TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA"

Átírás

1 El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

2 El sz Kovács Csongorné a Tankönvesek Országos Szövetségétől 008-ban elnerte az Érdemes tankönvíró kitüntető címet Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztő BALASSA ÉVA Illusztrálta KATONA KATA és SZALÓKI DEZSŐ Fotó FABÓ KATALIN AP 0808 ISBN A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. c Csahóczi Erzsébet, Csatár Katalin, Kovács Csongorné, Morvai Éva, Széplaki Görgné, Szeredi Éva, 009 Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft Celldömölk, Szécheni u. 8. Tel.: 95/55-000; fa: 95/ Internet: Felelős kiadó: Esztergálos Jenő ügvezető igazgató Nomdai előkészítés: Könv Művek Bt. Terjedelem: 9,6 A/5 ív Tömeg: 598 g TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

3 Hozz rendel s, f ggv n FÜGGVÉNYEK. óra: Hozzárendelések, függvének. óra: Lineáris függvén 4 5. óra: Abszolútérték-függvén 6 7. óra: Másodfokú függvén 8. óra: függvén 9. óra: Gakorlás, illetve függvéntranszformációk 9 0. óra: Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. óra: Sorozatok, számtani sorozat 4. óra: Mértani sorozat fogalma 5. óra: Gakorlás Mire építünk? A koordináta-rendszerben való biztos eligazodásra A megfeleltetés fogalmára két halmaz között A függvén fogalmára (alaphalmaz, képhalmaz) A lineáris függvén ismeretére A függvén grafikonja és a koordináta-rendszer pontjai közötti kapcsolat ismeretére A sorozat fogalmára, grafikonjának ismeretére A számtani sorozat fogalmának ismeretére, összefüggésekre a számtani sorozat elemei között, az első néhán elem összegének meghatározására Meddig jutunk el? Tudatosítjuk, hog a megfeleltetés és a hozzárendelés azonos fogalom, ezért használjuk felváltva a könvben. A függvén eg speciális hozzárendelés. Tovább mélítjük a függvén fogalmát. Bevezetjük az értelmezési tartomán és az értékkészlet fogalmát. Néhán nem lineáris függvén grafikonjával is megismerkednek a gerekek: ; ; ; A függvének grafikonjairól adatokat olvasunk le. Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása. Ismerjék fel a számtani és a mértani sorozatokat, konkrét n-re a n és s n számolása. A függvéntranszformációval csak emelt óraszám esetén foglalkozzunk. TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

4 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. óra Tk.: 4 5. oldalon 9. feladatok Fg.: Hozzárendelések, függvének Az óra célja: két halmaz közötti megfeleltetések közül el tudják dönteni a gerekek, mel megfeleltetések egértelműek. Íg világossá válik a függvén fogalma, ami nem képlethez kötődik majd számukra. Érzékeltetjük, hog a függvének a matematikának igen széles skáláján mozognak: grafikonok, geometriai transzformációk, geometriai összefüggések (tk. 5. oldal., 4., tk.. oldal.,.), számelmélet (tk. 5. oldal 5., 6., fg. 4., 44.). A tanult fogalmak megértésének lemérésére javasoljuk a fg. 45. feladatát. Eszközök: érdekes grafikonok, festménekről készült fotók, albumok. Feladatok Az 4. és a fg feladatok a függvén fogalmának kialakítását szolgálják. Beszéljük meg a gerekekkel, hog melik megfeleltetés határoz meg függvént. Az inverz függvén fogalmát előkészíthetjük azzal, hog minden esetben megvizsgáljuk a megfeleltetések megfordítását is.. Melik megfeleltetés határoz meg függvént? a) hegedű ütős harsona vonós cselló fafúvós oboa rézfúvós ilofon b) ütős vonós fafúvós rézfúvós hegedű harsona cselló oboa ilofon a) függvén b) az a)-nak a megfordítása, és a vonósok miatt nem függvén.. a) Melik foglalkozáshoz melik tárg tartozhat? A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = {kocsikerék; csizma; szén; ködmön; kereskedés; hordó; lópatkó; korsó} A = {fazekas; bognár; szűcs; kalmár; kádár; kovács; varga; vájár} K = { korsó; kocsikerék; ködmön; kereskedés; hordó; patkó; csizma; szén;} A tanulók által adott más megfeleltetés is elfogadható. b) Függvént határoz-e meg ez a megfeleltetés? A megfeleltetés mindkét iránban függvén. 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

5 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 4. oldal. A germekotthonokban élő gerekek számáról készített kördiagram alapján adj meg eg alaphalmazt, eg képhalmazt, és írd le a hozzárendelési utasítást a két halmaz elemei között! A = Speciális intézmén, { Germekotthon, Lakásotthon, Diákotthon, } Utógondozó K = { 574; 755; 4; 44; 58 } 4. Az ábrán látható oszlop-, illetve vonaldiagram alapján állapítsd meg a hozzárendelések alaphalmazát, képhalmazát, és írd le a hozzárendelési utasítást is! Felsőoktatási intézménekbe jelentkezők száma fő fő fő fő Jelentkezők Felvételt nertek a) Vonaldiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} b) Oszlopdiagramnál: A = {évszámok 00 és 007 között} K = {az évszámoknál található természetes számok} Az 5 9. feladatok eg-eg régebben tanult ismeretet elevenítenek fel a matematika legkülönbözőbb területeiről. Nolcadik osztálban különösen fontos, hog ne csak az adott fejezet tananagával foglalkozzanak a gerekek! 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

6 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal 5. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legnagobb közös osztójukat! a) és 8 b) 48 és 4 c) 5 és 5 d) 8 és 48 és 60 (; 8) = 6 (48; 4) = 4 ( 5 ; 5) = 5 (8; 48; 60) = 6 6. A megadott számokhoz rendeld hozzá a legkisebb közös többszörösüket! a) és 8 [; 8] = 6 b) 48 és 4 [48; 4] = 4 = 488 c) 5 és 5 [ 5 ; 5] = 5 d) 8 és 48 és 60 [8; 48; 60] = 4 5 = Minden számhoz rendeld hozzá a) az ellentettjét, b) a reciprokát! ( ) Célszerű értéktáblázatot készíteni: Számok a) ellentett b) reciprok = = n oldalú konve sokszögekhez ( 5 n 5 0) rendeld hozzá a) belső szögeinek összegét, b) külső szögeinek összegét! Célszerű táblázatot készíteni: ( ) 4 = nincs ha 0 Konve sokszög oldalainak száma n a) belső szögeinek összege (n ) 80 b) külső szögeinek összege Keresd a párját! A szakaszokat két végpontjukkal adtuk meg. Melik hossz tartozik hozzájuk, ha rácsegségben számolunk? A Pitagorasz-tételt gakoroltatjuk. Célszerű rajzoltatni a gerekekkel. A) A( ; ) B(5; ) c =8 B) A( ; ) B( ; 5) a = C) A(0; ) B(; 5) b =5 D) A( ; ) B(; 7) d = 90 9,49 a) b) 5 c) 8 d) 90 9,49. óra A lineáris függvén Tk.: 9. oldalon 5. feladatok Fg.: Az óra célja kettős. Egrészt feladatokon keresztül elevenítsük fel a lineáris függvénről taval tanultakat, másrészt nolcadikban az 5. példa kapcsán bevezetjük az értelmezési tartomán és az TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

7 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 9 0. oldal értékkészlet fogalmát is. Már hetedikben is volt utalás arra, hog a képhalmaz nem az összes tanult szám, de korainak éreztük volna a fogalmak bevezetését. Elvárható, hog a hozzárendelési utasítás alapján a gerekek felismerjék, hog lineáris függvén grafikonját kell megrajzolni, és pont segítségével fel is tudják azt rajzolni. (A jobb matematikusok a meredekséggel is szoktak dolgozni.) Követelmén, hog a koordináta-rendszer pontjainak a grafikonhoz való viszonát el tudja dönteni a gerek (rajta van, alatta, ill. felette van). Egszerűbb szöveges feladatokat tudjanak átírni matematikai jelölésekre, és az íg értelmezett problémához tartozó függvéngrafikonokról tudják leolvasni a kérdésre a választ! Feladatok. Keresd a párját! a) Az automata mosógép vizet szivattúz. b) Agépmos. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet. Víz mennisége Víz mennisége Víz mennisége idő b) Agépmos. a) Mosógép vizet szivattúz. c) Kiszivattúzza az elhasznált vizet.. Igaz-e, hog ha eg egenlő szárú derékszögű háromszög a) befogóját kétszeresére, háromszorosára,... növeljük úg, hog közben ismét egenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, akkor az átfogó hossza is kétszeresére, háromszorosára,... növekszik? Hánszorosára változik a kerület, illetve a terület? Igaz a hasonlóság miatt. Ha derékszögű háromszög befogóját -szel jelöljük, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó, azaz a lineáris függvén, ami eg egenes aránosság. ÉT = ÉK: { >0} A kerület is kétszeres, háromszoros lesz, míg a terület négszeresére, illetve kilencszeresére nő. b) derékszögét megfelezzük, akkor az átfogó hosszát is megfeleztük? Mi történik, ha a derékszöget negedeljük? Nem igaz, hog a szög felezésével, illetve negedelésével az átfogót is megfelezzük, illetve negedeljük.. Az angol autók sebességmérő órája kétféle mértékegségben mért sebességet mutat. Az Angliában használatos 5 mérföld megfelelője 40 km óra h. Add meg hozzárendelési szabállal a két sebesség közötti összefüggést, ha mérföld,6 km! Először a mérföld -ban óra mért sebességnek feleltesd meg a km -ban mért sebességet, és a h kapcsolatot ábrázold koordináta-rendszerben! Ezután a km -ban mért sebességnek feleltesd meg h a mérföld -ban mért sebességet! Ennek a függvénnek is készítsd el a grafikonját! óra idő idő 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

8 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal m h a),6 b) km ,6 = 5 km 8 h m h h Az értéktáblázat adatait ellenőrizhetjük a fotón látható sebességmérő órán. [ ] km [ m ] sebesség sebesség h h ,5 5 7,5 50 6, , [ m ] sebesség h [ ] km sebesség h 4. Juci a vasárnapi kosárlabda-mérkőzésen pontot dobott. Ezt részben az pontos büntetődobásból, részben a pontos kosarakból gűjtötte össze. Mennit dobhatott az eges kosárfajtákból? Ha -szel jelölöd a pontos kosarak számát, hogan függ az -től a büntető kosárdobások száma? Készíts grafikont erről a függvénről! a büntetődobások száma. 0 ÉT = {0; ; ;...;} ÉK = {; ; 5;...;} Melik hozzárendelési szabál melik grafikonhoz tartozik? A grafikon különálló pontokból áll, az lineáris függvén grafikonján. Az tengel a pontos dobások száma. Az tengel az pontos dobások száma. a) b) c) d) + e) ( ) f) b) c), d) a) e), f) Ez a kakukktojás. 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

9 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 0. oldal 6. Zoli szeretne venni eg Ft-os kerékpárt. Már félretett 5000 Ft-ot, és náron elment dolgozni, hog garapítsa pénzét. Naponta 00 Ft-ot keresett eg vendéglőben órai mosogatással. Készíts értéktáblázatot Zoli pénzének garapodásáról, és keress képletet is hozzá! Rajzold meg az összetartozó értékek (napok pénz) grafikonját! Legalább hán napig kellett Zolinak dolgoznia? Az értéktáblázatot csak néhán napról készítettük: Napok száma A napok számát -szel jelölve, Pénz Zoli pénze lineáris függvénnel fejezhető ki. pénz [Ft] Zolinak legalább 7 napig kell dolgozni napok száma 7. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) + b) + c) + d) Jó feladat a tengelpont és a meredekség fogalmának átismétlésére. 8. Ábrázold az 4 függvén grafikonját! Határozd meg az A ( ) ( ) ( 6;, B ;, C ; ) és D ( ; ) pontok hiánzó jelzőszámait úg, hog a pontok a) a grafikonon, b) a grafikon alatt, c) a grafikon fölött legenek! A( 6; ) B(; ) C(; ) D(; ) a) Grafikonon = = = 5 b) Grafikon alatt < < > 5 c) Grafikon fölött > > < 5 = > < 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

10 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 9. Gondoltam eg egenesre. Mi lehet a hozzárendelési szabál, ha ez az egenes áthalad a megadott pontokon? a) 0? b) 4? c) 4 6? d)? 5 Célszerű grafikont készíteni. a) b) 5 c) +7 d) 0. Keress szabált a grafikonokhoz! Ne hagjuk ki ezt a feladatot! I. c d b a II. a b c d III. c b a d a) + a) a) b) + b) b) + c) c) c) Nem függvén. = d) d) d) +.: Hasznos feladatok geometriai ismétlésre és az értelmezési tartomán fontosságának hangsúlozására.. A háromszög egik belső szögét -szel jelöltük. Add meg a szöghöz tartozó külső szöget az függvénében! Add meg a hozzárendelés értelmezési tartománát és értékkészletét! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! ÉT = ÉK: {0 <<80 } A grafikon eg mindkét végén nílt szakasz TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

11 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Hogan függ az eg csúcsból kiinduló átlók száma a konve sokszög oldalainak számától? Töltsd ki a füzetben a táblázatot! Oldalak száma n Átlók száma n Határozd meg a kapott hozzárendelés értelmezési tartománát, értékkészletét, és készítsd el a függvén grafikonját! á (átlók száma) n (oldalszám) ÉT: {A és az annál nagobb természetes számok} ÉK: {Természetes számok}. Ábrázold az ( ) ( + ) utasítással megadott függvén grafikonját! Hol metszi a grafikon a koordinátatengeleket? A hozzárendelési utasítás a zárójelek felbontása és az összevonás után: A grafikon ott metszi az tengelt, ahol = 0, azaz =. Az tengelt a (0; ) pontban metszi. ( )( +) 4. Ábrázold az utasítással megadott függvén grafikonját! A függvén értelmezési tartománába az = érték nem tartozik bele, mert ekkor a nevezőben 0 állna. Ha, akkor + lineáris függvénről van szó. ÉT = {a tanult számok a kivételével} ÉK = {a tanult számok a 6 kivételével} A függvén grafikonja eg lukas egenes Rajzold meg a következő három függvén grafikonját!,5 +5 ÉT={ 5 5 0}, 5,5 ÉT = {0 <5 } és ÉT = {,;,}. Milen alakzatot kaptál? A kapott alakzat az A betű TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

12 Hozz rendel s, f ggv n Néhán nemlineáris függvén 4 5. óra Tk.: 6. oldalon.,. és. oldalon.,., 8.,.,. feladatok Fg.: , 65., Abszolútérték-függvén A számok abszolút értékének definícióját már ötödik osztálban megtanulták a gerekek. Néhán bevezető kérdés (pl.: Menni az abszolút értéke a következő számoknak 5; 5 ; 5; ( 5) ; 5; 0; 5 ;, és melik számnak az abszolút értéke a ; ; 0; ; ) után önállóan is el tudják készíteni a gerekek az függvén grafikonját. Néhán konkrét abszolút értéket tartalmazó függvén grafikonjának elkészítése után már a töréspontot előre megmondják a gerekek, valamint a görbe állását is, azaz azt, hog felfelé vag lefelé nitott. Másodfokú függvén 6 7. óra Tk.: 7 8. oldalon 9.,. és. oldalon 4., 8.,. feladatok Fg.: 6 64., 68 7., 76. Az és az függvénekkel már megismerkedtek a gerekek a Pitagorasz-tétel c. fejezetben. Ebben a fejezetben a függvének eg-két gakorlati alkalmazásán kívül azt is megmutatjuk, hog nem csak egenes alakú függvéngrafikonok vannak. Törtfüggvén 8. óra Tk.: 8. oldalon 0.,. és. oldalon 5. feladatok Fg.: 65., A fordított aránosság kapcsán már megtanulták a gerekek az a (a > 0) típusú grafikonokat elkészíteni. Ismereteiket a görbe nevével: hiperbola és az ÉT meghatározásával bővítjük. TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

13 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 6 7. oldal Feladatok Szoktassuk rá a gerekeket, hog a függvének grafikonjainak elkészítése előtt eg picit elmélkedjenek: milen lesz a görbe alakja, a koordináta-rendszer mel részén helezkedik el, milen egségeket érdemes felvenni a tengeleken, van-e kapcsolat eg feladat alkérdései között?. Keresd a párját! Minden számhoz hozzárendeltük A) az ellentettjét B) az abszolút értékét C) az ellentettjének az abszolút értékét D) az abszolút értékének az ellentettjét F) a( )-szeresét E) -et, ha >0, 0-t, ha =0,( )-et, ha <0 a b a A = F b E c B = C d D. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! a) b) c) a = b, mert az abszolútérték-jelen belül álló kifejezések egmás ellentettjei. a), b) = c) ÉT: {tanult számok} ÉK: { = 0} T (0; 0) c ÉT: {tanult számok} ÉK: { 5 0} T (0; 0) d. Ha eg követ 0 m s sebességgel felfelé magasság [m] hajítunk, akkor annak a mozgását az ábrán látható út-idő grafikonnal szemléltethetjük. A mozgást leíró függvén: t 0t 5t, ahol t az eltelt időt jelenti másodpercben mérve. a) Mi a görbe neve? parabola b) Milen maimális magasságot ért el a kő? 45 m c) Mikor volt a kő 0 m magasan? a. és a 48. másodpercben d) Milen hosszú ideig volt a kő 0 m fölött? 4,4 másodpercig idő [s] TEX 04. június. 9:0 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

14 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 7. oldal e) Mikor esett vissza a földre? a 6. mp-ben Jó feladat a grafikonról való olvasásra, lehetőleg ne hagjuk ki! A gerekek egmásnak is feltehetnek hasonló kérdéseket. 4. Hán kis négzetet látsz az ábrán? Ábrázold grafikusan az összetartozó értékeket! Lehetséges-e, hog 56 vag 000 kis négzet legen valamelik ábrán?... A négzetek száma:, 4, 9, 6,..., n, azaz n n ahol n a négzet oldalának hosszát jelenti rácsegségben mérve. Ha 56 kis négzet van az ábrán, akkor eg 6 oldalú négzetet rajzoltak. 000 kis négzet nem lehetséges, a két hozzá legközelebb álló lehetséges szám a 96, illetve az 04. (Okosabb gerekek felfedezhetik, hog kiskockákból viszont állhat eg 000-es építmén. Ekkor a kocka élhossza 0.) 5. Keresd a párját! Melik pont melik függvén grafikonján van rajta? A) B) C) + P ( ; ) Q (; 4) R (7; 9) S ( 4; 8) T ( 4; 6) P ( ; ) Q (; 4) P ( ; ) Q (; 4) S ( 4; 8) Q (; 4) T ( 4,6) R (7; 9) A feladat kapcsán több kérdés is tisztázható: A grafikonok megrajzolása nélkül hogan tudjuk eldönteni, hog pl.: P az A)-hoz és C)-hez is hozzátartozik? 6. Pogácsaszaggató készletünk legkisebb tagjának sugara cm, és mindegik szaggató 0,5 cm-rel nagobb sugarú az előzőnél. A készlet 4 tagú. Készíts értéktáblázatot arról, hog a különböző sugarú szaggatók mekkora alapterületű tésztát vágnak ki! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Milen függvént lehet felírni a sugár és a terület között? Sugár (r) [cm],5,5 Tészta (r π)[cm ],4 7,07,57 9,6,4 A grafikon eg parabolán elhelezkedő 4 pont: (sugár) [cm], terület [cm ] ,5,5,5 7. Az ejtőernő a repülőgépből való kiugrás után 5 másodperccel nílik ki. Hán métert zuhan az ugró ez idő alatt? (A megtett út és az eltelt idő közötti összefüggést az s =5t képlettel lehet számolni.) s(5) = 5 5 = 5 m 8. A szabadon eső testek által megtett utat a Földön az s = 5t képlettel, míg a Holdon az s = 0,8t képlettel lehet kiszámítani. Közös koordináta-rendszerben ábrázold a két helen érvénes útidő grafikonokat! Olvasd le a grafikonokról, hog,, 4, 5 másodperc elteltével mennivel tesz meg hosszabb utat a Föld felé zuhanó test! A leolvasott értékeket számolással is ellenőrizd! Menni idő alatt ér a Földre, illetve a Holdra eg 0 m magasról leejtett kő? 4 TEX 04. június. 9:0 (. lap/4. old.) Matematika 8. (K8-6)

15 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal Idő [sec] 4 5 Földi út [m] Holdi út [m] 0,8, 7,,8 0 s [m] s =5t s =0,8t A két út különbsége [m] 4, 6,8 7,8 67, 05 0 = 5t egenletből t = 6,5 sec 0 = 0,8t egenletből t = 7,5 6, sec 4 9. Képzeld el, hog eg szép, tiszta napon eg heg tetejéről figeled a tengeren tőled távolodó hajót. A hajó a Föld gömbölű alakja miatt előbb-utóbb eltűnik a szemed elől. A távolság, ahol a hajó eltűnik a szemünk elől, attól függ, hog milen magasan állunk. a) Írd le képlettel az alábbi számolási eljárást! b) Készíts értéktáblázatot 0 m-enként zsebszámológép segítségével! c) Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Az emberiség sokéves tapasztalatával felállítható összefüggésről szól ez a feladat. Ha -szel jelöljük a szemlélődő magasságát, akkor a látótávolságot az,57 hozzárendelés határozza meg. A grafikon foltonos görbe [m],57 Magasság [m] Látótávolság [m] 5,97,58 7,65,9 5,7 9, 4,4 45,6 0. Készítsd el a [m] a) 0, b) 0 függvének grafikonjait! Milen kapcsolat van a két grafikon között? a) 4 b) 4 Az egik grafikont tükrözve az tengelre, a másikhoz jutunk, hiszen minden függvénérték ( )-szeresére változik. ÉT = {A 0 kivételével a tanult számok} ÉK = {A 0 kivételével a tanult számok} 5 TEX 04. június. 9:0 (. lap/5. old.) Matematika 8. (K8-6)

16 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 8. oldal. A folóparton sportpála céljára téglalap alakú telket akarunk elkeríteni 400 m hosszú kerítéssel. (A vízparti részhez nem kell kerítés.) Mekkorának válasszuk a téglalap oldalait, ha azt akarjuk, hog a sportpála területe a lehető legnagobb legen? Az ábra jelöléseit használva a téglalap területe az -szel jelölt oldal függvéne: 400 (400 ) Meg kell keresni azt az értéket, amelre ez a másodfokú függvén a lehető legnagobb értéket veszi fel. foló A feladat szövege miatt: >0 és 400 >0, innen <00, azaz ÉT = {0 <<00} t Mivel az (400 ) = 0 egenletből = 0 és = 00 a függvén két zérushele, ezért a legnagobb értéket a kettő számtani közepénél, azaz = 00-nál veszi fel, ekkor a terület: t = = m. Az értelmezési tartomán meghatározása után néhán függvénérték kiszámolásával is eljuthatnak a gerekek a lefelé nitott parabola grafikonjához, ahonnan leolvasható az = 00 érték (400 ) Hol vannak a síkon azok a P (; ) koordinátájú pontok, amelekre a) =, b) =, c) =0? a = b c) = 0 egenletből vag = 0, vag =0. Íg a koordinátatengelek pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. 8. óra Függvéntranszformációk Tk.:. oldalon. feladatok Fg.: Kevésbé jó csoportnál ezt az órát az eddig tanultak gakoroltatására fordíthatjuk, azaz ha kihagjuk a függvének transzformációit, majd a középiskola pótolja ezt. Elégedjünk meg azzal, 6 TEX 04. június. 9:0 (4. lap/6. old.) Matematika 8. (K8-6)

17 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal hog az elemi függvének grafikonjait el tudják készíteni a tanulók, és a sík pontjainak a görbéhez való viszonát meg tudják határozni. Többnire élvezni szokták ezt az anagot a gerekek. Gorsan észreveszik, hog a transzformációs lépések teljesen függetlenek a kiindulási függvéntől. Jó játék: függvéntranszformációk mutogatása. a) Mindenki mutasson a két tenere felhasználásával eg függvént! Változtassa -re, vag +,vag, vag + -ra! Uganezt a sorozatot az függvénnel is el lehet játszani. b) Most a tanár mutatja a kiindulási függvén képét, és a gerekek mondják az elmozdított kézhez tartozó hozzárendelési utasítást. (A kezünket szakaszosan emeljük, és megállapodunk abban, hog eg szakasz -et ér.) Nagon jó hangulatú a játék. Jobb csapatokban el lehet szórakozni a ( ) szorzóténezővel is, pl.: ; ; ; ( ) ;... A 4. és 5. példát a versenző gerekeknek ajánljuk, mert az Aran Dániel középiskolás versenen az abszolútérték-függvén legkülönbözőbb transzformáltjai szoktak szerepelni, és a versen első fordulójáig a középiskola még nem jut el odáig. Íg csak az általános iskolás tudásukra támaszkodhatnak a tanulók. Feladatok. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a), +, b), +, c), +, a) + ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } b) + ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } c) + ÉK ;; = { = 0}. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a),, ( ) b), +, c), +, d), ( +), ( ) 7 TEX 04. június. 9:0 (5. lap/7. old.) Matematika 8. (K8-6)

18 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal a) 4 = ( ) ÉK, = { = 0} ÉK = { 5 0} b) ÉK = { = 0} ÉK = { = } ÉK = { = } c) ÉK = { = 0} ÉK = { 5 } ÉK = { 5 } d) ( + ) 4 ( ) 4 ÉK,, = { = 0}. Keresd a párját! Az abszolútérték-függvénekhez kell megkeresni a grafikonjuk töréspontját. a) b) + c) + d) 4 e) +4 A) T ( ; 0) B) T (; 0) C) T (0; 0) D) T ( ;0 ) a) C) b) A) c) D) d) B) e) E) 4. Az ábrákon látható síkidomokat oldalhosszúságú négzetekből állítottuk elő. Írd fel a síkidomok területét függvénében, és készítsd el a kapott függvének grafikonját! Az első ábra: 9 9 A második ábra: ÉT: { >0} ÉK: { >0} } {{ } E) T ( ; 0) 8 TEX 04. június. 9:0 (6. lap/8. old.) Matematika 8. (K8-6)

19 Hozz rendel s, f ggv n 5. Tk.:. oldal Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét! a) 5, 0 4 b), 0 c), 0 4 ÉT a, b, c :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK a, b :{a 0 kivételével a tanult számok} ÉK c :{a ( ) kivételével a tanult számok} 6. Többet ésszel, mint erővel! 4 A függvének grafikonjának megrajzolása előtt keresd meg a grafikonok töréspontjait, és csak ezután jelöld ki az egségeket a koordináta-rendszerben! Érdemes azt is előre eldöntened, hog felfelé vag lefelé nitott grafikont kapsz-e. a) 50 b) +0 c) +0 d) e) 00 f) A jobb matematikusoknak ajánlott feladat. Az intelligens koordináta-rendszer megtervezését is célozza a feladat előbb gondolkozunk, és csak azután cselekszünk! c d a ÉT a, b, c, d, e, f = {tanult számok} b ÉK a, c, d = { = 0} ÉK b = { 5 0} ÉK e = { = 00} ÉK f = { = 5} f e T a (50; 0) T b ( 0; 0) T c ( 0; 0) T d (; 0) T e (0, 00) T f ( 00,5) Keresd a párját! c 5 4 a b 4 5 d A) B) C) D) + a D, b C, c B, d A 9 TEX 04. június. 9:0 (7. lap/9. old.) Matematika 8. (K8-6)

20 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal 8. Melik a kakukktojás? b 4 5 a c d A) ( ) B) ( +) C) ( ) D) ( +) E) ( +) a D, b E, c A, d C Tehát a B hozzárendelés a kakukktojás. A 9. feladatokat a középiskolás matematikaversenen indulni szándékozó gerekeknek szántuk. A többieket ne götörjük az öncélú függvéntranszformációkkal. a) 4 9. Függvéntranszformációk segítségével készítsd el a függvének grafikonjait! Add meg a függvének értékkészletét is! a) + b) + c) + Célszerű először az abszolútérték-függvének töréspontját meghatározni, és eldönteni az állásukat. b) c) T (; ) T (0; ) ÉK: { = } 4 4 T (; ) ÉK: { = } 4 5 ÉK: { 5 } 0. Mekkora a kerülete és a területe annak a háromszögnek, amelet az függvén grafikonja és az tengel határol? A háromszög csúcspontjai: A ( ; 0), B (; 0) és C (0; ). C A háromszög területét megkaphatjuk, ha az AB = 4 egség oldallal és a hozzá tartozó m = C = egséggel számolunk. A B T = 4 =4e O A kerülethez szükségünk van az AC = BC szakaszok hosszára, ameleket Pitagorasz-tétellel számolhatunk ki az AOC háromszögben: AC = AO + OC, innen AC = + =8, tehát AC = 8,8e. K = AB +AC =4+,8 = 9,66 egség. 0 TEX 04. június. 9:0 (8. lap/0. old.) Matematika 8. (K8-6)

21 Hozz rendel s, f ggv n Tk.:. oldal. Készítsd el annak a függvénnek a grafikonját, amel az egész számokhoz önmagukat rendeli, a nem egész számokhoz pedig a hozzájuk legközelebb eső, náluk kisebb egész számot! Ezzel a függvénnel, az ún. egészrész függ- ÉT: {a tanult számok} vénnel a középiskolában még találkoznak a gerekek. ÉK: {az egész számok} Jelölése: []. A pozitív számokra könnű elkészíteni a függvén grafikonját, a negatív tartománban szoktak téveszteni a gerekek.. Julcsi néni eg m hosszú kerítéssel eg téglalap alakú részt kerített körül az udvaron a túkoknak, hog ezentúl csak ott kapirgáljanak. A terület a ház falához illeszkedik úg, hog ott nem kellett kerítést kihúzni. Írd fel, hog az elkerített rész területe hogan függ a téglalap szélességétől! Készítsd el a kapott függvén grafikonját! Milen adatok esetén lesz a legnagobb az elkerített rész területe? ház fala Ha a téglalap egik oldalát az ábra szerint -szel jelöljük, akkor a téglalap másik oldala ( ) lesz. A területet meghatározó függvén: ( ). Ez eg másodfokú függvén, íg a grafikonja a negatív előjel miatt eg lefelé nitott parabola. 0 A görbe tengellel való metszéspontjait az ( ) = ÉT: {0 <<6} ÉK: {0 <<8} egenletből können meg tudják határozni a gerekek: =0, =6. Íg a tengelpont -es koordinátája a zérushelek számtani közepéből T =. A tengelpont koordinátáját behelettesítéssel kapjuk: ( ) = 8, T (; 8). A terület akkor a legnagobb, ha =, ekkor =6. A m széles 6 m hosszú téglalap alakú kert a legnagobb területű: T =8m óra Egenletek, egenlőtlenségek grafikus megoldása Tk.: 5 6. oldalon. feladatok Fg.: Hetedik osztálban a Grafikonok gakorlati alkalmazása című fejezetben már meghatároztuk lineáris függvének metszéspontjait. Idén léneges előrelépést teszünk, mert az egenletek grafikus megoldásával egidejűleg tárgaljuk az egenlőtlenségek megoldásait is. Ez jól fejleszti a gerekek függvénszemléletét, hiszen a függvének egmáshoz való viszonát kell vizsgálni. TEX 04. június. 9:0 (9. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

22 Hozz rendel s, f ggv n Tk.: 5. oldal Kevésbé jó csoportban elégedjünk meg azzal, ha a lineáris függvénekre vonatkozó feladatokat meg tudják oldani (tk. 7., fg ) és azokat, ahol a függvének grafikonjait lerajzoltuk (tk. 8., 0.,. és fg. 84., 86., 88., 9.). A grafikus megoldás nem ad pontos eredmént. A leolvasott értékeket behelettesítéssel mindig ellenőrizni kell. Feladatok. Az agár meglátja a tőle 00 m-re levő nulat, és út [m] 5 m sebességgel üldözőbe veszi. A núl azonnal s menekülni kezd, de csak 5 m-t képes megtenni eg másodperc alatt. Menni ideig tart az üldözés? Oldd meg a feladatot grafikusan! agár núl Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a núl által megtett út: az agár által megtett út: 5 Algebrai megoldás: az agár abban a pillanatban éri utol a nulat, amikor =5, innen =0. A grafikonról is az olvasható le, hog az üldözés 0 másodpercig tart, és az agár 50 m-t fut a núlig idő [s]. Pista és Zoli két, egmástól 85 km-re levő faluban naralnak. Elhatározzák, hog hétfőn reggel 6-kor kerékpárral elindulnak egmás felé, és útközben találkoznak. Pista óránként 4 km-t tesz meg. Zoli elaludt, és csak fél nolckor indult, de ő óránként 8 km-t tekert. Mikor és hol találkoznak, és melik fiú tesz meg hosszabb utat a találkozásig? Oldd meg a feladatot grafikusan! Ha a mozgás idejét -szel jelöljük, akkor a Pista által megtett út: 4 Zoli,5 órával később indul a 85 km-re levő faluból, ezért az ő útját az 85 8(,5) lineáris függvén írja le. 9,5 órakor találkoznak, azaz Pista,5 órát volt úton, íg 49 km-t tett meg, míg Zoli órát volt úton, és 6 km-t kerékpározott. A találkozásig Pista km-rel hosszabb utat tett meg, mint Zoli út [km] Zoli Pista idő [h] TEX 04. június. 9:0 (0. lap/. old.) Matematika 8. (K8-6)

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12.

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12. Függvének 7 8. évfolam Szerkesztette: Orosz Gula 016. december 1. Technikai munkák (MatKönv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló Bernát,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA Tankönyv nyolcadikosoknak címû tankönyveihez 8. OSZTÁLY Óraszám 1. 1 2. Halmazok ismétlés Tk. 6/1 5. Gyk. 3 6/1 10. 2. 3 4. A logikai szita Tk. 9 10/6 20.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez Számadó László (Budapest) 1. Számold ki! a) 1 2 3 + 4 5 6 ; b) 1 2 3 + 4 5 6. 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 a) 1 2 3 4 2 3 4 +5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 5.A természettudományos képzés

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2014. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Készítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör

Készítette: Vidra Gábor. 7. modul Koordinátageometria 2 A kör Készítette: Vidra Gábor 7. modul Koordinátageometria A kör Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok A

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Negyedik epochafüzet

Negyedik epochafüzet Negedik epochafüzet Matematika 9. évfolam Tulajdonos:... Tartalom Ismétlés I.... Algebrai kifejezések... Egenletek, egenlőtlenségek... 6 Algebrai törtek, szorzattá alakítás... 8 Törtes egenletek, egenlőtlenségek...

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Mintapélda1 Hányféleképpen állhatnak sorba egy bolt pénztáránál a vásárlók, ha 3-an, 4-en, 5-en, k-an vannak?

Mintapélda1 Hányféleképpen állhatnak sorba egy bolt pénztáránál a vásárlók, ha 3-an, 4-en, 5-en, k-an vannak? Hozzárendelési szabályok.doc 1 / 6 Mintapélda1 Hányféleképpen állhatnak sorba egy bolt pénztáránál a vásárlók, ha 3-an, 4-en, 5-en, k-an vannak? Mintapélda2 Karcsi nyáron 435 Ft-os órabérért dolgozott.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása

Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek megoldása Készítette Csákvári Ágnes Matematika A 10. szakiskolai évfolam 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egenletrendszerek

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

2009. májusi matematika érettségi közép szint

2009. májusi matematika érettségi közép szint I 1.feladat Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 x 2 +13x +24=0 2.feladat Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét! 3.feladat Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben