HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELACIOI, II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELACIOI, II."

Átírás

1 KflLONLENYOMAT A MAGYAR TUD01\JtA.NYOS AKADEMIA III. (MATEMATIKAI ES FIZIKAI) OSZTALYANAK KOZLEMENYEIBOL \'l!, K{>TET GR;i.TZER GYORGY es SCHMIDT E. TAMAS HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELACIOI, II. 1957

2 HAL6K IDEAL]AI ES KONORUENCIARELAcI6I, II. GRATZER GVORGV es SCHMIDT E. TAMAs Bevezetes Ezen dolgozatunk [6] folytatasa. Celunk a [6]-ban felvetett kerdesk5r tovabbi kidolgozasa: az L halo kongruenciarelaci6inak vizsgalata, es az idealkongruenciarelaci6 kapcsolat elmelyftese. Dolgozatunk harom reszbol all. Az I. reszben 0(L) nehany tulajdonsagat vessziik szemiigyre. Ezt fokepp ket eszk5z segitsegevel erjukel. Egyik segedeszk5zunk az 1. TETEL, mely O. BIRKHOFF k5zismert tetelet elesiti hal6k eseteben, a masik a szeparabilis kongruenciarelaci6 fogalma; az ut6bbi tulajdonsagainak vizsgalata az I. resz focelja. vegeredmenyiil ket tetelt kapunk, melyek egyike O. BIRKHOFF 72. problemajara ad egy iijabb wilaszt, masika pedig disztributiv hal6k eseteben a kongruenciarelaci6k hal6janak dualis vegtelen disztributivitasara ad szukseges es elegendo feltetelt. A H. reszben az L hal6 1 idealjainakes a hozzajuk tartoz6 minimalis 0 I kongruenciarelaci6knak kapcsolatat nezzuk meg. Bebizonyitjuk, hogy az 1- h megfeleltetes komplett egyesftes-homomorf lekepezes, tovabba, hogy disztributiv esetben izomorfizmus. A III. reszben a hozzarendelt elempar es a kongruencia terjedeset leir6 klasszikus eszk5znek, a projektiv intervallumoknak kapcsolatat vizsgaljuk. Vegiil a disztributivitas egy iij fajta jellemzeset mutatjuk be, a hozzarendelt elempar segitsegevel. I. jel51je 0(L) az L hal6 kongruenciarelaci6inak halmazat. 0(L)-et reszben rendezzuk, ha benne a <: relaci6t a k5vetkezo mmon <: <P <P E 0(L» akkor es csak akkor, ha x y(0) maga utan vonja. x=.::::y(<p)-t. 0(L) vizsgalaumal alapveto a k5vetkezo eredmeny (lasd [1] old.): O. BIRKHOFF TETELE: A fentebb ertelmezett relaci6 0(L)-et komplett hal6va teszi. Legyen 0(L) egy reszhalmaza A. Ertelmezziik a ; es 'fl rel'lci6 kat: akkor es csak akkor, ha EA-ra; x=y(1/}

3 418 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.,ekvivalens azzai, hogy Ietezik olyan X = ZO, Zl', Zn = y sorozat, hogy ZH =zi(<bh) (i = I) 2,. "} n) EA-vaL ~ es 1} kongruenciarelaci6, megpedig az A-beli kongruenciarelaci6k metszete, iiletve egyesitese, azaz ~ 1\ ea es 1} = O. BIRKHOFF ezen tetelet} melyet veges operaci6ju. struktunikra mondott ki, hal6kban kedvezobb alakra hozhatjuk. 1. TETEL: Legyen e(l) egy reszhalmaza A. Ertelmezzuk L-ben az 11 reldci6f ugy, hfjgy X Y(l]) akkor es csak akkor, ha van olyan xvy =a O ::>a 1 >- ::>a,,==x(\y sorozat, hogy ah.ai(e i ) (i=i,2,...,n) EA-ra. I] ekkor kongraenciareltici6 es 7j V EA I. BIZONVITAs: Nyilvan, ha x y(1}), akkor O. BIRKHOFF teteie szednt X y ( V e a). Megforditva legyen X=Y ( V eli). Ismeretes, EA,,egyszersmind x v y = x (\Y ( V e a ). Ezert letezik olyan x v y = Zo, Z11 EA,, Zn = X(\y sorozat, hogy Z,-l z,:(ei) (i = 1,2,. H, n) alkalmas e, EA-val. i Tekintsiik az u,=(x(\y) v A Zj elemeket. Viliigos, hogy ao=(x(\y)vz o = j='j = xvy, an = (x(\y) v n /\ Zj = X (\y, tovabba a hal6openki6k monotonitaj=o sabol u o ::> a 1 ::> a", veglil UH (i 1,2,..., n). Az Ui elemek tehat kielegitik az 1. TETEL kovetelmenyeit. Az 1. TETELt szeretnenk O. BIRKHOFF tetelere val6 tamaszkodas nelkiil is bizonyitani. ElorebocsMjuk a kovetkezot: 1. LEMMA: Az L hdloban ertelmezett ~ reldci6 akkor es csak akkor kongraenciareldci6, ha (a) x=x(~) minden X EL-re; (b) x _ Y (~) ekvivalens y == x (~)- vel; (c) x=:::y?:z,x,_e.-y(~) esy=z(~) eseten x=z(~); (d) x >- y, x=y(~) eseten xvt:-yv t(;) is X(\ {,t(~) minden t EL-re; (e) x=y(~) ekvivalens xvy=x(\y(~)-vel. Az 1. LEMMA szerint elegendo, ha a kongruenciarelaci6 szokasos ismervei <Jsszehasonlithat6 elemparokra teljesiiinek. Az (a) es (b) a reflexivitas es szim~ metricitas, (c) es (d) a tranzitivitas, illetve a helyettesitesi elv osszehasonlithat6 elemparokra. Erdemesmegjegyezni, hogy a fenti ot feltetel fiiggetlen, amint az egyszeru peldakkal kimutathat6.

4 HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELAcIOI, II. 419 BIZONYITAs: Nyilvan elegendo azt bizonyitanunk, hogy ha ; eleget tesz a fenti felteteleknek, akkor kongruenciarelaci6. Az (a) es (b) szerint ; rejlex[v es szimmetrikas. Legyen a >- v, a ~~... v(;) es a, b E [v, ai, azaz a?;.avb>-anb?;.v. (d)-bol an(avb) vn(avb) es an(avb) :::vn(avb), igy ismet (d)-t alkalmazva avb=[an(avb)]v(anb) _[vn(avb)jv(anb) anbg), vagyis (e)-bol a b(~). Ezekutan legyen.x_y(~) es y (e) miatt xvy=xny(~), igy (d)-bol xvyvz =(xvy)v(yvz).. (xny)v(yvz)-yvz(~), hasonl6kepp xnynz -ynz(~),vagyis xvyvz::: yvz::: ynz >- xnynz, es az egyenlotlensegsorozat szomszedos tagjai kongruensek modulo ~, s igy (e) ketszeri alkalmazasaval xvyvz xnynz(;). Mivel x,ze[xnynz,xvyvz] ezert a fentebb bizonyitottak miatt x z(;), vagyis ~ tranzitlv. A helyettesftesi elv is konnyen ad6dik, mert ha x. y(;), akkor (e) es (d)-bol xvy-xny(;) es (xvy)vt=(xny)vt(;), de xvt es yvte [(xny)vt,(xvy)vt], igy x v t - Yv t(;) es hasonl6kepp x n t - Yn t(;). ~ temt reflexiv, szimmetrikus, tranzitiv es ervenyes rei a helyettesitesi elv, vagyis kongruenciarelaci6. Q. e. d. Az 1. LEMMA segitsegevel most mar konnyen ad6dik a II. BIZONYITAs: Az nyilvanval6, hogy ha az 1. TETELben ertelmezett '1 relaci6 kongruenciarelaci6, akkortj = V (9«. Eleg temt belatni, hogy '1 (i9«ea kongruenciarelaci6. 1j reflexives szimmetrikus. Ha x >- y >- 2 es x=y(li), Y Z(I,), akkor az x-et es y-t osszekoto lane az y-t es z-t osszekoto laneeal egyiitt eppen egy az x es z elemeket osszekoto kivant tulajdonsagu lane, vagyis x - z(lj). Vegiil, ha x = Zo 2.: Zl 2.: ~ z" = y, akkor t v x = tv 20 >- tvz 1 ~... ~ tvz" tvy, igy x Y(1) es x?;. y eseten rogton talaltunk tvx estvy-t osszekoto megfelelo tulajdonsagu lancot, vagyis tvx tvy(1). Ugyanigy t n x t n y (11)' Latjuk, hogy 1] kielegiti az 1. LEMMA felteteleit, igy Tj kongruenciarelaci6 es eppen ezt akartuk bizonyitani. Az 1. TETEL hasznossaga abban mutatkozik meg, hogy az [a, b] intervallumon bewi donti el, hogy a- b( V (9«), vagy a b( V (9«). igy peldaul aea a EA az 1. TETEL alapjan minden nehezseg nelkiil bizonyithat6 FUNAYAMA es NAKAYAMA [3J azon nevezetes tetele, hogy (9(L)-ben teljesiil a (IO) (9n V (9«V «(9n(9a) aea 0 a E.1 vegtelen disztributiv torveny. FUNAYAMA es NAKAYAMA ramutattak arra is, hogy (10) dualisa (010) (9v /\ (9«/\ «(9'0(9,,) aea (i9"ea nem sziiksegkepp igaz. Alabb (2. lemma) egyszeru elegseges feltetelt adunk meg (DID) fennallasara. Ehhez bevezetiink egy uj fogalmat.

5 420 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T. 1. DEFINICIO: Az L MI6e kongruenciarel<ici6jat szepardbilisnek nevezziik,ha barmely a> b (a, b EL)-hez talalhat6 olyan a= Z() ~ Zl ::: 2:: Z" = lj sorozat, hogy minden i-re, vagy Zi=Zi-1(e), x=y((:-), x, y E[Zi, Zi.l] eseten x = y. vagy Zi ZH«(9) es ekkor Az ilyen {Zi} nezve szeparaltnak nevezziik, vagy azt is. mondhatjuk, hogy a es b-t {z,} szepanilja e-ra nezve. Ezen definici6 letjogosultsaga az 1. TETELen alapszik, amely szerint kongruenciarehici6 altai letesitett osztalyok szeparaltsagat a fentebb leirt m6don biztosithatjuk. A definici6b61 lathat6, hogyha L-ben barmely a, b (a> b; a, bel} kozott talalhat6 veges hosszusagu ma~imalis lane, akkor L minden kongruenciareiaci6ja szeparabilis. Nem szeparabiiis kongruenciarelaci6ra is rogton lathatunk peldat: legyell' E a pozitiv egeszek lanca + oo-nel lezarva. E-ben kongruenciarelaci6t definialjuk ugy, hogy 21=2i+1 (i=1,2,...) es minden az elobbi alaku. Konnyu latni, szeparabilis, mert 1 es 00 nem szeparalhat6. A definici6b61 azonrtal ad6dik, hogy ha e szeparabilis, akkor barmely a es b (a> b, a, bel) kozott van olyan maximajis lane, melyen e csak veges. sok egynel tobb elemii osztalyt letesit, es ezek az osztalyok (mint intervallumok) zartak. Eleg l.lgyanis egy tetszoleges a es b kozti maximalis Iancot venni, mely mindegyik z,-t tartalmazza. Ezen allitas megforditasa azonban altalaban nem igaz. Nem all, hogy ha minden a es b (a:> b) kozotl van egy fentebb leirt tulajdonsagu lane, akkor barmely kongruenciarelaci6 szeparabilis lenne, se az, hogy ba e szeparabilis, akkor minden a es b kozti maximalis lane megfelelo tulajdonsagu.. Ezekre az L resz vegen latunk ellenpeldakat. Akovetkezokben bebizonyitunk nyolc lemmat, melyek elokeszitik a 2.. es 3. TETELl. Eloszor Jassuk (DID) fennallasanak egy elegseges feltetelet. 2. LEMMA: Legyen L egy szepardbilis kongruenciareldci6ja e, ekkor eel) minden A reszhalmazdra e0 A e a= l&laea EA BIZONVITAs: <::: mindig igaz, ezert eleg ev A e a ::> A (ev ('9 a )-t kimutatni. Legyen A @a EA szeparabilitasa miatt van olyan x v y = z() Z1 ::> ::> Z,,= x n y lane, hogy Z,-l - Zi vagy [ZH, Zi] egyetlen reszintervalluma sem kongruens modul6

6 HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELAcIOI, II. 421 I Az L hal6 I idealjat neutralisnak nevezziik, ha L idealjainak hal6jaban I neutralis elem, vagyis minden {I, j, K} reszhal6 disztributiv. Ha ertelmezziik a e relaci6t ugy, hogy.x _ Y (e), akkor es csak akkor, ha (x n y) u t 2: xu y valamilyen t EI-re, akkor e kongruenciarelaci6 lesz, megpedig modulo e I osztaly, es e az ilyen tulajdonsagu kongruenciarelaci6k k5zt minimalis. (Ezekre nezve lasd (1] 28,79, 119, es 124. oldalat, vagy [2] 167. oldalat.) 2 Ez te!jesiil peldaul, ha van L-ben legnagyobb elem. 3 e' a e komplementumat jeloli.

7 422 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T. 5. LEMMA: Ha kongruenciareldci6nak van komplementuma, komplementumat Minden as b-hez miatt az 1. TETEL szerint van olyan a Zo 2::::. ZI?:::. S Zn = b lime, hogy vagy Belatjuk, hogy a {Zi} nezve szeparalt. Val6ban, ha Zi es x, y E[Zi' Zi-1] mellett akkor azaz x=y. A tovabbiakban (mint ahogy ezt [6J-ban is jel61jiik az L hal6ban az a b altai indukalt kongruenciarelaci6t. Ervenyes a kovetkezo 6. LEMMA: Az L disztributlv hd16ban, ha a> b:> c > d, akkor BIZONVITAs: (x> y). Ekkor [6J 2. TETELe ertelmeben(cvy)nx xes(dvy)nx=y. Azonban cn(dvy)<c (ugyanis cn(dvy) = c-hol cn(cv y) = c es c v(dvy) cvy miatt a relativkomplementumok egyertelmusege folytan cv y = d v y, ebhol pedig x = y kovetkeznek, ellentmondasban az x> y feltevessel) es c cn(dvy) de c.n(dvy)<c <: b< a ellentmondasban van [6J masodik tetelenek 2. korollariumaval. Az 5. es 6. LEMMAb61 konnyen ad6dik a 7. LEMMA: Az L disztributlv hd16ban 0", b-nek (a > b; a, bel) van komplementuma, tehdt szepardbilis. B1ZONVITAs: jelolje (j) az [a) dualis foidealhoz es (b] f6idealhoz tartozo minimalis kongruenciarelaci6k egyesiteset s 0 a, b helyett irjunk (I legnagyobb eleme, s mint mar emlitettilk), mert minden x> y-ra [y, x] [yn b, xvaj es xva=-yn (j) miatt Ha $) es x<y fennallna, akkor egyreszt x_y«(j), azaz x _ y ( (1, v br> lenne, s igy az 1. TETEL szerint volna olyan ",E[n) ble(b} x?:::,u>v2::::.y, hogy u v(0",a,)vagy u bl(< b)-vel. Masreszt x = y(0) miatt u =. v(0) is fennallna, s igy mindket elobbi eset, a 1 > a > b > b I miatt, ellentmond a 6. LEMMAnak. Nem szeparabilis kongruenciarelaci6ra most mar tijabb fontos peldat is tudunk mutatni. 8. LEMMA: Legyen L disztributfv hdlo, melyben adottak az [ai, btl (i = 1, 2,...) intervallumok, ligy hogy a < a 1 < b 1 <... ai < bi <... < b, akkor ro Veai, b nem szepardbilis kongruenciareldci6. i=l '

8 HALOK IDEALJAI ES KONORUENCIARELAcIOI, n. 423 ro BIZONVfTAs: Tegyuk fel, hogy e = V e,"" h szepanibilis, ekkor vall:. -i=l t 1, oiyan a = Zo > Zl >... > Zn = b, hogy ZH Zi (e), avagy [Zi, Zi-d egyetlen reszintervalluma sem kongruens e-mil. Ha Z,-1 Zi( '», akkor Zi Zi-l( V0 a.., h")' vagyis veges sok [a" b;] altai generalt kongruenciarelaci6 i=1 J, J, mar indukalja a {z;} lancon az osszes Zi = ZH(e) kongruenciat. Legyen [at, btl ezen veges sok intervallumt61 kulonbozo intervallum. a - b(eat, ht v e~t, h t ) (e~, ht komplementuma e~t, hi' amely a 7. LEMMA szerint letezik), viszont a:$ b (e~t, ht)' mert a b (e~t, ht)-bol at bt «(';)~t, ht) ad6dna ellentetben at bt (eat, Ot)-vel. Kovetkezeskepp nem lehet minden i-re z, = Zi-l (e~t, Ot)' igy van olyan i, hogy Zi:$Z'-I(e~!t>ht)' Az 1. TETEL ertelmeben [mivel ekkor van olyan u, v hogy Z,<::: U<V <:::Zi-l es U= Ot)' Erre az i-re azonban z, - Z,-1 azaz Zi Zi-l(.V eaj., hj.), vagyis t=l ~ i- U- V ( Vea..,oJ")' Az elozovel osszevetve U---: V (eat, ht r, Vea', h"); azaz. i=1 h.,=1 h J, u-v(.v A LEMMA feltetelei es [aji' bjj =l= [at, btl miatt min- ~=1 t t den i-re, vagy aii < bj;< at < bi> vagy at < bt < aj; < b ip azaz teljesolnek a 6. LEMMA feitetelei hj; neat, ht = 0 minden i-reo igy az eiobbi kongruencia u - v(o)-ba megy at, azaz u v ad6dik, ellentmondasban a fentebbi u < v-vel. Ez az ellentmondas igazolja aiiwisunkat. A tovabbiakban ismet sziiksegiink lesz a hozzarendeit eiempar fogalmara. Emlekeztetiink arra, hogyan definiaituk [6]-ban a hozzarendelt eiempar fogalmat.. Azt mondjuk, hogy az a, b elemparhoz c, d (a, b, c, del) hozza van rendelve, jelben a, b~ c, d, ha alkalmas Xl'., x" E L elemekkel (1) { {[(avb)nxtl v x2}n }nxn=cvd, (2) { {[(anb)nxl]vx2}n }nx,,=cnd. A hozzarendeit elempar 4 segitsegevel megadhatunk egy feltetelt arra, hogy es(l) megegyezzek. Az egyszeriiseg kedveert vezessiik be a kovetkezo elnevezest: 2. DEFINfcIO: Az L hal6t gyengen modularisnak nevezziik, ha valahanyslor a, b ~ c, d (a, b, c, del; a < b, cd), mindannyiszor talalhat6 oiyan al,biel, (al<bl), hogy[a 1,b 1 ]c[a,b] es c,d~a1>bl' 4 Megengedett az is, hogy Xl elott v, x 2 elott n stb. legyen (l)es (2)-ben. Ez. nyilvanva16an ekvivalens az elobbivel. Az azonban mar folosleges, hogy egymas utan tobb- szor alljon pi. az v jel; az asszociativitas miatt ezek a lepesek osszevonhat6k.

9 424, GRATZER GY.i!s SCHMIDT E. T. 9. LEMMA: Az L gyengen modaltiris. hdl6ban minden szepanibilis.kongraenciareldci6nak van komplementama es fgy 0 s(l) = (3Jz(L). BIZONV!TAs: Legyen, 0 szeparabilis kongrueneiareliiei6. Definialjuk a 'fj> relaci6t a kovetkezokepp:. x=y(fj» akkor es esak akkor, ha [xny,xuy]-ban nines 0-naktObb, mint egy elemii oszbilya.. Per definitionem x - x(fj» es a fj> relaci6 szimmetrikus. Legyen x=y(fj», y _z(fj» es x> y > Z, s tegyilk fel, hogy valamely a, v-re emellett a 'v(e),x 2: a > v :> z. fj> definfci6ja miatt kell, hogy [17, a]-nak [z, y]-nal.es [y, x]-szel legfeljebb egy kozos' eleme legyen. Ez a kozos elem y nyilvan nem lehet, ezert y u 1} > 'IJ. Feltesszuk, hogy y u 'IJ :> U, mert ha ez nem all, akkor okoskodasunkat az a, v elempar helyett az yut', yuau1.j elemparral folytatnank. Ebben az esetben viszont a gyenge modularit<isb6l, mivel y, z - v, v v y s ezert y, z -li;i, is fenmul, olyan y > YI > Zl > Z ad6dik, hogy u, v - YI, Zl azonban akkor YI - it(e), amely etlentmondas igazolja x = z(fj»-t. Vegul legyen x >y, x-y(fj», belatjuk, hogy x v t(fj». Ellenkezo esetben ugyanis volna x v t?-:: u > v :> Y V t, hogy u _ v(0). ViszOl1t x, Y- u, v, ezert a gyenge modularitas miatt van olyan Xl' YI (X:> Xl > YI?-:: y), hogy a, v- Xl> Yl' de akkor Xl (0), ami ellentmond x_y(fj»-nek. Bebizonyftottuk, hogy fj> elegettesz az 1. LEMMA (a)-(d) felteteleinek, mivel (e) trivialisan igaz, ezert fj> kongruenciarel<ici6. (p definfci6jab61 0 n (/J 0 kovetkezik; e v fj> = I pedig fgy lathat6 be. Legyen a > b kef tetszoleges eleme L-nek. Tekintsuk a es b kozott azt az a= Zo ~ Zl :> :> Z" = b Iancot, amely 0-t szepanilja. Ekkor vagy Zi=ZH(0), vagy,[zi, ZH] egyetlen (tobb mint egy elemii) reszintervalluma sem kongruens e-nal, azaz (p definfci6jab61 foly6lag Zi. - Zi-l(fJ», vagyis a - b(e v fj». Ezzel belattuk, hogy (P.komplementuma 0-nak, amivel a 9. LEMMA bizonyitasat befejeztuk. Eddigi diszkusszi6nk egyik celja volt, hogy feleletet adjunk a kovetkezo, G. BIRKHOFF altai felvetett (Iasd [1], 153 old., 72. problema) kerdesre: Keressiik annak szilkseges es elegendo feltetelet az L hal6ra, hogy kongruenciarelaci6i Boo!e,..algebrat alkossanak. T. TANAKA [4] adott eloszor erre a kerdesre feleletet: Az L hal6 kongruenciarelaci6i akkor es csak akkor alkotnak Boolealgebrat, ha L egyszeru ha16k diszkret szubdirekt szorzata - azaz olyan szubdirekt szorzata, melyben barmely ket elem csak veges sok komponenseben kiilonbozik. T..TANAKA tetele azon L hal6k struktt'iratetelenek tekinthet6, melyekre ij(l) BoDie-algebra..Nem ItHszik azonban erdektelennek ezen hal6kat a fentebb bevezetett fogalmak segftsegevel is lefrni.

10 HALOK IDEALJAI ES KO~GRUE!,;ClARELAClOl, II TETEL: Az L halo kongruenciarelcicioi akkor is csak akkor alkotnak Boole-algebrat, ha (W) L gyengen modularis; (8) L minden kongruensiarelcicioja szepardbilis. BIZONVITAs: 8ziiAsigessig. Tegyiik fel,!logy L kongrueneiarelaci6inak hal6ja Boolealgebra. Ekkor minden kongruenciarelaci6nak van komplementuma, igy az 5. LEMMA szerint mind szepanibilis, vagyis (8) teljesiil. TegyOk fel, hogy L-ben a, b -+ c, d, serre a hozzarendelesre a gyenge modularitas feltetele nem teljesiilne. Amtjuk, hogy ekkor er,d-nek nines komplementuma; ugyanis, ha ('9'" d komplementuma C/J lenne, akkor a= beer. <IV C/J), a b(c/j) eseten az 1. TETELbOl olyan av b 0=: a 1 > b l ~ a r,b letezese ad6dna, melyre a 1 _b 1 (ec, d). [6] 5. Wele szerint ez viszont eppen olyan a 1 ~ a2 > b22':: b 1 letezeset jelenii, hogy c;li -+ a 2, b 2, azaz a gyenge modularitas teljesiilne, ellentetben a feltevessel. Kell tehat,!logy a:=b(c/j) fennalljon, de ekkor a, b -+ c, d miatt c =d($) is fennallana, ellentetben ec d n C/J = O-val. Etegsegesseg. A (W) feltetel miatt, mint azt a 9. LEMMAban bebizonyitottuk, f}z(l) Az (8) feltetei igy is irnato: es(l) = eel), ami az elobbivel f)z(l)-et adja, ami bizonyitand6 volt. A gyenge modularitas val6ban a modularitas altalanosltasa. Ezt a kovetkezokepp lathatjuk be: Legyen a > b es t v a? c > d :::: tv b. a v c a v d, ezert ane >and (Iasd (1] 66. old.), vagyis a, b-+c, d-bol ezesetben c, d-+anc, ar..d kovetkezik. Az altalanos eset targyallisa triviatis teljes indukcioval tortenhet a hozzarendeles lepesszamara (az (1) es (2) kepletekben szereplo n-re) vonatkoz6lag. A kovetkezo eredmenyt kaptuk: 1. KOROLLARIUM: Az L modulciris IzcilO kongruenciarelcicioinak hatoja akkor es csak akkor Boole-algebra, ha (8) teljesiil. Megjegyezzuk, nogy a gyenge modularitas mas iranyu altajanositasa a modularitasnak, mint a feligmodularitas, ugyanis mar a legegyszerfibb feligmodularis ha16, amely nem modularis ([I]-ben a 7a abran latnato Mlo duatisa) egyuttal nem is gyengen modularis. Disztributiv Mlokra a 2. TETEL tovabb elesit!leto. 2. KOROLLARIUM (]. HASHIMOTO TETELE [2]): Az L disztributiv IzciLO kongruenciarelcicioinak Izciloja akkor es csok akkor Boole-algebra, ha L lokcilisan veges. BIZONvtrAs: Az 1. korollarium ertelmeben eteg belatnunk,!logy (8) ekvivalens a lokatis vegesseggel. Val6ban, ha L lokatisan veges, akkor per It III. Osztaly Kozlemenyei VII/3-4

11 426 GRATZER (ly. ES SCHMIDT E. T. definitionem minden kongruenciarel<ki6ja szeparabilis, rnegforditva, ha L nem lokalisan veges, akkor van [a, b] (a < b) nem veges hossztisagu intervalluma s ekkor a szokasos "felezesi-eljaras"-sal konstrualhat6 a 8. LEMMAban szereplo intervallum-sorozat, s igy a 8. LEMMA szerint van nemszeparabilis kongruenciareiaci6ja. Ezzel a bizonyitast befejeztuk.. Az 1. KOROLLARlUM mas iranyu specializahisa a kovetkezo: 3. KOROLLARIUM (SHIH-CHIANG WANG TEfELE [5]): Az L komplem?ntamos modalaris halo kongraenciarelacioinak haloja akkar es csak akkor Boolealgebra, ha minden neufralis idealja foidedl. BIZONYiTAs: G. BIRKHOFF egyik Mtele szerint a fenti feltetelek mellett L minden kongruenciarelaci6ja egyneutralis idealhoz tartoz6. minimalis kongruenciarelaci6 (Iasd [1] 125. old.). A 3. LEMMA szerint viszont L barmely neutralis idealjahoz tartoz6 minimalis kongruenciarelaci6 akkor es csak akkor szeparabilis, ha ez a neutralis ideal f6ideal. Oisztributiv hal6k esemben most mar nemzseg nelktil valaszolhatunk arra a kerdesre, hogy e(l)-ben mikor teljesiil (DID). 3. TETEL: Az L disztributiv halo kongruenclareldcioinak halojaban (DID) akkor is csak akkor teljesiil korldtlatwl, ha L lokalisan w!ges. BIZONYITAs: Ha L lokalisan veges, akkor minden kongruenciaretaci6ja szeparabilis es igy a 2. LEMMA szerint (DID) fennall. Megforditva, tegyiik fel, hogy e(l)-ben (DID) korhulanul teljesiil. Nyilvan e= yea, O' A 7. LEMMA szerint e a, b-nek van komplementuma,, e~, O' TekintsOk a ([J = /\ 0~, b kongruenciarelaci6t,5 (ID)-hOl en ([J= y ea, on(./\(j)~, b)= y(0a, bn/\e~, 0):$ y«(j)a, bn e~, b) YO=O, ezert en ([J = 0 es (OID)-hOl /\(e:',buyea,o)!\(e;"ouea,o)=i, igy e u ([J = I, vagyis ([J komplementuma e-nak. Belattuk, hogy eel) Boole-algebra, de ekkor a 2. TETEL 2. KOROLtARIUMa miatt L lokalisan veges. Etzel a tetel bizonyitasat befejeztiik. Konstrualjuk meg a szeparabilis kongruenciarelaci6 definici6janal megigert ellenpeldakat. Eloszor legyen E a nem pozitiv egeszek -,-<X>-nel lezart lanca. E E-ben (E-nek onmagavai vettkardinalis szorzata, [I] 7. oldalanak ertelmeben) tekintsok a 0 = 0(0,0), (-ro, 0) kongruenciarelaci6t es egy, az osszes (x, x) alaku elemet tartalmaz6 C maximalis hincot. ('1 a 7. LEMMA szednt 5 A bizonyihis soran V es A mindig az osszes olyan a, b~re ertendo, melyekre a= b(61).

12 HALOK IDEALJAI ES KONORUENCIARELAcIOI, II. 427 szeparabilis kongruenciarelaci6, megis a C laneon vegtelen sok egynel tobb elemii osztalyt letesit. Tekintsiink most egy olyan nem szeparabilis kongruenciarelaci6t, amelynek megvan az a tulajdonsaga, hogy barmely a > b-hez talalhat6 olyan maximalis lane, csak veges sok egynel tobb elemii zart,osztalyt.letesit. Ezt megkonstrualand6, legyen P a pozitiv egeszek lanea, Lap P. ro Ml6 I elemmel f~liilrol lezarva, a 8. LEMMA szerint,=1 nem szeparabilis. Tekintsiik egy tetszolegesa> b elempart. Felteheto, hogy a - I, kiilonben [b, a] veges. Ha viszont a= I, akkor az a es b kozti kivant tulajdonsagu maximalis laneot szolgaltatjak az osszes (b ll x) alaku elemek, ahol b I elso komponense b-nek es x=b 2, b 2 + 1, b 2+2,... Erdekes talan megjegyezni, hogy ebben a ket ellenpeldaban szereplo halo disztributiv. VegUl konstrualjuk meg a 2. LEMMAnal emlitett ellenpeldat. Legyen P ismet a pozitiv egeszek lanca, s tekintsuk azt az L halmazt, amely P-bOl es a 0, x, y, I elemekbol all. L hal6 lesz a kovetkezo definici6val: P rendezese a szokasos, tovabba i=i,2,...-re xvi yvi=xvy=xv/=yv/=1 es x (\ i = y (\i = 1(\0 ~ O. Tekintsiik at L kongruenciarelaeioit. Konnyen kimutat11ato, hogy I - i vagy i =.:::: 0 (i = 1, 2,...) eseten az egesz Mlo egybeesik, s ebbol mar az is adodik, hogy az egyseg-kongruenciarelaci6n, ;-n kivul L kongruenciarelaci6i lenyegeben P kongruenciarelad6i, abban at ertelemben, hogy L-nek P-n kiviili elemeit nem ejti egybe. Lathatjuk bol ugy all elo, hozzavessziik meg a; kongruenciarelaei6t, melyre ~ > 0 0(P) azonban dualisan vegteleniil disztributiv a 3. TETEL ertelmeben, ezert kis szamolassal belathat6, is <lualisan vegtelenul disztributiv. L-nek azonban megis van nem szeparabilis,kongruenciarelaci6ja, Hyen peldaul az a kongruenciarelaci6, melyben U=2i+ + 1(i. 1,2,...). (PI. 1 es I nem szeparalhat6k.) Most mar azt is lathatjuk, hogy minden harmadik tipusu ellenpelda nem disztributiv ha16, ugyanis ha L disztributiv volna, akkor (DID) fenmhlasa maga utan vonna a 3. TETEL szerint L lokalis vegesseget, igy nem lehetne nem szeparabilig kongruenciarelaci6ja.

13 428 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T. II. A kovetkezakben az L hal6 idealjai f, hal6janak es az idealokhoz tartozo. minimalis kongruenciarelaci6knak kapcsolataval szeretnenk foglalkozni. A tovabbiakhoz szilkseges a kovetkeza: 10. LEMMA: Az fa(a EA) idedlok komplett-egyesftese letezik es azon' c elemekbt51 dll, melyekre (3) c ::: ia, U." U ian' ahol iasefas,asea(s=1,2,..., n) es n tetszoleges veges szdm. A bizonyftds az ideal es a komplett-egyesites definici6jabol automatikun san ad6dik. Lathatjuk tovabba, hogy az V fa idml az fa idedlok veges egyesfaea teseinek halmazelmeleti egyesftese, es az.is nyilvanval6, hogy f, akkor es csak akkor komplett hdl6, ha L O-elemes. Disztributiv hal6kra tobb is igaz, neve- zetesen, ha L disztributfv, akkor V fa elemei aea (4) alakban frhat6k. n Ehhez csak azt kell belatnunk, hogy ha t (4) alaku es X <::: t, akkor X is (4) alaku, de val6ban X=X n t= V (iar n x), ahol iar n x EJar (r = 1,2,..., n), r=l ami a bizonyitand6 volt. ]elolje a tovabbiakban 6h az f idealhoz tartoz6 minimalis kongruenciarelaci6t, azaz azt a minimalis kongruenciarelaci6t, melyben f minden eleme a homomorf kep 0 elemere kepezadik le. 6 6h letezese abbol ad6dik, hogy az osszes olyan kongruenciarelaci6 metszete, melynel f a homomorf kep 0 elemere kepezadik Ie, ugyanilyen tulajdonsagu,.. vagyis 4. TETEL: Az V fa idedlhoz tartoz6 minimdlis kongruenciareldci6 V 6h a, aea aea V r = aea a aea a' (6) BIZONY1TAs: Nyilvanval6, a = n, bea (Iasd a dolgozat elsa reszeben a 2. TETEL 4. KOROLLARIUMAnak bizonyitasat)_ f) Felreertesek elkeriilese vegett megjegyezziik, hogy 6)r-ne1 I-n kiviili elemek is kepez6dhetnek Ie a homomorf kep 0 elemere.

14 HALOK ldealjal ES KONGRUENCIARELAClOI, n. 429 Eloszor belatjuk, bogy ha a b es a":::;: c, akkor bue' Mivel a = b«?)a, 1J u c) es a b u c), c (;ja, bu c; megforditva es a miatt bug c c' A kth egyenlotlenseg osszevetese eppen (7)-et adja. (6) segitsegevei (5) a kovetkezo alakra hozhat6: (8) V ye V I", aea "EA a, bel", Tegyiik fel, b szerepel (8) jobboldalaban az egyesitesben. Ekkor valamely Cl E A-ra a,b E la, igy a, be V I", s b ~zerepel (8) balaea oldalaban is; kovetkezeskepp V x, ye V 1" aea <I, bel" ae,! Megforditva, legyen ex, 11 (x, Y E VIa) (8) baloldalaban az egyesitesnel az "EA egyik tag. x, y E V la a 10 LEMMA szerint olyan ia,. (E la,., Cl,:, EA, r = aea 1, 2, "., n) elemek Ietezeset jelenti, bogy x, y i", v... via,.. Legyen " U ="~1 ia,.n(xny). Nyilvan u Ela r (r= 1, 2,..., n), s a " szerepel 11 (8) jobboldalaban. (7)-bOl a n ezert rc:.;::;;l r u, V i a r=l r vagyis (8) fennall. Q, e. jel61juk azt a minimalis kongruenciarelaci6t, melynek I nyilvan nem szuksegkepp letezik, de ha li~tezik, akkor 7 &>r KOROLLARlUM: a minden Cl EA-ra letezik, v is letezik es a f) V 1 a aea aea. A 4. TETELbOl lathatjuk, hogy akarhany minimalis osztalyozas egyesitese ujb61 minimalis osztalyozas. Ez a metszetre mar altalaban nem igaz. Ezt mutatja mar a nem modularis otelemu hal6 peldaja is. A a egyenlet kulonben sem allhatna fenn korlatozas nelkul, mert /\I a nem szuksegkepp letezik. 7 Erdekes volna azon idealok 6sszesseget vizsgalni, It\tezik. Konnyu pe:ldauj beigazojni,hogy ezek disztributiv hal6t alkotnak, Val6szinUleg t6bb problema nyerne megoldast ezen halo n\szletesebb vizsgajataval.

15 430 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T. Erdekes volna megadni annak szukseges es elegendo feltetelet, hogy az L hal6ban az idealokhoz tarloz6 minimalis kongruenciarelaci6k metszete is valamely idealhoz tartoz6 minimalis kongruenciarelaci6 legyen. Az alabbiakban erre ket elegseges feiteteit adunk. 11. LEMMA: Tartozzek az L O-elemes halo minden idealjahoz legjeljebb egy oszidlyozas. jelolje azon idealok osszesseget, amelyekhez tartozik izomorj halo, azaz (I a Ef) (Ia Ef') es 7= yo::)~::) ::JY s K, e ket lancnak van kozos hossztlsagii jinomltasa. BIZo'NYfTAs: (9)-et a 4. TETEL igazolja, (lo) viszont abbol ad6dik, hogy oel miatt Ala letezik, tovabba magja Ala. A AI,. idealhoz legfeljebb egy osztalyozas tartozik, Ezzel belattuk, hogyaz /-+fir (re f) megfeleltetes izomorfia, s igy disztributiv. Alkalmazhat6.tehat -ben a jordan-dedekind-tetel, amely rogton megadja a lancok finomitasara vonat,,:, koz6 allitast. Disztributiv hal6kban minden I-re (sot ez a tulajdonsag [6) 1. tetele szerint jellemzi is a disztributivitast). Ervenyes a kovetkezo 5. TETEL: Ha L disztributlv halo, akkor reszhalajat alkotjak, azaz 2 es (12) 2 BIZONVITAs: Mivel (II)-et tetszoleges Ml6ban mar igazoltuk, ezert eieg (12)-t belatni. (12)-t (6) alapjan atirjuk: b(\ = V ex, y, a, bel, c, dei, X, yell" 1 2 ami (10) felhasznalasaval ekvivalens a kovetkez6vel: (13) V «(ii)a, b V ex, y. a, bell; 0, det 2 a', YE1, "1;' Lassuk be, hogy ha a b es a <: c, r boc.

16 HALOK lpeal]ai ES KONORUENCIARELACIOI, n. 431 v feltetel mel Felhasznalva [6] 2. TETELet es az u lett ekvivalens a kovetkezo egyenletek fennallasava1. O~ ~v0~u ~ (16) (bvv)~u u, (17) (cvv)~u u. (16) es (17)-bol a disztributivitas segitsegevel (18) u=u~u=(bvv)~u~(cvv)~u~ [(b~c)vtl]~u. (15) e~ (18) egyiitt az elobb idezett tetel szerint u_ jelentl Belattuk, b c b0 c b0 c azonnal ad6dik abb61, b oc, fgy (14) igazolasat 1I NyHvan, szerepel (13) jobboldalaban, azaz x,yei1~i2' akkor szerepel (13) baloldaliiban is, azaz V >- V ex,y. a, bel,; e, del. x, YEl," 1. Bizonyftjuk a fordftott egyenlotlenseget. Latjuk, hogy ha t:s; a~b~c~d (9, be 1 1 ; c, d E1 2 ) akkor (14) -< ahol (avb)~(cvd)eii~i2 es tei1~i2' azaz (13) baloldaliinak barmely tagja -< mint a jobboldal alkalmas eleme. Ezzel (13) bfzonyftasat befejeztuk. A tetel bizonyitasab61 lathat6, hogy igaz a kovetkezo KORouARIUM: akkor es csak akkor reszhdlojdt, ha (14) fenndll.. E korollarium megsem mondhat6a felvetett problema megoldasanak, inkabb csak k(myelmes atfogalmazasul szolgal. 8 (9) es (10) fennahasat eleg sok kik5tes mellett biztositja a 6. TETEL: Ha L O-elemes komplett es dudlisan vegtelen disztributiv halo, (azaz L-ben (DID) teljesiil), akkor komplett reszhdlojdt alkotjdk, azaz' (9) es (10) fenndll. BIZONYITAs: Megint eleg csak (lo)-et belatni. Ezt teljesen az 5. TETEL bizonyftasanak megfelelo thon tehetjiik. Elegendo megjegyeznilnk, hogy L o-elemessege't\l,. letezesehez sziikseges, a (DID) feltetel pedig (14) analogonjanak bizonyitasahoz szilkseges, azaz, hogy ha b,. a, akkor (19) es a bizonyitas tobbireszenek reszletezese konnyen elvegezheto. 8 Az 5. TETEL a (6) 2. teteu~nek 4. korollariuma alapjan egyszerlibben igazolhat6. Ekkor azonban a fenti korollariumot nem kaptuk volna meg.

17 432 GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T. III. Az alabbiakban a hozzarendelt elemparral kapcsolatos nehciny kerdessel foglalkozunk. Tekintsiik az L hal6 a, b, e, d elemeit, melyekre a, b ---+ e, d es c, d ---+ a, b is all. Ekkor nyilvan a -::= b es e - d bcirmely kongruenciarelaci6ra nezve ekvivalensek. Ugyanez a helyzet, ha a, b es e, d projektivek 9 (lasd [1], 72. es 73. old.; ugyanitt a transzponaltsag definici6ja is megtalalhat6), amit [a, b]n[c, d] m6don jeloliink. Lathatjuk, hogy a, b es e, d akkor es csak akkor projektivek, ha a, b ---+ c, d es hozzarendeles mindig relativ komplementummal tortenik. Felvetjiik a kovetkezo problemat : a, b es e, d projektivitasanak, mely L hcil6kban sziikseges es elegendo feltetele (20) a, b ---+ e, d es e, d ---+ a, b. A hcil6knak ket osztalyat adhatjuk meg, melyekre ez a feltetel teljesiil. 7. TETEL: Ha az L hdl6ra teljesill, hogy A. L disztribuf{v, vagy B. L lokdlisan viges is moduldris, akkor a, b es e, d (a< b, c < d; a, b, e, del) projektivitdsdnak szilkseges is elegendo jeltitele (20) jenndlldsa. Nyilvan mindig csak azt kell belatnunk, hogy (20)-b61 kovetkezik [a, b]n[e, d]. A. BlZONYITAsA: [6] 2. tetelenek allitasa szerint a (20) feltetel disztributiv hal6ban ekvivalens a kovetkezo negy egyenlettel: (21) (auc)nd=e, (22) (bue)nd=d, (23) (aue)nb=a, (24) (a ud)nb = b. Lassuk be a bu(aue)=du(aue) egyenletet, vagyis, hogy (25) bue=dua. (22)-bOl b u e :::: d es b > a miatt b u e ~ d u a, es megforditva, (24)-bOl aud :::.:: b es d> c miatt aud >- b u e, amely egyenlotlensegek (25)-ot adjak. (21), (23) es (25) epp azt mutatjak, hogy az [a, b], [a u e, b u e], [e, d] intervallumok koziil a szomszedosak transzponaltak, vagyis [a, b]n[e, d], ami a bizonyitand6 volt. 9 Legtobbszor intervallumok projektivitasar61 es transzponaltsagar61 szoktak irni, nekiink kenyelmesebb a fenti terminol6gia.

18 HAL6K IDEALJAI ES KONORUENCIARELACI6I, II. 433 Mel)(~keredmenykent azt kaptuk, hogy ha [a, b]n[e, d], akkor mar ket lepesben eljuthatunk a, b-bol e, d-be. B. BIZONV!TAsA tobb allitasra bonthat6, melyek mindegyike teljes i ndukci6val bizonyithat6, ezert a reszletes okoskodast mellozzuk. Az [a, b] i ntervallum maximalis lancainak hosszat (ezek a hosszak megegyeznek) jelolje 1 [a, b]. 12. LEMMA: A B. jelmlel mellell {26) I[a, b] ~ I[aue, bue] es I [a, b] ~ I[ane, bne], es ha (26)-ban egyenlosegjel all, akkor a megjelela inlervaliumok lranszponaltak. BlZONV!TAsa I[a, b]-re vonatkoz6 teljes indukci6val tortenik. 13. LEMMA: Ha a, b ~ e, d, akkor (27) I[a, b] ::: I[e, d]. BIZONv!TAsa (26)-ot felhasznalva, a hozzarendeles lepesszamara vonatkoz6 teljes indukci6val vegezheto el. Erdemes megjegyezni,hogy mind (26), mind (27) a lokalisan veges hal6k koreben jellemzi a modularitast. A B. eset bizonyitasa ezutan a kovetkezokeppen fejezheto be: Ha a, b,.e, d-re (a < b, c < d) a (20) feitetel teljesul, akkor (27)-bOl I[a, b]. I[e, d]; igy a 12. LEMMAbOl [a, b]n[e, d] ad6dik. Lathatjuk, hogy A.-ban a tetel allitasanal altalanosabb teteit bizonyitottunk: 7. A. TETEL: Az L disztributiv hal6ban e a, b = 0 e, d akkor es esak akkor ervenyes, ha [a, b] es le, d] projektivek. A disztributivitas ismetelt alkalmazasabol nyilvanval6, hogy ha a, b ~ c, d(a < b, e < d), akkor alkalmas p es q elemekkel (28) (aup)nq=c es (29) (bup)nq=d 8. TETEL: Az a, b ~ e, d (a < b, e < d; a, b,c, del) jeltelel akkor es esak akkor ekvivalens (28) es (29)-eel, ha L diszlributiv. BIZONV!TAs: A disztributivitas nyilvan elegendo feitetel. Kimutatjuk, hogy szukseges is. Tegyiik fel, hogy az L hal6ban teljesiil a tetel feitetele. Belatjuk, hogy e :>- b nem lehetseges. Ugyanis, ha c:>- b, akkor (a up) n q ~ b, tehat aup~b, de ekkor c=(aup)nq=[au(bup)]nq=(bup)nq=d e < d-vel ellentetben.

19 434 GRATZER GV. ES SCHMIDT E~ T.: HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELAcIOI, n. x d :OY b 1. libra c d.0<1>y b 2. libra Ha L nem disztributiv, akkor van az 1., vagy 2. abninlathat6 reszhal6ja; viszont az 1. esetben [(avy)f'\c]va=c es [(bvy)f'\c]va= d; es a 2. esetben: [(avx)f'\ylva...;...c es [(bvx)f'\yl va=d es igy d =a, mar pedig belattuk, hogy d ::> a nem lehetseges. Ez az ellentmondas igazolja a disztributivihis szilksegesseget is. IRODALOM [l] G. BIRKHOFF: Lattice theory, Amer. Math. Coll. Pabl., 25, Revised Edition (New-York, 1948). [2J J. HAsHIMOTO: Ideal Theory for Lattices, Math. }apo.nicae, 2 (1952) , [3J N. FUNAVAMA and T. NAKAVAMA: On the distributivity of a lattice of Iattice congruences, PROC. IMP. ACAD TOKVO 18 (1942) [4] T. TANAKA: Canonical subdirect factorizations of lattices, }. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 16 (l952) :z [5J SHIH-CHIANG WANG: On permutable congruence relations 10, [6J GRATZER Gv. es SCHMIDT E. T.: Hal6k idealjai es kongruenciarelaci6i I., Magyar Tad. Akad. Ill. Oszt. Kozl., 7 (1957) Eotvos Lorlind Tadomlinyegyetem HI. ev. alkalmazott matematika szak. fbeerkezett: VI. 7.) 10 Ez a cikk kinai nyelven jelent meg, ezert nem idezzuk a foly6irat cimet.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Ę ĺ ó ć ő ĺ ő ő ŕĺ ĺ ę ĺő ĺ ó ő Í ő í ę ź ĺ ő í Ĺ ó É Í É ĺ É Í Á É Ü É É Á Ą Á É ů ĺ źę ź ü ý źú ő ő ő ü ő ő ő ő í ö ó ź ő đ Ĺ ő ő ó ó ĺí ó ő ő ő ź ź ó ó ó ü ö Ó ő ő ö ó Í ó ú ó ó ó ź ő ő ú ó ú ö ü ü

Részletesebben

ő ü ó ľ ő ľ Ü Ő ľ ü ü ľ ľ ľ ő ź ő Ĺ ę ö ö ľ ľ ő ó ľ ľ ö Ĺ źýź ü ź ő ö ö ü ő ő ó ö ü źů ü ő ö ö ö ü ů ö ö ö Ĺ ő ü ö ö ü ů ź ó ý ű ö ę ő Ö ź ű ü ü ő ý ę ő ü ó ę ó ó ö ü ö ó ę ę Ü ö ü ź ü ń ľ ö ő ű ö ü ó

Részletesebben

ó í ő ú ó ó ď ó ź ĺ ĺ ü ő ź ď đ ą ą ő ą ó ö ź ĺ ĺ ź ö ő ď í đ ĺ ĺ ő đ ĺ ő ĺ ń í ő ő ő ő ő ö ó ĺ ő ő ő ő ő ő ő ĺ źä ő ĺí ď Ĺí ő ĺ ő ĺ ó Ü ő Ü ő ĺ Ü ź ď ĺó í ő ő í ő ő í ő ő ő ó ď í ő ó ő ő ü ó ó ő ü ő ó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

ú ú Ö ő ú Ż ó ĺ ú ö ő ü ü íĺ ó ú ö ó ĺí í ö łő ź ĺź í ú ź ź ő í ő úĺ ő ő ź ő ú ó ł ő ó ĺ ő ĺ ő Í ź ó ą í ő ú ő í Í ő ő í ó ł ő ó Í ő í ú ĺí ú ü ő ú ű ö ö ő đ ó í ó ö ű ĺ ü ü ń Ĺ Íó ú ó í ő ő Ť ö ó ő ö

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

ü ú ü ü ő ľ ľ Ö ő ö ćĺ ü ő ü ź ö ę ő ü ý ő đ ő ö ö ö ő Á ű ü ý ő ö ę ü ĺ ľ đ Ż Ż ú ľ ľ ő ü ü ľ ľ ő ú Ö ü ý ö ő ý ü đ ń ľ ö ü ľ ő ľ ő ő ö Ą ą Ą Ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ő ő ý ő ő ő ĺ ľ ő ő ľ ő ý ľ ő ö ő ő ö ľ ö ý đ ľ

Részletesebben

ő ü ő ę ü ź ź ĺ Ť ĺ ľ ü ű ö ő ő ő í ź ľ í ü ú ü ö ű ú ö ő ýľ Á Á í ĺí ö ű ű ö ő Á ľ í ľ ü ľ ľ í ű ö ö í Ĺ ĺ ú ö ľ ö ĺ ő Ą ö ő í ő ĺ í ő ý ľ ő ö ő í ő ľ ľ ú ö ľ ć í ő ő ü ő ü í ő ĺ ű ł í ő ő ü ö ź ľ ź ü

Részletesebben

ó ĺ ĺ ľ á ő ü á á ő ő á á ő ę ü ę ĺ ő ľ á ľ á áľ ź Í ü ź á á ľ ő í ü ó É Íľ É á á á Ü á á á á É Í ľ á á á ĺ ľ É Ü É ĺ ż ľ ź Ł ŕ Ö É É É ł É Á ó ĺ á á á á á á ü á á á á á á á á á ü áý á á á á ő ü ő á á

Részletesebben

ú ú Ż ę ęĺ ą ł ő ú Ö ő ü ü ö ó ö ź ő ö ő ó ó ö Á ó ó í ö í ö ó ó ő í ö ü ö ö ü ö ö ú ő Ĺ ö ó í ö ú í ü ö ü ö ó ó ő Ą ö ő í ó ó ü ó ő Ź ö í Í ő í í ö ű ö őł ü í ö ö ő ó ő ő ó ö ö ö ö ő ü ö í í ű ó ó í í

Részletesebben

ľ ľ ů ź ľ ę ü ú ľ ů ľ ľ źú É Í É ĺá ĺ Á Á Ü ľá ĺáľ Ą É Íľľľ ą ľ ą É Ü É ł É ł Á Ą ĺ ą ł ĺ ľ Ł ĺ ł ľ É ľ ĺĺ ľ ľ ź ź źí ľ đ ý ľ Ĺ ź Ó ľ ľ ĺĺľ ľĺ ź ű ĺ ĺ ĺľ ľĺ ľ ľ ú ľ ĺĺ ö ź ź ú ľ ú ź ľ ź ú ľ ą ś ĺ ĺ ź ź

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

ú ľ Ę ú Ü ó Ą Í ő ź ť ö ľ í í ľ ú ý í ő ú ľ í ź ę í ľ ö ó Š źľ ĹÍ ö í ö ő ó ó ö í ú ł Á Á ľ Ü Ü ő í ő ú í ő ő Ó í Ü Ó Ü ú Ü Ö Ó Ö Ö Ö Ó í Ö í Ó Ö í Ü Ö Ó ó Ó ä Ö í Ö í Ü Ó í Ö Ü ö í ő Ö Ó Ü ó Ö Ó í Ó ó

Részletesebben

ő Ĺ ó ľ ĺĺ ü ő ő ľ ĺő ľ ó ö ö ľ ĺ ľť É ĺ ĺ ľ ü ľ ü ľ ľ ĺ ó ĺ ű ö ľ ő ľ ľ í ľ ő ő ü ő í í ü ľ ĺ ó ö ü ĺí í ő ĺĺ í őđ ľ ů ő ü ź ľ ó í ő ü ĺ ö ó ő ź ĺ ö ó í ő ľ ü ó ó ó ó ó í ü ő ó öľ ę ü ľ ó Á ó ö ö ľ ő

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

ő ľ ő Ö ź é ő é é é ü ĺ ó ö ö é ľ é é ü ĺ ĺ ĺü é éľ ľ ó ľ é ľ Í é ü ľ é ó í ľ ő ő ĺ ü ő ő é í ü ő ő ľ ü é ľ é ú é é é ü ó í é é ü ő é é ő ü ű ź ű ö ö ó ö ö é ľé ő źĺ ó ľ é é ő ú é ö ź é ę é ę ü é é í ľő

Részletesebben

ú ú ľ Ż Ż ľ ľ Ú ő ľ ú ľ ő ü ľ ü ľ ö ľ ű ö ú ĺ ć őą ł Ö ö ö ö ö ö ű ö ü ö ľ öľ ĺíł ü ü ű ö ľ ł ľ ĺ Ä ľ ĺ ľ ü ö ő ő ľ É ö í ĺ í ľ ľ ö ú ľ Ż ú ľ ú ő ű ľ ľ ő ľ Ö í ü ü ú ľ ľ ľ ĺ ĺ ľ ľ ľ ú ű ő úľ Íř Í öľö ń

Részletesebben

ú ľ ľ ä ú ľł Łř äľľ ź ź ó ľ ú Ö ö ó ó ó ź ę ő ö ő ö ó ö ę ó ó óö ö óö ö ő ő ő ő ć ö ó ő ő ó ö Á ľ ö ó ő ő ü ö ű ö ő ö ó ľ ú Ö ü ű ö ö ö ń ź ü ľ ö ľő ő ü ę ö ő ó ö ö ö ę ľü ľ ö ü ö ö ó ü ľ ö ö ú ö ő ő ź

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

ĺ ú ő ů ő ő ú ü Í Í Ó ú ö ő ü ő őł ő ó ĺĺ ń ú ĺ í ĺ í ő ő ő ö ő ó ő ő ĺ ő ő ö í ő ó ĺ ő ő ĺĺ ĺ ĺ ĺ ó ĺĺ ő ő ĺ ő ĺ ő ő ú ĺĺ ĺ ĺí ĺ ő ĺí í ó ó ó ü ĺĺ ő ő ł í ő ő ĺ ő ő ő ő í ĺ ó ő ő í ő ő ł í ő ő í ú ź ĺ

Részletesebben

ő ő ü ĺí ĺő ü É ü ü ź ö ď ő ź ő ő Á ő í ź ĺ í ĺ ö ĺ ö ü ę í ĺ ő í Ü ö ö ť ö ú ő ÍÍ ö ű ö ő ő ü Ö ö ö ĺ Í ő ű ź ź í ő ü ű ö ü íüí ő ö ź í í ö ő í ö íĺ ő ź ű ź ź í ź ő ű ö ů źú ő í ü ö ĺ ő í ź ű ź ý ő ö

Részletesebben

ő ü ó ź ő ő ő Ü É ő ő ő í ó ä ü ő í ő í ü ź ő ú ö ő í ő ö ů üö ő ö Ĺ ü ő ő í ő ó ü ó ó ő í ó ý í ü ö ý ę ź ő ó ö í ź ő ő ő ź í í ü í Ĺ í ö ź ü ó ü đí ó ő ü ó ź ó ć ú Ĺ í Íí ú í Ĺ ó í í í í ó ú ź í í í

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

ő ęľĺ ő Ö ľ ő ü ő ő ü ę ó ú ü ľ É ó ö ľ ő ő ő ź ó ľ ő ľ ő ź óľ ő ľ Í ü ő ź ő ź ź É ó ö ú ó ü ö ö ü ö ű ź őľ ľ ő ű đ ö ö đ ő ú ľ Ĺ ř đ ľ ő ő ę ľ Ĺ ó źú ľő ź ó ő Í ő ő ń ő ľ ľ ľ ľ ő đ ö ö ź ü ľü ę ű ę ú

Részletesebben

ł ĺ ť Ę ą ů ú Ö ü ú ü ĺ ó ó Í ö ĺ ó í ó ü ł ĺ íí ĺ ú Á ú Ö ó ü ö í ó ó ó ú ö ź ö ö ó ä ö ó ó ó ö ö ö ö ú í ó ú ó ü ó ó ö Ö ű ö ł ó ó ü ö ĺ í Ö ű ö ö ó Í ĺ ú ú í ö ú ü ú ĺ ó ú ö ö ú ó ű ű ó í ú ń í ú ű

Részletesebben

đ ő ľ ü ó ľ ľ ź ő Í ő ő ľ ő Ő É ú ü ó ľ ő ő ő í ó ü ľ ö ú í ü ő ó ľ ę ó ń ź ę ľ ő ü ľ ü ó ő ó ő ü ľ ó ő ü ó ľ ó ľ ü ú ö í ľ ő ö í ź ľ ľ ő ő ź ľ í ľ ľ ľ ľ ó ľ ü ó ľ ü í ó í ő ó ľ ü í ó ó ő ö őď ę ü Ą í

Részletesebben

ú ľ ú ź Ż ľ ľ ľ Í Ó ú ľ Ö ő óľ ľ ő ľ í ó ű ő ĺő ľ í ő ó ä ő ó ő ó ĺ ó ľ ź ľ ő ő ľ ő ő ő ó ő ľ ő ľ í í ő ľ Źő í ó ł Í ő ú Í ĺ ĺ ó ź ó ó ó ľ ó í ľ ľ ĺ ł Đ ő ľ ĺ ľ ő ő í Ö í ő ĺź Ü Ü ó ń ý ĺ ľ í ľ ó ő ĺí

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

ú ú ú ő ü ö ö ő Ó ő ü ö ő ó ó ö ü í ö ö ú í ű ö ó ö ó ö ó ó ó ó ö ü ö ű ő ő ö ö ú ó ó ú ú í ű ź ó ö í ő ö ó ĺí ó Í ö ü ű Í ö ö ú ú ú ť ő ő ú Ö ő ü ü ó í ł ĺ ł ő ü ź ĺ ö ő ő ő ö í ő ö ü ö ő í ü ö í ę ő

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

šď Ř ľ ľ źł ő ü ź ľ ő ő ĺ Í ľ Á ĺé Éľ É É ł ĺľ ő ü ľ í ľ ľ ü í ő í ü É Í ľ É Í ľ É ł É É ą É Ú Ą ć É Í ľ Ü Ő Éľ Ü É ą Ł ą ą ĺ ĺ É Ą Ą ľ ĺ źí ź ľ ü ő ü ő ń ĺ Ó ő ő ü ü í ú ö ö ľ í ö ú í í ő ö ú ő ö ö ő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Ú ľ ö ľ ř ľ ľ ú ľ Ö ő ü í ö ő ö ö ö ö í íľ í í ö Ś Ś ö ő í í í ú í ú ź ű ľ ő í ű ú ľ ö í Ö ú í ö ö í ú ű ö ú ö ľ í ľ ú í ö ö őí í ú ö í ú í ő ú ú í í ú ú í Ú ú í őí í ľ ú ú í í ő ľ í ú ú ľ ú í ű ö ö ö

Részletesebben

ó ľ ő ü ő ľ ő ľ ľ ő Ĺ ü ő ľ ľ ľ ł ľáľĺ ú ľ ü ć đ ő í ÍÍ É Í ą É Ü ľ É Íľ É Ü É ľ ľ Á ü ľ Ą É É ň É ĺ É Á ĺ Óľ Í ł ľ ü ć ü ý ő ó ľ ĺ ĺ ő ő ľ ú ľ í ó ű ź Í ľ ó ó ľ í í ó ó í ő ó ďí ő ĺ ú ź đ ö ö ú ő ö ú

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

ú ľ ľ ú ľ Ńř ó ľ ą öľ ő ń ö ú ľ Í ü ö ľ ó ľ ľ ř Ę Ę š ő ü ű ö ľ ő ő ő ľ ľ ö ľ ö ö ü ö ő ö ő ő ó ó ö ľ ľ ľ ó ő ó ľę ű ö ö ö ö ó ö ő ó ö ö ő ó Í ö ü ő ź ü ů ő ö ü ő ę ő ó ľ ľ ö ü ľ ó ľ Á ó ő ö ó ö ő ö ó

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

ő ľü ő ľ ś ü ą ľ ĺ Ő ľ ü ľ ľ ü ĺ í íí í ĺ ľ ľ ľ í ő ľ ő í ľ í ĺ ö ö ú í ö ö í ö ő í ĺ ü ł ľ ľ ľ ő ü Í ö Ü ö í ő ű ő ő ú í ü ú ľ ö ő ö Ü ö Íő ľ ű ö ő ľ í ú ú ü ľő ö Í ő ö ľ í ĺ ő Ĺ ú í ő ő Ą ź ď Í ü ľ öľ

Részletesebben

ő á ľü ő ź ź ő Ĺ á á á á ő ľ ő ľ ľ í á á ńá ő á á á á í ź ĺ ĺ ľ á óĺ á á ő ő á ő í ó á á á źĺ í ü ö á ú Í ü á á á á á ő ľ ó íľ á ó á á ź ľ ü ĺ ó á ó ő ľ í ľ ĺ ő ő ľ á ó ľ ü öľ á í ź ĺí á á á ť í ü á í

Részletesebben

ü ú Ö ű ĺ ú ö ö ü ĺ ű ú ö ę ö ö ę ĺ í ę Á ö Ó Á ę ú ŕ ö ę ö ö ö ĺ ť Á í ü Ĺ ü ö ü í í í í í ĺ Ö ű ú ĺ ł ö ü ö ű ĺ í ü ę ö í í ę ę ö ę ĺ ö ö ĺ ĺ ö ö í Ę ĺ ĺ ź ś ą ĺ ĺĺ ćą ĺ ĺ ĺ í í Áĺ ö í ö ü ű ö ü ď í

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

ľ ü ú ľ Ö ő ü ľ ö ö ö ó ő ü ü ę ę Á ó ľ ľ ó ó ő ó ü í ť ó ó ő ö ö ü Í ő ľ ö ó ü ő ő ó ü ő ź ľ ö ő ő ú í ü ő ő ő ó ő ľ ú í ó ó ź ő ú ő ő ó ę ő ľ ťő í ľ ő ő ő ü ü ő ú í ö ö ú ó ő ü ó ń ú í ľ ö ő Í ő ö ľ

Részletesebben

ő ó ĺ ő ü ü í Ý š ü ö ó ő ő ó ü ő ő í ĺ ü í í ő í ü ľ ö ĺ ő Í ő ü ö ö ő ę ő ő Í ľ ó ľ ĺ ó ź łó ó ĺ ó í ő í ő ü ľ ĺł ĺ ö ó ü ő ó ú Ą ř ö ľ ł ľ ľ É Éľ ó É É ú ü ü ő ü ó ń ő ü ő ő ź ö ő ü ő ľ í ĺ ó ü ú í

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

ó ę ö ú ľ ľ ú ľ ő ő ú ó ú ľ Ö ľ ő ľ ű ľ ľ ó ö Í ľ ó ő ő ő ź ő ő Ĺ ú ó ü ü ľ ü ú ö ü ú ö ź ú ő ü ö ú ö ó ľ ľ ő ő ŕ ő ź ő ľ ő ü ó ú Ĺ ľ ö ö ł Í ľ đ ö ľ ü ľ ö ő ľ ú ö ó ű ó ľ Í Í ľ ő ő ő ŕ ő ő ó ó ő ó ó ő

Részletesebben

ő ľ ľ ó ľ ľ ľ ü Ü Ü ĺ ü ő É ü ľ ĺ ľ ł ľĺ ľ íľ í ő ő ü ź ő í ľ í ü ľ ö Í ü ü ó đ ő öĺ ľĺ ó ő ő ő ľ ľü ź źąź í ö ľ ó ľ ö ő ĺ ö ů ů Í ő äí ľ ľ ó ó ó ĺ ü ą ľ ó ó ó ą ő ö ý í ĺź í ö ü ľó í ł ó í ü ĺź í ő ő

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

ú ú Ö ĺ ú ś Ż Ż Ż ł Ęą ę ą ą Ę ö ä ĺ ó ú Ö ü ó ü ĺ íĺ ó ĺ ú ö í ĺ Í ĺ íĺ ĺ Í ĺź ĺ ú ú ĺ ćí ĺ ĺ ćĺ Ó ě Ĺ ó í ł ü ó ü ö ú ú ń ú ö ń Í ú ĺ ĺ úđ ú ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ł ĺ ĺ Íł Íó ű ú ú ĺ ć ĺ ĺ ó ó ó öý ó í ł ĺ ćí ĺ

Részletesebben

ó ľ ľ śś ü ľ ľ ľ ľ Ĺĺ ľ í ó ľ ó í ľ í ü ľ źů í Ę É Í ó É É Á Á Ü Á ĺ É Íľ ľ Ü ľ É ó ĺá É Ü É Ą ł Á Ą É ľá ĺ ą ŁÁ ľľĺ ą ů ĺ ĺ ź ľ ü ó źń ĺ ď ó ź ú ó ü ę ź ű ź ź ĺí ę í í ľ ź Ĺ ó í ľ í ĺĺ ó í ĺĺľ ź ń ľ ľ

Részletesebben

ę ó ľ ő ő ő ü ü ő ľ ľ ĺí ľ ý ü ő í Ĺ É Í É É ó Á ĺ ľé É É Íľ ľá óé Íľ ł É Íľ ľ Ü ĺľ ľ ł ľ ö É Ő ĺ ľé ĺ ľ Éľ Ü É ľ É żä Ł ľľ ľĺ ď ľ ĺ ľé ľ ľ ůĺ ĺ ĺ ĺ ő Ĺ ő ę ĺ ő ó ľ Ĺ ľ ľ ő ó ľ ľü É í źů ő ő ő ĺ íö í ó

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

ő ľ é é ĺ Á Ü ľ Á ľ ľĺáľ ú ľ ľ á É ĺ í é á é Í é é ľ É ľ ľ í éľ é á ő ő á ö í é ő é á í é ý á ń ó ö ö ó ľ ľ ľľ ľ ć á á á á é é é é ö í é á ľ ő á á é é é é á é é á é é é á ő á ő é á á ő á ő é á áú é ő ó

Részletesebben

ő ľ ó Ö ő ü ő ő ó ď ö Ő ü ü ľ ó üľ ő ľ ľ ő ľ í í ő ľ ő ó ę ź í Í ó ď đź ő í ľ ľ í ö ü ő ö ó ö É ü ľ ľ ó ľ ź ť ü ó ö í ő ú ý ő ö ú ó ľ ú ľ í ő ö ö ó ź ľ ö ú ú ő ó ů í ó ľ ę í ö í ó ö ö ó ő ű ź ź Á í ó ő

Részletesebben

śň ř Ł ú ľ ú ü ő í Ö ő ľ ü ö í ő ü í Ĺő í ľ ľ í ő ľ ľ ő ú ő ö ú Ú ő í Í ő ö öľ ű Ö ö ü í ť ü ö ő í ľĺ í ő ö ő ľ ő ľ ü źł đ ú ú ú ü í Í í ü ľ ľ ľ ü öľ ú í ő ľ ő ö ľ ő ľ ľ í Ł Ą í ö ő ľ Ą ľ ľ ľ Í ú ö ľ ľő

Részletesebben

ó ü ĺ ü ó í í ü É Í É Íó É Á Á Á Á ä ć É Ü É Á ń ż ÜĹ ł É Ü ĺ É Ü Á Á ý É ü ü ó Ü ĺ ó ó ö ó ö ö ü ó í ű ó Í ó ö ó ö ö í źł ö ť ź ó í í ĺ ú źú ź ű í ö ę ú ó ó ÍÍ ŕ ää łá ą ź ö ö ó ö í í í í ö ö ö ö ó ĺ

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

ú ľ ú ľ Ż ł ľ ľ ő ľ ľ ő ü ü í ü ö ľ í ő Á ľ Íö ő ü ő ö ľ ő í ö ľ őí ľ ę Í öí Í ő í ő ľ ö ú ű ő ö ľ ę í ľ ľ ő ő Í í ľ ö ľ í őö ő ľ ľ í ľ ő ő ü ľ ľ ö ú ő ť ł ľ ű Í ő ö ö ő Í ć ö ő ř Í ę Ż ä ł ö ł đ ął É

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

ó ľ ľ ś ľ śíę ľ ę ąľ Ť Ť Ť ő ľ ő ź ő ő ü ő íľ ľ ľ śää Ĺ í ü ľ í Í É ľ É ľ ľá É É Íľľ ľ ľ Á É Ü É É ł Á Á ľ ü ü ő ü ő ő ü ő ó ľ ľ ź ľ ľ ü ľ ů ő ö ö í ö ľ ő ľ ľ ó ü í í ź ő í ľ ľłô É ľé í ü ó í í ó í ľ ó

Részletesebben

Í ľ ťę ó ľ ĺ ő ĺ ő ő ľ ĺ ľ ľ ü ü ő ó ľ ľ ľ ľ í ľ Úĺ ľ đ ĺ ťľ ę ľ ĺ ť ő í Ĺ ĺ É Í ó ľ É É ł ł ĺ ó É Í ľľ Ö Ö É Ü É ń Ä ł Á ł Ö É É É ł ŕ ł ŕ É Á ĺ Ó ő ľ ü ĺ ź í í ź ć ü ý ő ĺ ő ń ĺ ü ő ü ó ľ ź í Á đ ľ ü

Részletesebben

ő ĺ ő ő ő ő ő ő ĺ ü üö đ í ĺí ü źúź í ź ö ť í Ĺ É ĺ ĺ ĺ É Á ĺ Ö Ü ĺ É Í Ü É É Ü É É Á ĺ ĺ ů ĺ Ú ź ď ĺ ą ő ĺ ő ő ź ú ö ö ĺ ĺ Ĺ ű ö ĺĺ đ ź ĺĺ ĺ Ĺ ú ü źů í í ö đ í ĺ ü ĺ ö ü í ź ź ĺĺ í ęťĺ ő Ĺ ĺ ĺĺ ö ö ő

Részletesebben

ő ľ ü ő ü ő ľ ő Ü Ü ľ ü ľ ľ ú ü ľ ľ ő ő ű í ő í ü íľ Í ü Ś Ę ľ ü ľ í í ö ő ľ í ü ő ő ő ľ ő ű ź í ű ü ű í ý ü ő í ő ľ ő í ľ ő í ľ ü ő ú ľ ü ő ü ę í ľ ľ ő ľ ú öľ ő ľ ő ő ö í í ö ú ź ö ö ú ű ő ö ö ő ľ ľ ö

Részletesebben

ć ö ö ö đ ę ť ö ü Í ö ęü ö śđ Ą ö ę ö ď ö ś Ű ö đ ö ü ť Ś Ę ü ä ä ě Ŕ ż ę äí Í Ą ö Ę ń Í ű ö Ĺ ű ń Í ę ű ź ä ű Đ ń ö Ę đ ź Í Í ű ö ę ö Í ú ú ě ú ě Í Í ť Ű ę ŕ Ľ Ą Ż ü ź ě ű Đ Ö Í Í ś Í Á ö Ł ą Í Ł Í Í

Részletesebben

ú ú ę ű ő ĺ ő ĺ ü ö ö ó Ł ĺí ĺ ú ĺ Í ö í ĺ í ĺ ů ó ű ĺď ő ő ĺ ő ő ő Ż ó ĺí ĺ ö ő ó ő ő ö ő ó ě ů ő ń ő ő ő ó í ő í ő ź ő ó í ń ő ĺ ő ń ő ő ń ĺĺ ö ő ő ő ő í ő đ ó í í ő ö ź ó ő ő ő ü ĺĺ í ő ő ł ő ő ő ĺ

Részletesebben

ú ú Ż ń ĺ ĺ ú í ĺ ĺ ü ó ó ó ö ĺ ö ó ó ó ĺ í Á ú Í ö źĺ ĺ ó ó ó ö ý ö ĺ ú ź ö Ü ö ř Đ ź í ú ź ö ü ö ö ź ö ö źú ö ö ú Ż ó ü ö í ö ö ó ĺ ź ü ö Í ö ź ó ú ö í ę ö ź ö ö Ü í ú ö ó ö Ü í źń ĺ ź ó ú ź ö ö ö ź

Részletesebben

ć Ľ ö ú ľ ľ ľ ú ľ Ö ő Đ í ú ľ ł Ęą ę ą ů Ü ú ľ ľ ő ü ĺ ü ľ ľ íĺ ľ ľ ľ ĺź úö í íľ ĺ ö ĺ ĺ ź ĺ í ĺ ú Í ĺ ĺ ĺ Íľ ő Á ő ľ ĺ ľ ő ĺ ĺĺ ő ě ĺ ú ľ ő ü ő ń ú ö ľ ő í ľ ú ľü ľö ń ú ö ĺ Ź ľ í ĺ ćí Á Á Ú Á Á Á ő ź

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Ö ü ú Ö ü ĺ ĺ Í ő Ą ü ü ö ł ő ü ő ö ö ü ő ü ĺ Í ü ö ü Ú ö ö ü ę Í ę ű ę ö ę ü ü ü ö ü ő ü ö ő ö ü ű ö ĺ ö ĺ ő ő ü ý ő ł ü ö ő ő ü ü ö ł ü ü ĺ ü ü ő ü ö ő ü ĺ ő Ĺ ü ő Ż Ü ö ý ý ł ö ö ő ü ö ł ő ü ý łĺ śż

Részletesebben

ú ú Ę ć ô ř ú ł Ż Ż ó ú ü ű ó ú ö ó ó ö ó ó ĺí í ó ó í ĺ í ú ó ú ö ł úí ú ó íł í í ĺí íł ó ó ó ź ź í ł Í ű ô ú ó í ú í ű ó ř ř ć ü ö ü ö ę ö ä ö í ö ó ó É ą ó ź ú í íĺ ĺł ó í ó íł Ä ł ä í ć ź ú ó ó ó ó

Részletesebben

ą Á ĺó Á Á Ü Á Á Ü Á í ĺ ű Ü ő ó ę ú ö í í Ü í í ĺ í í í í Ü ĺ ó ł ő ö ö ó í í ó ő ĺ ů í ę ĺí ü ü Ĺ ü ő í ó ó ő ĺ ő ĺ ü ő ő ü ĺ ó ö Ü ő ő ő ĺ ő ó ĺ ő ę ő Í í ń źů í ü ź ö ü Í Í ńź ő ü ő ź ó ö ö ź ő ő

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

łä łĺ ś ľ ő ľü ó ő ü ľ ĺ Ü Ü ł Őľ ĺľ ľé ľ ü ľ ü ľ í ő ű ö ľ í ľ ő ő ű źů ő í ő É í ü ĺľ ö ü ľ í ó í ľ ĺ ĺ Í ő ü ź ű ź ö ú ő ĺ ź ź ý í ő ź ű ź ú ö ö ő ő őľ ő ö ö ö ľ ľ ó ő ľ ó í ü ľ ľ í ö ő ľ ĺ ö ľ ĺ ő

Részletesebben

ő ő ź ź ő Ĺ ź ő ő ĺ ü ĺ ľ ĺ ľ ú í ú í ľ í í ĺ ľ í üľ ú ő ľ ő ó í í ľ í ü ö ź đź ü ł ľ ľ ü ź ő ö ő ü ĺí ź ő ľ ĺ ĺí ó ő ź ĺ ź ő ľ ő ĺ í ó ó ő í ń ó ľ ź ĺ ĺ í ľľ ĺ ľĺ Ĺ ű ú í ľ ĺľ ľ ú ľ ľ ĺ ú í ó ľ ľ ó ľ

Részletesebben

ő ľ ó ő ü ĺ ś ĺ É ü ĺ ü ľ ť í ľ ő ľ ó ľ ý í í í í ľ ĺ ö ľ í ľ ő ő ź ő í ü ö ö ü í źů ź í ź ő ő ó ó ö ź ľ ľ ó ľü ó ľ í í í í ő ĺ ľü í ą ľ ó í í í ľ ö ö ó í í í ä í ź ľ ó í í ľ ĺ ü ľ ź í ö ľ ü ĺľ íĺ ó ö

Részletesebben

ľ ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ í ľ ĺ ľ É ľ ö ľ ĺ É ö ö ľ ĺ ý ĺ ú í ĺ ł ł ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ Í ĺ Ęĺ ľĺľ ľ Á Á Á ľĺ ĺú É ĺ ľ ĺí Ö ľ ű Ü ĺľ í ď ĺ ĺ ľ ľ ź Ü ĺ ĺ ĺ ľ ö Ę Ę ľ ĺľé ľĺéľĺ É ľĺľ ĺ Á Ó É ü í ĺ ĺ ĺ ľ í ł É ĺ É Éľ łľ ů

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

Ą ó áľ ľ á ę ĺ łłł ő ľ ő đ á áľ ľ ő ő ü ü ő á á ľ á đ ĺ á ü á á ź ĺ Ĺ É Í É ĺá Á Á Ü Á É Í ľľ ó ĺ ľ ĺá Éľ Ü É ĺ Éľ ĺą ĺ ł ľ ĺ ľé ľ ĺ Á ĺ á á á ü á á á á á áĺ á á ĺĺĺ á á ü á á á á á ő ő á á á ő ü ó ę á

Részletesebben

í ń Ę ö ú Ö ú đ ł ú Á í Í ĺ Á ĺ ĺ ö ű ö ö í ú í ń í ü í Í đ Ĺ ö Í ŕ í ť Í ź ú Ĺ ę ú Ą ł ű ź ł ĺ í ť ĺ ĺ ú ö ö ú Ö Í Ĺ ö Í ö ĺ Ż í ü Á í í ö ö ö Ĺ ú Ö ö ö ú ö ö ĺćíĺ ł íĺćí ę ĺ łę ę ĺź ć ĺ ĺ ĺ Ł ę ĺ ą ĺ

Részletesebben

ł ó á á é ő á á ő ő é é ő é ő ü é ö ł ľ áľ í í á é é ź ü é é á ź ę ęť ő í é é É Íľ É Á Ü ą É Í ľ ą ó Ü ľľľé ÉŃ Ü É ľ ń Á ąą ł Éľ É É Ą É ŹÁ ł Í á á á é é á é é á á á á é é á á á ź á á á é é ü áý á á á

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Ö ü ú Ö ü ú ĺ ö ĺ ĺ ü ü ę ü Íě Ü ĺ Ö ü ü ę ü Í Í ö Ú ö ü ü Á ĺ ü ö ü Ĺ ü ö ü ö ú Ĺ ť ö ę Í Í ü ü ü ú Í ö ĺ Í ü ę ü ĺ ö ü ĺ ö ü ö ú ű ö ü Í ö ü ö ö Í đ ĺ Ü ú ü ű ź ą ĺ ĺ ĺ ĺ Ż ę ü ü ö ö ü ü ĺ ü ü ü ö ü

Részletesebben

ĺ Í ĺ ű ö í í ö í ö É Í É É í ú É Í Ö É Ü É Á ł Ĺ ŕ Á É ĺą Á ł Á ł ĺ ź ź ĺĺ ú ź ĺĺ ű ź ź í ö ö ö ĺ ź Ą ö ź ú í ĺ ö ĺ źĺ ö í ö í í ú í ĺ ź É Ú ää Ĺ ú í ö í ť ę í ö ú í ä ť í í í ö íĺ źů í ť ĺ í ö ö ä í

Részletesebben

Ł Á ó ł É Á Á Ą ő ő í ő ö í Í ĺ ó í ő ó í ő ó ó ó Á öľ Á í í ó ú ĺ í í ĺ ó ő ú ő ő í í ő ö ú í É ü í ő ö Í ó É Í ő ó ó Ą ő ő ó ę ú í ü í ő ö ö í ő ő ö ő ö í ő ő ĺ ő í í ó ó í ú ő í í Í ó ü ú í ó Ą ő í

Részletesebben

ó á Ö ľ á é ő á á ĺ ĺ ő ľ ő á é á á é ö é é ő ő ő ö ľ á ľ đ ó í á áľ é é ł é é éľ ő é á í á ü é á á á é á á á ĺ Í Ĺ é Ĺ é É Í É É Ü Ü ľá ł ĺĺ É Í ľ Ü ĺľé ĺ ľá É É Á É É Ü É É Á Ĺ ŕ Ę É É ľ ĺ ł ľĺ áľ á

Részletesebben

ő ľĺ ó ľ ü ő ü ő ľ ő É ü ü ľ ó ó ó ó ő ő ó ü ő í ľ ő í ü ö ö ő ľ ü í ó ó Í í ó Ĺ ő ĺ ľ ĺ ź É ő ľ ľĺ ó Í ó ó ó í ľ ő ľő ő Ĺ öľ ő í ü ĺ ĺ ľ í ó ö ó ľ ľ ľ ü ű ö ö ő ľ ľü ó ľ ó ó ö ö ő í í ő ő Ĺ ľ ő ě ľ ó

Részletesebben

Készült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával. 2010. november

Készült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával. 2010. november A 2 -e g y b e n, 3-e g y b e n c s o m a g a j á n l a t o k f o g y a s z t ó i m e g í t é l é s e é s h a t áv se a r s a e n y r e a h í r k ö z l é s i p i a c o n Készült a Gazdasági Versenyhivatal

Részletesebben

É ú ő ú Ö ő ü ü ú í í ö ő ő ő ü ć í Í ú í ű ü ő ő í ő ő ő ö ő í í ú í ű Ĺ ő í ő ő ú ő Ĺ ő Í í ő Ĺ ú ú í ű Í ü ő ő ę ü í í í í í ö Ĺ ő ö ő í ö ű Í ö ú í ű ő ö ú ú Ö ü ö í ö ű Ü ű ö ú Ö ü ę ę ő ú ü ę ő ö

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

ä ú á á á á á ú á á á ĺ ę ą ą ú á á á á ĺ á ĺ ĺ á á á ö í ů á á á í ł ü ü á á ĺź ĺ á á ó Źá ó á ű ö á á ó í á á ó á ä ü ú á á á á á ü ĺí ü ö áĺ ü á í á ó á ö á á á ó ü á ö á ĺ Ż Ż á í ö Á ź í á á á á ö

Részletesebben

ó ľ ő í ő ľ ő ĺĺ ő ü ő ľ ó ő ĺ ľó ý ü ĺľ ö Ĺ É Í É Á ľ É É É Íľ Ü Á ą É Íľ ľ Á őň Íľ Éľ Ü ĺ É É Á Ę ľ ĺ ľé ł ĺ ľĺ ľ ĺá ĺ ł ő ľ ĺ ü ĺ ľ ő ď ľő ő ő ź ĺ ĺ ő ü ľő ó ó ü ť ę ü ľ í ö í ü ü ö ő í ü ľ ź öĺ ź ő

Részletesebben