Fuzzy Rendszerek. 1. előadás. Ballagi Áron egyetemi adjunktus. Széchenyi István Egyetem, Automatizálási Tsz.

Átírás

1 Fuzzy Rendszerek. előadás Ballagi Áron egyetemi adjunktus Széchenyi István Egyetem, utomatizálási Tsz. Előadó Ballagi Áron egyetemi adjunktus Széchenyi István Egyetem, utomatizálási Tanszék C707-es szoba Tel.: Vi-.

2 Irodalom Kóczy T. László, Tikk Domonkos, Botzheim János: Intelligens Rendszerek Kóczy T. László, Tikk Domonkos: Fuzzy Rendszerek Typote Kiadó, Budapest, Stuart J. Russel, Peter Norvig: Mesterséges Intelligencia modern megközelítésben Panem-Prentice P Hall, Budapest, Lefteri H. Tsoukalas, Robert E. Uhrig: Fuzzy and Neural pproaches in Engineering John Wiley & Sons Inc., New York, Mesterséges Intelligencia?! 4 Vi-. 2

3 z intelligencia egyszerű definíciója z intelligencia a tapasztalatokból való tanulás, az elvont fogalmakban való gondolkodás és a környezet hatékony kezelésének képessége. z a tulajdonság, amit egy megfelelően standardizált intelligencia teszt mér. 5 z intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai szándékosság (intentionality) rugalmasság (fleibility) produktív lustaság (productive lazyness) 6 Vi-. 3

4 z intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai Szándékosság Olyan belső állapotokkal való rendelkezés képessége, melyek időben, vagy térben többé-kevésbé távoli, vagy teljesen elvont objektumokra, vagy szituációkra vonatkoznak, illetve utalnak. szándékos állapotok magukban foglalják pl.: az elmélkedést, egyenletek vizsgálatát, tűnődést egy lehetséges tevékenységen, egy fogalom elképzelését 7 z intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai Rugalmasság asság Kezeli a széles és változatos szándékos agyi tartalmakat, pl. a célok, objektumok, problémák, tervek, környezetek, stb. típusainak választékát, ez foglalkozik az új szituációkkal, felhasználva a régi ismereteket, új módon kombinálva és transzformálva azokat. rugalmasságból eredő képességek: Kérdések sokaságának felvetése Összetett problémák leegyszerűsítése 8 Vi-. 4

5 z intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai Produktív lustaság a felesleges munka elkerülését jelenti Másként számolja ki az emberi agy a 200! - 200! =? feladatot, mint a számítógép. Előny: a kombinatorikus robbanás elkerülése Magába foglalja: szimmetriák, viszonylatok, egyszerűsítő összefüggések felfedezését általánosítás képességét Igényli a tanulás képességét: azt a képességet, hogy új koncepciókat formáljunk. 9 z intelligencia mérése Teszttípusok Teljesítménytesztek: jelenleg mit tudunk teljesíteni Képességtesztek: gyakorlás után mire leszünk képesek, jóslás ilyen az intelligencia teszt is Érvényesség: azt mérje, amit mérni szeretnénk Megbízhatóság: ismételve közel ugyanolyan eredményt adjon 0 Vi-. 5

6 z intelligencia teszt Lewis Terman Binet teszt (iskola érettség teszt) átdolgozása amerikai gyerekek értékelésére, 96. William Stern javaslatára bevezette az IQ hányadost: IQ = MK/ÉK *00 (MK mentális kor, ÉK életkor) Átlagos intelligencia érték: 90-0, értelmi fogyatékosság: 70 alatt, zsenialitás 40 feletti értéknél. Egyetemi és főiskolai hallgatók : IQ ~ 20. Külön pontozott területek: verbális gondolkodás, absztrakt-vizuális gondolkodás, számolás, rövidtávú memória Mesterséges intelligencia z I (rtificial Intelligence = Mesterséges Intelligencia) elnevezést McCarthy alkalmazta először 956-ban a dartmouthi találkozón. kifejezés elterjedése Marvin Minsky 96-ben megjelent "Steps towards artificial intelligence" című cikkének köszönhető Cél: az intelligens entitások megértése és ilyen entitások építése 2 Vi-. 6

7 Mesterséges intelligencia definíciók Emberi módra gondolkodó rendszerek Izgalmas újszerű kísérlet, hogy a számítógépet gondolkodásra késztessük tudatos gépek, e fogalom és teljes és szó szerinti értelmében (Haugeland, 985) z emberi gondolkodással asszociálható olyan aktivitások [automatizálása], mint pl. a döntéshozatal, a problémamegoldás, a tanulás, (Belmann, 978) z olyan funkciókat teljesítő gépi rendszerek létrehozásának a művészete, amikhez az intelligencia szükséges, ha azt emberek teszik (Kurzweil, 990) nnak tanulmányozása, hogy hogyan lehet a számítógéppel olyan dolgokat művelni, amiben pillanatnyilag az emberek jobbak (Rich és Knight, 99) Emberi módra cselekvő rendszerek Racionálisan gondolkodó rendszerek mentális képességek tanulmányozása számítási modellek segítségével (Charniak és McDermott, 985) z észlelést, a következtetést és a cselekvést biztosító számítási mechanizmusok tanulmányozása (Winston, 992) Egy olyan kutatási terület, amely a számítási folyamatok segítségével megkísérli megmagyarázni és emulálni az intelligens viselkedést (Schalkoff, 990) számítógépes tudományok egy ága, amely az intelligens viselkedés automatizálásával foglalkozik (Luger és Stubblefield, 993) Racionálisan cselekvő rendszerek 3 Turing mesterséges intelligencia definíciója lan Turing: az intelligens viselkedés az emberi teljesítmény olyan szintű elérésének képessége bármilyen kognitív feladatban, hogy egy külső kérdezőt be lehessen csapni Mi kell hozzá? természetes nyelvfeldolgozás a sikeres emberi nyelvű párbeszédhez tudásreprezentáció a megszerzett információ tárolására automatizált következtetés, tárolt információt a válaszok formálására és az új következtetések levonására használjuk gépi tanulás az új körülményekhez való adaptálódáshoz, a mintázatok detektálására és általánosítására 4 Vi-. 7

8 Turing teszt (950) tesztet lan Turing fogalmazta meg a(z igazi) mesterséges intelligencia minősítésére. Turing a COMPUTING MCHINERY ND INTELLIGENCE c. cikkében tette fel a kérdést: "Can machines think?", azaz "Tudnak a gépek gondolkodni?" gondolkodó gép címre pályázó számítógép megítélésére alkotta meg tesztjét. tesztet általánosították az emberhez hasonlóan gondolkodó gépből kiindulva az emberhez hasonlóan cselekvő gép irányába (gépi látás + robotika) 5 Fuzzy rendszerek 6 Vi-. 8

9 risztotelészi logika 7 Taichi Yin-Yang Yang logika 8 Vi-. 9

10 Hagyományos és Fuzzy halmaz Egy hagyományos halmaz Egy fuzzy halmaz 9 Hagyományos és Fuzzy halmaz 20 Vi-. 0

11 hagyományos halmazok ={a,a 2,a 3,,a n } Egy elem halmazba tartozása egyértelműen megállapítható. Ha beletartozik, úgy ezt egy logikai igaz, ha nem azt egy logikai hamis értékkel jellemezzük. z, hogy egy elem beletartozik-e -ba 0 vagy értékkel jelemezhető. 2 hagyományos halmazok -pl Magas emberek halmaza: = { X 80 } ha 80 karakterisztikus függvény : χ () ={ 0 ha < 80 χ () 80 [cm] 22 Vi-.

12 határozatlanság formái Sztochasztikus: kocka dobás,... Lingvisztikus: magas ár, alacsony kor,... Információs: őszinteség, hitelesség,... Hagyományos halmazok segítségével nem vagy csak nagyon nehezen reprezentálhatók. 23 Fuzzy Logika fuzzy logika alkalmazása lehetővé teszi a mindennapi életben megszokott, korábban igen nehezen kezelhető nyelvi fogalmak (pl. magas, alacsony, öreg, fiatal) matematikai kezelését. fuzzy logika a többértékű logikák sorába tartozik, tehát ellentétben a kétértékű logikával, ahol az érték vagy igaz vagy hamis köztes állapot nincsen, itt az igaz és hamis közti értékeket is meg tudunk különböztetni (pl. talán igaz). fuzzy logika műveletei fuzzy halmazokra épülnek 24 Vi-. 2

13 Történeti áttekintés 965 L. Zadeh: a fuzzy halmazok első leírása (a fuzzy időszámítás kezdete) 973 L.. Zadeh: az első fuzzy következtető rendszer fuzzy algoritmusok 974 E.H. Mamdani: az első működő fuzzy vezérlés (gőzgép gp vezérlése) 985 Megjelenik a fuzzy chip (Bell Labs) 988 z Omron elkezdi árulni fuzzy szabályozó rendszerét 25 Fuzzy halmazok Két értékű 0 80 Magasság [cm] 70 cm 90 cm Fuzzy "elég magas ember" ( μ = 0.8 ) "nem túl magas ember" μ ( = 0.3 ) 0 80 Magasság [cm] 26 Vi-. 3

14 Fuzzy halmazok Minden halmazbeli a k elemhez hozzárendelünk egy számot, általában 0 és között, ami jellemzi az elem halmazba tartozásának mértékét. fuzzy tagsági érték megmutatja, hogy egy adott a k elem mennyire tartozik bele a halmazba: nagyon, kissé, kevésbé, vagy egyáltalán nem. 27 Fuzzy halmazok z X univerzumon értelmezett fuzzy halmaz az elemek és az ezekhez tartozó tagsági értékek által alkotott rendezet számpárok halmaza, {(, μ ( )) } = X hozzárendelést tagsági függvénynek nevezzük, mely egy fuzzy halmaz esetén: μ : X [0,] 28 Vi-. 4

15 Fuzzy halmazok diszkrét elemű halmaz esetén: n = μ( )/ + μ( 2)/ 2 + μ( 3)/ 3 + μ( n)/ n = μ( i)/ i i= Pl.: Magas emberek halmaza: Magas = 0 / / / / /85 + /90 + /95 folytonos elemű halmaz esetén: = μ ( ) u 29 Fuzzy halmazok pl. Testmagasság univerzum: X : Magas emberek halmaza: μ magas : X [0,] magas μ = testmagasság (cm) 30 Vi-. 5

16 Tagsági függvény típusok Háromszög b a c a c μ( abc ;,, ) = ma min,,0 b a c b 3 Tagsági függvény típusok Trapéz b c a d a d μ( abcd ;,,, ) = ma min,,,0 b a d c 32 Vi-. 6

17 Tagsági függvény típusok Gauss ( m) 2 2 σ μ( ; σ, m) = e 33 Tagsági függvény típusok Általánósított haranggörbe μ ( abc ;,, ) = b + a 2c 34 Vi-. 7

18 Tagsági függvény típusok Szigmoid μ( ab ;, ) = + e a( b) 35 Tagsági függvény típusok Szakaszonként lineáris b c d a e 36 Vi-. 8

19 Tagsági függvény típusok Singleton b c a μ( a) = 0. μ( b) = 0.8 μ() c = 37 Fuzzy halmazok jellemzői Nyelvi változó Nyelvi értékek Testmagasság középtermetű alacsony magas Tagsági függvények X univerzum ha a = ha 60 < < ha 65 0 ha 60 vagy ha 60 < < 65 5 k = ha ha 75 < < ha m = ha 75 < < 80 5 ha Vi-. 9

20 Fuzzy halmazok: az α - vágat Valamely adott fuzzy halmazhoz az α vágat minden α [0,] értékre az α { ( ) α} = 0.5 = [ 75,205] α = Fuzzy halmazok: az α - vágat z α vágatok fontos tulajdonsága, hogy megfordítják az eredetí α [0,] értékek rendezettségét, azaz minden α,α 2 [0,], α <α 2 esetén α α2 α α = 2 α2 α 2 = α α = α α = 0.5 z α vágatok egymásba ágyazott halmazcsaládot alkotnak 40 Vi-. 20

21 Fuzzy halmazok: szigorú α - vágat Valamely adott fuzzy halmazhoz az α+ szigorú α vágat minden α [0,] értékre az { ( ) α} = > α = ( 75,205) α = Fuzzy halmazok: a szinthalmaz z fuzzy halmaz összes egymástól különböző α vágatát tartalmazó halmazt szinthalmazának nevezzük. { α α } Λ ( ) = ( ) = valamilyen X-re [ ] Λ ( ) = 0, f { } Λ ( ) = 0,0.,0.4,0.6,0.8, d 42 Vi-. 2

22 Fuzzy halmazok: lényeges α - vágatok Szakaszonként lineáris fuzzy halmazok esetén (pl.: háromszög, trapéz, stb.) azon α [0,] értékeket, melyeknél a tagsági függvénynek töréspontja van, lényeges α vágatoknak nevezzük. * Λ = { } * ( ) 0, Fuzzy halmazok: a hordozó z X univerzumon értelmezett fuzzy halmaz hordozója (support) S() halmaz, mely tartalmazza az X univerzum összes olyan elemét amelynek tagsági értéke nem nulla: { μ } S( ) = X ( ) > 0 S( ) = ( 70,20) supp 44 Vi-. 22

23 Fuzzy halmazok: a mag z X univerzumon értelmezett fuzzy halmaz magja (core) az a C() halmaz, mely tartalmazza minden olyan elemét, melynek tagsági értéke egy: { μ } C( ) = X ( ) = C( ) = [ 85,200] core 45 Fuzzy halmazok: a magasság fuzzy halmaz magassága (height) hgt() a halmazban levő legnagyobb tagsági függvényérték: hgt( ) = ma ( μ ( )) height Normalizált a fuzzy halmaz, ha a magassága egységnyi: ( ) hgt = 46 Vi-. 23

24 Fuzzy halmazok: konveitás Konve valamely X univerzumon értelmezett fuzzy halmaz, ha valamennyi α vágata konve halmaz ( + ( ) 2) min [ ( ), ( 2) ] μ λ λ μ μ 2 [ ],, λ 0, α Fuzzy halmazműveletek Komplemens definiálható bármely olyan c függvény segítségével, amely megfelel a következő aiomának: [ ] [ ] c :0, 0, μ ( ) c( μ ( )) = : c(0)= () és c()=0 () [ ] X 2: ab, 0,, ha a<b, akkor ca ( ) cb ( ) (c monoton nem növekvő) 48 Vi-. 24

25 Zadeh-féle standard komplemens c( μ ( )) = μ ( ) = μ ( ) X μ ( ) Sugeno komplemensek osztálya μ ( ) cλ ( μ ( )) = + λμ( ) X λ > c ( ( )) λ = μ c ( ( )) λ = 50 μ Vi-. 25

26 Yager féle komplemensek c ( ( )) ω ( ( )) ω ω μ = μ X ω > 0 c ( ( )) ω= 3 μ c ( ( )) ω= μ Fuzzy halmazműveletek Metszet: Fuzzy t-norma (metszet) definiálható bármely olyan t függvény segítségével, amely megfelel a következő aiómáknak: t : 0, 0, 0, [ ] [ ] [ ] ( ) t[ ( ), ( ) ] μ = μ μ X B B : t(,)= t(0,)=t(,0)=t(0,0)=0 (határfeltétel) 2: t(a,b)=t(b,a) (kommutatív) 3: ha a a és b b akkor tab (, ) tab (, ) (monoton) 4: t(t(a,b),c) = t(a,t(b,c)) (asszociatív) 52 Vi-. 26

27 Zadeh féle metszet [ ] t( μ ( ), μ ( )) = μ ( ) = min μ ( ), μ ( ) X B B B μ μb ( ) B 53 Schweitzer - Sklar féle metszet S p p p S( μ ( ), μb( )) = μ B( ) = ma( 0, ( μ( )) + ( μb( )) ) t μ μb X p S μ ( ) B p = Vi-. 27

28 Hamacher féle metszet H μ ( ) μ B ( ) th( μ ( ), μb( )) = μ B( ) = r + ( r) μ ( ) + μ ( ) μ ( ) μ ( ) μ μb ( ) B B X r > S μ ( ) B r = 5 55 Yager féle metszet Y w w w Y( μ ( ), μb( )) = μ B( ) = min(, ( μ( )) + ( μb( )) ) t μ μb X w > Y μ ( ) B w = Vi-. 28

29 Fuzzy halmazműveletek Fuzzy s-norma (t-conorma, unió) definiálható bármely olyan s függvény segítségével, amely megfelel a következő aiómáknak: s :0, 0, 0, [ ] [ ] [ ] ( ) s[ ( ), ( ) ] μ B = μ μb X : s(0,0)=0 s(0,)=s(,0)=s(,)= ( 0) ( (határfeltétel) l) 2: s(a,b)=s(b,a) (kommutatív) 3: ha a a és b b akkor s( ab, ) sa (, b ) (monoton) 4: s(s(a,b),c) = s(a,s(b,c)) (asszociatív) 57 Zadeh féle unió ( μ ( ), μ ( )) = μ ( ) = ma ( μ ( ), μ ( )) s B B B μ μb X ( ) B 58 Vi-. 29

30 lgebrai unió a lg ( ) s lg μ ( ) μ ( ) = μ ( ) = μ ( ) + μ ( ) μ ( ) μ ( ) a B B B B μ μb X μ alg ( ) B 59 Korlátos unió ( μ ( ) μ ( )) = μ korl ( ) = min(, μ ( ) + μ ( )) s korl B B B μ μb X μ korl ( ) B 60 Vi-. 30

31 Fuzzy halmazok tulajdonságai,b és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok.. kommutatív B = B B = B 2. asszociatív ( B C) = ( B) C ( B C) = ( B) C 3. disztributív ( B C) = ( B) ( C) ( B C) = ( B) ( C) 4. idempotenciális = és = 6 Fuzzy halmazok tulajdonságai,b és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok. 5. identitás 0 = és X = 6. tranzitív 7. involució ha 0= 0 és X = X akkor B C C = Fuzzy halmazok esetén is alkalmazhatók a DeMorgan szabályok: B= B B= B 62 Vi-. 3

32 Fuzzy halmazok tulajdonságai Figyelem! X Fuzzy reláció z n darab ab, 2 2,,, n halmaz a fuzzy relációja eácójaaz X X 2 X n univerzumon értelmezett fuzzy halmaz, ahol i az X i univerzumon értelmezett halmaz és az a direkt (Descartes) szorzat jele: R n (( a, a,..., a ), μ ( a, a,..., a )) 2 n R 2 n = ( a, a2,..., an ) 2... n 64 Vi-. 32

33 Fuzzy reláció z n darab, 2 2,,, n fuzzy halmaz direkt szorzata zata az X X 2 X n univerzumon értelmezett fuzzy halmaz: R n ( μ ) ( a, a2,..., an), R( a, a2,..., an) ( a, a2,..., an) 2... n, = μr( a, a2,..., an) = min i( μ( ai)) Két tetszőleges halmaz relációját bináris relációnak nevezzük. 65 Fuzzy reláció Diszkrét, véges elemszámú e fuzzy halmazok esetén a relációt legeggyszerübben tagsági függvény mátriszal adhatjuk meg. R(X,Y) y y 2 y Vi-. 33

34 Fuzzy reláció Egy R(X,Y) fuzzy reláció értelmezési tartományának (domain, domr(x,y)) nevezzük azt az X-en értelmezett fuzzy halmazt, melynek tagsági függvényértékei: μ domr ( ) = ma μ ( y, ), X y Y Egy R(X,Y) fuzzy reláció értékkészletének (range, ranr(x,y)) nevezzük azt az Y-on értelmezett fuzzy halmazt, melynek tagsági függvényértékei: μ ranr R ( y) = ma μ ( y, ), y Y X R 67 Fuzzy reláció Egy R(X,Y) fuzzy reláció magasságának (h(r)) nevezzük azt a valós számot, amely a reláció legmagasabb tagsági foka: hr ( ) = mama μ ( y, ), y Y X h( R) = h( domr) = h( ranr) R Ha h(r)=, akkor az R normális fuzzy reláció, egyébként szubnormális. 68 Vi-. 34

35 Fuzzy reláció Függvénynek nevezzük az X és Y fuzzy halmazokon értelmezett R(X,Y) bináris relációt, ha nem létezik olyan értelmezési tartománybeli eleme, amelyhez a reláció két értékkészletbeli elemet rendelne: X-hez nem létezik y, y2 Y, hogy R (, y ) > 0 és Ry (, ) > 0, ahol y y Fuzzy reláció Egy R(X,Y) bináris fuzzy reláció inverzének nevezzük azt az R - (X,Y) relációt, ahol: μ ( y, ) = μr ( y, ) (, y) X Y R domr X Y ranr X Y (, ) = (, ) domr XY = ranrxy ( R ) (, ) (, ) = R 70 Vi-. 35

36 Fuzzy reláció ( ) X X X X 2 n i univerzum u ee elemeit etaz n i sorozattal (vektor) jelölhetjük: =,,..., ( 2 n ) ( ) {, 2,...,, } i X n i = n i Xi i n z y sorozat az sorozat részsorozata ( y ), ha az sorozat tagjainak csak egy részét tartalmazza: ( ) ( ) n = i X, y = y j J X, J i n i i j j J j n y =, j J i j 7 Projekció Legyen R(X( X 2 X n )egy fuzzy reláció, eácó,ekkor R Y jelöli R-nek az Y halmazra vetített projekcióját, melynek tagsági függvénye: μ ahol Y = X j J ( y) = ma μ ( ) R Y y { j n} R, y az sorozat részsorozata Kisebb dimenziószámra vetíti a relációt 72 Vi-. 36

37 Projekció ( R Y ) Y R ( R X ) X 73 Hengeres kiterjesztés Legyen R(X( X 2 X n )egy fuzzy reláció, eácó,ekkor R X Y jelöli R-nek az X-re vett hengeres kiterjesztését, melynek tagsági függvénye: μ ( ) = μr ( y) R X Y -re, ahol y az sorozat részsorozata Olyan dimenziókra terjeszti ki a relációt, melyekre az korábban nem volt definiálva (az X-ben megtalálhatóak de az Y-ban nem (X-Y)). 74 Vi-. 37

38 Hengeres kiterjesztés Y ( R X Y) R X 75 Hengeres lezárt Valamely relációt közelíthetünk e az egyes dimenzióira vett vetületei hengeres kiterjesztésének metszetével, azok hengeres lezártjával: μ { } ( ) = min μ ( ) cyl R i i I Ri X Yi cyl{ R } { } ahol i R reláció Ri i I i vetületeken alapuló hengeres lezártja 76 Vi-. 38

39 Hengeres lezárt Y ( R Y) ( R2 X) R X 77 Fuzzy kompozició fuzzy kompozíció általános alakja az s- és t-normával leírva (s-t kompozíció): ( ) μpstq, (,) z = s t μp(, y), μq(,) y z, yy X z Z Zadeh-féle ma-min kompozíció: μpq(, z) = mamin μp(, y), μq( y, z), y Y X z Z 78 Vi-. 39

40 Köszönöm a figyelmet! Kérdések? 79 Vi-. 40