DR. KINCZEL FERENC * Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy életbevágó sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DR. KINCZEL FERENC * Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy életbevágó sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése"

Átírás

1 DR. KINCZEL FERENC * Kszolgálás folyamat vzsgálata egy életbevágó sorbanállás jelenségben. Mentőszolgálat szmulácós modellezése 1. Bevezetés The examnaton of an attendance process n a fateful queueng ncdent. Modellng the ambulance smulaton The study demonstrates the overland ambulance s smulaton model of a smple actvty. The model has more ntentons: to forcast the rescue party and the state attrbute of the patents who are watng for medcal attendance, to reflect on secure but economc functonal condtons, and at last but not least, to create an own regstry, a desgner system that depends on an archved database. The most mportant nput parameters and factors are the regonal topology, the average of help requests per hour, the dstrbuton n tme, the number of rescue partes and average speed of the ambulance, the maxmum tme of gvng assstance, and the coeffcent of relatve varaton n the journey tmes. The model uses multcomponent generc dstrbutons nstead of applyng the Posson dstrbuton of onsets and the exponental dstrbuton of attendance. The randomzaton of rescue tmes uses derved emprc dstrbuton that follows Erlang dstrbuton. The tme consttuents of attendance: outset lag of rescue party, locale arrvng, gvng assstance, transportng the patent nto hosptal, and returnng to the staton. The MS Vsual Basc procedures further Excel applcaton was made by the model. The spreadsheets and the procedures show the followng results: approxmatve dstrbutons of attendance tmes and mean values, by consttuent and all n all, the approxmatve dstrbutons and mean values of avalablty tmes gear to the number of rescue partes; approxmatve dstrbutons of watng queue-length for attendance gear to the number of rescue partes; the expected value of maxmum queue-length per day, n case of watng and attendance; cumulatve ponters of watng tmes. The results are summarzed n tables and graphes. When expendng the applcaton you can have a clear vew of the resource data that are necessary for assurng requrements. A sorbanállás jelenségek analízsének ndítéka az, hogy a várakozó és a kszolgálás alatt álló sorok állapotjelzőnek valamlyen célrendszernek megfelelő optmumát felkutassa. A tárgykör klasszkus elmélete általában egyszerűsített modelleket fogalmaz meg, melyek sok esetben nem tükrözk hűen a vzsgáln kívánt folyamatot. A modellek általánosítása vszont gyakran különféle nehézségekbe ütközk. Pénzügy válságtól mentes dőszakban sem közömbös az állam költségvetésből fnanszírozott szervezetek működés, gazdálkodás mutatónak alakulása. Az említett ntézmények között jócskán akadnak olyanok, ahol a fenntartás szükségessége vtathatatlan, azonban a működés feltételek megteremtése kér- * BGF Pénzügy és Számvtel Kar Salgótarján Intézete, főskola docens. 1

2 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 déseket vet fel. Menny a sok vagy a kevés? A mnősítéshez mt érdemes mérn és hogyan? Egyáltalán léteznek-e alkalmas skálák? Az elvárható eredmény megítélése különösen akkor nehéz, ha a meghatározó tényezők valamelyke pénzben nem fejezhető k. A mentőszolgálat éppen egy lyen nehéz eset. A témakör egy barát megkeresés kapcsán akadt horogra : lehet-e adott feltételek mellett működő mentőállomás optmáls műszakbeosztását értelmezn, ha gen, mlyen formában? Bár a konkrét kutatásra vonatkozó megbízás szerződésből semm sem lett, a felvetés tucatny kérdést generál, ahol a válaszok mndegyke így kezdődhet: attól függ, hogy. A probléma középpontjában sorbanállás jelenség áll. Véletlenül befutó segélykérésekre a mentős kszolgálók általában helyszínre vonulnak, szükség esetén elsősegélynyújtás következk, ezután az ellátásra szorulót kórházba szállítják, végül a csapat vsszatér a bázsára. Az előző felsorolás érzékeltet, hogy e folyamatban a kszolgálás dő több véletlen tevékenység-dőtartam öszszege, így maga s valószínűség változó, amben a menetdők domnálnak. Ha pl. a komponensek közül kválasztjuk a helyszínre jutást, akkor belátható, hogy ez az dő a körzet területének nagyságán túl a körzethatárok geometrájától s függ valamlyen módon! Ez a tény már elegendő volt ahhoz, hogy a szerző az analtkus vzsgálat módszer feladása mellett döntsön! Az eredet kérdés (mentős munkarend) persze egy ettől jóval összetettebb rendszer vselkedését hvatott boncolgatn. Egy szárazföld mentőállomás szolgáltatás mnőségében legalább a következő tényezők jelennek meg: szakma (oxológa), technka, szervezés, gazdaságosság. A felsorolás egy logsztka szemléletű megközelítésre ösztönöz. Ha hozzátesszük azt az általánosan elfogadott nézetet, hogy a logsztka szolgáltatások színvonalát meghatározó legfontosabb tényezők a rendelkezésre állás dő, a kszolgálás dő és a szolgáltatás mnősége, akkor tovább ndoklásra nncs s szükség. A tanulmány kötött terjedelme matt azonban az előbb említettek közül tt a kvanttatív tényezők kapnak hangsúlyt, már csak azért s, mert a mentőknél a rendelkezésre állás és a kszolgálás dő kemelt mnősítő mutató. A problémának van egy sajátos érdekessége s, amt akár sorbanállás paradoxonnak s nevezhetnénk. Ez az ellentmondás a következő jelenségben nylvánul meg: a kszolgálók khasználásának fokozása a várakozó sorhossz mnden határon túl növekedéséhez vezethet [1]! 2. A beérkezések dősora A sorbanállás jelenségek analízsében nagy jelentőséget tulajdonítanak a POISSON-eloszlásnak. Legyen pn(t) annak a valószínűsége, hogy a 0 τ t dőntervallumban n segélykérés érkezk. Tételezzük fel a következőket: 2

3 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... A pn(t) valószínűség csak az ntervallum hosszától függ, de annak kezdetétől nem. Két segélykérés sohasem esk egy dőpontra. Bármely τ dőpontban vzsgált τ ntervallumra egy segélyhívás valószínűsége λ. τ, ha τ 0. A λ mennység neve átlagos beérkezés ráta, mértékegysége eseményszám/dőtartam. Ha az esemény sorozatra mndhárom feltételezés érvényes, a beérkezések dősora POISSON-eloszlású [4], ahol n λt ( λt) e pn( t) = n! Vlágos, hogy a mentők gyakorlatában a segélykérések λ eseménysűrűsége változó, vagy célszerű változónak teknten, hszen napszak és évszak ngadozásokat lehet kmutatn, ll. megmagyarázn. Ez a tapasztalat valóban értelmet adhat olyan feltételezéseknek, hogy egy hosszú deg változatlan munkarend esetleg nem lleszkedk megfelelően az ellátandó feladatokhoz. A segélykérés dősor randomzálásának követelménye: mnden segélykérés dőpont egy fktív év hh.nn.oo:pp:mm szerkezetű adatcsoportja (hh: hónap, nn:nap, oo: óra, pp: perc, mm:másodperc); a segélykérések száma a fktív évben az adott λ paraméterből számolt érték; segélykérés a fktív év bármelyk másodpercében bekövetkezhet; a hh.nn. adatszegmensbe eső segélykérések éves cklusdejű emprkus gyakorság sort követnek; az oo:pp:mm adatszegmens 24 órás cklusdejű emprkus gyakorság sornak felel meg. A felsorolt kényszerek szükségessé teszk a szmulácóban előforduló véletlen mennységek tetszőleges osztályközös gyakorságnak megfelelő generálását (továbbakban: generkus eloszlások). Természetesen önmagában s zgalmas feladat egy létező mentőállomás múltbel segélykérés dőpontjat összegyűjten és elemezn. Különösen gaz ez akkor, ha a cél egy saját archívum adatara támaszkodó nylvántartó és tervező rendszer létrehozása (akár tudományos dákkör témaként). 3. A kszolgálás folyamatmodell A modell középpontjában a jelenleg készültség sznten a kszolgálás folyamat szmulácója áll. Ez az eljárás határozza meg döntően az eredményeket, így azok felhasználhatóságát s. A közelítések és elhanyagolások torzító hatását csak a tapasztalat adatok elemzését követően lehet feltárn, ll. megbecsüln. A továbbak értelmezéséhez célszerű néhány fogalmat bevezetn, ll. pontosítan, mert a köznap szóhasználat nem fed pontosan a tanulmányban használt jelentést: Körzet: folytonos vonallal határolt összefüggő terület derékszögű koordnátarendszerben. Helyszín: körzetpont vagy körzet határpont, ahová segélynyújtást kérk (P). Akcó: kszolgálás folyamat, amt egy segélykérés ndít el. 3

4 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Bázs: körzetpont, a mentők támaszpontja, a körzet koordnátarendszerének orgója (O), ahonnan az akcók ndulnak és befejeződnek. Kórház: rögzített körzetpont (H), melyet az akcókban kötelezően érnten szükséges. Tranztpont: opconálsan helyszínhez rendelt körzetpont (T), amt akcóban érnten szükséges. Az eljárásban érvényesített feltételek: a körzethatár egyenes szakaszok összefüggő halmaza, melyek végpontja smertek (legfeljebb 50 koordnáta pár); a helyszín koordnátá x és y rányban egyenletes eloszlású véletlen számok; a bázsszám 1; a mentőegységek száma beállítható, de legfeljebb 10; a kórházszám 1; a mentőegységek az akcókban v átlagsebességgel mozognak; a reakcódő kettő, a kszolgálás dő négy tevékenység-dőtartam összege, az 1. táblázatban feltüntetett jellemzőkkel. 1. táblázat A reakcó- és kszolgálás dő szerkezete Reakcó Kszolgálás Időkomponens Érntett körzetpontok Eloszlás Mentőhány a bázson O Determnált Helyszínre jutás O, (T), P Erlang Elsősegélynyújtás P Normáls Kórházba szállítás P, (T), H Erlang Vsszatérés a bázsra H, O Erlang Bázspont mentőhány akkor lép fel, ha a segélykérés pllanatában a mentőegységek mndegyke akcóban vesz részt. Ekkor a legkorábban vsszatérő egység ndul újra, de a reakcódő megnövekszk a vsszaérkezés és a segélykérés között eltelt dővel. Az öt dőkomponens közül a helyszínre jutásé a főszerep, mert normál állapotú folyamat esetén meghatározza a reakcódőt, továbbá ettől függ a kszolgálás dő jelentős része s, am a helyszín kórház táv megtételéhez szükséges menetdőből adódk. Nem normál állapotú a folyamat, ha a várakozó sor hossza tartósan növekvő tendencát mutat. Egy helyszínpont és a helyszínre érkezés dő kszámításának algortmus vázlata a következő: a) P(X, Y) pontkoordnáták generálása egy körzetet befoglaló téglalap területen; b) döntés a pont hovatartozásról. Ha P körzethatáron kívül esk, vsszatérés az a) lépéshez; c) a bázs-helyszín távolság (d) kszámítása. Ha P olyan zónába esk, amhez nncs T tranztpont rendelve, akkor d := OP, egyébként d := OT+TP szakaszhossz; 4

5 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... d) a menetdő várható értékének kszámítása a d táv smeretében (t0 := d/v); e) t0 randomzálása (t0 tr). A menetdők kszámítása a PH és HO vszonylatban s a c), d), e) lépésekben leírtakhoz hasonlóan történk Generkus eloszlások A reálfolyamatok utánzása sokféle véletlen számot kíván meg. Szakszerűbben: a mesterséges mntával dolgozó szmulácós eljárások számára olyan véletlenszám-generátorra van szükség, am tetszőleges eloszlást követő értéksorozat előállítására képes. A generátor megalkotása jelentősen leegyszerűsödk, ha a tetszőleges eloszlást követő kfejezést adott osztályközös gyakorság sort követő -re cseréljük. Így az általánosság csak annyban csorbult, hogy lemondtunk a folytonosságról és azzal a szokásos ígérettel vgasztalhatjuk sajátmagunkat, hogy az osztályközöket mndaddg szűkíthetjük, amíg csak szükséges. Ide kívánkozk, hogy a generkus eloszlást nem csak a segélykérés dősorának előállításához használjuk, hanem a menetdők közel ERLANG-eloszlású randomzálásához s. Mnden generkus véletlen szám az MS-Vsual Basc-ből hívható RND függvény egy vsszaadott értékének transzformáltja. Magyar nyelvű Excel változatokban egyébként a VÉL névre hallgat, és köztudottan, egyenletes eloszlást produkál a [0, 1) ntervallumban. Működésének elve a lneárs kongruenca, ezért óvatosságból k kellett mutatn az smétlődő sorozat elemszámát. Ez közelít a 17 mllóhoz, am szélsőséges esetben s meghaladja az RND hívások számát a szmulácó közben. Legyen adott egy egyenletes eloszlású generátor értékkészletében fekvő ntervallum! Az átalakítás alapelve, hogy az de eső értékek száma elég sok kísérletet elvégezve egyenesen arányos az ntervallum hosszával. Ezt khasználva, a halmozott gyakorság grafkon értékkészletében generált egyenletes eloszlású R véletlen számból vetítéssel kapjuk a megoldást, amt az 1. ábra szemléltet. 1. ábra A generkus eloszlás származtatása Az elv folytonos sűrűségfüggvényre s alkalmazható, feltéve ha előállíthatók a szükséges határozott ntegrálok! Az eljárás alapadata az n elemű x és f vek- 5

6 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 tor, ahol x az osztályközök felső határat, f az abszolút gyakorságokat tartalmazza. Legyen H={x, f}. Relácók és összefüggések: 2 n 31, 1 n, x R, x < x+1, f N +, f1 = 0, továbbá kszámíthatók az F halmozott gyakorságok és az R véletlen szám. 0 RND < 1, F1 = 0, F = f j, R = Fn. RND. Jelölje k annak az osztályköznek a sorszámát, ahol (R Fk)(R Fk+1) 0 (1 k n 1), ekkor a generkus eloszlást követő r szám: R Fk r = xk + u = xk + ( xk+ 1 xk ) = G( Η ). f k Döntés a helyszín hovatartozásról j = 1 A segélykérés helyszínét megadó véletlen koordnáták előállítása után a szmulácós eljárásban vzsgálat következk (2. b) pont), am elem térnformatka feladat. Legyen az S síkban egy önmagába vsszatérő g vonal, és a g-hez nem tartozó P pont. Döntsük el, hogy P a g által körülzárt területre esk-e vagy sem? A 2. ábrán g önmagát s metsz a K1, K2 pontban. Az lyen tulajdonságú pontot a továbbakban kettőzött pontnak nevezzük. A körzethatár egyenes szakaszokból áll, esetünkben konvex vagy konkáv sokszög, smert helyzetű Q1, Q2,, QN csúcsponttal. 2. ábra A gyakorlat számára elfogadható egyszerűsítés, ha a csúcspontok halmazából kzárjuk a kettőzött pontokat. A körzethatárt alkotó egyenesek egyenletet vektoros formában célszerű megfogalmazn. A modellben használt jelölések magyarázatául a 3. ábra szolgál. A rajzon az - edk csúcspont környezete látható. A Q - Q+1 szakasz pontja megadhatók a ρ = r + α(r+1 r) (1) vektoregyenlettel, ha 0 α 1. Lényeges, hogy bármely P körzetpontot az orgóval összekötő O P szakasznak páros számú metszéspontja van g-vel, míg a körzeten kívül tartomány pontja esetében páratlan számú metszéspont keletkezk. Az O P szakasz pontjat a 3. ábra A jelölések magyarázata ρ = β. p (2) 6

7 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... egyenlet szolgáltatja, ahol p a P(X,Y) pont helyvektora és 0 β 1. Az O P szakaszra eső határpontok megszámlálása érdekében a csúcspontokkal azonos számú lneárs egyenletrendszert szükséges megoldan, amben az smeretlenek α és β: + 1, ha < N r + α ( rj r ) = β p j = ( = 1,..., N) (3) 1 egyébként. A j ndex bevezetésének oka az, hogy az utolsó szakasz végpontja Q1. A megoldásra a CRAMER-szabályt alkalmazva: A B α =, β =, (4), (5) C C ahol C x x = det y y j j X Y, A x = det y X Y, B x x = det y y j j x. y Az algortmus megszerkesztésekor kvételes esetnek számít, ha C = 0. Ilyenkor a (4), (5) hányadosok számlálótól függ a numerkus eljárás tovább menete. (6) alapján belátható, hogy az smeretlenek együtthatóból alkotott C determnánsa a következő esetekben zérus: a) X = Y = 0 P O (P egybeesk az orgóval, ez kzárható), b) x xj = y yj = 0 Q Qj (Q és Qj egybeesk, am szntén kzárható), c) Y / X = (y yj) / (x xj) a Q Qj szakasz párhuzamos az O P szakasszal. Ha A vagy B bármelyke nullától különböző érték, mközben C = 0, akkor α vagy β közül az egyk végtelenné válk, így nem teljesül a rájuk vonatkozó korlátozás, tehát a Q Qj, O P vszony nem befolyásolja az eredményt. Ez éppen a c) eset. Ha C = 0, és A vagy B bármelyke s nulla, tovább vzsgálat szükséges, mert a (4), (5) hányadosok 0/0 típusú határozatlan alakot öltenek. Az lyen esetekben Q Qj és O Q egy orgón átmenő egyenesen fekszk. Nylvánvaló, hogy ha ekkor fennáll a r p r j relácó s, akkor a Q pont körzethatárra esk, egyébként pedg nem befolyásolja az eredményt. A teljesség génye megkíván egy kegészítést: ha C = 0 és A = 0, akkor B s nulla, vagy ha C = 0 és B = 0, akkor A s nulla. Az állítás a (6), (7), (8) egyenletek felhasználásával könnyen bzonyítható. A megoldások közül azok esnek a latba, ahol 0 α 1 és 0 β 1. Legyen az előbb feltételnek megfelelő megoldások száma m. Ha m páros és O körzetpont, akkor P s körzetpont Menetdő randomzálás A közlekedés egyk jellemzője, hogy A és B pont között a menetdő valószínűség változó, amnek sűrűségfüggvényéről a következőket állíthatjuk: folytonos, létezk tmn>0 menetdő, amtől ksebb értékek bekövetkezésének valószínűsége 0, (6), (7), (8) 7

8 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 választható tmax>tmn olyan felső határ, melytől nagyobb érték valószínűsége tetszőlegesen kcs, létezk egy tmo legvalószínűbb és a t0 várható menetdő, am a [tmn, tmax) ntervallumban rendszernt tmn-hez közelebb esk. A továbbakban a [tmn, tmax) ntervallum elnevezése: használat tartomány. E krtérumoknak elvleg többféle gyakran használt sűrűségfüggvény s megfelel, melyek közül többek között a kezelhetősége matt az ERLANG-eloszlásra esett a választás. Tapasztalat adatok hányában a függvény llesztés tesztekre dág nem kerülhetett sor! Az ERLANG-sűrűségfüggvény eredet formája (ahol tmn =0): n µ n 1 t f( t) t µ = e. ( n 1)! A 4. ábra µ = 1 paraméterrel kszámított ERLANG-görbéket mutat. Látható, hogy n növelése egyre laposabb és ksebb aszmmetrát mutató, poztív t rányban elnyúló görbéket eredményez. A feladat nem egyéb, mnt egy randomzálásra alkalmas transzformácó megkeresése. A felhasznált elvek és megfontolások: n=2 és µ0=0,6638 választásával bztosítan lehet, hogy 10 vagy ennél nagyobb átfutás dő csak 1% valószínűséggel forduljon elő. Ennek alapján egy H hsztogramot lehet szerkeszten, ahol a használat tartomány pl. 10, egyenként egységny szélességű osztályközből áll, az f osztályközös gyakorságok pedg rendre kszámolhatók. F(t) előállítása és ném rendezgetés után µ0 értéke a 4. ábra ERLANG-sűrűségfüggvények 10µ 1 (10µ + 1) e = 100 egyenlet gyöke. Ekkor a várható érték nagyon közel áll 3-hoz, tehát a menetdő átlag a használat tartományt kb. 3:7 arányban osztja. A továbbakban a H adataval generált véletlen szám: r= G(H). A függvény-transzformácó végeredménye a véletlen tr menetdő: tmn tr < tmn+t. Ha a leképezésben a T terjedelem r terjedelmével arányos, továbbá előírjuk az állandó relatív szóródást, vagys T/t0=C=állandó, akkor az eredmény r 3 t r = t0 1 + C. 10 8

9 Az 5. ábra az f(t) ϕ(t) áttérés célhelyét mutatja, a magyarázatban szereplő jelölésekkel. Ha C=0, tr=t0 és az eredmény nem randomzált. Az s leolvasható, hogy 10/3-nál nagyobb relatív szóródás már negatív menetdőt adhat. Az eljárásokban alkalmazott ntervallum: 0 < C 1. DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA ábra Az áttérés célhelye 4. Az elemzések adatbázsa és az eredmények A paraméterek, az nput adatok, az eljárások, a generált adatbázs és az eredmények Excel munkafüzetben kaptak helyet, melynek munkalapja: Gyakorságok 4 grafkon típusú dagramot tartalmaz, melyek adattáblá egyben a generkus véletlen szám generátorok nput paramétere s. Dagramok: Segélykérés gyakorság óránként, Segélykérés gyakorság havonta, Menetdő Erlang eloszlás szernt. Körzet adatok Itt található a körzethatár defnícó, a kórház pozícója, és a tranztpontok koordnáta-táblája. A körzethatárokat változtatható méretarányú pontdagram szemléltet. A munkalapról leolvasható a körzet kerülete és területe s. Szmulácó A főeljárás paraméterezésére és ndítására szolgál. Eljárás vezérlő paraméterek és nput adatok: a kórház-bázs távolság (km, körzet adatokból számítva), a segélykérések átlagos száma óránként (legfeljebb 14), a megengedett legnagyobb rendelkezésre állás dő (perc), mentőegység szám (kezdőérték, végérték, egységny növekmény), a mentőegység mozgás átlagsebessége (km/h), a menetdők relatív szóródás tényezője (0<C 1), leghosszabb segélynyújtás dő a helyszínen (perc). A munkalapon folyamatjelző s található, am elgazítást ad a generált adatbázs készültség fokáról. A futásdő néhány óra s lehet! 9

10 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Naplók Ez a munkalap a szmulácós eljárás lerakodó helye. Két fktív naplóra oszlk. Az ún. bázsnapló tartalma megfelel A reakcó- és kszolgálás dő szerkezete c. táblázatnak. A bázsnapló legfeljebb naplóbejegyzésnek ad helyet. A mentőnapló mentőegységenként az ndulás, a helyszínre jutás és a vsszaérkezés dőpontját archválja. Mnden dőtartam és dőpont másodpercben tárolódk. Az eredmények számára a fenntartott munkalapok: kszolgálásdők; várakozásdők; sorhosszak; sorelemzések; összesítő. Adattáblák és dagramok: Kszolgálás dőkomponensek relatív gyakorsága (összes dőtartam, mnmum, átlag, maxmum, szórás). A rendelkezésre állás dő relatív gyakorsága és mutatószáma (kszolgálás ráta, khasználás tényező, kszolgálás üresjárat, összes dőtartam, maxmum, átlag, szórás). Ellátásra várakozók számának kumulált relatív gyakorsága a mentőegység szám függvényében. Ellátásra várakozó sorhossz maxmuma naponta. Bevetett mentőegység csúcs naponta. Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvénye a megengedett legnagyobb érték közelében, a mentőegység szám függvényében. Várakozásdő összesítő a mentőegység szám függvényében (ellátásra várók, mentők, összesen). Állapotjelzők a mentőegység szám függvényében (kszolgálás ráta, khasználás tényező, átlagos rendelkezésre állás dő és szórása). 6. ábra Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvénye a megengedett legnagyobb érték közelében 10

11 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... A 6. ábra egy dagramot mutat be a munkafüzetben található 20-ból. Ez arra ad választ, hogy az első 3 munkalapon beállított peremfeltételek mellett, egy kválasztott mentőegység szám (S) esetén, adott dőtartamtól (t) ksebb rendelkezésre állás dő mlyen valószínűséggel bztosítható. Pl. 12 percnél ksebb rendelkezésre állás valószínűsége, 6 mentőegységgel szervezett szolgálat estén kb. 97,6 %. Irodalom [1] BÓDI, Z.: On-lne számítógépes rendszerek működés és tervezés alapja. SZÁMALK. Budapest, [2] FELLER, W.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaba. Műszak Könyvkadó. Budapest, [3] GÁSPÁR, GY. HOSSZÚ, M.: Műszak Matematka VII. Matematka programozás. Tankönyvkadó, Budapest [4] GÁSPÁR, GY. RAISZ, I. SZARKA, Z.: Műszak matematka II. Tankönyvkadó, Budapest [5] KAUFMANN, A.: Az optmáls programozás (Módszerek és modellek). Műszak Könyvkadó. Budapest, [6] KORN, G. A. KORN, T. M.: Matematka kézkönyv műszakaknak. Műszak Könyvkadó. Budapest,

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. Alakzatok és minták detektálása

10. Alakzatok és minták detektálása 0. Alakzatok és mnták detektálása Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZTE http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ 2 Hough transzformácó Éldetektálás során csak élpontok halmazát

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből :

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből : Termeléstervezés és vállalatrányítás Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezés feladatok osztályozása témakörből : 1 Ismertesse az ütemezés feladatok háromelemes osztályozásának alapvető

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

A kísérlet, mérés megnevezése célkitűzései: Váltakozó áramú körök vizsgálata, induktív ellenállás mérése, induktivitás értelmezése.

A kísérlet, mérés megnevezése célkitűzései: Váltakozó áramú körök vizsgálata, induktív ellenállás mérése, induktivitás értelmezése. A kísérlet, mérés megnevezése célkitűzései: Váltakozó áramú körök vizsgálata, induktív ellenállás mérése, induktivitás értelmezése. Eszközszükséglet: tanulói tápegység funkcionál generátor tekercsek digitális

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze.

Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze. 9. előadás P(k) k Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból ndulunk k. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze. A fokszámok Posson eloszlásúak P( k) = e pn ( pn) k! k http://www.ct.nfn.t/cactus/applets/gant%20component.html

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Call centerek matematikai modellezése

Call centerek matematikai modellezése Debrecen Egyetem Informatka Kar Call centerek matematka modellezése Dplomamunka Témavezető: Dr Sztrk János MTA doktora egyetem tanár Készítette: Kovács József Programtervező matematkus szakos hallgató

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Kvantum-tömörítés II.

Kvantum-tömörítés II. LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben