Élelmiszeripari folyamatszervezés

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Élelmiszeripari folyamatszervezés"

Átírás

1 Élelmiszeripari folyamatszervezés Szerkesztette: Dr.habil. Rajkó Róbert fiskolai tanár (SZTE MK) Ffolyamat szervezése Fontosabb vállalati folyamatok: mszaki tervezés: innovációs folyamat gazdasági tervezés és ellenrzés: controlling anyagbeszerzési folyamatok: logisztika munkaer és bérgazdálkodás értékesítés és elszámolás Termelési folyamat: a használati érték elállításához szükséges munkafolyamatok és természeti folyamatok összessége. Csoportosítás: Rendeltetés szempontjából: gyártási ffolyamatok (alapfolyamatok): azok a folyamatok, amelyek közvetlenül a vállalat profiljába tartozó termékek elállítására irányulnak. profil: tevékenységi kör Segéd vagy feltételi folyamatok: bizonyos feltételeket teremtenek a ffolyamat lebonyolításához. Kisegít: Pl. szerszámok, készülékek gyártása Kiszolgáló: - Szállítás (bels anyagmozgatás) - TMK - Takarítás Mellékfolyamatok: a ffolyamatokat egészítik ki az ott keletkezett hulladékok hasznos feldolgozása történik. Pl. ruhaiparban keletkez hulladékok felhasználása rongyként A gyártási ffolyamat szervezését befolyásoló tényezk 1. gyártási profil. gyártás vagy termelés gépesítettségének, automatizáltságának színvonala 3. gyártás tömegszersége vagy típusa 4. gyártás térbeli lefolyása (gyártási rendszerek) 5. gyártás idbeni lefolyása (átfutási id) 6. telepítési helyzet 7. vertikálás

2 Mszaki tervezés: innovációs folyamathoz szükséges mélyebb mszaki ismeretek FELADAT-MEGOLDÁSI MÓDSZEREK RÖVID ÁTTEKINTÉSE Gyakori feladat annak meghatározása, hogy valamely (meglév) rendszer hogyan fog viselkedni, vagy - más szavakkal - milyen lesz a rendszerben lezajló folyamat (jelenség) várható kimenete. A jelenségek rendszerint olyan sokrétek, hogy minden eset - látszólag - speciális módszereket és vizsgálatokat követel. A feladatok megoldására valóban sokféle lehetség adódik. Egy történelmi példa (amelynek vizsgálatával Fourier a XVIII. sz. elején a matematika egy új irányát indította el) és annak néhány lehetséges megoldás-variációja jól szemlélteti a problémát. A hajók horgonyának rögzítésére szolgáló vasgyrt abban az idben úgy alakították ki, hogy a meghajlított rúdanyagot vörös izzásig hevítették, összeillesztették, majd hszigetel anyagként - homokkal takarták le. Meg kellett várni, míg a gyrben kialakult az egyenletes hmérséklet-eloszlás. Kérdés: hogyan változik az id és a hely függvényében a hmérséklet? E kérdés megválaszolására Fourier nemcsak a hvezetés (mai napig használatos) egyenletét állította fel, hanem bevezette az ún. Fourier transzformációt is. Vázlatosan felsoroljuk azokat a módszereket, amelyekkel mai ismereteink szerint választ adhatunk az elbbi kérdésre. (Ez egyben alkalmat ad arra, hogy elzetesen áttekintsük a modellezéssel kapcsolatos módszereket is.) Közvetlen kísérlet A legegyszerbbnek tnik az adott méret gyrt elkészíteni, azt felhevíteni, majd a különböz idpontokban és helyeken a hmérsékletet mérni. Ezzel az adott gyr hmérséklet-eloszlásának idbeli változását meghatározhatjuk, de nem tudunk válaszolni arra, hogy hogyan viselkedik egy másik gyr, amelynek a vizsgálttól eltér a geometriai mérete az anyaga, a kezdeti hmérséklete. Látszólag bármely megadott adat megváltozása esetén új mérésre, új kísérletre van szükség. Kísérletsorozat ( klasszikus módszer ) A folyamatot jobban megismerhetjük, ha nemcsak egy mérést, hanem - különböz adatokkal - kísérletsorozatot végzünk. Vizsgáljuk külön a gyr D átmérjének és d vastagságának, a t 0 kezdeti hmérsékletnek, valamint az anyagi minségnek a hatását a hmérséklet-eloszlásra. A különböz kísérletek során nem egyszerre változtatjuk valamennyi jellemzt, hanem csak egyet-egyet, s a többit állandó értéken tartjuk. Ezzel a módszerrel - egy-egy anyagi minségre - 3 függvényábrát kaphatunk. Az elvégzett és értékelt kísérletsorozat már ad némi felvilágosítást a folyamat jellegérl is, de az eredmények nehezen áttekinthetk és ersen korlátozott érvények. Csak a megadott speciális feltételek esetére ad választ a kérdésekre, és csak már meglev helyzeteket

3 regisztrálhatunk. Önmagában nem alkalmas arra, hogy a kapott eredményeket más - a vizsgálati határokon túli - feltételek esetén végbemen folyamatra felhasználhassuk. Kísérlettervezés A kísérletezés korszer módszere a matematikai statisztikából kintt kísérlettervezésen alapszik. A berendezések viselkedését valamennyi tényez egyidej változtatásával vizsgáljuk, a mérési eredményeket statisztikusan értékeljük. Így csökkenthetjük a kísérletek idszükségletét, ill. növelhetjük a kísérletekbl szerezhet információ mennyiségét. Lehetségünk van arra is, hogy az egyes tényezk változtatásának hatását összehasonlítsuk, a tényezk kölcsönhatásának nagyságát megbecsüljük. Példánkra az egyik legegyszerbbet, az ún. faktoros kísérleti tervet mutatjuk be. Az ilyen kísérleti tervnél az n darab tényeznek (esetünkben n = 3; az egyes tényezk az L = D hosszúság, a t 0 kezdeti hmérséklet és az A az anyagi minség) csak két széls (1 és index-szel jelölt) értékét állítjuk be és mérjük a reakciót (itt: valamely helyen lév keresztmetszet t hmérsékletét a idpontban). Az egyes tényezk hatását úgy becsülhetjük, hogy a táblázatban lev eljel szerint összegezzük a mérési értékeket. Az i. tényezre vonatkozó Z i összeg négyzetét elosztjuk a mérések számával. Táblázatosan (a rövidítés érdekében minden érték ugyanazon helyre és idpontra vonatkozik): A 1 A T 1 T T 1 T D 1 D D 1 D D 1 D D 1 D Mért Z D Z T Z DT Z A Z AD Z AT Z ADT A táblázatban megadott értékekkel pl.: Z D = = 00 Ennek négyzete A mérések száma 8. Így S D = Z D /8 = Valamennyi sor eljeles összegezése után: S D = 5000 S T = S DT = 0 S A = S AD = 0 S AT = 5000 S ADT = 0

4 A további számítások részletezése nélkül megállapítható, hogy valamennyi tényez közül a legersebb hatása az anyagi minségnek, majd a kezdeti hmérsékletnek van. A gyr méretének hatása, valamint a ketts és a hármas (ADT) kölcsönhatás elhanyagolhatóan kicsiny. (Példánk természetesen fiktív adatokra vonatkozik!). Az ismertetettnél lényegesen nagyobb jelentsége van a korszer kísérlettervezési módszernek. Azonban még ez az egyszer példa is mutatja, hogy a tervezett kísérletsorozat az egyes tényezk hatására és kölcsönhatására olyan információkat képes adni, amelyekre a régi módszer szerinti (ún. klasszikus) kísérletek nem képesek. Dimenzióanalízis Egyszerbbé válik a kísérletsorozat feldolgozása (st megszervezése is), ha feltételezhetjük, hogy a megoldás a változók hatványszorzatainak függvényeként adható meg. Így pl. esetünkben egy adott keresztmetszet t hmérséklete nyilvánvalóan függ a keresztmetszet helyétl, a idponttól, az a hmérsékletvezetési tényeztl, a gyr D átmérjétl és vastagságától, valamint a kezdeti t 0 hmérséklettl. Írjuk fel e változók dimenzióit ( a hmérséklet, L a hosszúság, T az id dimenziójának jele): [t 0 ] = [t ] = [D] = [] = L [] = T [a] = L T -1 A 6 változóból - 3 alapdimenzió esetén - 3 független, dimenzió nélküli szám képezhet, pl. a következ alakban: Y = t 0 /t ; X = /D; Fo = a /x. Az Y a relatív hmérséklet, a Fo pedig az ún. Fourier -szám. Ezek után a különböz anyagi minség rudakkal végzett elbbi kísérletsorozat eredményeit egyetlen ábrában lehet összefoglalni, amely Y változását ábrázolja Fo függvényében és X paraméterében. A kísérleti adatok az elbbinél összehasonlíthatatlanul áttekinthetbbek. Ugyanakkor kevesebb mérésre lesz szükség. Elegend ugyanis a Fo-ban szerepl három változó közül csak az egyik értékét beállítani több pontra, a másik két változóra pedig csak az elfordulható két szélsértéket venni, miközben maga a tört értéke széles intervallumot fut be. (De ez az egyszersítés félrevezet is lehet!) Az egyenlet analitikus megoldása Általánosabb (és az eddigieknél pontosabb) eredményt kapunk, ha nemcsak azt tudjuk, mitl függ a folyamat, de ismerjük e változók közötti kapcsolatot is (pl. differenciálegyenlet formájában). Példánkra érvényes Fourier hvezetési egyenlete: Hengerkoordinátában t t a x t y t z

5 t t a r 1 t 1 r r r t t x Az x (hossztengely) irányú változásokhoz képest az r és a szerinti változások elhanyagolásával egydimenziós alakot kapunk: t t a x Az egyértelmségi feltételek Kezdeti feltétel (a = 0 idpontban az x menti hmérséklet-eloszlás) t = t(x, 0) Értelmezési tartomány (a ill. az x változó által felvehet értékek) 0 = = max 0 x D Peremfeltételek (a peremen - egydimenziós esetben a végpontokon, az x=0 és L=D helyen - milyen értéket vesz fel bármely idpontban a t változó): t(0, ) = t(l, )) Az egyértelmségi feltételekkel az egyenlet megoldható. Fourier az egyenlet megoldásához abból indult ki, hogy az ugrást tartalmazó kezdeti eloszlásfüggvény sok egyszer szinusz hullámra bontható fel, amelyek csak amplitúdójukban és frekvenciájukban különböznek. Természeti analógiára épített: a fehér fénysugarat a prizma tiszta színekre bontja fel. A belép fény erssége az id függvénye, a kilép sugarak idben állandó frekvenciájúak, s minden egyes frekvenciának a belép fény erssége által meghatározott amplitúdója van. A gyr geometriája miatt a hullámok kezd- és végpontja egybeesik. Azt a hullámot nevezte alapharmonikusnak, amelynek a körbejárásnál csak egyetlen maximuma és egyetlen minimuma van. Az összes többi hullám: felharmonikus, és valamennyi frekvenciája csak az alapharmonikus frekvenciájának egészszámú többszöröse lehet. Minél nagyobb frekvenciájú a hullám, annál hamarabb hal el és így egyre ersebb lesz az alapharmonikus hatása a kialakuló hmérséklet-eloszlásra. Az egyedi vizsgálatból Fourier arra a következtetésre jutott, hogy bármely hmérséklet-eloszlás fölbontható egy alapharmonikus és a felharmonikusok aritmetikai összegére. Az egyenlet általános megoldása: t e ax A( )cos( x) B( )sin( x) Ez a megoldás - vagyis a Fourier egyenlet integrálja - végtelen sok görbét jelent, amelyek közül az éppen aktuális értéket az egyértelmségi feltételek felhasználásával kapjuk. Bármely más érték egyértelmségi feltétellel egy másik görbe adódik. Az integrálás a feladat analitikus, legáltalánosabb érvény megoldása. Nem alkalmazható azonban ez a módszer olyankor, amikor a folyamatot leíró egyenlet olyan bonyolult, hogy az adott egyértelmségi feltételekkel gyakorlatilag meg sem oldható.

6 Gyakran az a helyzet, hogy az egyenlet analitikus megoldása csak olyan közelítésekkel lehetséges, amelyeknek következtében a megoldás gyakorlati használhatóságát elveszti. Mindkét esetben más módszert kell keresnünk. Numerikus megoldás Már régen ismertek azok a módszerek, amelyeknek célja konkrét számokkal, numerikusan meghatározott eredmények szolgáltatása. Ezek általában közelít számításokon alapulnak. A numerikus integráláshoz a differenciálegyenletet differenciaegyenletté kell átalakítanunk. A Fourier egyenlet helyett pl. a következ összefüggést használjuk: t x t x 1 x t a xx t x xx ahol a fels index az idpontot, az alsó index pedig a helyet jelöli. E módszerek rendkívül munkaigényesek voltak, ezért csak az utóbbi évtizedekben, a digitális számítógépek elterjedésével váltak jelentssé. A digitális számítógépek használata lehetvé teszi a közelít megoldást akkor is, amikor az analitikus megoldás nem, vagy csak igen körülményes módon lehetséges A differenciaegyenlet és az egyértelmségi feltételek alapján készíthet el a megoldás algoritmusa, ezután a számítási modell, majd a számítógépi program. Ilyen eljárással vizsgálják a különféle társadalmi és világmodelleket is. t x Hasonlósági modellezés A folyamatot leíró differenciálegyenlet (esetünkben a Fourier egyenlet) ismeretében kísérleteink az elz pontokban ismertetettektl alapveten különbözhetnek. Az ott leírt módszerek csak egy-egy jelenségrl adnak információt. Lehetségünk van azonban arra, hogy kísérlettel oldjuk meg a differenciálegyenletet, és így általános, a jelenségek egész csoportjára érvényes összefüggést kapjunk. Tekintsünk két (különböz adatokkal, de egyaránt a Fourier egyenlettel leírható) jelenséget. Példánk szerint vizsgáljunk két különböz anyagból készült, különböz méret és kezdeti hmérséklet gyrt. Jelölje az egyik változóit t,, a, x, a másikét pedig t', ', a', x'. Ha a vesszvel jelölt tagok a vessz nélküliekkel arányosak, akkor a két rúdban a hmérsékletvezetés hasonló: t = c t t = c a = c a a x = c x x Írjuk fel a vesszvel jelölt jelenségre a Fourier egyenletet: t t a x 0 Helyettesítsük be a c arányossági tényezkkel a vessztlen változókat: c c t t c a c c t a x x A veszs és a vessztlen változókkal jelölt folyamatokat leíró két egyenlet azonos lesz, ha t 0

7 illetve: c c t c a c c cac 1 c Ebbl - felhasználva az arányosságot kifejez összefüggéseket - kapjuk: illetve átrendezve: a x Ez az összefüggés az ún. Fourier-invariáns. A peremfeltételek hasonlóságából kapjuk a x a x a x a x t x 1 t t t t 0 Y 0 relatív hmérsékletet, mint hasonlósági invariánst. Amennyiben az egyértelmségi feltételeknél biztosítani tudjuk a megfelel változócsoportok (az ún. hasonlósági kritériumok) számértékének egyenlségét, a két jelenség a hasonló jelenségek csoportjába tartozik. Ez a hasonlóság feltétele. A hasonlósági invariánsok számértékének megegyezése a hasonlóság következménye. Az egyenlet megoldását ezután a kísérlet szolgáltatja (pl. a korábban leírtak szerint). A különbség csak annyi, hogy elegend a kísérletek során csak a Fo értékét változtatni (bármely, benne szerepl tényez - a, t vagy x - változtatásával) és nem szükséges a többi változó értékét is variálni. Fo Analógia Elfordulhat, hogy hforrásunk vagy hmérnk nincsen, és mégis szeretnénk a folyamatot leíró differenciálegyenlet megoldásához eljutni. Keresünk tehát olyan folyamatot, amelyet megfelelen tudunk mérni, és annak mérési eredményeibl a mi jelenségünket leíró megoldást kapjuk. Ehhez is arra van szükség, hogy a két jelenség (a keresett és a mérhet) hasonló legyen egymáshoz. Példaként tekintsük újra a Fourier-egyenlet egydimenziós alakját: és írjuk alá a diffúzió ún. Fick egyenletét: ca t t a x D AB c x ahol c A az A komponens koncentrációja, D AB az A komponens diffúziós együtthatója a B komponensre vonatkozóan, az x és pedig a diffúziós folyamat hely- és idkoordinátája (amely nem feltétlenül azonos a hvezetés x és koordinátáival). Ha c A hmérsékletet, D AB A

8 pedig hmérséklet-vezetési tényezt jelentene, akkor a két egyenlet azonos lenne. Ilyen egyszer esetben a két jelenség hasonlósága könnyen felismerhet. A diffúzió egyenletébl, az elbbihez hasonló módon, két hasonlósági invariánst kapunk: ca DAB E, Fi c x A,0 ahol E a relatív koncentráció, amely a ( idpontban és x helyen lév) c A koncentráció és a c A,0 kiindulási koncentráció hányadosa, Fi az ún. Fick-szám. Megfelelen kiválasztva az egyértelmségi feltételeket, a Fick egyenlet kimérése (koncentráció-eloszlás változása az id és hely függvényében) megadja a Fourier egyenlet megoldását minden olyan esetre, amikor a x DAB x Természetesen nemcsak a koncentráció- és hmérséklet-eloszlás között található ilyen analógia, hanem számos más jelenségpár között is. Azt a jelenséget célszer kiválasztani, amely a legkényelmesebb és legpontosabb mérést teszi lehetvé. Az elzekben néhány lehetséges feladat-megoldási módszert vázoltunk. Nem a teljességre törekvés volt a cél, csak a változatok széles skáláját szerettük volna érzékeltetni. Láthatóan még ersen idealizált, egyszer példára is sok megoldási variációt lehet találni. A valóságban a megoldandó feladatok mindig összetettek, példánknál összehasonlíthatatlanul bonyolultabbak. Márpedig minél bonyolultabb a tényleges feladat, annál nehezebb megtalálni a legcélravezetbb módszert. A kísérletek megszervezése, a mérend mennyiségek megválasztása, a kísérleti adatok feldolgozása a konkrét szaktudományon kívüli speciális ismereteket is követel. Ezekkel foglalkozik a hasonlóságelmélet. A félreértések elkerülése végett szükséges leszögezni: a hasonlóságelmélet nem valamiféle önálló elmélet. Ugyanilyen alapon elméletnek nevezhetnénk pl. a parciális differenciálegyenletek megoldását a változók szétválasztásának módszerével, vagy a numerikus megoldásokat a véges különbségek módszerével stb. Megfelelen: tárgykörünket is helyesebb hasonlósági módszernek nevezni.

9 Ha egy modellben eléggé konkrét vagyok ahhoz, hogy reális legyek, annak az az ára, hogy nem lehetek eléggé elvont ahhoz, hogy egzakt legyek. M. M. Postan angol gazdaságtörténész A MODELL Ebben a részben a modellel (annak elméletével és alkalmazásaival) foglalkozunk. A cél: olyan ismeretet és szemléletet adni, amelynek segítségével felismerhet és leírható a modell és a modellezett viszonya, a rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, a modellezés lehetségei és korlátai. A hasonlóság és a modell fogalma, a modellezés módszere messze túln egy tantárgy vagy egy szakterület keretein. Mindennapi és minden irányú (különösen tudományos) gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei. Aki nem érti a modellezett-modell viszonyát, az könnyen elfeledkezhet arról, hogy ez nem csak hasonlóságot, hanem különbözséget is jelent. Ennek figyelmen kívül hagyása vezethet el a káros analógia hibájához, amikor a modell tanulmányozásából a modellezett olyan tulajdonságaira is következtetéseket akarunk levonni, amelyek szerint azok nem hasonlóak egymáshoz. Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak, s erre a felsoktatásban tanulóknak is különös figyelmet kell fordítaniuk. Ne feledjük Szent-Györgyi Albert szavait: A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az új miben különbözik a már ismert régi -tl. [Ezt az utat követi a mszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója is. A már ismerttel való megegyezésbl indul ki a vizsgálat és a már ismerttl való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt).] A modellek csoportosításának kiterjedt irodalma van. Még ha csak a technikai rendszerek modelljeit akarnánk felsorolni, akkor is megoldhatatlan feladatra vállalkoznánk. Gondoljunk csak arra: hányféle technikai rendszer van. Rendszertípusok A IIASA (International Institute Applied System Analysis) évi tanulmánya a rendszerelemzés tárgykörébe tartozó következ rendszertípusokat sorolja fel: Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások,

10 munkaerképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. Erforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezgazdaság, beleértve az erdgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia. Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek. A felsoroltak szinte kivétel nélkül részben vagy egészben a technikai rendszerek közé tartoznak. Mindegyikükhöz többféle modell is rendelhet. Vizsgálatukra, leírásukra verbális, matematikai, képi, fizikai, stb. modelleket használunk. Még vázlatos áttekintésük is kötetnyi anyagot tenne ki. Ehelyett megkíséreljük a modellek olyan csoportosítását megadni, amely megkönnyíti a sokféleségben való tájékozódást.

11 Csoportosítási módok A csoportosítások lényegében a modellezett, illetve a modellt képvisel objektum jellege vagy a modellezési - pontosabban: a hasonlósági - szempont szerinti megkülönböztetésre épülnek. Bármelyik csoportosítási mód megengedett, de célszer a viták és félreértések eltt tisztázni, hogy melyiket használtuk. Például a fizikai modell elnevezés egyaránt utalhat arra, hogy mit, vagy arra, hogy mivel modellezünk, illetve arra, hogy milyen szempont szerint hasonló a modell a modellezetthez. Modellek csoportosítása (1) Az els esetben (MIT?) valamilyen fizikai folyamatot modellezünk, de maga a modell lehet pl. egy matematikai vagy akár verbális leírás is. A második esetben (MIVEL?) fizikai folyamattal (pl. folyadékáramlással) modellezünk valamit, ami lehet pl. egy társadalmi, biológiai vagy akár pszichikai folyamat is. A harmadik esetben (MI A HASONLÓSÁGI SZEMPONT?) a modellezett és a modell egymástól formailag különbözhet, állapotjellemzik is eltérk lehetnek, de a bennük végbemen folyamatok hasonlóak. A csoportosítási hierarchia els szintje meghatározza a modellezett típusát, a modell típusát, a hasonlóság szempontját. A modellezett rendszer lehet pl. termelési, társadalmi, pszichikai, fizikai stb. Ebben az értelemben a csoportosítás arra vonatkozik, amit modellezünk. A modell típusa szerint a modell lehet pl. anyagi (elektromos, mechanikus, termikus, stb.) vagy gondolati [szimbolikus, ikonikus (képi), verbális, stb.].

12 Ebben az értelemben a csoportosítás arra vonatkozik, amivel modellezünk. Modellek csoportosítása () A modellezési szempont szerint a modell lehet pl. szerkezeti, mködési, formai. Ebben az értelemben a csoportosítás arra vonatkozik, amiben hasonló a modell a modellezetthez. Csoportosíthatjuk a modelleket funkció, szerkezet, megadott szempont, folyamat, jelleg szerint is. A modell funkciója (a modellezés célja) lehet például a modellezett leírása, szemléltetése, elemzése, létesítésével (mködésével) kapcsolatos elírás, mködésével, várható tulajdonságaival kapcsolatos probléma megoldása. A modellezett folyamat jellege szerint a modell statikus vagy dinamikus.

13 A modell jellege lehet kvalitatív (amikor csak minségi jellemzésre vagy elemzésre szolgál) vagy kvantitatív (amikor mennyiségi következtetések levonására vagy bemutatására alkalmas). A legtöbb kvalitatív modell szövegesen megfogalmazott (verbális), de ide sorolhatjuk a már említett, ún. gondolati modelleket is. A kvantitatív modellek alkalmazásának körében jelentsek a szimulációk, ami valamely jelenség (rendszer-mködés) elzetes vizsgálatát jelenti (közismertek pl. a repülgép szimulátorok, amelyekkel a valóságban nehezen gyakoroltatható veszélyhelyzetekben való viselkedést tanítják meg a pilótáknak). Ezek között is különösen fontosak (ezért az ábrán külön is jelöltük) a sztochasztikus modellek, amelyeken a véletlen hatásokat szimulálják. Heurisztikus modelleknél a kvantitatív összefüggések egy részét intuitív ötletek helyettesítik. A korábban kifejtettek szerint ezek a modellhalmazok nem feltétlenül diszjunktak, de egyik sem valódi részhalmaza a másiknak. Ez nemcsak a már ismert hasonlósági szempontokra értend, hanem a modell típusára is. Nemcsak pl. tiszta mechanikus vagy elektromos modellek léteznek, hanem ezek kombinációi (elektromechanikus, ill. ún. hibrid modellek) is. A modellek típusai A modellek típusairól ad áttekintést a következ ábra: Modelltípusok A TELJES és a RÉSZLEGES modell megkülönböztetés relatív. Szabatosan: teljesnek akkor nevezünk egy modellt, ha az elzetesen rögzített hasonlósági szempontok mindegyikét teljesíti, részleges pedig, ha ezek között van olyan, amely szerint nem hasonló az eredetihez. A fontosabb anyagi modellek: A geometriai modell az eredeti formáját, térbeli elhelyezkedését tükrözi. Az ilyen jelleg geometriai modelleket helyesebb makettnek nevezni. A geometriai modellt is felhasználják a mszaki életben, elssorban a tervezésben. Bonyolult elrendezés építmények, gyárak vagy gépcsoportok térbeli elhelyezkedését elbb geometriai modellen készítik el. Az ilyen modellezést térbeli tervezésnek is nevezik. A térbeli tervezés szükségtelenné teszi a szerelési

14 mhelyrajzokat. Ezeket a minta egyes csomópontjainak fényképe, illetve pl. a CAD rendszerekben axonometrikus rajza helyettesíti. A fizikai modell az eredetivel megegyez fizikai természet jelenséget megvalósító rendszer. Már többször utaltunk arra, hogy az eredeti és a modell hasonlóságának feltétele, hogy matematikai leírásuk (dimenzió nélküli matematikai modelljük) megegyezzen. Az eredetinek azonban nem minden vonatkozása, tulajdonsága fejezhet ki - jelenlegi ismereteink szerint - matematikai formában. Ha nem tudjuk a modellezettben végbemen folyamatok minden (az adott szempontok szerint) lényeges összefüggését egzakt matematikai formában megfogalmazni, akkor csak az eredeti folyamatot szabad a modellben is megválasztani. A természetes modell atermészetben már meglev objektum, amelyet különleges változtatás nélkül felhasználnak más objektumok tulajdonságainak meghatározásához. Természetes modellnek tarthatjuk a természetben végbemen folyamatok és jelenségek adatainak általánosítását (a hasonlósági módszer segítségével, a megfelel kritériumok alapján). De a természeti jelenségek egyszer megfigyelése is modellezésnek tekinthet, ha a tapasztalatokat felhasználjuk akár természeti, akár technikai folyamatok elrejelzésére. Sehol sem kötöttük ki, hogy modell csak az lehet, ami kizárólag erre a célra készült. Ez nem is feltétele a modellnek. Valamilyen tárgy azzal válik modellé, hogy az ember funkciót ad neki. A modellválasztás mégsem önkényes: teljesíteni kell mindazokat a követelményeket, amelyek a modellezettel való hasonlóságot biztosítják. Maga a modell azonban egyaránt lehet természeti tárgy, meglev vagy újonnan épített berendezés. (Az ember egyes biológiai funkcióinak vizsgálatakor gyakran állatok a modellek.) A modellek típusa szerinti másik csoportot az ún. gondolati (vagy eszmei) modellek alkotják. Ezek az emberi logika termékei. Módszerüket, formájukat illeten szubjektívek, de tartalmukat nézve (a tárgykört, amellyel foglalkoznak) objektívek. Nélkülözhetetlen elemei a megismerés folyamatának. A logikai törvények alapján levezetett eredményeket természetesen a fizikai valóságban kell ellenrizni. Ilyen értelemben csak utólag dönthetk el: valóban modelljei voltak-e a vizsgált folyamatnak. Kétféle eszmei modellfajtát különböztetünk meg. A fogalmi és a jelképes modelleket. A fogalmi modell a közvetlen, érzéki tapasztalatok feldolgozása az absztrakt gondolkodás segítségével. Feladata a kísérletek, tapasztalatok értelmezése, a hipotézisek ellenrzése, illetve újabb hipotézisek alkotása. Jelents eszköze a gondolati kísérlet. Ennek során ismert természettörvények felhasználásával megalkotott fogalmi modellünket gondolatban meghatározott körülmények közé helyezzük és végigvezetjük várható viselkedését. A kapott eredmények kísérleti ellenrzése a gondolatmenet helyességének eldöntése, illetve hiányosságainak feltárására alkalmas. Ilyen gondolati kísérletnek kell megelznie minden tényleges kísérletet, ha el akarjuk kerülni, hogy durva (és a tényleges kísérlet esetében komoly anyagi kihatásokat okozó) hibákat kövessünk el. (A történeti ismertetésnél már rámutattunk arra, hogy az analógiás gondolkodásnak milyen fontos szerepe volt a tudományok fejldésében. Számos esetben gondolati kísérlet elzte - és elzi - meg az új tudományos felfedezéseket.) A jelképes modellek is az empíria (vagy a kísérlet) adatait illetve feladatait fogalmazzák meg, de valamilyen jelrendszerben. A mérési eredmények rendszerint táblázat, grafikus ábrázolás vagy szám- (jel-) rendszer formájában adottak. Ezek közvetlenül a tudományos feldolgozás, általánosítás céljára alkalmatlanok. Van egy kínai közmondás: Egy kép felér szóval. [A tíz ezer nemcsak a kínaiban, hanem más nyelvekben (pl. angol myriad) számtalant is jelent] Valóban: egy több oldalas táblázatot vagy leírást szemléletesség szempontjából helyettesíteni tud egy mérési diagram. De sem a táblázat, sem a leírás, sem a grafikon nem képes arra, hogy tükrözze a vizsgált folyamat komplexitását, olyan felvilágosítást adjon, amely alkalmas az adott körülményektl eltér esetben is elre jelezni a várható viselkedést. Ehhez olyan jelrendszer kell, amely csak az adott szempontból lényegest emeli ki, amely

15 mellett a lényegtelen kritériumok háttérbe szorulnak, és ezzel eltnnek a vizsgált terület törvényszerségei. A közvetlen empíria nem képes arra, hogy a különböz állapotok és idpontok közötti kapcsolatot egyidejleg kimutassa. A jelrendszer viszont éppen ezt teszi lehetvé. (Konkrét jelenségekre vonatkozó jelrendszer adható meg a matematika segítségével, így a matematikai modellek is tekinthetk jelképes modellnek. Az elbbi kínai közmondást tovább víve: Egy egyenlet felér képpel.) A jelrendszerre azért is szükség van, mert nélküle nem lehetne megfogalmazni a tudomány nyelvén a gyakorlat által felvetett egyes konkrét feladatokat. Ilyenformán a jelrendszer lehetvé teszi az elméleti eredmények gyakorlati felhasználását, visszavezeti az elméletet a gyakorlathoz. A társadalom nem lehet meg jelrendszerek nélkül. Hankiss Elemér írja: Ha megfosztanánk egy társadalmat az általa használt jelektl, jelzésektl, jelrendszerektl, ugyanúgy elpusztulna, mintha termeleszközeitl fosztanánk meg. Jelrendszer (jelképes modell) maga az emberi beszéd is. Minden nyelv az objektív valóság elemeit, részeit képezi le megfelel szavakra, s ez már önmagában is bizonyos fokú absztrakciót jelent. Minden jelképes modellnek (magának a nyelvnek is) szigorú bels törvényszerségei vannak, amelyek formálisan az ABC meghatározásából, a szóképzés törvényébl és azokból a szabályokból állnak, amelyekkel az egyik szóról egy másikra lehet átmenni (a következtetési szabályokból). A verbális jelkészlettel szemben a matematikai jelekkel való leírás - amikor az egyáltalában lehetséges - egyértelm és ellentmondásmentes. A rendszerek hasonlóságának definíciójából következik, hogy a rendszerek modelljeit is célszer a matematikai modellek szerint csoportosítani. A matematikai modell alakja szerinti csoportosítás elvonatkoztat a konkrét jelenségtl, de éppen ez segíti el, hogy egy-egy feladat megoldásához a legkülönfélébb jelenségek tanulmányozásából szerzett ismereteket felhasználhassuk. Itt is arról van szó, amirl a geometriai hasonlóság esetében. Ott a (formai) hasonlóságot úgy ismertük fel, hogy elvonatkoztattunk az egyéb (tartalmi) különbözségtl. Ezzel lehetvé vált, hogy különböz tulajdonságú, de formailag hasonló tárgyak geometriai törvényszerségeit ne külön-külön vizsgálgassuk, hanem csak egyet a hasonlók közül. Ha egy alakzat írja Poncelet "egy másikból folytonos változtatás útján nyerhet, és ugyanolyan általános, mint az els, akkor az els alakzatra bebizonyított tulajdonságok minden további vizsgálódás nélkül átvihetk a másodikra. [Poncelet, Jean Victor ( ) francia mérnök és fizikus, a projektív geometria megalapozója.] A rendszereket nem szükséges (elképzelhetetlenül nagy munka is lenne) külön-külön, teljes részletességükben vizsgálni és tulajdonságaikat meghatározni. Elegend megállapítani, hogy a kérdéses objektum valamely más, ismert (vagy könnyebben megismerhet) rendszerhez hasonló (helyesebben: miben és mennyire hasonló), és akkor e rendszer megismert tulajdonságai alapján következtetéseket vonhatunk le az eredeti rendszer tulajdonságaira. Itt azonban nem lehet kizárni minden további vizsgálódást, mivel éppen ezzel kell felderíteni: a hasonlóság mellett miben és mennyire különbözik a két rendszer egymástól. Sokszor jelent problémát, hogy a geometriai változtatás következtében nem biztosítható az eredetivel megegyez fizikai jelenség hasonlósága a modellben. A közelít modellezés sem vezet mindig célra, lehetséges, hogy ezzel durva hibát követnénk el. Ugyanakkor viszont valószínleg tudunk találni ugyanabba a feladattípusba tartozó olyan fizikai folyamatot, amelynek vizsgálatával az eredeti rendszer viselkedésének (adott szempontból) legfbb tulajdonságai meghatározhatók.

16 Számítógépes modellek Külön említjük a modellek körében a számítógépeket. Felhasználásuk modellezési feladatokra a mikroelektronika és a számítástudomány fejldésének köszönheten egyre szélesebb körökben terjed. Ezzel kapcsolatban a félreértések elkerülése érdekében tisztázni kell, hogy a számítástudományban a matematikai modell értelmezése az eddigiektl eltér. A modellezés módszerét tárgyaló fejezetben bemutatjuk, hogy minden megoldási módszer alapja a matematikai modell transzformációja. A számítógépes numerikus megoldások során ezzel a transzformációval nyerjük az ún. számítási modellt. A számítástudományban általában ezen utóbbit nevezik matematikai modellnek. A számítógép széles kör - így modellként való - felhasználását az teszi lehetvé, hogy algoritmikus gép: vele bármilyen algoritmizálható feladat megoldható. Amennyiben ismerjük egy folyamat menetének algoritmusát, abból (elvben) megalkotható a számítógépes program, amelynek futtatásával az univerzális számítógép az adott folyamat modelljévé válik. A számítógépes modellezést szokás (számítógépes) szimulációnak is nevezni. Szimuláció számítógéppel A számítógépes szimuláció lehet numerikus, amelynek során a modellezett kvantitatív jellemzit, illetve azok változását határozhatjuk meg. Ez lehet a mérési, megfigyelési, statisztikai adatok feldolgozása (értékelése), a matematikai modellbl kialakított számítási modell megoldása vagy - a kísérletekkel összekapcsolva - a mérési folyamat irányítása; ikonikus, amelynek során a modellezett rendszer (és környezete) formájára, szerkezeti kapcsolataira kapunk vizuálisan megfigyelhet információkat (beleértve színhatásokat, arányokat, a forma funkcionális ellenrzését stb.). Speciális terület az ipari formatervezés (Industrial Design), de ide sorolható az új konstrukciók (hajók, gépkocsik stb.) formájának és szerkezetének kialakítása (erre szolgálnak a CAD rendszerek), illetve elzetes ellenrzése (pl. szélcsatorna kísérletek helyettesítése számítógéppel); verbális, amellyel a modellezett rendszer szavakban kifejezhet kapcsolatait tárjuk fel (nemcsak adat-feldolgozási, hanem ún. szakérti rendszerek is); akusztikai, amellyel bizonyos hanghatásokat (azok harmóniáját vagy diszharmóniáját) ellenrizhetjük illetve változtathatjuk. Ilyen lehetségeket is felhasznál a mvészet, pl. elektronikus zene komponálására, régi hangfelvételek feljavítására, de fontos eszköz a zajvédelmi berendezések kialakítása, termek akusztikai tervezése során; a mvész eszközként használja a számítógépet, képi vagy zenei alkotások létrehozására, s így itt már szigorúan véve nem algoritmikus, hanem intuitív folyamatról van szó. [Súlyos tévedés, ha valaki azt hiszi, hogy a számítógép hozza

17 létre a mvészi alkotást. A gép csak eszköz, soha sem helyettesítheti, csak segítheti az embert!] Ide sorolható a multimédia elállítása, a különféle oktató és játék CD-k mvészi kivitele is. Numerikus szimulációra példa a Forrester-Meadows modell. A modell alkotói öt szektor (részfolyamat) kölcsönhatását vizsgálták: a népesség, a termelerk, a mezgazdaság, a nem megújítható erforrások és a természeti környezet. Ikonikus szimuláció lehet jelleggörbék, felületek bemutatása, egy tervezett autópálya nyomvonalának (és környezetének) vagy egy tervezett építmény küls és bels terének megjelenítése, és í. t. Verbális szimuláció pl. egy-egy információs rendszer. Akusztikai szimuláció lehet a környezeti zajhatások elzetes vizsgálata. Természetesen itt sem diszjunkt alkalmazásokról van szó, gyakran egyidejleg használnak különböz (pl. numerikus és ikonikus, numerikus és verbális, mvészi, akusztikai és ikonikus) módszereket. A számítógépek segítségével meggyorsítható és hatékonyabbá tehet a kísérleti modellezés is. Mód van arra is, hogy az ún. fizikai modellt és a számítógépet közvetlenül (on-line) összekössük és megosszuk közöttük a modellezési folyamatot. (Szigorúan véve az ilyen összekapcsolt rendszereket nevezik hibrid modelleknek.) Bonyolultabb kísérlek ma már számítógép nélkül el sem végezhetk. Fontos szerepe van a számítógépes szimulációknak a nem minden lépésükben algoritmizálható problémák (ilyenek pl. a különféletársadalmi jelenségek) vizsgálatában. A gép-ember kapcsolat interaktívitása lehetvé teszi, hogy a nem algoritmizálható csomópontokban az emberi közbeavatkozástól függen folytassa tovább a gép az algoritmust. Így a döntést igényl lépéseket az ember teszi meg, és a szimuláció során elre ellenrizheti döntésének várható következményeit, (szükség esetén) más döntési variációk hatását is vizsgálhatja. Ne feledjük azonban, hogy a legfejlettebb számítógép csak segíti és nem helyettesíti az embert. A kvantitatív modell is csak a rendszer tulajdonságainak egy részérl tájékoztathat. Ezért a számítógépes modellezés is legfeljebb csak döntés-elkészít lehet. Az utóbbi idkben egyre jelentsebb szerepe van a döntés-elkészítésben a számítógépnek. A mesterséges intelligencia (rövidítve AI, az angol Artificial Intelligence névbl) kutatások eredményei alapján hozták létre az ún. szakérti (expert) rendszereket. Ezek a rendszerek az emberi döntéshozó folyamatot szimulálják (modellezik) számítógépen. Alapja - természetesen - a szkebb szakterület szakértinek ismerete, tudása, következtetési módszereik. Ezek felhasználásával emberi tudást igényl feladatokat a rendszer segítségével oldanak meg, a számítógéppel folytatott párbeszédes üzemmódban (interaktív kommunikáció). Két f részrendszere az adatbázis (adatbank) és az ún. következtetm. Az elbbi részben adatokat (a szkebb szakterületre vonatkozó tényeket, a szakértk által megfogalmazott összefüggéseket), részben ha akkor típusú szabályokat (heurisztikus következtetéseket) tartalmaz. A következtetm a kiindulási adatokból a szabályok összekapcsolásával valamilyen (a témára vonatkozó) következtetésre jut. A problémamegoldás módszere: keresés, de a deduktív rendszerekkel szemben nem pusztán formállogikai következtetésekkel, hanem ún. heurisztikus vezérléssel: a beépített szabályok révén a legvalószínbb megoldások irányában keres, a következtetésekben tapasztalati tényeket is figyelembe vesz és minden következtetést az ember számára elfogadható formában magyaráz meg. Amennyiben a fölhasználó a választ nem fogadja el, további kérdéseket tehet fel. A szakérti rendszer a tapasztalatokra épül (nem helyettesíti, hanem kiegészíti az emberi okoskodást). A szakérti rendszerek között az egyik legelterjedtebb az orvosi. Ebben az adatbank a betegségek tüneteit (mérhet jellemzket, pl. vérnyomás, testhmérséklet, pulzus és szubjektív - a beteg által érzett - érzéseket) tartalmazza, valamint ezen tünetek összefüggéseit. A következtetm abban segít, hogy bizonyos tünetcsoportok alapján a lehetséges diagnózisokat az orvos megtalálja. Mint minden szakérti rendszer, az orvosi is mindig több

18 választ (itt: diagnózis változatot) ad meg; ezek közül kell a probléma megoldónak (itt: az orvosnak) kiválasztania a szerinte megfelelt. Ezek után a lehetséges terápia változatokra is javaslatot ad a rendszer. A modell definícióját nagyon nehéz lenne egyértelmen és elég általánosan megadni. Azonban annyit mindenképpen állíthatunk, hogy a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van. De mit értünk hasonlósági reláción? A részletesebb elemzés eltt is rögzítenünk kell, hogy nem csak geometriai hasonlóságról van szó. Egyes esetekben ugyanis a geometriai hasonlóság lehetetlenné teszi, hogy a folyamatokhoz, a rendszerek funkciójához hasonló modellt hozzunk létre. [A késbbiekben kimutatjuk: a geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak nem szükséges, semmi esetre sem elégséges, st (gyakran) kizáró feltétele.] A rendszerek modellezésénél igen gyakran nem a forma, hanem a folyamat vizsgálata, leírása a cél. Hogyan lehet a folyamatok hasonlósági relációját meghatározni? Ezzel foglalkozik a hasonlósági módszer. A hasonlatosság felismerése nyilván a küls jelek alapján a legegyszerbb. Az emberi fejldés során hosszú ideig elegend volt, ha a hasonlóságról pusztán ezek alapján ítéltek. A formai hasonlóság felismerésének köszönhet az ókori (eukleidészi) geometria kialakulása. A geometria a tárgyak tartalmától elvonatkoztatott, csak a forma összefüggéseit vizsgáló tudomány. Itt kapott elször tudományos megfogalmazást a hasonlóság fogalma is. Az emberi tudás fejldése azonban szükségessé tette, hogy ne csak a forma, hanem a folyamatok hasonlóságát is felismerjük. A világ tudományos megismerésének forrása végs soron a tapasztalat. De csak a tapasztalat nem elegend arra, hogy a jelenségeket megismerjük, céljaink érdekében tudatosan fel is tudjuk használni. A végtelen sok tulajdonsággal rendelkez egyedi események általános, tömör jellemzését az ún. matematikai modell adja. A matematikai modellen a folyamat bels törvényszerségeit tükröz összefüggéseket (egyenletrendszert, gyakran differenciálegyenlet-rendszert) értjük, az adott jelenségre vonatkozó egyértelmségi feltételekkel együtt. Ennek megoldásával a folyamat szignifikáns jellemzi között egyértelm kapcsolatot kapunk. Összetett jelenségek, folyamatok esetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldásra jutnunk. Szükség van arra, hogy méréssel határozzuk meg a folyamat jellemzi közötti összefüggéseket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a hasonlósági módszer. A folyamatjellemzk nagy száma miatt szinte végtelen sok változat mérése látszik szükségesnek. Minden egyes rendszer látszólag különbözik a többitl, és így mindegyiket külön kellene mérni. Sok esetben lehetség sincs közvetlen mérésekre. Milyen jellemzket kell mérni? A mérési eredményeket milyen formában kell feldolgozni, hogy azok más rendszereknél is felhasználhatók legyenek? Hogyan lehet laboratóriumi vagy félüzemi mérésekbl következtetni az adott üzemi viszonyokra? Ezekre a kérdésekre ad választ a hasonlósági módszer. Alapja a leíró egyenletek dimenzionális homogenitása. Felhasználja a geometriai hasonlóság során definiált fogalmakat, de azok értelmezése általánosabb. A hasonlóság fogalmának és alkalmazásának egzakt tárgyalása a kísérleti módszerek tökéletesítéséhez is hozzásegít, de ezen túlmenen interdiszciplináris jellege is van. A

19 rendszerek hasonlóságának szemlélete, a közös (általános érvény) tulajdonságok felismerése megkönnyíti a tanulást, tanítást, tájékozódást és egyben a különféle szakterületek közötti kommunikációt is. Természetesen a hasonlóság, illetve a modell fogalmát nem szkíthetjük le a folyamatok vizsgálatára. A szemléltetés, a leírás, az elírás olyan fontos modellfunkciók, amelyek a mindennapi életben (különösen az oktatásban) nélkülözhetetlenek, és amelyek nem (mindig) köthetk matematikai modellhez. De ezek körében is a szabatosságra kell törekednünk, ami azt is jelenti, hogy a nem matematizálható modelleknél is ismerni (és ismertetni) kell azt, hogy miben hasonlóak és miben különböznek attól, amit modelleznek. HASONLÓSÁG - EKVIVALENCIA Akkor és csakis akkor tekinthetünk valamit modellnek, ha ismerjük a modellezettel való összefüggését: azokat a jellemzket, amelyek szerint a modell és modellezett hasonlóak egymáshoz. A hasonlóság a hétköznapi szóhasználatban éllények, tárgyak, fogalmak valamilyen kapcsolatára (részben vagy egészében megegyez tulajdonságokra) utal; a tudományos megfogalmazás valamely tárgyrendszer és annak képe közötti összefüggésként értelmezi. Csak emlékeztetünk arra, hogy két, A és B halmaz közötti reláció (morfizmus) lehet: izomorfizmus, olyan bijektív leképezés, amely az A halmazt a B halmazra úgy képezi le, hogy minden A és B halmazban lév elemnek van a másik halmazban megfelelje: homomorfizmus, ha az A halmazt a B halmazba képezi le, vagyis minden A-beli elemnek van a B-ben megfelelje, de fordítva már nem; automorfizmus, ha önmagára izomorf. A hasonlósági reláció izomorf (mindig rögzíteni kell a szempontokat, e nélkül a reláció homomorf, amely - mint késbb bemutatjuk - hibás következtetésekre vezethet). Mi hát a modell? Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a modell nem létezik. Egy modell mindig csak az általa modellezettel együtt értelmezhet, és a kett közötti hasonlóság feltételeit kell kielégítenie. Egy objektum önmagához (ugyanabban az idpontban) nyilvánvalóan minden szempontból hasonló. Az automorfizmus önmagában triviális ténye azt jelenti, hogy a hasonlósági reláció reflexív: a a. Két objektum viszonyában azonban azt is ki kell kötnünk, hogy a modell-modellezett funkció felcserélhet legyen, vagyis bármelyik objektum tulajdonságaiból a másikra következtetéseket tudjunk levonni. Ez a követelmény matematikailag azt jelenti, hogy a hasonlósági reláció szimmetrikus a b b a, A technikában sohasem (a természet- és társadalomtudományokban is csak kivételes esetekben) korlátozódik a modell egyetlen modellezettel való kapcsolatra. Általában a modellbl a modellezettek egész csoportjára kell következtetnünk, vagyis úgy tekintjük a modellt, mint az egymáshoz hasonló elemek halmazának egyik reprezentáns elemét. Legyen pl. az a, b, c elemekbl álló halmazunk. Ha ezek hasonlóak, akkor bármely két elem között szimmetria relációnak kell fennállnia, hiszen bármelyik elem lehet reprezentáns (modell):

20 a b b a, b c c b, c a a c. Ebbl viszont az is következik, hogy az így értelmezett hasonlósági reláció tranzitív is: a b ÉS b c a c. Szükséges tehát, hogy a hasonlósági reláció reflexív. szimmetrikus és tranzitív, vagyis ekvivalencia reláció legyen. Könnyen belátható, hogy a nem tranzitív relációk téves következtetések forrásai lehetnek. De téves következtetésekre juthatunk akkor is, ha a modell és a modellezett különbözségét figyelmen kívül hagyjuk, ha a modellezett olyan tulajdonságaira is következtetni akarunk, amelyek szerint azok nem hasonlóak. Vonatkozik ez nemcsak az objektumok modellezésére, hanem mindennapi gondolkodásunkra is. A csak reflexív és szimmetrikus (de nem tranzitív) relációkat tolerancia (vagy: kváziekvivalencia) relációnak nevezik. A tolerancia és az ekvivalencia megkülönböztetése csak kettnél több elem közötti reláció esetén lehetséges. Ezért a modell értelmezésekor nem elegend egy modell és egy modellezett kapcsolatát vizsgálni, vagyis a modellt mindig a modellezettek egész csoportjának képviseljeként kell felfognunk. A modellezettek egész csoportjának meghatározása a lehetséges elemek H halmazán belüli egyfajta osztályozást jelent, vagyis a modellhez - adott szempontok szerint - hasonló és különböz osztályok elkülönítését. A halmaz egy osztályozása viszont nem más, mint az egymással ekvivalencia-relációban lév elemek részhalmazba sorolása. Minden osztályozás definiál egy ekvivalencia relációt és - megfordítva - minden ekvivalencia reláció definiál egy osztályozást. Így értelmezzük a modellezettek egész csoportját mint egymással (valamely i. szempont szerinti) i hasonlósági relációban lév elemek R i osztályát (részhalmazát). Ismételten hangsúlyozzuk: ez egyben a H\R i részhalmaz elkülönítése is, vagyis az R i részhalmaz komplementerének, a modellhez - az i. szempont szerint - nem hasonló elemek részhalmazának meghatározása is. Mindebbl az is következik, hogy ugyanazon H halmazon egy másik (j. szempont szerinti) j hasonlósági reláció egy másik R j osztályt definiál. A kétféle szempont szerint definiált halmazok viszonya egymáshoz a következ lehet: a) R j részhalmaza R i -nek: ami azt jelenti, hogy a j. szempont szkebb az i-ediknél (pl. R i a paralelogrammák, R j a négyzetek halmaza). b) R i részhalmaza R j -nek: ami azt jelenti, hogy a j. szempont tágabb az i-ediknél; c) R j és R i metszete üres: vagyis a szempontok kizárják egymást, a részhalmazok diszjunktak. Ha még is igaz, akkor a szempontok egymás komplementerei. Végül: d) de egyik sem valódi részhalmaza a másiknak. A hasonlósági szempontok nem diszjunktak. Vannak tehát olyan elemek is, amelyek mindkét szempont szerint hasonlóak egymáshoz. (Pl. R j a háromszögek, R i a derékszöget tartalmazó síkidomok halmaza. A derékszög

Szücs Ervin: Rendszer és modell II.

Szücs Ervin: Rendszer és modell II. Szücs Ervin: Rendszer és modell II. TTK Egységes jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997. Budapest p. 136 19. A modellek csoportosítása A modellek csoportosításának kiterjedt irodalma van. Még ha csak technikai

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretek modul

Kutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretek modul Kutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretek modul Környezetgazdálkodás Modellezés, mint módszer bemutatása KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖK MSC Modellek csoportosítása I. 11. lecke Rendszertípusok

Részletesebben

A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm) és Dr. Szigeti Gyula alapján

A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm) és Dr. Szigeti Gyula alapján A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm) és Dr. Szigeti Gyula alapján Dr. Szentesi Péter Molekuláris Biológus kurzus 2009. Előszó 1. Gondolkodásunk

Részletesebben

A modellezés elmélete és gyakorlata, 2009. Molekuláris biológus képzés, DE OEC, Élettani Intézet

A modellezés elmélete és gyakorlata, 2009. Molekuláris biológus képzés, DE OEC, Élettani Intézet 1. Általános bevezetés a biológiai folyamatok matematikai modellezéséről. Vezérfonalak, általános elvek, modellalkotás, számítógépes adaptáció és tesztelés Prof. Szűcs Ervin jegyzete alapján (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm)

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı akadémiai ismeretek modul

Kutatói pályára felkészítı akadémiai ismeretek modul Kutatói pályára felkészítı akadémiai ismeretek modul Környezetgazdálkodás Modellezés, mint módszer bemutatása KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖK MSC Modellek általános jellemzıi I. Modell definíciója, hasonlóság

Részletesebben

Méréselmélet MI BSc 1

Méréselmélet MI BSc 1 Mérés és s modellezés 2008.02.15. 1 Méréselmélet - bevezetés a mérnöki problémamegoldás menete 1. A probléma kitűzése 2. A hipotézis felállítása 3. Kísérlettervezés 4. Megfigyelések elvégzése 5. Adatok

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

Logisztikai szimulációs módszerek

Logisztikai szimulációs módszerek Üzemszervezés Logisztikai szimulációs módszerek Dr. Juhász János Integrált, rugalmas gyártórendszerek tervezésénél használatos szimulációs módszerek A sztochasztikus külső-belső tényezőknek kitett folyamatok

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg

Részletesebben

Mérés és modellezés 1

Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni kell

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

A VIZSGA LEÍRÁSA KÖZÉPSZINT VIZSGA. Írásbeli vizsga

A VIZSGA LEÍRÁSA KÖZÉPSZINT VIZSGA. Írásbeli vizsga A VIZSGA LEÍRÁSA KÖZÉPSZINT VIZSGA Írásbeli vizsga Az írásbeli vizsgán a jelölteknek egy központi feladatsort kell megoldaniuk. A vizsga idtartama 120 perc. A vizsgázó a rendelkezésére álló idt tetszése

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógiai kutatás metodológiai alapjai Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógiai kutatás jellemző sajátosságai A pedagógiai kutatás célja a személyiség fejlődése, fejlesztése során érvényesülő törvényszerűségek,

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

Gépi tanulás és Mintafelismerés

Gépi tanulás és Mintafelismerés Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Kvantitatív módszerek szimuláció Kovács Zoltán Szervezési és Vezetési Tanszék E-mail: kovacsz@gtk.uni-pannon.hu URL: http://almos/~kovacsz Mennyiségi problémák megoldása analitikus numerikus szimuláció

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

TARTALOM AZ INFORMATIKA FOGALMA... 3 1. A fogalom kialakítása... 3 2. Az informatika tárgyköre és fogalma... 3 3. Az informatika kapcsolata egyéb

TARTALOM AZ INFORMATIKA FOGALMA... 3 1. A fogalom kialakítása... 3 2. Az informatika tárgyköre és fogalma... 3 3. Az informatika kapcsolata egyéb TARTALOM AZ INFORMATIKA FOGALMA... 3 1. A fogalom kialakítása... 3 2. Az informatika tárgyköre és fogalma... 3 3. Az informatika kapcsolata egyéb tudományterületekkel... 4 4. Az informatika ágai... 5 AZ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

OOP. Alapelvek Elek Tibor

OOP. Alapelvek Elek Tibor OOP Alapelvek Elek Tibor OOP szemlélet Az OOP szemlélete szerint: a valóságot objektumok halmazaként tekintjük. Ezen objektumok egymással kapcsolatban vannak és együttműködnek. Program készítés: Absztrakciós

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8. EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK 1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései

Részletesebben

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015

A pedagógia mint tudomány. Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia mint tudomány Dr. Nyéki Lajos 2015 A pedagógia tárgya, jellegzetes vonásai A neveléstudomány tárgya az ember céltudatos, tervszerű alakítása. A neveléstudomány jellegét tekintve társadalomtudomány.

Részletesebben

A fizika kétszintű érettségire felkészítés legújabb lépései Összeállította: Bánkuti Zsuzsa, OFI

A fizika kétszintű érettségire felkészítés legújabb lépései Összeállította: Bánkuti Zsuzsa, OFI A fizika kétszintű érettségire felkészítés legújabb lépései Összeállította: Bánkuti Zsuzsa, OFI (fizika munkaközösségi foglalkozás fóliaanyaga, 2009. április 21.) A KÉTSZINTŰ FIZIKAÉRETTSÉGI VIZSGAMODELLJE

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete. a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján

Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete. a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján Az OKM tartalmi keret Célja: definiálja azokat a tényezőket és szempontrendszereket, amelyek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Területi statisztikai elemzések

Területi statisztikai elemzések Területi statisztikai elemzések KOTOSZ Balázs, SZTE, kotosz@eco.u-szeged.hu Módszertani dilemmák a statisztikában 2016. november 18. Budapest Apropó Miért különleges a területi adatok elemzése? A számításokhoz

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1 Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Dinamikus geometriai programok

Dinamikus geometriai programok 2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Fizika 7. 8. évfolyam

Fizika 7. 8. évfolyam Éves órakeret: 55,5 Heti óraszám: 1,5 7. évfolyam Fizika 7. 8. évfolyam Óraszám A testek néhány tulajdonsága 8 A testek mozgása 8 A dinamika alapjai 10 A nyomás 8 Hőtan 12 Összefoglalás, ellenőrzés 10

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Összeállította Horváth László egyetemi tanár

Összeállította Horváth László egyetemi tanár Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet Intelligens Mérnöki Rendszerek Szakirány a Mérnök informatikus alapszakon Összeállította Horváth László Budapest, 2011

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás

Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal

Részletesebben

Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK

Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK A fels oktatásban legalapvet bb változás az elmúlt id szakban a hallgatói létszámok területén történt: az utóbbi néhány évben, évtizedben mintegy

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 5-8. évfolyam 2013. Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről

Részletesebben

Témaválasztás, kutatási kérdések, kutatásmódszertan

Témaválasztás, kutatási kérdések, kutatásmódszertan Témaválasztás, kutatási kérdések, kutatásmódszertan Dr. Dernóczy-Polyák Adrienn PhD egyetemi adjunktus, MMT dernoczy@sze.hu A projekt címe: Széchenyi István Egyetem minőségi kutatói utánpótlás nevelésének

Részletesebben

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.

Részletesebben