matematikai statisztika gyakorlatok

Átírás

1 Valószí½Uségszámítás és matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások. február 9.

2 ii

3 Tartalomjegyzék. Valószí½uségszámítási feladatok.. Függetleség, feltételes valószí½uség Valószí½uségi változók Nevezetes eloszlású valószí½uségi változók Várható érték, szórás Geerátorfüggvéy, karakterisztikus függvéy Közoti határeloszlás tétel Vektor valószí½uségi változók ; T és F eloszlás Regresszió aalízis Sztochasztikus folyamatok Matematikai statisztika feladatok 6.. Paraméter becslések Paraméteres róbák Nem araméteres róbák Függ½oségi kacsolatok iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK

5 . fejezet Valószí½uségszámítási feladatok.. Függetleség, feltételes valószí½uség.. Feladat. Egy sakk verseye N verseyz½o idul. A versey egyees kieséses redszer szerit, N 5 fordulóba zajlik úgy, hogy mide forduló utá a gy½ozteseket véletleszer½ue árosítják, és bármelyik verseyz½o valószí½uséggel gy½ozi le ellefelét (dötetle kizárva). Meyi aak valószí½usége, hogy két kijelölt verseyz½o megmérk½ozik egymással? Megoldás: Vizsgáljuk el½oször aak valószí½uségét, hogy K számú verseyz½o árosítása sorá, meyi aak valószí½usége, hogy két kijelölt játékos egymás elle játszik? Az eseteket számoljuk meg úgy, hogy az egyik kiválasztott verseyz½ohöz sorsoluk egy másikat: összes eset: K kedvez½o eset: K Jelölje ; ; ; N eseté A B F a két verseyz½o megmérk½ozik az -edik fordulóba midkét verseyz½o yer az -edik fordulóba midkét verseyz½o részt vesz az -edik fordulóba akkor teljesülek P (A jf ) F F + F \ A \ B ; ; ; N N+ P (A ) P (F ) ) P (F ) P (A ) N+ ; ; N

6 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK P (A + ) P (F \ A \ B \ A + ) P (F ) P A jf P B jf \ A P A+ jf \ A \ B P (A ) N+ N+ N+ N P (A ) tehát P (A ) P (A ) ; ; ; N. A keresett eseméy kizáró eseméyek úiójakét és valószí½usége P (A) A A [ A [ [ A N, Feladat. Szibád, a szultáak tett szolgálataiért, választhat egyet az N háremhölgy közül úgy, hogy az egyekét el½otte elvouló hölgyek valamelyikére rámutat. Tegyük fel, hogy a háremhölgyek széségük szerit egyértelm½ue sorredbe állíthatók, és Szibád taktikája a következ½o: a véletle sorredbe elvouló hölgyek közül, az els½o szemrevétele utá azt választja, aki szebb mide korábba látottál. Meyi aak valószí½usége, hogy Szibád a legszebb háremhölgyet választja? Megoldás: Vezessük be a következ½o eseméyeket A B B. B N. Szibád a legszebb háremhölgyet választja a legszebb hölgy az els½o helye áll a legszebb hölgy a második helye áll. a legszebb hölgy az N-edik helye áll ahol a B k k ; ; : : : ; N eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, és P (B k ) ha k ; ; : : : ; N k ; ; : : : ; N P (A j B k) ha k + ; + ; : : : ; N k amib½ol a keresett NX P (A) k+ k N N NX k+ k X k k :589 valószí½uség a teljes valószí½uség tétellel számolható. Megjegyzés: Ha az N esetbe megkeressük azt az számot, amire P (A) maximális, kajuk az X k+ k kifejezés maximumát 7 eseté, és ekkor P (A) :7778. Megmutatható, hogy N! eseté, N e : 78 aráy adja a maximális valószí½uséget, ami most 7 : 7 7.

7 .. FÜGGETLENSÉG, FELTÉTELES VALÓSZÍN ½USÉG.. Feladat. Két testvér, A és B; illetve q valószí½uséggel mod igazat. Ha B azt állítja, hogy A hazudik, meyi aak valószí½usége, hogy A igazat mod? Megoldás: Vezessük be az alábbi eseméyeket A A B B A mod egy igaz állítást A mod egy hamis állítást B azt állítja, hogy A igaz állítást mod B azt állítja, hogy A hamis állítást mod akkor feltehetjük: amib½ol a keresett P (A j B ) P (A ) P (A ) P (B j A ) P (B j A ) q P (B j A ) P (B j A ) q P (B j A ) P (A ) P (B j A ) P (A ) + P (B j A ) P (A ) ( q) ( q) + q ( ) valószí½uség a Bayes tétellel számolható... Feladat. Egy l½otére húsza gyakorolak, köztük kiváló, 7 jó és 9 gyege felkészültség½u lövész va, akik :9; :8 illetve :6 valószí½uséggel találják el a célt. Egy találomra meg gyelt lövés sikeres illetve sikertele voltából következtessük a lövész felkészültségére! Adjuk meg a hibás következtetés valószí½uségét! Megoldás: Vezessük be az alábbi eseméyeket: A A B B B a meg gyelt lövés em talál a meg gyelt lövés talál kiváló lövész adta le a lövést közees lövész adta le a lövést gyege lövész adta le a lövést Foglaljuk össze a két teljes eseméyredszerrel kacsolatos P (A i \ B j ) és P (B j j A i ) valószí½uségeket az alábbi táblázatba: A B B B B P (A ) : A : : 7 : 7 : 9 : 8 : : 7 7 : 7 : 59 6 : 8 : :7 :7 :7 :7 :9 : 8 :8 7 : 8 :6 9 : 7 A : 8 : 6 58 : 8 : 8 56 : 7 : :7 :7 :7 :7 P (B ) : 7 :5 9 :5 : Kézirat, módosítva:. február 9.

8 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Tehát a Bayes dötés, és a hiba valószí½usége: d P A i \ B d (i) :6 7! : 8 7! : 8 P (H d ) :6 : 5.5. Feladat (*). Egy kosárlabda játékos egymás utá végez bütet½o dobásokat. Az els½ot bedobja, a másodikat em, és mide további dobása akkora valószí½uséggel lesz sikeres, mit ameyi a megel½oz½o dobásokba a kosarak relatív gyakorisága. Meyi aak valószí½usége, hogy dobásból otosa 5 kosarat fog dobi? Megoldás: Jelölje A k a k-adik dobás sikeres akkor az az eseméy, hogy N számú dobásból számú sikeres: B N; [ \ A c \ \ A c N N N (.) c ;c ;:::;c N A c ahol a c ; c ; : : : ; c N sorozat számú t szóköz karakter és N számú c komlemeter jel egy ermutációja. A (.) diszjukt úió egy tagjáak valószí½usége a szorzási szabály segítségével, ha éldául mide szóköz elöl áll: P A \ A \ \ A + \ A c + \ A c + \ AN c + + N N ( )! (N )! N (N )! Ezt az értéket kajuk mide követ½o téyez½ok evez½oi redre (N )! ( )!(N )! számú ermutáció eseté, hisze az egymást és a számlálók két (egyesével) övekv½o sorozat ermutációja lesz. Tehát ; ; ; + ; N ; ; illetve ; ; N P (B N; ) N vagyis az N-edik dobás utá mide lehetséges ; ; ; N valószí½u. érték egyformá

9 .. VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 5.. Valószí½uségi változók.6. Feladat. A következ½o szerecsejátékot játszuk Ft be zetése elleébe: kockát dobuk, és ha az eredméy, vagy, akkor még zetük további 5Ft-ot. Ha a dobás eredméye, 5 vagy 6, akkor hatszor eyi Ft-ot kauk. Jelölje a játékba elért eredméyt (bevétel - kiadás), a) adjuk meg a véletle kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg eloszlását! c) meyi a yerés ( > ) valószí½usége? d) mi a legvalószí½ubb érték? Megoldás: a) A véletle kísérlet matematikai modellje a kombiatórikus v.m. ( összes eset száma, k kedvez½o esetek száma): f; ; ; ; 5; 6g 6 8 >< (!) >: 5 ha! ; ; ha! ha! 5 6 ha! 6 Mivel most mide részhalmaza eseméy, a függvéy v.v., mellyel kacsolatos eseméyek közül elég vizsgáli a eseméyeket. f 5g f; ; g k f g fg k f g f5g k f 6g f6g k b) értékkészlete véges, ezért diszkrét eloszlása és eloszlásfüggvéye az értékek övekv½o sorredjébe megadva: x P ( x) F (x) P (.) Kézirat, módosítva:. február 9.

10 6. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK c) Számítsuk ki a d) Mivel valószí½uséget. P ( > ) max fp ( x)g x a keresett érték ( u. módusza) 5: P ( 5),.7. Feladat. Egy egység hosszúságú szakaszo találomra választuk egy otot. Az így kaott két részb½ol, mit oldalakkal, téglalaot készítük. Jelölje a téglala területét, a) adjuk meg a véletle kísérlet matematikai modelljét! b) adjuk meg eloszlását! c) meyi aak valószí½usége, hogy a terület és közé esik? d) milye értékél lesz agyobb illetve kisebb a terület azoos valószí½uséggel? Megoldás: a) A véletle kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.(h összes eset hossza, h kedvez½o esetek hossza): [; ] H (!)! (!)! [; ]. Vizsgáljuk a -vel kacsolatos f < xg ívóhalmazokat, ami az! (!) < x! [; ] (.) egyel½otleség megoldáshalmaza. Az egyel½otleség ekvivales alakításával kajuk amiek megoldása, ha <!! + x! [; ] i) x <, x > ii) x, x iii) x >, x < Ha < x < f < xg ; ha edig x f < xg [; ] h f < xg [; ] fg h x [ + x; h f < xg ; h. x,

11 .. VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 7 Tehát valóba valószí½uségi változó. b) eloszlása em lehet diszkrét, ezért adjuk meg eloszlásfüggvéyét: 8 < F (x) P ( < x) : ha x x ha < x ha < x ami szakaszokét folytoosa di ereciálható, tehát folytoos eloszlású s½ur½uségfüggvéyel. f(x) x < x < (.) c) Számítsuk ki a P < < Z x dx F F 6 valószí½uséget. d) Mivel folytoos eloszlású, P ( x) mide x R eseté, ezért keressük az egyelet megoldását, amib½ol P ( < x) P ( > x) F (x) x ) x, tehát a keresett érték ( u.. mediája)..8. Feladat. Két kockát dobuk, és jelölje az eredméyek maximumát, edig a két dobás miimumát. a) Adjuk meg (; ), és eloszlását! b) Függetleek-e és? c) Meyi aak valószí½usége, hogy a maximum legalább kétszer akkora mit a miimum? Megoldás: Kézirat, módosítva:. február 9.

12 8. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Mivel (; ) véges értékkészlet½u, a kombiatorikus v.m.-be számolhatjuk eloszlását, amit az értékek szerit táblázatba foglalva kajuk az együttes illetve erem eloszlásokat: x y 5 6 P ( x) 6 6 b) Mivel éldául P ( y) P ( ; ) P ( ) P ( ), 6 ezért és em függetleek. c) A keresett valószí½uség: P ( ) (.5).9. Feladat. Válasszuk véletle otot az egység sugarú körbe, jelölje a ot koordiátáit és, a olárkoordiátákat edig és '. a) Adjuk meg a véletle kísérlet matematikai modelljét! b) Keressük -vel és -val kacsolatos esemáyeket, melyek em fügetleek! c) Függetleek-e, a és ' véletle meyiségekkel kacsolatos eseméyek? Megoldás: a) A véletle kísérlet matematikai modellje a geometriai v.m.(t összes eset területe, t kedvez½o esetek területe): (x; y) j x + y (x; y) x (x; y) y (x; y) (x; y) (x; y) x + y (x; y) 8 ha x y >< ha y > és x arcta y ha y és x > '(x; y) arg(x; y) x ha y < és x arcta >: x y + ha x < arcta x y + ha y < és x >

13 .. VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 9 b) Mivel a ozitív terület½u ( ) ( > (x; y) j ) < x és ( > ) ( (x; y) j ) < y eseméyek kizárják egymást, ezért! P > ; > 6 P >! P >! > tehát a két eseméy, és akkor és ; em függetleek c) Adjuk meg a -val kacsolatos eseméyeket 8 < ; ha b t f < bg f(x; y) j x + y < b g ha < b t b : ha < b t és a '-vel kacsolatos eseméyeket 8 < ; ha c t f' < cg c ívmétrék½u körcikk ha < c t c : ha < c t : Továbbá 8 >< f < bg \ f' < cg >: ; c ívmétrék½u, b sugarú körgy½ur½u-cikk c ívmétrék½u körcikk b sugarú kocetrikus kör ha b vagy c ha < c és < b ha < c és < b ha < b és < c ha < b és < c t t c b t c t b t tehát kajuk P ( < b; ' < c) P ( < b) P (' < c) b; c R, ami és ' függetleségét jeleti, mivel a megfelel½o eloszlásfüggvéyekre katuk: F ;' (b; c) F (b) F ' (c) b; c R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a és ' véletle meyiségek ugyaazo (; ) ár által meghatározottak, aak függvéyei, valószí½uségszámítási értelembe mégis függetleek. Kézirat, módosítva:. február 9.

14 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.. Feladat. Egy diszkrét eloszlású v.v. eloszlása x P ( x) : : q és tudjuk, hogy a v.v. egatív értéket :5 valószí½uséggel vehet fel. a) Adjuk meg és q értékét! b) Adjuk meg eloszlását! c) Adjuk meg a f + g eseméy valószí½uségét! Megoldás: a) Mivel továbbá P ( < ) + : :5 ) :, : + : + : + q ) q :. b) Mivel értékkészlete f; ; g, y P ( y) : P x P ( x) :7 P. x P ( x) : P x P ( x) c) Az x + x x egyel½otleség megoldáshalmaza f ; ; g; tehát P ( + < ) X P ( x) : + : + : :8. x +x<.. Feladat. Legye a v.v. s½ur½uségfüggvéye f(x) ( c jxj ha < x egyébkét : (.6) a) Adjuk meg c értékét! b) Adjuk meg és eloszlásfüggvéyét, s½ur½uségfüggvéyét!

15 .. VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK c) Adjuk meg a j j < eseméy valószí½uségét! Megoldás: a) Mivel b) eloszlásfüggvéye: c) Az mivel Z 8 >< F (x) P ( < x) >: < x eseté és < x eseté R P ( < x) Z c f dx c ) c x. Z x P ( < x) P ( < ) + ha x ( x) ha < x + x ha < x ha < x t dt Z x eloszlásfüggvéye: 8 < F (x) P ( < x) : mivel < x eseté P ( < x) P ( Ebb½ol s½ur½uségfüggvéye: ( x), t dt + x. ha x x ha < x ha < x x < < x) F ( x) F ( f (x) F (x) x < x. jx xj < egyel½otleséget alakítva, oldjuk meg: < x x + x R és x x <. A megoldáshalmaz: ] ; [, így P < P < < F r! : ; x) x. F Kézirat, módosítva:. február 9.

16 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.. Feladat. Válasszuk két véletle otot a [; ] itervallumba, jelölje az els½okét választott értéket ; és legye a két érték maximuma. a) Adjuk meg (; ) eloszlását! Függetle-e és? b) Adjuk meg a eremek eloszlását! c) Folytoos-e (; ) eloszlása? Megoldás: a) Adjuk meg (; ) eloszlásfüggvéyét: 8 ha x vagy y >< xy ha < x y F ; (x; y) y ha < y és y < x x ha < x és < y >: ha < x és < y Mivel éldául a f > :5g és f < :5g ozitív valószí½uség½u eseméyek kizáróak, ezért em lehetek függetleek, és így és sem függetle. b) eloszlásfüggvéye: s½ur½uségfüggvéye: eloszlásfüggvéye: F (x) lim y! F ; (x; y) 8 < : ha x x ha < x ha < x f (x) F (x) x. F (y) lim x! F ; (x; y) 8 < : ha y y ha < y ha < y s½ur½uségfüggvéye: f (y) F (y) y y. c) (; ) eloszlása em lehet folytoos, mert P ( ) :5; de folytoos eloszlás eseté ZZ P ( ) f(x; y)dxdy xy következe, mivel ulla mérték½u halmazo kell itegráli.

17 .. VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a eremek ugya folytoos eloszlásúak, az F ; eloszlásfüggvéy folytoos, és ulla mérték½u halmazo kívül folytoosa di ereciálható, mégsem folytoos az együttes eloszlás... Feladat. Legye a ; ; : : : ; :! R függetle, azoos eloszlású valószí½uségi változók közös s½ur½uségfüggvéye f : R! R + ; és jelölje közülük a agyság szerit k-adikat k k ; ; : : : ;. a) Adjuk meg eloszlását! b) Adjuk meg ( ; ; : : : ; ) :! R eloszlását! c) Mutassuk meg, hogy az A kl f k l g l ; ; : : : ; eseméyek függetleek (; ; : : : ; )-t½ol mide k ; ; : : : ; eseté! Megoldás: a) Mivel Z x P ( < x) P ( < x; < x; : : : ; < x) f(t)dt kajuk s½ur½uségfüggvéyét: f (x) F (x) f(x) x R ahol F (x) a közös eloszlásfüggvéyt jelöli. Z x f(t)dt x R b) Mivel ( ; ; : : : ; ) együttes eloszlása folytoos, valószí½uséggel külöböz½o értékeket veszek fel, ezért elég megadi ( ; ; : : : ; ) eloszlását a H f(x ; x ; : : : ; x ) j x < x < < x Rg halmazo. Legyeek I ; I ; ; I R itervallumok olyaok, hogy I I I H, akkor, ha jelöli az ; ; : : : ; számok ermutációiak halmazát, X P ( I ; I ; I ) P ( k I ; k I ; k I ) Z! tehát ( ; ; : : : ; ) eloszlása folytoos (k ;k ; ;k ) Z f(x ) f(x ) f(x )dx dx dx, I I I (x ; x ; : : : ; x ) 7!! f(x ) f(x ) f(x ) (x ; x ; : : : ; x ) H s½ur½uségfüggvéyel. Kézirat, módosítva:. február 9.

18 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK c) Vizsgáljuk a k esetet, és jelölje A l A l l ; ; : : : ;. Mivel az (A l ) l eseméyredszer valószí½uséggel teljes eseméyredszert alkot, és mide tagja azoos valószí½uség½u, P (A l ) l ; ; : : : ;. Vizsgáljuk most a P (A l \ ( I ; I ; I )) Z Z )! f(x ) f(x ) f(x )dx dx dx I I I ( valószí½uséget, ami ée P ( I ; I ; I ), tehát I I I H eseté A l és f( ; ; ; ) I I I g függetleek, amib½ol már következik az állítás... Feladat (*). Ha és függetle skalár valószí½uségi változó, és eloszlásfüggvéye folytoos, mutassuk meg, hogy Bizoyítás. Mivel P ( ) : P ( ) P (F () F ()), elég a U(; ), és im() [; ] esetbe igazoli az állítést. Ekkor f g \ [ k k < k + k \ < k + amib½ol P ( ) lim! X k lim! k + F F + k F F () lim!.5. Feladat (*). Legyeek ; függetle szetétervári valószí½uségi változók, azaz P ( k ; l ) k l k; l N +. (.7) Mutassuk meg, hogy va olya (; A; P ) v.m., melybe (; ) értelmezett, és eloszlása.7, továbbá megadható ( ; ) ugyailye eloszlással, és teljesül + + f g. (.8)

19 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 5 Bizoyítás. Legye ( k ; l ; ) j k; l N + ; f; g A P f( k ; l ; )g k l k; l N + ; f; g vezessük be továbbá a :! R ( k ; l ; ) 7! k k; l N + ; f; g :! R ( k ; l ; ) 7! l k; l N + ; f; g :! R ( k ; l ; ) 7! k; l N + ; f; g függetle valószí½uségi változókat. Ekkor ( ; ) eloszlása (.7) szeriti, és ha bevezetjük a f < g + [ + ( f < g + [ + ( ) ] f g ) ] f g valószí½uségi változókat, akkor teljesül (.8). Adjuk meg (; ) eloszlását: P ( k ) P ( k ; < ) P lk+ k l k k k ; ; : : : P ( k ; l ) P ( ; l ; k ) l k k l k ; ; : : : l k + ; k + ; P ( k ; l ) P ( ; k ; l ) k l k l l ; ; : : : k l + ; l + ; tehát (; ) eloszlása is (.7) szeriti... Nevezetes eloszlású valószí½uségi változók.6. Feladat. Egy f½os taulócsoortba láy és 8 ú va. 6 találomra válsztott felelés sorá, milye határok között va a láyok száma legalább.8 valószí½uséggel, ha a) mide tauló csak egyszer felelhet? b) mide tauló tetsz½oleges számúszor felelhet? Megoldás: Jelölje a láyok számát a 6 felel½o között, akkor feltehetjük, hogy a) Hy(; ; 6); és az 6 : 6 értéket közrefogó legvalószí½ubb értékekkel kezdve, számoljuk: P k P ( k) ( )( 8 ) : : ( 6 ) ( )( 8 ) ( 6 ) ( 5 )( 8 ) ( 6 ) : 7 85 : 675 : 6 7 : 88 9 Kézirat, módosítva:. február 9.

20 6. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Tehát :8 < P ( 5) : b) Bi(6; :6); és az 6 : 6 értéket közrefogó legvalószí½ubb értékekkel kezdve, számoljuk: P k P ( k) 6 :6 : : : 6 :6 : : 76 8 : :6 5 : : 86 6 : 77 6 :6 : : 8 : 9 8 Tehát :8 < P ( 5) : 9 8. Megjegyzés: A kérdésre más válasz is adható, éldául a b) esetbe 6 P ( 6) :6 6 : : értékkel számolva kajuk :8 < P ( 6) : 77 + : : Feladat. Egy háztartási bizosításra átlagosa 5 év alatt egyszer kell kártérítést zeti. a) Meyi aak valószí½usége, hogy egy biztosított egy adott évbe em jeletkezik kártérítésért? b) Meyi aak valószí½usége, hogy egy biztosításra 5 év alatt egyél több év lesz, amikor kell kártérítést zeti? Megoldás: a) Jelölje egy biztosított kártérítéseiek számát egy év alatt, akkor feltehetjük, hogy Po( ). A keresett valószí½uség: 5 P ( ) e 5 : b) Jelölje az 5 év alatt bekövetkez½o : 88 7 : 8 7 valószí½uség½u eseméyek számát, akkor Bi(5; : 8 7). A keresett valószí½uség: P ( > ) : : 8 7 : 88 7 : Feladat. Egy bizoyos forrásból származó adatállomáy mérete exoeciális eloszlású véletle meyiség. Tudjuk, hogy az esetek felébe az állomáy mérete meghaladja a kb-ot.

21 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 7 a) Meyi aak valószí½usége, hogy egy állomáy mérete meghladja a kb-ot? b) Ha egymás utá kauk ilye állomáyokat, meyi aak valószí½usége, hogy az els½o kb-ot meghaladó méret½u a tizedik útá, de még a tizeötödik el½ott érkezik? Megoldás: a) Jelölje egy állomáy méretét, akkor Ex(), és tudjuk, hogy P ( > ) e : 5. amib½ol tehát a keresett valószí½uség l(:5) 5: 776 P ( > ) e 5: 776 : 98 b) Jelölje aak az állomáyak a sorszámát, amely agyobb mit kb, akkor Geom(: 98), és a keresett valószí½uség P ( ) X k ( : 98) k : 98 : Feladat. Tudjuk, hogy a fel½ott emberek magassága N (75; ) eloszlású véletle meyiség. a) Milye magas legye egy ajtó, ha azt karjuk, hogy valaki 99%-os biztosággal god (lehajlás) élkül tudja azt haszáli? b) Ha egy lakásba égy fel½ott lakik, meyi aak valószí½usége, hogy legfeljebb egy f½o magasabb az el½obb megadott ajtó-méretél? c) Milye magas legye az ajtaja egy f½os el½oadó teremek, ha azt akarjuk, hogy 9%- os valószí½uséggel sekiek e okozzo godot az ajtó? Megoldás: a) Jelölje N (75; ) v.v. egy fel½ott magasságát, és q a keresett értéket, akkor q 75 P ( < q) F (q) :99 amib½ol a (: 6 ) :99 táblázati értékkel kajuk tehát q 98: 6. q 75 : 6 Kézirat, módosítva:. február 9.

22 8. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK b) Jelölje azok számát, akikek alacsoy ez a méret, akkor Bi(; :), tehát a keresett valószí½uség: P ( ) :99 + : :99 : 999 c) Jelölje azok számát, akikek alacsoy a keresed½o q méret, akkor Bi(; ) u Po(), tehát P ( ) e :9 ) l(:9) 5: 68 és teljesüli kell q P ( < q) F (q) 75 5: 68 amib½ol a (: 75 8) 5: 68 táblázati értékkel kajuk tehát q 7: 76. q 75 : Feladat. Egy öt úból, és öt láyból álló társaságba a úk magassága N (8; 8), a láyoké N (7; ) eloszlású véletle meyiség. a) Ha választuk egy út és egy láyt, meyi aak valószí½usége, hogy a ú legalább 5 cm-rel magasabb a láyál? b) Ha öt tácoló árt alkot a társaság, meyi aak valószí½usége, hogy va köztük legalább egy ár, ahol a ú em magasabb legalább 5 cm-rel a láyál? Megoldás: a) Jelölje az egymástól függetle N (8; 8) a ú, N (7; ) a láy magasságát, akkor a keresett valószí½uség 5 8 P ( > + 5) P ( > 5) F (5) 6 : mivel N (8; 6). b) jelölje azo árok számát, ahol a ú em magasabb 5 cm-rel a láyál, akkor Bi(5; :79), és a keresett valószí½uség P ( > ) : : 96 9.

23 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 9.. Feladat. Legyeek ; N (; ) függetleek, adjuk meg a) eloszlását! b) + eloszlását! c) eloszlását! Megoldás: a) Adjuk meg az eloszlásfüggvéyt: F (x) mivel < x eseté ha x ( x) ha < x P ( < x) P ( x < < x) ( x). A s½ur½uségfüggvéy: f (x) F (x) '(x) x ex x x < x (.9) b) Vezessük be a h(x; y) x + y ; arg (x; y) x; y R r f(; )g h (R; ) R cos(); R si() R > ; < amivel ( + ; ) h(; ), és és függetleek, ezért együttes s½ur½uségfüggvéyük f ; (u; v) u ex + v (u; v) R (.) és így f ( + ;)(R; ) ex R R > ; < mivel a h függvéy derivált mátrixáak determiása cos() det B6 R si() R si() 5A R cos(), R amib½ol kajuk f + (R) Z ex R d R ex R >. Kézirat, módosítva:. február 9.

24 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK c) Vezessük be a, és v.v.-kat, akkor ( ; ) h(; ); ahol u h(u; v) v ; v u R, 6 v R a (; ) értékkészletéek -valószí½uség½u részé értelmezett, ivertálható h (x; y) (x y; y) x R, 6 y R és di ereciálható, az iverz derivált mátrixa: y x x R, 6 y R és y x det y x R, 6 y R. Tehát a (.)-b½ol kajuk ( ; ) s½ur½uségfüggvéyét x f ; (x; y) jyj ex y + y x R, 6 y R, amib½ol a keresett s½ur½uségfüggvéy: f (x) Z jyj ex x y + y dy Z x y! x + ex + y y y x ex + y dy x + x R. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy + exoeciális eloszlású araméterrel, eloszlása edig az u.. Cauchy eloszlás... Feladat. Legye " N (; ), adjuk meg olya valószí½uségi változó eloszlását, melyre teljesül ( ) " (.) ahol > ; >. Megoldás: Az (.) egyeletet alakítva kajuk a ( + " ) + másodfokú egyeletet -re, melyek diszkrimiása ( + " ) " + " >,

25 .. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK ezért va két < külöböz½o gyök, melyek összege és szorzata + + " > > tehát midkett½o ozitív, és miatt < < <. Tehát az (.) egyeletek két megoldása va, és ezek eloszlása: a) eloszlása. Mivel h(" ), ahol h : R +!]; [ h (x) (x ) x h (x) x x x ]; [, haszáljuk " (.9) szeriti s½ur½uségfüggvéyét, amivel kajuk s½ur½uségfüggvéyét. f (x) x x q ex (x ) x x + r (x ) x ex x (x ) x! x ]; [ b) eloszlása. Hasolóa kajuk f (x) x + r (x ) x ex x x ]; +[ s½ur½uségfüggvéyét. Az (.) egyelet további megoldásai yerhet½ok tetsz½oleges A A eseméyel A + A alakba. Legye éldául U(; ) a -t½ol (és akkor a -t½ol is) függetle, és o A < +. Ekkor eloszlásfüggvéye F (z) P < z; < + P + Z z r (x ) x ex x < z; dx + < z Kézirat, módosítva:. február 9.

26 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK mivel P P < z; < < z; ( R z R +x f (x)dudx ha < z < R + R +x f (x)dudx ha < z R z +x f (x)dx ha < z < R f +x (x)dx ha < z P < z; + + ( ha < z < R z R x f (x)dudx ha < z +x ha < z < f +x (x)dx ha < z Tehát megoldása az (.) egyeletek, és s½ur½uségfüggvéye: r (x ) f (x) x ex < x. x R z.. Várható érték, szórás.. Feladat. Az.6. feladatba adjuk meg az eredméy várható értékét szórását! Megoldás: Haszáljuk (.) eloszlását Tehát x P ( x) x P ( x) x P ( x) P 6 6 E() D() s : 8.. Feladat. Az.7. feladatba adjuk meg a terület várható értékét szórását! Megoldás: Haszáljuk (.) s½ur½uségfüggvéyét: Tehát E() Z x f(x) x dx x < x <. E( ) Z x x dx 8 5

27 .. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS így kajuk s 8 D() Feladat. A következ½o szerecsejátékot játszuk: T -összeg be zetése elleébe dobuk egy kockát, és ha az eredméy, vagy, akkor em yerük semmit, ha, 5 vagy 6 a dobás eredméye, akkor 8, illetve a yereméyük a) Milye T -összegig érdemes játszai? b) Meyi a játékba elért eredméy szórása, amikor a várható eredméy? Megoldás: a) Jelölje a játékba elért eredméyt, akkor eloszlása amib½ol x P ( x) T 8 T 6 T 6 T 6 E() T + (8 T ) 6 + ( T ) 6 + ( T ) 6 T. Tehát érdemes játszai, ha T < : b) Mivel E(), T, és ekkor D () E( ) ( ) D() 56 9 : 9.6. Feladat. Adjuk meg a.8. feladat és véletle meyiségeivel kacsolatba az a) E(); E(); E() várható értékeket és a D(); D() szórásokat! b) a + b közelítést! Megoldás: Kézirat, módosítva:. február 9.

28 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Haszáljuk az (.5) eloszlást, amib½ol x y 5 6 P ( x) P ( y) E() E() E() ( + ) ( + + ) ( ) ( ) továbbá tehát b) Mivel E( ) 6 + E( ) 6 + D() D() s 79 6 s 6 cov(; ) 9 r : :

29 .. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 5 kajuk a regressziós együtthatók értékét a 6 b 9 6 és a maradék szóráségyzetet R : : 8 56! : Feladat. Adjuk meg az.. feladatba szerel½o és valószí½uségi változók várható értékét és szórását, valamit a két véletle meyiség korrelációs együthatóját! Megoldás: Mivel s½ur½uségfüggvéye kajuk f(x) ( jxj ha < x egyébkét : kajuk D() E() Z E() E( ) E( ) E( ) E() E( ) r 5 x x dx + D() Z Z Z s 9 x x x Z x x dx x dx + x dx + x dx Z Z Z x x x x dx 5 x dx 9 x dx cov(; ) r. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy és korrelálatla, de em függetle, mert éldául és P P < Z > P 8 P x dx + P < 9 > 9 Z 9 < ; > P < 8 6. x dx Kézirat, módosítva:. február 9.

30 6. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.8. Feladat. Egy ujságárusál egy adott laot átlagosa vásárló keres egy ao. Ha aota laot redel, meyi a várható hasza, ha az 5Ft-ért beszerzett laot 6Ft-ért adja a vásárlóak, és a megmaradt éldáyokat Ft-ért veszi vissza a terjeszt½o? Megoldás: Felthetjük, hogy a ai kereslet Po(), és ha N jelöli a redelt meyiséget, akkor a haszo véletle meyisége: fng (N ) fng + ( N) f>ng fng N fng + N NX ( N) fng + N (k N) fkg + N. Adjuk meg eek várható értékét: k k X E() (k ) k e + 596: 9. k!.9. Feladat. Legyeek N (; ); Ex() függetleek, és jelölje és. Adjuk meg az a + b regressziós közelítést! Megoldás: Számítsuk ki a szükséges várható értékeket: E() E() E ( ) 5 D () E() E + 5 amib½ol kajuk cov(; ) 5 5 E( ) E + D () a b 5 r R 7 9 +! 5! A Feladat (*). Legye! R v.v., mutassuk meg, hogy E() akkor és csak akkor létezik, ha a X P (jj > ) (.) sor koverges!

31 .. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 7 Bizoyítás. Elég esetet vizsgáli, amikor teljesül NX f>g + és ebb½ol már következik az állítás. NX f>g,.. Feladat (*). Bizoyítsuk az u. arciális itegrálás szabályát: Legye v.v. eloszlásfüggvéye F, akkor kajuk Z x tdp Bizoyítás. Mivel Z x k Z x ( F (t)) dt x ( F (x + )) x >. (.) X x k fx k k+ <x g + x fxg % fxg, F x k + X tdp E fxg x P ( x) + lim x k! k x (F (x + ) F (x)) + lim x F x x! F x x F x x F x x F x + F x k x F x + Következméyek: x F x X xf (x + ) lim! x F k. x x F x k xf (x + ) Z x x F x Z x F (t)dt ( F (t)) dt x ( F (x + )).. Vegyük észre, hogy (.) jobb oldalá szerel½o itegrál F mootoitása miatt midig létezik, és véges.. Mivel az eloszlásfüggvéy x R folytoossági helyei (tehát egy legfeljebb megszámlálható halmaz kivételével) fxg x f>xg + fxg Kézirat, módosítva:. február 9.

32 8. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK kajuk Z x tdp x ( F (x)) + Z x tdp Z x ( F (t)) dt E() lim x! Z x tdp. Tehát E() otosa akkor létezik, ha az R ( F (t)) dt imrorius itegrál véges érték½u, és ekkor E() Z ( F (t)) dt.. Ha im() N, akkor a (.) sort kiegészítve, a P P ( > ) összege otosa akkor véges, ha létezik a várható érték, és ekkor E() Z ( F (t)) dt Z ( F (t)) dt + Z ( F (t)) dt +.. Feladat (*). Ha v.v.-ak va várható értéke és szórása, akkor X P ( > ). és ics -él kisebb fels½o korlát. P j E()j > D() + P j E()j > D() < Bizoyítás. Elég az E(), D() eset vizsgálata, és jelölje jj. Mivel > f>g + f>g ) > f>g + 5 f>g, ezért > (P (j E()j > D()) + P (j E()j > D())) : Legye továbbá v.v., melyre P + + P ; ; : : : amib½ol következik E( ), D( ) ; és P (j j > ) + P (j j > )! tehát a legkisebb fels½o korlát... Feladat (*). Legye v.v., és m E( ) ; ; ; : : : ; N +, akkor teljesül m + m m + ; ; ; : : : ; N.

33 .5. GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY 9 Bizoyítás. Tegyük fel el½oször, hogy va olya < ", melyre ". Megmutatjuk, hogy a (x) l (E( x )) x [; N] függvéy kovex. yilvá értelmezett, és mivel elég kis h eseté x+h x h x h h x ( + + jl "j) N+ + + jl "j jl j x+h x h N+ + + jl "j + N+ + + jl "j + N+ jl "j + ezért a várható érték és a deriválás sorredje felcserélhet½o, így + jl "j + jl "j ; (x) E(l x ) E( x ) x [; N] amib½ol (x) E(l x ) E( x ) E (l x ) E ( x ) ahol a számláló em lehet egatív, ugyais x [; N] E l x x E(l x ) E( x ): Tehát kovex, és így l m + (l m + l m + ) vagyis amit meg kellett mutati. Legye most és " " + ; és jelölje m " E( " ), akkor a fetiekb½ol, és miatt következik az állítás. lim "!+ m" m.5. Geerátorfüggvéy, karakterisztikus függvéy.. Feladat. Legye a és függetle v.v.-k geerátorfüggvéye: G (z) + z + z G (z) 6 z + z + z adjuk meg + geerátorfüggvéyét, várható értékét és szórását! Kézirat, módosítva:. február 9.

34 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Mivel kajuk G + (z) + z + z 6 z + z + z 8 z5 + 5 z + 8 z + 5 z + z z C G +(z) 5 8 z z z + 5 z + G +() E( + ) tehát G +(z) 5 z + 5 z + 9 z + 5 G +() E ( + ) E( + ) E( + ) 7 s D( + ) Feladat. Legye a v.v. s½ur½uségfüggvéye f (x) e jxj x R a; b R adjuk meg a + b karakterisztikus függvéyét! Megoldás: Adjuk meg el½oször (t) E(e it ) Z Z e itx ex dx + ( + t ) karakterisztikus függvéyét, amib½ol e itx e jxj dx Z e itx e x dx i t + t + ( + t ) + i t + t t R + t (t) e itb ' (at) eitb + a t t R.

35 .5. GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az iverziós formula következméye szerit, a folytoos eloszlás s½ur½uségfüggvéyét megkahatjuk amib½ol a t e jxj Z u helyettesítéssel, és redezve e jxj Z e iux e itx kajuk a Cauchy eloszlás karakterisztikus függvéyét..6. Feladat. Legye a v.v. s½ur½uségfüggvéye + t dt + u du x R, f(x) adjuk meg karakterisztikus függvéyét! ( 8 x ha < x < egyébkét ; Megoldás: Adjuk meg a karakterisztikus függvéyt: Z (t) E(e it ) e itx e itx 8 x dx it 8 x i e itx t eit i t Z x e itx + i t dx i t eit + e itx t eit it Z i t + t + i t e itx it xdx e it i t t R fg. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a feti eredméy csak t 6 esetbe értelmezett, de mide karakterisztikus függvéy folytoos a t helye, és értéke ; amit esetükbe elle½orizhetük: i lim t! t + t + i e it i t t.7. Feladat. Legye a v.v. exoeciális eloszlású, és E(), és a v.v. eloszlása: k P ( k) adjuk meg geerátorfüggvéyét! Adjuk meg továbbá az X k v.v. karakterisztikus függvéyét és várható értékét, ha k k ; ; : : : függetleek, és közös eloszásuk azoos a valószí½uségi változóéval! k Kézirat, módosítva:. február 9.

36 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Adjuk meg G(z) z + z + z z C geerátorfüggvéyét, és k (t) it karaktrisztikus függvéyét, amivel kajuk továbbá (t) it + it t R + it t R, (t) i ( it) + i ( it) + i ( it) () i 5 ) E() 5.6. Közoti határeloszlás tétel.8. Feladat. Milye határok között lehet az a véletle meyiség, amit darab, és közötti véletle szám összegéb½ol 6-ot levova kauk, 9%-os valószí½uséggel? Megoldás: Jelölje k U(; ) k ; ; ; a függetle véletle számokat, akkor az r X k 6 E() D() k v.v. közelít½oe N (; ), tehát P ( x x) :9, (x) :9, (x) :95 amiek x :65 a megoldása, mivel (:65) : Feladat. Egy üzletbe egy a átlagosa vev½o vásárol. Meyi aak valószí½usége, hogy 9-él kevesebbe vásárolak egy ao? Megoldás: Jelölje a vásárlók számát, akkor P (), ami már közelíthet½o az N ; eloszlással, tehát 9 P ( < 7) (:7) : : 7.. Feladat. Háyszor kell egy szabályos érmét feldobuk ahhoz, hogy a fejek számáak relatív gyakorisága legalább.9 valószí½uséggel.-él kevesebbel térje el a valószí½uségt½ol

37 .6. KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTEL Megoldás: Jelölje v.v. a fejek számát dobásból, akkor szabályos érme eseté Bi(; ), és keressük azt az számot, melyre teljesül P < : :9. q Mivel közelít½oe N ;, ezért N ; ; amivel kajuk : :9, : :95, : :65, 6:5 mivel (:65) :95, tehát 6765 eseté teljesül a feltétel. Megjegyzés: Ha az érme em szabályos, akkor P < : :9 kell, hogy teljesüljö az ismeretle ]; [ értékkel, és ekkor amib½ol :! ( ) :9, N ; ( ) ; : ( )! :95, 6:5 ( ) ahol a kívát egyel½otleség következik az 6:5 egyel½otleségb½ol, mivel ( ) megoldása a feladatak.. Tehát az el½oz½o eredméy mide eseté.. Feladat. Egy darabos tételbe hibás darab va. Ha darabot kiválasztuk, legalább háy hibás darab lesz a kivettek között 9%-os valószí½uséggel? Megoldás: Jelölje a hibásak számát a mitába, akkor Hy(; ; ), amit közelíthetük N (; : 796 6) eloszlással, mivel s 99 E() D() :8 : Keressük tehát k R, melyre k P ( k) : :9 ) k : :8 ) k 5: 5... Feladat. Az.8 feladatba keressük meg azt az N redelés számot, mellyel a várható haszo maximális! Kézirat, módosítva:. február 9.

38 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Jelölje a haszot, Po() N (; ) a vásárlók számát, ahol, b a haszo egy eladott újságo és c a veszteség mide megmaradt éldáyo, akkor! NX m N E() E (b + c) (k N) fkg + bn (b + c) k NX k P( k) k (b + c)n Vizsgáljuk az m N N ; ; : : : sorozat mootoitását: m N+ m N (b + c) k NX P( k) + bn. k NX P( k) + b, ami otosa akkor teljesül, ha N b b + c X N P( k) P ( N). m N maximális, ha b N b + c, adataikat behelyettesítve: N ) N : 7 ) N 95: 69: Tehát N 96 darabot kell redeli a maximális várható haszohoz, és ekkor k k X96 E() (k 96) k e : 7. k!.7. Vektor valószí½uségi változók.. Feladat. A ( ; ) v.v.v. kovariacia mátrixa és várható értéke: 7 cov(; ) E() 5 a) Adjuk meg az els½o (a agyobbik sajátértékhez tartozó) f½okomoessel és f½ofaktorral való közelítést, és a közelítés hibáját, és a közelítés egyeeséek egyeletét! b) Legyeek ajuk meg az ( ; ) v.v.v. kovariacia mátrixát és várható érték vektorát!

39 .7. VEKTOR VALÓSZÍN ½USÉGI VÁLTOZÓK 5 c) Ha ( ; ) egy meg gyelt értéke (; ), adjuk meg a f½okomoesek és f½ofaktorok megfelel½o értékeit! Megoldás: a) cov(; ) sajátértékei és ormált sajátvektorai: 8 v v tehát és az els½o f½okomoes illetve f½ofaktor egyeeséek egyelete x + y + R b) cov(; ) E() T c) 8 : 9 : 68 mivel h h i i.. Feladat. Legyeek egy téglala oldalai a és függetle valószí½uségi változók, és E() D() E() 5 D() jelölje továbbá a terület logaritmusát, a kerület logaritmusát edig. Adjuk meg a (; ) v.v.v. várható értékéek és kovariacia mátrixáak közelítését! Kézirat, módosítva:. február 9.

40 6. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Mivel k k l() + l() l() + l( + ) haszáljuk az els½ofokú Taylor formulát a várható érték közéottal: l(5) + 5 l(5) 5 amib½ol cov k ; k l(5) 9: 65 8 E k l(5) 6: 6 5 T Feladat. Legye a (; ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéye: f(x; y) c ex x + xy y x + y + (x; y) R. Adjuk meg c értékét, (; ) kovariacia mátrixát és várható érték vektorát! Megoldás: Mivel a ormális eloszlás s½ur½uségfüggvéye az exoesbe egy kvadratikus formát tartalmaz, vizsgáljuk meg a ormális eloszlás lehet½oségét, amikor is a s½ur½uségfüggvéy az alábbi alakba írható: f(x; y) Tehát a tiszta másodfokú tagokból r ex ( x m y m T V x m x xy + y x y V x y y m ) kell hogy teljesüljö, amib½ol V ) cov ; " V # ami valóba egy ozitív de it (szimmetrikus) mátrix. Az els½ofokú tagokra teljesül (x + y) ( ) m m ezért az T V x y m + m m + m m + m x + m + m y,

41 .8. ; T ÉS F ELOSZLÁS 7 egyelet megoldásával kajuk: m m + ) E " + + #. A kostas tag az exoesbe így " + + # T " + + # és a s½ur½uségfüggvéy 8 < f(x; y) c ex : " x + y + # T V " x + y + # 9 ; ex! +, tehát teljesüli kell az c ex! + r egyeletek, ahol r, amib½ol c ex q e + 8: 6 8. Tehát összefoglalva, c 8: 6 8 N " + + # ; " #!..8. ; T és F eloszlás.6. Feladat. Legye ( ; ) N (m; V ) -dimeziós ormális eloszlású, ahol m és keressük olya H R tartomáyt, hogy teljesüljö! V P ( H) :95 Kézirat, módosítva:. február 9.

42 8. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Ha N (m; V ) rag (V )-dimeziós ormális eloszlású v.v.v., és az U [v ; v ; ; v ] R mátrix oszlovektorai V sajátvektoraiak ortoormált redszere, akkor UU T tíusú egységmátrix, és V U v ; v ; ; v R U T ( m) I az ezért ( m) T V ( m) U T ( m) T U T V UU T ( m) X i i i : Keressük tehát a H tartomáyt az (x m) T V (x m) k x R másodfokú egyel½otleség megoldáshalmazakét egy alkalmas k > számmal. Ekkor ha P ( H) P ( k) : A eloszlás táblázatból válasszuk a k :5 5:99 értéket, amivel teljesül P vagy kifejtve a kvadratikus formát: P vagyis a keresett H tartomáy az T! 5:99 :95, :99 :95 5 x 6x + xy + y + 8 x y 6y 5:99 egyelet½u elliszis belseje. A következ½o ábrá ez, és a sz½ukebb, 9%-os ko decia elliszis látható.

43 ; T ÉS F ELOSZLÁS Ko decia elliszisek Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az ilye módo keresett H tartomáyba esés valószí½usége csak k értékét½ol (és a dimeziótól) függ, ami a skalár esetbe jól ismert k szabály megfelel½oje. A H tartomáyak szemléletes jeletése is va, ugyais a f½okomoesekkel írva f Hg + k, tehát H egy olya elliszissel határolt tartomáy, melyek közéotja a várható érték, a tegelyek iráyvektorai a sajátvektorok, a fél-tegelyhosszak edig a k b k a sajátértékek gyökével aráyos értékek..7. Feladat. Egy beredezés m½uködtetéséhez szükséges alkatrész élettartama exoeciális eloszlású véletle meyiség, és az átlagos élettartam óra a) Milye határok között va egy alkatrész élettartama 9%-os valószí½uséggel? b) Legalább háy óra m½uködési id½ore számíthatuk 9%-os biztosággal, ha ilye alkatrészük va? Megoldás: Kézirat, módosítva:. február 9.

44 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Jelölje Ex egy ilye alkatrész élettartamát, akkor Ex, és táblázatból (szabadsági fok: ) amivel P :95 : :5 5:99, : 5:99 :9, tehát P (5 ) :9. b) Jelölje a három függetle élettartamot i Ex i ; ;, akkor + + összegükre teljesül 6, és táblázatból (szabadsági fok: 6) :9 :, amivel tehát P : :9, P ( ) :9..8. Feladat. Egy óra várható élettartamú alkatrész élettartamáál háyszor több égy egyekét órás várható élettartamú alkatrész össz-élettartama.95 valószí½uséggel? Tegyük fel, hogy az alkatrészek élettartama függetle exoeciális eloszlású! Megoldás: Jelölje Ex és i Ex keressük azt a k > számot, melyre P (k < ) :95 i ; ; ; a két e élettartamot, vagy redezve ahol P k 5 8 < ( ) 8 ( ) 8 F 8;,! :95

45 .8. ; T ÉS F ELOSZLÁS ezért táblázatból (szabadsági fok: (; 8)) kajuk f :5 :6; és a (8; ) szabadsági fokhoz amib½ol k : 79 7, tehát f :95 :6 k 5 8, P (: 79 7 < ) : Feladat (*). Legye N (m; I ) -dimeziós v.v., ahol 6 m R és I R egység mátrix. a) Mutassuk meg, hogy a T skalár v.v. eloszlása csak az m m T m értékt½ol függ. Ezt az eloszlást em-cetrált -eloszlásak evezzük szabadsági fokkal, jelölése T (m). b) Ajuk meg az (m) v.v. karakterisztikus függvéyét! c) Mutassuk meg, hogy a (m) eloszlás megadható, mit a +k k ; ; ; : : : eloszlások keveréke a Po m eloszlással, azaz (m) e m X k m k +k. k! Bizoyítás. a) Ha ; az állítás yilvávaló, ha > legye Q I m m T szimmetrikus mátrix, ahol m m m R, akkor I Q + m m T és teljesül Q m m T, ezért QQ Q és rag(q) ; továbbá T T Q + m T ahol az összeadadók függetleek, Qm, ezért T Q. Tehát T eloszlása olya, mit egy eloszlású v.v. és egy t½ole függetle m T N ( m; ) eloszlású v.v. égyzete öszzegéek az eloszlása. b) Legye (m), akkor karakterisztikus függvéye (t) Z e itx (x m) dx Z e (it )x +x m m dx e m Z X (x m) k k k! e (it )x dx. (.) Kézirat, módosítva:. február 9.

46 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Mivel lx (x m) k k! k e (it )x lx jx mj k k k! e x e jx mj x l ; ; : : : és a majoráló függvéy itegrálható, (.)-be az itegrálás és összegzés felcserélésével kajuk: (t) e m Számoljuk ki a sor tagjait: X Z k (x m) k k! e (it )x dx k Z e (it )x dx (t) k Z x m e (it )x m dx it e (it )x k Z (x m)! e (it )x dx x m m! it + m it e (it )x + Z e (it )x dx m it (t). k l Z (x m) l e (it )x dx (l )! " (x m) l # m e (it )x + (l )! it m Z it (x m) l + e (it )x dx l (l )!

47 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS k l. Z (x m) l (l)! e (it )x dx " (x m) l m (l)! it m Z it (x m) l + l (l )! m it l e (it )x # + e (it )x dx l (l ) : : : (t) m l it l! (t) t R Tehát (t) e m X m l it l! it (t) e m X l m l l! e m + m it it ahol (t) it (m) v.v. karakterisztikus függvéye: X m k k+ (t) e m k! it k l+ it itm ex it t R t R a eloszlás karakterisztikus függvéye, ezért az it itm ex it c) Az állítás következik a karakterisztikus függvéy (.5) szeriti alakjából. t R. (.5) Következméy: Ha (m) és függetleek, akkor az f v.v. eloszlását emcetrált F -eloszlásak evezzük ( ; ) szabadsági fokkal, jelölése f F ( ; )(m), és F ( ; )(m) e m.9. Regresszió aalízis X k m k k! F ( +k; )..5. Feladat. A ( ; ; ) v.v.v. kovariacia mátrixa és várható érték vektora: cov(; ) 7 5 E() 5 Kézirat, módosítva:. február 9.

48 . FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK a) Ajuk meg a a + b + c regressziós közelítést, a j ; többszörös korrelációs együtthatót és a maradék szórást! a b b) Ajuk meg a + regressziós közelítést, a maradék szóráségyzetet, és a j Megoldás: a b arciális korrelációs együtthatót a) Jelölje m E( ) m E V D ( ) V cov ; V cov ; 7 amivel a regressziós együtthatók ormál -egyelete 7a + b a + b és megoldása: a b c 5 A maradék szóráségyzet R T és a meghatározottság mértéke: Tehát a regressziós közelítés R , a többszörös korrelációs együttható és a maradék szórás r r 7 j 8 : 8 88 R : 88.

49 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 5 b) Jelölje m E V cov m E ( ) ; V cov V D ( ) 7 ; amivel a regressziós együtthatókat komoesekét számolva: a 7 a 7 a maradék kovariacia mátrix V R Tehát a regressziós közelítés b b T a maradék szóráségyzet R a arciális korrelációs együttható j 7 q 7 q 7 :589. Megjegyzés: A és kacsolatáak szorosságát mér½o : korrelációs együttható léyegese agyobb az el½oz½o értékél, amiek oka ; ugyais eze komoes hatására gyelhetük meg azoos iráyú változást és értékébe. Ha edig értéke em változik, a cél-változó komoesei közti korreláció mértéke elhayagolható..5. Feladat. Keressük meg az ( ; ) (; ) (; ) (; ) R otokra legjobba illeszked½o másodfokú oliomot! Kézirat, módosítva:. február 9.

50 6. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Megoldás: Haszáljuk a legkisebb égyzetek módszeréek regressziós feladatkét törté½o megfogalmazását, amihez számoljuk ( ): Amib½ol m 9 V " V x y x x x xy x y m amib½ol a regressziós együthatók ormál egyelete: megoldása a ; b ; és c 9 közelítés eredméye az másodfokú függvéy. 9 a + 5 b 8 5 a + 5 b # y x x Tehát a regressziós.5. Feladat. Egy fér magasságát három szemtaú 77cm-, 8cm- és 79cm-ek becsülte. Ha tudjuk, hogy a fér ak magassága N (78; ) eloszlású véletle meyiség, és a szemtaúk becslése ett½ol, és egymástól is függetle N (; ) eloszlású véletle hibát tartalmaz, adjuk közelítést a látott fér magasságára! Megoldás: Jelölje a függetle valószí½uségi változókat N (78; ) " k N (; ) k ; ; akkor a három becsült érték véletle meyisége + " + " + "

51 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 7 és keressük a legjobb E( j ) közelítést. Mivel ezért (; ; ; ) ormális eloszlású vektor valószí½uségi változó, melyek várható érték vektora m és kovariacia mátrixa V " " " T Együttes ormális eloszlás eseté a legjobb E( j ) közelítés a lieáris regressziós feladat a + a + a + b megoldása. A regressziós együtthatók ormál egyeletéb½ol kajuk Tehát a legjobb közelítés 5 a a a a a a 5 76, 5 b ( + + ) Ezt felhaszálva, a becsült értékekb½ol számolhatjuk a látott fér magasságáak közelítését: 5 89 ( ) : 99cm Kézirat, módosítva:. február 9.

52 8. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK.5. Feladat. Legye a (; ) v.v.v. diszkrét eloszlása: : :5 : : :8 :5 Adjuk meg az E( j ) feltételes várható értéket! Meyi a maradék szóráségyzet? Megoldás: Adjuk meg -ak -re voatkozó (P ( y j x)) y feltételes eloszlását : :+:5+: : :+:8+:5 :5 :+:5+: :8 :+:8+:5 : :+:5+: :5 :+:8+:5 amib½ol kajuk: : E( j x) + :5 + : : x : : : : + :8 + :5 : 5 9 x :7 :7 :7 A maradék szóráségyzethez számoljuk ki: E( ) : + : + :5 6: E E ( j ) : : + : 5 9 :7 5: 89 amib½ol R E( ) E E ( j ) 6: 5: 89 : Feladat. Legye a (; ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéye: f(x; y) x y x ha < x < és < y <. Adjuk meg az E( j ) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szóráségyzetét. Megoldás: Adjuk meg s½ur½uségfüggvéyét f (x) Z amivel a feltételes s½uségfüggvéy x y x dy ha < x < () U(; )), f j (yjx) f(x; y) f (x) x yx ha < x < és < y <. Tehát E( j x) Z y x y x dy x + x ha < x <

53 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 9 vagyis E( j ) A maradék szóráségyzethez számoljuk ki : amivel kajuk: E( ) E E ( j ) Z Z Z R + l l +. y x y x dxdy + l l x dx + x l l 7: Feladat. Tudjuk, hogy a fér ak magassága N (8; ), a ½ok magassága edig N (7; ) eloszlású véletle meyiség. Ha egy 6 fér ból és ½ob½ol álló társaságból találomra választott személy 75cm magas, meyi aak valószí½usége, hogy ½ot, illetve fér t választottuk? Adjuk dötési szabályt a magasság alajá egy találomra választott személy emére! Megoldás: Jelölje a választott személy magasságát, továbbá F N a választott személy fér a válsztott személy ½o akkor feltehetjük P (F ) :6 P (N) :, és a magasság feltételes s½ur½uségfüggvéyei (x 8) f F (x) ex f N (x) ex (x 7) x R, amivel P (F j 75) A Bayes dötéshez :6 ex (75 8) :6 ex (75 8) + : ex (75 7) : P (N j 75) : : 9 d (x), :6 ex (x 8) > : ex (x 7), 7: 9 < x. Kézirat, módosítva:. február 9.

54 5. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Tehát és a hibás dötés valószí½usége: 7: 9 < x d (x) 7: 9 x P (H d ) (P ( > 7: 9jF ) P (F ) + P ( 7: 9jN) P (N)) 7: 9 8 7: 9 7 :6 : 87 8 :6 : 57 9 : : Feladat. Legyeek N (; ); " k N (; ) k ; ; : : : ; függetle v.v.-k, és k + " k k ; ; : : : ;, adjuk meg az E( j ; ; : : : ; ) feltételes várható értéket! Megoldás: Mivel (; ; ; : : : ; ) N ( + ; V ), ahol + V , a feltételes várható érték a lieáris regressziós függvéy, melyek araméterei a a a a azoosak a függetle változók szimmetrikus eloszlása miatt. Tehát + a + a + + a ) a + és így kajuk E( j ; ; : : : ; ) + és a maradék szóráségyzet, vagyis az + X i i + közelítés hibája R ( ) Feladat. Legyeek a ; ; : : : ; U(; d) valószí½uségi változók függetleek, és jelölje a legagyobbat max ( ; ; : : : ; ). Adjuk meg az E( k j ) k ; ; : : : ; feltételes várható értéket!

55 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 5 Megoldás: Mivel ( k ; ) eloszlása em lehet folytoos, ugyais P ( k ), a feladatot átfogalmazzuk egy folytoos eloszlással kezelhet½o esetre. ( k ; ) eloszlása azoos mide k ; ; : : : ; esetbe, ezért a keresett feltételes várható érték!!!! E( k j) E X i j E X i j E X i j + ahol i mi f ; ; : : : ; g i i mi f ; ; : : : ; k ; k+ ; : : : g ahol k. max ( ; ; : : : ; ) Az.. feladat szerit kahatjuk (; ; : : : ; eseté ) feltételes s½ur½uségfüggvéyét y f(x ; : : : ; x jy)! d ( )! < x y y < x < : : : < x < y < d, d ezért ; ; : : : ; feltételes eloszlása olya, mit egy U(; y) eloszlású számú függetle v.v. redezéséb½ol származó vektoré, tehát E! X i j y E i! X i j y i y < y < d és így kajuk E( k j ) Feladat. Haszáljuk az el½oz½o feladat jelöléseit, és mutassuk meg, hogy E( i ) i + d és E ( i j ) i i ; ; : : : ;. Bizoyítás. Az állítás yilvá teljesül az esetbe. Tegyük most fel, hogy N eseté teljesül az állítás mide d > esetbe. Mivel + s½ur½uségfüggvéye (lásd:.. feladat) f + (y) ( + ) y d + < y < d, a ( ; ; : : : ; ) v.v.v. + y feltétel melletti s½ur½uségfüggvéye f(x ; : : : ; x jy) ( + )! d + ( + ) y d +! y < x < x < : : : < x < y < d Kézirat, módosítva:. február 9.

56 5. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK ezért ( ; ; : : : ; ) feltételes eloszlása olya, mit egy U(; y) eloszlású számú függetle v.v. redezéséb½ol származó vektoré. Feltételezésük szerit tehát teljesül továbbá E( i j + y) i y < y < d, i ; ; : : : ; + + és E( +) Z d y ( + ) i E(i ) E + + amit bizoyítai kellett. y ( + ) x + d dy d+ d ( + ) + d i + + ( + ) + d i ( + ) + d.59. Feladat (*). Két óza között kifeszített drótra számú madár száll le véletleszer½ue válsztott helyekre. Mide madártól, a hozzá legközelebbi madárig tartó drótszakaszt fessük be. Ha!, hova tart a befestett részek várható össz hosszáak és a drót teljes hosszáak aráya? Megoldás: Feltehetjük, hogy a drót teljes hossza egységyi, és a madarak helye az egyik végottól mérve, a ; ; ; U(; ) függetle valószí½uségi változókkal adott. Redezzük ezeket agyság szerit, akkor kajuk a ( ; ; ; ) v.v.v.-t, melyek s½ur½uségfüggvéye: Vezessük be a f (x ; x ; ; x )! < x < x < < x <. valószí½uségi változókat, akkor a ( ; ; ; ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéye: f (x ; x ; ; x )! < x i i ; ; : : : ; X x i < (.6) i ami a változók szimmetrikus függvéye az -dimeziós egység él½u szimlexe, ezért éldául mide erem azoos eloszlású. A vizsgáladó aráy, vagyis a befestett részek hossza + f > _ > g + f > _ 5 > g + + f > _ > g +

57 .9. REGRESSZIÓ ANALÍZIS 5 amiek várható értéke Mivel kajuk Vizsgáljuk most az E() E ( ) + ( ) E f > _ > g. E ( ) E( ) X i i + ) E ( ) +. E f > _ > g E f > _ > g várható értéket, ami az ( ; ; ) v.v.v. eloszlásától függ. A vektor ( ; ; ) ereméek s½ur½uségfüggvéye a (.6) s½ur½uségfüggvéyb½ol: f ( ; ; )(x; y; z) ( )( ) ( x y z) < x; y; z x + y + z < amib½ol a ( ; ; ) vektor s½ur½uségfüggvéye f ( ; ; )(x; y; z) ( )( ) x + y + z < x; y; z x + y + z <. Mivel a lim f ( ; ; )(x; y; z) e x e y e z < x; y; z! határérték három függetle Ex() eloszlású v.v. együttes s½ur½uségfüggvéye, megmutatjuk, hogy E f > _ > g lim E f > _ > g ZZZ! lim! f>x>^ x>y>^ x y>z>g fx>y_z>yg y R ( )( ) x + y + z dxdydz ahol ; Ex() függetle v.v.-k. Ehhez elég ez utóbbi itegradus sorozathoz itegrálható majorást keresi, mit l.: ( )( ) f>x>^ x>y>^ x y>z>g fx>y_z>yg y y ex (x + y + z) x + y + z x; y; z R + Kézirat, módosítva:. február 9.

58 5. FEJEZET. VALÓSZÍN ½USÉGSZÁMÍTÁSI FELADATOK Vizsgáljuk most a következ½o feltételes várható értéket: E f > _ > gj y yp ( > y _ > y) y e y e y < y, amib½ol Z E f > _ > g y e y e y e y dy 7 8. Továbbá lim! E() lim E ( ) + (! lim! ) E f > _ > g + + E f > _ > g E f > _ > g 7 8. Megjegyzések:. Ha ; akkor és E(), ha edig, akkor + és E() :. Hasolóa számolhatjuk a lim! D() határértéket is, ugyais + f > _ > g + f > _ 5 > g + + f > _ > g+ X X i fi > i _ i+ > i g + i fi > i _ i+ > i g+ X + i6j;;:::; i i i j fi > i _ i+ > i g fj > j _ j+ > j g amib½ol 7 lim! E( ) 8