A HOZAMGÖRBE TANULÁSI. Romhányi Balázs

Átírás

1 A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Romháyi Balázs

2 PÉNZÜGYTAN TANSZÉK Témavezeő: Király Júlia Bírálóbizoság: Romháyi Balázs 200 2

3 Budapesi Közgazdaságudomáyi Egyeem Közgazdasági szakosíású dokori program A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Ph.D. érekezés Romháyi Balázs Budapes 200 3

4 A HOZAMGÖRBE TANULÁSI HIPOTÉZISE Romháyi Balázs 200 KIVONAT A hozamgörbe várakozási hipoéziséek apaszalai kudarca szükségszerűe az jelei, hogy a szochaszikus diszkoéyező valószíűségi eloszlására voakozó várakozások időbe válozak. E várakozásoka olya éyezők is befolyásolhaják, amelyek em szerepelek a jegybaki reakciófüggvéybe, ehá em haak közveleül a rövid lejáraú kamalábra. Feladva a pézügya affi és piaci kamaláb-modelljeiek az a feléelezésé, hogy a kamalábak és a szochaszikus diszkoéyező iovációiak valószíűségi eloszlása ormális, levezeük egy álaláos fakor-modell, melybe a várakozási hipoézis szerepé az arbirázsmeesség egzak feléele veszi á. Ezálal a kamalábak modellezéséek problémája a várakozások modellezéséek problémájává alakul, melybe jeleős szerephez juha a racioális aulás folyamaa. Bemuajuk, hogy a várakozási hipoézis cáfoló empirikus esz-eredméyek hogya vezeheők le e modell kövekezméyeiké. (JEL E43 E52 F3) Kulcsszavak: kamalábak, hozamgörbe, moeáris poliika Romháyi Balázs Pézügymiiszérium Cím: Győri ú 2/a 23 Budapes Tel: (36) (oho) (36) (mukahely) Fax: (36) balazs.romhayi@pm.gov.hu 4

5 Taralomjegyzék ELMÉLETI BEVEZETÉS...8. PÉNZÜGYTAN A szochaszikus diszkoéyező Vélele bolyogás és időbe válozó várhaó hozamok A kamalábak modellezéséek alapfogalmai A hozamgörbe várakozási elmélee Aleraív eszközárazási modellek ÖKONOMETRIA VAR-modellek, egységgyök folyamaok és koiegráció Rezsimváló modellek MONETÁRIS MAKROÖKONÓMIA A racioaliás fogalma és a peso-problémák A moeáris poliika udomáya A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS AZ AMERIKAI HOZAMGÖRBE TÜKRÉBEN LEÍRÓ JELLEGŰ CIKKEK A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS ELVETÉSEI A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS MEGMENTÉSEI A HOZAMGÖRBE EGY ÁLTALÁNOS PIACI MODELLJE ARBITRÁZSMENTESSÉG ÉS A JENSEN-FAKTOR A HOZAMGÖRBE ZÁRT MEGOLDÁSA ÖSSZEHASONLÍTÁS A HEATH-JARROW-MORTON MODELLEL A JENSEN-TAG EGY MODELLJE EGY EGYSZERŰ PÉLDA A VÁRAKOZÁSI HIPOTÉZIS TESZTJEI A hozamgörbe hosszú végéek viselkedése A haáridős kamalábak, mi a kamalábak előrejelzői A Campbell-Shiller regressziók A JENSEN-FAKTOR ÉS A SZTOCHASZTIKUS DISZKONTTÉNYEZŐ REKONSTRUÁLÁSA KÖVETKEZTETÉSEK ÉS LEHETSÉGES KUTATÁSI IRÁNYOK...7 5

6 A moeáris poliika a fejle országok öbbségébe egy rövid lejáraú kamaláb segíségével, a raszmissziós mechaizmuso kereszül befolyásolja a gazdaság működésé. A raszmissziós mechaizmus első fázisa a rövid lejáraú kamaláb haása a hosszabb lejáraú kamalábakra, azaz a hozamgörbére. A rövid és hosszú lejáraú kamalábak közi kapcsola hagyomáyos megfogalmazása a várakozási hipoézis, amely szeri a hosszú lejáraú kamalábak a pillaayi és vár rövid lejáraú kamalábak álagaké adódak. Ha a moeáris haóság az eszközké haszál kamalába valamiféle szabály szeri alakíja makrogazasági muaók függvéyébe, akkor e makromuaók előrejelzése alapjá a piac a rövidlejáraú kamaláb várhaó alakulásá is becsülhei. Ez a becslés szolgálha a hosszú lejáraú kamalábakba foglal piaci várakozások alapjául. Ha viszo a hozamgörbe aralmazza a piac várakozásai a makromuaók voakozásába, akkor a jegybak, aki igyekszik a makrogazdasági folyamaoka megelőzve miegy előre ekive alakíai poliikájá, megkísérelhei kiyeri a makromuaókra voakozó várakozásoka a hozamgörbéből. A probléma ezzel a godolameeel kapcsolaba öbbréű. Egyrész problémá okoz, hogy a várakozási hipoézis a gyakorlaba egyálalá em lászik igazolódi, ehá a raszmissziós mechaizmus első lácszeme már gyege. Másrész problémá okoz, hogy ics semmiféle koszezus a gazdaság működésé megfelelőe leíró modell, kövekezésképp a hosszú lejáraú kamalábakak a gazdaságra kifeje haásá illeőe sem. Ez részbe aak is ulajdoíhaó, hogy még em állak redelkezésre kellőe hosszú makrogazdasági idősorok, ahhoz képes például, hogy milye riká fordulak elő jeleős, redkívüli eseméyek, melyek valószíűségé emia csak ige agy bizoyalasággal becsülhei a piac. Harmadrész probléma, hogy a piac várakozása em feléleül helyes, mivel az iformációhiáy ere egedhe uóbb (vagy legalábbis a vizsgál időszakba) em beigazolódó piaci várakozásokak, peso-problémákak is. A pézügya szokásos affi és piaci kamaláb modelljei első sorba maemaikai kezelheőségi megfoolásokból feléelezik, hogy a kamalábaka alakíó sokkok ormális eloszlásúak. Ez a megszoríás a apaszalaokkal em feléleül va eljes összhagba, viszo em is élkülözheele. E dolgozaba egy olya álaláos öbbválozós fakor-modell muauk be, amely. a eljes hozamgörbé modellezi, 6

7 2. leheősége ad a jegybaki reakciófüggvéybe megjeleő makroválozók figyelembe véelére 3. leheősége ad a piaci várakozások fudameális okokkal em magyarázhaó részé megragadó láes válozók figyelembe véelére 4. em éelezi fel az egyes fakorok valószíűségi eloszlásáak ormaliásá és 5. alkalmas öbb, a várakozási hipoézis cáfoló empirikus esz eredméyeiek ierpreálására. A dolgoza. részébe elmélei áekiés aduk a pézügyi, ökoomeriai és makroökoómiai szakirodalom elmúl 25 évéek émák szempojából legfoosabb részerüleeiről. A 2. részbe ömöre összefoglaluk az amerikai hozamgörbére voakozó empirikus aulmáyoka a eljesség igéye élkül, de örekedve a legfoosabb godolaok megjeleíésére. A 3. részbe vezejük le sajá modellüke, elemezzük és vejük össze a apaszalai eredméyekkel. A 4. rész kövekezeéseke vo le és ovábbi leheséges kuaási iráyoka jelöl meg. 7

8 Elmélei bevezeés Eze elmélei bevezeőbe éháy olya émá kíváok rövide bemuai, amely szükséges a dolgozaba szereplő modell megéréséhez és döőe az elmúl 25 évbe fejlődö ki a közgazdaságaba. Természeese a eljesség igéye élkül, midössze a dolgoza célja szempojából feléleül szükséges elemekre szoríkozuk. A émák 3 fő erülehez arozak: pézügya, ökoomeria és moeáris makroökoómia. 8

9 . Pézügya A pézügya alapproblémája a pézügyi eszközök árazása. A moder pézügya az eszközárazás az eszközárazás alapegyeleéből kiidulva árgyalja. Az alapegyele léyege, hogy az ár megegyezik a szochaszikus kifizeések és a szochaszikus diszkoéyező szorzaáak várhaó érékével. Ez em más, mi a deermiiszikus jeleérékszámíás álaláosíása szochaszikus esere. Mivel kockázamees eszközök eseé a kifizeés em szochaszikus (hisze kosas), ezér a kockázamees eszközök árazásáak problémája valójába a szochaszikus diszkoéyező meghaározásáak problémája... A szochaszikus diszkoéyező Tekisük egy diszkré Arrow-Debreu gazadságo, melybe világállapook száma, s... S a leheséges i... N pedig a redelkezésre álló pézügyi eszközök (ovábbiakba: eszközök) idexe. Defiíció szeri legye az i-dik eszköz ára p i, p pedig jelölje az eszközárak N vekorá. Az i-dik eszköz az s világállapoba xsi kifizeés eljesí, mely kifizeéseke összefoglalóa az aralmazza S N méreű X márix Defiiáljuk az S méreű q vekor, melyek ipikus eleme q s. A q vekor állapoár-vekorak modjuk, ha igaz, hogy X q p. Mide eszköz felfoghaó úgy, mi állapofüggő kifizeések egy köege. A q vekor s-dik eleme megadja az s- dik világállapoba kifizee egy dollár árá és mi mide eszköz árá úgy reprezeáljuk, mi az ő állapofüggő kifizeéseiek és a megfelelő állapoárakak a szorzaösszege: () pi qs x s si Foosabb szakirodalom: Cochrae (200), Campbell, Lo, MacKilay (997), Duffie (996), 9

10 Foos eredméy, hogy akkor és csak akkor léezik legalább egy poziív állapoárvekor, ha icseek arbirázs leheőségek (azaz em léezik olya eszköz, vagy eszköz-kombiáció, amelyek ics poziív kölsége ma, icseek egaív kifizeései holap és legalább egy világállapoba va poziív kifizeése). Bizoyíásáak léyege, hogy ellekező esebe megfelelő eszközkombiációval szieizálhaó olya, ulla kölségű porfólió, amelyek kifizeése egyik világállapoba sem egaív és legalább egy világállapoba poziív, ami maga az arbirázs-leheőség. Defiiáljuk az M s q s π s háyados, ahol π s az s-dik világállapo bekövekezéek valószíűsége. Bármely i eszközre kövekezik, hogy S (2) p q X π M x E{ Mx } i s s si S s s s si i M s az s-dik világállapo állapoáráak és valószíűségéek háyadosa, ehá poziív, mivel mid az állapoárak, mid pedig a valószíűségek poziívak. Ebből kövekezik, hogy akkor és csak akkor aláluk olya M valószíűségi válozó, amelyre feáll a (2) összefüggés, ha léezik poziív állapoár-vekor. Az M valószíűségi válozó a ovábbiakba szochaszikus diszkoéyezőek, fogjuk hívi. Kierjeszve a modell öbb időszakra, defiiálhajuk a és közöi időszakra érvéyes szochaszikus diszkoéyező is az alábbi egyele alapjá: (3) E { M x } p i,, i, ahol E a időpoba redelkezésre álló iformációra voakozó feléeles várhaó éréke jelöli. 2 A legálaláosabb felírás szeri (4) p E{ Mx} mely egyelee a ovábbiakba az eszközárazás alapegyeleéek evezzük. 2 A szochaszikus folyamaok elméleébe pl. ezzel egyeérékű az E{. Ω } jelölés, ahol Ω az iformációs halmaz. 0

11 A szochaszikus diszkoéyező léezéséek mi fe igazoluk szükséges és elégséges feléele a poziív állapoárak léezése, ez azoba em garaálja a szochaszikus diszkoéyező egyérelműségé. Az egyérelműség feléele a piacok eljessége (bármely állapofüggő kifizeés előállíhaó a redelkezésre álló eszközök kombiációjaké.) Külö figyelme érdemel az ú. kockázamees befekeések áráak és hozamáak meghaározása. Kockázameesek modjuk a befekeés, ha mide világállapoba ugyaaz a kifizeés eljesíi. A (2) egyele alapjá (5) p q x q x x q x E{ M} i s si s i i s s s s melyből kövekezik, hogy a kockázamees befekeés hozaméyezője, amelye a kifizeés és az ár háyadosaké defiiáluk: i (6) R x p i s q f i s E { M} Szavakba ehá a kockázamees befekeés hozaméyezője em más, mi a szochaszikus diszkoéyező várhaóérékéek reciproka. Kockázasemlegesek moduk egy befekeő, ha úgy érékeli az eszközöke, miha a szochaszikus diszkoéyező azoos lee mide világállapoba, ehá M s E { M}. Ebbe az esebe az eszköz éréke em más, mi az állapofüggő kifizeésekek a valószíűségekkel súlyozo álaga: (7) E{ M} p π s xs S s E R {} x f A E{ Mx} p egyele egy közkeleű raszformációja ú. kockázasemleges valószíűségeke eredméyez. Defiiáljuk a (8) π R R s ahol f f M π s q s s R f q s E{ M}

12 A π s háyadosok poziívak, -él em agyobbak és -re összegződek, ehá jogos valószíűségekek ekiei őke. Ezálal az eszközárazás alapegyelee az alábbi formába írhaó: (9) p() x qs xs f π s x R s s s E R {} x f Az E jelölés arra ual, hogy a várhaó érék számíásakor a kockázasemleges valószíűségek haszáladók. Eek kövekezébe eszközárazáskor feléelezhejük, hogy mide befekeő kockázasemleges, de a helye. π valószíűségekkel, a valóságos π valószíűségek A raszformáció, amely a éyleges valószíűségeke a kockázasemleges valószíűségekbe viszi á az alábbi formába ado: (0) π s E M s π { M} s Ezér az M s éyező ekihejük deriválak is, avagy mérékcseréek a valódi E{ M} valószíűségekből a szubjekív valószíűségekbe. A ké mérék ( π és ) s π s ekvivales, mivel poosa ugyaazokhoz a világállapookhoz ársíaak ulla valószíűsége. Ez abból kövekezik, hogy ami az feebb kimoduk - az arbirázsmeesség mia az M s szochaszikus diszkoéyező éréke mide em ulla valószíűségű világállapoba poziív, ehá várhaó éréke is poziív, M kövekezésképp az s E{ M} szorzó éréke is midig poziív. Az eszközárazás kockázasemleges valószíűségekkel öréő reprezeálása ige elerjed, külööse a származékos ermékek árazásáál, amikor az eredméy függele a kockázai kiigazíásól, valami folyoos idejű modellek alkalmazásakor. Folyoos modellek eseé a szummák ermészeese iegrálokba meek á, ezér a diszkoéyező szokás árazási magak is hívi. 2

13 Az egy ár örvéye a pézpiacoko kimodja, hogy egyeérékű porfoliók (befekeési sraégiák) ára egyelő kell, legye. Tekisük pl. az alábbi ké sraégiá. Az első esebe megvásároljuk az i-dik érékpapír, amely eljesí a időszakba. Ára { M x } E x egységyi kifizeés,. A második sraégiába megvásároljuk az a j-dik érékpapír a időpoba, amelyik a m időpoba éppe az i érékpapír akkori árá fizei, majd a m időpoba megvásároljuk magá az i érékpapír. Az i érékpapír ára a m időpoba { M x } E m m, lesz. A m időpoba ezzel egyelő kifizeés eljesíő j érékpapír ára a időpoba { M E { M x } E m m m m,, kell, legye. A öbbszörös feléeles várhaó érék feloldása uá adódik, hogy () { M x } E { M M x } E, m, m m, Mivel eek igazak kell leie bármely x kifizeési profilra, kövekezik, hogy (2) M, M m, mm m, Isméel behelyeesíéssel adódik, hogy (3) M, M j, j vagy logarimusba kifejezve (4) m, m j, j ahol ( M ) m,, l. Ebből kövekezik, hogy ha defiiáluk az egy időszakra voakozó diszkoéyező alakulásá leíró szochaszikus folyamao, akkor ezzel megaduk bármely időszakra voakozó diszkoéyező alakulásá is. 3

14 ..2 Vélele bolyogás és időbe válozó várhaó hozamok Eddig a külöféle eszközök áráak és várhaó hozamáak viselkedésére összpoosíouk. Érdemes figyelme szeelük egyele eszköz áráak vagy hozamáak ( y ) viselkedésére is az idő függvéyébe. Kiiduláské iszázi szükséges éháy alapfogalma. A vélele bolyogásak három em egyeérékű megfogalmazása léezik. Az. ípusú vélele bolyogás megköveeli, hogy a válozások (a differecia) függeleek és azoos eloszlásúak legyeek 3 : (5) y y ahol ε ~ iid ε 2 ( µ, σ ) Tulajdoképpe em szükséges, hogy ε eloszlása ké paraméerrel (várhaó érék és szórás) megadhaó legye, de így erjed el a jelölés, mivel a közgazdasági és ökoomeriai gyakorlaba legikább előforduló eloszlások legfeljebb ké paraméeresek. Ebbe az esebe a sodrás ( µ ) veszi figyelembe: y legjobb (lieáris, vagy em lieáris) becslése k (6) E { y } y kµ k A 2. ípusú vélele bolyogás ovábbra is megköveeli, hogy a válozások (a differecia) függeleek legyeek, de már em köveelméy az azoos eloszlás: (7) y y ahol ε ~ id ε 2 ( µ, σ ) 3 Az iid rövidíés az agol idepedely ad ideically disribued, azaz függele, azoos eloszlású kifejezés jelöli. Az id az agol idepedely disribued, azaz függele eloszlású kifejezés rövidíése. Eze kívül szokás éha haszáli az id rövidíés, ami az iid feléele úl 4

15 A léyeg, hogy ε mide paraméere szabado válozha, de csakis függele módo (ermészeese a kosas függeleek miősül). A szokásos defiíció szeri marigálak moduk egy y folyamao, ha kövekező időszaki érékéek legjobb pobecslése megegyezik jelelegi érékével, ehá (8) E { y y, y, K} y Ebből a defiícióból az is kövekezik, hogy marigál folyamaok differeciája múlbeli érékeik semmiféle függvéyeké em előrejelezheő: (9) E{ y y y, y, } 0 K Ha y pl. egy jáék kumulál yereségé, avagy a vagyo jelöli a időpoba, akkor fair jáék eseé a kövekező lépés uái vagyo várhaó éréke megegyezik a vagyo jelelegi érékével, ami azzal egyeérékű, hogy a kövekező lépésbe várhaó yereség éréke ulla. Pézügyi eszközök áraira alkalmazva, a marigál feléel kimodja, hogy em áfedő időszakok árválozásai függeleek és külö-külö ulla várhaó érékűek. Ez a feléel képleekbe foglalva a kövekező alako öli: (20) y y ahol ε ~ id ε 2 ( 0, σ ) Foos kiemelük, hogy az ε valószíűségi válozókak midössze a várhaó éréke köö (ulla), mide egyéb paraméere szabado válozha, de ermészeese csakis úgy, hogy az a várhaó éréke e befolyásolja (e segíse az előrejelzésbe). Összehasolíva a (7) és (20) defiícióka, láhajuk, hogy marigál mide olya 2. ípusú vélele bolyogás, ahol a sodrás ulla. Fordíva ez em igaz, mivel va ormaliás is jele. Megjegyezzük, hogy léezek azoos eloszlású, de em függele övekméyű folyamaok is, de ezek ikább csak a szemlélee alakíják. 5

16 olya marigál, amely em függele övekméyű. A leggyakrabba emlíe ilye példa az ARCH-modellek esee. 4 A 3. ípusú vélele bolyogás feladja a differeciák függeleségéek köveelméyé és midössze a korrelálalaságo írja elő: y ahol y 2 (2) ε ~ ( µ, σ ) és Cov ( ε, ε ) 0 i j i ε j Ez foos eyhíés, mivel leheővé eszi pl., hogy a differeciák szórása auokorrelál legye, ső a szórás függhe bárrmilye más válozóól is, beleérve az alapfolyamao. A marigál ulajdoság ez uóbbi em eszi leheővé, mivel ezálal a szórás ismeree alapjá jósolhaóbbá válik a folyama. Ezek uá visszaérheük az eszközárazás problémájához. Ha az érékpapír em fize oszaléko és közö, és rövidávo, amikor a szochaszikus diszkoéyező közel va az -hez, az alapegyele az alábbi alakra egyszerűsödik: (22) p E { p } Ezzel egyeérékű állíás, hogy az árak, mi idősor az alábbi ípusú folyamao köveek: (23) p p ε 2 Ha a σ ( ε ) variacia álladó, az árak. ípusú vélele bolyogási folyamao köveek. Álaláosabb esebe, amikor a variacia em álladó, az árak marigál folyamao köveek. Léyegébe, ha az ár ma sokkal alaa va aak, mi ami a befekeő holapra vár, akkor az emberek igyekezi fogak vásároli az érékpapírból. De ez az igyekezeük felyomja az érékpapír árá midaddig, amíg az 4 AuoRegressive Codiioal Heeroskedasiciy. Részlees bemuaása megalálhaó pl. Hamilo (994), pézügyi alkalmazásai pedig Bollerslev, Chou és Kroer (992). 6

17 ár el em éri a holapra vár ára. Ugyaez az állíás kifejezhejük máské is: em szabad, hogy a hozamok előrejelezheők legyeek; p -vel oszva, a várhaó hozam { } E p p álladó kell, hogy legye. Úgy is modhajuk, hogy a hozam olya kell legye, mi az érmedobálás. Álaláosabb esebe az árak akkor köveek marigál folyamao, ha figyelembe vesszük az eseleges oszaléko és skálázzuk őke a szochaszikus diszkoéyezővel. 5 Ez a godola elleébe áll azzal a épszerű ézeel, miszeri vaak olya redszerek vagy echikai elemzések, melyek álal bármely apo megjósolhaó, hogy a részvéyárak merre fogak elmozduli. Több évizedyi adabáyásza és épszerű elevízió és rádióriporok elleére, melyek igyekezek elmagyarázi, hogy merre araak a piacok, egyelőre em sikerül hiel érdemlőe bebizoyíai semmilye kereskedési szabályról, hogy a razakciós kölségeke is úléli, aélkül, hogy a befekeőre implici kockázao háríaa. Ugyaakkor újabba gyűlik a bizoyíék, hogy. hosszú ávo a öbblehozamok jósolhaók 2. a öbblehozamok variaciája válozik, de jeleőse auokorrelál E ké éy bizoyos mérékig az muaja, hogy az eszközök hozamáak közgazdasági magyarázaa hézagos. Maemaikai szempoból az a levohaó kövekezeés, hogy a marigál feléelezés ké okból is úl szigorú. Egyrész kizárja a em ulla várhaó érékű övekméyeke (bár megfelelő raszformációval eze lehe segíei), másrész feleslegese megköveeli a differeciák függeleségé, holo a gyakorlaba elegedő ső kifejezee haszos a pusza korrelálalaság. 5 Mivel a marigálokak haszos maemaikai ulajdoságai vaak és mivel a kockázasemlegesség egy ige egyszerű közgazdasági köryeze, sok eszközárazási eredméy köye levezeheő, ha az áraka és oszalékoka először áskálázzuk, majd haszáljuk a kockáza-semleges képleeke és közgazdasági érveke. 7

18 ..3 A kamalábak modellezéséek alapfogalmai 6 A kövéy megevezés a ovábbiakba lefed mide hielviszoy megesesíő pézügyi eszköz (agolul deb isrume), legye az akár kövéy, kicsárjegy, kereskedelmi váló, vagy más hasoló eszköz, függeleül aól, hogy omiális (péz), vagy reál (áru, vagy áruidex) egységekbe va-e deomiálva. A kövéy előre meghaározo fizeési sorozara szóló köveelés esesí meg. A kibocsáás és az uolsó kifizeés közöi időkülöbsége evezzük lejáraak. Ké gyakori ípusa ismer a fizeési sorozaokak. Az ú. elemi kövéyek fizeési sorozaa egyele elemből áll, kövekezésképp csak lejárakor fizeek, mégpedig az egyszerűség kedvéér - egysége. Az ú. kupokövéyek, ezzel szembe, redszeres időközökéi egyelees fizeés ígérek. Az egyes fizeési elemeke, az uolsó kivéelével, kupookak hívjuk. Az uolsó fizeési elem, melye a kövéy lejárakor fize, egységgel agyobb, mi a öbbi, mivel ilyekor örleszi az adós a őké is. A kupokövéyek ekiheők olya, elemi kövéyekből képze porfoliókak is, melyekbe az egyes elemi kövéy ípusok az egyes kupofizeési időpookba járak le, és az egyes ípusokból éppe az akuális fizeések megfelelő összegű va a porfolióba. Mivel ilye módo a kupokövéyek érékelése visszavezeheő elemi kövéyek és azokból képze porfoliók érékelésére, ezér az eszközérékelési elméle a elemi kövéyekre összpoosí. A kövéyek leheek kockázaosak, vagy kockázameesek. Ameyibe a kifizeések összege függ az esedékességkori világállapoól (beleérve a világállapook addigi öréeé is), akkor a kövéy kockázaos. Ez ermészeese em mod elle aak, hogy a kifizeések összege előre rögzíe. Elképzelheő, pl. egy olya kövéy, amely a kibocsáásól számío egy év múlva dollár fize, ha azap esik az eső, külöbe semmi. Ezeke az agol szakyelv sae coige deb-ek hívja. A magyar yelvbe jó példa erre a bizosíási kövéy megevezés, ugyais a bizosíási kövéy is csak akkor fize, ha pl. leége a bizosío ház. A kockázaos kövéyek leggyakoribb fajája a vállalai kövéy, mivel az csak akkor fizei ki az előre meghaározo összege, ha a kifizeés apjá az ado vállala 6 Foosabb szakirodalom: Shiller (990), James, Webber (2000), Cochrae (200) 8

19 eszközeiek éréke em kevesebb, mi a csőd ragsorba az illeő kövéyél em hárább sorol köelezeségeiek összege (ez is egy világállapo). Ha a kifizeés összege az előre meghaározo időpookba em függ a világállapoól, akkor a kövéy kockázameesek modjuk. A ovábbiakba kizárólag kockázamees elemi kövéyekkel foglalkozuk. A elemi kövéyek - szokásos jegyzésük szeri - lejárakor fizeek egy egysége (ez evezzük évérékek), kövekezésképp kibocsááskori áruk egyél kisebb. 7 Ebből adódóa egységyi pézér (pl. dollárér) egységél agyobb évérékű elemi kövéy vásárolhauk. Az egy egységyi pézér vásárolhaó elemi kövéy meyiség évéréké kamaéyezőek hívjuk. Hogy köyebb legye összehasolíai a külöféle lejáraú kövéyeke, bevezejük a lejáraig számío hozam fogalmá. A lejáraig számío hozam (ismé hagsúlyozom, hogy kizárólag elemi kövéyekről va szó) az az R, szám, amelyre igaz, hogy R, (24) p e, ahol p, a időpoba lejáró elemi kövéy ára a időpoba, e pedig a ermészees alapú logarimus alapszáma. Egyszerű áalakíással a lejáraig számío hozam is kifejezheő: (25) ( p ) R, l, A ovábbiakba - köveve az álaláos gyakorlao - a kamaláb kifejezés is a (25) szerii defiíció érelmébe haszálom. Ha egy időpoba lejáró kövéy megvásároluk időpoba, de azá m< időpoba mégis eladjuk, akkor arra az időre, amíg birokukba vol a 7 Csak ige kivéeles eseekbe fordul elő, hogy a kibocsááskori ár meghaladja a lejárakor kifizee összege, hisze akkor érdemesebb a péz oho arai. Ezekbe a kivéeles eseekbe is csak akkora lehe az elérés a ké összeg közö, ami em agyobb az ohoarás - elsősorba kockázai (olvajokól való félelem) és razakciós (auomaikus baki áualás helye mide egyes csekkel séálhauk a posára) - kölségeiél. 9

20 kövéy, arási periódusra számío hozamo kalkulálhauk. Midössze arra kell figyelük, hogy időpoba még egy lejáraú kövéy vásároluk, viszo m időpoba már csak egy -m lejáraú kövéy aduk el. A vásárláskori ár p,, az eladáskori ár viszo p m m,. Így a kamaéyező p m, m p,, a hozam pedig (26) hpr, m, p l m p m, m, l ( p ) l( p ) R ( ) m, m m,, m m R m, m Kövéy vásároli emcsak azoali fizeés elleébe lehe. Ige elerjedek az olya ügyleek, amelyekbe a kövéy vásárlója a véelára egy későbbi időpoba fizei ki - vagy másik oldalról ekive, a kövéy csak később - egy a szerződésköés uái időpoba - bocsáják ki és így a kibocsáó csak később ju hozzá a kölcsökéredő összeghez. Az ilye ügyleekbe a éyleges kibocsáás (ehá em a szerződés megköéséek pillaaa) és a örleszés közöi időaramo számío hozamo evezzük haáridős kamalábak. Ha ma köük egy szerződés arról, hogy ké év múlva kölcsö foguk kéri egy befekeőől dollár és mához három évre visszafizeük eki dollár 0 cee, akkor az modjuk, hogy a ké éves horizoo az éves lejáraú haáridős kamaláb 0 százalék. Ha időpoba megszüleik egy szerződés arról, hogy az adós m időpoba kölcsökér f p m, m, dollár, majd időpoba visszafize a hielezőek dollár, akkor az modjuk, hogy a időpoba a m időszak horizoo az -m lejáraú haáridős kamaláb 8 f f (27) ( p ) R m, m, l m, m, m Néha szokás a haáridős kamalábakól való világos megkülöbözeés kedvéér a (25) szeri defiiál kamalábakra az azoali kamaláb megevezés haszálaa is. Egy haáridős kamalábra voakozó ügyleel azoos pézáramlás eredméyező megoldás, ha ké elleées iráyú azoali kamaláb ügylee köük külöböző 8 Az i megjeleő f a felső idexbe em összeéveszedő a korábba bevezee, kockázamees kamaláb f R felső idexével. 20

21 lejáraokra. Ha például ma kölcsökérük valakiől dollár ké évvel későbbi örleszéssel és ugyaakkor az így szerze egy dollár kölcsöadjuk más valakiek egy évvel későbbi örleszéssel, akkor összességébe ma éppe se em fizeük, sem em kapuk péz, viszo egy év múlva kapuk valameyi péz, ké év múlva pedig mi fizeük. A kérdés már csak az, hogy mikor meyi. Ha dollár évérékű egyéves lejáraú elemi kövéy mai ára, pl. p, 0, dollár évérékű kééves lejáraú elemi kövéy mai ára pedig p 2, 0, akkor p, 0 évérékű egyéves lejáraú és p 2, 0 évérékű kééves lejáraú elemi kövéy ér ma dollár. Tehá egy év múlva kapuk p,0 dollár, ké év múlva pedig kifizeük 2, 0 p dollár. Ebbe az összee ügylebe bee foglalaik egy éves horizoú egy éves lejáraú haáridős kamaláb ügyle p 2, 0 dollár évérékkel. Ha p 2, 0 dollár évérékű haáridős ügyle ára p, 0 dollár, akkor dollár évérékű ügyle ára p 2,0 p, 0 dollár. Akkor zárhajuk ki az arbirázs leheőségé, ha az egy éves horizoú egy éves lejáraú haáridős kamaláb [ l( p, )] meghaározo l( p p ) megfogalmazva maemaikai formába: éppe megegyezik a fei összee ügyle álal 2,0,0 ú. implici haáridős kamalábbal. Álaláosabba (28) R f m, m, l ( p ) l( p ), m m, R, mr m m, Ha a kibocsáás és a örleszés időpojá elkezdjük közelíei egymáshoz, azaz a lejárao elkezdjük közelíei a ullához, akkor a lejáraig számío hozam egy haárérékhez ar. Bár zéró lejáraú ügyle a valóságba em léezik, elemzési szempoból ige foos, mivel sok, a kamalábakkal foglalkozó elméle eek az ú. pillaai kamalábak (r ) a viselkedéséből idul ki. Maemaikai formába (29) lim l( p ) r, 0 Teljese hasoló módo defiiálhajuk a haáridős pillaai kamalába is:, m l m f f (30) lim ( p ) r m m, m, 2

22 ..4 A hozamgörbe várakozási elmélee Ha a külöféle lejáraokhoz arozó kamalábaka felrajzoljuk a lejára függvéyébe, akkor az ú. hozamgörbéhez juuk. A apaszalaok szeri a hozamgörbe ige sűríe formába aralmaz regeeg iformáció a gazdaság pillaayi és várhaó állapoáról. Évizedek óa, az uóbbi évekbe pedig külööse a közgazdasági kuaás közpoi émái közé arozik a kérdés, hogy hogya lehe ezeke az iformációka a apaszal hozamgörbékből kiyeri. Az egyik legrégebbi (Joh Hicksől származó 9 ) elméle szeri a rövid és a hosszú lejáraú kamalábaka a rövid lejáraú kamalábak alakulására voakozó várakozások kapcsolják össze. A isza várakozási hipoézis a hozamgörbe alakjára voakozó három (csak bizoyos feléelek eljesülése eseé egyeérékű) állíás,. Az periódus lejárahoz arozó hozam megegyezik a kövekező darab periódus lejárahoz arozó hozam várhaó álagával.,... (3) R E { R R R R },,, 2, 2. A haáridős kamaláb egyelő a várhaó azoali kamalábbal. f (32) E { R } R,,, 3. Az azoos arási periódusra számío várhaó hozam mide lejáraú kövéye azoos. (33) E { hpr } R m, m, m, Láhaó, hogy a várakozási hipoézis hogya magyarázza a hozamgörbe alakjá. Ha a hozamgörbe emelkedő - a hosszú lejáraú kövéyek hozama magasabb, mi a rövid lejáraúaké - akkor a várakozási hipoézis szeri ez azér va, mer a rövid lejáraú kamalábak várhaóa emelkedi fogak. 9 Hicks (939), megjele magyarul: Hicks, J. Érék és Tőke, KJK

23 Midhárom iméi felírás eseébe kibővíheő az egyele egy kockázai felár aggal. Midhárom felírásba az egyele egyik oldala magasabb kockázaú ügylee jele, mi a másik. Például a második esebe a haáridős kamaláb a jelebe is ismer, míg a várhaó azoali kamaláb még bizoyala. Ha ez a kockázai felár eszőleges lehe, akkor az egész egyele em mod semmi. A várakozási hipoézis isza formája az a feléelezés, hogy a kockázai felár ulla. A várakozási hipoézis gyege formája ezzel szembe csak ayi éelez fel, hogy a kockázai felár időbe álladó. Rége felvee kérdés, hogy jósolhaók-e a hosszú lejáraú kamalábak, avagy marigálké viselkedek-e. A várakozási hipoézis szeri poosa akkor jósolhaók a hosszú lejáraú kamalábak, ha a rövid lejáraú kamalábak is jósolhaók. Ez a kövekezőképpe vezehejük le: a hosszú lejáraú kamalábak a rövid lejáraú kamalábak vár álagaké adódik, ehá: (34) R, [ r E { r } E { r 2} K E { r } ] T, ahol T, az lejáraú kövéy lejárai prémiuma. Mos írjuk fel a (34) egyelee időszakkal későbbre. (35) R, [ r E { r 2} E { r 3} K E { r }] T, A ké egyele külöbségeké adódik a hosszú lejáraú kamaláb válozása: (36) R, R, [ r E { r } ] [ E { r 2} E { r 2} ] [ E { r } E { r }] [ E { r } E { r } ] [ E { r } r ] [ T T ], M 3, 3 A jobb oldal első agja a kövekező időszaki kamaláb előrejelzési hibája, ami racioális várakozásoka feléelezve defiíció szeri marigál külöbség. A kövekező (-) ag ado időszaki kamalábakra voakozó várakozások megválozása, ehá hasolóa az első aghoz defiíció szeri megi csak 23

24 marigál külöbségek. Az uolsó ag a lejárai prémium megválozása. Erről még a várakozási hipoézis gyege formája is feleszi, hogy ulla. Marad az uolsó elői ag, ami em más, mi a rövid lejáraú kamaláb vár válozása. Ha a rövid lejáraú kamaláb marigál, akkor ez a ag elűik, ehá (36) alapjá a marigál-ulajdoság áöröklődik a hosszú lejáraú kamalábakra is. A várakozási hipoézis gyege formája új megvilágíásba kerül, ha az eszközárazás moder fogalmai haszáljuk. Írjuk fel a (26) alai egyele segíségével a (33) szerii formá és szorozzuk á a evezővel. (37) mr ( m) E { R } R, m, m, m A (2) és (25) egyeleek alapjá megeremhejük a közvele kapcsolao a hozamok és a diszkoéyezők közö: (38) l( p ) ( E { M }) k, k, l k, kr k ahol a (2) egyele alkalmazásakor felhaszáluk, hogy az elemi kövéy lejárakor kockázamees egységyi kifizeés eljesí. Behelyeesíve a (38) egyelee a (37) egyelebe és megszorozva (-)-gyel: (39) l( { M }) l( E { M }) ( E { M }) E, m, m l m, Ez állíja ehá a hozamgörbe isza várakozási hipoézise (gyege formába kibővíve egy kosassal). Mos vegyük a szochaszikus diszkoéyezőre voakozó (2) alai egyele logarimusá midké oldalo, majd számísuk feléeles várhaó éréke: (40) { l( M )} E { l( M )} E { ( M )} E, m, m l m, Ez ehá igaz, ha a piaco ics arbirázsleheőség. A (39) egyele ehá csak akkor lehe igaz bármilye és m lejára-kombiációkra, ha legfeljebb egy kosasba ér el a (40) egyeleől. Ez pedig csak akkor igaz, ha mide lejárara külö-külö igaz, hogy 24

25 (4) ( E { M }) E { l( M )}. l,, cos Bekaer és Hodrick (200) levezeésé köveve érjük á a diszkoéyező logarimusára és fejsük Taylor-sorba az ( ), k (42) exp( m ) exp( E { m }), 0 exp kifejezés az álaga körül: m, ( m E { m }), k!, k Ebből kövekezik, hogy (43) E { exp( m )} exp( E { m }), ν, k 2 ahol ν, () k jelöli m, k-dik feléeles cerális momeumá (másodszor azér idul az idex 2-ől, mivel az első cerális momeum ermészeese ulla). Visszaérve mos a diszkofakor-jelölésre és véve az egyele logarimusá, az kapuk ehá, hogy (44) l( E { M }) E { l( M )},, () k k! ν, l k 2, () k k! A bal oldal ké agja közi külöbség a Jese-egyelőleségből fakad. Mivel a logarimus képzés em lieáris művele, ezér em felcserélheő a (lieáris) várhaóérék képzéssel. A felcserélés elérésre veze. Miél agyobb mérékbe szór M, a várhaó éréke körül ( miél kevésbé kosas ) aál erősebb ez a haás. A hozamgörbe várakozási hipoéziséek gyege formája akkor igaz, ha a szochaszikus diszkofakor logarimusáak összes feléeles cerális momeuma (léezik és) időbe álladó, azaz feléeles eloszlásfüggvéye válozala. Ha az eloszlásfüggvéy ké paraméer haározza meg (megfelelő raszformációval az álag és a szórás), akkor szükséges és elégséges feléel a homoszkedasziciás. 25

26 ..5 Aleraív eszközárazási modellek 0 A szochaszikus diszkoéyező érelmezéséhez egy másik oldalról visz közelebb, ha kiidulva a (2) szerii várhaó érék alakból - az árak a kifizeés szerii deriváljával érelmezzük: pi (45) π s M s x si E felírás szeri ké éyezőől függ, hogy ado világállapoba eljesíedő kifizeés milye aráyba ha az érékpapír árára. Az egyik az ado világállapo bekövekezéséek (éyleges) valószíűsége, a másik az ahhoz a világállapohoz arozó szochaszikus diszkoéyező éréke. Taralmilag a szochaszikus diszkoéyező ebbe az esebe em más, mi egy áryékár: az ado világállapoba eljesíedő egységyi kifizeés éréke a befekeő számára. Az, hogy a befekeő mi alapjá érékeli az ado világállapoba eljesíedő kifizeés, em elegedheele része a modellek. Erre voakozóa lehe külö modelleke épíei, vagy lehe egyszerű echikai feléelezésekkel éli. A léyeg, hogy mide eszközárazási modell valójába a szochaszikus diszkoéyező modellezése. Megkerülheő ( áugorhaó ) a szochaszikus diszkoéyező modellezéséek problémája, ha a (0) szerii defiíció köveve a (46) p x i si E π { } s M Eszeri az állapofüggő kifizeés hozzájárulása az árhoz a kockázasemleges valószíűségől és a szochaszikus diszkoéyező várhaó érékéek reciprokáól, azaz a kockázamees kamalából függ. Techikaiak ekiheő pl. ha ad absurdum - felesszük, hogy a szochaszikus diszkoéyező éréke párala sorszámú világállapookba, párosokba 2 (más 0 E fejezebe erőse ámaszkodom Cochrae (200) köyvére. Eze úlmeőe foosabb szakirodalom: Campbell, Lo, MacKilay (997), Duffie (996), Sarge (987) 26

27 kérdés, hogy az ez alapjá adódó eszközárak meyire leszek összhagba a megfigyelésekkel). Ehhez hasolóa echikaiak ekiheő az a feléelezés is, hogy a szochaszikus diszkoéyező éréke mide világállapoba (vagy legalábbis azoos), ami a fe defiiál kockázasemlegesség esee. A maapság leggyakrabba alkalmazo aralmi megközelíés szeri a szochaszikus diszkoéyező kizárólag a fogyaszók haározzák meg, ameyibe az ado világállapoba megvalósuló fogyaszásuk haárhasza szeri érékelik az eseleges öbblejövedelme. Az alábbiakba külöféle eszközárazási módszereke, ill. modelleke muauk be...5. Arbirázs-árazás A E{ Mx} p reprezeáció pusza léezése és a szochaszikus diszkoéyező poziiviása gyakra elegedő ahhoz, hogy egyes eszközök árá ki udjuk fejezi más eszközök áráak aráyába. A Black-Scholes opcióárazási formula épp ez valósíja meg: mivel egy opció kifizeése előállíhaó részvéyből és kövéyből összeállío porfolió kifizeéseké is, ezér mide olya szochaszikus diszkoéyező, amellyel meghaározhaó a kövéy és a részvéy ára, egybe megadja az opció árá is Fakormodellek Az ú. fakormodellek feléelezik, hogy a szochaszikus diszkoéyező affi függvéye valamiféle egyéb fakorokak: A B (47) a b f b f K M A B ahol i f jelöli az egyes fakoroka, a és b i pedig paraméerek. Többek közö ebbe a családba arozik a CAPM-modell, melybe (48) W M a br ahol W R a eljes vagyo ( világvagyo ) hozama, melye álalába egy kellőe agy és diverzifikál porfolióval szokás közelíei. 27

28 Természeese még agyo sok más leheőség is adódik, de a hozamgörbe modellezése szempojából mos számukra ké modellcsalád külööse foos, az affi modellek és a piaci modellek. Az affi kamalábmodellek feléelezik, hogy a szochaszikus diszkoéyező éháy álalába a hozamgörbéhez köődő - válozó (rövid lejáraú kamaláb, a hozamgörbe meredeksége, görbülee, sb.) haározza meg. A piaci kamalábmodellek feléelezik, hogy a hozamgörbe egésze (végele számú fakor) szükséges a szochaszikus diszkoéyező alakulásáak leírására. Affi modellek Az affi modellek álaláos elméleé Duffie és Ka (996) dolgoza ki. Diszkré idejű felírásba, k-dimeziós állapovekor véve, három egyele defiiálja a modell:. Az állapoválozók mozgásegyelee: z θ A z θ V z (49) ( ) ( ) ( ) 2 ahol z az állapoválozók vekora, { e } ~ NID( 0,I) poziív elemekkel, θ kosas vekor, V ( z ) pedig e 2. A szochaszikus diszkoéyező egyelee: e, A sabil márix, álójába -gyel kompaibilis márix. (50) l ( M ) δ m z l V( z ) 2 e ahol δ kosas skalár, m és l pedig kosas vekorok. 3. A kamaláb egyelee (5) R, g() () z g ahol g () a lejára skalárfüggvéye, g () pedig a lejára vekorérékű függvéye. A megoldás meee a kövekező lépésekből áll: Felírjuk az eszközárazás alapegyeleé a periódus lejáraú elemi kövéyre 28

29 (52) p ( z ) E { M p ( z )} Áérve logarimusokra, elhagyva az állapoválozók jelölésé és a kövéyárak helye kamalábaka írva: (53) ( ) R l[ E { exp( M R )} ], l, Behelyeesíve először a (5) egyeleből a kamalába, majd a időszaki állapoválozóka kiválva a (49) egyele szerii mozgásegyeleel kapjuk, hogy (54) l M R, [ δ z l ( ) 2 V z e ] g() g ()( I A) θ Az V( z ) { [ e ]} m 2 Összeredezve a agoka kiszámíjuk e válozó várhaó éréké és variaciájá: (55) E Var { l M R } [ g() g ()( )] [ m g, δ I A θ () ] { l M R } [ l g () ] V( z )[ l g( ) ], A z Eze a poo kövekezik a modellcsalád egy kulcsfoosságú feléelezése, éspedig, hogy e ormális eloszlású, melyből kövekezőe midké jobboldali válozó (ehá összegük is) ormális eloszlású. Felhaszálhajuk az a valószíűségszámíási eredméy, hogy ha a ξ valószíűségi válozó ormális eloszlású µ várhaó 2 érékkel és σ szórással, akkor a E exp() ξ exp µ σ. Figyelemmel a { } ( ) kiszámío momeumokra és a kövéyárakra voakozó affi függvéyformára, az (53) alai egyele az alábbi rekurzív szabályra veze: 2 (56) ( ) R [ g() g ()( )] [ m g, δ I A θ () ] [ l g () ] V( z )[ l g( ) ] 2 A z Ami az Duffie és Ka (996) levezee, a kamalábak akkor leheek affi függvéyei az állapoválozókak, ha a V ( z ) márix diagoális és a diagoális elemek (57) vi ( z ) α i iz b 29

30 alakúak, ahol α i kosas skalár, szerii rekurzió széesik ké részre: b i pedig kosas vekor, akkor ugyais az (56) (58) k [ j j ] ( ) g( ) [ δ g( ) g ( )( I A) θ ] l g() k [ j j ] ( ) ( ) [ g m g ( ) A] l g() 2 j 2 j 2 b j 2 α j ahol () j g a g () vekor j-dik elemé jelöli. Kiidulva az lim g() 0 0 és () 0 lim g feléelekből (lejárakor a kövéy egysége fize, amiek 0 logarimusa 0) a rekurziók előre megoldhaók. Először a g () soroza, mivel az auoóm, majd az eredméy felhaszálásával az g () soroza. Az állapoválozók mozgásegyelee megkívája, hogy a v i () volailiásfüggvéyek éréke mide megegede állapovekor melle poziív legye. Eek elégséges feléelei, mi a paraméerekre voakozó megszoríásoka folyoos idejű modellekre Duffie és Ka (996) vezee le. Eredméyüke diszkré idejű modellekre Backus, Foresi és Telmer (996) íra á. A z állapovekor a D z vi () z 0 i aromáyba marad, ha az { } állapoválozók mozgásegyelee kielégíi az alábbi ké feléel:. z D állapovekorra, melyre v () z 0 (a poziiviás korlája effekív) a 2 sodrás kellőe poziív: j ( A)( z) > b j b j i b I θ és 2. ha a b j vekor i-dik eleme i j esebe külöbözik ulláól, akkor v i () z és v j () z aráyosak (háyadosuk egy poziív kosas). A külöféle affi kamaláb-modellek a paraméerválaszásba érek el egymásól. A leghíresebbek ezek közül Vasicek (977) és Cox, Igersoll és Ross (985) modellje. A Vasicek-modell állapoválozói (egyválozós esebe maga a pillaai kamaláb) korrelálalaok és első redű, sacioer, homoszkedaszikus auoregresszív folyamao köveek. A Cox-Igersoll-Ross modell lazíja a homoszkedasziciás feléelé, az egyes állapoválozók szórása az ado állapoválozó érékéek lieáris 30

31 függvéye. E ké modell, ehá a ké haárese az álaláos affi modellbe, ugyais a szórás az állapoválozó érékéek affi függvéye lehe. Piaci modellek Ho és Lee (986) agy válozásoka hozo a pézügyi modellezés iparába. A korábbi modellek éháy paraméer megfelelő megválaszásával igyekezek közelíei a hozamgörbe álagos viselkedésé. Gyakorlai alkalmazásokra ez em megfelelő. Pl. az egyválozós Vasicek és CIR modellek 4 paraméere a hozamgörbe 5 pojáak illeszésé eszi leheővé, de ez em elegedő poosság azo piaci szereplők számára, akik a eljes hozamgörbé szereék közelíei. Ho és Lee az javasola, hogy ezeke a modelleke ki kell egészíei időfüggő éyezőkkel, melyek segíségével hagolhaóvá válik a görbe. Ho és Lee ez a megközelíés biomiális modellre dolgoza ki, de az öle álaláosabb. Ők az árazási mag logarimusáak egyeleébe a ( δ ) sodrás eék időfüggővé, mások ez a megoldás kierjeszeék ovábbi paraméerekre. Ezek közül a legfoosabb Black, Derma és Toy (990), akik a volailiás kööségé oldoák fel. Ez az álaláosíás agy előrelépés jelee a kamaláb-opciók árazásába, amelybe közpoi paraméer a apaszalaok szeri agyo is válozó - volailiás. Heah, Jarrow és Moro (992) a Ho és Lee álal megkezde úo halad, de új iráyba. Ők a haáridős kamalábakra kocerálak. A módszer illuszrálására lieáris, egy-dimeziós esee veszük 2. Tegyük fel, hogy a haáridős hozamgörbe az alábbi módo alakul: f f (59) R, R, α, σ, ε ahol { ε } függele, azoosa szederd ormál eloszlású valószíűségi válozó. Az egyele aralma, hogy folyamaosa kiszámíjuk haáridős kamalába a és, összefüggés, f közi időszakra. A időpoba ez az ( ) R R R,, Ezeke a modelleke szokás eljes hozamgörbe, vagy arbirázsmees modellekek is hívi. 2 A levezeés forrása Backus, Foresi, Telmer (998) 3

32 f míg a időpoba az, R, ( ) R, R összefüggés alapjá számíhaó. Ahogy haladuk egyre közelebb a kiválaszo időszakhoz, úgy válozik a számío haáridős kamaláb is. Ez a válozás írja le az (59) alai egyele. A kérdés, hogy milye megszoríásoka kell ei az { } α,,σ, paraméerekre, hogy a haáridős kamalábak válozása e adjo leheősége arbirázsra. Ha igaz, hogy a hosszabb lejáraú kamalábak a rövid lejáraú kamalábakból adódak össze, akkor a hosszabb lejáraú kövéyeke realizálhaó hozam ké éyezőből evődik össze: az azoali egyidőszakos kamalábból és a ovábbi időszakokra számío haáridős kamalábak válozásából. (60) l R R, f f ( ) R, r ( R j, R j, ) r r j,, α, σ j j A S ε, ε ahol A, és S, defiíciója adódik az egyeleből és r R,. Eze a poo ké leheséges iráyba lehe ovábblépi. Az eredei szerzők (HJM) az első megoldás köveék:. megoldás: A hozam logarimusáak várhaó éréke r A,, szórása S,, variaciája pedig S 2,. A ormális eloszlású valószíűségi válozókra alkalmazhaó, jól bevál módszer szeri ehá 2 (6) log( E { R }) r A S, 2, HJM feleszi, hogy az egyes lejáraokhoz arozó várhaó öbblehozam aráyos a megfelelő szórással (egyfaja CAPM logika szeri): 2 (62) A τ, Sτ, γ Sτ, 2 HJM a γ paraméer a kockáza piaci áraké érelmezi. Az arbirázsmeesség feléele ezek uá megfelelő megszoríásoka jele a paraméerekre ézve. 32

33 2. megoldás: Tegyük fel, hogy az diszkoéyező logarimusa az alábbi egyele szeri alakul: (63) m δ λ ε Alkalmazva az eszközárazás alapegyeleéek hozamokra felír formájá (64) E { M R } a (60) szerii hozamra kapjuk, hogy (65) r δ A ( λ S ) 2, 2, Ha felírjuk ez az egyelee az 0 és τ eseekre, majd a ké egyelee kivojuk egymásból, megkapjuk az arbirázsmeesség ké feléelé: 2 (66) A λ S S 0 τ, τ, 2 τ, és (67) δ 2 r λ 2 Ez uóbbi egyele aalóg a CAPM-modell alapegyeleével, ahol a szochaszikus diszkoéyező mozgásá a piaci porfólió haározza meg. Ha összehasolíjuk a ké megoldás, láhaó, hogy egyeérékűek a γ λ feléel melle Fogyaszás alapú eszközárazási modellek A fogyaszás-alapú eszközárazási modellek feléelezése, hogy a szochaszikus diszkoéyező a fogyaszók fogyaszásból eredő haárhasza haározza meg. Első lépéské ekisük egy ké-periódusos modell. Céluk, hogy meghaározzuk a időpoba esedékes x kifizeés éréké a időpoba. Modellezzük a reprezeaív befekeő egy olya haszossági függvéyel, amelye jelelegi és jövőbeli fogyaszásá érelmezük: U ( ) C C,. Legye a befekeő exogé 33

34 jövedelme az egyes időszakokba redre e és e és álljo a befekeő redelkezésére a pézügyi piaco egy eszköz, amely leheősége ad arra, hogy jövedelme csoporosíso á egyik időszakról a másikra. Az eszköz ára a időpoba legye p és eljesíse a időpoba x szochaszikus kifizeés. Mivel a kifizeés szochaszikus, a eljes elér haszosság is az lesz. Ezér felesszük, hogy a befekeő a eljes elér haszosság várhaó éréké kívája maximalizáli. A feladváy ehá az alábbi maemaikai formá öli: (68) max E ξ úgy, hogy C C e e { U( C, C )} p ξ x ξ ahol ξ jelöli a pézügyi eszközből vásárol meyisége. Behelyeesíve a feléeleke a célfüggvéybe és a derivála egyelővé éve ullával kapjuk, hogy (69) p U C E x U C Összeveve az eszközárazás alapegyeleével, eredméyüke úgy érelmezhejük, hogy a szochaszikus diszkoéyező szerepé eseükbe az egyes időszakok fogyaszása szerii haárhaszosságok háyadosa öli be: (70) M U C U C Példáka mos kierjeszjük öbb időszakra. Kiidulási pouk Lucas (978) modellje. Vegyük egy reprezeaív befekeő, akiek prefereciái az j 0 j (7) U E β u( C ) j haszossági függvéyel jellemezheők, ahol C a időszaki fogyaszás. A Beroulli-féle (egy időszakra voakozó) haszossági függvéy u jelöli és az időbeli 34

35 helyeesíés ráája β. Mide időszakba a befekeő exogé módo szer esz e meyiségű romladó jószágra. Ebbe az esebe opimális döés, ha midig elfogyaszja a eljes e készlee. Mos együk fel, hogy elérheő számára külöböző pézügyi eszköz. Az első eszköz ára p, és egységyi kockázamees omiális kifizeés eljesí a időpoba. A második eszköz ára p 2, és egységyi kockázamees omiális kifizeés eljesí a 2 időpoba, sb. Így ehá a befekeő problémája: (72) E 0 0 PC β u úgy, hogy k ( C ) p k, ξ max k, e k ξ k, k ahol ξ k, jelöli a k-dik eszközből a időpoba vásárol meyisége és P a fogyaszási jószág ára a időpoba. A probléma Lagrage-függvéye: (73) L E β u( C ) λ e PC 0 k, k 0 k k ξ p k, ξ k, és az opimaliás elsőredű feléelei: (74) u ( C ) λ P k (75) λ p β E { } 0 k k, λ k Behelyeesíve az első feléel a öbbibe (76) k E β u u ( C k ) ( C ) P P k p k, A u ( C k ) P ( C ) P k k β kifejezés a k-periódusra voakozó árazási mag M k, k. u Az egy ár örvéyéek kövekezébe melye a (2), ill. (4) formulák fejezek ki - elegedő modellezük az egy időszakra voakozó árazási mago (ill. aak 35

36 logarimusá). Elleőrzés céljából behelyeesíhejük eredméyüke az arbirázsmeesség (2) szerii feléelébe: (77) β u u ( C ) ( C ) P P β m u ( C m ) ( C ) u P P m β m u u ( C ) P m ( C ) P m ami yilvávalóa igaz. Ha felesszük, hogy a reprezeaív befekeő Beroulli-féle haszossági függvéye haváyfüggvéy 3, akkor az árazási mag az alábbi formá öli: P C (78) m, l M, l β l γ l P C Az árazási mag logarimusáak mozgásegyeleé ehá az ifláció és (reál)fogyaszás szochaszikus folyamaa haározza meg. A apaszalaok szeri a fogyaszás-alapú eszközárazási modellek a gyakorlaba em eljesíeek úl jól (még közelebbről elég rosszul). Eek öbb oka lehe, az egyik kézefekvő leheőség, hogy em megfelelő a modellbe feléeleze haszossági függvéy. Természeese semmi akadálya (hacsak em a maemaikai kezelheőség), hogy a modell a feiél boyolulabb haszossági függvéyekre alkalmazzuk, mi pl. az időbe em szeparálhaó, vagy a fogyaszási szokások kialakulásá is leheővé evő 4 haszossági függvéyek Az álaláos egyesúly Az álaláos egyesúlyi modellek úllépek a szűke érelmeze fogyaszás problémájá és olya egyesúlyi döési szabályoka igyekezek levezei, amelyek a fogyaszás más válozókhoz mi pl. jövedelem, vagy beruházás kapcsolják. Ha az eszközárazási modellbe a f ( y i,k) C szabály alkalmazzuk, akkor az, eszközárak is ezekhez a gazdasági válozókhoz fogak kapcsolódi. 3 A haszossági függvéy ( C) logarimikus haszossági függvéyhez ar. γ C u alakú. A γ γ haármeebe az u( C) l C 36

37 Eze úlmeőe az igazi álaláos egyesúlyi modellek eljese leírják a gazdaságo, beleérve az összes válozó álal kövee szochaszikus folyamao is. Képesek megválaszoli az a kérdés, hogy miér éppe ayi egy eszköz kifizeéséek és a diszkoéyezőek a kovariaciája ameyi, ahelye, hogy ez az éréke adoságak ekieék. Elvileg még olya srukurális kérdéseke is képesek megválaszoli, mi hogy hogya haa az eszközök árára egy másfaja gazdaságpoliika, avagy egy új pézügyi eszköz piaci kibocsáása. Egyik kérdés sem megválaszolhaó, ha puszá a befekeő számára opimális döés első redű feléelé vizsgáljuk. Felmerül a kérdés, hogy milye az oksági összefüggés a fogyaszás és az eszközárak közö, illeve hoa származak a kifizeések és haárhaszok saiszikai ulajdoságai. Egyálalá mi lehe modai a gazdaságo erelő alapveő sokkokról? Az alapveő árazási egyele csak az modja, hogy meyiek kell leie az árak, ha adoak vesszük a fogyaszás és a kifizeések együes eloszlásá. Semmi akadálya, hogy az alapveő árazási egyelee áalakíva a kövekező írjuk (i mos elekiük az árszívoal eseleges válozásáól): { β / } u c E u c x p (79) ( ) ( ) Tekihejük ez az egyelee úgy is, mi amely a mai fogyaszás haározza meg az eszközárak és kifizeések ismereébe, em pedig a mai eszközáraka haározza meg a fogyaszás és a kifizeések függvéyébe. Ha így godolkoduk az alapveő árazási egyeleről, akkor a fogyaszás permaes jövedelem modelljéhez juuk. Melyik a yúk és melyik a ojás? Melyik az exogé és melyik az edogé? A válasz, hogy egyik sem, és a legöbb alkalmazás szempojából ez léyegele is. Az elsőredű feléelek bármelyik egyesúly meghaározzák. Ha öréeese E{ mx} -e ismerjük, akkor ebből meghaározhajuk p-; ha viszo öréeese p ismerjük, akkor ebből levezehejük a fogyaszási és megakaríási döéseke. 4 Agolul habi formaio 37

38 Egy yilvávaló ovábblépési leheőség modell-gazdaságuk eljes megoldása felé, ha mid a fogyaszás, mid az áraka valóba exogé haások függvéyébe udjuk meghaározi. Az eredméy ermészeese függei fog aól, hogy milye a gazdaság öbbi része, külööse a ermelés, vagy az időbeli raszformációs echológia és a piacok. Az. ábra egy leheséges álaláos egyesúly mua. Tegyük fel, hogy a ermelési echológia (a echológia, amelyek segíségével időszaki fogyaszás időszaki fogyaszássá uduk raszformáli) lieáris, ehá a reál, fizikai hozamo (az időbeli raszformációs ráá, az ábrá láhaó egyees meredekségé) em befolyásolja a beruházás (feláldozo időszaki fogyaszás) meyisége. Ebbe az esebe a fogyaszásak alkalmazkodia kell ehhez a echológiailag ado hozamhoz. Ha az időbeli raszformációs ráa váloza, akkor a fogyaszási folyamaak is válozia kellee. Kimodalaul így működik a permaes jövedelem modell és még sok más pézügyi modell. Ezek a modellek először meghaározzák a hozamok alakulásá leíró folyamao, majd megoldják a fogyaszó fogyaszási és porfolió döései a haszossági görbék segíségével (az ábrá láhaó görbe voal egy leheséges haszossági görbé jelöl.. ábra A fogyaszás alkalmazkodik, a hozamo lieáris echológia haározza meg. 38

39 Az 2. ábra a ermelési echológia egy másik szélsőséges eseé muaja. Ez egy készlegazdaság. Romladó fogyaszási javak jeleek meg (ermelődek) mide időszakba. Seki sem képes megakaríai, felhalmozi, beruházi, vagy bármi más módo jelebeli fogyaszás jövőbeli fogyaszássá alakíai. Kövekezésképpe az eszközárakak kell igazodiuk midaddig, amíg a fogyaszók em alálják opimálisak a redelkezésre álló akuális készleel megegyező fogyaszás. Ebbe az esebe a fogyaszás exogé és az eszközárak alkalmazkodak. Lucas (978) az egyik leghíresebb példája az ilye modellgazdaságokak. 2. ábra Készlegazdaságba az eszközárak alkalmazkodak a fogyaszáshoz Melyik leheőség a helyes ezek közül? Természeese egyik sem. A valóságos gazdaság és mide valamirevaló álaláos egyesúlyi modell ikább úgy éz ki, ahogya az a 3. ábra muaja: áviheő a fogyaszás egyik időpoból a másikba, de csak csökkeő aráyba. A beruházások övekedével a hozam csökke. 39

40 3. ábra Álaláos egyesúly. A folyoos voalak a közömbösségi görbés és a ermelési leheőségek görbéjé jeleíik meg. Az egyees szaggao voal az egyesúlyi hozamo jeleíi meg. A szaggao églalap egy olya készlegazdaságo jeleí meg, amelyből ugyaez a fogyaszás-hozam párosíás kövekezik. Érvéyeleíi-e ez midazoka a modelleke, amelyek lieáris echológiával, vagy készlegazdasággal dolgozak? Nem. Iduljuk ki abból az egyesúlyból, amelye a 3. ábra mua. Tegyük fel, hogy a gazdaságo lieáris echológiával modellezzük, de öréeese éppe az a szochaszikus folyamao válaszjuk a lieáris echológia hozamáak leírására, amely az álaláos egyesúlyból adóda. A fogyaszáseszközhozamok együes folyama poosa ugyaaz lesz, mi ami az álaláos egyesúlyból adóda. Hasolóképp, együk fel, hogy a gazdaságo készlegazdaságké modellezzük, de öréeese éppe az a szochaszikus folyamao válaszjuk a fogyaszás modellezésére, amely az álaláos egyesúlyból adóda. Ismé, a fogyaszás-eszközhozamok együes folyama poosa ugyaaz lesz, mi ami az álaláos egyesúlyból adóda. Ezér em okoz problémá, bármelyik alábbi sraégiá is válaszjuk empirikus mukáikba 40