Dr. Tarsoly Péter GEODÉZIA II

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dr. Tarsoly Péter GEODÉZIA II"

Átírás

1 Dr. Tarsol Péter GEODÉZIA II Nugat-magarországi Egetem Geoiformatikai Kar Geodézia Taszék 03

2 Tartalomjegzék. A SOKSZÖGELÉS A SOKSZÖGVONALAK SZÁMÍTÁSA Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoal A beillesztett sokszögvoal Zárt sokszögvoal A hossz- és keresztiráú záróhiba A SOKSZÖGVONALAK VEZETÉSE A MÉRÉSEKBEN ELKÖVETETT DURVA HIBA MEGKERESÉSE A SZINTEZÉS A MAGASSÁG FOGALMA, A MAGASSÁGMÉRÉS MÓDSZEREI A SZINTEZÉS ALAPELVE SZINTEZİMŐSZEREK ÉS TARTOZÉKAIK A libellás szitezımőszerek A kompezátoros szitezımőszerek Digitális szitezımőszerek A szitezıfelszerelés A SZINTEZÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI A mérımőszer hibái A mérıfelszerelés hibái A külsı körülméek okozta hibák A SZINTEZÉS VÉGREHAJTÁSÁNAK GYAKORLATI SZABÁLYAI A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS A MAGASSÁGI SZÖG ÉS A ZENITSZÖG A MAGASSÁGI KÖR ÉS SZERKEZETE, KOMPENZÁTOROK, A MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI A magassági refrakció A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS ALAPKÉPLETE A refrakció változása és aak hatása A trigoometriai magasságmérés számítási képletei A szimultá mérések módszere Trigoometriai szitezés Épületek magasságáak meghatározása Közelítı trigoometriai magasságmérési eljárások A trigoometriai magasságmérés megbízhatósága TÁVOLSÁGOK MÉRÉSE A HOSSZMÉRÉS A TÁVMÉRÉS A geometriai-optikai távolság-meghatározás A fizikai távmérés A távmérımőszerek általáos felépítése Az idıméréses távmérés A fázisméréses távmérés A légkör eergiacsökketı hatása Elektromágeses hullámok terjedési sebessége a légkörbe A távmérés hibaforrásai A távmérés redukciói A távmérés rövid törtéete ELEKTRONIKUS TEODOLITOK, TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK ELEKTRONIKUS KÖRLEOLVASÁS, ELEKTRONIKUS DİLÉSÉRZÉKELİK AZ ELEKTRONIKUS TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK KIALAKULÁSA... 73

3 5.3 A MÉRİÁLLOMÁSOK FONTOSABB BEÁLLÍTÁSAI ÉS BEÉPÍTETT PROGRAMJAI A mérıállomások általáos jellemzése A mérıállomások fotosabb beállításai A mérıállomások fotosabb programjai A gakoribb mérıállomás típusok adatformátuma Robot-mérıállomások MELLÉKLETEK SPECIÁLIS GEODÉZIAI MŐSZEREK TÁJOLÓ TEODOLITOK Mágeses tájoló és busszola Busszolás teodolitok Rátét busszolák Busszolás teodolitok haszálata GIROTEODOLITOK A pörgettő Külöféle pörgettők Szabad pörgettő Ikliációs pörgettő Dekliációs pörgettő A giroteodolitok általáos felépítése HIDROSZTATIKAI SZINTEZİMŐSZEREK SZABATOS OPTIKAI VETÍTİK HIBAELMÉLET A MÉRÉSI HIBÁK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK A durva hiba és az álhiba Szabálos és szabáltala hiba Hibaelméleti következtetések: A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG MEGÁLLAPÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ MENNYISÉGEK A potosság és megbízhatóság fogalma Megbízhatósági mérıszámok A súl fogalma Közelítı súlok felvétele a gakorlatba gakrabba elıforduló mérésekhez Két változó kapcsolatáak jellemzése Mitapéldák lieáris regressziós egees paramétereiek meghatározására A HIBATERJEDÉS FOGALMA Hibaterjedés lieáris függvéek eseté Hibaterjedés em lieáris függvéek eseté Következtetések a hibaterjedés általáos képletébıl Példák a hibaterjedés alkalmazására A KIEGYENLÍTİ SZÁMÍTÁS ALAPELVE ÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE A Gauss-féle hibatörvé Eg ismeretlere végzett közvetle mérések kiegelítése Oda-vissza mérések kiegelítése Számolási példák az eg ismeretlere végzett közvetle mérések kiegelítésére Egség súlú mérések kiegelítése ZÁRÓHIBÁK ELOSZTÁSA A MÉRÉSEK MEGBÍZHATÓSÁGA ÉS A KÖZÉPHIBA, MINT A MEGFIGYELÉSEK SZÁMÁNAK FÜGGVÉNYE A mérések ismétléséek hatása összefüggések a súl és a középhiba között Számolási példák GYAKORLÓ PÉLDATÁR IRODALOMJEGYZÉK

4 . A sokszögelés Tetszıleges számú pot relatív helzetét meghatározhatjuk, ha a potokat a vízszites vetületbe egees voalakkal összekötjük, és megmérjük a szomszédos potok vízszites távolságát, valamit az eges potokból kiiduló egeesek (valóságba szakaszok) egmással bezárt szögét. A potmeghatározásak ezt a módját evezik sokszögelések. A potokat összekötı törtvoalakat sokszögvoalak, az eges oldalakat sokszögoldalak, az oldalak egmással bezárt szögét pedig törésszögek evezzük (. ábra). A sokszögelés elméletébe a mért oldalakat t betővel szokták jelöli, alsó idebe aak a két potak a számát írva, amelek közé a mért távolság voatkozik; a törésszögeket pedig β-val szokták jelöli. Mivel mide szomszédos oldal két szöget zár be egmással (egmást 360 -ra egészítik ki), ezért megegezés alapjá törésszögek mide esetbe a haladási irá bal oldalára esı szöget szoktuk tekitei. Szabatos megfogalmazásba a törésszög az a szög, amelet a kezdı és végpot megválasztásával kijelölt haladási értelembe a megelızı sokszögoldal leír, ha geodéziai pozitív értelmő forgatással a követı oldalba forgatjuk.. ábra A sokszögvoal, a sokszögoldal és a törésszög értelmezése A sokszögvoal alakja szerit lehet ílt, amikor a kezdı és a végpotja két külöbözı pot, és lehet zárt, amikor a kezdı és a végpot ugaaz a pot. A geodéziába elsısorba a ílt sokszögvoalak fotosak; zárt sokszögvoalak, vag más éve zárt polgook csak speciális feladatokál fordulak elı (pl. föld alatti felmérések). A sokszögvoal csatlakozó, ha ismert koordiátájú alappotokhoz csatlakozik, és öálló, ha alappotokhoz em csatlakozik. Ha a sokszögvoalak csak a kezdıpotja ismert koordiátájú alappot, akkor a sokszögvoal egszerese csatlakozó; ha mid a két végpotja ismert, akkor kétszerese csatlakozó, vag más éve kapcsolt. Ha emcsak a sokszögvoal potjai mérjük a törésszögeket, haem a kezdı vag/és a végpoto is felálluk, és oa a sokszögoldalako kívül más ismert alappotokra is mérük, akkor a sokszögvoalat tájékozottak evezzük. Egszerese tájékozott, ha csak a kezdıpotjá végzük tájékozást, és kétszerese tájékozott, ha a kezdı-és a végpoto is tájékozuk.. A sokszögvoalak számítása A sokszögvoal eges potjaiak a számításáál az ismert alappotok koordiátáiak és a mért szögekek segítségével számítjuk az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékeit, majd a távolság ismeretébe a haladási iráak megfelelıe a sokszögpotok koordiátáit. Abba az esetbe, ha a sokszögvoal mérése sorá fölös méréseket is végzük, a mérési hibák és a meglévı 4

5 alappotok kerethibái miatt a mérési eredméeik között elletmodások fogak fellépi. Lehetıségük lee ezekek az elletmodásokak a feloldására kiegelítı számítások alkalmazásával, azoba a kiegelítés folamatáak hosszadalmassága miatt ikább közelítı hibaelosztási eljárásokat alkalmazuk. Ezek a közelítı eljárások a gakorlati elvárásokak megfelelı megbízhatóságú adatokat fogak szolgáltati... Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal Ebbe az esetbe az,,... sokszögpotok koordiátáiak meghatározásához mértük a közöttük lévı távolságokat, a törésszögeket; valamit a kezdıpoto a szomszédos sokszögpot mellett eg tájékozó potra is végeztük irámérést.. ábra Egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal Ha a redelkezésükre álló adatok alapjá ki tudjuk számítai az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékét, akkor ezekek és a mért oldalhosszakak ismeretébe számíthatjuk polárisa egmás utá az eges sokszögpotok koordiátáit. Mivel a kezdıpoto mértük eg tájékozó irát, ezért az álláspot és a tájékozó pot koordiátáiból tudjuk számoli a δ KT irászöget. Ezutá δ δ β ' K KT K (.) képlettel tudjuk számítai az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét. Ha ezt az iráértéket 80 -al megfordítjuk, akkor tudjuk számoli -es sokszögpotról a kezdıpotra meı tájékozott iráértéket. Ha ehhez hozzáadjuk az elsı poto mért törésszöget, akkor megkapjuk az -es sokszögpotról a - es sokszögpotra meı tájékozott iráértéket. Tehát: δ ± ' ' ' o δk β δ K 80 β (.) Léegébe az.-es képlet tekithetı mide sokszögvoal számítás alapjáak. Az egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számításáak lépéseit a következıkbe foglaljuk össze: 5

6 . A tájékozó irá irászögéek számítása a kezdıpot és a tájékozó pot koordiátáiból.. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása az.-es képlet mitája alapjá. δ δ. δ ' K ' δ δ KT ' K β ± 80 β ' ', δ, ± 80 K β (.3) 3. A sokszögoldalak koordiátategelekre esı vetületeik számítása. ij ij t t ij ij siδ ' ij cosδ ' ij (.4) 4. A koordiáták számítása.. és. K K t t t t K t K t siδ siδ, cosδ, ' K ' cosδ siδ ' K ' ', cosδ K K ', K K Abba az esetbe, ha a kezdıpoto em eg, haem több tájékozó irát mérük, az eges tájékozó iráokhoz tartozó tájékozási szögekbıl kiszámíthatjuk a súlozott középtájékozási szöget, és ezutá a már megismert módo tudjuk képezi az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét. Ebbe az esetbe a levezetett tájékozott iráértéket fogjuk az elsı oldal törésszögéek tekitei, amel egüttese tükrözi a számításba bevot tájékozó iráok hatását (β K δ K). Eél a sokszögvoal típusál ics fölös mérés, a mérés jóságára ics elleırzésük. Az ile sokszögvoalat szabad sokszögvoalak evezzük. A számolás jóságára elleırzés lehet, ha a végé kiszámítjuk a kezdıés végpot koordiáta külöbségét, és eek meg kell egezie a megfelelı oldalvetületek összegével. A ílt, öálló sokszögvoalak számítása ago hasoló a szabad sokszögvoalhoz. Az öálló sokszögvoalál természetese em mértük a kezdıpoto tájékozó irát, és em ismerjük a kezdıpot koordiátáit sem. Ebbe az esetbe a kezdıpot koordiátáit és a kezdı oldal tájékozott iráértékét a feladat kíváalmaiak megfelelıe kell megválasztai... A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal abba külöbözik az egszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoaltól, hog a végpotja is ismert koordiátájú pot (.3 ábra).,, (.5) 6

7 Ebbe az esetbe ismertek a kezdı- és végpot, továbbá a tájékozó-pot koordiátái. Mérési eredméeik a megfelelı távolságok és törésszögek. Ha a sokszögvoal darab sokszögpotból áll, akkor ebbe az esetbe darab távolság és törésszög mérhetı (az egszerese csatlakozó és.3 ábra Kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal egszerese tájékozott sokszögvoalál csak darab távolság és törésszög volt mérhetı). Miutá darab sokszögpot koordiátáiak meghatározásához elegedı darab távolság és törésszög, ezért va két fölös mérésük. A fölös mérések lehetıséget adak a méréseik elleırzésére. A sokszögoldalak koordiátategelekre esı vetülete összegéek abba az esetbe, ha kerethibák és mérési hibák em leéek meg kellee egezie a kezdı-és végpot megfelelı koordiáta külöbségeivel. i i i i ' t si δ ' t cosδ v v A mérési és a kerethibák miatt ezek a feltételek em leszek kielégítve, haem: ( ( V V K K ) ) ' t si δ ( i v k ) i ' t cosδ ( i v k ) i d d k k (.6) (.7) ahol a d és d meiségeket koordiáta záróhibáak evezzük. Ha a záróhiba kisebb, mit az ezzel a módszerrel meghatározadó alappotok jellegéek megfelelıe megállapított hibahatár, akkor a mérést jóak vehetjük, és a mérést kiegelíthetjük ola módo, hog a kiegelített értékekkel számítva ulla záróhibákat kapjuk. A kiegelítéskor em a hosszadalmas szigorú eljárást alkalmazzuk, haem csak eg közelítı kiegelítést. A mérési eredméekbıl számított oldalvetületeket csak elızetes értékek tekitjük, és kiszámítva a hosszegségre esı d t i i i d ; t (.8) i Megjegezzük, hog mivel d és d értékét (kell va) értelembe képezzük, ezért valójába em hiba, haem javítás. A hiba és a javítás azoos agságúak, de elletétes elıjelőek. A szakmai hagomáok alapjá evezzük d és d értékét záróhibáak. Hasoló példa lehete erre még a magasságmérésél megismert idehiba is. 7

8 záróhibákat, az eges oldalvetületeket megjavítjuk a mért oldalhosszak aráába. Például az - sokszögoldalra az elızetes és a javított oldalvetületek: és elılızet elılızet t t kiegelített kiegelített siδ ' cosδ ' elılızet elılızet d t t i i i i d t t A kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számításáak lépéseit a következıkbe foglaljuk össze:. A tájékozó irá irászögéek számítása.. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása (.). 3. Az elızetes oldalvetültetek számítása (.4). 4. A koordiáta záróhibák és a hosszegségre jutó záróhibák számítása (.7;.8). 5. A kiegelített oldalvetületek számítása (.9). 6. A koordiáták számítása (.5). Abba az esetbe, ha a kezdıpoto em eg, haem több tájékozó irát mértük, a súlozott középtájékozási szög felhaszálásával kell a kezdı sokszögoldal tájékozott iráértékét levezeti (β K δ K)...3 A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoal A kétszerese csatlakozó és kétszerese tájékozott sokszögvoalat evezik egszerőe kétszerese tájékozott sokszögvoalak is. (.9) Abba külöbözik az elızıtıl, hog emcsak a kezdıpoto, haem a végpoto is mértük tájékozóirát. Adottak tehát a kezdı-és végpot, valamit a tájékozó-potok koordiátái. Mérési eredméek az darab távolság, valamit az darab törésszög. Eek megfelelıe három fölös mérésük va, tehát a mérési eredméekek három feltételt kell kielégíteiük..4 ábra A kétszerese tájékozott sokszögvoal 8

9 Két feltétel megegezik a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoalál részletezett feltételekkel, a d és d koordiáta záróhibákkal. A kétszerese tájékozott sokszögvoalál ehhez eg harmadik feltétel csatlakozik, amel a tájékozó iráok irászögei és a mért törésszögek között fejez ki kapcsolatot. A kezdıpoto mért tájékozó irá irászögébıl kiidulva a törésszögek felhaszálásával levezethetı az utolsó sokszögoldal tájékozott iráértéke. Mivel a végpoto is mértük a β v törésszöget, ezért számíthatjuk a végpoto mért tájékozó irá δ VT tájékozott iráértékét: δ δ ± 80 β ' ' VT v v (.0) Kerethibáktól és mérési hibáktól metes hálózatot feltételezve az ile módo levezetett tájékozott iráértékek egelıek kellee leie a koordiátákból számítható irászöggel. Mivel a mérést hibák terhelik, ezért: dϕ δ δ (.) ' VT VT A dφ értéket szögszáróhibáak evezzük. A szögzáróhiba gakorlati kiszámításához em szükséges az eges oldalak tájékozott iráértékeiek számításá keresztül elıállítai a végpoto mért tájékozó irá tájékozott iráértékét. Elıállíthatjuk δ VT értékét a kezdıpoto a tájékozó-potra számított irászög és a mért törésszögek függvéekét is, ahol a sokszögpotok száma. A részletes bizoítás mellékelése élkül: Azaz i ' δ δ β ( ) 80 (.) VT KT i KT i i ) dϕ δ VT ( δ β ( ) 80 (.3) A szögzáróhiba eg más értelmezését mutatja be az.5 ábra..5 ábra A szögzáróhiba értelmezése N oldalú sokszög alapjá mert (.4) (.5) ahol N a töréspotok száma (N oldalú sokszög belsı szögeiek az összegéek mitájára), s a törésszögek száma. A szögzáróhibáak eg harmadik értelmezését mutatja be az.6 ábra. Ebbe az esetbe az eges szegmesekbe (zöld, sárga, kék, piros) lévı szögek összege 80. Ebbıl darab va, ha a sokszögpotok száma a kezdı- és végpot élkül, vag s-, ha s a törésszögek száma. 9

10 .6 ábra A szögzáróhiba értelmezése szegmesek alapjá Ekkor (.6) Az.4 képletbe szereplı k értéke 0 vag, attól függıe, hog a sokszögvoal hoga áll a vetületi síko. Az.5 ábra alapjá k értéke 0, az.7 ábra alapjá k értéke. Figeljük meg a K és V pot helzetét és a sokszögvoal mérési és számítási haladási iráát..7 ábra A k értelmezése Ha a dφ szögzáróhiba abszolút értéke a megállapított hibahatárál em agobb, akkor a szögzáróhibát a törésszögekre egelıe osztjuk el. dϕ (.7) A törésszögek mért értékét ola módo számítjuk, hog az elızetes mért értékhez hozzáadjuk a javítást: kiegelített i β elılızet i dϕ β (.8) A számítást a kiegelített törésszögek ismeretébe már a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoalál elmodottak szerit végezzük. A számítás meete a következı:. A tájékozó iráok irászögéek számítása.. A szögzáróhiba és a törésszögek javításáak számítása (.3;.4;.7). 3. A kiegelített törésszögek számítása (.8). 4. A sokszögoldalak tájékozott iráértékéek számítása (.). 0

11 5. Az elızetes oldalvetültetek számítása (.4). 6. A koordiáta záróhibák és a hosszegségre jutó záróhibák számítása (.7;.8). 7. A kiegelített oldalvetületek számítása (.9). 8. A koordiáták számítása (.5). Abba az esetbe, ha mid a kezdı-, mid a végpoto több tájékozó irát is mértük, a súlozott középtájékozási szög felhaszálásával számítjuk a kezdıpoto az elsı sokszögoldal tájékozott iráértékét δ K-et, a végpoto pedig az utolsó sokszögoldal tájékozott iráértékét δ v-t. Ilekor a kezdıpoto mért törésszögek magát a δ K értéket tekitjük: A végpoto mért törésszög: β ' β K δ K (.9) δ ' v 360 v (.0) Eek megfelelıe midkét végpoto a tegellel párhuzamos irát tekitjük tájékozó iráak, azaz: δ δ 0. (.) KT VT Több tájékozó irá mérése eseté leegszerősödik a szögzáróhiba számítása is; ha ugais a kezdıpotról az elsı sokszögpotra levezetett tájékozott iráértékhez (β k ) hozzáadjuk a sokszögvoalba mért törésszögeket, és az összegbıl levouk (s-) 80 fokot (s a törésszögek száma), akkor a szögzáróhibát kapjuk eredméül...4 A beillesztett sokszögvoal Ebbe az esetbe a sokszögvoal ismert alappotból idul, és ismert alappotba végzıdik, de tájékozó irát egik végpoto sem mérük (.8 ábra). A geodéziai gakorlatba beillesztett sokszögvoal elsısorba sőrő beépített városok szők utcáiba, vag ag kiterjedéső, zárt erdıkbe fordul elı..8 ábra A beillesztett sokszögvoal Adottak a kezdı-és végpot koordiátái; mért értékek pedig a távolságok és a törésszögek. A mérési eredmébıl koordiáta számítható, a fölös mérések száma eg. A beillesztett sokszögvoal számítását visszavezethetjük a kétszerese csatlakozó és egszerese tájékozott sokszögvoal számítására. Tekitsük az.9 ábrát.

12 Számítsuk ki az.9 ábrá φ-el jelölet szöget. A φ kiszámításához vegük fel eg ola koordiátaredszert, melek kezdıpotja K, tegele pedig a K oldallal esik egbe. Ebbe az esetbe az eges sokszögoldalak tájékozott iráértékei: δ δ ' K ' δ ' V 0 δ δ ' K... ± 80 β ', ± 80 β (.) Ezekek a tájékozott iráértékekek és a mért távolságokak ismeretébe számíthatók a sokszögoldalak vetületei a segéd koordiáta-redszerbe. A végpotak számítjuk az elızetes koordiátáit (az.9 ábrá (V) jelöli az elızetes pothelet). Számítsuk ki mid az elızetes, mid a végleges V potra voatkozó irászögeket és távolságokat a K kezdıpottól. Ezutá számítsuk a φ elforgatási szöget valamit az m szorzótéezıt: ϕ δ δ t m t KV KV K ( V ) K ( V ) (.3) Ha a sokszögvoalat φ szöggel elforgatjuk, és m-értékkel újtjuk/zsugorítjuk, akkor a voal elızetes (V) végpotja a végleges helre kerül. A sokszögpot koordiátáiak kiszámításához mide oldal elızetes tájékozott iráértékét φ értékével meg kell változtati; hasolóa mide mért oldal hosszát az m-szeresére kell változtatuk. Kiszámítjuk a végleges oldalvetületeket, majd folamatos összegzéssel a végpot koordiátái. Eek meg kell egezie a végpot ismert koordiátájával (kerekítési hibáktól eltekitve). A gakorlati számítások sorá φ értékéek számítása utá képezzük mide oldal végleges tájékozott iráértékét, majd pedig a távolságok felhaszálásával, az m-szorzótéezı figelembe vétele élkül az elızetes oldalvetületeket. Ezekbıl képezzük a koordiáta záróhibákat, a hosszegségre jutó javításokat, majd a javításokat elosztjuk a távolságok aráába (.6-.9 képletek)..9 ábra Beillesztett sokszögvoal számítása a gakorlatba..5 Zárt sokszögvoal Ha a sokszögvoal kezdı-és végpotja azoos, akkor a sokszögvoalat zártak evezzük. A zárt sokszögvoalba a törésszögek összegéek elméleti értéke elıre ismeretes, hisze az oldalú zárt sokszög belsı szögeiek összege (-) 80, a külsı szögeké pedig () 80.

13 A zárt sokszögvoalakba midig felírható eg szögfeltételi egelet: I dϕ ( ) 80 β (.4) Mivel a kezdı és a végpot egbeesik, ezért számítható koordiáta záróhiba is: d d i i t si δ t cosδ i (.5) Látszólag a zárt sokszögvoal ugaola kedvezı mérési elleırzések szempotjából, mit a kétszerese tájékozott sokszögvoal, azoba ez csalóka. A zárt sokszögvoal hosszelleırzései érzéketleek a hosszak részaráos megváltoztatásai irát. Éppe ezért a geodéziába kerüljük a zárt sokszögvoalak vezetését...6 A hossz- és keresztiráú záróhiba A hossz- és keresztiráú záróhiba megértéséhez tekitsük az.7 ábrát. A d és d koordiáta záróhibák utá számítható a d voalas (lieáris) záróhiba. d d d (.6) A sokszögvoal d voalas záróhibájáak agsága a mérési hibák és a kerethibák egüttes hatásától függ. Az azoos agságú d voalas záróhiba d és d összetevıi attól is függek, hog a sokszögvoal mile irába halad a koordiáta-tegelekhez képest (.0 ábra). A d és d hibák agságából tehát em lehet következtetéseket levoi a mérési hibákra voatkozóa..0 ábra A voalas záróhiba, valamit a hossz-és keresztiráú záróhiba értelmezése Ha a d voalas záróhibát a kezdı- és végpot összekötı egeesével párhuzamos hossziráú, és erre merıleges keresztiráú összetevıre botjuk, és feltételezzük, hog a sokszögvoal ideálisa újtott (törésszögei közel 80 fokosak), akkor kerethibától metes alappotok esetébe a hossziráú záróhiba a távolság meghatározás potosságától, a keresztiráú záróhiba pedig a szögmérés potosságától függ. Ezt a két összetevıt külööse akkor ajálott kiszámítai, ha a d voalas záróhiba értéke a vártál agobbra adódik. A hossz- és keresztiráú záróhiba: 3

14 h h k k h k d si δ d cosδ KV KV d cosδ d si δ KV KV (.7) A gakorlati geodéziai mukák végrehajtása sorá a mérési eredméek miısítésére az ötödredő hosszú oldalú és rövid oldalú sokszögelésre voatkozó hibahatárokat szoktuk figelembe vei, és ameibe a szögzáróhiba és a voalas záróhiba kielégíti az. táblázatba lévı feltételeket, a mérést jóak szoktuk miısítei.. táblázat sokszögelés típusa szögzáróhiba ( ) voalas záróhiba (cm) ötödredő 8 00 t rövid oldalú szabatos t belterületi t külterületi t a törésszögek száma t a sokszögvoal hossza kilométerbe. A sokszögvoalak vezetése A sokszögvoalakat lehetıség szerit úg kell vezeti, hog mid a két végükö adott alappothoz csatlakozzaak, és lehetıség szerit mid a két végpotál lehesse tájékozó irát méri. Tájékozó iráak 00 méterél rövidebb irát em szabad felhaszáli. Abba az esetbe, ha mégis mértük 00 méterél rövidebb tájékozó irát, azt a végleges tájékozásba em haszálhatjuk fel, csak a durva mérési hibák kiküszöbölésébe. A sokszögvoal hossza, azaz a sokszögoldalak összege e lege agobb 500 méterél. A sokszögoldalak átlagos hossza ideális esetbe méter. 50 métere belül újabb sokszögpotot kijelöli csak a legszükségesebb esetbe lehet. Ugaabba a sokszögvoalba a sokszögoldalak közel egelı hosszúak legeek, mert az irámérésbe kedvezı, ha az elıre és a hátra irázást a parallais újból és újból való eltőtetése élkül tudjuk elvégezi. A sokszögvoal újtott lege, a törésszögek közel legeek a 80 fokhoz. Ismert koordiátájú alappot mellett elhaladi em szabad, ahhoz csatlakozi kell. Eek lehetséges megoldásaival késıbbi taulmáaik sorá foguk megismerkedi. A sokszögpotok heléek kiválasztásakor ügeli kell arra, hog a pot femaradása biztosított lege, a poto fel lehesse álli mőszerrel, a szomszédos potokra az irázást és a mérést akadáltalaul el tudjuk végezi; és ha a sokszögelés részletméréshez készül, akkor a sokszögpotról miél több részletpot lege látható. A sokszögvoalak em metszhetik egmást, csak úgevezett sokszögelési csomópotba találkozhatak, melek mérésével és számításával szité késıbbi taulmáaik sorá foguk találkozi..3 A mérésekbe elkövetett durva hiba megkeresése Ha valamelik sokszögpoto a szögmérésbe durva hibát követtük el, azt a potot, amelél a törésszög hibás, úg keressük meg, hog a sokszögvoalat a kezdı- és a végpotjáról is elkezdjük számítai. Amelik potra a két számításból közel egelı koordiátákat kapuk, aál a potál követtük el ag valószíőséggel a durva szögmérési hibát. A hosszmérésbe elkövetett durva mérési hiba eseté a hibása mért oldalt azok között az oldalak között kell keresi, amelek irászöge közelítıleg egezik (vag pot elletett irába mutat) a kapott - és a durva hiba miatt a megegedettél jóval agobb voalas záróhiba irááak az irászögével (. ábra). 4

15 . ábra A mérések közbe elkövetett durva hiba megkeresése A szögmérési hibák hatása a sokszögelésbe külööse kedvezıtle azért, mert bármel szög hibája tovább adódik, és ezzel meghamisítja a következı pot helét. A kedvezıtle hibaterjedés miatt a szögmérésre külöös godot kell fordítai, Ha a szögmérést godosa hajtjuk végre, akkor a legagobb hiba a mőszer és a prizma felállítási hibájából származik. Az ebbıl származó maimális szögmérési hibákat a. táblázatba foglaltuk össze, cetiméteres külpotosságot feltételezve (Sárd, 970):. táblázat t 0 m 06 0 m m m 4 00 m 50 m m 7 A táblázat adatai szerit a felállításból származó hiba külööse rövid oldalak eseté okoz számottevı szögmérési hibát. Emiatt a sokszögelésbe a rövid oldalak kerüledıek. Rövid oldal fordul elı abba az esetbe, amikor kételeek vaguk valamile akadált kikerüli pl. épület, tó stb. A rövid oldal hatását godos potra állással csak csökkethetjük, ezért számítási módszerrel kell godoskoduk a hiba helhez kötésérıl és ezzel kiküszöbölésérıl. A legjobb megoldás az, ha a rövid sokszögoldal potjáról mérük valamile ismert koordiátájú alappotra, mert ebbe az esetbe a rövid oldal tájékozott iráértékét függetleítei tudjuk a rövid oldalo mért törésszögtıl. A köztes potokról ismert koordiátájú potokra való mérést haszáljuk hosszú sokszögvoalak megbízhatóságáak öveléséél is. Ha hálózat szemléletbe számítjuk a koordiátákat, úg a fölös mérések számát öveli eg-eg ismert koordiátájú pot mérésbe voása, ha kézi úto számítjuk, úg az ile mérésekek a hibák felderítésébe és kiküszöbölésébe vehetjük haszát. 5

16 . A szitezés A szitezés a magasság meghatározásáak egik legısibb módszere. Az alapelve a kezdetek óta szite semmit sem változott, és a techológiai fejlıdés is csak az 980-as évek elejé hozott áttörést a szitezés végrehajtásába és mőszereibe. Ebbe a fejezetbe megismerkedük az optikai és digitális szitezés eszközeivel, módszereivel és hibaforrásaival, valamit a szitezés végrehajtásáak gakorlati szabálaival. Mielıtt azoba rátérék a szitezés elméletéek tárgalására, meg kell ismerkedük a magasság értelmezésével.. A magasság fogalma, a magasságmérés módszerei A földi potok magasságát midig eg választott alapfelülethez viszoítva adjuk meg. Alapfelületek a geodéziába általába valamel középtegerszit magasságába kijelölt poto átmeı szitfelületet, a geoidot választjuk. Elıfordulhat azoba az is, hog alapfelületek em a geoidot választják, haem eg másik szitfelületet, vag valamile matematikai felületet. A külöbözı magasságfogalmak tárgalása elıtt ismerkedjük meg a magarországi magassági alapfelületek törtéetével. Magarországo a heli jellegő méröki mukákhoz, elsısorba a folószabálozásokhoz az 700-as évektıl kezdve végeztek szitezéssel törtéı ag tömegő magasságmeghatározást. A magarországi szitezések összekapcsolása az Adriai-teger szitjével Vásárheli Pál evéhez főzıdik, aki a Tisza és az Al-Dua szabálozásába egarát részt vett. Az Osztrák-Magar Moarchia elsı szitezési hálózatát a bécsi Katoai Földrajzi Itézet tervezte és kivitelezte 873 és 93 között. A Moarchia területére hét szitezési fıalappotot terveztek, ezek közül a mai Magarország területére csak egetle alappot esik, a Velecei-hegség gráit kibukkaásába telepített adapi szitezési ısjeg.(. ábra) A hét fıalappot magasságát és ezzel a hálózat magassági alapszitjét a trieszti Molo Sartorio mareográfjához (tegerszitmérı/regisztráló beredezés vag thalattográf) csatlakoztatták. 875-be kilec hóapig tartó megfigelésbıl meghatározták a móló mellett elhelezett tárcsa magasságát, majd az ebbıl vezetett szitezési voalak segítségével a hét fıalappot magasságát. A adapi szitezési ısjeg Adria feletti magassága méterre adódott. A Moarchia hálózatát súlos hibák terhelték. Az elsı világháború utá Magarország elvesztette kapcsolatát az Adriaitegerrel, ezért magarországi hálózat magassági alapfelületetéek azt az alapfelületet fogadták el, amel a adapi fıalappot alatt méterre húzódik. Ezzel létrejött a adapi magassági alapszit. A második országos szitezést 9 és 939 között végezték, és a második világháború utá tervezték kiegelítei. A háborúba a potok 60%-a elpusztult,. ábra A adapi szitezési emiatt új hálózatot kellett tervezi. fıalappot A harmadik országos szitezés 948-ba kezdıdött és 964-be fejezıdött be. A tervezésél felhaszálták a már meglévı alappotokat, és az ország területé olc fıalappotot létesítettek geológiailag ugodt körezetbe. A cél az volt, hog ola sőrőségő hálózatot hozzaak létre, hog mide településre jusso legalább eg alappot. 960-ba utasítás jelet meg, amel a balti alapszit haszálatát írta elı. A Balti-teger közepes tegerszitjéek magasságát a Krostadt város kikötıjébe található mareográf regisztrálja. Ezzel megváltozott mide alappot magassága eg álladóak tekitett értékkel. Ezt az álladót a adapi fıalappot esetébe vezették le; a adapi fıalappot adriai magasságából le kellett voi

17 métert a balti magasságra való áttéréshez. A balti alapszit tehát magasabb, mit az adriai, azaz a potok balti magassága midig kisebb. Az 970-es évek végé dötés született az Egséges Országos Magassági Alappothálózat (EOMA) létrehozására. Az EOMA elsıredő potjai az 960-as évekbe létesült kéregmozgásvizsgálati potok lettek, majd az 980-as évekbe megkezdıdött a másod- és harmadredő hálózat sőrítése. Az EOMA az 990-es évek közepére miteg 60%-ba valósult meg, azoba em egségese az ország teljes területé. A Duátúlo például csak az elsıredő hálózat készült el. Jeleleg folik az EOMA elsıredő hálózat újramérése, és egbe az elpusztult potok pótlása. Az alapfelülethez viszoított magasságot alapfelület feletti, vag más éve abszolút magasságak evezzük. Ha az alapfelület a középtegerszit magasságába található, úg az abszolút magasság egbe a tegerszit feletti magasság is. Két pot magasságkülöbségé a potok abszolút magasságáak külöbségét értjük. Az egik pot másikra voatkoztatott magasságkülöbségét evezzük még relatív magasságak is. Attól függıe, hog mile felületet választuk alapfelületek, és hoga viszoítjuk ezt a potot az alapfelülethez, többféle magasság fogalom haszálatos. Valamel potak az alapul választott szitfelülettıl az illetı poto átmeı függıvoalo mért távolsága az úgevezett ortométeres magasság. A szitfelületek az egelítıtıl a sarkvidékek felé összetartaak, ezért az azoos ortométeres magasságú potok icseek ugaazo a szitfelülete, haem eg ola felülete, amel párhuzamos az alapfelülettel (tehát em szitfelület, mert a szitfelületek em párhuzamosak!). A szabatos felsıgeodéziai mérésekbe em lehet eltekitei attól, hog a szitfelületek em párhuzamosak, és attól, hog a függıvoal eg kettıs csavarodású térbeli görbe; az alsógeodéziába azoba megfelelı közelítéssel a szitfelületeket párhuzamosak tekitjük, a függıvoalat pedig eg függıleges egeesek. A felsıgeodéziába több magasság fogalom is haszálatos. A geopoteciális érték em hosszúság jellegő meiség, haem a vizsgálat poto átmeı szitfelülete és az alapfelülete mért poteciálértékek külöbsége. A diamikai magasságot úg kapjuk, hog a geopoteciális értéket elosztjuk a ormál ehézségi térerısség eg kiválasztott értékével, amel a ormál ellipszoidot a 45 -os szé lességi körö jellemzi. A diamikai magasság már hosszúság jellegő, és az azoos diamikai magasságú potok már eg szitfelülete vaak. A ormál magasságot megkapjuk, ha a geopoteciális értéket elosztjuk a ormál ehézségi térerısségek a vizsgált pot ormál ellipszoid feletti felezıpotjára kiszámított értékével. Az alsógeodéziai számítások sorá feltételezzük, hog az alapszitfelület a geoid. Ebbe az esetbe eg pot abszolút magasságá midig a pot tegerszit feletti magasságát fogjuk értei. Két pot magasságkülöbsége pedig mide esetbe a két pot tegerszit feletti magasságáak a külöbsége lesz (. ábra).. ábra Két pot magasságkülöbségéek értelmezése 7

Geodézia 9. Magasságok meghatározása Tarsoly, Péter

Geodézia 9. Magasságok meghatározása Tarsoly, Péter Geodézia 9. Magasságok meghatározása Tarsoly, Péter Geodézia 9.: Magasságok meghatározása Tarsoly, Péter Lektor: Homolya, András Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Tarsoly Péter. Geodézia 9. GED9 modul. Magasságok meghatározása

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Tarsoly Péter. Geodézia 9. GED9 modul. Magasságok meghatározása Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Tarsoly Péter Geodézia 9. GED9 modul Magasságok meghatározása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

GEODÉZIA II. MAGASSÁGOK MEGHATÁROZÁSA

GEODÉZIA II. MAGASSÁGOK MEGHATÁROZÁSA GEODÉZIA II. MAGASSÁGOK MEGHATÁROZÁSA A MAGASSÁG FOGALMA EGY PONT TÉRBELI HELYZETÉT VALAMELY KOORDINÁTARENDSZERBEN HÁROM ADAT HATÁROZZA MEG X, Y, Z A KOORDINÁTARENSZER LEHET: TÉRBELI DERÉKSZÖGŐ ÉS ALAPFELÜLETI

Részletesebben

Bevezetés a geodéziába

Bevezetés a geodéziába Bevezetés a geodéziába 1 Geodézia Definíció: a földmérés a Föld alakjának és méreteinek, a Föld fizikai felszínén, ill. a felszín alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometriai méreteinek és

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Geodéziai számítások

Geodéziai számítások Geodézia I. Geodéziai számítások Pontkapcsolások Gyenes Róbert 1 Pontkapcsolások Általános fogalom (1D, 2D, 3D, 1+2D) Egy vagy több ismeretlen pont helymeghatározó adatainak a meghatározása az ismert pontok

Részletesebben

Földméréstan és vízgazdálkodás

Földméréstan és vízgazdálkodás Földméréstan és vízgazdálkodás Földméréstani ismeretek Előadó: Dr. Varga Csaba 1 A FÖLDMÉRÉSTAN FOGALMA, TÁRGYA A földméréstan (geodézia) a föld fizikai felszínén, illetve a földfelszín alatt lévő természetes

Részletesebben

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán

Mozgásvizsgálatok. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Célja: Várható elmozdulások előrejelzése (erőhatások alatt, Siógemenci árvízkapu) Már bekövetkezett mozgások okainak vizsgálata (Pl. kulcsi löszpart) Laboratóriumi

Részletesebben

Méréstechnikai alapfogalmak

Méréstechnikai alapfogalmak Méréstechnikai alapfogalmak 1 Áttekintés Tulajdonság, mennyiség Mérés célja, feladata Metrológia fogalma Mérıeszközök Mérési hibák Mérımőszerek metrológiai jellemzıi Nemzetközi mértékegységrendszer Munka

Részletesebben

Magassági kitőzések elve és végrehajtása

Magassági kitőzések elve és végrehajtása 4-6. gyakorlat: Magassági kitőzések elve és végrehajtása Magassági kitőzések elve és végrehajtása Magassági kitőzéskor ismert ú alappontból kiindulva, valamely megadott szintet a követelményeknek megfelelıen

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Mérés alapelve, mértékegységek, számolási szabályok. Gyenes Róbert, Tarsoly Péter

Mérés alapelve, mértékegységek, számolási szabályok. Gyenes Róbert, Tarsoly Péter Geodézia I. Mérés alapelve, mértékegységek, számolási szabályok Gyenes Róbert, Tarsoly Péter 1 A mérés alapelve Mérendı mennyiség és az alapegység összehasonlítása Jellemzés kvantitatív úton ( egy adott

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Szintezés. A szintezés elve. Szintfelület nem sík voltának hatása. Szintezés - 1 -

Szintezés. A szintezés elve. Szintfelület nem sík voltának hatása. Szintezés - 1 - Szintezés - 1 - A szintezés elve Szintezés Tetszőleges magosságban előállítottunk egy képzeletbeli, a tengerszinttel párhuzamos felületet egy szintfelületet - majd a szintfelületre merőleges irányban (tehát

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Távérzékelés gyakorlat Fotogrammetria légifotó értelmezés

Távérzékelés gyakorlat Fotogrammetria légifotó értelmezés Távérzékelés gyakorlat Fotogrammetria légifotó értelmezés I. A légifotók tájolása a térkép segítségével: a). az ábrázolt terület azonosítása a térképen b). sztereoszkópos vizsgálat II. A légifotók értelmezése:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A 10/2007 (II. 27.) 1/2006 (II. 17.) OM

A 10/2007 (II. 27.) 1/2006 (II. 17.) OM A 0/2007 (II. 27.) SzMM redelettel módosított /2006 (II. 7.) OM redelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe törtéő felvétel és törlés eljárási redjéről alapjá. Szakképesítés, szakképesítés-elágazás,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Mivel a földrészleteket a térképen ábrázoljuk és a térkép adataival tartjuk nyilván, a területet is a térkép síkjára vonatkoztatjuk.

Mivel a földrészleteket a térképen ábrázoljuk és a térkép adataival tartjuk nyilván, a területet is a térkép síkjára vonatkoztatjuk. Poláris mérés A geodézia alapvető feladata, hogy segítségével olyan méréseket és számításokat végezhessünk, hogy környezetünk sík térképen méretarányosan kicsinyítetten ábrázolható legyen. Mivel a földrészleteket

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1 1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók.

1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók. 1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók. Tevékenység: Olvassa el a jegyzet 18-29 oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 8.2. és 8.3. fejezeteiben lévı kidolgozott feladatait,

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA II. Laboratóriumi gyakorlat a mérés leírása

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA II. Laboratóriumi gyakorlat a mérés leírása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŐSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA II. Laboratóriumi gyakorlat a mérés leírása A FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA I. Laboratóriumi

Részletesebben

KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Egy geoinformációs rendszer fejlesztésének tudományos eredményei. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS

KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Egy geoinformációs rendszer fejlesztésének tudományos eredményei. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Eg geoiformáiós redszer fejlesztéséek tudomáos eredméei DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Czimber Korél Nugat-Magarországi Egetem Erdıméröki Kar, Sopro Erdészeti

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Statisztikai függvények

Statisztikai függvények EXCEL FÜGGVÉNYEK 9/1 Statisztikai függvények ÁTLAG(tartomány) A tartomány terület numerikus értéket tartalmazó cellák értékének átlagát számítja ki. Ha a megadott tartományban nincs numerikus értéket tartalmazó

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15. I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának

Részletesebben

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások Teodolit Alapismeretek - leolvasások A teodolit elve Szögmérő műszer, amellyel egy adott pontból tetszőleges más pontok felé menő irányok egymással bezárt szögét tudjuk megmérni, ill. egy alapiránytól

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

(L) Lamellás szivattyú mérése

(L) Lamellás szivattyú mérése (L) Lamellás szivattyú mérése A mérésre való felkészülés sorá a Hidraulikus tápegység mérésleírás Hidrosztatikus hajtásokról c részét is kérjük elsajátítai 1 A mérés célja, a beredezés ismertetése 11 A

Részletesebben

MIKROFYN GÉPVEZÉRLÉSEK. 2D megoldások:

MIKROFYN GÉPVEZÉRLÉSEK. 2D megoldások: MIKROFYN GÉPVEZÉRLÉSEK Néhány szó a gyártóról: Az 1987-es kezdés óta a Mikrofyn A/S a világ öt legnagyobb precíziós lézer és gépvezérlés gyártója közé lépett. A profitot visszaforgatta az új termékek fejlesztésébe

Részletesebben

Teodolit és a mérőállomás bemutatása

Teodolit és a mérőállomás bemutatása Teodolit és a mérőállomás bemutatása Teodolit története Benjamin Cole, prominens londoni borda-kör feltaláló készítette el a kezdetleges teodolitot 1740 és 1750 között, amelyen a hercegi címer is látható.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

Vízóra minıségellenırzés H4

Vízóra minıségellenırzés H4 Vízóra minıségellenırzés H4 1. A vízórák A háztartási vízfogyasztásmérık tulajdonképpen kis turbinák: a mérın átáramló víz egy lapátozással ellátott kereket forgat meg. A kerék által megtett fordulatok

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái

Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái Ágfalvi: Mérnökgeodézia 7. modul M2 tervezési segédlet: 6. Kitűzések (5. modul), 7. Kivitelezett állapotot ellenőrző mérések Detrekői-Ódor: Ipari geodézia

Részletesebben

Gépészeti berendezések szerelésének geodéziai feladatai. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán

Gépészeti berendezések szerelésének geodéziai feladatai. Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Gépészeti berendezések szerelésének geodéziai feladatai Mérnökgeodézia II. Ágfalvi Mihály - Tóth Zoltán Gépészeti berendezések szerelésének geodéziai feladatai '80 Geodéziai elvű módszerek gépészeti alkalmazások

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Pontjelek. Fényképek: Varga Imre, Tóth László

Pontjelek. Fényképek: Varga Imre, Tóth László Pontjelek Fényképek: Varga Imre, Tóth László Pontjelek A pontokat a terepen a meghatározásuk, és a fennmaradásuk biztosítása érdekében m e g j e l ö l j ü k. A megjelölés s módja m függ: f a m a mérés

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Elektronikai alapgyakorlatok

Elektronikai alapgyakorlatok Elektronikai alapgyakorlatok Mőszerismertetés Bevezetés a szinuszos váltakozó feszültség témakörébe Alkalmazott mőszerek Stabilizált ikertápegység Digitális multiméter Kétsugaras oszcilloszkóp Hanggenerátor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

R E K T I F I K Á C I Ó

R E K T I F I K Á C I Ó R E K T I F I K Á C I Ó Bevezetés A foladékelegek szétválasztásáak egik leggakrabba alkalazott ódszere a gőzfoladék egesúlo alapuló desztilláció ill. az isételt desztilláció: a rektifikálás. Midkét űvelet

Részletesebben

3. A földi helymeghatározás lényege, tengerszintfeletti magasság

3. A földi helymeghatározás lényege, tengerszintfeletti magasság 1. A geodézia tárgya és a földmûvek, mûtárgyak kitûzése A földméréstan (geodézia) a Föld fizikai felszínén illetve a felszín alatt lévõ természetes és mesterséges alakzatok méreteinek és helyének meghatározásával,

Részletesebben

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar. Villamos Energetika Tanszék. Világítástechnika (BME VIVEM 355)

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar. Villamos Energetika Tanszék. Világítástechnika (BME VIVEM 355) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Villamos Energetika Tanszék Világítástechnika (BME VIVEM 355) Beltéri mérés Világítástechnikai felülvizsgálati jegyzőkönyv

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3 5. gyakorlat. Tömegmérés, térfogatmérés, pipettázás gyakorlása tömegméréssel kombinálva. A mérési eredmények megadása. Sóoldat sőrőségének meghatározása, koncentrációjának megadása a mért sőrőség alapján.

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Elveszett m²-ek? (Az akaratlanul elveszett információ)

Elveszett m²-ek? (Az akaratlanul elveszett információ) Elveszett m²-ek? (Az akaratlanul elveszett információ) A mérés és a térkép I. A földrészletek elméleti határvonalait definiáló geodéziai/geometriai pontok (mint térképi objektumok) 0[null] dimenziósak,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó Kézrat részletek a REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK c. készülő egetem takövből, szerkesztő: Nemes Nag Józse várható megjeleés 004., ELTE Eötvös Kadó 5 TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK 5. Fogalm keretek Az egelőtleség

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

MUNKAANYAG. Tirpák András. A magasságmérés műszerei és módszerei. A követelménymodul megnevezése: Építőipari mérések értékelése, szervezési feladatok

MUNKAANYAG. Tirpák András. A magasságmérés műszerei és módszerei. A követelménymodul megnevezése: Építőipari mérések értékelése, szervezési feladatok Tirpák András A magasságmérés műszerei és módszerei A követelménymodul megnevezése: Építőipari mérések értékelése, szervezési feladatok A követelménymodul száma: 0689-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

A logisztikai teljesítményelvárások kijelölése - Vevıszegmentálás ÚTMUTATÓ 1

A logisztikai teljesítményelvárások kijelölése - Vevıszegmentálás ÚTMUTATÓ 1 A logisztikai teljesítményelvárások kijelölése - Vevıszegmentálás ÚTMUTATÓ 1 A programozást elvégezték és a hozzá tartozó útmutatót készítették: dr. Gelei Andrea és dr. Dobos Imre, egyetemi docensek, Budapesti

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben