Dierenciálegyenletek felállítása és megoldása zikai példákon keresztül
|
|
- Miklós Szekeres
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Dierenciálegyenletek felállítása és megoldása zikai példákon keresztül Rujp Veronika Matematika BSC Szakdolgozat Témavezet : Gémes Margit m szaki gazdasági tanár Analízis Tanszék Budapest,2013
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés, motiváció 3 2. A dierenciálegyenletek fogalma, megoldása A közönséges dierenciálegyenletek Nevezetes dierenciálegyenlet típusok Szeparábilis (szétválasztható változójú) differenciálegyenletek Szétválasztható változójúra visszavezethet dierenciálegyenletek Els rend lineáris dierenciálegyenletek Másodrend homogén lineáris dierenciálegyenletek Állandó együtthatós másodrend homogén lineáris dierenciálegyenletek Összegzés 26 2
3 1. Bevezetés, motiváció A dierenciálegyenleteket Isaac Newton ( ) alkotta meg. Olyan fontosnak tartotta a felfedezését, hogy anagramma formájában rejtjelezte, melynek jelentését csak kés bb adta meg. Ez mai megfogalmazásban a következ : "A természet törvényeit dierenciálegyenletek fejezik ki."[8] A dierenciálegyenletek sok feladat megoldását teszik lehet vé a zika, a kémia, a közgazdaságtudomány és más szakterületek terén is. Matematika-zika tanár szakos hallgatóként tanulmányaim során én is számtalanszor találkoztam differenciálegyenletekkel és azok megoldásával. Célom a közönséges differenciálegyenletek bemutatása zikai példákon keresztül, hogy ne csak a differenciálegyenletek megoldásainak módszereit lássuk, hanem azok szerepét is a természettudományokban. 2. A dierenciálegyenletek fogalma, megoldása A matematikában azokat az egyenleteket nevezzük dierenciálegyenleteknek, amelyekben az ismeretlen kifejezés egy dierenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és annak deriváltja között teremt kapcsolatot A közönséges dierenciálegyenletek Közönséges dierenciálegyenletekr l beszélünk, ha a bennük el forduló ismeretlen függvény egyváltozós. Általános alakja: φ(x, y, y,..., y (n) ) = 0 Típusai: n-ed rend dierenciálegyenletek Bennük az ismeretlen függvény legmagasabb rend deriváltja n-ed rend. 3
4 Az n-ed rend explicit dierenciálegyenlet általános alakja: y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1)) ahol y (n) = dn y dx n,(n = 1, 2,...) és f általában egy adott (n + 1) változós függvény. Az n-ed rend implicit differenciálegyenlet általános alakja: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 ahol y (n) = dn y dx n,(n = 1, 2,...) és F általában egy adott (n + 2) változós függvény. lineáris dierenciálegyenletek A dierenciálegyenlet az ismeretlen függvényre és a deriváltjaira nézve lineáris. (Például: y = 6y 4x 2 egy explicit alakú, els rend, lineáris dierenciálegyenlet) Az n-ed rend lineáris dierenciálegyenlet általános alakja: b(x) = a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) a 1 (x)y + a 0 (x)y ahol a n (x) 0. Fajtái: homogén az egyenlet, ha b(x) = 0. (Pl.:y (4) 2y + y = 0 egy negyedrend, lineáris, homogén dierenciálegyenlet) inhomogén az egyenlet, ha b(x) nem azonosan nulla. (Pl.:xy x 2 y + e x = 0 egy els rend, inhomogén dierenciálegyenlet) állandó együtthatójú az egyenlet, ha az y és y összes deriváltjának az együtthatója konstans. (Pl.:9y (x) + 4y (x) = 5x 12 egy másodrend, állandó együtthatós, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet.) nemlineáris dierenciálegyenletek (Pl.:y y 2 e x = 4x egy els rend, nemlineáris dierenciálegyenlet) 4
5 Egy n-ed rend dierenciálegyenlet megoldása: Legyen y(x) az I intervallumon értelmezett n-szer dierenciálható függvény. Egy n-ed rend dierenciálegyenlet megoldásfüggvénye (megoldása) ezen az intervallumon az y(x) függvény, ha a dierenciálegyenlet az y(x) függvény behelyettesítése után azonossággá válik az I intervallumon. Az y(x) megoldás grakonját a dierenciálegyenlet integrálgörbéjének (megoldásgörbéjének) nevezzük. Egy dierenciálegyenletet azonosan kielégít függvényt az egyenlet általános megoldásának nevezzük, ha pontosan annyi egymástól független tetsz leges állandót tartalmaz, ahányad rend a dierenciálegyenlet.[6] A dierenciálegyenletek megoldásakor kétféle megoldástípust különböztetünk meg. Ha a dierenciálegyenlet általános megoldásában szerepl állandók helyére meghatározott értékeket írunk, akkor az egyenlet partikuláris megoldását kapjuk. Azt a megoldást pedig, amely az általános megoldásból semmilyen paraméter választásából sem következtethet szinguláris megoldásnak nevezzük. A partikuláris megoldást adott mellékfeltételek mellett tudjuk el állítani. Ha a dierenciálegyenlethez megadjuk még egy adott pontban a keresett megoldásfüggvénynek és a deriváltjainak értékét, akkor kezdeti feltételt adunk meg. Ha pedig egy els nél magasabb rend differenciálegyenletnél mellékfeltételként el írjuk a megoldásfüggvény és deriváltjainak értékét legalább két pontban, akkor kerületi (perem-) feltételr l beszélünk. Amikor egy kezdetiérték problémát szeretnénk megoldani, akkor valójában azt az integrálgörbét keressük, ami egy el re megadott ponton megy át. A dierenciálegyenletek fontosságát, vagyis hogy mennyire van szükségünk rájuk az alkalmazásainkban, jól példázza a szabadesés, ha a közegellenállást elhanyagoljuk. Ekkor a szabadon es test sebességét a v(t) = gt összefüggés adja meg, melyben g a gravitációs állandót, t pedig az id t jelöli. Legyen a t 0 = 0 és jelölje h 0 a kezdeti magasságot. Azt, hogy milyen magasan van t id pillanatban a test a következ dierenciálegyenlet adja meg: dh(t) dt = v(t) = gt 5
6 A h(t 0 ) = h 0 kezdeti feltétel mellett az el z dierenciálegyenletnek az alábbi h függvények tesznek eleget: h(t) = v(t) dt = gt dt = gt2 2 + c mivel ( v(t) dt) = v(t). Ez megadja az összes lehetséges h(t) megoldást. A t 0 = 0 és h(t 0 ) = h 0 kezdeti feltételekb l c = h 0 adódik, így a megoldás: h(t) = gt2 2 + h 0 A dierenciálegyenletek megadása geometriailag azt jelenti, hogy a (t, h) sík pontjaiban adottak bizonyos irányok. Ha adott egy bizonyos iránymez, olyan görbéket keresünk, amelyeknek érint je minden pontban ez a megadott irány. Ezeket a görbéket a iránymez integrálgörbéinek nevezzük. Az imént megadott h(t) = gt2 2 (t, h(t)) ponton átmen gt2 2 + c egyenletek által meghatározott görbeseregek + c parabolák érint inek iránytangense éppen v(t). 3. Nevezetes dierenciálegyenlet típusok Tétel 3.1. Szeparábilis (szétválasztható változójú) differenciálegyenletek Legyenek I,J intervallumok és f : I R g : J R\{0} adott függvények. Tegyük fel, hogy létezik f I-n és 1 J-n, valamint F f és G 1 g g primitív függvények. Ekkor egy I 1 I intervallumon az y : I 1 J függvény akkor és csak akkor megoldása az y = f(x)g(y) dierenciálegyenletnek, ha G(y(x)) = F (x) + c minden x I 1 -re, valamely c R esetén.[5] Azokat az els rend differenciálegyenleteket nevezzük szétválasztható változójú (szeparábilis) differenciálegyenleteknek, amelyek felírhatók alakban. f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y)dy = 0 6
7 A szeparábilis dierenciálegyenletek általános megoldása Ha g 1 (y)f 2 (x) 0, akkor ezzel elosztjuk az egyenletet és az alábbi kifejezést írhatjuk fel: ez más jelöléssél: f 1 (x) f 2 (x) dx + g 1(y) g 2 (y) dy = 0 F (x)dx + G(y)dy = 0 Így az x és y változókat szétválasztottuk. A dierenciálegyenlet általános megoldása ennek az integrálásával kapható: F (x)dx + G(y)dy = C ahol C konstans Alkalmazások 1.Példa (Newton-féle h lési törvény)[2]. A 100 o C-os meleg lekvárt kirakjuk h lni (a leveg 20 o C-os). H mérséklete 10 órakor 30 o C, 11-kor 25 o C. Mikor raktuk ki? Megoldás. Newton törvénye szerint a test h lési sebessége arányos a test és környezete h mérsékletének különbségével.[4] Mivel a h mérséklet-különbség változása miatt a test leh lésének sebessége is változik, a folyamat során a lekvár leh lésének dierenciálegyenlete: dt dτ = k(t t) ahol T a lekvár h mérséklete, t a környez leveg h mérséklete, k az arányossági tényez, dt dτ a lekvár leh lési sebessége és τ a leh lési id. A változókat szétválasztva, a feladat vizsgált feltételeit behelyettesítve és mindkét oldalt integrálva a következ összefüggéshez jutunk: vagyis dt T 20 = kdτ ln T 20 = kτ + c 7
8 Ha mindkét oldalt az e alapra emeljük, az e ln(t 20) = e kτ+c egyenlet adódik, mivel T > 20. Legyen e c = C, ekkor T = 20 + Ce kτ A C állandót a T (10) = 30 és T (11) = 25 kezdeti feltételekb l számoljuk. megoldás C = és e k = 1. Ezeket az adatokat az el z egyenletbe visszaírva 2 a τ = 7 megoldást kapjuk. Tehát a lekvárt reggel 4 órakor raktuk ki. A 2.Példa (A radioaktív bomlás egyenlete)[4]. A rádium bomlási sebessége minden id pillanatban arányos a jelenlev tömegével. Határozzuk meg, hogy m 0 tömeg rádiumnak hány százaléka bomlik el 200 év alatt, ha tudjuk, hogy a rádium felezési ideje 1590 év. Tétel. Ha f(t) dierenciálható az I intervallumon és f (t) = kf(t) I-n, akkor létezik olyan c állandó, melyre minden t I-re teljesül, hogy f(t) = ce kt. A tételben használt jelölések: f (t) a változás sebessége k az arányossági tényez f(t) a jelenlev anyagmennyiség A feladat matematikai felírása: m (t) = km(t), ahol k > 0 és m(t) a t id pillanatban jelenlev anyag tömege. Megoldás. Ez az egyenlet egy szétválasztható változójú dierenciálegyenlet. Az általános megoldásba behelyettesítve az adatokat a következ egyenl séghez jutunk: m = Ce kt 8
9 Az m = m 0 és t = 0 kezdeti feltételekb l az alábbi összefügés adódik: Ebb l C-re a egyenl séget kapjuk. m 0 = Ce k 0 C = m 0 A k arányossági tényez t a rádium felezési idejének felhasználásával számoljuk: m 0 2 = m 0e 1590k vagyis 1590k = ln2. A keresett függvény a következ : m(t) = m 0 e tln2. A 200 év múlva elbomlott rádium mennyisége: m(200) = m 0 e 200ln2 0, 915m 0. Ebb l következik, hogy a rádiumnak 200 év alatt 8,5%-a bomlik el. 3.Példa (Radioaktív kormeghatározás)[5]. Egy bizonyos él fafajtában a C 14 szénizotóp aránya a teljes szénmennyiséghez viszonyítva α. Találunk egy ugyanilyen fajtájú fadarabot, amelyben a C 14 aránya a teljes szénmennyiséghez viszonyítva 0, 9α. Hány évvel ezel tt vágták ki a fát? Megoldás. Az él anyagokban a radioaktív C 14 szénizotóp és az elemi C 12 szén mennyiségének aránya állandó. Ha az él anyag elpusztul, akkor benne a C 14 izotóp nem pótlódik, hanem C 12 -vé bomlik 5730 éves felezési id vel. A fa kivágásakor a fában lév 1 grammnyi szénben a C 14 mennyisége α volt. A C 14 bomlását a következ függvény írja le: c e kt 9
10 amelyb l c e kt = α. Ebbe t = 0-t behelyettesítve a c = α egyenl séghez jutunk. Tudjuk, hogy α e 5730k = α 2, amelyb l k = 1, adódik. Ha a fát t évvel ezel tt vágták ki, akkor α e kt = 0, 9α, amib l t = 1 k ln 0, év. Tehát kb. 870 évvel ezel tt vágták ki a fát. További feladatok. Egy motorcsónak sebessége állóvízben v 0 = 20 (km/h) teljes sebességgel halad, majd a motor leáll, és ezután 40 s alatt a csónak sebessége v 1 = 8 (km/h)-ra csökken. A víz ellenállása arányos a csónak sebességével. Mekkora a csónak sebessége 2 perccel a motor kikapcsolása után? [4] Szigetelt vezet re Q 0 = 1000 (elektrosztatikus egység) töltést juttatunk. A szigetelés tökéletlen, ezért a vezet fokozatosan elveszti töltését. A töltésvesztés sebessége egy adott pillanatban arányos a vezet n jelenlev töltés menynyiségével. Mennyi töltés marad a vezet n t = 10 perc múlva, ha az els percben 100 elektrosztatikus egység a veszteség? [4] 3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethet dierenciálegyenletek Szétválasztható változójúra visszavezethet dierenciálegyenleteknek az y = f(x + y) és az y = f( y ) alakú egyenleteket nevezzük. x Általános megoldás Ha a dierenciálegyenlet y = f(x+y) alakú. Legyen z = x+y, ekkor y = z x és y = z 1, ebbe az el z megfeleltetéseket beleírva z 1 = f(z),vagyis z = f(z) + 1, ami már szétválasztható változójú dierenciálegyenlet. Ha a dierenciálegyenlet y = f( y x ) alakú. Legyen y x = z,tehát zx = y. Az el z összefüggéseket ebbe behelyettesítve f(z) = z + xz azaz f(z) z x = z, ami már szeparábilis egyenlet. 10
11 Alkalmazások 1.Példa (Kutyaúsztatás)[2]. Egy kutya (K) u állandó sebességgel úszik, mindig a gazdája (G) felé az állandó v sebesség folyóban. Mi a kutya pályája? Megoldás. Az y ered sebességvektor (piros) iránytangense: y = u y v u x = u y u x v u x Az ABK háromszög és a GCK háromszög hasonlóak, mert szögeik egyenl ek. Tehát e két háromszög oldalainak hosszára a következ összefüggés érvényes: u y u x = y x u x2 + y 2 = u x x u x = ux x2 + y 2 A kapott adatokat visszaírva az ered sebbességvektorra felírt kifejezésbe, az alábbi diernciálegyenletet kapjuk: y = y x v ux x 2 +y 2 = y x + v u 1 + ( y x )2 Legyen z = y, ekkor a következ szeparábilis egyenlethez jutunk: x z = z + v u 1 + z2 z x = v u 1 + z 2 x 11
12 A dierenciálegyenletet megoldva, mivel x > 0, z-re a követekez egyenl ség áll fenn: z = sh( v (ln x + c)) u Ebb l y = x sh( v (ln x + c)) u A kutya pályája az alábbi esetekben, ha a kutya a (1,0) pontból indul és a gazdája a (0,0) pontban helyezkedik el: c = 0 és v = u 2 (piros görbe) c = 0 és v = u (zöld görbe) c = 0 és v = 2u (kék görbe) 3.3. Els rend lineáris dierenciálegyenletek Els rend lineáris dierenciálegyenleteknek nevezzük az y + py = q alakú egyenleteket, ahol y : I R I R keresend, és p,q : I R adott függvények. q = 0 esetén az egyenlet homogén q 0 esetén az egyenlet inhomogén 12
13 Általános megoldás [1] 1. Integráló tényez módszere: y (x) + p(x)y(x) = q(x) y (x)r + p(x)y(x)r = q(x)r ahol r egy tetsz leges dierenciálható függvény. Azt szeretnénk, hogy az y (x)r + p(x)y(x)r kifejezés egy derivált legyen. (y(x)r) = y (x)r + r y(x) = y (x)r + p(x)y(x)r, ha r = p(x)r. Ilyen választással: (y(x)r) = q(x)r y(x)r = q(x)r + c y(x) = 1 q(x)r + 1 r r c Az r = p(x)r szétválasztható változójú dierenciálegyenlet egy megoldása: r = e p(x). 2. Állandó variálásának módszere Ezt a megoldási módszert a következ példán szeretném szemléltetni. Legyen a dierenciálegyenletünk xy + 3y = x 2, ahol x > 0. Ahhoz, hogy ezt az egyenletet az els rend lineáris dierenciálegyenletek általános alakjára hozzuk, mind a két oldalt el kell osztanunk x-el. Ezért a megoldásokat olyan intervallumokon keressük, amelyek a 0-t nem tartalmazzák. Így a megoldás két lépésb l áll. El ször homogén (y + p(x)y = 0) egyenletet oldunk meg, melynek megoldása mindig y h (x) = ky (x) alakú, ahol k R és Y : I R. Az inhomogén egyenlet megoldását a y(x) = C(x)Y (x) alakban keressük. A C(x)Y (x)-et behelyettesítve az inhomogén egyenletbe a következ összefüggéshez jutunk: ((C(x)Y (x)) + p(x)c(x)y (x) = q(x) 13
14 Ezt alakítjuk: C (x)y (x) + C(x)Y (x) + p(x)c(x)y (x) = q(x) C (x)y (x) + C(x)(Y (x) + p(x)y (x)) Mivel Y megoldása a homogén egyenletnek a kifejezés második tagja nullával egyenl. Tehát C (x)y (x) = q(x), azaz C (x) = q(x) Y (x), melyb l C = q(x) Y (x) és y p (x) = C(x)Y (x) Így az els rend lineáris dierenciálegyenlet általános megoldása: y(x) = y h (x) + y p (x) ahol y h (x) az összes homogén megoldást, y p (x) pedig egy partikuláris megoldást jelöl Alkalmazások 1.Példa (A kis hangya és a gonosz manó meséje)[5]. A kis hangya egy 10 cm hosszú gumiszalag jobb végpontjából indul 1 cm sebességgel a szalag rögzített s bal végpontja felé. Ugyanakkor a gonosz manó a szalag jobb szélét megragadva szaladni kezd 100 cm sebességgel, a rögzített végponttól jobbra távolodva. Beérkezhet-e a hangya a bal s végpontba? Megoldás. Legyen y(t) a hangya távolsága a faltól t id pillanatban. Így a hangya sebessége a távolodás és a közeledés sebességének összege: Az egyenletet rendezve: y y(t) (t) = t 1 y (t) 10 y(t) t = 1 Ez egy els rend lineáris közönséges dierenciálegyenlet, az alábbi megfeleltetéssel: p(x) = 10, q(x) = t Azt szeretnénk, hogy y r 10 yr = r egy derivált legyen, ahol r az integ- 1+10t ráló tényez. Az (yr) = y r + r y = y r 10 ry egyenl ség akkor teljesül, ha 1+10t 14
15 r = 10 r. Ez az utóbbi egyenlet egy szétválasztható dierenciálegyenlet r-re 1+10t nézve, melynek egyik megoldása: r = e t dt ln 1+10t +c = e amely c = 0 esetén, mivel t nemnegatív, az r = t Ezt az ry 10 ry = r egyenletbe beírva: 1+10t Felhasználva az (yr) = r összefüggést: Mindkét oldalt integráljuk: Ebb l: t y (1 + 10t) y = t 1 ( t y) = t t y = ln + c t 10 y(t) = t 10 ln t + c(1 + 10t) Mivel y(0) = 10 = c, y(t)-re a következ összefüggás áll fenn: y(t) = t 10 ln (1 + 10t) + 10(1 + 10t) egyenl séget adja. Tehát a hangya t másodperc alatt eléri a falat. t-t a következ k alapján számolhatjuk. ln (1 + 10t) = 100, azaz t = e 100,tehát t 2, s. 2.Példa [4]. A C kapacitású kondenzátort egy E feszültség R ellenállású áramkörbe kötik. Határozzuk meg a kondenzátor Q töltését a bekapcsolás utáni valamely t id pillanatban. Megoldás. A kondenzátor töltése a t id pillanatban Q, az áramer ssége pedig I = dq. Az áramkörben ebben a t id pillanatban a V elektromotoros er hat, amely dt az alábbi összefüggéssel adható meg: V = E Q C 15
16 ahol E az áramkör, Q C törvénye szerint az I = U R pedig a kondenzátor feszültsége. Az áramer sség Ohm kifejezésb l számolható, tehát az áramer sség, az elekromotoros er és az ellenállás között a következ kapcsolat áll fenn: Így a folyamat dierenciálegyenlete: dq dt = E Q C R dq dt + 1 CR Q(t) = E R Ebb l a homogén egyenlet: melynek megoldása: dq dt + 1 CR Q(t) = 0 Q h (t) = ke 1 CR t ahol k R. Az dq dt + 1 CR Q(t) = E R inhomogén egyenlet megoldását Q(t) = c 1(t)e 1 CR t alakban keressük. Ez utóbbi kifejezést beírva az inhomogén egyenletbe, az alábbi összefüggéshez jutunk: (c 1 (t)e 1 CR t ) + c 1(t)e 1 CR t CR = E R Elvégezve a deriválást és rendezve az egyenletet a következ ket kapjuk: c 1(t) = E Re 1 CR t Ha ezt az egyenletet integráljuk, c 1 -re az alábbi megoldást írhatjuk fel: c 1 = ECe 1 CR t + E R k 2 ahol k 2 R. Innen az inhomogén egyenlet megoldása: Q p (t) = CE + E R k 2e 1 CR t Ebbe a két egyenletbe behelyettesítjük a t = 0 kezdeti feltételt, és vesszük az inhomogén egyenlet egy konkrét k 2 = 0 partikuláris megoldását, melyb l c 1 -re a c 1 = Q p (t) = CE egyenl ség adódik. Tehát a kondenzátor Q töltését a t id pillanatban a Q(t) = Q h (t)+q p (t) összefüggésb l adódóan a kövezkez egyenl ség fejezi ki: Q(t) = ke 1 CR t + CE 16
17 További feladatok. Egy áramkörben sorba van kapcsolva egy R = 100Ω ellenállás, egy L = 0, 25H önindukciós együtthatójú tekercs és egy U bels feszültség áramforrás. Írjuk fel az áramer sség változását az id függvényében! Határozzuk meg, hogy az áramkör zárása után mennyi id vel éri el az áramer sség a maximális áramer sség 99%-át? [7] 3.4. Másodrend homogén lineáris dierenciálegyenletek Az y (x) + g(x)y (x) + h(x)y(x) = 0 alakú dierenciálegyenleteket másodrend homogén lineáris dierenciálegyenleteknek nevezzük. Ahol g : I R, h : I R adott függvények. A megoldáshoz szükséges tudnivalók [2] Legyen y : I R az y (x) + g(x)y (x) + h(x)y(x) = 0 egyenlet megoldása I-n minden x I-re. Tegyük fel, hogy létezik g-nek G primitív függvénye I-n. Ekkor a másodrend homogén lineáris dierenciálegyenletek megoldásaira a következ állítások teljesülnek: Az y(x) = 0 mindig megoldás 1. Ha y 1 és y 2 a y + gy + hy = 0 megoldása, akkor c 1, c 2 R esetén c 1 y 1 + c 2 y 2 is megoldás. Tehát a megoldások vektorteret alkotnak. 2. Ha y 1 és y 2 megoldások, akkor (y 1 y 2 y 1y 2 )e G állandó I-n. 3. Ha y 1 és y 2 a y + gy + hy = 0 megoldása, akkor (y 1 y 2 y 1y 2 ) 0, vagy seholse Ha y 1 és y 2 megoldások és létezik J I intervallum, melyen y 1 0 és ezen az intervallumon y 2 y 1 nem konstans, akkor (y 1 y 2 y 1y 2 ) Ha y 1 és y 2 a y + gy + hy = 0 megoldása és (y 1 y 2 y 1y 2 ) 0, akkor minden megoldás γ 1 y 1 + γ 2 y 2 alakú, ahol γ 1, γ 2 R. Azaz a megoldások vektortere kétdimenziós. 17
18 A (y 1 y 2 y 1y 2 ) kifejezést az y 1, y 2 dierenciálható függvények Wronski-determinánsának nevezzük, és W (y 1, y 2 )-vel jelöljük. Ha y 1 és y 2 a y + gy + hy = 0 egyenletnek két olyan megoldása, amire W (y 1, y 2 ) 0, akkor azt mondjuk, hogy y 1, y 2 alaprendszert, más néven integrálbázist alkotnak Alkalmazások 1.Példa [4]. Egy l hosszúságú, egyik végén rögzített gerendát, a másik végén F er vel terhelnek. Határozzuk meg a lehajlási görbe (neutrális szál) egyenletét és a gerenda végén létrejött lehajlás h nagyságát! Megoldás. Deformálható testek esetén egy tetsz leges keresztmetszet gerenda neutrális szálának görbületi sugara: R = EJ, ahol E a gerenda rugal- M massági modulusa, J a lehajlási görbére vonatkozó keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka, M pedig az adott tengelyhez viszonyított hajlítónyomaték. Mivel a gerenda meghajlása általában nagyon kicsi, ezért az érint dy iránytangense is kicsi dx és az R = (1+y 2 ) 3/2 összefüggésb l az y 2 értéke elhanyagolható. Ezek ismeretében y a neutrális szál dierenciálegyenlete: y = M EJ Ebbe behelyettesítjük az M = F (l x) összefüggést, amely az N(x, y) középponti metszet lehajlási momentumára áll fenn, és megkapjuk a lehajlási görbe egyenletét: d 2 y dx = F (l x) 2 EJ Az egyenlet kétszeri integrálása után az általános megoldás: y = F (l x) 3 + C 1 x + C 2 EJ 6 A C 1 és C 2 állandókat az x = 0, y = 0 és dy dx meg. Ezek szerint C 1 = F l 2 EJ 2, = 0 kezdeti feltételekb l határozzuk C 2 = F l 3 EJ 6 Ezeket az általános megoldásba behelyettesítve a neutrális szál egyenletére a következ kifejezést kapjuk: y = F 2EJ (lx2 x3 3 ) 18
19 A lehajlás nagyságát az el z egyenletb l x = l helyettesítés esetén kapjuk: 2.Példa [4]. h = F 2EJ (l3 l3 3 ) = F l3 3EJ Vizsgáljunk egy olyan m tömeg víz alatt lév tengeralattjárót, amelynek nincs haladó mozgása. Ez a járm a gravitáció hatására merülni kezd, miközben állandó lefelé haladó mozgást végez. Határozzuk meg a v merülési sebességet, ha a kezdeti sebesség a t = 0 id pillanatban v 0 = 0 és a tengeralattjáró T id alatt megtett útját. Megoldás. A testre 3 er hat. A lefelé mutató gravitációs er (F grav ), a felfelé mutató közegellenállási er (F k ) és a felfelé mutató felhajtó er (F f ). Ezeknek a testre ható er knek a nagyságát a következ összefüggésekkel határozhatjuk meg: F grav = mg F k = kav(t) ahol k közegellenállási tényez, A pedig a tengeralattjáró vízszintes vetületének területe. Tehát a közegellenállásier arányos a sebességgel. F f = ρ v gv bent ahol V bent a test térfogatának folyadékba es része, ebben az esetben a tengeralattjáró térfogata. Ekkor Newton második törvénye alapján a merül testre a következ kifejezés érvényesül: F grav kav(t) F f = ma(t) A merülés során a felhajtó és az gravitációs er nem változik. Legyen F f +F grav = P állandó. Így a tengeralattjáró mozgásának dierenciálegyenlete: Vezessük be a dy dt összefüggéshez jutunk: m d2 y dt 2 + kady dt P = 0 = v jelölést, majd az egyenletet osszuk el m-el. Ekkor az alábbi dv dt + kav m P m = 0 19
20 Az egyenletet szétválasztva, majd integrálva a következ általános megoldást kapjuk: m ln C(P kav) = t ka A kezdeti feltételekb l meghatározhatjuk a C állandó értékét. Ezek szerint C = 1 P, tehát a megoldás m ka ln 1 P (P kav) = m ka ln (1 k P Av) = t alakú. Ebb l a következ algebrai átalakítások után ln (1 k P Av) = ka m t kifejezzük v merülési sebesség értékét: 1 k P Av = e ka m t v = P ka (1 e m t ) ka A T id alatt megtett út meghatározásához az el z egyenletet az alábbi alakban írjuk fel: v = ds dt = P ka (1 e m t ) ka Ha ezt a dierenciálegyenletet szétválasztjuk és integráljuk, megkapjuk a következ útképletet az id függvényeként: s = P ka (t + m ka ka e m t+c ) A t = 0, s = 0 kezdeti feltételekb l a C = m ka el z egyenletbe és az alábbi kifejezéshez jutunk: adódik. Ezt visszahelyettesítve az s = P ka (t + m ka ka e m t m P ka ) = ka [t m ka (1 e m t )] ka Tehát a t = T id höz tartozó s keresett út a következ : s = P ka [T m ka (1 e m T )] ka 20
21 További feladatok. Egy hajó egy lejt n csúszik a vízbe. Mennyi id alatt ér a vízbe a hajó a rögzít kötelek elávágásától számítva, ha a lejt hossza s = 50m, a lejt hajlásszöge α = 25 o, a súrlódási együttható pedig k = 0, 4? [7] Határozzuk meg, hogy mekkora sebességel tér vissza a v 1 sebességgel függ legesen fell tt lövedék a kiindulási helyére, ha tudjuk, hogy a leveg nek az es testre gyakorolt ellenállása kv Állandó együtthatós másodrend homogén lineáris differenciálegyenletek Az x + px + gx = 0 alakú egyenleteket, ahol p, q R állandó együtthatós másodrend homogén lineáris dierenciálegyenleteknek nevezzük. Általános megoldás [3] Az egyenlet megoldásait az x(t) = e λt (λ R) fügvények között próbáljuk keresni. x(t)-t az x + px + gx = 0 egyenletbe helyettesítve az alábbi összefüggést kapjuk: (λ 2 + pλ + q)e λt = 0 Az e λt 0 (t R) kifejezés teljesül, ezért a t e λt függvény akkor és csak akkor lesz megoldása az x + px + gx = 0 egyenletnek, ha λ 2 + pλ + q = 0. Az utóbbi másodfokú egyenletet az x + px + gx = 0 dierenciálegyenlethez tartozó karakterisztikus egyenletnek nevezzük. A karakterisztikus egyenlet megoldásakor 3 esetet különböztethetünk meg: 1. Az egyenletnek két különböz valós gyöke van, azaz p 2 4q > 0. Ekkor λ 1 = p + p 2 4q, λ 2 = p p 2 4q 2 2 Eszerint φ 1 (t) = e λ 1t és a φ 2 (t) = e λ 2t függvények az x +px +gx = 0 egyenlet 21
22 megoldásai és φ 1, φ 2 alaprendszert alkotnak. Így az x + px + gx = 0 dierenciálegyenlet általános megoldása: φ(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ 2t ahol c 1, c 2 R. 2. A karakterisztikus egyenletnek egy megoldása van, azaz p 2 = 4q. Ekkor λ = p 2 A φ 1 (t) = e λt megoldása az egyneletnek, az alaprendszer másik eleme pedig az (λ 2, t) e λ2t függvénynek a λ 2 változó szerinti parciális deriváltja te λ1t. 3. A karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása, azaz p 2 < 4q. Ekkor λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ alakúak, ahol α, β R és β 0. Ebben az esetben φ 1 = e αx cos βx és φ 2 = e αx sin βx alaprendszert alkotnak Alkalmazások 1.Példa (Harmonikus rezg mozgás) [4]. Függ leges rugóra G súlyú testet függesztünk. Ez a rugót l hosszúsággal nyújtja meg. Húzzuk a felfüggesztett súlyt a hosszúsággal lejjebb, majd engedjük szabadon mozogni. Határozzuk meg a rugó mozgásegyenletét úgy, hogy minden egyéb hatást gyelmen kívül hagyunk, és a rugó súlyát elhanyagoljuk. 22
23 Megoldás. A felfüggesztett súlyra tetsz leges A(x) helyzetben két er hat. Egy lefelé ható G = mg súlyer és egy felfelé ható F r rugóer, amely próbálja viszszatéríteni a testet. Mivel a rugóer arányos a rugó megnyúlásával, az F r rugóer re a következ összefüggés áll fenn: ahol D = mg l F r = Dx a rugóállandó, x pedig a megnyúlás mértéke. Newton II. tövénye (F = ma) alapján a rugó mozgásegyenlete: m d2 x dt 2 = mg x l Az egyenletet átrendezve a következ t kapjuk: d 2 x dt 2 + g l x = 0 Ezt integrálva az általános megoldáshoz jutunk: g g x = c 1 sin l t + c 2 cos l t A test legalsó helyzetében felhasználva a kezdeti feltételeket (t = 0, x = a, dx dt = 0) meghatározzuk a c 1 és c 2 értékét. Eszerint c 1 = 0 és c 2 = a egyenl ségekhez jutunk. Ezeket behelyettesítve az dierenciálegyenlet általános megoldásába az x = a cos g t kifejezést kapjuk eredményül. l 2.Példa (Csillapított rezg mozgás)[7]. Csillapított rezg mozgásról akkor beszélünk, ha egy harmonikus rezg mozgást végz pont rezgését valami, például súrlódás akadályozza. Ilyen esetekben a test kitérése arányos a gyorsulásával és a sebességével, de mind a kett vel ellenkez irányú. A folyamatot a következ differenciálegyenlet írja le: my = 2sy ω 2 my ahol m a test tömege, s pedig a csillapítási tényez. Legyen s = k pozitív állandó és ω > 0. Így a rezg pont mozgását az alábbi m másodrend állandó együtthatós homogén dierenciálegyenlet írja le: y + 2ky + ω 2 y = 0 23
24 melynek karakterisztikus egyenlete: λ 2 + 2kλ + ω 2 = 0 Ezt megoldva λ 1 = k + k 2 ω 2 és λ 2 = k k 2 ω 2 kapjuk eredményül. Attól függ en, hogy k és ω állandók mekkora értéket vesznek fel 3 esetet különböztethetünk meg: 1. ha k > ω k 2 ω 2 > 0, tehát a rezgést kiváltó er höz képest nagy a súrlódás. Ekkor a karakterisztikus egyenletnek két negatív valós gyöke van. Így a dierenciálegyenlet általános megoldása: y = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t y(0) = 0 és y (0) = v 0 > 0 kezdeti feltételek mellett c 1 = v 0 λ 1 λ 2 és c 2 = v 0 λ 2 λ 1. Innen a megoldás: y = v 0 λ 1 λ 2 (e λ 1t c 2 e λ 2t ) Az ilyen rezgéseket túlcsillapított rezgéseknek nevezzük. A nagy súrlódású folyadékban kitérített inga például ilyen mozgást végez. 2. ha k = ω k 2 ω 2 = 0, akkor a karakterisztikus egyenlet megoldása λ 1 = λ 2 = k, a dierenciálegyenlet általános megoldása pedig: y = c 1 e kt + c 2 te kt A y(0) = 0 és y (0) = v 0 > 0 kezdeti feltételeket gyelembe véve c 1 = 0 és c 2 = v 0, ahonnan a megoldás: y = v 0 te kt Tehát a kitérés-id grakon hasonló, mint az el z esetben. 3. ha k < ω k 2 ω 2 < 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van. Ezek az alábbiak: λ 1,2 = k ± i ω 2 k 2 24
25 Ebb l a következ általános megoldás írható fel: y = e kt (c 1 cos ω 2 k 2 t + c 2 sin ω 2 k 2 t) Az el z ekben is használt kezdeti feltételekb l c 1 = 0 és c 2 = v 0 ω 2 k 2 adódik. Ezeket az általános megoldásba behelyettesítve, az egyenletre az alábbi megoldást kapjuk: y = v 0 ω2 k 2 e kt sin ω 2 k 2 t A súrlódás fékez, csillapító hatását a következ grakon szemlélteti. 25
26 4. Összegzés Dolgozatomban a dierenciálegyenletek típusaival és azok általános megoldásaival, alkalmazásaikkal foglalkoztam. F célom az volt, hogy zikai feladatok segítségével szemléltesebbé tegyem ezeket az egyenleteket. Úgy gondolom, szükségünk van ilyen példákra, mert ezek által a matematikai összefüggések gyakorlati hasznát fedezhetjük fel. Véleményem szerint egy tanuló sokkal szívesebben foglalkozik egy olyan feladattal, amit a hétköznapi életb l veszünk, hiszen ez érdekesebbnek bizonyul, mintha csak egy felírt egyenletet oldanánk meg. Tanár szakos hallgatóként pedig fontosnak tartok minden olyan módszert, amely segítségével érdekesebbé lehet tenni a tananyagot a diákok számára. Remélem, hogy dolgozatom által sikerült a Kedves Olvasónak betekintést nyernie a dierenciálegyenletek világába és felismernie azok fontosságát a mindennapjainkban. 26
27 Irodalomjegyzék 1. Besenyei Ádám: Analízis, ELTE el adásjegyzet 2012/2013. tavaszi félév 2. Buczolich Zoltán: Analízis, ELTE el adásjegyzet 2011/2012. tavaszi félév 3. Hatvani László - Pintér Lajos: Differenciálegyenletes modellek a középiskolában Polygon, Szeged K. K. Ponomarjov: Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, Budapest Laczkovich Miklós - T.Sós Vera: Analízis I., Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest Raisz Péterné: Dierenciálegyenletek példatár matrpne/diffegypeldi.pdf 7. Scharnitzky Viktor: Dierenciálegyenletek, M szaki könyvkiadó, Budapest V. I. Arnold: Közönséges dierenciálegyenletek, M szaki könyvkiadó, Budapest
valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenDierenciálegyenletek zikai alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Dierenciálegyenletek zikai alkalmazásai Bsc Szakdolgozat Reibl Dávid Matematika Bsc Elemz szakirány Témavezet : Mezei István adjunktus Budapest 2015
RészletesebbenMatematika mérnököknek 2. Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek
Matematika mérnököknek 2 Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek 1 Ismétlés Di-számítás Határozatlan integrál Matematika mérnököknek 2 2 Di-számítás Desc Summa Fa
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat Földtudomány szak III/1 Mincsovics Miklós Emil
Differenciálegyenletek gyakorlat Földtudomány szak III/1 Mincsovics Miklós Emil Kurics Tamás, Simon Péter, Csomós Petra, Havasi Ági, Izsák Feri, Karátson János feladatsorainak felhasználásával készült.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFizika A2E, 8. feladatsor
Fizika AE, 8. feladatsor ida György József vidagyorgy@gmail.com. feladat: Az ábrán látható áramkörben határozzuk meg az áramer sséget! 4 5 Utolsó módosítás: 05. április 4., 0:9 El ször ki kell számolnunk
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenDierenciálegyenletek Jegyzet. Eisner Tímea Pécsi Tudományegyetem
Dierenciálegyenletek Jegyzet Eisner Tímea Pécsi Tudományegyetem Matematika BSc szakos hallgatóknak 0 Tartalomjegyzék El szó 5. A dierenciálegyenlet fogalma 7. Közönséges dierenciálegyenletek.. Els rend
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMit nevezünk nehézségi erőnek?
Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
RészletesebbenStatikailag határozatlan tartó vizsgálata
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben
RészletesebbenAz inga mozgásának matematikai modellezése
Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA. II. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló FIZIKA II. kategória Javítási-értékelési útmutató 1. feladat. Az m tömeg, L hosszúságú, egyenletes keresztmetszet,
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenFeladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben