lege egeletes (-,-be c < c > A csolt determsztus, fucoáls, mégs orrelácós egütthtó zérus felvétel otszám ρ6 8 - görgetett átlg

23 JF 7/8 II félév Korrelácós egütthtó - éld Felvétel otszám Elem: Évfolmátlg: Szórás: 8 Fel otszám átlg: Szórás: 7 Kofdec tervllum átlg 7 otszám 69 Ebbe %-os Évf átlg: 86% Felv otszám: 8% Korrelácó: 9 Várhtó értée: 9 Kof tervllum: r9± Görgetett átlg, véletle számo z,w függvécsolttl Korrelácós egütthtó: z w? ρ ρ ρ ( ( z ( w, 8,, 8 ár vízfogsztás - hımérsélet Ecel függvée ormáls eloszlás eloszlásfüggvé má ú úl ug má-ug 7 7 r(q-tm r(q- T r(q-cs,6,6 -,76,79,7 -,78,6,9 -,79,8,77 -,,69,7 -,6 R(q-Tm-Cs,8,8,8,8,7 Stdrd ormáls eloszlás eloszlásfüggvé Ecel függvée - ovrc

24 Ecel függvée orrelácós egütthtó Serm féle rgorrelácó A megfgelt ét változó dszrét (l sorred, rgsorolás szubetív Kérdés: v e csolt ét sorred özött (hog értéel zsőr? Rgszám: sorb redezzü z dtot Rgszám sorb-redezett elem sorszám Serm féle rgorrelácó orrelácós egütthtó rgszámo özött Serm féle rgorrelácó Serm féle rgorrelácó - tuldoságo t: A B C D rgszám rgszám Rgszámo ülöbsége: d - Serm féle rgorrelácó: 6d ( r H ét sorred zoos: r H ét sorred egmás elletette: r - H em so özü v egmáshoz: r ~ Serm féle rgorrelácó - éld Borversee vgu Adott féle bor Jelölü ıet egszerőe betőel A ét zsőrtg más-más edőt tlál obb Hsolítsu össze ott, mele ée láthtó A rgszámot vou egmásból (d Helettesítsü be Serm-életbe Serm féle rgorrelácó - éld Behelettesítés: 6d ( r ( ( 6 r

25 Serm féle rgorrelácó - éld r -át tu eredméül Íg zt láthtu, cs csolt ét zsőrtg vélemée özt Úr ell óstol Korrelácós egütthtó - Összefogllás Korrelácós egütthtó ( ( ( r(, σ σ A változó özött leárs csolt szorosságát mér Legfotosbb tuldoság: r (, ± b Serm féle rgorrelácó Legsebb égzete módszere Két sorred (sorb redezett mt összehsolításár szolgál Al-ötlet: Krl Fredrch Guß (777-8 Rgszámo ülöbsége: d - vlószíőségszámítás háttér: Adre rov (86-9 6d ( r legtöbb rogrmcsomg beéített elárásét trtlmzz H ét sorred zoos: r H ét sorred egmás elletette: r - Legsebb égzete módszere A változó özött csolt (legegszerőbb esetbe leárs: o Legsebb égzete módszere, érés oto: { } Cél: mérés sorozt lá meghtároz z o és rmétere becslését α és α o Potos érté becslés

26 Egees: Legsebb égzete módszere Legsebb égzete módszere Számolu mérés ot és z egees függıleges eltérését: δ α o α δ ( α α J o Legsebb égzete módszere Legsebb égzete módszere Az eltérése égzetösszege: D D Keressü égzet-összeg mmumát: Az α α α α α o, ( α, α D( α, α o α o szert dervált: és o o α ( α α o Az α szert dervált: ( α α o Egszerősítése és redezés utá étsmeretlees leárs egeletredszert u: α o α α o α Legsebb égzete módszere Legsebb égzete módszere Jelölü: és Az elsı egeletbıl: Az egeletredszer megoldás: α ( ( ( α α ( α α o α α $ $ o Az egees átmeg othlmz súlotá 6

27 Guss rov tétel Az és változó özött olomáls függvécsolt v: Az értée otos, z mérés eredmée ; ormáls eloszlású, ull várhtó értéő véletle hb terhel (, ( σ ε ε,,,, mérés eredmée függetle vlószíőség változó (, Guss rov tétel A Guss-rov tétel állítás: legsebb égzete módszerével becsülü z smeretle rmétereet (z α o, α, α értée becslés α, α,,α, or (α o, (α, (α Az állítás tovább része: s s ( σ torzíttl becslése α Guss rov tétel Bzoítás (u úg mt z egszerő esetbe: Guss rov tétel egelet, smeretlees leárs egeletredszer: mlzálu égzet-összeget: D ( αo, α,, α α A mmum loáls, helét rcáls dervált ull hele d Derválu α szert (,, : D α α α,,, Vegü mdét oldl várhtó értéét: α,,, Hszálu, hog: ( Guss rov tétel Legsebb égzete módszere elıe α,,, Ez cs or gz bármel és értére, h ( α,,,, módszer elteredt, mde mtemt - sttszt rogrmcsomg trtlmzz felhszáló-brát feldolgozásb Formáls z s tud hszál, em smer mtemt hátteret, gz mrd tétel or s, h függvécsolt l: ϕ tt telese smert függvé ϕ 7

28 Legsebb égzete módszere - hátráo Az elsı feltétel: vzsgált változó özött csolt olomáls em olomml özelítü, hem vzsgált csolt olomáls Ez feltétel mősz gorltb szte soh sem trthtó be H folmt leírás özelítı, or legsebb égzete módszere özelítést özelít Legsebb égzete módszere - hátráo A másod feltétel: z eg változót otos, mérés hb cs más változót terhel Ez mősz gorltb rtá fordul elı A gorlt esete zömébe mdét változót hb terhel A feltétel-elemzés eredmée: tétel mtemt feltételet mősz oldlról legrtább esetbe tudu betrt Íg z értées sttszt állítást s cs rtá tudu hszál Az esete többségébe ert özelítı függvét cs vzuáls tudu értéel Legsebb égzete módszere ϕ mlzáldó függvé: ϕ D telese smert függvé αϕ ( Keresem becslését (α, szélsıérté roblém, l eg rsz D ϕ α αϕ ( ( Legsebb égzete módszere - llmzás A változó özött csolt: α? Adott megfgelése eredmée: 99 Felrzolu otot: Legsebb égzete módszere - llmzás Legsebb égzete módszere - llmzás Becslés legsebb égzete módszerével: ( α α Derválás: ( α 8

29 Legsebb égzete módszere - llmzás Legsebb égzete módszere - llmzás Redezés: 6 6 α α Eredmé: α 8 6 Legsebb égzete módszere - llmzás Legsebb égzete módszere - llmzás érés eredmée ásodfoú olom Hád foú olomot válsszu? Legsebb égzete módszere - llmzás Legsebb égzete módszere - llmzás Hrmdfoú olom egedfoú olom 9

30 Legsebb égzete módszere - llmzás Hog ell foszámot megválszt? ódszer: Rlsto Közelítés elsıfoú olomml, α, α egütthtó meghtározás rdó szóráségzet: s ( αo α Ötödfoú olom Ugíg másodfoú özelítésre: α, α, α rdó szóráségzet s ( α α α Hog ell foszámot megválszt? Korrelácós de rdó szórás változás Dszrét oto, összeötés változás tedec ól láthtóvá tétele Htár: hol eletıs csöeés léett fel mrdó szórásb Esetübe! mrdó szórás 6 foszám érés sorozt: Közelítés: Jelölés: Korrelácós de: Tsztlt orrelácós de: Jó özelítés: I (,,(, ( f (, o,,, r Ecelbe tredvolhoz R elöléssel, H (,, Y,,, (,, ( ( D ( H Y I( H, Y D ( H ( ( H, Y ( ( Korrelácós de - Péld Legsebb égzete módszere - mgrázt h ( q q q q q q Vssztérü elölt egelethez: α,,, q Közelítés fo hrmd eged ötöd Kfetü ezt formát: Guss féle ormálegelete:

31 Guss féle ormál-egelete: α,,, Guss féle ormál-egelete: és megfgelésebıl dott, szummá számíthtó α α α α α α α α α α α α Az smeretlee z α, α,, α egütthtó smeretle, egelet, megoldhtó Amor vlmel rogrmcsomgb olom llesztést htu végre, or háttérbe ee z egeletredszere megoldás zl le Legsebb égzete módszere - összefogllás A módszer cél: egelítı függvé llesztése hbávl terhelt megfgelésehez Számítás módszer: egelítı függvé és megfgelése özött δ eltérést számítom és mmlzálom ezeet égzetösszegét Elı: mde eresedelm rogrm-csomgb észe áll z llmzásr Hátrá: o cs z eg változó hbáát ezel, o sttszt tétel feltételet gr em tudu betrt (vzuáls értéelés Wld módszer Abrhm Wld moder mtemt sttszt eg meglozó, 9-be Kolozsvár Prst Fıgmázumb érettségzett, Ameráb dolgozott Cs egees llesztés Résztervllumor botás Khszálu LK módszerél bemuttott tuldoságot: eresztül meg súloto Wld módszer, érés oto: { } Wld módszer Két részcsoortr botu otot dettı súlotát ( és átlgo meghtározzu A ét súlot lehetıleg ó távol lege egmástól Az llesztett egees rátgese ét súlot összeötésébıl dód

32 Wld módszer érés oto: {, } Wld módszer A ott egeest eltolu z egész othlmz súlotáb Súlot Súlot Wld módszer Wld módszer éld Egees: Egees meredesége: Átmeg súloto: Ebbıl: b b b Allmzz Wld módszerét z lább othlmzr llesztett egees és b egütthtó meghtározásár! Wld módszer - Wld tl - tl -86 tl tl 779 tl -8 tl 67 átl átl átl átl átl b átl 998 Péld: Legsebb égzete módszere Allmzz LK módszert z lább othlmzr llesztett egees és b egütthtó meghtározásár!

33 Péld: Legsebb égzete módszere Péld: Legsebb égzete módszere és α ( α α (- átl (- átl (- átl LK LK és Wld módszer összehsolítás egbízhtóság tervllum regresszós egeesre - LK Wld egvzsgálu, hog mere ó regresszós egees Bármel othoz regresszóvl: α α α értéét súlotból htározzu meg: Ezzel: α ( α α Rögzített mellett hog észíthetı megbízhtóság tervllum -re? Bzoítottá, hog: α és függetle vlószíőség változó Számolhtu várhtó értéet és szórást egbízhtóság tervllum regresszós egeesre Várhtó érté: Potos értéel egez: becslés torzíttl ( ( ( α ( α ( α ( α ( ( α α ( α ( α ( ( egbízhtóság tervllum regresszós egeesre ( D ( ( D ( α Szóráségzet: D, em terhelt hbávl (LK ( α meghtározás: α ( Kell α szóráségzete: ( D σ D α D ( ( ( ( σ D α (

34 egbízhtóság tervllum regresszós egeesre egbízhtóság tervllum regresszós egeesre Szóráségzet: Szórás becslés ( rméter becsült!: D D ( D ( ( D ( α σ ( σ ( σ s ( ( α α átl ( - átl ( - átl Kofdec tervllum ( szgfcszt mellett: α ( Y < α t D( α t D α érés dto Súlot Regresszós egees t Studet eloszlásból 6 7 Regresszós egees - éld Regresszós egees - éld átl ( - átl 9 9 ( - átl ( D ( td( érés dto Súlot 7 s 9 Hbsáv Regresszós egees 99 Studet 78 (9%, 6 7 Kofdec sáv l - lehet z o? Két tg göel ltt: ( ( ( t D t σ Kosts eltérés súlotál Súlottól vló távolságtól függı tg egees szöghb Kofdec sáv l - lehet z o? Vzsgálu meg másod tg hbá mt elehet Ez volt α szóráségzete érés dto Súlot Hbsáv Regresszós egees Szórássl terhelt meredeség 6 7

35 Péld Wld módszerrel ugez Péld Wld módszer átl átl átl átl átl átl érés dto Teles súlot Súlot m b Súlot Illesztett egees 6 7 Wld LK összehsolítás Cetráls htáreloszlás tétel 9 8 Az drb függetle vlószíőség változó összegée eloszlás trt ormáls eloszláshoz: 7 6 érés dto Teles súlot Wld módszer m lm P( < Φ( σ Legsebb égzete hol 6 7 u Φ( e π du Cetráls htáreloszlás tétel f f f Péld: Lege egeletes eloszlású vlószíőség változó Allmzás Kérdés: Illeszedés vzsgált: χ rób szbálos-e dobóoc? (mde lár zoos vlószíőséggel es-e? Elmélet Adott r számú esemé A, A,, A r Egmást záró esemée: r r A I H o : P(A,,,r f dott

36 Illeszedés vzsgált: χ rób Illeszedés vzsgált: χ rób Lege számú ísérlet, A ν -szer, A ν -ször,, A r ν r -szer övetez be (gorságo r Sttszt: ( ν χ h-égzet r ( ν χ grázt: ν bomáls eloszlású, várhtó értée H H o gz, or ( e vesz fel túl g értéet, Bzoíthtó, hog szumm χ eloszlású vlószíőség változó, (r- rméterrel Illeszedés vzsgált: χ rób χ eloszlás tábláztából: Illeszedés vzsgált: χ rób Allmzás Elmélet (, χ χ ε rt r -ε szgfc szt r z esemée szám A rób: Kszámítu χ tuáls értéét H o hotézst elfogdu, h χ χ t rt Szbálos-e dobóoc? A, A,,A 6 6 H o : P(A /6,,,6 6 6 Adott r számú esemé A, A,, A r Egmást záró esemée: r A I H o : P(A,,,r r Illeszedés vzsgált: χ rób 8 ísérlet Dobás eredmée: ν ν ν ν 8 ν H : /6 /6 /6 /6 /6 r ( ν χ t ν 6 6 /6 χ t9 Lege 9% r6 χ Illeszedés vzsgált: χ rób χ rt(9%, χ t rt H (9% (, χ χ ε r rt -ε szgfc szt r z esemée szám A rób: Kszámítu χ tuáls értéét H o hotézst elfogdu, h χ χ t rt 6

37 Illeszedés vzsgált: χ rób egegzés: Az (r- rméterő χ eloszlás várhtó értée (r- H feállás eseté rób-sttszt eredmée megugttó, h χ tuáls értée özel v várhtóértéhez ásét: redszerese smételve róbát, χ tuáls értée várhtó érté örül gdoz Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté Adott F(-hez vló lleszedést vzgálu Kérdése: Hog defálu z eseméeet? Hog htározzu meg z eseméehez trtozó vlószíőségeet? (l ormltás vzsgált H F( telese smert (várhtóérté és szórás dott or tszt lleszedésvzsgált H mtából becsülü rmétereet: becsléses lleszedésvzsgált Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté Esemée és vlószíősége defálás,, mtából válszt legsebb és leggobb elemet: m m(,, m m(,, résztervllumor bot [ m, m ] tervllumot (mt tsztlt sőrőségfüggvé szeresztésél Az tervllumo szám lege r Az tervllum-htáro:,,,, r Esemé: z tervllumb esés eghtároz z eges rész-tervllumob esés gorságát: ν, ν,,ν r eghtároz z eges rész-tervllumob esés vlószíőségét:,,, r H : mt F( eloszlásból szármz A vlószíősége: F( -F( F( -F( Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté r F( r -F( r- Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté ormltás vzsgáltál: stdrd ormálsr trszformálu, hog tábláztot hszálhssu Pl becsléses esetbe: Φ Φ s s ert: P ( s s s P (, Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté s s s P s s Φ Φ ν és smeretébe rób végrehtás ug úg törté mt dszrét változó esetébe 7

38 Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Allmzás: Drboló gée mm hosszú drbot állít elı 7 drb ltrész hosszméretée megmérése utá hosszméret eloszlásá ormltását vzsgálu Átlgot és tsztlt szórást számolu (becsléses lleszedés-vzsgált: m m s 9 m m Itervllumo Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld v Z (Z K Résztervllumo htár: - -, mm, mm,, - 7 mm, 8 Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z K Itervllumo - - v Z -8 (Z K gorság z 6 87 s Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z K Itervllumo - - v Z (Z K A stdrd ormáls eloszlás tábláztából Φ Φ Z Z

39 Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z K Itervllumo - - v Z (Z K ( ν ( ν 7 K Illeszedés-vzsgált foltoos változó eseté - éld χ t88 χ eloszlás rmétere: (r--becsült rmétere szám8-- χ rt(9%, Ho (9% Összefogllás Teredelem, gorság, reltív gorság, tsztlt sőrőségfüggvé Vlószíőség, vlószíőség változó Eloszlásfüggvé, sőrőségfüggvé, tsztlt eloszlás és sőrőségfüggvé temt sttszt ltétele tsztlt és elmélet eloszlásfüggvé csolt Várhtó érté, átlg várhtó értée Szórás, tsztlt szóráségzet, orrgált tsztlt szóráségzet, átlg szórás Összefogllás Sttszt mt Átlg és várhtó érté csolt, átlg ó tuldoság Kofdec tervllum és becslése ormáls eloszlás, stdrd ormáls eloszlás, eloszlás- és sőrőségfüggvé tuldoság, Cetráls htáreloszlás tétele Torzíttl és ozsztes becslés Összefogllás Változó özt csolt vzsgált, ovrc és orrelácós egütthtó Serm féle rgorrelácó Legsebb égzete módszere, tuldoságo, regresszós görbe llesztés Foszám meghtározás: Rlsto módszere, orrelácós de 9

40 Összefogllás Guss-féle ormálegelete Egees örül ofdec tervllum szeresztése Wld módszere egees llesztésére Illeszedés vzsgált - χ rób