TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Átírás

1 El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

2 El sz Kovács Csongorné a Tankönvesek Országos Szövetségétől 008-ban elnerte az Érdemes tankönvíró kitüntető címet Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN AP 0808 ISBN A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Görgné, Szeredi Éva, 009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft Celldömölk, Szécheni u. 8. Tel.: 95/55-000; fa: 95/ apaczaikiado@apaczai.hu Internet: Felelős kiadó: Esztergálos Jenő ügvezető igazgató Nomdai előkészítés: Könv Művek Bt. Terjedelem: 9,6 A/5 ív Tömeg: 598 g TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

3 Hozz rendel s, f ggv n FÜGGVÉNYEK. óra: Hozzárendelések, függvének. óra: Lineáris függvén 4 5. óra: Abszolútérték-függvén 6 7. óra: Másodfokú függvén 8. óra: függvén 9. óra: Gakorlás, illetve függvéntranszformációk 9 0. óra: Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. óra: Sorozatok, számtani sorozat 4. óra: Mértani sorozat fogalma 5. óra: Gakorlás Mire építünk? A koordináta-rendszerben való biztos eligazodásra A megfeleltetés fogalmára két halmaz között A függvén fogalmára (alaphalmaz, képhalmaz) A lineáris függvén ismeretére A függvén grafikonja és a koordináta-rendszer pontjai közötti kapcsolat ismeretére A sorozat fogalmára, grafikonjának ismeretére A számtani sorozat fogalmának ismeretére, összefüggésekre a számtani sorozat elemei között, az első néhán elem összegének meghatározására Meddig jutunk el? Tudatosítjuk, hog a megfeleltetés és a hozzárendelés azonos fogalom, ezért használjuk felváltva a könvben. A függvén eg speciális hozzárendelés. Tovább mélítjük a függvén fogalmát. Bevezetjük az értelmezési tartomán és az értékkészlet fogalmát. Néhán nem lineáris függvén grafikonjával is megismerkednek a gerekek: ; ; ; A függvének grafikonjairól adatokat olvasunk le. Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. Ismerjék fel a számtani és a mértani sorozatokat, konkrét n-re a n és s n számolása. A függvéntranszformációval csak emelt óraszám esetén foglalkozzunk. TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

4 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. óra Tk.: 4 5. oldalon 9. feladatok Fg.: Hozzárendelések, függvének Az óra célja: két halmaz közötti megfeleltetések közül el tudják dönteni a gerekek, mel megfeleltetések egértelműek. Íg világossá válik a függvén fogalma, ami nem képlethez kötődik majd számukra. Érzékeltetjük, hog a függvének a matematikának igen széles skáláján mozognak: grafikonok, geometriai transzformációk, geometriai összefüggések (tk. 5. oldal., 4., tk.. oldal.,.), számelmélet (tk. 5. oldal 5., 6., fg. 4., 44.). A tanult fogalmak megértésének lemérésére javasoljuk a fg. 45. feladatát. Eszközök: érdekes grafikonok, festménekről készült fotók, albumok. Feladatok Az 4. és a fg feladatok a függvén fogalmának kialakítását szolgálják. Beszéljük meg a gerekekkel, hog melik megfeleltetés határoz meg függvént. Az inverz függvén fogalmát előkészíthetjük azzal, hog minden esetben megvizsgáljuk a megfeleltetések megfordítását is.. Melik megfeleltetés határoz meg függvént? a) hegedű ütős harsona vonós cselló fafúvós oboa rézfúvós ilofon b) ütős vonós fafúvós rézfúvós hegedű harsona cselló oboa ilofon a) függvén b) az a)-nak a megfordítása, és a vonósok miatt nem függvén.. a) Melik foglalkozáshoz melik tárg tartozhat? A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = {kocsikerék; csizma; szén; ködmön; kereskedés; hordó; lópatkó; korsó} A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = { korsó; kocsikerék; ködmön; kereskedés; hordó; patkó; csizma; szén;} A tanulók által adott más megfeleltetés is elfogadható. b) Függvént határoz-e meg ez a megfeleltetés? A megfeleltetés mindkét iránban függvén. 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

5 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. A germekotthonokban élő gerekek számáról készített kördiagram alapján adj meg eg alaphalmazt, eg képhalmazt, és írd le a hozzárendelési utasítást a két halmaz elemei között! A = Speciális intézmén, { Germekotthon, Lakásotthon, Diákotthon, } Utógondozó K = { 574; 755; 4; 44; 58 } 4. Az ábrán látható oszlop-, illetve vonaldiagram alapján állapítsd meg a hozzárendelések alaphalmazát, képhalmazát, és írd le a hozzárendelési utasítást is! Felsőoktatási intézménekbe jelentkezők száma fő fő fő fő Jelentkezők Felvételt nertek a) Vonaldiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} b) Oszlopdiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} Az 5 9. feladatok eg-eg régebben tanult ismeretet elevenítenek fel a matematika legkülönbözőbb területeiről. Nolcadik osztálban különösen fontos, hog ne csak az adott fejezet tananagával foglalkozzanak a gerekek! 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

6 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal 5. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legnagobb közös osztójukat! a) és 8 b) 48 és 4 c) 5 és 5 d) 8 és 48 és 60 (; 8) = 6 (48; 4) = 4 ( 5 ; 5) = 5 (8; 48; 60) = 6 6. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legkisebb közös többszörösüket! a) és 8 [; 8] = 6 b) 48 és 4 [48; 4] = 4 = 488 c) 5 és 5 [ 5 ; 5] = 5 d) 8 és 48 és 60 [8; 48; 60] = 4 5 = Minden számhoz rendeld hozzá a) az ellentettjét, b) a reciprokát! ( ) Célszerű értéktáblázatot készíteni: Számok a) ellentett b) reciprok = = n oldalú konve sokszögekhez ( 5 n 5 0) rendeld hozzá a) belső szögeinek összegét, b) külső szögeinek összegét! Célszerű táblázatot készíteni: ( ) 4 = nincs ha 0 Konve sokszög oldalainak száma n a) belső szögeinek összege (n ) 80 b) külső szögeinek összege Keresd a párját! A szakaszokat két végpontjukkal adtuk meg. Melik hossz tartozik hozzájuk, ha rácsegségben számolunk? A Pitagorasz-tételt gakoroltatjuk. Célszerű rajzoltatni a gerekekkel. A) A( ; ) B(5; ) c =8 B) A( ; ) B( ; 5) a = C) A(0; ) B(; 5) b =5 D) A( ; ) B(; 7) d = 90 9,49 a) b) 5 c) 8 d) 90 9,49. óra A lineáris függvén Tk.: 9. oldalon 5. feladatok Fg.: Az óra célja kettős. Egrészt feladatokon keresztül elevenítsük fel a lineáris függvénről taval tanultakat, másrészt nolcadikban az 5. példa kapcsán bevezetjük az értelmezési tartomán és az TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

7 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 9 0. oldal értékkészlet fogalmát is. Már hetedikben is volt utalás arra, hog a képhalmaz nem az összes tanult szám, de korainak éreztük volna a fogalmak bevezetését. Elvárható, hog a hozzárendelési utasítás alapján a gerekek felismerjék, hog lineáris függvén grafikonját kell megrajzolni, és pont segítségével fel is tudják azt rajzolni. (A jobb matematikusok a meredekséggel is szoktak dolgozni.) Követelmén, hog a koordináta-rendszer pontjainak a grafikonhoz való viszonát el tudja dönteni a gerek (rajta van, alatta, ill. felette van). Egszerűbb szöveges feladatokat tudjanak átírni matematikai jelölésekre, és az íg értelmezett problémához tartozó függvéngrafikonokról tudják leolvasni a kérdésre a választ! Feladatok. Keresd a párját! a) Az automata mosógép vizet szivattúz. b) Agépmos. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet. Víz mennisége Víz mennisége Víz mennisége idő b) Agépmos. a) Mosógép vizet szivattúz. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet.. Igaz-e, hog ha eg egenlő szárú derékszögű háromszög a) befogóját kétszeresére, háromszorosára,... növeljük úg, hog közben ismét egenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, akkor az átfogó hossza is kétszeresére, háromszorosára,... növekszik? Hánszorosára változik a kerület, illetve a terület? Igaz a hasonlóság miatt. Ha derékszögű háromszög befogóját -szel jelöljük, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó, azaz a lineáris függvén, ami eg egenes aránosság. ÉT = ÉK: { >0} A kerület is kétszeres, háromszoros lesz, míg a terület négszeresére, illetve kilencszeresére nő. b) derékszögét megfelezzük, akkor az átfogó hosszát is megfeleztük? Mi történik, ha a derékszöget negedeljük? Nem igaz, hog a szög felezésével, illetve negedelésével az átfogót is megfelezzük, illetve negedeljük.. Az angol autók sebességmérő órája kétféle mértékegségben mért sebességet mutat. Az Angliában használatos 5 mérföld megfelelője 40 km óra h. Add meg hozzárendelési szabállal a két sebesség közötti összefüggést, ha mérföld,6 km! Először a mérföld -ban óra mért sebességnek feleltesd meg a km -ban mért sebességet, és a h kapcsolatot ábrázold koordináta-rendszerben! Ezután a km -ban mért sebességnek feleltesd meg h a mérföld -ban mért sebességet! Ennek a függvénnek is készítsd el a grafikonját! óra idő idő 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

8 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal m h a),6 b) km ,6 = 5 km 8 h m h h Az értéktáblázat adatait ellenőrizhetjük a fotón látható sebességmérő órán. [ ] km [ m ] sebesség sebesség h h ,5 5 7,5 50 6, , [ m ] sebesség h [ ] km sebesség h 4. Juci a vasárnapi kosárlabda-mérkőzésen pontot dobott. Ezt részben az pontos büntetődobásból, részben a pontos kosarakból gűjtötte össze. Mennit dobhatott az eges kosárfajtákból? Ha -szel jelölöd a pontos kosarak számát, hogan függ az -től a büntető kosárdobások száma? Készíts grafikont erről a függvénről! a büntetődobások száma. 0 ÉT = {0; ; ;...;} ÉK = {; ; 5;...;} Melik hozzárendelési szabál melik grafikonhoz tartozik? A grafikon különálló pontokból áll, az lineáris függvén grafikonján. Az tengel a pontos dobások száma. Az tengel az pontos dobások száma. a) b) c) d) + e) ( ) f) b) c), d) a) e), f) Ez a kakukktojás. 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

9 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal 6. Zoli szeretne venni eg Ft-os kerékpárt. Már félretett 5000 Ft-ot, és náron elment dolgozni, hog garapítsa pénzét. Naponta 00 Ft-ot keresett eg vendéglőben órai mosogatással. Készíts értéktáblázatot Zoli pénzének garapodásáról, és keress képletet is hozzá! Rajzold meg az összetartozó értékek (napok pénz) grafikonját! Legalább hán napig kellett Zolinak dolgoznia? Az értéktáblázatot csak néhán napról készítettük: Napok száma A napok számát -szel jelölve, Pénz Zoli pénze lineáris függvénnel fejezhető ki. pénz [Ft] Zolinak legalább 7 napig kell dolgozni napok száma 7. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) + b) + c) + d) Jó feladat a tengelpont és a meredekség fogalmának átismétlésére. 8. Ábrázold az 4 függvén grafikonját! Határozd meg az A ( ) ( ) ( 6;, B ;, C ; ) és D ( ; ) pontok hiánzó jelzőszámait úg, hog a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, c) a grafikon fölött legenek! A( 6; ) B(; ) C(; ) D(; ) a) Grafikonon = = = 5 b) Grafikon alatt < < > 5 c) Grafikon fölött > > < 5 = > < 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

10 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 9. Gondoltam eg egenesre. Mi lehet a hozzárendelési szabál, ha ez az egenes áthalad a megadott pontokon? a) 0? b) 4? c) 4 6? d)? 5 Célszerű grafikont készíteni. a) b) 5 c) +7 d) 0. Keress szabált a grafikonokhoz! Ne hagjuk ki ezt a feladatot! I. c d b a II. a b c d III. c b a d a) + a) a) b) + b) b) + c) c) c) Nem függvén. = d) d) d) +.: Hasznos feladatok geometriai ismétlésre és az értelmezési tartomán fontosságának hangsúlozására.. A háromszög egik belső szögét -szel jelöltük. Add meg a szöghöz tartozó külső szöget az függvénében! Add meg a hozzárendelés értelmezési tartománát és értékkészletét! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! ÉT = ÉK: {0 <<80 } A grafikon eg mindkét végén nílt szakasz TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

11 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Hogan függ az eg csúcsból kiinduló átlók száma a konve sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a füzetben a táblázatot! Oldalak száma n Átlók száma n Határozd meg a kapott hozzárendelés értelmezési tartománát, értékkészletét, és készítsd el a függvén grafikonját! á (átlók száma) n (oldalszám) ÉT: {A és az annál nagobb természetes számok} ÉK: {Természetes számok}. Ábrázold az ( ) ( + ) utasítással megadott függvén grafikonját! Hol metszi a grafikon a koordinátatengeleket? A hozzárendelési utasítás a zárójelek felbontása és az összevonás után: A grafikon ott metszi az tengelt, ahol = 0, azaz =. Az tengelt a (0; ) pontban metszi. ( )( +) 4. Ábrázold az utasítással megadott függvén grafikonját! A függvén értelmezési tartománába az = érték nem tartozik bele, mert ekkor a nevezőben 0 állna. Ha, akkor + lineáris függvénről van szó. ÉT = {a tanult számok a kivételével} ÉK = {a tanult számok a 6 kivételével} A függvén grafikonja eg lukas egenes Rajzold meg a következő három függvén grafikonját!,5 +5 ÉT={ 5 5 0}, 5,5 ÉT = {0 <5 } és ÉT = {,;,}. Milen alakzatot kaptál? A kapott alakzat az A betű TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

12 Hozz rendel s, f ggv n Néhán nemlineáris függvén 4 5. óra Tk.: 6. oldalon.,. és. oldalon.,., 8.,.,. feladatok Fg.: , 65., Abszolútérték-függvén A számok abszolút értékének definícióját már ötödik osztálban megtanulták a gerekek. Néhán bevezető kérdés (pl.: Menni az abszolút értéke a következő számoknak 5; 5 ; 5; ( 5) ; 5; 0; 5 ;, és melik számnak az abszolút értéke a ; ; 0; ; ) után önállóan is el tudják készíteni a gerekek az függvén grafikonját. Néhán konkrét abszolút értéket tartalmazó függvén grafikonjának elkészítése után már a töréspontot előre megmondják a gerekek, valamint a görbe állását is, azaz azt, hog felfelé vag lefelé nitott. Másodfokú függvén 6 7. óra Tk.: 7 8. oldalon 9.,. és. oldalon 4., 8.,. feladatok Fg.: 6 64., 68 7., 76. Az és az függvénekkel már megismerkedtek a gerekek a Pitagorasz-tétel c. fejezetben. Ebben a fejezetben a függvének eg-két gakorlati alkalmazásán kívül azt is megmutatjuk, hog nem csak egenes alakú függvéngrafikonok vannak. Törtfüggvén 8. óra Tk.: 8. oldalon 0.,. és. oldalon 5. feladatok Fg.: 65., A fordított aránosság kapcsán már megtanulták a gerekek az a (a > 0) típusú grafikonokat elkészíteni. Ismereteiket a görbe nevével: hiperbola és az ÉT meghatározásával bővítjük. TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

13 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 6 7. oldal Feladatok Szoktassuk rá a gerekeket, hog a függvének grafikonjainak elkészítése előtt eg picit elmélkedjenek: milen lesz a görbe alakja, a koordináta-rendszer mel részén helezkedik el, milen egségeket érdemes felvenni a tengeleken, van-e kapcsolat eg feladat alkérdései között?. Keresd a párját! Minden számhoz hozzárendeltük A) az ellentettjét B) az abszolút értékét C) az ellentettjének az abszolút értékét D) az abszolút értékének az ellentettjét F) a( )-szeresét E) -et, ha >0, 0-t, ha =0,( )-et, ha <0 a b a A = F b E c B = C d D. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) b) c) a = b, mert az abszolútérték-jelen belül álló kifejezések egmás ellentettjei. a), b) = c) ÉT: {tanult számok} ÉK: { = 0} T (0; 0) c ÉT: {tanult számok} ÉK: { 5 0} T (0; 0) d. Ha eg követ 0 m s sebességgel felfelé magasság [m] hajítunk, akkor annak a mozgását az ábrán látható út-idő grafikonnal szemléltethetjük. A mozgást leíró függvén: t 0t 5t, ahol t az eltelt időt jelenti másodpercben mérve. a) Mi a görbe neve? parabola b) Milen maimális magasságot ért el a kő? 45 m c) Mikor volt a kő 0 m magasan? a. és a 48. másodpercben d) Milen hosszú ideig volt a kő 0 m fölött? 4,4 másodpercig idő [s] TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

14 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 7. oldal e) Mikor esett vissza a földre? a 6. mp-ben Jó feladat a grafikonról való olvasásra, lehetőleg ne hagjuk ki! A gerekek egmásnak is feltehetnek hasonló kérdéseket. 4. Hán kis négzetet látsz az ábrán? Ábrázold grafikusan az összetartozó értékeket! Lehetséges-e, hog 56 vag 000 kis négzet legen valamelik ábrán?... A négzetek száma:, 4, 9, 6,..., n, azaz n n ahol n a négzet oldalának hosszát jelenti rácsegségben mérve. Ha 56 kis négzet van az ábrán, akkor eg 6 oldalú négzetet rajzoltak. 000 kis négzet nem lehetséges, a két hozzá legközelebb álló lehetséges szám a 96, illetve az 04. (Okosabb gerekek felfedezhetik, hog kiskockákból viszont állhat eg 000-es építmén. Ekkor a kocka élhossza 0.) 5. Keresd a párját! Melik pont melik függvén grafikonján van rajta? A) B) C) + P ( ; ) Q (; 4) R (7; 9) S ( 4; 8) T ( 4; 6) P ( ; ) Q (; 4) P ( ; ) Q (; 4) S ( 4; 8) Q (; 4) T ( 4,6) R (7; 9) A feladat kapcsán több kérdés is tisztázható: A grafikonok megrajzolása nélkül hogan tudjuk eldönteni, hog pl.: P az A)-hoz és C)-hez is hozzátartozik? 6. Pogácsaszaggató készletünk legkisebb tagjának sugara cm, és mindegik szaggató 0,5 cm-rel nagobb sugarú az előzőnél. A készlet 4 tagú. Készíts értéktáblázatot arról, hog a különböző sugarú szaggatók mekkora alapterületű tésztát vágnak ki! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Milen függvént lehet felírni a sugár és a terület között? Sugár (r) [cm],5,5 Tészta (r π)[cm ],4 7,07,57 9,6,4 A grafikon eg parabolán elhelezkedő 4 pont: (sugár) [cm], terület [cm ] ,5,5,5 7. Az ejtőernő a repülőgépből való kiugrás után 5 másodperccel nílik ki. Hán métert zuhan az ugró ez idő alatt? (A megtett út és az eltelt idő közötti összefüggést az s =5t képlettel lehet számolni.) s(5) = 5 5 = 5 m 8. A szabadon eső testek által megtett utat a Földön az s = 5t képlettel, míg a Holdon az s = 0,8t képlettel lehet kiszámítani. Közös koordináta-rendszerben ábrázold a két helen érvénes útidő grafikonokat! Olvasd le a grafikonokról, hog,, 4, 5 másodperc elteltével mennivel tesz meg hosszabb utat a Föld felé zuhanó test! A leolvasott értékeket számolással is ellenőrizd! Menni idő alatt ér a Földre, illetve a Holdra eg 0 m magasról leejtett kő? 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

15 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal Idő [sec] 4 5 Földi út [m] Holdi út [m] 0,8, 7,,8 0 s [m] s =5t s =0,8t A két út különbsége [m] 4, 6,8 7,8 67, 05 0 = 5t egenletből t = 6,5 sec 0 = 0,8t egenletből t = 7,5 6, sec 4 9. Képzeld el, hog eg szép, tiszta napon eg heg tetejéről figeled a tengeren tőled távolodó hajót. A hajó a Föld gömbölű alakja miatt előbb-utóbb eltűnik a szemed elől. A távolság, ahol a hajó eltűnik a szemünk elől, attól függ, hog milen magasan állunk. a) Írd le képlettel az alábbi számolási eljárást! b) Készíts értéktáblázatot 0 m-enként zsebszámológép segítségével! c) Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Az emberiség sokéves tapasztalatával felállítható összefüggésről szól ez a feladat. Ha -szel jelöljük a szemlélődő magasságát, akkor a látótávolságot az,57 hozzárendelés határozza meg. A grafikon foltonos görbe [m],57 Magasság [m] Látótávolság [m] 5,97,58 7,65,9 5,7 9, 4,4 45,6 0. Készítsd el a [m] a) 0, b) 0 függvének grafikonjait! Milen kapcsolat van a két grafikon között? a) 4 b) 4 Az egik grafikont tükrözve az tengelre, a másikhoz jutunk, hiszen minden függvénérték ( )-szeresére változik. ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {A 0 kivételével a tanult számok} 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

16 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal. A folóparton sportpála céljára téglalap alakú telket akarunk elkeríteni 400 m hosszú kerítéssel. (A vízparti részhez nem kell kerítés.) Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, ha azt akarjuk, hog a sportpála területe a lehető legnagobb legen? Az ábra jelöléseit használva a téglalap területe az -szel jelölt oldal függvéne: 400 (400 ) Meg kell keresni azt az értéket, amelre ez a másodfokú függvén a lehető legnagobb értéket veszi fel. foló A feladat szövege miatt: >0 és 400 >0, innen <00, azaz ÉT = {0 <<00} t Mivel az (400 ) = 0 egenletből = 0 és = 00 a függvén két zérushele, ezért a legnagobb értéket a kettő számtani közepénél, azaz = 00-nál veszi fel, ekkor a terület: t = = m. Az értelmezési tartomán meghatározása után néhán függvénérték kiszámolásával is eljuthatnak a gerekek a lefelé nitott parabola grafikonjához, ahonnan leolvasható az = 00 érték (400 ) Hol vannak a síkon azok a P (; ) koordinátájú pontok, amelekre a) =, b) =, c) =0? a = b c) = 0 egenletből vag = 0, vag =0. Íg a koordinátatengelek pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. 8. óra Függvéntranszformációk Tk.:. oldalon. feladatok Fg.: Kevésbé jó csoportnál ezt az órát az eddig tanultak gakoroltatására fordíthatjuk, azaz ha kihagjuk a függvének transzformációit, majd a középiskola pótolja ezt. Elégedjünk meg azzal, 6 TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

17 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal hog az elemi függvének grafikonjait el tudják készíteni a tanulók, és a sík pontjainak a görbéhez való viszonát meg tudják határozni. Többnire élvezni szokták ezt az anagot a gerekek. Gorsan észreveszik, hog a transzformációs lépések teljesen függetlenek a kiindulási függvéntől. Jó játék: függvéntranszformációk mutogatása. a) Mindenki mutasson a két tenere felhasználásával eg függvént! Változtassa -re, vag +,vag, vag + -ra! Uganezt a sorozatot az függvénnel is el lehet játszani. b) Most a tanár mutatja a kiindulási függvén képét, és a gerekek mondják az elmozdított kézhez tartozó hozzárendelési utasítást. (A kezünket szakaszosan emeljük, és megállapodunk abban, hog eg szakasz -et ér.) Nagon jó hangulatú a játék. Jobb csapatokban el lehet szórakozni a ( ) szorzóténezővel is, pl.: ; ; ; ( ) ;... A 4. és 5. példát a versenző gerekeknek ajánljuk, mert az Aran Dániel középiskolás versenen az abszolútérték-függvén legkülönbözőbb transzformáltjai szoktak szerepelni, és a versen első fordulójáig a középiskola még nem jut el odáig. Íg csak az általános iskolás tudásukra támaszkodhatnak a tanulók. Feladatok. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a), +, b), +, c), +, a) + ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } b) + ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } c) + ÉK ;; = { = 0}. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a),, ( ) b), +, c), +, d), ( +), ( ) 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

18 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal a) 4 = ( ) ÉK, = { = 0} ÉK = { 5 0} b) ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } c) ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } d) ( + ) 4 ( ) 4 ÉK,, = { = 0}. Keresd a párját! Az abszolútérték-függvénekhez kell megkeresni a grafikonjuk töréspontját. a) b) + c) + d) 4 e) +4 A) T ( ; 0) B) T (; 0) C) T (0; 0) D) T ( ;0 ) a) C) b) A) c) D) d) B) e) E) 4. Az ábrákon látható síkidomokat oldalhosszúságú négzetekből állítottuk elő. Írd fel a síkidomok területét függvénében, és készítsd el a kapott függvének grafikonját! Az első ábra: 9 9 A második ábra: ÉT: { >0} ÉK: { >0} } {{ } E) T ( ; 0) 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

19 Hozz rendel s, f ggv n 5. Tk.:. oldal Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a) 5, 0 4 b), 0 c), 0 4 ÉT a, b, c :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK a, b :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK c :{a ( ) kivételével a tanult számok} 6. Többet ésszel, mint erővel! 4 A függvének grafikonjának megrajzolása előtt keresd meg a grafikonok töréspontjait, és csak ezután jelöld ki az egségeket a koordináta-rendszerben! Érdemes azt is előre eldöntened, hog felfelé vag lefelé nitott grafikont kapsz-e. a) 50 b) +0 c) +0 d) e) 00 f) A jobb matematikusoknak ajánlott feladat. Az intelligens koordináta-rendszer megtervezését is célozza a feladat előbb gondolkozunk, és csak azután cselekszünk! c d a ÉT a, b, c, d, e, f = {tanult számok} b ÉK a, c, d = { = 0} ÉK b = { 5 0} ÉK e = { = 00} ÉK f = { = 5} f e T a (50; 0) T b ( 0; 0) T c ( 0; 0) T d (; 0) T e (0, 00) T f ( 00,5) Keresd a párját! c 5 4 a b 4 5 d A) B) C) D) + a D, b C, c B, d A 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

20 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 8. Melik a kakukktojás? b 4 5 a c d A) ( ) B) ( +) C) ( ) D) ( +) E) ( +) a D, b E, c A, d C Tehát a B hozzárendelés a kakukktojás. A 9. feladatokat a középiskolás matematikaversenen indulni szándékozó gerekeknek szántuk. A többieket ne götörjük az öncélú függvéntranszformációkkal. a) 4 9. Függvéntranszformációk segítségével készítsd el a függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét is! a) + b) + c) + Célszerű először az abszolútérték-függvének töréspontját meghatározni, és eldönteni az állásukat. b) c) T (; ) T (0; ) ÉK: { = } 4 4 T (; ) ÉK: { = } 4 5 ÉK: { 5 } 0. Mekkora a kerülete és a területe annak a háromszögnek, amelet az függvén grafikonja és az tengel határol? A háromszög csúcspontjai: A ( ; 0), B (; 0) és C (0; ). C A háromszög területét megkaphatjuk, ha az AB = 4 egség oldallal és a hozzá tartozó m = C = egséggel számolunk. A B T = 4 =4e O A kerülethez szükségünk van az AC = BC szakaszok hosszára, ameleket Pitagorasz-tétellel számolhatunk ki az AOC háromszögben: AC = AO + OC, innen AC = + =8, tehát AC = 8,8e. K = AB +AC =4+,8 = 9,66 egség. 0 TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

21 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Készítsd el annak a függvénnek a grafikonját, amel az egész számokhoz önmagukat rendeli, a nem egész számokhoz pedig a hozzájuk legközelebb eső, náluk kisebb egész számot! Ezzel a függvénnel, az ún. egészrész függ- ÉT: {a tanult számok} vénnel a középiskolában még találkoznak a gerekek. ÉK: {az egész számok} Jelölése: []. A pozitív számokra könnű elkészíteni a függvén grafikonját, a negatív tartománban szoktak téveszteni a gerekek.. Julcsi néni eg m hosszú kerítéssel eg téglalap alakú részt kerített körül az udvaron a túkoknak, hog ezentúl csak ott kapirgáljanak. A terület a ház falához illeszkedik úg, hog ott nem kellett kerítést kihúzni. Írd fel, hog az elkerített rész területe hogan függ a téglalap szélességétől! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Milen adatok esetén lesz a legnagobb az elkerített rész területe? ház fala Ha a téglalap egik oldalát az ábra szerint -szel jelöljük, akkor a téglalap másik oldala ( ) lesz. A területet meghatározó függvén: ( ). Ez eg másodfokú függvén, íg a grafikonja a negatív előjel miatt eg lefelé nitott parabola. 0 A görbe tengellel való metszéspontjait az ( ) = ÉT: {0 <<6} ÉK: {0 <<8} egenletből können meg tudják határozni a gerekek: =0, =6. Íg a tengelpont -es koordinátája a zérushelek számtani közepéből T =. A tengelpont koordinátáját behelettesítéssel kapjuk: ( ) = 8, T (; 8). A terület akkor a legnagobb, ha =, ekkor =6. A m széles 6 m hosszú téglalap alakú kert a legnagobb területű: T =8m óra Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása Tk.: 5 6. oldalon. feladatok Fg.: Hetedik osztálban a Grafikonok gakorlati alkalmazása című fejezetben már meghatároztuk lineáris függvének metszéspontjait. Idén léneges előrelépést teszünk, mert az egenletek grafikus megoldásával egidejűleg tárgaljuk az egenlőtlenségek megoldásait is. Ez jól fejleszti a gerekek függvénszemléletét, hiszen a függvének egmáshoz való viszonát kell vizsgálni. TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

22 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal Kevésbé jó csoportban elégedjünk meg azzal, ha a lineáris függvénekre vonatkozó feladatokat meg tudják oldani (tk. 7., fg ) és azokat, ahol a függvének grafikonjait lerajzoltuk (tk. 8., 0.,. és fg. 84., 86., 88., 9.). A grafikus megoldás nem ad pontos eredmént. A leolvasott értékeket behelettesítéssel mindig ellenőrizni kell. Feladatok. Az agár meglátja a tőle 00 m-re levő nulat, és út [m] 5 m sebességgel üldözőbe veszi. A núl azonnal s menekülni kezd, de csak 5 m-t képes megtenni eg másodperc alatt. Menni ideig tart az üldözés? Oldd meg a feladatot grafikusan! agár núl Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a núl által megtett út: az agár által megtett út: 5 Algebrai megoldás: az agár abban a pillanatban éri utol a nulat, amikor =5, innen =0. A grafikonról is az olvasható le, hog az üldözés 0 másodpercig tart, és az agár 50 m-t fut a núlig idő [s]. Pista és Zoli két, egmástól 85 km-re levő faluban naralnak. Elhatározzák, hog hétfőn reggel 6-kor kerékpárral elindulnak egmás felé, és útközben találkoznak. Pista óránként 4 km-t tesz meg. Zoli elaludt, és csak fél nolckor indult, de ő óránként 8 km-t tekert. Mikor és hol találkoznak, és melik fiú tesz meg hosszabb utat a találkozásig? Oldd meg a feladatot grafikusan! Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a Pista által megtett út: 4 Zoli,5 órával később indul a 85 km-re levő faluból, ezért az ő útját az 85 8(,5) lineáris függvén írja le. 9,5 órakor találkoznak, azaz Pista,5 órát volt úton, íg 49 km-t tett meg, míg Zoli órát volt úton, és 6 km-t kerékpározott. A találkozásig Pista km-rel hosszabb utat tett meg, mint Zoli út [km] Zoli Pista idő [h] TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)