Hidak és Profunktorok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hidak és Profunktorok"

Átírás

1 Hidak és Profunktorok Pécsi Bertalan Doktori disszertáció 2012

2 Pécsi Bertalan: Hidak és Profunktorok Doktori disszertáció Javított verzió, ELTE TTK, Matematika Doktori Iskola Elméleti Matematika Program Témavezető: Sain Ildikó ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet

3 Tartalomjegyzék Bevezető 2 0. Alapvetések 7 1. Bikategóriák Profunktorok Ekvivalenciahidak Morita-összefüggések Kettős kategóriák Kolaza/laza adjunkciók 67 A. Függelék: Bénabou-féle bikategóriák 73 B. Függelék: Verity-féle kettős kategóriák 76 Tárgymutató 81 Hivatkozások 82 1

4 Bevezető Jelen értekezés tárgya a bikategóriák, kettős kategóriák és a köztük menő laza, kolaza funktorok egy alternatív, koherencia-ötszögtől és különbözeti celláktól mentes felépítése, és néhány további, ezekhez kapcsolódó struktúra vizsgálata. Az axiomatikus felépítésben Tom Leinster egyik irányvonalát követjük, továbbá profunktorokat és reflexiókat használunk. Nagy vonalakban leírva, a következő kategóriaelméleti struktúrákat fogjuk tanulmányozni: Amikor két adott kategória (A és B) közt mehetnek (A-n és B-n kívüli) külső nyilak, úgynevezett heteromorfizmusok, amik komponálhatóak A és B nyilaival [persze csak ha a végpont és a kezdőpont stimmel]. Ilyen általánosságban ezt úgy hívjuk, hogy híd; az irányított (A Û B) esetet pedig hogy profunktor, avagy magyarul ág. (2.1. def.) Egy A Û B ág önmagában rejthet akár egy A Ñ B funktort [ha minden A-beli objektumnak van reflexiója B-ben], akár egy B Ñ A funktort [ha minden B-beli objektumnak van koreflexiója A-ban], s ha mindkettőt, akkor ez a két funktor adjungált egymáshoz. (2.4. def. és 2.7. tétel.) Amikor egy kategória nyilai között is mehetnek morfizmusok (úgynevezett 2-cellák), amiket, ha a széleik passzolnak, vízszintesen és függőlegesen is össze lehet fűzni. Ha csak párhuzamos nyilak között mennek 2-cellák, akkor bikategóriáról beszélünk (1.1. def.), egyébként kettős kategóriáról (angolul double category, 5.3. def.) Sajnos számos fontos példában a nyilak eredeti kompozíciója nem asszociatív a szigorú értelemben véve, csak izomorfizmus 2-cella erejéig (ez a fajta gyenge asszociativitás megfigyelhető például a halmazok Descartes-szorzatánál: az paˆbqˆc és AˆpBˆCq halmazok nem egyenlőek egymással, csak természetesen izomorfak). Ez a bikategória axiomatikus definíciójánál bonyodalmakat okoz, amire számos feloldás született már, jelen írásban mi Tom Leinster unbiased bikategória definíciójának ([Leinster]) egy változatát ismertetjük: a kétváltozós gyengén asszociatív kompozíció művelet helyett egy (szintén gyengén, azaz csak izomorfizmus erejéig) asszociatív műveletcsaládot veszünk alapul, lásd 1.1. def). Az A. függelékben ezt összevetjük az eredeti, Bénabou-féle definícióval. Kettős ágak bikategóriák illetve kettős kategóriák közt (angolul double profunctors", 5.6. és 5.1. def). Ezek teljesen analóg módon viselkednek, mint a hagyományos kategóriák közti ágak: segítségükkel jellemezhetjük a laza- és kolaza- funktorokat, sőt a kolaza/laza adjunkciókat is (angolul lax és colax functor ). (5.11, 5.13, 6.6. tételek.) A kategóriák közti ágak mint vízszintes nyilak egy bikategóriát határoznak meg, amiben egy A é B híd a két ága (A Û B és B Û A) által éppen 2

5 egy híres diagram-féleséget határoz meg, amit úgy hívnak, hogy Moritakontextus avagy Morita-összefüggés, és bármely bikategóriában definiálható. A 0. fejezetben áttekintjük a szükséges kategóriaelméleti hátteret. Az 1. fejezetben, Tom Leinster unbiased bicategory definiciójának [Leinster] egy elemi interpretációját adjuk, valamint felvázolunk néhány bikategórián belül értelmezhető fogalmat (úgymint adjungált nyílpár vagy belső monoid, monoidhatás). A 2. fejezetben bevezetjük a 3.-ban és 4.-ben használt híd fogalmat, és ennek egyirányú változatát, az ág -at, valamint igazoljuk, hogy az ágak és a profunktorok egyértelműen meghatározzák egymást. Bevezetjük a kategóriák és ágak Prof bikategóriáját, majd a kategóriák és funktorok Cat bikategóriájának két kanonikus, Prof-ba való beágyazását taglaljuk. A 3. fejezetben a kategóriák ekvivalenciáját és Morita ekvivalenciáját jellemezzük bizonyos fajta hidakkal. A 4. fejezetben a gyűrűk köréből ismert ún. Morita-összefüggések és a hidak közös általonísátását vezetjük be, tetszőleges bikategóriában. Az 5. fejezetben a vízszintesen gyengén asszociatív kettős kategóriát definiáljuk, mint egy függőleges struktúrával kibővített bikategóriát, majd a 2. fejezetben írtak 2 dimenziós analógiájaként, reflexiókkal illetve koreflexiókkal adunk egy elegáns jellemzését a bi- és kettős kategóriák elméletében alapvető szerepet játszó kolaza illetve laza funktoroknak. A 6. fejezetben egy konkrét, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória közbenjárásával kiterjesztjük a két kanonikus Cat ãñ Prof beágyazást kettős kategóriákra, majd ezt felhasználva egy tollvonással megmutatjuk, hogy a [Gran-Pare2]- ban értelmezett kolaza/laza adjunkciók hogyan jellemezhetők kettős ágakkal, vö. [Fio-Gam-Kock]. Végül, az A. függelékben összevetjük a Bénabou-féle és az itt interpretált Leinsterféle bikategóriákat, valamint, a B. függelékben a felépített saját apparátussal definiáljuk az utolsó fejezethez a Verity-féle, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategóriákat. o Saját eredményeim: - A híd fogalma, mint szimmetrikus profunktor: 2.1. def., avagy mint Moritaösszefüggés a profunktorok körében: A kategóriák Morita-ekvivalenciájára vonatkozó 3.9. tétel elemi bizonyítása. - A 3.4. tétel, mely a kategóriaekvivalenciának egy híddal való jellemzése, és ami alapvető építőköve Mark Lawson félcsoportok Morita elméletéről szóló egyik cikkének: [Lawson]. 3

6 - A 2.9. következmény, miszerint minden adjungált funktorpár előáll egy koreflektív és egy reflektív adjunkció kompozíciójaként. ([Pecsi]-ben azt is igazoltam, hogy ez egy gyenge faktorizációs rendszert határoz meg.) - Egy adott bikategória Morita-összefüggéseinek bikategóriájának néhány tulajdonsága, például, hogy ugyanazok az objektumok lesznek ekvivalensek egymással, mint az eredeti bikategóriában (4.7. tétel és 4.8. és 4.9. következmények.) - A bikategóriák illetve kettős kategóriák közti laza- és kolaza funktoroknak (ko-)reflexiókkal való egyszerű jellemzése, kettős ágon belül, koherencia feltételek és különbözeti cellák nélkül: ezek a kettős ág struktúrába bele vannak kódolva. (5.11, tételek.) Ezt a 6.6. tétel egy alternatív bizonyításához is használni fogjuk. - A [Gran-Pare2] cikk egyik központi kettős kategóriájának, ami a laza és kolaza funktorokat mint vízszintes és függőleges nyilakat tartalmazza, teljes beágyazása a kettős ágak bikategóriájába (ami a laza funktorokon kontravariáns, 6.5. tétel). - A [Verity]-ben értelmezett mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória ( double bicategory ) egy, [Morton]-étól eltérő kompakt definíciója: B.1. o Terminológia és jelölés. Minthogy a bikategóriák, kettős kategóriák és profunktorok elmélete viszonylag fiatal a matematikán belül, a fogalmak pláne magyarul! még nem mind szilárdultak meg teljesen. Ha egy faág két rügypontnál vett transzverzális metszetét tekintjük, illetve az ezek közt futó rostokat, az olyasmi ábrázolatú, amilyennek egy általános profunktort mint irányított hidat szokott az ember a táblára vagy a jegyzetébe rajzolni (vagy akár egy páros gráfot). Ez ihlette az ág elnevezést, melyet még azelőtt találtam ki, hogy megismertem volna az ugyanerre alkalmazott profunktor kifejezést (ami mellett még a (bi-)modulus, és disztribútor szavak is valamennyire elterjedtek). Precízen, a 2.1.-beli ág egy profunktor kollázsának felelne meg, ld. pl. [Gran-Pare], ami azonban könnyen láthatóan meghatározza magát a profunktort, ld. még 2.3. tétel. Mindazonáltal, meghagyjuk az ágakra az egyik legelterjedtebb profunktor jelölésmódot, az áthúzott nyilat: F : A Û B, ugyanakkor magát F-et is kategóriának tekintjük, ami megkönnyíti a tárgyalásmódot. E Egy közös halmazból induló függvénypárt ( villa diagramot, A B angolul span -t) páros gráfnak fogunk tekinteni, ilyenkor A-t és B-t diszjunktnak 4

7 ábrázoljuk, ez a két ponthalmaz (ha van közös elemük, azt mindkét oldalon külön szerepeltetjük), E elemeit élekként fogjuk fel, és a két függvény minden élnek kijelöli a kezdő- és végpontját. Nyilak kompozícióját összefűzésnek is nevezzük. Gyakran írjuk azt valamiféle nyílról, hogy X és Y közti. Ezt úgy értjük, hogy ay adott nyíl kezdőpontja X és végpontja Y. Általánosabban is, a kijelölt irányok mindenütt az olvasás irányai: balról jobbra, illetve fentről lefele. Ezt szem előtt tartva legtöbbször megspóroljuk az ábrákban a 2-cellák, cellák, de néha még a nyilak irányításának a jelölését is. Megjegyzendő, hogy ezen lerögzíteett haladási irányok mellett az Ehresmann-féle kvintett-konstrukció ( pl.) szükségszerűen megfordítja a két irány egyikét, nálunk a vízszinteset: 88 Ez összhangban van azzal, hogy a és a 6.5. tételekben szereplő beágyazások mindegyike kontravariáns, pontosan az egyik irányban. Kategóriákat A, B, C, F,..., funktorokat F, G, U, V,..., bikategóriákat A, B, C,..., kettős kategóriákat A, B, D, F,..., cellákat és 2-cellákat α, β, γ,... betűtípussal fogunk jelölni. A nyilakat általában vegyesen kis latin vagy görög betűkkel. Emellett, α P A azt fogja jelenteni, hogy α egy nyíl az A kategóriában, és β P B azt, hogy β egy 2-cella a B bikategóriában, legalábbis eleinte. A 2-cellákat (nyilak közötti nyilakat) absztraktan mindig dupla nyíllal jelöljük: α : f ùñ g, de konkrét példákban, például, ha a 2-cellák valamiféle funktorok vagy bimodulus-morfizmusok, akkor maradunk a szimpla nyílnál. Nyilak vízszintes kompozíciót egymás mellé írással, 2-cellák vízszintes kompozícióját a jellel jelöljük, és a b jelet meghagyjuk a gyűrűk közti (fölötti) bimodulusok tenzorszorzatára. Mivel a függeléket nem számítva végig ezekkel fogunk dolgozni, az egyszerűség kedvéért lehagyjuk a Leinster-féle unbiased bicategory, unbiased lax functor elnevezések unbiased előtagját, valamint a pszeudo kettős kategóriá -ból a pszeudo előtagot. A belső monoidokat ( internal monoid ) gyakran monádok -nak hívják, ha bikategórián belül van, de monoidális kategórián belül (ami lényegében az egy objektumú bikategória) viszont inkább (internal) monoid -nak. Ami azért ellentmondásos kicsit, mert minden bikategóriabeli monád egy objektumon van értelmezve, így ha arra az objektumra megszorítjuk a bikategóriát, egy monoidális kategóriát kapunk, amin belül a monád már monoid -nak nevezhető. Eredendően a Cat 2-kategóriábeli belső monoidokat hívják monádoknak. Az 5. fejezetben megjelennek a függőleges nyilak, ezekre az A Ó B jelölést 5

8 alkalmazzuk, ami tehát egyik esetben sem vesszőkategória ( comma category ). [Gran-Pare]-val ellentétben nálunk, a bikategóriás jelöléseket és terminológiát követve, a vízszintes kompozíció a gyengén asszociatív, és a függőleges irány a szigorúan asszociatív. A vízszintes kompozíciót itt is jelöli, a függőleges kompozícióra viszont a törtjelet vezetjük be, követve [Gran-Pare]-t, viszont ezt a jelölést a függőleges nyilakra is kiterjesztjük: ha f :A Ó B és g :B Ó C, akkor összefűzöttjük az f :A Ó C függőleges g nyíl lesz. A kolaza funktorokat helyenként oplax functor -nak is szokták nevezni, nálunk a ko prefix összhangban van azzal, hogy a függőleges ellentettet co jelöli. A [Verity]-ben és [Morton]-ban double bicategory -nak nevezett fogalom nálunk Verity-féle kettős kategória néven van definiálva (B.1). Noha a definíció valóban tartalmaz két bikategóriát, a fogalom mégis inkább a vízszintesen és függőlegesen is gyengén asszociatív kettős kategóriákat kívánja megfogni ( doubly weak double category ). Amit az 1. és 5. fejezetekben α pϕ ψq β-val jelölünk, az a B. függelékben már az α " emeletes ϕ ψ írásmódba megy át, merthogy ez voltaképpen α felülről illetve β! β alulról való hatása (a ϕ ψ vízszintes kompozíción). Ugyanakkor, megtartjuk a -t az itt felbukkanó bal és jobb oldali hatásokra. o A mű elkészüléséért köszönetemet fejezem ki témavezetőmnek, Sain Ildikónak, továbbá Böhm Gabriellának, Márki Lászlónak, Szlachányi Kornélnak, valamint Gyenis Zalánnak, Horváth Ramónnak, Pintér Gergőnek. 6

9 0. Alapvetések Az alábbiakban egy rövid halmazelméleti megalapozás után tömören összefoglaljuk a későbbi fejezetekhez szükséges hátteret. E fejezetben felsorolt fogalmak, állítások mindegyike megtalálható a legtöbb kategóriaelméleti bevezető könyvben (pl. [MacLane], [Freyd-Sced], [JoyCat]), helyenként némi ekvivalens átfogalmazással. A matematika szinte minden területe valamiféle struktúrákról szól: ezek rendszerint egy vagy több alaphalmazra épülnek, amin vagy amiken az adott struktúrafajtákra jellemző operációk és/vagy relációk vannak értelmezve. Például a monoidok, a gráfok vagy a kategóriák (ld. 0.4, 0.1. def.) mind struktúrafajták. A kategóriaelmélet, mint nyelv, általánosságban képes beszélni a struktúrákról, a struktúratartó függvények (ún. morfizmusok ) segítségével. o Használni fogjuk a hagyományos halmazelméleti és logikai minden x-re : P olvasata: minden X-beli x-re teljesül P ), Dx: D!x : P _ Q: P ^ Q: P és Q P ñ Q: létezik olyan x, hogy, pontosan egy x létezik, amire, P vagy Q (ahol P, Q kijelentések) P -ből következik Q, P ðñ Q: P és Q ekvivalensek, azaz pp ñ Qq ^ pq ñ P q, x P y: x Ď y: xa 1, a 2,..., a n y: x eleme y-nak, x részhalmaza y-nak, rendezett elem n-es. Ahogy az a halmazelméleti felépítésekben szokás, egy rendezett párokból álló f halmazt függvénynek vagy leképezésnek nevezünk az A és B halmazok közt (jelben f :A Ñ B), D!bPB : xa, by P f y : pxx, yy P f ñ x P Aq. Egy adott A halmazhoz tartozó txa, ay a P Au identitás függvényt id A jelöli. Ha f : A Ñ B és g : B Ñ C függvények, a kompozíciójukat balról jobbra írjuk, és egymás mellé írással vagy -tal jelöljük, így: f g : txa, cy DbPB : pxa, by P f ^ xb, cy P gqu. Ha egy adott a P A elemhez b az egyetlen elem, amire xa, by P f, akkor azt mondjuk, hogy f az a-hoz b-t rendeli hozzá (jelben a ÞÑ b), ugyanekkor b-t az a elem f függvénynél vett képének is nevezzük, és f-et az a jobb felső indexébe helyezve 7

10 jelöljük, így: Tehát, a f, összhangban a kompozíció balról jobbra menő írásmódjával. b a f def ðñ xa, by P f, és így a f g pa f q g. Egy f : A Ñ B függvény értékkészlete a tb P B Da P A : a f bu halmaz (Ď B), és ha ez megegyezik B-vel (azaz DaPA : a f b), akkor azt mondjuk rá, hogy szürjektív. Továbbá, f-et injektívnek nevezzük, a 1 P A : `af a f 1 ñ a a 1. Ha mindkettő teljesül, akkor f bijektív. Legyen X Ď A és f : A Ñ B egy függvény, ennek az X-re vett megszorítását jelölje F æ X, ez tehát egy X Ñ B függvény lesz: az X Ñ A identikus beágyazás (X Q x ÞÑ x P A) és f kompozíciója. Egy I indexhalmazzal indexelt xx i y ipi sorozat alatt azt az f : I Ñ X függvényt értjük, amire i f x i minden i P I-re. Speciálisan, egy rendezett elem n-es az egy, az t1, 2, 3,..., nu halmazon értelmezett függvényként interpretálható. o A konstrukciókban használni fogjuk a kiválasztási axiómát (amikor majd egy adott gráf bizonyos pontjaihoz lerögzítünk valahogy bizonyos éleket, pl tétel vagy állítás). Valamint gyakran előfordul majd egy halmaz (vagy struktúra) több, egymástól diszjunkt, izomorf példányba való lemásolása. A későbbi példákban elvétve előfordulnak olyan közismertebb struktúrafajták, kifejezések, melyeket itt nem vezetünk be. Ezek a következők: - a 0.4. részben ismertetett monoidok és biaktok additív megfelelői: az (egységelemes) gyűrűk, és a gyűrűk közti bimodulusok; - Abel-csoportok, biaktok, valamint bimodulusok tenzorszorzata; - csoportok, azok kommutátor részcsoportjaik; - testek fölötti vektorterek, illetve csoportok lineáris reprezentációi; - ekvivalenciarelációk és velük való lefaktorizálás; - metrikus terek; - Boole-algebrák és relációalgebrák. Ezeknek a fogalmaknak a nagy része a legtöbb egyetemi jegyzetben szerepel, és mindegyik megtalálható a következő könyvek valamelyikében: [Kiss-Freud], [Simon], [Hirsh-Hod]. 8

11 o Az értekezésben sok helyen említünk olyan példát, amik a szó legtágabb értelmében a (Zermelo-Fraenkel féle, röviden ZFC) halmazelméletben nem állják meg a helyüket, például alább a 0.1. részben a halmazok kategóriájában (Set-ben) az objektumok összessége intuitíve az összes halmaz lenne, ami azonban nem alkot halmazt ZFCben! Az efféle problémák feloldhatók úgy, hogy a ZFC axiómarendszerhez az alábbiak szerint hozzáveszünk még egy axiómát, 1 és a példákat megszorítjuk egy, az új axióma szerint létező ún. Grothendieck univerzum halmazaira. Definíció. Egy U halmazt Grothendieck univerzumnak nevezzük, és elemeit kis halmazoknak hívjuk, ha 1. Kis halmazok elemei is kis y : x P y P U ñ x P U, 2. Egy vagy két kis halmaz halmaza kis y : x, y P U ñ tx, yu P U, 3. Kis halmaz hatványhalmaza kis : x P U ñ ty y Ď xu P U, 4. Kis halmaznyi sok kis halmaz uniója is kis PU : : xi P U ñ ď x i P U. ipi Ezek a feltételek többek között biztosítják, hogy ha x, y P U, akkor az összes x-ből y-ba menő függvényt tartalmazó halmaz is kicsi. Ez elegendő ahhoz, hogy a kis alaphalmazokon értelmezett struktúrák és a köztük menő struktúratartó leképezések lokálisan kis kategóriát alkossanak a 0.1.-ben adott definíció értelmében. A ZFC-hez hozzáveendő axióma ekkor így szól: Minden X halmazhoz van olyan U Grothendieck univerzum, amire X P U. Ettől a kibővített axiómarendszer ekvikonzisztens marad a ZFC-vel, azaz ugyanannyira ellentmondásmentes. (Lásd pl. [Sonner], [Fef-Krei]). Most két példán keresztül bemutatjuk, hogy halmazelméletileg milyen limitálásokkal értelmezendőek a később bevezetésre kerülő kategóriák, bikategóriák, kettős kategóriák. 1 Szokás még például a Gödel-Bernays-féle halmazelmélet keretrendszerében dolgozni (ld. pl. [Bernays]), amelyben tárgynyelvi szinten beszélhetünk valódi osztályokról és halmazokról: ebben a megközelítésben egy H összességre vonatkozó kis jelző úgy olvasandó, hogy H halmaz. Egy harmadik feloldási mód, hogy olyan halmazelméletbe helyezzük a témakört, amelyben megengedettek az efféle totális konstrukciók, mint pl. minden halmaz halmazát tekinteni. Ilyen halmazelmélet létezik, ld. pl. Quine New Foundation rendszere, [Holmes]. 9

12 Először is, rögzítsünk le egy U Grothendieck univerzumot, ami tartalmaz végtelen halmazt, elemeire továbbra is kis halmazokként hivatkozunk. Tekintsük a fentebb említett és a 0.1. utáni 2. példában bevezetett Set kategóriát, továbbá a példában bevezetett Span bikategóriát: mindkettőnél azt írjuk, hogy az objektumai a halmazok, de ezt igazából (e (kibővített ZFC) + rögzített U rendszeren belül) úgy értjük, hogy Set-nek és Span-nek is az objektumai a kis halmazok. Vagyis, ObSet U és ObSpan U. Span nyilai a kis páros gráfok, azaz olyan A Ð E Ñ B függvénypárok, ahol A, E, B P U. A definíció utáni megjegyzés következtében ekkor maga a két, kezdőés végpontot kijelölő függvény is U-ban van Kategóriák Egy irányított gráf alatt pontok és élek összességét értjük, ahol minden élnek meg van adva a kezdő- és végpontja. Formálisan tehát ez egy xp, E, k, vy négyes, ahol P és E halmazok, P elemeit pontoknak, E elemeit éleknek mondjuk, és k és v mindketten E Ñ P függvények: E k v P. Az α P E élhez hozzárendelt α k pontot α kezdőpontjaként, illetve az α v pontot α végpontjaként említjük. Azt a tényt, hogy egy α élre α k A és α v B, leggyakrabban ezzel a jelöléssel szoktuk kifejezni: α : A Ñ B vagy A Ñ α B, illetve egyéb nyílrajzulattal, attól függően, hogy a szóban forgó gráfban éppen hogy jelöljük az éleket. (Tehát az α : A Ñ B jelölés nem feltétlenül bármiféle halmazok közti függvényt takar.) Megengedjük, sőt használjuk a hurokéleket (α : A Ñ A) és párhuzamos éleket is (α, β :A Ñ B esetén α β nem feltétlenül teljesül). Két él, α és β, ilyen sorrendben egymást követő, ha α végpontja megegyezik β kezdőpontjával, azaz α v β k. Éleknek egy xα 1, α 2,..., α n y sorozatát n hosszú A-ból B-be menő (A B) útnak hívjuk, ha ezek ilyen sorrendben egymást követőek, valamint α 1 kezdőpontja A és α n végpontja B. Egy A pontot 0 hosszú (A A) útnak is tekintünk. Hasonlóan, egy A és egy B halmaz közti (irányított, egyirányú) páros gráf alatt formálisan egy xa, B, E, k, vy ötöst értünk, ahol E az élek halmaza, és k :E Ñ A, v : E Ñ B függvények. Mivel az A és B ponthalmazok kitüntetett szerepűek, sokszor diszjunktként tekintünk rájuk 2 innen a név, noha ezt explicite nem 2 Precízen, vehetünk mondjuk A helyett t0u ˆ A-t és B helyett t1u ˆ B-t, ezek már biztos diszjunktak. 10

13 követeljük meg. (Sőt, figyeljük meg, hogy pl. az A B szerepválasztás visszaadja az irányított gráf definícióját.) k E Egy ilyen páros gráfot az ún. villa diagrammal ábrázolunk: v A B, vagy olykor röviden csak így jelöljük: E :A B. A rá való hivatkozásnál néhol azonosítjuk a páros gráfot E-vel Definíció. Kategóriának nevezünk egy xg, y párt, ha G egy irányított gráf, és az egymást követő élpárjain adott lokálisan egységelemes asszociatív művelet, amit kompozíciónak (avagy összefűzésnek, helyenként szorzásnak ) nevezünk. Ez a művelet tehát minden xα, βy 2 hosszú A C úthoz (azaz, egymást követő élpárhoz) egy α β-val jelölt A Ñ C élt rendel úgy, hogy pα βq γ α pβ γq, minden xα, β, γy 3 hosszú útra, valamint a gráf minden A pontján van egy (1 A -val jelölt) A Ñ A lokális egységelem, amire minden A-ba érkező α-ra α 1 A α, és minden A-ból induló β-ra 1 A β β teljesül. Ha minden A, B pontpárra az A-ból B-be menő nyilak halmaza kicsi, a kategóriát lokálisan kis kategóriának nevezzük. Ez a feltétel a legtöbb példánkban teljesülni fog, igazi jelentősége pedig a hamarosan bevezetésre kerülő hom-funktor értelmezésénél lesz. A pontokat objektumoknak, az éleket nyilaknak vagy (homo-)morfizmusoknak is nevezzük. Az 1 A egységnyilat úgy is hívjuk, hogy A identitása. Egy A kategória objektumainak összességét ObA jelöli, a nyilak összességét meg maga A. Ha ez kis halmaz, A-ról azt mondjuk, hogy kis kategória. Az A Ñ B nyilak halmazát hom-halmaznak hívjuk és ApABq-vel jelöljük, esetleg csak pabq-vel, ha a szóban forgó kategória világosan kiderül a szövegből. A kompozíciót alapjában véve minden kategóriában balról jobbra értjük, összhangban a fentebb bevezetett függvénykompozícióval. (Illetve a későbbiekben helyenként felülről lefele is.) Ha egy kategória két egymást követő élpárjára α β γ δ, akkor azt mondjuk, hogy az γ α γ # β δ α δ β négyzet kommutál. Ezt rajzban a # szimbólummal jelöljük, így: Példák. 1. Bármely halmazra tekinthetünk mint ponthalmaz, és elláthatjuk formális identitásnyilakkal, így egy ún. diszkrét kategóriához jutunk (amiben minden nyíl 11

14 identitásnyíl). Precízen, ha adott az A halmaz, tekintsük az xa, A, id A, id A y gráfot, ebben az élek (akárcsak a pontok) A elemei, az a P A élnek a kezdőpontja és a végpontja is az a pont, tehát az egymást követő élpárok csak az xa, ay párok lehetnek, a kategóriában a kompozíció pedig xa, ay ÞÑ a. 2. A halmazok kategóriáját jelölje Set: ennek az objektumai a (kis) halmazok, a nyilai a függvények, az összefűzés a függvénykompozíció. Mivel a fenti értelmezés szerint, ha f : A Ñ B egy függvény és B Ď C, akkor ugyanúgy f :A Ñ C is írható. Hogy a végpont leképezés mégis egyértelmű legyen, formálisan a függvények helyett az xa, f, By hármasokat szokás Set morfizmusainak tekinteni, ahol f : A Ñ B függvény, és A, B kis halmazok. Hasonlóan értelmezendőek a további példák is. 3. A csoportok kategóriájában az objektumok a (kis halmazokon értelmezett) csoportok, a nyilak a homomorfizmusok, az összefűzés függvénykompozíció. 4. Analóg módon értelmezhető bármely algebrai struktúrafajták kategóriája, pl. az Abel-csoportok, az egységelemes gyűrűk, vagy a monoidok kategóriája. 5. Az irányított gráfok kategóriájában az objektumok az irányított gráfok, és a nyilak az úgynevezett gráfmorfizmusok: olyan függvények, amik ponthoz pontot, élhez élt rendelnek, és megtartják a kezdő- és végpontokat. Precízen, ha G xp, E, k, vy és G 1 xp 1, E 1, k 1, v 1 y irányított gráfok, akkor egy f : G Ñ G 1 alatt egy f xf P, f E y függvénypárt értünk, ahol f P : P Ñ P 1 és f E :E Ñ E 1, valamint E k P f E # E 1 P 1 k1 f P és E v P f E # f P. E 1 v1 P 1 6. Hasonlóan, egy E : A B páros gráfból egy E 1 : A 1 B 1 -be menő (páros gráf)-morfizmus alatt egy xf A, f E, f B y függvényhármast értünk, amelyre E A f B # E # f A E 1 A 1 B 1 f B. 7. Egy A kategória nyílkategóriája az az A Ñ, aminek pontjai az A nyilai és nyilai az A kommutatív négyzetei, tehát, A Ñ pf gq : txα, βy f β α g, azaz α f # β g u. 12

15 o Funktor alatt két kategória közt egy olyan gráfmorfizmust értünk, ami identitáshoz identitást rendel, és megtartja az összefűzést, vagyis, (jelben F :A Ñ B), - ha α P A, α:a Ñ A 1 esetén α F :A F Ñ A 1 F, - ha α, β P A egymást követőek, akkor pα βq F α F β F, - minden A P ObA-ra 1 A F 1 A F. F egy funktor A-ból B-be A kategóriák és funktorok maguk is kategóriát alkotnak, jelöljük ezt Cat-tal: ennek az objektumai a kis kategóriák, a nyilai a köztük menő funktorok, és az összefűzés a függvénykompozíció. Azt mondjuk, hogy B teljes részkategóriája A-nak, ha feszített részgráf, azaz B Ď A és minden B, B 1 P ObB és α : B Ñ B 1 P A esetén α P B. Általánosabban, ha egy B Ď A nyílhalmaz zárt az összefűzésre, és minden β P B, β :X Ñ Y esetén 1 X és 1 Y benne van B-ben, akkor (ObB : tx P ObA 1 X P Bu objektumhalmazzal együtt) A-nak egy részkategóriáját alkotja. Az F :B Ñ A funktor [teljes] beágyazás, ha F injektív (a pontokon és a nyilakon is), és értékkészlete [teljes] részkategória A-ban. Egy kategória ϕ : A Ñ B nyila balinvertálható, ha van olyan ψ : B Ñ A, hogy ψ ϕ 1 B. Duálisan értelmezzük a jobbinvertálható nyilat. Egy kategória két objektuma, A és B izomorf (jelben A B), ha van köztük egy mindkét oldalról invertálható ϕ : A Ñ B nyíl. Könnyen adódik, hogy ekkor ϕ bármely balinverze megegyezik bármely jobbinverzével, tehát egyetlen egy, mindkét oldali inverze van, amit ϕ -1 jelöl. Az invertálható nyilakat izomorfizmusoknak is hívjuk. Az izomorf objektumokat kategóriaelméletileg (azaz a nyilak nyelvén ) nemigen tudjuk megkülönböztetni egymástól: ha A A 1, akkor az A-ból induló [ill. A- ba érkező] nyilak egy az egyben megfelelnek az A 1 -ből induló [ill. oda érkező] nyilaknak. Legyenek A 1,.., A n egy adott A kategória objektumai. Ezek direkt szorzata alatt egy olyan P P ObA objektumot értünk, amihez adva vannak p i : P Ñ A i úgynevezett projekció -nyilak (i 1,.., n), hogy akárhogy is veszünk egy közös X P ObA objektumból induló pf i q i nyílcsaládot (f i : X Ñ A i ), az egyértelműen átvezethető a pp i q i nyílcsaládon, úgy értve, hogy D!s:X Ñ P : pf i s p i q Ez, izomorfizmus erejéig egyértelműen definiálja P -t, már ha létezik, és ekkor ezt a P -t A 1 ˆ A 2 ˆ... ˆ A n -nel jelölik. Ha n 0-val elismételjük a fentieket, a végobjektum fogalmához jutunk: végobjektuma az A kategóriának, ha minden X objektumból pontosan egy nyíl megy P -be: D!s:X Ñ P. P 13

16 Egy ilyen n tényezős direkt szorzatot szinte minden konkrét példában a megfelelő elem n-esekből álló struktúra jeleníti meg, a végobjektumot ugyanakkor az egyelemű struktúra. Nincs ez másként a kategóriák kategóriájában, Cat-ben sem: Ha A 1,.., A n P ObCat, akkor az A 1 ˆ... ˆ A n direkt szorzat pontjai legyenek az xa 1,..., A n y pontsorozatok, az ilyenek közti nyilak a (koordinátánként köztük menő) xα 1,..., α n y nyílsorozatok (α i P A i ), ezzel összhangban xα 1,..., α n y k : xα k 1,..., α k ny, xα 1,..., α n y v : xα v 1,..., α v ny, és az összefűzés is koordinátánként értelmezett. Az üres direkt szorzat pedig legyen az egy objektumú diszkrét kategória (Cat végobjektuma). A direkt szorzatot ugyanígy fogjuk használni esetlegesen nem kis kategóriákra is. Ha egy A kategória nyilait és vele együtt az összefűzést is megfordítjuk, akkor az A op ellentett kategóriáról beszélünk, ennek tehát a kompozícióját a g f : f g határozza meg, és a végpont és kezdőpont A Ñ ObA függvények értelemszerűen felcserélődnek. Minden lokálisan kicsi A kategória meghatároz egy A op ˆ A Ñ Set funktort, a hom-funktort, amely az xa, By objektumpárhoz az ApA Bq hom-halmazt rendeli (ami kis halmaz, így valóban Set objektuma), és az xα, βy nyílpárhoz az f ÞÑ α f β függvényt. Az ellentett-kategória révén jön egy kézenfekvő dualitás a kategóriaelméletben: Ha valamely fogalmat a nyilak (-ból kirakott diagramok) nyelvén meg tudunk fogalmazni, annak rögvest ott van a duális fogalma, amit néhány kivételtől eltekintve mindig a fogalom neve elé helyezett ko- előtag jelez. A direkt szorzat duálisa (koszorzat avagy koproduktum) a kategóriák körében éppúgy mint a halmazok vagy gráfok körében, a diszjunkt unió: fogjuk a szóban forgó kategóriák egy-egy egymástól diszjunkt izomorf példányát, és ezek unióját vesszük, jelben A \ B. Legyen adott egy A kategória, és képezzük ennek az A Ñ nyílkategóriáját. Jön két egyszerű, de fontos funktor A Ñ dom A : az egyik (dom) a baloldal funktor, cod a másik (cod) a jobboldal funktor, melyek egy A Ñ B nyílhoz mint A Ñ -beli objektumhoz A-t illetve B-t rendelik, egy kommutatív négyzethez pedig annak a bal illetve jobb oldalát. Azt mondjuk, hogy ϕ:f ùñ G természetes transzformáció az F, G : A Ñ B funktorok közt, ha ϕ voltaképpen egy A Ñ B Ñ funktor (A pontjaihoz B-beli nyilakat rendel) úgy, hogy ϕ dom F és ϕ cod G. Ekkor tehát A ϕ : A F Ñ A G minden A P ObA-ra, és ezen A ϕ nyilak összessége, ha meg 14

17 van adva F és G, már meghatározza ϕ-t. A ϕ:f ùñ G és ψ :G ùñ H természetes transzformációk (függőleges) kompozíciója alatt az A ÞÑ A ϕ Aψ természetes transzformációt értjük. Egy ϕ : A Ñ B Ñ természetes transzformációt természetes izomorfizmusnak nevezünk, ha minden A P ObA objektumhoz a hozzárendelt A ϕ nyíl egy B-beli izomorfizmus Reflexiók 0.2. Definíció. Legyen B teljes részkategóriája A-nak, és legyen A P ObA. Ekkor egy f : A Ñ B nyílról azt mondjuk, hogy A reflexiónyila B-be, ha B P ObB és minden B-be menő g : A Ñ B 1 nyíl egyértelműen átvezethető f-en, azaz D!h P B : g f h. A f B D! Ugyanekkor a B-beli B pontot illetve a h nyilat az A illetve a g (f általi) vetületének B 1 hívjuk. Ugyanezt a jelenséget úgy is szokták fogalmazni, hogy f univerzális tulajdonságú az A-ból induló B-be érkező nyilak között. Azt mondjuk, hogy B reflektív részkategória A-ban, ha A minden objektumának van vetülete B-ben. A duális fogalmak a ko-vetület avagy koreflexió, illetve a koreflektív részkategória. Tehát A ko-vetülete a B a B teljes részkategóriában, ha van olyan f : B Ñ A (koreflexió-) nyíl, :B 1 Ñ A D!hPB : g h f. Központi jelentőségű lesz a következő ismert tény: izomorfizmus erejéig egyértelmű. egy objektum vetülete 0.3. Állítás. Legyen B Ď A teljes részkategória. Ekkor a következők érvényesek: a) Amennyiben B és B 1 is vetülete A-nak B-ben, úgy B B 1. b) Legyen f :A Ñ B egy reflexiónyila A-nak B-be. Ekkor egy f 1 :A Ñ B 1 nyíl (ahol B 1 P ObB) pontosan akkor lesz szintén reflexiója A-nak, ha van egy t : B Ñ B 1 izomorfizmus, amire fẗ f 1. Az ilyen t ekkor mindig egyértelműen meghatározott. c) Tegyük fel, hogy A B, B P ObB. Ekkor B az A vetülete B-ben. Bizonyítás. Az a) és c) állítás mindkettő közvetlen folyománya b)-nek, így elegendő azt megmutatni. Tegyük fel először, hogy adott egy A-ból induló másik reflexiónyíl, f 1 : A Ñ B 1. Mivel f reflexiónyíl és B 1 P ObB, van egyetlen t P B az f 1 -hez, hogy f t f 1, és f- hez is csak egy ilyen van, méghozzá az 1 B. Hasonlóan, minthogy f 1 is reflexiónyíl, D!t 1 PB : f 1 t 1 f, de akkor f t t 1 f 1 t 1 f f 1 B miatt t t 1 1 B. Ugyanígy 15

18 t 1 t 1 B1. Tehát t 1 t -1. Ha meg f 1 f t egy t : B Ñ B 1 izomorfizmusra, akkor tetszőleges g : A-ból B-be menő nyílhoz D!h : g fḧ, így ez f 1 -en is egyértelműen vezethető át: g f 1 ẗ -1 ḧ. Példák Tekintsük a csoportok (és homomorfizmusaik) kategóriájának az Abel csoportok Ab teljes részkategóriáját. Ekkor egy G csoport vetülete Ab-ban a G { rg, Gs kommutátor szerinti faktorcsoportja (illetve minden ezzel izomorf csoport), a reflexiónyíl pedig a kanonikus G Ñ G { rg, Gs leképezés Legyen adva egy A kategória két ugyanoda menő nyila: f : B Ñ D és g : C Ñ D, tekintsük ezekhez az A kategóriának egy fiktív, mondjuk -gal 88 B f jelölt objektumával vett P f,g bővítését, amelyben az A Ñ nyilak az A 88 D C g kommutatív négyzetek, és -ból az identitáson kívül nem indul nyíl. Az összefűzés értelemszerű. Ebben a P f,g kategóriában a pont A-ban vett ko-vetületét úgy hívják, hogy pullback: ezen tehát minden f, g jobbalsó szélű kommutatív négyzet egyértelműen átvezethető. Set-ben egy f :B Ñ D és g :C Ñ D nyílpár pullback-je reprezentálható a txb, cy P B ˆ C b f c g u halmazzal. A pullback duálisát, az egy pontból induló f, g nyílpár pushout-ját jelen tézisben nem használjuk Hasonlóan, bármely diagram limeszét lehet így koreflexióval, kolimeszét pedig reflexióval jellemezni (ld.pl. [JoyCat], 13.27). Amit még használni fogunk, az egy adott A kategóriabeli párhuzamos X f Y nyílpár koegyenlítője: g ehhez az A-t bővítsük megint egy objektummal, amiből indulva a Ñ A nyilak legyenek azon t : Y Ñ A A-beli nyilak, amelyekre f t g t, és vegyük a bővített kategóriában a pont A-beli reflexióját (már ha létezik). Ezt Set-ben reprezentálja az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy az Y -beli x f és x g elemeket azonosítjuk egymással (minden x P X esetére): X f Y Y { g ahol tehát az a legszűkebb ekvivalenciareláció, : x f x g. A fenti pullback tehát megkérdezi B-t és C-t, hogy az f és a g hol egyenlő, a koegyenlítő pedig felszólítja Y -t, hogy f és g legyenek egyenlőek Idempotensek Egy e:a Ñ A nyilat idempotensnek hívunk, ha e e e. 16

19 Figyeljük meg, hogy ha valamely x f, g y nyílpár kompozíciója egyik irányból az AÑBÑA identitás (azaz f g 1 A ), akkor a másik irányból, g f idempotens [ugyanis: g f g f g 1 A f g f]. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a g f : B Ñ B idempotens felhasad (az A objektumon keresztül, g-re és f-re). Az A kategória idempotensen teljes (avagy, Cauchy-teljes 3 ), ha minden idempotens nyila felhasad. Minden kategória kibővíthető egy idempotensen teljes kategóriává, erre a 3. fejezetben szükségünk lesz Definíció. Egy adott A kategória idempotens bővítése alatt azt az A id kategóriát értjük, aminek objektumai az A idempotens nyilai, és amiben e, f P ObA id közt akkor megy az eredeti α P A nyíl, ha e, α, f összefűzhetőek és e és f bal- ill. jobbegységként viselkedik α-ra nézve: e α f α. Hogy a nyilak eleje és vége A id -ben meghatározott legyen, precízen ezen xe, α, fy nyílhármasokat szokás venni: A id : txe, α, fy e α f αu. Az összefűzés marad az eredeti: xe, α, fy xf, β, gy : xe, α β, gy, az egységnyilak (identitások) az xe, e, ey hármasok lesznek. Az A ÞÑ 1 A (és nyilakon α ÞÑ x1 A, α, 1 B y) megfeleltetés A-nak egy teljes AÑB beágyazása A id -be, s minthogy az összefűzést A-tól örökli, A id -ben ugyanazok a nyilak lesznek idempotensek, és ezek A id -ben immár mind felhasadnak: ha e:a Ñ A idempotens, akkor A id tehát idempotensen teljes. x1 A, e, 1 A y x1 A, e, ey xe, e, 1 A y Állítás. Egy A kategória e : B Ñ B idempotense pontosan akkor hasad fel az A objektumon keresztül, ha A id -ben 1 A e. Bizonyítás. Mindkét állítás olyan A-beli x f, g y nyílpár létezéséről szól, melyre AÑBÑA g f e és f g 1 A (ez már maga után vonja azt is, hogy x1 A, f, ey P A id és xe, g, 1 A y P A id, mármint hogy 1 A f e f és e g 1 A g). o 0.4. Monoidok Monoidnak, avagy egységelemes félcsoportnak nevezünk egy asszociatív művelettel ellátott halmazt, amelyre nézve a halmazban van egy egyszersmind bal és jobb oldali egységelem. A műveletet egyszerűen egymás mellé írással jelöljük, az egységelemet 3 A metrikus terek háromszögegyenlőtlensége dpa, bq ` dpb, cq ě dpa, cq és a kategóriák összefűzés művelete pabq ˆ pb Cq Ñ pacq közti analógia explicitté tehető lásd [Lawvere], és e tekintetben a kategóriák idempotens teljességének a metrikus terek Cauchy-teljessége felel meg, amikor is minden Cauchy-sorozat konvergens. 17

20 1-gyel. Tehát minden x, y, z elemére xpyzq pxyqz és 1x x x1 teljesülnek. Legyenek A és B monoidok. Egy f : A Ñ B függvény homomorfizmus köztük, ha az A-beli egységelemet a B egységelemébe viszi, és minden a, a 1 P A elemekre paa 1 q f a f a f 1. Természetesen a monoidok és homomorfizmusaik is kategóriát alkotnak, a monoidok kategóriáját. Az A és B monoidok közti két oldali hatás vagy idegen szóval biakt, az egy M halmaz, ellátva egy A ˆ M Ñ M és egy M ˆ B Ñ M függvénnyel (amiket szintén egymás mellé írással jelölünk), úgy, hogy 1m m, m1 m, pamqb apmbq, a 1 pamq pa 1 aqm és pmbqb 1 mpbb 1 q teljesül minden a, a 1 P A, m P M, b, b 1 P B elemekre. Egy A és B monoidok közti biaktot röviden így jelölünk: M : A B. Ha M : A B és N : C D monoidok közti biaktok, f : A Ñ C és g : B Ñ D monoidhomomorfizmusok, akkor egy h : M Ñ N leképezést f, g menti biakthomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben minden a P A, m P M, b P B elemekre pambq h a f m h b g. Gyakran használt speciális esetben A C, B D és f és g is identitás. Ezeket a konfigurációkat később így is ábrázoljuk: A M f h B g C N D illetve A M h B N Példák. 1. Minden A monoid tekinthető A A biaktnak: a bal és jobb oldali hatást is az eredeti monoidműveletként értelmezve. 2. Bármely, egységelemes gyűrűk közti bimodulus magában foglal egy biaktot, amit úgy kapunk, hogy az additív struktúrákat egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk. 3. Hasonlóan, egy G csoport K test feletti lineáris reprezentációja egy V vektortéren (jobboldali hatással) meghatároz egy K G biaktot: a vektortér struktúrából adódóan K multiplikatív monoidja balról hat V -n, míg G a reprezentáció szerint jobbról. A két hatás felcserélhetősége (a fenti pamqb apmbq kitétel) abból következik, hogy G minden eleme V -nek egy lineáris transzformációját határozza meg a reprezentációban. Legyenek A, B, C monoidok, M egy A-B-biakt, és N egy B-C-biakt. Értelmezzük ekkor az M ˆ N tenzorszorzatot az alábbi módon: B M ˆ N : M ˆ N { B 18

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Az általános (univerzális) algebra kialakulása, Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai Fried Katalin Korándi József Török Judit A modern algebra alapjai Tartalomjegyzék 1. Bevezető 5 2. Algebrai műveletek 7 3. Félcsoportok 20 4. Csoportok 31 5. Mellékosztályok, normálosztó 50 6. Csoport

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik). 4. Részcsoportok 4.A. Csoport részhalmazainak félcsoportja Legyen (G, ) egy csoport és tekintsük G részhalmazait. Ha H, K G (H, K P(G)) definiáljuk ezek szorzatát így: HK = {hk : h H, k K}. Ha H = {h}

Részletesebben