25. előadás: BIZONYTALANSÁG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "25. előadás: BIZONYTALANSÁG"

Átírás

1 25. előadás: BIZONYTALANSÁG Kertesi Gábor Muraközy Balázs Varró László Varian 12. fejezete átdolgozva

2 25.1 Bevezető A bizonytalanság az élet velejárója. A jövő nem látható előre. Gazdasági döntéseinket is annak tudatában kell meghoznunk, hogy a véletlen szeszélye folytán vagy más, általunk nem befolyásolható folyamatok eredményeként jövedelmünk és fogyasztási lehetőségünk a tervezetthez képest megváltozhat. Gyakran megeshet velünk az, hogy rosszabb helyzetbe kerülünk, mint amire számítunk. Számos esetben hozhatunk azonban olyan gazdasági döntést a lottószelvény-vásárlásától a balesetbiztosításig, melynek révén megváltoztathatjuk a dolgok kimenetelét. A bizonytalan körülmények között hozott döntések és az azokra épülő piacok elemzése a mikroökonómia egyik legizgalmasabb területe fólia Az előző órán azt vizsgáltuk, milyen következményekkel jár döntési modelljeinkre nézve az idő múlása, ha pontosan tudjuk, hogy mire számíthatunk a jövőben. A döntéshozókról feltételeztük, hogy pontosan ismerik döntéseik következményeit. Ezt a helyzetet szemlélteti a fólián látható A eset. A mai előadáson olyan szituációkat fogunk elemezni, ahol a döntés meghozatalakor nem ismerjük pontosan döntésünk következményeit. Az egyszerűség kedvéért viszont most az idő múlásától tekintünk el. Ezt a helyzetet szemlélteti a fólián látható B eset. Azt tudhatjuk esetleg, hogy milyen lehetséges kimenetelekre számíthatunk ( c, c, c ), de hogy e lehetséges kimenetelek közül végül is melyik fog realizálódni, azt előzetesen (ex ante) nem tudhatjuk. Utólag (ex post) persze okosak lehetünk, de ezzel többnyire nem megyünk sokra. Ha nem készültünk fel előre a többféle lehetséges kimenetelre, akkor semmilyen mértékben sem kezeltük a bizonytalanságot. Utólag, a bizonytalan kimenetelű esemény bekövetkezése után ex post már nem tudjuk magunkat a kedvezőtlen körülményektől megóvni, illetve nem tudjuk a kedvező körülményekben rejlő lehetőségeket kiaknázni. A bizonytalan kimenetelű eseményekre mindig előzetesen ex ante kell felkészülni. A mai előadás tárgya az, hogy a gazdasági döntések meghozatalánál miként lehet ez megtenni. A probléma komplett tárgyalása az volna, ha egyszerre vennénk figyelembe az idő múlását és a bizonytalanságot is. Ezt az helyzetet szemlélteti a C eset. Erre azonban az ilyen jellegű modellek bonyolultsága miatt egy alapozó árelméleti kurzus keretei között aligha kerülhet sor. Mindazonáltal az A és B típusú panelekből kellő kreativitással összerakhatók ilyen jellegű, komplettebb modellek is Néhány valószínűségszámítási fogalom Mielőtt belekezdenénk a bizonytalanság melletti döntések elméletének kifejtésébe, ismételjünk át röviden néhány valószínűségszámítási fogalmat! Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét a következőképpen definiálhatjuk: 25.2 fólia 2

3 A mellékelt példa a félévi mikroökonómia jegy várható értékére ad becslést a számtani átlag formulájának felhasználásával. Egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját a következőképpen definiálhatjuk: 25.3 fólia A varianciára is adunk egy becslést a szórásnégyzet formulájának segítségével. A variancia a valószínűségi változó változékonyságát méri Véletlentől függő feltételes fogyasztás A bizonytalanság melletti döntések megértéséhez be kell vezetnünk egy új fogalmat: a természeti állapot fogalmát. Egy természeti állapot (világállapot) nem más, mint egy véletlenszerű esemény lehetséges kimenetele. Egy lehetséges természeti állapot lehet például egy farmer számára az, amikor az időjárás kedvező. Egy másik természeti állapot lehet ennek az ellenkezője: az, ha az időjárás kedvezőtlen. Egy tőzsdei spekuláns számára az árfolyamok növekedése vagy csökkenése, illetve egy nyersolajfelhasználó számára az iraki válság gyors és békés rendeződése vagy annak harci cselekményekkel is járó tartós megoldatlansága lehet egy-egy világállapot. A természeti állapotok száma természetesen nem csak kettő lehet. A kimenetelek száma a szituációtól függ. Kockadobás esetén például hat, egyforma valószínűséggel bekövetkező, egymástól különböző kimenetelre számíthatunk. Feltesszük, hogy a döntéshozónak nincs befolyása arra, hogy melyik természeti állapot milyen valószínűséggel következik be. Ezt a kikötést a mai előadás során mindvégig fenntartjuk. Az információ közgazdaságtanának alapelemeit ismertető jövő heti előadás során azonban lesz olyan eset, amikor feloldjuk. Az egyszerűség kedvéért induljunk ki egy olyan esetből, amelyben mindössze két természeti állapot lehetséges: leég a házunk vagy nem ég le. Legyen π annak valószínűsége, hogy leég, ( 1 π ) pedig annak valószínűsége, hogy nem ég le. Ha leég a házunk, azzal K értékű kár ér bennünket. Amennyiben y jövedelemmel rendelkezünk, fogyasztási lehetőségeinket a különböző természeti állapotokban a következő ábrán foglalhatjuk tömören össze fólia Ha leég a ház, akkor fogyasztásra költhető jövedelmünk nagysága ( y K) értékűre csökken; ha sikerül a tűztől házunkat megóvni, akkor jövedelmünk y marad. Most tételezzük fel, hogy γκ biztosítási díj ellenében bárki köthet olyan biztosítást, amely a kár bekövetkezése esetén teljes fedezetet nyújt egy esetleges tűz során bekövetkezett kárra. γ az egységnyi megtérített kárra jutó biztosítási díjtétel, azaz a kárelhárítás egységára. Normál körülmények között γ < 1. Ha biztosítást kötünk, fogyasztásunk a két világállapotban azonos: akár bekövetkezik a szerencsétlenség, akár nem, ( y γk) a jövedelmünk. 3

4 25.5 fólia A biztonságnak ára van: γ K értékben akkor is kevesebb lesz a jövedelmünk, ha nem ég le a ház. Cserébe viszont, a káresemény bekövetkezése után nem ( y K), hanem ennél nagyobb, ( y γk) lesz a jövedelmünk ( 0 < γ < 1). Mielőtt továbblépnénk, ismerkedjünk meg egy újabb fogalommal: a véletlentől függő, feltételes fogyasztási terv (contingent consumption plan) fogalmával. Egy feltételes fogyasztási terv a véletlenszerű események minden kimenetelére, azaz minden egyes természeti állapotra tartalmazza azt, hogy mennyit fogunk fogyasztani. A biztosítás vásárlásának esetében a feltételes fogyasztást biztosítási szerződés formájában írjuk le: mennyi pénzünk lenne, ha a veszteség bekövetkezik, és mennyi, ha nem. Ha a véletlentől függő, feltételes fogyasztási tervet közönséges fogyasztási kosárnak fogjuk fel, akkor ugyanabban a fogalmi keretben tudunk dolgozni, mint amelyet a fogyasztási elméletben megszoktunk. A bizonytalan kimeneteleket úgy illesztjük be a standard fogyasztási elmélet megszokott keretei közé, hogy a termékek terét a bizonytalan kimenetelek számától függően kitágítjuk. Ha például determinisztikus (bizonytalanságot nem tartalmazó) közegben egy kéttermékes modellben gondolkodunk, akkor abban az esetben, ha a bizonytalanság körülményei között mondjuk tíz lehetséges kimenetelre számíthatunk, akkor a bizonytalanságot is tartalmazó (szochasztikus) modellt úgy tudjuk a bizonyosság melletti döntés (determinisztikus) modelljének analógiájára elképzelni, mintha egy kétszer tíz termékből álló determinisztikus modellel lenne dolgunk. Ez a mély gondolat amelynek első megfogalmazása Kenneth Arrow 1, amerikai közgazdász nevéhez fűződik, tette lehetővé a közgazdászok számára azt, hogy a bizonytalanságot az árelmélet szokásos eszközeivel kezelni tudják. Ez az eljárás ugyan nem küszöböli ki a véletlen szerepét, mégis azzal, hogy elgondolhatóvá teszi a különböző természeti állapotok fennállása esetén rendelkezésünkre álló termékekkel való "kereskedést", olyan piacok létesítésének teremti meg az elvi alapját, amelyek a bizonytalan kimenetelekből adódó kedvezőtlen következmények hatását képesek enyhíteni. "Kereskedés" (trading) az, ha a feltételes fogyasztó tervek közti választás révén jövedelmet csoportosítunk át egy adott természeti állapotból egy másik természeti állapotba. A farmer megteheti, hogy burgonyát termel, ami jó és rossz időben egyaránt megterem, de nem túl jövedelmező. Az eper sokkal nagyobb jövedelmet hoz jó idő esetén, de szinte semmit sem hoz, ha kedvezőtlenek az időjárási viszonyok. Ha a farmer az eper mint feltételes fogyasztási terv mellett dönt, akkor a burgonytermelés esetéhez képest jövedelmet csoportosít át a kedvezőtlen időjárás természeti állapotából a kedvező időjárás természeti állapotába. 1 Kenneth J. Arrow (1921-), Nobel-díjas amerikai közgazdász. A véletlentől függő, feltételes fogyasztással kapcsolatos gondolatait Arrow egy ötven évvel ezelőtt megjelent, korszakalkotó tanulmányában fejtette ki először: Le rôle des valeurs boursières pour la répartition la meilleurre des risques. Ėconometrie (Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique), 1953, 11. évfolyam, old. A tanulmány ismertebb forrása: The role of securities in the optimal allocation of risk-bearing. Review of Economic Studies, 1963, 31. évfolyam, old. 4

5 A spekuláns dönthet arról, hogy bankszámlán tartja-e a pénzét, ahol csak állandó kamatot kap, vagy részvényeket vesz inkább, melyeknek az ára jelentősen ingadozik. Gazdasági fellendülések idején a részvényvásárlás a bankbetétnél magasabb hozammal (nagyobb fogyasztással) kecsegtet, gazdasági visszaesések ide-jén azonban alacsonyabb hozammal (kevesebb fogyasztással) jár. A lehetséges feltételes fogyasztási tervek és természeti állapotok eredményeit a kifizetési mátrixba sűríthetjük. A mátrix oszlopai a különböző természeti állapotokat jelentik: a T természeti állapot azt jelenti, hogy tűz lesz és leég a házunk, az N természeti állapot pedig azt, hogy nem ég le a házunk. A sorokban a fogyasztási tervek szerepelnek: az A terv azt jelenti, hogy nem kötünk biztosítást, a B terv pedig azt, hogy A teljes biztosítást kötünk. A mátrix elemei a fogyasztást jelentik: pl. c T azt jelenti, hogy mennyit fogyasztunk, ha leég a házunk és nem kötöttünk biztosítást fólia A kockázatot matematikailag úgy ragadhatjuk meg, mint fogyasztási lehetőségeink szóródását a különböző természeti állapotokban. Vannak kockázatmentes fogyasztási tervek, mint a krumpli vetése vagy a bankbetét. Minél változékonyabb az egyes természeti állapotokban a lehetséges fogyasztás, annál kockázatosabb az adott fogyasztási terv. Rulettezéskor például tehetünk egy színre, ahol 50 százalékos valószínűséggel duplázunk 2 vagy tehetünk számra, ahol kis valószínűséggel nyerhetünk sokat. Ha a kaszinó tisztességes szabályokat alkalmaz, akkor e két fogyasztási terv várható értéke azonos ugyan, szórása azonban biztosan különböző. Az utóbbi stratégia sokkal kockázatosabb. Egy fogyasztási terv nemcsak attól lehet kockázatosabb, ha nagyon alacsony kifizetések is lehetségesek, hanem attól is, ha nagyon magas kifizetések is vannak (például ha számra teszünk a ruletten, akkor ennek nagyon magas a kockázata: sok 0 kifizetés van és csak egy 36-szoros. Ha ez az egy kifizetés 72-szeres lenne, akkor a várható érték duplájára, a szórás pedig 2- szeresére nőne: ez egy kockázatosabb termék, bár köznapi értelemben nem neveznénk annak). A hasonlóság mellett van egy fontos különbség a bizonyosság, illetve a bizonytalanság körülményei között hozott fogyasztói döntések között. Bizonyosság esetén a választott optimális jószágkombináció valamennyi elemét elfogyasztja a fogyasztó, bizonytalanság esetén azonban a feltételes fogyasztási terv csak előzetesen (ex ante) értelmezhető jószágkombinációként, utólag (ex post) abból ténylegesen csak a valóban bekövetkezett természeti állapotnak megfelelő fogyasztás valósul meg. A bizonytalanság melletti fogyasztói döntés feltételes fogyasztási tervek közötti optimalizálást jelent. A gazdasági szereplők bizonytalanság jelenlétében ugyanúgy racionálisan hozzák meg döntéseiket, mint amikor a bizonyosság körülmé-nyei között tevékenykednek. Ez annyit jelent, hogy úgy igyekeznek megtalálni a számukra legkedvezőbb alternatívát, hogy közben figyelembe veszik döntéseik korlátozó feltételeit. 2 Ha eltekintünk a 0-tól 5

6 A fogyasztói döntések standard elméletének két meghatározó fogalma volt a költségvetési korlát és a hasznossági függvény. Némi változtatással ezek a fogalmak jól alkalmazhatók a bizonytalanság melletti döntések elemzésekor is Költségvetési korlát: a fogyasztási lehetőségek átcsoportosíthatósága a különböző természeti állapotok között A bizonytalanság melletti fogyasztói döntés modelljét a biztosítás példáján fogjuk bemutatni. A korábbi példát felelevenítve, tegyük fel, hogy fogyasztónk y jövedelemmel rendelkezik, ám π valószínűséggel K nagyságú tűzkár érheti. Lehetősége van azonban arra, hogy a tűzkárra biztosítást kössön, Ez a biztosítás γ * X forintnyi biztosítási díj fejében ( 0 < γ < 1) tűzkár esetén X forintnyi kártérítést fizet. A fogyasztó maga dönti el, hogy milyen összegre (mekkora X-re) kíván biztosítást kötni. (Ez a valóságban nincs így. A biztosítók a fogyasztók választási lehetőségeit nagyon is bekorlátozzák. Ennek ellenére, most a modell kifejtése során az egyszerűség kedvéért ezt tesszük fel.) 25.7 fólia A problémát a ábrán látható koordinátarendszerben ábrázoljuk. A vízszintes tengely mentén a T ("tűz lesz, és leég a házunk") világállapotban realizálható fogyasztást, illetve jövedelmet mérjük ( c T ), a függőleges tengelyen pedig az N ("nem lesz tűz") világállapotban realizálható fogyasztást, illetve jövedelmet ( c N ). A releváns síknegyed bármely pontja egy feltételes fogyasztási tervet reprezentál. Ha nem kötünk biztosítást, akkor az ( y K, y ) koordinátákkal jelölt pontban vagyunk. Ha tökéletes biztosítással kiegyenlítettük a két természeti állapot fogyasztási lehetőségeit, akkor egy origóból kiinduló 45 fokos egyenesre kerülünk; pontosabban a szóban forgó egyenesnek a ( y γk, y γk ) koordinátájú pontjába. Ezt az egyenest bizonyossági egyenesnek nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy ha az egyenesen vagyunk, akkor a két eltérő világállapot ellenére ugyanarra a jövedelemre számíthatunk. A biztosítás lehetővé teszi, hogy az eredeti ( y K, y ) készletpontból elmozduljunk. Ha K értékre kötünk biztosítást, akkor is le kell mondanunk γ K értékű fogyasztásról, ha nem következik be a káresemény. Cserébe viszont, ha leég a házunk, nem kell y K jövedelemmel (fogyasztással) megelégednünk. Ha van biztosításunk, akkor kár esetén fogyasztásunk pontosan ( K γk ) értékkel lesz nagyobb annál a jövedelemnél, amivel biztosítás hiányában kellene beérnünk. A kedvező természeti állapotbeli fogyasztásunk egy részét egyszerűen elcseréltük a kedvezőtlenebb természeti állapotbeli fogyasztásunkra. A káresemény nélküli állapotban rendelkezésünkre álló fogyasz-tásból γ K mennyiségről lemondunk annak érdekében, hogy a kár bekövetkezése esetén rendelkezésünkre álló fogyasztási lehetőséget ( 1 γ ) K mennyyiséggel növeljük fólia 6

7 A két természeti állapot közti csere aránya: γ. 1 γ A standard fogyasztói elméletben a költségvetési korlát bármely pontját választhatja elvileg a fogyasztó. Bizonytalansági modellünk eddigi kifejtése során csak két fogyasztási tervet és két természeti állapottól függő fogyasztási szint kombinációt ad-tunk meg. A biztosítás mértékének megválasztásával azonban el tudunk jutni az A és B pontot összekötő szakasz tetszés szerinti pontjába. A biztosítás hiánya és a teljes biztosítás között végtelen egyéb kisebb-nagyobb mértékű, részleges ( 0 < k < K ) biztosítás megkötésére adódik lehetőség fólia Az ily módon definiált költségvetési korlát azonban nem ér el a tengelyekig, ami felveti nagyon furcsa sarokmegoldások veszélyét. Ez a probléma is kezelhetővé válik azonban, ha megengedjük azt, hogy a ház értékénél nagyobb összegre ( k > K ) is köthessünk biztosítást. Ekkor el tudjuk érni a bizonyossági egyenes alatti régiót, azaz meg tudunk adni olyan feltételes fogyasztási tervet is, mely szerint fogyasztásunk akkor nagyobb, amikor leég a házunk fólia A gondolatmenet teljessé tétele érdekében vizsgáljuk meg ezek után azt, hogy hová kerülnénk az adott fogyasztási térben, ha nemhogy biztosítást nem kötünk, de még TV-t vagy egyéb vagyontárgyakat is kölcsön kérünk lakásunk komfortosabbá tétele érdekében. Ha nincs tűz (az N természeti állapot áll fenn), akkor fogyasztásunk ettől még magasabb, mert például TV-t is nézhetünk. Ha tűz pusztít, akkor viszont nem csak a lakást magát éri kár, hanem az elégett kölcsön TV-t is pótolnunk kell. Ekkor tehát az A pontból a balra felfelé, a függőleges tengely felé mozdultunk el. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel bár erre nincs garancia, hogy ezen elmozdulás áraránya megegyezik a biztosításéval, azaz nincs törés a költségvetési korlátban. A költségvetési egyenes szaggatott része tehát arra utal, hogy itt nem nyilvánvaló, hogy mekkora annak meredeksége, inkább csak feltételezzük az átváltási arány fennmaradását fólia A ábrán a folytonossá tett költségvetési halmazt a költségvetési egyenest látjuk. Amint most megmutattuk: a kiinduló készletpont adta fogyasztási lehetőségeinkből, megfelelő (biztosítási) piac kialakulása esetén, elmozdulhatunk az imént meghatározott költségvetési egyenes mentén Várható hasznosság A fogyasztói döntés standard modelljéhez hasonlóan a bizonytalanság esetén is hasznossági függvény segítségével jelenítjük meg a fogyasztó preferenciáit. A döntéshozó preferenciáit is a természeti állapotok által meghatározott fogyasztási térben értelmezzük. 7

8 Egy kockázatos döntés mérlegelésekor nyilvánvalóan tekintettel vagyunk a "nyeremény" nagyságára és a nyerés (a kimenetelek bekövetkezésének) valószínűségére is. Ezért a hasznossági függvényt az egyes természeti állapotok valószínűségeinek ( π 1, π 2,..., π n) és a bekövetkezésük esetén lehetséges fogyasztás értékeinek ( c 1, c2,..., cn) függvényében írjuk fel. Ha csak két természeti állapot van, akkor az egyik a másikat nyilvánvalóan kizárja: π1 = 1 π 2. A hasznossági függvény ilyenkor egyszerűbben is felírható fólia E hasznossági függvény konkrétabb formáját illetően az elemzésekhez a legalkalmasabbnak az úgynevezett Neumann 3 Morgenstern-féle hasznossági függvény bizonyult, mely szerint a hasznosság mértéke az egyes természeti állapotokban elérhető hasznosságok várható értéke fólia A várható hasznosság koncepciója ésszerű, mert a bizonytalanság melletti döntés során az egyik természeti állapotban realizálható fogyasztási lehetőséget nem befolyásolhatja az, hogy mekkora (vagy mekkora lenne) a fogyasztási lehetőségünk egy másik természeti állapot bekövetkezésekor. Azaz eleget tesz a függetlenségi feltételnek fólia Mennyire realisztikus ez a feltevés? A legtöbb ember valójában bosszankodna azon, ha tízévi lottózás után éppen akkor nem venne lottószelvényt, amikor a kedvenc számait kihúzzák. Ez ugyan gyakori, mégis irracionális szerencsejátékosi attitűd: a számok kihúzásának valószínűsége nem függ attól, hogy előtte mi azokat mennyi ideig játszottuk. Korábbi példánkhoz visszatérve: normál körülmények között a racionális döntéshozókat nem az érdekli, hogy mi lett volna, ha nem ég le a ház, hanem az, hogy előretekintve mennyit lennének hajlandók áldozni az esetleges kár mértékének csökkentése érdekében, ha mégis leégne a ház. A várható hasznosság éppen ennek a gondolkodásmódnak a matematikai megfogalmazása. A hagyományos hasznossági függvényhez hasonlóan értelmezhetjük a Neumann Morgenstern-féle hasznossági függvényt, illetve a hozzá tartozó közömbösségi görbéket. A fogyasztó számára mindegy, hogy egy számot vagy egy színt tesz-e meg a ruletten, ha ez a két különböző eloszlású feltételes fogyasztási terv azonos hasznosságot képvisel számára, azaz ha a fogyasztási lehetőségek terében ábrázolva ugyanazon a közömbösségi görbén fekszik fólia 2 Neumann János ( ), magyar matematikus a 20. század egyik legjelentősebb tudósa volt. Gondolatai jelentős mértékben hatottak nemcsak a matematika és a fizika, de a társadalomtudományok (mindenekelőtt a közgazdaságtan) fejlődésére is. Oskar Morgensternnel ( ) közösen írt, korszakos jelentőségű könyvükben (Theory of Games and Economic Behavior, 1944) javasolták a várható hasznossági függvény használatát bizonytalanság által jellemzett döntési helyzetekben. Neumann legjelentősebb hozzájárulása a közgazdaságtanhoz a játékelmélet matematikai kifejlesztése volt. 8

9 A fogyasztási elméletben kritikus fontossága van a helyettesítési határrátának, amely megmutatja nekünk, hogy fogyasztó milyen arányban lenne hajlandó a rendelkezésére álló termékeket egymásra cserélni. Jól emlékszünk rá, hogy ez egyben a közömbösségi görbe meredeksége is. A közömbösségi görbe meredekségét a Neumann Morgenstern-féle hasznossági függvény esetében is totális differenciálással számíthatjuk. A kaszinózás és lottózás kivételével az emberek normál körülmények között nem kedvelik a bizonytalanságot. Előfordulhatnak olyan helyzetek, amikor szeretjük a kockázatot, és vannak olyan emberek, akik általában keresik a kockázatos, bizonytalan kimenetelű helyzeteket. De inkább ez a kivétel. Az emberek többsége általában azt szereti, ha a különböző természeti állapotokban lehetséges eltérő fogyasztási lehetőségeit képes kiegyenlíteni. Ezt a magatartási sajátosságot, melyet a közgazdászok kockázatkerülő magatartásnak neveznek, az árelmélet nyelvén úgy írhatjuk le, hogy a Neumann Morgenstern-féle hasznossági függvény konkáv. A kockázatkerülő fogyasztó számára bizonytalan kimenetelű fogyasztási alternatíváinak várható értéke kisebb értéket képvisel, mint amit számára egy ugyanolyan várható értékű, de biztos alternatíva jelentene fólia A kockázatkedvelő ezzel szemben szereti a kockázatot. Az ő számára a nagyobb szórású feltételes fogyasztási terv nagyobb hasznosságot jelent, mint az azonos várható értékű, kisebb szórású vagy kockázatmentes alternatívák. Az ő várható hasznossági függvénye konvex fólia A kockázatsemleges fogyasztót a fogyasztási tervek szórása nem érdekli, egyedül a fogyasztás várható értéke. Ennek az esetnek a lineáris várható hasznossági függvény felel meg fólia Két lehetséges természeti állapot esetében a preferenciákat leíró közömbösségi görbék ábrázolhatók. Kockázatkerülő fogyasztó preferenciáinak jól viselkedő, konvex közömbösségi görbék felelnek meg. Ez tartalmilag azt jelenti, hogy a fogyasztó nem kedveli a szélsőségeket, vagyis nem kedveli azt, ha bizonytalan helyzetekben arra számíthat, hogy az egyik világállapotban sokat, a másikban pedig keveset fogyaszthat. Ha helyzetét mégis ez jellemezné, akkor törekedni fog rá, hogy a különböző világállapotokbeli fogyasztását kiegyenlítse fólia 9

10 25.6 Fogyasztói optimum Akárcsak a standard fogyasztói elméletben, az optimumot itt is egy feltételes szélsőértékfeladat megoldása révén kapjuk meg. A fogyasztó az egyes természeti állapotokhoz tartozó fogyasztá-sának várható hasznosságát maximalizálja a kiinduló állapot (mint készletpont), valamint az esetleges biztosítási vagy szerencsejáték-piacok által diktált átváltási arány által meghatározott költségvetési korlát figyelembevételével fólia A Lagrange-függvény felírása után, az elsőrendű feltételek meghatározása révén olyan egyenletrendszerhez jutunk, melyből meghatározható a bizonytalanság melletti optimális fogyasztói döntés kritériuma: π u'( c1 ) γ =. π u'( c ) 1 γ 1 2 Szavakkal megfogalmazva: a fogyasztó optimumában a két természeti állapot fogyasztása közti helyettesítési határarány egyenlő lesz a két természeti állapot közti jövedelemátcsoportosítások piaci cserearányával. Vagyis a fogyasztó a különböző természeti állapotokbeli fogyasztását egymáshoz képest pontosan annyira értékeli, mint amennyiért át tudná csoportosítani fogyasztását vagy jövedelmét az egyik természeti állapotból a másikba a biztosítási vagy szerencsejáték-piacon. A költségvetési korlát és az optimumfeltétel segítségével meghatározható az optimális döntés, vagyis a kimenetelektől függő feltételes fogyasztási lehetőségeknek az a kombinációja, mely a fogyasztót a számára elérhető legmagasabb hasznossági szintre képes eljuttatni. A feltételes fogyasztási lehetőségek optimális kombinációja azt is meghatározza, hogy a kiinduló állapothoz (készletponthoz) képest milyen irányú és mértékű változtatásra van szükség. Az optimális fogyasztói döntés meghatározása révén a fogyasztási lehetőségek közötti átcsoportosítás optimális nagyságát is meghatározzuk fólia A ábra a döntési probléma grafikus megoldását mutatja. Jól viselkedő (konvex) preferenciák esetén az optimumpontban teljesül az érintőfeltétel: az egyes természeti állapotbeli fogyasztási lehetőségek közötti átváltási arány meg kell hogy egyezzen a határhasznok bekövetkezési valószínűséggel súlyozott arányával fólia A költségvetési korlát elemzésekor megmutattuk, hogy a biztosítási díj határozza meg a költségvetési egyenes meredekségét. Méltányos biztosításról beszélünk akkor, ha a biztosítási díj nagysága éppen egyenlő a kár várható értékével 4, azaz ha γ K = πk, 4 A biztosító várható profitja ekkor éppen nulla. 10

11 vagyis ha γ = π. 5 Méltányos (fair) biztosítás esetében a fogyasztó optimális döntése az alábbi lesz: fólia Vegyük észre: abban a pontban, ahol a közömbösségi görbe a bizonyossági egyenest metszi, a közömbösségi görbe meredeksége éppen megegyezik az egyes kimenetelekhez tartozó valószínűségek arányával. Ebből levonhatunk egy fontos következtetést: Ha egy kockázatkerülő fogyasztónak lehetősége van méltányos biztosítás kötni, akkor teljes mértékű biztosítást fog kötni. Ez azt jelenti, hogy fogyasztása a természeti állapotoktól függetlenedik. Ez az eredmény nem függ attól, hogy a kezdeti készletpont hol helyezkedett el. Lehetséges továbbá az is, hogy a fogyasztó nem köznapi értelemben vett biztosítással, hanem szerencsejátékkal jut el a bizonyossági egyenesre fólia A méltányos biztosítás a gyakorlatban nagyon ritka. Általános esetben a költségvetési korlát meredeksége eltér a valószínűségek arányától. A biztosítótársaságoknak ugyanis vannak működési költségei, melyeket abból finanszíroznak, hogy a kár várható értékénél magasabb díjat szednek be. (Ekkor viszont γ > π, hiszen: γ K > πk.) Mint a ábrán látható, a kár várható értékénél nagyobb biztosítási díj miatt azonban a fogyasztó csak részleges biztosítást köt. Fogyasztási lehetőségeinek szórását csökkenti ugyan, de azt teljes mértékben nem küszöböli ki fólia Elképzelhető az is, hogy a biztosítás valamilyen oknál fogva például az állam aktív szerepvállalása miatt túl olcsó. A kockázatkerülő fogyasztó ilyenkor túlbiztosítja magát. Ezt az esetet látjuk a ábrán A kockázat szétterítése A kockázatkerülő döntéshozók szeretnék biztosítással csökkenteni kockázatukat; méltányos biztosítás esetében pedig még arra is módjuk van, hogy teljesen kiküszöböljék a kockázatot. Hogyan lehetséges ez? Ki áll majd a tranzakció másik oldalán? Milyen elven működnek a kockázatot csökkentő intézmények? A legősibb elvek egyike a kockázat szétterítése, melyet, szervezett keretek között, tudomásunk szerint már az ókori Babilonban is alkalmaztak. Elmondunk ezzel kapcsolatban egy érdekes példát. A kereskedőkaravánok indítása az ókori Babilonban a zűrzavaros politikai állapotok miatt igen kockázatos vállalkozás volt. Ha a karaván sikerrel visszaért, akkor a kereskedő óriási haszonra tett szert, ha viszont nem járt szerencsével, akár a teljes vagyonát is elveszíthette. Hogy a kockázatot csökkentsék, a kereskedők társulásokat szerveztek. A társulások a kockázatmegosztás elvén működtek. Ha hatvan kereskedője 5 Emlékeztetőül: γ a biztosítási egységdíj, míg π a kár bekövetkezésének valószínűsége. 11

12 volt egy közösségnek, akkor minden egyes karavánt úgy indítottak útnak, hogy minden kereskedő egyhatvanad résszel vett részt a finanszírozásban. Ennek megfelelően a majdani haszonból egyenlően (egyhatvanad) arányban részesedtek. Könnyen belátható, hogy ezzel a technikával voltaképpen egy méltányos biztosítási konstrukciót hoztak létre. A fólia segítségével megmutatjuk, hogy miként fólia Induljunk ki abból az esetből, hogy mekkora kockázatot vállaltak volna egyenként, ha külön-külön indították volna útnak karavánjaikat: ki-ki a magáét. Jelöljük az i-edik kereskedő jövedelmének varianciáját Var( y i ) -vel! Feltesszük, hogy kereskedők egyéni jövedelmei egymástól független és azonos eloszlású valószínűségi változók. A jövedelmek függetlensége miatt az n kereskedőből álló babiloni kereskedőközösség együttes jövedelmének varianciája az egyedi jövedelmek varianciáinak összege lesz, vagyis: nvar (y). Mi változik meg attól, ha a kereskedők összeállnak, és megállapodnak abban, hogy mindegyikük a közösség átlagos jövedelmét kapja meg? A közösség mint egész jövedelmének varianciája ugyan változatlan marad, de az egy kereskedőre jutó jövedelem varianciája jelentősen lecsökken. A korábbiakkal ellentétben már csak Var ( y) / n lesz. A kereskedők a kockázat szétterítésével jelentős mértékben tudták a jövedelmüket érintő bizonytalanságot csökkenteni. A kölcsönös biztosítás gyökerei, ha nem is az ókori keletre, de a középkorba nyúlnak vissza. Képzeljük el, hogy tűz következtében egy háztulajdonost 1% valószínűséggel ér 100 arany kár. Amennyiben 100 háztulajdonos megállapodik, hogy mindannyian fizetnek egy közös kasszába évi egy aranyat, amelyből kifizetik a tűzkárokat, ugyanazt a várható értéket kapják, de mindannyian a bizonyossági egyenesen, azaz a fogyasztói optimumban vannak. Ez kölcsönös kassza is egy fair biztosítás Záró megjegyzések Ebben a fejezetben végig azt feltételeztük, hogy az egyes természeti állapotok valószínűsége és a gazdasági szereplők magatartása független egymástól. Ezzel kapcsolatban nagyon izgalmas kérdéseket lehet feltenni. Növekszik-e a tűz valószínűsége, ha a fair biztosítás elkényelmesít és gondatlanná tesz? Nem éppen azok akarnake síbaleset ellen biztosítást kötni, akik túlontúl vakmerően síelnek? Ezek a kérdések átvezetnek minket a következő fejezethez, az információs problémák közgazdaságtanához. 12

13 Függelék: A variancia két tulajdonsága Ha ξ egy véletlen valószínűségi változó, melynek varianciája (szórásnégyzete) Var (ξ ), valamint a és b tetszőleges konstansok, akkor igaz, hogy: 2 Var ( aξ + b) = a Var( ξ ). Ha ξ 1, ξ2,..., ξn független valószínűségi változók, és varianciáik léteznek, akkor létezik összegük varianciája is, melyre igaz, hogy: Var ξ + ξ ξ ) = Var( ξ ) + Var( ξ ) Var( ξ ). ( 1 2 n 1 2 n A bizonyítást tanulták valószínűségszámításban. 13

14 Neumann János ( ) Kenneth J. Arrow (1921 ) 14

15 25. előadás BIZONYTALANSÁG MELLÉKLET Kertesi Gábor Muraközy Balázs Varró László 15

16 25.1 A döntések időhorizontja és a bizonytalanság 16

17 25.2 Várható érték Ha a ξ (diszkrét) valószínűségi változó π valószínűségekkel az x értékeket 1, π2,, πn 1,x2,, xn veszi fel, akkor várható értéke az alábbi lesz: n E ( ξ) = π x π = 1). i= 1 i i; ( n i= 1 Példa: ξ a mikroökonómia tárgyból elért jegy, mint valószínűségi változó. Föltesszük, hogy π i (i=1,2,3,4,5) értékek a következők: i xi πi 0,00 0,25 0,25 0,25 0,25 π i x i 0,00 0,50 0,75 1,00 1,25 1,00 3,50 = 5 1π i= = E( ξ) i x i 17

18 25.3 Variancia Egy ξ valószínűségi változó varianciája nem más, mint a várható értéktől való négyzetes eltérések várható értéke, vagyis: Var( ξ) = E(( ξ E( ξ)) 2 ) = E( ξ 2 ) E 2 ( ξ) Példa: A mikroökonómia jegy varianciája, mint a várható érték körüli szóródás mérőszáma xi πi π i x i 2 π i x i ,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,00 0,50 0,75 1,00 1,25 0,00 1,00 2,25 4,00 6,25 1,00 3,50 13,50 = 5 1π i= = E( ξ) i x i = 5 1π i= 2 i x i = E( ξ 2 ) Var( ξ) = E( ξ 2 ) E 2 ( ξ) = 13,5 (3,5) 2 = 13,5 12,25 = 1,25 18

19 25.4 Fogyasztási lehetőségek biztosítás nélkül 19

20 25.5 Fogyasztási lehetőségek teljes biztosítással 20

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet???

DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet??? DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet??? Adósság és/vagy saját tőke A tulajdonosi érték maximalizálása miatt elemezni kell: 1. A pénzügyi tőkeáttétel hatását a részvények hozamára és kockázatára; 2. A

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1)

5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1) 5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1) Kertesi Gábor Varian 2. fejezete, illetve 3. fejezetének 21-50. oldalai alapján 5.1 Bevezető megjegyzések A fogyasztó közgazdasági elmélete: a számunkra

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Buda-Cash Brókerház. Határidős piacok. Határidős üzletkötő

Buda-Cash Brókerház. Határidős piacok. Határidős üzletkötő Buda-Cash Brókerház Határidős piacok Sőre Balázs Határidős üzletkötő Elmélet A határidős ügylet célja, egy mögöttes termékben, adott időszak alatt bekövetkező, kedvezőtlen irányú árfolyamváltozás kockázatának

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése 1 /11 (C) http://kgt.bme.hu/ A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése Varian 20.3-6. 21. fejezet Termelési és hasznossági függvény (ismétlés

Részletesebben

17. előadás DUALITÁS

17. előadás DUALITÁS 17. előadás DUALITÁS Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 19. és 20. fejezete erősen átdolgozva 17.1 Bevezető Mint az előző előadás során láttuk, a profitmaximalizálási feladathoz két szemléletben is közelíthetünk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Növekedés és fenntarthatóság. NFFT műhelykonferencia 2014. június 4. Bessenyei István

Növekedés és fenntarthatóság. NFFT műhelykonferencia 2014. június 4. Bessenyei István Növekedés és fenntarthatóság NFFT műhelykonferencia 2014. június 4. Bessenyei István Egy példa Rókák a Nyulak Szigetén Hová vezet ez: Falánk rókák és kevéssé szapora nyulak esetén mindkét populáció kihal.

Részletesebben

MAKROÖKONÓMIA. Készítette: Horváth Áron, Pete Péter. Szakmai felelős: Pete Péter. 2011. február

MAKROÖKONÓMIA. Készítette: Horváth Áron, Pete Péter. Szakmai felelős: Pete Péter. 2011. február MAKROÖKONÓMIA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK

KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK I. TÉTEL A. Olvassa el figyelmesen a következő kijelentéseket. a) Az első öt (1-től 5-ig) kijelentésre vonatkozóan jelölje a kijelentésnek megfelelő számot, és

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Mikróökonómia feladatok

Mikróökonómia feladatok kidolgozva A feladatok még hiányosak, folyamatosan frissítem őket! Utolsó frissítés: 007-04-04 19:13:47 1. oldal, összesen 44 oldal Konzultáció 006-10-6 1. feladat (Cobb-Douglas függvény) Józsi bácsi 100

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Egészséggazdaságtan és - biztosítás

Egészséggazdaságtan és - biztosítás Egészséggazdaságtan és - biztosítás 6. elıadás: A biztosítási piac modellje, egészségbiztosítási piacmodellek Tantárgyi tematika - emlékeztetı 1. Bevezetés: az egészségügyi rendszer problematikája, hazai

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Alkalmassági és Megfelelési teszt MAGÁNSZEMÉLYEKNEK

Alkalmassági és Megfelelési teszt MAGÁNSZEMÉLYEKNEK MAGÁNSZEMÉLYEKNEK Az Üzletszabályzat 19. sz. melléklete Az alábbi teszt kitöltését a befektetési vállalkozásokról és árutőzsdei szolgáltatókról, valamint az általuk végezhető tevékenységek szabályairól

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Feladatgy jtemény konzultációra reveszsandor.wordpress.com szuperkonzultacio.hu (csak oktató)

Feladatgy jtemény konzultációra reveszsandor.wordpress.com szuperkonzultacio.hu (csak oktató) Feladatgy jtemény konzultációra reveszsandor.wordpress.com szuperkonzultacio.hu (csak oktató) Összeállította: Révész Sándor 2011. december Felhasznált források: Berde Éva: Mikroökonómia feladatgy jtemény

Részletesebben

20. előadás A RÖVID ÉS HOSSZÚ TÁVÚ IPARÁGI EGYENSÚLY

20. előadás A RÖVID ÉS HOSSZÚ TÁVÚ IPARÁGI EGYENSÚLY 20. előadás A RÖVID ÉS HOSSZÚ TÁVÚ IPARÁGI EGYENSÚLY Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 23. fejezete alapján 20.1 Rövid távú piaci (iparági) egyensúly A múlt órán megmutattuk, hogy miként lehet az egyéni

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány. A közgazdaságtan lényege:

MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány. A közgazdaságtan lényege: 1 MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány A közgazdaságtan lényege: Gazdálkodás - összehangolási folyamat A közgazdaságtan a termelési körfolyamattal foglalkozik: javak termelését, elosztását,cseréjét,és

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra)

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) VÁLLALATI PÉNZÜGYEK III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár Részvény: olyan lejárat nélküli értékpapír, amely a társasági tagnak: 1) az alaptőke

Részletesebben

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet Treasury termékei és szolgáltatásai Lakossági Ügyfelek részére 1 TARTALOMJEGYZÉK 1. Befektetési szolgáltatások és termékek... 3 1.1 Portfoliókezelés... 3 2. Pénz-és

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Levelező hallgatóknak pótzh lehetőség: a félév rendje szerinti pótlási napok egyikén

Levelező hallgatóknak pótzh lehetőség: a félév rendje szerinti pótlási napok egyikén Közgazdaságtan II. Mikroökonómia SGYMMEN202XXX Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Tárgyelőadó: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Gyakorlatvezető: dr. Paget Gertrúd Tantárgyi leírás építőmérnök

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

VC c y. Összeállította: Dr. Karner Cecília PhD egyetemi docens, tantárgyfelelős

VC c y. Összeállította: Dr. Karner Cecília PhD egyetemi docens, tantárgyfelelős Mikroökonómia alapfogalmak. Állandó költség (FC): Az a költség, mely rövid távon nem függ a termelés nagyságától, tehát összege a termelés bármely időszakában ugyanannyi, és ha a vállalat nem termel semmit,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Bridge Wealth Management 1024 Budapest, Ady Endre u. 24 Tel: 3360524, Fax: 3360526 info@bwm.hu www.bwm.hu

Bridge Wealth Management 1024 Budapest, Ady Endre u. 24 Tel: 3360524, Fax: 3360526 info@bwm.hu www.bwm.hu Drawdown Meddiig bírjuk a víz alatt? 2005.. 08.. 19.. A kockázat mérésére számos eszköz áll rendelkezésünkre. Ezek jelezhetik egy-egy részvény vagy alap volatilitását, eszközeinken elszenvedhető veszteségek

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Elektronikus műszerek Analóg oszcilloszkóp működés

Elektronikus műszerek Analóg oszcilloszkóp működés 1 1. Az analóg oszcilloszkópok általános jellemzői Az oszcilloszkóp egy speciális feszültségmérő. Nagy a bemeneti impedanciája, ezért a voltmérőhöz hasonlóan a mérendővel mindig párhuzamosan kell kötni.

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Vállalati pénzügyek tantárgyból BA alapszak levelező tagozat számára Emberi erőforrások Gazdálkodás

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA. Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens

Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA. Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Tárgyelőadó: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Gyakorlatvezető: dr. Paget Gertrúd

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

A beruházási kereslet és a rövid távú árupiaci egyensúly

A beruházási kereslet és a rövid távú árupiaci egyensúly 7. lecke A beruházási kereslet és a rövid távú árupiaci egyensúly A beruházás fogalma, tényadatok. A beruházási kereslet alakulásának elméleti magyarázatai: mikroökonómiai alapok, beruházás-gazdaságossági

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Miért is csináljuk? Avagy a márkanév és értéke. Ságodi Zsolt. 2004. szeptember 23. Pwc

Miért is csináljuk? Avagy a márkanév és értéke. Ságodi Zsolt. 2004. szeptember 23. Pwc Miért is csináljuk? Avagy a márkanév és értéke Ságodi Zsolt 2004. szeptember 23. Pwc 1+r j rm r f λ= δ 2 m r*=r r D T c L 1+r 1+r D D V +r E E V Tényleg ilyen bonyolult az érték? 2 C1 λcov(c 1,r m ) C

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MEGFELELÉSI TESZT. Természetes személy ügyfelek részére

MEGFELELÉSI TESZT. Természetes személy ügyfelek részére MEGFELELÉSI TESZT Természetes személy ügyfelek részére Név: Anyja neve: Állandó lakcím: Születési hely és idő: Adóazonosító jel: Telefonszám: Email: Azonosító okmány típusa és száma: Jelen teszt (a továbbiakban:

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Alkalmassági és Megfelelési teszt KÖZÜLETEKNEK

Alkalmassági és Megfelelési teszt KÖZÜLETEKNEK KÖZÜLETEKNEK Az Üzletszabályzat 19. sz. melléklete Az alábbi teszt kitöltését a befektetési vállalkozásokról és árutőzsdei szolgáltatókról, valamint az általuk végezhető tevékenységek szabályairól szóló

Részletesebben

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter 3. szemináriumi ZH A csoport Név: NEPTUN-kód: A feladatlapra írja rá a nevét és a NEPTUN kódját! A dolgozat feladatainak megoldására maximálisan 90 perc áll rendelkezésre. A helyesnek vált válaszokat a

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Miért betegebbek a szegény gyerekek?

Miért betegebbek a szegény gyerekek? KÖNYVEKRÕL, FOLYÓIRATOKRÓL MURAKÖZY BALÁZS Miért betegebbek a szegény gyerekek? Anne Case, Darren Lubotsky és Christina Paxson: Economic status and health in childhood: the origins of the gradient. American

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta

Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta Általános bevezető Fogalmak a mai alkalomra: - kereslet/keresleti függvény/keresleti görbe - kínálat/kínálati függvény/keresleti görbe

Részletesebben

A deviza bináris opció bemutatása

A deviza bináris opció bemutatása A deviza bináris opció bemutatása Fx bináris opció: az fx bináris opció a legújabb termékcsoport, amit a Buda-cash Trader rendszerben ajánlunk ügyfeleink számára. Folyamatosan frissülő árakon a hat legtöbbet

Részletesebben

A japán gyertyák használata

A japán gyertyák használata A japán gyertyák használata www.elemzeskozpont.hu Mire használható ez az ebook? Az ebook-ban ismertetésre kerülő anyag szükséges az elemzeskozpont.hu weboldalon megjelenő technikai elemzések értelmezéséhez.

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Nemzetközi gazdaságtan PROTEKCIONIZMUS: KERESKEDELEM-POLITIKAI ESZKÖZÖK

Nemzetközi gazdaságtan PROTEKCIONIZMUS: KERESKEDELEM-POLITIKAI ESZKÖZÖK Nemzetközi gazdaságtan PROTEKCIONIZMUS: KERESKEDELEM-POLITIKAI ESZKÖZÖK A vám típusai A vám az importált termékre kivetett adó A specifikus vám egy fix összeg, amelyet az importált áru minden egységére

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL

EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL Stagl Ádám I. évfolyam, pénzügy és számvitel szak Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar, Kaposvár Matematika és Fizika Tanszék Konzulens: Dr. Kövér

Részletesebben

Független Szakértői Vélemény. Nyilvános Vételi Ajánlattal Kapcsolatban

Független Szakértői Vélemény. Nyilvános Vételi Ajánlattal Kapcsolatban Pintér István Vezérigazgató Rába Járműipari Holding Nyrt. 9027 Győr Martin út 1. Független Szakértői Vélemény Nyilvános Vételi Ajánlattal Kapcsolatban Tisztelt Igazgatóság! A megbízás háttere A Magyar

Részletesebben

BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor

BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor A szimulátor célja, hogy a weblap látogatói egy ingyenes regisztrációt követően tesztelhessék az egyes stratégiák nyereség / veszteség küszöbeit. A szimulátorban

Részletesebben