CORVINUS EGYETEM Tájépítészeti Kara. Perczelné dr. Zalai Magdolna - Barabásné dr. Martos Júlia BIOMETRIA MATEMATIKA II. PÉLDATÁR 2004.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "CORVINUS EGYETEM Tájépítészeti Kara. Perczelné dr. Zalai Magdolna - Barabásné dr. Martos Júlia BIOMETRIA MATEMATIKA II. PÉLDATÁR 2004."

Átírás

1 1 CORVINUS EGYETEM Tájépítészeti Kara Perczelné dr. Zalai Magdolna - Barabásné dr. Martos Júlia BIOMETRIA MATEMATIKA II. PÉLDATÁR 2004.

2 2 1. Kombinatorika és eseményalgebra Ebben a fejezetben egyszerűbb kombinatorikai esetek alkalmazására adunk gyakorló feladatokat. 1. Hányféle virágcsokrot készíthet a virágkötő, ha rendelkezésére áll 11 szál virág, mely mind különböző, ha feltesszük, hogy az azonos virágokból álló csokrokat nem tekintjük különbözőnek és a/ a csokor 5 szál virágot tartalmaz, b/ a csokor 7 szál virágból készül? 2. Hányféle módon ültethető el 11 különböző színű virághagyma a/ egy sorba, b/ kör alakban. 3. Hányféle módon ültethető el a rendelkezésünkre álló 11 virághagyma, melyből 4, 2 ill. 5 azonos fajtájú és színű egy sorba? 4. Egy társaság kirándulni megy, összesen 21 fő 9 fiú a többi leány. a/ hányféle sorrendben szállhatnak be az autóbuszba, ha előre engedik a lányokat, b/ nem udvariaskodnak a felszállásnál, c/ hány módon választhatnak 3 fiút a favágáshoz, d/ hogy oszthatják el a 7db 3 ágyas szobát? 5. A klasszikus LOTTÓ játéknál, hányféle különböző kitöltés lehetséges és az hány ötös, négyes ill. hármas találatot tartalmaz biztosan?

3 3 6. A 13+1-es TOTÓ szelvényt hányféle módon lehet kitölteni? 7. Az 52 lapos bridzs kártyában, hány olyan leosztás van a/ mikor egy játékos kezébe kerül mind a négy ász, b/ valamely színből egy játékos kezébe legalább 10 lap kerül? 8. A sakktáblára hányféle módon helyezhető el nyolc bástya úgy, hogy ne üssék egymást? 9. 5 féle vegyszert egy növényvédelmi kísérlet során hármas csoportokban alkalmazzuk, minimum hány parcellára van szükség, ha az összes lehetőséget legalább egyszer ki akarjuk próbálni és a/ a szereket egyszerre juttatjuk ki, b/ a szereket egy-egy napos eltéréssel alkalmazzuk? 10. Egy tankörből 11-en színházba mennek, hányféleképpen ülhetnek le, ha a/ a jegyük egy sorba szól, b/ egy sorba, de két ember mindenképpen egymás mellé akar ülni? 11. Hány különböző rendszám készíthető a magyar szabvány szerinti 3 betű és 3 számjegy felhasználásával, ha 26 betűs ábécéből választhatunk?

4 4 12. Egy kerekasztal konferencián 10 állam képviselője vesz részt, hányféleképpen ültethetők le, ha a török és a görög résztvevő nem kíván egymás mellett ülni? 13. Egy faiskolai árudában egy bizonyos növény szaporító anyagáról azt mondják, hogy 90% -ban megered. Ahol mi vásárolunk összesen 50 db növény van ebből a fajtából, hány olyan véletlenszerű kiválasztás van, melyből mind megered, ha 3 db-ot veszünk? 14. Az évfolyam négy legjobban tanuló hallgatója között pénzjutalmat osztanak ki, a/ hány elosztás lehet, ha csak hárman kaphatnak, de az összegek egyformák, b/ hány elosztás lehet, ha mind a négyen, de különböző összegeket kapnak, c/ hány elosztás lehet, ha mind a négyen kapnak, de ketten- ketten azonos összeget. 15. Genetikai kísérletnél az AB, Ab, ab ill. ab genotípussal rendelkező apai ill. az ugyanilyen genotípusokból álló anyai egyedeket keresztezik. Hány különböző kimenetele lehet a keresztezési kísérletnek, ha egy kimenetelt az anyai és az apai gaméták genotípusából álló rendezett párok jelentenek? 16. Vetőmag tasakokról lekopott a fémzárolás évszáma, így csak azt tudjuk, hogy 15 még biztosan a szavatossági időn belüli, 5 pedig már régebbi eredetű. Milyen eséllyel tudunk 4-et véletlenszerűen kivéve a/ pontosan 3 jót választani,

5 5 b/ legalább 2 jót választani? 17. Az 1,2,3 számjegyekből hány különböző hatjegyű a/ szám képezhető, b/ páros szám képezhető, c/ olyan szám képezhető, melyben minden jegy legalább egyszer előfordul? 18. Mit jelentenek az alábbi összetett események és mely dobások elégítik ki azokat, ha A: egy kockával dobva páros az eredmény, B: egy kockával dobva 3-nál nagyobbat dobtunk? a/ A+B b/ A B c/ A B d/ A+B 19. A, B, C események jelentsék a következőket: A: fagykár fordult elő a területen, B: jégkár fordult elő a területen, C: belvízkár fordult elő a területen a vegetációs időszakban. Fejezze ki eseményalgebrai műveletek segítségével a következő összetett eseményeket! a/ pontosan egyféle kár fordult elő, b/ pontosan egy kár nem fordult elő, c/ legalább egyféle kár bekövetkezett, d/ egyik sem következett be, e/ fagykár vagy jégkár volt, belvíz biztosan nem.

6 6 20. Vannak-e az alábbiak között azonos események? a/ A-BC b/ A B C c/ A( B+C) d/ A B +A C e/ A BC 21. Teljes eseményrendszert alkot-e a/ A+B, A és B ill. b/ A B, A B, A B és A B? 22. Melyek kizáró események az alábbiak közül? A: kockával párosat dobunk, B: kockával 4-nél nagyobbat dobunk, C: kockával 2-nél kisebbet dobunk, D: kockával páratlan számot dobunk. 23. Egy csíráztatási kísérlet során k jelentse a 100 magból kicsírázottak darabszámát. Fejezze ki a következő eseményeket k-val és relációs jelekkel! a/ pontosan 89 csírázott ki, b/ legalább 80 db kicsírázott c/ a kicsírázottak száma a elérte az I. osztályú szintet (95 %-ot). 24. Egy urnában 6 fehér 6 sárga és 2 piros virágot hozó virághagyma van. Találomra kiveszünk 2-őt. a/ Írjuk le azt az eseményteret, mely megadja a virágzás utáni eseményeket! b/ Hány megfigyelhető esemény lehet a kísérletnél, ha ültetés sorrendje nem számít, ill ha az is számít?

7 7 2. Valószínűségszámítás 2.1 Klasszikus valószínűségi mező 25. Egy félkarú rabló akkor fizet nyereményt, ha a három ablak közül legalább kettőben szilva jelenik meg. A szilva megjelenése, az első ablakban 0.2, a másodikban 0.25, míg a harmadikban 0.1. Mennyi a nyerés valószínűsége egy - egy játék esetén? 26. Egy újonc és egy mesterlövész lő egy céltáblára. Az újonc egy lövése 0.5 valószínűséggel találja el a céltáblát, míg a mesterlövész 0.95 valószínűséggel teszi ugyanezt. Mindketten tíz lövést adnak le. Mennyi a valószínűsége, az újonc legalább 4 ill. a mesterlövész legalább 9 találatot ér el? 27. Mi a valószínűsége, hogy ha egy dobozban 20 hibátlan és 4 hibás termék van, a/ akkor egy húzásra jót húzunk? b/ két húzás esetén mind kettő hibás? Számítsa ki visszatevés nélküli és visszatevéses mintavétellel is! 28. Mennyi a valószínűsége, hogy 10 piros és 6 sárga virágot hozó tulipánhagymából véletlenszerűen hármat kiválasztva és elültetve a/ mind piros virágot hoz? b/ kettő piros egy sárga virágot hoz? c/ egy piros és kettő sárga virágot hoz? 29. Mennyi a valószínűsége, hogy három szabályos kockát feldobva csupa hatost dobunk?

8 8 30. Mennyi a valószínűsége, hogy három szabályos kockát feldobva egyetlen hatost sem dobunk ill. legalább egy hatost dobunk? 31. Hány darab szabványos I. osztályú facsemetét kötegeljünk 4 db nem szabványos mellé, hogy ha egy ellenőr egyet választ és az alapján dönt az átvételről, akkor legalább 90% legyen az átvétel esélye? 32. Vizsgára egy hallgató 5 tételt képtelen megtanulni. Mennyi megtanult tételnek kell lennie ahhoz, hogy a vizsgán 85 % valószínűséggel ne bukjon meg, ha egy tételt kell húznia? 33. A vizsgázó két tételt húz és akkor sikeres a vizsgája, ha mindkettőből tud valamit. Hány tételt lehet kihagyni a felkészüléskor, ha összesen 30 tétel van és 75%-os eséllyel sikeres vizsgát akar tenni? 34. Egy tíz kérdéses teszt, melynél minden kérdésre négy válaszból egy helyes, ötre biztosan tudjuk a választ. Mennyi az esélye, hogy a maradék ötből még legalább hármat eltalálunk és ezzel sikeres tesztet írunk? 35. A húsvéti nyuszi csoki tojásokat hoz, de csak egyformán tudta becsomagolni azokat, holott eredetileg 40 tejcsokiból és 20 étcsokiból készült. Én az étcsokit jobban szeretem. Mennyi a valószinűsége, hogy ha 3-at választhatok a/ mind tejcsokis lesz, b/ legalább két tejcsokis lesz a háromból?

9 9 36. A Keno sorsjegynél 80-ból 20 számot sorsolnak ki, 10 számot jelölünk meg egy szelvényen a 80 közül, mennyi a valószínűsége hogy telitalálatunk lesz, ill. hogy k találatunk lesz? 2.2 Feltételes valószínűség, teljes eseményrendszer 37. Akácmoly elleni kezelésre használatos szerről a következőket tudjuk:az első kezelést 20%-a éli túl a molyoknak, a másodikat a megmaradottak 40% éli túl, a harmadikat pedig a maradék 60%-a. Mennyi a valószínűsége, hogy a/ egy akácmoly mindhárom kezelést túléli? b/ egy akácmoly a második és harmadik kezelést is túléli, feltéve, hogy az elsőt már túlélte? vizsgatételből 5 jó. Két tanuló egymás után húz egy-egy tételt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a/ az 1. tanuló jót húz? b/ a 2. tanuló jót húz? c/ mindkettő jót húz?

10 Valószínűségi változó, várható érték és szórás 39. Egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a hozzátartozó valószínűségek a következők: x i : 0; 2; 4; 6 p i : a/ Mennyi a p 4 értéke? 1 5 ; 1 3 ; 2 5 ;... b/ Mennyi a valószínűségi változó várható értéke és a szórása? c/ Rajzolja fel a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, és adja meg F(-1), F(2) ill. F(7) értékét! 40. Bizonyítsa be, hogy bármely valószínűségi változó esetén D 2 (X) = E(X 2 ) - E 2 (X)! 41. Egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a hozzátartozó valószínűségek a következők: x i : 1; 3; 5; 7; 9 p i : a/ Mennyi a hiányzó valószínűség értéke? 1 10 ; 2 10 ; 1 10 ; 3 10 ;... b/ Mennyi a valószínűségi változó várható értéke és a szórása? c/ Rajzolja fel a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, és adja meg F(-1), F(2) ill. F(9) értékét!

11 Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen [ ] [ ] cx, ha x 0;4 f : a 0, ha x 0;4 a/ Mennyi lehet a c értéke? b/ Adja meg az eloszlásfüggvényt, a várható értéket és a szórást! c/ Számítsa ki P( 1 X<3) valószínűség értékét! 43. Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen [ ] [ ] 2 ax, ha x 0;3 f : a! 0, ha x 0;3 a/ Határozza meg a értékét, b/ Számítsa ki P (1 x<2) valószínűséget! c/ Adja meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását! 44. Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen 3 ax, ha0 x 2 f : a 0, egyébként a/ Határozza meg aértékét! b/ Számítsa ki P (1 x<1,5) valószínűséget! c/ Adja meg a valószínűségi változó várható értékét! 45. Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 2 f: x ( x 1) 0, 2, ha x a ha x < a a/ Mennyi az a értéke?

12 12 b/ Mi az X eloszlásfüggvénye? c/ Független-e A és B, ha A esemény : 3 x 5 B esemény : 4 x Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 8, ha x a f: x 3 ( x 2) 0, ha x < a a/ Mennyi az a értéke? b/ Mi az X eloszlásfüggvénye? c/ Mennyi P(A+B), ha A esemény : 4 x < 6 d/ Mennyi az X várható értéke? B esemény : 5 x < Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ce x, ha x 2 f : a 0, egyébként a/ Határozza meg c értékét! b/ Adja meg és ábrázolja F(X) eloszlásfüggvényt!

13 Nevezetes eloszlások 48. Egy faiskolai árudában egy bizonyos növény szaporító anyagáról azt mondják, hogy 90% -ban megered. Ahol mi vásárolunk összesen 50 db növény van ebből a fajtából a/ hány olyan véletlenszerű kiválasztás van, melyből mind megered, ha 3 db-ot veszünk? b/ mennyi a válószínűsége, hogy 3-ból legalább 2 megered? 49. Egy feketeribizli fajta ismertetőjében azt találjuk, hogy átlagos bogyószám 9 átlagos fürttömeg 20 g, 1,6 g szórással csak 25 % a valószínűsége, hogy a tőkénkénti hozam a 0,4 kg-ot nem éri el a/ Mi a valószínűsége, hogy tíz véletlenszerűen kiválasztott tőkén max. egynek lesz a hozama 0,4 kg alatt? b/ A fürtök hány százalékának lesz a tömege 18 g alatti? c/ Mi a valószínűsége, hogy egy fürtön 6 vagy annál kevesebb bogyó lesz? Ha egy tövön 22 fürtöt találunk abból várhatóan hány lesz 6 vagy kevesebb bogyós? 50. Automata öntözőberendezés telepítéséhez az előírás szerint a víznyomás 3 bar lehet 0,7 bar szórással, az öntözőfúvókák pedig 0,15 valószínűséggel tömődnek el egy szezon alatt.

14 14 a/ Ha egy szezonban 90 napon öntözünk, várhatóan hány napon lesz ideális a nyomás, ha az azt jelenti, hogy min. 2,4 bar, max. 3,7 bar? b/ Mi a valószínűsége, hogy 10 fúvóka közül egy szezon alatt legfeljebb egy tömődik el? c/ Egy-egy 8 napos ciklusban átlagosan 1,3 napon várható 20 mmnél több csapadék. Mi a valószínűsége, hogy idén jul. 10 és 18 között kevesebb mint 3-szor lesz 20 mm-nél több csapadék? 51. A Kis-Balaton vízminőségét vizsgálták több éven keresztül. Az eddigi vizsgálatok szerint augusztusban a vízminták 25%-a nem felel meg az egészségügyi követelményeknek. A kék algák mennyisége a mintákban átlag 20 mg, 3 mg szórással, valamint a fonalférgek db számának átlaga 4,5. a/ Mi a valószínűsége annak, hogy 12 megvizsgált minta között 3 vagy annál kevesebb egészségügyileg nem megfelelő lesz? b/ Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott mintában a vizsgálat során 5-nél több fonálférget találnak? c/ Mekkora a valószinűsége, hogy egy mintában a kék algák tömege 15,5 és 24,5 mg közötti? d/ Mekkora a valószinűsége, hogy egy mintában a kák algák tömege kevesebb, mint 14 mg? folyóméter ágon 84 db rügyet számoltak meg. Feltételezve, hogy a rügyek elhelyezkedése a vázágakon teljesen véletlenszerű, mennyi az alábbi események valószínűsége? a/ Egy folyóméteren 8-nál több rügy található. b/ Egy folyóméteren 7-nél nem több, de legalább 4 rügy van.

15 Almák átmérőjének várható értéke 10 cm, szórása 0,8 cm. a/ Hány százaléka lesz osztályon aluli, ha a 75 mm-nél kisebbek annak számítanak? b/ Hány százaléka II. osztályú, ha ebbe a kategóriába a 85 és 75 mm közöttiek tartoznak? 54. Milyen arányban lehetnek II. osztályúak abban a tétel termékben, melyből 8 elemű mintát véve, annak a valószínűsége, hogy lesz a mintába II. osztályú is 0,83? 55. Palántázó gépek 200 m-es sorokba 1100 db palántát (lehetőleg egyenletesen) ültetnek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott 1 méteres darabon a/ 4 db palánta található, b/ 6 db-nál több palánta található?

16 16 3. Matematikai statisztika A minta statisztikai jellemzői 56. Gyomfelvételezés során a véletlenszerűen kiválasztott 1 m 2 -es területeken megszámlálták az aranka növények számát. A tapasztalati adatok a következők: 1, 3, 0, 1, 2, 3, 1, 4, 0, 2, 3, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 2, 2, 2, 5, 2, 2. a Készítsünk gyakorisági táblázatot, b számítsuk ki a minta átlagát és szórását, c készítsünk hisztogrammot, d rajzoljuk fel a tapasztalati eloszlásfüggvényt! 57. Tenyészedényben nevelt olaszrizling tőkék vesszőtömegét mérték foszfor kezelés után. A kapott eredmények (g/tőke) : 96,6 97,9 98,7 98,9 99,8 97,8 99,6 98,3 99,8 100,1 99,7 100,3 100,4 100,0 101,2 99,9 98,9 99,3 100,8 102,3 100,9 100,3 100,7 101,9 99,4 a/ Rendezzük az adatokat osztályokba, b/ számítsuk ki a minta átlagát és szórását, c/ rajzoljuk fel a tapasztalati sűrűség- és az eloszlásfüggvényt!

17 Pontbecslés, intervallumbecslés 58. Számítsuk ki az 57. feladatban megadott mérési sorozat alapján az alapsokaság várható értékének a minta alapján becsült értékét, b az alapsokaság várható értékének 95-%-os megbízhatósági szinthez tartozó konfidencia intervallumát. 59 Autumn keeper vöröshagyma átmérőjének, mint valószínűségi változónak a jellemző szórásértéke 3mm. Egy 50 elemű mintából számított átlagos átmérőre 23,5 mm adódott. a/ Milyen értékek közt van 90%-os valószínűséggel a fajtára jellemző átlagos átmérő? b/ Milyen pontossággal becsülhető a fajtára jellemző átlagos átmérő, ha a feladatban megadott átlag 25, ill. 100 mérés eredménye volna? ( figyeljük meg a mintanagyság és a konfidenciaintervallum nagysága közti kapcsolatot) 60. Fás dugványozásnál gyökeresedést serkentő hormon hatását vizsgálják. 50 kezelt és 50 kezeletlen dugványnál a meggyökeresedett dugványok száma 44 ill. 39. A megfigyelt adatok alapján 95 %-os valószínűséggel milyen értékek között várható a gyökeresedési % a kezelt és a kezeletlen dugványok esetén?

18 Statisztikai próbák 61. A külföldi vevő megkívánja, hogy az I. osztályú alma megfelelő méretű és egyöntetű legyen, a szórás ne legyen nagyobb 5 mm-nél. 30 db alma vizsgálatánál a korrigált empirikus szórás 5,2 mm-nek adódott. a/ Jogos-e ennek alapján elutasítani a tételt azzal az indokkal, hogy az előírtnál nagyobb a szórás? ( ε =10% ) b/ Mekkora lenne az a minta alapján becsült szórásérték, amely esetén 10%-os tévedési valószínűséggel valóban állítható, hogy a tétel szórása nagyobb 5 mm-nél? 62. Két fajta paprikánál a hozam kiegyenlítettségét akarjuk összehasonlítani. Az egyik fajtánál 20 tőnél a tövenkénti hozam korr. emp.szórása 0,16 kg, a másik fajtánál 25 tő alapján 0,21kg korr. emp. szórásértéket számoltunk. Van-e lényeges különbség a két fajta között 5%-os szignifikancia szinten? 63. Egy kísérlethez 20%-os oldatot készítettek. Mivel az oldat egy része csak később került felhasználásra ellenőrizték, hogy nem változott-e meg a koncentráció. Az oldatból 6 analízist végeztek, amelynek eredményei: 19,5; 19,6; 18,9; 20,1; 19,3; 19,4 (%). Kérdés: megváltozott-e a keverék összetétele? ( 1-ε = 0,95% )

19 A vízben oldható szárazanyagtartalom változását vizsgálták az érés folyamán különböző málna fajtáknál. Malling Jewel fajtánál az alábbi mérési eredményeink vannak: félig érett: 9,2; 9,0; 8,9; 9,5; 9,0; 9,3 (%) érett: 9,0; 9,5; 9,3; 9,5; 9,8; 9,2; 9,9; 9,5 (%) Kérdés: a/ Van-e különbség a félig érett és az érett málna vízben oldható szárazanyagtartalma között? b/ Az alábbi kiegészítő mérésekkel végezzük el újra a kiértékelést? félig érett: 9,0; 9,4; 9,1; 9,2; 9,2; 9,0 (%) érett: 9,3; 9,5; 9,7; 9,2 (%) 65. Egy kísérleti területen a sziromhullás utáni 10. napon NES (50 ppm)- vel végzett ritkító permetezés hatását vizsgálják a fánkénti termés alakulására. A kísérleti eredmények: n átlag s kezeletlen (kg/fa) kezelt (kg/fa) Kérdés: Van-e kapcsolat a permetezés és a fánkénti terméshozam között? (1-ε = 0,95 )

20 A solanin mérgező hatású, nitrogén tartalmú vegyület. Két paradicsomfajta solanin tartalmára vonatkozó mérési eredmények: n átlag s 2 Kecskeméti export 20 6,4 (%) 0,088 Soroksári F1 20 6,15 0,051 Kérdés: A minták alapján elfogadható-e az az állítás, hogy a Kecskeméti export paradicsom fajta solanin tartalma nagyobb, és még a Soroksári F1-é is nagyobb 6 %-nál? ( 1-ε =0,9) 67. Egy spenót termesztési kísérlethez szeretnénk a megfelelő talajt biztosítani. A kívánalom legalább 5,5 ph érték lehetőleg egyenletesen mindenhol a talajban, és ezért a ph értékek szórása ne legyen nagyobb 0,3-nél. Teljesülnek-e a feltételeink annál a talajnál, ahol 20 vizsgálati minta átlaga 5,4 szórása 0,32 ill. ahol 30 minta átlaga 5,45 és a szórása 0,35. A két talajban eltérőnek tekinthető-e a tényleges ph érték ill. azok szórása?

21 Savas meddőhányókra gyepet és haszonnövényeket telepítenek a környezeti károk csökkentése érdekében. Az ilyen telepítések előtt fontos a talaj meszezése. A meszezés mértékének meghatározására a kérdéses területről mintákat vettek és meghatározták a ph értéküket: osztály gyakoriság 2,76-3,25 1 3,26-3, ,76-4, ,26-4, ,76-5, ,26-5,75 9 5,76-6,25 6 a/ Számítsa ki a minta átlagát és szórását! b/ Adja meg a várható érték konfidenciaintervallumát! ( megbízhatósági szint 0,99) 69. A talaj felső 50 cmjének nedvesség tartalma a vegetációs időszakban a szabadföldi növénytermesztés fontos tényezője. Ennek vizsgálatára a vegetatív. időszak 10 különböző időpontjában mérést végeztek. Az eredmények : 78, 62, 51, 50, 43, 38, 42, 51, 56, 58 (%) Ezek alapján állíthatjuk-e, hogy a talaj nedvesség tartalmának ingadozása túllépi a 10%-ot, 95%-os szinten?

22 A Hg koncentráció a magyarországi Dunaszakasz egy helyén mérve a következő eredményeket adta: 1981-ben n 1 =20 x 1 = 1,42 mg/l s 1 = 0,6 mg/l ben n 2 =30 x 2 = 2,53 mg/l s 2 = 1,3 mg/l a/ Igaz-e, hogy a koncentráció ingadozása 1987-ben szignifikánsan nagyobb? b/ Nőtt-e a Hg koncentráció 1987-ben az 1981 évihez képest?

23 Egyszerű véletlen elrendezésű varianciaanalízis 71. Egy mikrobatörzs gátlási zónáját mérték három különböző antibiotikummal kezelve, mindegyiket három ismétlésben. Az eredmények a következők: antibiotikum ismétlések Gátlási zóna mm-ben A B C Van-e lényeges különbség az antibiotikumok hatása között? ( Szignifikancia szint: 10%) 72. Paprika terméshozamának fokozására a titán kezelést három féle töménységben alkalmazták 4-4 parcellán. Van-e olyan töménység, amely szignifikánsan nagyobb terméseredményt ad? töménység termés (q) 1:10 1,4 2,1 1,2 2,5 1: 8 2,1 1,9 1,6 2,0 1: 6 2,1 2,8 3,2 3,0 ( Szignifikancia szint 5%)

24 Majoranna hortensis vizsgálatakor arra keresték a választ, hogy a kölönböző talajokon termesztett növények magasságában van-e kimutatható eltérés 5%-os szignifikancia szinten. talaj magasság cm Homok 20,5 23,3 21,4 22,1 Vegasca 21,4 22,6 24,1 23,6 Alginit 20,4 25,3 22,7 20,9 Trialgit 22,5 23,8 27,3 24, Regresszióanalízis 74. Permetező géppel végzett vizsgálat során vizsgálták az egy perc alatt szórófejenként kipermetezhető permetlé fúvókánál lévő nyomás (atm ) függvényében Nyomás Permetlé 3,0 18,3 3,5 19,7 4,0 21,1 4,5 22,4 5,0 23,6 5,5 24,7 6,0 25,9 6,5 26,9 7,0 27,9 mennyiségét (liter/perc) a Adjuk meg azt a lineáris függvényt, amely legjobban leírja a nyomás és kipermetezett permetlé közötti kapcsolatot. Számítsuk ki a korrelációsegyütthatót. Végezzük el a korrelációs együttható statisztikai próbáját! (szignifikancia szint: 5% )

25 A szőlő peronoszpóra lappangási idejét mérték levélen, átlagos időjáráskor. A vizsgálattal arra akartak választ kapni, hogy a napi középhőmérséklet (C o ) és a lappangási idő (nap) között lineáris kapcsolat van-e? Ha igen milyen függvénnyel adható meg? Középhőm. Lappangási idő , ,5 17 6, ,8 22 4,6 23 4,4 76. Határozzuk meg azt a függvényt, amelyik a lehető legjobban leírja a szurokfű friss hajtása illóanyag tartalmának alakulását a vágási idő függvényében. Vágási időpont: V.30. VI.7. VI.13. VI.20. VI.27. VII.4. VII.12. VII.21 Illóanyag (%) 0,025 0,034 0,042 0,127 0,187 0,239 0,315 0,314

26 4. Illeszkedés-, homogenitás-, függetlenségvizsgálat 77. Az alábbi táblázat egy populációban a vizsgált egyedek vírusfertőzöttség és a termésátmérő nagysága szerinti megfigyeléseket rögzítette. Arra keressük a választ, hogy a két jellemző független-e egymástól 10%-os tévedési szinten a populációban. Átm/fert egészséges közepesen nagyon fert. fert. 5, , , , ,1nél nagyobb Az ország két körzetét akarjuk összehasonlítani a lehullott évi csapadék mennyisége alapján, erre az elmúlt 100 esztendő adatai állnak rendelkezésünkre. Van-e kimutatható eltérés a két területen a csapadékszintek éves megoszlásában? (1-ε=0.95) Csapadék menny. I. körzet II. körzet aszályos év 7 5 száraz év átlagos év csapadékos év Mikroszkóp látómezejében található baktériumokat számoltak meg több ismétlésben egy kísérlet során. A vizsgálati eredmények alapján állíthatjuk-e, hogy a baktériumok száma mint

27 27 valószínűségi változó λ= 2,5 paraméterű Poisson követ 90%-os megbízhatósági szinten? Baktériumok gyakorisága száma több mint A Kis-Balatonból vett vízminták segítségével azt szeretnénk állapítani, hogy vajon a szerves anyagtartalomra mint valószínűségi változóra feltételezhetjük-e a µ=17 és σ= 2 paraméterű normális eloszlást? (1-ε=0.95) Osztályok Osztályközép Gyakoriságok 14,51-15,5 8 15,51-16, ,51-17, ,51-18, ,51-19, ,51-20, Egy közparkban felmérést végeztek az oda látogatók körében. Arra keresték a választ, hogy van-e kapcsolat a látogatók életkora és a park által nyújtott lehetőségekről alkotott véleményük között.(1-ε=0.95)

28 28 életkor 15 alatt felett vélemény elégedett közepes elégedetlen Befolyásolja-e a táptalaj tőzeg tartalma a vizsgált dísznövényen kialakult (primula) virágzatok számát? (1-ε=0.9) Tőzeg% Virágzat 0-2 db 3-5 db 5-nél több 15% % % %

29 Öntöző rendszer telepítése előtt méréséket végezetek a víznyomás ellenőrzésére, a nyomás ingadozásának meghatározására. A mérési eredmények az alábbi táblázatban találhatók: oszt.köz 1,25-1,75 3 1,75-2,25 4 2,25-2,75 5 2,75-3,25 8 3,25-3,75 3 3,75-4,25 1 4,25-4,75 1 gyakoriság a Számítsuk ki a minta átlagát, szórását, és a víznyomás ingadozásának becsült értékét! b 95%-os valószínűséggel milyen intervallumban van a víznyomás várható értéke? c A minta alapján elfogadható- e az állítás, hogy a nyomás nagyobb az ideálisnak tartott 2,5 barnál és a nyomás ingadozása is nagyobb a megengedett 0,7 barnál? (1-ε = 0,9) d Ha feltételezzük, hogy a nyomás 2,5 várható értékű, és 0,7 szórású normális eloszlást követ, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy mérési eredmény 1,8 és 3,2 bár között lesz? e A rendszer némi átalakítása után megismételték a méréseket. A 25 elemű minta átlaga 2,65 bar, korrigált empirikus szórása 0,72 barnak adódott. Sikerült-e csökkenteni ténylegesen a víznyomást (szignifikancia szint 5%)?

30 Fekete ribiszke fajtáknál a fürtökben található bogyók számára, a fürtök tömegére és beltartalmára végeztek megfigyeléseket. Részletek a vizsgálati adatokból: Rosenthal fajta Fürtök tömege gyakoriságok 18,5-19,5 3 19,5-20,5 9 20,5-21, ,5-22,5 7 22,5-23,5 5 23,5-24,5 1 Rosenthal fajta Irodalmi adatok alapján fajtára jellemző átlagos fürttömeg 21g, 1,5 szórással Silvergieter fajta A vizsgált ültetvényről vett 36 fürt tömegének átlaga 23,6g, empírikus szórása 2,1g. a A vizsgált területen mennyi az átlagos fürttömeg, mekkora a vizsgált területen a fajtára jellemző fürttömeg szórása? b Számítsa ki a várható érték és a szórás 95%-os konfidencia intervallumát! c A fürttömegre mint valószínűségi változóra milyen eloszlást feltételezne? A megadott irodalmi adatok felhasználásával számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott fürt tömege 19 és 22 g között van? d) Eltér-e a vizsgált sokaság fürt tömegének várható értéke az irodalmi adatoktól? (ε=5%)

31 31 e) Feltehető-e, hogy a Silvergieter fajtára jellemző átlagos fürttömeg nagyobb, mint a Rosenthálé? (ε=5%) f) A vizsgálat során még további két fajta fürttömegére végeztek méréseket eldöntendő, hogy azonos e az átlagos fürttömeg a 4 fajtánál? A kérdés eldöntéséhez fajtánként fürt tömegét mérték. Eredmények (g): x1 = 21, 2 x2 = 23, 6 x3 = 22, 2 x4 = 24, 5 Fejezze be a kiértékelést és válaszoljon a kérdésre? (ε=5%) Eltérés négyzet összegek (SQ) Szabadsági fokok Szórásnégyzetek F Teljes 642 Kezelés 458 Véletlen

32 Szennyvíziszappal kevert talaj ph értékét vizsgálva az alábbi mérési eredmények adódtak: a Készítsen gyakorisági táblázatot. Számítsa ki a minta átlagát és szórását! b Milyen értékhatárok közt van 90%-os valószínűséggel a vizsgált talaj ph értéke? c 6,4 várható értékű és 0,2 szórású normális eloszlást feltételezve, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy minta ph értéke 6,1 és 6,4 között van? d A fenti 20 mintából más további vizsgálatok céljára véletlenszerűen kivettek 3-at. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a 3 minta ph értéke 6.5-nél nagyobb? e A talajtoxicitás és a tápanyagfelvétel szempontjából a ph értéket 6,5 felett kell tartani. A megadott mérési eredmények alapján állíthatjuk-e, hogy nem teljesül ez a követelmény. (szignifikancia szint: 5%) f Egy másik területen szintén ph méréseket végeztek. Megegyezik-e a két terület ph értéke, ha a második területen 10 mérést végeztek, s ezek átlaga 6,25 ph érték, a korrigált empirikus szórás pedig 0,25? (szignifikancia szint: 5%)

33 Egy őszibarack termesztési kísérlet során a metszés hatását vizsgálták a fa vegetatív és generativ fejlődésére. Tíz éven át feljegyezték a metszett és metszetlen fák termését (kg/fa), az éves átlagokat az alábbi táblázat tartalmazza. (Forrás: Gyúró F: A gyümölcstermesztés technológiája, 353. old. A számítás egyszerűsítése érdekében az adatokat kerekítettük.) Évek: metszetlen: * metszett: * ( *A 4. évben erős fagy miatti terméskiesés) a Számítsuk ki a metszett és metszetlen fák termésének átlagát és szórását a fagykáros év kihagyásával. b Statisztikailag igazolható-e, hogy a metszés hatására kiegyenlítettebb és nagyobb az évenkénti termés? (Szignifikancia szint: 5%) c Lineárisnak tekinthető-e a termés növekedése a metszetlen és a metszett fák esetén? Adjuk meg az adatokhoz legjobban illeszkedő egyenesek egyenletét, az illeszkedés "szorosságát". A "kritikus" korrelációs együttható segítségével elemezzük a kapott eredményeket. d Ha 15% a valószínűsége a megfigyelés 4. évében tapasztalthoz hasonló fagykárnak, mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 5 éves ciklusban nem lesz ilyen fagykár, illetve legfeljebb egyszer lesz?

34 34 MEGOLDÁSOK

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Érettségi feladatok: Statisztika

Érettségi feladatok: Statisztika Érettségi feladatok: Statisztika 2003. Próba 14. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A Kecskeméti Jubileum paradicsomfajta érésdinamikájának statisztikai vizsgálata

A Kecskeméti Jubileum paradicsomfajta érésdinamikájának statisztikai vizsgálata Borsa Béla FVM Mezőgazdasági Gépesítési Intézet 2100 Gödöllő, Tessedik S.u.4. Tel.: (28) 511 611 E.posta: borsa@fvmmi.hu A Kecskeméti Jubileum paradicsomfajta érésdinamikájának statisztikai vizsgálata

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben

Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő

Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő Dr. Király István Igazságügyi szakértő Varga Zoltán Igazságügyi szakértő Dr. Marosán Miklós Igazságügyi szakértő Mintaterületek kijelölésének javasolt módjai kapás sortávú növényekre Miért is kell mintatér?

Részletesebben

STATISZTIKA PÉLDATÁR

STATISZTIKA PÉLDATÁR STATISZTIKA PÉLDATÁR www.matektanitas.hu www.matektanitas.hu info@matektanitas.hu 1 Minden feladat csak szöveges válasszal együtt ad teljes értékű megoldást! Becslés 1. feladat Az alábbi táblázat megadja

Részletesebben

A) 1 óra 25 perc B) 1 óra 15 perc C) 1 óra 5 perc A) 145 B) 135 C) 140

A) 1 óra 25 perc B) 1 óra 15 perc C) 1 óra 5 perc A) 145 B) 135 C) 140 1.) Melyik igaz az alábbi állítások közül? 1 A) 250-150>65+42 B) 98+24

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

Paradicsom és paprika tápoldatozása fejlődési fázisai szerint. Szőriné Zielinska Alicja Rockwool B.V

Paradicsom és paprika tápoldatozása fejlődési fázisai szerint. Szőriné Zielinska Alicja Rockwool B.V Paradicsom és paprika tápoldatozása fejlődési fázisai szerint Szőriné Zielinska Alicja Rockwool B.V page 2 A növények növekedésének alapjai: Napenergia,CO2, víz, tápelemek Tápelemeket 2 csoportra osztjuk:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I. ) Az a n sorozat tagját! MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0 október KÖZÉPSZINT I számtani sorozat első tagja és differenciája is 4 Adja meg a a 04 ) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy AB ; ; ; 4; ;, A\ ; AB ; A ;

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Fehér és csípős paprika

Fehér és csípős paprika Fehér és csípős paprika fehér paprika Kertész kollégák! Amikor találkozunk Önökkel szakmai rendezvényeinken, bemutatóinkon mindig nagy érdeklődéssel várjuk, hogy új fajtáinkat hogyan fogadják, mennyire

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8.

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8. A társadalomkutatás módszerei I. 13. hét Daróczi Gergely Budapesti Corvinus Egyetem 2011. december 8. Outline 1 célja 2 Alapfogalmak 3 Mintavételi eljárások 4 További fogalmak 5 Mintavételi hiba számítása

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

TERMÉKKATALÓGUS 2008 ÕSZ-2009 TAVASZ - VIRÁGFÖLDEK -

TERMÉKKATALÓGUS 2008 ÕSZ-2009 TAVASZ - VIRÁGFÖLDEK - TERMÉKKATALÓGUS 08 ÕSZ09 TAVASZ VIRÁGFÖLDEK 3 40 4 48 PH 6,0 7,0 ÁLTALÁNOS VIRÁGFÖLD Közepesen laza szerkezetû, sötétbarna színû, magas biotápanyag tartalmú termesztõ közeg. Vízmegtartó képessége kitûnõ,

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Érettségi feladatok: Szöveges feladatok

Érettségi feladatok: Szöveges feladatok Érettségi feladatok: Szöveges feladatok 2005. május 10. 17. Anna és Zsuzsi is szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző 1 SET A SET játékszabályairól röviden, már ha valaki nem ismerné: Hogy néznek ki a kártyalapok? Minden kártyán van egy ábra, aminek 4 jellemzője van. Minden kategória további három különböző lehetőséget

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont 2012. január 28. 8. évfolyam TMat1 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben