Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP ) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP-13358-98) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest"

Átírás

1 Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP ) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

2 Tartalom 1. Bevezetés 3 2. Kockázati modellek Egyedi kockázati modellek Összetett kockázati modellek Összetett Poisson-eloszlás Összetett Poisson-kockázatok kompozíciója és felbontása Összetett negatív binomiális modell Kockázati folyamatok alapvető modelljei Az összetett Poisson-folyamat A Poisson-folyamat dekompozíciója Születési folyamatok Összetett kárnagyság és kárgyakoriság modellek Eloszlások approximációja Összetett eloszlások meghatározása rekurzióval A klasszikus rizikófolyamat A csődvalószínűségre vonatkozó Cramer-féle integrálegyenlet A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése kiemelkedő e- gyedi károk esetén A Cramer-egyenlet megoldása speciális eloszlások esetén Az R Lundberg-kitevő becslése A csőd súlyosságának elemzése A csőd súlyosságának elemzése kiemelkedő egyedi károk esetén Martingálok alkalmazása Fordított martingálok alkalmazása Kockázati folyamatok felújítási modelljei A csődvalószínűségre vonatkozó integrálegyenlet A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése A csődvalószínűség aszimptotikus viselkedése kiemelkedő károk esetén

3 7. Általánosabb kockázati folyamatok Cox-folyamatok A csőd valószínűsége függő növekményű folyamatokban A csőd valószínűsége véges időintervallumon Függelék Poisson-eloszlás Binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Negatív binomiális eloszlás Logaritmikus eloszlás Exponenciális eloszlás Gamma-eloszlás Pareto-eloszlás Lognormális eloszlás Eloszlások transzformáltjai Generátorfüggvény Momentumgeneráló függvény, Laplace-transzformált

4 1. Bevezetés Jelen jegyzet az ELTE TTK matematikus szakán már évek óta folyó biztosításmatematikai órák anyagának a József Attila Tudományegyetem Bolyai Intézete által vezetett TEMPUS project alatt a JATE, KLTE, BKE és ELTE között létrejött együttműködése segítségével továbbfejlesztett változata. Ez a kötet csak a kockázati modellekkel, kockázati folyamatokkal kapcsolatos részt öleli fel, ennek megfelelően nem célja az, hogy az alapfogalmaktól elindulva vezessen be a biztosításmatematikába. Anyaga azonban jóval bővebb, mint egy egyféléves, heti két órás tárgy során lefedhető anyagrész. Olyan matematikai modelleket tárgyalunk ebben a jegyzetben, melyek segítségével többé-kevésbé jól modellezhetőek egy biztosítási ügylet, egy biztosítóintézet működése során felmerülő pénzügyi tranzakciók. Hangsúlyozni kell azonban, hogy csak többé-kevésbé, hiszen az e modellekben alkalmazott feltevések egy részére kifejezetten azért van szükség, hogy a kapott folyamatok matematikailag kezelhetőek legyenek. Ezzel párhuzamosan, jóllehet az alább bevezetendő matematikai objektumok mögött mindig valamilyen biztosításmatematikai fogalom, probléma van, többnyire nem utalunk expliciten erre a háttérre. Ez a nem matematikus olvasó számára nehézzé teheti az itt tárgyalt problémák megoldása során bemutatott módszerek alkalmazását, sőt megkérdőjelezheti azok fontosságát is. Azonban mivel jegyzetet és nem monográfiát akartunk írni mindenképpen kellett valamilyen kompromisszumot találni. Végezetül még egy megjegyzés. Számos helyen szükségünk lesz különböző fogalmakra, tételekre a valószínűségszámításból, a sztochasztikus folyamatok elméletéből, matematikai statisztikából. Ezért néhány helyen megszakítva a biztosításmatematikai modellek tárgyalását közbeiktattunk olyan részeket, melyek ezek elméletét idézik fel többnyire bizonyítás nélkül. A bevezetést egy biztosítási paradoxonnal zárjuk, mely megtalálható Székely G. [36] könyvében, és amely jól példázza, hogy a biztosítási ügyletben különböző szemlélettel részt vevő partnerek mindegyike jól járhat. Tegyük fel, hogy U tőkénk b-szeresét biztosítjuk ( < b < 1) valamely p valószínűségi esemény ellen. A díj a tőke c-szerese. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik n év után. Célunk persze az, hogy úgy válasszuk meg b és c értékét, hogy minél több pénzünk maradjon az n. év után is. Fontos kérdés azonban eldöntenünk, hogy milyen értelemben akarjuk ezt a véletlentől függő mennyiséget maxi- 3

5 malizálni. Természetesnek tűnne azt gondolnunk, hogy a várható értéket vizsgáljuk. Ez azonban csak akkor a megfelelő mérőszám, ha számtalan biztosítási ügyletben veszünk részt, és ezekből szeretnénk átlagosan minél több hasznot húzni. Most azonban csak egyetlen ügyletről van szó (a gyakorlatban egyetlen ügyfél ritkán köt 4-5 biztosításnál többet, így akkor sem szabad a várható értékek alapján összehasonlítani a különböző lehetőségeket), ezért a pillanatnyi tőkénket, annak hosszú távon felvett értékét kell alapul vennünk. Matematikailag fogalmazva, ha az X 1, X 2,... X n valószínűségi változók adják meg, hogy az egyes években bekövetkezett a káresemény vagy sem, azaz független azonos eloszlású valószínűségi változók, és P (X i = ) = 1 p, P (X i = 1) = p, akkor, ha nincs biztosításunk U k+1 = U k (1 bx k ), ahol U k jelöli tőkénk értékét a k. év után. Azaz U n = U n (1 bx k ). 1 Mivel E[ln(1 bx k )] = p ln(1 b), ezért a nagy számok törvénye alapján aszimptotikusan 1 valószínűséggel U n U(1 b) np. Ugyanakkor, ha van biztosításunk, az n. év után U(1 c) n a maradék tőkénk. Tehát nagy n esetén számunkra akkor előnyös biztosítás, ha U(1 b) np < U(1 c) n. A biztosítóintézet számára mivel nagyszámú kötvénnyel dolgozik az átlagos nyereség-veszteség a mérvadó, ezért számára előnyös a biztosítás, ha c > bp. Tehát mindkét fél számára a saját szempontjából elfogadható a biztosítás, ha bp < c < 1 (1 b) p. Mivel a jobb oldalon álló mennyiség nagyobb, mint bp, ezért megválasztható c értéke úgy, hogy mindkét egyenlőtlenség teljesüljön. (Vegyük észre, hogy ebben az egyszerű példában az alkalmas b, p, c értékek nem függenek a tőke nagyságtól, U-tól, és n-től sem.) Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy csak azért lehet mindkét fél számára előnyös a biztosítás, mert másféle kritériumok alapján döntik el, hogy mi előnyös számukra, mi nem. 4

6 2. Kockázati modellek Az ún. klasszikus kockázati modellekben az egyes biztosítóintézetek működése során fellépő pénzforgalom három fontos elemét különböztetik meg. A biztosító által az egyes károk kapcsán kifizetett összeg, a biztosítottak által befizetett díj és a biztosítóintézet kezdeti tőkéje. Mivel általában a jövőben bekövetkező károk időpontja és nagysága előre pontosan nem meghatározható, ezért sztochasztikus elemeket tartalmazó modell segítségével tanulmányozzuk viselkedését. A biztosítóintézet számára (bizonyos szempontból a biztosított számára is) gyakorta nem a kár tényleges nagysága, hanem a bejelentett kár értéke a fontos. Ezt kárigénynek nevezzük. Jelölje Z 1, Z 2,... egy biztosítóhoz egymás után befutó kárigényekkel kapcsolatos kifizetések nagyságát. E jegyzetben a későbbiekben gyakorta a kárkifizetés nagysága helyett röviden és némiképpen pontatlanul kárnagyságot fogunk mondani. Ha azonban szükségünk van arra, hogy ezt a két fogalmat elkülönítsük, akkor Z mindig a konkrét kifizetés nagyságát jelöli majd. Legyen F j (z) a Z j eloszlásfüggvénye, Q j pedig az eloszlása. Modelljeinkben többnyire feltesszük, hogy ezek egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Ezek olyan feltételek, amelyek a gyakorlatban csak ritkán teljesülnek. Ezért megvizsgáljuk majd, hogyan lehet ezeket a feltételeket nem teljesítő valószínűségi változók függvényeinek eloszlását approximálni függetlenek függvényeivel Egyedi kockázati modellek Az ún. egyedi kockázati modellekben minden egyes egyed (kötvény, biztosítás) esetén csak egyetlen kárnagyságot (kárértéket) vizsgálunk (mely lehet több kárból származó összegkár). Ha n egyed van a portfólióban, akkor az n S = Z i i=1 írja le a teljes veszteséget (kifizetést). Független valószínűségi változók esetén az összeg valószínűségi változó eloszlását a szóban forgó eloszlások konvolúciójának nevezzük. (Jele: Q 1 Q 2 Q n.) Azonos eloszlású valószínűségi változók esetén konvolúció 5

7 hatványról beszélünk. (Jele: Q ( n).) Az összeg valószínűségi változó eloszlását gyakran igen bonyolult kiszámolni. Azonban speciális esetben alkalmazni lehet a későbbiekben tárgyalandó Panjer-féle rekurziót. Tudjuk, hogy véges várható értékű valószínűségi változók esetén a várható értékek összeadódnak, ha ezenfelül még a szórásnégyzetük is véges, akkor korrelálatlanság (speciálisan függetlenség) esetén a szórásnégyzet is additív, végezetül, ha a változóink (sztochasztikusan) függetlenek, akkor karakterisztikus függvényeik, Laplace-transzformáltjaik szorzódnak. Számos esetben pozitív valószínűsége van annak, hogy egy adott kötvényhez nem kapcsolódik káresemény, vagy pedig káresemény ugyan bekövetkezik, azonban a hozzá tartozó kifizetés nagysága nulla, azaz q j = P (Z j > ) < 1. Ekkor Z j eloszlását fel lehet írni két eloszlás keverékeként, az egyik az azonosan értékre koncentrált eloszlás ennek súlya 1 q j, a másik a Z j feltételes eloszlása a Z j > feltétel mellett. Ha δ jelöli a pontra koncentrált eloszlást és R j a feltételes eloszlást, akkor Q j = (1 q j )δ + q j R j. Az 4.. fejezetben lesz jelentősége Q j fenti előállításának. Ebben az esetben az egyes összeadandók várható értéke szórásnégyzete pedig E Qj = q j E Rj, D 2 Q j = q j D 2 R j + q j (1 q j )E 2 R j. A momentumgeneráló függvényre az L Qj (z) = (1 q j ) + q j L Rj (z) összefüggés teljesül. Vezessük be a p j = 1 q j jelölést. Példa Tegyük fel, hogy a kárkifizetés nagyságát megadó Z 1, Z 2,..., Z n szigorúan pozitív értékű valószínűségi változók eloszlása valamilyen paraméteres eloszláscsaládhoz tartozik, amely család rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy független összegre zárt, és ekkor a paraméterek összeadódnak. Adjunk az S = n j=1 Z j eloszlására közelítő formulát. 6

8 Jelölje Z j eloszlását R(θ j ). Ekkor S momentumgeneráló függvénye L S (z) = = = n [ 1 qj + q j L R(θj )(z) ] = j=1 ( n n p j j=1 j=1 n n p j 1 + j=1 j=1 1 + q j p j L R(θj )(z) q j p j L R(θj )(z) + ) = n n q j q k L R(θj +θ j=1 k=1 p j p k )(z) +... k alakban írható, ahol L R(θ) (z) jelöli az R(θ) eloszlás momentumgeneráló függvényét. A momentumgeneráló függvény invertálása után kapjuk, hogy n n q Q S = p j j n n q j q k δ + R(θ j ) + R(θ j + θ k ) j=1 j=1 p j p j p k j=1 k=1 Ha a q j számok értéke kicsiny, akkor elhagyva a többszörös összegeket tartalmazó tagokat, kielégítő közelítést kaphatunk. A példa feltételét kielégítő eloszláscsalád például a Gamma-eloszlás, ha paraméterként a szabadságfokot tekintjük Összetett kockázati modellek Az összetett kockázati modellekben minden egyes egyedhez több káresemény tartozhat, ezek száma, N, maga is valószínűségi változó (melynek értékei nemnegatív egész számok). Továbbá feltesszük, hogy az egyes károkkal kapcsolatos kifizetések nagyságának eloszlása azonos. Feltesszük, hogy az összeadandók számát megadó valószínűségi változó független a kárkifizetések nagyságát megadó Z i, i = 1, 2,... sorozattól. Ha a Z i változók azonos eloszlásúak, véges várható értékkel, és N várható értéke is véges, akkor az összeg várható értéke N S = Z i i=1 E(S) = E(N)E(Z). 7

9 Ha ezenfelül a szórásnégyzetek is végesek, és a Z i sorozat elemei egymástól függetlenek, akkor D 2 (S) = E(N)D 2 (Z) + D 2 (N)E(Z) 2. S karakterisztikus függvényét, Laplace-transzformáltját úgy kaphatjuk meg (a független, azonos eloszlású esetben), ha N generátorfüggvényébe behelyettesítjük a Z i valószínűségi változók közös karakterisztikus függvényét, ill. Laplace-transzformálját. Jóllehet S eloszlását többnyire igen bonyolult kiszámolni, formálisan fel lehet írni, mint a Z i eloszlása konvolúcióhatványainak keverékeként. Azaz, ha Q S jelöli S eloszlását, Q Z az összeadandók közös eloszlását, akkor Q S = P (N = k)q ( k) Z, ahol Q ( ) = δ. k= 2.3. Összetett Poisson-eloszlás Fontos speciális eset, amikor N eloszlása Poisson-eloszlás, melynek paramétere legyen λ, a Z i, i = 1, 2,... sorozat független azonos eloszlású valószínűségi változókból áll, melyek függetlenek N-től is. Ekkor S eloszlása az ún. összetett Poisson-eloszlás. Jele: Poisson(λ, Q) [ahol Q = Q Z jelöli a Z i mennyiségek közös eloszlását]. Így tehát Q S = k= λ k k! e λ Q ( k). S momentumgeneráló függvénye L S (x) = E(e xs ) felírható Z i megfelelő függvénye L Z (x) = E(e xz ) segítségével az alábbi alakban L S (x) = e λ(l Z(x) 1). A várható érték és szórásnégyzet ennek megfelelően E(S) = λe(z) D 2 (S) = λe(z 2 ). Abban az esetben, ha az egyes kárnagyságokat leíró összeadanadók maguk is pozitív egész értékű változók, akkor az összetett Poisson-eloszlás elemei rekurzívan meghatározhatóak. Ezt mutatja be az alábbi tétel. 8

10 Tétel 2.1 Tegyük fel, hogy Z, Z 1, Z 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók, melyek értékei pozitív egész számok. Legyen N tőlük független, λ paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Ekkor az S = N k=1 Z j eloszlása az alábbi rekurzióval adható meg: P (S = k) = λ k jp (Z = j)p (S = k j), k = 1, 2,..., (2.1) k j=1 ahol P (S = ) = e λ. Bizonyítás: A Poisson-eloszlás elemei eleget tesznek az alábbi összefüggésnek: kp (N = k) = λp (N = k 1). Megszorozva mindkét oldalt az L Z (z) k 1 L Z(z) mennyiséggel és összegezve k szerint kapjuk, hogy kp (N = k)l Z (z) k 1 L Z(z) = λ P (N = k 1)L Z (z) k 1 L Z(z). k=1 Mivel L S (z) = k= P (N = k)l Z (z) k, ezért az előző egyenlet k=1 L S(z) = λl Z(z)L S (z) alakban is írható. A momentumgeneráló függvényről visszatérve az eloszlásokra és kihasználva, hogy Z értékei pozitív egész számok, kapjuk, hogy k kp (S = k) = λ jp (Z = j)p (S = k j). j=1 A (2.1) összefüggés a később, a 4.4 tételben tárgyalandó Panjer-rekurzió speciális esete Összetett Poisson-kockázatok kompozíciója és felbontása Ebben a részben megmutatjuk, hogy bizonyos természetes műveletek nem vezetnek ki az összetett Poisson-eloszlások köréből. Először azt vizsgáljuk, hogy mi történik, ha több olyan portfóliót, melyek eloszlása külön-külön összetett Poisson-eloszlás, összeöntünk. Ezután pedig egy adott összetett Poisson-eloszlásból az egyes kárkifizetések nagysága szerint csoportosított értékekből származó eloszlást vizsgáljuk meg. Látni fogjuk, hogy mindkét esetben az eredmény ismét összetett Poisson-eloszlás lesz. 9

11 Tétel 2.2 (Összetett Poisson-eloszlások aggregálása) Vegyünk független, összetett Poisson-eloszlású valószínűségi változókat, melyek paraméterei rendre (λ j, Q j ), j = 1,..., n. Legyenek ezek S 1, S 2,..., S n. Ekkor az S = S S n változó eloszlása Poisson(λ, Q), ahol n λ = λ j, Q = 1 j=1 λ n λ j Q j. j=1 Bizonyítás: A függetlenség miatt S momentumgeneráló függvénye n n L S (z) = L Sj (z) = exp λ j (L Qj (z) 1) = j=1 j=1 n = exp λ λ j λ L Q j (z) 1, j=1 n λ j bizonyítva a kívánt állítást, hiszen j=1 λ L Q j (z) a 1 nj=1 λ λ j Q j eloszlás momentumgeneráló függvénye. Vegyük észre, hogy az 1 nj=1 λ λ j Q j eloszlás nem más, mint a Q j eloszlások keveréke. Tehát S eloszlása úgy is interpretálható, hogy az egyes összeadandókat az alábbi szabály szerint alakítjuk ki. Először a λ j súlyoknak λ megfelelően megválasztjuk, hogy melyik Z sorozatból választjuk a következő elemet, majd a kapott sorozat sorrendben következő elemét vesszük. Tétel 2.3 (Összetett Poisson-eloszlás dekompozíciója) Tekintsünk o- lyan Z 1, Z 2,... valószínűségi változókat, melyek függetlenek, azonos Q eloszlásúak, továbbá függetlenek az N λ paraméterű Poisson-eloszlású változótól. Legyenek az A 1, A 2,..., A m R halmazok diszjuntak. Tegyük fel, hogy Q(A j ) >, j = 1,..., m. Ekkor az N N k = χ {Zj A k }, k = 1, 2..., m j=1 valószínűségi változók független, λq(a k ) paraméterű Poisson-eloszlású változók. Továbbá az N S k = Z j χ {Zj A k }, k = 1, 2..., m j=1 1

12 változók egymástól független, összetett Poisson-eloszlásúak. Bizonyítás: Feltehetjük, hogy teljesül a Q( m j=1a j ) = 1 feltétel, hiszen egyébként kiegészíthetnénk az A 1,..., A m rendszert az uniójuk komplementerével. Ekkor az (N 1,..., N m ) változók együttes eloszlása így írható: P (N 1 = k 1,..., N n = k m ) = P (N 1 = k 1,..., N n = k m N = k)p (N = k) = = k! k 1!k 2!... k m! Q(A 1) k1 λk km Q(A m ) k! e λ = [ m (λq(aj )) k ] j e λq(a j), j=1 k j! ahol k = k 1 + k k m, bizonyítva az első állítást. A második állítás bizonyításához vezessük be a Z 1 változó Z 1 A j feltétel melletti feltételes eloszlására a Q j jelölést. Azaz Q j (B) = P (Z 1 B A j ). Ekkor rendre feltételes valószínűségeket tekintve, az (N 1,..., N m, S 1,..., S m ) változók együttes eloszlása így írható: P (N 1 = k 1,... N m = k m, S 1 B 1,..., S m B m ) = P (S 1 B 1,..., S m B m ) = = λk k! e λ k! k 1! k m! Q(A 1) k1 Q(A m ) k m = m Q ( k 1) 1 (B 1 ) Q ( km) m (B m ) = { m j=1 j=1 k j = e λq(a j) (λq(a j)) k j k j! Összegezve N 1,..., N m lehetséges értékei szerint kapjuk, hogy e λq(a j) (λq(a j)) k j k j! Q ( k j) j (B j ) Q ( k j) } j (B j ). (2.2) A fenti kifejezésben az egyes tényezők a Q j mértékek konvolucióhatványainak Poisson-eloszlás szerint vett keverékét írják le. Ez pedig éppen az összetett Poisson-eloszlás egy lehetséges jellemzése. 11.

13 Mivel az együttes eloszlás szorzatra bomlik, tehát teljesül a függetlenség, továbbá a peremeloszlások (λq(a j ), Q j ) paraméterű összetett Poisson-eloszlások. Az állítás szerint tehát, ha összetett Poisson-eloszlás írja le a portfólióból származó összkár eloszlását, akkor az egyes káreseményeket nagyságuk szerint csoportosítva és az egyes csoportokon belül külön tekintve az összkár értékét, ismét összetett Poisson-eloszlásokat kapunk. Ez a tulajdonság igen hasznos az olyan esetekben, amikor a károknak nagyságuk szerinti osztályozására van szükség Összetett negatív binomiális modell Tegyük fel, hogy valamely rögzített időintervallumban bekövetkező káresemények száma adott paraméterű, Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Azonban a paraméter függhet a különböző körülményektől. Ha együttesen kívánjuk szemlélni az így keletkező kárszámeloszlást, melyben a különböző körülményeket eltérő súllyal akarjuk figyelembe venni, akkor Poisson-eloszlások keveréke adódik. Legyen tehát rögzített θ paraméterérték mellett N eloszlása θ paraméterű Poisson-eloszlás. Tegyük fel, hogy θ maga is valószínűségi változó, melynek eloszlása R. Jelölje az R eloszlás várható értékét µ R, szórásnégyzetét σ 2 R. Ekkor a keverékeloszlás várható értéke µ R, szórásnégyzete pedig µ R + σ 2 R. Tehát míglen a Poisson-eloszlás esetén a várható érték és a szórásnégyzet megegyezik, Poisson-eloszlások keveréke esetén a várható érték a triviális esettől eltekintve mindig kisebb, mint a szórásnégyzet. Ha a keverő mérték Gamma-eloszlás, akkor a keverék eloszlása negatív binomiális lesz. Valóban, a generátorfüggvény e θ(z 1) λα θ α 1 Γ(α) e λθ dθ = = λ α (λ (z 1)) α = ( 1 1 ) α λ (z 1), amely a negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye. Ha a kárnagyságok eloszlása független a θ paramétertől, akkor az összetett Poisson-eloszlások Gamma-eloszlás szerinti keveréke összetett negatív binomiális eloszlás lesz. 12

14 Negatív binomiális, illetve összetett negatív binomiális eloszláshoz más módon is eljuthatunk. Tegyük fel, hogy valamely biztosítási fajta során a biztosítási eseményeket Poisson-eloszlású valószínűségi változó adja meg, azonban minden biztosítási esemény során a károk száma véletlen mennyiség, melyet független, logaritmikus eloszlású valószínűségi változók írnak le. Ha ezeket M 1, M 2,... jelölik, a biztosítási események számát pedig N, akkor a károk teljes száma N j=1 M j lesz. Ekkor, kihasználva, hogy a logaritmikus eloszlás generátorfüggvénye log (1 z(1 p)) log p az adódó eloszlás generátorfüggvénye G(z) = { ( )} log (1 z(1 p)) exp λ 1 = log p = { } λ 1 z(1 p) log p = p, amely ismét a negatív binomiális eloszlás ge- ahol β = 1 p és r = λ p nerátorfüggvénye. = {1 β(z 1)} r, log p, 3. Kockázati folyamatok alapvető modelljei Gyakorta az idő függvényében vizsgáljuk az összkár értékét, ekkor modellünkben a kárszámot megadó N változó az idő függvénye, azaz sztochasztikus folyamat. Jelölje ezt N t, t. Ez másképpen a kárigényfolyamat. Ekkor az összkár is az idő függvénye, N t S t = Z i. i=1 Ez az ún. kárfolyamat. A kockázati tartalék leírásának másik két fontos eleme a díjbevételt megadó P t folyamat és a kezdeti tőke értéke. Azaz U t = u + P t S t, 13

15 ahol tehát P t u a kezdeti tőke értéke a díjbevétel értéke a [,t] időintervallumban S t a kárfolyamat. U t másképpen az ún. rizikófolyamat. (Megjegyzendő, hogy a rizikófolyamat fenti definíciójában a költségeket nem vettük figyelembe.) Megjegyezzük, hogy már eddig is, de később is számtalanszor fogjuk használni a kockázat kifejezést. A közgazdasági szakirodalomban számos definíciója szerepel ennek. (Lásd pl. [28].) Ebben a jegyzetben nem kísérlünk meg valamilyen új meghatározását adni ennek a hallatlanul fontos fogalomnak, a kockázat szó jelzőként szerepel csak. A szó hétköznapi jelentéstartalmát kihasználva kockázati folyamatról, kockázati tartalékról, kockázati modellekről beszélünk. E jegyzetben feltesszük, hogy u értéke állandó, nem függ a véletlentől Az összetett Poisson-folyamat Klasszikus rizikófolyamatról beszélünk abban az esetben, ha P t = ct, ahol c állandó N t λ paraméterű Poisson-folyamat Z i, i = 1, 2,... függetlenek és azonos eloszlásúak. Poisson-folyamat esetében, ha a paraméter λ, az N t N s (s t) növekmények Poisson-eloszlásúak, melynek paramétere λ(t s), azaz P (N t N s = k) = (λ(t s))k e λ(t s), k =, 1,... k! Ugyanakkor diszjunkt időintervallumokhoz tartozó növekmények különböző időtartamokban bekövetkező káresemények számai egymástól függetlenek. Másképpen: a folyamat független növekményű. N =. Ekkor az S t folyamat, amely tehát a független, azonos eloszlású Z j valószínűségi változók Poisson-tagszámú összege, ún. összetett Poisson-folyamat. 14

16 Gyakorta homogén Poisson-folyamatnak nevezik a fenti N t folyamatot, hangsúlyozva, hogy a növekmények eloszlásának paramétere csak az időtartam hosszától függ. Inhomogén Poisson-folyamatról beszélünk abban az esetben, ha a növekmények egymástól függetlenek, Poisson-eloszlásúak, azonban a megfelelő paramétert egy λ t monoton növekvő függvény adja meg az alábbi módon: N t N s eloszlása λ t λ s paraméterű Poisson-eloszlás. [Később találkozni fogunk ennek általánosításával, mikor a káresemények számát megadó Poisson-folyamat paramétere másképpen intenzitása maga is a véletlen függvénye, azaz sztochasztikus folyamat. Az így kapott folyamat az ún. Cox-folyamat.] Mivel vizsgálódásaink központi témája a rizikófolyamat viselkedése lesz, ezért kicsit tovább időzünk az e folyamattal kapcsolatos fontos definícióknál, konstrukcióknál. A rizikófolyamat t pillanatbeli értéke, N t, a [, t] időintervallumon bekövetkezett káresemények számát adja meg, így ezen folyamat értéke, mely tehát nemnegatív egész szám, csak ugrásszerűen, (azaz nem folytonosan) változhat. Bizonyos enyhe feltételek mellett megmutatható, hogy véges intervallumon csak véges sok ugrás következhet be (ami természetes elvárás a kárfolyamat esetében), ezért úgymond a folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények. Az egyes ugrások között eltelt időtartamok maguk is valószínűségi változók, jelölje őket ζ 1, ζ 2,.... Az n. ugrás időpontja legyen τ n. Tehát τ n = n i=1 ζ i. Homogén Poisson-folyamat esetén ζ i eloszlása exponenciális eloszlás, melynek paramétere megegyezik a Poisson-folyamat paraméterével. Tehát P (ζ i > x) = e λx. Ennek megfelelően τ n eloszlása Gamma-eloszlás, melynek rendje n, paramétere ugyancsak λ. Ha csak annyit teszünk fel, hogy a ζ 1, ζ 2,... változók függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor N t, t ún. felújítási folyamat. Az ehhez kapcsolódó kockázati folyamatok vizsgálata a 6.. részben történik. Könnyen megmutatható, hogy ha az N t folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények, melyekben az ugrások nagysága 1, és az egyes ugrások között eltelt időtartamok egymástól független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, N =, akkor N t λ paraméterű Poisson-folyamat. Az alábbi tétel jól mutatja, hogy a fentinél látszólag enyhébb feltételek is biztosítják már azt, hogy a folyamat Poisson-folyamat legyen. 15

17 Tétel 3.4 Ha az N t folyamat sztochasztikusan folytonos, trajektóriái tiszta ugró függvények, melyben az ugrások nagysága 1 értékű, a folyamat növekményei egymástól függetlenek, N =, akkor a folyamat Poisson-folyamat. Bizonyítás: (A folyamatot sztochasztikusan folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > esetén P ( N s N t > ɛ), ha s t, minden rögzített t mellett.) Könnyen megmutatható, hogy véges intervallumon a sztochasztikus folytonosság maga után vonja a sztochasztikus egyenletesen folytonosságot. Azaz tekintsük a folyamatot egy [, T ] intervallumon, T <. Legyen most ɛ > tetszőleges szám. Ekkor bármely τ > esetén létezik olyan pozitív δ > szám (mely persze függhet ɛ, τ, T értékétől), hogy bármely s, t [, T ], s t < δ esetén P ( N t N s > ɛ) < τ. Azaz konkrétan fogalmazva, ha a vizsgálandó véges hosszú időperiódusban bárhol tekintünk is egy igen pici időintervallumot, akkor nagy valószínűséggel nem történik káresemény abban az intervallumban. Rögzítsünk most egy T < számot, és tekintsük a folyamatot a [, T ] intervallumon. Azt kell megmutatnunk az N t folyamatról, hogy az N t N s valószínűségi változó eloszlása Poisson-eloszlás. Ehhez először a keresett Poisson-eloszlás paraméterét határozzuk meg. Mivel λ-paraméterű Poissoneloszlásban a valószínűsége éppen e λ, ezért az P (N t N s = ) valószínűségeket vizsgáljuk először. A folyamat sztochasztikusan egyenletesen folytonos a [, T ] intervallumon, ezért létezik olyan δ > érték, hogy P (N t N s = ) >, ha s t < δ. Tetszőleges t > s számokat választva a [, T ] intervallumból, elég nagy n érték mellett ( t s /n) < δ, ezért a folyamat független növekményűségét használva n P (N t N s = ) = P (N ti N ti 1 = ) >, ahol s = t < t 1 < < t n = t, és t i t i 1 = t s. Legyen tehát n i=1 λ t = logp (N t = ). Mivel {N s = } {N t = }, ha s < t, ezért λ t t monoton növő függvénye. Másfelől {N s = } {N t N s = } = {N t = }, ha s < t, így λ t λ s = logp (N t N s = ). 16

18 Az N t folyamat sztochasztikus folytonosságából következik, hogy λ t folytonos függvénye t-nek. Az kell megmutatnunk, hogy P (N t N s = k) = (λt λs)k e (λ t λ s ). Vegyük k! az [s, t] intervallum egy egyre finomodó felosztássorozatát. s = t n, < t n,1 < < t n,n = t, max i (t n,(i+1) t n,i ). Legyen Y n,k = N tn,k N tn,(k 1). Először igazoljuk, hogy és n P (Y n,k = 1) λ t λ s, k=1 n P (Y n,k > 1). k=1 (Ez utóbbi lényegében az ún. ritkasági feltétel kicsiny időintervallumokon lényegében csak két eset van, vagy nincsen ugráspont, vagy pontosan egy ugráspont van.) Vegyük észre, hogy λ t λ s = logp ( k Y n,k = ) = k log(1 P (Y n,k 1)) = = k P (Y n,k 1)[1 + O(max k P (Y n,k 1))]. Így tehát P (Y n,k 1) λ t λ s. k Ugyanakkor a {max k Y n,k > 1} események monoton zsugorodva az üres halmazhoz tartanak, tehát lim P (max k Y n,k > 1) =. De a {max k Y n,k > 1} eseményt szétbontva aszerint, hogy melyik kis intervallumon következik be az első ugrás, kapjuk, hogy P (max k Y n,k > 1) = = n k 1 P (Y n,j 1)P (Y n,k > 1) k=1 j=1 n n P (Y n,k > 1) P (Y n,j 1) = k=1 j=1 n P (Y n,k > 1)(1 P (max j Y n,j > 1)). k=1 17

19 Tehát n P (Y n,k > 1). k=1 A P (N t N s = k) = (λt λs)k e (λt λs) összefüggést indukcióval fogjuk k! igazolni. Az {N t N s = k} eseményt, tehát amikor k ugrás van az (s, t] intervallumon, bontsuk fel aszerint, hogy melyik részintervallumon következik be először ugrás, és az milyen nagyságú. Mivel azon valószínűségek összege is, hogy a kicsiny részintervallumok valamelyikén egynél több ugrás következik be, -hoz tart, így elég arra szorítkoznunk, mikor az első növekmény értéke 1. Azaz P (N t N s = k) = n = lim P (N tn,j 1 N s = )P (Y n,j = 1)P (N t N tn,j = k 1) = n j=1 n = lim P (N t N tn,j = k 1)[P (N tn,j 1 N s = ) P (N tn,j N s = )] = n k=1 = t s P (N t N v = k 1)d v e (λv λs) = (λ t λ s ) k e (λt λs), k! az indukciós feltevést használva. Hasonlóképpen lehet karakterizálni az összetett Poisson-folyamatot is. Bizonyítás nélkül mondjuk ki az alábbi tételt. Tétel 3.5 Ha az S t, t folyamat sztochasztikusan folytonos, független növekményű, az ugyanolyan hosszúságú időintervallumhoz tartozó növekmények azonos eloszlásúak, a folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények, S =, akkor a folyamat összetett Poisson-folyamat. Vegyük észre a fenti két tétel közötti lényeges különbséget. A második tételben nem tesszük fel, hogy az ugrások nagysága 1, viszont fel kell tennünk, hogy a növekmények eloszlása csak az időtartam függvénye. Ez talán nem túlságosan meglepő, ha belegondolunk abba, hogy a tétel állítása azt is tartalmazza, hogy az összetett Poisson-folyamat definíciójában szereplő összeadandók egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók. 18

20 A Poisson-folyamat dekompozíciója Megmutatjuk, hogy a 2.3 tétel általánosabban, Poisson-folyamatokra is igaz. Tekintsük az S t = N t j=1 Z j, t összetett Poisson-folyamatot. Tetszőleges A R esetén nézhetjük, hogy hány olyan káresemény történt a [, t] időintervallumon, melyben a kár értéke az A halmazba esett. Az így kapott N t Nt A = χ {Zi A} (3.1) i=1 folyamat az eredeti N t folyamat ritkítása, hiszen bizonyos, az eredeti kárigényfolyamatban meglévő időpontokat, ugráspontokat most nem veszünk figyelembe kiritkítjuk a folyamatot. Ha a Z i valószínűségi változók független, azonos eloszlásúak, melyek az N t kárigényfolyamattól is függetlenek, és p = P (Z i A), akkor az N t folyamat minden egyes ugrását egymástól függetlenül p valószínűséggel tartjuk meg mikor Z i értéke A-ba esik, és 1 p valószínűséggel elhagyjuk. Tétel 3.6 Ha az N t folyamat λ paraméterű homogén Poisson-folyamat, melyet p valószínűséggel ritkítunk, akkor a kapott N (p) t folyamat λp paraméterű Poisson-folyamat lesz. Bizonyítás: Mivel az eredeti folyamatban is az ugrások nagysága mindig 1 volt, ezért ez a tulajdonság a ritkítás után is megmarad. Így elég az ugrások között lévő időtartam eloszlását vizsgálni. Jelölje az első ugrás időpontját ξ. Ekkor ξ értéke korábbi ugrások között eltelt időtartamok összege hiszen bizonyos korábbi ugráspontokat most elhagytunk, mégpedig annak valószínűsége, hogy pontosan k darab exponenciális eloszlású valószínűségi változót kelljen összeadnunk, éppen (1 p) (k 1) p, hiszen k 1 korábbi káreseményt most nem veszünk figyelembe, viszont a k.-at már igen. Tehát x P (ξ < x) = (1 p) (k 1) λ k z k 1 p k=1 (k 1)! e λz dz = x (λz(1 p)) k 1 = λp e λz dz = k=1 (k 1)! x = λpe λpz dz. 19

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése, analízise

Informatikai rendszerek modellezése, analízise Informatikai rendszerek modellezése, analízise Dr. Sztrik János Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Lektorálta: Dr. Bíró József MTA doktora, egyetemi tanár 2 Jelen jegyzetet feleségemnek ajánlom, aki nélkül

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

Kárszámeloszlások modellezése

Kárszámeloszlások modellezése Kárszámeloszlások modellezése DIPLOMAMUNKA Írta: Talabér Dóra Edit Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Aktuárius szakirány Témavezető: Prokaj Vilmos egyetemi docens ELTE TTK Valószínűségelméleti és

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. I. rész Az alapvető problémák megfogalmazása. A valószínűségszámítás egyik alapvető feladata a következő kérdés vizsgálata: Legyen ξ 1,ξ 2,... független

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai 1. A probléma megfogalmazása. KÁLMÁN-FÉLE SZŰRŐK E jegyzet témája az úgynevezett Kálmán-féle szűrők vizsgálata. A feladat a következő. Adott egy x(0),x(1),..., több változós (együttesen) normális, más

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat)

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat) Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok Példatár és elméleti kiegészítések I. Rész (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

A Magyar Aktuárius Társaság Akkreditációs Bizottságának szakmai követelmény-rendszere 2012.

A Magyar Aktuárius Társaság Akkreditációs Bizottságának szakmai követelmény-rendszere 2012. A Magyar Aktuárius Társaság Akkreditációs Bizottságának szakmai követelmény-rendszere 2012. Általános alapozó ismeretek Az aktuáriusi ismereteket megalapozó matematikai, gazdasági és jogi témakörök. 1.

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

AZ ÁLTALÁNOSÍTOTT LINEÁRIS MODELL ÉS BIZTOSÍTÁSI ALKALMAZÁSAI

AZ ÁLTALÁNOSÍTOTT LINEÁRIS MODELL ÉS BIZTOSÍTÁSI ALKALMAZÁSAI MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK AZ ÁLTALÁNOSÍTOTT LINEÁRIS MODELL ÉS BIZTOSÍTÁSI ALKALMAZÁSAI A biztosítási károk alakulásának modellezésére jól alkalmazható az általánosított lineáris modell, amely alkalmas arra,

Részletesebben