A legrövidebb idő elve

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A legrövidebb idő elve"

Átírás

1 A legrövidebb idő elve Tekintsük a következő problémát. Egy ember valamilyen s távolságra áll egy tó egyenesnek tekintető partjától amikor észreveszi, ogy a tóban a part mentén l távolsággal feljebb, a parttól s távolságra egy bajba jutott fürdőző kér segítséget (.. ábra). Emberünk tudja, ogy v sebességgel tud futni és v sebességgel úszni. A kérdés az, ogy milyen irányban kell elindulnia, ogy a legrövidebb időn belül tudjon segítséget nyújtani? part szárazföld (v ) víz (v ) l? s s.. ábra Mielőtt a feladat tényleges megoldásáoz ozzáfognánk célszerű egy kicsit alaposabban átgondolni, ogy mi az, amit a szemlélet alapján várunk. Bizonyos speciális esetekben a megoldás igen egyszerűvé válik. Ha pl. a futás sebessége sokkal nagyobb mint az úszásé (v >>v ) akkor tudjuk, mi a megoldás. Ebben az esetben ugyanis a futással eltöltött idő elanyagolató az úszásoz képest ezért az a cél, ogy a legrövidebb távot kelljen úszni. Ez pedig úgy érető el, a a partnak aoz a pontjáoz futunk, aonnan a partra merőlegesen úszva a legkisebb távolságot ami megfelel a legrövidebb időnek tesszük meg a vízben (.. ábra, folytonos vonal). Ha a sebességek viszonya fordított (mondjuk a feladatot átfogalmazzuk úgy, ogy a parton búvár áll, aki békatalpával neezen fut, de nagyon jól úszik) akkor asonló okoskodással a megoldás az, ogy merőlegesen le kell futni a partra ogy a szárazföldön megtett út a leető legkisebb legyen (.. ábra, pontozott vonal). Végül pedig a v v, azaz az úszás és a futás sebessége megegyezik, akkor a legrövidebb idő és a legrövidebb út megegyezik, teát a két pontot összekötő egyenes mentén kell elindulnunk (..ábra, szaggatott vonal). part szárazföld (v ) víz (v ) v >>v v v v <<v.. ábra

2 Megfontolásaink alapján teát azt sejtjük, ogy a feladatnak váratóan van megoldása és ez elsősorban a két sebesség viszonyától függ. De ogy tudnánk a feladatot ténylegesen megoldani? Azt, ogy egy tetszőleges irányba elindulva mennyi idő alatt érünk a célunkoz, könnyű kiszámítani. (Bár nem ez a feladat, talán mégis célszerű ezt egy kissé közelebbről szemügyre venni. Eez vegyük fel a koordináta rendszerünket a.3. ábrán megadott módon, azaz az origó essen egybe a parton tartózkodó emberrel, az y tengely legyen páruzamos a parttal. y part szárazföld (v ) víz (v ) y α β l s s x.3. ábra Tételezzük fel, ogy olyan irányban indulunk el, ogy y távolságban érjük el a partot. Ekkor, amint az az ábráról is nyilvánvaló a megtett út egy olyan derékszögű áromszög átfogója, melynek az α szöggel szembeni befogója y, teát az idő: y' t sz. (.) sinα v Hasonlóképpen, a vízben megtett távolságot az l-y befogójú, β csúcsszögű derékszögű áromszög átfogója adja, az időre teát íratjuk t v l y'. (.) sin β v A célba érésez szükséges idő nyilván t sz és t v összege, teát t y ' y' l y' +. (.3) v sinα v sin β Végül α-ra és β-ra íratjuk y' tg α, s l y' tgβ. (.4) s

3 Az (.)-(.4) egyenleteket számítógép segítségével könnyű kiértékelni. (Ez még mindig nem a feladat megoldása, sőt aoz, ogy számolni tudjunk valamilyen önkényes számértékeket kell adnunk a szükséges paramétereknek, ami nem tűnik nagyon elegánsnak. Egy igazi fizikai probléma megoldásakor azonban minden eszköz megengedett.) Legyen teát az egyszerűség kedvéért s s l v,5, v egység. Az elvégzett számolás eredménye az.4. ábrán látató. Az ábrából világos, ogy a felasznált paraméter értékek mellett y 0,75 egységnél a célba jutás idejének minimuma van. A görbe közelebbi vizsgálata ötletet adat arra is, ogyan,85,8,75,7,65 Idő,6,55,5,45,4,35 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y'.4. ábra oldatjuk meg a felvetett problémát. Aelyett, ogy azzal törődnénk, ogyan tudjuk kiszámítani a legrövidebb időöz tartozó utat, vizsgáljuk inkább azt, ogy miről ismerető fel a keresett út. A görbe azt sugallja, ogy a minimum környékén a csak nagyon kicsit különböző (ezt úgy is kifejezetjük, ogy a különbség tart a 0-oz) pályákoz tartozó idők csak elanyagolató mértékben különböznek egymástól. (Ezt a következő szemléletes példával is bemutatatjuk: tegyük fel, ogy keressük egy, két egy között elelyezkedő völgy legmélyebb pontját. Eez induljunk el az egyik egyről lefelé. A völgyben valaol lesz egy olyan pont, aol a lejtő emelkedőbe fordul át, mert elindulunk a másik egyen felfelé. Az, ogy a lejtő emelkedőbe fordul át azt jelenti, ogy a lejtés előjelet vált, amiből viszont azt is következik, ogy valaol nulla kell, ogy legyen. Ez a pont nyilván a legmélyebb, mert ide vagy a lejtőn lefelé aladva lépünk le, vagy a innen továbbaladunk, akkor felfelé kell lépnünk. A legmélyebb pontot vagy általánosabb értelemben a minimumot teát arról ismerjük meg, ogy ott a lejtés nulla. Aol viszont a lejtés nulla, ott a szomszédos pontok azonos magasságban vannak.) Már csak az a kérdés ogyan leet ennek a kritériumnak az alapján számolni. Azt, ogy egy tetszőleges y esetén mennyi ideig tart a mozgás már kiszámítottuk (.3). Ezt kellene összeasonlítani egy szomszédos ponton átmenő pálya mentén történő mozgással. Változtassuk meg teát y -t egy nagyon kicsiny -val. Ekkor a szárazföldön befutott pálya osszabb lesz, teát a befutásáoz szükséges idő megnő. Azt, ogy a pálya mennyivel lesz osszabb elemi geometriai megfontolásokkal megkapatjuk. Mérjük fel a kiindulási pontból az eredeti pálya d osszát az új pályára (.5.a ábra). Ezzel az új pályából éppen azt a δd szakaszt metsszük ki, amennyivel az osszabb lett. A keletkezett d,d,d egyenlőszárú áromszög csúcsánál levő szög α.. Amennyiben kellően kicsiny 3

4 y part szárazföld (v ) víz (v ) y part szárazföld (v ) víz (v ) y d d α d δd α β l y α β d β δd d d β l s α s s s x x a b.5. ábra emlékezzünk rá, ogy a kritériumunk érvényességének feltétele, ogy a különbség 0-oz tartson akkor α is közel 0. Ebből az is következik, ogy a áromszög alapjánál levő két szög tart 90 -oz. Ez viszont maga után vonja egyrészt azt, ogy a d,,δd áromszög derékszögű lesz, másrészt azt, ogy a és d oldalak közötti szög α, mivel szárai merőlegesek α-ra. Ekkor δd -re azonnal adódik δd sin α, (.5) amiből a szárazföldön eltöltött idő növekedésére kapjuk δd sinα δt sz. (.6) v v Az előzőöz teljesen asonló módon belátatjuk, ogy a vízben megtett út megrövidül (.5.b ábra) következésképpen a vízben eltöltött idő lecsökken, éspedig sin β δt v (.7) v mértékben. A korábban megbeszélt kritérium alapján aoz, ogy y éppen a minimumoz tartozó koordináta legyen, az szükséges, ogy az y -öz, és az y + -oz tartozó pályák megtételéez szükséges idők egyenlőek legyenek, azaz δ t sz + δt v 0. Ebből azonnal adódik feladatunk megoldása 4

5 sinα sin β v v sinα sin β v v. (.8) Mielőtt továbblépnénk tisztáznunk kell egy fontos kérdést. Mi lett volna, a nem felfelé mozdítjuk el a megváltoztatott pálya metszéspontját a parton, anem ellenkező irányban? Ha az eredmény függ attól, ogy a tekintetbe vett kicsiny elmozdulás milyen irányú, akkor módszerünk nyilvánvalóan rossz. Amint arról könnyű meggyőződni, ez nem így van. ( elyett egyszerűen - -t asználva eredményül ugyancsak (.8) adódik.) Elemezzük egy kicsit közelebbről a kapott megoldást. Először is vegyük észre, ogy visszaadja mindazt, amit a korábban megvizsgált speciális esetekre várunk. Legyen pl. v >>v. Ekkor, mivel sinβ -nél nagyobb nem leet, α egy olyan szög amelynek szinusza nagyon kicsi, teát maga a szög közel 0. Mivel α-t a partra állított merőlegestől mértük, ezért a partra merőlegesen kell elindulnunk, úgy aogy azt korábban a szemlélet alapján kimutattuk. Középiskolás tanulmányaink során már találkoztunk egy olyan összefüggéssel, amely roppant asonló a bekeretezett egyenletez. Ez a fénytörést leíró Snellius-Descartes törvény (sinα/sinβ n) volt. Ha pontosabban meggondoljuk, akkor nemcsak asonlóságról, anem azonosságról van szó. Egy kissé furcsának tűnet de igaz az, ogy egy egyszerű mecanikai problémán keresztül megértettük ogy miért ilyen a Snellius-Descartes törvény alakja. (Azt ugyanis aliga állítatja bárki, ogy számára a szemlélet alapján világos, ogy a fénytörés nem is történet másként, mintogy a beesési és a törési szögek szinuszainak ányadosa legyen egyenlő a törésmutatóval.) Most már tudjuk, ogy amennyiben a fény a törvénynek megfelelően alad, akkor a kezdő és végpont közötti távolságot a legrövidebb idő alatt teszi meg, azaz engedelmeskedik a legrövidebb idő elvének. (A legrövidebb idő elvét a fénytöréssel kapcsolatban egyébként Fermat francia fizikus vetette fel, ezért Fermat elvnek is szokás nevezni.) A Fermat elv azt mondja ki, ogy egy fénysugár egy tetszőleges optikai rendszerben mindig olyan pályát követ, amelyre nézve a kezdő és végpontok közötti terjedési idő minimális. A Snellius-Descartes törvény felfedezése az optika fejlődésének egyik legfontosabb mérföldköve volt. Az 600-as évek elején Willebrord Snel van Royen olland fizikus tapasztalati úton talált rá, ma asznált alakjában René Descartes francia filozófus és természettudós írta le először. Kezdetben azonban a törésmutatót egyszerűen anyagi állandónak tekintették, és nem ozták kapcsolatba a terjedési sebességgel. Hatalmas áttörést jelentett ezért az, ogy Fermat-nak 657-ben sikerült egy általános elvből levezetnie. Vegyük észre, ogy a Fermat elv sokkal mélyebb, mint a Snellius-Descartes törvény, iszen a teljes geometriai optikát tartalmazza, míg a Snellius-Descartes törvény csak egy speciális esetet a fénytörését ír le. A Fermat felismerése a fizika történetének egy igen jelentős eseménye volt, melynek atása messze túlmutatott az optikán. Nagy szerepe volt pl. abban, ogy a mecanika teljesen új formát öltött. A klasszikus mecanikát Newton már az 600-as évek végén tudományos igényességgel kidolgozta. Newton azonban a tudományos módszer példaképének az euklideszi geometriát tartotta. Rendszerét ezért nagyszámú, geometriai módszerrel bebizonyított tételre alapozta, ami ugyan teljesen egzakt, de számítások végzésére gyakorlatilag nem alkalmas. Ezért jelentett lényeges előrelépést az, ogy a mecanikát sikerült alkalmas egyenletek (pontosabban differenciálegyenletek) segítségével olyan módon átfogalmazni itt elsősorban Euler, Lagrange és Hamilton a munkásságát kell kiemelni ogy az általános tételek bizonyítása mellett a konkrét problémák megoldása is leetővé vált. A történet azonban itt még messze nem ér véget. A Hamilton által a mecanikában megfogalmazott legkisebb atás elvének, és a Fermat elvnek a meglepő asonlósága vezette 5

6 Scrödingert arra, ogy a kvantummecanika alapegyenletét, a Scrödinger-egyenletet felírja. Ezen is túllépett Ricard Feynman amikor megmutatta, ogy létezik a kvantummecanikának egy olyan alternatív alakja amely tisztán a Fermat elven alapul. Ezzel bizonyos értelemben bezárul egy áromszáz éves kör vagy inkább egy spirálon jutunk feljebb ami arról szól, ogy egy általános elv a fizikai gondolkodást a geometriai optikától indulva a klasszikus, majd a kvantummecanikán át elvezeti a kvantumoptikáig. Az, ogy a fénysugarak terjedését leíró törvényt egy szélsőérték elvre sikerült visszavezetnünk további asznos következményeket von maga után. Az egyik legfontosabb pl. az, ogy tüstént következik a fénysugarak megfordítatóságának elve. Ha ugyanis egy sugármenet mentén a megadott kezdő és végpont között a terjedési idő minimális, akkor ez a végpontból visszafelé indulva is nyilvánvalóan teljesül, teát ugyanaz a sugármenet oda és vissza egyaránt leetséges. A legrövidebb idő elve és a ullámok Az előzőekben megmutattuk azt, ogy a legrövidebb idő elve milyen asznosnak bizonyult a fizikában. Természetesen vetődik fel ezek után az a kérdés, ogy a természet ogyan találja meg a végtelen sok leetőség közül azt a pályát, amely a minimális terjedési időnek felel meg. Erre a geometriai optika keretei között nem tudunk választ adni. Vizsgáljuk meg most azt, ogy mi történik akkor, a két közeg atárára síkullámok esnek (.6 ábra). (Az, ogy ezek milyen eredetű ullámok közömbös számunkra, gondolatmenetünk érvényes lesz a vízullámoktól kezdve az elektromágneses ullámokig bármilyen ullámszerűen terjedő atásra.) Mindenekelőtt tudnunk kellene, ogy mi az összefüggés a ullámossz (Λ) amit a v α Λ α v Λ β β.6 ábra szomszédos azonos fázisú elyek, (pl. ullámegyek vagy völgyek) közötti távolsággal definiálunk és a ullám terjedési sebességes között. Eez képzeljük magunkat a ullámforrás közelébe. A ullámossz nyilván az a távolság lesz, amelyet a forrást elagyó ullámegy az alatt a T idő alatt megtesz, amely a következő ullámegy megjelenéséig 6

7 eltelik. Mivel a ullám a közegben v sebességgel terjed azonnal íratjuk Λ vt. Amikor teát a ullám egy olyan közegbe lép át amelyben a terjedési sebesség különbözik, a ullámossznak meg kell változnia. Egy dolog viszont nyilvánvaló. A közegeket elválasztó atárfelület mentén egy ullámegy mindkét közegből nézve ullámegynek kell, ogy megfeleljen. Teát a atárfelület mentén két ullámegy távolságára íratjuk Λ, sin α Λ, (.9) sin β amiből Λ elyébe vt-t írva adódik vt vt sinα sin β sin α v sin β v. (.0) Azt kaptuk teát, ogy a ullámtulajdonságból következik a terjedésre vonatkozóan a legrövidebb idő elve. Valójában ez magyarázza azt, ogy miért bukkan fel a legrövidebb idő elve a fizika egyébként látszólag teljesen különböző területein. Mielőtt a geometriai optikai megfontolásaink terén tovább aladnánk mondjuk ki szabatosan a fénytörést leíró Snellius-Descartes törvényt. Eez vezessük be a törésmutatót a következőképpen: c v, (.) n aol v a közegbeli, c a vákuumbeli fénysebesség. Ennek felasználásával a Snellius-Descartes törvény a következőképpen szól. Egy két különböző törésmutatójú közeget elválasztó felületre beeső fénysugár a megtörés után a beeső sugár és a beesési merőleges által kifeszített síkban alad tovább úgy, ogy a beesési szög (α) és a törési szög között fennáll a következő összefüggés: sinα n sinβ n n, (.) aol n és n a két közeg törésmutatója, n pedig a közegnek az -re vonatkoztatott törésmutatója. A fénysugarak megfordítatóságának elvéből következik, ogy n /n. A Snellius-Descartes törvény egyik igen fontos következményével akkor találkozunk, a a fénysugár egy nagyobb törésmutatójú közegből a nagyobb törésmutatójú közeget szokás optikailag sűrűbbnek is nevezni egy kisebb törésmutatójúba lép át, teát n <. Fejezzük ki sinβ-t a Snellius-Descartes törvényből sinα sin β. (.3) n A szinusz függvény seol sem nagyobb egynél, ezért (.3) is nyilván csak addig értelmes, amíg a jobb oldala nem nagyobb -nél. Íratjuk teát, ogy 7

8 sinα n α Θ arcsin n. (.4) Ezek szerint a Snellius-Descartes törvény csak addig működik amíg α nem aladja meg Θ -t Ez első látásra ellentmondásnak tűnik, iszen bennünket semmi sem korlátoz abban, ogy egy fénysugarat tetszőleges szögben ejtsünk a atárfelületre. Akkor milyen irányban alad a megtört sugár? A válasz az, ogy α>θ esetén nincs megtört sugár, mert a beeső sugár a atárfelületről visszaverődik. Ezt a jelenséget teljes visszaverődésnek, Θ -t pedig a teljes visszaverődés atárszögének nevezzük. A teljes visszaverődés gyakorlati alkalmazása: az optikai szálak Amint az előző gondolatmenetünkből is világos, a teljes visszaverődés során megtört sugár nem létezet ezért aogy azt az elnevezés is mutatja a beeső sugár tökéletesen vissza kell, ogy verődjön a atárfelületről. (A jelenséget a geometriai optika keretei között csak vázlatosan leet tárgyalni. A pontosabb elmélet szerint a fény, a ullámosszával összemérető mélységig beatol a ritkább közegbe is. Ha ezen a távolságon belül újabb, optikailag sűrűbb közeg elyezkedik el, akkor abba a fény már képes átlépni. Ilyenkor frusztrált teljes visszaverődésről beszélünk.) A teljes visszaverődés teát felasználató arra, ogy segítségével a fény egy alkalmasan kialakított szálban csapdázzuk. Ez az alapvető működési elve az optikai, vagy fényvezető szálnak. Az optikai szál működésének vizsgálatáoz tekintsünk egy vékony pl. üvegből készült enger alakú szálat, amelyet le- a. n θ b θ o n m D θ k L b..7 ábra vegő vesz körül. Ha a szálba egy fénysugár kellően kis szögben lép be aoz, ogy az oldalfalnál a beesés szöge megaladja a teljes visszaverődés atárszögét, akkor a fénysugár csapdázódik, és csak a szál átlapján lépet ki (.7a ábra). A szál ossza L átmérője D. (Az ábrát szándékosan torzítva rajzoltuk, a gyakorlatban alkalmazott optikai szálak esetében D 8

9 00 µ, L0,00 0 km, teát L/D ) Essen a szál (tengelyre merőleges) véglapjára egy, a tengellyel Θ k szöget bezáró sugár (.7b ábra). Ez a sugár törés után a tengellyel Θ b szöget bezárva alad tovább, teát az oldalfalra Θ o 90 - Θ k szögben esik be. A csapdázódás feltétele teát Θ o Θ. Vessük fel először azt a kérdést, ogy egy éppen Θ o Θ szögben beeső sugár ányszor verődik vissza egy L osszúságú szálban? Ezt rögtön megkapjuk, a a két szomszédos visszaverődés közötti távolságot ( ) összeasonlítjuk a szál osszával. Az ábráról nyilvánvaló, ogy -ra íratjuk tgθ DtgΘ. (.5) D A visszaverődések száma teát L L N. (.6) DtgΘ Tekintsünk egy m osszú, 50 µ átmérőjű, üvegből készült optikai szálat (n m,5). A teljes visszaverődés atárszöge ekkor Θ 4,8, teát tgθ 0,89., amiből N360. Vizsgáljuk meg, ogy mi a kapcsolat a szálban fellépő veszteség és a visszaverődés atásossága között. A visszaverődés atásosságát az R reflexióképességgel szokás jellemezni. R-t a következőképpen szokás definiálni: RI v /I 0 aol I 0 a felületre beeső, I v a felület által visszavert fény erőssége (intenzitása). Mit jelent ez abban az esetben, a egymás után sok visszaverődés történik? Az első visszaverődés után a fénynek R-szerese, a második után az R.R-szerese, az N-ik után az R N -szerese alad tovább. Milyen következtetést tudunk ebből a teljes visszaverődés reflexióképességére levonni? Egy nem túlságosan jó minőségű optikai szál m-es szakaszán a fény 99%-a átjut (ma már léteznek olyan szálak is amelyek m-én a fény 99,995% jut át). Ez azt jelenti, ogy R 360 0,99 amiből következik, ogy R>0, ! Ezt összeasonlítatjuk a legjobb minőségű fém pl. alumínium tükörrel, amelynél R0,97. Az, ogy a különbség mekkora talán még jobban látszik akkor, a elképzeljük, ogy az optikai szálat egy olyan, vele azonos belső átmérőjű csővel elyettesítjük, amelynek belső falát a legjobb alumínium tükörrel vonjuk be. Ez a cső elvileg ugyanúgy csapdázza a belejutó fénysugarat, csakogy ekkor a fénynek a 0, ed része jutna át (a tíz kitevőjében a -95 nem elírás). Amint azt korábban említettük, a közvetlenül a felület közelében más, optikailag sűrűbb anyag elyezkedik el, akkor a fény egy része visszaverődés elyett kilép a felületből. Megmutattuk azt is, ogy a nagyszámú visszaverődés miatt a reflexióképesség milyen kritikus az optikai szál működése szempontjából. Ez azt jelenti, ogy a szál felületére kerülő legkisebb szennyeződés is igen káros atással leet a veszteségekre. A gyakorlatban olyan fényvezető szálakat szokás asználni, amelyben az üvegből, vagy kvarcból készült belső szálat magot kisebb törésmutatójú műanyagból készült köpeny veszi körül (.8 ábra). Ilyenkor természetesen a teljes visszaverődés a műanyag/üveg atárfelületen jön létre. Ez azt is jelenti, ogy a teljes visszaverődés atárszöge is jóval nagyobb lesz mivel a törésmutatók közötti különbség is jóval kisebb (tipikus értékek n m,5, n k,4 ekkor θ 68,9 ). 9

10 n lev θ n k n m θ b θ k L.8 ábra Az optikai szálaknak fontos paramétere az, ogy mekkora az a maximális Θ szög, amelynél a beeső fénysugár még csapdázódik. A következőkben ennek megatározása a célunk. Θ és Θ b között a Snellius-Descartes törvény ad kapcsolatot azaz sinθ sinθ k b n n m lev n m. (.7) Másrészről tudjuk, ogy sin n k Θ, (.8) n m valamint Θ. (.9) o b 90 Θ Vegyük (.9) mindkét oldalának színuszát sinθ cosθ, (.0) b majd elyettesítsük ezt (.7)-be sin Θ n cosθ. (.) k m (.)-be írjuk be cos Θ -t (.8) segítségével 0

11 sin n k Θ k n m n m n k n. (.) m Az NAsin Θ mennyiség, melyet numerikus apertúrának nevezünk igen fontos jellemzője az optikai szálaknak. A fényvezető szálak egyik legfontosabb alkalmazási területét az optikai távközlés jelenti. Az optikai távközlés során a kritikus tényező az adatátvitel sebessége. A nagy sebességez az szükséges, ogy a biteket reprezentáló (fény)impulzusok minél sűrűbben követessék egymást, ami viszont csak akkor leetséges, a maguk az impulzusok rövidek. Ebből következően végül is a sebességet az atározza meg, ogy milyen osszú az a legrövidebb impulzus, amely a szálban történő terjedés során még megtartja időtartamát, vagyis nem szélesedik ki. Fölvetődik a kérdés, ogy miért növekedne meg egy fényimpulzus időtartama, miközben átalad az optikai szálon? Ennek igen egyszerű oka van. A fénysugár a szálban nagyon sokféle úton terjedet. A legrövidebb úton a szál tengelyével páruzamosan beeső sugár alad, míg a legosszabb utat nyilvánvalóan a Θ k szög alatt beeső sugár teszi meg. Ha a két sugármenet megtételéez szükséges idők közötti különbség eléri, vagy megaladja a beküldött fényimpulzus időtartamát, akkor a kimeneten impulzus kiszélesedést észlelünk. Vizsgáljuk meg közelebbről azt, ogy mekkora ez a kiszélesedés! Ezt legegyszerűbben úgy teetjük meg, ogy egy osszúságon szakaszon kiszámítjuk a terjedési idő különbséget, és megszorozzuk annyival, aányszor osszabb a szál teljes ossza -nál. A osszra eső terjedési idő különbséget úgy kapatjuk meg, a a geometriai útkülönbséget elosztjuk a közegbeli fénysebességgel. A geometriai útkülönbségre az.7b ábra segítségével adódik sin Θ δs. (.3) sin Θ sin Θ Helyettesítsük be (.3)-ba (.5)-ből -t sinθ cosθ δ s D. (.4) sinθ sinθ Mivel a fény mindvégig a magban terjed, ezért a közegbeli fénysebesség v m c/n m. Az időkülönbség teát Dn c sinθ cosθ m δt. (.5) Az L osszúságra eső teljes időkülönbségez szorozzuk meg (.5)-t L/ -val L Dn sinθ Ln sinθ m m δ t L. (.6) DtgΘ c cosθ c sinθ Helyettesítsük be (.8)-ból sinθ t (.5)-be Ln m n m δt L. (.7) c n k

12 Az optikai szálban különböző szög alatt terjedő sugarakat módusoknak is szokás nevezni, a köztük fellépő δt L időbeli késés ezért a módusok közötti, azaz intermodális diszperzió. Nézzük meg, ogy mit jelent ez a gyakorlatban! Tekintsünk egy olyan optikai szálat, melynek magja n m,5 törésmutatójú üveg, köpenye n k,49 törésmutatójú műanyag. Az km osszra eső intermodális diszperzióra ekkor 3, s, (azaz 33,5 ns) ami azt jelenti, ogy bármilyen rövid impulzust is küldünk be az optikai szálba, az km megtétele után 33,5 ns-ra kiszélesedik. Milyen korlátot jelent ez a kommunikációs sebességre? Aoz ogy a jelek a kimeneten megkülönböztetetőek legyenek, az impulzusok közötti követési idő nem leet kisebb, mint a (kiszélesedett) impulzusossz kétszerese. Ebből az következik, ogy másodpercenként /6,7.0-8 jel viető át, teát a kommunikációs sebesség 5 Mbit/s. Az ilyen ú.n. multimódusú optikai szálak igen olcsók, és a nagy magátmérő µ miatt asználatuk igen egyszerű. Komoly átrányuk ugyanakkor az, ogy csak kis sebességű lokális álózatokban asználatók. A probléma igazi megoldása az ú.n. egymódusú optikai szálak asználatával leetséges, amelyeknek olyan kicsiny a magátmérőjük kisebb mint 0µ ogy csak a tengellyel páruzamos módus képes bennük terjedni. Ebben az esetben intermodális diszperzió nem lép fel, a kommunikációs sebességet csak a később tárgyalandó anyagi diszperzió korlátozza. Ezek a szálak sokkal drágábbak, és csak lézerek segítségével működtetetők, de a kommunikációs sebesség eléreti a 40 Gbit/s(40000Mbit/s)-ot is.

13 Geometriai optika Paraxiális közelítés Geometriai optikai megfontolásaink során az esetek döntő többségében paraxiális közelítésben dolgozunk. Ez azt jelenti, ogy feltételezzük, ogy a tárgyalt problémákban fellépő összes szög elegendően kicsiny aoz, ogy a szög szinuszát és tangensét magával a szöggel, koszinuszát pedig -el elyettesítsük. (A elyettesítéseknél a szöget természetesen radiánban értjük.) Mivel az esetek döntő többségében a szögek szinuszával lesz dolgunk, vizsgáljuk meg, ogy mik a paraxiális közelítés atárai. ϕ sin( ϕ) 0, rad sin ( ) 0, ,005% ϕ ϕ sin( ϕ) 5 0,08766 rad sin (5 ) 0, ,% ϕ Látató teát, ogy amennyiben a szög nem aladja meg az 5 -ot, a paraxiális közelítés során elkövetett iba legfeljebb 0,% ami az általunk vizsgált esetekben megengedető. Az alábbi ábrán egy olyan áromszög látató amelynek ϕ -vel jelölt szöge 5 (a befogók aránya kb. :). φ A fentiekből az is következik, ogy a paraxiális közelítés nem csupán extrém, a gyakorlatban csak nagyon ritkán megvalósuló eseteket képes leírni. A paraxiális közelítésez kapcsolódva levezetünk még egy egyszerű geometriai összefüggést, amelyre későbbi számításaink során szükségünk lesz. Tekintsünk egy R sugarú kört, és benne egy osszúságú úrt (lásd a.0 ábrát). Rajzoljuk be úr felező merőlegeseként szolgáló átmérőt. A kérdés az, ogy a úr mekkora x szakaszt metsz ki az átmérőből? 3

14 A α C α B B x R.0 ábra Könnyű belátni, ogy az ABC és az AB B áromszögek asonlók. (Mindkettő derékszögű áromszög, továbbá egy, a derékszögtől különböző szögük (α) is megegyezik.) Ekkor a megfelelő oldalak arányára íratjuk R x x ( R x)x Kaptunk teát x-re egy másodfokú egyenletet, amely a megoldóképlet alkalmazásával nyilvánvalóan megoldató lenne. Nekünk azonban elegendő a paraxiális közelítésnek megfelelő közelítő megoldás. A paraxiális közelítés azt jelenti, ogy α kicsiny amiből következik, ogy <<R. Miután kis α -ra x α nyilvánvaló, ogy R>>>>x teát a zárójelben R mellett az x elanyagolató. Így teát a keresett összefüggés x. R 4

15 Fénytörés gömbfelületekkel elválasztott közegek atárán Tekintsünk két, egymástól gömbfelülettel elválasztott, különböző törésmutatójú (n,n ) közeget (. ábra). Legyen S egy, a rendszer szimmetria tengelyén (szaggatott vonal) a gömb- A n Θ Θ n S α r Θ α s s O P. ábra felülettől valamilyen s távolságra elelyezkedő pontszerű fényforrás. Induljon ki S-ből egy, a szimmetria tengellyel α szöget bezáró fénysugár. (A rendszer szimmetria tengelyét optikai tengelynek is szokás nevezni.) A kérdés az, ogy milyen s távolságra találató az a P pont amelyben a atárfelületen megtörő nyaláb a szimmetria tengelyt metszi? Feladatunk megoldásáoz tekintsük először az AOS áromszöget. (Az ábrán A-val jelöltük a sugár és a gömbfelület döféspontját, O-val a gömb középpontját.) Írjuk fel az S-nél, illetve az A-nál lévő szögekre a szinusz tételt. s + r r sin( 80 θ) sin α (.) Kiasználva, ogy sin(80 - α )sin(α) kapjuk: s + r sin θ sin α r (.) Alkalmazzuk ismét a szinusz tételt, ezúttal az APO áromszögben az A-nál és P-nél fekvő szögekre. 5

16 s r sin θ sin( θ r θ α) (.3) Az ábrára pillantva nyilvánvaló, ogy az OA sugár éppen a vizsgált fénysugár beesési merőlegesét jelöli ki, teát a fénysugár beesési és törési szöge rendre θ és θ. Ekkor a Snellius-Descartes törvényt alkalmazva kapjuk sin θ sin θ n. (.4) (A (.4) egyenlet felírásánál az egyszerűség kedvéért feltételeztük, ogy az első közeg levegő a második pedig valami n törésmutatójú anyag.) Emlékezzünk rá, ogy a keresett mennyiség s, a (.-.4) egyenletrendszert teát erre kell megoldani. Mielőtt a megoldásba kezdenénk, tételezzük fel, ogy α elegendően kicsiny aoz, ogy alkalmazató legyen a paraxiális közelítés. (A paraxiális közelítésez az szükséges, ogy az egyenletekben fellépő összes szög kicsiny legyen. Vegyük azonban észre, ogy α-t elegendően kicsinyre korlátozva biztosítató az, ogy a többi szögre teát α-ra, θ - re, θ -re és θ -θ - α -ra is érvényes legyen a közelítés.) Ekkor íratjuk s + r r θ α s θ r θ r θ α (.5a) (.5b) θ n. (.5c) θ Fejezzük ki (.5a)-ból θ -et. α θ (s + r) (.6) r (.6) és (.5c) felasználásával θ -re adódik θ α θ (s + r). (.7) n n r Helyettesítsük (.6)-ot és (.7)-et (.5b)-be. s r r α/ (s + α/ α/ r) n r r r n ( s + r) α/ (.8) A (.8) egyenletet közelebbről szemügyre véve egy igen fontos fizikai felismerésez jutunk. Abból ugyanis, ogy α-val egyszerűsíteni tudtunk az következik, ogy s sem függet α-tól. 6

17 x x Ez viszont fizikailag azt jelenti, ogy az S-ből kiinduló összes sugár ugyanabban a P pontban találkozik. Találtunk teát egy egyszerű optikai rendszert egy gömbfelülettel atárolt optikailag sűrűbb közeget amely rendelkezik azzal a különleges tulajdonsággal, ogy egymásoz rendel pontokat úgy, ogy az egyik pontból kiinduló összes sugár a másik pontban metszi egymást. Ez az optikai képalkotás alapelve. Visszatérve eredeti problémánk megoldásáoz, már csak arra van szükség, ogy (.8)-ból s -t kifejezzük. s (s + r)r r + (.9) (n )(s + r) r n Előző gondolatmenetünk legfontosabb eredménye az, ogy felismertük ogy létezik olyan egyszerű optikai rendszer, amely bizonyos feltételek mellett képet alkot. A ténylegesen megvizsgált rendszer azonban gyakorlati célokra aliga alkalmas, iszen az egyik pont az optikailag sűrűbb közeg pl. üveg belsejében elyezkedik el. Szemléletünk azt sugallja, ogy képalkotás valószínűleg akkor is várató, a az optikailag sűrűbb közeget két gömbfelület atárolja. A továbbiakban az ílymódon előálló ú.n. lencséket vizsgáljuk meg egy kissé részletesebben. Célunkat természetesen úgy is eléretnénk a előző okoskodásunkat megismételve megvizsgálnánk külön-külön a két felületnél fellépő törést. Ennél azonban sokkal elegánsabban is eljáratunk a legrövidebb idő elvét alkalmazva. Tekintsük eez a. ábrát. x x S O O P R R s s. ábra Alkossa lencsénk elülső felületét az O középpontú, R sugarú, a átsót az O középpontú, R sugarú gömb. A korábbiak szerint leképezésről akkor beszélünk, a létezik olyan P pont, amelyben az S pontból tetszőleges szög alatt kiinduló összes sugár metszi egymást. Azt is tudjuk, ogy az összes sugármenetnek egyúttal meg kell felelnie a legrövidebb idő elvének. Mivel a kiindulási és végpont ugyanaz, ez csak akkor leetséges, a a terjedési idő minden 7

18 sugármenetre ugyanakkora. Hasonlítsuk össze pl. a szimmetria tengelyben aladó sugarat a lencse szélén megtörő sugárral. A. ábráról nyilvánvaló, ogy a tengelyben aladó sugármenet négy szakaszból áll. A fény először s utat tesz meg levegőben, x +x -t a lencsében, majd s -t ismét levegőben. A terjedési idő teát T s x + x s +. (.0) c c c n + A lencse szélén megtörő nyaláb ugyan fizikailag a. ábrán bejelölt pontozott vonal mentén alad, de mivel paraxiális közelítésben dolgozunk, elanyagolatóan kicsiny ibát követünk el, a eelyett úgy képzeljük, ogy a sugár az s sugarú gömbfelület döféspontjában törik meg, amint azt az ábrán is rajzoltuk. (Természetesen ugyanezt a közelítést a lencse túloldalán is alkalmazzuk.) Ez a sugár végig levegőben alad, a terjedési idő teát T s + x' + x' + s. (.) c Aogy azt korábban beláttuk meg kell követelnünk T T -t, azaz x ' + x n x + n x. (.) ' Már csak az x-eket kell (.)-be beelyettesítenünk. Ezt könnyen megteetjük a paraxiális közelítés tárgyalásánál levezetett formulánk segítségével. Ekkor kapjuk x, R x, R x ' +, s R x ' +. (.3) s R (.3)-at (.)-be elyettesítve adódik végeredményünk s + s ( n ) R + R. (.4) Vizsgáljuk meg közelebbről a kapott eredményt! Tüstént észreveetjük pl. azt, ogy (.4)- ben nem lép fel. Ez fizikailag azt jelenti, ogy a leképezés a lencse átmérőjétől nem függ, amint azt a szemlélet alapján el is várjuk. Nézzük mi adódik pl. abban a atáresetben a az S pontot igen nagy távolságba visszük, azaz s. Ekkor (.4)-ből kapjuk s ( n ) R + R. (.5) Az s valójában azt jelenti, ogy a beérkező sugarak páruzamosak a szimmetria/optikai tengellyel, teát az eez tartozó P pont az a pont amelybe a lencse a tengellyel páruzamos sugarakat összegyűjti. Ezt a pontot nevezzük fókuszpontnak, a ozzátartozó távolságot pedig fókusztávolságnak, melyet a továbbiakban f-el jelölünk. A fókusztávolság bevezetésével íratjuk teát 8

19 s +. (.6) s f Idézzük fel a (.6)-ban előforduló mennyiségek jelentését. S volt az a pont amelyből a képalkotásban résztvevő sugarak kiindulnak. Az ilyen pontokat tárgypontnak is szokás nevezni, a ozzájuk tartozó (s ) távolságot pedig tárgytávolságnak. A tárgytávolságot a továbbiakban t-vel jelöljük. Logikus ezek után P-t képpontnak, a ozzá tartozó távolságot képtávolságnak nevezni, melynek szokásos jelölése k. Az új jelölésekkel (.6) az alábbi alakba írató +. (.7) t k f A (.7) egyenlet a geometriai optika egyik legalapvetőbb összefüggése, amelyet lencseegyenletnek nevezünk. 9

20 Az előadáson elangzott anyag jelentős része megtalálató a Budó-Mátrai Kísérleti fizika III. c. tankönyvben (a továbbiakban Tk). Az alábbiakban ennek megfelelően a fontosabb anyagrészek Tk-beli elyét adom meg, kiegészítve azokkal a vázlatos levezetésekkel, amelyek ott nem találatók meg. (A ullámtan és akusztika rész a Budó I. kötetében találató meg ezt ott értelemszerűen jelzem.) Segédanyagoz tartozik még az az állomány amely az előadáson bemutatott fontosabb fóliákat tartalmazza. Fénysebesség mérése. Tk 8.-. old. Az emberi szem és a látás Tk old. *********************************************** A nagyító (lupe) működése Tekintsünk egy T nagyságú tárgyat. Szabad szemmel nyilvánvalóan akkor látjuk a legnagyobbnak, a a szemünköz abban a minimális távolságban (L 0 ) elyezzük el, aol a még élesen látunk (ezt nevezzük a tisztalátás távolságának). Ekkor a szemlencsénk a szemfenéken alkotja meg a tárgy K nagyságú éles képét (lásd az a ábrát). Mivel az L 0 D f 0 T K L 0 a egészséges szem esetében 5 cm, a szemlencse f 0 fókusztávolsága pedig jó közelítéssel megegyezik a szemgolyó D átmérőjével, ezért íratjuk: t L, t >> f k f amiből következik T L 0 f K (). Helyezzük most a lupét (ami egy f l fókusztávolságú gyűjtőlencse) közvetlenül a szemünk elé, a T tárgyat pedig kicsivel a lencse fókusztávolsága mögé (azaz tηf l aol η közelítőleg ). A lupe ekkor a tárgyról valamely k távolságban egy K nagyságú, egyenes állású, virtuális ké- 0

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA I.

GEOMETRIAI OPTIKA I. Elméleti háttér GEOMETRIAI OPTIKA I. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Snellius-Descartes törvény Az új közeg határához érkező fény egy része behatol az új közegbe, és eközben általában

Részletesebben

A fény visszaverődése

A fény visszaverődése I. Bevezető - A fény tulajdonságai kölcsönhatásokra képes egyenes vonalban terjed terjedési sebessége függ a közeg anyagától (vákuumban 300.000 km/s; gyémántban 150.000 km/s) hullám tulajdonságai vannak

Részletesebben

Optika fejezet felosztása

Optika fejezet felosztása Optika Optika fejezet felosztása Optika Geometriai optika vagy sugároptika Fizikai optika vagy hullámoptika Geometriai optika A közeg abszolút törésmutatója: c: a fény terjedési sebessége vákuumban, v:

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához A lencsék fogalma, fajtái Az optikai lencsék a legegyszerűbb fénytörésen alapuló leképezési eszközök. Fajtái: a domború és a homorú lencse. optikai középpont optikai

Részletesebben

Megoldás: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk.

Megoldás: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk. 37 B-5 Fénynyaláb sík üveglapra 40 -os szöget bezáró irányból érkezik. Az üveg 1,5 cm vastag és törésmutatója. Az üveglap másik oldalán megjelenő fénynyaláb párhuzamos a beeső fénynyalábbal, de oldalirányban

Részletesebben

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Optika Fénytan A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete Sokkal nagyobb összemérhető A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Elektromágneses spektrum Az elektromágneses hullámokat a keltés módja,

Részletesebben

FÉNYTAN A FÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Sorold fel milyen hatásait ismered a napfénynek! 2. Hogyan tisztelték és minek nevezték az ókori egyiptomiak a Napot?

FÉNYTAN A FÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Sorold fel milyen hatásait ismered a napfénynek! 2. Hogyan tisztelték és minek nevezték az ókori egyiptomiak a Napot? FÉNYTAN A FÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Sorold fel milyen hatásait ismered a napfénynek! 2. Hogyan tisztelték és minek nevezték az ókori egyiptomiak a Napot? 3. Mit nevezünk fényforrásnak? 4. Mi a legjelentősebb

Részletesebben

Optikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján

Optikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Optikai alapmérések Mérést végezte: Enyingi Vera Atala Mérőtárs neve: Fábián Gábor (7. mérőpár) Mérés időpontja: 2010. október 15. (12:00-14:00) Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2010. október 22. A mérés

Részletesebben

Történeti áttekintés

Történeti áttekintés A fény Történeti áttekintés Arkhimédész tükrök segítségével gyújtotta fel a római hajókat. A fény hullámtermészetét Cristian Huygens holland fizikus alapozta meg a 17. században. A fénysebességet először

Részletesebben

d) A gömbtükör csak domború tükröző felület lehet.

d) A gömbtükör csak domború tükröző felület lehet. Optika tesztek 1. Melyik állítás nem helyes? a) A Hold másodlagos fényforrás. b) A foszforeszkáló jel másodlagos fényforrás. c) A gyertya lángja elsődleges fényforrás. d) A szentjánosbogár megfelelő potrohszelvénye

Részletesebben

1. ábra Tükrös visszaverődés 2. ábra Szórt visszaverődés 3. ábra Gombostű kísérlet

1. ábra Tükrös visszaverődés 2. ábra Szórt visszaverődés 3. ábra Gombostű kísérlet A kísérlet célkitűzései: A fény visszaverődésének kísérleti vizsgálata, a fényvisszaverődés törvényének megismerése, síktükrök képalkotásának vizsgálata. Eszközszükséglet: szivacslap A/4 írólap vonalzó,

Részletesebben

Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika

Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika Az elektromágneses hullámok egyik fajtája a szemünk által látható fény. Látható fény (400 nm 800 nm) (vörös ibolyakék) A látható fehér fény a különböző

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése

Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. március 19. (hétfő délelőtti csoport) 1. Mikroszkóp vizsgálata 1.1. A mérés

Részletesebben

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Jegyzeteim 1. lap Fotó elmélet 2015. október 9. 14:42 Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Kardinális elemek A lencse képalkotását meghatározó geometriai elemek,

Részletesebben

OPTIKA. Gömbtükrök képalkotása, leképezési hibák. Dr. Seres István

OPTIKA. Gömbtükrök képalkotása, leképezési hibák. Dr. Seres István OPTIKA Gömbtükrök képalkotása, Dr. Seres István Tükrök http://www.mozaik.info.hu/mozaweb/feny/fy_ft11.htm Seres István 2 http://fft.szie.hu Gömbtükrök Domború tükör képalkotása Jellegzetes sugármenetek

Részletesebben

25. Képalkotás. f = 20 cm. 30 cm x =? Képalkotás

25. Képalkotás. f = 20 cm. 30 cm x =? Képalkotás 25. Képalkotás 1. Ha egy gyujtolencse fókusztávolsága f és a tárgy távolsága a lencsétol t, akkor t és f viszonyától függ, hogy milyen kép keletkezik. Jellemezd a keletkezo képet a) t > 2 f, b) f < t

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Optika Fénytan A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete Sokkal nagyobb összemérhető A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával rádióhullám infravörös látható ultraibolya röntgen gamma sugárzás

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

A fény mint elektromágneses hullám és mint fényrészecske

A fény mint elektromágneses hullám és mint fényrészecske A fény mint elektromágneses hullám és mint fényrészecske Segítség az 5. tétel (Hogyan alkalmazható a hullám-részecske kettősség gondolata a fénysugárzás esetében?) megértéséhez és megtanulásához, továbbá

Részletesebben

A kísérlet célkitűzései: A fénytani lencsék megismerése, tulajdonságainak kísérleti vizsgálata és felhasználási lehetőségeinek áttekintése.

A kísérlet célkitűzései: A fénytani lencsék megismerése, tulajdonságainak kísérleti vizsgálata és felhasználási lehetőségeinek áttekintése. A kísérlet célkitűzései: A fénytani lencsék megismerése, tulajdonságainak kísérleti vizsgálata és felhasználási lehetőségeinek áttekintése. Eszközszükséglet: Optika I. tanulói készlet főzőpohár, üvegkád,

Részletesebben

OPTIKA. Vékony lencsék, gömbtükrök. Dr. Seres István

OPTIKA. Vékony lencsék, gömbtükrök. Dr. Seres István OPTIKA Vékony lencsék, gömbtükrök Dr. Seres István Geometriai optika 3. Vékony lencsék Kettős gömbelület (vékonylencse) énytörése R 1 és R 2 sugarú gömbelületek között n relatív törésmutatójú közeg o 2

Részletesebben

24. Fénytörés. Alapfeladatok

24. Fénytörés. Alapfeladatok 24. Fénytörés Snellius - Descartes-törvény 1. Alapfeladatok Üvegbe érkezo 760 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60 o, törési szöge 30 o. Mekkora a hullámhossza az üvegben? 2. Valamely fény hullámhossza

Részletesebben

c v A sebesség vákumbanihoz képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törémutatóval fejezzük ki. c v

c v A sebesség vákumbanihoz képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törémutatóval fejezzük ki. c v Optikai alapogalmak A ény tulajdonságai A ény elektromágneses rezgés. Kettős, hullám-, illetve részecsketermészete van, ezért bizonyos jelenségeket hullámtani, másokat pedig kvantummechanikai tárgyalással

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Ugrásszerűen változó törésmutató, optikai szálak

Ugrásszerűen változó törésmutató, optikai szálak 9. Előadás Ugrásszerűen változó törésmutató, optikai szálak Ugrásszerűen változó törésmutatójú közeget két, vagy több objektum szoros egymáshoz illesztésével és azokhoz különböző anyag vagy törésmutató

Részletesebben

A látás és látásjavítás fizikai alapjai. Optikai eszközök az orvoslásban.

A látás és látásjavítás fizikai alapjai. Optikai eszközök az orvoslásban. A látás és látásjavítás fizikai alapjai. Optikai eszközök az orvoslásban. Orvosi fizika és statisztika Varjú Katalin 202. október 5. Vizsgára készüléshez ajánlott: Damjanovich Fidy Szöllősi: Orvosi biofizika

Részletesebben

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1 Tornyai Sánor Fizikaerseny 9. Megolások. Aatok: á,34 m/s, s 6,44 km 644 m,,68 m/s,,447 m/s s Az első szakasz megtételéez szükséges iő: t 43 s. pont A másoik szakaszra fennáll, ogy s t pont s + s t + t

Részletesebben

Fényvezető szálak és optikai kábelek

Fényvezető szálak és optikai kábelek Fényvezető szálak és optikai kábelek Fizikai alapok A fénytávközlés alapvető passzív elemei. Ötlet: 1880-as években Alexander Graham Bell. Optikai szálak felhasználásának kezdete: 1960- as évek. Áttörés

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f 0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp

Részletesebben

OPTIKA. Hullámoptika Diszperzió, interferencia. Dr. Seres István

OPTIKA. Hullámoptika Diszperzió, interferencia. Dr. Seres István OPTIKA Diszperzió, interferencia Dr. Seres István : A fény elektromágneses hullám A fehér fény összetevői: Seres István 2 http://fft.szie.hu : A fény elektromágneses hullám: Diszperzió: Különböző hullámhosszúságú

Részletesebben

Legyen a rések távolsága d, az üveglemez vastagsága w! Az üveglemez behelyezése

Legyen a rések távolsága d, az üveglemez vastagsága w! Az üveglemez behelyezése 6. Gyakorlat 38B-1 Kettős rést 600 nm hullámhosszúságú fénnyel világitunk meg és ezzel egy ernyőn interferenciát hozunk létre. Ezután igen vékony flintüvegből (n = 1,65) készült lemezt helyezünk csak az

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

OPTIKA-FÉNYTAN. A fény elektromágneses hullám, amely homogén közegben egyenes vonalban terjed, terjedési sebessége a közeg anyagi minőségére jellemző.

OPTIKA-FÉNYTAN. A fény elektromágneses hullám, amely homogén közegben egyenes vonalban terjed, terjedési sebessége a közeg anyagi minőségére jellemző. OPTIKA-FÉNYTAN A fény elektromágneses hullám, amely homogén közegben egyenes vonalban terjed, terjedési sebessége a közeg anyagi minőségére jellemző. A fény sebessége: vákuumban közelítőleg: c km 300000

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

OPTIKA. Hullámoptika Diszperzió, interferencia. Dr. Seres István

OPTIKA. Hullámoptika Diszperzió, interferencia. Dr. Seres István OPTIKA Diszperzió, interferencia Dr. Seres István : A fény elektromágneses hullám A fehér fény összetevői: Seres István 2 http://fft.szie.hu : A fény elektromágneses hullám: Diszperzió: Különböző hullámhosszúságú

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK. a 11. B-nek

ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK. a 11. B-nek ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK a 11. B-nek Elektromos Kondenzátor: töltés tárolására szolgáló eszköz (szó szerint összesűrít) Kapacitás (C): hány töltés fér el rajta 1 V-on A homogén elektromos mező energiát

Részletesebben

Készítette: Bagosi Róbert Krisztián Szak: Informatika tanár Tagozat: Levelező Évfolyam: 3 EHA: BARMAAT.SZE H-s azonosító: h478916

Készítette: Bagosi Róbert Krisztián Szak: Informatika tanár Tagozat: Levelező Évfolyam: 3 EHA: BARMAAT.SZE H-s azonosító: h478916 Készítette: Bagosi Róbert Krisztián Szak: Informatika tanár Tagozat: Levelező Évfolyam: 3 EHA: BARMAAT.SZE H-s azonosító: h478916 OPTIKAI SZÁLAK Napjainkban a távközlés és a számítástechnika elképzelhetetlen

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 8. MÉRÉS Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 12. Szerda délelőtti csoport

Részletesebben

OPTIKA. Vékony lencsék képalkotása. Dr. Seres István

OPTIKA. Vékony lencsék képalkotása. Dr. Seres István OPTIKA Vékony lencsék képalkotása Dr. Seres István Vékonylencse fókusztávolsága D 1 f (n 1) 1 R 1 1 R 2 Ha f > 0, gyűjtőlencse R > 0, ha domború felület R < 0, ha homorú felület n a relatív törésmutató

Részletesebben

XVIII. A FÉNY INTERFERENCIÁJA

XVIII. A FÉNY INTERFERENCIÁJA XVIII. A FÉNY INTERFERENCIÁJA Bevezetés A fény terjedését egyenes vonal mentén képzelve fény- sugarakról szoktunk beszélni. A fénysugár egy hasznos és szemléletes fogalom. A fény terjedését sugárként elképzelve,

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS

Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS Anyagismeret a gyakorlatban (BMEGEPTAGA0) KEMÉNYSÉGMÉRÉS Elméleti áttekintés Az anyag képlékeny alakváltozással, különösen valamely mérőszerszám beatolásával, szembeni ellenállását keménységnek nevezzük.

Részletesebben

Geometriai optika. A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik.

Geometriai optika. A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik. Geometriai optika A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik. A geometriai optika egyszerű modell, amely a fény terjedését a fényforrásból minden irányba kilépő

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

Geometriai optika. Alapfogalmak. Alaptörvények

Geometriai optika. Alapfogalmak. Alaptörvények Alapfogalmak A geometriai optika a fénysugár fogalmára épül, mely homogén közegben egyenes vonalban terjed, két közeg határán visszaverődik és/vagy megtörik. Alapfogalmak: 1. Fényforrás: az a test, amely

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Kromatikus diszperzió mérése

Kromatikus diszperzió mérése Kromatikus diszperzió mérése Összeállította: Mészáros István tanszéki mérnök 1 Diszperziós jelenségek Diszperzió fogalma alatt a jel szóródását értjük. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a bemeneti keskeny

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése 1 blende 1 és 2 rés 2 összekötő vezeték Előkészület: A kísérleti lámpát teljes egészében egy ív papírlapra helyezzük. A négyzetes fénynyílást széttartó fényként használjuk

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Rövid ismertető. Modern mikroszkópiai módszerek. A mikroszkóp. A mikroszkóp. Az optikai mikroszkópia áttekintése

Rövid ismertető. Modern mikroszkópiai módszerek. A mikroszkóp. A mikroszkóp. Az optikai mikroszkópia áttekintése Rövid ismertető Modern mikroszkópiai módszerek Nyitrai Miklós 2010. március 16. A mikroszkópok csoportosítása Alapok, ismeretek A működési elvek Speciális módszerek A mikroszkópia története ld. Pdf. Minél

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Optika. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.

Optika. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. Optika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. Bevezetés A fény és az elektromágneses spektrum A színek keletkezése A fény sebessége A fényhullámok interferenciája A fény polarizációja

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Elektrooptikai effektus

Elektrooptikai effektus Elektrooptikai effektus Alapelv: A Pockels effektus az a jelenség, amikor egy eredendően kettőstörő anyag kettőstörő tulajdonsága megváltozik az alkalmazott elektromos tér hatására, és a változás lineáris

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

A NAPFÉNY ÉS A HŐ I. A FÉNY TULAJDONSÁGAINAK MEGFIGYELÉSE. Dátum:

A NAPFÉNY ÉS A HŐ I. A FÉNY TULAJDONSÁGAINAK MEGFIGYELÉSE. Dátum: I. A FÉNY TULAJDONSÁGAINAK MEGFIGYELÉSE A NAPFÉNY ÉS A HŐ 1. A meleg éghajlatú tengerparti országokban való kirándulásaitok során bizonyára láttatok a házak udvarán fekete tartályokat kifolyónyílással

Részletesebben

- abszolút törésmutató - relatív törésmutató (más közegre vonatkoztatott törésmutató)

- abszolút törésmutató - relatív törésmutató (más közegre vonatkoztatott törésmutató) OPTIKAI MÉRÉSEK A TÖRÉSMUTATÓ Törésmutató fenomenologikus definíció geometriai optika eszköztára (pl. fénysugár) sini c0 n 1 = = = ( n1,0 ) c sin r c 0, c 1 = fény terjedési sebessége vákuumban, illetve

Részletesebben

A teljes elektromágneses színkép áttekintése

A teljes elektromágneses színkép áttekintése Az elektromágneses spektrum. Geometriai optika: visszaverődés, törés, diszperzió. Lencsék és tükrök képalkotása (nevezetes sugarak, leképezési törvény) A teljes elektromágneses színkép áttekintése Az elektromágneses

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Fa rudak forgatása II.

Fa rudak forgatása II. Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Ellipszis átszelése. 1. ábra 1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

Hullámmozgás. Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete

Hullámmozgás. Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete Hullámmozgás Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete A hullámmozgás fogalma A rezgési energia térbeli továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. Hullámmozgáskor a közeg, vagy mező

Részletesebben

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez 1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Hullámoptika II.Két fénysugár interferenciája

Hullámoptika II.Két fénysugár interferenciája Hullámoptika II. Két fénysugár interferenciája 2007. november 9. Vázlat 1 Bevezet 2 Áttekintés Két rés esetének elemzése 3 Hullámfront-osztáson alapuló interferométerek Amplitúdó-osztáson alapuló interferométerek

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

2. Miért hunyorognak a csillagok? Melyik az egyetlen helyes válasz? a. A Föld légkörének változó törésmutatója miatt Hideg-meleg levegő

2. Miért hunyorognak a csillagok? Melyik az egyetlen helyes válasz? a. A Föld légkörének változó törésmutatója miatt Hideg-meleg levegő 1. Milyen képet látunk a karácsonyfán lévı üveggömbökben? a. Egyenes állású, kicsinyített képet. mert c. Egyenes állású, nagyított képet. domborótükör d. Fordított állású, nagyított képet. b. Fordított

Részletesebben

SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0

SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Fizikatörténet A fénysebesség mérésének története Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Kezdeti próbálkozások Galilei, Descartes: Egyszerű kísérletek lámpákkal adott fényjelzésekkel. Eredmény:

Részletesebben

Modern Fizika Labor. A mérés száma és címe: A mérés dátuma: Értékelés: Folyadékkristályok vizsgálata.

Modern Fizika Labor. A mérés száma és címe: A mérés dátuma: Értékelés: Folyadékkristályok vizsgálata. Modern Fizika Labor A mérés dátuma: 2005.11.16. A mérés száma és címe: 17. Folyadékkristályok vizsgálata Értékelés: A beadás dátuma: 2005.11.30. A mérést végezte: Orosz Katalin Tóth Bence 1 A mérés során

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Kidolgozott minta feladatok optikából

Kidolgozott minta feladatok optikából Kidolgozott minta feladatok optikából 1. Egy asztalon elhelyezünk két síktükröt egymásra és az asztalra is merőleges helyzetben. Az egyik tükörre az asztal lapjával párhuzamosan lézerfényt bocsátunk úgy,

Részletesebben

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa 1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

A diákok végezzenek optikai méréseket, amelyek alapján a tárgytávolság, a képtávolság és a fókusztávolság közötti összefüggés igazolható.

A diákok végezzenek optikai méréseket, amelyek alapján a tárgytávolság, a képtávolság és a fókusztávolság közötti összefüggés igazolható. Az optikai paddal végzett megfigyelések és mérések célkitűzése: A tanulók ismerjék meg a domború lencsét és tanulmányozzák képalkotását, lássanak példát valódi képre, szerezzenek tapasztalatot arról, mely

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben