Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése. Diplomaterv

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése. Diplomaterv"

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM Műszaki Földtudományi Kar Kőolaj és Földgáz Intézet Geotermikus szakmérnöki szak Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése (On geophysical, hydrodinamical and TRT data based modeling of a borehole heat exchanger) Diplomaterv ERDÉLYI BARNA Konzulensek: Dr. Szűcs Péter Dr. Bobok Elemér Miskolc, 2011

2 MISKOLCI EGYETEM Műszaki Földtudományi Kar UNIVERSITY OF MISKOLC Faculty of Earth Science & Engineering KŐOLAJ ÉS FÖLDGÁZ INTÉZET PETROLEUM AND NATURAL GAS INSTITUTE : H-3515 Miskolc-Egyetemváros, Hungary : (36) (46) FAX: (36) (46) Diplomaterv-feladat szigorló geotermikus szakmérnök részére Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése 1. Készítsen a hazai és a nemzetközi szakirodalom alapján áttekintést a felszín alatti hőátviteli folyamatokról rétegzett talajszerkezet és zárt rendszerű talajszondák esetén! 2. Ismertesse a Thermal Response Test (TRT) elméletét és a tesztberendezés működését! 3. Mutassa be a vizsgált rétegsor mért és számított adatrendszerét! 4. Ismertesse a vizsgált talajszonda analitikus modelljének felépítését! 5. Határozza meg analitikusan a talajszonda hőmérsékleti viszonyait és termikus paramétereit a TRT stacionárius állapotára! 6. Mutassa be és értelmezze számítási eredményeit! 7. Összegezze megállapításait! Konzulensek: Dr. Szűcs Péter egyetemi tanár, ME Hidrogeológiai Intézeti Tanszék Dr. Bobok Elemér professzor emeritus, ME Kőolaj és Földgáz Intézet Beadási határidő: május 2. Miskolc, március 25. Dr. Tihanyi László egyetemi tanár intézet igazgató

3 Eredetiségi Nyilatkozat "Alulírott, a Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Karának hallgatója büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és aláírásommal igazolom, hogy ezt a diplomatervet / szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a diplomatervben csak az irodalomjegyzékben felsorolt forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a forrás megadásával megjelöltem." Miskolc, május 2. geofizikus mérnök szigorló geotermikus szakmérnök

4 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 1. Geotermikus energia A Föld belső hőjének eredete A Föld hőjelenségei Földi hőáram Hőterjedés matematikai megfogalmazása Hőterjedés a földkéreg rétegeiben Hőterjedés a felszínközeli rétegekben Talajszonda belső energia mérlege Thermal Response Test (TRT) Matematikai alapok Kelvin vonalforrás egyenlete Egyszerűsítések, követelmények, előnyök, hátrányok A tesztberendezés szerkezeti felépítése, működése A létesítendő talajszonda rétegsorának mért és számított paraméterei A vizsgált rétegsor geofizikai felmérése A vizsgált rétegsor hidrodinamikai felmérése A vizsgált rétegsor és a talajszonda termikus paramétereinek felmérése A talajszonda hőmérsékletviszonyai A munkaközeg vertikális hőmérséklet-eloszlásának meghatározása Az eredő hőátviteli tényező és a fúrólyuk termikus ellenállás 47 kapcsolata A kimenő paraméterek pontosítása iterációval A fúrólyuk-fal hőmérséklet eloszlásának meghatározása A tömedékelő agyag hővezetési tényezőjének meghatározása A formáció hővezetési tényezőjének meghatározása tiszta kondukcióra A hőátadási tényező meghatározása a rétegvíz és a fúrólyuk között A rétegvíz áramlási sebességének meghatározása A rétegvíz áramlási sebességének hatása a konvektív hőelvonásra A formáció effektív hővezetési tényezőjének meghatározása Az eredményszelvény bemutatása 59

5 6. A talajszonda körüli hőmérsékleti mező Termikus távolhatás mélység szerinti meghatározása A hőmérsékleti mező értékei Surfer ábrák 68 ÖSSZEFOGLALÁS 71 SUMMARY 73 IRODALOMJEGYZÉK 74 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 78 MELLÉKLETEK 79 MELLÉKLETEK JEGYZÉKE 80

6 BEVEZETÉS Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése Napjainkra egyre fokozódó szükséggé vált az alternatív vagy más szóval a megújuló energiahordozók hasznosítása. Ennek oka részben a fosszilis energiahordozók magas világpiaci árában keresendő, részben, pedig abban, hogy az emberiség kezdi felismerni eddigi energiatermelési gyakorlatának a környezetre tett kedvezőtlen hatásait. Itt elsősorban a légkör szén-dioxid terhelésére gondolok, de említhetném a kén-dioxid és a nitrózus gázok, valamint a korom és por légkörbe bocsátását is. E súlyosbodó problémára megoldást jelenthetnek a nem fosszilis eredetű, azaz alternatív energiahordozók, amelyeket azonban csak bizonyos esetben nevezhetünk megújulónak is. Az, hogy egy energiahordozó megújuló-e, a felhasználás és az utánpótlódás ütemének viszonya határozza meg. Tipikusan ilyen alternatív energiafajta a geotermikus energia is, amelyet csak és akkor lehet megújuló energiának tekinteni, ha az annak hasznosítására létrehozott energiatermelőrendszert körültekintően, a fenntarthatóságot figyelembe véve tervezték meg. Hiába korlátlan a Föld belső energia készlete, ha azt lokálisan túlzott mértékben aknázzuk ki, ezáltal ellehetetlenítve a fenntarthatóságot. Gondoljunk csak a kaliforniai Geysers geotermikus mező kényszerűségből leállított erőműveire. Sajnos e probléma nem is olyan távoli, hisz ahogy a kaliforniai gőzrezervoárok, úgy a magyarországi hévízrezervoárok sem végtelen, sőt inkább véges utánpótlódásúak. Ennek máris jelentkeznek aggodalomra okot adó, kézzel fogható tünetei, példaként Hajdúszoboszló térségét tudnám említeni, ahol a túlzott vízkivétel először csak lokális, majd regionális vízszintsüllyedésben jelentkezett. Ma már a néhány évvel ezelőtt létesített hévízkutakban is több méteres nyugalmi vízszint csökkenés mérhető, ami azt jelenti, hogy a búvárszivattyúkat egyre mélyebbre kell beépíteni, hogy az eddigi, megszokott vízhozamot és hőmérsékletet fenntartsák. A megfelelő hőmérsékletű és mennyiségű hévíz kitermelése többlet villamos energia ráfordítással ideig-óráig biztosítható, de a valódi megoldást az utánpótlódás biztosítása jelentené. A felvázolt eset teljesen analóg a nyitott, rétegvizes és a zárt, földhőszondás hőszivattyús rendszerek tervezési problematikájával. Egy alultervezett földhőszondás hőszivattyús rendszer a kellő fűtési hőmennyiséget egyre több szivattyúzási munkával, azaz egyre több villamos energia ráfordítással képes csak fedezni. Ám miközben a villamos áramfogyasztás egyre nő, a talajhőmérséklet a földhőszonda körül egyre csak csökken, hiszen a keringetett 1

7 munkaközeg növekvő tömegárama egyre több hőt von el a talajtól lokálisan, amit a földi hőáram sem képes pótolni. Manapság, mikor a hőszivattyúk, mint gépészeti egységek rohamos fejlődésének vagyunk tanúi, elsőrendű fontosságú, hogy a talajforrású hőszivattyús rendszerek tervezési módszerei is lépést tartsanak ezzel a fejlődéssel, és így a teljes energiatermelő rendszer földtanilag sokkal megalapozottabbá, gazdaságosan fenntarthatóvá váljon. Egyszer és mindenkorra szakítani kell azzal a megcsontosodott, elavult, és már eddig is számtalan gazdaságtalanul működő, vagy végleg ellehetetlenült hőszivattyús rendszert szülő tervezési módszerrel, amikor is holmi táblázatból, ill. irodalmi adatokra hagyatkozva határozták meg a talajból folyóméterenként kinyerhető hőteljesítményt. Az ilyen hagyományos tervezési módszerek, melyek nem valós mérésen alapulnak, nem tudják figyelembe venni a helyi földtani specialitásokat, így kizárólag alul- vagy túltervezett hőszivattyús rendszerhez vezetnek. Alultervezett rendszernél kedvezőbb esetben egy állandósult, magas üzemeltetési költséggel számolhatunk, kedvezőtlenebb esetben a rendszer teljes tönkremenetelével. Túltervezett rendszer esetén, pedig a beruházási költség lesz indokolatlanul magas, így a megtérülési idő jelentősen meghosszabbodik. Dolgozatomban részletesen ismertetem a földtanilag megalapozott tervezés által megkövetelt mérésfajtákat, és a mért adatok kiértékelésének módszereit. Jelen dolgozat a földtani szemléletű tervezést teljessé tevő numerikus előremodellezés bemenő paramétereinek egzakt, analitikus módszerekkel való előállításának bemutatására hivatott. Az általam bemutatandó módszer nem elégszik meg azzal, hogy a fúrólyuk geofizikai vizsgálatából csak egy egyszerű rétegsort adjon meg, ahogyan azzal a jelenlegi magyarországi gyakorlat megelégszik, hanem annak eredményeit szorosan integrálja a hidrodinamikai és a termikus tesztek eredményeiből felépülő analitikus modellbe. Így az analitikus modellezésből eredményül kapott értékek immár rétegenként és mélység szerint változó adatokat jelentenek, szemben a jelenlegi gyakorlat 1D-s megközelítésével. Ma a világban, így Magyarországon is, a telepített, próba talajszondán ún. thermal response tesztet (TRT) végeznek, amit a Kelvin-féle vonalforrás elmélet segítségével értékelnek ki. Ebből egy látszólagos, horizontális hővezetési tényezőt és egy fúrólyuk termikus ellenállást határoznak meg a teljes harántolt vertikumra, majd e két értéket egy szoftverbe beírva végeznek modellezést, ami egy teljesen hibás megközelítés, hiszen a fúrólyuk termikus 2

8 ellenállása mind térben, mind időben is változik. Ráadásul ez a módszer nem veszi figyelembe a geotermikus gradiens hatását, azaz a vertikális hatást, így a keringetett folyadék mélység szerinti valós hőmérséklet eloszlását sem, ezért a fúrólyuk termikus ellenállását jelentősen túlbecsli. E hiba kiküszöbölésére egy iterációs módszert találtam ki, amelyet Dr. Bobok Elemér és Dr. Tóth Anikó által a zárt, koaxiális elrendezésű hőcserélő kút esetére levezetett algoritmusra alkalmaztam olymódon, hogy az eltérő keresztmetszeti geometriát is figyelembe vettem. Dolgozatomban ugyanis, szimpla U-csöves talajszondát kívánok modellezni. Továbbá, ezáltal lehetőség nyílt a tömedékelő anyag és az U-cső együttes hővezetési tényezőjének meghatározására is, amit eddig szintén csak irodalmi adatként ismerhettünk. A TRT hátránya, hogy nem tudja elkülöníteni a vízvezető rétegben áramló víz által elvont hőteljesítményt a hővezetéssel elvont hőteljesítménytől, így a TRT-ből meghatározott hővezetési tényező nem tisztán kondukcióra, hanem advekcióra vonatkozik, ezért az extrém magas érték is lehet. A numerikus modellezéshez azonban nekünk tisztán kondukcióra vonatkozó hővezetési tényezőre van szükségünk, hisz a modellben külön is figyelembe vesszük a rétegvíz áramlását a porózus-permeábilis zónákban. Ezért megoldást kellett találnom a rétegvíz-áramlás által elvont konvektív hőteljesítmény meghatározására, amivel utólag kompenzálható a TRT-ből számított ekvivalens hővezetési tényező, és megadható egy tisztán kondukcióra vonatkozó érték. Ehhez, pedig hőátadási tényezőt számítottam a fúrólyuk fala és az áramló rétegvíz között. Mivel nem ismert olyan formula a Nusselt-szám meghatározására, amely egy furattal harántolt, párhuzamos síklapokkal határolt, porózuspermeábilis rétegre vonatkozna lamináris áramlás esetére, ezért a más esetekre vonatkozó formulákat alakítottam át, és próbálgatásos módszerrel határoztam meg azt az optimális alakot, ami végül a konvektív hőelvonás tekintetében a gyakorlati tapasztalatoknak is megfelelő értéket szolgáltatott. Ennek birtokában állítottam elő azt az adatrendszert, ami egy numerikus modellezés valósághoz legközelebb álló, bemenő paramétereit képezi. 3

9 1. Geotermikus energia Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése Az energia egyik megjelenési formája a hő. E hő földbeli mennyiségének és eloszlásának vizsgálatával a geotermika tudománya foglalkozik. A geotermikus energia a Földbolygónak a belső energiája, amelyet a mag, a köpeny és a kéreg nagy hőmérsékletű tömegei tárolnak (Bobok és Tóth, 2004). Más megfogalmazás szerint a geotermikus energia a Föld belsejének hőtartalékát jelenti, ami döntően a földkéregben koncentrálódó, hosszú felezési idejű radioaktív izotópok bomlási hőjéből táplálkozik (Szőnyi, 2006) A Föld belső hőjének eredete A Föld belső hője alapvetően három folyamat eredőjeként származtatható (Földessy, 2008): 1. A bolygókeletkezés maradványhője. Ennek elemei: - planetáris akkréció (bolygócsíra kialakulása), melynek során az összeütköző, összetapadó részecskék kinetikus energiája hővé alakul; - gravitációs tömegnövekedés (az anyageloszlás inhomogenitása miatt a gravitációs mező egyre nő a bolygócsíra körül, így az egyre több részecskét vonz magához): az anyagsűrűsödés miatt a belső energia növekedése indul meg; - megolvadás: a belső energia fokozódó felhalmozódásával a szilárd részek összeolvadva fuzionálnak (a fázisátalakulás rejtett hő felszabadulásával jár), kialakul a homogén Föld; - öves szétkülönülés (a bolygót felépítő elemek, vegyületek gravitációs, azaz sűrűségkülönbségen alapuló szétválasztódása); - lehűlés megszilárdulás (a fázisátalakulás rejtett hő felszabadulásával jár). A homogén, megolvadt Föld, illetve a jelenlegi öves szerkezeti állapot közötti energiakülönbség jelentős, erg. Felszabadulása részben a bolygó keletkezésekor, részben fokozatosan ment, illetve megy végbe ma is, hiszen bolygónk folyamatosan hűl, szilárdul. 2. A Föld Hold rendszer árapály erői által keltett súrlódási hő. Az árapály erők napi ±30 cm-es elasztikus deformációt okoznak a Föld szilárd kőzetrétegeiben, és több méteres vízszint-változást a tengerekben. A dagálysúrlódás a Föld 4

10 forgási energiáját csökkenti. Az energia kibocsátás értéke erg/sec. Kis része eltaszítja a Holdat a Földtől, a maradék része hővé alakul. 3. Hosszú felezési idejű radioaktív izotópok bomlási hője. A radioaktív hőtermelés a felső köpenyben, de még jelentősebb mértékben az alsó, sziallikus (szilíciumban és alumíniumban gazdag), kontinentális kéregben megy végbe. Radioaktív bomlás során a kibocsátott α (He atommag) vagy β (elektron) részecskék mozgási energiája elnyelődés által hővé alakul. A legjelentősebb radioaktív izotópok az 238 U, 235 U, 232 Th és a 40 K. A legjobb hőtermelő az 235 U, ám ennek részaránya elhanyagolható az 238 U-hoz képest. A legnagyobb mennyiségben viszont a kevésbé jó hőtermelő 40 K fordul elő a földkéregben. Rybach László 1988-ban tett közzé egy képletet, amely az egyes kőzetek egységnyi tömege által termelt radioaktív hőmennyiség meghatározására szolgál (Pethő, 2008): Q R = 95,2 C U + 25,6 C Th + 0,00348 C K [W/kg], (1) ahol: C U és C Th a kőzet urán és tórium koncentrációja [ppm]-ben, C K a kálium koncentráció [%]-ban. A radioaktív izotópok könnyebben dúsulnak fel a savanyú magmás kőzetekben, így a legjelentősebb radioaktív hőtermelő kőzet a nagy szilícium-tartalmú gránit. Modellszámítások alapján a radioaktív hőtermelés a Föld belső hőjének legjelentősebb forrása, mintegy %-os részesedéssel, 30%-os arányt képvisel a dagálysúrlódás, a maradék %-ot a bolygókeletkezés maradványhője adja (Földessy, 2008). Más megközelítés szerint a Föld belső hője 60%-ban a kéregben található rádium, tórium és kálium radioaktív bomlásából, 10%-ban a felső köpeny ásványátalakulási és kristályosodási folyamataiból és 30%-ban a földmag irányába mozgó vas és a felfelé emelkedő szilikátok szételegyedéséből származik (Némedi Varga, 1999). Megemlítendő még az asztenoszféra konvekciós áramlásai által hajtott lemeztektonikai folyamatok során felszabaduló hő is, ami azonban nagyságrendekkel eltörpül a fenti folyamatok energiája mellett. A kiemelkedéssel járó, orogenetikus mozgásokból, és a vele egyensúlyt tartó lepusztulásból származó energia kb erg/év, ami elhanyagolható a földi hőáram erg/év (1watt = 10 7 erg/sec.) értékéhez képest. A földrengésekből évente 5

11 felszabaduló energia mennyisége kb erg, azaz a földi hőáram 1 %-a. Nagyságrendileg hasonló mértékű lehet a nem-elasztikus deformációkból származó energia is (Földessy, 2008) A Föld hőjelenségei A geotermikus energia a Föld magja és a felszíne közötti hőmérsékletkülönbség hatására a felszín felé áramlik, a fel nem használt rész a légkörön keresztül a világűrbe távozik. A hőterjedésnek alapesetben három formája ismeretes: a hővezetés (kondukció), a hőszállítás (konvekció) és a hősugárzás (radiáció). A geotermikus mérnöki gyakorlatban ezek kombinációja fordul elő a leggyakrabban, pl.: vízjárta porózus-permeábilis kőzetrétegekben advekció (kondukció és konvekció együtt), illetve a Föld felszínközeli rétegeiben az advekció kiegészül még a Nap besugárzásának, vagy egyszerűen csak a felszíni hőmérséklet periodikus változásaiból származó hatásokkal. Hővezetés esetén a hő terjedése az anyag részecskéinek rendezetlen hőmozgása során létrejött ütközésekkel valósul meg, amely nem jár együtt a közeg elmozdulásával. A hőkonvekció mindig anyagáramláshoz, hőszállító közeg mozgásához kötött. Hősugárzásnál a termikus energia elektromágneses hullámok formájában terjed. A földkéregben és a litoszférában a jellemző hőterjedési forma a hővezetés, de felszín alatti víz- és gázáramlások, ill. magmaáramlások esetén konvekció is létrejön. A köpeny asztenoszféra részében a konvekció a domináns hőterjedési forma, amelyet a geológiai időtávban viszkózus folyadékként viselkedő szilárd kőzetek szállítanak. A külső mag folyadékállapotú fémolvadékainál a konvekció mellett a magas hőmérséklet miatt talán már a hősugárzás is jelentős. A földfelszínen és a felszínközeli rétegekbe a Nap hősugarai exponenciálisan csillapodó harmonikus elektromágneses sugárzás formájában hatolna be. 6

12 1.3. A földi hőáram Mivel a hőmérsékletkülönbség a Föld felszíne és a középpontja között mintegy 5000 C, ezért a Föld belső energiájának árama indul meg a felszín felé, amit földi hőáramnak, pontosabban hőáram-sűrűségnek (hőfluxusnak) nevezünk. Ez a hőáram a Föld különböző felszíni pontjain igen változatos értéket mutat, mivel a Föld szerkezeti felépítése nem csak mélység szerint, de laterálisan is igen változatos. A hőáram felszíni eloszlása függ a geotektonikai helyzettől és a földkérget alkotó kőzetek hővezetési tényezőjétől (Szőnyi, 2006). A hőáram korrelációt mutat a különféle geológiai területekkel, más-más területhez más-más jellemző értékek tartoznak. 1. sz. ábra: A Föld vertikális hőmérséklet eloszlása (Clauser, 2008) Tektonikailag nyugodt, ősi pajzsterületeken vagy óceáni medencékben alacsony hőáram értékeket mérhetünk, melyek szórása is kicsi, ám tektonikailag jelenleg is aktív területeken (orogén övek, szubdukciós zónák, óceánközépi hátságok, vulkanikus területek, gyorsan süllyedő kontinentális üledékgyűjtő medencék) magas hőáram mérhető, melyek szórása is nagy (Völgyesi, 2002). 7

13 A kontinentális területek átlag hőáram-sűrűsége 65 mw/m 2, az óceáni medencéké 101 mw/m 2, az óceáni hátságok és aktív mezozóos, ill. kainozóos orogén területeké 200mW/m 2 (Pethő, 2008). Magyarország területe alatt a litoszféra és a kéreg kifejezetten vékony, és a Pannon-medencét kitöltő agyagos, homokos üledékek rossz hővezetési tényezője miatt a geotermikus gradiens magas (átlagosan 50 C/km), emiatt a földi hőáram-sűrűség maximuma eléri a mw/m 2 -es értéket, de a jellemző értékek is magasabbak a kontinentális átlagnál mw/m 2 (Szőnyi, 2006) Hőterjedés matematikai megfogalmazása A Föld kőzetrétegeinek (öveinek) termikus inhomogenitása miatt a belső energia árama indul meg. Termikus egyensúly hiányában mechanikai egyensúlyról sem beszélhetünk, ezért geológiai idők alatt a konduktív hőáram mellett, makroszkopikus anyagmozgással járó konvektív hőáram is kialakul. E mozgásból származó jelenségek összességét nevezzük lemeztektonikának. Konvekció nem csak bolygóléptékben alakul ki, hanem a megfelelő vertikális kiterjedésű vízvezető kőzettestekben, kőzetrétegekben is, erről később részletesebben is írok. A Föld belsejében lezajló hőterjedési folyamatokat a belső energia mérlegegyenlete írja le. A belső energia mérlegegyenletét úgy kapjuk meg, hogy az energia-megmaradás mérlegegyenletét írjuk fel egy a környezetével termikus és mechanikai kölcsönhatásban álló testre, majd abból kivonjuk a kinetikus energiamérleget. Feltesszük, hogy a kontinuum bármely elemi térfogata termikus egyensúlyban van (Bobok és Navratil, 1993), ekkor: 2 d v r r r r r r r + u ρ dv = ρ g v dv + v F da q da (2) dt V 2 V (A) (A) Ez az energia-megmaradás törvényének integrális alakja. Az egyenlet azt fejezi ki, hogy a kinetikus és a belső energia időegység alatti megváltozása egyenlő a felületi és a tömegerők teljesítményével, illetve a közölt hőteljesítménnyel. Ahol: v a sebességvektor, u a fajlagos belső energia, g a tömegerők eredője, F a feszültségtenzor, q a hőáram-sűrűség vektor, ρ a közeg sűrűsége. 8

14 Az energia-megmaradás törvényét differenciális alakban felírva (Bobok és Navratil, 1993): 2 2 v v r r r r rr u div ρ u v F v + q = ρgv t (3) Ahol, az első tag a kinetikus és a belső energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és a konduktív áramokat jelenti, amelyek egyensúlyt tartanak a jobb oldalon lévő energiaforrással, azaz a külső erőtér tömegerőinek teljesítményével. A kinetikus energiamérleg differenciális alakját az alábbi módon írhatjuk fel (Bobok és Navratil, 1993): 2 v ρ t 2 2 v + div ρ 2 r r r rr r r v F v = ρgv F : v (4) Ahol, az első tag a kinetikus energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és konduktív áramokat jelenti. A jobb oldalon a tömegerők teljesítményének és a kinetikus energiaveszteségnek az eredője látható. A kinetikus energia egy része nem-mechanikai energiafajtává, súrlódás útján belső energiává alakul (-F : v ). Ezek után felírható (3) és (4) egyenletek különbségeként a belső energia mérlegegyenlete (Bobok és Navratil, 1993): ( ρu) t + div r r r r ( ρuv + q) = F : v Ahol, az első tag a belső energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és konduktív hőáram lokális megváltozását jelenti, a jobb oldalon pedig, a belső energia forrását találjuk. (5) Ha elvonatkoztatunk a geológiai időtávtól, és a mérnöki létesítmények élettartama szerint vizsgáljuk a kőzeteket, akkor azt látjuk, hogy a kőzetek folyása, deformációja gyakorlatilag zérus (azaz mechanikai egyensúlyban vannak), emiatt a belső energia konvektív árama elhanyagolgató. Így a súrlódási hővé (belső energiává) átalakuló mechanikai teljesítmény is jelentéktelen. Ugyanakkor létezhet a belső energiának egy nem-mechanikai forrása is, mint pl. radioaktív bomlás-, vagy a szén- és érctelepek oxidációs hője, amit térfogati hőforrásként (q 0 ) vehetünk figyelembe. A belső energia mérlegegyenletét, térfogati hőforrást tartalmazó, rövid időtávot tekintve mechanikai nyugalomban lévő szilárd testre (pl. a kontinentális kéreg gránitos aljzatára) az alábbi módon írhatjuk fel (Bobok és Navratil, 1993): 9

15 ( ρu) t r + divq = Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése q 0 (6) Hőterjedés a földkéreg rétegeiben Tekintve, hogy dolgozatomban a földhőszondák analitikus modellezésével fogok foglakozni, és az általam megjelölt vizsgálati mélység a m-es intervallumba esik, ezért az e mélységben települő, pleisztocén korú, agyagos-homokos üledékek miatt a térfogati hőforrást elhagyom. ( ρu) t r + divq = 0 Szilárd testekre, összenyomhatatlan folyadékokra és ideális gázokra a fajlagos belső energia az u = c v T (8) kifejezéssel adható meg, ahol c v a közeg állandó térfogaton vett fajhője, T a hőmérséklete. A hőkiegyenlítődés mértékét a Fourier I. egyenlettel jellemezzük (Pethő, 2008): q = - λ gradt. (9) Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, ahol q a hőáram-sűrűség (1s alatt 1m 2 -nyi felületen átáramló hőmennyiség [J]-ban), ami egyenesen arányos a gradt hőmérsékleti gradienssel (hosszegységre jutó hőmérsékletváltozás mértéke). A földkéreg vertikális irányú hőmérsékletváltozására jellemző mennyiség a geotermikus gradiens. Az egyenletben a negatív előjelet a hő terjedési iránya indokolja, ugyanis, a lefelé mutató pozitív mélységtengellyel épp ellentétesen a hőterjedés a felszín felé irányul (Pethő, 2008). Az arányossági tényező a λ hővezetési tényező (fajlagos hővezető-képesség), amely homogén, izotróp közeg esetén egy skalár szám. (7) Kitüntetett szerkezeti irányítottságot (pl. metamorf kőzeteknél), palásságot, mikrorétegzettséget (üledékek), stb. mutató kőzetek hővezetési tényezője a helykoordinátáktól függően változik. A hővezetési tényező inhomogén térbeli eloszlását anizotrópiának nevezzük, ilyenkor a vezetési tényezőt egy kilenc skalár komponensből álló másodrendű tenzor írja le (Bobok és Navratil, 1993): λ Λ = λ λ λ λ λ λ λ λ

16 Kőzetekre jó közelítéssel elfogadható, hogy két főtengely (i és j) által meghatározott sík a rétegződés síkjával párhuzamos, ezért λ 11 = λ 22 = λ װ. Azaz, a rétegződés síkjában fekvő irányok megkülönböztetésének nincs földtani indoka. A harmadik főtengely (k) a rétegződés síkjára merőleges, így λ 33 = λ. Tehát a hővezető-képesség anizotrópiáját a rétegződéssel párhuzamos és az arra merőleges irányokban mért értékek hányadosával jellemezzük: K λ = λ װ / λ (Egerer és Kertész, 1993). A (8) és a (9) egyenleteket a (6) egyenletbe helyettesítve kapjuk a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakját: T ρ c v = λ divgradt + q 0 = λ T + q 0 (10) t Amennyiben a (8) és (9) egyenleteket a (7) egyenletbe helyettesítjük, azaz a térfogati hőforrást nullának vesszük (q 0 = 0), a Fourier II. egyenletet (vagy diffúziós egyenletet) kapjuk, amely homogén, izotróp közegre a következő alakot ölti: T λ = t ρ c v T T T T = α + + (11) x y z Ekkor az anyagjellemzők (λ, ρ, c v ) sem a helykoordináták, sem a hőmérséklet függvényében nem változnak. Az egyenlet a hőmérsékleti viszonyok térbeli és időbeli változását írja le. Ez a hővezetési egyenlet használható a periodikus hőmérsékleti változások (napi, évszakos, éves) mélységbehatolásának vizsgálatakor, vagy ha például felmelegedési, illetve eljegesedési periódusokat vizsgálunk (Pethő, 2008). Ha ismert a rétegekben a hőmérséklet-eloszlás a t = 0 időpillanatban (kezdeti feltétel), továbbá a talaj határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel), akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérsékleteloszlást bármely későbbi időpillanatban. Az egyenletben c v a térfogati fajhő (az a hőmennyiség, amely 1kg tömegű test hőmérsékletét 1 C-kal változtatja meg), ρ a közeg sűrűsége, λ a közeg hővezetési tényezője, T a hőmérséklet, z a mélységkoordináta, a Laplace-operátor (= 2, a Nabla-operátor), α = λ/(ρc v ) a hődiffúzivitás. A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira, a hőmérséklet-kiegyenlítődés gyorsaságára a hőmérsékletvezetési tényező (hődiffúzivitás) a mértékadó mennyiség, nem pedig a hővezetési tényező (Tóth, 2008). Mint azt később, a TRT mérés Kelvin vonalforrás elméletével való kiértékelésekor is, látni fogjuk, a hődiffúzivitás a tranziens, míg a hővezetési tényező a stacionárius hőátviteli folyamatokat jellemzi. 11

17 A stacionárius (időben állandósult) hővezetés differenciálegyenleteit az alábbi esetekre írhatjuk fel (Tóth, 2008): - van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás (Poisson-egyenlet): T = -q 0 /λ (12) - se hőforrás, se időbeli hőmérsékletváltozás sincs (Laplace-egyenlet): T = divgradt = 0 (13) - a Laplace-egyenlet egydimenziós esetben: d 2 T/dz 2 = 0 (14) Ezzel el is érkeztünk a homogén, izotróp, párhuzamos síklapokkal határolt, vízszintes étegekből felépülő üledékes összletben kialakuló 1D-s, időben állandó hővezetéshez. Az N számú, T i hőmérsékletű, L i vastagságú és λ i hővezetési tényezőjű rétegekben kialakuló földi hőáram-sűrűséget, az alábbi egyenlet adja meg (Bobok és Navratil, 1993, Steger és társai, 1995): T0 TN q = N (15) Li λ i= 1 i ahol, T 0 a külső környezeti (felszíni) hőmérséklet. Mint látható, tiszta hővezetés esetén a rétegekben a hőmérséklet lineáris eloszlású. Ez Fourier I. egyenletének megoldása többrétegű síkfalra. Mint azt a 1.2. fejezet bevezetőjében említettem, a geotermikus mérnöki gyakorlatban összetett hővezetési feladatok kell megoldani. Ilyen például az az eset, amikor egy porózuspermeábilis rétegben víz áramlik. Ekkor a kondukció mellett konvekció is kialakul, amit együttesen advekciónak nevezünk. Erre az esetre vonatkozik a Fourier Kirchhoff egyenlet: T λ = t ρ c v r T + v gradt (16) Szintén erre az esetre írta fel Bartels, Kühn és Clauser az alábbi egyenleteket (Clauser és társai, 2003). Az advekív hőtranszport egyenlet meghatározásához figyelembe kell venni az ellenőrző térfogat (dv) hőtartalmának változását egy dt idő alatt. Az energia-megmaradás egyenletének integrális alakja ekkor, az alábbi formában írható fel: Q t t ( ρct) dv = ( λ T ρf cf Tv) ndf dv = + V V F r r V HdV (17) 12

18 13 Ahol, a baloldalon a hőtartalom időbeli változása áll, a jobb oldalon a felületi integrál alatt a hődiffúzió és a hőadvekció, a térfogati integrál alatt pedig, a hőtermelés, H a térfogati hőforrás. A λ a hővezetési tenzor, df az ellenőrző térfogat felülete. A (17) egyenlet differenciális alakban: ( ) ( ) H Tv c p T λ T c ρ t t Q f f + = = r (18) Ahol, c f és ρ f a folyadék állandó nyomáson vett fajlagos hőkapacitása és sűrűsége. A kőzet és a folyadék térfogati hőkapacitása (ρc p ) lineáris függvénykapcsolatban van a porozitással (ϕ): ( ) ( ) ( ) m m f f c ρ φ 1 c ρ φ t T T c ρ t + = (19) Ahol c m és ρ m a kőzetmátrix térfogati fajhője és a sűrűsége. Végül a hőtranszport egyenlet advekcióra Descartes koordináta-rendszerben (x, y, z): ( ) ( ) ( ) H c ρ φ 1 c φρ t T Tv c ρ T λ m m f f f f + = r (20) A hőtranszport egyenlet advekcióra hengerkoordináta-rendszerben (r, z): ( ) ( ) H c ρ φ 1 c ρ φ t T v T c ρ r T λ z v T c ρ r T λ r r r 1 m m f f z f f z r f f r + = = + (21) Ahol λ r és λ z a rétegződéssel párhuzamos, ill. rétegződésre merőleges hővezetési tényezőt jelentik, H a térfogati hőforrás Hőterjedés a felszínközeli rétegekben A Föld felszínének és felszínközeli rétegeinek hőmérsékletét két hőforrás, a Nap és a földi hőáram szabályozza. A napsugárzás a Föld felszínének adja át hőenergiáját, amely szer nagyobb, mint az átlagos földi hőáram-sűrűség. Ennek az energiának egy része kisugárzódik a világűrbe, más része hőátadással a légkört melegíti, harmadik része, pedig hővezetés révén a Föld belseje felé terjed. A Föld felszínének hőmérséklete periodikusan változik, amit az alábbi diagram szemléltet:

19 1. sz. diagram: A földfelszín éves hőmérséklet változása (a szerző saját munkája). A napi középhőmérséklet adatok forrása: Először az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapjáról letöltött, háromévnyi napi középhőmérséklet adatokat (kék görbe) ábrázoltam, majd képeztem az évszakoknak megfelelő hosszúságú, 90 napos mozgó átlagát (piros görbe). Az így kapott szűrt görbére szinuszos trendvonalat illesztettem (sárga görbe), egyenlete a diagramon látható, aminek általános alakja: T(t) = T 0 + A 0 sin(ωt + Φ) (22) ahol: T a hőmérséklet [ C], T 0 a felszíni éves középhőmérséklet [ C], A 0 az évi hőmérsékleti amplitúdó a felszínen [ C]; ω = 2π/t 0 a körfrekvencia [rad/nap], t 0 a periódus hossza [nap], t az idő [nap]; Φ a t = 0 időponthoz (jan. 1.) tartozó fázis [rad]. Goguel szerint a felszíni hőmérsékletváltozás amplitúdója homogén talajszerkezet esetén a mélységgel exponenciálisan csillapodó szinuszfüggvény szerint változtatja a mélyebb zónák hőmérsékletét, melyre rátevődik a geotermikus gradiens hatása. Így a hőmérséklet-eloszlás mélység és idő szerint az alábbi kifejezéssel adható meg (Buday, 2010): z ω/2α ( z, t) = T + γz + Ae sin( ωt + φ z ) T T 0 ω/2α φ (23) 14

20 ahol, T a hőmérséklet [ C], T 0 a felszíni középhőmérséklet [ C]. A 0 az éves hőmérsékleti amplitúdó a felszínen [ C], ω az éves körfrekvencia [rad/nap], ϕ az éves fázis a földfelszínén [rad], γ a geotermikus gradiens [ C /m]. α T az exponenciális csökkenés hődiffúzivitási paramétere [m 2 /s], α ϕ a szinuszos változás hődiffúzivitási (fáziseltolódási) paramétere [m 2 /s]. Átlagos α = 10-6 m 2 /s es hődiffúzivitás értékkel számolva, az alábbi hőmérsékleti görbék rajzolódnak ki Goguel alapján. Mélység [m] Talajhőmérséklet [ C] December Január Február Március Április Május Június Július Augusztus Szeptember Október November 2. sz. ábra: Felszínközeli rétegek hőmérsékletének havonkénti alakulása a felszíni hőmérsékletváltozás és a geotermikus gradiens hatására Goguel szerint (a szerző saját munkája). Más modellek nem számolnak a geotermikus gradiens hatásával és a fázisszöggel, ill. nem tesznek különbséget a szinuszos változás és az exponenciális csillapodás hődiffúzivitási paramétere között (Völgyesi, 2002): T(t, z) ω z ω 2α z/d = T0 + A e sin ω t z = T0 + A e sin 2α ( ωt z/d) (24) 15

Erdélyi Barna geofizikus mérnök, geotermikus szakmérnök és Kiss László gépészmérnök, geotermikus szakmérnök

Erdélyi Barna geofizikus mérnök, geotermikus szakmérnök és Kiss László gépészmérnök, geotermikus szakmérnök Lanna Kft. 2525 Máriahalom, Petőfi u. 23. Fax: 33/481-910, Mobil: 30/325-4437 Web: www.zoldho.hu E-mail: lannakft@gmail.com Thermal Response Test - Földhőszondás hőszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott

Részletesebben

Thermal Response Test - Földhőszondás hőszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott tervezése

Thermal Response Test - Földhőszondás hőszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott tervezése Fax: 33/48-90, Mobil: 70/776409 Web: wwwzoldhohu E-mail: zoldho@zoldhohu hermal esponse est - Földhőszondás hőszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott tervezése Készítették: Erdélyi arna okl geofizikus

Részletesebben

Anyagjellemzők változásának hatása a fúróiszap hőmérsékletére

Anyagjellemzők változásának hatása a fúróiszap hőmérsékletére Anyagjellemzők változásának hatása a fúróiszap hőmérsékletére Kis László, PhD. hallgató, okleveles olaj- és gázmérnök Miskolci Egyetem, Műszaki Földtudományi Kar Kőolaj és Földgáz Intézet Kulcsszavak:

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Hőszivattyús földhőszondák méretezésének aktuális kérdései.

Hőszivattyús földhőszondák méretezésének aktuális kérdései. Magyar Épületgépészek Szövetsége - Magyar Épületgépészeti Koordinációs Szövetség Középpontban a megújuló energiák és az energiahatékonyság CONSTRUMA - ENEO 2010. április 15. Hőszivattyús földhőszondák

Részletesebben

HARTAI ÉVA, GEOLÓGIA 3

HARTAI ÉVA, GEOLÓGIA 3 HARTAI ÉVA, GEOLÓgIA 3 ALaPISMERETEK III. ENERgIA és A VÁLTOZÓ FÖLD 1. Külső és belső erők A geológiai folyamatokat eredetük, illetve megjelenésük helye alapján két nagy csoportra oszthatjuk. Az egyik

Részletesebben

Művelettan 3 fejezete

Művelettan 3 fejezete Művelettan 3 fejezete Impulzusátadás Hőátszármaztatás mechanikai műveletek áramlástani műveletek termikus műveletek aprítás, osztályozás ülepítés, szűrés hűtés, sterilizálás, hőcsere Komponensátadás anyagátadási

Részletesebben

Ellenáramú hőcserélő

Ellenáramú hőcserélő Ellenáramú hőcserélő Elméleti összefoglalás, emlékeztető A hőcserélő alapvető működésével és az egyszerűsített számolásokkal a Vegyipari műveletek. tárgy keretében ismerkedtek meg. A mérés elvégzéséhez

Részletesebben

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság 2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.

Részletesebben

Készítette: Csernóczki Zsuzsa Témavezető: Zsemle Ferenc Konzulensek: Tóth László, Dr. Lenkey László

Készítette: Csernóczki Zsuzsa Témavezető: Zsemle Ferenc Konzulensek: Tóth László, Dr. Lenkey László Készítette: Csernóczki Zsuzsa Témavezető: Zsemle Ferenc Konzulensek: Tóth László, Dr. Lenkey László Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Környezet-földtudomány szakirány 2009.06.15. A téma

Részletesebben

A geotermikus energiában rejlő potenciál használhatóságának kérdései. II. Észak-Alföldi Önkormányzati Energia Nap

A geotermikus energiában rejlő potenciál használhatóságának kérdései. II. Észak-Alföldi Önkormányzati Energia Nap A geotermikus energiában rejlő potenciál használhatóságának kérdései II. Észak-Alföldi Önkormányzati Energia Nap Buday Tamás Debreceni Egyetem Ásvány- és Földtani Tanszék 2011. május 19. A geotermikus

Részletesebben

Fázisátalakulások vizsgálata

Fázisátalakulások vizsgálata Klasszikus Fizika Laboratórium VI.mérés Fázisátalakulások vizsgálata Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE Mérés időpontja: 2012.10.18.. 1. Mérés leírása A mérés során egy adott minta viselkedését vizsgáljuk

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont)

Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont) Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont) 1. "Az olyan rendszereket, amelyek határfelülete a tömegáramokat megakadályozza,... rendszernek nevezzük" (1) 2. "Az olyan rendszereket,

Részletesebben

Debrecen-Kismacs és Debrecen-Látókép mérőállomás talajnedvesség adatsorainak elemzése

Debrecen-Kismacs és Debrecen-Látókép mérőállomás talajnedvesség adatsorainak elemzése Debrecen-Kismacs és Debrecen-Látókép mérőállomás talajnedvesség adatsorainak elemzése Nagy Zoltán 1, Dobos Attila 2, Rácz Csaba 2, Weidinger Tamás, 3 Merényi László 4, Dövényi Nagy Tamás 2, Molnár Krisztina

Részletesebben

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA Három követelményszint: az épületek összesített energetikai jellemzője E p = összesített energetikai jellemző a geometriai viszonyok függvénye (kwh/m

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

Gépészmérnök. Budapest 2009.09.30.

Gépészmérnök. Budapest 2009.09.30. Kátai Béla Gépészmérnök Budapest 2009.09.30. Geotermikus energia Föld belsejének hőtartaléka ami döntően a földkéregben koncentrálódó hosszú felezési fl éi idejű radioaktív elemek bomlási hőjéből táplálkozik

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

Földhőszondás primer hőszivattyús rendszerek tervezési és méretezési elvei

Földhőszondás primer hőszivattyús rendszerek tervezési és méretezési elvei Földhőszondás primer hőszivattyús rendszerek tervezési és méretezési elvei Dr. Ádám Béla PhD Budapest, Lurdiház HGD Geotermikus Energiát Hasznosító Kft. : 1141 Bp., Zsigárd u. 21. Székhely: 1141 Bp.;Zsigárd

Részletesebben

Szabadentalpia nyomásfüggése

Szabadentalpia nyomásfüggése Égéselmélet Szabadentalpia nyomásfüggése G( p, T ) G( p Θ, T ) = p p Θ Vdp = p p Θ nrt p dp = nrt ln p p Θ Mi az a tűzoltó autó? A tűz helye a világban Égés, tűz Égés: kémiai jelenség a levegő oxigénjével

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

4. A FÖLD HŐJELENSÉGEI

4. A FÖLD HŐJELENSÉGEI Völgyesi L: Geofizika. Műegyetemi Kiadó, Budapest, 00. Dr. Lajos VÖLGYESI, Department of Geodesy and Surveying, Budapest University of Technology and Economics, H-151 Budapest, Hungary, Műegyetem rkp.

Részletesebben

GYAKORLATI ÉPÜLETFIZIKA

GYAKORLATI ÉPÜLETFIZIKA GYAKORLATI ÉPÜLETFIZIKA Az építés egyik célja olyan terek létrehozása, amelyekben a külső környezettől eltérő állapotok ésszerű ráfordítások mellett biztosíthatók. Adott földrajzi helyen uralkodó éghajlati

Részletesebben

KÖZEG. dv dt. q v. dm q m. = dt GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET:

KÖZEG. dv dt. q v. dm q m. = dt GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET: GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET: AZ IDŐEGYSÉG ALATT ÁTÁRAMLÓ MENNYISÉG TÉRFOGATÁT TÉRFOGATÁRAM MÉRÉS q v = dv dt ( m 3 / s) AZ IDŐEGYSÉG ALATT ÁTÁRAMLÓ MENNYISÉG TÖMEGÉT

Részletesebben

GEOTERMIKUS SZONDATESZT ÉS FÖLDHŐSZONDÁS RENDSZEREK TERVEZÉSE

GEOTERMIKUS SZONDATESZT ÉS FÖLDHŐSZONDÁS RENDSZEREK TERVEZÉSE GEOTERMIKUS SZONDATESZT ÉS FÖLDHŐSZONDÁS RENDSZEREK TERVEZÉSE TÓTH LÁSZLÓ OKL. GEOLÓGUS GEOTHERMAL RESPONSE TEST Kft. 1021 Budapest Hűvösvölgyi út 96. T/F: 06 (1) 200 04 59 E: info@geort.hu W: www.geort.hu

Részletesebben

Thermal Response Test Földhõszondás hõszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott tervezése

Thermal Response Test Földhõszondás hõszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott tervezése hermal esponse est Földhõszondás hõsziattyús rendszerek földtanilag megalapozott terezése Erdélyi arna, Kiss László eezetés A modern épületekkel szembeni legfontosabb köetelmény ma már az energiatakarékosság.

Részletesebben

A hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban

A hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban A HŐMÉRSÉKLET ÉS HŐKÖZLÉS KÉRDÉSEI BETONRÉTEGBE ÁGYAZOTT FŰTŐCSŐKÍGYÓK ESETÉBEN A LINEÁRIS HŐVEZETÉS TÖRVÉNYSZERŰSÉGEINEK FIGYELEMBEVÉTELÉVEL Általános észrevételek A sugárzó fűtőtestek konstrukciójából

Részletesebben

A munkavégzés a rendszer és a környezete közötti energiacserének a D hőátadástól eltérő valamennyi más formája.

A munkavégzés a rendszer és a környezete közötti energiacserének a D hőátadástól eltérő valamennyi más formája. 11. Transzportfolyamatok termodinamikai vonatkozásai 1 Melyik állítás HMIS a felsoroltak közül? mechanikában minden súrlódásmentes folyamat irreverzibilis. disszipatív folyamatok irreverzibilisek. hőmennyiség

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

5. gy. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

5. gy. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL 5. gy. VIZES OLDAOK VISZKOZIÁSÁNAK MÉRÉSE OSWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉERREL A fluid közegek jellemző anyagi tulajdonsága a viszkozitás, mely erősen befolyásolhatja a bennük lejátszódó reakciók sebességét,

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

5. Laboratóriumi gyakorlat

5. Laboratóriumi gyakorlat 5. Laboratóriumi gyakorlat HETEROGÉN KÉMIAI REAKCIÓ SEBESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A CO 2 -nak vízben történő oldódása és az azt követő egyensúlyra vezető kémiai reakció az alábbi reakcióegyenlettel írható le:

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája Hidrosztatikai nyomás A folyadékok és gázok közös tulajdonsága, hogy alakjukat szabadon változtatják. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Nyomás: Egy pontban a

Részletesebben

EGY VÍZSZINTES TALAJKOLLEKTOROS HŐSZIVATTYÚS RENDSZER TERVEZÉSE IRODALMI ÉS MONITORING ADATOK FELHASZNÁLÁSÁVAL

EGY VÍZSZINTES TALAJKOLLEKTOROS HŐSZIVATTYÚS RENDSZER TERVEZÉSE IRODALMI ÉS MONITORING ADATOK FELHASZNÁLÁSÁVAL EGY VÍZSZINTES TALAJKOLLEKTOROS HŐSZIVATTYÚS RENDSZER TERVEZÉSE IRODALMI ÉS MONITORING ADATOK FELHASZNÁLÁSÁVAL Mayer Petra Környezettudomány M.Sc. Környezetfizika Témavezetők: Mádlné Szőnyi Judit Tóth

Részletesebben

A gyakorlat célja az időben állandósult hővezetési folyamatok analitikus számítási módszereinek megismerése;

A gyakorlat célja az időben állandósult hővezetési folyamatok analitikus számítási módszereinek megismerése; A gyakorlat célja az időben állandósult hővezetési folyamatok analitikus számítási módszereinek megismerése; a hőellenállás mint modellezést és számítást segítő alkalmazásának elsajátítása; a különböző

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

HIDROSZTATIKA, HIDRODINAMIKA

HIDROSZTATIKA, HIDRODINAMIKA HIDROSZTATIKA, HIDRODINAMIKA Hidrosztatika a nyugvó folyadékok fizikájával foglalkozik. Hidrodinamika az áramló folyadékok fizikájával foglalkozik. Folyadékmodell Önálló alakkal nem rendelkeznek. Térfogatuk

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás.

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Nem villamos jelek mérésének folyamatai. Érzékelők, jelátalakítók felosztása. Passzív jelátalakítók. 1.Ellenállás változáson alapuló jelátalakítók -nyúlásmérő ellenállások

Részletesebben

A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése

A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése Boda Erika III. éves doktorandusz Konzulensek: Dr. Szabó Csaba Dr. Török Kálmán Dr. Zilahi-Sebess

Részletesebben

Lemezeshőcserélő mérés

Lemezeshőcserélő mérés BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék Lemezeshőcserélő mérés Hallgatói mérési segédlet Budapest, 2014 1. A hőcserélők típusai

Részletesebben

HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI BMEGEENAMHT. Név: Azonosító: Helyszám: K -- Munkaidő: 90 perc I. 30 II. 40 III. 35 IV. 15 ÖSSZ.: Javította:

HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI BMEGEENAMHT. Név: Azonosító: Helyszám: K -- Munkaidő: 90 perc I. 30 II. 40 III. 35 IV. 15 ÖSSZ.: Javította: HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI dja meg az Ön képzési kódját! Név: zonosító: Helyszám: K -- BMEGEENMHT Munkaidő: 90 perc dolgozat megírásához szöveges adat tárolására nem alkalmas számológépen, a Segédleten, valamint

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Vezetők elektrosztatikus térben

Vezetők elektrosztatikus térben Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)

Részletesebben

Doktori (Ph.D) értekezés TARI CSILLA

Doktori (Ph.D) értekezés TARI CSILLA SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Földtudományok Doktori Iskola Ásványtani Geokémiai és Kőzettani Tanszék FÖLDHŐSZONDÁS HŐSZIVATTYÚS RENDSZEREK PRIMER OLDALI HŐTRANSZPORT FOLYAMATAINAK

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája A folyadékok nyomása A folyadék súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. Függ: egyenesen arányos a folyadék sűrűségével (ρ) egyenesen arányos a folyadékoszlop

Részletesebben

A DINAMIKUS TÁVVEZETÉK-TERHELHETŐSÉG (DLR) ALKALMAZHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEI

A DINAMIKUS TÁVVEZETÉK-TERHELHETŐSÉG (DLR) ALKALMAZHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEI 5/10/2016 1 A DINAMIKUS TÁVVEZETÉK-TERHELHETŐSÉG (DLR) ALKALMAZHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEI A FENNTARTHATÓ ENERGETIKA VILLAMOS RENDSZEREI 2016. tavasz Balangó Dávid Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek Zaj- és rezgés Törvényszerűségek A hang valamilyen közegben létrejövő rezgés. A vivőközeg szerint megkülönböztetünk: léghangot (a vivőközeg gáz, leggyakrabban levegő); folyadékhangot (a vivőközeg folyadék,

Részletesebben

TOL A MEGYEI SZILÁRD LEÓ FIZIKAVERSE Y Szekszárd, március óra 11. osztály

TOL A MEGYEI SZILÁRD LEÓ FIZIKAVERSE Y Szekszárd, március óra 11. osztály TOL A MEGYEI SZILÁRD LEÓ FIZIKAVERSE Y Szekszárd, 2002 március 13 9-12 óra 11 osztály 1 Egyatomos ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi A folyamat elsõ szakasza izobár folyamat, a második szakasz

Részletesebben

Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten

Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten Hidrodinamikai modell Modellezés szükségessége Módszer kiválasztása A modellezendő terület behatárolása,rácsfelosztás

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó

Részletesebben

Fajhő mérése. Mérést végezte: Horváth Bendegúz Mérőtárs neve: Olar Alex Mérés ideje: Jegyzőkönyv leadásának ideje:

Fajhő mérése. Mérést végezte: Horváth Bendegúz Mérőtárs neve: Olar Alex Mérés ideje: Jegyzőkönyv leadásának ideje: Fajhő mérése Mérést végezte: Horváth Bendegúz Mérőtárs neve: Olar Alex Mérés ideje: 206. 0. 20. egyzőkönyv leadásának ideje: 206.. 0. Bevezetés Mérésem során az -es számú minta fajhőjét kellett megmérnem.

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

Doktori (Ph.D) értekezés tézisei

Doktori (Ph.D) értekezés tézisei SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Földtudományok Doktori Iskola Ásványtani, Geokémiai és Kőzettani Tanszék FÖLDHŐSZONDÁS HŐSZIVATTYÚS RENDSZEREK PRIMER OLDALI HŐTRANSZPORT

Részletesebben

Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz?

Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz? Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz? MISKOLCI EGYETEM KÚTFŐ PROJEKT KÖZREMŰKÖDŐK: DR. TÓTH ANIKÓ NÓRA PROF. DR. SZŰCS PÉTER FAIL BOGLÁRKA BARABÁS ENIKŐ FEJES ZOLTÁN Bevezetés Kútfő projekt: 1.

Részletesebben

5. Fajhő mérése jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

5. Fajhő mérése jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 5. Fajhő mérése jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 10. 08. Leadás dátuma: 2008. 10. 15. 1 1. A mérési összeállítás A mérés során a 6-os számú minta fajhőjét akarjuk meghatározni.

Részletesebben

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF - Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Folyamatirányítás. Számítási gyakorlatok. Gyakorlaton megoldandó feladatok. Készítette: Dr. Farkas Tivadar

Folyamatirányítás. Számítási gyakorlatok. Gyakorlaton megoldandó feladatok. Készítette: Dr. Farkas Tivadar Folyamatirányítás Számítási gyakorlatok Gyakorlaton megoldandó feladatok Készítette: Dr. Farkas Tivadar 2010 I.-II. RENDŰ TAGOK 1. feladat Egy tökéletesen kevert, nyitott tartályban folyamatosan meleg

Részletesebben

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

TestLine - Fizika hőjelenségek Minta feladatsor

TestLine - Fizika hőjelenségek Minta feladatsor 1. 2:29 Normál zt a hőmérsékletet, melyen a folyadék forrni kezd, forráspontnak nevezzük. Különböző anyagok forráspontja más és más. Minden folyadék minden hőmérsékleten párolog. párolgás gyorsabb, ha

Részletesebben

Elektromos áramerősség

Elektromos áramerősség Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Geotermikus energia. Előadás menete:

Geotermikus energia. Előadás menete: Geotermikus energia Előadás menete: Geotermikus energia jelentése Geotermikus energia fajtái felhasználása,világ Magyarország Geotermikus energia előnyei, hátrányai Készítette: Gáspár János Környezettan

Részletesebben

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei Szikra Csaba tudományos munkatárs BME Építészmérnöki Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék szikra@egt.bme.hu

Részletesebben

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t 4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

Visszasajtolás pannóniai homokkőbe

Visszasajtolás pannóniai homokkőbe Visszasajtolás pannóniai homokkőbe Szanyi János 1 Kovács Balázs 1 Szongoth Gábor 2 szanyi@iif.u-szeged.hu kovacs.balazs@gama-geo.hu posta@geo-log.hu 1 SZTE, Ásványtani Geokémiai és Kőzettani Tanszék 2

Részletesebben

Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség. Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02.

Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség. Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02. Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02. Hajdúnánástól kapott adatok a 114-es kútról Általános információk Geotermikus adatok Gázösszetétel Hiányzó adatok: Hő

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013

Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013 Concursul Preolimpic de Fizică România - Ungaria - Moldova Ediţia a XVI-a, Zalău Proba experimentală, 3 iunie 2013 2. Kísérleti feladat (10 pont) B rész. Rúdmágnes mozgásának vizsgálata fémcsőben (6 pont)

Részletesebben

3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc. Mérés dátuma: 28... Leadás dátuma: 28.. 8. . Mérések ismertetése A Peltier-elemek az. ábrán látható módon vannak elhelyezve

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Hőszivattyús rendszerek

Hőszivattyús rendszerek Hőszivattyús rendszerek A hőszivattyúk Hőforrások lehetőségei Alapvetően háromféle környezeti közeg: Levegő Talaj (talajkollektor, talajszonda) Talajvíz (fúrt kút) Egyéb lehetőségek, speciális adottságok

Részletesebben