Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására"

Átírás

1 Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása utá periodikus jel em egyeközű mitavételezését Ismertetjük. Ha egy periodikus Jel spektruma egy oktávál keskeyebb, akkor a helyi szélsőértékeiél vett miták és Időpotjaik egyértelműe meghatározzák a jelet. Az így értelmezett illesztett mitavételezés bemutatása utá e mitavételezés alapvető tulajdoságaival foglalkozuk. Ezek a tulajdoságok kedvezőek és sok hasolóságot mutatak az emberi hallásról szerzett eddigi ismeretekkel. DR. FÖLDVÁRI RUDOLF A Budapesti Műszaki Egyeteme szerzett diplomát 962-be. A BME Vezetékes Híradástechikai Taszéké helyezkedett el és a lieáris hálózatok, valamit a vezetékes távközlő beredezések cimű tárgyak oktatásába vett részt ig a Hiradátechikai Ipari Kutató Itézetbe dolgozott, majd a BME Híradástechikai Elektroika Itézetébe a kostrukció tárgy oktatásába kapcsolódott be.. Bevezetés Az egyeközű III. ekvidísztás mitavételezés a legáltaláosabba elterjedt módja egy jel időtartomáyba törtéő előállításáak. Kevésbé Ismert a mitavételi tétel általáosítása, a em egyeközű mitavételezés, melyek elméletét az [] irodalom tárgyalja. Számos cikk, például a [2],[3] és [4], digitális szűrők aalíziséhez és tervezéséhez felhaszálja ezt az általáosabb érvéyű mitavételi tételt. A következőkbe részletese tárgyalt periodikus, em egyeközi mitavételezés esetére megmutatjuk, hogy a miták milye feltétel mellett határozzák meg egyértelműe a jelet. A visszaállításhoz szükséges iterpoláló függvéyeket az [] irodalom ismerteti. Ezekívül foglalkozuk egy speciális esettel, evezetese periodikus, sávszűrt jelek mitavételezésével, és a mitavételezés éháy alapvető tulajdoságával. x(t) = Sx(t k ) K=-oo sií^tt-tk)) ü>o (t-tk) ü)0 s ^,t k = kt 0 és2trb< öfi. TO A mitavételi tétel értelmébe x(t)-t V t-re egyértelműe meghatározzák a tk időpotokba felvett értékei Mitavételezett jel spektrálls előállítása A mitavételezés felfogható, mit az x(t) és a v(t) mitavételező függvéy szorzata [5J. (. ábra) A (2) 2. Ekvidisztás mitavételezés Ekvidisztásak evezzük a mitavételezést, ha az x(t) jelből egyelő időközökét veszük mitát. Ha az x (t) jel sávkorlátos akkor érvéyes a Shao-féle mitavételi tétel []. 2..Mitavételi tétel Legye x(t) sávkorlátos, a következő alakba felírható időfüggvéy B x(t)= / e Jü)t dp((o), () -B azaz létezze spektrális előállítása. Mide, a fetiek szeriti x (t) előállítható a következő alakba Beérkezett: 988. XI. 22. (H). ábra. Ekvidisztás mitavételező függvéy mitavételező v(t) függvéy előállítható Fourier sorával, azaz 00 v(t)= X c k e j k W o t (3) k = - oo r _ ^ _ A SÍ(kTrA/T 0 ) TO K ír A / TO továbbá válasszuk értékét úgy, hogy ba/t 0 = legye. A mitavételezettjeiét y(t)-vel jelölve írható, hogy y(t) = x(t).v(t), (4) Híradástechika, XL. évfolyam, szám 263

2 továbbá () és (3) felhaszálásával * B " r ~ y(t)= dpm i kwot Az (5) egyeletből jól látszik, hogy az y(t) jelet egy Ideális wo/2 sávhatárú aluláteresztővel szűrve, c 0 x(t)-t kapuk, továbbá ha A «T 0. akkor Ck = Vk-ra, és visszayerjük a mitavételi tételt. Ha em ekvidisztás mitákat veszük x(t)-ből, de biztosítai tudjuk, hogy a mitavételezett jel spektrális előállítása wo/2-ig megegyezze y(t) spektrális előállításával, akkor a em ekvidisztás miták szité egyértelműe meghatározzák az x(t) jelet. A következőkbe vizsgáljuk meg részletese ezt az általáos esetet. 3. Nem ekvidisztás mitavételezés (5) Legyeek a miták egymástól külöböző távolságra, és az egyszerűség kedvéért ezek a sorozatok ismétlődjeek periodikusa, azaz a mitavevő jel legye a 2. ábráak megfelelő. Ha az x(t) Jelből a 2. ábrá látható v(t) jellel veszük mitát, és a y(«) jr (!) l--aoo-3l y (O 3. ábra. Blokkvázlat a em egyeközű mitavételezés értelmezéséhez az esetbe ugyais o>o/2 sávhatárú aluláteresztő szűrővel x(t) egyértelműe visszaállítható. A 2. ábra alapjá látható hogy vi(t), v2(t) v (t) a T= T 0 idővel periodikus, Fourier soraik csak fázisba külöbözek. Az i-edik mitavevő jel Fourier traszformáltja v (t)= - X Ck& \ k = -oo I, (6) AT 3 IÜ2EO) 2. ábra. Periodikus, em ekvidisztás mitavételező függvéy [0, T) itervallumba mide mita külöböző időpotra esik, akkor a miták egyértelműe meghatározzák az x(t) jelet. 3.. Mitavételezés em ekvidisztás mitából álló periodikus sorozattal 4 T X T * r í ) és ezzel Ti AT t A*, = -2s f(l-l)+ 4] (7) L TO A tömörebb írásmód kedvóért vezessük be a következőjelölést ia<di Ai = e J k i k ü ) t 0 0 v,(t)= X CkA^e' Ml, _ Az () és (8) egyeletek felhaszálásával yi(t)= yi(t)= /e jwt dp(<o) -B /e Jtot d P (o,) -B ~ A k l^t - X CkAi e J k = -oo j- x ckar^-fr k = -oo (8) (9) Állítsuk elő az x(t) és a em ekvidisztás mitavé felezést reprezetáló v(t) szorzatát, majd válaszszuk szét a vi (t), v2(t) v{t)-hez tartozó mitákat. (A jelölések a 2. ábrá láthatók.) Legye y(t) = = x(t). vi(t), i =,2,... és az y(t) jele végezzük el a H{ átviteli függvéyel jellemzett iieárls ivariás traszformációt a 3. ábrá látható módo. Az öszszegző kimeeté megjeleő jel legye y 0 (t). A HÍ traszformációt úgy kell megválasztai, hogy yo(t) spektrális előállítása (-CÚO/2, W2) itervallumba megegyezze y(t) spektrális előállításával. Ebbe y (t)= /e Jü,t dp(o») -B Az y (t) spektrális előállítását a Hí (j<d) átviteli függvéyel szorozva, és így tovább y(t)-t H (jw)-val traszformálva azt kívájuk eléri, hogy a k = O- hoz tartozó tagok összeadódjaak, a k = ±, + 2,. i (-)-hez tartozók pedig kiesseek a szummázásutá. A (9) egyeletredszer i-edik egyeletét átalakítva kapjuk, hogy 264 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

3 yi(t)=- 2 / ck " k = -oo -B Feti egyeletből jól látható, hogy a HÍ traszformációt a ± B tartomáyoko kell meghatá rozi. Ahhoz, hogy a szummázó kimeeté megjeleő y 0 (t) jel spektrális előállítása cao/2-ig megegyezze az ekvidisztás mitavételezéshez tartozó y(t) előállításával, a k «- frekveciákhoz tartozó tartomáyt még figyelembe kell vei, de a k =, +... már érdektele. A 4. ábra a pozitív k - Az összese követelméyhez tartozó egyelet mátrix alakba írva C0A C Ai C 2 Ai J Etí=U Co A2 C Azl C2 Az'... Co A...Ci A...C2A 2 C-lAi C- A2...C-iA A - A - > - Hí H 2 0 tí= H 3, N= 0 (5) H 0 4. ábra. Az y, (t) jel spektrumáak tartomáyai A (5) mátrix alakba felírt egyeletredszerből Co-t kiemelve majd ci/c 0, C2/C0 C/Co értékekkel egyszerűsítve írható értékek körüli tartomáyokat szemlélteti. A 4. ábrá a vastag voallal jelölt résztartomáyt vizsgálva látható, hogy ebbe a tartomáyba csak a k=0, k=,...k= - körüli tartomáyokból kerülhetek kompoesek. Ezért a Hi,...,H traszformációt úgy kell megválasztai, hogy a k=0,,...- összese feltételt kielégítsék. A k=0-hoz tartozó követelméyt a 4. ábrá jelölt ( B, B) taromáyra felírva, és a tartomáy széleire bevezetve az (wi,02) egyszerűbb jelölést, kapjuk, hogy A= CoAH=N, A 0 A 0» 0 A A2...A A A2 A ' Ai 2 A2 2 A 2 A A2...A A - A - A - (6) 2 yi (t) = 2 / CoAi Hie Jü)t dp((ö) = = k=o i=i W i (02 = /e lmt dp(co). (0 (2) A (2) egyeletbe az egyszerűsítést elvégezve, valamit a szummát kifejtve írható, hogy CoA i Hí + CoA 2 H CoA H = (3) A többi értékhez tartozó spektrális összetevőtől pedig azt követeljük, hogy az összegzés sorá esseek ki. Az előzőekhez hasoló átalakítások utá pl. a k=- -edikre írható, hogy C- A H +c - A 2 "" H C - A " H = 0. (4) A (6) egyeletet formálisa megoldva H= -r A" N Co _ (7) Ha az Ai,A2 A mid külöböző, akkor a Vadermod-féle determiás em tűik el. Belátható, hogy eek az a feltótele, hogy a miták midegyike külöböző időpotokra esse. A (7) egyelettel meghatározott A<E>i mide =,2 értékre külöböző a [0, 2 ír] itervallumba, ha a miták külöböző időpotokra esek. Mivel a miták T- vel periodikusak, A4> + = A4> + 2. Ebből következik, hogy az A, A 2,A értékek is külöbözők, továbbá Ai*0, mert Ai = V i-re. A (7) egyelet megoldása tehát létezik, és mivel A em tartalmazza az ü>-t,h is függetle o-tólaz( ítl B,B) Híradástechika, XL. évfolyam, szám 265

4 tartomáyba. Felhaszálva, hogy vj(t) valós VIre, azaz A =A, valamit Ai = v l-re és k-ra, továbbá, hogy x(t) szité valós, tehát e Jtűt Ap((o) = e" Jü)t Ap(-ü)) > h - I X t köye belátható, hogy egatív frekveciáko, azaz a (- B, - B) tartomáyo Hf = H +, Hf-vei a egatív, Hi + -vel pedig a pozitív tartomáyokhoz tartozó megoldást jelöltük. Mógegyszer utalva a 4. ábrá látható, hogy a ( D=2 B, Hzl B) tartomáyo a k = -,0,,..., -2 értékekre kell a követelméyeiket felíri. így a (5) mátrixegyelethez teljese hasoló egyeletredszert kapuk. Általába, k= +,+2 l+ eseté tetszőleges I érték mellett felírható egyelet, továbbá mide egyeletbe A Aj l+ Hi = Aj (A l+ Hj),, + 2 HÍ = AÍ (A, I + HÍ) Ai l+ Hi = A, - (A, l+ Hi) átírással A-ra újból Vadermode determiást kapuk, tehát mide tartomáyra létezik megoldás. Fetiekből az is látható, hogy a (6) mátrixegyeletet elegedő egyszer megoldai, a többi tartomáyhoz tartozó megoldás ebből származtatható. Természetese emcsak a k=0-hoz tartozó (~B,B) sávba állítható vissza az eredeti x(t) jel, bármely k-hoz tartozó traszportált jel Is előállítható, csupá más résztartomáyokra kell a követelméyeket felíri, ós (6) mátrixegyeletet megoldai. Részletes vizsgálattal belátható, hogy mitából álló sorozat eseté, ha páros akkor ^,ha páratla, akkor pedig külöböző tartomáy létezik. Ha páratla, akkor még az is igaz, hogy a (- - B, ^ B) tartomáyba Hj valós V i-re. Ha azt kívájuk eléri, hogy Hi mide résztartomáyba azoos legye, akkor a T=T 0 periódusidő alatt z= + [ ^ ] mitát kell vei, [ ] egész részt jelöl. Ezzel a jeletős, közel másfélszeres túlmitavótelezéssel elérhető, hogy Hj w-tól függetleül kostas legye a (0, B) itervallumba. Igy Hj (I =,2,... z) értéket szükséges meghatározi, azaz egy x-es mátrix helyett egy zxz méretű mátrixot kell Ivertáli Egyszerű példa em ekvidisztás mitavételezésre Legye =2, és az x(t) jelből az 5. ábráak megfelelőe vegyük mitát. (Az ábrá csak a mitavételi időpotok kerültek jelölésre.) Legye továbbá 2T 5. ábra. A mitavételezés időpotjai =2 eseté A «TÓ, igya (3) egyelet Ck együtthatóira jó közelítéssel írható, hogy CR = V k-ra. Ezzel a (7) egyelet tovább egyszerűsödik, azaz A (7) egyelet felhaszálásával valamit továbbá A$i =0, A#2 = -TT(+ TO Ai= ós A2=e J j A3>2 (8) Az A mátrix, H ós N vektor pedig a következő alakú A 2 ti- A (8) egyeletet H-ra megoldva kapjuk, hogy Hí H 2 Hi=(si Mzy\expQ -TT + A4> 2 ) é s H 2 = (si4$2)-.expö ír- A4>2 2 ) (9) A (9) megoldás midig létezik, ha A4>2^ ± m 2 TT, m= 0,, 2,... ez a feltétel pedig teljesül, ha A- 2 * ±(2 m+) TO- Jele egyszerű esetbe csak egy tartomáy létezik, továbbá az előző fejezet alapjá Hj = Hj +, azaz a H traszformáció valós jeleket állít elő. A Hí és H 2 elemeket realizáló hálózatok em kauzálisak, de tetszés szeriti potossággal realizálhatók. 4. A jel és a jel differeciálháyadosáak mitavételezése Kézefekvő, hogy ha emcsak a jelből, haem a jel differeciálháyadosából is mitát veszük, akkor x(t) egyértelmű meghatározásához elegedő ritkábba mltavótelezi. Bizoyítható, hogy T = T 0 időkőzökét a jelből ós a jel első(-) differeciaháyadosából vett miták egyértelműe meghatározzák x(t)-t. Ez egy általáos eset, rész- 266 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

5 letese csak a jel és a jel első differeciálháyadosáak mitavételezésével foglalkozuk. 4.. A jel és a jel első differeciálháyadosáak mitavételezése em ekvidisztás mitákból álló periodikus sorozattal Legye a mitavételezés időpotja a 6. ábra szeriti. Ezekbe az időpotokba vegyük mitát az ' vlt) 4i. ** Ezzel írható, hogy yi(t) = X2i(t) = /e^'dpm.-b B / j(«)e jm, d3(a)) B v Akjl^t - X CkA & o 2 k = -oo (22) v ~ AkJ k t o t - X CkAi e J 2. < k = -oo Válasszuk ki egy A p(o>) elemi tartomáyt, és eb be a A p(w) tartomáyba lévő jelet jelöljük A y(t) vei A (22) alapjá Vi(t) = Ap(<o), 2 k = -oo (23) y 2 i(t)=2-2 jüicka^e k = -oo A p(co). 6. ábra. A jel és a Jel első differeciálháyadosáak mitavételezési időpotjai x(t) és az x'(t)-ből. A T=2 T 0 idő alatt x(t)-ből mitát véve ós x'(t)-t Is ugyaezeke a helyeke mitavételezve összese 2 mitát kapuk. A 3.. potba leírttal azoos módo válasszuk szét v(t)-t vi(t), v2(t) v (t)-re, és szorozzuk x(t) illetve x'(t)-vel. A szorzatokat jelöljük yi(t)-vel, =, 2 2. így a következő egyeletredszert kapjuk yi(t) = x(t).vi(t) yi(t) = x(t).vi(t) A továbbiakba tételezzük fel, hogy Ck = V k-ra.' (A bizoyítás természetese e feltételezés élkül is elvégezhető a 3.. pot mitájára.) A következőkbe a hosszadalmas átalakítások helyett csak a főbb lépések kerülek ismertetésre. A 4. ábrá vastag voallal jelölt tartomáy jele esetbe a következő Belátható, hogy eze tartomáyba H(w) meghatározásához a pozitív külöbségi frekveciákat kell figyelembe vei. Az egyeletek felírásához célszerű bevezeti további rövidítő jelölést. Legye k = 0,,2 k <*> _, ( y(t) = x(t).v (t) y + l(t)=x, (t).vi(t) y 2 i(t)=x, (t).v i (t) (20) Olya Hi(w), H2M Hj(w) H2(w) lieáris traszformáció meghatározása a cél, melyet a Ayi,Ayi Ay2 jeleke végrehajtva, majd az összegzést elvégezve Ay 0 (t)-t kapuk. Ez a 3.. potba leírtakhoz hasolóa csak úgy lehetséges, ha a k=0-hoz tartozó kompoesek összeadódak, a többi k =,2 2- értékhez tartozó kompoes pedig kiesik. A (23) egyeletredszer 2i-edik sorából csak a pozitív külöbségi frekveciákat tartalmazó részt Ay + (t)-vel jelölve írható, hogy w + l*\ ' V I A k «J"kt y 2i(t)=2~ X jwai e' k = -oo A B(Ü>). (25) y 2 (t) = X'(t).v(t) Tekitettel arra, hogy vi(t), v2(t),... v (t) a T=2 To időre periodikus, a (8) egyelet értelemszerű átírásával jele esetbe a mitavételező jel az alábbi 00 k i k t ú o vi(t)= J X CkAiV t \ (2) Csupá a szumma k-adik tagjá végrehajtva a H2 traszformációt, kapjuk jo>h 2 i( k )e jkt. (26) Mivel mide egyeeletbe a HI(Ü>), H2(w) H2(w) traszformációt a A B(cú)-hoz tartozó a> frek- Híiadástechika, XL. évfolyam, szám 267

6 veciá kell helyettesítei, a frekveciatraszformációt a (26)-ból formálisa betűcseróvel kapjuk, í g y X ltot jkai k H2i((o)e Jwt (27) A (23) egyeletredszer mide sorá, és mide sor mide tagjá elvégezve a feti átírásokat, követelméyük a következő mátrix alakba írható AH = N, (28) Ai* A 0 i A 0 A...jcoAi. jwa AT T=2T 7. ábra. A jel és a jel első differeciaháyadosáak mitavételezési időpotjai = eseté Ai - - A Ai'...A jíl -lai -...jíl Ai -. jíl-la. jfla A 2- * 2-.,. A Ai...A... jíl2-lai... jíl 2 -la x(t) ós x'(t) jelekből. Ebbe a speciális esetbe a (28) egyelet a következő alakú J j(0 0>Q _, 2 Hi(co)' 2 H 2 (w) 0 (30) A (30) egyeletredszert Hi(w) és H2(w)-ra megoldva kapjuk, hogy H = HI(ÍŰ) H 2 (o)) H2( (o) es N = A (28) egyelet formálisa megoldva 2 0 H = A - N (29) A többi tartomáyokra a (28) egyelethez hasoló mátrixegyelet írható aak figyelembevételével, hogy mely kompoesek eshetek az éppe kiválasztott tartomáyba. Jele esetbe a H(w) megoldás em vezet w-tól függetle kostas fázisú hálózatra, mit a 3.. potba. A (29) kiszámításával csak a (^Hzl B,b) tartomáyo belül egy \ 2 / rögzített potba kapjuk meg H(w) értékét, ezért a számítást mide w-ra meg kell ismételi. Ha kicsi, akkor H(o>) zárt alakba magadható Egyszerű példa a jel és differeciálháyadosáak mitavételezésére A 6. ábra általáos esetéből kiidulva, = eseté a mitavétel időpotjai a 7. ábrá látható módo alakulak. Vizsgáljuk azt a legegyszerűbb esetet, amelyikbe A TI=A T 2 = 0 azaz T = 2 T 0 időközökét (ekvidisztás módo) mitát veszük Hi(o>) = - H 2 (o>)- 2J 2co f-2o> (3) A (3) egyeletekkel adott Hi(co) ésh2(w)az a = (oo/4-ól szigularitással redelkezik, és ez a [0, cúo/2) itervallum közepére esik. Bizoyítható, hogy a visszaállítás ekkor is egyértelmű, a szummázó kimeeté a határátmeet létezik. 5. Periodikus jel mitavételezése Vizsgálataikat korlátozzuk kizárólag periodikus jelekre. Ez em jelet külöösebb megszorítást, mivel a periodikus jelekre kapott eredméyek több oldalról megközelítve is álladósíthatok. A periodikus jelek jellegzetes potjai pl. ullaheiyei, vagy helyi szélsőértékeiél felvett értékei boyolult kapcsolatba vaak a jel Fourier kompoeseivel. Három kompoesből álló jel ullahelyei em adhatók meg zárt alakba, ezért a helyi szélsőértékek ós az időfüggvéy közötti kapcsolatteremtés kérdését más oldalról kell megközelítei. 5. /. Periodikus jel ullahelyeiek száma Egy sávkorlátos periodikus jel midig felírható a következő alakba H x(t)= 2 (a si wt + b cos wt) = =t_ H = X c si (cot+$ ), (32) = _ 268 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

7 pozitív egész szám, és i_ < IIH. Jelöljük x(t) periódusidejét T-vel, így T=2 ír/ w. Helyezzük el a t=0 Időpotot az x(t) Jel valamelyik pozitív ullátmeetél, mit az a 8. ábrá látható. Az x(t) jelek *(!> S7\ Í V r T - 2«/M, 8. ábra. Periodikus, véges sávszélességű jel helyi szélsőértékei a [0,T) itervallumba i ullahelye va, és korlátok közé szorítható. Bizoyítható, hogy h( L w) < i<h( H w), (33) h(i_ w) a legkisebb, h(h <o) pedig a legagyobb frekveciájú kompoes ullahelyeiek számát jeleti ugyaeze itervallumba. Ebből következik, hogy a x(t) jel ullahelyeiek száma 2i_<i<2 H. (34) 5.2. Periodikus jel em ekvidisztás mitavételezése és tulajdoságai Legye x(t) a (32)-ek megfelelő alakú ós a [0, J) itervallumba vegyük mitát a Jel helyi szélsőértékeiél a 8. ábráak megfelelőe. Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket valamit X =X(t ), X2=X(t2),..., Xi=X(tj), A ti = ti-to, At 2 =t 2 -ti A ti=ti-ti_i. Az {x, A ti, X2, A t2,xi, Ati,} halmaz egyértelműe meghatározza x(t)-t, ha <OH < 2 azaz ha x(t) kompoesei egy oktávál szűkebb sávba esek. Ugyais, ha az x(t) jelből a [0, T) itervallumba 2i ekvidisztás mitát veszük, akkor T 0 =T/2Í, és a mitavételi frekvecia 0)0= 23r = 2 i r 2j. (35) TO T A legkedvezőtleebb esetbe i=2i_ a (34)-ből adódóa, és (35)-be helyettesítve wo=? (2.2 L ) = 4 L (ü = 4cö L. (36) Feltételük értelmébe M h < to L, összevetve a (36)-el adódik, hogy t 2Ü) _ <Ü)O- (37) Tekitettel arra, hogy I > 2L, a (37) midig teljesül, tehát a 2 ekvidisztás mita egyértelműe meghatározza x(t)-t. A 4.. értólmóbe, ha x(t) és x'(t) Jelekből T=2T 0 Idő alatt em ekvidisztás mitát veszük, akkor a miták meghatározzák x(t)-t. A periodikus x(t) jelek a [0, T] itervallumba I helyi szélsőértéke va, azaz T=2I T 0, tehát az I em ekvidisztás mita egyértelműe meghatározza x(t)-t. (A differeciaháyadosok mid ullák, de a ti, t2 ti időpotok em semmitmodók.) A helyi szélsőértékekél törtéő mitavételezést a továbbiakba illesztett mitavételezések evezzük. Az illesztett mitavételezés egy traszformáció, mely az x(t) jelből az (xi, A ti, X2, A t2,..., xi, Ati,} halmazt állítja elő. Jelöljük ezt a traszformációt AS szimbólummal. (Adaptive Samplig) Mielőtt e mitavételezéséek főbb tulajdoságait felsorolák, vizsgáljuk meg, hogy a periodikus jelek összege milye feltételek mellett lesz szité periodikus. Ha egy xi(t) jel Ti-re, x 2 (t) pedig T 2 -re periodikus, akkor x(t)=xi(t)+x2(t) csak akkor lehet periodikus T-re, ha T = iti= 2 T 2, (38) i és 2 pozitív egész számok. Ebből következik, hogy egy olya traszformációra, mely előállítja a Ti és T2 periódusidőket, em lehet érvéyes a szuperpozíció.. Tulajdoság Az Illesztett mitavételezés a geometriai értelembe hasoló jeleket hasoló halmazokra képezi le, ugyais AS {x(t)} = {xi, A ti, x 2> A t 2 AS {ax(t)} = {axi, pat-i, ax 2, SA t 2 xi, Ati,}, otxi, BAti,}. Ezzel a tulajdosággal mide lieáris traszformáció redelkezik. Ezekívül az illesztett mitavételezés a T idővel való eltolása ivariás, azaz AS (x(t-t)} = {xi, A ti, x 2> A t 2 2. Tulajdoság xi, Ati,}. Az illesztett mitavételezés megtartja a jel periodikus tulajdoságát, azaz ha x(t) periodikus, akkor a miták is periodikusak, Xk=Xk+i, valamit Atk= Atk+i. Ebből fetiek alapjá következik, hogy em érvéyes a lieáris szuperpozíció, azaz AS{xi(t) + x 2 (t)} * AS{xi(t)} + AS{x 2 (t)}. Híradástechika, XL. évfolyam, szám 269

8 3. Tulajdoság Ha egy x(t) jel T-vel periodikus, akkor mide rósz sávja T-vel szité periodikus, ezért külöböző oktávokba kell létezi azoos T idővel azoos Xk=Xk+i Illesztett mitákak. Másszóval a külöböző oktávokba például kell létezi olya pozitív ullátmetszésekek, melyek között az időitervallum azoos ós T hosszúságú. Az illesztett mitavételezés első két tulajdoságáak együttes feálása ömagába is érdekes, és lehetőséget ad arra, hogy segítségével megkíséreljük modellezi a hallásmechaizmust. Az emberi hallásról szerzett eddigi Ismeretek [7],[8],[9] ós [0] Jól összhagba vaak az illesztettmltavótelezós tulajdoságaival. Mit az a []-be között pszlchoakusztikal vizsgálatokból kiderül, az időós frekveciatartomáybeli felbotás szorzata léyegese kisebb, mitsem spektrummérése alapuló modellel magyarázható lee [2]. Az illesztett mitavételezés kedvező tulajdoságokat mutat, ezért alkalmasak tűik a beszédjel feldolgozására, például a "pitch" frekvecia detektálására, külööse akkor, ha több oktávba, vagy oktávál szűkebb sávba párhuzamos feldolgozás törtéik. Természetese sokféle feldolgozás képzelhető el, például a jól bevált AMDF (Average Magitúdó Differece Fuctio) módszer [0] az Illesztett mitáko egyszerűe alkalmazható. Aak tisztázásához azoba, hogy az illesztett mitavételezéssel kvázlperlodikus jelekre milye tulajdoságú becslés adható, további részletes vizsgálatok szükségesek. 4. Tulajdoság Ha x(t) periodikus, akkor mide lieáris traszformáltja Is periodikus, tehát az x(t)=x(t+t), x ( } (t)=x ( \\+J),..., x ( M ) (t)=x (i " } (t+t) jelek illesztett mitái is periodikusak T-vel, és a 4. pot értelmébe egyértelműe meghatározzák x(t)-t, ha a jel spektruma egyjpktávál szűkebb. Ebből következik, hogy egy "P hipotézisről T+ At Idő alatt eldöthető illesztett mitái alapjá, hogy lehet- e periódusidő. (Nem szükséges 2T hosszúságú ablak ismerete!) 5. Tulajdoság Ha egy x(t) jelek a [0, T) itervallumba i > 2i_ számú ullahelye va, akkor az illesztett miták a jelet túlhatározzák, a felesleges miták elhagyhatók. 6. Záró megjegyzés Kőszöetyílváítás Mukák sorá ige sok segítséget yújtott dr. Osváth László, valamit dr. Pap László, aki felhívta a figyelmem az általáosítás Időtartomáyba megfogalmazható szellemes lehetőségeire. Külö köszööm Szekeres Gábor godos mukáját, mellyel a kézirat tévedéseit korrigálta. Továbbá szeretém megköszöi közvetle mukatársaim dr. Farkas György és dr. Jereb László segítségét, akik taácsaikkal és más területe végzett mukájukkal lehetővé tették e cikk megírását. Irodalom [ H.Freema Discrete-Time Systems Joh Wiley & Sos, INC. New York, 965. [2] H.W.Thomas, N.P.Lutte, Z-trasform Aalysls of Nouiformly Sampled Digital Fllters. Proc. IEE, vol. 9, No., 972. [3] A.Wojtklewicz, M.Tuszyskl, W.KIimklewIcz, Aalysls ad Desig of Digital. Proc Filters Processig Nouiformly Sampled Sigals. Proc. of ECCTD'85, Prague Czehoszlovakia, ] A.Weiberg ad B.Liu, Discrete Time Aalysis of Nouiform Samplig First- ad Secod-Order Digital Phase Lock Loops. IEEE Tras. o Commuicatios, Vol. COM-22, No.2. Feb.974. [5] G.A.Kor-T.M.Kor, Matematikai kéziköyv műszakiakak. Műszaki Köyvkiadó, 975. [6] Iformáció közlése és feldolgozása. Szerkesztő: Csibi Sádor. Taköyvkiadó, Budapest, 986. [7] H.FIetcher: Speech ad Hearig. Nostrad C.New York, 950. [8] Taróczy T.: Zeei akusztika. Zeeműkiadó, Budapest [9 G.V.Békésy: Experlmets i Hearig, New York, 960. [ 0] Gordos G., Takács Gy.: Digitális beszédfeldolgozás. Műszaki Kiadó Budapest, 983. [) L.M.Grobbe: Apperclatio of shorts toes.seveth iteratioal cogress o acoustics, Budapest, 97 Vol ) Gabor.D.: Acoustical Quata ad the Theory of Hearig Natúré, 947. vol Híradástechika, XL. évfolyam, szám

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése 6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS Pokorádi László Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII. Szolok, 3 FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE Techikai redszerek matematikai modellvizsgálata sorá figyelembe kell veük,

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

A figurális számokról (II.)

A figurális számokról (II.) A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

1. DIGITÁLIS ADATFELDOLGOZÁS

1. DIGITÁLIS ADATFELDOLGOZÁS 1. DIGITÁLIS ADATFELDOLGOZÁS A médiumok szite midegyike előállítható már digitális formába. Ez az ú. digitális közös evező lehetővé teszi az ilye adatok egységes kezelését. Miél összetettebb egy médium,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben