Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP ) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP-13358-98) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest"

Átírás

1 Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP ) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

2 Tartalom 1. Bevezetés 3 2. Kockázati modellek Egyedi kockázati modellek Összetett kockázati modellek Összetett Poisson-eloszlás Összetett Poisson-kockázatok kompozíciója és felbontása Összetett negatív binomiális modell Kockázati folyamatok alapvető modelljei Az összetett Poisson-folyamat A Poisson-folyamat dekompozíciója Születési folyamatok Összetett kárnagyság és kárgyakoriság modellek Eloszlások approximációja Összetett eloszlások meghatározása rekurzióval A klasszikus rizikófolyamat A csődvalószínűségre vonatkozó Cramer-féle integrálegyenlet A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése kiemelkedő e- gyedi károk esetén A Cramer-egyenlet megoldása speciális eloszlások esetén Az R Lundberg-kitevő becslése A csőd súlyosságának elemzése A csőd súlyosságának elemzése kiemelkedő egyedi károk esetén Martingálok alkalmazása Fordított martingálok alkalmazása Kockázati folyamatok felújítási modelljei A csődvalószínűségre vonatkozó integrálegyenlet A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése kiemelkedő károk esetén

3 7. Általánosabb kockázati folyamatok Cox-folyamatok A csőd valószínűsége függő növekményű folyamatokban A csőd valószínűsége véges időintervallumon Függelék Poisson-eloszlás Binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Negatív binomiális eloszlás Logaritmikus eloszlás Exponenciális eloszlás Gamma-eloszlás Pareto-eloszlás Lognormális eloszlás Eloszlások transzformáltjai Generátorfüggvény Momentumgeneráló függvény, Laplace-transzformált

4 1. Bevezetés Jelen jegyzet az ELTE TTK matematikus szakán már évek óta folyó biztosításmatematikai órák anyagának a József Attila Tudományegyetem Bolyai Intézete által vezetett TEMPUS project alatt a JATE, KLTE, BKE és ELTE között létrejött együttműködése segítségével továbbfejlesztett változata. Ez a kötet csak a kockázati modellekkel, kockázati folyamatokkal kapcsolatos részt öleli fel, ennek megfelelően nem célja az, hogy az alapfogalmaktól elindulva vezessen be a biztosításmatematikába. Anyaga azonban jóval bővebb, mint egy egyféléves, heti két órás tárgy során lefedhető anyagrész. Olyan matematikai modelleket tárgyalunk ebben a jegyzetben, melyek segítségével többé-kevésbé jól modellezhetőek egy biztosítási ügylet, egy biztosítóintézet működése során felmerülő pénzügyi tranzakciók. Hangsúlyozni kell azonban, hogy csak többé-kevésbé, hiszen az e modellekben alkalmazott feltevések egy részére kifejezetten azért van szükség, hogy a kapott folyamatok matematikailag kezelhetőek legyenek. Ezzel párhuzamosan, jóllehet az alább bevezetendő matematikai objektumok mögött mindig valamilyen biztosításmatematikai fogalom, probléma van, többnyire nem utalunk expliciten erre a háttérre. Ez a nem matematikus olvasó számára nehézzé teheti az itt tárgyalt problémák megoldása során bemutatott módszerek alkalmazását, sőt megkérdőjelezheti azok fontosságát is. Azonban mivel jegyzetet és nem monográfiát akartunk írni mindenképpen kellett valamilyen kompromisszumot találni. Végezetül még egy megjegyzés. Számos helyen szükségünk lesz különböző fogalmakra, tételekre a valószínűségszámításból, a sztochasztikus folyamatok elméletéből, matematikai statisztikából. Ezért néhány helyen megszakítva a biztosításmatematikai modellek tárgyalását közbeiktattunk olyan részeket, melyek ezek elméletét idézik fel többnyire bizonyítás nélkül. A bevezetést egy biztosítási paradoxonnal zárjuk, mely megtalálható Székely G. [36] könyvében, és amely jól példázza, hogy a biztosítási ügyletben különböző szemlélettel részt vevő partnerek mindegyike jól járhat. Tegyük fel, hogy U tőkénk b-szeresét biztosítjuk ( < b < 1) valamely p valószínűségi esemény ellen. A díj a tőke c-szerese. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik n év után. Célunk persze az, hogy úgy válasszuk meg b és c értékét, hogy minél több pénzünk maradjon az n. év után is. Fontos kérdés azonban eldöntenünk, hogy milyen értelemben akarjuk ezt a véletlentől függő mennyiséget maxi- 3

5 malizálni. Természetesnek tűnne azt gondolnunk, hogy a várható értéket vizsgáljuk. Ez azonban csak akkor a megfelelő mérőszám, ha számtalan biztosítási ügyletben veszünk részt, és ezekből szeretnénk átlagosan minél több hasznot húzni. Most azonban csak egyetlen ügyletről van szó (a gyakorlatban egyetlen ügyfél ritkán köt 4-5 biztosításnál többet, így akkor sem szabad a várható értékek alapján összehasonlítani a különböző lehetőségeket), ezért a pillanatnyi tőkénket, annak hosszú távon felvett értékét kell alapul vennünk. Matematikailag fogalmazva, ha az X 1, X 2,... X n valószínűségi változók adják meg, hogy az egyes években bekövetkezett a káresemény vagy sem, azaz független azonos eloszlású valószínűségi változók, és P (X i = ) = 1 p, P (X i = 1) = p, akkor, ha nincs biztosításunk U k+1 = U k (1 bx k ), ahol U k jelöli tőkénk értékét a k. év után. Azaz U n = U n (1 bx k ). 1 Mivel E[ln(1 bx k )] = p ln(1 b), ezért a nagy számok törvénye alapján aszimptotikusan 1 valószínűséggel U n U(1 b) np. Ugyanakkor, ha van biztosításunk, az n. év után U(1 c) n a maradék tőkénk. Tehát nagy n esetén számunkra akkor előnyös biztosítás, ha U(1 b) np < U(1 c) n. A biztosítóintézet számára mivel nagyszámú kötvénnyel dolgozik az átlagos nyereség-veszteség a mérvadó, ezért számára előnyös a biztosítás, ha c > bp. Tehát mindkét fél számára a saját szempontjából elfogadható a biztosítás, ha bp < c < 1 (1 b) p. Mivel a jobb oldalon álló mennyiség nagyobb, mint bp, ezért megválasztható c értéke úgy, hogy mindkét egyenlőtlenség teljesüljön. (Vegyük észre, hogy ebben az egyszerű példában az alkalmas b, p, c értékek nem függenek a tőke nagyságtól, U-tól, és n-től sem.) Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy csak azért lehet mindkét fél számára előnyös a biztosítás, mert másféle kritériumok alapján döntik el, hogy mi előnyös számukra, mi nem. 4

6 2. Kockázati modellek Az ún. klasszikus kockázati modellekben az egyes biztosítóintézetek működése során fellépő pénzforgalom három fontos elemét különböztetik meg. A biztosító által az egyes károk kapcsán kifizetett összeg, a biztosítottak által befizetett díj és a biztosítóintézet kezdeti tőkéje. Mivel általában a jövőben bekövetkező károk időpontja és nagysága előre pontosan nem meghatározható, ezért sztochasztikus elemeket tartalmazó modell segítségével tanulmányozzuk viselkedését. A biztosítóintézet számára (bizonyos szempontból a biztosított számára is) gyakorta nem a kár tényleges nagysága, hanem a bejelentett kár értéke a fontos. Ezt kárigénynek nevezzük. Jelölje Z 1, Z 2,... egy biztosítóhoz egymás után befutó kárigényekkel kapcsolatos kifizetések nagyságát. E jegyzetben a későbbiekben gyakorta a kárkifizetés nagysága helyett röviden és némiképpen pontatlanul kárnagyságot fogunk mondani. Ha azonban szükségünk van arra, hogy ezt a két fogalmat elkülönítsük, akkor Z mindig a konkrét kifizetés nagyságát jelöli majd. Legyen F j (z) a Z j eloszlásfüggvénye, Q j pedig az eloszlása. Modelljeinkben többnyire feltesszük, hogy ezek egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Ezek olyan feltételek, amelyek a gyakorlatban csak ritkán teljesülnek. Ezért megvizsgáljuk majd, hogyan lehet ezeket a feltételeket nem teljesítő valószínűségi változók függvényeinek eloszlását approximálni függetlenek függvényeivel Egyedi kockázati modellek Az ún. egyedi kockázati modellekben minden egyes egyed (kötvény, biztosítás) esetén csak egyetlen kárnagyságot (kárértéket) vizsgálunk (mely lehet több kárból származó összegkár). Ha n egyed van a portfólióban, akkor az n S = Z i i=1 írja le a teljes veszteséget (kifizetést). Független valószínűségi változók esetén az összeg valószínűségi változó eloszlását a szóban forgó eloszlások konvolúciójának nevezzük. (Jele: Q 1 Q 2 Q n.) Azonos eloszlású valószínűségi változók esetén konvolúció 5

7 hatványról beszélünk. (Jele: Q ( n).) Az összeg valószínűségi változó eloszlását gyakran igen bonyolult kiszámolni. Azonban speciális esetben alkalmazni lehet a későbbiekben tárgyalandó Panjer-féle rekurziót. Tudjuk, hogy véges várható értékű valószínűségi változók esetén a várható értékek összeadódnak, ha ezenfelül még a szórásnégyzetük is véges, akkor korrelálatlanság (speciálisan függetlenség) esetén a szórásnégyzet is additív, végezetül, ha a változóink (sztochasztikusan) függetlenek, akkor karakterisztikus függvényeik, Laplace-transzformáltjaik szorzódnak. Számos esetben pozitív valószínűsége van annak, hogy egy adott kötvényhez nem kapcsolódik káresemény, vagy pedig káresemény ugyan bekövetkezik, azonban a hozzá tartozó kifizetés nagysága nulla, azaz q j = P (Z j > ) < 1. Ekkor Z j eloszlását fel lehet írni két eloszlás keverékeként, az egyik az azonosan értékre koncentrált eloszlás ennek súlya 1 q j, a másik a Z j feltételes eloszlása a Z j > feltétel mellett. Ha δ jelöli a pontra koncentrált eloszlást és R j a feltételes eloszlást, akkor Q j = (1 q j )δ + q j R j. Az 4.. fejezetben lesz jelentősége Q j fenti előállításának. Ebben az esetben az egyes összeadandók várható értéke szórásnégyzete pedig E Qj = q j E Rj, D 2 Q j = q j D 2 R j + q j (1 q j )E 2 R j. A momentumgeneráló függvényre az L Qj (z) = (1 q j ) + q j L Rj (z) összefüggés teljesül. Vezessük be a p j = 1 q j jelölést. Példa Tegyük fel, hogy a kárkifizetés nagyságát megadó Z 1, Z 2,..., Z n szigorúan pozitív értékű valószínűségi változók eloszlása valamilyen paraméteres eloszláscsaládhoz tartozik, amely család rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy független összegre zárt, és ekkor a paraméterek összeadódnak. Adjunk az S = n j=1 Z j eloszlására közelítő formulát. 6

8 Jelölje Z j eloszlását R(θ j ). Ekkor S momentumgeneráló függvénye L S (z) = = = n [ 1 qj + q j L R(θj )(z) ] = j=1 ( n n p j j=1 j=1 n n p j 1 + j=1 j=1 1 + q j p j L R(θj )(z) q j p j L R(θj )(z) + ) = n n q j q k L R(θj +θ j=1 k=1 p j p k )(z) +... k alakban írható, ahol L R(θ) (z) jelöli az R(θ) eloszlás momentumgeneráló függvényét. A momentumgeneráló függvény invertálása után kapjuk, hogy n n q Q S = p j j n n q j q k δ + R(θ j ) + R(θ j + θ k ) j=1 j=1 p j p j p k j=1 k=1 Ha a q j számok értéke kicsiny, akkor elhagyva a többszörös összegeket tartalmazó tagokat, kielégítő közelítést kaphatunk. A példa feltételét kielégítő eloszláscsalád például a Gamma-eloszlás, ha paraméterként a szabadságfokot tekintjük Összetett kockázati modellek Az összetett kockázati modellekben minden egyes egyedhez több káresemény tartozhat, ezek száma, N, maga is valószínűségi változó (melynek értékei nemnegatív egész számok). Továbbá feltesszük, hogy az egyes károkkal kapcsolatos kifizetések nagyságának eloszlása azonos. Feltesszük, hogy az összeadandók számát megadó valószínűségi változó független a kárkifizetések nagyságát megadó Z i, i = 1, 2,... sorozattól. Ha a Z i változók azonos eloszlásúak, véges várható értékkel, és N várható értéke is véges, akkor az összeg várható értéke N S = Z i i=1 E(S) = E(N)E(Z). 7

9 Ha ezenfelül a szórásnégyzetek is végesek, és a Z i sorozat elemei egymástól függetlenek, akkor D 2 (S) = E(N)D 2 (Z) + D 2 (N)E(Z) 2. S karakterisztikus függvényét, Laplace-transzformáltját úgy kaphatjuk meg (a független, azonos eloszlású esetben), ha N generátorfüggvényébe behelyettesítjük a Z i valószínűségi változók közös karakterisztikus függvényét, ill. Laplace-transzformálját. Jóllehet S eloszlását többnyire igen bonyolult kiszámolni, formálisan fel lehet írni, mint a Z i eloszlása konvolúcióhatványainak keverékeként. Azaz, ha Q S jelöli S eloszlását, Q Z az összeadandók közös eloszlását, akkor Q S = P (N = k)q ( k) Z, ahol Q ( ) = δ. k= 2.3. Összetett Poisson-eloszlás Fontos speciális eset, amikor N eloszlása Poisson-eloszlás, melynek paramétere legyen λ, a Z i, i = 1, 2,... sorozat független azonos eloszlású valószínűségi változókból áll, melyek függetlenek N-től is. Ekkor S eloszlása az ún. összetett Poisson-eloszlás. Jele: Poisson(λ, Q) [ahol Q = Q Z jelöli a Z i mennyiségek közös eloszlását]. Így tehát Q S = k= λ k k! e λ Q ( k). S momentumgeneráló függvénye L S (x) = E(e xs ) felírható Z i megfelelő függvénye L Z (x) = E(e xz ) segítségével az alábbi alakban L S (x) = e λ(l Z(x) 1). A várható érték és szórásnégyzet ennek megfelelően E(S) = λe(z) D 2 (S) = λe(z 2 ). Abban az esetben, ha az egyes kárnagyságokat leíró összeadanadók maguk is pozitív egész értékű változók, akkor az összetett Poisson-eloszlás elemei rekurzívan meghatározhatóak. Ezt mutatja be az alábbi tétel. 8

10 Tétel 2.1 Tegyük fel, hogy Z, Z 1, Z 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók, melyek értékei pozitív egész számok. Legyen N tőlük független, λ paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Ekkor az S = N k=1 Z j eloszlása az alábbi rekurzióval adható meg: P (S = k) = λ k jp (Z = j)p (S = k j), k = 1, 2,..., (2.1) k j=1 ahol P (S = ) = e λ. Bizonyítás: A Poisson-eloszlás elemei eleget tesznek az alábbi összefüggésnek: kp (N = k) = λp (N = k 1). Megszorozva mindkét oldalt az L Z (z) k 1 L Z(z) mennyiséggel és összegezve k szerint kapjuk, hogy kp (N = k)l Z (z) k 1 L Z(z) = λ P (N = k 1)L Z (z) k 1 L Z(z). k=1 Mivel L S (z) = k= P (N = k)l Z (z) k, ezért az előző egyenlet k=1 L S(z) = λl Z(z)L S (z) alakban is írható. A momentumgeneráló függvényről visszatérve az eloszlásokra és kihasználva, hogy Z értékei pozitív egész számok, kapjuk, hogy k kp (S = k) = λ jp (Z = j)p (S = k j). j=1 A (2.1) összefüggés a később, a 4.4 tételben tárgyalandó Panjer-rekurzió speciális esete Összetett Poisson-kockázatok kompozíciója és felbontása Ebben a részben megmutatjuk, hogy bizonyos természetes műveletek nem vezetnek ki az összetett Poisson-eloszlások köréből. Először azt vizsgáljuk, hogy mi történik, ha több olyan portfóliót, melyek eloszlása külön-külön összetett Poisson-eloszlás, összeöntünk. Ezután pedig egy adott összetett Poisson-eloszlásból az egyes kárkifizetések nagysága szerint csoportosított értékekből származó eloszlást vizsgáljuk meg. Látni fogjuk, hogy mindkét esetben az eredmény ismét összetett Poisson-eloszlás lesz. 9

11 Tétel 2.2 (Összetett Poisson-eloszlások aggregálása) Vegyünk független, összetett Poisson-eloszlású valószínűségi változókat, melyek paraméterei rendre (λ j, Q j ), j = 1,..., n. Legyenek ezek S 1, S 2,..., S n. Ekkor az S = S S n változó eloszlása Poisson(λ, Q), ahol n λ = λ j, Q = 1 j=1 λ n λ j Q j. j=1 Bizonyítás: A függetlenség miatt S momentumgeneráló függvénye n n L S (z) = L Sj (z) = exp λ j (L Qj (z) 1) = j=1 j=1 n = exp λ λ j λ L Q j (z) 1, j=1 n λ j bizonyítva a kívánt állítást, hiszen j=1 λ L Q j (z) a 1 nj=1 λ λ j Q j eloszlás momentumgeneráló függvénye. Vegyük észre, hogy az 1 nj=1 λ λ j Q j eloszlás nem más, mint a Q j eloszlások keveréke. Tehát S eloszlása úgy is interpretálható, hogy az egyes összeadandókat az alábbi szabály szerint alakítjuk ki. Először a λ j súlyoknak λ megfelelően megválasztjuk, hogy melyik Z sorozatból választjuk a következő elemet, majd a kapott sorozat sorrendben következő elemét vesszük. Tétel 2.3 (Összetett Poisson-eloszlás dekompozíciója) Tekintsünk o- lyan Z 1, Z 2,... valószínűségi változókat, melyek függetlenek, azonos Q eloszlásúak, továbbá függetlenek az N λ paraméterű Poisson-eloszlású változótól. Legyenek az A 1, A 2,..., A m R halmazok diszjuntak. Tegyük fel, hogy Q(A j ) >, j = 1,..., m. Ekkor az N N k = χ {Zj A k }, k = 1, 2..., m j=1 valószínűségi változók független, λq(a k ) paraméterű Poisson-eloszlású változók. Továbbá az N S k = Z j χ {Zj A k }, k = 1, 2..., m j=1 1

12 változók egymástól független, összetett Poisson-eloszlásúak. Bizonyítás: Feltehetjük, hogy teljesül a Q( m j=1a j ) = 1 feltétel, hiszen egyébként kiegészíthetnénk az A 1,..., A m rendszert az uniójuk komplementerével. Ekkor az (N 1,..., N m ) változók együttes eloszlása így írható: P (N 1 = k 1,..., N n = k m ) = P (N 1 = k 1,..., N n = k m N = k)p (N = k) = = k! k 1!k 2!... k m! Q(A 1) k1 λk km Q(A m ) k! e λ = [ m (λq(aj )) k ] j e λq(a j), j=1 k j! ahol k = k 1 + k k m, bizonyítva az első állítást. A második állítás bizonyításához vezessük be a Z 1 változó Z 1 A j feltétel melletti feltételes eloszlására a Q j jelölést. Azaz Q j (B) = P (Z 1 B A j ). Ekkor rendre feltételes valószínűségeket tekintve, az (N 1,..., N m, S 1,..., S m ) változók együttes eloszlása így írható: P (N 1 = k 1,... N m = k m, S 1 B 1,..., S m B m ) = P (S 1 B 1,..., S m B m ) = = λk k! e λ k! k 1! k m! Q(A 1) k1 Q(A m ) k m = m Q ( k 1) 1 (B 1 ) Q ( km) m (B m ) = { m j=1 j=1 k j = e λq(a j) (λq(a j)) k j k j! Összegezve N 1,..., N m lehetséges értékei szerint kapjuk, hogy e λq(a j) (λq(a j)) k j k j! Q ( k j) j (B j ) Q ( k j) } j (B j ). (2.2) A fenti kifejezésben az egyes tényezők a Q j mértékek konvolucióhatványainak Poisson-eloszlás szerint vett keverékét írják le. Ez pedig éppen az összetett Poisson-eloszlás egy lehetséges jellemzése. 11.

13 Mivel az együttes eloszlás szorzatra bomlik, tehát teljesül a függetlenség, továbbá a peremeloszlások (λq(a j ), Q j ) paraméterű összetett Poisson-eloszlások. Az állítás szerint tehát, ha összetett Poisson-eloszlás írja le a portfólióból származó összkár eloszlását, akkor az egyes káreseményeket nagyságuk szerint csoportosítva és az egyes csoportokon belül külön tekintve az összkár értékét, ismét összetett Poisson-eloszlásokat kapunk. Ez a tulajdonság igen hasznos az olyan esetekben, amikor a károknak nagyságuk szerinti osztályozására van szükség Összetett negatív binomiális modell Tegyük fel, hogy valamely rögzített időintervallumban bekövetkező káresemények száma adott paraméterű, Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Azonban a paraméter függhet a különböző körülményektől. Ha együttesen kívánjuk szemlélni az így keletkező kárszámeloszlást, melyben a különböző körülményeket eltérő súllyal akarjuk figyelembe venni, akkor Poisson-eloszlások keveréke adódik. Legyen tehát rögzített θ paraméterérték mellett N eloszlása θ paraméterű Poisson-eloszlás. Tegyük fel, hogy θ maga is valószínűségi változó, melynek eloszlása R. Jelölje az R eloszlás várható értékét µ R, szórásnégyzetét σ 2 R. Ekkor a keverékeloszlás várható értéke µ R, szórásnégyzete pedig µ R + σ 2 R. Tehát míglen a Poisson-eloszlás esetén a várható érték és a szórásnégyzet megegyezik, Poisson-eloszlások keveréke esetén a várható érték a triviális esettől eltekintve mindig kisebb, mint a szórásnégyzet. Ha a keverő mérték Gamma-eloszlás, akkor a keverék eloszlása negatív binomiális lesz. Valóban, a generátorfüggvény e θ(z 1) λα θ α 1 Γ(α) e λθ dθ = = λ α (λ (z 1)) α = ( 1 1 ) α λ (z 1), amely a negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye. Ha a kárnagyságok eloszlása független a θ paramétertől, akkor az összetett Poisson-eloszlások Gamma-eloszlás szerinti keveréke összetett negatív binomiális eloszlás lesz. 12

14 Negatív binomiális, illetve összetett negatív binomiális eloszláshoz más módon is eljuthatunk. Tegyük fel, hogy valamely biztosítási fajta során a biztosítási eseményeket Poisson-eloszlású valószínűségi változó adja meg, azonban minden biztosítási esemény során a károk száma véletlen mennyiség, melyet független, logaritmikus eloszlású valószínűségi változók írnak le. Ha ezeket M 1, M 2,... jelölik, a biztosítási események számát pedig N, akkor a károk teljes száma N j=1 M j lesz. Ekkor, kihasználva, hogy a logaritmikus eloszlás generátorfüggvénye log (1 z(1 p)) log p az adódó eloszlás generátorfüggvénye G(z) = { ( )} log (1 z(1 p)) exp λ 1 = log p = { } λ 1 z(1 p) log p = p, amely ismét a negatív binomiális eloszlás ge- ahol β = 1 p és r = λ p nerátorfüggvénye. = {1 β(z 1)} r, log p, 3. Kockázati folyamatok alapvető modelljei Gyakorta az idő függvényében vizsgáljuk az összkár értékét, ekkor modellünkben a kárszámot megadó N változó az idő függvénye, azaz sztochasztikus folyamat. Jelölje ezt N t, t. Ez másképpen a kárigényfolyamat. Ekkor az összkár is az idő függvénye, N t S t = Z i. i=1 Ez az ún. kárfolyamat. A kockázati tartalék leírásának másik két fontos eleme a díjbevételt megadó P t folyamat és a kezdeti tőke értéke. Azaz U t = u + P t S t, 13

15 ahol tehát P t u a kezdeti tőke értéke a díjbevétel értéke a [,t] időintervallumban S t a kárfolyamat. U t másképpen az ún. rizikófolyamat. (Megjegyzendő, hogy a rizikófolyamat fenti definíciójában a költségeket nem vettük figyelembe.) Megjegyezzük, hogy már eddig is, de később is számtalanszor fogjuk használni a kockázat kifejezést. A közgazdasági szakirodalomban számos definíciója szerepel ennek. (Lásd pl. [28].) Ebben a jegyzetben nem kísérlünk meg valamilyen új meghatározását adni ennek a hallatlanul fontos fogalomnak, a kockázat szó jelzőként szerepel csak. A szó hétköznapi jelentéstartalmát kihasználva kockázati folyamatról, kockázati tartalékról, kockázati modellekről beszélünk. E jegyzetben feltesszük, hogy u értéke állandó, nem függ a véletlentől Az összetett Poisson-folyamat Klasszikus rizikófolyamatról beszélünk abban az esetben, ha P t = ct, ahol c állandó N t λ paraméterű Poisson-folyamat Z i, i = 1, 2,... függetlenek és azonos eloszlásúak. Poisson-folyamat esetében, ha a paraméter λ, az N t N s (s t) növekmények Poisson-eloszlásúak, melynek paramétere λ(t s), azaz P (N t N s = k) = (λ(t s))k e λ(t s), k =, 1,... k! Ugyanakkor diszjunkt időintervallumokhoz tartozó növekmények különböző időtartamokban bekövetkező káresemények számai egymástól függetlenek. Másképpen: a folyamat független növekményű. N =. Ekkor az S t folyamat, amely tehát a független, azonos eloszlású Z j valószínűségi változók Poisson-tagszámú összege, ún. összetett Poisson-folyamat. 14

16 Gyakorta homogén Poisson-folyamatnak nevezik a fenti N t folyamatot, hangsúlyozva, hogy a növekmények eloszlásának paramétere csak az időtartam hosszától függ. Inhomogén Poisson-folyamatról beszélünk abban az esetben, ha a növekmények egymástól függetlenek, Poisson-eloszlásúak, azonban a megfelelő paramétert egy λ t monoton növekvő függvény adja meg az alábbi módon: N t N s eloszlása λ t λ s paraméterű Poisson-eloszlás. [Később találkozni fogunk ennek általánosításával, mikor a káresemények számát megadó Poisson-folyamat paramétere másképpen intenzitása maga is a véletlen függvénye, azaz sztochasztikus folyamat. Az így kapott folyamat az ún. Cox-folyamat.] Mivel vizsgálódásaink központi témája a rizikófolyamat viselkedése lesz, ezért kicsit tovább időzünk az e folyamattal kapcsolatos fontos definícióknál, konstrukcióknál. A rizikófolyamat t pillanatbeli értéke, N t, a [, t] időintervallumon bekövetkezett káresemények számát adja meg, így ezen folyamat értéke, mely tehát nemnegatív egész szám, csak ugrásszerűen, (azaz nem folytonosan) változhat. Bizonyos enyhe feltételek mellett megmutatható, hogy véges intervallumon csak véges sok ugrás következhet be (ami természetes elvárás a kárfolyamat esetében), ezért úgymond a folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények. Az egyes ugrások között eltelt időtartamok maguk is valószínűségi változók, jelölje őket ζ 1, ζ 2,.... Az n. ugrás időpontja legyen τ n. Tehát τ n = n i=1 ζ i. Homogén Poisson-folyamat esetén ζ i eloszlása exponenciális eloszlás, melynek paramétere megegyezik a Poisson-folyamat paraméterével. Tehát P (ζ i > x) = e λx. Ennek megfelelően τ n eloszlása Gamma-eloszlás, melynek rendje n, paramétere ugyancsak λ. Ha csak annyit teszünk fel, hogy a ζ 1, ζ 2,... változók függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor N t, t ún. felújítási folyamat. Az ehhez kapcsolódó kockázati folyamatok vizsgálata a 6.. részben történik. Könnyen megmutatható, hogy ha az N t folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények, melyekben az ugrások nagysága 1, és az egyes ugrások között eltelt időtartamok egymástól független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, N =, akkor N t λ paraméterű Poisson-folyamat. Az alábbi tétel jól mutatja, hogy a fentinél látszólag enyhébb feltételek is biztosítják már azt, hogy a folyamat Poisson-folyamat legyen. 15

17 Tétel 3.4 Ha az N t folyamat sztochasztikusan folytonos, trajektóriái tiszta ugró függvények, melyben az ugrások nagysága 1 értékű, a folyamat növekményei egymástól függetlenek, N =, akkor a folyamat Poisson-folyamat. Bizonyítás: (A folyamatot sztochasztikusan folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > esetén P ( N s N t > ɛ), ha s t, minden rögzített t mellett.) Könnyen megmutatható, hogy véges intervallumon a sztochasztikus folytonosság maga után vonja a sztochasztikus egyenletesen folytonosságot. Azaz tekintsük a folyamatot egy [, T ] intervallumon, T <. Legyen most ɛ > tetszőleges szám. Ekkor bármely τ > esetén létezik olyan pozitív δ > szám (mely persze függhet ɛ, τ, T értékétől), hogy bármely s, t [, T ], s t < δ esetén P ( N t N s > ɛ) < τ. Azaz konkrétan fogalmazva, ha a vizsgálandó véges hosszú időperiódusban bárhol tekintünk is egy igen pici időintervallumot, akkor nagy valószínűséggel nem történik káresemény abban az intervallumban. Rögzítsünk most egy T < számot, és tekintsük a folyamatot a [, T ] intervallumon. Azt kell megmutatnunk az N t folyamatról, hogy az N t N s valószínűségi változó eloszlása Poisson-eloszlás. Ehhez először a keresett Poisson-eloszlás paraméterét határozzuk meg. Mivel λ-paraméterű Poissoneloszlásban a valószínűsége éppen e λ, ezért az P (N t N s = ) valószínűségeket vizsgáljuk először. A folyamat sztochasztikusan egyenletesen folytonos a [, T ] intervallumon, ezért létezik olyan δ > érték, hogy P (N t N s = ) >, ha s t < δ. Tetszőleges t > s számokat választva a [, T ] intervallumból, elég nagy n érték mellett ( t s /n) < δ, ezért a folyamat független növekményűségét használva n P (N t N s = ) = P (N ti N ti 1 = ) >, ahol s = t < t 1 < < t n = t, és t i t i 1 = t s. Legyen tehát n i=1 λ t = logp (N t = ). Mivel {N s = } {N t = }, ha s < t, ezért λ t t monoton növő függvénye. Másfelől {N s = } {N t N s = } = {N t = }, ha s < t, így λ t λ s = logp (N t N s = ). 16

18 Az N t folyamat sztochasztikus folytonosságából következik, hogy λ t folytonos függvénye t-nek. Az kell megmutatnunk, hogy P (N t N s = k) = (λt λs)k e (λ t λ s ). Vegyük k! az [s, t] intervallum egy egyre finomodó felosztássorozatát. s = t n, < t n,1 < < t n,n = t, max i (t n,(i+1) t n,i ). Legyen Y n,k = N tn,k N tn,(k 1). Először igazoljuk, hogy és n P (Y n,k = 1) λ t λ s, k=1 n P (Y n,k > 1). k=1 (Ez utóbbi lényegében az ún. ritkasági feltétel kicsiny időintervallumokon lényegében csak két eset van, vagy nincsen ugráspont, vagy pontosan egy ugráspont van.) Vegyük észre, hogy λ t λ s = logp ( k Y n,k = ) = k log(1 P (Y n,k 1)) = = k P (Y n,k 1)[1 + O(max k P (Y n,k 1))]. Így tehát P (Y n,k 1) λ t λ s. k Ugyanakkor a {max k Y n,k > 1} események monoton zsugorodva az üres halmazhoz tartanak, tehát lim P (max k Y n,k > 1) =. De a {max k Y n,k > 1} eseményt szétbontva aszerint, hogy melyik kis intervallumon következik be az első ugrás, kapjuk, hogy P (max k Y n,k > 1) = = n k 1 P (Y n,j 1)P (Y n,k > 1) k=1 j=1 n n P (Y n,k > 1) P (Y n,j 1) = k=1 j=1 n P (Y n,k > 1)(1 P (max j Y n,j > 1)). k=1 17

19 Tehát n P (Y n,k > 1). k=1 A P (N t N s = k) = (λt λs)k e (λt λs) összefüggést indukcióval fogjuk k! igazolni. Az {N t N s = k} eseményt, tehát amikor k ugrás van az (s, t] intervallumon, bontsuk fel aszerint, hogy melyik részintervallumon következik be először ugrás, és az milyen nagyságú. Mivel azon valószínűségek összege is, hogy a kicsiny részintervallumok valamelyikén egynél több ugrás következik be, -hoz tart, így elég arra szorítkoznunk, mikor az első növekmény értéke 1. Azaz P (N t N s = k) = n = lim P (N tn,j 1 N s = )P (Y n,j = 1)P (N t N tn,j = k 1) = n j=1 n = lim P (N t N tn,j = k 1)[P (N tn,j 1 N s = ) P (N tn,j N s = )] = n k=1 = t s P (N t N v = k 1)d v e (λv λs) = (λ t λ s ) k e (λt λs), k! az indukciós feltevést használva. Hasonlóképpen lehet karakterizálni az összetett Poisson-folyamatot is. Bizonyítás nélkül mondjuk ki az alábbi tételt. Tétel 3.5 Ha az S t, t folyamat sztochasztikusan folytonos, független növekményű, az ugyanolyan hosszúságú időintervallumhoz tartozó növekmények azonos eloszlásúak, a folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények, S =, akkor a folyamat összetett Poisson-folyamat. Vegyük észre a fenti két tétel közötti lényeges különbséget. A második tételben nem tesszük fel, hogy az ugrások nagysága 1, viszont fel kell tennünk, hogy a növekmények eloszlása csak az időtartam függvénye. Ez talán nem túlságosan meglepő, ha belegondolunk abba, hogy a tétel állítása azt is tartalmazza, hogy az összetett Poisson-folyamat definíciójában szereplő összeadandók egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók. 18

20 A Poisson-folyamat dekompozíciója Megmutatjuk, hogy a 2.3 tétel általánosabban, Poisson-folyamatokra is igaz. Tekintsük az S t = N t j=1 Z j, t összetett Poisson-folyamatot. Tetszőleges A R esetén nézhetjük, hogy hány olyan káresemény történt a [, t] időintervallumon, melyben a kár értéke az A halmazba esett. Az így kapott N t Nt A = χ {Zi A} (3.1) i=1 folyamat az eredeti N t folyamat ritkítása, hiszen bizonyos, az eredeti kárigényfolyamatban meglévő időpontokat, ugráspontokat most nem veszünk figyelembe kiritkítjuk a folyamatot. Ha a Z i valószínűségi változók független, azonos eloszlásúak, melyek az N t kárigényfolyamattól is függetlenek, és p = P (Z i A), akkor az N t folyamat minden egyes ugrását egymástól függetlenül p valószínűséggel tartjuk meg mikor Z i értéke A-ba esik, és 1 p valószínűséggel elhagyjuk. Tétel 3.6 Ha az N t folyamat λ paraméterű homogén Poisson-folyamat, melyet p valószínűséggel ritkítunk, akkor a kapott N (p) t folyamat λp paraméterű Poisson-folyamat lesz. Bizonyítás: Mivel az eredeti folyamatban is az ugrások nagysága mindig 1 volt, ezért ez a tulajdonság a ritkítás után is megmarad. Így elég az ugrások között lévő időtartam eloszlását vizsgálni. Jelölje az első ugrás időpontját ξ. Ekkor ξ értéke korábbi ugrások között eltelt időtartamok összege hiszen bizonyos korábbi ugráspontokat most elhagytunk, mégpedig annak valószínűsége, hogy pontosan k darab exponenciális eloszlású valószínűségi változót kelljen összeadnunk, éppen (1 p) (k 1) p, hiszen k 1 korábbi káreseményt most nem veszünk figyelembe, viszont a k.-at már igen. Tehát x P (ξ < x) = (1 p) (k 1) λ k z k 1 p k=1 (k 1)! e λz dz = x (λz(1 p)) k 1 = λp e λz dz = k=1 (k 1)! x = λpe λpz dz. 19

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben