Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "e-mail: laszalay@ktk.nyme.hu"

Átírás

1 Page 1 of 42

2 tengeralattjáró, irigység, -lap, -láz, -ház, -répa, rózsa,... Page 2 of 42

3 1. Logikus gondolkodás Fogolydilemma ill. Börtönparadoxon A rend rség elfogott két b nöz t, akikr l tudják, hogy egy súlyos b nt követtek el. Sajnos közvetlen bizonyíték nincs arra, hogy valóban ez a két ember volt a tettes, de az elfogásukkor történt gyorshajtásért mindenképpen felelniük kell. A bíró miel bb szeretné lezárni az ügyet, ezért egy ajánlatot tesz a külön cellában elhelyezett foglyok mindegyikének. Azt is elárulja nekik, hogy az ajánlatot a másik társuk is megkapja. Végül a bíró kinyilvánítja, hogy másnap reggel pontban 8 órakor várja a döntést. felvetés: M. Flood and M. Drescher (1950) elnevezés: A. W. Tucker (1951) Logikus gondolkod... Page 3 of 42

4 Logikus gondolkod... Page 4 of 42 Mit döntene Ön?

5 Vall Nem vall I: Vall ( 5, 5 ) ( 0, 10 ) Nem vall ( 10, 0 ) ( 1, 1 ) 5 < 10, 0 < 1 = vallani fog Logikus gondolkod... Page 5a of 42

6 Vall Nem vall I: Vall ( 5, 5 ) ( 0, 10 ) Nem vall ( 10, 0 ) ( 1, 1 ) 5 < 10, 0 < 1 = vallani fog Vall Nem vall II: Vall ( 5, 5 ) ( 0, 10 ) Nem vall ( 10, 0 ) ( 1, 1 ) 5 < 10, 0 < 1 = vallani fog Logikus gondolkod... Page 5b of 42

7 Másik logikus gondolatmenet: Mindkét b nöz ugyanúgy gondolkodik Egyik sem vall! ELLENTMONDÁS Fogolydilemma helyzet nem létezik! Logikus gondolkod... Page 5c of 42

8 Egy 'emberibb' megközelítés feloldás Logikus gondolkod... Zarahustra (i.e.???): "Az a helyes, ha az ember nem m veli mással azt, amir l nem akarja, hogy vele m veljék." Konfucius (i.e ): "Amit nem akarsz, hogy veled megtegyenek, azt te se tedd mással!" Jézus: "Mindazt tehát, amit akartok, hogy nektek cselekedjenek az emberek, ti is cselekedjétek nekik." (Máté evangéliuma, 7. fejezet.) Page 6 of 42

9 I: Vall Nem vall Vall ( 5, 5 ) ( 0, 10 ) Nem vall ( 10, 0 ) ( 1, 1 ) Logikus gondolkod... Page 7 of 42 5 > 0, 10 > 1 = nem fog vallani

10 2. Számítógépek és matematika Egzakt gondolkodás Feleslegessé teszik-e a számítógépek a gondolkodást? (pl. négyszínsejtés) Számítógépek és m... Page 8 of 42 Moore törvény: Kétévenként (másfél évenként) megduplázódik az integrált áramkörökbe tett tranzisztorok száma.

11 Moore törvény: gyorsabb, nagyobb kapacitású gépek nagyobb mennyiség számolás Kár lenne a bonyolultabb matematikai módszereket forszírozni? ÉPPEN FORDÍTVA!!! A techikai haladás olyan új problémákat hoz a felszínre, melyeket csak komoly matematikai módszerekkel lehet megoldani. Pl. ˆ háttértárolók ( hibajavító kódok), ˆ adatok, üzenetek, pénzügyi tranzakciók biztonsága ( kripotográa), S. Singh: Kódkönyv ˆ internet ( nagy hálózatok elemzése). Számítógépek és m... Page 9 of 42

12 Számítógépek és m... Barabási Albert László: Behálózva, Villanások Csermely Péter: A rejtett hálózatok ereje Lovász László, Vicsek Tamás Page 10 of 42

13 Hatlépés távolság törvénye (Karinthy Frigyes: Láncszemek) "Egyébként kedves játék alakult ki a vitából. Annak bizonyításául, hogy a Földgolyó lakossága sokkal közelebb van egymáshoz, mindenféle tekintetben, mint a- hogy valaha is volt, próbát ajánlott fel a társaság egyik tagja. Tessék egy akármilyen meghatározható egyént kijelölni a Föld másfél milliárd lakója közül, bármelyik pontján a Földnek - fogadást ajánl, hogy legföljebb öt más egyénen keresztül, kik közül az egyik neki személyes ismer se, kapcsolatot tud létesíteni az illet vel, csupa közvetlen ismeretség alapon, mint ahogy mondani szokták: Kérlek, te ismered X. Y.-t, szólj neki, hogy szóljon Z. V.-nek, aki neki ismer se..." Számítógépek és m... Page 11 of 42

14 Számítógépek és m... Mér László: Mindenki másképp egyforma, Az él pénz. Page 12 of 42

15 3. Page 13 of 42 Wallis ( ) vezette be 1655-ben (lemniszkáta)

16 ÓKOR ˆ India, Görögország: lozóa megközelítés 1. az id vég nélküli, a tér határok nélküli 2. az id és a tér vég nélkül felosztható ˆ Eleai Zenon (i.e ): a véges és végtelen paradoxonai 1. Nyílvessz 2. Akhilleusz és a tekn sbéka Page 14 of 42

17 Akhilleusz, a mürmidónok vezére versenyt fut egy tekn ssel. Mivel nagyon gyors, magabiztosan száz láb el nyt ad ellenfelének. Elindul a verseny, Akhilleusz kis id múlva odaér, ahol a tekn s kezdett. Id közben azonban a tekn s is haladt egy keveset, talán pár lábnyit. Page 15 of 42

18 Akhilleusz néhány újabb lépéssel ott terem, ám ezalatt a tekn s ismét halad egy kicsit, és még mindig vezet. Page 16a of 42

19 Akhilleusz néhány újabb lépéssel ott terem, ám ezalatt a tekn s ismét halad egy kicsit, és még mindig vezet. Page 16b of 42 Akármilyen gyorsan is ér Akhilleusz oda, ahol a tekn s egy pillanattal korábban volt, amaz mindig egy kicsit el rébb lesz.

20 Zenon érvelése szerint: Legyen úgy t nik, hogy Akhilleusz sohasem fogja utolérni a tekn sbékát. Akhilleusz sebessége: v A, a tekn s sebessége: v T. ÚT-IDŽ-TÁVOLSÁG összefüggések: Page 17 of 42 v = s t, s = v t, t = s v

21 tekn s el nye Akhilleusz részideje d Page 18 of 42

22 tekn s el nye d d va v T = d v T v A Akhilleusz részideje d va Page 19 of 42

23 tekn s el nye Akh. részideje d d va dv T v A d v T v 2 A d v 2 T v 2 A Page 20 of 42

24 tekn s el nye Akh. részideje d d va dv T v A d v T v 2 A Akhilleusz részideinek összege: d v 2 T v 2 A d v A + d v A λ + d v A λ 2 + = λ = v T va Page 21a of 42

25 tekn s el nye Akh. részideje d d va dv T v A dv T v 2 A Akhilleusz részideinek összege: dv 2 T v 2 A λ = v T va d + d λ + d λ 2 + = v A v A v A d ( ) 1 + λ + λ 2 + = d 1 v A v A 1 λ = d 1 v A 1 v T va Page 21b of 42

26 tekn s el nye Akh. részideje d d va dv T v A dv T v 2 A Akhilleusz részideinek összege: d v A + d v A λ + d v A λ 2 + = d ( 1 + λ + λ 2 + ) v A dv 2 T v 2 A λ = v T va = d 1 v A 1 λ = d 1 v A 1 v T va d = d v A v A v A v T = v A v T Page 21c of 42

27 KÖZÉPKORI KERESZTÉNY FILOZÓFIA ség Isten tulajdonsága. Alexandriai Kelemen (II-III. sz., a Biblia és a görög lozóa között teremtett összhangot): " Isten apeiron, akinek nincs korlátja" Aquinói Szent Tamás (XIII. sz.): "Isten valamennyi tökéletesség szempontjából valóságosan végtelen" Page 22 of 42 (Isten hatalma végtelen, jajj annak a földi halandónak, aki az Ž hatalmát holmi matematikai formulává próbálja silányítani.)

28 XVII. sz. EURÓPA Dierenciál- és integrálszámítás (Newton, Leibniz): a végtelent a kutatások f áramvonalához csatolták. végtelen kicsi részek: integrálszámítás végtelen nagy: határérték, dierenciálszámítás T S = b a f (x)dx Page 23 of 42

29 George Cantor ( ) Page 24 of 42

30 Cantor kulcsszó: kölcsönösen egyértelm megfeleltetés Page 25 of 42 [0; 1] [0; 2]

31 Galileo Galilei ( ): észreveszi, hogy a négyzetszámok ugyanannyian vannak, mint maguk a természetes számok. Cantor: két halmaz ugyanolyan számosságú, ha elemeik között kölcsönösen egyértelm megfeleltetés létesíthet. (Jelölés: A B) Page 26 of 42

32 ℵ 0 : természetes számok számossága; páros számok? természetes számok egész számok!! természetes számok racionális számok!!!! "Látom, de nem akarok hinni a szememenek!" természetes számok < valós számok (ℵ 1 )!!!!!! "nél nagyobb halmaz létezésével kapcsolatban, melyet Isten segedelmével fedeztem fel, immár semilyen kétségem sincsen." = nek is lehet nagyasága! Page 27 of 42

33 XIII. Leó pápa ( ) egy körlevelt adott ki 1888-ban, melyben felhívja a hív k gyelmét, hogy legyenek nyitottak a tudomány tanításai iránt. Page 28 of 42 Cantor: "A keresztény lozóa általam nyer el ször bepillantást a végtelen rejtelmeibe."

34 Hotel Innity... paradoxona: n n n+1 Page 29 of 42

35 4. Aiszkhülosz: Leláncolt Prométheusz Prométheusz (monológ): "... Elmondom inkább azt, a balga emberek mily sok csapást megértek, míg értelmet én adtam nekik Okoskodásuk legjavát, a számot is javukra feltaláltam s a bet vetést, s a Múzsák anyja lett a h Emlékezet." Page 30 of 42

36 Lebombo csont (1970, Szváziföld, Lebombo hegység) páviáncsontból készült kis mellt (kb. 8cm) BC., 29 rovátka ˆ naptár? ˆ Hold naptár? ˆ? Page 31 of 42

37 Ishango csont (1960, Kongó, Edward tó mellett) vulkánkitörés által betemetett falucska maradványai között BC., három sorban rovátka Page 32 of 42

38 ˆ (a) sor: 60 = ˆ (b) sor: 60 = ˆ (c) sor: 48 (duplázás) Page 33 of 42

39 ??? 2010, 2011,... "Mit csinál a matematikus?" ÁFSZ: Matematikus szakismertet információs mappa: "A matematika m vel jének kiváló absztrakciós képességgel kell rendelkeznie. Egyrészt igényelnie kell a bizonyítást és kételkednie kell a nem eléggé alátámasztott dolgok igazában. Másrészt képesnek kell lennie a matematikai összefüggések bebizonyítására, ez pedig logikus gondolkodást, lényeglátást, szívós akaratot és gyelemösszpontosítást követel meg." Page 34 of 42

40 "What do mathematicians do?" M. Krieger: Some of what mathematicians do ˆ Szabályosságokat gyel meg, ˆ hétköznapi fogalmakat elemez, ˆ számol, kiszámít, ˆ analógiákat, hasonlóságokat keres, ˆ összegzés: "Munkánk során egy kétezer darabos, egyszín puzzle összerakásán fáradozunk, amely egyszere kíván leleményességet az egyes munkafázisok elkülönítésében, rengeteg pepecselést a darabok rendszerezésében és a részletek kidolgozásában, felismerve, hogy gyakran célszer a megvalósítást a határok kirakásával kezdeni." Page 35 of 42

41 ˆ tanítás, ˆ adminisztrációs tevékenység, ˆ naszírozás, pályázatok, ˆ oktatás- és kutatásszervezés, közéleti tevékenység, ˆ tudományos munka, 1. új eredmények elérése, 2. ismeretterjeszt és tudományos cikkek, könyvek írása, 3. dolgozatok lektorálása, véleményezése, összefoglalók készítése, 4. el adások tartása, részvétel konferenciákon, szimpoziumokon, rendezvényeken magyar matematikusok Page 36 of 42

42 MAGYAROK ˆ Bolyai Farkas ( ) és Bolyai János ( ) ˆ Rados Gusztáv ( ), K nig Gyula ( ) ˆ Kürchák József ( ) ˆ K nig Dénes ( ), Egerváry Jen ( ) ˆ Pólya György ( ) ˆ Rédei László ( ), Turán Pál ( ), Hajós György ( ) ˆ Neumann János ( ) ˆ Erd s Pál ( ) Page 37 of 42

43 ˆ Rényi Alfréd ( ) ˆ Szemerédi Endre, Lovász László, Lackovich Miklós, Gy ry Kálmán,... ˆ... Page 38 of 42

44 Page 39 of 42 JJ II J I -,

45 Év Város Résztv. sz. Megjegyzés 1897 Zürich 242 (16) OMM: 20 f 1900 Párizs Hilbert 1904 Heidelberg 396 (19) K nig Gyula 1908 Róma 700 (22) 1912 Cambridge 708 (28) MO: 19 f 1920 Strasbourg Oslo 1950 Cambridge USA Peking 4800 (104) Szöul ICM Kongresszusok.. Page 40 of 42

46 Page 41 of 42

47 Page 42 of 42

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Modellek és változásaik a fizikában I.

Modellek és változásaik a fizikában I. Modellek és változásaik a fizikában I. Az ókor Kicsik vagyunk, de hódítani akarunk Kis képes relativitáselmélet azok számára, akik úgy hiszik, hogy meghatározó szerepük van a passzátszél előidézésében.

Részletesebben

Szélesség (cm) 60 x 60. Magasság (cm) 60. Mélység (cm) 30. Felső sarok ferde konyhabútor elem. Ajtó típus ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt

Szélesség (cm) 60 x 60. Magasság (cm) 60. Mélység (cm) 30. Felső sarok ferde konyhabútor elem. Ajtó típus ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt Magasság (cm) 60 22 936 Ft 17 404 Ft 24 763 Ft 19 231 Ft 24 984 Ft 19 200 Ft 25 368 Ft 19 584 Ft 26 101 Ft 20 317 Ft 28 505 Ft 22 721 Ft 27 960 Ft 22 177 Ft 29 305 Ft 23 521 Ft 26 286 Ft 20 502 Ft 26 905

Részletesebben

Szélesség (cm) 60 x 60. Magasság (cm) 60. Mélység (cm) 30. Felső sarok L konyhabútor elem. Ajtó típus ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt

Szélesség (cm) 60 x 60. Magasság (cm) 60. Mélység (cm) 30. Felső sarok L konyhabútor elem. Ajtó típus ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt Magasság (cm) 60 34 301 Ft 26 090 Ft 37 250 Ft 29 038 Ft 37 131 Ft 28 541 Ft 37 707 Ft 29 117 Ft 38 806 Ft 30 217 Ft 42 411 Ft 33 822 Ft 41 595 Ft 33 006 Ft 43 612 Ft 35 022 Ft 39 083 Ft 30 494 Ft 40 463

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Van valahol egy rejtett világ. A szépség és elegancia eldugott

Van valahol egy rejtett világ. A szépség és elegancia eldugott Előszó Van valahol egy rejtett világ. A szépség és elegancia eldugott univerzuma, amely ezer szállal kötődik a mindennapi világunkhoz. Ez a matematika világa. És ez legtöbbünknek láthatatlan. Ez a könyv

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Puskás Béla: Hálózatelméleti alapok

Puskás Béla: Hálózatelméleti alapok Puskás Béla: Hálózatelméleti alapok "Egyébként kedves játék alakult ki a vitából. Annak bizonyításául, hogy a Földgolyó lakossága sokkal közelebb van egymáshoz, mindenféle tekintetben, mint ahogy valaha

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai. Információ-feldolgozó paradigmák A számolás korai segédeszközei

Az Informatika Elméleti Alapjai. Információ-feldolgozó paradigmák A számolás korai segédeszközei Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Információ-feldolgozó paradigmák A számolás korai segédeszközei http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 IEA2/1 Az

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 9. hét OLIGOPÓLIUM ÉS STRATÉGIAI VISELKEDÉS

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 9. hét OLIGOPÓLIUM ÉS STRATÉGIAI VISELKEDÉS KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. OLIGOPÓLIUM ÉS STRATÉGIAI VISELKEDÉS Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június

Részletesebben

Rief SF, Heimburge JA (2006): How to reach and teach all children in the inclusive classroom. Jossey-Bass, USA

Rief SF, Heimburge JA (2006): How to reach and teach all children in the inclusive classroom. Jossey-Bass, USA Rief SF, Heimburge JA (2006): How to reach and teach all children in the inclusive classroom. Jossey-Bass, USA Chapter 14: Motivating students to be successful mathematicians Fordította és adaptálta: Vargáné

Részletesebben

Tudományközi beszélgetések: matematika

Tudományközi beszélgetések: matematika VILÁGOSSÁG 2004/7. A XXI. század tudományrendszere Tudományközi beszélgetések: matematika Az MTA Filozófiai Kutatóintézet A 21. század tudományrendszere című nagyprojektjének keretében indított tudományközi

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 9. el adás Bevezetés az ökonozikába El adó: London András 2015. november 2. Motiváció Komplex rendszerek modellezése statisztikus mechanika és elméleti zika

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Pasarét, 2014. november 6. (csütörtök) Horváth Géza. PASARÉTI PRÉDIKÁCIÓK refpasaret.hu ELMARADT BŰNBÁNAT

Pasarét, 2014. november 6. (csütörtök) Horváth Géza. PASARÉTI PRÉDIKÁCIÓK refpasaret.hu ELMARADT BŰNBÁNAT Pasarét, 2014. november 6. (csütörtök) PASARÉTI PRÉDIKÁCIÓK refpasaret.hu Horváth Géza ELMARADT BŰNBÁNAT Alapige: Lukács 11,37-54 Beszéd közben egy farizeus arra kérte őt, hogy ebédeljen nála. Jézus bement,

Részletesebben

Valószínűségszámítási paradoxonok

Valószínűségszámítási paradoxonok Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium Gimnazija sa domom učenika za talentovane učenike "Boljai" Valószínűségszámítási paradoxonok érettségi dolgozat valószínűségszámításból Tanuló: Tokić Rudolf

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Krisztus Feltámadt! Húsvétvasárnap 2016.03.27. OLVASMÁNY az Apostolok Cselekedeteiből (ApCsel 10,34a.37-43)

Krisztus Feltámadt! Húsvétvasárnap 2016.03.27. OLVASMÁNY az Apostolok Cselekedeteiből (ApCsel 10,34a.37-43) Húsvétvasárnap 2016.03.27. Krisztus Feltámadt! OLVASMÁNY az Apostolok Cselekedeteiből (ApCsel 10,34a.37-43) Abban az időben Péter szólásra nyitotta ajkát, és ezeket mondta: Ti tudjátok, hogy mi minden

Részletesebben

8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai

8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai 1. 10 db-os nagy ORFF ritmuskészlet Fejlesztés: Generatív, kreatív zenei képességek, tevékenységek, ritmuskészség e Rövid leírás: ritmushangszerek természetes anyagokból 2. 8 db-os ORFF ritmuskészlet Fejlesztés:

Részletesebben

É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben

Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö

Részletesebben

ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö

Részletesebben

ő ő ű í ó ú í ó í ó Á Á Á É ű ő ó ó ő ó ő Á É ó Á É ú Á É É Á ó Á Á Á Á Á É É ó Á É í É É í É ú ú ú ó ó Ö ú É ú ó ő ú ó í É É É É Ö Ö É Á É É É Ő Ó É ő ó ó í ő ú ő ő ű í ó ú Ő Ö ú É ú ú ő ő É É ő ő ő ő

Részletesebben

ö é é ü Ő Ö é ü ö é é ü é é ó é ü ü é é é é é í é ü é é é é é é ö é é ö ö é ü ö ö é ü í é ü ü é é é ü é ö é é é ó é é é é é ü ö é é ü ú ö é é é é ö é é ö é é ó é ó é é í é é ó é é ó é é í ó é é ü ü é ó

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében. Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail.

Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében. Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail. Az olvasási képesség szerepe a matematikai gondolkodás fejlődésében Steklács János Kecskeméti Főiskola Humán Tudományok Intézete steklacs@gmail.com Vázlat Számolás és olvasás Szöveges feladatok Az olvasási

Részletesebben

ISTENNEK TETSZŐ IMÁDSÁG

ISTENNEK TETSZŐ IMÁDSÁG Pasarét, 2014. február 2. (vasárnap) PASARÉTI PRÉDIKÁCIÓK refpasaret.hu Horváth Géza ISTENNEK TETSZŐ IMÁDSÁG Lekció: ApCsel 4,23-31 Alapige: Zsolt 124,8 A mi segítségünk az Úr nevében van, aki teremtette

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A/ légszivattyú B/ Heron-labda C/ Leclanché-elem D/ magdeburgi féltekék

A/ légszivattyú B/ Heron-labda C/ Leclanché-elem D/ magdeburgi féltekék 2. FORDULÓ MEGOLDÓKULCS KARINTHY FRIGYES: TANÁR ÚR KÉREM 1. SZÓKÍGYÓ A SZEREPLŐKKEL 8 pont 2. KÍSÉRLETEZÉS 3. 21 pont 2.1. A/ légszivattyú B/ Heron-labda C/ Leclanché-elem D/ magdeburgi féltekék 2.2. A

Részletesebben

Pál Judit - Vörös András. Budapesti Corvinus Egyetem. Kapcsolatháló- és Oktatáskutató Központ. 2011. március 1.

Pál Judit - Vörös András. Budapesti Corvinus Egyetem. Kapcsolatháló- és Oktatáskutató Központ. 2011. március 1. Pál Judit - Vörös András Budapesti Corvinus Egyetem Kapcsolatháló- és Oktatáskutató Központ 2011. március 1. Definíció: A kapcsolatháló-elemzés az egyének viselkedését tanulmányozza mikro szinten, és az

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

Daniel H. Pink. Motiváció 3.0. Ösztönzés másképp

Daniel H. Pink. Motiváció 3.0. Ösztönzés másképp Daniel H. Pink Motiváció 3.0 Ösztönzés másképp A könyv megjelenését a Develor Tanácsadó Zrt. támogatta. Tartalom Előszó a magyar kiadáshoz 11 BEVEZETÉS: Harry Harlow és Edward Deci rejtélyes rejtvényei

Részletesebben

Üzenet. A Prágai Református Missziós Gyülekezet Hetilapja I. Évfolyam 44. szám, 2008. Nov. 30. Kedves Testvéreim!

Üzenet. A Prágai Református Missziós Gyülekezet Hetilapja I. Évfolyam 44. szám, 2008. Nov. 30. Kedves Testvéreim! Üzenet A Prágai Református Missziós Gyülekezet Hetilapja I. Évfolyam 44. szám, 2008. Nov. 30. Kedves Testvéreim! legyenek. Istennek azonban nemcsak az egyes emberekkel van terve, hanem ezzel az egész teremtett

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

VALLÁSLÉLEKTANI ISMEHETEK JELENTŐSÉGE A HOMILETIKÁBAN

VALLÁSLÉLEKTANI ISMEHETEK JELENTŐSÉGE A HOMILETIKÁBAN VALLÁSLÉLEKTANI ISMEHETEK JELENTŐSÉGE A HOMILETIKÁBAN Leon Fendt német teológus megállapítja, hogy a prédikációban a retorika csak akkor jöhet segítségünkre, ha az alábbi eredmények megvalósításához segít

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

végtelen sok számot?

végtelen sok számot? Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok

Részletesebben

A tanítási óra anyaga: Magyar tudósok a technika történetében. Koncentráció: Történelem, napjaink eseményei, földrajz, matematika, fizika

A tanítási óra anyaga: Magyar tudósok a technika történetében. Koncentráció: Történelem, napjaink eseményei, földrajz, matematika, fizika ÓRATERVEZET 2 A tanítás helye: A tanítás ideje: Tanít: A tanítás osztálya: 6. osztály Tantárgy: Technika Tanítási egység: Technika történet A tanítási óra anyaga: Magyar tudósok a technika történetében

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Nyomozós Játék. A főbérlő értelmetlen halála

Nyomozós Játék. A főbérlő értelmetlen halála Nyomozós Játék A főbérlő értelmetlen halála A játék menete Minden csapat megtudja a kerettörténetet a startnál, valamint kapnak egy 16 kérdésből álló tesztet is, melyekre a feladatok megoldása során tudnak

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

Az evangélium kezdete

Az evangélium kezdete Márk evangéliuma Lekció: Ézs. 40.1-11 2010. febr. 7. Textus: Mk. 1.1-15 Gazdagrét Az evangélium kezdete Márk evangéliuma a négy evangélium közül a legkorábban íródott, valamint a legrövidebb, a legtömörebb.

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy

Részletesebben

ÓRAVÁZLAT INFORMATIKA MŰVELTSÉGTERÜLET

ÓRAVÁZLAT INFORMATIKA MŰVELTSÉGTERÜLET ÓRAVÁZLAT INFORMATIKA MŰVELTSÉGTERÜLET Tanító: Nagy Ferenc Évfolyam/osztály: 4. o Témakör: Infokommunikáció Tananyag: Kulcsszavas keresés az interneten Fejlesztési fókusz: Információk közötti eligazodás

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

Passió 2006. 1. jelenet: Bevezetés. 2. jelenet: A vak meggyógyítása

Passió 2006. 1. jelenet: Bevezetés. 2. jelenet: A vak meggyógyítása Passió 2006. 1. jelenet: Bevezetés Beszélı2 (Zsuzsi): Judit, én nem értelek téged. Nagyon szívesen elviszlek a templomba, de mi értelme van? Beszélı1 (Judit): Nekem fontos az Isten, mert szeret engem.

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

ELTE, matematika alapszak. Zempléni András oktatási igazgatóhelyettes Matematikai Intézet

ELTE, matematika alapszak. Zempléni András oktatási igazgatóhelyettes Matematikai Intézet ELTE, matematika alapszak Zempléni András oktatási igazgatóhelyettes Matematikai Intézet Matematika alapszak szerkezete 1. év NORMÁL Kb 60 fő (HALADÓ) Kb 50 fő INTENZÍV Kb 30 fő matematikai elemző 2. és

Részletesebben

A SZÁZ ÉV MÉLTATÁSA* 1868-1968

A SZÁZ ÉV MÉLTATÁSA* 1868-1968 A SZÁZ ÉV MÉLTATÁSA 1868-1968 Nem könnyű több generáció múzeumi gyűjtőmunkáját, kiemelkedő eredményeit, múzeumunk küzdelmes éveit röviden vázolni. Ma már csak a száraz statisztikai adatokból, írásos jelentésekből,

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Közeledtek 2012 megtapasztalása felé, megkezdődik a magok elvetése, hogy növekedjen a fizikai bolygó rezgésszáma. Ez az ami rajtatok múlik.

Közeledtek 2012 megtapasztalása felé, megkezdődik a magok elvetése, hogy növekedjen a fizikai bolygó rezgésszáma. Ez az ami rajtatok múlik. Ide gyűjtöttem össze kivonatolva az információkat, amelyeket Kryon 2012-vel kapcsolatban tett közzé... Mindenkinek ajánlom továbbá Lee Carroll Végzetgyár című témába vágó cikkét 2012-ről, valamint a magyar

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

Tartalom. Bevezető / 7

Tartalom. Bevezető / 7 bevezető Visszaemlékezéseimet írva halottak, halottaim közt bóklásztam. Jó volt őket rövidebb hosszabb ideig magamhoz hívni. Mint hajdanán, most is szeretettel néztek rám. Faggattam volna őket, de a múltba

Részletesebben

SOK A DOLGUNK A Magyarországi Gyermekbarátok Mozgalmával nem régen kerültem kapcsolatba.

SOK A DOLGUNK A Magyarországi Gyermekbarátok Mozgalmával nem régen kerültem kapcsolatba. gyermekb4.qxd 2006.03.12. 13:46 Page 3 SOK A DOLGUNK A Magyarországi Gyermekbarátok Mozgalmával nem régen kerültem kapcsolatba. Akkor már a Karaván Mûvészeti Alapítvány kötelékében tevékenykedtem, ahol

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Fájó szívvel gyújtottunk A Szűzanya minden anyai segítséget megad, hogy a tisztítótűzben szenvedő lelkeket megmentsük:

Fájó szívvel gyújtottunk A Szűzanya minden anyai segítséget megad, hogy a tisztítótűzben szenvedő lelkeket megmentsük: Fájó szívvel gyújtottunk mécsest az októberben elhunyt Jánosért, Sándorért és mennyei születésnapjukat novemberben ünneplő testvéreinkért, Istvánért (2010), Józsefért, Ágiért, Zitáért, Angéláért, Lászlóért,

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

HARMATCSEPP TANULMÁNYI VERSENY HITTAN

HARMATCSEPP TANULMÁNYI VERSENY HITTAN HARMATCSEPP TANULMÁNYI VERSENY HITTAN A versenyző neve: Forduló: I. Osztály: 3. Az iskola kódja: H- Elért pontszám: Javította: Visszaküldési határidő: Elérhető pontszám: 67p. 2014. november 17. Kedves

Részletesebben

megírattak pedig a mi tanulságunkra, akikhez az időknek vége elérkezett

megírattak pedig a mi tanulságunkra, akikhez az időknek vége elérkezett megírattak pedig a mi tanulságunkra, akikhez az időknek vége elérkezett Félreértett rtett tanítások? Ugyanazon alapról eltérő tanítások? Fordítások A Biblia eredeti nyelve nem a magyar Összehasonlító fordítások,

Részletesebben

Galilei, természettudomány, játék

Galilei, természettudomány, játék Galilei, természettudomány, játék Matematikát, Fizikát és Informatikát Oktatók XXXIV. Konferenciája Szent István Egyetem Gazdaságtudományi Kar Békéscsaba, 2010. augusztus 24. Galileo Galilei (1564-1642)

Részletesebben

VIDÉKFEJLESZT KFEJLESZTÉSI SI. II. nap. Page 1 MOTTÓ. A A matematikában az ember a dolgokat nem megérti, hanem megszokja. Neumann JánosJ 2009.02.16.

VIDÉKFEJLESZT KFEJLESZTÉSI SI. II. nap. Page 1 MOTTÓ. A A matematikában az ember a dolgokat nem megérti, hanem megszokja. Neumann JánosJ 2009.02.16. 1 VIDÉKFEJLESZT KFEJLESZTÉSI SI Pályázati lehetőségek II. nap MOTTÓ A A matematikában és s a pályp lyázatírásnál l is az ember a dolgokat nem megérti, hanem megszokja. Neumann JánosJ 2 3 Page 1 Projekt

Részletesebben

KOMPETENCIAALAPÚ TANMENET AZ 1. ÉVFOLYAM MATEMATIKA TANÍTÁSÁHOZ

KOMPETENCIAALAPÚ TANMENET AZ 1. ÉVFOLYAM MATEMATIKA TANÍTÁSÁHOZ TÁMOP-3.1.4.-08/1-2009-0010. Fáy András Református Általános Iskola és AMI Gomba KOMPETENCIAALAPÚ TANMENET AZ 1. ÉVFOLYAM MATEMATIKA TANÍTÁSÁHOZ KÉSZÍTETTE: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA TANKÖNYVSZERZİ munkája

Részletesebben

Szerepjáték. 8. alkalom: Óvatosság és bölcsesség

Szerepjáték. 8. alkalom: Óvatosság és bölcsesség 8. alkalom: Óvatosság és bölcsesség 117 Szerepjáték 1. szituáció: Egy péntek este a barátodnál vagy. Egyszer csak bejön a barátod bátyja néhány haverjával együtt, majd elkezdenek sörrel kínálgatni: Gyerünk,

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

KI-KICSODA? MÁRK EVANGÉLIUMA 8:27;29

KI-KICSODA? MÁRK EVANGÉLIUMA 8:27;29 MÁRK EVANGÉLIUMA 8:27;29 2011. március 6. 10 00 Mályinka 1. Gyülekező ének: 489. d. 1. v.: Örök élet reggele, fény a véghetetlen fényből 2. Köszöntés: Kegyelem néktek és békesség Istentől, a mi Atyánktól,

Részletesebben

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLÁBAN SZAKDOLGOZAT Készítette: Nagy Veronika matematika tanár szakos hallgató Témavezető:

Részletesebben

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző 1 SET A SET játékszabályairól röviden, már ha valaki nem ismerné: Hogy néznek ki a kártyalapok? Minden kártyán van egy ábra, aminek 4 jellemzője van. Minden kategória további három különböző lehetőséget

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László. A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása

Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László. A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László Számolás az ujjakon 2. (Kína- India) A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév:

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László. A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása

Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László. A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László A számolás korai segédeszközei A korszerű számítógépek kialakulása http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 IEA2/1

Részletesebben

Az Adrián játék. Az így kialakított tábla közös megegyezés alapján színezhető.

Az Adrián játék. Az így kialakított tábla közös megegyezés alapján színezhető. Az Adrián játék A játékosok száma: amennyi játékosunk van. A tábla alapegysége: A játéktábla a fenti alapegység másolataiból alakítható ki. A négyzeteknek nem muszáj azonos méretűeknek lenniük. Íme egy

Részletesebben

Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája. Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud.

Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája. Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud. Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud.hu Dolgozatomban azt a folyamatot kívánom bemutatni, ahogyan

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

kjhkjhkjhkhkjh 2007.09.26

kjhkjhkjhkhkjh 2007.09.26 1 kjhkjhkjhkhkjh 2007.09.26 2007 IBM Corporation Megnyitó Rehus Péter Szoftverüzletág-igazgató IBM Magyarországi Kft. Szabó János Lotus Brand Manager IBM Magyarországi Kft. 2 kjhkjhkjhkhkjh 2007.09.26

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

GONDOLATOK AZ ÍRÁSÉRTELMEZÉSRŐL

GONDOLATOK AZ ÍRÁSÉRTELMEZÉSRŐL 1 GONDOLATOK AZ ÍRÁSÉRTELMEZÉSRŐL ÍRTA: DEMETER JÓZSEF ÁLTALÁNOS HERMENEUTIKAI SZABÁLYOK ÉS IRÁNYELVEK. Az alapgondolat: mindenkinek joga van értelmezni a Szentírást. Ehhez azonban a megértés utáni őszinte

Részletesebben

ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt

ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt Szélesség (cm) 60 Magasság (cm) 85 44 156 Ft 33 662 Ft 48 153 Ft 37 660 Ft 47 328 Ft 36 363 Ft 48 049 Ft 37 083 Ft 49 423 Ft 38 457 Ft 53 929 Ft 42 964 Ft 52 909 Ft 41 944 Ft 55 430 Ft 44 464 Ft 49 769

Részletesebben

ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt

ÁR kulcsrakész ÁR lapraszerelt Szélesség (cm) 30 Magasság (cm) 85 46 668 Ft 35 395 Ft 49 082 Ft 37 809 Ft 47 769 Ft 36 260 Ft 48 129 Ft 36 620 Ft 48 816 Ft 37 307 Ft 51 070 Ft 39 560 Ft 50 559 Ft 39 050 Ft 51 820 Ft 40 311 Ft 48 989

Részletesebben