TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA"

Átírás

1 El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

2 El sz Kovács Csongorné a Tankönvesek Országos Szövetségétől 008-ban elnerte az Érdemes tankönvíró kitüntető címet Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN AP 0808 ISBN A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Görgné, Szeredi Éva, 009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft Celldömölk, Szécheni u. 8. Tel.: 95/55-000; fa: 95/ Internet: Felelős kiadó: Esztergálos Jenő ügvezető igazgató Nomdai előkészítés: Könv Művek Bt. Terjedelem: 9,6 A/5 ív Tömeg: 598 g TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

3 Hozz rendel s, f ggv n FÜGGVÉNYEK. óra: Hozzárendelések, függvének. óra: Lineáris függvén 4 5. óra: Abszolútérték-függvén 6 7. óra: Másodfokú függvén 8. óra: függvén 9. óra: Gakorlás, illetve függvéntranszformációk 9 0. óra: Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. óra: Sorozatok, számtani sorozat 4. óra: Mértani sorozat fogalma 5. óra: Gakorlás Mire építünk? A koordináta-rendszerben való biztos eligazodásra A megfeleltetés fogalmára két halmaz között A függvén fogalmára (alaphalmaz, képhalmaz) A lineáris függvén ismeretére A függvén grafikonja és a koordináta-rendszer pontjai közötti kapcsolat ismeretére A sorozat fogalmára, grafikonjának ismeretére A számtani sorozat fogalmának ismeretére, összefüggésekre a számtani sorozat elemei között, az első néhán elem összegének meghatározására Meddig jutunk el? Tudatosítjuk, hog a megfeleltetés és a hozzárendelés azonos fogalom, ezért használjuk felváltva a könvben. A függvén eg speciális hozzárendelés. Tovább mélítjük a függvén fogalmát. Bevezetjük az értelmezési tartomán és az értékkészlet fogalmát. Néhán nem lineáris függvén grafikonjával is megismerkednek a gerekek: ; ; ; A függvének grafikonjairól adatokat olvasunk le. Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. Ismerjék fel a számtani és a mértani sorozatokat, konkrét n-re a n és s n számolása. A függvéntranszformációval csak emelt óraszám esetén foglalkozzunk. TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

4 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. óra Tk.: 4 5. oldalon 9. feladatok Fg.: Hozzárendelések, függvének Az óra célja: két halmaz közötti megfeleltetések közül el tudják dönteni a gerekek, mel megfeleltetések egértelműek. Íg világossá válik a függvén fogalma, ami nem képlethez kötődik majd számukra. Érzékeltetjük, hog a függvének a matematikának igen széles skáláján mozognak: grafikonok, geometriai transzformációk, geometriai összefüggések (tk. 5. oldal., 4., tk.. oldal.,.), számelmélet (tk. 5. oldal 5., 6., fg. 4., 44.). A tanult fogalmak megértésének lemérésére javasoljuk a fg. 45. feladatát. Eszközök: érdekes grafikonok, festménekről készült fotók, albumok. Feladatok Az 4. és a fg feladatok a függvén fogalmának kialakítását szolgálják. Beszéljük meg a gerekekkel, hog melik megfeleltetés határoz meg függvént. Az inverz függvén fogalmát előkészíthetjük azzal, hog minden esetben megvizsgáljuk a megfeleltetések megfordítását is.. Melik megfeleltetés határoz meg függvént? a) hegedű ütős harsona vonós cselló fafúvós oboa rézfúvós ilofon b) ütős vonós fafúvós rézfúvós hegedű harsona cselló oboa ilofon a) függvén b) az a)-nak a megfordítása, és a vonósok miatt nem függvén.. a) Melik foglalkozáshoz melik tárg tartozhat? A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = {kocsikerék; csizma; szén; ködmön; kereskedés; hordó; lópatkó; korsó} A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = { korsó; kocsikerék; ködmön; kereskedés; hordó; patkó; csizma; szén;} A tanulók által adott más megfeleltetés is elfogadható. b) Függvént határoz-e meg ez a megfeleltetés? A megfeleltetés mindkét iránban függvén. 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

5 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. A germekotthonokban élő gerekek számáról készített kördiagram alapján adj meg eg alaphalmazt, eg képhalmazt, és írd le a hozzárendelési utasítást a két halmaz elemei között! A = Speciális intézmén, { Germekotthon, Lakásotthon, Diákotthon, } Utógondozó K = { 574; 755; 4; 44; 58 } 4. Az ábrán látható oszlop-, illetve vonaldiagram alapján állapítsd meg a hozzárendelések alaphalmazát, képhalmazát, és írd le a hozzárendelési utasítást is! Felsőoktatási intézménekbe jelentkezők száma fő fő fő fő Jelentkezők Felvételt nertek a) Vonaldiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} b) Oszlopdiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} Az 5 9. feladatok eg-eg régebben tanult ismeretet elevenítenek fel a matematika legkülönbözőbb területeiről. Nolcadik osztálban különösen fontos, hog ne csak az adott fejezet tananagával foglalkozzanak a gerekek! 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

6 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal 5. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legnagobb közös osztójukat! a) és 8 b) 48 és 4 c) 5 és 5 d) 8 és 48 és 60 (; 8) = 6 (48; 4) = 4 ( 5 ; 5) = 5 (8; 48; 60) = 6 6. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legkisebb közös többszörösüket! a) és 8 [; 8] = 6 b) 48 és 4 [48; 4] = 4 = 488 c) 5 és 5 [ 5 ; 5] = 5 d) 8 és 48 és 60 [8; 48; 60] = 4 5 = Minden számhoz rendeld hozzá a) az ellentettjét, b) a reciprokát! ( ) Célszerű értéktáblázatot készíteni: Számok a) ellentett b) reciprok = = n oldalú konve sokszögekhez ( 5 n 5 0) rendeld hozzá a) belső szögeinek összegét, b) külső szögeinek összegét! Célszerű táblázatot készíteni: ( ) 4 = nincs ha 0 Konve sokszög oldalainak száma n a) belső szögeinek összege (n ) 80 b) külső szögeinek összege Keresd a párját! A szakaszokat két végpontjukkal adtuk meg. Melik hossz tartozik hozzájuk, ha rácsegségben számolunk? A Pitagorasz-tételt gakoroltatjuk. Célszerű rajzoltatni a gerekekkel. A) A( ; ) B(5; ) c =8 B) A( ; ) B( ; 5) a = C) A(0; ) B(; 5) b =5 D) A( ; ) B(; 7) d = 90 9,49 a) b) 5 c) 8 d) 90 9,49. óra A lineáris függvén Tk.: 9. oldalon 5. feladatok Fg.: Az óra célja kettős. Egrészt feladatokon keresztül elevenítsük fel a lineáris függvénről taval tanultakat, másrészt nolcadikban az 5. példa kapcsán bevezetjük az értelmezési tartomán és az TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

7 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 9 0. oldal értékkészlet fogalmát is. Már hetedikben is volt utalás arra, hog a képhalmaz nem az összes tanult szám, de korainak éreztük volna a fogalmak bevezetését. Elvárható, hog a hozzárendelési utasítás alapján a gerekek felismerjék, hog lineáris függvén grafikonját kell megrajzolni, és pont segítségével fel is tudják azt rajzolni. (A jobb matematikusok a meredekséggel is szoktak dolgozni.) Követelmén, hog a koordináta-rendszer pontjainak a grafikonhoz való viszonát el tudja dönteni a gerek (rajta van, alatta, ill. felette van). Egszerűbb szöveges feladatokat tudjanak átírni matematikai jelölésekre, és az íg értelmezett problémához tartozó függvéngrafikonokról tudják leolvasni a kérdésre a választ! Feladatok. Keresd a párját! a) Az automata mosógép vizet szivattúz. b) Agépmos. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet. Víz mennisége Víz mennisége Víz mennisége idő b) Agépmos. a) Mosógép vizet szivattúz. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet.. Igaz-e, hog ha eg egenlő szárú derékszögű háromszög a) befogóját kétszeresére, háromszorosára,... növeljük úg, hog közben ismét egenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, akkor az átfogó hossza is kétszeresére, háromszorosára,... növekszik? Hánszorosára változik a kerület, illetve a terület? Igaz a hasonlóság miatt. Ha derékszögű háromszög befogóját -szel jelöljük, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó, azaz a lineáris függvén, ami eg egenes aránosság. ÉT = ÉK: { >0} A kerület is kétszeres, háromszoros lesz, míg a terület négszeresére, illetve kilencszeresére nő. b) derékszögét megfelezzük, akkor az átfogó hosszát is megfeleztük? Mi történik, ha a derékszöget negedeljük? Nem igaz, hog a szög felezésével, illetve negedelésével az átfogót is megfelezzük, illetve negedeljük.. Az angol autók sebességmérő órája kétféle mértékegségben mért sebességet mutat. Az Angliában használatos 5 mérföld megfelelője 40 km óra h. Add meg hozzárendelési szabállal a két sebesség közötti összefüggést, ha mérföld,6 km! Először a mérföld -ban óra mért sebességnek feleltesd meg a km -ban mért sebességet, és a h kapcsolatot ábrázold koordináta-rendszerben! Ezután a km -ban mért sebességnek feleltesd meg h a mérföld -ban mért sebességet! Ennek a függvénnek is készítsd el a grafikonját! óra idő idő 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

8 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal m h a),6 b) km ,6 = 5 km 8 h m h h Az értéktáblázat adatait ellenőrizhetjük a fotón látható sebességmérő órán. [ ] km [ m ] sebesség sebesség h h ,5 5 7,5 50 6, , [ m ] sebesség h [ ] km sebesség h 4. Juci a vasárnapi kosárlabda-mérkőzésen pontot dobott. Ezt részben az pontos büntetődobásból, részben a pontos kosarakból gűjtötte össze. Mennit dobhatott az eges kosárfajtákból? Ha -szel jelölöd a pontos kosarak számát, hogan függ az -től a büntető kosárdobások száma? Készíts grafikont erről a függvénről! a büntetődobások száma. 0 ÉT = {0; ; ;...;} ÉK = {; ; 5;...;} Melik hozzárendelési szabál melik grafikonhoz tartozik? A grafikon különálló pontokból áll, az lineáris függvén grafikonján. Az tengel a pontos dobások száma. Az tengel az pontos dobások száma. a) b) c) d) + e) ( ) f) b) c), d) a) e), f) Ez a kakukktojás. 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

9 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal 6. Zoli szeretne venni eg Ft-os kerékpárt. Már félretett 5000 Ft-ot, és náron elment dolgozni, hog garapítsa pénzét. Naponta 00 Ft-ot keresett eg vendéglőben órai mosogatással. Készíts értéktáblázatot Zoli pénzének garapodásáról, és keress képletet is hozzá! Rajzold meg az összetartozó értékek (napok pénz) grafikonját! Legalább hán napig kellett Zolinak dolgoznia? Az értéktáblázatot csak néhán napról készítettük: Napok száma A napok számát -szel jelölve, Pénz Zoli pénze lineáris függvénnel fejezhető ki. pénz [Ft] Zolinak legalább 7 napig kell dolgozni napok száma 7. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) + b) + c) + d) Jó feladat a tengelpont és a meredekség fogalmának átismétlésére. 8. Ábrázold az 4 függvén grafikonját! Határozd meg az A ( ) ( ) ( 6;, B ;, C ; ) és D ( ; ) pontok hiánzó jelzőszámait úg, hog a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, c) a grafikon fölött legenek! A( 6; ) B(; ) C(; ) D(; ) a) Grafikonon = = = 5 b) Grafikon alatt < < > 5 c) Grafikon fölött > > < 5 = > < 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

10 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 9. Gondoltam eg egenesre. Mi lehet a hozzárendelési szabál, ha ez az egenes áthalad a megadott pontokon? a) 0? b) 4? c) 4 6? d)? 5 Célszerű grafikont készíteni. a) b) 5 c) +7 d) 0. Keress szabált a grafikonokhoz! Ne hagjuk ki ezt a feladatot! I. c d b a II. a b c d III. c b a d a) + a) a) b) + b) b) + c) c) c) Nem függvén. = d) d) d) +.: Hasznos feladatok geometriai ismétlésre és az értelmezési tartomán fontosságának hangsúlozására.. A háromszög egik belső szögét -szel jelöltük. Add meg a szöghöz tartozó külső szöget az függvénében! Add meg a hozzárendelés értelmezési tartománát és értékkészletét! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! ÉT = ÉK: {0 <<80 } A grafikon eg mindkét végén nílt szakasz TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

11 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Hogan függ az eg csúcsból kiinduló átlók száma a konve sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a füzetben a táblázatot! Oldalak száma n Átlók száma n Határozd meg a kapott hozzárendelés értelmezési tartománát, értékkészletét, és készítsd el a függvén grafikonját! á (átlók száma) n (oldalszám) ÉT: {A és az annál nagobb természetes számok} ÉK: {Természetes számok}. Ábrázold az ( ) ( + ) utasítással megadott függvén grafikonját! Hol metszi a grafikon a koordinátatengeleket? A hozzárendelési utasítás a zárójelek felbontása és az összevonás után: A grafikon ott metszi az tengelt, ahol = 0, azaz =. Az tengelt a (0; ) pontban metszi. ( )( +) 4. Ábrázold az utasítással megadott függvén grafikonját! A függvén értelmezési tartománába az = érték nem tartozik bele, mert ekkor a nevezőben 0 állna. Ha, akkor + lineáris függvénről van szó. ÉT = {a tanult számok a kivételével} ÉK = {a tanult számok a 6 kivételével} A függvén grafikonja eg lukas egenes Rajzold meg a következő három függvén grafikonját!,5 +5 ÉT={ 5 5 0}, 5,5 ÉT = {0 <5 } és ÉT = {,;,}. Milen alakzatot kaptál? A kapott alakzat az A betű TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

12 Hozz rendel s, f ggv n Néhán nemlineáris függvén 4 5. óra Tk.: 6. oldalon.,. és. oldalon.,., 8.,.,. feladatok Fg.: , 65., Abszolútérték-függvén A számok abszolút értékének definícióját már ötödik osztálban megtanulták a gerekek. Néhán bevezető kérdés (pl.: Menni az abszolút értéke a következő számoknak 5; 5 ; 5; ( 5) ; 5; 0; 5 ;, és melik számnak az abszolút értéke a ; ; 0; ; ) után önállóan is el tudják készíteni a gerekek az függvén grafikonját. Néhán konkrét abszolút értéket tartalmazó függvén grafikonjának elkészítése után már a töréspontot előre megmondják a gerekek, valamint a görbe állását is, azaz azt, hog felfelé vag lefelé nitott. Másodfokú függvén 6 7. óra Tk.: 7 8. oldalon 9.,. és. oldalon 4., 8.,. feladatok Fg.: 6 64., 68 7., 76. Az és az függvénekkel már megismerkedtek a gerekek a Pitagorasz-tétel c. fejezetben. Ebben a fejezetben a függvének eg-két gakorlati alkalmazásán kívül azt is megmutatjuk, hog nem csak egenes alakú függvéngrafikonok vannak. Törtfüggvén 8. óra Tk.: 8. oldalon 0.,. és. oldalon 5. feladatok Fg.: 65., A fordított aránosság kapcsán már megtanulták a gerekek az a (a > 0) típusú grafikonokat elkészíteni. Ismereteiket a görbe nevével: hiperbola és az ÉT meghatározásával bővítjük. TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

13 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 6 7. oldal Feladatok Szoktassuk rá a gerekeket, hog a függvének grafikonjainak elkészítése előtt eg picit elmélkedjenek: milen lesz a görbe alakja, a koordináta-rendszer mel részén helezkedik el, milen egségeket érdemes felvenni a tengeleken, van-e kapcsolat eg feladat alkérdései között?. Keresd a párját! Minden számhoz hozzárendeltük A) az ellentettjét B) az abszolút értékét C) az ellentettjének az abszolút értékét D) az abszolút értékének az ellentettjét F) a( )-szeresét E) -et, ha >0, 0-t, ha =0,( )-et, ha <0 a b a A = F b E c B = C d D. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) b) c) a = b, mert az abszolútérték-jelen belül álló kifejezések egmás ellentettjei. a), b) = c) ÉT: {tanult számok} ÉK: { = 0} T (0; 0) c ÉT: {tanult számok} ÉK: { 5 0} T (0; 0) d. Ha eg követ 0 m s sebességgel felfelé magasság [m] hajítunk, akkor annak a mozgását az ábrán látható út-idő grafikonnal szemléltethetjük. A mozgást leíró függvén: t 0t 5t, ahol t az eltelt időt jelenti másodpercben mérve. a) Mi a görbe neve? parabola b) Milen maimális magasságot ért el a kő? 45 m c) Mikor volt a kő 0 m magasan? a. és a 48. másodpercben d) Milen hosszú ideig volt a kő 0 m fölött? 4,4 másodpercig idő [s] TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

14 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 7. oldal e) Mikor esett vissza a földre? a 6. mp-ben Jó feladat a grafikonról való olvasásra, lehetőleg ne hagjuk ki! A gerekek egmásnak is feltehetnek hasonló kérdéseket. 4. Hán kis négzetet látsz az ábrán? Ábrázold grafikusan az összetartozó értékeket! Lehetséges-e, hog 56 vag 000 kis négzet legen valamelik ábrán?... A négzetek száma:, 4, 9, 6,..., n, azaz n n ahol n a négzet oldalának hosszát jelenti rácsegségben mérve. Ha 56 kis négzet van az ábrán, akkor eg 6 oldalú négzetet rajzoltak. 000 kis négzet nem lehetséges, a két hozzá legközelebb álló lehetséges szám a 96, illetve az 04. (Okosabb gerekek felfedezhetik, hog kiskockákból viszont állhat eg 000-es építmén. Ekkor a kocka élhossza 0.) 5. Keresd a párját! Melik pont melik függvén grafikonján van rajta? A) B) C) + P ( ; ) Q (; 4) R (7; 9) S ( 4; 8) T ( 4; 6) P ( ; ) Q (; 4) P ( ; ) Q (; 4) S ( 4; 8) Q (; 4) T ( 4,6) R (7; 9) A feladat kapcsán több kérdés is tisztázható: A grafikonok megrajzolása nélkül hogan tudjuk eldönteni, hog pl.: P az A)-hoz és C)-hez is hozzátartozik? 6. Pogácsaszaggató készletünk legkisebb tagjának sugara cm, és mindegik szaggató 0,5 cm-rel nagobb sugarú az előzőnél. A készlet 4 tagú. Készíts értéktáblázatot arról, hog a különböző sugarú szaggatók mekkora alapterületű tésztát vágnak ki! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Milen függvént lehet felírni a sugár és a terület között? Sugár (r) [cm],5,5 Tészta (r π)[cm ],4 7,07,57 9,6,4 A grafikon eg parabolán elhelezkedő 4 pont: (sugár) [cm], terület [cm ] ,5,5,5 7. Az ejtőernő a repülőgépből való kiugrás után 5 másodperccel nílik ki. Hán métert zuhan az ugró ez idő alatt? (A megtett út és az eltelt idő közötti összefüggést az s =5t képlettel lehet számolni.) s(5) = 5 5 = 5 m 8. A szabadon eső testek által megtett utat a Földön az s = 5t képlettel, míg a Holdon az s = 0,8t képlettel lehet kiszámítani. Közös koordináta-rendszerben ábrázold a két helen érvénes útidő grafikonokat! Olvasd le a grafikonokról, hog,, 4, 5 másodperc elteltével mennivel tesz meg hosszabb utat a Föld felé zuhanó test! A leolvasott értékeket számolással is ellenőrizd! Menni idő alatt ér a Földre, illetve a Holdra eg 0 m magasról leejtett kő? 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

15 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal Idő [sec] 4 5 Földi út [m] Holdi út [m] 0,8, 7,,8 0 s [m] s =5t s =0,8t A két út különbsége [m] 4, 6,8 7,8 67, 05 0 = 5t egenletből t = 6,5 sec 0 = 0,8t egenletből t = 7,5 6, sec 4 9. Képzeld el, hog eg szép, tiszta napon eg heg tetejéről figeled a tengeren tőled távolodó hajót. A hajó a Föld gömbölű alakja miatt előbb-utóbb eltűnik a szemed elől. A távolság, ahol a hajó eltűnik a szemünk elől, attól függ, hog milen magasan állunk. a) Írd le képlettel az alábbi számolási eljárást! b) Készíts értéktáblázatot 0 m-enként zsebszámológép segítségével! c) Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Az emberiség sokéves tapasztalatával felállítható összefüggésről szól ez a feladat. Ha -szel jelöljük a szemlélődő magasságát, akkor a látótávolságot az,57 hozzárendelés határozza meg. A grafikon foltonos görbe [m],57 Magasság [m] Látótávolság [m] 5,97,58 7,65,9 5,7 9, 4,4 45,6 0. Készítsd el a [m] a) 0, b) 0 függvének grafikonjait! Milen kapcsolat van a két grafikon között? a) 4 b) 4 Az egik grafikont tükrözve az tengelre, a másikhoz jutunk, hiszen minden függvénérték ( )-szeresére változik. ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {A 0 kivételével a tanult számok} 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

16 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal. A folóparton sportpála céljára téglalap alakú telket akarunk elkeríteni 400 m hosszú kerítéssel. (A vízparti részhez nem kell kerítés.) Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, ha azt akarjuk, hog a sportpála területe a lehető legnagobb legen? Az ábra jelöléseit használva a téglalap területe az -szel jelölt oldal függvéne: 400 (400 ) Meg kell keresni azt az értéket, amelre ez a másodfokú függvén a lehető legnagobb értéket veszi fel. foló A feladat szövege miatt: >0 és 400 >0, innen <00, azaz ÉT = {0 <<00} t Mivel az (400 ) = 0 egenletből = 0 és = 00 a függvén két zérushele, ezért a legnagobb értéket a kettő számtani közepénél, azaz = 00-nál veszi fel, ekkor a terület: t = = m. Az értelmezési tartomán meghatározása után néhán függvénérték kiszámolásával is eljuthatnak a gerekek a lefelé nitott parabola grafikonjához, ahonnan leolvasható az = 00 érték (400 ) Hol vannak a síkon azok a P (; ) koordinátájú pontok, amelekre a) =, b) =, c) =0? a = b c) = 0 egenletből vag = 0, vag =0. Íg a koordinátatengelek pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. 8. óra Függvéntranszformációk Tk.:. oldalon. feladatok Fg.: Kevésbé jó csoportnál ezt az órát az eddig tanultak gakoroltatására fordíthatjuk, azaz ha kihagjuk a függvének transzformációit, majd a középiskola pótolja ezt. Elégedjünk meg azzal, 6 TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

17 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal hog az elemi függvének grafikonjait el tudják készíteni a tanulók, és a sík pontjainak a görbéhez való viszonát meg tudják határozni. Többnire élvezni szokták ezt az anagot a gerekek. Gorsan észreveszik, hog a transzformációs lépések teljesen függetlenek a kiindulási függvéntől. Jó játék: függvéntranszformációk mutogatása. a) Mindenki mutasson a két tenere felhasználásával eg függvént! Változtassa -re, vag +,vag, vag + -ra! Uganezt a sorozatot az függvénnel is el lehet játszani. b) Most a tanár mutatja a kiindulási függvén képét, és a gerekek mondják az elmozdított kézhez tartozó hozzárendelési utasítást. (A kezünket szakaszosan emeljük, és megállapodunk abban, hog eg szakasz -et ér.) Nagon jó hangulatú a játék. Jobb csapatokban el lehet szórakozni a ( ) szorzóténezővel is, pl.: ; ; ; ( ) ;... A 4. és 5. példát a versenző gerekeknek ajánljuk, mert az Aran Dániel középiskolás versenen az abszolútérték-függvén legkülönbözőbb transzformáltjai szoktak szerepelni, és a versen első fordulójáig a középiskola még nem jut el odáig. Íg csak az általános iskolás tudásukra támaszkodhatnak a tanulók. Feladatok. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a), +, b), +, c), +, a) + ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } b) + ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } c) + ÉK ;; = { = 0}. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a),, ( ) b), +, c), +, d), ( +), ( ) 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

18 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal a) 4 = ( ) ÉK, = { = 0} ÉK = { 5 0} b) ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } c) ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } d) ( + ) 4 ( ) 4 ÉK,, = { = 0}. Keresd a párját! Az abszolútérték-függvénekhez kell megkeresni a grafikonjuk töréspontját. a) b) + c) + d) 4 e) +4 A) T ( ; 0) B) T (; 0) C) T (0; 0) D) T ( ;0 ) a) C) b) A) c) D) d) B) e) E) 4. Az ábrákon látható síkidomokat oldalhosszúságú négzetekből állítottuk elő. Írd fel a síkidomok területét függvénében, és készítsd el a kapott függvének grafikonját! Az első ábra: 9 9 A második ábra: ÉT: { >0} ÉK: { >0} } {{ } E) T ( ; 0) 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

19 Hozz rendel s, f ggv n 5. Tk.:. oldal Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a) 5, 0 4 b), 0 c), 0 4 ÉT a, b, c :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK a, b :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK c :{a ( ) kivételével a tanult számok} 6. Többet ésszel, mint erővel! 4 A függvének grafikonjának megrajzolása előtt keresd meg a grafikonok töréspontjait, és csak ezután jelöld ki az egségeket a koordináta-rendszerben! Érdemes azt is előre eldöntened, hog felfelé vag lefelé nitott grafikont kapsz-e. a) 50 b) +0 c) +0 d) e) 00 f) A jobb matematikusoknak ajánlott feladat. Az intelligens koordináta-rendszer megtervezését is célozza a feladat előbb gondolkozunk, és csak azután cselekszünk! c d a ÉT a, b, c, d, e, f = {tanult számok} b ÉK a, c, d = { = 0} ÉK b = { 5 0} ÉK e = { = 00} ÉK f = { = 5} f e T a (50; 0) T b ( 0; 0) T c ( 0; 0) T d (; 0) T e (0, 00) T f ( 00,5) Keresd a párját! c 5 4 a b 4 5 d A) B) C) D) + a D, b C, c B, d A 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

20 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 8. Melik a kakukktojás? b 4 5 a c d A) ( ) B) ( +) C) ( ) D) ( +) E) ( +) a D, b E, c A, d C Tehát a B hozzárendelés a kakukktojás. A 9. feladatokat a középiskolás matematikaversenen indulni szándékozó gerekeknek szántuk. A többieket ne götörjük az öncélú függvéntranszformációkkal. a) 4 9. Függvéntranszformációk segítségével készítsd el a függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét is! a) + b) + c) + Célszerű először az abszolútérték-függvének töréspontját meghatározni, és eldönteni az állásukat. b) c) T (; ) T (0; ) ÉK: { = } 4 4 T (; ) ÉK: { = } 4 5 ÉK: { 5 } 0. Mekkora a kerülete és a területe annak a háromszögnek, amelet az függvén grafikonja és az tengel határol? A háromszög csúcspontjai: A ( ; 0), B (; 0) és C (0; ). C A háromszög területét megkaphatjuk, ha az AB = 4 egség oldallal és a hozzá tartozó m = C = egséggel számolunk. A B T = 4 =4e O A kerülethez szükségünk van az AC = BC szakaszok hosszára, ameleket Pitagorasz-tétellel számolhatunk ki az AOC háromszögben: AC = AO + OC, innen AC = + =8, tehát AC = 8,8e. K = AB +AC =4+,8 = 9,66 egség. 0 TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

21 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Készítsd el annak a függvénnek a grafikonját, amel az egész számokhoz önmagukat rendeli, a nem egész számokhoz pedig a hozzájuk legközelebb eső, náluk kisebb egész számot! Ezzel a függvénnel, az ún. egészrész függ- ÉT: {a tanult számok} vénnel a középiskolában még találkoznak a gerekek. ÉK: {az egész számok} Jelölése: []. A pozitív számokra könnű elkészíteni a függvén grafikonját, a negatív tartománban szoktak téveszteni a gerekek.. Julcsi néni eg m hosszú kerítéssel eg téglalap alakú részt kerített körül az udvaron a túkoknak, hog ezentúl csak ott kapirgáljanak. A terület a ház falához illeszkedik úg, hog ott nem kellett kerítést kihúzni. Írd fel, hog az elkerített rész területe hogan függ a téglalap szélességétől! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Milen adatok esetén lesz a legnagobb az elkerített rész területe? ház fala Ha a téglalap egik oldalát az ábra szerint -szel jelöljük, akkor a téglalap másik oldala ( ) lesz. A területet meghatározó függvén: ( ). Ez eg másodfokú függvén, íg a grafikonja a negatív előjel miatt eg lefelé nitott parabola. 0 A görbe tengellel való metszéspontjait az ( ) = ÉT: {0 <<6} ÉK: {0 <<8} egenletből können meg tudják határozni a gerekek: =0, =6. Íg a tengelpont -es koordinátája a zérushelek számtani közepéből T =. A tengelpont koordinátáját behelettesítéssel kapjuk: ( ) = 8, T (; 8). A terület akkor a legnagobb, ha =, ekkor =6. A m széles 6 m hosszú téglalap alakú kert a legnagobb területű: T =8m óra Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása Tk.: 5 6. oldalon. feladatok Fg.: Hetedik osztálban a Grafikonok gakorlati alkalmazása című fejezetben már meghatároztuk lineáris függvének metszéspontjait. Idén léneges előrelépést teszünk, mert az egenletek grafikus megoldásával egidejűleg tárgaljuk az egenlőtlenségek megoldásait is. Ez jól fejleszti a gerekek függvénszemléletét, hiszen a függvének egmáshoz való viszonát kell vizsgálni. TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

22 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal Kevésbé jó csoportban elégedjünk meg azzal, ha a lineáris függvénekre vonatkozó feladatokat meg tudják oldani (tk. 7., fg ) és azokat, ahol a függvének grafikonjait lerajzoltuk (tk. 8., 0.,. és fg. 84., 86., 88., 9.). A grafikus megoldás nem ad pontos eredmént. A leolvasott értékeket behelettesítéssel mindig ellenőrizni kell. Feladatok. Az agár meglátja a tőle 00 m-re levő nulat, és út [m] 5 m sebességgel üldözőbe veszi. A núl azonnal s menekülni kezd, de csak 5 m-t képes megtenni eg másodperc alatt. Menni ideig tart az üldözés? Oldd meg a feladatot grafikusan! agár núl Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a núl által megtett út: az agár által megtett út: 5 Algebrai megoldás: az agár abban a pillanatban éri utol a nulat, amikor =5, innen =0. A grafikonról is az olvasható le, hog az üldözés 0 másodpercig tart, és az agár 50 m-t fut a núlig idő [s]. Pista és Zoli két, egmástól 85 km-re levő faluban naralnak. Elhatározzák, hog hétfőn reggel 6-kor kerékpárral elindulnak egmás felé, és útközben találkoznak. Pista óránként 4 km-t tesz meg. Zoli elaludt, és csak fél nolckor indult, de ő óránként 8 km-t tekert. Mikor és hol találkoznak, és melik fiú tesz meg hosszabb utat a találkozásig? Oldd meg a feladatot grafikusan! Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a Pista által megtett út: 4 Zoli,5 órával később indul a 85 km-re levő faluból, ezért az ő útját az 85 8(,5) lineáris függvén írja le. 9,5 órakor találkoznak, azaz Pista,5 órát volt úton, íg 49 km-t tett meg, míg Zoli órát volt úton, és 6 km-t kerékpározott. A találkozásig Pista km-rel hosszabb utat tett meg, mint Zoli út [km] Zoli Pista idő [h] TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Negyedik epochafüzet

Negyedik epochafüzet Negedik epochafüzet Matematika 9. évfolam Tulajdonos:... Tartalom Ismétlés I.... Algebrai kifejezések... Egenletek, egenlőtlenségek... 6 Algebrai törtek, szorzattá alakítás... 8 Törtes egenletek, egenlőtlenségek...

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:.

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára másik termék mennisége. gakorlat Transzformációs görbe, mikroökonómiai optimumfeladatok megoldásának alapmódszere Oktatási segédlet hallgatók számára Eg fontos közgazdasági alapmodell TLH, alternatív költség,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben