TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA"

Átírás

1 El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

2 El sz Kovács Csongorné a Tankönvesek Országos Szövetségétől 008-ban elnerte az Érdemes tankönvíró kitüntető címet Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN AP 0808 ISBN A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Görgné, Szeredi Éva, 009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft Celldömölk, Szécheni u. 8. Tel.: 95/55-000; fa: 95/ Internet: Felelős kiadó: Esztergálos Jenő ügvezető igazgató Nomdai előkészítés: Könv Művek Bt. Terjedelem: 9,6 A/5 ív Tömeg: 598 g TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

3 Hozz rendel s, f ggv n FÜGGVÉNYEK. óra: Hozzárendelések, függvének. óra: Lineáris függvén 4 5. óra: Abszolútérték-függvén 6 7. óra: Másodfokú függvén 8. óra: függvén 9. óra: Gakorlás, illetve függvéntranszformációk 9 0. óra: Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. óra: Sorozatok, számtani sorozat 4. óra: Mértani sorozat fogalma 5. óra: Gakorlás Mire építünk? A koordináta-rendszerben való biztos eligazodásra A megfeleltetés fogalmára két halmaz között A függvén fogalmára (alaphalmaz, képhalmaz) A lineáris függvén ismeretére A függvén grafikonja és a koordináta-rendszer pontjai közötti kapcsolat ismeretére A sorozat fogalmára, grafikonjának ismeretére A számtani sorozat fogalmának ismeretére, összefüggésekre a számtani sorozat elemei között, az első néhán elem összegének meghatározására Meddig jutunk el? Tudatosítjuk, hog a megfeleltetés és a hozzárendelés azonos fogalom, ezért használjuk felváltva a könvben. A függvén eg speciális hozzárendelés. Tovább mélítjük a függvén fogalmát. Bevezetjük az értelmezési tartomán és az értékkészlet fogalmát. Néhán nem lineáris függvén grafikonjával is megismerkednek a gerekek: ; ; ; A függvének grafikonjairól adatokat olvasunk le. Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. Ismerjék fel a számtani és a mértani sorozatokat, konkrét n-re a n és s n számolása. A függvéntranszformációval csak emelt óraszám esetén foglalkozzunk. TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

4 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. óra Tk.: 4 5. oldalon 9. feladatok Fg.: Hozzárendelések, függvének Az óra célja: két halmaz közötti megfeleltetések közül el tudják dönteni a gerekek, mel megfeleltetések egértelműek. Íg világossá válik a függvén fogalma, ami nem képlethez kötődik majd számukra. Érzékeltetjük, hog a függvének a matematikának igen széles skáláján mozognak: grafikonok, geometriai transzformációk, geometriai összefüggések (tk. 5. oldal., 4., tk.. oldal.,.), számelmélet (tk. 5. oldal 5., 6., fg. 4., 44.). A tanult fogalmak megértésének lemérésére javasoljuk a fg. 45. feladatát. Eszközök: érdekes grafikonok, festménekről készült fotók, albumok. Feladatok Az 4. és a fg feladatok a függvén fogalmának kialakítását szolgálják. Beszéljük meg a gerekekkel, hog melik megfeleltetés határoz meg függvént. Az inverz függvén fogalmát előkészíthetjük azzal, hog minden esetben megvizsgáljuk a megfeleltetések megfordítását is.. Melik megfeleltetés határoz meg függvént? a) hegedű ütős harsona vonós cselló fafúvós oboa rézfúvós ilofon b) ütős vonós fafúvós rézfúvós hegedű harsona cselló oboa ilofon a) függvén b) az a)-nak a megfordítása, és a vonósok miatt nem függvén.. a) Melik foglalkozáshoz melik tárg tartozhat? A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = {kocsikerék; csizma; szén; ködmön; kereskedés; hordó; lópatkó; korsó} A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = { korsó; kocsikerék; ködmön; kereskedés; hordó; patkó; csizma; szén;} A tanulók által adott más megfeleltetés is elfogadható. b) Függvént határoz-e meg ez a megfeleltetés? A megfeleltetés mindkét iránban függvén. 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

5 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. A germekotthonokban élő gerekek számáról készített kördiagram alapján adj meg eg alaphalmazt, eg képhalmazt, és írd le a hozzárendelési utasítást a két halmaz elemei között! A = Speciális intézmén, { Germekotthon, Lakásotthon, Diákotthon, } Utógondozó K = { 574; 755; 4; 44; 58 } 4. Az ábrán látható oszlop-, illetve vonaldiagram alapján állapítsd meg a hozzárendelések alaphalmazát, képhalmazát, és írd le a hozzárendelési utasítást is! Felsőoktatási intézménekbe jelentkezők száma fő fő fő fő Jelentkezők Felvételt nertek a) Vonaldiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} b) Oszlopdiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} Az 5 9. feladatok eg-eg régebben tanult ismeretet elevenítenek fel a matematika legkülönbözőbb területeiről. Nolcadik osztálban különösen fontos, hog ne csak az adott fejezet tananagával foglalkozzanak a gerekek! 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

6 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal 5. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legnagobb közös osztójukat! a) és 8 b) 48 és 4 c) 5 és 5 d) 8 és 48 és 60 (; 8) = 6 (48; 4) = 4 ( 5 ; 5) = 5 (8; 48; 60) = 6 6. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legkisebb közös többszörösüket! a) és 8 [; 8] = 6 b) 48 és 4 [48; 4] = 4 = 488 c) 5 és 5 [ 5 ; 5] = 5 d) 8 és 48 és 60 [8; 48; 60] = 4 5 = Minden számhoz rendeld hozzá a) az ellentettjét, b) a reciprokát! ( ) Célszerű értéktáblázatot készíteni: Számok a) ellentett b) reciprok = = n oldalú konve sokszögekhez ( 5 n 5 0) rendeld hozzá a) belső szögeinek összegét, b) külső szögeinek összegét! Célszerű táblázatot készíteni: ( ) 4 = nincs ha 0 Konve sokszög oldalainak száma n a) belső szögeinek összege (n ) 80 b) külső szögeinek összege Keresd a párját! A szakaszokat két végpontjukkal adtuk meg. Melik hossz tartozik hozzájuk, ha rácsegségben számolunk? A Pitagorasz-tételt gakoroltatjuk. Célszerű rajzoltatni a gerekekkel. A) A( ; ) B(5; ) c =8 B) A( ; ) B( ; 5) a = C) A(0; ) B(; 5) b =5 D) A( ; ) B(; 7) d = 90 9,49 a) b) 5 c) 8 d) 90 9,49. óra A lineáris függvén Tk.: 9. oldalon 5. feladatok Fg.: Az óra célja kettős. Egrészt feladatokon keresztül elevenítsük fel a lineáris függvénről taval tanultakat, másrészt nolcadikban az 5. példa kapcsán bevezetjük az értelmezési tartomán és az TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

7 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 9 0. oldal értékkészlet fogalmát is. Már hetedikben is volt utalás arra, hog a képhalmaz nem az összes tanult szám, de korainak éreztük volna a fogalmak bevezetését. Elvárható, hog a hozzárendelési utasítás alapján a gerekek felismerjék, hog lineáris függvén grafikonját kell megrajzolni, és pont segítségével fel is tudják azt rajzolni. (A jobb matematikusok a meredekséggel is szoktak dolgozni.) Követelmén, hog a koordináta-rendszer pontjainak a grafikonhoz való viszonát el tudja dönteni a gerek (rajta van, alatta, ill. felette van). Egszerűbb szöveges feladatokat tudjanak átírni matematikai jelölésekre, és az íg értelmezett problémához tartozó függvéngrafikonokról tudják leolvasni a kérdésre a választ! Feladatok. Keresd a párját! a) Az automata mosógép vizet szivattúz. b) Agépmos. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet. Víz mennisége Víz mennisége Víz mennisége idő b) Agépmos. a) Mosógép vizet szivattúz. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet.. Igaz-e, hog ha eg egenlő szárú derékszögű háromszög a) befogóját kétszeresére, háromszorosára,... növeljük úg, hog közben ismét egenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, akkor az átfogó hossza is kétszeresére, háromszorosára,... növekszik? Hánszorosára változik a kerület, illetve a terület? Igaz a hasonlóság miatt. Ha derékszögű háromszög befogóját -szel jelöljük, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó, azaz a lineáris függvén, ami eg egenes aránosság. ÉT = ÉK: { >0} A kerület is kétszeres, háromszoros lesz, míg a terület négszeresére, illetve kilencszeresére nő. b) derékszögét megfelezzük, akkor az átfogó hosszát is megfeleztük? Mi történik, ha a derékszöget negedeljük? Nem igaz, hog a szög felezésével, illetve negedelésével az átfogót is megfelezzük, illetve negedeljük.. Az angol autók sebességmérő órája kétféle mértékegségben mért sebességet mutat. Az Angliában használatos 5 mérföld megfelelője 40 km óra h. Add meg hozzárendelési szabállal a két sebesség közötti összefüggést, ha mérföld,6 km! Először a mérföld -ban óra mért sebességnek feleltesd meg a km -ban mért sebességet, és a h kapcsolatot ábrázold koordináta-rendszerben! Ezután a km -ban mért sebességnek feleltesd meg h a mérföld -ban mért sebességet! Ennek a függvénnek is készítsd el a grafikonját! óra idő idő 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

8 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal m h a),6 b) km ,6 = 5 km 8 h m h h Az értéktáblázat adatait ellenőrizhetjük a fotón látható sebességmérő órán. [ ] km [ m ] sebesség sebesség h h ,5 5 7,5 50 6, , [ m ] sebesség h [ ] km sebesség h 4. Juci a vasárnapi kosárlabda-mérkőzésen pontot dobott. Ezt részben az pontos büntetődobásból, részben a pontos kosarakból gűjtötte össze. Mennit dobhatott az eges kosárfajtákból? Ha -szel jelölöd a pontos kosarak számát, hogan függ az -től a büntető kosárdobások száma? Készíts grafikont erről a függvénről! a büntetődobások száma. 0 ÉT = {0; ; ;...;} ÉK = {; ; 5;...;} Melik hozzárendelési szabál melik grafikonhoz tartozik? A grafikon különálló pontokból áll, az lineáris függvén grafikonján. Az tengel a pontos dobások száma. Az tengel az pontos dobások száma. a) b) c) d) + e) ( ) f) b) c), d) a) e), f) Ez a kakukktojás. 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

9 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal 6. Zoli szeretne venni eg Ft-os kerékpárt. Már félretett 5000 Ft-ot, és náron elment dolgozni, hog garapítsa pénzét. Naponta 00 Ft-ot keresett eg vendéglőben órai mosogatással. Készíts értéktáblázatot Zoli pénzének garapodásáról, és keress képletet is hozzá! Rajzold meg az összetartozó értékek (napok pénz) grafikonját! Legalább hán napig kellett Zolinak dolgoznia? Az értéktáblázatot csak néhán napról készítettük: Napok száma A napok számát -szel jelölve, Pénz Zoli pénze lineáris függvénnel fejezhető ki. pénz [Ft] Zolinak legalább 7 napig kell dolgozni napok száma 7. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) + b) + c) + d) Jó feladat a tengelpont és a meredekség fogalmának átismétlésére. 8. Ábrázold az 4 függvén grafikonját! Határozd meg az A ( ) ( ) ( 6;, B ;, C ; ) és D ( ; ) pontok hiánzó jelzőszámait úg, hog a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, c) a grafikon fölött legenek! A( 6; ) B(; ) C(; ) D(; ) a) Grafikonon = = = 5 b) Grafikon alatt < < > 5 c) Grafikon fölött > > < 5 = > < 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

10 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 9. Gondoltam eg egenesre. Mi lehet a hozzárendelési szabál, ha ez az egenes áthalad a megadott pontokon? a) 0? b) 4? c) 4 6? d)? 5 Célszerű grafikont készíteni. a) b) 5 c) +7 d) 0. Keress szabált a grafikonokhoz! Ne hagjuk ki ezt a feladatot! I. c d b a II. a b c d III. c b a d a) + a) a) b) + b) b) + c) c) c) Nem függvén. = d) d) d) +.: Hasznos feladatok geometriai ismétlésre és az értelmezési tartomán fontosságának hangsúlozására.. A háromszög egik belső szögét -szel jelöltük. Add meg a szöghöz tartozó külső szöget az függvénében! Add meg a hozzárendelés értelmezési tartománát és értékkészletét! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! ÉT = ÉK: {0 <<80 } A grafikon eg mindkét végén nílt szakasz TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

11 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Hogan függ az eg csúcsból kiinduló átlók száma a konve sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a füzetben a táblázatot! Oldalak száma n Átlók száma n Határozd meg a kapott hozzárendelés értelmezési tartománát, értékkészletét, és készítsd el a függvén grafikonját! á (átlók száma) n (oldalszám) ÉT: {A és az annál nagobb természetes számok} ÉK: {Természetes számok}. Ábrázold az ( ) ( + ) utasítással megadott függvén grafikonját! Hol metszi a grafikon a koordinátatengeleket? A hozzárendelési utasítás a zárójelek felbontása és az összevonás után: A grafikon ott metszi az tengelt, ahol = 0, azaz =. Az tengelt a (0; ) pontban metszi. ( )( +) 4. Ábrázold az utasítással megadott függvén grafikonját! A függvén értelmezési tartománába az = érték nem tartozik bele, mert ekkor a nevezőben 0 állna. Ha, akkor + lineáris függvénről van szó. ÉT = {a tanult számok a kivételével} ÉK = {a tanult számok a 6 kivételével} A függvén grafikonja eg lukas egenes Rajzold meg a következő három függvén grafikonját!,5 +5 ÉT={ 5 5 0}, 5,5 ÉT = {0 <5 } és ÉT = {,;,}. Milen alakzatot kaptál? A kapott alakzat az A betű TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

12 Hozz rendel s, f ggv n Néhán nemlineáris függvén 4 5. óra Tk.: 6. oldalon.,. és. oldalon.,., 8.,.,. feladatok Fg.: , 65., Abszolútérték-függvén A számok abszolút értékének definícióját már ötödik osztálban megtanulták a gerekek. Néhán bevezető kérdés (pl.: Menni az abszolút értéke a következő számoknak 5; 5 ; 5; ( 5) ; 5; 0; 5 ;, és melik számnak az abszolút értéke a ; ; 0; ; ) után önállóan is el tudják készíteni a gerekek az függvén grafikonját. Néhán konkrét abszolút értéket tartalmazó függvén grafikonjának elkészítése után már a töréspontot előre megmondják a gerekek, valamint a görbe állását is, azaz azt, hog felfelé vag lefelé nitott. Másodfokú függvén 6 7. óra Tk.: 7 8. oldalon 9.,. és. oldalon 4., 8.,. feladatok Fg.: 6 64., 68 7., 76. Az és az függvénekkel már megismerkedtek a gerekek a Pitagorasz-tétel c. fejezetben. Ebben a fejezetben a függvének eg-két gakorlati alkalmazásán kívül azt is megmutatjuk, hog nem csak egenes alakú függvéngrafikonok vannak. Törtfüggvén 8. óra Tk.: 8. oldalon 0.,. és. oldalon 5. feladatok Fg.: 65., A fordított aránosság kapcsán már megtanulták a gerekek az a (a > 0) típusú grafikonokat elkészíteni. Ismereteiket a görbe nevével: hiperbola és az ÉT meghatározásával bővítjük. TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

13 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 6 7. oldal Feladatok Szoktassuk rá a gerekeket, hog a függvének grafikonjainak elkészítése előtt eg picit elmélkedjenek: milen lesz a görbe alakja, a koordináta-rendszer mel részén helezkedik el, milen egségeket érdemes felvenni a tengeleken, van-e kapcsolat eg feladat alkérdései között?. Keresd a párját! Minden számhoz hozzárendeltük A) az ellentettjét B) az abszolút értékét C) az ellentettjének az abszolút értékét D) az abszolút értékének az ellentettjét F) a( )-szeresét E) -et, ha >0, 0-t, ha =0,( )-et, ha <0 a b a A = F b E c B = C d D. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) b) c) a = b, mert az abszolútérték-jelen belül álló kifejezések egmás ellentettjei. a), b) = c) ÉT: {tanult számok} ÉK: { = 0} T (0; 0) c ÉT: {tanult számok} ÉK: { 5 0} T (0; 0) d. Ha eg követ 0 m s sebességgel felfelé magasság [m] hajítunk, akkor annak a mozgását az ábrán látható út-idő grafikonnal szemléltethetjük. A mozgást leíró függvén: t 0t 5t, ahol t az eltelt időt jelenti másodpercben mérve. a) Mi a görbe neve? parabola b) Milen maimális magasságot ért el a kő? 45 m c) Mikor volt a kő 0 m magasan? a. és a 48. másodpercben d) Milen hosszú ideig volt a kő 0 m fölött? 4,4 másodpercig idő [s] TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

14 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 7. oldal e) Mikor esett vissza a földre? a 6. mp-ben Jó feladat a grafikonról való olvasásra, lehetőleg ne hagjuk ki! A gerekek egmásnak is feltehetnek hasonló kérdéseket. 4. Hán kis négzetet látsz az ábrán? Ábrázold grafikusan az összetartozó értékeket! Lehetséges-e, hog 56 vag 000 kis négzet legen valamelik ábrán?... A négzetek száma:, 4, 9, 6,..., n, azaz n n ahol n a négzet oldalának hosszát jelenti rácsegségben mérve. Ha 56 kis négzet van az ábrán, akkor eg 6 oldalú négzetet rajzoltak. 000 kis négzet nem lehetséges, a két hozzá legközelebb álló lehetséges szám a 96, illetve az 04. (Okosabb gerekek felfedezhetik, hog kiskockákból viszont állhat eg 000-es építmén. Ekkor a kocka élhossza 0.) 5. Keresd a párját! Melik pont melik függvén grafikonján van rajta? A) B) C) + P ( ; ) Q (; 4) R (7; 9) S ( 4; 8) T ( 4; 6) P ( ; ) Q (; 4) P ( ; ) Q (; 4) S ( 4; 8) Q (; 4) T ( 4,6) R (7; 9) A feladat kapcsán több kérdés is tisztázható: A grafikonok megrajzolása nélkül hogan tudjuk eldönteni, hog pl.: P az A)-hoz és C)-hez is hozzátartozik? 6. Pogácsaszaggató készletünk legkisebb tagjának sugara cm, és mindegik szaggató 0,5 cm-rel nagobb sugarú az előzőnél. A készlet 4 tagú. Készíts értéktáblázatot arról, hog a különböző sugarú szaggatók mekkora alapterületű tésztát vágnak ki! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Milen függvént lehet felírni a sugár és a terület között? Sugár (r) [cm],5,5 Tészta (r π)[cm ],4 7,07,57 9,6,4 A grafikon eg parabolán elhelezkedő 4 pont: (sugár) [cm], terület [cm ] ,5,5,5 7. Az ejtőernő a repülőgépből való kiugrás után 5 másodperccel nílik ki. Hán métert zuhan az ugró ez idő alatt? (A megtett út és az eltelt idő közötti összefüggést az s =5t képlettel lehet számolni.) s(5) = 5 5 = 5 m 8. A szabadon eső testek által megtett utat a Földön az s = 5t képlettel, míg a Holdon az s = 0,8t képlettel lehet kiszámítani. Közös koordináta-rendszerben ábrázold a két helen érvénes útidő grafikonokat! Olvasd le a grafikonokról, hog,, 4, 5 másodperc elteltével mennivel tesz meg hosszabb utat a Föld felé zuhanó test! A leolvasott értékeket számolással is ellenőrizd! Menni idő alatt ér a Földre, illetve a Holdra eg 0 m magasról leejtett kő? 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

15 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal Idő [sec] 4 5 Földi út [m] Holdi út [m] 0,8, 7,,8 0 s [m] s =5t s =0,8t A két út különbsége [m] 4, 6,8 7,8 67, 05 0 = 5t egenletből t = 6,5 sec 0 = 0,8t egenletből t = 7,5 6, sec 4 9. Képzeld el, hog eg szép, tiszta napon eg heg tetejéről figeled a tengeren tőled távolodó hajót. A hajó a Föld gömbölű alakja miatt előbb-utóbb eltűnik a szemed elől. A távolság, ahol a hajó eltűnik a szemünk elől, attól függ, hog milen magasan állunk. a) Írd le képlettel az alábbi számolási eljárást! b) Készíts értéktáblázatot 0 m-enként zsebszámológép segítségével! c) Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Az emberiség sokéves tapasztalatával felállítható összefüggésről szól ez a feladat. Ha -szel jelöljük a szemlélődő magasságát, akkor a látótávolságot az,57 hozzárendelés határozza meg. A grafikon foltonos görbe [m],57 Magasság [m] Látótávolság [m] 5,97,58 7,65,9 5,7 9, 4,4 45,6 0. Készítsd el a [m] a) 0, b) 0 függvének grafikonjait! Milen kapcsolat van a két grafikon között? a) 4 b) 4 Az egik grafikont tükrözve az tengelre, a másikhoz jutunk, hiszen minden függvénérték ( )-szeresére változik. ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {A 0 kivételével a tanult számok} 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

16 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal. A folóparton sportpála céljára téglalap alakú telket akarunk elkeríteni 400 m hosszú kerítéssel. (A vízparti részhez nem kell kerítés.) Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, ha azt akarjuk, hog a sportpála területe a lehető legnagobb legen? Az ábra jelöléseit használva a téglalap területe az -szel jelölt oldal függvéne: 400 (400 ) Meg kell keresni azt az értéket, amelre ez a másodfokú függvén a lehető legnagobb értéket veszi fel. foló A feladat szövege miatt: >0 és 400 >0, innen <00, azaz ÉT = {0 <<00} t Mivel az (400 ) = 0 egenletből = 0 és = 00 a függvén két zérushele, ezért a legnagobb értéket a kettő számtani közepénél, azaz = 00-nál veszi fel, ekkor a terület: t = = m. Az értelmezési tartomán meghatározása után néhán függvénérték kiszámolásával is eljuthatnak a gerekek a lefelé nitott parabola grafikonjához, ahonnan leolvasható az = 00 érték (400 ) Hol vannak a síkon azok a P (; ) koordinátájú pontok, amelekre a) =, b) =, c) =0? a = b c) = 0 egenletből vag = 0, vag =0. Íg a koordinátatengelek pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. 8. óra Függvéntranszformációk Tk.:. oldalon. feladatok Fg.: Kevésbé jó csoportnál ezt az órát az eddig tanultak gakoroltatására fordíthatjuk, azaz ha kihagjuk a függvének transzformációit, majd a középiskola pótolja ezt. Elégedjünk meg azzal, 6 TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

17 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal hog az elemi függvének grafikonjait el tudják készíteni a tanulók, és a sík pontjainak a görbéhez való viszonát meg tudják határozni. Többnire élvezni szokták ezt az anagot a gerekek. Gorsan észreveszik, hog a transzformációs lépések teljesen függetlenek a kiindulási függvéntől. Jó játék: függvéntranszformációk mutogatása. a) Mindenki mutasson a két tenere felhasználásával eg függvént! Változtassa -re, vag +,vag, vag + -ra! Uganezt a sorozatot az függvénnel is el lehet játszani. b) Most a tanár mutatja a kiindulási függvén képét, és a gerekek mondják az elmozdított kézhez tartozó hozzárendelési utasítást. (A kezünket szakaszosan emeljük, és megállapodunk abban, hog eg szakasz -et ér.) Nagon jó hangulatú a játék. Jobb csapatokban el lehet szórakozni a ( ) szorzóténezővel is, pl.: ; ; ; ( ) ;... A 4. és 5. példát a versenző gerekeknek ajánljuk, mert az Aran Dániel középiskolás versenen az abszolútérték-függvén legkülönbözőbb transzformáltjai szoktak szerepelni, és a versen első fordulójáig a középiskola még nem jut el odáig. Íg csak az általános iskolás tudásukra támaszkodhatnak a tanulók. Feladatok. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a), +, b), +, c), +, a) + ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } b) + ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } c) + ÉK ;; = { = 0}. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a),, ( ) b), +, c), +, d), ( +), ( ) 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

18 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal a) 4 = ( ) ÉK, = { = 0} ÉK = { 5 0} b) ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } c) ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } d) ( + ) 4 ( ) 4 ÉK,, = { = 0}. Keresd a párját! Az abszolútérték-függvénekhez kell megkeresni a grafikonjuk töréspontját. a) b) + c) + d) 4 e) +4 A) T ( ; 0) B) T (; 0) C) T (0; 0) D) T ( ;0 ) a) C) b) A) c) D) d) B) e) E) 4. Az ábrákon látható síkidomokat oldalhosszúságú négzetekből állítottuk elő. Írd fel a síkidomok területét függvénében, és készítsd el a kapott függvének grafikonját! Az első ábra: 9 9 A második ábra: ÉT: { >0} ÉK: { >0} } {{ } E) T ( ; 0) 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

19 Hozz rendel s, f ggv n 5. Tk.:. oldal Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a) 5, 0 4 b), 0 c), 0 4 ÉT a, b, c :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK a, b :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK c :{a ( ) kivételével a tanult számok} 6. Többet ésszel, mint erővel! 4 A függvének grafikonjának megrajzolása előtt keresd meg a grafikonok töréspontjait, és csak ezután jelöld ki az egségeket a koordináta-rendszerben! Érdemes azt is előre eldöntened, hog felfelé vag lefelé nitott grafikont kapsz-e. a) 50 b) +0 c) +0 d) e) 00 f) A jobb matematikusoknak ajánlott feladat. Az intelligens koordináta-rendszer megtervezését is célozza a feladat előbb gondolkozunk, és csak azután cselekszünk! c d a ÉT a, b, c, d, e, f = {tanult számok} b ÉK a, c, d = { = 0} ÉK b = { 5 0} ÉK e = { = 00} ÉK f = { = 5} f e T a (50; 0) T b ( 0; 0) T c ( 0; 0) T d (; 0) T e (0, 00) T f ( 00,5) Keresd a párját! c 5 4 a b 4 5 d A) B) C) D) + a D, b C, c B, d A 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

20 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 8. Melik a kakukktojás? b 4 5 a c d A) ( ) B) ( +) C) ( ) D) ( +) E) ( +) a D, b E, c A, d C Tehát a B hozzárendelés a kakukktojás. A 9. feladatokat a középiskolás matematikaversenen indulni szándékozó gerekeknek szántuk. A többieket ne götörjük az öncélú függvéntranszformációkkal. a) 4 9. Függvéntranszformációk segítségével készítsd el a függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét is! a) + b) + c) + Célszerű először az abszolútérték-függvének töréspontját meghatározni, és eldönteni az állásukat. b) c) T (; ) T (0; ) ÉK: { = } 4 4 T (; ) ÉK: { = } 4 5 ÉK: { 5 } 0. Mekkora a kerülete és a területe annak a háromszögnek, amelet az függvén grafikonja és az tengel határol? A háromszög csúcspontjai: A ( ; 0), B (; 0) és C (0; ). C A háromszög területét megkaphatjuk, ha az AB = 4 egség oldallal és a hozzá tartozó m = C = egséggel számolunk. A B T = 4 =4e O A kerülethez szükségünk van az AC = BC szakaszok hosszára, ameleket Pitagorasz-tétellel számolhatunk ki az AOC háromszögben: AC = AO + OC, innen AC = + =8, tehát AC = 8,8e. K = AB +AC =4+,8 = 9,66 egség. 0 TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

21 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Készítsd el annak a függvénnek a grafikonját, amel az egész számokhoz önmagukat rendeli, a nem egész számokhoz pedig a hozzájuk legközelebb eső, náluk kisebb egész számot! Ezzel a függvénnel, az ún. egészrész függ- ÉT: {a tanult számok} vénnel a középiskolában még találkoznak a gerekek. ÉK: {az egész számok} Jelölése: []. A pozitív számokra könnű elkészíteni a függvén grafikonját, a negatív tartománban szoktak téveszteni a gerekek.. Julcsi néni eg m hosszú kerítéssel eg téglalap alakú részt kerített körül az udvaron a túkoknak, hog ezentúl csak ott kapirgáljanak. A terület a ház falához illeszkedik úg, hog ott nem kellett kerítést kihúzni. Írd fel, hog az elkerített rész területe hogan függ a téglalap szélességétől! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Milen adatok esetén lesz a legnagobb az elkerített rész területe? ház fala Ha a téglalap egik oldalát az ábra szerint -szel jelöljük, akkor a téglalap másik oldala ( ) lesz. A területet meghatározó függvén: ( ). Ez eg másodfokú függvén, íg a grafikonja a negatív előjel miatt eg lefelé nitott parabola. 0 A görbe tengellel való metszéspontjait az ( ) = ÉT: {0 <<6} ÉK: {0 <<8} egenletből können meg tudják határozni a gerekek: =0, =6. Íg a tengelpont -es koordinátája a zérushelek számtani közepéből T =. A tengelpont koordinátáját behelettesítéssel kapjuk: ( ) = 8, T (; 8). A terület akkor a legnagobb, ha =, ekkor =6. A m széles 6 m hosszú téglalap alakú kert a legnagobb területű: T =8m óra Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása Tk.: 5 6. oldalon. feladatok Fg.: Hetedik osztálban a Grafikonok gakorlati alkalmazása című fejezetben már meghatároztuk lineáris függvének metszéspontjait. Idén léneges előrelépést teszünk, mert az egenletek grafikus megoldásával egidejűleg tárgaljuk az egenlőtlenségek megoldásait is. Ez jól fejleszti a gerekek függvénszemléletét, hiszen a függvének egmáshoz való viszonát kell vizsgálni. TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

22 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal Kevésbé jó csoportban elégedjünk meg azzal, ha a lineáris függvénekre vonatkozó feladatokat meg tudják oldani (tk. 7., fg ) és azokat, ahol a függvének grafikonjait lerajzoltuk (tk. 8., 0.,. és fg. 84., 86., 88., 9.). A grafikus megoldás nem ad pontos eredmént. A leolvasott értékeket behelettesítéssel mindig ellenőrizni kell. Feladatok. Az agár meglátja a tőle 00 m-re levő nulat, és út [m] 5 m sebességgel üldözőbe veszi. A núl azonnal s menekülni kezd, de csak 5 m-t képes megtenni eg másodperc alatt. Menni ideig tart az üldözés? Oldd meg a feladatot grafikusan! agár núl Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a núl által megtett út: az agár által megtett út: 5 Algebrai megoldás: az agár abban a pillanatban éri utol a nulat, amikor =5, innen =0. A grafikonról is az olvasható le, hog az üldözés 0 másodpercig tart, és az agár 50 m-t fut a núlig idő [s]. Pista és Zoli két, egmástól 85 km-re levő faluban naralnak. Elhatározzák, hog hétfőn reggel 6-kor kerékpárral elindulnak egmás felé, és útközben találkoznak. Pista óránként 4 km-t tesz meg. Zoli elaludt, és csak fél nolckor indult, de ő óránként 8 km-t tekert. Mikor és hol találkoznak, és melik fiú tesz meg hosszabb utat a találkozásig? Oldd meg a feladatot grafikusan! Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a Pista által megtett út: 4 Zoli,5 órával később indul a 85 km-re levő faluból, ezért az ő útját az 85 8(,5) lineáris függvén írja le. 9,5 órakor találkoznak, azaz Pista,5 órát volt úton, íg 49 km-t tett meg, míg Zoli órát volt úton, és 6 km-t kerékpározott. A találkozásig Pista km-rel hosszabb utat tett meg, mint Zoli út [km] Zoli Pista idő [h] TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA Alkotószerkesztő: Csatár Katalin KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA a középiskolák 9. évfolama számára II. kötetéhez Celldömölk, Szerzők KORNAI JÚLIA, KOVÁCS ELŐD, LÖVEY ÉVA, PÁLOVICSNÉ TUSNÁDY KATALIN, SCHUBERT MIHÁLY

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok MATEMATIKA 9-10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerő, alkalmazásra képes matematikai mőveltségét, biztosítsa a többi tantárgy

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Kalandtúra 5. Általános iskola. Makara Ágnes. 5. osztályos matematika tankönyv feladatainak megoldása

Kalandtúra 5. Általános iskola. Makara Ágnes. 5. osztályos matematika tankönyv feladatainak megoldása Kalandtúra. Általános iskola. osztálos matematika tankönv feladatainak megoldása akara Ágnes TERÉSZETES SZÁOK EGOLÁSOK 8. a) < c d > a a < d) a < c e) c > d f) a < < c g) > d > a h) c > > d. TERÉSZETES

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Dr. Csóka Géza: Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Kilencedik éve vezetek győri és Győr környéki gyerekeknek

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. október 16. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Feladatgyűjtemény matematikából

Feladatgyűjtemény matematikából Feladatgyűjtemény matematikából 1. Pótold a számok között a hiányzó jelet: 123: 6 a 45:9.10 2. Melyik az a kifejezés, amelyik 2c-7 tel nagyobb, mint a 3c+7 kifejezés? 3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Játéktól a kutatásig. Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni

Játéktól a kutatásig. Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni Játéktól a kutatásig Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni A fő témánk a Geometria és a geometriai földrajz. Diákokat 3 csoportra szedtük szét. Az első csoport Általános iskola alsó, körülbelül

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

végtelen sok számot?

végtelen sok számot? Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan

Részletesebben

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MTEMTI a 8. évfolyamosok számára Mat1 JVÍTÁSI-ÉRTÉEÉSI ÚTMUTTÓ 201. január 18. javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. pontszámok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben