Operációkutatás. Glashütter Andrea

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Operációkutatás. Glashütter Andrea"

Átírás

1 Glashütter Andrea

2 Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges mátri: 8 M, ahol számpár jelöli a mátri típusát. A mátri egy tetszleges elemére a következképpen hivatkozhatunk: a. Speciális mátriok:. Kvadratikus (négyzetes) mátri: sorok és oszlopok száma megegyezik. 9 K A kvadratikus mátri azon elemei, amelynek a sor és oszlopindeei megegyeznek a mátri fátlóját alkotják.. Diagonális mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlón kívüli elemei csupa nullák. D. Egységmátri: olyan diagonális mátri, melynek fátlójában csak egyesek vannak. E Az egységmátri jele mindig: E. Ha egy tetszleges mátriot megszorzunk egységmátriszal és a szorzás elvégezhet, akkor az eredménymátri megegyezik az eredeti mátriszal.

3 Mátriok. Alsó háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója felett csak nullák vannak. A. Fels háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója alatt csak nullák vannak. 6 F 6. Nullmátri: olyan mátri, melynek minden eleme nulla. Oszlopvektor: n típusú mátri. o 8. Sorvektor: m típusú mátri. ( ) * s 9. Egységvektor: olyan vektor, amelynek egyetlen komponense, az összes többi nulla. ( ) * e ( ) * e. Összegzvektor: olyan vektor, melynek minden komponense.

4 Mátriok Mveletek: Legyen A, és B 8 6. Transzponálás: A *, azaz az A mátri elemeinek oszlop- és sorindeét felcserélve kapjuk 8 A T * mátri elemeit. Ha a, akkor a. Az A kvadratikus mátri szimmetrikus, ha * A A. Pl: SZ 6 6 Az A kvadratikus mátri ferdén szimmetrikus, ha A A*. Pl: F 6 6. Relációk: < > Csak azonos típusú mátriokat lehet egymással összehasonlítani. Mindig az azonos inde9 elemeket kell összehasonlítani a két mátriban. Ha van olyan reláció, amely minden egyes elempár esetén igaz, akkor a reláció igaz a két mátrira is. Pl: ha C, akkor elmondhatjuk, hogy A C. 9. Összeadás: Csak azonos típusú mátriok adhatók össze, az összeadást elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeket adjuk rendre össze. A B. 6 Tulajdonságok: -kommutatív: ABBA -asszociatív: (AB)CA(BC)

5 Mátriok. Kivonás: Csak azonos típusú mátrioknak lehet a különbségét képezni. A m9veletet elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeknek képezzük a különbségét. A B 6 6. Skalárral való szorzás: A mátri minden elemét megszorozzuk a kijelölt skalárral (valós számmal). 6 C 6 8 µ ( ) ( µ A) Legyen A, A, A n azonos típusú mátriok,,,, n tetszleges skalárok. Ekkor a A A n A n mátriot az A, A, A n mátriok,,, n skalárokkal való lineáris kombinációjának nevezzük. Nemnegatív lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak. Konve lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak és az összegük. A 8 A 6 A A A 9 9 A 9 6. Mátriok szorzása FALK-SÉMÁval: A ; B A szorzás nem minden esetben végezhet el. Meg kell vizsgálni, hogy az els tényez (A) oszlopainak száma () megegyezik-e a második tényez (B) sorainak számával (). Ha a két szám egyenl, akkor a szorzás elvégezhet, ellenkez esetben nem.

6 Mátriok A B *(-)* (-)*(-)* ** (-)** ** (-)** Tulajdonságok: általában nem kommutatív asszociatív: (AB)CA(BC) (ha a m9veletek elvégezhetk) (A)B(AB) disztributív: (AB)CACBC A(BC)ABAC (ha a m9veletek elvégezhetk) Összefoglaló tulajdonságok: (AB) * A * B * (A) * A T (AB) * B * A *. Hatványozás: Csak kvadratikus mátriokat lehet hatványozni! A E (mindig ugyanolyan típusú amilyen A mátri) A A A AA A A A M A n A n- A 6

7 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció II. Lineáris egyenletrendszerek és a Gausselimináció A lineáris egyenletrendszer bvített mátrián hajtunk végre ekvivalens m9veleteket úgy, hogy az eredeti mátriból egy fels háromszögmátriot kapjunk. Így már könnyen leolvashatjuk az egyenletrendszer megoldásait. Elvégezhet mveletek:. Tetszleges -tól különböz valós számmal bármelyik sort meg lehet szorozni.. Bármelyik sorhoz hozzá lehet adni a többi sornak egy lineáris kombinációját.. A sorok sorrendjét fel lehet cserélni. A m9veletek elvégzése után, a megoldások leolvasáskor a következ esetekkel találkozhatunk: az egyenletrendszernek megoldása van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van az egyenletrendszernek nincs megoldása. feladat Oldjuk meg a következ lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszerbl elsként fel kell írni annak bvített mátriát. Ez a bvített mátri az együtthatókból és az egyenletek jobb oldalából áll: Ezen a mátrion kell a fenti m9veleteket végrehajtani úgy, hogy fels háromszög mátri alakú legyen.. lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a sort:

8 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció. lépés: az els sorhoz adjuk hozzá a. sor kétszeresét:. lépés: cseréljük fel az. és a. sort: lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a. sor háromszorosát: Megkaptuk a mátri kívánt alakját. Ebbl is fel tudunk írni egy egyenletrendszert, amelynek a megoldásai megegyeznek az eredeti lineáris egyenletrendszer megoldásaival: - - Az egyenletrendszer. sorából leolvashatjuk hogy. Ezt behelyettesítve a. egyenletbe már csak marad ismeretlen. Megoldva az egyenletet kapjuk: -. Végül az els egyenletbe behelyettesítve az ismert értékeket eredményre jutunk. Megkaptuk tehát az egyenletrendszer megoldásait. Láthatjuk ennek az egyenletrendszernek megoldása van.. feladat 6 Megoldás: az egyenletrendszernek nincs megoldása feladat Megoldás: az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. 6 8

9 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel III. Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat -, FELTÉTELEK ma CÉLFÜGGVÉNY Meg kell keresni az összes olyan pontot, amelyek a megadott feltételeket egyidej9leg teljesítik (L: lehetséges megoldások halmaza). A kapott pontokból kiválasztunk egyet, vagy többet, amelynél a célfüggvény felveszi a kívánt szélsértéket. MAXIMUM PONT LEHETSÉGES MEGOLDÁSOK HALMAZA z : Maimum pont meghatározása: toljuk a célfüggvényt felfelé mindaddig, míg el nem érünk egy olyan pontot, amelynél ha még feljebb tolnánk z -et, akkor már elhagyná L-t. Ez a pont lesz a maimumpont. Jelen esetben ez a pont a. egyenes és. egyenes metszéspontja: 6-9 amelybl és. Ezeket az értékeket a célfüggvénybe behelyettesítve kapjuk a maimum értékét: 8 9

10 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel Definíciók: Halmaz bels pontja: olyan pont, amelynek van olyan környezete, ami szintén a halmazhoz tartozik. Határpont: minden környezet olyan, hogy a halmazhoz tartozó és halmazon kívüli része is van. Etremális pont: a csúcspontok.. feladat - - ; ma Látható, hogy L most egy nemkorlátos halmaz, melyen z : 6 függvényt felfelé tolva a felvett függvényérték tetszlegesen nagy lehet, így a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán, a feladatnak nincs optimális megoldása. (Az, hogy L nem korlátos nem jelenti egyértelm9en, hogy nincs optimális megoldása a feladatnak, hiszen ha z: min lenne, akkor a célfüggvényt értelemszer9en lefelé kellene tolni, és akkor a (,) koordinátájú pont lenne az optimális megoldás.)

11 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenessel. Azaz a maimumot most nem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy szakasz összes pontjában. Ennek a szakasznak kell felírni az egyenletét: Legyenek a szakasz végpontjai Q és Q. Ki kell számolni ezek koordinátáit. Q koordinátáit az. és. egyenesek metszéspontja adja:,. 9 9 Q koordinátáit már kiszámoltuk az. feladatban:,. A szakasz q q, és q Q pont, q Q pont koordinátái.( Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) Behelyettesítve a kapott értékeket: 9 6 A szakasz összes A szakasz egy tetszleges pontjának (pl. valamely végpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét ().

12 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenes L halmazt határoló félegyenesével. Azaz a maimumot most sem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy félegyenes összes pontjában. Ennek a félegyenesnek kell felírni az egyenletét: Legyenek a félegyenes végpontja Q. Ki kell számolni a koordinátáit. Q koordinátáit az. egyenes és az tengely metszéspontja adja: (, ). A félegyenes egyenlete: q tv, ahol t, q Q pont koordinátái és v a félegyenes irányvektora. (Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) A félegyenes irányvektora a következképpen adható meg: A célfüggvény egyenlete -, azaz ennek irányvektora, ahol együtthatója a vektor elemei a következk: együtthatójának ( ) - szerese Behelyettesítve a kapott értékeket: A félegyenes összes pontja: t, ahol t. A félegyenes tetszleges pontjának (pl. kezdpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét (8).

13 Szöveges feladatok IV. Szöveges feladatok Egy pék kg lisztet, kg cukrot,, kg vajat használhat fel féle süti elkészítéséhez. Egy tucat A süti elkészítéséhez kg lisztre, kg cukorra és kg vajra, míg tucat B süti elkészítéséhez 6 kg lisztre, ½ kg cukorra és kg vajra van szüksége. tucat A sütin Ft, tucat B sütin Ft a nyeresége. Hány tucat A és B süti elkészítése maimalizálja a pék nyereségét? TERMÉKEK A B KAPACITÁS ER<FORRÁSOK LISZT 6 CUKOR ½ VAJ, TERMÉKEK HOZAMA A táblázat alapján felírhatjuk az LP feladat matematikai modelljét:, 6 (A feladatot grafikusan megoldva a következ megoldást kapjuk: ;,; és ma), ma

14 Modellalkotás V. Modellalkotás. feladat Egy gyár négyféle terméket (A,B,C,D) termel három erforrás (I., II., III.) segítségével. A fajlagos felhasználásokat, az egyes termékek árát és az egyes erforrások kapacitását az alábbi táblázat mutatja: TERMÉKEK A B C D ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA ER<FORRÁSOK I. 8 II. III: ÁR 6 8 Mennyit termeljen az egyes termékekbl a gyár, ha a maimális árbevételt akar elérni az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) Az erforrások kapacitása nem léphet túl. b) Az A és B termékekbl legalább annyit kell termelni, mint C-bl. c) A B termékbl legfeljebb egységgel termelhet több, mint D-bl. Megoldás: Jelölje az A-ból, az B-bl, az C-bl, az D-bl gyártandó mennyiséget! Ezekkel a változókkal a feladat matematikai modellje a következ formában írható fel:, 6 8,, 8 ma

15 Modellalkotás. feladat Egy üzemben három gépen (I., II., III.) ötféle terméket (A, A, A, A, A ) lehet elállítani. Minden terméknek mindhárom gépen keresztül kell mennie. Az egyes termékek gépidszükséglete az egyes gépeken különböz. A fajlagos gépidszükségletet, a gépek kapacitását munkaórában a következ táblázat mutatja: TERMÉKEK A A A A A ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA I. 8 GÉPEK II. 6 III: Az egyes termékek értékei rendre:,,,, egység. Mennyit termeljen az egyes termékekbl, ha az a célja, hogy maimális termelési értéket érjen el az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) A gépek kapacitása nem léphet túl. b) Az els termékbl legalább kétszer annyit kell termelni, mint az ötödikbl. c) A második és a harmadik termékbl összesen legfeljebb darab termelhet. Megoldás: Ha i jelöli az A i (i,,,,) termékbl gyártandó mennyiséget, akkor a feladat matematikai modellje: 8,,,, 6 ma

16 Szállítási feladat VI. Szállítási feladat. feladat FELVEV<HELYEK F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG RAKTÁRAK R 8 R R 9 IGÉNY 6 A táblázatban található számok költségeket jelentenek, azaz például az els raktárból az els felvevhelyre egység terméket 8 egység költséggel tudunk elszállítani. (A költségeket jelöl számok által alkotott mátriot költségmátrinak nevezzük, elemeit c ij -vel jelöljük.) Célunk, hogy megtaláljuk a legolcsóbb szállítást, mellyel minden felvevhely igénye kielégítést nyer, és minden raktár kiürül. Kezdeti feltételként meg kell szabnunk, hogy: A RAKTÁROZOTT MENNYISÉGEK ÖSSZEGÉNEK EGYENLNEK KELL LENNIE A FELVEVHELYEK IGÉNYEINEK ÖSSZEGÉVEL!!!. A feladatot sorminimum-módszer segítségével oldjuk meg. Az eljárás lényeg a következ: Kiválasztjuk a táblázat els sorát. Mivel célunk a legolcsóbb szállítást megtalálni, így a legkisebb költségelem által meghatározott viszonylatban elszállítjuk a maimális mennyiséget. (Ezzel a szállítással vagy kimerült egy raktár, vagy egy megrendel igényét teljesen kielégítettük.) A táblázat szélén lév kapacitást és igényt csökkentjük az elszállított mennyiséggel. Ha nem a tárolóhely kapacitása merült ki, akkor a sor következ legkisebb elemével ismételjük meg ezt a lépést. Ha a tárolóhelyen már nincs elszállítandó termék, akkor a következ sorra lépünk, és ott ismételjük meg az eljárást. Ezeket a lépéseket addig ismételjük, míg eljutunk az utolsó sorba és kifogynak a raktáraink, valamint minden felvevhelyre eljuttatuk a kívánt mennyiséget. Az eljárás segítségével megkapunk egy lehetséges megoldást, mellyel azt a feltételt teljesítettük, hogy raktáraink kiürüljenek és az igényeket is kielégítettük. Ha a fenti lépéseket a kezdeti táblázaton végrehajtjuk a következ táblázatot kapjuk: 6

17 Szállítási feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R 8 6, R R 8 9,, IGÉNY 6 8,, Azokat a helyeket, ahol szállítás történik kötött helynek (pl: 6 ), a többit pedig szabad helynek nevezzük A kötött helyek száma minden szállítási feladatban: RAKTÁRAK SZÁMA (m db)felvevhelyek SZÁMA (n db)- Azaz ebben a feladatban: -6, ami teljesül is, hiszen pontosan 6 kötött helyet jelöltünk be. Tehát egy lehetséges megoldása a feladatnak a következ: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8 6. szállítás: R \ F Ezen szállítás költsége: *6****89*66. Kérdés: ez az optimális megoldás, vagy létezik ennél olcsóbb szállítás is? Ennek eldöntéséhez rendeljünk hozzá a táblázat minden sorához és oszlopához változókat! Legyenek ezek sorok szerint u, u, u m, az oszlopok szerint v, v, v n! Határozzuk meg ezeknek változóknak az értékét úgy, hogy fennálljon a következ összefüggés: Kötött helyeken: c ij u i v j Szabad helyekre számoljuk ki c ij -( u i v j ) értékeket. v v v v 8 u u -6 u

18 Szállítási feladat Kötött helyekre képezzük a c ij u i v j egyenleteket: (mn- db egyenlet). u v. u v. u v. u v. u v 6. u v 9 változó, 6 egyenlet ` egy szabad ismeretlen legyen u u helyére -át behelyettesítve a többi változó értéke rendre kiszámítható. Szabad helyekre számítsuk ki a c ij -( u i v j ) értékeket. Ha ezen értékek mindegyike pozitív, az eljárás véget ért, a feladat lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Ha ezen értékek között van negatív, akkor a lehetséges megoldás nem optimális megoldás, szállítások átrendezésével a költségeinket csökkenteni tudjuk. Keressük meg a negatív értékek közül a legkisebbet. Ebbl a pontból indulva képezzünk hurkot a következképpen: Hurok: olyan zárt poligon, amelyik egy szabad helyrl indul ki, és úgy jut oda vissza, hogy közben a poligon sarkain csak kötött helyek vannak. A fenti példában egyetlen egy olyan helyet találtunk a táblázatban, amelyre c ij -( u i v j ) érték negatív. Ebbl a pontból kell kiindulnia a huroknak. A megfelel kötött helyek megkeresésével a következ hurkot kapjuk: A hurok elemeit jelöljük el illetve jelekkel a következképpen: a hurok kiindulási pontjában lév szabad elem jelet kap, majd a kötött helyeket felváltva és jelekkel lássuk el. Így a következket kapjuk: Számítsuk ki a jellel ellátott helyeken lév szállítások minimumát: min(;). Ezt a minimumot adjuk hozzá a jellel ellátott helyek szállításához, és vonjuk ki a jellel ellátott helyek szállításából. A hurok a következképpen alakul: Látható, hogy szabad hely volt, eddig ott nem volt szállítás, de az átrendezéssel egység szállítást rendeltünk hozzá, így ez a hely kötötté vált. Ugyanakkor 9 kötött hely volt egység szállítással, de elvettük onnan az összes szállítást, így szabad hellyé vált. Általánosságban is elmondható, hogy hurokképzés után egy szabad helybl kötött hely lesz, míg egy kötött hely szabaddá válik. Mivel a kötött és szabad helyek viszonya megváltozott újra kell számítani az u-v táblázat értékeit. 8

19 Szállítási feladat v v v v u u - u Látható, hogy most minden szabad helyen az c ij -( u i v j ) értékek pozitívak, azaz a feladat ezen lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Megkaptuk a lehet legolcsóbb szállítást az adott feltételek mellett. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F Szállítási költség: *6*****6. Fiktív igényl, fiktív raktár A szállítási feladatok esetében sokszor elfordul, hogy a feladat kiírása nem tesz eleget annak a követelménynek, hogy az raktározott mennyiségek összege egyenl legyen az igényel mennyiségek összegével. Két eset fordulhat el: raktárak felesleges kapacitással rendelkeznektúlkínálat vanfiktív igénylt iktatunk be. több az igény, mint a raktározott mennyiségtúlkereslet vanfiktív raktár biztosítja a hiányzó mennyiséget. Fiktív helyeken a szállítások költsége minden esetben (c ij ).. feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY A raktározott mennyiségek összege:. Igények összege: 8. fiktív felvevhelyet kell felvenni, ahol az igény éppen annyi, hogy az egyenlség teljesüljön, azaz. 9

20 Szállítási feladat F F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY Ezek után a feladatot ugyanúgy kell megoldani, mint az. feladat esetében. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F Szállítási költség: 89.

21 Játékelmélet VII. Játékelmélet A játékelméletben olyan helyzeteket vizsgálunk, amelyekben két vagy több személy cselekvései befolyásolják egy esemény kimenetelét, de nem feltétlenül határozzák meg. Így az olyanféle játékok, amelyek kimenetele csak a véletlentl függ (pl.: kockajáték) nem tartoznak a játékelmélet körébe, mert itt nem egy másik játékossal, hanem a szerencsével áll szemben a játékos. Minden játéknak megvannak a szabályai, amelyek a mi esetünkben a következk:. A játékosok száma.. Az egyes játékosok lehetséges tevékenységei. Ezeket a tevékenységeket a játékelméletben a játékos stratégiáinak nevezzük.. Az egyes stratégiák alkalmazása esetén a játékos mennyit nyer vagy veszít. Ezt adja meg a kifizetfüggvény. Legegyszer9bb játékelméleti probléma a kétszemélyes, zérusösszeg9 játékok problémája. ZérusösszegG a játék, ha a játékosok nyereményeinek és veszteségeinek összege, vagyis amennyit nyer az egyik annyit veszít a másik. Minden kétszemélyes játék kifizetfüggvénye egy mátriszal adható meg. A mátrinak annyi sora van, amennyi az egyik játékos stratégiáinak száma, és annyi oszlopa, ahány stratégiája van a másik játékosnak. A mátri eleme az els játékos nyereményét (ill. a másik játékos veszteségét) adja meg. A játékosokat nevezzük A -nak és B -nek. A stratégiáinak száma legyen n, B stratégiáinak száma m. Az A játékos nyereményét tartalmazza a C mátri: c c K cm c c K c m C M M O M c n c n K c nm A c ij szám azt mutatja meg, hogy ha az els játékos az i-edik stratégiát, a második játékos a j-edik stratégiát választja, akkor az els játékos nyereménye c ij. Ha c ij >, akkor az els játékos nyer c ij -t, ha c ij <, akkor az els játékos veszít. Az A olyan i kiválasztására törekszik, hogy c ij a legnagyobb, a B pedig olyan j-t választ, hogy c ij a legkisebb legyen.. feladat Egy vendéglátós egység növelni akarja árait. Különféle lehetségei vannak az áremelés mértékére, kiterjedésére. Az áremelésre a vendégkör is különbözképpen reagálhat: van akit nem befolyásol az áremelés, ugyanannyit fogyaszt, tehát többet fizet, így az egységnek n a bevétele. Van aki ritkábban jön, kevesebbet fogyaszt, így az egységnek csak kisebb mértékben n, vagy nem változik bevétele. Lehet, hogy egyesek nem jönnek többet az étterembe, így az áremelés az egység számára ráfizetést eredményez. Tegyük fel, hogy az egység áremelési stratégiát alkalmazhat, a vendégkör pedig típusra osztható, azaz féle stratégiát alkalmazhat. Legyen A játékos a vendéglátó egység, B játékos a vendégkör. Az A játékos nyereménymátria:

22 Játékelmélet B I. II. III. IV A - - Az A és B játékosnak egyidej9leg kell választania stratégiát, vagyis A -nak egy sort, B -nek egy oszlopot kell választania. A játékos gondolkodása: Megnézem, hogy az egyes stratégiák választása esetén mi a legrosszabb eset, vagyis mennyi a minimális nyereségem (ami persze veszteség is lehet). Ha az. stratégiát választom, akkor az els sor elemei:,-,-,- közül kell választani a legkisebbet, ez -. Hasonlóképpen a stratégia esetén a minimális nyereség, végül a harmadik sor elemei közül a legkisebb -. Tehát a minimális nyereségek sorban: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legnagyobbat () választom, tehát a. stratégiát alkalmazom. Ebben az esetben az ellenfél bármely stratégiája esetén is legalább érték9 nyereségem van, vagyis biztosan nem veszítek semmit, de lehetségem van a nyerésre is. B játékos gondolkodása: Hasonlóképpen a legrosszabb esetet, a maimális veszteséget nézem meg az egyes stratégiák alkalmazása esetén. ha az I. stratégiát választom, akkor az els oszlop elemei mutatják a veszteséget: lehet, vagy - (vagyis a nyereségem ). ezek közül a legnagyobb. A II. stratégia esetén a második oszlop elemei közül kell kiválasztani a legnagyobbat, ez. A harmadik oszlop elemei közül a legnagyobb, végül a negyedik oszlop elemei közül a legnagyobb a. Tehát a maimális veszteségek: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legkisebbet választom (), tehát a III. stratégiát alkalmazom. Ekkor legfeljebb a veszteségem, de nyerhetek is. Jelöljük be ezeket a döntéseket a mátriban: I. II. III. IV * * - - Tehát ha az A játékos a., és a B játékos a III. stratégiát alkalmazza, akkor mindkét játékos a mátrinak ugyanazt az elemét választja, a játék értéke pedig. A játék igazságos, mert egyik játékos sem nyer és egyik sem veszít. A kifizetfüggvény, a mátri nyeregpontjának nevezzük azt a (k,l) számpárt, amelyre igaz, hogy a hozzá tartozó c kl függvényérték az t tartalmazó sorban a legkisebb, ugyanakkor az t tartalmazó oszlopban a legnagyobb szám.

23 Játékelmélet Ha létezik a mátrinak nyeregpontja, akkor a játékot szigorúan determináltnak nevezzük, és az a (k,l) stratégiapár az optimális stratégia. A szigorúan determinált játék optimális stratégiáját tiszta stratégiának nevezzük, a nyeregpontban lév elem, c kl pedig a játék értéke. Ha a játék értéke, akkor a játékot igazságosnak nevezzük. A példában ismertetett játék szigorúan determinált, az optimális tiszta stratégia, a mátri nyeregpontja a (,) számpár. A játék igazságos, mert a játék értéke, c -val egyenl.. feladat Nem minden esetben olyan egyszer9 a megoldás, mint az elz példában. Legyen a játék mátria: C Nézzük meg, hogy van-e nyeregpontja a mátrinak: Soronkénti minimumokat és oszloponkénti maimumokat keresve kapjuk: I. II.. *. * Látható, hogy a mátrinak nincs nyeregpontja, a játék nem szigorúan determinált. Így tehát nem lehet megadni az eddig ismertetett módon az optimális stratégiát. Hogyan gondolkodhatnak a játékosok? Mivel egyik stratégia sem optimális, felváltva alkalmazom mindkét lehetséges stratégiát. Ezt kevert stratégiának nevezzük Az A játékos számára a kevert stratégia a következket jelenti: Játszd az. sort p valószín9séggel, a. sor p valószín9séggel. A B játékos számára pedig a kevert stratégia: Az I. oszlopot q valószín9séggel, a II. oszlopot q valószín9séggel válaszd! Az A játékos nyereménye egy diszkrét valószín9ségi változó, jelöljük -vel, és képezzük a nyeremény várható értékét. Az A játékosnak az az érdeke, hogy úgy válassza meg p, p értékét, hogy a nyeremény várható értéke a lehet legnagyobb legyen. a B játékosnak ezzel szemben pedig célja úgy megválasztani q, és q értékét, hogy a várható érték minimális legyen. A várható érték felírásánál felhasználjuk, hogy a két játékos stratégiája független, így tehát pl. annak a valószín9sége, hogy A az., és B is az I. stratégiát választja: p q, vagyis a táblázat bal fels sarkában lév egység nyereményének a valószín9sége. Így a várható érték: M c p q p q p q p. ( ) q Vizsgáljuk meg a két játékos szemszögébl a fenti feladatot, valamint számítsuk ki a hiányzó valószín9ségeket: A továbbiakban jelölje a játék értékét: v.

24 Játékelmélet A játékos szemszögébl: p p p p p p v v p p p, p Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala az A játékos nyereményének várható értéke abban az esetben, ha B az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet kisebb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a nyeremény várható értéke legalább v kell hogy legyen a B. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a p és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel A maimális nyereségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legnagyobb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol p ½ (így p ½) és v. p p v v B játékos szemszögébl: q q q q v p v q q q q v p v q, q Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala a B játékos veszteségének várható értéke abban az esetben, ha A az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet nagyobb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a veszteség várható értéke legfeljebb v lehet az A. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a q és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel B minimális veszteségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legkisebb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol q d(így q e) és v. Tehát az optimális stratégia: A játékos: mindkét lehetséget ½ valószín9séggel választja. B játékos: az els lehetséget d, a második lehetséget e valószín9séggel választja. A játék értéke:.

25 Döntésanalízis VIII. Döntésanalízis Egy döntési probléma tisztázása felismerésével kezddik, hogy bizonyos cél eléréséhez két vagy több cselekvési lehetségünk van. Ilyen esetekben a döntést hozó szeretné a legkedvezbb cselekvési lehetséget kiválasztani egy elre meghatározott kritérium alapján. A döntési kritérium azoknak a szempontoknak az összessége, az a megítélési szint, amelynek alapján a döntést hozó a cselekvési lehetségek közül választ. A választást megnehezíti az a tény, hogy a döntést hozó nem tudja pontosan megmondani, hogy a cselekvési lehetségek milyen következményekkel járnak. Ha egy cselekvési lehetségnél két vagy több következménnyel számolhatunk, akkor azt mondjuk, hogy a bizonytalanság körülményei között kell döntést hozni. A döntést hozó helyzetét egy mátri segítségével szemléltetjük. A mátriban a, a,, a n -nel jelöljük a cselekvési lehetségeket, és S, S,, S m -mel a várható kimeneteleket, vagyis várható eseményeket. Kimenetelek\ Cselekvési S S K S m lehetségek` a e e K e m a e e K e m M M M O M a n e n e n K e nm A mátri elemei a megfelel cselekvési lehetséghez és eseményhez tartozó eredményeket jelölik. Például, ha a döntést hozó az a cselekvést választja és az S esemény következik be, akkor az eredmény a döntést hozó számára e. Általánosan az a i cselekvéshez és S j eseményhez tartozó eredmény e ij. Az eredménymátri elemei csak azonos tartalmúak lehetnek, általában nyereséget jelentenek.. feladat Legyen az eredménymátri a következ: S S S S a 8 a 8 - a 6 A mátri elemei jelentsenek nyereséget. Döntéselméleti feladatokat az alábbi kritériumok alapján értékelhetünk: I. A szélsségesen optimista döntést hozó A döntést hozó választásának alapja a maimális nyereségek maimumának megszerzése. A döntést hozó úgy gondolkodik, hogy ha a -et választja, akkor S fog bekövetkezni, az eredménye lesz, ha a -t választja, akkor S valósul meg, és eredménye 8 lesz.. Tehát optimizmusával minden cselekvési lehetséghez egy számot rendel hozzá,

26 Döntésanalízis mégpedig minden cselekvési lehetséghez a sorokban található elemek maimumát (nyereség maimalizálására törekszik): a : a : 8 a a : Mivel cél a maimális nyereség elérése, ezért a döntést hozó elsöpr optimizmusával a -t választja. II. A pesszimista döntést hozó A pesszimista mindig a legrosszabb esetre számít, és ezzel minden cselekvési lehetséghez egy-egy számot rendel hozzá, mégpedig a soronkénti minimumokat. a : a : - a a : 6 Ezek közük választja ki számára a legkedvezbbet, azaz itt a -at, hiszen ezen cselekvés választása esetén ennél csak többet nyerhet, de kevesebbet nem. III. Középérték kritérium Más elnevezés: egyenl valószíngségek esete. A döntést hozó nem tud semmit az S, S, S, S események bekövetkezésérl. Ez a tudatlanság adja azt az ötletet, hogy mindegyik cselekvési lehetséghez rendeljük hozzá az elre számított értékek átlagát. Másképpen: mivel az események megvalósulásával kapcsolatosan nincsen semmi információnk, tételezzük fel, hogy egyenl valószín9séggel következnek be, és számítsuk ki a várható értéket. Így egy átlagszámot rendelünk a döntési változókhoz: a :, a :, a a :, A legkedvezbb döntés, ha ezek közül a maimálisat választja a döntést hozó, itt a -et. IV. Az elmulasztott nyereségek kritériuma Egy mátriból újat készítünk úgy, hogy mindegyik oszlop mindegyik elemét kivonjuk az illet oszlop legnagyobb elemébl. Az így kapott mátri az elmulasztott nyereségek táblázata: S S S S a a a Valójában úgy gondolkodunk, hogy az eseménybl indulunk ki. Ha tudnánk, hogy S fog bekövetkezni, akkor a -t választanánk, hiszen ezzel érhet el a legnagyobb eredmény. Ehhez a döntési alternatívához a esetében -t rendelünk. A többihez a már ismertetett módon az elmulasztott nyereséget. A mátri kiértékelése a következ: mivel elmulasztott nyereségekrl van szó az a célunk, hogy az a legkisebb legyen. Így kiválasztjuk soronként a maimumokat, majd ezek közül a minimálisat, hiszen az így kapott eredménynél az adott cselekvést választva az elmulasztott nyereség csak ennél kevesebb lehet. a : a : a a : A döntés tehát: a. 6

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc a feladat sorszáma maximális elért összesen II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./B rész 17 17 m nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális elért I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész a 100 dátum

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

b) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását!

b) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását! 1. Három nemnegatív számot kell meghatározni úgy, hogy az elsőt héttel, a másodikat tizennéggyel, a harmadikat hattal szorozva és ezeket a szorzatokat összeadva az így keletkezett szám minél nagyobb legyen.

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Alkalmazott operáiókutatás. elıadás 8/9. tanév 8. szeptemer 9. Maimumfeladat grafikus megoldása lehetséges megoldások + 4 + () 8 + Optimális

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás 1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Szállítási feladat_1.

Szállítási feladat_1. Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben

Részletesebben

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális vektorok:

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA október október 25. 8:00 MINISZTÉRIUM. Idtartam: 135 perc.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA október október 25. 8:00 MINISZTÉRIUM. Idtartam: 135 perc. a feladat sorszáma elért összesen maximális II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./ B rész m nem választott feladat 17 17 ÖSSZESEN 70 maximáli s elért I. rész 30 II. rész 70 MINDÖSSZESEN 100 dátum javító

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása 4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

A szállítási feladat. Készítette: Dr. Ábrahám István

A szállítási feladat. Készítette: Dr. Ábrahám István A szállítási feladat Készítette: Dr Ábrahám István Bevezető A személyek, termékek, nyersanyagok szállításának lehető leggazdaságosabb megszervezése fontos kérdés Célunk lehet legkisebb összköltségre törekvés,

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben