DR. KINCZEL FERENC * Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy életbevágó sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése

Átírás

1 DR. KINCZEL FERENC * Kszolgálás folyamat vzsgálata egy életbevágó sorbanállás jelenségben. Mentőszolgálat szmulácós modellezése 1. Bevezetés The examnaton of an attendance process n a fateful queueng ncdent. Modellng the ambulance smulaton The study demonstrates the overland ambulance s smulaton model of a smple actvty. The model has more ntentons: to forcast the rescue party and the state attrbute of the patents who are watng for medcal attendance, to reflect on secure but economc functonal condtons, and at last but not least, to create an own regstry, a desgner system that depends on an archved database. The most mportant nput parameters and factors are the regonal topology, the average of help requests per hour, the dstrbuton n tme, the number of rescue partes and average speed of the ambulance, the maxmum tme of gvng assstance, and the coeffcent of relatve varaton n the journey tmes. The model uses multcomponent generc dstrbutons nstead of applyng the Posson dstrbuton of onsets and the exponental dstrbuton of attendance. The randomzaton of rescue tmes uses derved emprc dstrbuton that follows Erlang dstrbuton. The tme consttuents of attendance: outset lag of rescue party, locale arrvng, gvng assstance, transportng the patent nto hosptal, and returnng to the staton. The MS Vsual Basc procedures further Excel applcaton was made by the model. The spreadsheets and the procedures show the followng results: approxmatve dstrbutons of attendance tmes and mean values, by consttuent and all n all, the approxmatve dstrbutons and mean values of avalablty tmes gear to the number of rescue partes; approxmatve dstrbutons of watng queue-length for attendance gear to the number of rescue partes; the expected value of maxmum queue-length per day, n case of watng and attendance; cumulatve ponters of watng tmes. The results are summarzed n tables and graphes. When expendng the applcaton you can have a clear vew of the resource data that are necessary for assurng requrements. A sorbanállás jelenségek analízsének ndítéka az, hogy a várakozó és a kszolgálás alatt álló sorok állapotjelzőnek valamlyen célrendszernek megfelelő optmumát felkutassa. A tárgykör klasszkus elmélete általában egyszerűsített modelleket fogalmaz meg, melyek sok esetben nem tükrözk hűen a vzsgáln kívánt folyamatot. A modellek általánosítása vszont gyakran különféle nehézségekbe ütközk. Pénzügy válságtól mentes dőszakban sem közömbös az állam költségvetésből fnanszírozott szervezetek működés, gazdálkodás mutatónak alakulása. Az említett ntézmények között jócskán akadnak olyanok, ahol a fenntartás szükségessége vtathatatlan, azonban a működés feltételek megteremtése kér- * BGF Pénzügy és Számvtel Kar Salgótarján Intézete, főskola docens. 1

2 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 déseket vet fel. Menny a sok vagy a kevés? A mnősítéshez mt érdemes mérn és hogyan? Egyáltalán léteznek-e alkalmas skálák? Az elvárható eredmény megítélése különösen akkor nehéz, ha a meghatározó tényezők valamelyke pénzben nem fejezhető k. A mentőszolgálat éppen egy lyen nehéz eset. A témakör egy barát megkeresés kapcsán akadt horogra : lehet-e adott feltételek mellett működő mentőállomás optmáls műszakbeosztását értelmezn, ha gen, mlyen formában? Bár a konkrét kutatásra vonatkozó megbízás szerződésből semm sem lett, a felvetés tucatny kérdést generál, ahol a válaszok mndegyke így kezdődhet: attól függ, hogy. A probléma középpontjában sorbanállás jelenség áll. Véletlenül befutó segélykérésekre a mentős kszolgálók általában helyszínre vonulnak, szükség esetén elsősegélynyújtás következk, ezután az ellátásra szorulót kórházba szállítják, végül a csapat vsszatér a bázsára. Az előző felsorolás érzékeltet, hogy e folyamatban a kszolgálás dő több véletlen tevékenység-dőtartam öszszege, így maga s valószínűség változó, amben a menetdők domnálnak. Ha pl. a komponensek közül kválasztjuk a helyszínre jutást, akkor belátható, hogy ez az dő a körzet területének nagyságán túl a körzethatárok geometrájától s függ valamlyen módon! Ez a tény már elegendő volt ahhoz, hogy a szerző az analtkus vzsgálat módszer feladása mellett döntsön! Az eredet kérdés (mentős munkarend) persze egy ettől jóval összetettebb rendszer vselkedését hvatott boncolgatn. Egy szárazföld mentőállomás szolgáltatás mnőségében legalább a következő tényezők jelennek meg: szakma (oxológa), technka, szervezés, gazdaságosság. A felsorolás egy logsztka szemléletű megközelítésre ösztönöz. Ha hozzátesszük azt az általánosan elfogadott nézetet, hogy a logsztka szolgáltatások színvonalát meghatározó legfontosabb tényezők a rendelkezésre állás dő, a kszolgálás dő és a szolgáltatás mnősége, akkor tovább ndoklásra nncs s szükség. A tanulmány kötött terjedelme matt azonban az előbb említettek közül tt a kvanttatív tényezők kapnak hangsúlyt, már csak azért s, mert a mentőknél a rendelkezésre állás és a kszolgálás dő kemelt mnősítő mutató. A problémának van egy sajátos érdekessége s, amt akár sorbanállás paradoxonnak s nevezhetnénk. Ez az ellentmondás a következő jelenségben nylvánul meg: a kszolgálók khasználásának fokozása a várakozó sorhossz mnden határon túl növekedéséhez vezethet [1]! 2. A beérkezések dősora A sorbanállás jelenségek analízsében nagy jelentőséget tulajdonítanak a POISSON-eloszlásnak. Legyen pn(t) annak a valószínűsége, hogy a 0 τ t dőntervallumban n segélykérés érkezk. Tételezzük fel a következőket: 2

3 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... A pn(t) valószínűség csak az ntervallum hosszától függ, de annak kezdetétől nem. Két segélykérés sohasem esk egy dőpontra. Bármely τ dőpontban vzsgált τ ntervallumra egy segélyhívás valószínűsége λ. τ, ha τ 0. A λ mennység neve átlagos beérkezés ráta, mértékegysége eseményszám/dőtartam. Ha az esemény sorozatra mndhárom feltételezés érvényes, a beérkezések dősora POISSON-eloszlású [4], ahol n λt ( λt) e pn( t) = n! Vlágos, hogy a mentők gyakorlatában a segélykérések λ eseménysűrűsége változó, vagy célszerű változónak teknten, hszen napszak és évszak ngadozásokat lehet kmutatn, ll. megmagyarázn. Ez a tapasztalat valóban értelmet adhat olyan feltételezéseknek, hogy egy hosszú deg változatlan munkarend esetleg nem lleszkedk megfelelően az ellátandó feladatokhoz. A segélykérés dősor randomzálásának követelménye: mnden segélykérés dőpont egy fktív év hh.nn.oo:pp:mm szerkezetű adatcsoportja (hh: hónap, nn:nap, oo: óra, pp: perc, mm:másodperc); a segélykérések száma a fktív évben az adott λ paraméterből számolt érték; segélykérés a fktív év bármelyk másodpercében bekövetkezhet; a hh.nn. adatszegmensbe eső segélykérések éves cklusdejű emprkus gyakorság sort követnek; az oo:pp:mm adatszegmens 24 órás cklusdejű emprkus gyakorság sornak felel meg. A felsorolt kényszerek szükségessé teszk a szmulácóban előforduló véletlen mennységek tetszőleges osztályközös gyakorságnak megfelelő generálását (továbbakban: generkus eloszlások). Természetesen önmagában s zgalmas feladat egy létező mentőállomás múltbel segélykérés dőpontjat összegyűjten és elemezn. Különösen gaz ez akkor, ha a cél egy saját archívum adatara támaszkodó nylvántartó és tervező rendszer létrehozása (akár tudományos dákkör témaként). 3. A kszolgálás folyamatmodell A modell középpontjában a jelenleg készültség sznten a kszolgálás folyamat szmulácója áll. Ez az eljárás határozza meg döntően az eredményeket, így azok felhasználhatóságát s. A közelítések és elhanyagolások torzító hatását csak a tapasztalat adatok elemzését követően lehet feltárn, ll. megbecsüln. A továbbak értelmezéséhez célszerű néhány fogalmat bevezetn, ll. pontosítan, mert a köznap szóhasználat nem fed pontosan a tanulmányban használt jelentést: Körzet: folytonos vonallal határolt összefüggő terület derékszögű koordnátarendszerben. Helyszín: körzetpont vagy körzet határpont, ahová segélynyújtást kérk (P). Akcó: kszolgálás folyamat, amt egy segélykérés ndít el. 3

4 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Bázs: körzetpont, a mentők támaszpontja, a körzet koordnátarendszerének orgója (O), ahonnan az akcók ndulnak és befejeződnek. Kórház: rögzített körzetpont (H), melyet az akcókban kötelezően érnten szükséges. Tranztpont: opconálsan helyszínhez rendelt körzetpont (T), amt akcóban érnten szükséges. Az eljárásban érvényesített feltételek: a körzethatár egyenes szakaszok összefüggő halmaza, melyek végpontja smertek (legfeljebb 50 koordnáta pár); a helyszín koordnátá x és y rányban egyenletes eloszlású véletlen számok; a bázsszám 1; a mentőegységek száma beállítható, de legfeljebb 10; a kórházszám 1; a mentőegységek az akcókban v átlagsebességgel mozognak; a reakcódő kettő, a kszolgálás dő négy tevékenység-dőtartam összege, az 1. táblázatban feltüntetett jellemzőkkel. 1. táblázat A reakcó- és kszolgálás dő szerkezete Reakcó Kszolgálás Időkomponens Érntett körzetpontok Eloszlás Mentőhány a bázson O Determnált Helyszínre jutás O, (T), P Erlang Elsősegélynyújtás P Normáls Kórházba szállítás P, (T), H Erlang Vsszatérés a bázsra H, O Erlang Bázspont mentőhány akkor lép fel, ha a segélykérés pllanatában a mentőegységek mndegyke akcóban vesz részt. Ekkor a legkorábban vsszatérő egység ndul újra, de a reakcódő megnövekszk a vsszaérkezés és a segélykérés között eltelt dővel. Az öt dőkomponens közül a helyszínre jutásé a főszerep, mert normál állapotú folyamat esetén meghatározza a reakcódőt, továbbá ettől függ a kszolgálás dő jelentős része s, am a helyszín kórház táv megtételéhez szükséges menetdőből adódk. Nem normál állapotú a folyamat, ha a várakozó sor hossza tartósan növekvő tendencát mutat. Egy helyszínpont és a helyszínre érkezés dő kszámításának algortmus vázlata a következő: a) P(X, Y) pontkoordnáták generálása egy körzetet befoglaló téglalap területen; b) döntés a pont hovatartozásról. Ha P körzethatáron kívül esk, vsszatérés az a) lépéshez; c) a bázs-helyszín távolság (d) kszámítása. Ha P olyan zónába esk, amhez nncs T tranztpont rendelve, akkor d := OP, egyébként d := OT+TP szakaszhossz; 4

5 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... d) a menetdő várható értékének kszámítása a d táv smeretében (t0 := d/v); e) t0 randomzálása (t0 tr). A menetdők kszámítása a PH és HO vszonylatban s a c), d), e) lépésekben leírtakhoz hasonlóan történk Generkus eloszlások A reálfolyamatok utánzása sokféle véletlen számot kíván meg. Szakszerűbben: a mesterséges mntával dolgozó szmulácós eljárások számára olyan véletlenszám-generátorra van szükség, am tetszőleges eloszlást követő értéksorozat előállítására képes. A generátor megalkotása jelentősen leegyszerűsödk, ha a tetszőleges eloszlást követő kfejezést adott osztályközös gyakorság sort követő -re cseréljük. Így az általánosság csak annyban csorbult, hogy lemondtunk a folytonosságról és azzal a szokásos ígérettel vgasztalhatjuk sajátmagunkat, hogy az osztályközöket mndaddg szűkíthetjük, amíg csak szükséges. Ide kívánkozk, hogy a generkus eloszlást nem csak a segélykérés dősorának előállításához használjuk, hanem a menetdők közel ERLANG-eloszlású randomzálásához s. Mnden generkus véletlen szám az MS-Vsual Basc-ből hívható RND függvény egy vsszaadott értékének transzformáltja. Magyar nyelvű Excel változatokban egyébként a VÉL névre hallgat, és köztudottan, egyenletes eloszlást produkál a [0, 1) ntervallumban. Működésének elve a lneárs kongruenca, ezért óvatosságból k kellett mutatn az smétlődő sorozat elemszámát. Ez közelít a 17 mllóhoz, am szélsőséges esetben s meghaladja az RND hívások számát a szmulácó közben. Legyen adott egy egyenletes eloszlású generátor értékkészletében fekvő ntervallum! Az átalakítás alapelve, hogy az de eső értékek száma elég sok kísérletet elvégezve egyenesen arányos az ntervallum hosszával. Ezt khasználva, a halmozott gyakorság grafkon értékkészletében generált egyenletes eloszlású R véletlen számból vetítéssel kapjuk a megoldást, amt az 1. ábra szemléltet. 1. ábra A generkus eloszlás származtatása Az elv folytonos sűrűségfüggvényre s alkalmazható, feltéve ha előállíthatók a szükséges határozott ntegrálok! Az eljárás alapadata az n elemű x és f vek- 5

6 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 tor, ahol x az osztályközök felső határat, f az abszolút gyakorságokat tartalmazza. Legyen H={x, f}. Relácók és összefüggések: 2 n 31, 1 n, x R, x < x+1, f N +, f1 = 0, továbbá kszámíthatók az F halmozott gyakorságok és az R véletlen szám. 0 RND < 1, F1 = 0, F = f j, R = Fn. RND. Jelölje k annak az osztályköznek a sorszámát, ahol (R Fk)(R Fk+1) 0 (1 k n 1), ekkor a generkus eloszlást követő r szám: R Fk r = xk + u = xk + ( xk+ 1 xk ) = G( Η ). f k Döntés a helyszín hovatartozásról j = 1 A segélykérés helyszínét megadó véletlen koordnáták előállítása után a szmulácós eljárásban vzsgálat következk (2. b) pont), am elem térnformatka feladat. Legyen az S síkban egy önmagába vsszatérő g vonal, és a g-hez nem tartozó P pont. Döntsük el, hogy P a g által körülzárt területre esk-e vagy sem? A 2. ábrán g önmagát s metsz a K1, K2 pontban. Az lyen tulajdonságú pontot a továbbakban kettőzött pontnak nevezzük. A körzethatár egyenes szakaszokból áll, esetünkben konvex vagy konkáv sokszög, smert helyzetű Q1, Q2,, QN csúcsponttal. 2. ábra A gyakorlat számára elfogadható egyszerűsítés, ha a csúcspontok halmazából kzárjuk a kettőzött pontokat. A körzethatárt alkotó egyenesek egyenletet vektoros formában célszerű megfogalmazn. A modellben használt jelölések magyarázatául a 3. ábra szolgál. A rajzon az - edk csúcspont környezete látható. A Q - Q+1 szakasz pontja megadhatók a ρ = r + α(r+1 r) (1) vektoregyenlettel, ha 0 α 1. Lényeges, hogy bármely P körzetpontot az orgóval összekötő O P szakasznak páros számú metszéspontja van g-vel, míg a körzeten kívül tartomány pontja esetében páratlan számú metszéspont keletkezk. Az O P szakasz pontjat a 3. ábra A jelölések magyarázata ρ = β. p (2) 6

7 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... egyenlet szolgáltatja, ahol p a P(X,Y) pont helyvektora és 0 β 1. Az O P szakaszra eső határpontok megszámlálása érdekében a csúcspontokkal azonos számú lneárs egyenletrendszert szükséges megoldan, amben az smeretlenek α és β: + 1, ha < N r + α ( rj r ) = β p j = ( = 1,..., N) (3) 1 egyébként. A j ndex bevezetésének oka az, hogy az utolsó szakasz végpontja Q1. A megoldásra a CRAMER-szabályt alkalmazva: A B α =, β =, (4), (5) C C ahol C x x = det y y j j X Y, A x = det y X Y, B x x = det y y j j x. y Az algortmus megszerkesztésekor kvételes esetnek számít, ha C = 0. Ilyenkor a (4), (5) hányadosok számlálótól függ a numerkus eljárás tovább menete. (6) alapján belátható, hogy az smeretlenek együtthatóból alkotott C determnánsa a következő esetekben zérus: a) X = Y = 0 P O (P egybeesk az orgóval, ez kzárható), b) x xj = y yj = 0 Q Qj (Q és Qj egybeesk, am szntén kzárható), c) Y / X = (y yj) / (x xj) a Q Qj szakasz párhuzamos az O P szakasszal. Ha A vagy B bármelyke nullától különböző érték, mközben C = 0, akkor α vagy β közül az egyk végtelenné válk, így nem teljesül a rájuk vonatkozó korlátozás, tehát a Q Qj, O P vszony nem befolyásolja az eredményt. Ez éppen a c) eset. Ha C = 0, és A vagy B bármelyke s nulla, tovább vzsgálat szükséges, mert a (4), (5) hányadosok 0/0 típusú határozatlan alakot öltenek. Az lyen esetekben Q Qj és O Q egy orgón átmenő egyenesen fekszk. Nylvánvaló, hogy ha ekkor fennáll a r p r j relácó s, akkor a Q pont körzethatárra esk, egyébként pedg nem befolyásolja az eredményt. A teljesség génye megkíván egy kegészítést: ha C = 0 és A = 0, akkor B s nulla, vagy ha C = 0 és B = 0, akkor A s nulla. Az állítás a (6), (7), (8) egyenletek felhasználásával könnyen bzonyítható. A megoldások közül azok esnek a latba, ahol 0 α 1 és 0 β 1. Legyen az előbb feltételnek megfelelő megoldások száma m. Ha m páros és O körzetpont, akkor P s körzetpont Menetdő randomzálás A közlekedés egyk jellemzője, hogy A és B pont között a menetdő valószínűség változó, amnek sűrűségfüggvényéről a következőket állíthatjuk: folytonos, létezk tmn>0 menetdő, amtől ksebb értékek bekövetkezésének valószínűsége 0, (6), (7), (8) 7

8 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 választható tmax>tmn olyan felső határ, melytől nagyobb érték valószínűsége tetszőlegesen kcs, létezk egy tmo legvalószínűbb és a t0 várható menetdő, am a [tmn, tmax) ntervallumban rendszernt tmn-hez közelebb esk. A továbbakban a [tmn, tmax) ntervallum elnevezése: használat tartomány. E krtérumoknak elvleg többféle gyakran használt sűrűségfüggvény s megfelel, melyek közül többek között a kezelhetősége matt az ERLANG-eloszlásra esett a választás. Tapasztalat adatok hányában a függvény llesztés tesztekre dág nem kerülhetett sor! Az ERLANG-sűrűségfüggvény eredet formája (ahol tmn =0): n µ n 1 t f( t) t µ = e. ( n 1)! A 4. ábra µ = 1 paraméterrel kszámított ERLANG-görbéket mutat. Látható, hogy n növelése egyre laposabb és ksebb aszmmetrát mutató, poztív t rányban elnyúló görbéket eredményez. A feladat nem egyéb, mnt egy randomzálásra alkalmas transzformácó megkeresése. A felhasznált elvek és megfontolások: n=2 és µ0=0,6638 választásával bztosítan lehet, hogy 10 vagy ennél nagyobb átfutás dő csak 1% valószínűséggel forduljon elő. Ennek alapján egy H hsztogramot lehet szerkeszten, ahol a használat tartomány pl. 10, egyenként egységny szélességű osztályközből áll, az f osztályközös gyakorságok pedg rendre kszámolhatók. F(t) előállítása és ném rendezgetés után µ0 értéke a 4. ábra ERLANG-sűrűségfüggvények 10µ 1 (10µ + 1) e = 100 egyenlet gyöke. Ekkor a várható érték nagyon közel áll 3-hoz, tehát a menetdő átlag a használat tartományt kb. 3:7 arányban osztja. A továbbakban a H adataval generált véletlen szám: r= G(H). A függvény-transzformácó végeredménye a véletlen tr menetdő: tmn tr < tmn+t. Ha a leképezésben a T terjedelem r terjedelmével arányos, továbbá előírjuk az állandó relatív szóródást, vagys T/t0=C=állandó, akkor az eredmény r 3 t r = t0 1 + C. 10 8

9 Az 5. ábra az f(t) ϕ(t) áttérés célhelyét mutatja, a magyarázatban szereplő jelölésekkel. Ha C=0, tr=t0 és az eredmény nem randomzált. Az s leolvasható, hogy 10/3-nál nagyobb relatív szóródás már negatív menetdőt adhat. Az eljárásokban alkalmazott ntervallum: 0 < C 1. DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA ábra Az áttérés célhelye 4. Az elemzések adatbázsa és az eredmények A paraméterek, az nput adatok, az eljárások, a generált adatbázs és az eredmények Excel munkafüzetben kaptak helyet, melynek munkalapja: Gyakorságok 4 grafkon típusú dagramot tartalmaz, melyek adattáblá egyben a generkus véletlen szám generátorok nput paramétere s. Dagramok: Segélykérés gyakorság óránként, Segélykérés gyakorság havonta, Menetdő Erlang eloszlás szernt. Körzet adatok Itt található a körzethatár defnícó, a kórház pozícója, és a tranztpontok koordnáta-táblája. A körzethatárokat változtatható méretarányú pontdagram szemléltet. A munkalapról leolvasható a körzet kerülete és területe s. Szmulácó A főeljárás paraméterezésére és ndítására szolgál. Eljárás vezérlő paraméterek és nput adatok: a kórház-bázs távolság (km, körzet adatokból számítva), a segélykérések átlagos száma óránként (legfeljebb 14), a megengedett legnagyobb rendelkezésre állás dő (perc), mentőegység szám (kezdőérték, végérték, egységny növekmény), a mentőegység mozgás átlagsebessége (km/h), a menetdők relatív szóródás tényezője (0<C 1), leghosszabb segélynyújtás dő a helyszínen (perc). A munkalapon folyamatjelző s található, am elgazítást ad a generált adatbázs készültség fokáról. A futásdő néhány óra s lehet! 9

10 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Naplók Ez a munkalap a szmulácós eljárás lerakodó helye. Két fktív naplóra oszlk. Az ún. bázsnapló tartalma megfelel A reakcó- és kszolgálás dő szerkezete c. táblázatnak. A bázsnapló legfeljebb naplóbejegyzésnek ad helyet. A mentőnapló mentőegységenként az ndulás, a helyszínre jutás és a vsszaérkezés dőpontját archválja. Mnden dőtartam és dőpont másodpercben tárolódk. Az eredmények számára a fenntartott munkalapok: kszolgálásdők; várakozásdők; sorhosszak; sorelemzések; összesítő. Adattáblák és dagramok: Kszolgálás dőkomponensek relatív gyakorsága (összes dőtartam, mnmum, átlag, maxmum, szórás). A rendelkezésre állás dő relatív gyakorsága és mutatószáma (kszolgálás ráta, khasználás tényező, kszolgálás üresjárat, összes dőtartam, maxmum, átlag, szórás). Ellátásra várakozók számának kumulált relatív gyakorsága a mentőegység szám függvényében. Ellátásra várakozó sorhossz maxmuma naponta. Bevetett mentőegység csúcs naponta. Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvénye a megengedett legnagyobb érték közelében, a mentőegység szám függvényében. Várakozásdő összesítő a mentőegység szám függvényében (ellátásra várók, mentők, összesen). Állapotjelzők a mentőegység szám függvényében (kszolgálás ráta, khasználás tényező, átlagos rendelkezésre állás dő és szórása). 6. ábra Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvénye a megengedett legnagyobb érték közelében 10

11 DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... A 6. ábra egy dagramot mutat be a munkafüzetben található 20-ból. Ez arra ad választ, hogy az első 3 munkalapon beállított peremfeltételek mellett, egy kválasztott mentőegység szám (S) esetén, adott dőtartamtól (t) ksebb rendelkezésre állás dő mlyen valószínűséggel bztosítható. Pl. 12 percnél ksebb rendelkezésre állás valószínűsége, 6 mentőegységgel szervezett szolgálat estén kb. 97,6 %. Irodalom [1] BÓDI, Z.: On-lne számítógépes rendszerek működés és tervezés alapja. SZÁMALK. Budapest, [2] FELLER, W.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaba. Műszak Könyvkadó. Budapest, [3] GÁSPÁR, GY. HOSSZÚ, M.: Műszak Matematka VII. Matematka programozás. Tankönyvkadó, Budapest [4] GÁSPÁR, GY. RAISZ, I. SZARKA, Z.: Műszak matematka II. Tankönyvkadó, Budapest [5] KAUFMANN, A.: Az optmáls programozás (Módszerek és modellek). Műszak Könyvkadó. Budapest, [6] KORN, G. A. KORN, T. M.: Matematka kézkönyv műszakaknak. Műszak Könyvkadó. Budapest,