EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL

Átírás

1 EGY NÖVEKEDÉSI MODELL VIZSGÁLATA NUMERIKUS MÓDSZEREKKEL Stagl Ádám I. évfolyam, pénzügy és számvitel szak Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar, Kaposvár Matematika és Fizika Tanszék Konzulens: Dr. Kövér György egyetemi docens ÖSSZEFOGLALÓ A dolgozat célja a Ramsey féle növekedési modell vizsgálata. A modell optimalitási kritériuma egy véges időszakon elért diszkontált értékének maximalizálása. A modellt három egymástól eltérő feladat elemzésére alkalmaztam. A évenkénti relatív változásának elemzésével hosszú távú nyolc éves periódust és két egymást követő rövidebb négy éves periódus modelljét készítettem el. Létrehoztam egy alacsony induló tőkeállományú modellt, majd elemeztem az értékcsökkenés bevezetésének hatását a modellbe. Rámutattam, hogy megteremthető a Ramsey és Solow féle modellek közötti kapcsolat az egyensúlyi tőkeállomány nagyságának meghatározásán keresztül. Az elemzés kitér a technológiai fejlettség és az induló befektetett tőke változásának hatásaira, valamint a évenkénti változására tett kritériumok modellt befolyásoló hatásaira. A modell matematikai eszköze az MS Excel Solver modulja, melynek a korlátaira is rámutattam. BEVEZETÉS A közgazdaságtan szakirodalma bőséges kínálatot nyújt matematikai modellek alkalmazásában. DEDÁK (2006) összefoglalja a növekedéssel foglalkozó modelleket. A legtöbb modell nem oldható meg analitikusan, ezért ezek numerikus vizsgálata szükséges. Viszont ha analitikusan megoldható a modell, akkor is érdemes kiszámítani numerikusan ellenőrzésképp. Összességében a numerikus eljárás elfogadott összetettebb modelleknél, melyek esetében analitikusan már nem jutunk eredményre. A dolgozat témájául szolgáló Ramsey féle növekedési modell változatosan használható fel közelmúltunk és napjaink makrogazdasági eseményeinek modellezésére ezért különösen aktuális a téma. ANYAG ÉS MÓDSZER TAYLOR és UHLIG(1990) által módosított Ramsey féle növekedési modell vizsgálata áll a dolgozat középpontjában. A modell ismertetése és a számításokra felhasznált első változata megtalálható KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában. 1

2 A növekedési modell A kibocsátást tekintsük a tőkeállomány és a technikai haladás függvényének(1). Ez termelési függvény a széles körben használt Cobb-Douglas-féle alakja. Rendszerint szerepel a függvényben mind a tőke- mind a munkaerő-állomány. Az egyszerűség kedvéért a termelési függvény ebben a modellben csak a tőkeállományt tartalmazza. Y t = Θ K t α (1) ahol Y t = kibocsátás t időszakban Θ = a technológiai fejlettség paramétere K t = befektetett tőke nagysága t időszakban α = tőke kitevője a termelési függvényben A modell egyik jellegzetessége, hogy hosszabb, de véges időtartományra vonatkozik, melyet a vizsgálataink során nyolc véges időszakra osztunk. A tőkefelhalmozás képlete a következő: ahol C t = a a t időszakban. K t+1 = K t + Y t - C t (2) Vagyis a befektetett tőke a következő időszakban megegyezik a jelenlegi periódus és a termelés és különbségének összegével (2), mely megtakarításként vagy befektetésként jelentkezik. A megtakarítást ebben a modellben nem megtakarítási ráta segítségével fejezzük ki, mivel hosszabb időszakot vizsgálunk és közben a megtakarítási ráta értéke változhat. Az elértéktelenedést a modell első változatában figyelmen kívül hagytam. Ezek után a termelési függvény (1) behelyettesíthető a tőkefelhalmozás képletébe (2). K t+1 = K t + Θ K t α - C t (3) Hozzá kell tenni, hogy a modellben kezdeti feltételként meg kell határozni a befektetett tőkét mellyel a kezdeti periódusban rendelkezünk. K 0 adott. (4) A modell ezen felül tartalmaz egy végső feltételt is, mely tartalmaz egy fix tőkeösszeget, amit el kell érni, hogy a következő generáció is versenyképes maradjon a vizsgált időszak végeztével. K N K * (5) ahol K * = alsó korlát a szükséges tőke nagysághoz a végső időszakban, N. 2

3 Végül a modellnek van egy optimalizálási feladata. A vizsgálati időtartam során az egyes időszakokban történt hasznossági értékeit diszkontálja, a jelenértékek összegét maximalizálja. U(C t ) = C t (1-τ) (6) ahol U(C t ) = a hasznosság, amely a t időszak alatti függvénye τ = a hasznossági függvény paramétere A diszkontált hasznosságok összege pedig J = t U(C t ) (7) ahol J = a hasznosságok jelenértékének összege β = diszkontálási tényező. BARTUS és munkatársai (2005) összefoglalták a társadalmi diszkontráta meghatározásának módszertanát. Ezek után behelyettesítve a hasznossági függvényt (6) a (7) képletbe kapjuk J = t C t (1-τ) (8) Összességében, a modell tartalmaz egy maximalizálandó kritérium függvényt(8), a tőkefelhalmozási egyenletet(3) és a kezdő- és vég feltételeket (4), (5). A feladat az, hogy úgy válasszuk meg az egyes időszakok i értékeit, (C 0,C 1,,C N-1 )-t, hogy kritérium függvény(8) maximális értéket vegyen fel. Tehát a legfőbb probléma az egyes időszakok szintjének megválasztása, vagyis az egyensúly megtalálása a és befektetés között. Adott időszakban kisebb kisebb hasznossággal kecsegtet, viszont nagyobb megtakarítást és később magasabb tőkét, ami magasabb termelést eredményez. A modell nem tartalmazza külső erőforrás bevonását, sem az inflációt nem veszi figyelembe. Az MS Excel Solver A jól ismert táblázatkezelő program, az MS Excel, tartalmaz egy hatékony lineáris és nemlineáris problémamegoldó eljárást. Mivel az Excel felülete nagyon ismert és az optimalizálandó problémák megfogalmazása a kisebb feladatok esetében viszonylag egyszerű, ezért néha az Excel jobbnak bizonyul az optimalizálási feladatok megoldására mint más, nagyobb felkészültséget igénylő matematikai programok. Sőt, ha a modellünk elég egyszerű, nincs semmi előnye az Excel-lel szemben például a GAMS-nak, vagy MATLAB-nak, stb. 3

4 EREDMÉNYEK ÉS ÉRTÉKELÉSEK KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában található növekedési modellt, melyet MS Excel környezetben valósítottak meg három különféle esetben alkalmaztuk. Az egyes esetekben a modell szükség szerinti módosítására is sor került. 1. Eset. A modell -centrikus elemzése 1.1 Az eredeti modell KENDRICK és munkatársai (2006) rámutattak a modell által szolgáltatott i adatok és a diszkonttényező kapcsolatára. A i értékek ugyanakkor további vizsgálatokra is lehetőséget kínálnak. Az 1. táblázatban megtalálhatjuk az eredeti modell induló és számított értékeit. A számítások induló értékei egyfelől a paraméterek (tau, bet, alpha, theta) melyek számértékei szakirodalmi becslésekre alapozva adhatunk meg, másfelől az induló tőkeállomány (7 egység) és az a tőkefeltétel (9,1 egység) melyet a vizsgálati időszak után a következő generációra kell hagynunk. Az 1. táblázatban a i értékek már azt a megoldást tükrözik, amely maximalizálja a diszkontált hasznosságok összegét. A leolvasható maximális érték 9,97 egység. David Kendric és Ruben Mercado által kidolgozott eredeti növekedési modell 1. táblázat Időszak Fogyasztás 0,347 0,351 0,355 0,358 0,361 0,364 0,366 0,368 0,370 Kibocsátás 0,570 0,576 0,582 0,588 0,594 0,599 0,605 0,611 0,616 Tőkeállomány 7,000 7,223 7,448 7,676 7,906 8,138 8,373 8,612 8,854 9,100 Hasznosság 1,178 1,161 1,144 1,126 1,108 1,090 1,072 1,054 1,035 Számítási paraméterek Tőkefeltétel: 9,100 Tau 0,5 Beta 0,98 Alpha 0,33 Theta 0,3 Összes hasznosság: 9, táblázat Az eredeti növekedési modell i adataiból számított relatív változás Időszak Relatív változás 1,012 1,011 1,010 1,008 1,008 1,007 1,006 1,005 4

5 A és relatív változása 0,375 0,370 0,365 0,360 0,355 0,350 0,345 0,340 0, időszak 1,014 1,012 1,01 1,008 1,006 1,004 1,002 1 relatív változás relatív változás Forrás: a 2. táblázat alapján, saját munka, ábra: Az eredeti növekedési modell i adatai és a relatív változások. Az eredeti modell i adataiból rajzolt görbe növekvő, ami a lakosság szempontjából tekintve kedvező, ugyanakkor konkáv. Azt jelenti számunkra, hogy növekszik ugyan a, de a növekedés mértéke egyre szerényebb. SÁGI (2005) kifejti, hogy a társadalmi stabilitás feltétele, hogy az állampolgárok észleljék a társadalmi-gazdasági trendeket és ezekkel elégedettek legyenek. Az észlelt relatív változásokat és a viszonyítási csoportokat is egyaránt fontosnak tartja az elégedettség szempontjából. Az 1. ábrán bemutatjuk, hogy a relatív változása a teljes vizsgálati idő alatt csökkenő. A i görbe alakját a matematikai modell optimális megoldása amely maximalizálta az összes hasznosságot alakította konvexre. KORNAI (1995) tanulmányában részletes történelmi elemzését adja annak, hogy Magyarországon a politikai szférában bekövetkezett rendszerváltást követően is folyamatosan jellemezte az elmúlt harminc év fejlődését a lakosság anyagi jólétének a prioritása, erős paternalista jóléti állam. Ez a folyamat Kornai tanulmányát követően is folytatódott. Vizsgáljuk meg tehát azt, hogy modell hogyan módosítható. 1.2 Módosított modell: A relatív változása ne csökkenjen A modell úgy módosítjuk, hogy a relatív változása ne csökkenjen. A MS Excel Solver korlátozó feltételei közé megadjuk azt, hogy az egymást követő időszakok i adataiból számítható relatív növekedés legyen nagyobb, vagy egyenlő 1,02, majd ezt követően 1,04. A módosított modell optimalizálása után kapott i adatokat a 2. ábrán találjuk. A modell továbbra is az előzőleg adott induló tőkeállománnyal és záró tőkefeltétellel optimalizálta a i adatokat. Megfigyelhető, hogy azon az áron érte el a relatív változás szinten tartását, hogy az első néhány periódus i adatát jelentősen le kellett csökkenteni. Ezzel egy időben a második félidőben a i adatok magasabbak lettek. A modell eredményezett egy olyan i görbét, amely hosszú távú társadalmi előrelátást, megegyezést igényel. 5

6 A három modell alapján 0,440 0,420 0,400 0,380 0,360 0,340 0,320 0, időszak Eredeti modell Relatív változás=1,02 Relatív változás=1,04 Forrás: a 2. táblázat alapján, saját munka, ábra: Módosított növekedési modell. Fogyasztási adatok előírt relatív változások esetén. KORNAI (1995) tanulmányából és az azóta eltelt időszak tapasztalataiból ugyanakkor az derül ki, hogy ilyen hosszú távú gondolkodásmódra nem feltétlenül lehet számítani. A vizsgált időtartomány nyolc időszak, oszthatjuk két négyes intervallumra, mint két kormányzati időszak, félidőben egy politikai választás. Tapasztalataink szerint az első félidő kormánya nem vállalja, hogy kormányzása alatt olyan alacsony legyen a, mint amit a 2. ábra 1.04 relatív változású egyenese ábrázol. Bár lendületes a növekedése, jóval alacsonyabb, mint amit az eredeti modell konkáv görbéje lehetővé tesz. A félidőben bekövetkező választást elvesztené, viszont az utódja átvenne egy olyan gazdasági pályát, ahol a nem csak erősen növekszik, de már abszolút értékben is magas. Arra számíthatunk tehát, hogy a gondolatkísérletben szereplő első félidei kormány inkább a konkáv görbét választja, amely a második félidőre a pangás korszakát jelenti. Érdemes itt felhívni arra a figyelmet, hogy az összhasznosság maximuma csökkenhet, ha az eredeti modellt további korlátozó feltételekkel egészítjük ki, mint ahogyan ezt tettük a 2. ábra adatainak kiszámításakor. A 3. táblázatban láthatjuk, hogy valóban, minél inkább eltér a i görbe az eredeti modell által szolgáltatott konvex görbétől, annál kisebb a számított összhasznosság. 3. táblázat Az összes hasznosság értéke csökkenhet, ha a modellt további korlátozó feltételekkel egészítjük ki. Modell Összes hasznosság: Eredeti modell Relatív változás=1,02 Relatív változás=1,04 9,970 9,968 9,962 6

7 1.3 Módosított modell: A pangás elkerülése a második félidőben Az előzőekben láttuk, hogy a rövid távú, választó-centrikus kormányzati politika számára nem elfogadható a alacsony szintről való indítása, mert a lakosság csak a második kormány alatt él át valódi prosperitást. A modellt úgy módosítottam, hogy a kezdeti időszakban ne legyen károsan alacsony a, de a második kormányzati periódusban legyen elérhető erőteljesebb növekedés. Az eredeti modell konkáv görbéje az utolsó (nyolcadik) időszakban már csak fél százaléknyi növekedést mutat. Az MS Excel Solver korlátozó feltételét úgy adtam meg, hogy csak a hatodik, hetedik, nyolcadik időszakban legyen a növekedés előre megadott mértékű. Az első öt időszakra ilyen korlátozó feltételt most nem írtam elő. A 3. ábrán látható az eredeti konkáv i görbe mellett annak a modellnek az eredménye, ahol az utolsó három időszakra korlátozó feltétel volt az, hogy a relatív növekedés legyen legalább akkora, mint a legelső időszakban. A második kormányzati ciklusban módosított görbe alakja jól mutatja, hogy egy későbbi dinamikusan növekvő ért a jelenben fizetni kell. A második kormányzati ciklus első időszaka a visszaesését szemlélteti. A három modell alapján 0,380 0,375 0,370 0,365 0,360 0,355 0,350 0,345 0, időszak Eredeti modell Két ciklusú modell Forrás: modell optimalizálás alapján, saját munka, ábra: Módosított növekedési modell. Fogyasztási adatok előírt relatív változások esetén. 2. Eset. Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia A modell induló adatait és korlátozó feltételeit úgy adtam meg, hogy egy szélsőséges esetet is megvizsgálhassak. Az induló tőkeállományt alacsonyra (2 egység), a technológiai fejlettséget reprezentáló Θ értékét magasra (1 egység) választottam. Megnöveltem a tőke kitevőjét is. A záró tőkeállomány értékét nem változtattam meg. 7

8 A modell optimalizálása során az MS Excel Solver nem talált megoldást. Mivel a hasznosságmaximalizálás, mint kritérium változatlanul szerepel a modellben, olyan megoldásra tett kísérletet a Solver, amelyben a meghaladta a kibocsátást. A számítások elvégzését a negatív értékek megjelenése lehetetlenné tette. Azt a kiegészítő korlátozó feltételt adtam meg, hogy: a ne haladja meg a kibocsátást. A 4. táblázatban találhatjuk az optimalizált modellt. A 4.ábrán pedig láthatjuk a és a relatív változás görbéjét. A görbék értékelésekor megállapíthatjuk, hogy a céltőke elérhető a 9. időszak előtt a gyors növekedésnek köszönhetően, ugyanakkor a relatív változása ilyen látványos növekedés esetén is csökkenő lehet. 4. táblázat Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia. Időszak Fogyasztás 0,335 0,531 0,785 1,107 1,508 2,008 2,634 3,017 3,017 Kibocsátás 1,414 1,755 2,074 2,365 2,617 2,821 2,962 3,017 3,017 Tőkeállomány 2,000 3,079 4,303 5,592 6,850 7,959 8,772 9,100 9,100 9,100 Hasznosság 1,157 1,428 1,702 1,981 2,266 2,561 2,875 3,016 2,955 Számítási paraméterek Tőkefeltétel: 9,100 tau 0,5 beta 0,98 alpha 0,5 theta 1 Összes hasznosság: 19,942 A és relatív változása 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0, ,800 1,600 1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 relatív változás időszak relatív változás Forrás: modell optimalizálás alapján, saját munka, ábra: Módosított növekedési modell: Alacsony induló tőkeállomány, fejlett technológia. Fogyasztási adatok előírt relatív változások esetén. 8

9 3. Eset. A modell kiegészítése az értékcsökkenés figyelembevételével KENDRICK, MERCADO és AMMAN (2006) munkájában található növekedési modell nem tartalmaz értékcsökkenést. A tradicionális Solow modell az értékcsökkenés figyelembevételével határozza meg a tőkeállomány egyensúlyi értékét (MANKIW, 2005). Bár a Ramsey és Solow modell eltér egymástól, az értékcsökkenés bevezetését érdemes a modellünkben elvégezni.. Az értékcsökkenés a tőkeállomány felhalmozódási ütemét csökkenti, a kibocsátásból nagyobb arányban kell megtakarítani, kevesebb ra van lehetőség, ha a befejező időszakra előírt tőkefeltételt teljesíteni kívánjuk. Az értékcsökkenés három különböző értékével optimalizáltam a módosított modellt. 10%, 5% és 3% mértékét vettem számításba. Az induló (7 egység) és záró tőkeállomány (9,1 egység) azonos az eredeti modell adataival. A technikai fejlettséget reprezentáló Θ értékét 0,5-re növeltem, mivel csak nagyon alacsony értékcsökkenési adatok mellett vált elérhetővé a záró tőkeállomány feltétele. A i adatok számított értékeit az 5. táblázat tartalmazza. Az 5. ábrán nyomon követhetjük a alakulását a három optimalizált modell esetén. Megfigyelhető, hogy a záró időszak tőkefeltételének teljesítési kényszere azt eredményezi, hogy a legmagasabb értékcsökkenés esetén csak csökkenő, alacsony mellett teljesíthető. 5. táblázat Az optimalizált modellek i adatai értékcsökkenés esetén Időszak Ért. Csökkenés 0,478 0,453 0,429 0,405 0,381 0,357 0,335 0,312 0,291 10% Ért. Csökkenés 0,674 0,703 0,732 0,759 0,785 0,810 0,834 0,857 0,880 5% Ért. Csökkenés 0,705 0,763 0,824 0,884 0,947 1,012 1,081 1,152 1,225 3% A három értékcsökkenési százalék esetén 1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0, időszak Ért. Csökkenés 10% Ért. Csökkenés 5% Ért. Csökkenés 3% Forrás: modell optimalizálás alapján, saját munka, ábra: Módosított növekedési modell: Az értékcsökkenés bevezetése. A i adatok három különböző értékcsökkenés esetén 9

10 A tőkeállomány számított értékeit a 6. táblázat tartalmazza. A 6. ábrán a tőkeállomány alakulását követhetjük nyomon a három optimalizált modell esetén. Megfigyelhető, hogy a záró időszak tőkefeltételét mind a három értékcsökkenés esetén teljesíteni lehet, ugyanakkor a görbék jellege teljesen eltérő. Konvex és konkáv eset is megfigyelhető. Az optimalizált modellek i adatai értékcsökkenés esetén 6. táblázat Időszak Értékcsökkenés 10% 7,000 7,145 7,314 7,506 7,721 7,957 8,214 8,491 8,787 9,100 Értékcsökkenés 5% Értékcsökkenés 3% 7,000 7,299 7,582 7,848 8,098 8,331 8,547 8,748 8,932 9,100 7,000 7,408 7,783 8,121 8,418 8,669 8,869 9,011 9,090 9,100 A tőkeállomány három értékcsökkenési százalék esetén 9,500 9,000 8,500 tőkeállomány 8,000 7,500 7,000 6,500 6, időszak Ért. Csökkenés 10% Ért. Csökkenés 5% Ért. Csökkenés 3% Forrás: modell optimalizálás alapján, saját munka, ábra: Módosított növekedési modell: Az értékcsökkenés bevezetése. A tőkeállomány számított adatai három különböző értékcsökkenés esetén 10

11 A Ramsey és Solow modell eltéréseinek ellenére tehetünk egy kísérletet arra, hogy a Solow féle egyensúlyi tőkeállomány mértékét meghatározzuk. MANKIW (2005) alapján az egyensúlyi tőkeállományra felírható * k = f ( k ) ahol k * = az egyensúlyi tőkeállomány s = megtakarítási ráta δ = értékcsökkenés s δ A meghatározható egyensúlyi tőkeállomány értékcsökkenés esetén (9) 7. táblázat Minimális megtakarítási ráta Átlagos megtakarítási ráta Ért. Csökkenés 10% Ért. Csökkenés 5% Ért. Csökkenés 3% 8,44 181,46 552,58 14,61 244, ,82 A három értékcsökkenést tartalmazó modell megtakarítási rátája az optimalizálást követően meghatározható. Azonban az a Ramsey modellnek megfelelően minden egyes időszakra (0-8) más-más. A megtakarítási ráták közül kiválasztható a minimális érték, ennek a felhasználásával adódik a legkisebb egyensúlyi tőkeállomány (7. táblázat). Mivel a megtakarítási ráta folyamatosan változik, az átlagos értékét is figyelembe vettem az egyensúlyi tőkeállomány meghatározásához. A 7. táblázatból megállapítható, hogy az értékcsökkenést tartalmazó modellek egyensúlyi tőkeállománya csak akkor nem éri el a 9,1 egységnyi értéket, amely a záró tőkefeltétel, ha az értékcsökkenés 10% és az időszak minimális megtakarítási rátájával számolunk. Minden más esetben eléri. KÖVETKEZTETÉSEK ÉS JAVASLATOK A vizsgált növekedési modell tanulmányozása alapján megállapítható, hogy a modell alkalmas arra, hogy megfelelő módosításokkal, korlátozó feltételekkel úgy alakítsuk, hogy valós tapasztalatokkal egybevethető eredményeket szolgáltassanak. Alkalmasnak bizonyult a modell arra, hogy két politikai cikluson keresztül ívelő, hosszú távú, tartós növekedést tükrözzön, illetve sikeresen modelleztük a rövid távú, választó-centrikus szemléleten alapuló politikát. Az értékcsökkenés bevezetésével lehetővé vált a Ramsey és Solow modellek együttes vizsgálata. Az MS Excel Solver használatában nehézségek mutatkoztak mind az alacsony induló tőkeállomány adattal indított, mind az értékcsökkenéssel kiegészített modellek optimalizálása esetén. Kiderült, hogy rendkívül fontos az optimalizálás végeredményeként meghatározásra kerülő i adatok induló értékének megválasztása. A Solver erre nagyon érzékeny, az optimalizálás folyamata optimum érték meghatározása nélkül fejeződhet be. 11

12 IRODALOMJEGYZÉK (1) Kendrick, D. A., Mercado, P., R., Amman, H., M.: Computational economics Princeton University Press (2) Mankiw, N., G.: Makroökonómia, Osiris Kiadó, Budapest, (3) Sági, M.:A lakossági elégedettség alakulása. TÁRKI monitor jelentések Budapest 2006, szerk Szivós, P., Tóth, I., Gy (4) Bartus, G., Monostori K., Szabó K.: A fejlesztéspolitikai intézkedések teljes társadalmi költségének becslése. TÁRKI, Budapest, (5) Kornai J.: Négy jellegzetesség. Közgazdasági szemle, XLII évf., sz (6) Taylor J. B., Uhlig H.: "Solving Nonlinear Stochastic Growth Models: A Comparison of Alternative Solution Methods", Journal of Business and Economic Statistics, , 1-17 (7) Dedák I.:A megtakarítások és a növekedés kapcsolata egy kis nyitott gazdaságban, a globalizálódó világban. Gazdasági növekedés Magyarországon (szerk.: Dombi Ákos) Műegyetemi Kiadó