Dinamika inhomogén közegben:

Átírás

1 Dinamika inhomogén közegben: A diffúziótól a járványterjedésig Juhász Róbert juhasz.robert@wigner.mta.hu MTA Wigner FK, SZFI Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.1/28

2 Dinamika inhomogén közegben 1. Diffúzió Juhász R.; Competition between quenched disorder and long-range connections: A numerical study of diffusion; Phys. Rev. E 85, (2012) Juhász R.; The effect of asymmetric disorder on the diffusion in arbitrary networks; Europhys. Lett. 98, (2012) 2. Kontakt-folyamat Ódor G., Juhász R., Castellano C., Muñoz M. A.; Griffiths phases in the contact process on complex networks; AIP. Conf. Proc (2012) Juhász R., Ódor G., Castellano C., Muñoz M. A.; Rare region effects in the contact process on networks Phys. Rev. E (2012) Juhász R.; Disordered contact process with asymmetric spreading; Phys. Rev. E 87, (2013) Juhász R., Kovács I.; Infinite randomness critical behavior of the contact process on networks with long-range connections; preprint, 2013 Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.2/28

3 Dinamika inhomogén környezetben 3. Kizárási folyamat Juhász R.; Mean field treatment of exclusion processes with random-force disorder; J. Stat. Mech. P11010 (2011) Juhász R., Ódor G.; Anomalous coarsening in disordered exclusion processes; J. Stat. Mech. P08004 (2012) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.3/28

4 Inhomogén rendszerek fizikája térbeli inhomogenitás, helyről-helyre változó, de időben állandó lokális paraméterek a homogén rendszerétől eltérő viselkedés lehet; lelassulás transzport-folyamatok fázisátalakulások a) átalakulás eltűnhet b) rendje megváltozhat c) kritikus exponensei megváltozhatnak d) hatványtörvények helyett logaritmikus dinamika (rendezetlen kvantummágnesek) Griffiths-effektus: paramágneses mintában ferromágneses domének; anomális időbeli korrelációk Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.4/28

5 Diffúzió inhomogén közegben elméleti leírás: inhomogén modellek; általában nem oldható meg egzaktul; numerikus vizsgálat nehéz egyik legegyszerűbb folyamat, ahol az inhomogenitás hatása vizsgálható: véletlen bolyongás dinamikai (sztochasztikus) folyamatok: véletlen bolyongás a konfigurációs térben közvetlen alkalmazás: diszlokációk mozgása szennyezett kristályokban mágneses doménfal mozgása rendezetlen anyagokban ionos vezetők heteropolimer átfűződése membrán-póruson hélix-gombolyag átmenet Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.5/28

6 Véletlen bolyongás véletlen környezetben folytonos idejű véletlen bolyongás, p ij átmeneti ráták reguláris rácson, homogén környezetben (p ij = p =áll.) normális diffúzió: x 2 (t) Dt helyfüggő, időben állandó, független, P n n 1 P n n+1 n 2 n 1 n n+1 n+2 véletlen átmeneti ráták Solomon; Kesten, Kozlov, Spitzer, 1975 egy dimenzióban potenciál értelmezhető: U n U n 1 ln(p nn 1 /p n 1n ) U n U l l t l e U l e konst l l ~ l 1/2 n x 2 (t) (ln t) 4 Sinai-féle diffúziós törvény (1982) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.6/28

7 d>1 d > 1, nem értelmezhető potenciál d-dimenziós, reguláris rács sorfejtés a rendezetlenség erőssége szerint Derrida&Luck 1983 perturbatív RG Luck 1983, Fisher 1984 a) d > d c = 2: normális diffúzió b) d = 2: logaritmikus korrekció, x 2 (t) Dt(1 + 4/ ln t) c) d < 2: szubdiffúzió Fraktálok, hálózatok (átmeneti gráf) a) homogén ráták esetén anomális diffúzió : x 2 (t) t 2/d w d w 2 b) rendezetlen ráták MC szimuláció 3d perkoláció: x 2 (t) (ln t) 2/ψ Pandey 1987 Sierpinski-szőnyeg: véges, nemuniverzális d w Majhofer&Cieplak 1988 Relevancia-kritérium? x 2 (t) =? Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.7/28

8 Rekurziós (renormálási) módszer (A) x(t) helyett: véges rendszer, τ i τ(l) végesméret-függés x(t) X i p ji τ (A) i X i átjutási idő i-ből A-ba p ji τ (A) j = K i i = 1,2,..., N határfeltétel: τ (A) i = 0, i A K i = 1 τ (A) 1 számítása: közbenső rácshelyek eliminálása p ij p ij K i K i Monthus&Garel 2010 τ (A) 1 = K 1 / P i A p 1i Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.8/28

9 Renormálási szabályok j i k p 0 ij = p ik p kj / P i p ki p ij = p ij + p 0 ij generálás összeadás K i = K i + p ik K k / P i p ki d = 1: csak generálás, analitikusan kezelhető végtelenül erős rendezetlenségi fixpont vonzó akármilyen gyenge rendezetlenség esetén is logaritmikus dinamikát tükrözi a ráták skálázása: ln( p 1L ) L 1/2 aszimmetria-paraméter is: ln( p 1L / p L1 ) L 1/2 d > 1: összeadás is; analitikusan nem kezelhető Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.9/28

10 Gyengén aszimmetrikus modell renormálása egyszerűsítések: 1. relevancia kérdéséhez elég gyenge rendezetlenséget tekinteni 2. τ helyett a ráták (aszimmetria-paraméter) nyomon követése szimmetrikus rendszer + aszimmetrikus, véletlen perturbáció: ǫ ij infinitezimálisan kicsi v.v., ǫ ij = 0 transzformációs szabályok: p ij /p ji 1 + ǫ ij generálás: ǫ 0 ij = ǫ ik + ǫ kj p 0 ij = p ikp kj / P i p ki összeadás: p ij ǫ ij = p ij ǫ ij + p 0 ij ǫ0 ij p ij = p ij + p 0 ij vezető rendben pij = p ji ekvivalens ellenállás-hálózat rij 1/p ij ellenállásokkal pij r ij Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.10/28

11 . Speciális hálózatok Sokaság: rögített, véges hálózat, rij = 1 f(ǫ ij ), ǫ ij = 0, ǫ 2 ij = α (infinitezimálisan kicsi állandó) a hálózat redukálása két (a és b) vertexre; ǫab = 0, ǫ 2 ab =? a b a b speciális hálózat-osztály: redukálható 2-es fokszámú csúcsok egymás utáni eliminációjával a) generálás: r = r 1 + r 2 ǫ = ǫ 1 + ǫ 2 soros b) összeadás: r 1 = r r 1 2 r 1 ǫ = r 1 1 ǫ 1 + r 1 2 ǫ 2 párhuzamos ǫ1 és ǫ 2 mindig függetlenek: ǫ 1 ǫ 2 = 0 ǫ 2 ij = α r ij Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.11/28

12 Általános hálózat n > 2 fokszámú csúcs eliminálása: n(n 1)/2 él rátái korrelálttá válnak ǫ 2 ij α r ij lokálisan két vertexre redukálva teljesül tetszőleges hálózatban! bizonyítás: ǫ 2 ab = α r ab 1) teljes gráf tetszőleges gráf (p ij = 0) 2) teljes indukció: N méretű hálózat kibővítése: N N + 1 új vertex eliminációja: N + 1 N JR, Europhys. Lett. 98, (2012) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.12/28

13 Következmények ǫ 2 ab = α r ab Az effektív aszimmetria (rendezetlenség) gyengül, ha a kétpont-ellenállás az l távolság csökkenő függvénye. Stabilitás az aszimmetrikus perturbációval szemben. Megváltozott dinamikai viselkedés, ha a kétpont-ellenállás l-lel növekszik. rab (l) l ζ ζ: ellenállás-exponens ζ < 0: gyenge rendezetlenség irreleváns ζ > 0: releváns ln( p ab / p ba ) = ǫ ab r ab l ζ/2 logaritmikus dinamika, ψ 0 = ζ/2 véges erősségű rendezetlenség: ψ 0 ψ reguláris d-dimenziós rács: rab (l) l ζ + const a) d > 2: ζ = 2 d < 0 b) d = 2: ζ = 0 ( r ab (l) ln l) c) d = 1: ζ = 1 Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.13/28

14 Numerikus vizsgálat fraktálok: ζ = dw d f átjutási idő numerikusan számítható Sierpinski-háromszög: ζ = ln(5/3) ln 2 ln{ρ[ln(τ/τ 0 )]L ψ } ln[ρ(lnτ)] lnτ 250 L=2049 L=4097 L=8193 L=16385 L=32769 L=65537 ψ a ráták eloszlásától független csak a fraktálra jellemző ln(τ/τ 0 )L -ψ 10 Sierpinski (2) ln τ L ψ 2d perkoláció 0.46(2) 3d perkoláció 0.63(1) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.14/28

15 Numerikus vizsgálat hierarchikus rombusz-rács: ζ = L d w /τtyp (1+5.28/lnτ typ ) 0.1 1/lnτ typ 0.2 logaritmikus korrekció: L d w Dτ typ (1 + a/ ln τ typ ) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.15/28

16 Relevancia-kritérium ζ < 0: rendezetlenség irreleváns ζ = 0: logaritmikus korrekció ζ > 0: releváns (ln τ l ψ ) Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.16/28

17 A kontakt-folyamat egyszerű járványterjedési modell (Harris, 1974) rács, hálózat; vertexek két állapota: aktív/inaktív (fertőzött/egészséges) folytonos idejű Markov-folyamat a következő átmenetekkel: 1. aktív rácshelyek aktiválják szomszédaikat λ rátával λ λ 2. aktív rácshelyek µ rátával inaktívvá válnak (µ = 1) µ Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.17/28

18 Fázisok fázisátalakulás kontroll-paraméter: λ rendparaméter: az aktív rácshelyek hányada az állandósult állapotban (ρ) λ < λc : inaktív fázis, ρ = 0 (abszorbeáló állapot) λ > λ c : aktív fázis, ρ = ρ(λ) > 0 λ = λc pontban folytonos fázisátalakulás ρ(λ) (λ λ c ) β (λ λ c ) irányított perkoláció univerzalitási osztálya Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.18/28

19 Dinamikai viselkedés Teljesen aktív kezdeti állapot (ρ(0) = 1) ρ(t) sűrűség időfüggése: λ λc λ = λc ρ(t) ρ( ) e t/τ ρ(t) t α Aktív-mag kezdeti állapot túlélési valószínűség: P(t) Prob( P i n i(t) > 0) aktív rácshelyek átlagos száma: N(t) = P i n i(t) kiterjedés: R(t) = p P r r2 n r (t) /N(t) Kritikus pont P(t) t δ N(t) t η R(t) t 1/z Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.19/28

20 A rendezetlen kontakt-folyamat helytől függő, véletlen ráták: λi, µ i ρ λ λ Griffiths-fázis (λ < λc ): hatványfüggvények, λ-függő exponensek Noest, 1986 kritikus pontban logaritmikus dinamika: P(t) (ln t) δ z Moreira&Dickman, t Vojta& Dickison, 2005 Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.20/28

21 A Griffiths-fázis fenomenologikus leírása binér rendezetlenség: erős kötés: λ i = λ gyenge kötés: λ i = rλ (r < 1) Az erős kötéseket tartalmazó klaszterek lokálisan szuperkritikusak. Szubkritikus háttérbe ágyazott, egymástól elszigetelt, lokálisan szuperkritikus klaszterek. A teljesen aktív állapotból indítva, ezek a klaszterek hosszú ideig aktívak maradnak. anomális dinamika Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.21/28

22 Dinamika Griffiths-fázis (λ < λ c ) s rácshelyből álló lokálisan szuperkritikus klaszter valószínűsége: w e Bs jellemző élettartama: τ(s) e A(λ)s t időben már csak az s > 1 ln t méretű A klaszterek aktívak az átlagos sűrűség időfüggése: ρ(t) 1 R s (ln t)/a se Bs ds t B/A ln t α(λ) = B/A(λ) Kritikus pont erős rendezetlenségi RG: logaritmikus dinamika P(t) [ln(t)] δ N(t) [ln(t)] η R(t) (ln t) 1/ψ 1d: δ = η = ψ = 1/2 Hooyberghs, Iglói, Vanderzande, 2002 véletlen, merőleges terű Ising-modell univerzalitási osztálya Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.22/28

23 Kontakt-folyamat komplex hálózatokon véletlen hálózaton a koordinációs szám, lokális környezet helyfüggő topológiai rendezetlenség van-e Griffiths-fázis és logaritmikus kritikus dinamika? szuperkritikus domének: átlagosnál több belső él kisvilág-hálózatok (Erdős-Rényi gráf, Watts-Strogatz gráf), skálamentes hálózatok (Barabási-Albert hálózat) nincs logaritmikus dinamika,átlagtér kritikus exponensek; nincs Griffiths-fázis Pastor-Satorras&Vespignani, 2001; Castellano&Pastor-Satorras, 2006 magyarázat: kisvilág-tulajdonság (D(N) ln N), végtelen gráf-dimenzió; szuperkritikus régiók nem szigetelődnek el egymástól. Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.23/28

24 Általánosított kisvilág-hálózatok 1d rács + hosszú élek p l βl s valószínűséggel átmenet a reguláris rács (s = ) és a kisvilág-hálózatok (s = 0) között polimer vezetőképessége Sen&Chakrabarti 2001 hígított spinüveg modell Leuzzi et al. 2008; Katzgraber et al Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.24/28

25 Geometria Átmérő összekötési valószínűség: p l βl s a) s > 2: D(N) N d g = 1 (kvázi-egydimenziós) b) s < 2: D(N) (log N) c d g = c) s = 2: D(N) N 1/d g d g (β) függ β-tól Benjamini&Berger d g (β) β Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.25/28

26 Griffiths-fázis Monte Carlo szimuláció véges gráf-dimenzió kritikus pont alatt Griffiths-fázis P(t) t δ(λ) ln[p(t)] kiterjedése d g -vel csökken végtelen gráf-dimenzió: nincs Griffiths-fázis -10 δ eff (t) ln(t) 5 15 ln(t) Muñoz, JR, Castellano,Ódor, PRL 2010 JR, Ódor, Castellano, Muñoz PRE ln[n(t)] 0-5 η eff (t) ln(t) 15 0 ln(t) 15 Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.26/28

27 Kritikus viselkedés véges dg a) homogén ráták 0.8 b) véletlen ráták erős rendezetlenségi renormálás + Monte Carlo szimuláció logaritmikus dinamika P(t) (ln t) δ N(t) (ln t) η R(t) (ln t) 1/ψ dg -vel változó kritikus exponensek x,, ψ, 1/ν, x, (SDRG) x, (MC) ψ(sdrg) ψ(mc) 1/ν, (SDRG) 2 d g η/δ = (1 2x )/x 3 ráták rendezetlensége nem változtatja meg az exponenseket topológiai rendezetlenség a renormált modellben paraméterrendezetlenséget indukál JR, Kovács I Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.27/28

28 Összefoglalás Véletlen bolyongás hálózaton: rendezetlenség relevanciáját az ellenállás-exponens előjele szabja meg. Relevancia esetén logaritmikus skálázás. A kontakt-folyamatban, ha a gráf-dimenzió véges, a topológiai rendezetlenség Griffiths-effektusokat és logaritmikus kritikus dinamikát eredményez. Dinamika inhomogén közegben:a diffúziótól a járványterjedésig p.28/28