ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE. Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely. Feladatok és megoldások

Átírás

1 SZABÓ CSILLA DR. WESZELY TIBOR KOCZINGER ÉVA PÁLHEGYI-FARKAS LÁSZLÓ RÉMAN ILDIKÓ SZÁSZ ENIKŐ ORBÁN JULIANNA TOMOS IZABELLA DÉNES MARGIT DR. BENCZE MIHÁLY MÁTÉFI ISTVÁN DÁVID GÉZA ISTÓK ÉVA KOLUMBÁN ILDIKÓ KOVÁCS BÉLA PĂCURAR MÁRIA ZÁKÁNY MÓNIKA ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Feladatok és megoldások STUDIUM KIADÓ MAROSVÁSÁRHELY, 014

2 MAROSVÁSÁRHELY 014 Műszaki szerkesztés: Pálhegyi-Farkas László, Bartha Botond Csaba A feladatokat összeállító versenybizottság tagjai: dr. Weszely Tibor Szabó Csilla dr. Bencze Mihály Koczinger Éva Pálhegyi-Farkas László Kovács Béla Dávid Géza Réman Ildikó Szász Enikő Orbán Julianna Tomos Izabella Istók Éva Kolumbán Ildikó Mátéfi István Păcurar Mária Dénes Margit Zákány Mónika Sapientia Tudományegyetem, Marosvásárhely Nemzeti Oktatási Minisztérium, Bukarest Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Mihai Eminescu Főgimnázium, Nagyvárad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Andrei Muresanu Főgimnázium, Beszterce Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 8-as Általános Iskola, Brassó Petőfi Sándor Általános Iskola, Kézdivásárhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Liviu Rebreanu Általános Iskola, Csíkszereda Németh László Elméleti Líceum, Nagybánya A versenybizottság tagjai Elnök: Ügyvezető elnök: Alelnök: dr. Weszely Tibor Szabó Csilla dr. Bencze Mihály Tagok: Koczinger Éva, Pálhegyi-Farkas László, Kovács Béla, Dávid Géza, Réman Ildikó, Szász Enikő, Orbán Julianna, Tomos Izabella, Istók Éva, Kolumbán Ildikó, Mátéfi István, Păcurar Mária, Dénes Margit, Zákány Mónika. Titkár: Bartha Botond Csaba 4

3 MAROSVÁSÁRHELY 014 Előszó Aki matematikát tanul, az a tűzzel játszik. A matematika könnyen lenyűgözi, elcsábítja, rabul ejti az embert. Csodálatos titkokat rejt, melyek egyike-másika kis szerencsével és kemény munkával megfejthető. A megvilágosodás pillanatának katarzisa semmivel sem összehasonlítható, felemelő érzés. Pach János Eltelt egy év azóta, hogy az erdélyi matematika egén egy új csillag gyúlt ki, a Romániai Általános Iskolák Magyar Matematika Versenye. Igen, az egy éves születésnapját ünnepeljük most, itt Marosvásárhelyen, a Bolyaiak fellegvárában. Jó érzés visszagondolni a tavalyi versenyünk díjkiosztó ünnepségére, amikor a célba jutott tanulók örömkönnyek közt vették át a megérdemelt jutalmat. Hasonlóan a tanáraikra, akiknek a mindennapi többletmunkáját, a dobogós tanítványuk koronázta. Érdemes élni, érdemes tanítani, érdemes tanulni, érdemes ehhez a matematikusok csodálatos családjához tartozni. A diákoknak és nem csak -, a matematika egy olyan csodálatos világ, amit mindenki a saját sorsán keresztül tapasztal. A vele foglalkozót néha megigézi, néha elrettenti, de a kitartó munka rejtett titkok megértéséhez vezeti. Minél mélyebbre hatolsz a felfedezések kacskaringós útján, annál csodálatosabb világ tárul eléd, és szellemed annál gazdagabb lesz. Végül észre sem veszed, hogy a matematika szerelmese lettél. De éppen ez benne a szép. Szívből kívánom, hogy az itt résztvevő kisokosok közül kerüljenek ki a következő generációk Bolyai Jánosai, akik folytassák az elődeik által teremtett hagyományt, tovább öregbítve a magyar matematika nemzetközi hírét. Köszönöm mindenkinek a testvéri hozzáállását, a kitartását, az önfeláldozó munkáját, és azt, hogy segítettek valóra váltani ezt a gyönyörű álmot. Köszönöm a Bolyai Farkas Elméleti Líceum vezetőségének, tanári karának, Mátéfi István tanár úrnak, hogy felvállalták a II. Romániai Általános Iskolák Magyar Matematika Versenyét és Marosvásárhelyhez méltóan meg is szervezték. A diákoknak egy eredményes versenyzést kívánok, a tanároknak élményekben gazdag ittlétet, hogy mindenki a Bolyaiak szellemét vihesse magával, akár hamuba sült pogácsaként. Szabó Csilla A Nemzeti Nevelési Minisztérium tanácsosa 5

4 Feladatsorok ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 014 V. osztály 1. Feladat Adott az A ={x N 44 < x 45 } halmaz, melynek elemeit növekvő sorrendben írjuk le. a) Melyik a halmaz középső eleme? b) A halmaznak melyik az az eleme, amely előtt 7-szer annyi elem van, mint utána? Durugy Erika, Torda. Feladat Egy osztályban 35 diák van. Ha a fiúk száma -vel nagyobb, mint a lányok számának fele, mutasd ki, hogy legkevesebb 4 lány a hét ugyanazon napján, és legalább fiú az évnek ugyanabban a hónapjában született! Nagy Jenő, Székelyudvarhely 3. Feladat Hófehérke felírja egy kör köré az 1,,3,, 016 számokat. A hét törpe közül elindul az első, és letörli minden nyolcadik számot, majd a második törpe a megmaradt számokból letörli minden hetedik számot, a harmadik törpe a megmaradt számokból letörli minden hatodik számot, és így tovább, amíg az utolsó törpe a megmaradt számokból letörli minden másodikat. A megmaradt számokat Hófehérke összeadta. Mennyivel egyenlő a kapott összeg? Mátéfi István, Marosvásárhely 4. Feladat b c Rendezd növekvő sorrendbe az a alakú számokat, ha a, b és c különböző számok a, 3, 4 halmazból! Kovács Béla, Szatmárnémeti 5. Feladat 5-től 005-ig leírjuk egymás után az 5-tel osztható természetes számokat. a) Hány számjegyet tartalmaz az így képzett szám? b) Hány 5-ös számjegy van a kapott számban? c) Határozd meg a képzett szám ezredik számjegyét! Simon József, Csíkszereda 6. Feladat Egy országúti kerékpárversenyen a következőképpen indították a benevezett versenyzőket: reggel 6 órakor indult el a versenyzők fele, negyedóra múlva a megmaradt versenyzők fele, ismét negyedóra múlva a még visszamaradt versenyzők fele, és így tovább. Az utolsó indításkor egyetlen versenyző rajtolt. Az ő indulása után negyed órával, fél nyolckor ért célba az első résztvevő. Hányan neveztek be a versenyre? Bartis Anna-Mária, Gyergyószárhegy 6

5 VI. osztály ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY feladat: Egy 014 cm hosszúságú szakasz egyik végpontjából elindul egy szöcske n és a szakaszon ugrál a másik végpontig. Minden ugrásának a hossza cm, ahol n természetes szám. Tudva, hogy a szöcske minden ugrása különböző hosszúságú, határozd meg a szöcske ugrásainak a számát! Mátéfi István, Marosvásárhely. feladat: Adottak az a 1, a, a 3, b 1, b, b 3, c 1, c, c 3 tízes számrendszerbeli számjegyek, hogy ( ) ( ) ( ) a bc a b c a b c ( a bc a bc ) ( a b c a b c ) ( a b c a b c ) + =. Igazold, hogy + =. 3. feladat: Adott a következő 3x3-as négyzetrács: dr. Bencze Mihály, Bukarest a) Töltsd ki prímszámokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 014 legyen és indokold! b) Töltsd ki természetes számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 014 legyen és a négyzetrácsban szereplő számok összege a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez az összeg? Válaszodat indokold! Durugy Erika, Torda 4. feladat: Legyen n darab egymásmelletti szög az O pont körül, amelyek mértékei x o, x o, 3 x o,..., nx o, ahol x és n természetes számok. Legtöbb hány szög van az O pont körül úgy, hogy mindegyik hegyesszög legyen? Păcurar Mária, Temesvár 5. feladat: Az X OY hegyesszög belsejében adottak az (OE és (OF félegyenesek, amelyek a szöget három kongruens részre osztják és legyen M egy tetszőleges pont az X OY szög szögfelezőjén. Ha MA ^ ( OE, A Î ( OE, MB ^ ( OF, B Î ( OF, MA Ç ( OY = { C }, MA Ç ( OX = { H }, MB Ç ( OY = { G} és MB Ç ( OX = { D} igazold, hogy: a) BOM º AOM. D D b) [ CG ] º [ DH ]. Kolumbán Anikó, Sepsiszentgyörgy, Păcurar Mária, Temesvár, Pálhegyi- Farkas László, Nagyvárad 6. feladat:igazold, hogy bármely 014 különböző természetes szám közül ki tudsz választani kettőt úgy, hogy különbségük osztható legyen 013 -mal! Polcz Zita, Szatmárnémeti 7

6 VII. osztály ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY feladat: Két természetes szám szorzata 144. Ha az egyiket növeljük 9-cel, a másikat pedig csökkentjük 8-cal, akkor a szorzatuk ugyanannyi marad. Melyek ezek a számok? Kovács Béla, Szatmárnémeti. feladat: Van 13 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb 30%-át, vagy a kisebbik csoport legfeljebb 70%- át veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi a lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány aranykrajcárt kap így Misi? Róka Sándor, Nyíregyháza 3. feladat: Az ABC egyenlő oldalú háromszög BC oldalára megszerkesztjük a BCDE négyzetet, majd felvesszük az F AB BE EF, és FD pontot úgy, hogy AC G illetve AD EF M. Igazold, hogy: a)ac CG b) az M pont az AFG háromszög magasságpontja. Császár Sándor, Csíkmadaras 4. feladat: Adott az ABC háromszög. Legyenek D, E, F a BC, AB, AC egyenesek azon pontjai, amelyekre CD AB és C BD, CE AD, EF BC. Bizonyítsd be, hogy az ABF és CDF háromszögek területe egyenlő! Olosz Ferenc, Szatmárnémeti 5. feladat: Egy folyó két ellentétes partjáról egy öreg és egy fiatal kereskedő ugyanazon a pallón szeretné áruval megtöltött zsákjait áthordani a másik oldalra. Az öreg kereskedőnek 4 zsákja, a fiatalnak 11 zsákja van. Egyszerre indulnak egymással szembe, és mindegyik egyszerre egy zsákot cipel. Zsákkal megrakodva is, és zsák nélkül is, ugyanazzal az állandó sebességgel haladnak, ám a fiatal gyorsabb, mint az öreg kereskedő. Hányszor találkoznak összesen, amíg mindketten áthordják a zsákjaikat, és egyszerre végeznek? Császár Sándor, Csíkmadaras 6. feladat: Veronka egy téglalapot az oldalakkal párhuzamos egyenesek mentén vízszintesen 56, függőlegesen pedig 7 részre darabolt fel, és azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Peti egy ugyanakkora téglalappal hasonlóan járt el, csak vízszintesen 80, függőlegesen 10 részre vágta fel, és ő is azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Igazold, hogy ha Réka egy ugyanolyan téglalapot vízszintesen 104 egyenlő részre, függőlegesen pedig 13 egyenlő részre darabol fel, az oldalakkal párhuzamosan, akkor a keletkezett téglalapok szintén négyzetek lesznek! Bencze Mihály, Bukarest 8

7 VIII. osztály ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY feladat:számítsuk ki az x + y + z összeg értékét, ha az x, y, z valós számokra teljesülnek a következő feltételek: 4x 9y = 1, 6y 36z = 1 és 1z 4x = 1. Kovács Béla, Szatmárnémeti. feladat: Az ABCD háromoldalú gúlában AB = b, AC = c és AD = d, m BÂC m CÂD m DÂB 60 0 a) Igazoljuk, hogy BC b bc c. b) Mutassuk ki, hogy b bc c b bd d c cd d. Mátéfi István, Marosvásárhely 3. feladat: Bizonyítsátok be az alábbi egyenlőtlenséget: Polcz Zita, Szatmárnémeti 4. feladat: Az ABC háromszög oldalai az a és b szigorúan pozitív valós számok æù ö æù ö æù ö számtani, mértani és harmonikus középarányosai, m A = 90 és m B < m C ç è ø èç ø èç ø Igazoljátok, hogy: a) sin B cos B és cosc sin C b) 30 B 45 C 60. dr.bencze Mihály, Bukarest 5. feladat: Egy kupacban 014 mogyoró van. Egyet kiveszünk belőle, és a többit két részre osztjuk. Ezután megint kiveszünk egy mogyorót egy olyan kupacból, amelyben egynél több mogyoró van, és egyik kupacot megint két részre osztjuk. Lehetséges-e, hogy néhány művelet után minden kupacban ugyanannyi mogyoró maradjon? Ha igen, legkevesebb hány lépés szükséges? Istók Éva, Kézdivásárhely és Orbán Julianna, Déva 6. feladat: Van 014 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra, és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb egy harmadát, vagy a kisebbik csoport legfeljebb két harmadát veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány krajcárt kap így Misi? Róka Sándor, Nyíregyháza 9

8 Megoldások ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY 014 V. osztály 1. Feladat Adott az A ={x N 44 < x 45 } halmaz, melynek elemeit növekvő sorrendben írjuk le. a) Melyik a halmaz középső eleme? b) A halmaznak melyik az az eleme, amely előtt 7-szer annyi elem van, mint utána? Durugy Erika, Torda Megoldás a) 44 = 1936, 45 = 05. A halmaznak , azaz 89 eleme van.. A középső a 45. elem, vagyis az = b) Első megoldás: Legyen x a keresett szám után levő elemek száma, tehát az előtte levő elemek száma 7x. Ekkor 7x x = 89. Az egyenlet megoldása x = 11. A keresett elem : = 014. Második megoldás: A halmaznak 89 eleme van, a keresett elemen kívül van még 88 elem. Mivel a keresett elem előtt 7- szer annyi elem van, mint azt követően, ezért: 88 : 8 = 11 elem van utána. A keresett elem: = Feladat Egy osztályban 35 diák van. Ha a fiúk száma -vel nagyobb, mint a lányok számának fele, mutasd ki, hogy legkevesebb 4 lány a hét ugyanazon napján, és legalább fiú az évnek ugyanabban a hónapjában született! Nagy Jenő, Székelyudvarhely Megoldás A lányok száma legyen x, ekkor a fiúk száma x +. x +x + = 35 Az egyenlet megoldása x = 11 A fiúk száma 11 + = 13, a lányok száma Ha a hét minden napján legtöbb 3 lány születne, akkor lenne 3 7 = 1 lány, ezért a skatulyaelv alapján van legkevesebb 4 lány, aki a hét ugyanazon a napján született. Hasonlóan: ha minden fiú más hónapban született volna, lenne 1 1 = 1 fiú, tehát van legalább két fiú, aki az évnek ugyanabban a hónapjában született. 10

9 MAROSVÁSÁRHELY Feladat Hófehérke felírja egy kör köré az 1,,3,, 016 számokat. A hét törpe közül elindul az első, és letörli minden nyolcadik számot, majd a második törpe a megmaradt számokból letörli minden hetedik számot, a harmadik törpe a megmaradt számokból letörli minden hatodik számot, és így tovább, amíg az utolsó törpe a megmaradt számokból letörli minden másodikat. A megmaradt számokat Hófehérke összeadta. Mennyivel egyenlő a kapott összeg? Mátéfi István, Marosvásárhely Megoldás A törpék által letörölt számokat a következő halmazok tartalmazzák: 1.törpe 8 ;16;4;3;,016,.törpe 7 ;15;3;31;,015, 3.törpe 6 ;14;;30;,014, 4.törpe 5 ;13;1;9;,013, 5.törpe 4 ;1;0;8;,01, 6.törpe 3 ;11;19;7;,011, 7.törpe ;10;18;6;,010. Hófehérkének az 1;9;17;5;, 009 számok maradtak. amelyek összege S S , ahonnan S Tehát S Feladat Rendezd növekvő sorrendbe az a, 3, 4 halmazból! c b a alakú számokat, ha a, b és c különböző számok Kovács Béla, Szatmárnémeti Megoldás: A következő esetek vannak: b 1. eset: a =, b = 3 és c = 4. Ekkor A = a c =. eset: a =, b = 4 és c = 3. Ekkor B = 3. eset: a = 3, b = és c = 4. Ekkor C = 4. eset: a = 3, b = 4 és c =. Ekkor D = 5. eset: a = 4, b = és c = 3. Ekkor E = 6. eset: a = 4, b = 3 és c =. Ekkor F = Azonnal látszik, hogy B<A, C = D, E < F. = c b a = c b a = c b a = c b a = b c a = 4 3 = = = = = 3 4 = 8 4 = = Továbbá: 4 16 = = Tehát: C = D < B < A. Végül még két hatványt kell összehasonlítanunk = 7 =79 és 3 = 8 = 51 alapján b c 3 18 F = a = 4 = 9 = 6 = 51 < 79 = 3 = 3 1 < 3 16 = D Kapjuk, hogy: E < F < D = C < B <A. 3 3 Tehát: 4 < 4 4 < = 3 < 3 3 < 4 5. Feladat

10 MAROSVÁSÁRHELY től 005-ig leírjuk egymás után az 5-tel osztható természetes számokat. a) Hány számjegyet tartalmaz az így képzett szám? b) Hány 5-ös számjegy van a kapott számban? c) Határozd meg a képzett szám ezredik számjegyét! Simon József, Csíkszereda Megoldás: a) A képzett szám: A számot 005: számból raktuk össze, amelyek közül 1 db. egyjegyű, 18 db. kétjegyű, 180 db. háromjegyű, végül 0 db. négyjegyű szám. A kapott szám számjegyű. b) Az egyjegyű számban 1 db. 5-ös, a 18 kétjegyű számban 10 db. 5-ös, a 180 háromjegyű szám 100, 105,, 195, 00, 05,, 95,, 500, 505,, 595,, 900, 905,, 995, így ezekben db. 5-ös, összesen 5-től 1000-ig db. 5-ös fordul elő, az 1000 és 000 között szintén 130 darab 5-ös van, a 005 pedig 1 darab 5-öst tartalmaz a kapott számban darab 5-ös számjegy van. c) Az a) alpontot követve azt kapjuk, hogy a legfennebb háromjegyű számokat számjeggyel írtuk le, tehát = 43 számjegyet kell még venni. 43:4=105 és a maradék 3, tehát a 106. négyjegyű szám 3. számjegyét kell megkapni. Az első négyjegyű szám 1000, a második 1005,, a 106. pedig 155, ebben a 3. számjegy a -es. A keresett számjegy a. 6. Feladat Egy országúti kerékpárversenyen a következőképpen indították a benevezett versenyzőket: reggel 6 órakor indult el a versenyzők fele, negyedóra múlva a megmaradt versenyzők fele, ismét negyedóra múlva a még visszamaradt versenyzők fele, és így tovább. Az utolsó indításkor egyetlen versenyző rajtolt. Az ő indulása után negyed órával, fél nyolckor ért célba az első résztvevő. Hányan neveztek be a versenyre? Bartis Anna-Mária, Gyergyószárhegy Megoldás: Első megoldás: 6 órakor elindult a benevezett versenyzők fele, maradt a másik fele. 6:15-kor elindult a benevezett versenyzők negyede, és maradt ugyanannyi. Megállapítható, hogy mindig ugyanannyian maradtak, mint ahányan indultak. Ezért az utolsó indításkor (amikor egy versenyző indult), 1 versenyző még maradt. Az utolsó indítás 7:15-kor történt. Az indulási időpontok 6:00, 6:15, 6:30, 6:45, 7:00 és 7:15 (6 indítás). Összesen tehát =63 versenyző indult. Mivel az utolsó indításkor maradt még 1 versenyző, összesen 64-en neveztek be a versenyre. Második megoldás: x Legyen x a versenyzők száma, 6 órakor elindult, maradt x, 6:15-kor x versenyző indult, maradt x. 4 Folytatva a gondolatmenetet, az utolsó indításkor 1 versenyző indult, 1 maradt. 1, 4

11 MAROSVÁSÁRHELY 014 Az indulási idők (6:00, 6:15, 6:30, 6:45, 7:00 és 7:15) szerint felírható a következő egyenlet: x + x + x + x + x = x x( ) + = x. x + = x x =, x= Felelet: 64 versenyző indult el. VI. osztály 1. Feladat.Egy 014 cm hosszúságú szakasz egyik végpontjából elindul egy szöcske n és a szakaszon ugrál a másik végpontig. Minden ugrásának a hossza cm, ahol n természetes szám. Tudva, hogy a szöcske minden ugrása különböző hosszúságú, határozd meg a szöcske ugrásainak a számát! Mátéfi István, Marosvásárhely Megoldás: , a lehetséges ugrások: ; ; ; ; ; ; ; ; ;; ezek összege 5 047tehát az összegből 33-at kell levonni, amely csak az 1 összegből állítható elő Tehát 014. A szöcske ugrásainak száma 9.. Feladat. Adottak az a 1, a, a 3, b 1, b, b 3, c 1, c, c 3 tízes számrendszerbeli számjegyek, hogy ( a bc ) ( a b c ) ( a b c 3 3 3) ( a bc a bc ) ( a b c a b c ) ( a b c a b c ) Megoldás: + =. Igazold, hogy + =. Legyen A = ( a bc 1 1 1), B = ( a b c ), C ( a b c 3 3 3) következőképpen írható: ( ) ( 1 1 1) ( 1 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3) ( 3 3 3) dr. Bencze Mihály, Bukarest =, így az adott egyenlőség a A + B = C. Észrevesszük, hogy a bc a bc = a bc a bc = A 1001, hasonlóan a b c a b c = a b c a b c = B 1001és a b c a b c = a b c a b c = C Ezért a bizonyítandó összefüggés: ( a bc a bc ) ( a b c a b c ) ( a b c a b c ) + =, egyenértékű a következővel: ( A 1001) + ( B 1001) = ( C 1001). Ha ezt elosztjuk az A + B = C kifejezést kapjuk, ami igaz számmal, az 3. Feladat. Adott a következő 3x3-as négyzetrács: 13

12 MAROSVÁSÁRHELY 014 c) Töltsd ki prímszámokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 014 legyen és indokold! d) Töltsd ki természetes számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata 014 legyen és a négyzetrácsban szereplő számok összege a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez az összeg? Válaszodat indokold! Durugy Erika, Torda Megoldás: a) 014= Tehát a táblázatot a,19 és 53 prímszámokkal töltjük ki úgy, hogy minden sorban illetve minden oszlopban szerepeljenek a, 19 és 53 számok. b) A 014 osztói: {1;;19;38;53;106;1007;014}. Az a) pont alapján egy ilyen összeg 3 ( ) =. Észrevehető, hogy 014 és 1007 nem jöhetnek számításba, mert eleve nagyobbak, mint az előbbi összeg. Tehát marad még két eset: = 014 Þ 3 ( ) = 378 >, amely nem megfelelő és = 014 Þ 3 ( ) = 76 >, amely szintén nem megfelelő. Tehát a legkisebb összeg. 4. Feladat. Legyen n darab egymásmelletti szög az O pont körül, amelyek mértékei x o, x o, 3 x o,..., nx o, ahol x és n természetes számok. Legtöbb hány szög van az O pont körül úgy, hogy mindegyik hegyesszög legyen? Păcurar Mária, Temesvár Megoldás: o o o o o o x + x + 3 x nx = 360 Þ x n ( n + 1) = 70 Mivel nx a legnagyobb szög mértéke, tehát nx < 90 o, ezért n + 1> 8 Þ n > 7. 4 De n ( n + 1) 70, 70 = 3 5 Tehát a lehetséges esetek: n ( n + 1) Î { 3; 3 4; 4 5;5 6; 8 9;9 10;15 16}, mivel n > 7 Þ n Î {8; 9;15}. Tehát legtöbb 15 szög van. 5. Feladat AzXOY hegyesszög belsejében adottak az (OE és (OF félegyenesek, amelyek a szöget három kongruens részre osztják és legyen M egy tetszőleges pont az X OY szög szögfelezőjén. Ha MA ^ ( OE, A Î ( OE, MB ^ ( OF, B Î ( OF, MA Ç ( OY = { C }, MA Ç ( OX = { H }, MB Ç ( OY = { G} és MB Ç ( OX = { D} igazold, hogy: a). BOM º AOM D D b). [ CG ] º [ DH ] Kolumbán Anikó, Sepsiszentgyörgy, Păcurar Mária, Temesvár, Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Megoldás: Tekintsük a következő ábrát: 14

13 MAROSVÁSÁRHELY 014 a). m( A OM S ) = m( MOH S ) - m( A OH S ) üï ï ïï m( BOM S ) = m( MOGS ) - m( BOGS ) ï ý Þ BOM S º m( BOGS) = m( A OH S)( harmadolás) ï ïï m( MOH S) = m( MOGS)( szögfelezõ ) ïþ A OM S, tehát BOM S º AOM S üï ï ý Þ BOM º A OM D D [ OM ] º [ OM ]( közös) ï ïþ (B.Hsz). [ OA] º [ OB ] üï b). A OM º BOM Þ ï ý Þ HA O º GBO (B.Hsz) D D HOAS º BOGSï ïþ D D a) Þ [ MB ] º [ MA] ü ì [ MH ] [ MG ] ü º ï í ìï [ HA] [ GB ] ï DHM CGM ï HMD GMC D D b) ï º ýþ ï S º S ýþ º Þ Þ í ïî OHA OGB DMH GMC ( cs. sz) ï S º S ï S º S î þ ïþ [ HD] º [ GC ]. 6. Feladat. Igazold, hogy bármely 014 különböző természetes szám közül ki tudsz választani kettőt úgy, hogy különbségük osztható legyen 013 -mal! Polcz Zita, Szatmárnémeti Megoldás: Egy természetes szám 013 -mal való osztási maradéka lehet: 0,1,,..., 01. Ennek megfelelően képzeljünk el 013 darab skatulyát. A 014 különböző természetes számot a 013 számmal való osztási maradéka alapján, helyezzük a megfelelő skatulyába. Mivel 014 különböző természetes szám van, ezért biztosan létezik egy skatulya, amelyikben legalább két szám van. Jelöljük ezeket ab-vel., A 013 -mal való osztási maradékuk egyenlő, ezért felírhatjuk azt, hogy a = 013m + r és b = 013 s + r, ahol msî,. Akkor a - b = 013( m - s). Ebből következik, hogy a - b osztható 013 -mal. VII. osztály 15

14 MAROSVÁSÁRHELY feladat: Két természetes szám szorzata 144. Ha az egyiket növeljük 9-cel, a másikat pedig csökkentjük 8-cal, akkor a szorzatuk ugyanannyi marad. Melyek ezek a számok? Kovács Béla, Szatmárnémeti Megoldás: I. módszer:legyen a két természetes szám a és b. Tudjuk, hogy ab= 144, és ( a 9)( a8) 144 vagyis ab 8a + 9b 7 = ab, ahonnan 9b 8a = 7, vagy 9(b 8) = 8a. Itt az a értéke csak 9 lehet, a b értéke pedig 16. Tehát a keresett természetes számok: 9 és 16. II. módszer: Legyen aés b a két keresett szám, ahol a b. Az alábbi táblázat az a és b lehetséges értékei alapján mutatja, hogy a keresett számok a 9 és a 16. a b a+9 b-8 ( a9)( a 8) feladat: Van 13 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb 30%-át, vagy a kisebbik csoport legfeljebb 70%- át veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi a lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány aranykrajcárt kap így Misi? Róka Sándor, Nyíregyháza Megoldás: Könnyen belátható, hogy azt kell elérnünk, hogy bármilyen csoportot is választ Misi, majdnem egyenlő mennyiségű krajcárt kapjon. Legyen x a nagyobbik csoportban lévő krajcárok mennyisége. Tehát felírható a következő egyenlet: 0,3x 0,7(13 x). Innen x 0, , 4, tehát x 86, 863, mivel x egész szám. Legyen x 86. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor 0,3 x 58, 6, így Misi 58 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor 0,7 (13 x ) 0, , így Misi 59 krajcárt kapna. Legyen most x 863. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor 0,3 x 58, 9, így Misi 58 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választaná, akkor 0,7 (13 x ) 0, ,3, így Misi megint csak 58 krajcárt kapna. Ha tehát 863 és 369 csoportokra osztjuk a krajcárokat, akkor bárhogy választ is Misi, 58 krajcárt kap. 3. feladat: Az ABC egyenlő oldalú háromszög BC oldalára megszerkesztjük a BCDE négyzetet, majd felvesszük az F AB BE EF, és FD pontot úgy, hogy AC G illetve AD EF M. Igazold, hogy: a) AC CG b) az M pont az AFG háromszög magasságpontja. Császár Sándor,Csíkmadaras 16

15 MAROSVÁSÁRHELY 014 Megoldás: I. eset: A és D pontok a BC egyenes különböző oldalán helyezkednek el. a) Az ábra helyes elkészítése. m( FBE) m( FEB) 10 BEF e. sz. FBE BFE m( FED) m( EFD) 15 DEF e. sz. FM AG P AFP ben m( P) (1) GFP ben CD CA mg ( ) CD CG CDG e. sz. CA CG m( CDG) m( EDA) m( FDA) AD FG M az AFG magasságpontja m( FPA) 90 (1) AP AG II. eset:a és D pontok a BC egyenes ugyanazon oldalán helyezkednek el. Az I esethez hasonló módon bizonyítjuk. 4. feladat: Adott az ABC háromszög. Legyenek D, E, F a BC, AB, AC egyenesek azon pontjai, amelyekre CD AB és C BD, CE AD, EF BC. Bizonyítsd be, hogy az ABF és CDF háromszögek területe egyenlő! Olosz Ferenc,Szatmárnémeti Megoldás: Az ábra helyes elkészítése I. módszer: Az FCD és ABF -ben CD-t, illetve AB -t tekintve alapnak CD AB elégséges azt igazolni, hogy a hozzájuk tartozó FH és FG magasságok is egyenlők. Th. t AE AF Az ABC -ben EF BC (1) AB AC Th. t AE CD Az ABDben EC AD () AB BD A G E F B H C D AF CD AF CD (1)és () AC BD AC AF BD CD AF CD szögf. t. f. AF AB FC BC ABF FBC AC BC CD AB 17

16 MAROSVÁSÁRHELY 014 Tehát BF az ABC szög szögfelezője GF FH TABF TCDF II. módszer: Legyen BC a, AB CD c, BE x, így AE c x. BE BC CE AD, így az ABD háromszögben a Thalész tétel értelmében, vagyis EA CD x a, amelyből származtatjuk x a ac, ahonnan BE x c x c c a c a c és ac c AE c x c a c a c. Az ABC háromszögben EF BC, így a hasonlóság alaptétele értelmében AEF ABC, tehát AE EF AE BC ac, ahonnan EF, így bebizonyítottuk, hogy BE EF. AB BC AB a c Az EFB egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kongruensek, így EBF EFB, de EFB FBC (belső váltószögek, mivel EF BC ), következik EBF FBC, tehát BF az ABC szögfelezője. Ha GH, az F pontból az AB, BC -re húzott merőleges talppontja, akkor FG FH ( a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól). AB FG CD FH TABF T CDF. Tehát ABF és CDF egyenlő területű háromszögek. 5. feladat: Egy folyó két ellentétes partjáról egy öreg és egy fiatal kereskedő ugyanazon a pallón szeretné áruval megtöltött zsákjait áthordani a másik oldalra. Az öreg kereskedőnek 4 zsákja, a fiatalnak 11 zsákja van. Egyszerre indulnak egymással szembe, és mindegyik egyszerre egy zsákot cipel. Zsákkal megrakodva is, és zsák nélkül is, ugyanazzal az állandó sebességgel haladnak, ám a fiatal gyorsabb, mint az öreg kereskedő. Hányszor találkoznak összesen, amíg mindketten áthordják a zsákjaikat, és egyszerre végeznek? Császár Sándor,Csíkmadaras Megoldás: Az öreg kereskedő a fiatallal egyszerre végez, összesen 7-szer kell átmennie a pallón, a fiatal ezalatt 1-szer. Ez azt jelentette, hogy amíg az öreg kereskedő egyszer áthaladt a hídon, a fiatallal 3-szor találkozott, és mivel ellentétes partról indultak, mikor az öreg kereskedő átért, a fiatal éppen az ellentétes oldalon tartózkodott, tehát összesen 1-szer találkoztak. Grafikus szemléltetés: 18

17 MAROSVÁSÁRHELY feladat: Veronka egy téglalapot az oldalakkal párhuzamos egyenesek mentén vízszintesen 56, függőlegesen pedig 7 részre darabolt fel, és azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Peti egy ugyanakkora téglalappal hasonlóan járt el, csak vízszintesen 80, függőlegesen 10 részre vágta fel, és ő is azt tapasztalta, hogy egybevágó négyzetek keletkeztek. Igazold, hogy ha Réka egy ugyanolyan téglalapot vízszintesen 104 egyenlő részre, függőlegesen pedig 13 egyenlő részre darabol fel, az oldalakkal párhuzamosan, akkor a keletkezett téglalapok szintén négyzetek lesznek! Bencze Mihály,Bukarest Megoldás: Jelölje a Veronka által kapott négyzetek oldalainak hosszát Jelölje b a Peti által kapott négyzetek oldalainak hosszát Réka által kapott téglalapok oldalainak hosszát jelöljüku-val és v-vel Felírhatjuk, hogy: a a 800b 7 a 10 b 7a10b b 7 7a 80b 7a 10b 13v v és56a 80b 104u u a v 13 v 1 u v u 80b u A Réka által kapott téglalapok négyzetek. 104 VIII. osztály 1. Számítsd ki az x + y + z összeg értékét, ha az x, y, z valós számokra teljesülnek a következő feltételek: 4x 9y = 1, 6y 36z = 1 és 1z 4x = 1. Kovács Béla, Szatmárnémeti Megoldás: Összeadjuk a három egyenletet, és rendezzük a változók szerint: 4x 4x y 6y z 1z + 1 = 0 Teljes négyzetek alakulnak ki: (x 1) +(3y 1) + (6z 1) = 0 Következik: x = 1, y = 3 1, z = 6 1. Ellenőrizni kell, hogy ezek az értékek valóban kielégítik-e a kért feltételeket. Az első egyenlet esetében: = 1 igaz. 1 1 A második egyenlet esetében = 1 igaz A harmadik egyenlet esetében: 1 4 = 1 igaz. 6 4 A kapott értékek mindegyik feltételt teljesítik, kiszámíthatjuk a kért összeget: x + y + z = + + = Tehát: x + y + z = 1. 19

18 MAROSVÁSÁRHELY 014. Az ABCD háromoldalú gúlában AB = b, AC = c és AD = d, m BÂC m CÂD m DÂB 60 0 a) Igazold, hogy BC b bc c. b) Mutasd ki, hogy Megoldás: b bc c b bd d c cd d. Mátéfi István, Marosvásárhely a) A gúla ABC oldallapján legyen BE AC, E AC. Az ABE háromszögben 0 1 mabˆ E 30, tehát AE b. Alkalmazva Pitagorasz tételét az ABE háromszögben kapjuk, hogy 3b BE. A BEC háromszögben 0 (ha m BÊC 90, 3b BE, EC c b c ), alkalmazva Pitagorasz tételét kapjuk, hogy b BC (ha b b c ) és EC c b bc c. b) Hasonlóan igazolható, hogy CD c cd d és BD b bd d. A BCDháromszögben felírhatjuk, hogy BC BD CD, ahonnan b bc c b bd d c cd d. 3. Bizonyítsd az alábbi egyenlőtlenséget: Polcz Zita, Szatmárnémeti Megoldás: Megfelelő csoportosítás után, alkalmazzuk a számtani és négyzetes középarányosok közötti egyenlőtlenséget. Az besetén) a b a b képlet alapján, (egyenlőség csak a = , 014, Összeadva a fenti egyenlőtlenségek megfelelő oldalait, és szorozva kettővel, megkapjuk a kért egyenlőtlenséget.. Megoldás: A a k a k a egyenlőtlenség a > k > 0 esetén négyzetre emeléssel bizonyítható. Az a = 014 és k = 1,, 3 esetekre felírva az előbbi egyenlőtlenséget és összeadva ezeket, megkapjuk a kért egyenlőtlenséget. Megjegyzés: A feladat általánosítható a i a i k a, 0 k a számok esetén k i1 természetes 0

19 MAROSVÁSÁRHELY Az ABC háromszög oldalai az a és b szigorúan pozitív valós számok számtani, m A ˆ = 90 és m B ˆ < m C ˆ. mértani és harmonikus középarányosai, valamint ( ) ( ) ( ) Igazold, hogy: a) sin B cos B és cosc sin C b) 30 mbˆ 45 mĉ 60. Megoldás: a) a = b nem lehetséges, mert a háromszög derékszögű. ab a b Mivel ab és mbˆ mĉ, ezért a b ab a b AC AB BC, AC, AB ab, BC. a b Az ABC háromszögben felírjuk a sin és cos értelmezéseit: sin B ab a b a b 4ab ab 4ab, cos B sin B cos B a b a b a b ab 4ab ab a b 4ab cosc, sin C cosc sin a b a b a b a b b) Felírjuk az ABC háromszögben a Pitagorasz tételt: a b ab 4 4 ab 18a b a b a b 1 Dr. Bencze Mihály, Bukarest Megfelelő átrendezés után a b 16a b 0 a b 4aba b 4ab 0 a Innen következik, hogy: egyrészt a b 4ab 0, ahonnan 5. b a 1 Másrészt a b 4ab 0, ahonnan 5. b 5 Mindkét esetben 5 1 4ab 5 1 sinb. a b egyenlőtlenségből kiindulva kapjuk sin30 sinb sin45. Felhasználva, hogy nagyobb szöghöz nagyobb sin érték tartozik, és fordítva, következik, hogy 30 m(bˆ ) 45. Továbbá, m(ĉ) 90 m(bˆ ) alapján 45 m(ĉ) 60. Tehát 30 mbˆ 45 mĉ Egy kupacban 014 mogyoró van. Egyet kiveszünk belőle, és a többit két részre osztjuk. Ezután megint kiveszünk egy mogyorót egy olyan kupacból, amelyben egynél több mogyoró van, és egyik kupacot megint két részre osztjuk. Lehetséges-e, hogy C

20 MAROSVÁSÁRHELY 014 néhány művelet után minden kupacban ugyanannyi mogyoró maradjon? Ha igen, legkevesebb hány lépés szükséges? Istók Éva, Kézdivásárhely és Orbán Julianna, Déva Megoldás: Legyen n a műveletek száma. Mivel minden kupacban ugyanannyi mogyoró kell maradjon, jelöljük x-el ezt a mennyiséget; n és x zérótól különböző természetes számok. Mivel minden művelet után eggyel kevesebb mogyorónk lesz, ezért n művelet után 014 n mogyorónk marad, a kupacok száma pedig n + 1 lesz. Ha minden kupacban ugyanannyi mogyoró marad, felírhatjuk a következő egyenletet: 014 n x n n x, n, x N* n 1 n Ha x 1 N*, akkor n 1 D 015 n 1 n 1 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 015 Tehát, lehetséges, hogy néhány lépés után ugyanannyi mogyoró maradjon minden kupacban. A szükséges legkevesebb lépésszámot megkapjuk az n 1 5 n 4 esetén. Az x n n összefüggés felírható még x 1 n alakban is. Mivel x 1 n , a legkevesebb lépésszámot n 1 5esetén kapjuk meg, azaz n Van 014 aranykrajcárunk. Misivel előre megegyeztünk, hogy ha elvégez egy nagy munkát, akkor szétosztjuk a krajcárokat két csoportra, és Misi választhat: vagy a nagyobbik csoport legfeljebb egy harmadát, vagy a kisebbik csoport legfeljebb két harmadát veszi el. Hogyan osszuk szét a krajcárokat, ha azt akarjuk, hogy Misi lehető legkevesebb krajcárt kapjon? Hány krajcárt kap így Misi? Róka Sándor, Nyíregyháza Megoldás. Látható, hogy azt kell elérnünk, hogy bármilyen csoportot is választ Misi, majdnem egyenlő mennyiségű krajcárt kapjon. Legyen x a nagyobbik csoportban lévő krajcárok 1 mennyisége. Tehát felírható a következő egyenlet: x (014 x). Innen 3 3 x ,6..., tehát x 134,1343, mivel x egész szám. 3 Legyen x 134. Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor ,3..., így 3 Misi 447 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor viszont , így Misi 448 krajcárt kapna. 3 Legyen most x Ha Misi a nagyobbik csoportot választja, akkor ,6... 3, így Misi 447 krajcárt kapna. Ha Misi a kisebbik csoportot választja, akkor ,3..., így Misi megint csak 447 krajcárt kapna

21 MAROSVÁSÁRHELY 014 Ha tehát 1343 és 671 csoportokra osztjuk a krajcárokat, akkor bárhogy választ is Misi, 447 krajcárt kap. 3

22 MAROSVÁSÁRHELY 014 A versenyen résztvevő diákok névsora V. osztály Ábrahám Xavér Antal Dávid Árva Norbert Ákos Baranyai Dóra Eszter Bende Timea Ivette Biró Mátyás Bisericaru Andreas Borsi Evetke Brotea János Bucescu Andreea Blanka Dancea Daniel Deé-Lukács Gergely Divin Judit Farkas Krisztina-Diana Ferencz Eszter Fogarasi András Fuci Anita Grancsa Robert Gulyasy Alexandru Hiriczkó Dávid Kása Baumli Dávid Kelemen Katalin Borostyán Kerekes Norbert Kéry Alexandra Regina Kiss Ábel Kocsis Brigitta Edina Kotró Kosztándi Anna Kováts Álmos Botond Lackó Csongor Lackó Petra Liskai Krisztián Ludescher Júlia Mátyás András Mátyus Bence Mészár Anna Orsolya Molnár Dávid Moroşanu Norbert Muszka Csaba Nagy Kitti Nagy Lenard Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Báthory István Általános Iskola, Medgyes Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Baczkamadarasi Kis Gergely Református Gimnázium, Székelyudvarhely Művészeti Líceum, Marosvásárhely Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nicolae Titulescu Általános Iskola, Kolozsvár Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 1-es sz. Általános Iskola, Marosludas Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Szatmárnémeti József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Báthory István Általános Iskola, Medgyes Josephus Calasantius Római Katolikus Líceum, Nagykároly Iuliu Maniu Általános Iskola, Zilah Szállítási Szakkollégium, Felsőbánya 4

23 MAROSVÁSÁRHELY 014 Nagy Mátyás Orbán Emese Orbán Tímea Ördög Kinga Orosz Katalin Osváth Tamás Pap Richard - Zoltán Péter Ákos Popa Andrei Prunache Anna Eveline Rokaly Barna Sikó Debóra Simon Zsók Anett Szabó Lóránd Tóth Tibor-Richárd Veres Vivien Alexandra Vernes Dávid László Vitus Szabolcs Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár -es sz. Általános Iskola, Brassó József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Kiss Ferenc Általános Iskola, Csíkmadaras Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Fogarasy Mihály Általános Iskola, Gyergyószentmiklós Művészeti Líceum, Marosvásárhely Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy VI. osztály Ambarus Egyed Ágnes Anderlik Patrik Bereczki-Orbán András Boros Csaba Borsai Erwin Bronţ Zsanett Csabai Anita Csibi Alexandra Csutak Dávid Damokos Beatrix Dobos Ervin Farkas Bence Fekete Agnes Fodor Orsolya Szilvia Galaczi Jácinta Gittinger András Győrfi Orsolya Havas Panna Jakab Etele Józsa Kriszta Kantor Éva-Andrea Kéry Imola Vivien Kiss Andrea-Tímea Kocsis Boglarka Kovacs Edgar Vilmos János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Baczkamadarasi Kis Gergely Református Gimnázium, Székelyudvarhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Arany János Elméleti Líceum, Nagyszalonta -es sz. Általános Iskola, Brassó Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Református Líceum, Szatmárnémeti Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Kölcsey Ferenc Nemzeti Kollégium, Szatmárnémeti Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Művészeti Líceum, Marosvásárhely F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad Konsza Samu Általános Iskola, Nagybacon Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Kolozsvár 5

24 MAROSVÁSÁRHELY 014 Kovács Sándor Kristó Roland Krivosik Alpár Kundi Ilona Lepedus Erzsébet Lőrincz Bálint-Imre Lőrincz Róbert Mészáros Letitia-Izabela Miklós Csenge Miklós Dóra Militaru Júlia Mózsa Attila Ördög Hunor Pallai Hunor Pap Gyopár Pop Kriszta Posta Csanád Roth Apor Scram-Deák Péter Seres Brigitta Simó Szabolcs Simon Katalin Spier Rebeka Petra Szabó Dóra-Renáta Szabó Thalmeiner Bence Szász Zsolt Szegedi Dóra Tamás Noémi Tök-Dietrich Norbert Török Andrea Trombitas Erzsebet Dorottya Vass Annamária Vicsi Márk Zöldi Tamás-Botond Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Liviu Rebreanu Általános Iskola, Csíkszereda Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Tálentum Református Általános Iskola, Kolozsvár Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 16-os sz. Általános Iskola, Nagyvárad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Székely Mózes Általános Iskola, Lövéte Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Palló Imre Művészeti Líceum, Székelyudvarhely Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Gaál Mózes Általános Iskola, Barót Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Általános Iskola, Árpástó Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah VII. osztály Bács Tamás Balázs-Bécsi Anna Busch Szabó Anna Csegezi Balázs Csongor Csomay Eszter Csutak Zsolt Daczó Dávid Darlaczi Zoltan Attila Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nagy István Művészeti Líceum, Csíkszereda Orbán Balázs Elméleti Líceum, Székelykeresztúr Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad -es sz. Általános Iskola, Brassó Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Általános Iskola, Szentmáté 6

25 MAROSVÁSÁRHELY 014 Decsei Barbara Erdei Csongor Fazakas Borbála Füstös Ferenc Garfield Adrienne Harkay Gabriella Horgos Patrick Katona Hunor Kelemen Hunor Kerekes Krisztina Keresztes Beáta Knobloch Esztergár Péter Kozman Botond Kurunczi Viktória Kutnik Andrea Virág Lukács Márton Örs Marica Edina Márton Vazul Nagy Örs Oláh Tibor Dávid Péter Anna Fanni Péter István Pop Brigitta Popa-Müller Viktor Dávid Rancz Máté Salánki Miklós Sallai Tamás Levente Soós Márton Szép Bence Szolomaier Noémi Tamás Benedek Tamás Nándor-Károly Tempfli Levente Tóth Dóra Vigh Viktória Enikó Virág Thekla-Mária Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Kolozsvár Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Horváth János Elméleti Líceum, Marghita Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Petőfi Sándor Általános Iskola, Kézdivásárhely Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Nagy István Művészeti Líceum, Csíkszereda Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Brassó Petőfi Sándor Általános Iskola, Csíkszereda Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta Petőfi Sándor Általános Iskola, Csíkszereda Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Zajzoni Rab István Elméleti Líceum, Négyfalu Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Nagy Imre Általános Iskola, Csíkszereda Kelemen Didák Általános Iskola, Kézdialmás Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk VIII. osztály Agócs Henrietta Bakó Bence Bálint Hunor Baranyai István Dávid Bartis Zsolt Bauer Artur Beke Viktória Kincső Horváth János Horváth János, Margitta Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Márton Áron Elméleti Líceum, Csíkszereda Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Horváth János Horváth János, Margitta 7

26 MAROSVÁSÁRHELY 014 Béres-Duha Csongor Borcsa Hunor Dáni Eszter Demeter Ábel Fekete Dániel Finta Klara-Enikő Harkó Csanád Hegyi Boglárka Iuhas Erik - Ovidiu Jakab Júlia Kacsó Péter-Gábor Katona-Bugner Attila Krisztián Mag Róbert Mátyás Gergely-Péter Ördög Ákos Ördög Zoltán Osváth Tamás Petres Sára Portik Kriszta Skapinyák Szilárd Sneff Gertrude Soós Roland Stelczner Norbert Szabó Liza Szasz Helga Széles Roland Edvin Szőcs Orsolya Szonda Blanka Udvari Roberrt Vinczi Richard Vita Henrietta Zsámbok Emese Mária Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely János Zsigmond Elméleti Líceum, Kolozsvár Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad Jósika Miklós Elméleti Líceum, Torda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Kolozsvár Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely József Attila Általános Iskola, Csíkszereda József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Avram Iancu Sportiskola, Zilah Kiss Ferenc Általános Iskola, Csíkmadaras Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Matei Corvin Technikai Kollégium, Vajdahunyad Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár -es sz. Általános Iskola, Brassó Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Báthory István Általános Iskola, Medgyes Általános Iskola, Zimándújfalu 8

27 MAROSVÁSÁRHELY 014 EREDMÉNYEK V. osztály eredmények Sorszám Név Iskola Pontszám Minisztériumi díj 1 Muszka Csaba Josephus Calasantius Római Katolikus Líceum, Nagykároly 49 Székely Mikó Elméleti Líceum, Ferencz Eszter Sepsiszentgyörgy 47 3 József Attila Általános Iskola, Mátyás András Csíkszereda 45 4 Árva Norbert Ákos Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad 44 5 Székely Mikó Elméleti Líceum, Lackó Csongor Sepsiszentgyörgy 44 6 Nicolae Titulescu Általános Iskola, Fogarasi András Kolozsvár 43 7 Kiss Ferenc Általános Iskola, Péter Ákos Csíkmadaras 4 8 Székely Mikó Elméleti Líceum, Kotró Kosztándi Anna Sepsiszentgyörgy 41 9 Báthory István Elméleti Líceum, Biró Mátyás Kolozsvár Divin Judit Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad József Attila Általános Iskola, Ördög Kinga Csíkszereda 40 1 Bucescu Andreea Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, Blanka Brassó Mészár Anna Orsolya Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Bende Timea Ivette Líceum, Kovászna Bartók Béla Elméleti Líceum, Orosz Katalin Temesvár Andrei Mureșanu Főgimnázium, Popa M. Andrei Beszterce Nagy Imre Általános Iskola, Nagy Mátyás Csíkszereda 35,5 18 Sikó Debóra Művészeti Líceum, Marosvásárhely Báthory István Általános Iskola, Bisericaru Andreas Medgyes 33 0 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Ludescher Júlia Marosvásárhely 33 1 Báthory István Elméleti Líceum, Orbán Emese Kolozsvár 33 Borsi Evetke Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad 3 9 EMMV díj I. díj I. díj II. díj III. díj I. díj I. díj II. díj II. díj III. díj III. díj III. díj

28 3 Kiss Ábel Kocsis B.Brigitta Edina Dancea Daniel Farkas Krisztina- Diana Kelemen Katalin Borostyán ROMÁNIAI MAGYAR ÁLTALÁNOS ISKOLÁK II. ORSZÁGOS MATEMATIKAVERSENYE MAROSVÁSÁRHELY es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 4 1-es sz. Általános Iskola, Marosludas 31 5 Székely Mikó Elméleti Líceum, Lackó Petra Sepsiszentgyörgy 31 6 Liskai Krisztián Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Szatmárnémeti 31 7 Nagy Kitti Iuliu Maniu Általános Iskola, Zilah 31 8 Báthory István Elméleti Líceum, Szabó Lóránd Kolozsvár 31 9 Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Simon Zsók Anett Sepsiszentgyörgy 9 30 Deé-Lukács Gergely Művészeti Líceum, Marosvásárhely 8 Baczkamadarasi Kis Gergely 31 Református Gimnázium, 7 Székelyudvarhely Kováts Álmos Botond Nagy Lenard Rokaly Barna Veres Vivien Alexandra Gulyasy Alexandru 39 Kása Baumli Dávid Moroşanu Norbert Brotea János Tóth Tibor-Richárd Mátyus Bence Antal Dávid Prunache Anna Eveline Vitus Szabolcs Hiriczkó Dávid Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Szállítási Szakkollégium, Felsőbánya Fogarasy Mihály Általános Iskola, Gyergyószentmiklós Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti Báthory István Általános Iskola, Medgyes Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Orbán Balázs Általános Iskola, Székelyudvarhely József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah

29 MAROSVÁSÁRHELY Pap Richard - Zoltán Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad 0 49 Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Vernes Dávid László Nagyenyed 0 50 Kerekes Cs. Norbert Andrei Mureșanu Főgimnázium, Beszterce Osváth Tamás Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 19 5 Molnár Dávid Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad Baranyai Dóra Eszter 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti Orbán Tímea -es sz. Általános Iskola, Brassó Grancsa Robert Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest 1 56 Ábrahám Xavér Szent László Római Katolikus Líceum, Nagyvárad 8 57 Kéry Alexandra F. Schiller Elméleti Líceum, Regina Nagyvárad 8 31

30 MAROSVÁSÁRHELY 014 VI. osztály eredmények Sorszám Név Iskola Pontszám Minisztériumi EMMV díj díj 1 Roth Apor Székely Mikó Elméleti Líceum, 59 Sepsiszentgyörgy I. díj I. díj Miklós Csenge Székely Mikó Elméleti Líceum, 58 Sepsiszentgyörgy II. díj I. díj 3 Kristó Roland Liviu Rebreanu Általános Iskola, 48 Csíkszereda III. díj II. díj 4 Ambarus Egyed Ágnes János Zsigmond Elméleti Líceum, 4 Kolozsvár III. díj 5 Mózsa Attila Bolyai Farkas Elméleti Líceum, 4 Marosvásárhely III. díj 6 Józsa Kriszta Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, 41 Brassó 7 Miklós Dóra Székely Mózes Általános Iskola, 41 Lövéte 8 Csibi Alexandra Nagy Imre Általános Iskola, 39 Csíkszereda 9 Szabó Dóra-Renáta Bolyai Farkas Elméleti Líceum, 39 Marosvásárhely 10 Kiss Andrea-Tímea Konsza Samu Általános Iskola, 37,5 Nagybacon 11 Boros Csaba Hám János Római Katolikus 35,5 Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 1 Jakab Etele Bolyai Farkas Elméleti Líceum, 34 Marosvásárhely 13 Kantor Éva-Andrea Művészeti Líceum, Marosvásárhely 3,5 14 Vass Annamária Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely 3,5 15 Fodor Orsolya Szilvia Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 31,5 16 Kocsis Boglarka Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely 31,5 17 Kovacs Edgar Vilmos Apáczai Csere János Elméleti Líceum, Kolozsvár Vicsi Márk Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Militaru Júlia Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár 8,5 0 Tök-Dietrich Norbert Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy 8,5 1 Lepedus Erzsébet Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 6,5 Csutak Dávid Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy 5 3 Kovács Sándor Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad 5 3

31 MAROSVÁSÁRHELY Pap Gyopár Kőrösi Csoma Sándor Elméleti Líceum, Kovászna 5 5 Scram-Deák Péter Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely 5 6 Simon Katalin Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest 5 7 Lőrincz Bálint-Imre 16-os sz. Általános Iskola, Nagyvárad 4,5 Baczkamadarasi Kis Gergely 8 Bereczki-Orbán András Református Gimnázium, Székelyudvarhely 4 9 Dobos Ervin Református Líceum, Szatmárnémeti 4 30 Spir Rebaka Petra Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad 4 31 Győrfi Orsolya Kölcsey Ferenc Nemzeti Kollégium, Szatmárnémeti 3,5 3 Farkas Bence Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely,5 33 Kundi Ilona Tálentum Református Általános Iskola, Kolozsvár,5 34 Pop Kriszta Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya 35 Lőrincz Róbert Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 1,5 36 Pallai Hunor Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 1 37 Zöldi Tamás-Botond Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely 1 38 Simó Szabolcs Tamási Áron Elméleti Líceum, Székelyudvarhely 0,5 39 Szegedi Dóra Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest 0 40 Fekete Agnes Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Damokos Beatrix Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy 18,5 4 Szász Zsolt Gaál Mózes Általános Iskola, Barót Seres Brigitta Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Zilah Török Andrea Bethlen Gábor Általános Iskola, Székelyudvarhely Krivosik Alpár Váradi József Általános Iskola, Sepsiszentgyörgy 16,5 46 Posta Csanád 47 Szabó Thalmeiner Bence Palló Imre Művészeti Líceum, Székelyudvarhely Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 16,

32 MAROSVÁSÁRHELY Gittinger András Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 15,5 49 Bronţ Zsanett Arany János Elméleti Líceum, Nagyszalonta Mészáros Letitia- Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Izabela Arad Havas Panna Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 1 5 Anderlik Patrik Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva Trombitas Erzsebet Dorottya Általános Iskola, Árpástó Borsai Erwin Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 10,5 55 Csabai Anita 56 Kéry Imola Vivien 57 Tamás Noémi 58 Galanczi Jácinta 59 Ördög Hunor -es sz. Általános Iskola, Brassó F. Schiller Elméleti Líceum, Nagyvárad Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Nagyenyed Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen ,5 7 6,5 34

33 MAROSVÁSÁRHELY 014 VII. osztály eredmények Sorszám Név Iskola Pontszám Minisztériumi EMMV díj díj 1 Báthory István Elméleti Líceum, 5 Fazakas Borbála Kolozsvár I. díj I. díj Kelemen Didák Általános Iskola, 46 Tamás Nándor-Károly Kézdialmás II. díj II. díj 3 Garfield Adrienne János Zsigmond Elméleti Líceum, 45 Kolozsvár III. díj II. díj 4 Nagy Imre Általános Iskola, 44 Rancz Máté Csíkszereda II. díj 5 Erdei Csongor Miskolczy Károly Általános Iskola, 4 Micske II. díj 6 Nagy István Művészeti Líceum, 40 Lukács Márton Örs Csíkszereda III. díj 7 József Attila Általános Iskola, 40 Péter István Csíkszereda III. díj 8 Kurunczi Viktória Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, 37 Arad 9 Áprily Lajos Nemzeti Kollégium, 34 Marica Edina Brassó 10 Tamási Áron Elméleti Líceum, 34 Nagy Örs Székelyudvarhely 11 Popa-Müller Viktor Bolyai Farkas Elméleti Líceum, 34 Dávid Marosvásárhely 1 Salánki Miklós Ady Endre Elméleti Líceum, 34 Nagyvárad 13 Tempfli Levente Hám János Római Katolikus 33 Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 14 József Attila Általános Iskola, Márton Vazul Csíkszereda 3 15 Nagy István Művészeti Líceum, Balázs-Bécsi Anna Csíkszereda Petőfi Sándor Általános Iskola, Kozman Botond Kézdivásárhely S. Illyés Lajos Általános Iskola, Tóth Dóra Szováta 8 18 Báthory István Elméleti Líceum, Füstös Ferenc Kolozsvár 7 19 Horváth János Elméleti Líceum, Horgos Patrick Marghita 7 0 Báthory István Elméleti Líceum, Katona Hunor Kolozsvár 6 1 Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Sallai Tamás Levente Zilah 6 Nagy Imre Általános Iskola, Tamás Benedek Csíkszereda 6 35

34 MAROSVÁSÁRHELY Csutak Zsolt -es sz. Általános Iskola, Brassó 5 4 Székely Mikó Elméleti Líceum, Daczó Dávid Sepsiszentgyörgy 5 5 S. Illyés Lajos Általános Iskola, Péter Anna Fanni Szováta 5 6 Mikes Kelemen Elméleti Líceum, Bács Tamás Sepsiszentgyörgy 4 7 Bartók Béla Elméleti Líceum, Harkay Gabriella Temesvár 4 8 Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Keresztes Beáta Zilah 4 9 Csomay Eszter Lorántffy Zsuzsanna Református Líceum, Nagyvárad 1 30 Knobloch Esztergár Báthory István Elméleti Líceum, Péter Kolozsvár 0 31 Szép Bence Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 19 3 Brassai Sámuel Elméleti Líceum, Decsei Barbara Kolozsvár Bartók Béla Elméleti Líceum, Oláh Tibor Dávid Temesvár Pop Brigitta Szacsvay Imre Általános Iskola, Nagyvárad Kutnik Andrea Virág Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad Darlaczi Zoltan Attila Általános Iskola, Szentmáté Kelemen Hunor Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Orbán Balázs Általános Iskola, Kerekes Krisztina Székelyudvarhely Szolomaier Noémi 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 1 40 Lorántffy Zsuzsanna Református Vigh Viktória Enikó Líceum, Nagyvárad Csegezi Balázs Bethlen Gábor Nemzeti Kollégium, Csongor Nagyenyed 10 4 Dani Gergely Általános Iskola, Virág Thekla-Mária Gyimesbükk 7 36

35 MAROSVÁSÁRHELY 014 VIII. osztály eredmények Sorszám Név Iskola Pontszám Minisztériumi EMMV díj díj 1 10-es sz. Általános Iskola, Baranyai István Dávid 48 Szatmárnémeti I. díj I. díj Bartók Béla Elméleti Líceum, 47 Szabó Liza Temesvár II. díj I. díj 3 Nagy Mózes Elméleti Líceum, 44 Dáni Eszter Kézdivásárhely III. díj II. díj 4 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, 35 Vita Henrietta Marosvásárhely III. díj 5 Báthory István Elméleti Líceum, 34 Szőcs Orsolya Kolozsvár 6 Osváth Tamás Avram Iancu Sportiskola, Zilah 33 7 Tamási Áron Elméleti Líceum, 9,5 Bartis Zsolt Székelyudvarhely 8 Székely Mikó Elméleti Líceum, 9 Bálint Hunor Sepsiszentgyörgy 9 Katona-Bugner Attila Apáczai Csere János Elméleti Líceum, 7 Krisztián Kolozsvár 10 Váradi József Általános Iskola, 6,5 Bakó Bence Sepsiszentgyörgy 11 János Zsigmond Elméleti Líceum, 5 Finta Klara-Enikő Kolozsvár 1 Kiss Ferenc Általános Iskola, 5 Petres Sára Csíkmadaras 13 Horváth János Elméleti Líceum, Agócs Henrietta Marghita 4,5 14 Bethlen Gábor Általános Iskola, Fekete Dániel Székelyudvarhely 4 15 József Attila Általános Iskola, Ördög Ákos Csíkszereda 3 16 Iuhas Erik - Ovidiu Ady Endre Elméleti Líceum, Nagyvárad 1,5 17 Jakab Júlia Jósika Miklós Elméleti Líceum, Torda 1 18 Kacsó Péter-Gábor Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Széles Roland Edvin Zilah 19 0 Székely Mikó Elméleti Líceum, Harkó Csanád Sepsiszentgyörgy 17,5 1 Váradi József Általános Iskola, Demeter Ábel Sepsiszentgyörgy 17 József Attila Általános Iskola, Mátyás Gergely-Péter Csíkszereda 17 3 Florea Bogdan Általános Iskola, Portik Kriszta Szászrégen 17 37

36 MAROSVÁSÁRHELY Sneff Gertrude 10-es sz. Általános Iskola, Szatmárnémeti 16,5 5 Váradi József Általános Iskola, Borcsa Hunor Sepsiszentgyörgy 16 6 Nicolae Iorga Általános Iskola, Szasz Helga Nagybánya 15,5 7 Hegyi Boglárka Csíky Gergely Nemzeti Kollégium, Arad 14 8 Tamási Áron Elméleti Líceum, Mag Róbert Székelyudvarhely 13,5 9 Matei Corvin Technikai Kollégium, Stelczner Norbert Vajdahunyad 13,5 30 Udvari Robert Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva 13,5 31 Báthory István Általános Iskola, Vinczi Richard Medgyes 13,5 3 Horváth János Elméleti Líceum, Beke Viktória Kincső Marghita 1,5 33 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Béres-Duha Csongor Marosvásárhely 1,5 34 Florea Bogdan Általános Iskola, Ördög Zoltán Szászrégen 1,5 35 Simion Bărnuţiu Általános Iskola, Soós Roland Zilah Skapinyák Szilárd Hám János Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárnémeti 10,5 37 Nicolae Iorga Általános Iskola, Bauer Artur Nagybánya Soós Márton Zajzoni Rab István Elméleti Líceum, Négyfalu 9,5 39 Szonda Blanka -es sz. Általános Iskola, Brassó 9,5 40 Zsámbok Emese Általános Iskola, Zimándújfalu Mária 8 38

37 MAROSVÁSÁRHELY 014 A versenyen résztvevő tanárok névsora Nagy Enikő Tamási Csaba Ujlaki Zita Székely Éva Kóbori Annamária Gödri Judith Dáni Zsuzsa Hodgyai Edit Nagy Örs Tankó Mihály Forgács István Spier Tunde Polcz Zita Erdei Sándor Fodor Erika Ugron Szabolcs Téglás Anna Ilona Tempfli Gabriella András Ibolya Molnár Klára Csikai Ildikó Ördög Zoltán József Madaras Beáta Enikő Kiss Mihály András Durugy Erika Szebeni Klára Székely Tivadar Faluvégi Melánia Fülöp Edit Albert Etelka Szent László Római Katolikus Teológiai Líceum, Nagyvárad Márton Áron Elméleti Líceum, Csíkszereda Nicolae Iorga Általános Iskola, Nagybánya Báthory István Általános Iskola, Medgyes Bethlen Gabor Főgimnázium, Nagyenyed Székely Mikó Elméleti Líceum, Sepsiszentgyörgy Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Báthory István Elméleti Líceum, Kolozsvár Dani Gergely Általános Iskola, Gyimesbükk Kölcsey Ferenc Főgimnázium, Szatmárnémeti Csiky Gergely Főgimnázium, Arad Hám János Római Katolikus Líceum, Szatmárnémeti Miskolczy Károly Általános Iskola, Micske Andrei Muresanu Főgimnázium, Beszterce Konsza Samu Általános Iskola, Nagybacon 1-es sz. Általános Iskola, Marosludas Bălcescu- Petőfi Általános Iskola, Szatmárnémeti Tamási Áron Elméleti Líceum, Szekelyudvarhely Petőfi Sándor Általános Iskola, Csíkszereda József Attila Általános Iskola, Csíkszereda Florea Bogdan Általános Iskola, Szászrégen S. Illyés Lajos Általános Iskola, Szováta M. Corvin Szakkollégium, Vajdahunyad Téglás Gábor Elméleti Líceum, Torda Ady Endre Elméleti Líceum, Bukarest Báthory István Általános Iskola, Medgyes Silvania Főgimnázium, Zilah Áprily Lajos Főgimnázium, Brassó Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár 39

38 MAROSVÁSÁRHELY 014 A VERSENY SZERVEZÉSÉBEN RÉSZT VÁLLALTAK dr.bálint István - igazgató Horváth Gabriella - igazgatóhelyettes György Gabriella Horváth Éva Mátéfi István Simon János Szilágyi Emőke Stan Ágota Barabás Miklós Dávid Anikó Szitai Tünde László József Hajdu Zoltán Oniga Erika Bolyai Farkas Elméleti Líceum - néptánccsoportja - IV. osztályos diákjai - Kájoni János Furulyakör - szervezésben részt vállaló diákjai történész Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Bolyai Farkas Elméleti Líceum munkaközössége 40

39 MAROSVÁSÁRHELY 014 Támogatóink: A Román Tanügyminisztérium A Marosvásárhelyi Polgármesteri Hivatal A Maros Megyei Tanfelügyelőség Balassi Intézet, Budapest Bolyai Farkas Elméleti Líceum 41