Operációkutatás. Glashütter Andrea

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Operációkutatás. Glashütter Andrea"

Átírás

1 Glashütter Andrea

2 Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges mátri: 8 M, ahol számpár jelöli a mátri típusát. A mátri egy tetszleges elemére a következképpen hivatkozhatunk: a. Speciális mátriok:. Kvadratikus (négyzetes) mátri: sorok és oszlopok száma megegyezik. 9 K A kvadratikus mátri azon elemei, amelynek a sor és oszlopindeei megegyeznek a mátri fátlóját alkotják.. Diagonális mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlón kívüli elemei csupa nullák. D. Egységmátri: olyan diagonális mátri, melynek fátlójában csak egyesek vannak. E Az egységmátri jele mindig: E. Ha egy tetszleges mátriot megszorzunk egységmátriszal és a szorzás elvégezhet, akkor az eredménymátri megegyezik az eredeti mátriszal.

3 Mátriok. Alsó háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója felett csak nullák vannak. A. Fels háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója alatt csak nullák vannak. 6 F 6. Nullmátri: olyan mátri, melynek minden eleme nulla. Oszlopvektor: n típusú mátri. o 8. Sorvektor: m típusú mátri. ( ) * s 9. Egységvektor: olyan vektor, amelynek egyetlen komponense, az összes többi nulla. ( ) * e ( ) * e. Összegzvektor: olyan vektor, melynek minden komponense.

4 Mátriok Mveletek: Legyen A, és B 8 6. Transzponálás: A *, azaz az A mátri elemeinek oszlop- és sorindeét felcserélve kapjuk 8 A T * mátri elemeit. Ha a, akkor a. Az A kvadratikus mátri szimmetrikus, ha * A A. Pl: SZ 6 6 Az A kvadratikus mátri ferdén szimmetrikus, ha A A*. Pl: F 6 6. Relációk: < > Csak azonos típusú mátriokat lehet egymással összehasonlítani. Mindig az azonos inde9 elemeket kell összehasonlítani a két mátriban. Ha van olyan reláció, amely minden egyes elempár esetén igaz, akkor a reláció igaz a két mátrira is. Pl: ha C, akkor elmondhatjuk, hogy A C. 9. Összeadás: Csak azonos típusú mátriok adhatók össze, az összeadást elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeket adjuk rendre össze. A B. 6 Tulajdonságok: -kommutatív: ABBA -asszociatív: (AB)CA(BC)

5 Mátriok. Kivonás: Csak azonos típusú mátrioknak lehet a különbségét képezni. A m9veletet elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeknek képezzük a különbségét. A B 6 6. Skalárral való szorzás: A mátri minden elemét megszorozzuk a kijelölt skalárral (valós számmal). 6 C 6 8 µ ( ) ( µ A) Legyen A, A, A n azonos típusú mátriok,,,, n tetszleges skalárok. Ekkor a A A n A n mátriot az A, A, A n mátriok,,, n skalárokkal való lineáris kombinációjának nevezzük. Nemnegatív lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak. Konve lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak és az összegük. A 8 A 6 A A A 9 9 A 9 6. Mátriok szorzása FALK-SÉMÁval: A ; B A szorzás nem minden esetben végezhet el. Meg kell vizsgálni, hogy az els tényez (A) oszlopainak száma () megegyezik-e a második tényez (B) sorainak számával (). Ha a két szám egyenl, akkor a szorzás elvégezhet, ellenkez esetben nem.

6 Mátriok A B *(-)* (-)*(-)* ** (-)** ** (-)** Tulajdonságok: általában nem kommutatív asszociatív: (AB)CA(BC) (ha a m9veletek elvégezhetk) (A)B(AB) disztributív: (AB)CACBC A(BC)ABAC (ha a m9veletek elvégezhetk) Összefoglaló tulajdonságok: (AB) * A * B * (A) * A T (AB) * B * A *. Hatványozás: Csak kvadratikus mátriokat lehet hatványozni! A E (mindig ugyanolyan típusú amilyen A mátri) A A A AA A A A M A n A n- A 6

7 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció II. Lineáris egyenletrendszerek és a Gausselimináció A lineáris egyenletrendszer bvített mátrián hajtunk végre ekvivalens m9veleteket úgy, hogy az eredeti mátriból egy fels háromszögmátriot kapjunk. Így már könnyen leolvashatjuk az egyenletrendszer megoldásait. Elvégezhet mveletek:. Tetszleges -tól különböz valós számmal bármelyik sort meg lehet szorozni.. Bármelyik sorhoz hozzá lehet adni a többi sornak egy lineáris kombinációját.. A sorok sorrendjét fel lehet cserélni. A m9veletek elvégzése után, a megoldások leolvasáskor a következ esetekkel találkozhatunk: az egyenletrendszernek megoldása van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van az egyenletrendszernek nincs megoldása. feladat Oldjuk meg a következ lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszerbl elsként fel kell írni annak bvített mátriát. Ez a bvített mátri az együtthatókból és az egyenletek jobb oldalából áll: Ezen a mátrion kell a fenti m9veleteket végrehajtani úgy, hogy fels háromszög mátri alakú legyen.. lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a sort:

8 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció. lépés: az els sorhoz adjuk hozzá a. sor kétszeresét:. lépés: cseréljük fel az. és a. sort: lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a. sor háromszorosát: Megkaptuk a mátri kívánt alakját. Ebbl is fel tudunk írni egy egyenletrendszert, amelynek a megoldásai megegyeznek az eredeti lineáris egyenletrendszer megoldásaival: - - Az egyenletrendszer. sorából leolvashatjuk hogy. Ezt behelyettesítve a. egyenletbe már csak marad ismeretlen. Megoldva az egyenletet kapjuk: -. Végül az els egyenletbe behelyettesítve az ismert értékeket eredményre jutunk. Megkaptuk tehát az egyenletrendszer megoldásait. Láthatjuk ennek az egyenletrendszernek megoldása van.. feladat 6 Megoldás: az egyenletrendszernek nincs megoldása feladat Megoldás: az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. 6 8

9 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel III. Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat -, FELTÉTELEK ma CÉLFÜGGVÉNY Meg kell keresni az összes olyan pontot, amelyek a megadott feltételeket egyidej9leg teljesítik (L: lehetséges megoldások halmaza). A kapott pontokból kiválasztunk egyet, vagy többet, amelynél a célfüggvény felveszi a kívánt szélsértéket. MAXIMUM PONT LEHETSÉGES MEGOLDÁSOK HALMAZA z : Maimum pont meghatározása: toljuk a célfüggvényt felfelé mindaddig, míg el nem érünk egy olyan pontot, amelynél ha még feljebb tolnánk z -et, akkor már elhagyná L-t. Ez a pont lesz a maimumpont. Jelen esetben ez a pont a. egyenes és. egyenes metszéspontja: 6-9 amelybl és. Ezeket az értékeket a célfüggvénybe behelyettesítve kapjuk a maimum értékét: 8 9

10 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel Definíciók: Halmaz bels pontja: olyan pont, amelynek van olyan környezete, ami szintén a halmazhoz tartozik. Határpont: minden környezet olyan, hogy a halmazhoz tartozó és halmazon kívüli része is van. Etremális pont: a csúcspontok.. feladat - - ; ma Látható, hogy L most egy nemkorlátos halmaz, melyen z : 6 függvényt felfelé tolva a felvett függvényérték tetszlegesen nagy lehet, így a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán, a feladatnak nincs optimális megoldása. (Az, hogy L nem korlátos nem jelenti egyértelm9en, hogy nincs optimális megoldása a feladatnak, hiszen ha z: min lenne, akkor a célfüggvényt értelemszer9en lefelé kellene tolni, és akkor a (,) koordinátájú pont lenne az optimális megoldás.)

11 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenessel. Azaz a maimumot most nem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy szakasz összes pontjában. Ennek a szakasznak kell felírni az egyenletét: Legyenek a szakasz végpontjai Q és Q. Ki kell számolni ezek koordinátáit. Q koordinátáit az. és. egyenesek metszéspontja adja:,. 9 9 Q koordinátáit már kiszámoltuk az. feladatban:,. A szakasz q q, és q Q pont, q Q pont koordinátái.( Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) Behelyettesítve a kapott értékeket: 9 6 A szakasz összes A szakasz egy tetszleges pontjának (pl. valamely végpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét ().

12 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenes L halmazt határoló félegyenesével. Azaz a maimumot most sem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy félegyenes összes pontjában. Ennek a félegyenesnek kell felírni az egyenletét: Legyenek a félegyenes végpontja Q. Ki kell számolni a koordinátáit. Q koordinátáit az. egyenes és az tengely metszéspontja adja: (, ). A félegyenes egyenlete: q tv, ahol t, q Q pont koordinátái és v a félegyenes irányvektora. (Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) A félegyenes irányvektora a következképpen adható meg: A célfüggvény egyenlete -, azaz ennek irányvektora, ahol együtthatója a vektor elemei a következk: együtthatójának ( ) - szerese Behelyettesítve a kapott értékeket: A félegyenes összes pontja: t, ahol t. A félegyenes tetszleges pontjának (pl. kezdpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét (8).

13 Szöveges feladatok IV. Szöveges feladatok Egy pék kg lisztet, kg cukrot,, kg vajat használhat fel féle süti elkészítéséhez. Egy tucat A süti elkészítéséhez kg lisztre, kg cukorra és kg vajra, míg tucat B süti elkészítéséhez 6 kg lisztre, ½ kg cukorra és kg vajra van szüksége. tucat A sütin Ft, tucat B sütin Ft a nyeresége. Hány tucat A és B süti elkészítése maimalizálja a pék nyereségét? TERMÉKEK A B KAPACITÁS ER<FORRÁSOK LISZT 6 CUKOR ½ VAJ, TERMÉKEK HOZAMA A táblázat alapján felírhatjuk az LP feladat matematikai modelljét:, 6 (A feladatot grafikusan megoldva a következ megoldást kapjuk: ;,; és ma), ma

14 Modellalkotás V. Modellalkotás. feladat Egy gyár négyféle terméket (A,B,C,D) termel három erforrás (I., II., III.) segítségével. A fajlagos felhasználásokat, az egyes termékek árát és az egyes erforrások kapacitását az alábbi táblázat mutatja: TERMÉKEK A B C D ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA ER<FORRÁSOK I. 8 II. III: ÁR 6 8 Mennyit termeljen az egyes termékekbl a gyár, ha a maimális árbevételt akar elérni az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) Az erforrások kapacitása nem léphet túl. b) Az A és B termékekbl legalább annyit kell termelni, mint C-bl. c) A B termékbl legfeljebb egységgel termelhet több, mint D-bl. Megoldás: Jelölje az A-ból, az B-bl, az C-bl, az D-bl gyártandó mennyiséget! Ezekkel a változókkal a feladat matematikai modellje a következ formában írható fel:, 6 8,, 8 ma

15 Modellalkotás. feladat Egy üzemben három gépen (I., II., III.) ötféle terméket (A, A, A, A, A ) lehet elállítani. Minden terméknek mindhárom gépen keresztül kell mennie. Az egyes termékek gépidszükséglete az egyes gépeken különböz. A fajlagos gépidszükségletet, a gépek kapacitását munkaórában a következ táblázat mutatja: TERMÉKEK A A A A A ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA I. 8 GÉPEK II. 6 III: Az egyes termékek értékei rendre:,,,, egység. Mennyit termeljen az egyes termékekbl, ha az a célja, hogy maimális termelési értéket érjen el az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) A gépek kapacitása nem léphet túl. b) Az els termékbl legalább kétszer annyit kell termelni, mint az ötödikbl. c) A második és a harmadik termékbl összesen legfeljebb darab termelhet. Megoldás: Ha i jelöli az A i (i,,,,) termékbl gyártandó mennyiséget, akkor a feladat matematikai modellje: 8,,,, 6 ma

16 Szállítási feladat VI. Szállítási feladat. feladat FELVEV<HELYEK F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG RAKTÁRAK R 8 R R 9 IGÉNY 6 A táblázatban található számok költségeket jelentenek, azaz például az els raktárból az els felvevhelyre egység terméket 8 egység költséggel tudunk elszállítani. (A költségeket jelöl számok által alkotott mátriot költségmátrinak nevezzük, elemeit c ij -vel jelöljük.) Célunk, hogy megtaláljuk a legolcsóbb szállítást, mellyel minden felvevhely igénye kielégítést nyer, és minden raktár kiürül. Kezdeti feltételként meg kell szabnunk, hogy: A RAKTÁROZOTT MENNYISÉGEK ÖSSZEGÉNEK EGYENLNEK KELL LENNIE A FELVEVHELYEK IGÉNYEINEK ÖSSZEGÉVEL!!!. A feladatot sorminimum-módszer segítségével oldjuk meg. Az eljárás lényeg a következ: Kiválasztjuk a táblázat els sorát. Mivel célunk a legolcsóbb szállítást megtalálni, így a legkisebb költségelem által meghatározott viszonylatban elszállítjuk a maimális mennyiséget. (Ezzel a szállítással vagy kimerült egy raktár, vagy egy megrendel igényét teljesen kielégítettük.) A táblázat szélén lév kapacitást és igényt csökkentjük az elszállított mennyiséggel. Ha nem a tárolóhely kapacitása merült ki, akkor a sor következ legkisebb elemével ismételjük meg ezt a lépést. Ha a tárolóhelyen már nincs elszállítandó termék, akkor a következ sorra lépünk, és ott ismételjük meg az eljárást. Ezeket a lépéseket addig ismételjük, míg eljutunk az utolsó sorba és kifogynak a raktáraink, valamint minden felvevhelyre eljuttatuk a kívánt mennyiséget. Az eljárás segítségével megkapunk egy lehetséges megoldást, mellyel azt a feltételt teljesítettük, hogy raktáraink kiürüljenek és az igényeket is kielégítettük. Ha a fenti lépéseket a kezdeti táblázaton végrehajtjuk a következ táblázatot kapjuk: 6

17 Szállítási feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R 8 6, R R 8 9,, IGÉNY 6 8,, Azokat a helyeket, ahol szállítás történik kötött helynek (pl: 6 ), a többit pedig szabad helynek nevezzük A kötött helyek száma minden szállítási feladatban: RAKTÁRAK SZÁMA (m db)felvevhelyek SZÁMA (n db)- Azaz ebben a feladatban: -6, ami teljesül is, hiszen pontosan 6 kötött helyet jelöltünk be. Tehát egy lehetséges megoldása a feladatnak a következ: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8 6. szállítás: R \ F Ezen szállítás költsége: *6****89*66. Kérdés: ez az optimális megoldás, vagy létezik ennél olcsóbb szállítás is? Ennek eldöntéséhez rendeljünk hozzá a táblázat minden sorához és oszlopához változókat! Legyenek ezek sorok szerint u, u, u m, az oszlopok szerint v, v, v n! Határozzuk meg ezeknek változóknak az értékét úgy, hogy fennálljon a következ összefüggés: Kötött helyeken: c ij u i v j Szabad helyekre számoljuk ki c ij -( u i v j ) értékeket. v v v v 8 u u -6 u

18 Szállítási feladat Kötött helyekre képezzük a c ij u i v j egyenleteket: (mn- db egyenlet). u v. u v. u v. u v. u v 6. u v 9 változó, 6 egyenlet ` egy szabad ismeretlen legyen u u helyére -át behelyettesítve a többi változó értéke rendre kiszámítható. Szabad helyekre számítsuk ki a c ij -( u i v j ) értékeket. Ha ezen értékek mindegyike pozitív, az eljárás véget ért, a feladat lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Ha ezen értékek között van negatív, akkor a lehetséges megoldás nem optimális megoldás, szállítások átrendezésével a költségeinket csökkenteni tudjuk. Keressük meg a negatív értékek közül a legkisebbet. Ebbl a pontból indulva képezzünk hurkot a következképpen: Hurok: olyan zárt poligon, amelyik egy szabad helyrl indul ki, és úgy jut oda vissza, hogy közben a poligon sarkain csak kötött helyek vannak. A fenti példában egyetlen egy olyan helyet találtunk a táblázatban, amelyre c ij -( u i v j ) érték negatív. Ebbl a pontból kell kiindulnia a huroknak. A megfelel kötött helyek megkeresésével a következ hurkot kapjuk: A hurok elemeit jelöljük el illetve jelekkel a következképpen: a hurok kiindulási pontjában lév szabad elem jelet kap, majd a kötött helyeket felváltva és jelekkel lássuk el. Így a következket kapjuk: Számítsuk ki a jellel ellátott helyeken lév szállítások minimumát: min(;). Ezt a minimumot adjuk hozzá a jellel ellátott helyek szállításához, és vonjuk ki a jellel ellátott helyek szállításából. A hurok a következképpen alakul: Látható, hogy szabad hely volt, eddig ott nem volt szállítás, de az átrendezéssel egység szállítást rendeltünk hozzá, így ez a hely kötötté vált. Ugyanakkor 9 kötött hely volt egység szállítással, de elvettük onnan az összes szállítást, így szabad hellyé vált. Általánosságban is elmondható, hogy hurokképzés után egy szabad helybl kötött hely lesz, míg egy kötött hely szabaddá válik. Mivel a kötött és szabad helyek viszonya megváltozott újra kell számítani az u-v táblázat értékeit. 8

19 Szállítási feladat v v v v u u - u Látható, hogy most minden szabad helyen az c ij -( u i v j ) értékek pozitívak, azaz a feladat ezen lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Megkaptuk a lehet legolcsóbb szállítást az adott feltételek mellett. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F Szállítási költség: *6*****6. Fiktív igényl, fiktív raktár A szállítási feladatok esetében sokszor elfordul, hogy a feladat kiírása nem tesz eleget annak a követelménynek, hogy az raktározott mennyiségek összege egyenl legyen az igényel mennyiségek összegével. Két eset fordulhat el: raktárak felesleges kapacitással rendelkeznektúlkínálat vanfiktív igénylt iktatunk be. több az igény, mint a raktározott mennyiségtúlkereslet vanfiktív raktár biztosítja a hiányzó mennyiséget. Fiktív helyeken a szállítások költsége minden esetben (c ij ).. feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY A raktározott mennyiségek összege:. Igények összege: 8. fiktív felvevhelyet kell felvenni, ahol az igény éppen annyi, hogy az egyenlség teljesüljön, azaz. 9

20 Szállítási feladat F F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY Ezek után a feladatot ugyanúgy kell megoldani, mint az. feladat esetében. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F Szállítási költség: 89.

21 Játékelmélet VII. Játékelmélet A játékelméletben olyan helyzeteket vizsgálunk, amelyekben két vagy több személy cselekvései befolyásolják egy esemény kimenetelét, de nem feltétlenül határozzák meg. Így az olyanféle játékok, amelyek kimenetele csak a véletlentl függ (pl.: kockajáték) nem tartoznak a játékelmélet körébe, mert itt nem egy másik játékossal, hanem a szerencsével áll szemben a játékos. Minden játéknak megvannak a szabályai, amelyek a mi esetünkben a következk:. A játékosok száma.. Az egyes játékosok lehetséges tevékenységei. Ezeket a tevékenységeket a játékelméletben a játékos stratégiáinak nevezzük.. Az egyes stratégiák alkalmazása esetén a játékos mennyit nyer vagy veszít. Ezt adja meg a kifizetfüggvény. Legegyszer9bb játékelméleti probléma a kétszemélyes, zérusösszeg9 játékok problémája. ZérusösszegG a játék, ha a játékosok nyereményeinek és veszteségeinek összege, vagyis amennyit nyer az egyik annyit veszít a másik. Minden kétszemélyes játék kifizetfüggvénye egy mátriszal adható meg. A mátrinak annyi sora van, amennyi az egyik játékos stratégiáinak száma, és annyi oszlopa, ahány stratégiája van a másik játékosnak. A mátri eleme az els játékos nyereményét (ill. a másik játékos veszteségét) adja meg. A játékosokat nevezzük A -nak és B -nek. A stratégiáinak száma legyen n, B stratégiáinak száma m. Az A játékos nyereményét tartalmazza a C mátri: c c K cm c c K c m C M M O M c n c n K c nm A c ij szám azt mutatja meg, hogy ha az els játékos az i-edik stratégiát, a második játékos a j-edik stratégiát választja, akkor az els játékos nyereménye c ij. Ha c ij >, akkor az els játékos nyer c ij -t, ha c ij <, akkor az els játékos veszít. Az A olyan i kiválasztására törekszik, hogy c ij a legnagyobb, a B pedig olyan j-t választ, hogy c ij a legkisebb legyen.. feladat Egy vendéglátós egység növelni akarja árait. Különféle lehetségei vannak az áremelés mértékére, kiterjedésére. Az áremelésre a vendégkör is különbözképpen reagálhat: van akit nem befolyásol az áremelés, ugyanannyit fogyaszt, tehát többet fizet, így az egységnek n a bevétele. Van aki ritkábban jön, kevesebbet fogyaszt, így az egységnek csak kisebb mértékben n, vagy nem változik bevétele. Lehet, hogy egyesek nem jönnek többet az étterembe, így az áremelés az egység számára ráfizetést eredményez. Tegyük fel, hogy az egység áremelési stratégiát alkalmazhat, a vendégkör pedig típusra osztható, azaz féle stratégiát alkalmazhat. Legyen A játékos a vendéglátó egység, B játékos a vendégkör. Az A játékos nyereménymátria:

22 Játékelmélet B I. II. III. IV A - - Az A és B játékosnak egyidej9leg kell választania stratégiát, vagyis A -nak egy sort, B -nek egy oszlopot kell választania. A játékos gondolkodása: Megnézem, hogy az egyes stratégiák választása esetén mi a legrosszabb eset, vagyis mennyi a minimális nyereségem (ami persze veszteség is lehet). Ha az. stratégiát választom, akkor az els sor elemei:,-,-,- közül kell választani a legkisebbet, ez -. Hasonlóképpen a stratégia esetén a minimális nyereség, végül a harmadik sor elemei közül a legkisebb -. Tehát a minimális nyereségek sorban: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legnagyobbat () választom, tehát a. stratégiát alkalmazom. Ebben az esetben az ellenfél bármely stratégiája esetén is legalább érték9 nyereségem van, vagyis biztosan nem veszítek semmit, de lehetségem van a nyerésre is. B játékos gondolkodása: Hasonlóképpen a legrosszabb esetet, a maimális veszteséget nézem meg az egyes stratégiák alkalmazása esetén. ha az I. stratégiát választom, akkor az els oszlop elemei mutatják a veszteséget: lehet, vagy - (vagyis a nyereségem ). ezek közül a legnagyobb. A II. stratégia esetén a második oszlop elemei közül kell kiválasztani a legnagyobbat, ez. A harmadik oszlop elemei közül a legnagyobb, végül a negyedik oszlop elemei közül a legnagyobb a. Tehát a maimális veszteségek: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legkisebbet választom (), tehát a III. stratégiát alkalmazom. Ekkor legfeljebb a veszteségem, de nyerhetek is. Jelöljük be ezeket a döntéseket a mátriban: I. II. III. IV * * - - Tehát ha az A játékos a., és a B játékos a III. stratégiát alkalmazza, akkor mindkét játékos a mátrinak ugyanazt az elemét választja, a játék értéke pedig. A játék igazságos, mert egyik játékos sem nyer és egyik sem veszít. A kifizetfüggvény, a mátri nyeregpontjának nevezzük azt a (k,l) számpárt, amelyre igaz, hogy a hozzá tartozó c kl függvényérték az t tartalmazó sorban a legkisebb, ugyanakkor az t tartalmazó oszlopban a legnagyobb szám.

23 Játékelmélet Ha létezik a mátrinak nyeregpontja, akkor a játékot szigorúan determináltnak nevezzük, és az a (k,l) stratégiapár az optimális stratégia. A szigorúan determinált játék optimális stratégiáját tiszta stratégiának nevezzük, a nyeregpontban lév elem, c kl pedig a játék értéke. Ha a játék értéke, akkor a játékot igazságosnak nevezzük. A példában ismertetett játék szigorúan determinált, az optimális tiszta stratégia, a mátri nyeregpontja a (,) számpár. A játék igazságos, mert a játék értéke, c -val egyenl.. feladat Nem minden esetben olyan egyszer9 a megoldás, mint az elz példában. Legyen a játék mátria: C Nézzük meg, hogy van-e nyeregpontja a mátrinak: Soronkénti minimumokat és oszloponkénti maimumokat keresve kapjuk: I. II.. *. * Látható, hogy a mátrinak nincs nyeregpontja, a játék nem szigorúan determinált. Így tehát nem lehet megadni az eddig ismertetett módon az optimális stratégiát. Hogyan gondolkodhatnak a játékosok? Mivel egyik stratégia sem optimális, felváltva alkalmazom mindkét lehetséges stratégiát. Ezt kevert stratégiának nevezzük Az A játékos számára a kevert stratégia a következket jelenti: Játszd az. sort p valószín9séggel, a. sor p valószín9séggel. A B játékos számára pedig a kevert stratégia: Az I. oszlopot q valószín9séggel, a II. oszlopot q valószín9séggel válaszd! Az A játékos nyereménye egy diszkrét valószín9ségi változó, jelöljük -vel, és képezzük a nyeremény várható értékét. Az A játékosnak az az érdeke, hogy úgy válassza meg p, p értékét, hogy a nyeremény várható értéke a lehet legnagyobb legyen. a B játékosnak ezzel szemben pedig célja úgy megválasztani q, és q értékét, hogy a várható érték minimális legyen. A várható érték felírásánál felhasználjuk, hogy a két játékos stratégiája független, így tehát pl. annak a valószín9sége, hogy A az., és B is az I. stratégiát választja: p q, vagyis a táblázat bal fels sarkában lév egység nyereményének a valószín9sége. Így a várható érték: M c p q p q p q p. ( ) q Vizsgáljuk meg a két játékos szemszögébl a fenti feladatot, valamint számítsuk ki a hiányzó valószín9ségeket: A továbbiakban jelölje a játék értékét: v.

24 Játékelmélet A játékos szemszögébl: p p p p p p v v p p p, p Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala az A játékos nyereményének várható értéke abban az esetben, ha B az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet kisebb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a nyeremény várható értéke legalább v kell hogy legyen a B. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a p és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel A maimális nyereségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legnagyobb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol p ½ (így p ½) és v. p p v v B játékos szemszögébl: q q q q v p v q q q q v p v q, q Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala a B játékos veszteségének várható értéke abban az esetben, ha A az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet nagyobb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a veszteség várható értéke legfeljebb v lehet az A. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a q és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel B minimális veszteségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legkisebb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol q d(így q e) és v. Tehát az optimális stratégia: A játékos: mindkét lehetséget ½ valószín9séggel választja. B játékos: az els lehetséget d, a második lehetséget e valószín9séggel választja. A játék értéke:.

25 Döntésanalízis VIII. Döntésanalízis Egy döntési probléma tisztázása felismerésével kezddik, hogy bizonyos cél eléréséhez két vagy több cselekvési lehetségünk van. Ilyen esetekben a döntést hozó szeretné a legkedvezbb cselekvési lehetséget kiválasztani egy elre meghatározott kritérium alapján. A döntési kritérium azoknak a szempontoknak az összessége, az a megítélési szint, amelynek alapján a döntést hozó a cselekvési lehetségek közül választ. A választást megnehezíti az a tény, hogy a döntést hozó nem tudja pontosan megmondani, hogy a cselekvési lehetségek milyen következményekkel járnak. Ha egy cselekvési lehetségnél két vagy több következménnyel számolhatunk, akkor azt mondjuk, hogy a bizonytalanság körülményei között kell döntést hozni. A döntést hozó helyzetét egy mátri segítségével szemléltetjük. A mátriban a, a,, a n -nel jelöljük a cselekvési lehetségeket, és S, S,, S m -mel a várható kimeneteleket, vagyis várható eseményeket. Kimenetelek\ Cselekvési S S K S m lehetségek` a e e K e m a e e K e m M M M O M a n e n e n K e nm A mátri elemei a megfelel cselekvési lehetséghez és eseményhez tartozó eredményeket jelölik. Például, ha a döntést hozó az a cselekvést választja és az S esemény következik be, akkor az eredmény a döntést hozó számára e. Általánosan az a i cselekvéshez és S j eseményhez tartozó eredmény e ij. Az eredménymátri elemei csak azonos tartalmúak lehetnek, általában nyereséget jelentenek.. feladat Legyen az eredménymátri a következ: S S S S a 8 a 8 - a 6 A mátri elemei jelentsenek nyereséget. Döntéselméleti feladatokat az alábbi kritériumok alapján értékelhetünk: I. A szélsségesen optimista döntést hozó A döntést hozó választásának alapja a maimális nyereségek maimumának megszerzése. A döntést hozó úgy gondolkodik, hogy ha a -et választja, akkor S fog bekövetkezni, az eredménye lesz, ha a -t választja, akkor S valósul meg, és eredménye 8 lesz.. Tehát optimizmusával minden cselekvési lehetséghez egy számot rendel hozzá,

26 Döntésanalízis mégpedig minden cselekvési lehetséghez a sorokban található elemek maimumát (nyereség maimalizálására törekszik): a : a : 8 a a : Mivel cél a maimális nyereség elérése, ezért a döntést hozó elsöpr optimizmusával a -t választja. II. A pesszimista döntést hozó A pesszimista mindig a legrosszabb esetre számít, és ezzel minden cselekvési lehetséghez egy-egy számot rendel hozzá, mégpedig a soronkénti minimumokat. a : a : - a a : 6 Ezek közük választja ki számára a legkedvezbbet, azaz itt a -at, hiszen ezen cselekvés választása esetén ennél csak többet nyerhet, de kevesebbet nem. III. Középérték kritérium Más elnevezés: egyenl valószíngségek esete. A döntést hozó nem tud semmit az S, S, S, S események bekövetkezésérl. Ez a tudatlanság adja azt az ötletet, hogy mindegyik cselekvési lehetséghez rendeljük hozzá az elre számított értékek átlagát. Másképpen: mivel az események megvalósulásával kapcsolatosan nincsen semmi információnk, tételezzük fel, hogy egyenl valószín9séggel következnek be, és számítsuk ki a várható értéket. Így egy átlagszámot rendelünk a döntési változókhoz: a :, a :, a a :, A legkedvezbb döntés, ha ezek közül a maimálisat választja a döntést hozó, itt a -et. IV. Az elmulasztott nyereségek kritériuma Egy mátriból újat készítünk úgy, hogy mindegyik oszlop mindegyik elemét kivonjuk az illet oszlop legnagyobb elemébl. Az így kapott mátri az elmulasztott nyereségek táblázata: S S S S a a a Valójában úgy gondolkodunk, hogy az eseménybl indulunk ki. Ha tudnánk, hogy S fog bekövetkezni, akkor a -t választanánk, hiszen ezzel érhet el a legnagyobb eredmény. Ehhez a döntési alternatívához a esetében -t rendelünk. A többihez a már ismertetett módon az elmulasztott nyereséget. A mátri kiértékelése a következ: mivel elmulasztott nyereségekrl van szó az a célunk, hogy az a legkisebb legyen. Így kiválasztjuk soronként a maimumokat, majd ezek közül a minimálisat, hiszen az így kapott eredménynél az adott cselekvést választva az elmulasztott nyereség csak ennél kevesebb lehet. a : a : a a : A döntés tehát: a. 6

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Alkalmazott operáiókutatás. elıadás 8/9. tanév 8. szeptemer 9. Maimumfeladat grafikus megoldása lehetséges megoldások + 4 + () 8 + Optimális

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Szállítási feladat_1.

Szállítási feladat_1. Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam

Nyerni jó. 7.-8. évfolyam Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Nyerni

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. május 6. Fontos tudnivalók

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

1. Lineáris differenciaegyenletek

1. Lineáris differenciaegyenletek Lineáris differenciaegyenletek Tekintsük az alábbi egyenletet: f(n) af(n ) + bf(n + ), (K < n < N) f(k) d, f(n) d Keressük a megoldást f(n) α n alakban Így kajuk a következőket: α n aα n + bα n+ α a +

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan 4. ZH - számolós feladatok Tartalomjegyzék 1. Készletgazdálkodás 2 1.1. Egy keresked az új................................... 2 1.2. Egy üzem egyik terméke................................

Részletesebben

Esettanulmányok és modellek 2

Esettanulmányok és modellek 2 Esettanulmányok és modellek Kereskedelem Mezőgazdaság Készítette: Dr. Ábrahám István Kereskedelem. Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (. oldal) nyomán: Kiskereskedelmi cég négyféle üdítőt rendel, melyek

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Szállításszervezési módszerek Jármvek optimális kiterhelése 1

Szállításszervezési módszerek Jármvek optimális kiterhelése 1 Jármvek optimális kiterhelése 1 A jármvek megrakását azok teherbírása és raktérfogata (esetleg ez utóbbi helyett rakterülete) korlátozza. A szállítandó jármveknek tömege és térfogata van (ez utóbbit gyakran

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4 MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04 május 6 Fontos tudnivalók

Részletesebben