6 Tartalom II. rész GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE Komplex döntések Döntésifák A döntési fa elemzése a WinQSB

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "6 Tartalom II. rész GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE 139 6. Komplex döntések 141 6.1. Döntésifák 141 6.2. A döntési fa elemzése a WinQSB"

Átírás

1 Tartalom Előszó 11 I. rész OPERÁCIÓKUTATÁS 1 1. Lineáris programozási feladatok A lineáris programozás alapvető fogalmai Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása Lineáris programozási feladat megoldása a WinQSB segítségével Dualitás A duálitás gazdasági interpretációja Keverésifeladatok Kitűzöttfeladatok Szállítási és hozzárendelési feladatok Szállításifeladat Hozzárendelésifeladat Kitűzöttfeladatok Játékelméleti feladatok A játékok osztályozása Kétszemélyes nulla-összegű játékok Kétszemélyes, nem konstans-összegű játékok Az n-személyes játékok Kitűzöttfeladatok Hálózatok elemzése Alapfogalmak Minimális feszítőfa probléma Legrövidebb út probléma Maximális folyam probléma Utazó ügynök probléma Kitűzöttfeladatok Projektek ütemezése Kritikus út modszere, CPM Idő-költség diagramon alapuló CPM módszer Program kiértékelés és áttekintés módszere, PERT Kitűzöttfeladatok 129 5

2 6 Tartalom II. rész GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE Komplex döntések Döntésifák A döntési fa elemzése a WinQSB segítségével Bayes-féle döntési fák Kitűzöttfeladatok Többcélú döntéshozatal Nemhierarchikuscélprogramozás Hierarchikuscélprogramozás Kitűzöttfeladatok Hierarchikus elemző módszer Kitűzöttfeladatok MEGOLDÁSOK, ÚTMUTATÁSOK Lineáris programozási feladatok Szállítási és hozzárendelési feladatok Játékelméletifeladatok Hálózatokelemzése Projektekütemezése Döntésifák Többcélúdönéshozatal Hierarchikus elemző módszer 227 Könyvészet 229

3 OPERÁCIÓKUTATÁSI ÉS DÖNTÉSELMÉLETI PÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK

4

5 OPERÁCIÓKUTATÁSI ÉS DÖNTÉSELMÉLETI PÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK Makó Zoltán Salamon Júlia

6

7 Előszó A közgazdaság matematikai modelljei legnagyobb részben olyan döntési modellek, amelyek a gazdasági élet makro-, illetve mikroszintjén a vezetők számára készítik elő a döntéshozatalt. A döntéshozatal során a vezetők arra törekednek, hogy a cél érdekében a legmegfelelőbb stratégiákat válasszák ki. Ezeknek a stratégiáknak a kiválasztásával foglalkozik az operációkutatás és a döntéselmélet. Többéves oktatási tapasztalatunk, hogy az operációkutatás valamint a közgazdasági döntések matematikai modellezése tantárgyak elsajátításában a közgazdász hallgatóknak a legnagyobb gondjuk a szövegesen megfogalmazott gazdasági, vagy döntési feladatok matematikai modelljének felírása. A matematikai modellalkotásban a készség szint kialakításához számos feladat megoldása szükséges. Ezért a példatár megszerkesztésekor a hangsúlyt a gazdasági probléma matematikai modelljének felírására és a matematikai modellekben szereplő paraméterek közgazdasági jelentésének megértésére fektettük. A matematikai modell számszerű megoldására a WinQSB (QSB Quantitative Systems for Business) programcsomagot és az EXCEL táblázatkezelőt használtuk. A feladatgyűjtemény az operációkutatás és a döntéselmélet néhány fontosabb fejezetéből nyújt ízelítőt, és a Sapientia-EMTE közgazdasági szakjain oktatott operációkutatás és közgazdasági döntések matematikai modellezése tantárgyak felépítéseit követi. Az első részben foglalkozunk az alapvető lineáris programozási modellekkel, a szállítási feladatokkal, a játékelmélet alapproblémájával, a hálózatelemzési modellekkel és az ütemezési problémákkal. A második részben a széles körben alkalmazott döntési fákkal, a többcélú döntéshozatal modelljével és a hierarchikus elemző módszerrel kapcsolatos feladatokat tanulmányozunk. Az egyes fejezetek a szükséges elméleti alapismeretek mintapéldák segítségével történő rövid összefoglalásával kezdődnek, majd a fejezethez kapcsolódó feladattípusok tárgyalásmódját illusztráló mintapéldák következnek. Minden fejezetben bemutatjuk a WinQSB programcsomag használatát az illető feladattípusra. A fejezetek végén a témakörhöz kapcsolódó kitűzött feladatok találhatók. A könyv végén a legtöbb feladathoz eredményt, vagy bonyolultabb esetekben megoldási útmutatót is közlünk. A célja a közgazdász hallgatók tanulmányainak segítése. A megoldott és kitűzött feladatok egy része valós adatokkal alapötletet és elemzési módszert nyújt szakdolgozatok megírásához. Csíkszereda, január Szerzők 11

8 12 Előszó

9 I. rész OPERÁCIÓKUTATÁS

10

11 1. fejezet Lineáris programozási feladatok 1.1. A lineáris programozás alapvető fogalmai A lineáris programozási feladat(lp) egy olyan optimalizálási feladat, amelyben: maximalizáljuk vagy minimalizáljuk a döntési változók egy lineáris függvényét. Ezt a maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük; a döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Ezen a feltételek vagy lineáris egyenlőtlenségek vagy lineáris egyenletek kell legyenek; a döntési változókhoz tartozhat előjelkorlátozás is. Ha a döntési változókra pluszban kikötjük, hogy értékei egész számok, akkor egész értékű lineáris programozási feladatról beszélünk. Formálisan egy LP feladat így írható fel: z=c 1 x 1 +c 2 x c n x n max(min), a 1,1 x 1 +a 1,2 x a 1,n x n b 1,. a p,1 x 1 +a p,2 x a p,n x n b p, a p+1,1 x 1 +a p+1,2 x a p+1,n x n =b p+1,. a p+q,1 x 1 +a p+q,2 x a p+q,n x n =b p+q, a p+q+1,1 x 1 +a p+q+1,2 x a p+q+1,n x n b p+q+1,. a p+q+r,1 x 1 +a p+q+r,2 x a p+q+r,n x n b p+q+r, x i A i, i {1,2,...,n}, (LP) ahola i =[a i,b i ]végesvagya i =[a i,+ )vagya i =(,b i ]vagya i =(,+ )végtelen hosszú intervallumok. Értelmezés. EgyLPfeladatlehetségesmegoldásainakhalmazaazösszesolyan(x 1,x 2,...,x n ) szám n-esek halmaza, amelyek teljesítik az LP feladat összes korlátozó feltételét és az összes előjelkorlátozást. AzegészértékűLPfeladatokeseténmégpluszban(x 1,x 2,...,x n )minden eleme egész szám kell legyen. 3

12 4 1. Lineáris programozási feladatok Példáula1.1. mintapéldábanazx 1 =2,x 2 =4lehetségesmegoldásmertafeladatminden feltételétteljesíti,demárazx 1 =2.5,x 2 =4nem,mertx 1 nemegészszám. Értelmezés. A maximalizálási problémában az LP feladat optimális megoldása egy olyan (x 1,x 2,...,x n )lehetségesmegoldás,amelyikhezalegnagyobbcélfüggvényértéktartozik,azaz c 1 x 1 +c 2 x c n x n c 1 x 1+c 2 x c n x n bármely(x 1,x 2,...,x n ) lehetséges megoldás esetén. Hasonlómódonaminimalizálási problémábanazoptimális megoldás egyolyan(x 1,x 2,...,x n )lehetségesmegoldás,amelyikheza legkisebb célfüggvényérték tartozik, azaz c 1 x 1 +c 2 x c n x n c 1 x 1+c 2 x c n x n bármely(x 1,x 2,...,x n )lehetségesmegoldásesetén. Az LP modell segítségével nagyon sok gazdasági jellegű feladat megoldható. A Fortune című üzleti újság 500 céget érintő felmérésében a megkérdezettek 85%-a válaszolta azt, hogy már alkalmazott lineáris programozási modellt. A fejezet további részeiben ilyen típusú feladatokat oldunk meg és tűzünk ki megoldásra. A lineáris programozási modellt George B. Dantzing fogalmazta meg 1947 körül, de már az 1939-es években a Leonid V. Kantorovich matematikus-közgazdász megfogalmazott és meg is oldott egy termelés tervezésével kapcsolatos lineáris programozási feladatot([13]), de munkáit 1959-ig nem ismerték. A lineáris programozási feladat legismertebb megoldási algoritmusa a Szimplex módszer, amelyet G. B. Dantzing 1949-ben publikált([5]). Mivel a módszer számításigénye exponenciálisan nő a feltételek számának növekedésével, ezért nagyon sok más módszert is kidolgoztak a lineáris programozási feladatok megoldására. Íme néhány ezek közül: az ellipszoid módszere(khachiyan, 1979); büntető függvények módszere(iri- Imai, 1986); belső pontos módszerek( Dikin, 1967; Karmarkar, 1984; Huard, 1967; Tucker, 1956; Roos -Terlaky-Vial,1997). Az olvasó átfogó képet kap a lineáris programozás alapvető módszereiről és gyakorlati alkalmazásairól a Wayne L. Winston, Operációkutatás, módszerek és alkalmazások című könyvének első kötetéből. A matematikai programozás alapvető módszereinek matematikai hátterét tárja fel a Neculai Andrei három kötetes összefoglaló műve([1],[2],[3]) Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása Ha egy LP feladatnál csak két változó van, akkor grafikusan megoldható. A megoldási algoritmust a következő mintapéldával szemléltetjük mintapélda (Számítógépek összeszerelése). Egy cég kéttípusú számítógép összeszerelésével foglalkozik. Az első típusú számítógépet PC1-nek nevezik és darabja 50 euró profitot, a második típust PC2-nek nevezik és darabja 40 euró profitot jövedelmez. A következő héten a két gép összeszerelésére 150 munkaóra áll rendelkezésre. Egy darab PC1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egy darab PC2 összeszereléséhez pedig 5 munkaóra szükséges. A PC2 olyan speciális processzort tartalmaz, amiből csak 20 darab van raktáron. A cég raktározási helysége 300 négyzetméter, amiből egy PC1 8 négyzetmétert és egy PC2

13 1. Lineáris programozási feladatok 5 pedig 5 négyzetméter területet foglal el. A cég vezetősége maximalizálni szeretné a profitját. Milyen termelési tervet kövessen? Megoldás. Matematikai modell 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása: x 1 azösszeszerelendőpc1számítógépekdarabszáma; x 2 azösszeszerelendőpc2számítógépekdarabszáma. 2. A célfüggvény felírása. Mivelacélaprofitmaximalizálása,ezértmeghatározzuk,hogyhaacégaz(x 1,x 2 )termelési tervetválasztja,azazx 1 darabotszerelösszeapc1-bőlésx 2 -őtapc2-ből,mennyilesza profitja. Tudjuk,hogy1darabPC150európrofitoteredményez. Tehátx 1 darabnak50x 1 a profitja. Teljesen hasonlóan x 2 darab PC2 40x 2 profitot eredményez. Tehát, a teljes profit: 50x 1 +40x 2.Következésképpenacélfüggvény: 3. A korlátozó feltételek megadása. z=50x 1 +40x 2. Az összeszerelés időigényével kapcsolatos feltétel: mivel egy darab PC1 összeszereléséhez 3 munkaóraésegydarabpc2összeszereléséhez 5 munkaóraszükséges, ezértx 1 darab PC1-et és x 2 darab PC2-t 3x 1 +5x 2 munkaóra alatt szerelnek össze, ami nem lehet nagyobb, mint a rendelkezésre álló 150 munkaóra, vagyis 3x 1 +5x A PC2 processzorigényével kapcsolatos feltétel: mivel csak 20 darab processzor van raktáron, ezért: x Araktározásifeltétel: mivelegypc18m 2 -tésegypc25m 2 -tfoglalel,ezértx 1 darab PC1ésx 2 darabpc2összesen8x 1 +5x 2 m 2 területetigényel,aminemlehetnagyobb, mintarendelkezésreálló300m 2 raktározásifelület. Következésképpen: 8x 1 +5x A döntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: mivel az x 1 és x 2 darabszámokat jelölnek, ezért x 1 0, x 2 0, ésx 1,x 2 egészszámok. Ha összegezzük az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, az alábbi matematikai modellhez jutunk: z=50x 1 +40x 2 max, 3x 1 +5x 2 150, x 2 20, (1.1) 8x 1 +5x 2 300, x 1 0, x 2 0,ésx 1,x 2 Z.

14 6 1. Lineáris programozási feladatok 1.1.ábra. A3x 1 +5x 2 150,azx 2 20ésa8x 1 +5x 2 300feltételekmegoldáshalmazai. A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése. A lehetséges megoldások halmaza ebben az esetben egy kétdimenziós tartomány a síkban. A szemléltetés érdekében tekintünkegyolyankoordinátarendszert,amelynekavízszintestengelyenx 1 döntésiváltozót, a függőleges tengelyén pedig az x 2 döntési változót vesszük fel. Az egyenlőtlenségekkel megadott korlátozó feltételek egy félsíkot, az egyenlőséggel megadott feltételek pedig egy egyenest határoznak meg. A 3x 1 +5x (1.2) feltétel egy olyan félsíkot határoz meg, amely határegyenesének egyenlete 3x 1 +5x 2 =150. Megrajzoljukeztazegyenestatengelyekkelvalómetszéspontoksegítségével. Legyenx 1 =0. Ekkor3 0+5x 2 =150egyenletmegoldásax 2 =30.Hax 2 =0,akkora3x =150 egyenletmegoldásax 1 =50.Ametszéspontokatazalábbitáblázatbanfoglaljukössze: x x AmetszéspontokatjelöljükA(0,30)-valésB(50,0)-vel. Megvizsgáljuk,hogyazO(0,0) pont a lehetséges pontokat tartalmazó félsíkhoz tartozik-e, behelyettesítve az O pont koordinátáit a(1.2)feltételbe. Mivela feltétel teljesül, ezért alehetséges megoldások halmaza az AB egyenesnek az O irányába eső félsíkjában van. Besatírozzuk ezt a félsíkot(az 1.1. ábra első grafikonja). Az x 2 20 feltételhatáregyeneseazx 2 =20vízszintesegyenes,amelyafüggőlegestengelytazE(0,20) pontban metszi. Mivel 0 20, a lehetséges megoldások halmaza az egyenes origó felőli félsíkjába esik(az 1.1. ábra második grafikonja). A 8x 1 +5x feltétel határegyenese 8x 1 +5x 2 =300. A tengelyekkel való metszéspontok C(0,60) és D(37.5,0). Mivel a feltétel teljesül, ezért a lehetséges megoldások halmaza a CD egyenesnek az O irányába eső félsíkjában van. Besatírozzuk ezt a félsíkot(az 1.1. ábra harmadik grafikonja).

15 1. Lineáris programozási feladatok ábra. Az M lehetséges megoldáshalmaz. Haadöntésiváltozókracsakx 1 0,x 2 0feltételekvolnánakfelírva,akkoralehetséges megoldások M halmaza a három korlátozó feltétel által meghatározott tartományok metszeténekakoordináta-rendszerelsőnegyedébeesőrésze,demivelx 1,x 2 Z,amintapélda lehetséges megoldásainak halmaza az M-beli egész koordinátájú pontokat tartalmazza(lásd a 1.2. ábrát). Ahhoz, hogy meghatározzuk az M halmazt ki kell számítsuk a három határegyenes páronkénti metszéspontjainak koordinátáit, azaz meg kell oldani a { 3x1 +5x 2 =150, x 2 =20, { 8x1 +5x, 2 =300, x 2 =20, { 3x1 +5x, 2 =150, 8x 1 +5x 2 =300 egyenletrendszereket. Az egyenletrendszerek megoldásai rendre a következő metszéspontokat adják: F( 50,20), G(25,20) és H(30,12). Ha megszerkesztjük a korlátozó feltételek által 3 meghatározott (az 1.1. ábrán szemléltetett) három tartománynak a koordináta-rendszer első negyedébe eső közös részét, akkor az M-nek az 1.2. ábrán a besatírozott részt kapjuk. AzM egyolyanpoliéder,amelynekcsúcspontjai: O,E,F,H,D. Az optimális megoldás keresése. Azoptimálismegoldásazaz(x 1,x 2 )pontalehetségesmegoldásokhalmazából,amelyreaz=50x 1 +40x 2 célfüggvényértékealegnagyobb. Ahhoz, hogy az optimális megoldást megtaláljuk, be kell rajzoljuk az 1.2. ábrán egy olyan egyenest, amelyen a rajta fekvő pontokhoz ugyanaz a z érték tartozik. Egy maximalizálási feladatban ezt az egyenest profit szintvonalnak, egy minimalizálási feladatban pedig költség szintvonalnaknevezzük. Acértékűszintvonalegyenlete50x 1 +40x 2 =c.ac=0-ramegrajzoljukeztazegyenest,amelynekegyikpontjaazo(0,0),egymásikpontjapedigi ( 40 50,1). Újabb szintvonalat úgy kapunk, hogy az OI egyenest saját magával párhuzamosan eltoljuk. Egy LP feladatnál egy bizonyos pont után a szintvonal már nem metszi a lehetséges megoldások tartományát. Bizonyítva van, ha a LP feladatnak van megoldása, akkor a legnagyobb értékű profit szintvonal átmegy valamely csúcsponton(teljesen hasonlóan a költség szintvonal is átmegy valamely csúcsponton). Ebből a meggondolásból az optimális megoldásokat a lehetséges megoldások halmazának csúcspontjaiban keressük. Behelyettesítve a csúcspontok koordinátáit a z célfüggvénybe, és ahol a legnagyobb értéket kapjuk az lesz az optimális megoldás(teljesen hasonlóan a minimalizálási feladatnál a z célfüggvény legkisebb értékeit keressük). A mi esetünkben a következő táblázat adja meg a csúcspontok koordinátái és a

16 8 1. Lineáris programozási feladatok hozzátartozó behelyettesítési értékeket: Csúcspont (x 1,x 2 ) z O (0, 0) 0 E (0, ( 20) 800 F 50 3,20) = H (30, 12) 1980 D D(37.5,0) 1875 A legnagyobb értéket H pontnál kapjuk. Mivel a H pont koordinátái egész számok, ezért az x 1 =30,x 2 =12optimálismegoldásegybenazegészértékűmintapélda optimálismegoldása is lesz. Tehátacégmaximálisprofitjaz=1980éseztakkorériel,haakövetkezőhétenaPC1-ből 30 darabot a PC2-ből pedig 12 darabot szerel össze. Sajátos esetek. 1. Alternatív vagy többszörös megoldások. Ha két egymásmelletti csúcspontban optimális megoldásokat kapunk, akkor a két csúcspontot összekötő szakasz minden pontja optimális pont. Ebben az esetben a szintvonal párhuzamos az optimális szakaszt tartalmazó egyenessel. 2. Nincs lehetséges megoldás. Előfordulhat, hogy a korlátozó feltételek és az előjelkorlátozások által meghatározott tartományok metszete üres. Ekkor a LP-nek nincs megoldása. 3. Az LP feladat nem nemkorlátos. Egy maximalizálási problémában a nemkorlátos eset akkor fordul elő, ha a lehetséges megoldások halmazában találhatók olyan pontok, amelyekhez tetszőlegesen nagy z értékek tartoznak. Ez csak akkor fordulhat elő, ha a profit szintvonalat a növekvő z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát. Hasonlóan a minimalizálási feladatoknál, ha a költség szintvonalat a csökkenő z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát. Mi az LP és egész értékű LP feladatokat a WinQSB programcsomag segítségével oldjuk meg. Itt nem célunk a Szimplex módszer ismertetése Lineáris programozási feladat megoldása a WinQSB segítségével 1.2. mintapélda (Telefonos felmérés). Egy telefonos felmérés során egy piackutató csoportnak legalább 150 feleséggel, 120 férjjel, 100 egyedülálló felnőtt férfival, 80 egyedülálló felnőtt nővel kell kapcsolatba lépnie. 0.9 euróba kerül egy nappali telefonhívás, és(a magasabb munkaköltség miatt) 2 euróba kerül egy esti hívás. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy a tapasztalatok szerint a hívások hány százalékában ki lesz a válaszoló személy: Válaszoló személy Nappali hívások százaléka Esti hívások százaléka Feleség Férj Egyedülálló férfi Egyedülálló nő Senki 30 20

17 1. Lineáris programozási feladatok 9 A korlátozott létszámú személyzet miatt a hívásoknak legfeljebb a fele lehet csak esti hívás. Hogyan járjon el a piackutató csoport, hogy a felmérést minimális költséggel valósítsa meg? Megoldás. Matematikai modell 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Cél a költségek minimalizálása. A költségek kiszámításához a hívások számát kellene ismerni. Ezért jelöljük a nappali hívásokszámátx 1 -gyel,azestihívásokszámátpedigx 2 -vel. 2. Acélfüggvényfelírása. Mivelegynappalihívás0.9euróbaésegyestihívás2euróbakerül, ezért a hívások összköltsége: z=0.9x 1 +2x Akorlátozófeltételekmegadása. Az(x 1,x 2 )elosztáseseténafeleségekhezx 1 20%+x 2 30% hívás érkezik, ami a feltétel alapján legalább 150 kell legyen, ezért 0.2x x Hasonló meggondolás alapján a férjekre, egyedülálló férfiakra és az egyedülálló nőkre vonatkozó hívási feltételek: 0.2x x 2 120, 0.1x x 2 100, 0.2x x 2 80, Mivel a korlátozott létszámú személyzet miatt a hívásoknak legfeljebb a fele lehet csak esti hívás, ezért x 2 x 1+x 2, 2 azaz x 2 x 1 0. Adöntésiváltozókravonatkozóelőjelkorlátozófeltételek: mivelazx 1,x 2 ahívásokszámát jelölik, ezért x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. Összegezve az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat matematikai modelljére az alábbi lineáris programozási feladatot kapjuk: z=0.9x 1 +2x 2 min, 0.2x x 2 150, 0.2x x x x 2 100, 0.2x x 2 80, x 1 x 2 0, x 1,x 2 0ésx 1,x 2 Z. A feladat megoldására a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát használjuk. A feladatban a változók száma(number of Variables) 2, a feltételek száma(number of Constraints) pedig 5.

18 10 1. Lineáris programozási feladatok 1.3. ábra. A Linear and Integer Programming eszköztár kezdőtáblája ábra. Az 1.2. mintapélda adattáblája. Kitöltjük a 1.3. kezdő táblázatot. Vigyázni kell, hogy a változókra vonatkozó előjelkorlát nemnegatív egész számra(nonnegative integer) és a célfüggvényt pedig minimalizálásra (Minimization) állítsuk: Az OK gombra kattintva betöltődik a feladat 1.4. adattáblája. Itt beírjuk a megfelelő cellákba a célfüggvény és a korlátozó feltételek együtthatóit: Az síző emberke( ) ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betölti az 1.5 eredménytáblát: A táblázatból kiolvasható, hogy a minimális költséget z = 900 akkor érjük el, amikor a nappali hívások száma x 1 = 1000, az esti hívások száma pedig x 2 = 0. Ezek az értékek a táblázat megoldások (Solution Value) oszlopából olvashatók ki. Az optimális értéket a táblázat célfüggvény (Objective Function) sora tartalmazza. Egy döntéshozó számára nagyon fontos a feltételek élességének vizsgálata valamint az árnyékárak (lásd a 1.5 paragrafust) meghatározása, amit a táblázat második része tartalmaz. Itt fel vannak sorolva a feltételek(constraint, C1 az első feltétel, C2 a második és így tovább), az optimális megoldásnak a feltételek jobb oldalába való behelyettesítési értékei(left Hand Side), a feltétel típusa (Direction), a feltétel bal oldalának az értékei(right Hand Side), a feltétel egyenlőtlenség

19 1. Lineáris programozási feladatok ábra. Az 1.2. mintapélda eredménytáblája ábra. A Linear and Integer Programming eszköztár grafikus kiválasztó ablaka. típusától függően a hiány- illetve a többletváltozók értékei(slack or Surplus), az árnyékárak (Shadow Price), valamint a feltételek jobb oldalának (azaz a kapacitásoknak) azon intervalluma (Allowable Min RHS, Allowable Max RHS), amelyre a többi kapacitás megadott értéke mellett a lehetséges megoldáshalmaz nem üres. Ha a feltétel bal oldalának értéke azonos a jobb oldal értékével, azaz a hiány vagy többletváltozó értéke nulla, akkor az a feltétel éles. A mintapéldában az éles feltétel a C3, vagyis a feladat az egyedülálló férfiakra vonatkozó feltételre érzékeny. Tehát a döntéshozó a feladat C3 feltételeiben előforduló együtthatók valódiságát kötelező módon meg kell vizsgálja, mert a modell optimális megoldásaielsősorbanezenértékektőlfüggnek. Ebbenafeladatbanazárnyékáraky 1 =0, y 2 = 0,y 3 = 9,y 4 = 0,y 5 = 0. A WinQSB a grafikus megoldást is bemutatja, ha a 1.4 táblázatot tartalmazó menüsorból a grafikon( ) ikont választjuk. Ebben az esetben1.6. ablakbólazx 1 ésx 2 döntésiváltozókatkiválasztvaésazokgombrakattintvamegkapjuka lehetséges megoldások halmazát mutató 1.7. grafikont.

20 12 1. Lineáris programozási feladatok 1.4. Dualitás 1.7. ábra. Az 1.2. mintapélda lehetséges megoldásainak halmaza. Minden LP feladathoz tartozik egy másik LP feladat, amit az eredeti feladat duálisának nevezzük. Egy adott LP feladat duálisának vizsgálatakor az eredeti feladatot primálnak nevezzük. Ha a primál maximalizálási feladat, akkor a duál egy minimalizálási feladat lesz, és fordítva. Tekintjük az ún. normál maximalizálási feladatot: z=c 1 x 1 +c 2 x c n x n max, a 1,1 x 1 +a 1,2 x a 1,n x n b 1,. (NMaxLP) a p,1 x 1 +a p,2 x a p,n x n b p, x i 0, i=1,2,...,n Az(NMaxLP) feladat duálisa a w=b 1 y 1 +b 2 y b p y p min, a 1,1 y 1 +a 2,1 y a p,1 y p c 1,. a 1,n y 1 +a 2,n y a p,n y p c n, y i 0, i=1,2,...,p (NMinLP) normál minimalizálási feladat lesz, és fordítva az(nminlp) feladat duálisa az(nmaxlp) feladat. Mátrixos alakban a két feladat így írható: z=c x max, A x b, x 0, (NMaxLP)

21 1. Lineáris programozási feladatok 13 és w=y b min, y A c T, y 0, (NMinLP) ahol x= x 1 x 2. x n, b= c = [c 1,c 2,...,c n ], y = [y 1,y 2,...,y p ], b 1 b 2. b p a 1,1 a 1,2 a 1,n, A= a 2,1 a 2,2 a 2,n a p,1 a p,2 a p,n A primál és duál feladatok között az alábbi összefüggések írhatók fel: 1. Gyenge dualitás tulajdonság: Ha x a primál feladat egy lehetséges megoldása, y pedig a duál feladat egy lehetséges megoldása, akkor c x y b. 2. Erős dualitás tulajdonság: Ha x a primál feladat egy optimális megoldása, y pedig a duál feladat egy optimális megoldása, akkor: c x =y b. 3. Kiegészítő megoldások tulajdonsága: A szimplex módszer minden egyes iteráció során egyidejűleg meghatározza a primál feladat egy x lehetséges csúcspont megoldását és a duál feladat egy y kiegészítő megoldását, ahol c x=y b. Ha x nem optimális a primál feladatban, akkor y nem lehetséges megoldás a duál feladatban és fordítva. 4. Kiegészítő optimális megoldások tulajdonsága: A szimplex módszer az utolsó iterációsoránegyidejűlegmeghatározzaaprimálfeladategyx optimálismegoldásátésa duálfeladategyy kiegészítőoptimálismegoldását,ahol c x =y b. 5. Szimmetria tulajdonság: Egy tetszőleges primál feladat és a duál feladat közötti összefüggések mindig szimmetrikusak, mert a duál feladat duálja éppen a primál feladat. 6. Korlátossági tulajdonság: Ha a primál feladat célfüggvénye nem korlátos, akkor a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. Ha pedig a duál feladat célfüggvénye nem korlátos, akkor a primál feladatnak nincs lehetséges megoldása. A gyenge és erős dualitási tulajdonságoknak egyik fontos alkalmazása lehet a primál feladat megoldásának ellenőrzése azaz, ha megoldjuk a primál feladatot és a duál feladatot is, akkor azoptimáliscélfüggvényértékekegyenlőekkelllegyenek(z =c x =y b=w ).

22 14 1. Lineáris programozási feladatok A kiegészítő megoldások tulajdonságainak egyik legfontosabb alkalmazása a duál szimplex módszer([1]). Egy másik érdekes alkalmazás az árnyékárak meghatározása. Ezt ismertetjük a következő paragrafusban mintapélda. Írjuk fel a z=50x 1 +40x 2 max, 3x 1 +5x 2 150, x 2 20, 8x 1 +5x 2 300, x 1 0, x 2 0 LP feladat mátrixos formáját és duálisát. Megoldás. Ebben a feladatban c=[50,40] x= [ x1 x 2 ], b= , A= Mivel három korlátozó feltétel van, ezért a duális feladat döntési változója egy 3 elemű y=[y 1,y 2,y 3 ]vektor. A(NMinLP)alapján,aduálfeladatmátrixosfelírása w=y b min, y A c T, y 0. Behelyettesítve és a mátrixszorzásokat elvégezve a w=150y 1 +20y y 3 min, 3y 1 +8y 3 50, 5y 1 +y 2 +5y 3 40, y 1,y 2,y 3 0. keresett duál feladat kapjuk. Nagyon sok LP feladat nincs normál alakban megadva. Ebben az esetben a feladatot normál alakba kell átalakítani, majd utána lehet a duálisát felírni. Egy maximalizálási feladat normál alakra hozásához a következő lépéseket kell betartani: 1. lépés Havalamelyikdöntésiváltozóraazx i afeltételvanmegadva,akkorafeladatban azx i =x i+aváltozócseréthajtjukvégre. Hapedigvalamelyikdöntésiváltozóraazx i a feltételvanmegadva,akkorafeladatbanazx i -tazx i =a x ihelyettesítjük. Előfordulhat azazesetis,hogyvalamelyikx i döntésiváltozóranincsmegadvasemmilyenelőjelkorlátozó feltétel. Ebbenazesetbenx i =x i x i (aholx i,x i 0) változócserével a feladat normál alakra hozható. 2. lépés A korlátozó feltétel mindkét oldalát szorozzuk 1-gyel. 3. lépés Mindegyik egyenlőség alakú korlátozó feltételt két egyenlőtlenséggel( egy és egy ) helyettesítjük, majd a feltételt mindkét oldalát szorozzuk 1-gyel. Egy minimalizálási feladat normál alakra hozásához pedig a következő lépések szükségesek:.

23 1. lépés Azonos a maximalizálási feladatnál leírt 1. lépéssel. 2. lépés A korlátozó feltétel mindkét oldalát szorozzuk 1-gyel. 1. Lineáris programozási feladatok lépés Mindegyik egyenlőség alakú korlátozó feltételt két egyenlőtlenséggel( egy és egy ) helyettesítjük, majd a feltételt mindkét oldalát szorozzuk 1-gyel mintapélda (Zöldségleves előállítása). Egy élelmiszeripari cég a zöldségleves előállításához négy féle alapanyagot használ: zöldségek, hús, víz, aromák. A zöldségleves elkészítésekor be kell tartsák az alábbi szabályokat: a leveshez felhasznált zöldségek össztömege nem haladhatja meg a leves tömegének felét; a víz/hús arány pontosan 8/1; aleveshezhasználthústömegealevestömegének5%és6%közöttkelllegyen; az aromák mennyisége nem lehet több mint 10 gramm. Az alapanyagok beszerzési árai: 1 kilógramm zöldség 1.2 euró, 1 kilógramm hús 8.1 euró, 1litervíz0.06euróés1kilógrammaroma8.5euró. AlakítsukakapottLPmodelltnormál alakra és írjuk fel duálisát. A cég vezetősége milyen termelési tervet válasszon, hogy az 500 grammos kicsomagolású zöldséglevest a lehető legkisebb költséggel állítsa elő? Megoldás. Matematikai modell 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A cég vezetőségének célja a költségek minimalizálása. Mivel az összetevők a zöldségek, a hús, a víz és az aromák, ezért azt kell eldönteniük, hogy az egyes alapanyagokból mekkora mennyiséget használjanak ahhoz, hogy költség minimális legyen. Jelöljük az alapanyagok mennyiségét az alábbiak szerint: x 1 -azegycsomagzöldséglevesbenlevőzöldségmennyiségegrammbankifejezve; x 2 -azegycsomagzöldséglevesbenlevőhúsmennyiségegrammbankifejezve; x 3 -azegycsomagzöldséglevesbenlevővízmennyiségegrammbankifejezve; x 4 -azegycsomagzöldséglevesbenlevőaromákmennyiségegrammbankifejezve. 2. A célfüggvény felírása. Feladatunk,hogymeghatározzuk,haegycsomaglevesx 1 grammzöldséget,x 2 grammhúst, x 3 grammvizetésx 4 grammaromáttartalmaz,mennyileszacsomagleveselőállításának költsége. Tudjuk,hogy1grammzöldség0.0012euró. Tehátx 1 grammzöldség0.0012x 1 euró. Teljesenhasonlóanx 2 grammhús0.0081x 2, x 3 grammvíz x 3 ésx 4 gramm aroma x 4 euró lesz. Az összköltség x x x x 4. Tehát a célfüggvény: 3. A korlátozó feltételek megadása. z=0.0012x x x x 4. A zöldségek mennyiségére vonatkozó feltétel: A víz hús arányra vonatkozó feltétel: x x 3 x 2 = 8 1.

24 16 1. Lineáris programozási feladatok A hús tömegére vonatkozó feltétel: mivel a leves tömege 500 gramm, ezért a feltétel alapjánahústömegealevestömegének5%és6%közöttkelllegyen,azaz vagyis Az aromákra vonatkozó feltétel: Az összmennyiségre vonatkozó feltétel: 500 5% x % x x x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =500. Adöntésiváltozókravonatkozó előjelkorlátozófeltételek: mivelazx 1,x 2,x 3,x 4 pozitív mennyiségek tört értékeket is felvehetnek, ezért x 1,x 2,x 3,x 4 0. Összegezve a feltételeket, az alábbi matematikai modellhez jutunk: z=0.0012x x x x 4 min, x 1 250, 8x 2 x 3 =0, x 2 30, x 2 25, x 4 10, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =500, x 1,x 2,x 3,x 4 0. (1.3) A duális feladat felírásához normál alakra kell hozzuk az(1.3) minimalizálási LP feladatot. Mivel mindegyik döntési változó előjelkorlátja teljesíti a normál feladat feltételeit, a 2. lépésalapjánaz1. 3. és5. feltételekmindkétoldalátszorozzuk 1-elésa3. lépésalapján a 2. és 6. feltételeket két feltételre bontjuk és a feltételek mindkét oldalát szorozzuk 1-gyel. Ezzel az átalakításokkal a következő normál minimalizálási feladathoz jutunk z=0.0012x x x x 4 min, x 1 250, 8x 2 x 3 0, 8x 2 +x 3 0, x 2 30, (1.4) x 2 25, x 4 10, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 500, x 1 x 2 x 3 x 4 500, x 1,x 2,x 3,x 4 0. Ebben a feladatban c= [ ],

25 x= x 1 x 2 x 3 x 4, b= Lineáris programozási feladatok , A= A duál feladat meghatározását megkönnyíti a feladat alábbi táblázatos felírása x 1 x 2 x 3 x 4 b y y y y y y y y c A táblázat első sora a primál feladat x i, első oszlopa pedig a duál feladat y i döntési változóit tartalmazza. Az utolsó sorban a célfüggvény c i együtthatóit, az utolsó oszlopba pedig a feltételek jobb oldalán szereplő kapacitás korlátoknak nevezett b i számokat írjuk be. A közbelső részbe a technológiai mátrixnak nevezett A mátrix együtthatóit tüntetjük fel. Figyelembe véve a primál feladat normál alakjának feltételeit, ha az x vektor sorát szorozzuk skalárisan a többi sorral, visszakapjuk a primál feladatot. Például, ha az első feltételt akarjuk visszakapni, akkor az x vektor sorát szorozzuk skalárisan a második sorral: (x 1,x 2,x 3,x 4 ) ( 1,0,0,0)= 1x 1 +0x 2 +0x 3 +0x 4 = x 1 éstudvaazt, hogyminimalizálónormálfeladatrólvanszó,azazafeltétel típusú,kapjuk x Hasonlóképpen, amikor az y oszlop elemeit szorozzuk a többi oszlop megfelelő elemeivel, majd ezeket összegezzük és felírjuk a duálisra jellemző feltételeket, akkor az alábbi duál feladathoz jutunk w= 250y 1 +0y 2 +0y 3 30y 4 +25y 5 10y y 7 500y 8 max, y 1 +y 7 y , 8y 2 8y 3 y 4 +y 5 +y 7 y , (1.5) y 2 +y 3 +y 7 y , y 6 +y 7 y , y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,y 6,y 7,y 8 0. Haakiemelésekutána w= 250y 1 +0(y 2 +y 3 ) 30y 4 +25y 5 10y (y 7 y 8 ) max, y 1 +(y 7 y 8 ) , 8(y 2 y 3 ) y 4 +y 5 +(y 7 y 8 ) , (y 2 y 3 )+(y 7 y 8 ) , y 6 +(y 7 y 8 ) , y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,y 6,y 7,y 8 0.

26 18 1. Lineáris programozási feladatok feladatbanbevezessükaz y 2 y 3 = y 2 R és y 7 y 8 = y 7 R jelöléseket, akkor a (1.5) feladat így is felírható: w= 250y 1 30y 4 +25y 5 10y y 7 max, y 1 +y , 8y 2 y 4 +y 5 +y , y 2+y (1.6) , y 6 +y , y 1,y 3,y 4,y 5,y 6 0. Ez a nem normált alak a primál feladatból az egyenlőségek átalakítása nélkül is megkapható. Ennek érdekében készítsük el az előbb bemutatott táblázatot a primál feladat alábbi alakjára z=0.0012x x x x 4 min, x 1 250, 8x 2 x 3 =0, x 2 30, (1.7) x 2 25, x 4 10, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =500, x 1,x 2,x 3,x 4 0. A táblázatban az egyenlőségnek megfelelő sorokhoz tartozó döntési változókat csillaggal jelöljük: x 1 x 2 x 3 x 4 y y y y y y c Tehát, a duál feladat w= 250y 1 30y 3 +25y 4 10y y 6 max, y 1 +y , 8y 2 y 3 +y 4 +y , y 2 +y , y 5 +y , y 1,y 3,y 4,y 5 0. (1.8) Amint látható visszakaptuk a duális (1.6) alakját, de mivel az y 2 és y 6 sorokhoz tartozó feltételek egyenlőségek voltak, ezért nem tartozik az y 2 -höz és y 6 -hoz előjelkorlát. Ezek a döntési változok bármilyen értéket felvehetnek. Az itt bemutatott primál-duál transzformációt a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztára is el tudja végezni. Ennek érdekében a WinQSB kezdő táblázatában megadjuk a primál feladat változóinak (Number of Variables) és feltételeinek (Number of Constraints) a számát és a célfüggvényt pedig minimalizálásra(minimization) állítsuk:

27 1. Lineáris programozási feladatok ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda eredméntáblája ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda kezdőtáblája. Majd az OK-ra kattintva megjelenik a feladat adattáblája, amit a célfüggvény és a korlátozó feltételek együtthatóival töltünk ki: 1.9. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda adattáblája. Az síző emberke ( ) ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betölti az eredménytáblázatot:a táblázat optimális megoldások(solution Value) oszlopból kiolvasható, hogy x 1 = 230, x 2 = 30, x 3 = 240, x 4 = 0. a célfüggvény értéke (Objective Function(Min.)=) z = A táblázat feltételekre (Constraint) vonatkozó részéből kiolvasható, hogy az éles feltételek második, harmadik és a hatodik feltétel, mivel ezen sorokban a többlet és a hiányváltozók(slack or Surplus) értékei nullák. Előjeltől eltekintve a duális

28 20 1. Lineáris programozási feladatok ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda duálisának adattáblája ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda duálisának eredménytáblája. feladat megoldásainakértékeittartalmazzaaz árnyékárak(shadowprice)oszlop: C 1 =0, C 2 =0.0011,C 3 = ,C 4 =0,C 5 =0,C 6 =0.0012,aduálisfeladatcélfüggvényének optimálisértékepedigw=z= Ha az( ) ikonra kattintunk visszajutunk a primál feladat adattáblájához. Itt a Format menüpontból kiválasztva a Válts Duál Alakra(Switch to Dual Form) parancsot a WinQSB elkészíti a duál feladat adattábláját:a táblázatban a duál feladat döntési változói C- kkel,afeltételekx-elésa pedigm-melvanjelölve. Tehátazadattáblaalapjánaduál feladat w=250c 1 +30C 3 +25C 4 +10C C 6 max, C 1 +C , 8C 2 +C 3 +C 4 +C , C 2 +C , C 5 +C , C 1 0,C 3 0,C 4 0,C 5 0. (1.9) Az y 1 = C 1, y 2 = C 2, y 3 = C 3, y 4 = C 4, y 5 = C 5, y 6 = C 6 helyettesítésekkel visszakapjuk a (1.8) duál feladatot. A (1.9) feladat optimális megoldásait tartalmazó táblázat: Innenkiolvashatókamegoldások: C 1 =0,C 2 =0.0011,C 3 = , C 4 =0, C 5 = 0, C 6 = Ezek az értékek azonosakaz előbbiekbenaz árnyékárak oszlopából leolvasott értékekkel. Alkalmazva az y 1 = C 1, y 2 = C 2, y 3 = C 3, y 4 = C 4, y 5 = C 5, y 6 =C 6 jelöléseketa(1.8)duálfeladatmegoldásai: y 1 =0,y 2 =0.0011,y 3 =0.0022,y 4 =0, y 5 = 0, y 6 = A duális feladat célfüggvényének optimális értéke w = z = Látható, hogy a táblázat árnyékárainak oszlopa a primál feladat megoldásait tartalmazza. Összegezésként elmondhatjuk, hogy a primál feladat árnyékárai azonosak a dul feladat optimális megoldásaival és fordítva, a duál feladat árnyékárai megegyeznek a primál feladat

29 1. Lineáris programozási feladatok 21 optimális megoldásaival. Ezt a duális kapcsolatot tárgyaljuk a következő paragrafusban és megadjuk az árnyékárak gazdasági jelentését A duálitás gazdasági interpretációja A dualitás gazdasági jelentését az alábbi példa segítségével szemléltetjük mintapélda (Tejtermékek). Egy tejtermékeket gyártó üzem vajat és túrót állít elő. A termékek előállításához magas zsírtartalmú és alacsony zsírtartalmú tejet használnak. A vaj előállításához 60%-ban magas zsírtartalmú tejet és 40%-ban alacsony zsírtartalmú tejet, a túró előállításához pedig 40%-ban magas és 60% alacsony zsírtartalmú tejet használnak. Agyártásitechnológiájasoránatej10%-amaradavajbanés15%maradatúróban. A vaj profitja kilógrammonként 1.5 euró a túróé pedig 1.2 euró. Az üzemnek hetenként 1000 kg magas zsírtartalmú és 800 kg alacsony zsírtartalmú tej áll rendelkezésre. A vajból bármilyen mennyiséget el tud adni, a túróból pedig hetente maximálisan csak 180 kg adható el. a. Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét. b. Milyen termelési tervvel maximalizálható a profit? c. Írjuk fel a feladat duálisát. d. Határozzuk meg a duál feladat optimális megoldását. e. Gazdaságilag értelmezzük a duál feladat optimális megoldását? Megoldás. a. Matematikai modell 1. Feladatunk, annak eldöntése, hogy az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját. Aprofitavajésatúróeladásábólszármazik. Tehátatermelésitervazegyes termékekbőlegyhétalattgyártottmennyiségeketjelöli: aholx 1 azelőállítottvajmennyiségekg-bankifejezveésx 2 azelőállítotttúrómennyiségekg-bankifejezve; 2. Acélfüggvényfelírása. Mivel1kgvaj1.2európrofitoteredményez,ezértx 1 kilógrammnak aprofitja1.5x 1. Hasonlóan,atúróx 2 kilógrammjánakaprofitja1.2x 2. Tehátazösszprofit: 3. A korlátozó feltételek megadása. z=1.5x x 2. Jelöljük L-lel a vajhoz szükséges tejmennyiséget. Mivel a tej 10% marad a vajban, ezért x 1 =L 10%=0.1L.AzLkétrészbőltevődikösszemagasésalacsonyzsírtartalmútejből. Jelöljükezeketu 1 -gyelésu 2 -vel. Mivelavajhoz60%-banmagaszsírtartalmútejetés40%- banalacsonyzsírtartalmútejethasználnak,ezértu 1 =L 60%=0.6Lésu 2 =L 40%=0.4L. Összefoglalva: u 1 = 0.6L=0.6 x =6x 1, (1.10) u 2 = 0.4L=0.4 x =4x 1. Teljesenhasonlóanjárunkelatúróeseténis. Ebbenazesetbenjelöljükv 1 -gyelésv 2 -vela túróhoz szükséges tejmennyiségeket. Ekkor v 1 = 0.4 x = 8 3 x 2, (1.11) v 2 = 0.6 x =4x 2.

30 22 1. Lineáris programozási feladatok ábra. A tejtermékek mintapélda lehetséges megoldásainak halmaza. Mivelazüzemnek1000kgmagaszsírtartalmútejállrendelkezésre,ezértu 1 +v ,azaz 6x x Hasonlóanazalacsonyzsírtartalmútejrevonatkozófeltétel: u 2 +v 2 800, azaz 4x 1 +4x Mivel a túróból hetente maximálisan csak 180 kg adható el, ezért x Adöntésiváltozókravonatkozó előjelkorlátozófeltételek: Tehát a matematikai modell: x 1,x 2 0. z=1.5x x 2 max, 6x x , 4x 1 +4x 2 800, x 2 180, x 1,x 2,x 3,x 4 0. b. A WinQSB grafikus módszerét alkalmazva, az ábrán bemutatott lehetséges megoldáshalmazt kapjuk Azoptimálismegoldás: x 1 =140kg,x 2 =60kg.Azoptimálisprofit: z max =282euró. c. Az előző példában leírtak szerint a táblázat: x 1 x 2 y 1 6 8/ y y c Aduálfeladat w=1000y y y 3 min, 6y 1 +4y 2 1.5, 8 3 y 1+4y 2 +y 3 1.2, y 1,y 2,y 3 0. (1.12)

31 1. Lineáris programozási feladatok 23 d. Ha a WinQSB-t használjuk, akkor a duál feladat megoldásai leolvashatók az optimális eredményekettartalmazótáblázatárnyékárak(shadowprice)oszlopából,azaz: y 1 =0.09, y 2 =0.24,y 3 =0. Azoptimálisérték: w min =282(=z max ). e. Tegyük fel az üzem el akarja adni a nyersanyagkészletét, és döntenie kell, hogy mennyiért éri meg eladni a magas és alacsony zsírtartalmú tejet, hogy legalább akkora nyeresége legyen mint a vaj és a túró előállításából. Legyenek y 1 valamint y 2 az 1 kg magas illetve alacsony zsírtartalmú tejért kért eladási árak euróban kifejezve. Ekkor az összesített ár w = 1000y y 2. Mivel az üzemet az alsó korlát érdekli, ezért a célja w = 1000y y 2 min. Milyenfeltételek kötik az üzemet az árak megállapításakor? Ezek elégé magasak kell legyenek, hogy a nyersanyagok eladása megérje az üzemnek is. Ez legalább annyi hasznot kell hozzon az üzemnek, mint amikor felhasználja őket. Felhasználva az(1.10)és(1.11)képleteket,aholx 1 =x 2 =1,kapjuk,hogy1kgvajhoz6kgmagaszsírtartalmú tej és 4 kg alacsony zsírtartalmú tej szükséges, illetve 1 kg túróhoz 8/3 kg magas zsírtartalmú tej és 4 kg alacsony zsírtartalmú tej szükséges. Így az üzem legalább akkora árat kellkérjenakétfajtatejért,hogylegalábbaz1kgvajilletve1kgtúróprofitjátmegkapja, azaz Tehát a vállalkozó LP feladata: 6y 1 +4y 2 1.5, 8 3 y 1+4y w=1000y y 2 min, 6y 1 +4y 2 1.5, 8 3 y 1+4y 2 1.2, y 1,y 2 0. (1.13) Afeladatoptimálismegoldása: y 1 =0.09euró,y 2 =0.24euró. Azoptimálisérték: w min = 282euró,amimegegyezikaz max értékével. Összefoglalva, amikor a primál feladat egy normál maximalizáló feladat és, ha ezt a gondolatmenetet alkalmazzuk az összes erőforrásra(azaz a az összes korlátozó feltételre), akkor aduálfeladatoptimálisy i döntésiváltozóiaztalegkisebbáratmutatjákamiért,haeladja az erőforrásokat legalább akkora nyeresége lesz mint a termékek előállításakor. Mivel ezek a változók a döntéshozó rendelkezésre álló erőforrásainak értékével kapcsolatos, ezért a duál feladat y i döntési változóit árnyékáraknak nevezik. Ezek az értékek a WinQSB optimális eredményeket tartalmazó táblázatának árnyékárak(shadow Price) oszlopából olvashatók ki. Egy érdekes tulajdonság: a nem éles feltételekhez tartozó árnyékárak nullák Keverési feladatok A keverési feladatok modellje az első olyan gyakorlati alkalmazás, amelyik döntően befolyásolta a matematikai programozás fejlődését. Ilyen típusú feladatokkal találkozunk az ipari és a gazdasági modellezés különböző területein, mint például: élelmiszeripar-diéta probléma, kémia ipar- vegyületek optimális keverése, gazdaság- optimális portfolió kiválasztás, stb. Általában egy keverési feladat így fogalmazható meg: határozzuk meg egy keverék összetevőinek mennyiségét, ismerve az összetevők jellemzőit, úgy hogy a keverék előállítási költsége minimális legyen és a keverék jellemzői az előírt feltételeket teljesítsék mintapélda(diéta probléma). Zsóka szeretné étkezési költségeit csökkenteni úgy, hogy szervezete a naponta szükséges energiát(2000 kcal), fehérjét(55g) és kalciumot(800mg) mégis megkapja. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes termékek alapvető jellemzőit:

32 24 1. Lineáris programozási feladatok Ételek Energia Fehérje Kalcium Ár (kcal) (g) (mg) (cent) Tej (1 adag-1/4 l) Bab-hússal (1-adag, 250g) Tojás (1-adag, 2 db.) Csirke (1 adag 100 g) Zabkása (1adag 30g) Sütemény (1 adag 200g) Hogy étkezése ne legyen egyhangú, az egyes ételekből fogyasztható adagok számát korlátozza: Tej 2adag Bab-hússal 2 adag Tojás 2adag Csirke 3adag Zabkása 3adag Sütemény 3adag Hogyan tud a legolcsóbban étkezni? Megoldás. Tulajdonképpen Zsóka azt kell eldöntse, hogy naponta hány adagot fogyasszon az egyes ételekből ahhoz, hogy a szervezete az előírt szükséges energiát, fehérjét éskalciumotmegkapjaésköltségealehetőlegkisebblegyen. Ennekérdekébenjelöljükx 1 - gyelanapontaelfogyasztandótej,x 2 -velabab-hús,x 3 -malatojás,x 4 -gyelacsirke,x 5 -tel a zabkása és x 6 -tal a sütemény adagszámát. Az x 1,x 2,...,x 6 az egyes tevékenységek (az evések)mértékénekvagyintenzitásánakistekinthető. Ekkor[x 1,x 2,...,x 6 ]egylehetséges cselekvési terv, azaz program(innen származik a lineáris programozás elnevezés). A célfüggvény megadja a cselekvési terv költségét, ami a mi esetünkben z=12x 1 +25x 2 +22x 3 +32x 4 +10x 5 +30x 6 A nap szükségletre vonatkozó korlátozó feltételek: 160x x x x x x , 8x 1 +14x 2 +13x 3 +32x 4 +5x 5 +5x 6 55, 285x 1 +76x 2 +54x 3 +12x 4 +3x 5 +24x Az egyhangúság feloldására vonatkozó feltételek: x 1 2, x 2 2, x 3 2, x 4 3, x 5 3, x 6 3. Tehát, Zsóka feladata, hogy alkalmazva a WinQSB Lineáris programozási eszköztárát megoldja a z=12x 1 +25x 2 +22x 3 +32x 4 +10x 5 +30x 6 min 160x x x x x x , 8x 1 +14x 2 +13x 3 +32x 4 +5x 5 +5x 6 55, 285x 1 +76x 2 +54x 3 +12x 4 +3x 5 +24x 6 800, x 1 [0,2], x 2 [0,2], x 3 [0,2], x 4 [0,3], x 5 [0,3], x 6 [0,3].

33 1. Lineáris programozási feladatok 25 lineáris programozási feladatot. Mivel Zsóka az operációkutatás tantárgy keretében megtanultaawinqsbhasználatátsikeresenmegis oldjaafeladatátés azttalálja, hogyx 1 =2, x 2 =2,x 3 =2,x 4 =3,x 5 =3,x 6 = mintapélda. Egy üzem négy hasonló terméket gyárt. Mind a négy terméknél a gyártás utolsó három fázisa: összerakás, fényezés és csomagolás. Az alábbi táblázat megmutatja a fázisok percben kifejezett szükséges időtartamait a termékeknél. A táblázat utolsó oszlopában meg van adva, hogy a termékek mekkora profitot jövedelmeznek. Összerakás Fényezés Csomagolás Profit (euró/darab) I II III IV a. Az üzem vezetősége, a meglévő munkaerő alapján úgy becsüli, hogy 1 év során legtöbb percet képes fordítani összerakásra, percet fényezésre és percet csomagolásra. Az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját? b. Ha az előző pontban megadott feltételtől eltérően, nincsenek korlátozva az egyes munkafázisokra szánt időtartamok, csak annyit tudunk, hogy összesen a 3 fázisra (= ) perc áll rendelkezésre, akkor az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját? Megoldás. 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A feladat azt kéri, hogy az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját. Mivel a profit az I, II, III és IV termékek eladásából származik azt kell megtudni, hogy egy év leforgása alatt mennyit gyártanak az egyes termékekből, ezért jelöljük ezek éves gyártási darabszámát x 1 -gyel, x 2 -vel,x 3 -malésx 4 -gyel. 2. Acélfüggvényfelírása. MivelazI.termék1darabja1.5eurótjövedelmez,ezértx 1 darab jövedelme 1.5x 1. Hasonlóan a többi termékeknél a profit: 2.5x 2, 3x 3, 4.5x 4. Tehát az összprofit: z=1.5x x 2 +3x x Akorlátozófeltételekmegadása. Az(x 1,x 2,x 3,x 4 )termelésiterveseténafeladata. pontjábanazösszerakásraszántidőtartam2x 1 +4x 2 +3x 3 +7x 4,aminemlehetnagyobbmint perc. Így az első feltétel: 2x 1 +4x 2 +3x 3 +7x Hasonló meggondolás alapján a többi munkafázis esetén a korlátozó feltételek: 3x 1 +2x 2 +3x 3 +4x , 2x 1 +3x 2 +2x 3 +5x A feladat b. pontjában az összidőkorlát van megadva, ezért itt a korlátozó feltétel: 2x 1 +4x 2 +3x 3 +7x 4 +3x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 +2x 1 +3x 2 +2x 3 +5x Adöntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: mivel azx 1, x 2, x 3, x 4 darabszámokat jelölnek, ezért x 1,x 2,x 3,x 4 0ésx 1,x 2,x 3,x 4 Z.

34 26 1. Lineáris programozási feladatok Összegezve az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat a. pontjának matematikai modellje: z=1.5x x 2 +3x x 4 max, 2x 1 +4x 2 +3x 3 +7x , 3x 1 +2x 2 +3x 3 +4x , 2x 1 +3x 2 +2x 3 +5x , x 1,x 2,x 3,x 4 0ésx 1,x 2,x 3,x 4 Z. A feladat b. pontjának matematikai modellje pedig: z=1.5x x 2 +3x x 4 max, 7x 1 +9x 2 +8x 3 +16x , x 1,x 2,x 3,x 4 0ésx 1,x 2,x 3,x 4 Z. 4. A matematikai modell megoldása. A feladat megoldásához a 1.3 paragrafusban leírt módszertan alapján használjuk a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát. Aza. ponteseténamaximálisprofitoteredményezőtermelésiterv: x 1 =0,x 2 =16000, x 3 = 6000, x 4 = 0 és profit z max = euró. A b. pont esetén a maximális profitot eredményezőtermelésitervpedig: x 1 = 0, x 2 =0, x 3 = 26250, x 4 = 0 és profit z max = 78750euró. Amásodikesetbenaprofit36%-alnagyobbmintazelsőesetben. Tehátaz első eset korlátozó feltételeinek valós hatása van a profitra, csökkenti azt mintapélda. Van 140 eurónk és szeretnénk vásárolni erre az összegre néhány kartotékszekrényt. Két típus közül választhatunk: az A típus 10 euró, illetve a B típus 20 euró. Az A típus 6 négyzetméter alapterületet foglal el és térfogata 8 köbméter. A B típus 8 négyzetméter alapterületet foglal el és térfogata 12 köbméter. Az irodánkban a kartotékszekrények elhelyezésére 72 négyzetméter áll rendelkezésre. Hogyan járjunk el, hogy a lehető legnagyobb térfogat álljon rendelkezésünkre a kartotékok elhelyezésekor? Megoldás. 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A feladat azt kéri, hány darab kartotékszekrényt vásároljunk a két típusból külön-külön ahhoz, hogy a szekrények össztérfogatamaximálislegyen. Ezértjelöljükx 1 -gyelavásárolandóatípusúkartotékszekrények ésx 2 -velabtípusúkartotékszekrényekdarabszámát. 2. A célfüggvény felírása. Mivel az A szekrény 1 darabjának térfogata 8 köbméter, ezért x 1 darabnak a térfogata 8x 1 köbméter. Hasonlóan a B szekrény esetén a térfogat 12x 2 köbméter. Tehát az össztérfogat z=8x 1 +12x Akorlátozófeltételekmegadása. Az(x 1,x 2 )vásárlásiterveseténazelfoglaltalapterület 6x 1 +8x 2,aminemlehetnagyobbmint72négyzetméter. Ígyazelsőfeltétel 6x 1 +8x Hasonlóan a rendelkezésre álló összegre vonatkozó korlátozó feltétel 10x 1 +20x

35 1. Lineáris programozási feladatok 27 Adöntésiváltozókravonatkozóelőjelkorlátozófeltételek: mivelazx 1,x 2 darabszámokat jelölnek, ezért x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. Összegezve az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat matematikai modellje: z=8x 1 +12x max, 6x 1 +8x 2 72, 10x 1 +20x 2 140, x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. 4. Mivel a feladatnak csak két döntési változója van, ezért a grafikus módszerrel keressük az optimális megoldásokat. A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése. Azx 1 döntésiváltozóta vízszintestengelyen,azx 2 döntésiváltozótpedigafüggőlegestengelyenábrázoljuk. A6x 1 +8x 2 72feltételegyolyanfélsíkothatározmeg,amelyhatáregyenesénekegyenlete 6x 1 +8x 2 =72.Megrajzoljukeztazegyenestatengelyekkelvalómetszéspontoksegítségével. A metszéspontokat az alábbi táblázatban foglaljuk össze: x x AmetszéspontokatjelöljükA(0,9)ésB(12,0)pontokkal. Megvizsgáljuk,hogyazO(0,0) pont a lehetséges pontokat tartalmazó félsíkhoz tartozik-e, behelyettesítve az O pont koordinátáit az első feltételbe. Mivel feltétel teljesül, ezért a lehetséges megoldások halmaza az AB egyenesnek az O irányába eső félsíkjában van. A 10x 1 +20x feltétel határegyenese 10x 1 +20x 2 = 140. A tengelyekkel való metszéspontok táblázata: x x Ametszéspontokat jelöljük: C(0,7)-vel és D(14,0)-vel. Mivel feltétel teljesül, ezért a lehetséges megoldások halmaza az CD egyenesnek az O irányába eső félsíkjában van. Haadöntésiváltozókracsakx 1 0,x 2 0feltételekvolnánakfelírva,akkoralehetséges megoldások M halmaza a két korlátozó feltétel által meghatározott tartomány metszetének a koordináta-rendszerelsőnegyedébeesőrészelenne,demivelx 1,x 2 Z,afeladatlehetséges megoldásainak halmaza az M-beli egész koordinátájú pontok(lásd a ábrát). Ahhoz, hogy meghatározzuk az M halmazt ki kell számítsuk a két határegyenes metszéspontjának koordinátáit, azaz meg kell oldani a { 6x1 +8x 2 =72, 10x 1 +20x 2 =140, egyenletrendszert. A megoldás adja az E(8, 3) metszéspont koordinátáit. Tehát az M egy olyan poliéder, amelynek csúcspontjai: O, E, F, H, D.

36 28 1. Lineáris programozási feladatok ábra. Az M lehetséges megoldáshalmaz az 1.8. mintapéldában. Az optimális megoldás keresése. Az M csúcspontajinak koordinátáit behelyettesítjük a célfüggvénybe: Csúcspont (x 1,x 2 ) z O (0, 0) 0 C (0, 7) 84 E (8, 3) 100 B D(12,0) 96 Mivel a legnagyobb z érték az E pontnál van és az E pont koordinátái egész számok, ezért a feladat megoldása x 1 = 8,x 2 = 3. A maximális térfogat pedig z max = 100 és ezt akkor érjük el, ha az A típusú kartotékszekrényből 8-at, a B típusúból pedig 3-at vásárolunk. Ha a megoldásnak nem jött volna ki egész szám, akkor a lehetséges megoldásokat tartalmazó tartományban, a BEC határ mentén az összes egész koordinátájú pontban ki kell számítani a célfüggvény értékét, majd azok közül választjuk ki a maximumot adó pontot. Ez lesz a feladat optimális megoldása. Ez már számításigényes feladat. Ilyenkor előnyösebb használni a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát. Az egész értékű lineáris programozási feladatok megoládsára a WinQSB az úgynevezett korlátozás és szétválasztás (Branch and Bound) keresési technikát használja mintapélda. Egy cég vezetője döntést kell hozzon, hogy miképpen ossza el az általa gyártott vasaló gyártásának mennyiségét két üzeme között, mivel egyik üzem sem képes külön-külön a piacot lefödni. Tudjuk, hogy egy vasaló alkatrészeit az I. üzem 10 euró költséggel, a II. üzem pedig 20 euró költséggel készíti el. Az összeszerelési költségek egy vasalóra I. üzemnél 8 euró, a II. üzemnél pedig 5 euró. Az ellenőrzési költségek egy vasalónál az I. üzemnél 3 euró, a II. üzemnél pedig 1 euró. A cég egy éves költségvetése alkatrész gyártására eurót, összeszerelésre eurót és ellenőrzésre eurót fordít. Egy vasaló eladási ára 60 euró függetlenül, hogy melyik üzemben készült. a. Ha a vasalót teljes egészében az egyik vagy másik üzemben készítik el, milyen elosztás mellett lesz a profit maximális? b. Haavasalótcsakrészbenkészítikelegyikvagyamásiküzemben,akkormilyenelosztás mellett lesz a profit maximális?

37 1. Lineáris programozási feladatok 29 Mindkét esetben vizsgáljuk meg, hogy a költségvetés hányad része marad felhasználatlanul. Mit jelentenek gazdasági szempontból a költségvetési tétel felhasználatlan részei? Megoldás. a. 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Mit is kér a feladat? Azt, hogy hányvasalótgyártsonazegyikilletveamásiküzem. Ezértjelöljükx 1 -gyelazi.üzemáltal ésx 2 -velaii.üzemáltalgyártottvasalókdarabszámát. 2. A célfüggvény felírása. Az I. üzemnél egy vasaló előállítási költsége: = 21 euró,amásiküzemnélpedig: =26euró. TehátazI.üzemnélgyártottvasaló darabja60 21=39euró,aII.üzemnélgyártottvasalópedig60 26=34európrofitot jövedelmez. Következésképpen, az összprofit z=39x 1 +34x Akorlátozófeltételekmegadása. Az(x 1,x 2 )elosztáseseténazalkatrészgyártására10x x 2, összeszerelésre 8x 1 +5x 2 és ellenőrzésre 3x 1 +x 2 összeget fordítanak, amik nem lehetnek nagyobbak mint a költségvetésben megszabott összegek. Így a korlátozó feltételek a következők: 10x 1 +20x , 8x 1 +5x , 3x 1 +x Adöntésiváltozókravonatkozóelőjelkorlátozófeltételek: mivelazx 1,x 2 darabszámokat jelölnek, ezért x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. Összegezve az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat a. pontjának matematikai modellje: z=39x 1 +34x 2 max, 10x 1 +20x , 8x 1 +5x , (1.14) 3x 1 +x , x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. b. 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Mit is kér a feladat? Azt, hogy hány az első illetve második üzemben a különböző fázisokban(alkatrészgyártás, összeszerelés,ellenérzés)hánydarabotállítsanakelő. Ezértjelöljükx 11 -gyelazi.üzembenelőállítottalkatrészekszámát,x 12 -velai.üzembenösszeszereltvasalókdarabszámát,x 13 -mal ai.üzembenellenőrzöttvasalókszámát. Teljesenhasonlóan,jelöljükx 21 -gyelazii.üzembenelőállítottalkatrészekszámát,x 22 -velaii.üzembenösszeszereltvasalókdarabszámát, x 23 -malaii.üzembenellenőrzöttvasalókszámát. Mivelmindenvasalótteljesegészében el kell készíteni, ezért: x 11 +x 21 =x 12 +x 22 =x 13 +x 23 =x, ahol x jelöli az összes előállított vasalók számát.

38 30 1. Lineáris programozási feladatok 2. Acélfüggvényfelírása. AzI.üzemnélx 11 darabvasalóhozgyártnakalkatrészt,ami10x 11 költséget jelent, hasonlóan a második üzemnél ez a munkafolyamat 20x 21 költséget jelent. Ugyanígyatöbbimunkafolyamatköltségeirendre: 8x 12,5x 22, 3x 13, x 23.Avasalók eladásából 60x jövedelem keletkezik. Tehát a profit: z=60x 10x 11 20x 21 8x 12 5x 22 3x 13 x Akorlátozófeltételekmegadása. Az(x 1,x 2 )elosztáseseténazalkatrészgyártására:10x x 21,összeszerelésre: 8x 12 +5x 22 ésellenőrzésre3x 13 +x 23 összegetfordítanak,amiknem lehetnek nagyobbak mint a költségvetésben megszabott összegek. Így a korlátozó feltételek a következők: 10x x , 8x 12 +5x , 3x 13 +x A döntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: mivel a döntési változók darabszámokat jelölnek, ezért x,x 11,x 12,x 21,x 22,x 13,x 23 0ésx,x 11,x 12,x 21,x 22,x 13,x 23 Z. Összegezve az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat a. pontjának matematikai modellje: z= 10x 11 8x 12 3x 13 20x 21 5x 22 x x max, 10x x , 8x 12 +5x , 3x 13 +x , x 11 +x 21 x=0, x 12 +x 22 x=0, x 13 +x 23 x=0, x 1,x 0ésx 1,x 2 Z. 4. Az optimális értékek keresésére a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát használjuk. Az a. modell optimális megoldása: x 1 = 1818, x 2 = Az optimális profit: z max = A költségvetés egyes tételeiből megmaradt összegek: S 1 = ( )=0, S 2 = ( )=1, S 3 = ( )=1455, amiösszesens=s 1 +S 2 +S 3 =1456eurótjelent. A b. modell optimális megoldása: x 11 = 8000, x 12 = 0, x 13 = 0, x 21 = 0, x 22 = 8000, x 23 = 8000, x 23 = 8000, x = Az optimális profit: z max = euró. Az a. esetben összesen 6909 vasalót gyártnak, a b. esetben pedig 8000 darabot. Az első esetben aprofitkisebbmintamásodikesetben. Eztermészetesismert,hamegfigyeljükab. eset

39 1. Lineáris programozási feladatok 31 optimális megoldásait, láthatjuk a cég vezetőjének döntése az, hogy minden munkafázist ott végezzenek el, ahol kisebb a költség. A második esetben a költségvetés egyes tételeiből még megmaradt összegek: S 1 = ( )=40000, S 2 = ( )=0, S 3 = ( )=4000, ami összesen S = S 1 +S 2 +S 3 = eurót jelent. Látható, hogy az a. esetben az alkatrészgyártás a szoros korlát, a b. esetben pedig az összeszerelésre szánt összeg a szoros korlát. Mindkét esetben érdemes a költségvetés sarokszámait átgondolni és a szoros korlátokhoz nagyobb összegeket rendelni. AzS 1,S 2 éss 3 azárnyékárak. LineárisprogramozásifeladatokeseténS 1,S 2 éss 3 aduális feladat optimális megoldásai. A mi esetünkben, mivel a gyártott vasalók száma viszonylag nagy, úgy is eljárhatunk, hogy a feltételekből kivesszük az egész értékre vonatkozó korlátozást, és az így kapott LP feladat optimális megoldásaiban úgy kerekítünk, hogy a feltételeket ne szegjük meg. Az így kapott megoldások jó közelítései az általunk kiszámított optimális megoldásoknak mintapélda. Egy befektető euró összeget három alapba helyezhet el: állami kötvénybe 7%-os kamattal, bankba 8%-os kamattal és egy magasabb kockázatú részvénybe 12%-os kamattal. Hogy a kockázatát csökkentse 2000 eurónál többet részvénybe nem fektet. A hatályban lévő törvények miatt legalább 3-szor nagyobb összeget kell állami kötvénybe fektessen mint bankba. Milyen befektetési stratégia mellett maximalizálhatja jövedelmét? Megoldás. 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása: legyenx 1 azállamikötvénybeelhelyezettösszeg1000euróbankifejezve; legyenx 2 abankbaelhelyezettösszeg1000euróbankifejezve; legyenx 3 arészvénybeelhelyezettösszeg1000euróbankifejezve(x 3 =12 x 1 x 2 ); 2. A célfüggvény felírása. Aháromletétutánakamatrendre: 0.07x 1,0.08x 2,0.12x 3. Acélfüggvény: 3. A korlátozó feltételek megadása. z = 0.07x x x 3 = 0.07x x (12 x 1 x 2 ) = x x szabály: 2. szabály: x 3 2, azazx 1 +x x 1 3x 2. A döntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: x 1,x 2,x 3 0, azazx 1,x 2,x 1 +x 2 12.

40 32 1. Lineáris programozási feladatok Összefoglalva az 1-3 pontokban kapott összefüggéseket a következő matematikai modellhez jutunk: z= x x 2 max, x 1 +x 2 10, x 1 3x 2 0, (1.15) x 1 +x 2 12, x 1,x 2 0. A WinQSB Linear and Integer Programming eszköztára segítségével megoldjuk a(1.15) feladattal egyenértékű z =0.05x x 2 min, x 1 +x 2 10, x 1 3x 2 0, x 1 +x 2 12, x 1,x 2 0 LPfeladatot. Azoptimálismegoldások: x 1 =7.5,x 2 =2.5ész min= mivelz=1.44 z következik, hogyz max =1.44 z min =0.965 Tehátabefektetőakkormaximalizálhatja jövedelmét, ha állami kötvénybe 7500, bankba 2500 és részvénybe 2000 eurót fektet. Ekkor várhatóan 965 euró jövedelme lesz mintapélda. Négy projektet 3 éves futamidőre terveznek. Az alábbi táblázat tartalmazza, ezer eurós egységekben kifejezve az egyes projektekben évente befektetendő összegeket: 1. év 2. év 3. év 1. projekt projekt projekt projekt Azelsőprojektvárhatóprofitja200ezereuró,amásodiké300ezereuró,aharmadiké500 ezer euró, a negyediké pedig 100 ezer euró. A rendelkezésre álló összegek: első évben 3.1 millió euró, második évben 2.5 millió és a harmadik évben pedig 0.4 millió euró. A projektek közül melyiket kell választani, hogy a várható profit maximális legyen? Megoldás. A projektek jelölésére bevezetjük az x 1, x 2, x 3, x 4 döntési változókat. A változókértékei0vagy1.hamondjukazelsőprojektetválasztjuk,akkorazx 1 =1, x 2 =0, x 3 =0,x 4 =0,haamásodikatésanegyediket,akkorx 1 =0, x 2 =1,x 3 =0,x 4 =1. Tehát az x i értéke 1, ha az i-dik projektet kiválasztjuk és 0 ha nem, és mivel csak egy projekt válaszható,ezértx 1 +x 2 +x 3 +x=1. Ekkoravárhatóprofit: z=200x x x x 4. Mivel az évente felhasználható összegek adottak, ezért az első évre vonatkozó korlátozó feltétel: 500x x x x ,amásodikévre: 300x x x x és a harmadik évre pedig: 200x x x x Tehát, a

41 feladat az alábbi bináris értékű lineáris programozási modellel írható le: z=200x x x x 4 max, 500x x x x , 300x x x x , 200x x x x 4 400, x 1 +x 2 +x 3 +x=1, x 1,x 2,x 3,x 4 {0,1}. 1. Lineáris programozási feladatok 33 A modell megoldására használjuk a WinQSB programcsomag Linear and Integer Programming eszköztárát. Itt a kezdőtáblában be kell jelölni a Binary(0,1) mezőt. Az optimális megoldások: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0 és z max = 500. Tehát a harmadik projekt választásaeseténmaximálisavárhatóprofit: z max =500euró mintapélda. Egy cég egy bizonyos állateledelt két nyersanyag összekeveréséből állítja elő. A nyersanyagok tartalmazzák a szükséges A, B, C és D összetevőket. Szabvány szerint 1 kg állateledel az A összetevőből legalább 90 grammot, a B-ből legalább 50 grammot, a C-ből legalább 20 grammot és a D-ből legalább 2 grammot kell tartalmazzon. A két nyersanyag az összetevőkből alábbi táblázatban megadott mennyiségeket tartalmazza gramm/kg-ban kifejezve: A B C D 1. nyersanyag nyersanyag Tudva azt, hogy az 1. nyersanyag beszerzési ára kilógrammonként 40 euró a 2. nyersanyag ára pedig kilógrammonként 60 euró, határozzuk meg, hogy az állateledel előállításához a cég milyen arányba keverje a két nyersanyagot ahhoz, hogy a kiadása minimális legyen. Megoldás. Legyenx 1 valamintx 2 azelsőilletvemásodiknyersanyagkg-bankifejezett mennyiségeegykgállateledelben. Ekkor1=x 1 +x 2. Tudjuk,hogy1kgazelsőnyersanyagból 100grammottartalmazazAösszetevőből. Tehátx 1 kgaz1-ből0.1x 1 kg-otfogtartalmazni aza-ból. Teljesenhasonlóanx 1 kgaz1-ből0.08x 1 kg-ottartalmazab-ből,0.04x 1 kg-ota C-ből és 0.01x 1 kg-ot ad-ből. Amásodiknyersanyag összetevői: 0.2x 2, 0.15x 2, 0.02x 2 és 0.06x 2. Aszabványfeltételalapján: A feladat célfüggvénye: Tehát, a feladat LP modellje: 0.1x x , 0.08x x , 0.04x x , 0.001x x z=40x 1 +60x 2. z=40x 1 +60x 2 min, 10x 1 +20x 2 9, 8x 1 +15x 2 5, 4x 1 +2x 2 2, x 1 +6x 2 2, x 1 +x 2 =1, x 1,x 2,x 3,x 4 0.

42 34 1. Lineáris programozási feladatok A modell megoldására használjuk a WinQSB programcsomag Linear and Integer Programmingeszköztárát. Azoptimálismegoldás: x 1 =0.8,x 2 =0.2ész min =44.Tehátacég ahhoz, hogy minimalizálja a kiadását a keverékhez 80%-ban az 1-es nyersanyagot és 20%-ban a 2. nyersanyagot kell keverje. Ekkor az 1 kg keverék előállítási költsége 44 euró lesz Kitűzött feladatok 1. Egy üzemben 4 erőforrás felhasználásával kétféle terméket állítanak elő. Az egyes termékekhezazerőforrásokból4,0,2,1,illetve2,4,3,1egységethasználunkfel. Azösszes erőforrás kapacitás: 240, 160, 180, 100. Az egyes termékek eladási ára darabonként 20, illetve 40 euró. A WinQSB programcsomag segítségével határozzuk meg a maximális árbevételt biztosító termelési programot és az árnyékárakat. Melyek az éles feltételek? 2. Egy bánya vállalatnak két ércbányája van. A kibányászott érc minősége három osztályba sorolható: jó, közepes és gyenge. A vállalat bányászati heti terve a következő: 12 tonna a jó minőségű, 8 tonna a közepes és 24 tonna a gyenge minőségű ércből. A két bánya kitermelési jellemzőit a következő táblázat tartalmazza: Termelés(tonna/nap) Bánya Ár Jó Közepes Gyenge Első Második Heti hány napot kell a bányák dolgozzanak, hogy a tervet minimális költség mellett teljesíteni tudják? 3. Egy farmon kétfajta takarmánnyal táplálják a nyulakat. Az egyik takarmány kilógrammja 150 gramm zsiradékot, 240 gramm szénhidrátot és 40 gramm proteint tartalmaz, ára pedig 2 euró. A másik takarmány kilógrammja 240 gramm zsiradékot, 240 gramm szénhidrátot és 20 gramm proteint tartalmaz, ára pedig 2.5 euró. Egy nyúl normális, napi tápanyagszükséglete legalább 24 gramm zsiradékot, 36 gramm szénhidrátot és 4 gramm proteint tartalmaz, de az össztakarmány mennyiség nem lehet több mint 0.5 kg. Hogyan kell keverni a két takarmányt, hogy normális táplálás mellett a költség minimális legyen. 4. Egy vállalkozás négyféle terméket készít 3 erőforrás felhasználásával. Egy-egy darab termékbe az erőforrások beépülését a következő táblázat tartalmazza: I II III IV A B C Kapacitásokra a felső korlátok, rendre: 90, 80, 50. A termékek eladási egységárai: 2, 3, 2, 2. Írjuk fel a feladathoz tartozó lineáris programozási modellt és annak duálisát, és a WinQSB segítségével határozzuk meg a primál és duál optimális megoldásokat. 5. Egy játékgyár három típusú robotjátékot gyárt. Az első típusú játék gyártása 10 perc, a másodiké12perc,aharmadiképedig15perc. Azelsőtípusújátékhoz2kg,amásodikhoz3 kg,aharmadikhozpedig4kgműanyagszükséges. Agyárnapi8órátés200kgműanyagot fordíta3játékgyártásához. Ajátékokutáninettójövedelmekrendre1Lej,5Lejilletve 6 Lej. Hogy a rendeléseket teljesítse a gyár mindegyik termékből legalább 10 darabot

43 1. Lineáris programozási feladatok 35 kell gyártson. A gyár vezetőségét a maximális nettó nyereséget hozó program valamint az árnyékárak érdeklik. Írjuk fel a fel a feladathoz tartozó lineáris programozási modellt és határozzuk meg az optimális megoldást, valamint az árnyékárakat. 6. A Csíki sörfőzde világos és barna sört gyárt árpából, komlóból és malátából. Jelenleg 4 tonnaárpa,2tonnakomlóés5tonnamalátaállrendelkezésre. Egyhordóvilágossört45 euróértleheteladni,előállításához1kgárpa,1kgkomlóés2kgmalátaszükséges. Egy hordóbarnasört50euróértleheteladni,előállításához2kgárpára,1kgkomlóraés1kg malátára van szükség. A sörfőzde el tudja adni az általa gyártott világos és barna sört. A sörfőzde célja az összbevétel maximalizálása. Tegyük fel, hogy a sörfőzde maláta-likőr gyártását fontolgatja. Egy hordó maláta-likőr eladási ára 60 euró, előállításához 0.5 kg árpára, 3 kg komlóra és 3 kg malátára van szükség. Érdemes-e maláta-likőrt gyártani. A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! 7. Egy üzem három erőforrás felhasználásával négyféle terméket készít. A technológiai mátrix (az egységnyi termék erőforrásigénye): A= A gyártandó darabszámokra két terv készült: t 1 = [100,350,250,300] és t 2 =[150,300,200,350]. Megvalósítható-emindkétterv,haazerőforrásokbólmaximálisan rendelkezésre álló mennyiségek: b =[2000, 1900, 1250]? Ismerveazerőforrásokegységárait: a=[20,15,7]ésatermékekeladásiegységárait: c= [100, 150, 80, 70] adjuk meg az egyes termékek előállítási költségeit. A WinQSB segítségével határozzuk meg a maximális nyereséget biztosító termelési programot. 8. Egy autóipari cég, személygépkocsikat és teherautókat gyárt. Egy személygépkocsiból 300 euró, egy teherautóból pedig 400 euró nyeresége származik. A gyártáshoz szükséges erőforrások az alábbi táblázatban láthatok: 1. típusúgép 2. típusúgép Acél (tonna) Személygépkocsi Teherautó A cég naponta legfeljebb 98 darab 1. típusú gépet tud bérelni gépenként 50 euróért. Jelenleg73darab2. típusúgépevanacégnek,és260tonnaacélállrendelkezésére. Marketing szempontok miatt legalább 88 személygépkocsit és legalább 26 teherautót mindenkeppen gyártani kell. A cég célja a profit maximalizálása. Válaszoljunk a következő kérdésekre: a. A cég milyen termelési programmal maximalizálhatja nyereségét b. Mi lenne a feladat új optimális megoldása, ha egy személygépkocsi gyártásából 310 euró nyereség származna? Ez mennyivel növelne a profitot? c. Legfeljebb mekkora összeget lenne érdemes +1 darab 1. típusú gép egy napi bérléséért kifizetni? 9. Egy cég virág, rombusz és spirál mintás abroszokat készít. Mindegyik abrosz három részlegben készül, a következő sorrendben: szövés, mintázás, vasalás. Az alábbi táblázat

44 36 1. Lineáris programozási feladatok mutatja, hogy az abroszoknak a részlegekben hány percet kell tölteniük: Részleg (időtartam, perc) Abrosz Szövés Mintázás Vasalás Virág mintás Rombusz mintás Spirál mintás Marketing szempontok miatt legalább 1000 darab rombusz mintás abroszt mindenképpen elkellkészíteni. Egyrombuszmintásabroszára8euró,aspirálmintásé10euró,avirág mintásé pedig 12 euró. A szövöde kapacitása perc, a mintázásé perc, a vasalásé pedig 9000 perc. A cég célja a bevételek maximalizálása. a. Írd fel a lineáris programozási modellt és számítógép segítségével oldd meg. b. +10 perc mintázási kapacitás milyen mértékben növelné a cég bevételét? c. A rombusz mintás abroszokra vonatkozó korlátot 100-zal növelve, hogyan változik a cég bevétele? 10. Egy kőolaj-finomító gázolajat és benzint állít elő. A technológia úgy van megtervezve, hogy a finomítás során legalább kétszer annyi mennyiségű benzint kapnak, mint gázolajat. A cég vezetőségének az a tapasztalata, hogy a napi benzin szükséglet nem több mint liter, de a gázolajból el tudnak adni naponta litert is. Ha egy liter benzin eladási ára 0.6 euró a gázolajé pedig 0.4 euró, milyen termelési tervvel lehet maximalizálni abevételt? 11. Egy ács asztalokat és székeket készít. Mindegyik asztal 30 euró és mindegyik szék 10 euró profittaladhatóel. Azácsheti40óráttuddolgozni,egyasztalelőállítása6óra,mígegy szék elkészítése 3 órát vesz igénybe. A megrendelő azt kéri, hogy legalább háromszor annyi széket készítsen, mint asztalt. Egy asztal négyszer nagyobb raktározási felületet igényel, mint egy szék és a szobába legfeljebb18 szék tárolására van elegendő hely. Add meg a lineáris programozási feladat matematikai modelljét, majd oldd meg a feladatot. 12. A Scientia Könyvkiadó három jegyzet kiadását tervezi. Az alábbi táblázat mutatja az eladható legnagyobb példányszámot, a jegyzetenkénti változó előállítási költséget, az eladási árat és a szerzői honoráriumot az egyes jegyzetek esetén: 1. jegyzet 2. jegyzet 3. jegyzet Kereslet(db.) Költség(Lej/db) Eladási ár(lej/db) Honorárium(Lej) Ha például az 1-es jegyzetből 200 példány készül, akkor a bevétel 200*40 lej, a költség viszont *20=4500 lej. A Scientia legfeljebb 600 jegyzetet tud elkészíteni. A kiadó hogyan maximalizálhatja profitját? 13. Egy játékokat gyártó üzem két modernebb öltöztetésű Barbie-baba készítését tűzi ki célul. Az egyiket Kasszandrának nevezik és 3 munkaóra szükséges az elkészítéséhez a másikat pedig Kleopátrának és 2 munkaórát igényel az elkészítése. A játékok 1 darabjának a gyártási költségét és eladási árát az alábbi táblázat tartalmazza: Játék Gyártási költség Eladási ár Kasszandra Kleopátra 76 92

45 1. Lineáris programozási feladatok 37 Az üzemnek két részlege közösen készíti el a babákat. Az alábbi táblázat százalékos arányban megadja, hogy az egyes részlegek milyen arányban járulnak hozzá a babák elkészítéséhez: Játék 1. részleg 2. részleg Kasszandra 52% 48% Kleopátra 38% 62% Tudva azt, hogy az első részleg kapacitása 480, a másik részlegnek pedig 720 munkaóra, határozzuk meg, hogy az üzem milyen termelési terv mellett maximalizálhatja profitját. 14. Négy termelési projekt közül választhatunk, amelyek jellemzőit a következő táblázat adja meg: Tőkebefektetés Projekt Haszon 1. évben 2. évben 3. évben Rendelkezésre álló tőke Melyik projekteket válasszuk, ha célunk a haszon maximalizálása? 15. Tegyük fel, Ön éppen most örökölt 5000 eurót és azt be szeretné fektetni. Értesülve erről, két ismerőse külön-külön felajánlja Önnek, hogy társuljon a vállalkozásába. Mindkét esetben fel kellene áldoznia némi időt, és készpénzt is be kellene fektetnie. Első ismerőse vállalatában 4000 euróval és 300 munkaóra ráfordítással teljes társsá válhatna és a várható profit (figyelmen kívül hagyva a befektetett idejének értékét) 3000 euró körül mozogna. Második ismerőse ajánlatának adatai: 3000 euró és 500 munkaóra, várható nyeresége pedig 4000 euró. Ismerősei azonban rugalmasak és hozzájárulnak, hogy Ön részbefektetéssel csak részben társuljon a vállalkozásukhoz. Természetesen az Ön nyeresége ekkor a befektetéssel arányos lenne. Mivel Önnek úgyis van maximum 600 munkaórányi szabad ideje jövőre, úgy dönt, olyan arányban társul egyik vagy mindkét ismerőse vállalkozásához, hogy várható profitja maximális legyen. Fogalmazza meg a problémát lineáris programozási feladatként. Mennyi a maximálisan várható profit? Melyek a feladat éles feltételei? 16. Három részvény jelenlegi árfolyamai és a tőzsde 3 hónappal későbbi árfolyamelvárásait tartalmazza az alábbi táblázat: Jelenlegi árfolyam(euró/db) Árfolyamelvárás (euró/db) A B C Egy befektető mindegyik részvényből legalább euró értékben szeretne felvásárolni és portfoliót kialakítani. Összesen legfeljebb 5 millió eurót akar befektetni és a B részvényből legfeljebb 100 darabot vásárolna. A vásárlást követően minden részvényre azonnal limitáras eladási megbízást is ad. A brókeri jutalék vásárláskor részvényenként a vételi ár 0.5%-a és eladáskor az árbevétel 1%-a. Ha minden eladási megbízás teljesülne, akkor milyen portfolió esetén lenne az elvárt hozam maximális? Írjuk fel a lineáris programozási modellt és a WinQSB segítségével oldjuk meg a feladatot. Határozzuk meg az árnyékárakat.

46 38 1. Lineáris programozási feladatok 17. Sok cég használ lineáris programozási modelleket arra, hogy a legkedvezőbb kötvény portfoliót kiválassza. A következő egy ilyen modell egyszerűsített változata. Egy cégnek egymillió dollárja van befektetési célra. Négyféle kötvényben gondolkodik. Az alábbi táblázat mutatja az egyes kötvények várható évi hozamát, a legrosszabb esetben való évi hozamot és az egyes kötvények tartamát: Kötvény Várható hozam Legrosszabb hozam Tartam 1. kötvény 14% 5% 2 2. kötvény 9% 6% 5 3. kötvény 11% 8% 6 4. kötvény 14% 9% 8 Egy kötvény tartama azt méri, hogy a kötvény mennyire érzékeny a kamatlábra. A cég maximalizálni akarja a kötvénybefektetésekből származó várható nyereséget, három feltétel mellett. 1. feltétel: a portfolió nyeresége a legrosszabb esetben is legalább 6% legyen. 2. feltétel: a portfolió átlagos tartama legfeljebb 6 lehet. Például, ha a portfolióban $vanaz1-eskötvénybenés400000$a4-eskötvényben,akkorazátlagostartam: ( )/ = feltétel: a diverzifikációs előírások miatt egyféle kötvénybe legfeljebb a teljes összeg 30% fektethető be. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási feladatot, amely a cég számára lehetővé teszi, hogy maximalizálja befektetésének várható nyereségét! Mennyi ez a legnagyobb várható nyereség? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! Melyek az éles feltételek? 18. Egy gazda búzát és zabot termeszt saját 50 holdas földjén. Legfeljebb kg búzát és legfeljebb kg zabot tud eladni. Egy beültetett holdon vagy 2300 kg búza, vagy pedig 1800kgzabterem. Abúzaeladásiára0.5euró/kgazabépedig0.8euró/kg. Egyholdbúza aratásához 2.5 munkaóra, egy hold zab aratásához 3.5 munkaóra szükséges. Legfeljebb 400 munkaóra vehető igénybe 60 euró/óra költséggel. a. Írjuk fel a lineáris programozási modellt és a WinQSB segítségével oldjuk meg. Mennyi a gazda maximális nyeresége? b. Legfeljebb mennyit érdemes fizetni +1 munkaóráért? c. Legfeljebb mennyit érdemes fizetni +1 hold föld bérléséért? d. Milenneazújoptimálismegoldás,haabúzaára0.3euró/kg-raesikvissza? 19. Csíkszereda rendőrségénél minden 4 órás periódusra az ügyeleti szolgálatot teljesítő rendőrök száma a következő: Rendőrök száma éjféltől 4-ig 8 4-től 8-ig 7 8-tól 12-ig 6 12-től 16-ig 6 16-tól 20-ig 5 20-tól éjfélig 4

47 1. Lineáris programozási feladatok 39 Minden rendőr két egymásután következő 4 órás ügyeletben dolgozik. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási feladatot, amelynek a megoldása úgy minimalizálja Csíkszereda rendőreinek számát, hogy a napi ügyeletek el legyenek látva! Legkevesebb hány rendőrre van szükség? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! 20. Egy postahivatalban a hét különböző napjaiban eltérő számú teljes munkaidejű alkalmazott munkájára van szükség. Az alábbi táblázat mutatja az egyes napokra vonatkozó teljes munkaidejű munkaerő szükségletet: H. K. Sz. Cs. P. Szo. V. Szükséglet A szakszervezeti törvény értelmében minden teljes munkaidejű alkalmazottnak 5 egymást követő napon kell dolgoznia, és ezután 2 szabadnap jár. Például egy olyan alkalmazott, aki hétfőtől péntekig dolgozik, szombat-vasárnap szabadnapos lesz. A postahivatal úgy akarja napi munkaerő-szükségletét kielégíteni, hogy teljes munkaidejű alkalmazottakat foglalkoztat. Fogalmazzuk meg egy lineáris programozási feladatot, amelyet a postahivatal arra tud használni, hogy a lehető legkevesebb teljes munkaidős alkalmazottat foglalkoztassa! Hányan kezdik a munkát hétfőn, kedden, szerdán, csütörtökön, pénteken, szombaton és vasárnap? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! Melyik nap szükséglete befolyásolja legjobban az összmunkaerő szükségletet? 21. Egy üzlet forgalmát tanulmányozva, azt állapították meg, hogy az egyes napokra az alábbi táblázatban feltüntetett számú elárusító szükséges: H. K. Sz. Cs. P. Szo. V. Szükséglet Egy elárusító napi bére hétköznap 60 lej, szombaton 85 lej, vasárnap pedig 95 lej. Törvény szerint minden elárusító egyfolytában csak 5 napot dolgozhat és utána kötelezően 2 egymás utáni szabadnap jár. Az üzletvezető minimalizálni szeretné az elárusítók bérköltségét. Segítsünk neki! 22. Egy befektető két pénzt hozó lehetőség A és B közül választhat az elkövetkező négy év mindegyikében. Minden egyes, az év elején az A-ba befektetett euró két év múlva 30 eurócent hasznot, míg a B-be fektetett euró három év múlva 50 eurócent hasznot eredményez és azonnal újra befektethetők. Később lehetőség nyílik a C és a D befektetésekre is. Minden,amásodikévelejénaC-befektetetteuróanegyedikévvégén50eurócenthasznot, valamintanegyedikévelejénad-befektetetteuróazévvégére20eurócentjövedelmez. A befektető eurót befektetéssel indul. Milyen befektetési terv alapján érdemes eljárnia, hogy a negyedik év végén a lehető legtöbb pénzt halmozhassa fel? 23. Egy ásványvíz palackozó cég meg akarja tervezni termelését az elkövetkező hat hónapra. Tudja, hogy az egyes hónapokban a kereslet 5000, 6000, 6500, 7000, 5000, 7500 hektoliter. Jelenleg a cégnek 2000 hektoliter ásványvize van raktáron. A jelenlegi kapacitásokkal a cég maximum 6000 hektoliter ásványvizet tud egy hónapban palackozni. Egy hektoliter ásványvíz palackozási költsége 150 euró és egy hónapnyi raktározási költsége 7.5 euró. Milyen termelési tervet válasszon a cég ahhoz, hogy költsége minimális legyen? 24. ACI&PŐRTnégytípusúlábbelitgyárt. Azegyestermékekprofitja10,15,22,17euró és az elkövetkező 4 hétre a maximálisan eladható mennyiségek 50, 60, 85, 70 pár lábbeli.

48 40 1. Lineáris programozási feladatok Minden egyes lábbeli a gyártási folyamat során 3 részlegen kell átmenjen. A részlegeken a négy típusú lábbeli egy egységéhez szükséges munkaidőket, munkaórában kifejezve az alábbi táblázat tartalmazza: 1. lábbeli 2. lábbeli 3. lábbeli 4. lábbeli 1. részleg részleg részleg A három részleg kapacitása 160, 200, valamint 80 munkaóra. Lehetőség van, hogy az egyes részlegeken dolgozókat, ha szükséges más részlegekre osszák be. Így a második részleg munkaóra kapacitásának legtöbb 20%-át átadhatja az első részlegnek, az első részleg 30%-át a harmadik részlegnek és a harmadik részleg 10%-át a második részlegnek. A marketing terv előírja, hogy az elkészített első termék és az elkészített negyedik termék darabszámainak aránya 0.9 és 1.15 között legyen. A CI&PŐ Kft milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját? 25. Egy kosárlabda edző a kezdő ötös összeállításán töpreng. A rendelkezésére álló hét játékos szóba jöhető szerepkörét (védő V, center C, bedobó B), valamint a labdakezelési, dobási, lepattanó szerzési ill. védekezési képességeinek minősítését (1 = gyenge, 2 = közepes, 3 = kiváló) tartalmazza az alábbi táblázat: Játékos Szerepkör Labda kezelés Dobás Lepattanó-szerzés Védekezés 1 V C V-B B-C V-B B-C V-B Az edző a kezdő ötöst úgy akarja összeállítani, hogy teljesüljenek a következők: a. Legalább 3 játékos legyen képes védő, legalább 2 bedobó és legalább 1 center szerepében játszani. b. A kezdőcsapat átlagos labdakezelési, dobási ill. lepattanó szerzési szintje legalább 2 legyen. c. Haa3-asjátékoskezd,akkora6-osnemkezdhet. d. Haaz1-esjátékoskezd,akkora4-esnekésaz5-ösnekiskezdeniekell. e. A 2-es vagy a 3-as játékosnak a kezdőcsapatban kell lennie. Ezen megkötések mellett az edző maximalizálni akarja a kezdőcsapat összesített védekezési képességét. Írjon fel egy LP-t, amely segíthet a kezdőcsapat kiválasztásában! WinQSB-ben oldja meg a feladatot. 26. Mondjuk Ön elhatározza, hogy beszáll az édesség-üzletbe. Kétféle édesség gyártásán gondolkodik: csokoládé és drazsé. Mindkettő kizárólag cukorból, magokból és nyers csokoládéból áll. Jelenleg önnek 90 deka cukor, 30 deka mag és 45 deka nyers csokoládé áll rendelkezésére. A csokoládét előállító keverékbe legalább 15% magtartalomnak kell lennie. A drazséban legalább 25% magnak és 30% csokoládénak kell lennie. Egy deka csokoládét 40 centért lehet eladni, egy deka drazsét pedig 20 centért. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási

49 1. Lineáris programozási feladatok 41 feladatot, amely az Ön édességeladásából származó bevételét maximalizálja! Legtöbb mennyi lehet a bevétele? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! 27. A Csöpögő nevű vállalat alma ízesítésű üdítőitalt gyárt ízesítettet-szóda és almalé kombinálásával. Egy deka ízesítettet-szóda 0.3 deka cukrot, és 2 mg C-vitamint, 1 deka almalé pedig 0.35 deka cukrot, és 5 mg C-vitamint tartalmaz. A Csöpögőnek 1 deka ízesítettetszóda 3 euróba kerül, 1 deka almalé pedig 5 euróba. A Csöpögő marketing osztálya elhatározza, hogy minden 10 dekás almalé palack legalább 25mg C-vitamint és legfeljebb 5 deka cukrot tartalmazhat. Határozzuk meg, hogy a Csöpögő hogyan tud eleget tenni a marketing osztály követelményeinek minimális költségek mellett. 28. A marosvásárhelyi műtrágya gyár szilíciumot és nitrogént keverve kétféle típusú műtrágyát állít elő. Az 1. műtrágya legalább 48% nitrogént kell hogy tartalmazzon, és eladási ára 70 euró kilogrammonként. A 2. műtrágyának legalább 40% szilíciumot kell tartalmaznia, és eladási ára 30 euró kilogrammonként. A gyár legfeljebb 600 tonna nitrogént vásárolhat, kilogrammját 12 euróért, és legfeljebb 800 tonna szilíciumot, kilogrammját 10 euróért. Tételezzük fel, hogy bármennyi műtrágya eladható. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási feladatot, amely maximalizálja a gyár nettó jövedelmét! Mennyi ez a jövedelem? Határozza meg az árnyékárakat és magyarázza meg a gazdasági jelentésüket. A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! 29. A Parmen gyümölcsfeldolgozó cégnek két telephelye van. Mindkét telephelyen van egy-egy raktára és egy feldolgozó üzeme. Lehetősége van, hogy felvásároljon három almafajtából maximálisan: 20 tonna húsvéti rozmaringot(hr), 31 tonna téli arany parment(ap) és 42 tonna téli banánalmát(tb). A húsvéti rozmaring felvásárlási ára tonnánként 1100 euró, atéliaranyparmené1000euróésaztélibanánalmáépedig900euró. Aszállításiköltség gyümölcstől és a telephelytől függ. Az alábbi táblázat megmutatja, hogy 1 tonna gyümölcs szállítása az egyes raktárakba hány euróba kerül. 1. raktár 2. raktár HR AP TB A raktárak kapacitását és az üzemek feldolgozási költségét mutatja a következő táblázat: 1. raktár 2. raktár Kapacitás 46 tonna 56 tonna Feldolgozási költség 260 euró/tonna 210 euró/tonna A cég a gyümölcsökből szörpöt készít, amelyet egységes 2000/tonna eurós áron értékesít. A Parmen milyen felvásárlási tervvel maximalizálhatja profitját? Milyen felvilágosítással szolgálnak az árnyékárak a Parmen vezetőségének? 30. A magma RT háromtípusú elektronikus vezérlőt gyárt három részlegen. Egy vezérlő gyártási időtartamait percben kifejezve az alábbi táblázat tartalmazza: 1. részleg 2. részleg 3. részleg 1. vezérlő vezérlő vezérlő

50 42 1. Lineáris programozási feladatok A következő táblázatban van összefoglalva a telephelyeken a vezérlők által jövedelmezett profitok euróban kifejezve. 1. részleg 2. részleg 3. részleg 1. vezérlő vezérlő vezérlő Tudva azt, hogy minden részleg kapacitása 35 munkaóra és az első vezérlőből legalább 100 darabot, a másodikból 150-et, a harmadikból pedig 100-at kell elkészíteni, hány darabot gyártson az egyes részlegeken a vezérlőkből, hogy profitja maximális legyen? 31. Adjukmegakövetkezőszállításifeladatoptimálismegoldását,haazR 3. célállomásnem kaphatárutazf 1 feladótól,a3. szállítóamásodikrendeltetésihelyrenemszállíthatés a második feladónál nem maradhat áru. Ha az optimális megoldásban x 11 = 40, akkor mennyiatöbbix ij? R 1 R 2 R 3 F F F F Egy cég normál működés esetén legtöbb 100 egységnyi terméket tud előállítani egy hónapban. A keresletet, a termelési költségeket euróban, és a túlóra gyártási kapacitásokat négy egymásutáni hónapban az alábbi táblázat tartalmazza: Termelési költség Termelési költség Hónap Kereslet normál ütemben Túlóra kapacitás túlórában A gyár maximum 70 egységnyi terméket képes elraktározni egyik hónapról a másikra 1.5 euró egységnyi raktározási költséggel. Ha kezdetben a raktárban 15 egységnyi termék volt, akkor egyes hónapokban hány egységnyi terméket kell gyártani normál és túlórában ahhoz, hogy a költség minimális legyen és a szükséges kereslet ki legyen elégítve? 33. A Bran kőolajfinomító 3 típusú benzint forgalmaz: CO98, CO90 és CO75. Ezeket a benzineket 4 féle alapanyag keveréséből állítják elő. Ezek a következők: (CT) hőlepárlás alapján kapott alacsony minőségű benzin, (RG) javított minőségű benzin, (RC) tisztított benzin, (NC5) oktánszámot javító termek.

51 1. Lineáris programozási feladatok 43 Az alábbi táblázatok tartalmazzak az alapanyagok maximális mennyiséget és előállítási költségeit, valamint az előállított benzin keverék összetételét és eladási árat. Napi termelés Költség CT RG RC NC Alapanyag szükséglet Ár CO98 <= 30% CT >=40% RG 950 <=50%RC CO90 <=50% CT 800 >=10% RG CO75 <=70% CT 700 Határozzuk meg a maximális jövedelmet biztosító termelési programot, ha tudjuk, hogy a CO75 benzinből naponta legalább 3000 kell előállítson. 34. A Zöldülj Mező Társaság(ZMT) egy újrafeldolgozó központot működtet, ahol 4-féle szilárd hulladék anyagot gyűjtenek, majd dolgoznak fel oly módon, hogy ezután azok felhasználhatók lesznek egy eladható termék gyártására. Ez a termék, a felhasznált anyagok keverési anyagától függően, háromféle minőségben állítható elő. Bár az összetétel mindegyik minőség esetében ingadozhat egy keveset, a minőségi szabványok előírják az egyes anyagok minimálisan, illetve maximálisan megengedett(súly) arányát az adott minőségű termékben. Ezeket az előírásokat tartalmazza az alábbi táblázat: Osztály Előírás Fúziós költség(lej/kg) Eladási ár A Az 1. anyag legfeljebb 30%-a Az 2. anyag legalább 40%-a A 3. anyag legfeljebb 50%-a B Az 1. anyag legfeljebb 50%-a Az 2. anyag legalább 10%-a C Az 1. anyag legfeljebb 70%-a Az újrafeldolgozó központ a szilárd hulladék anyagot ugyanabból a néhány forrásból gyűjti be, ezért normálisan egy állandó termelési szintet tud biztosítani azok feldolgozására. Az egyes típusú anyagokból hetenként összegyűjtött mennyiséget valamint azok fajlagos feldolgozási költségeit az alábbi táblázat tartalmazza: Anyag Rendelkezésre álló(lej/hét) Kezelési költség(lej/kg) Mennyit és az anyagok milyen keverési arányával kell gyártani, hogy a teljes heti haszon maximális legyen?

52 44 1. Lineáris programozási feladatok 35. Egy teherszállító repülőgépen három rakodótér található: elől, középen és hátul. Befogadóképességüket tartalmazza az alábbi táblázat: Súlykapacitás Térkapacitás Rakodótér (tonna) (m 3 ) Elől Középen Hátul Az egyes rakodóterek súlyterhelésének a súlykapacitási adatok arányában kell megoszlania ahhoz, hogy a repülőgép egyensúlyban maradjon. A következő járatnak a következő táblázatban megadott 5 rakományt ajánlották fel: Súly Térfogat Profit Rakomány (tonna) (m 3 ) (euró/tonna) A rakományok feldarabolhatók. A rakományokból mennyit(ha egyáltalán) érdemes szállításra elfogadni, és hogyan érdemes őket elosztani a rakodótérben ahhoz, hogy a járat a lehető legnagyobb profitot hozza? A repülő melyik része szállítsa a legnagyobb profitot jelentő rakományt?

53 2. fejezet Szállítási és hozzárendelési feladatok Az előző fejezetben már hangsúlyoztuk a lineáris programozás széleskörű alkalmazhatóságát. Ebben a fejezetben a lineáris programozási feladatok bizonyos speciális típusainak tárgyalásával tovább bővítjük eddigi ismereteinket. Bemutatjuk az úgynevezett szállítási és hozzárendelési feladatokat Szállítási feladat 2.1. mintapélda (Babkonzerv). Egy társaság egyik fő terméke a babkonzerv. A termelés három konzervgyárban folyik Kézdivásárhelyen(KV), Sepsiszentgyörgyön(SSz) és Gyergyószentmiklóson(GySzM). A terméket teherautókkal szállítják négy értékesítő áruházba. Ezek az áruházak Brassóban(B), Csíkszeredában(CsSz), Székelyudvarhelyen(SzU) és Marosvásárhelyen(MV) vannak. Mivel a szállítási költségek nagyon lényegesek, ezért a vezetés egy tanulmány elvégzését kezdeményezi, amely ezen költségek minimalizálására irányul. Megbecsülték a konzervgyárak egy hónapnyi várható termelését, valamint az egyes áruházaknak hónaponként kiutalt mennyiségeket a babkonzervből. Az alábbi táblázat megmutatja az egyes helységek közötti távolságokat km-ben kifejezve, az egyes konzervgyárak várható termelését és az áruházaknak kiutalt mennyiségeket. Áruház Konzervgyár 1. B 2. CsSz 3. SzU 4. MV Termelés 1. KV SSz GySzM Kiutalás A táblázat szerint összesen 20 teherautónyi áru vár elszállításra. Tudva azt, a szállítási költség arányos a távolsággal határozzuk meg, hogy az egyes konzervgyárakból hány autó babkonzervet kell szállítani az egyes áruházakba úgy, hogy az áruházak szükségleteit teljesítsék és a teljes szállítási költség minimális legyen? Megoldás. Amodellmegfogalmazásához jelöljükz-velateljes szállítási költséget, x ij - vel (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4;) az i-edik konzervgyárból és a j-edik áruházba szállítandó mennyiségeket,ésk-valazegykmmegtételéhezszükségesköltséget. Célunktehátazx ij -k 45

54 46 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok olyan megválasztása, amelyre feltéve, hogy a szükségletek teljesülnek, azaz z = k(60x x x x x x x x x x x x 34 ) x 11 +x 21 +x 31 = 6, x 12 +x 22 +x 32 = 5, x 13 +x 23 +x 33 = 4, x 14 +x 24 +x 34 = 5, és a termelt mennyiségeket is mind elszállítják, azaz x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 6, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 10, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 = 4. Tehát, a feladat lineáris modellje: Z= z =60x k 11+62x x x x x x x x x x x 34 min, x 11 +x 21 +x 31 =6, x 12 +x 22 +x 32 =5, x 13 +x 23 +x 33 =4, x 14 +x 24 +x 34 =5, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =6, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =10, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =4, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. AlkalmazvaaWinQSBlineárisprogramozásieszköztárát,megoldáskéntkapjuk,hogyx 12 = 5,x 13 =1,x 21 =6,x 23 =3,x 24 =1,x 34 =4.Atöbbidöntésiváltozóértékenulla. Válaszunk a feladatra: 5 autó babkonzervet kell szállítani Kézdivásárhelyről Csíkszeredába, 1-et Kézdivásárhelyről Székelyudvarhelyre, 6-ot Sepsiszentgyörgyről Brassóba, 3-at Sepsiszentgyörgyről Székelyudvarhelyre, 1-et Sepsiszentgyörgyről Marosvásárhelyre és 4-et Gyergyószentmiklósról Marosvásárhelyre. Ebben az esetben a szállítás összköltsége z = 1579k. Egy általános szállítási feladat valamilyen tárolóhelyek(raktárok) valamilyen halmazából a felvevőhelyek(keresleti helyek) valamilyen halmazába történő minimális szállítási összköltséget igénylő elszállításával foglalkozik. Egy szállítási feladatban általában az alábbi információk szerepelnek: Az m darab tárolóhelyről (kínálati hely) álló halmaz az, ahonnan a szállítás történik. Azi-ediktárolóhelyrőllegfeljebbs i egységetképesszállítani(azi-edikhelykínálata). A mintapéldábanm=3,s 1 =6,s 2 =10,s 3 =4.

55 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 47 Az n darab felvevőhelyből álló halmaz az, ahová a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább d j egységnyire van szükség (az j-edik hely kereslete). A mintapéldában n=4,d 1 =6,d 2 =5,d 3 =4,d 4 =5. Mindenolyanegység,amitazi-edikhelyrőlaj-edikhelyreszállítanakc ij költséggeljár. Amintapéldábanc 11 =60,c 12 =62,c 13 =112,c 14 =220,c 21 =33,c 22 =68,c 23 =101, c 24 =184,c 31 =160,c 32 =59,c 33 =57,c 34 =118. Hax ij -vel(i=1,...,m;j=1,...,n;)jelöljükazi-ediktárolóhelyrőlaj-edikfelvevőhelyre szállítandó egységek számát, akkor a szállítási feladat általános formában így írható fel: z= m i=1j=1 n c ij x ij min, m x ij d j, j=1,...,n, n x ij s i, i=1,...,m, i=1 j=1 x ij 0,i=1,...,m; j=1,...,n. Ha egy feladatban m s i = i=1 n d j, j=1 akkor a teljes kínálat egyenlő a teljes kereslettel. Ilyenkor kiegyensúlyozott szállítási feladatról beszélünk. Ha m n s i > d j, i=1 j=1 akkor feladatnak van megoldása, de nem kiegyensúlyozott, ha pedig m s i < i=1 n d j, j=1 akkor a feladatnak nincs lehetséges megoldása, mivel ebben az esetben az összkínálat kisebb mint az összkereslet és így a felvevőhelyek szükségleteit nem tudják a tárolóhelyek teljesíteni. Az utóbbi esetben kívánatos azt a lehetőséget is megengedni, hogy a felvevőhelyek egy része kielégítetlen maradjon. Ilyenkor a kielégítetlen kereslet gyakran büntetőköltséggel jár. Ezt a helyzetet szemlélteti a mintafeladatnak az az esete, amikor Sepsiszentgyörgyön valamilyen okból csak 8 teherautónyi babkonzervet sikerül előállítani. Ekkor a kínálati oldal 18 autónyi, a keresleti oldal pedig 20 autónyi. A feladat kiegyensúlyozására bevezetünk egy fiktív kínálati helyet, ahol a hiányt, azaz = 2 teherautónyi babkonzervet állítják elő. Erről a helyről a valamelyik felvevőhelyre való szállítási költség éppen az arra a helyre vonatkozó, a hiányból fellépő egy egységre számított büntetőköltség. Hogy ezt meghatározzuk szerre meg kell oldanunk azokat a szállítási feladatokat, amelyben az egyes felvevőhelyek keresletét szerre a hiánnyal, azaz 2-vel csökkentjük.

56 48 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok Kezdjük Brassóval, csökkentve a szükségletét 2-ét teherautónyival, és kapjuk az alábbi feladatot: Z= z k =60x 11+62x x x x x x x x x x x 34 min, x 11 +x 21 +x 31 =4, x 12 +x 22 +x 32 =5, x 13 +x 23 +x 33 =4, x 14 +x 24 +x 34 =5, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =5, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =8, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =5, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. Alkalmazva a WinQSB lineáris programozási eszköztárát, megoldásként kapjuk, hogy a szállítás összköltsége z = 1513k. Tehát a büntetőköltség 1579k 1513k = 66k. Mivel ez két egység hiányra volt számítva ezért az egy egységre vonatkozó büntetőköltség 33k. Így a fiktív konzervgyárból a Brassóba való szállítás költsége 33k. Teljesen hasonlóan járunk el a többi áruház esetén is. Csíkszeredánál a Z= z k =60x 11+62x x x x x x x x x x x 34 min, x 11 +x 21 +x 31 =6, x 12 +x 22 +x 32 =3, x 13 +x 23 +x 33 =4, x 14 +x 24 +x 34 =5, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =5, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =8, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =5, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1477k. Tehát a büntetőköltség 1579k 1477k = 102k. Így a fiktív helyről való Csíkszeredába való szállítás költsége 61k.

57 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 49 Székelyudvarhelynél a Z= z k =60x 11+62x x x x x x x x x x x 34 min, x 11 +x 21 +x 31 =6, x 12 +x 22 +x 32 =5, x 13 +x 23 +x 33 =2, x 14 +x 24 +x 34 =5, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =5, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =8, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =5, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1377k. Tehát a büntetőköltség 1579k 1377k = 202k. Így a fiktív helyről való Székelyudvarhelyre való szállítás költsége 101k. Marosvásárhelynél a Z= z k =60x 11+62x x x x x x x x x x x 34 min, x 11 +x 21 +x 31 =6, x 12 +x 22 +x 32 =5, x 13 +x 23 +x 33 =4, x 14 +x 24 +x 34 =3, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =5, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =8, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =5, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1233k. Tehát a büntetőköltség 1579k 1233k = 346k. Így a fiktív helyről való Székelyudvarhelyre való szállítás költsége 173k. Tehát, bevezetve azt a fiktív gyártási helyet, amely Brassótól 33 km-re, Csíkszeredától 61 km-re, Székelyudvarhelytől 101 km-re és Marosvásárhelytől 173 km-re fekszik, és amelynek gyártási kapacitása 2 autónyi babkonzerv a következő lineáris programozási feladathoz

58 50 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok jutunk: Z= z k =60x 11+62x x x x x x x x x x x x x x x 44 min, x 11 +x 21 +x 31 +x 41 =6, x 12 +x 22 +x 32 +x 42 =5, x 13 +x 23 +x 33 +x 43 =4, x 14 +x 24 +x 34 +x 44 =5, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =5, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =8, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =5, x 41 +x 42 +x 43 +x 44 =2, x ij 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4. AWinQSBlineárisprogramozásieszköztárátalkalmazva,megoldáskéntkapjuk,hogyx 12 = 5,x 13 =1,x 21 =5,x 23 =3,x 34 =4,x 41 =1,x 44 =1.Atöbbidöntésiváltozóértékenulla. Válaszunk a kitűzött feladatra: 5 autó babkonzervet kell szállítani Kézdivásárhelyről Csíkszeredába, 1-et Kézdivásárhelyről Székelyudvarhelyre, 5-öt Sepsiszentgyörgyről Brassóba, 3-at Sepsiszentgyörgyről Székelyudvarhelyre, 4-et Gyergyószentmiklósról Marosvásárhelyre. Ebbenazesetbenaszállításöszköltségez=1568k.Mivelafiktívhelyrőla1autónyikonzervet szállítanak Brassóba és 1-et Marosvásárhelyre, ezért a brassói és a marosvásárhelyi áruházak szükségletei 1 1 teherautónyival hiányt szenvednek. Ez a konzervipari társaságnak 33k+173k = 206k büntetést jelent. Így a valós szállítási költség 1568k 206k. = 1362k A WinQSB Network Modeling eszköztárának alkalmazása a szállítási feladatok megoldására Amint látható volt a szállítási feladatok sok döntési változót és korlátozó feltételt tartalmaznak, de speciális felépítésüknek köszönhetően sok számítást takaríthatunk meg, ha az úgynevezett disztribuciós módszert (más elnevezés szerint szállítási szimplex módszert) alkalmazzuk. Ezt a módszert használja WinQSB Network Modeling eszköztára. A továbbiakban a 2.1. mintapéldát ennek az eszköztárnak a felhasználásával oldjuk meg. Amint láttuk a mintafeladatban a kínálati helyek száma(number of Souces) 3, a felvevőhelyeké(number of Destinations) pedig 4. Kitöltjük a 2.1. kezdőtáblát. Vigyázni kell, hogy a feladat típusánál(problem Type) a szállítási feladatot(transportation Problem) kell kiválasztani és a célfüggvényt(objective Criterion) pedig minimalizálásra(minimization) kell állítsuk, majd beírjuk kínálati helyek számát(amiesetünkbena3-at)ésafelvevőhelyekszámát(amiesetünkbena4-et).

59 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok ábra. WinQSB Network Modeling eszköztárának kezdőtáblája Az OK-ra kattintva megjelenik a feladat 2.2. adattáblája. Itt be kell írni, hogy honnan (Source-tárolóhely)hová(Destination-felvevőhely)mekkoraköltséggelszállítunk,azazac ij értékeket,majdmegkelladniazegyestárolóhelyekkínálatátazs i -ket(supply)ésafelvevő helyekszükségleteitad j -ket(demand) ábra. A 2.1. mintapélda adattáblája. Az síző emberke ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betölti a 2.3. táblázatot: 2.3. ábra. A 2.1. mintapélda eredménytáblája. A táblázatból leolvasható, hogy az 1. tárolóhelyről(source 1) a 2. felvevő helyre(destination2)x 12 =5egységetkellszállítani,aminekazösszköltsége(TotalCost)310k.Hasonlóan atöbbidöntésiváltozóértékex 13 =1,x 21 =6,x 23 =3,x 24 =1,x 34 =4.Ateljesköltség, azaz a célfüggvény minimális értéke (Total Objective Funcion Value) Látható, hogy ezek a megoldások megegyeznek a lineáris modell megoldásaival.

60 52 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 2.2. Hozzárendelési feladat A lineáris programozási feladatoknak azt a speciális típusát nevezzük hozzárendelési feladatnak, amikor a forrásokat(pl. tárolóhely, gép, alkalmazott) egy az egyhez alapon kell a tevékenységek (pl. felvevőhely, művelet, tevékenység ) között felosztani. Vagyis minden egyes forrást egyetlen egy adott tevékenységhez rendelünk hozzá. Az i-edik forrásnak a j-edik tevékenységhez való hozzárendelése c ij költséget jelent, a cél pedig az összköltség minimalizálása mintapélda(könnyűipari cég). Egy könnyűipari cégnél a nadrág elkészítésének négy különböző tevékenységét 4 különböző varrógépen 4 olyan munkás végzi, akik közül mindegyik tudd dolgozni bármelyik gépen. Azért, hogy a tevékenységek elvégzésének összidőtartamát minimalizálják, a munkásokkal egy tesztet végeztettek el. Mindenik munkás dolgozott mindegyik gépen, és végezetül kiszámították azt az átlag időt (percben kifejezve), amely alattazm i -edikmunkáselvégezteazf j -ediktevékenységet. Ezeketazátlagokatmutatjaa következő táblázat: F 1 F 2 F 3 F 4 M M M M A feladatunk az, hogy megtaláljuk a munkások olyan elosztását, hogy a tevékenységek összidőtartama minimális legyen. Megoldás. A modell megfogalmazásához jelöljük z-vel az összidőtartamot és értelmezzük azalábbiváltozókat (i,j=1,2,3,4-re) { 1 haazmi munkásvégziazf x ij = j tevékenységet, 0 haazm i munkásnemazf j tevékenységetvégzi. Célunktehátazx ij -kolyanmegválasztása,amelyre z = 4x 11 +5x 12 +5x 13 +4x 14 +3x 21 +4x 22 +6x 23 +5x 24 +6x 31 +8x 32 +8x 33 +7x 34 +2x 41 +3x 42 +2x 43 +2x 44. Mivel, egy munkás csak egy tevékenységhez rendelhető hozzá, ezért kell teljesüljenek a tevékenységekre vonatkozó: illetve a munkásokra vonatkozó x 11 +x 21 +x 31 +x 41 = 1, x 12 +x 22 +x 32 +x 42 = 1, x 13 +x 23 +x 33 +x 43 = 1, x 14 +x 24 +x 34 +x 44 = 1, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 1, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 1, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 = 1, x 41 +x 42 +x 43 +x 44 = 1

61 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 53 feltételek. Az első négy feltétel azt biztosítja, hogy minden tevékenység el legyen végezve, az utolsó négy pedig azt, hogy minden munkásnak legyen tevékenysége. Összefoglalva, a feladat lineáris modellje: z=4x 11 +5x 12 +5x 13 +4x 14 +3x 21 +4x 22 +6x 23 +5x 24 +6x 31 +8x 32 +8x 33 +7x 34 +2x 41 +3x 42 +2x 43 +2x 44 min, x 11 +x 21 +x 31 +x 41 =1, x 12 +x 22 +x 32 +x 42 =1, x 13 +x 23 +x 33 +x 43 =1, x 14 +x 24 +x 34 +x 44 =1, x 11 +x 12 +x 13 +x 14 =1, x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =1, x 31 +x 32 +x 33 +x 34 =1, x 41 +x 42 +x 43 +x 44 =1, x ij {0,1}, i,j=1,2,3,4. AlkalmazvaaWinQSBlineárisprogramozásieszköztárát,megoldáskéntkapjuk,hogyx 14 = 1,x 22 =1,x 31 =1,x 43 =1.Atöbbidöntésiváltozóértékenulla. Válaszunkakitűzöttfeladatra: az első munkás a negyedik tevékenységet, a második munkás a második tevékenységet, a harmadik munkás a első tevékenységet és a negyedik munkás a harmadik tevékenységet végzi el. Ebben az esetben a tevékenységek összidőtartama z = 16 perc A WinQSB Network Modeling eszköztárának alkalmazása a hozzárendelési feladatok megoldására Ha eltekintünk az x ij {0,1} megszorítástól, láthatjuk, hogy a hozzárendelési feladat valójában egy kiegyensúlyozott szállítási feladat, amelyben minden tárolóhelynek 1 a kínálata és minden felvevőhelynek 1 a szükséglete. Általában a hozzárendelési feladat egy olyan kiegyensúlyozott szállítási feladat, ahol minden kínálat és szükséglet 1. Egy hozzárendelési feladatot jellemezhetünk a kínálati helyeknek a felvevőhelyhez való hozzárendelési költségeivel. A hozzárendelési feladatban a (c ij ) i,j=1,2,...,m; mátrixot költségmátrix nak nevezzük. A szállítási feladatokra kidolgozott disztribuciós módszer tovább egyszerűsíthető a hozzárendelési feladatok esetén. A leggyakrabban a König Gyula és Egerváry által kidolgozott a szakirodalomba"magyar" módszernek nevezett eljárást használják a hozzárendelési feladatok megoldásához. Az alábbiakban a 2.2. mintapéldát a WinQSB segítségével oldjuk meg. Először is elindítjuk a WinQSB Network Modeling eszköztárát, majd az Új feladat(file- New Problem) ikonra kattintunk, és megadjuk az alapadatokat(2.4. ábra). Vigyázni kell, hogy a feladat típusánál(problem Type) a hozzárendelési feladatot(assigmen Problem) kell kiválasztani és a célfüggvényt (Objective Criterion) pedig minimalizálásra (Minimization) kell állítsuk, majd beírjuk a kínálati helyek(number of Objects) és felvevőhelyek(number ofassigments)számát. Ezamiesetünkbena4 4.

62 54 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 2.4. ábra. Hozzárendelési feladat kezdőtáblája. Az OK ikonra kattintva megjelenik a kitöltendő adattábla(2.5. ábra). Itt meg kell adni a kínálati helyeknek(assignment) a felvevőhelyekhez(assignee) való hozzárendelési költségeit, azaz a költségmátrixot ábra. A 2.2. mintapélda adattáblája. Ha a megoldani és elemezni (Solve and Analyze) menüpontból a oldd meg a problémát (Solve the Problem) parancsot választjuk(vagy a síző emberke ikonra kattintunk), akkor a program meghatározza az optimális megoldást ábra. A 2.2. mintapélda eredménytáblája. Itt láthatjuk(2.6. ábra), hogy melyik munkás melyik tevékenységet kell elvégezze (1-es munkás a 4 tevékenységet, 2-es munkás a 2-est, 3-as munkás az 1-est és 4-es munkás a 3- ast),ésaminimálisidőt(totalobjectivefunctionvalue)z=16perc. Láthatjuk,hogya megoldások megegyeznek a lineáris modell megoldásaival.

63 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 55 Ha a megoldani és elemezni (Solve and Analyze) menüpontból a lépésenkénti elvégzést választjuk(display Steps-Tableau), akkor a magyar módszer első iterációs lépését látjuk. A következő iteráció(iteration- Next Iteration) paranccsal a második iterációt kapjuk. Ezt addig kell folytatni, amíg az optimális megoldáshoz jutunk Mintapélda. Három gyárból hat vásárlóhoz kell szállítani az árukat. A vásárlók igényeitszerre40,35,25,20,60és30tonna. Agyáraktermelésikapacitásaiakövetkezők60, 70 és 80 tonna. Az árú előállítási költsége az egyes gyárakban 11.3, 11.0 és 10.8 euró/tonna. A tonnánkénti szállítási költséget a következő táblázat adja meg: Szállítási költségek(t/vásárló) Vásárlók Gyárak A B C a. Határozzuk meg, hogy mennyi terméket kell az egyes gyárakból az egyes vásárlókhoz elszállítani úgy, hogy az összköltség minimális legyen. b. A gyakori árucikkeket nem direkt a gyárakból a vásárlókhoz kerülnek, hanem először lerakatokba szállítódnak és csak onnan a megrendelőhöz. Példaként vegyük az előző feladatot, ahol az árúk szállítását egy lerakaton keresztül is elvégezhetjük. Ebben az esetben több információra is szükségünk van: a lerakat tonnánkénti raktározási költsége 0.7 euró; a gyárakból a lerakathoz való szállítási költségek a következők: 0.1, 0.3 és 0.7 euró/tonna; a lerakatból a vásárlókhoz való szállítási költsége szerre 0.7, 0.9, 1.1, 0.8, 0.6 és 0.9 euró/tonna. Megoldás. Ezen feladat megoldásához a WinQSB Hálózatok modellezése (Network Modeling) eszköztár. Hálózati folyam(network Flow) feladat típusát kell kiválasztani. A csomópontok száma (Number of Nodes) 11: 3 gyár (A, B és C) a lerakat (D1-lerakatba bemenő áruk és D2-lerakatból kimenő áruk) illetve a hat vásárló (1, 2, 3, 4, 5 és 6). A kezdőtábla kitöltés után az OK gombra kattintva megjelenik a 2.3. mintapélda 2.7. adattáblája, amelyet a bemeneti adatokkal kell feltölteni. Például, az A-ból a D1-be mutató költségaszállításiésaza-banagyártásiköltségbőltevődikössze: =11.4,aD1- bőlad2-bearaktározásiköltségetjelenti,ami0.7,ad2-bőlaz2-bemutatóköltségaz1-be való szállítási költséget jelenti, ami 0.9. A kínálatot(supply) csak a gyáraknál, a keresletet (Demand) pedig csak a vásárlóknál tüntetjük fel. A síző emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a minimális szállítási programot és betölti a 2.8. eredménytáblát. Látható, hogy a lerakaton 155 tonna árú szállítódott át(d1-től D2-be). A szállítási költség euró. A lerakat kapacitását korlátozni is lehet, ezt az Edit menüpont Folyam korlát (Flows Bounds) almenüpontja kiválasztásával érjük el. Ha korlátozzuk a lerakat kapacitását 100 tonnára, akkor a 2.9. eredménytáblát kapjuk. Látható,hogyebbenazesetbenaköltségnagyobb,mintazelőbb. Ez2678euró.

64 56 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 2.7. ábra. A 2.3. mitapélda adattáblája ábra. A 2.3. mintapélda eredménytáblája ábra. A mintapélda eredménytáblája, ha a lerakat kapacitása korlátozott Kitűzött feladatok 1. Avasúttársaság(F 1,F 2,F 3 )teherautópályaudvarbanazonostípusúüresteherkocsikállnak,amelyekre(r 1,R 2,R 3,R 4 )pályaudvarokonvanszükség,hogyáruvalmegrakjakőket. AzF 1 pályaudvaron3,azf 2 n18,azf 3 anpedig9teherkocsiáll. AzR 1 pályaudvaron6, azr 2 n8,azr 3 an5,mígazr 4 -en11teherkocsiravanszükség. Azegyespályaudvarokra

65 való elszállítási költségeket a következő táblázat tartalmazza. R 1 R 2 R 3 R 4 F F F Határozzuk meg a minimális szállítási programot. 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok Egy befektető 3 alapba szeretné elhelyezi pénzét a következőképpen: maximálisan 5 milliót részvénybe, maximálisan 3 milliót államkötvénybe és maximálisan 2 milliót lekötött betétbe. Négy társaságnál fektetheti be a tőkéjét. Az egyes társaságoknál maximálisan 4,3,2és1millióeuróthelyezhetel. Atársaságokazadottidőszakraazalapokszerinti bontásban, a következő táblázat szerint adták meg várható százalékos hozamukat(a, B, C,Datársaságokat,azI,II,IIIazalapokatjelenti): A B C D I II III Milyen bontásban helyezze el a pénzét, ha célja a maximális hozam elérése? Az éles feltételekre végezzünk érzékenységvizsgálatot is! 3. Két feladóhelyről (F 1 és F 2 ) három célállomásra (R 1, R 2, R 3 ) kell árut szállítani. Az egységnyi áru szállítási költsége az egyes relációkban a következő: F 1 R 1 :2 F 1 R 2 :4 F 1 R 3 :3 F 2 R 1 :1 F 2 R 2 :5 F 2 R 3 :6. Az első feladóhelyről összesen 5, a másodikról 4 egységnyi árut kell elvinni, a célállomások igényei rendre 3; 4 illetve 2 egységnyi áru. Oldjuk meg a szállítási feladatot a WinQSB programcsomag segítségével! 4. A kormány elárverezi két földterület olajbérleti szerződését. Mindkét földterületen hektár földet lehet bérelni. Hárman licitálnak az olajra. A kormány által bevezetett szabályok értelmében egy-egy licitáló az árverezett földnek legfeljebb 40%-át kaphatja meg. Ervin licitje: 1000 lej/hektár az 1. földterületért és 2000 lej/hektár a 2. földterületért. Barna licitje: 900 lej/hektár az 1. földterületért és 2200 lej/hektár a 2. földterületért. Péter licitje: 1100 lej/hektár az 1. földterületért és 1900 lej/hektár a 2. földterületért. Fogalmazzuk meg szállítási feladatként a problémát, majd számítógép segítségével határozzuk meg, hogy a kormány milyen döntést hozzon bevételének maximalizálására. 5. Egy banknak két irodája foglalkozik csekkek feldolgozásával. Az 1. helyszínen naponta csekket tudnak feldolgozni, a 2. helyszínen nem naponta csekket dolgoznak fel. A bank háromféle csekk feldolgozását intézi: eladói, fizetési és személyi csekkekét. A feldolgozási költség függ a helyszíntől, amit az alábbi táblázat tartalmaz: 1. helyszín 2. helyszín Eladói csekk 5 lej/csekk 3 lej/csekk Fizetési csekk 4 lej/csekk 4 lej/csekk Személyi csekk 2 lej/csekk 2 lej/csekk

66 58 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok Minden nap minden típusból csekket kell feldolgozni. F Minden nap minden típusból csekket kell feldolgozni. Fogalmazzuk meg szállítási feladatként a problémát, majd számítógép segítségével határozzuk meg, hogy a bank milyen döntést hozzon költségeinek minimalizálására. 6. Egy Csíkszeredában lévő vegyi árukat forgalmazó üzlet 5 különböző bolttal rendelkezik. A forgalma az idei évben nagyon fellendült, ezért úgy gondolta, hogy a kereslet folyamatosabb kielégítése érdekében az egyik bolthoz nagyobb raktárt épít. Terve szerint azonban úgy akarja a beruházást megvalósítani, hogy a boltok közötti szállítást a lehető legolcsóbban tudja megoldani. Az alábbi táblázat megadja az egyes boltok közötti szállítás költségét euróban: Boltok Boltok Az alábbi táblázat azt mutatja meg, hogy az egyes boltoknak havonta hány teherautónyi árura van szükségük: Boltok Melyik eladóhelyet fejlessze, ha saját központi raktárából az áruk kiszállítását minimális költséggel akarja megoldani. 7. Oldjuk meg az alábbi szállítási feladatot, majd határozzuk meg, hogy mennyivel növekedne aminimálisszállításiköltség,hakikötnénk,hogyazakörzetbőlcsakazakörzetbe,ab körzetből csak a B körzetbe lehet szállítani. Akörzet Bkörzet C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 Kínálat Akörzet F F Bkörzet F F Kereslet Csíkszereda négy újságárus elárusítóhelyeihez három elosztóból szállítanak újságot. Az egyes árusok igénye az újságokból összesen 300, 200, 400 és 250 darab, míg az elosztókban ezen igények kielégítésére 400, 300, 450 darab áll rendelkezésre. Útkarbantartási munkák miattlevanzárvaaze 1 A 1 ése 2 A 2 útszakasz. Hogyanosszákszétazújságokat,ha a cél a szállítás legrövidebb úton történő megvalósítása, ha az elosztók és az elárusítóhelyek távolságai km-ben a következők: Elárusítóhelyek Elosztók A 1 A 2 A 3 A 4 E E E

67 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 59 Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét is és ellenőrizzük, hogy megoldások megegyeznek-e a disztribuciós módszerrel kapott megoldásokkal. 9. Egy vállalat öt különböző helyen végez építési munkálatokat, amelyhez négy betonkeverő bázisból szerzi be a szükséges betonmennyiséget. A szállítást betonkeverő kocsikkal végzik. Megvizsgálva a bázisok és az építkezések közti legrövidebb közúti távolságokat az alábbi km-ben megadott táblázatot kapták: Építési munkálatok Bázisok E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 B B B B A vizsgálatok során azt is megállapították, hogy két olyan útszakaszok is van, ahol súlykorlátozás miatt betonkeverőnemhaladhatát, ezek: B 1 E 5, B 3 E 3. Abetonkeverő bázisok napi kapacitása 1000, 700, 1500, 800 tonna, az építkezések igényei pedig 400, 300, 450, 1000 és 600 tonna. A szállítási költségek km-re sávonként változnak: 2 km-ig 10 euró, 2-5km-ig15euró,5km-től20euró. Tudva, hogy egy betonkeverő egyszerre csak 10 tonna betont szállíthat, hogyan szervezze meg a vállalat a szállítási tervét, hogy költségei a lehető legkisebbek legyenek. 10. Adjuk meg a következő szállítási feladat optimális megoldását, ha a 3. célállomás nem kaphat árut az első feladótól: Lehet-eazoptimálismegoldásbanx 23 =9? R 1 R 2 R 3 R 4 F F F Egy vállalathoz három fogyasztótól érkezett megrendelés egy bizonyos termékre, mindegyiktől 30 egységre. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a 2. raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre, vagyis a teljes megrendelést nem tudja kielégíteni. Az alábbi táblázatban láthatók a raktárakból a fogyasztókhoz történő szállítások egységköltségei(euróban): Hová Honnan 1. vevő 2. vevő 3. vevő 1. raktár raktár Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vevő esetében abírság110euró, a2. vevőesetébenabírság 180euró, a 3. vevő esetébenabírság 90 euró. Oldjuk meg a feladatot számítógép segítségével. 12. Háromgép(G 1,G 2 ésg 3 )mindegyikeháromféletermék(t 1,T 2,T 3 )bármelyikétképes előállítani. Az egyes gépeken egy óra alatt bármelyik termékből egy darab készíthető el. A

68 60 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok gépek kapacitása rendre 20, 30 és 35 gépóra/hét. Az egyes termékekből a kereslet hetente minimálisan 45, 30, illetve 25 darab. A kereslet teljesítésének egységnyi hiánya az 1-es termékből2euró,a2-esből3euró,a3-asbólpedig1euróveszteségetjelent. Egytermék darabjának gyártási költsége(euróban) az egyes gépeken az alábbi táblázatban látható: T 1 T 2 T 3 G G G Mivel a keresletet nem tudja kielégíteni ezért döntenie kell, hogy az egyes termékekből mennyit gyártson ahhoz, hogy kiadása a lehető legkisebb legyen. 13. Hargita 2020 cégnél egy csapatban 4 takarítónő dolgozik. Egy lakrész teljes kitakarítása porszívózásból, padló feltörlésből, a fürdőszoba kitakarításából és általános rendrakásból áll. Az alábbi táblázat megadja, hogy az egyes takarítónők e munkákat mennyi idő alatt végzik el: Szükséges idő(percben) Takarítónők porszívózás feltörlés fürdőszoba rendrakás 1. takarítónő takarítónő takarítónő takarítónő Melyik takarónő melyik munkát lássa el, hogy a lakás kitakarítása a lehető leghamarabb megtörténjék, tudva azt, hogy egyes munkák csak egymás után végezhetők el és mindegyik takarítónő csak egy munkát végez el? Számítógép segítségével oldjuk meg ezt a hozzárendelési feladatot. 14. A csíkszeredai rendőrség éppen most kapott 4 telefonhívást. Jelenleg 5 autón teljesítnek szolgálatot a rendőrök. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy egyes autók milyen távolságra vannak az egyes hívásoktól: Az útszakasz megtételéhez szükséges idő Autók 1hely 2hely 3hely 4hely 1. autó autó autó autó autó A takarékosság jegyében, a rendőrség szeretné minimalizálni az össztávolságot, vagyis azoknak az utaknak az összegét, amennyit az egyes autóknak meg kell tenniük a hívás helyszínére érkezéséhez. Számítógép segítségével oldjuk meg ezt a hozzárendelési feladatot.

69 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok Az alábbi táblázat 5 munka 5 gép használatának költségét adja meg. Gép Munka A B C D E Melyik munkát melyik géphez kell hozzárendeljük ahhoz, hogy csökkentsük a költségeinket? 16. Négy hallgató vizsgázik. A tanár kiválaszt 6 tételt, amelyekből a hallgatók véletlenszerűen kiválasztanak egyet-egyet. A hallgatók felkészültségét az egyes tantárgyakból az alábbi táblázat tartalmazza: Tétel Hallgató I. II. III. IV. V. VI. A B C D A legszerencsésebb húzás esetén mennyi lesz a hallgatók osztályzatának átlaga? Legszerencsésebb húzásnak azt tekintjük, ha a hallgatók által elért összeredmény a lehető legnagyobb. Lehetséges-e, hogy minden hallgató azt a tételt húzza, amelyből a legjobban felkészült? A legszerencsétlenebb húzás esetén előfordulhat-e, hogy egyik hallgató sem kap 4-est? 17. Öt alkalmazott áll rendelkezésünkre négy munka elvégzésére. Az alábbi táblázatban látható, hogy melyik alkalmazott melyik munkát hány óra alatt tudja elvégezni. - jelöli, ha a személy a munkát nem tudja elvégezni. Idő(órában) Személy 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka Jelöljük ki az alkalmazottakat az egyes munkákra úgy, hogy a négy munka elvégzéséhez szükséges idő minimális legyen! 18. Egyszámítógépkarbantartócégnégymegrendelőnekdolgozik. JelöljükezeketC 1,C 2,C 3 ésc 4 -el. Acégnek4technikusavan: T 1, T 2,T 3 ést 4. Mivelmindegyiktechnikusmás és más szakterületen szakosodott, ezért a megrendelők által kért különböző karbantartási tevékenységeket alábbi táblázatban feltüntetett időtartamok(munkaórában) alatt végzik

70 62 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok el: Megrendelők Technikusok C 1 C 2 C 3 C 4 T T T T A cég vezetősége minimalizálni szeretné a karbantartási összidőtartamot. Hozzárendelési és lineáris programozási feladatként is keressük meg az optimális megoldásokat. 19. Egy bizonyos terméket egy vállalat a csíkszeredai és sepsiszentgyörgyi telepén gyárt, Csíkszeredában (Cs) hetente 800 egységet tudnak elkészíteni, Sepsziszentgyörgyön (S) 1200 egységet. Egységnyi termék gyártási költsége mindkét telepen 100 euró. A heti megrendelés a termékre Székelyudvarhelyen(Sz) 800, Gyergyószentmiklóson(Gy) és Kézdivásárhelyen (K) darab. A termék először a Tusnádon (T) és Oltszemen (O) lévő raktárak egyikébe kerül, majd onnan szállítják tovább a megrendelőkhöz. Az egységnyi termék raktározási költsége Tusnádon 5 euró, Oltszemen 3 euró. A tusnádi raktár kapacitása 1500, az oltszemi pedig Az alábbi táblázat az egyes helységek közötti szállítás egységköltségét mutatja euróban: Hová Honnan T O Sz Gy K Cs S T O Olyan szállítási tervet akarunk készíteni, hogy a termékek összes gyártási + raktározási + szállítási költsége a lehető legkisebb legyen. Írjuk fel azt a szállítási feladatot, amelynek optimális megoldása ezen összetett szállítási feladat megoldását szolgáltatja. WinQSB alkalmazásával keressük meg az optimális megoldásokat. 20. Fát kell szállítani Kászonból illetve Csernátonból Brassóba és Marosvásárhelyre. A szállításkézdivásárhelytőléscsíkszeredátólvonattalistörténhet. Kászonkapacitása320m 3 hetente, Csernáton kapacitása 280 m 3 /hét. Brassó igénye 290 m 3 /hét, Marosvásárhely igénye 310 m 3 /hét. Egy m 3 fa szállítási költségét az egyes viszonylatokban az alábbi táblázatok tartalmazzák(euróban kifejezve): Rönkszállítóval Brassó Marosvásárhely Kézdivásárhely Csíkszereda Kászon Csernáton Vonattal Brassó Marosvásárhely Kézdivásárhely 5 15 Csíkszereda 6 10 Kézdivásárhelyen a raktározási kapacitás 130m 3 és költsége 2 euró/m 3 Csíkszeredában pedig 200 m 3, illetve 1.5 euró/m 3. Határozzuk meg a minimális költségű szállítási tervet.

71 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok Egy termelővállalat három különböző telephelyén 8, 5 és 3 millió euró értékű árut állítanak elő havonta. Mivel a cég telephelyei nehezen megközelíthetők, a cég az árukat nem közvetlen a megrendelőkhöz, hanem a közelében lévő, egymástól azonban távolabb fekvő raktáraiba szállítja, majd onnan a megrendelőkhöz. A befogadó kapacitás csupán az egyikr 1 raktárábankorlátozott. Ide5millióeuróértékűáruférbe. Azegyesraktárok üzemeltetési költsége rendre: 0.5, 0.7 és 0.8 millió euró/1 millió értékű áru; Az alábbi táblázat megadja a szállítási költségeket (euró/1 millió értékű áru) a három telephely(t 1,T 2,T 3 )aháromraktár(r 1,R 2,R 3 )ésazötmegrendelő(m 1,M 2,M 3,M 4,M 5 ) között: Telephelyek, Raktárok, megrendelők raktárok R 1 R 2 R 3 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 T T T R R R Amegrendelőkigényeirendre: 4,2,3,5és4millióeuróértékűáru. Atermelővállalatnak az 1 millió eurós tétel előállítási költsége az egyes telephelyeken rendre: 8000, és euróba kerül. Határozzuk meg hogy mennyi terméket kell az egyes gyárakból az egyes vásárlókhoz elszállítani úgy, hogy az összköltség minimális legyen.

72

73 3. fejezet Játékelméleti feladatok A játékelmélet a matematika egyik, interdiszciplináris jellegű ága, mely azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy mi a racionális (ésszerű) viselkedés olyan helyzetekben, ahol minden résztvevő döntéseinek eredményét befolyásolja a többiek lehetséges választása, azaz a játékelmélet a stratégiai problémák elmélete. A játékelmélet hasznos olyan döntések meghozatalánál, amikor két vagy több többékevésbé ellentétes érdekeltségű döntéshozó(játékos) szerepel. A játékelmélet nemcsak a szokásos értelemben vett játékokkal például társasjátékokkal foglalkozik. Létrehozói, Neumann János magyar születésű amerikai matematikus és Oskar Morgenstern német születésű amerikai közgazdász eredetileg gazdasági problémák megoldására alkották meg. The Theory of Games and Economic Behavior(Játékelmélet és gazdasági viselkedés) c., 1944-ben közreadott könyvükben megállapítják, hogy a természettudományok céljaira kifejlesztett matematika érdekek közrejátszása nélküli működéseket írván le nem szolgál megfelelő modellel a közgazdaság vizsgálatához. Megfigyeléseik szerint a gazdaság működése inkább játékhoz hasonlít a résztvevők valamennyien igyekeznek előre megsejteni a többiek lépéseit, s ebből arra a következtetésre jutottak, hogy a gazdaság vizsgálata újfajta általuk játékelméletnek nevezett matematikát követel ben Harsányi János magyar származású közgazdász John Forbes Nash-sel és Reinhard Selten-nel megosztva közgazdasági Nobel díjat kapott a nem-kooperatív játékok elméletében az egyensúly-analízis terén végzett úttörő munkásságért A játékok osztályozása A játékok többféle szempont szerint sorolhatók osztályokba. Az egyik ilyen szempont a játékban részt vevők száma: eszerint léteznek egy-, két- és többszemélyes játékok(a játékosok nemcsak természetes személyek, hanem nemzetek, társaságok stb. is lehetnek). A játékosok által felhasznált információ szerint beszélhetünk teljes körű információra támaszkodó illetve nem teljes információra teljes körű információra támaszkodóalapuló játékokról. Az előbbi esetben a játékosok a teljes tudás birtokában vannak (ahogyan például a sakkban: hiszen mindkét játékos ismerheti a sakk valamennyi szabályát). Az utóbbi esetben a játékosok tudása csupán részleges(a pókerjátékban pl. a játékosok nem tudják, hogy milyen kártyák vannak az ellenfelek kezében). 65

74 66 3. Játékelméleti feladatok A játékok különfélék lehetnek továbbá aszerint, hogy a játékosok érdekei azonosak vagy ellentétesek-e. A nulla- összegű (pontosabban szólva: állandó összegű) játékokban a játékosok egymásnak ellenfelei(pl. a pókerben, minthogy ott a játékosok összvagyona állandó: amit az egyik megnyer, azt a másik szükségképpen elveszti, ugyanis a játék közben nem teremtődik pénz, és nem is semmisül meg). Az ilyen játékokban a játékosok érdekei teljesen ellentétesek egymással. A nem nulla-összegű játékokban viszont a játékosok egyszerre is lehetnek nyertesek vagy vesztesek: a dolgozók és a vezetők közötti vitában a két félnek lehetnek ellentétes érdekei, de mindkettőnek előnye fakadhat abból, ha sikerül elkerülniük a munkabeszüntetést. A nem nulla-összegű játékok lehetnek továbbá kooperatívak és nem kooperatívak. A kooperatív játékokban a résztvevők kommunikálhatnak egymással, és előzetes megállapodásokat köthetnek. A nem kooperatív játékokban viszont nem. Valamely vállalat és az alkalmazottai között kooperatív játék folyik, egy árverésen egymástól függetlenül licitálók között viszont nem. S végül léteznek véges és nem véges játékok. A véges játékokban a résztvevők csak véges számú döntést hozhatnak, és az egyes döntésekben csak végesen sok lehetőség közül választhatnak, a nem végesekben viszont vagy a döntések száma nem véges, vagy az egy-egy döntésben lehetséges választások száma nem az. A játékok leírásának háromféle módja van: az extenzív forma, a normál forma és a karakterisztikus függvényes forma. A társasjátékok legtöbbjét minthogy lépésről lépésre haladnak extenzív formában lehet leírni: azaz egy gráfelméleti értelemben vett fával. Ennek az egyes helyzetek vagy lépések a csomópontjai, és a csomópontokat összekapcsoló élek a játékosok választási lehetőségeit adják meg. A normál forma jobbára a kétszemélyes játékok leírására használatos: a játékot ebben egy mátrix jeleníti meg, s annak oszlopai az egyik játékos lehetséges stratégiáinak felelnek meg, a sorai pedig a másik játékos stratégiáinak. Az egy-egy sor és oszlop találkozásának helyén álló mátrixelem azt mutatja meg, mi a játék kimenetele, ha az első játékos a szóban forgó oszlopnak, a másik a sornak megfelelő stratégiát követi. A normál formával való leírás elméleti szempontból fontos, és a gyakorlatban is használható, ha viszonylag kicsi a stratégiák száma. A karakterisztikus függvényes forma ezt a kettőnél több játékos játszotta játékok leírására szokás használni azt mutatja meg, hogy legalább mekkora értékre tehet szert a játékosokból alakítható egy-egy koalíció a koalíción kívüli többi játékosból álló koalíció ellen Kétszemélyes nulla-összegű játékok A kétszemélyes nulla-összegű játékok jellemzői: Két játékos van: nevezzük őket a sor-, illetve oszlopjátékosoknak. Mindkét játékos racionális (logikusan gondolkodik) és mindkét játékos kizárólag annak alapján választja meg stratégiáit, hogy saját jólétét előmozdítsa(nincs együttérzés az ellenféllel szembe). A sorjátékos a számára elérhető m darab stratégia közül választ pontosan egyet. Egyidejűleg, az oszlopjátékos a számára elérhető n darab stratégia közül választ pontosan egyet. A stratégia állhat egy egyszerű akcióból, mint az 3.1. mintapéldában, vagy egy előre kimondott szabály betartása mellett egy lépéssorozatból. Mielőtt a játék elkezdődne, mindegyik játékos ismeri a saját maga és az ellenfele rendelkezésre álló stratégiáit és a kifizetésmátrixát. A játék tényleges lejátszása abból áll, hogy a játékosok egyidejűleg kiválasztanak egy stratégiát, anélkül, hogy ismernék az ellenfél választását.

75 3. Játékelméleti feladatok 67 Ha a sorjátékos az i-edik stratégiát, míg az oszlopjátékos az ő j-edik stratégiáját választja, akkorasorjátékosaza ij összegetkap,mígazoszlopjátékosa ij összegetveszít. Tekinthetjük úgy,hogyhaa ij pozitívakkorazoszlopjátékosfizeta ij összegetasorjátékosnak,hapedig a ij negatívakkorasorjátékosfizetazoszlopjátékosnak a ij összeget. Egy ilyen játékot normál formában adunk meg a kifizetésmátrix segítségével. A mátrixban szereplőa ij együtthatókasorjátékoskifizetésétjelentik: A sorjátékos Az oszlopjátékos stratégiái stratégiái n. 1. a 11 a 12 a 1n 2. a 21 a 22 a 2n m. a m1 a m2 a mn Attól, hogy egy kétszemélyes játék nem nulla-összegű, a két játékos érdeke még álhat teljes konfliktusban. Ezt illusztrálják a kétszemélyes konstans-összegű játékok. Ezek olyan játékok, amelyben a játékosok tetszőleges stratégia választására a sorjátékos kifizetésének és az oszlopjátékos kifizetésének összege egy állandó c éték. Ha c = 0, akkor nulla-összegű játékunk van. Az egyes játékosok optimális stratégiáját és a játék értékét a konstans összegű játékoknál is általában ugyanúgy lehet meghatározni, mint a nulla-összegű játékoknál. A teljes körű információra támaszkodó kétszemélyes játékokról(pl. a sakkról, a dámáról, a japán go játékról) Ernest Zermelo 1912-ben bebizonyította, hogy előre meg vannak határozva, azaz a résztvevők a rendelkezésre álló információk maradéktalan kiaknázásával optimális stratégiát alakíthatnak ki, az ilyen játékok kimenetele előre tudható. Ez például a sakkra nézve azt jelenti, hogy ha a világos és sötét is az optimális stratégiát játssza, akkor döntetlen lesz a mérkőzés végeredménye. Minthogy egy megfelelően gyors számítógéppel(a sakk szerencséjére jelenleg még nincs ilyen gyors számítógép) az ilyenfajta játékok mind teljesen végigelemezhetők, játékelméletileg szintén nem túl érdekesek. A nem teljes információra alapuló kétszemélyes, nulla-összegű játékok közül a legegyszerűbbek azok, amelyekben van nyeregpont (vagyis a résztvevők valamelyikének van olyan döntése, amellyel maximális nyereségre tehet szert, bármit tegyen is a másik. Az előbbi, teljes körű információra alapulókban mindig van ilyen nyeregpont). Ezekben a játékoknak mindig meghatározott a kimenetelük (ha a résztvevők játéka ésszerű), és a megfelelő stratégiát követve a játékosok bármelyike legalább ennek a kimenetnek megfelelő nyereségre tehet szert, akárhogyan játszik az ellenfele. Ezt az előre meghatározott nyereségminimumot a játék értékének is nevezik mintapélda (Piaci részesedés). Két kereskedelmi vállalat osztozik egy speciális termék forgalmazásának piacán. Mindketten új piaci terveket dolgoznak ki a következő évre, hogy megkíséreljék az eladások egy részét megszerezni a másik vállalattól. A termékből az összeladás viszonylag állandó, tehát az egyik vállalat csak a másik rovására tudja növelni eladásait. Mindkét vállalat három lehetőségben gondolkodik: a terméket jobban csomagolja (1), növelje a hirdetéseket(2), egy kicsit csökkentse az árat(3). A három lehetőség költségei nagyjából összemérhetőek, és elég nagyok ahhoz, hogy mindkét vállalat csak egyet válasszon közülük. Az alábbi táblázat mutatja lehetőségek becsült hatását az I. társaság piaci

76 68 3. Játékelméleti feladatok részesedésének százalékos növekedésére: II I Megoldás. Mit tegyen az I. vállalat ebben az esetben? Ha az 1. stratégiát (1. sort) választja, akkor a II. vállalat is az 1. stratégiát fogja választani, mert ekkor neki a részesedése 2%-alfognőni. HaaII.vállalata2. vagy3. stratégiátválasztaná,akkorőt5%-osilletve 0%-os részesedés-veszteség érné. Hasonlóan, ha az I. vállalat a 2. stratégiát (2. sort) választaná, akkor a II. vállalat is a 2. stratégiáját kell válassza, mert ekkor nő a legjobban a piaci részesedése (1%-ot). Amennyiben az I. vállalat a 3. stratégiát (3. sort) választja, akkor a II. vállalatnak az 1. stratégia választása mellett lesz a piaci növekedése a legnagyobb (0%). Tehát, az I. vállalatnak azt a stratégiát kell választania, amelyik esetén a nyeresége a legnagyobb, azaz amelynél a sorok minimuma a legnagyobb. Ily módon biztosítania tudja, hogynyereségelegalábbmax{ 2, 1,0}=0legyen. A helyzet a II. vállalat szempontjából éppen fordított. Amikor ő egy stratégiát(oszlopot) választ, arra kell számítson, hogy az I. vállalat az oszlopban szereplő legnagyobb értéket tartalmazó sort fogja választani, így okozva a legnagyobb hasznot a saját maga számára. Esetünkben,haaII.azelsőoszlopotválasztja,akkorazI.amásodikvagyaharmadiksort fogja választani, így a II. vesztesége 0%. Hasonlóan, ha a II. a második oszlopot választja, akkor az I. az elsőt sort fogja választani. Ekkor a II. vesztesége 5%. Amennyiben a II. a harmadik oszlopot választja, az I. az első sort fogja választani. Így a II. vesztesége 2% lesz. Tehát a II. vállalat legjobb választása az 1. stratégia, mert ekkor biztosítani tudja, hogy a veszteségenelegyentöbbmintmin{0,5,2}=0. Megmutattuk, hogy az I. vállalat el tudja érni, hogy nyeresége legalább 0 legyen, a II. vállalatpedigazt,hogyazi.vállalatnyereségenelegyentöbbmint0. AzI.vállalatszámára egyetlen ésszerű stratégia, hogy egy kicsit csökkentse az árat(3), a II. számára pedig, hogy a terméket jobban csomagolja(1). E játék kifizetésmátrixára teljesül a nyeregpont feltétele: { } { } max i=1,2,...,m min j=1,2,...,n {a ij} = min j=1,2,...,n max i=1,2,...,m {a ij}. (3.1) Azt mondjuk, hogy egy kétszemélyes nulla-összegű játékban nyeregpont van, ha a kifizetésmátrixra teljesül az (3.1) összefüggés. Ha egy játékban van nyeregpont, akkor a (3.1) feltételben szereplő két kifejezés közös értékét a játék értékének nevezzük a továbbiakban v-vel jelöljük. A nyeregpont egyfajta egyensúlypont is abban az értelemben, hogy semelyik játékos nem húzhat hasznot abból, ha egyoldalúan stratégiát változtat. Esetünkben { } max i=1,2,3 min j=1,2,.3 {a ij} = max{ 2, 1,0} { = min j=1,2,3 max i=1,2,3 {a ij} } =min{0,5,2}=0 ezteljesülésajátékértékev=0.példánkban,haazi.vállalateltéraharmadikstratégiától és mondjuk az első stratégiát választja, de a II. vállalat nem tér el az optimális stratégiájától,

77 3. Játékelméleti feladatok 69 akkor az I. vállalatot 2% veszteség éri. Egy nyeregpont tehát stabil abban az értelemben, hogy onnan egyik játékos sem kíván egyoldalúan elmozdulni. A nyeregpont keresésének rendszeres módszere a maximin és a minimax értékek keresése. A vizsgált példában ez így történik: Sorminimum Oszlop- max{ 2, 1,0}=0 maximum min{0,5,2}=0 Ha az oszlopmaximumok legkisebb értéke azonos a sorminimumok legnagyobb értékével, akkor van nyeregpont. Ez a közös érték a játák értéke a v. Az optimális stratégiák az I. és II. játékosoknak a játék értékének megfelelő sorok illetve oszlopok választása. Ezeket a táblázatban -aljelöltük. Számos kétszemélyes nulla-összegű játéknak nincsen nyeregpontja. Ilyen például a következő játék mintapélda (Egyforma vagy különböző játék). Ez a játék abból áll, hogy mindkét játékos egyszerre felmutatja egy vagy két ujját. Ha az ujjak száma megegyezik, akkor a I. játékos (legyen ez a sorjátékos) elnyer a II. játékostól (ez az oszlopjátékos) 1 eurót. Haszámoknemegyeznekmeg,akkorazI.játékosfizetaII.játékosnak1eurót. Megoldás. Mindkét játékosnak két stratégiája van: egy ujjat mutat(1), vagy két ujjat (2) mutat. A játék kifizetési mátrixa: Ebben az esetben II I Sorminimum Oszlop- max{ 1, 1}= 1 maximum 1 1 min{1,1}=1 Ha valamely kétszemélyes, nulla-összegű játékban nincs nyeregpont, akkor az elmélet nem szolgál semmilyen sajátos stratégiával. Ehelyett azt mondja, hogy a kimenetek valószínűségének eloszlásával összhangban lévő stratégiát kell választani (az ilyen stratégiát kevert stratégiának mondják). Neumann János 1928-ban bebizonyította, hogy minden véges, kétszemélyes, nulla-összegű játéknak létezik kevert stratégiával elérhető megoldása. Ezt minimax-tételnek nevezik. Most megengedjük, hogy mindkét játékos csak az egyes stratégiák kiválasztásának valószínűségét döntse el., és a véletlenre bízza a tényleges követett stratégia kiválasztását. Esetünkben jelöljük: x 1 -gyelannakvalószínűségét,hogyazi.játékosegyujjatmutatfel; x 2 -velannakvalószínűségét,hogyazi.játékoskétujjatmutatfel;

78 70 3. Játékelméleti feladatok y 1 -gyelannakvalószínűségét,hogyazii.játékosegyujjatmutatfel; y 2 -velannakvalószínűségét,hogyazii.játékoskétujjatmutatfel; Ha x 1,x 2 0 és x 1 +x 2 = 1, akkor (x 1,x 2 ) egy kevert (véletlenszerű) stratégia a sorjátékosnak. Hasonlóan,hay 1,y 2 0ésy 1 +y 2 =1,akkor(y 1,y 2 )egykevert(véletlenszerű) stratégia az oszlopjátékosnak. Általában, a sorjátékos számára az (x 1,x 2,...,x m ) kevert stratégia, ha x 1,x 2,...,x m 0 és x 1 +x x m = 1. Egy (x 1,x 2,...,x m ) kevert stratégia a sorjátékos számára tiszta stratégia lesz, havalamelyikx i =1. Hasonlóan,azoszlopjátékosszámáraaz(y 1,y 2,...,y n ) kevertstratégia,hay 1,y 2,...,y n 0ésy 1 +y y n =1.Egy(y 1,y 2,...,y n )kevertstratégia azoszlopjátékosszámáratisztastratégialesz,havalamelyiky j =1. Mivel kevert stratégiák esetén a teljesítmény mérésére teljesen kielégítő mérőszám nem áll rendelkezésre, nagyon hasznos a várható kifizetés: V (x,y)= m n a ij x i y j. i=1 j=1 Esetünkben V (x,y)=x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 +x 2 y 2. A minimax-kritérium azokra a játékokra is kiterjeszthető, amelyeknek nincs nyeregpontja. Ebben az esetben a minimax-kritérium azt mondja ki, hogy a sorjátékosnak olyan kevert stratégiát kell választania, amely maximalizálja a várható kifizetés minimumát, az oszlopjátékosnak pedig azt, amely minimalizálja a várható veszteség maximumát saját maga számára. A várható kifizetés minimumán a lehető legkisebb várható kifizetést értjük, azaz, haasorjátékosazx=(x 1,x 2,...,x m )kevertstratégiátválasztja,akkor { m } n v(x)=min a ij x i y j /y 1,y 2,...,y n 0ésy 1 +y y n =1 i=1 j=1 A várható veszteség maximumán a lehető legnagyobb várható kifizetést értjük, azaz ha az oszlopjátékosazy=(y 1,y 2,...,y n )kevertstratégiátválasztja,akkor { m } n v(y)=max a ij x i y j /x 1,x 2,...,x m 0ésx 1 +x x m =1 i=1 j=1 Av(x)ajátékalsóértékeésv(y)ajátékfelsőértéke. Amikortisztastratégiákatválasztunk, akkor a nyeregpont nélküli játékok instabilisak, mindkét játékos arra törekszik, hogy javítson a helyzetén. A tanulmányozott példában v = 1 és v = +1. Mindkét játékos azért akar kever stratégiával játszani, mert ezzel javíthat a helyzetén: a sorjátékos megfelelő x kevert stratégia esetén v(x) > v több jövedelemre tehet szert, az oszlopjátékos pedig megfelelő y kevert stratégiával v(y) < v kevesebb veszteség éri. De bárhogyan választják stratégiájukat v(x) v(y) összefüggés érvénybe marad. Neumann minimax tétele kimondja, hogy: Minimax tétel. Létezikolyanx kevertstratégiájaasorjátékosnakésolyany kevert stratégiája az oszlopjátékosnak, amelyre v v(x )=v(y ) v.

79 3. Játékelméleti feladatok 71 Ezt a közös v = v(x ) = v(y ) a játék értékének nevezzük. Így, ha a játékosok az x = (x 1,x 2,...,x m) illetve az y = (y1,y 2,...,y n) optimális kevert stratégiákatválasztják, akkor a várható kifizetés v, és egyik játékos sem tud jobban teljesíteni azáltal, hogy egyoldalúan megváltoztatja stratégiáját. Az optimális stratégiákat meghatározhatjuk, ha felírjuk a játék lineáris programozási modelljét. Tegyükfel,hogyasorjátékosazx=(x 1,x 2,...,x m )kevertstratégiátválasztja. Igazolni lehet, hogy várható kifizetése ekkor { m } v(x)=min a ij x i /j=1,...,n =v, azaz v i=1 m a ij x i,bármelyj=1,...,n. (3.2) A sorjátékos célja a v(x) maximalizálása, vagyis z=v max, a 11 x 1 +a 21 x a m1 x m v 0, a 12 x 1 +a 22 x a m2 x m v 0,. a 1n x 1 +a 2n x a mn x m v 0, x 1 +x x m =1, x 1,x 2,...,x m 0 i=1 (3.3) lineáris programozási feladat optimális megoldásai adják a sorjátékos optimális kevert stratégiáját. A Minimax tétel alapján, ennek az LP feladatnak mindig van megoldása. Teljesen hasonló meggondolások alapján az oszlopjátékos optimális kevert stratégiáját megkapjuk, ha megoldjuk a w=u min, a 11 y 1 +a 12 y a 1n y n u 0, a 21 y 1 +a 22 y a 2n y n u 0,. (3.4) a m1 y 1 +a m2 y a mn y n u 0, y 1 +y y n =1, y 1,y 2,...,y n 0 LP feladatot. Könnyű kimutatni, hogy sor- illetve oszlopjátékos LP-jei egymás duálisai. Ezért elég, ha megoldjuk a sorjátékos LP-jét. Ebben az esetben a megoldások a sorjátékos optimális kevert stratégiáját az árnyékárak pedig az oszlopjátékos optimális kevert stratégiáját adják meg. Ha alkalmazzuk a dualitás erős tételét a játékosok LP modelljeire visszakapjuk a Minimax tételt. A 3.2. mintapélda esetén az optimális kevert stratégiák meghatározásához a következőképpen járunk el: Első lépésként kibővítjük a kifizetési táblázatot a kevert stratégiák sorával illetve oszlopával, valamint a játék értékeit jelentő v és u értékekkel.

80 72 3. Játékelméleti feladatok y 1 y 2 x u x u v v Majd sort sorral és oszlopot oszloppal szorozva felírjuk a két játékos LP-jét: z=v max, x 1 x 2 v 0, x 1 +x 2 v 0, x 1 +x 2 =1, x 1,x 2 0 w=u min, y 1 y 2 u 0, y 1 +y 2 u 0, y 1 +y 2 =1, x 1,x 2 0 Sorj. Oszlopj. AWinQSBlineárisprogramozásieszköztáráthasználvakapjuk,hogy(x 1,x 2 )=(0.5,0.5). Azárnyékárak(y 1,y 2 )=(0.5,0.5).Ajátékértékev=u=0. A sorjátékos i-edik stratégiája dominálja a sorjátékos k-adik stratégiáját, ha az i-edik sor elemei nagyobbak vagy egyenlők a k-adik sor megfelelő elemeinél. Ebben az esetben a dominált k-adik sor figyelmen kívül hagyható és kihúzható a játék kifizetőmátrixából. Teljesen hasonlóan, az oszlopjátékos j-edik stratégiája dominálja az oszlopjátékos l-edik stratégiáját, ha a j-edik oszlop elemei kisebbek vagy egyenlők az l-edik oszlop megfelelő elemeinél. Ebben az esetben is a dominált l-edik oszlop figyelmen kívül hagyható és kihúzható a játék kifizetőmátrixából mintapélda. Keressük meg az alábbi játék domináns stratégiáit és egyszerűsítsük le a kifizetőmátrixot: II I Megoldás. Előre összehasonlítsuk párosával a sorokat. Látható, hogy nincs olyan sor amelyiknek az elemei kisebbek vagy egyenlők lennének valamely másik sor elemeinél. Folytassuk az oszlopok összehasonlításával. Észrevehető, hogy a 3. oszlop elemei nagyobbak vagy egyenlők a második oszlop elemeivel (1.5 0, 2 1, 2 1, 1 1). Tehát, a II. játékosnak nem érdeke választani a 3. stratégiát, mert az I. játékos bármilyen stratégiai választása mellett őt nagyobb veszteség éri mintha a 2. stratégiát választotta volna. Ezért a 3. oszlop kihúzható a kifizetőmátrixból:

81 3. Játékelméleti feladatok 73 II I Most megint összehasonlítjuk a sorokat. Észrevehető, hogy a 3. sor elemei kisebbek vagy egyenlőkminta4. sormegfelelőelemei(1 1, 1 1). EzértazI.játékosnaknemérdeke a 3 stratégiát választani, mert a II. játékos bármely választása esetén az ő nyeresége kisebb lesz mintha a 4. stratégiát választaná. Ezért a 3. sor kihúzható a táblázatból: II I Ugyancsak észrevehető, hogy az 1. sor elemei kisebb vagy egyenlők mint a 3 sor elemei (1 1,0 1),ezértezasoriskihúzhatóatáblázatból: II I Mostmárlátható,hogyazelsősorelemeiiskisebbekvagyegyenlőkmintamásodiksor elemei, ezért az első sor is kihúzható a táblázatból: II I Így most már az 1. és második oszlop elemei egyenlőek, ezért az egyik oszlop kihúzható: II I Következésképpen, mint az I. játékosnak, mint a II. játékosnak csak egy nem dominált stratégiája maradt. Ezek lesznek az optimális stratégiák is. A játék értéke pedig v = 1.

82 74 3. Játékelméleti feladatok Kétszemélyes nulla-összegű játékok megoldása a WinQSB segítségével 3.4. mintapélda (Vadász-nyúl). Egy nyúl öt fedezék (1, 2, 3, 4 vagy 5) egyikébe bújhat. Egy vadásznak egyetlen lövedéke van, amivel az A, B, C vagy D célpontok egyikére lőhet. A lövés megöli a nyulat, ha a meglőtt célponttal szomszédos fedezékben van. Tegyük fel,hogyavadászjutalma1,hamegölianyulat,és0,hanem. a. Adjuk meg a kifizetésmátrixot. b. Szűrjük ki az összes dominált stratégiát. 1_A_2_B_3_C_4_D_5 c. Írjuk fel mindkét játékos LP-jét és határozzuk meg az optimális stratégiát a vadász és a nyúl számára. 1 d. Tegyük fel, hogy a nyúl a következő nem optimális stratégiát követi: valószínűséggel 2 bújikaz1-es, 1 4 valószínűséggelbújika3-as,és 1 valószínűséggelaz5-ösfedezékbe. Milyen 4 stratégiával tudja ekkor a vadász a játék értéke fölé emelni a várható kifizetését? Megoldás. a. Amint a feladat leírásából is kitűnik a nyúlnak mint oszlopjátékosnak 5 stratégiai választása van: 1, 2, 3, 4, vagy az 5. fedezékbe bújik meg, a vadásznak, mint sorjátékosnak pedig 4 választási lehetősége van: A, B, C, vagy a D célpontba lőhet. Elemezve a lehetséges helyzeteket a következő kifizetésmátrixot kapjuk: Nyúl Vadász A B C D b. Először is elemezzük, hogy van-e a játéknak nyeregpontja. Ennek érdekében meghatározzuk a sorminimumok maximumát a v-t és az oszlopmaximumok minimumát a v-t: min A B C D max v=1\v=0 Mivel v v a játéknak nincs nyeregpontja és nincs tiszta stratégiája. Kevert stratégiákat és a dominanciák vizsgálatához a WinQSB programcsomag Döntéselemzés(Decision Analysis) eszköztárát használjuk. Ennek érdekében a kezdő táblázatban a nulla-összegű játékot(two-player, Zero-sum Game) választjuk, majd megadjuk a sorjátékos (Number of Strategies for Player 1.) és az oszlopjátékos (Number of Strategies for Player 2.) lehetséges stratégiáinak számát, a mi esetünkben ez 4 illetve 5(lásd az 3.1. ábrát.) Miután az OK gombra kattintunk megjelenik az adattábla, amit a kifizetésmátrix együtthatóival töltünk ki(lásd a 3.2. ábrát).

83 3. Játékelméleti feladatok ábra. Nulla összegű játékok kezdőtáblája 3.2. ábra. A 3.4. mintapélda adattáblája ábra. A 3.4. mintapélda eredménytáblája. Az síző emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a kevert stratégiákat és a dominanciákat és betölti az 3.3. eredménytáblát.

84 76 3. Játékelméleti feladatok Az 3.3. táblából kiolvasható, hogy a sorjátékos(vadász) 3-as stratégiáját(c.) dominálja a 2-es(B.). Az oszlopjátékos(nyúl) 2-es stratégiáját dominálja az 1-es és 4-es stratégiáját az 5-ös. Ezért a vadásznak semmilyen körülmények között nem érdemes választania a C stratégiát és a nyúlnak a 2-est és a 4-est. A játék optimális kevert stratégiája a vadász számára az x = (0.33,0.33,0,0.33) a nyúl számára pedig az y = (0.33,0,0.33,0,0.33). A játékértékev=0.33. c. Visszakapjuk b. pontban kapott optimális kevert stratégiákat, ha megoldjuk a vadász sorjátékoshoz rendelt(3.3) LP feladatot. Ebben a játékban ez így írható: z=v max, x 1 v 0, x 1 +x 2 v 0, x 2 +x 3 v 0, (3.5) x 3 +x 4 v 0, x 4 v 0, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1, x 1,x 2,x 3,x 4 0 A(3.5) megoldására WinQSB lineáris programozási eszköztárát(linear and Integer programming) használjuk. Az ismeretlenek száma 5 a feltételek száma pedig 6. Az adattábla kitöltésekor érdemes újranevezni a változókat az Edit menüpont változók elnevezései(variable names) ablakában. Itt az x 5 változót v-re cseréljük. Az adattáblában (3.4. ábra) v változónak az alsó korlátját(lower Bound) mínusz végtelenre( M) állítjuk ábra. A 3.4. mintapélda LP modelljének adattáblája. Az eredménytáblából kiolvasható a vadász optimális kevert stratégiája: x = (0.33,0.33,0,0.33). Az árnyékárak (Shadow Price) pedig megadják a nyúl optimális kevertstratégiájáty=(0.33,0,0.33,0,0.33). d. Ebben az esetben a nyúl stratégiája y = (0.5,0,0.25,0,0.25). A minimax-kritérium alapján az a célunk, hogy meghatározzuk azt az x stratégiáját a vadásznak, amelyre a { 4 } 5 v(y)=max a ij x i y j /x 1,x 2,...,x m 0ésx 1 +x x m =1 i=1 j=1 akifejezéselériamaximumát. Ezaztjelenti,hogymegkelloldanunka x 1 y 1 +x 1 y 2 +x 2 y 2 +x 2 y 3 +x 3 y 3 +x 3 y 4 +x 4 y 4 +x 4 y 5 max x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1, x 1,x 2,x 3,x 4 0,

85 azaz 0.5x x x x 4 max x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1, x 1,x 2,x 3,x 4 0, 3. Játékelméleti feladatok 77 lineáris programozási feladatot. A WinQSB lineáris programozási eszköztárát használva kapjuk,hogyx=(1,0,0,0)ésv(y)=0.5.tehátavadásznakebbeazesetbenazacélpontba kell lőjön ahhoz, hogy legnagyobb eséllyel(v = 0.5 valószínűségel) kilője a nyulat Kétszemélyes, nem konstans-összegű játékok Az üzleti döntési helyzeteket modellező legtöbb játék nem konstans-összegű, hiszen meglehetősen ritka, hogy az üzleti versenytársak között teljes az érdekellentét Kétválasztásos szimmetrikus játékok A legegyszerűbb játék az amikor két játékos játszik úgy, hogy mindkettőjüknek csak kétkét választási lehetősége van. A játék kifizető mátrixa ebben az esetben az alábbi alakba írható: II I 1. stratégia 2. stratégia 1.stratégia (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ) 2.stratégia (a 3,b 3 ) (a 4,b 4 ) Célunk, hogy a játékosok döntéslehetőségeit elemezzük és megtaláljuk a lehetséges legjobb megoldást. Mivel mindkét játékos kétféleképpen dönthet, négy lehetséges kimenetele van a játékoknak, ezek mindegyike pedig a két játékos számára eltérő értékű. A stratégia szempontjábólaz(a i,b i )számpárokbanelőfordulószámokegymáshozviszonyítottnagyságrendje számít. Ez tehát azt jelenti, hogy át kell tekinteni az összes olyan táblázatot, amelyben az 1, 2, 3, 4 számok különféle kombinációkban helyezkednek el az egyik, illetve a másik játékos számára leosztva. A 78, egymástól lényegesen különböző táblázat vizsgálatából kiderült, hogy közülük 12-ben a két játékosok szimmetrikus helyzetben vannak. Ezek közül pedig négy tekinthető csapdahelyzetnek. Nem csapda típusú játékra példa: II I 1. stratégia 2. stratégia 1. stratégia (4, 4) (3, 2) 2. stratégia (2, 3) (1, 1) Ebben a játékban nyilvánvaló, hogy mindkét játékosnak csakis az 1. stratégiát érdemes választania, a másikkal mindenképpen rosszabbul jár. Ezzel automatikusan, konfliktusmentesen el is érik a közös optimumot, csapdáról szó sincs. A kétszemélyes, kétválasztásos, szimmetrikus játékoknak négy csapdatípusa a Fogolydilemma, Nemek harca, Vezérürü és a Gyáva nyúl fantázianevű játékok. A játszmák nevüket azokról a(ma már klasszikusnak számító) példákról kapták, amelyeken keresztül a legtalálóbban lehet őket bemutatni.

86 78 3. Játékelméleti feladatok Azoknak a kétszemélyes játszmáknak, ahol a játékosoknak már fejenként három választási lehetőségük van, sokkal több, közel kétmilliárd változata van. Ezek csapdahelyzeteit senki nem térképezte még fel, mivel nagyon valószínű, hogy megegyeznek a négy alapjátékéval. Az alapvető csapdamechanizmusokat ez a négy játék megmutatja a tényleges, életbeli konfliktusok általában e négy alaptípus bonyolult, kusza kombinációiból épülnek fel mintapélda(fogolydilemma). Egy bankrablás kapcsán két gyanúsítottat letartóztat a rendőrség. Elítélésükhöz azonban nincs közvetlen bizonyíték, szükség van legalább az egyikük beismerő vallomására. A vizsgálóbíró nagyon szeretné végre lezárni az ügyet, ezért külön-külön magához hívatja őket és mindkettőnek a következő ajánlatot teszi: Ha bevallod a bankrablást, és ezzel segítesz tisztázni az ügyet, akkor téged szabadon bocsátlak. Ebben az esetben a társadra 10 év börtönbüntetést szabok ki. Ez az ajánlat azonban csak akkor érvényes,határsadnemvall,ésígynemsegítnekünkazügytisztázásában. Dehaőisvall, akkor nem sokat ér a vallomásod és mind a ketten öt-öt évet kaptok. Ha egyikőtök sem vall, akkor a bankrablást megússzátok, de mindkettőtöket lecsukunk egy-egy évre, apróbb szabálytalanságokért. Az alábbi táblázattal foglalható össze a játék: II. fogoly I. fogoly tagad vall tagad ( 1, 1) ( 10, 0) vall (0, 10) ( 5, 5) A táblázat celláiban az első szám az egyik gyanúsított hasznát mutatja, a második szám pedig a másikét. A letöltendő börtönévek mennyisége negatív haszonnak tekinthető, tehát a lehetséges legjobb eredmény a nulla. A zéró összegű játékokra kidolgozott úgynevezett minimax stratégia szerint be kell vallani a tettet, mert így van esélye a legkisebb kárra, függetlenül a társ döntésétől. Egyikük ezek szerint logikusan így gondolkodhat: Ha a társam vall, és én is vallok, akkor öt évet kapok, ha nem vallok, tízet. Ha tehát ő vall, jobb nekem is vallani. Ha a társam nem vall, és én vallok, holnaptól szabad vagyok, de ha nem vallok, 1 évi fogságra ítélnek. Tehát ebben az esetben is jobb vallani. A logika parancsa szerint tehát vallani fog, és mivel a társa is ugyanilyen logikusan gondolkozik, ő is erre az eredményre jut. Mindketten kapnak öt-öt évet, holott ha egyikük sem vallott volna, egy-egy évvel megúszhatták volna. A játékelmélet ezt úgy fogalmazza meg, hogy az ilyen játszmában domináns stratégiája van a játékosnak, azaz olyan stratégiája, amely a másik lépésétől függetlenül minden más döntésnél jobb. A szakirodalom sokféle helyzetet, egy és többmenetes vagy akár több személyes fogolydilemmát elemez. Ezek közül az egyik legismertebb az árképzéssel kapcsolatos: 3.6. mintapélda (Árképzés). Két zöldséges van egymás közelében. Mindkettő tulajdonosának havonta dönteni kell az árakról úgy, hogy nem ismeri konkurenciájának tarifáit. Az új árakat egyszerre kel kiírniuk, minden hónap első munkanapjának reggelén. Ha az egyikük csökkenti az árakat azért, hogy vásárlókat hódítson el a másik üzlettől és így megnövelje nyereségét, azt kockáztatja, hogy a másik is ekképpen gondolkodik, és így mindketten veszítenek. Ha azonban nem lesz olcsóbb, és riválisa mérsékli árait, újfent rosszul jár, akár tönkre is mehet.

87 3. Játékelméleti feladatok 79 Ez a helyzet is ábrázolható táblázatos formában: II. zöldséges I. zöldséges árat csökkent nem csökkent árat árat csökkent (0, 0) (4, 3) nem csökkent árat ( 3, 4) (1, 1) A veszteségtől való félelem és a nyereségképzés vágya egyaránt amellett szólnak, hogy csökkentse árait, de ha ezt teszi, a logikus gondolatmenet egyezősége miatt vetélytársa is olcsóbb lesz és így mindketten elvesztik összes nyereségüket. Ez egy sokmenetes fogolydilemma, hiszen a következő hónapban ismét találkoznak ezzel a döntési helyzettel, hacsaknem az, aki egyoldalúan kooperált, közben tönkre nem megy mintapélda(nemek harca). Egy fiatal pár reggel összeveszik az esti programon. A fiú meccsre, a lány koncertre menne inkább. Mindketten sokáig dolgoznak és csak 7- kor találkoznak újra, ekkor van módjuk ismét megtárgyalni az esti kikapcsolódást. Ahhoz, hogy ez játékelméleti probléma legyen, pontos preferenciával kell rendelkezniük: mindketten elsősorban együtt szeretnék tölteni az estét, és csak másodsorban az általuk preferált helyen. Mindkettőjük számára a legrosszabb lehetőség az, hogy külön töltik az estét, méghozzá úgy, hogyalánynéziameccsetésafiúmegyelakoncertre. Ezszámukra1pontotér. 1ponttal jobbahelyzet,hakülönmennekelugyan,demindakettenazáltalukválasztottprogramra (2-2 pont). A lány számára a legjobb helyzet az, ha mindketten koncertre mennek, ez 4 pontot jelent, és kicsivel rosszabb, ha mindketten meccsre mennek(3 pont). Fiú Lány mecsre megy koncertre megy mecsre megy (3, 4) (1, 1) koncertre megy (2, 2) (4, 3) Mindkettőjüknek van egy önző és egy önzetlen lehetősége: A fiú önző lehetősége az, hogy meccsre megy, önzetlen lehetősége, hogy koncertre. A lánynál ugyanez a helyzet, csak fordítva. Ha mindketten önzetlenek egymással, akkor a lehető legrosszabb helyzet alakul ki, azaz a lány meccsre, a fiú koncertre megy(1+1 pont). Ha mindketten önző stratégiát folytatnak, külön-külön mennek el hazulról választott programjukra. De ez még mindig nem a legjobb helyzet egyikük számára sem(2+2 pont). A játékelmélet szerint fel kell dobni valamiféle kockát. A kérdés az, hogy hány oldalú legyen ez a kocka, azaz ki milyen valószínűséggel menjen kedvenc programjára. Várhatóan akkor lesz az együttes nyereségük a legnagyobb, ha a fiú 5/8 valószínűséggel megy a meccsre és 3/8-al koncertre, a lány 5/8 valószínűséggel a koncertre és 3/8-al a meccsre. Ekkor ugyanis várhatóan 5 1/8 pontot fognak elérni, ami az előbbi két stratégiánál jobb, mégis kevesebb, mint a táblázatból is jól látható maximális 7 pont mintapélda (Vezérürü). Két nagyon illedelmes ember tessékeli egymást előre az ajtón. Ez a helyzet nagyon hasonlít a Nemek harcára, a különbség az, hogy a kölcsönös kooperáció (önzetlenség) itt nem a legrosszabb eredményre vezet és a kölcsönös versengés még rosszabb. A versengés az a stratégia, hogy ragaszkodunk ahhoz, hogy a másik menjen ki először, a kooperálás pedig az, hogy a másik megvetését vállalva elsőként megyünk ki. A legrosszabb helyzet a kölcsönös versengés, mert akkor egyikük sem jut át az ajtón és éhen halnak. Ennél jobb a kooperáció, mert akkor mindketten egyszerre átpréselik magukat az ajtón. A legnagyobb közös nyereség akkor alakul ki, ha az egyikük kooperál, másikuk verseng,

88 80 3. Játékelméleti feladatok mivel akkor mindketten átjutnak az ajtón, csak a versengő játékos plusz nyereségként még meg is vetheti"illetlen" társát, aki pedig kooperált. A felsorolt játékok mindegyikében volt egy egyensúlyi helyzet. Ezt a szakirodalomban Nash-féle egyensúlynak nevezik. Hasonlóan a nulla-összegű játékokhoz a játékosok valamely stratégia választása egyensúlypont, ha semelyik játékos nem profitálhat abból, hogy egyoldalúan megváltoztatja a stratégiát. A konstans-összegű játékokhoz hasonlóan, egy nem konstans-összegű játékban sincs feltétlenül egyensúlypont a tiszta stratégiák között. Be lehet bizonyítani, hogy ha kevert stratégiák is válaszhatók, akkor bármely kétszemélyes nem konstans-összegű játékban van a játékosoknak egyensúlyi stratégiája azaz, ha az egyik játékos az egyensúlyi stratégiát követi, a másik játékos nem húzhat hasznot abból, ha eltér az egyensúlyi stratégiától Az n-személyes játékok Számos versenyhelyzetben több mint két szereplő van. Az ilyen játékokat a karakterisztikus függvény segítségével tanulmányozzuk. Az n-személyes játékok esetén jelöljük N = {1,2,3,...,n} a játékosok halmazát. A játékosok egy S N halmazát koalíciónak hívjuk, speciálisan, az N a nagykoalíció, az pedig az üres koalíció. Hacsak külön nem kötjük ki, mindig megengedjük, hogy a játékosok bármelyik társulása létrejöjjön. Az S részhalmazhoz a játék v karakterisztikus függvénye hozzárendeli azt a v(s) összeget, amít az S tagjai biztosan megkapnak, ha együttműködnek és egy koalíciót alkotnak. A v(s) számérték tehát azt a kifizetés-összeget adja meg, amit az S koalíció tagjai együtt elérhetnek az S-en kívüli játékosok segítsége nélkül. Egy n-személyes játéknak két összetevője van: ajátékosokhalmaza: N ={1,2,3,...,n}; ajátékkarakterisztikus(koalíciós)függvénye: v: (N) R,amirekikötjük,hogyv( )= 0, ahol (N) az N részhalmazainak halmaza mintapélda(termelési cserepiac). Az N ={1,..., n}-beli szereplők mindegyike képes ugyanazt a terméket előállítani az M = {1,..., m}-beli erőforrások felhasználásával. Azi N szereplőkezdetbenrendelkezikaj M erőforrásbólp ij 0mennyiséggel,tehát kezdőkészletétanemnegatívp i =(p i1,p i2,...,p im ) R m + vektoradjameg. Arendelkezésére állótechnológiátpedigazf i :R m + Rtermelésifüggvényírjale,amirőlegyelőrecsakazt tesszük fel, hogy folytonos. A végtermék minden szereplő számára ugyanaz, s feltesszük, hogy tetszőlegesen osztható illetve átvihető a szereplők között. A termelési hatékonyságok különbözősége miatt a szereplők egy S N társulása számára előnyös lehet, ha a termelés előtt átcsoportosítják kezdőkészleteiket, majd utána elosztják a koalíció tagjai által egyedileg elért összes végterméket valamilyen minden résztvevő által elfogadható módon. Az általuk együttesen elérhető legnagyobb végtermék-mennyiség tehát { v(s)=max f i (Z i ) / Z i = } i, Z i R i S i S i SP m +. Amennyiben feltesszük, hogy a végtermék pénznek tekinthető a fentebb tárgyalt értelemben, akkor a v(s) számot tekinthetjük az S koalíció által elérhető összhaszonnak. Az így kapott játékot piacjátéknak nevezik.

89 3. Játékelméleti feladatok mintapélda (Lineáris termelési piac). Ez a cserepiac csak annyiban speciális, hogy a technológia lineáris. Ebben az esetben a technológia mindegyik szereplő számára azonos, éspedig f i (b 1,b 2,...,b m )=f(b 1,b 2,...,b m )=c 1 x c r x r max a 11 x 1 +a 12 x a 1r x r b 1, a 21 x 1 +a 22 x a 2r x r b 2,. a m1 x 1 +a m2 x a mr x r b m, x 1,x 2,...,x r 0, ahol(c 1,c 2,...,c r )olyanvektorés(a ij ) i=1,2,...,r olyan mátrix, amelyre az LP feladatnak van j=1,2,...,m megoldásabármely(b 1,b 2,...,b m ) R m + vektoresetén. Ebbenazesetbenv(S)a v(s)=c 1 x c r x r max a 11 x 1 +a 12 x a 1r x r i Sp i1, a 21 x 1 +a 22 x a 2r x r i Sp i2,. a m1 x 1 +a m2 x a mr x r i Sp im, x 1,x 2,...,x r 0, lineáris programozási feladat optimális értéke lesz mintapélda (Merevlemez gyártása). Egy számítógép alkatrészeket tervező kutatócég kifejlesztett egy újfajta merevlemezt, de nem képes gyártani azt. Eladhatja a terméket két számítógép alkatrészeket gyártó vállalatnak. A kiválasztott vállalat és a kutatócég felezik a közösen elérhető 1 millió eurós profitot. Adjuk meg a játék karakterisztikus függvényét. Megoldás. Legyen a cég az 1-es játékos, a két vállalat pedig a 2-es és 3-as játékosok. Ekkor a karakterisztikus függvény: S {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} v(s) Mintapélda (Kesztyűpiac). A névadó helyzetleírás szerint a kocsmában az aranyásók közül egyeseknek egy balkezes kesztyűje van, míg másoknak egy jobbkezes. Értéke viszont csak egy pár kesztyűnek van, mégpedig 1 üveg whisky. Írjuk fel a játék karakterisztikus függvényét. Megoldás. Ebben a cserepiac-játékban a szereplők és a jószágok is két típusba sorolhatók, azazn =I JésM ={1,2}. Azi Nszereplőkezdőkészleteilletve termelési függvénye: { (1,0), ha i I, P i = (0,1), ha i J, és f(x,y)=min{x,y}, ahol I a kocsmában a balkezes, J a jobbkezes, x egy koalícióban a bal kezes és y egy koalícióban a jobbkezes kesztyűvel rendelkező aranyásók száma.

90 82 3. Játékelméleti feladatok Könnyen belátható, hogy ekkor az S koalíció v(s)=f( S I, S J )=min{ S I, S J }, üveg whiskyt képes kitermelni, ahol S I az S-ben a balkezes kesztyűvel és S J a jobbkezes kesztyűvel rendelkező aranyásók száma. Amennyiben mindegyik aranyásó azonosan értékel eggyel több vagy kevesebb kupica whiskyt, vagyis a nedüt tekinthetjük pénznek, akkor a v a kesztyűpiac karakterisztikus függvénye mintapélda (Lóvásár). Hárman vannak a vásárban. Jánosnak(J-nek) van egy eladólova,amit500euróraértékelésezalattnemhajlandóeladni. Elemér(E)ésPali(P) mustrálgatja a lovat. Elemér legfeljebb 600 eurót, míg Pali legfeljebb 700 eurót hajlandó a jószágért adni. Alkudozásuk során persze ezeket az információkat egyikük sem köti a többiek orrára. Adjuk meg a játék karakterisztikus függvényét. Megoldás. Avásárelőttakezdetiállapototeuróbankifejezve: v(j)=0,mígv(e)=0 és v(p) = 0, hiszen az eladónál lévő tényleges pénzmennyiség nyilván éppúgy érdektelen az esetleges üzlet megítélése szempontjából, mint a vevőknél lévő, a vételár-plafonjukat meghaladó pénzmennyiség. Ha János és Elemér meg tud egyezni abban, hogy a ló p euró fejében gazdát cserél, akkor együttműködésük eredménye egy olyan helyzet, aminek a haszna v({j,e})=p 500+(600 p)=100euró,amibőlavásárutánp 500összegJánostiszta nyeresége és 600 p összeg az Elemér tiszta nyeresége. Teljesen hasonló meggondolásból v({j,p})=p 500+(700 p)=200euró. HamindahármanegyezkednekéslovatElemér veszimeg,akkorahaszon100euró,hapedigpali,akkor200euró. Tehátalegnagyobbhaszon,amiebbenajátékbanelérhetőv({J,E,P})=200euró. Akétvevőviszontlegfeljebb pénztadhatátegymásnak,deabbólhaszonnemkeletkezik,vagyisv({e,p})=0. Teháta lóvásár-játék karakterisztikus függvénye: S {J} {E} {P} {J,E} {J,P} {E,P} {J,E,P} v(s) mintapélda (Egyszerű többségi szavazás). A szavazók N halmazának egy elfogadjuk elutasítjuk jellegű döntést kell hoznia egy javaslatról. Mindegyik szavazat ugyanannyit ér. A javaslat elfogadásához a szavazatok több mint felének elfogadónak kell lennie (egyszerű többségi elv). Jelöljük 1-el a javaslat elfogadását és 0-val az el nem fogadását jelentő döntést és határozzuk meg a karakterisztikus függvényt. Megoldás. A szavazók egys N halmazának szavazati ereje a v(s)= { 1, ha S > N 2 0, ha S N 2 karakterisztikus függvény adja meg, ahol X jelöli az X halmaz elemeinek a számát mintapélda(csődjáték). Csődhelyzetnek nevezzük azt a többszereplős elosztási problémát, amelyben valamilyen E 0 értékű tetszőlegesen felosztható vagyonnal szemben azn ={1,...,n}-beliszereplőkrendred 1,...,d n >0jogosköveteléssellépnekfel,de E< i N d i. Adjuk meg a játék karakterisztikus függvényét.

91 3. Játékelméleti feladatok 83 Megoldás. Egy S koalíció, akkor rendelkezik biztosan a v(s) vagyonnal, ha már a többi N S játékosmegkaptaaráesőe i N S d irészt. Ebbőlamegfontolásbólkövetkezik, hogy { v(s)=max E } d i,0. i N S A lineáris termelési játékokhoz hasonlóan sok kooperatív döntési helyzet olyan, hogy a szereplők két különálló csoportjának összefogása új együttműködési lehetőségeket, s ezáltal többlet-eredményt teremthet. A kesztyűpiacon például egy balkezes illetve egy jobbkezes kesztyűt birtokló aranyásó együttműködve határozottan többet tud elérni, mint külön-külön. Ugyanakkor mindegy, hogy hányan szövetkeznek, ha mindegyiküknek balkezes kesztyűje van, egy cseppel sem tudnak több whiskyhez jutni, mintha egyenként próbálkoznának. Aztmondjukegyjátékszuperadditív,hav(S)+v(T) v(s T),bármelyS,T N-re, amelyres T =. A szuperadditív játékokkal modellezhető döntési helyzetekben bármely két, közös játékost nem tartalmazó koalíció egyesüléséből csak előny származhat. Az általunk tekintett termelési cserepiacok mindig ilyenek, ez magyarázza, hogy eddigi példáinkban miért csak szuperadditív játékokkal találkoztunk. Tulajdonság. Egy játék pontosan akkor szuperadditív, ha bármely S N részhalmazra, ésazs bármelys 1,S 2,...,S r (S=S 1 S 2... S r,s i S j = hai j)felosztására v(s) r v(s i ). i=1 Az n-személyes játékok megoldására számos koncepció létezik. Egy megoldási koncepció megadja, hogy egy játékban mennyi legyen az egyes játékosok kifizetése. Pontosabban, ha azi-edikjátékoskifizetésex i,akkorx=(x 1,x 2,...,x n )vektortelosztásnaknevezzük. Egy szuperadditív játékban az elosztás teljesíti: ahatékonyságifeltételét: v(n)= n x i ; azegyéniracionalitásfeltételét: x i v({i})bármelyi N-re. i=1 Az első feltétel azt mondja ki, hogy az elosztásnak szét kell osztania a nagykoalíció értékét, vagyis azt a legnagyobb összeget, amit az összes játékos együttműködésével elérhető. A második feltétel pedig előírja, hogy mindegyik játékos legalább annyi összeget kell kapjon, mint amennyit egymaga is képes elérni. Például a lóvásár játékban elosztás az x=(100,100,0), de nem elosztás az y=(100,100,50),mert >v(n)=200. Az n-személyes játékokra vonatkozó egyik legfontosabb megoldási koncepció a mag. A mag-elosztás olyan elosztás, amelyik minden koalíció számára elfogadható, azaz x i v(s). i S A mag-elosztások halmazát a játék magjának nevezzük és a továbbiakban G-vel jelöljük.

92 84 3. Játékelméleti feladatok Példáulamerevlemezgyártásjátékbanazx=(x 1,x 2,x 3 )pontosanakkorleszmag-elosztás, ha } x 1 0, x 2 0, x 3 0, elosztás feltételei x 1 +x 2 +x 3 =1, x 1 +x 2 1, x 1 +x 3 1, a magra vonatkozó x 2 +x 3 0, feltételek x 1 +x 2 +x 3 1. Azx 1 +x 2 +x 3 =1feltételbőlazx 3 -atkifejezveésatöbbifeltételbehelyettesítvekapjuk: x 1 0, x 2 0, x 2 0, x 1 1, x 1 +x 2 1. Ahonnankövetkezik,hogyx 1 =1,x 2 =x 3 =0. Alóvásárjátékbanazx=(x 1,x 2,x 3 )pontosanakkorleszmag-elosztás,ha } x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 1 +x 2 +x 3 =200, x 1 +x 2 100, x 1 +x 3 200, x 2 +x 3 0, x 1 +x 2 +x elosztás feltételei a magra vonatkozó feltételek Azx 1 +x 2 +x 3 =200feltételbőlazx 3 -atkifejezveésatöbbifeltételbehelyettesítvekapjuk: x 1 0, x 2 0, x 2 0, x 1 +x 2 200, x 1 +x 2 100, x Ahonnan,x 2 =0,x 1 [100,200],x 3 =200 x 1. Tehátajátékmagja G={(t,0,200 t) /t [100,200]}. Azegyszerűtöbbségiszavazásjátéknakazx=(x 1,x 2,...,x n )mag-elosztása,ha x 1 0, x 2 0,...,x n 0, x 1 +x x n =1, x i =1,ha S > N 2 i S

93 Például,han=4,akkor x 1 0, x 2 0,x 3 0,x 4 0, x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1, x 1 +x 2 +x 3 1, x 1 +x 2 +x 4 1, x 1 +x 3 +x 4 1, x 2 +x 3 +x 4 1, x i +x j 0,hai,j=1,2,3,4, i j. 3. Játékelméleti feladatok 85 Összeadva a három tagot tartalmazó egyelőttlenség megfelelő oldalait, kapjuk x 1 +x 2 +x 3 +x 4 4 3, amiellentmondazx 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1feltételnek. Következésképpen,ajátékmagjaüres halmaz(g= ). Ebbenapéldábanamagazértüres,mertanagykoalícióértéke nemelég nagy a többi koalíció értékéhez képest. A játékelméletben ismert Bondareva Shapley féle tétel kimondja, hogy a játék magja pontosan akkor nem üres, ha a játék kiegyensúlyozott. Amint láttuk, hogy a merevlemez gyártás játékban a mag az összes nyereséget a legfontosabb szereplőnek a kutatócégnek adja. A továbbiakban az n-személyes játékok egy alternatív megoldási koncepcióját, az úgynevezett Shapley-értéket tárgyaljuk. Lloyd Shapley igazolta, hogy tetszőleges v karakterisztikus függvényhez egyetlen olyan x=(x 1,x 2,...,x n )kifizetésvektortartozik,amelyikteljesítiazalábbiaxiómákat: 1. axióma. Ha a játékosok sorrendje megváltozik, a kifizetésvektor komponenseinek sorrendje ugyanúgy változik. 2. axióma. Akifizetésvektorhatékony,azazv(N)= n x i. 3. axióma. Amennyiben egy játékos nem ad semmi többletet egyetlen koalícióhoz sem, akkorakifizetésenulla. Vagyis,hav(S {i})=v(s)bármelys koalícióra,akkorx i =0. 4. axióma. Haamegoldásikoncepcióavésv karakterisztikusfüggvényekkeljellemzett n-személyes játékokhoz az x illetve az y kifizetésvektorokat rendeli hozzá, akkor a v+v karakterisztikus függvénnyel jellemzett n-személyes játékokhoz az x + y kifizetésvektort rendeli. Ezen axiómák mellett érvényes Shapleynek 1953-ban bizonyított tétele: Tétel(Shapley-érték). Egyetlen olyan megoldási koncepció van, amelyik tetszőleges n- személyesjátékvkarakterisztikusfüggvényéhezúgyrendeliazx=(x 1,x 2,...,x n )kifizetésvektort, hogy teljesülnek az 1-4 axiómák. Ez a megoldási koncepció alapján az i-edik játékos kifizetése: x i = S!(n S 1)! [v(s {i}) v(s)], (3.6) n! S N {i} ahol S azs halmazelemeinekaszámátjelöli. EztazxvektortajátékShapley-értékének nevezzük. A tételben a kifejezés bonyolultnak tűnik, de van egy egyszerű értelmezése. Tegyük fel, hogy a játékosok egymás után véletlenszerűen érkeznek a szobába. Amikor az i-edik játékos érkezik, az S-beli játékosok már a szobában vannak. Ha az i-edik játékos is csatlakozik az i=1

94 86 3. Játékelméleti feladatok S koalícióhoz, akkor a határhozzájárulása v(s {i}) v(s), ennyivel változtatja meg a szobában levők koalíciójának értékét. Annak valószínűsége, hogy az i-edik játékos éppen az S koalíciót találja a szobában p n (S) = S!(n S 1)!. Tehát a (3.6) képlet szerint az i-edik n! játékos kifizetése nem egyéb mint az i-edik játékos különböző koalíciókhoz való határhozzájárulásainak várható értéke. Azalábbitáblázatap n (S)értékeittartalmazzákn=1,2,3,4,5esetén. n S HaN ={1,2},akkor x 1 = 1 2 [v({1}) v( )]+1 2 [v({1,2}) v({2})] = v({1})+ v({1,2}) v({1}) v({2}) ; 2 x 2 = 1 2 [v({2}) v( )]+1 2 [v({1,2}) v({1})] = v({2})+ v({1,2}) v({1}) v({2}). 2 A Shapley-érték tehát mindkét szereplőnek megadja az általa egyedül is elérhető kifizetést és egyenlő mértékben osztja szét a közösen elérhető többletet. Érdemes megemlíteni, hogy: a Shapley-értékvektor nem feltétlenül magbeli elosztás. a mag-elosztások inkább a versenyhelyzetet tükrözik, a Shapley-érték ugyanakkor valamennyire figyelembe veszi egy játékos összes pozitív hozzájárulását is. Példaként számoljuk ki a merevlemez gyártás játék Shapley értékét. Kis számú(n 4) játékos esetén a Shapley-értéket érdemes a szobába való érkezés értelmezése alapján számolni. Ezért meg kell határozni a határhozzájárulásokat: Érkezési A játékos határhozzájárulása sorrend 1-es játékos 2-es játékos 3-as játékos (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) Összeg Nézzük meg, hogyan is töltöttük ki például a táblázat első és harmadik sorát. Az első sorbanabeérkezésisorrend(1,2,3).amikoraz1-esbejönaszobábanemtalálsenkitezért határhozzájárulása: v({1}) v( )=0.Jönamásodikésaszobábataláljaaz1-esjátékost.

95 3. Játékelméleti feladatok 87 Így határhozzájárulása: v({1,2}) v({1}) = 1. A harmadik játékos érkezésekor már a szobábanvanaz1-esés2-esjátékosok,ezértahatárhozzájárulása: v({1,2,3}) v({1,2})= 1 1=0.Aharmadiksorbanabeérkezésisorrend(2,1,3).A2-esbejövetelekormégsenki sincsaszobábanezérta2-eshatárhozzájárulása: v({2}) v( )=0.Azegyesbejövetelekor mára2-esaszobábanvan. Ígyaz1-eshatárhozzájárulása: v({1,2}) v({2})=1 0= 1. A harmadik érkezésekor már az 1-es és 2-es a szobában van, ezért a harmadik játékos határhozzájárulása: v({1,2,3}) v({1,2})=1 1=0. Mivel a játékosoknak 6 = 3! érkezési sorrendjük volt, ezért a Shapley-érték szerinti kifizetések: x 1 = 4 6,x 2= 1 6,x 3= 1 6. A lóvásár játékban szintén 6 érkezési sorrend van és a határhozzájárulások: Tehát a Shapley-érték szerinti kifizetések: 3.5. Kitűzött feladatok Érkezési A játékos határhozzájárulása sorrend János Elemér Pali (J,E,P) (J, P, E) (E,J,P) (E, P, J) (P, J, E) (P, E, J) Összeg x 1 = 700 6,x 2= 100 6,x 3= Két játékos egyidejűleg és egymástól függetlenül döntve elhelyez egy asztalra 1-1 eurós érmét a Fej vagy az Írás oldalra fordítva. Ha azonos oldalt választanak, akkor az 1. játékos nyer; ha pedig különbözőt, akkor a 2. játékos, mindkétszer 1 eurót. Határozzuk meg a játékosok kevert optimális stratégiáit és a játék értékét. Igazságos-e a játék? 2. JánosésLaciakövetkezőjátékotjátsszák. Jánosbeteszegyüveggolyótabalvagyajobb zsebébe úgy, hogy azt Laci ne lássa. Ez után Laci megtippeli, hogy János melyik zsebébe tette az üveggolyót. Ha eltalálja, hogy a balba, akkor kap Jánostól 2 eurót. Ha eltalálja, hogyajobba,akkorkapjánostól4eurót. Haviszontnemtaláljael,hogymelyikzsebbe került a golyó, akkor ő fizet Jánosnak 3 eurót. Mi a játékosok optimális kevert stratégiái és mennyi a játék értéke? Igazságos-e a játék? 3. Két versengő kereskedelmi lánc szándékozik egy új üzletet nyitni az A, B vagy C pontok valamelyikében. Az A faluban 20-an, a B falubanszinten 20-an, a C faluban 12-en laknak, a két üzlet tehát 52 vásárlóra számíthat. Mindegyik lakos a hozza közelebbi boltban vásárol, ha két bolt tőle egyenlő távolságra van, akkor 1/2 valószínűséggel választja valamelyiket. Mindkét lánc maximalizálni akarja az új üzletben a vásárlók várható számát. Hova telepítsék az üzletet? A B C

96 88 3. Játékelméleti feladatok 4. Tegyük fel, hogy egy egységnyi hosszúságú szakasz egy strandszakaszt reprezentál és ezen a szakaszon a strandolók egyenletesen oszlanak el. A strandon két fagylaltos kínálja azonos áron,azonos minőségű árúját. Minden strandoló ahhoz a fagylaltoshoz megy, aki közelebb van hozzá. Ha a távolság azonos akkor pénzfeldobással választ. A fagylaltosok a forgalmukat akarják maximalizálni. A fagylaltosok egymástól függetlenül választanak egy helyet a strandon, ahol felállítják bódéjukat. Melyek a fagylaltosok optimális stratégiái? 5. A Ruby, illetve a Swamp szupermarketek összesen vásárló látogatja. A vásárlók becsalogatása céljából mindkét üzlet ingyen ad egy árucikket, hogy azon a héten mit, azt mindig a hétfői újságban teszik közzé. Az áruházak persze nem tudják, hogy a másik éppen mit akar ingyenadni. Akövetkező hétre a Ruby vagy együvegüdítőt, vagy egydoboz tejet akar meghirdetni, míg a Swamp egy csomag vaj vagy egy csomag narancslé közül fog választani. A következő táblázat mutatja, hogy az egyes árucikk-kombinációk esetén hány vásárló tér be a Ruby áruházba a következő héten. Mindkét áruház maximalizálni akarja a vásárlóinak várható számát. A játékelmélet segítségével határozd meg az egyes áruházak optimális stratégiáját és a játék értékét! Ruby Swamp választása választása vaj narancslé üdítő tej Két hadsereg közelit két városhoz. Az egyik négy ezredből, a másik három ezredből áll. Amelyik hadsereg több ezredet küld egy városhoz az nemcsak a várost foglalja el, de az ellenfél odaküldött ezredeit is foglyul ejti. Ha a tábornokok azonos számú ezredet küldenek egy városhoz, a csata döntetlen. Minden elfoglalt város és foglyul ejtett ezred 1 pontot ér mindkét fél számára. Tegyük fel, hogy mindkét tábornok maximalizálni akarja a saját és az ellenfele eredményének a különbséget. Határozd meg a játék értékét és az optimális stratégiákat. 7. Két játékos a következő osztozkodási játékot játssza. 5 eurót kell elosztaniuk egymás között kerek eurókban. A két játékos egyszerre és egymástól függetlenül jelenti be igényét abírónak. Haazigényekösszegenagyobb,mint5euróéspáratlan,akkorazelsőjátékos kapjamegaz5eurót,amásodiknemkapsemmit,hapedigpárosakkoréppenfordítva. Ha az igények összege legfeljebb 5 euró, akkor mindkét fél megkapja azt, amit kért. Mik ebben a játékban a dominált és az optimális stratégiák? 8. Egy várat 40 katona véd. Állások a négyzet alaprajzú vár négy sarkában és az oldalak felezőpontjaiban vannak. Az ellenség akkor nem támad, ha minden oldalról legalább 15 védőt lát. Hogyan ossza el a parancsnok a katonákat? Mit tegyen a vár parancsnoka, ha 10 embere elveszett? 9. Egy játékos készülődik a tizenegyesrúgás elvégzéséhez, a kapus pedig a kivédéséhez. Közismert, hogy a kapusnak akkor van a legtöbb esélye a hárításra, ha a rúgás pillanatában elhatározza, hogy merre mozdul el. A jó lövéshez is el kell határozni, hogy merre rúgja a játékos a labdát. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a rúgó játékosnak három (tiszta) stratégiája van: Jobbra, Középre vagy Balra rúgja a büntetőt. A kapusnak is három lehetősége van: Jobbra vagy Balra mozdul, vagy Középen marad. Kifizetésnek vegyük azt, hogy adott stratégiapáros mellett 10 büntetőből átlagosan hány gól lesz. Az alábbi táblázat mutatja a kifizetéseket, a sorjátékos a Rúgó, az oszlopjátékos a Kapus(a

97 3. Játékelméleti feladatok 89 számok nem objektív statisztikán nyugszanak, de nem is teljesen légből kapottak). Adjuk meg a játékosok kevert stratégiáját. Kapus Rúgó J K B J K B Két versenytárs vállalatnak egyidejűleg kell meghatároznia, hogy mennyit termeljenek egy adott termékből. Az elérhető össznyereség mindig 1000 lej. Ha mindkét vállalat alacsony szinten termel, az 1-es nyeresége 600 lej. Ha az 1-es termelési szintje alacsony, de 2-esé magas, az 1-es nyeresége 400 lej. Viszont, ha az 1-es termelési szintje magas és a 2-esé alacsony, az 1-es nyeresége csak 300 lej. Határozza meg a játék értékét és az optimális stratégiákat ebben a konstans összegű játékban. 11. Jancsi és Juliska együtt akarnak szombat este szórakozni menni. Kosárlabda mérkőzés(k) az egyik lehetőség, operaelőadás (O) a másik. Jancsi a kosármeccset, Juliska az operát szereti jobban,de mindketten azt szeretik legkevésbé, ha egyedül kell elmenni szórakozni. Egymástól függetlenül vásárolnak két-két jegyet valamelyik eseményre. Az alábbi táblázat számai Jancsi és Juliska preferenciáit tükrözik. Júliska Jancsi K O K (2,1) (0,0) O (0,0) (1,2) Határozzuk meg a játék egyensúlypontjait. 12. Angry Max és James Bound hajtanak egymással szembe egy elhagyott úton. Mindkettőjüknek két stratégiája van: kitérni vagy nem kitérni. Az alábbi táblázat mutatja a lehetséges nyereségeket bátorság-pontban kifejezve: James Bound Angry Max kitér nem tér ki kitér (0, 0) ( 5, 5) nemtérki (5, 5) ( 100, 100) Keressük meg a játék egyensúlypontjait! 13. AjátékosokhalmazaN ={1,2,3},akoalíciósfüggvénypedig { 1 has legalábbkételemettartalmaz u(s)= 0 ellenkezőleg Írjuk fel a játék karakterisztikus függvényét és határozzuk meg a játék magját és Shapley értékét. 14. Tekintsünk egy háromszemélyes, nem konstans összeg játékot, mely karakterisztikus függvénye az alábbi: v( ) = v({2})=v({3})=0, v({1}) = 1, v({1,2})=5, v({1,3}) = 4, v({2,3})=3, v({1,2,3}) = 15,.

98 90 3. Játékelméleti feladatok Határozzuk meg a játék Shapley-értékét. 15. A Mikulás csokoládéval jutalmazza a jó gyerekeket. András, Béla és Cecil testvérek. András szokta lehordani a szemetet, így legalább 1 csoki jár neki. Bélával közösen járnak bevásárolni, így együttesen legalább 6 csokit érdemelnek. Béla és Cecil szokott takarítani, jutalmuk legalább 10 csoki. András és Cecil(a kert gondozásáért) legalább 8 csokit kap. A Mikulás11csokithozott. Igazoljuk,hogyamagüres,a11csokitnemlehetúgyelosztani, hogy mindenki megkapja a járandóságát? Hány csokit kellett volna hoznia ahhoz, hogy egy ilyen elosztás lehetséges legyen és ekkor ki mennyit kapott volna? 16. Ahhoz, hogy egy vállalkozás létrejöjjön szükség van befektetőkre és termelőkre. Egy egyszerűsített vállalkozásban jelöljük 1-el a befektetőt és 2-vel illetve 3-mal a termelőket. A Shapley-értéket használva határozzuk meg a nyereség igazságos szétosztási arányait. 17. Egy városban öt párt versenget a városi tanácsosi helyekért. Az alábbi táblázat mutatja a választás után kapott tanácsosi mandátumok számát: Pártok AP BP CP DP EP Mandátumok Mivelegyikpártsemérteelafeleplusz1arányt,azaza14mandátum-számot,ezértnem tudja egyik sem megszerezni az egyértelmű hatalmat. Nincs más választásuk koalíciót kell képezzenek. A pártok között nincs semmi ideológiai ellentét és csak a város hasznát nézik. Ezért úgy egyeznek, hogy a város 620 millió eurós évi költségvetésének felügyeletét és gazdálkodását a tanácsban betöltött súlyuk alapján fogják leosztani. Tudjuk, hogy ezek a súlyok a játék Shapley értékét jelentik. Határozzuk meg, hogy az egyes pártok mekkora költségvetési összeget felügyelhetnek. 18. A Sapientia-EMTE csíkszeredai helyszíne a következő szabályok szerint fizet az általa bérelt telefonvonalakért: 400 euró/hó az első 4 vonalért, plusz 200 euró a következő 4 vonalért és plusz 100 euró/hó a további két vonalért. A Természettudományi karról 150, a Gazadaságtudományi karról 165, az adminisztrációs egységekből 85 telefonhívást kezdeményeznek óránként. Egy vonal 40 telefonhívást képes kezelni egy óra alatt. A csíkszeredai helyszín tehát összesen 10 vonalat bérel. Hogyan osszák meg a bérleti díjat az egységek között? 19. Három orvos létrehozott egy közös vállalkozást, amelynek éves fix rezsiköltsége lej. Az orvosok egyénenkénti bevételei, illetve a munkájukkal kapcsolatos kiadásai évente a következők: Bevétel Kiadás Dr. A lej 40000lej Dr. B lej 35000lej Dr. C lej 38000lej Az orvosok a játékelmélet segítségével akarják meghatározni a fix rezsiköltség szétosztását. Adjunk meg egy, a helyzetet jól leíró karakterisztikus függvényt, és igazoljuk, hogy a játék magja üres halmaz! Számítsuk ki a Shapley-értéket és javasoljunk egy igazságos szétosztását a költségeknek. 20. Egy800eurósösszegrehármanjogosultak: azelső150,amásodik400,aharmadik500euróra. Mivel a teljes összeg nem elég a követelések teljesítésére a Shapley-érték segítségével osszuk szét igazságosan a 800 eurós összeget a jogosultak között.

99 4. fejezet Hálózatok elemzése Számos fontos optimalizálási probléma grafikus vagy hálózati szemléltetéssel elemezhető a legkönnyebben. Ebben a fejezetben az alábbi speciális hálózati modellekkel foglalkozunk: a minimális feszítőfa problémával; a legrövidebb út problémával; maximális folyam problémával; az utazó ügynök problémával; 4.1. Alapfogalmak Egy gráfot vagy hálózatot szimbólumok két halmaza értelmez, ezek elemeit csúcsoknak, illetve éleknek nevezzük. Az él egy rendezett pár, amely megadja a két csúcspont közötti mozgás vagy áramlás lehetséges irányát. Egy hálózatban szereplő (j, k) él azt mutatja, hogy elmozdulás történhet a j csúcspontból a k csúcspontba. A továbbiakaban egy hálózat csúcspontjainak halmazát V-vel éleinek halmazát pedig E-vel jelöljük. Például az alábbi hálózatnál(4.1. ábra)av ={1,2,3,4}ésazE={(1,2),(1,4),(2,3),(4,3),(4,5),(3,5)}. halmazokat ábra. Hálózati alapfogalmak 91

100 92 4. Hálózatok elemzése Számos feladatnál csak az élek bizonyos csoportjára van szükség. Erre különböző elnevezéseket használunk. Az i és a j csomópont közötti lánc olyan élsorozat, amely összeköti ezeket a csomópontokat. Például az 4.1. ábrán az 1 és 5 csomópontokat összekötő lánc: (1,2),(2,3),(3,5).Haaláncmenténahaladásirányátismegadjuk,akkorirányítottútról beszélünk. Az4.1. ábránaz(1,2), (2,3), (3,5) láncegyirányítottút. Akörolyanlánc, amelyegy csomópontot saját magával kötössze. Az 4.1. ábrán, ha a(4,5) él irányítását megcseréljük,akkora(4,3),(3,5),(5,4)láncegykörlesz. Agráfösszefüggő,habármely két különböző csomópontja között halad lánc. Az 4.1 gráf összefüggő. Az olyan összefüggő gráfot, amely nem tartalmaz kört fának nevezzük. Valamely gráfot irányítottnak nevezzük, ha az élekhez irányítást rendelünk. Ilyen gráf az 4.1. Egy hálózatnak nem feltétlenül kell irányítottnak lennie, mivel esetleg megengedhetjük, hogy az áramlás mindkét irányba történjen. Az ilyen gráfot irányítatlan gráfnak nevezzük Minimális feszítőfa probléma 4.1. mintapélda. Egy bank rövidesen számítógépes hálózattal akar kapcsolatot létesíteni összes fiókja és a központi hivatalban levő számítógépe között, különleges telefonvonalakkal és távközlési eszközök felhasználásával. Nem szükséges, hogy a fiókoktól a központhoz közvetlenül csatlakozzanak a telefonvonalak: közvetve is csatlakozhatnak úgy, hogy egy másik fiókhoz csatlakoznak, amely (közvetve vagy közvetlenül) csatlakozik a központhoz. Az egyetlen követelmény, hogy minden fiók valamilyen útvonalon keresztül csatlakozzék a központhoz. A speciális telefonvonalak díja egyenesen arányos a távolsággal. Az alábbi táblázat km-ben kifejezve megadja a távolságokat. 1. központ 2. fiók 3. fiók 4. fiók 5. fiók 6. fiók 1. központ fiók fiók fiók fiók fiók A feladat: meghatározandó, hogy mely bankfiók-párokat kell összekötni a speciális telefonvonallal, hogy minden fiók(közvetve vagy közvetlenül) össze legyen kötve a központtal, a költség pedig a lehető legkisebb legyen. Megoldás. Az ilyen típusú feladatokat minimális feszítőfa problémáknak nevezzük. Ebben az összefüggésben a minimális feszítőfa problémája úgy fogalmazható meg, hogy mely szállítóútvonalak szolgálják ki az összes helyet, a lehető legkisebb összköltséggel. A feladat megoldása nagyon egyszerű, mivel ez az egyike azon operációkutatási problémáknak, ahol ha mohók vagyunk a megoldási folyamat minden lépésében, akkor optimális megoldást kapunk. Az első lépésben kiválasszuk a legrövidebb élt, azaz a mátrix legkisebb számához tartozó élt: (2, 6). Ennek értéke 50. Ezt az 50-es értéket kiválasztottnak tekintjük és úgy a második sorban mint az hatodik sorban kijelöljük. Ezután meg kell határozni azt a legközelebbi csomópontot, amely még nincs az eddigiekkel összekötve, azaz 2-es és 6-os sorokból kiválasztjuk a legkisebb ki nem választott elemet. Ez a 80 és a hozzá tartozó

101 4. Hálózatok elemzése 93 él(4, 6). Folytatjuk az algoritmust. Most már a 2-es, 4-es, 6-os sorokból kell kiválasztani a legkisebbkinemválasztottelemet. Amiesetünkbenez100. Ahozzátartozóélpedig(2,3). Ezutánkikellválasztania2-es,3-as,4-esés6-ossorokbólalegkisebbmégkinemválasztott elemet. Eza70ésazél(1,3). Maradtméga5-öscsomópont,amely3-ascsomóponthozvan a legközelebb, ennek az értéke 120. Az összes csomópont ki van választva és a keresett minimálisfeszítőfa: (2,6),(4,6),(2,3),(1,3),(3,5).Ennekösszértéke: = ábra. Minimális feszítőfa kezdőtáblája A feladat a WinQSB hálózatok modellezése(network Modeling) eszköztárával is megoldható. Itt a kezdőtáblából kiválasztjuk a Minimális feszítőfa probléma típust(minimal Spanning Tree). Ezután megadjuk a csomópontok számát(number of Nodes). A mi esetünkben 6. Hairányítatlangráfrólvanszójó,habevanjelölve,hogyszimmetrikusamátrix(Symmetric Arc Coefficients), mert ebben az esetben csak a főátló feletti részt kell kitölteni, a főátló alatti együtthatók automatikusan megjelennek az adatbevitel után(4.2. ábra). Az OK gombra kattintva betöltődik az adattábla, amelyet a táblázatban megjelenő adatokkal fel kell tölteni(4.3. ábra) ábra. A minimális feszitőfa adattáblája. Az síző emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a minimális feszítőfát és betölti az alábbi táblázatot(4.4. ábra): 4.4. ábra. Minimális feszítőfa eredménytáblája

102 94 4. Hálózatok elemzése Atáblázatból leolvasható, hogy a minimális feszítőfa: (3,2), (1,3), (6,4), (3,5), (2,6) láncésazösszhossz420km. AfeszítőfátaWinQSBkiisrajzolja,haahálózat( )ikonra kattintunk Legrövidebb út probléma A legrövidebb út problémája egy hálózatban egy adott csomópontból kiindulva a többi csomópontba vezető legrövidebb út meghatározását jelenti. Ennek megoldására alkalmas a Dijkstra algoritmus, amennyiben minden él hossza nemnegatív szám: Lássuk el az első csomópontot az állandó 0 címkével. Minden olyan i csomópontot lássunk el ideiglenesen az(1, i) él hosszával mint címkével, amelyhez vezet él az első csomópontból. Minden más csomópont (az első kivételével) kapja ideiglenesen az címkét. A legkisebb címkéhez tartozó egyik csomópont címkéjét állandónak minősítjük. Tegyük fel, hogy az i volt az utolsó, a(k +1)-edik csomópont, amely állandó címkét kapott. Akkor i a k-adik legközelebbi csomópont az elsőhöz. Az ideiglenes címkével rendelkező j csomópontok címkéit módosítsuk az (i címkéje + az (i, j) él hosszúsága) értékre, ha ez kisebb, mint j eddigi ideiglenes címkéje. Ezután ismét adjunk végleges címkét egy olyan csomópontnak, amelynek címkéje a maradék ideiglenes címkék legkisebbike. Folytassuk az eljárást, amíg minden csomópont állandó címkét nem kap. Ha minden csomópontnak végleges címkéje van, akkor az első csomópontból egy j csomópontba vezető legrövidebb utat a j csomópontból visszafelé haladva olyan csomópontokon keresztül jutunk el az első csomópontba, amelyektől a rákövetkezőbe vezető él hossza épp a két címke különbsége mintapélda (Alpinista). Egy alpinista a 4.5. ábrán megadott vázlatos térkép alapján el kell jusson az 1-essel jelölt alaptáborból a 7-essel jelölt hegycsúcsra. A hálózat élein a különböző pihenők közti utak megtételéhez szükséges átlagos időtartamok vannak megadva. Milyen útvonalon haladjon ahhoz, hogy a legrövidebb idő alatt felérjen a hegycsúcsra ábra. Az alpinista mintapélda úthálózata. Megoldás. A legrövidebb utat az előbb vázolt Dijkstra algoritmussal határozzuk meg. 1. lépés. Címkézés. Az első csomópontból a 2., 3., és 4. vezet él, ezért kezdetben a csomópontok címkéi: [0,45,40,60,,, ].

103 4. Hálózatok elemzése lépés. Kiválasztjuk a legkisebb nullától különböző címkét: [0,45,40,60,,, ]. 3. lépés. Választjuk 3. csomóponthoz legközelebbi csomópontot, ez az 5. csomópont. Tehátennekmegfelelőcímkemin{,40+30}=70.Azújcímkék: [0,45,40,60,70,, ]. 4. lépés. Kiválasztjuk a legkisebb nullától különböző még nem jelzett címkét. Ez a 2-es csomópont címkéje a 45, majd a 2-es csomóponthoz legközelebbi csomópontot. Ez a 4-es. Ígyanégyescsomópontújcímkéjemin{60,45+35}=60.Tehátazújcímkék: [0,45,40,60,70,, ]. 5. lépés. Folytatjuk a 4. lépésben bemutatott címkézési eljárást. A legkisebb nem jelzett címke a 4-es csomóponté, értéke 60. A 4. csomóponthoz legközelebbi csomópont a 6-os. Ennekújcímkéje min{,60+25}=85.azújcímkék: [0,45,40,60,70,85, ]. 6. lépés. A legkisebb nem jelzett címke az 5-ös csomóponté, a 70. Az 5-höz legközelebbi csomóponta7-es. Ennekújcímkéjemin{,70+50}=120.Tehátazújcímkék: [0,45,40,60,70,85,120]. 7. lépés. Most a legkisebb címke a 6-os csomóponté, a 85. A hozzá legközelebbi csomópont a7-es. Ennekújcímkéjemin{120,85+30}=115.Azújcímkék: [0,45,40,60,70,85,115 ]. 8. Még csak a 7. címke nincs kijelölve, ezt is jelöljük és befejezzük a kiválasztási algoritmust. A végső címkék: [0,45,40,60,70,85,115 ]. 9. Visszafele haladva a címkék különbségéből megkapjuk annak az élnek az értékét, amelyen keresztül eljutunk a kiindulási csomópontba. Mivel115 85=30,ezérta7-bőla6-bakelllépjünk. A6-bólcsaka4-esbeléphetünk. A4-escímkéje60,amimegfelela60 0=60különbségnek,következésképpeninnenaz1-es csomópontba jutunk. Összefoglalva, a legrövidebb útvonal az 1-ből a 7-be az Az alpinista ezen az útvonalon 110 perc alatt éri el a hegycsúcsot. Ezt az algoritmust használja a WinQSB hálózati modelezés(network Modeling) eszköztára is. Itt a kezdőablakban ki kell választani a legrövidebb út problémáját(shortest Path Problem) feladattípust. Mivel irányítatlan gráfunk van, ezért az adatbevitelt megkönnyíti a szimmetrikus mátrix(symmetric Arc Coefficients) bejelölése. Ekkor az adattáblának csak

104 96 4. Hálózatok elemzése a főátló feletti részét kell kitölteni.a főátló alatti együtthatók automatikusan megjelennek az adatbevitel után(4.6. ábra). Az alpinista mintapéldában a csomópontok száma 7. Ezt a Number of Nodes mezőben adjuk meg ábra. A legrövidebb út probléma kezdőtáblája. Az OK-ra kattintva megjelenik a feladat adattáblája, amelyet háló élein levő értékekkel fel kell tölteni. Megjegyezzük, ha két csomópont között nincs él, akkor a megfelelő mezőt üresen hagyjuk(4.7. ábra) ábra. Az alpinista mintapélda adattáblája. A síző emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza az adott két csomópont között a legrövidebb utat és betölti az 4.8. eredménytáblát. A táblázatból kiolvasható, hogy a legrövidebbút: 1. csomópont(node1) 4. csomópont(node4) 6. csomópont(node 6) 7. csomópont(node 7). Az össztávolság(distance/cost) ábra. Az alpinista mintapélda eredménytáblája. A hálózat ikonjára ( ) kattintva a WinQSB megjeleníti a legrövidebb utat. Az eredmények (Results) menüpontjának paraméteres elemzés (Perform Parametric Analysis) eszköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk. Itt

105 4. Hálózatok elemzése 97 meghatározhatjuk valamelyik él hosszának függvényében a legrövidebb út hosszának változását Maximális folyam probléma Egyes döntési helyzetekben olyan hálózatot kell vizsgálni, amelyben az éleknek kapacitások feleltethetők meg. A kérdés az, hogy az egyik kitüntetett csúcsból, a forrásból egy másikba, a nyelőbe mi a maximális eljuttatható mennyiség a hálózat és a kapacitások figyelembevételével. Ezt a feladatot nevezzük maximális folyam problémának. A maximális folyam problémáját megoldó algoritmus: 1. lépés. Keressünk egy(szigorúan) pozitív áramlási kapacitású útvonalat a forrástól a nyelőig. Ha ilyen nincs, akkor a már kiosztott nettó áramok egy optimális folyamot alkotnak, és vége az algoritmusnak. 2. lépés. Keressük meg ebben az útvonalban a legkisebb megmaradó áramlási kapacitást. Jelöljükeztakapacitástc -gal,ésnöveljükmegezenútvonalonazáramotc -gal. 3. lépés. Csökkentsükc -galazútvonalmindenegyesélénamegmaradóáramlásikapacitást. 4. lépés. Térjünk vissza az első lépéshez mintapélda (Katasztrófa terv). Az alábbi táblázat megmutatja, hogy egy város öt csomópontja között vezető utaknak mekkora az áteresztő képessége, azaz időegység alatt a két csomópont között maximálisan hány jármű haladhat át. Ezeket az értékeket csúcsforgalom idején statisztikai elemzéssel határozták meg. A város vezetése katasztrófa tervet dolgoz ki, ezért szeretné megtudni az 1-es és 5-ös csomópontok között időegység alatt maximálisan áthaladható járművek számát. Végpont Kezdőpont Megoldás. Először is a táblázat alapján megrajzoljuk a hálózat 4.9.ábráját ábra. A katasztrófa terv mintapélda úthálózata. Amit látható, ez a(4.9.) hálózat már irányított és az éleken megjelenő számok azt mutatják meg, hogy időegység alatt a csomópontok között, a megadott irányba maximálisan

106 98 4. Hálózatok elemzése ábra. Az algoritmus lépései. hány autó haladhat át. A feladat megoldásához a paragrafus elején bemutatott algoritmust alkalmazzuk. 1. lépés. Választjukaz1 3 5útvonalat. Ittalegkisebbkapacitása15. Eztrendeljük hozzá az útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a 15-öt és az ellenkező élen feltüntetjük a levont értéket. Így a ábra első grafikonján megadott folyamot kapjuk. 2. lépés. Választjukaz1 2 5útvonalat. Ittalegkisebbkapacitása20. Eztrendeljük hozzá az útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a 20-at és az ellenkező élen feltüntetjük a 20-at. Így a ábra második grafikonján mutatott folyamot kapjuk. 3. lépés. Választjukaz1 4 5útvonalat. Ittalegkisebbkapacitása20. Eztrendeljük hozzá az útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a 10-et és az ellenkező irányba feltüntetjük ezt. Így a ábra harmadik grafikonja által mutatott folyamot kapjuk. 4. lépés. Figyelmesen elemezve a ábra harmadik hálózatát láthatjuk, hogy nem kapunk egyetlen utat sem az 1-től az 5-ig. Tehát a maximálisan áthaladható járművek száma 45 és az úthálózat legjobban ki van használva, ha útvonalon 15, az 1 2 5útvonalon20ésaz1 4 5útvonalonidőegységalatt10járműhaladát. Nagy hálózatok esetén elégé bonyolult a maximális folyam meghatározása, de a hálózat maximálisfolyam értékét megkaphatjuk az úgynevezett minimális vágás segítségével. A vágás az irányított élek egy olyan halmaza, amely minden a forrástól a nyelőig vezető útvonalból tartalmaz legalább egy élt. Ha vágáshoz tartozó éleket töröljük a hálózatból, akkor a forrástól nem lehet eljutni nyelőig. A vágás értéke a vágáshoz tartozó élek kapacitásainak az összege. Maximális folyam- minimális vágás tétele azt mondja ki, hogy bármely hálózatra, amelyben egyetlen forrás és egyetlen nyelő van, a forrástól a nyelőig haladó maximális folyam értéke megegyezik a hálózat összes vágása értékének minimumával. A katasztrófa terv mintapéldában íme néhány vágás és értéke: V 1 = {1 2,1 3,1 4}, N(V 1 )= =60, V 2 = {2 5,3 5,4 5}, N(V 2 )= =61, V 3 = {1 2,1 4,3 5}, N(V 3 )= =45.

107 4. Hálózatok elemzése 99 Mivel a V 3 vágás értéke megegyezik a maximális folyam értékével, mindkettő 45, ezért a maximális folyam-minimális vágás tétele alapján biztosak lehetünk, hogy az általunk meghatározott folyam valóban maximális. A bemutatott algoritmust használja a WinQSB hálózati modellezés(network Modeling) maximális folyam (Maximal Flow Problem) eszköztárára is. Itt a kezdőtáblában ki kell választani a maximális folyam problémát (Maximal Flow Problem), és meg kell adni a csomópontok számát(number of Nodes), ami ebben a feladatban 5(4.11. ábra). Vigyázni kell, hogy mivel ennek a feladatnak a gráfja irányítótt nem legyen bejelölve a szimmetrikus mátrix(symmetric Arc Coefficients) opció ábra. A maximális folyam probléma kezdőtáblája. Az OK-ra kattintva a WinQSB betölti az adattábláját, amit a mintapélda adataival fel kel tölteni(4.12. ábra) ábra. A katasztrófa tervezés mitapélda adattáblája. A síző emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a maximális folyamot a forrás (1-es csomópont) és a nyelő(5-ös csomópont) között, és betölti az eredménytáblát. A táblázatból kiolvasható, hogy az egyes éleken időegység alatt hány jármű kell haladjon, hogy a hálózaton időegység alatt legtöbb jármű eljusson az 1-ből az 5-be ábra. A katasztrófa terv mintapélda eredménytáblája.

108 Hálózatok elemzése A hálózat ikonjára( ) kattintva a WinQSB grafikusan is megjeleniti az eredményt. Az eredmények(results) menüpontjának paraméteres elemzés (Perform Parametric Analysis) eszköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk. Itt meghatározhatjuk valamelyik él kapacitásának függvényében a maximális folyam értékének változását Utazó ügynök probléma Az utazó ügynök problémát a nemzetközi szakirodalom traveling salesman problémának (TSP) nevezi. Az elnevezés eredete azokra a kereskedelmi ügynökökre vezethető vissza, akik azt a feladatot kapták, hogy meghatározott számú ügyfelet keressenek fel, majd térjenek vissza kiinduló állomásukra. Az ügynök nyilvánvalóan arra törekszik, hogy lehetőség szerint a legrövidebb út megtételével hajtsa végre a feladatot. Később a szállítási és anyagmozgatási területen is alkalmazták a problémát és megoldását. Advavannszámúváros. Jelöljönezekközülkettőtiésj. Ekkorismertezekc ij távolsága. A feladat egy adott városból kiindulva a legrövidebb úton bejárni valamennyit úgy, hogy mindegyiket csak egyszer érintsük és utunkat a kezdőpontban fejezzük be. Analóg módon, ha egy gépen az adott időszakra (pl. egy műszakra) úgy akarjuk az elvégzendő munkák sorrendjét meghatározni, hogy az átállási idők összege minimális legyen. Ebben az esetben c ij azi-edikésj-edikmunkadarabközöttiátszerszámozásiidő. Egymásikalternatíva,amikor pl. a megmunkálási időket is figyelembe vesszük, és egy harmadik, amikor a cél a határidők betartása(több berendezésre készülő együttes program esetén) mintapélda (Árukihordó). Egy tehergépkocsival árukihordást végeznek, az A pontbólindulvakellbejárniahateladóhelyet(b,c,d,e,f,g)ésvisszakellérniaza-ba de úgy, hogy mindegyik helységet csak egyszer lehet érinteni. A köztük lévő távolságokat km-ben megadva az alábbi táblázat tartalmazza: A B C D E F G A B C D E F G Milyen útvonalat kell választani, hogy az útvonal hossza a lehető legkisebb legyen. Jelöljükx ij -velazt,hogyazi.helységbőlmegy-eaj.helységbeazárukihordó. Haigen, akkorx ij =1,hapedignem,akkorx ij =0.Ekkora z = 10x x x x x 21 +8x 23 +3x 24 +2x x 31 +8x 32 +7x 34 +3x 37 +3x 42 +7x 43 +2x 45 +8x 46 +5x x 51 +2x 54 +x x 61 +2x 62 +8x 64 +4x 67 +3x 73 +5x 74 +x 75 +4x 76

109 4. Hálózatok elemzése 101 függvény adja meg a megtett út hosszát. Mivel minden helységből csak egy olyan másik helységbe mehet az árukihordó, amelyhez vezetút,ezértazx ij döntésiváltozókkellteljesítsékazalábbifeltételeket: x 12 +x 13 +x 15 +x 16 = 1, x 21 +x 23 +x 24 +x 26 = 1, x 31 +x 32 +x 34 +x 37 = 1, x 42 +x 43 +x 45 +x 46 +x 47 = 1, x 51 +x 54 +x 57 = 1, x 61 +x 62 +x 64 +x 67 = 1, x 73 +x 74 +x 75 +x 76 = 1. Teljesen hasonlóan, minden helységbe csak egy másik olyan helységből jöhet az árukihordó, amelybőlvezetút,ezértazx ij döntésiváltozókkellteljesítsékazalábbifeltételeket: x 21 +x 31 +x 41 +x 51 = 1, x 12 +x 32 +x 42 +x 62 = 1, x 31 +x 32 +x 34 +x 37 = 1, x 24 +x 34 +x 54 +x 64 +x 74 = 1, x 15 +x 45 +x 75 = 1, x 16 +x 26 +x 46 +x 76 = 1, x 37 +x 47 +x 57 +x 67 = 1. E két feltétel teljesülése esetén még előfordulhat, hogy a kapott útvonal különálló körutakból áll, ami a feladat eredeti megfogalmazásának nem felel meg. Ha lenne olyan zárt körút, amely nem tartalmazza az összes csomópontot, akkor az ehhez tartozó városok alkotta I halmazra x ij =0 i I j {1,2,3,4,5,6,7} I Tehát annak feltétele, hogy az árukihordó visszaérjen a kezdőpontba és minden helységen csak egyszer menejen át: i I j {1,2,3,4,5,6,7} I x ij 1,mindenI {1,2,3,4,5,6,7}, I. (4.1) Mivel az {1,2,3,4,5,6,7} halmaznak = 127 nem üres részhalmaza van, ezért ez utóbbi feltétel 127 egyenlőtlenséget tartalmaz. Egy példa egy ilyen egyenlőtlenségre. Ha I={1,2,3},akkor x ij 1, azaz i {1,2,3} j {4,5,6,7} x 15 +x 16 +x 24 +x 26 +x 34 +x Így a hét helységes utazó ügynök feladat lineáris programozási modelljében összesen = 141 feltétel van. Ezek felírása és számítógépes megoldása is nagyon időigényes

110 Hálózatok elemzése feladat. A. Tucker 1960-ban segédváltozók bevezetésével kevesebb feltétellel fogalmazta újra a feladatot. Nála a 4.1. feltétel így írható: u i u j +(n 1)x ij n 2,ahol2 i j n. x ii = 0, u i 0, u i egészszám. Amintapéldábann=7. Összefoglalva, a mintapélda Tucker féle lineáris programozási modellje: z=10x x x x x 21 +8x 23 +3x 24 +2x x 31 +8x 32 +7x 34 +3x 37 +3x 42 +7x 43 +2x 45 +8x 46 +5x x 51 +2x 54 +x x 61 +2x 62 +8x 64 +4x 67 +3x 73 +5x 74 +x 75 +4x 76 min, x 12 +x 13 +x 15 +x 16 =1, x 12 +x 13 +x 15 +x 16 =1, x 31 +x 32 +x 34 +x 37 =1, x 42 +x 43 +x 45 +x 46 +x 47 =1, x 51 +x 54 +x 57 =1, x 61 +x 62 +x 64 +x 67 =1 x 73 +x 74 +x 75 +x 76 =1, x 21 +x 31 +x 41 +x 51 =1, x 12 +x 32 +x 42 +x 62 =1, x 31 +x 32 +x 34 +x 37 =1, x 24 +x 34 +x 54 +x 64 +x 74 =1, x 15 +x 45 +x 75 =1, x 16 +x 26 +x 46 +x 76 =1, x 37 +x 47 +x 57 +x 67 =1 u i u j +6x ij 5,ahol2 i j 7mindenacélfüggvényben előforduló döntési változóra. x ij {0,1} u i 0, u i egészszám. Az utazó ügynök feladat nagyszámú feltételére, és a nagy műveletigényére tekintettel a feladatot szokás egyrészt korlátozás és szétválasztás módszerével (Branch and Bound Method) megoldani, másrészt gyors, heurisztikus közelítő eljárásokat alkalmazni. Kis számú csomópont esetén a korlátozás és szétválasztás módszerét javasolt használni, mert ez a pontos megoldást adja, nagyszámú csomópont esetén pedig heurisztikus eljárásokkal közelítő megoldást keresni. A WinQSB utazó ügynök (Traveling Salesman Problem) eszköztára négy eljárást tartalmaz: a korlátozás és szétválasztás módszerét, valamint a legközelebbi helység hozzáadása(nearest Neighbor Heuristic), a legolcsóbb beszúrás(cheapest Insertion Heuristic) és a választás két él cseréje közül (Two-way Exchange Improvement Heuristic) heurisztikus közelítő módszereket. A heurisztikus módszer lényege, hogy egy véletlenszerű választással a kezdetben véletlenszerűen megadott útvonalból a körutakat feloldja. A továbbiakban WinQSB utazóügynök eszköztárának korlátozás és szétválasztás módszerét alkalmazzuk a mintapélda megoldására. A hálózatok modellezése(network Modeling) kezdőablakjában kiválasztjuk az utazó ügynök(traveling Salesman Problem) feladattípust és megadjuk a csomópontok (Number of Nodes) számát (4.14. ábra). Mivel irányítatlan gráfunk van, ezért az adatbevitelt megkönnyíti a szimmetrikus mátrix(symmetric Arc Coefficients) bejelölése.

111 4. Hálózatok elemzése ábra. Az utazó ügynök eszköztár kezdőtáblája. Az OK-ra kattintva betöltődik a feladat adattáblája, amelyet a távolságokat tartalmazó táblázat szerint fel kell tölteni(4.15. ábra). A táblázatban a csomópontok újranevezését az Edit menüpont Node Names táblájában végezhetjük el ábra. Az árukihordó mintapélda adattáblája. A síző emberke ikonra kattintva megjelenik a módszert kiválasztó abalak(4.16. ábra) ábra. Az utazóügynök feladat módszereit kiválasztó tábla. Mivel nincs sok csomópontunk, használhatjuk a korlátozás és szétválasztás módszerrét (Branch and Bound Method). Ezt kiválasztva, és a megoldás(solve) gombra kattintás után a WinQSB megolja a problémát és betölti az eredménytáblát.

112 Hálózatok elemzése ábra. Az árukihordó mintapélda eredménytáblája. A táblázatból kiolvasható, hogy a legrövidebb útvonal: A C G E D F B A. Ennekazútvonalnakahossza38km. Az eredmények(results) menüpontjának paraméteres elemzés(perform Parametric Analysis) eszköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk. Itt meghatározhatjuk valamelyik él hosszának függvényében az utazó ügynök probléma legrövidebb útvonalhosszának a változását valamely él hosszának függvényében Kitűzött feladatok 1. Csíkszereda város öt negyede között telefonvonalakat akarnak telepíteni úgy, hogy a hálózatban mind az öt negyed elérhető legyen. A negyedek közötti távolságokat méterben az alábbi táblázat tartalmazza: 1. negyed 2. negyed 3. negyed 4. negyed 5. negyed 1. negyed negyed negyed negyed negyed Tudjukaztis,hogyaz1-esésa4-esnegyedközöttközvetlenkapcsolatnemlétesíthetőés a telepítés költsége arányos a távolságokkal. Hogyan járjanak el, hogy a kiépítés költsége a legkisebb legyen 2. Egy település utcahálózatának kereszteződései legyenek a pontok, az összekötő szakaszok az élek(4.18. ábra). Az önkormányzat a jelenlegi utcahálózat bizonyos szakaszain(mindkét irányban használható) kerékpárutat akar kiépíteni. A kiépítés költsége a hálózat minden szakaszára ismert. Mely szakaszokon építsenek kerékpárutat, ha be kell tartani az alábbi követelményeket: a. Minden pontból minden pontba el lehessen jutni, csak a kerékpárutak használatával is. b. A kiépítés költsége a lehető legkisebb legyen.

113 4. Hálózatok elemzése ábra. A 2. feladat ábrája. 3. Egy elektromos áramkör tervezésekor 5 darab IC-t használnak. Mindegyik IC-nek egy bemeneti és egy kimeneti portja van és bármelyikkel össze lehet kötni. Az alábbi táblázat megadja a többrétegű nyákon elhelyezet IC-k közti távolságokat mm-ben megadva. IC-k Határozzuk meg a legrövidebb huzalozási lehetőséget. 4. Egy kőolaj társaságnak öt lelőhelye van. A lelőhelyek földrajzi koordinátáit az alábbi táblázat tartalmazza Koordináták Lelőhelyek (fokban) Bázis Földrajzi szélesség Földrajzi hosszúság A lelőhelyek közötti távolság jól becsülhető a koordináták különbségének összegével. Például az 1-es és 2-es lelőhelyközti távolság: (80 10)+(95 15) = 150 fok. Az igazgatóság repülővel utazva, ellenőrzést szeretne tartani úgy, hogy egy lelőhelyre csak egyszer megy. A bázisról indul és oda is érkezik vissza. Milyen sorrendben keressék fel a lelőhelyeket ahhoz, hogy a megtett útjuk a legrövidebb legyen?

114 Hálózatok elemzése ábra. A 6. feladat ábrája. 5. Egy helység vízvezetékének csomópontjai között az alábbi táblázatban megadott távolságok vannak: Élek Távolságok(km) A >B 7 B >C 8 A >E 4 B >D 6 C >D 3 D >E 5 D >F 1 C >F 2 Rajzoljuk meg a hálózatot és határozzuk meg az A és F csomópontok között a legrövidebb útat, valamint a hálózat minimális feszítőfájának hosszát. 6. Egyetemünknek 7 db. számítógépet egy föld alatti kábelhálózattal kell összekötni. Az alábbi ábra mutatja a gépek összekötéséhez szükséges kábelek hosszát méterben. Ha két csúcsközöttnemmegyél,azaztjelenti,hogyakéthelyszínközöttkábelnemfektethető. Minimálisan milyen hosszúságú kábelre van szükség (minimális kifeszítő fa probléma). Keressük meg az alábbi gráfban az 1-es pontból a 7-es pontba vezető legrövidebb utat! 7. Egy technológiai műveletsor elvégzéséhez a megmunkálandó tárgyat egy üzem A pontjából át kell vinni egy másik B pontjába. Az alábbi táblázat megadja a mozgatás során bizonyos fixpontok közötti távolságokat méterben kifejezve. AC AD CE DE EG EF FH HG HB GB RajzoljukmegahálózatotéshatározzukmegalegrövidebbutatazAésBpontokközött. Végezzünk parametrikus elemzést annak megállapítására, hogyan függ a legrövidebb út hossza az AC él hosszától.

115 4. Hálózatok elemzése Egy mobiltelefon 40 euróba kerül. Tegyük fel, hogy legfeljebb öt évig tudunk egy telefont használni, továbbá, hogy a becsült fenntartási költségek: Év Fenntartási költség euró euró euró euró euró Éppen most vettünk egy telefont. Feltéve, hogy egy használt telefont már nem tudunk értékesíteni, határozzuk meg, hogyan minimalizálhatjuk az elkövetkező hat évre a telefonnal kapcsolatos vételi és fentartási költségeinket. Fogalmazzuk meg ezt a problémát, mint egy legrövidebb út feladatot! A feladat megoldásához használjuk a WinQSB programcsomagot! 9. Abarátunkmostvett egyújautót 11000Euróért. Az autóéves fenntartási költsége az autónak az évkezdettel számított korától függ, ahogyan az alábbi táblázat mutatja. Hogy elkerülje az idővel növekvő fenntartási költségek túl magasra emelkedését, a korosodó autót újra kell cserélje. A régi autó a második táblázatban feltüntetett áron számítják be a cserénél. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az új autó ára a teljes időszakban Euró. Céla nettó költséget=új autó ára+fenntartási költségek-lecserélt autó ára minimalizálása a következő öt évre vonatkozóan. a. Fogalmazzuk meg a problémát mint egy legrövidebb út feladatot és rajzoljuk meg a hálóját. b. Alkalmazva a legrövidebb út meghatározásához a WinQSB programot határozzuk meg az autó lecserélésének optimális időpontját. Az autó kora (év) Éves fenntartási költség(euró) Azautókora (év) Eladási ár(euró) Lehetséges-e olyan 7 csomópontból felépülő fát szerkeszteni, amelyek közül 4 csomóponthoz 3él,3csomóponthoz4éltartozik. 11. AzAkikötőben35hajótalálható,éselakarnakjutniaBkikötőbe. Időközbenmegkell álljanak a C, D, E, F, G, H, I, J kikötők valamelyikében élelmiszer és üzemanyag felvételre.

116 Hálózatok elemzése Az alábbi táblázatban adjuk meg az egyes kikötők fogadási képességét a többi kikötő irányából. Fogalmazzuk meg a problémát maximális folyam problémaként és határozzuk meg maximálisan hány hajó tud elérni a B kikötőbe és milyen útvonalakat válasszanak ennek érdekében. A C D E F G H I J B A C D E F G H I J B A Csíkszeredából (Cs) Bukarestbe (B) menő telefonhívások először vagy Szebenbe (Sz), vagy Brassóba(Br) mennek, majd vagy Plojesten(Pl), vagy Pitesten(Pi) keresztül jutnak el Bukarestbe. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes városok között egy adott időpontban hány telefonvonal szabad. Telefonvonalak Városok száma Cs-Br 700 Cs-Sz 700 Br-Sz 500 Br-Pl 200 Sz-Pi 800 Pl-Pi 400 Pl-B 200 Pi-B 700 Adjunk meg egy maximális folyam feladatot, annak eldöntésére, hogy maximálisan hány telefonhívás kezdeményezhető ebben az időpontban Csíkszeredából Bukarestbe. 13. Egy olajtársaság nyersolajat szivattyúz 3 kútból: K1, K2, K3 a T központi tárolóhelyre. Mindegyikkútkapacitása15m 3 /perc. Azolajavezetékekhálózatánfolyikát. Szivattyúzó állomások vannak mindhárom kútnál, és az 5 közbelső állomásnál. Ezen hálózat gráfja, a kapacitásokkal(m 3 /perc)ellátvaakövetkező ábra. A 13. feladat ábrája.

117 4. Hálózatok elemzése 109 Határozzuk meg, hogy percenként mekkora mennyiségeket kell pompálni a vezetékekbe ahhoz, hogy a lehető legnagyobb mennyiségű olaj érkezzék a T-be. 14. Tegyük fel, hogy óránként legfeljebb 200 gépkocsi közlekedhet az 1,2 és 3 városok közül bármelyik kettő között. Adjon meg egy maximális folyam feladatot, amellyel meg lehet határozni, hogy a következő két órában maximálisan hány gépkocsi küldhető az 1-városból a 3-as városba. 15. A Sándor, Todor, Balázs és Kis családok közös piknikre mennek. Négy autójuk van, ezek kapacitása a következő: Autó Hány személyes? 1. (Trabant) 3 2. (Volvo) 5 3. (Suzuki) 4 4. (Jeep) 5 Mindegyik család öttagú és kettőnél több személy egyik családból sem ülhet ugyanabba az autóba. Legtöbben hányan mehetnek piknikre? Fogalmazza meg a problémát maximális folyam feladatként! 16. Az eljövendő három hónap alatt egy vállalatnak két projektet kell befejeznie. Az 1-es projekt két hónap alatt befejezhető és még 4 havi munkát igényel. A második projekt három hónap alatt fejezhető be és még 6 havi munkát igényel. Mindegyik hónapban 5 munkás áll rendelkezésre, de egyetlen hónapban sem dolgozhat 3-nál több munkás ugyanazon a projekten. Adjon meg egy maximális folyam feladatot, annak eldöntésére, hogy befejezhető-e időben mind a két projekt. 17. Egy utazó ügynök feladata, hogy az 1, 2,...8-al jelölt városokat meglátogassa, de úgy hogy a legkisebb út megtételével mindegyik városon csak egyszer menjen át. Az alábbi táblázat tartalmazza a városok közti távolságokat(km-ben). Városok Városok Rajzoljuk meg a feladathoz rendelt hálózatot és határozzuk meg az optimális útvonalat. 18. A fagylaltoskocsi az A helyszínről indul, és a B, C, D és E helyszínekre fagylaltot kell vinnie, mielőtt visszatérne az A helyszínre. Az egyes helyszínek közötti távolságokat az alábbi táblázat mutatja: A B C D E A B C D E

118 Hálózatok elemzése A fagylaltoskocsi minimalizálni szeretné a megteendő össztávolság összegét. Milyen sorrendben keresse fel a helyszíneket? 19. Egy városnak öt kerülete van. Az alábbi táblázat mutatja, hogy hány percig tart, amíg egy reklámautó az egyik kerületből a másikba ér: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K K K K K A reklámautó bejárja a város összes kerületét. Működtetője minimalizálni szeretné a megteendő összidőtartamot. Honnan induljon és milyen sorrendben keresse fel a helyszíneket? 20. A kőnigsbergi Pregel folyót hét híd íveli át a következő módon: ábra. A 20. feladat ábrája. A XVIII. század végén a kőnigsbergi polgárok vetették fel a következő problémát. Lehet-e olyan sétát tenni, hogy közben mind a hét hídon (a, b, c, d, e, f, g) pontosan egyszer haladjunk át és visszaérjünk a kiinduló pontba?

119 5. fejezet Projektek ütemezése Az összetett munkafolyamatok rögzített befejezési időponttal való teljesítése gondos tervezőmunkát igényel. Ennek része az összefüggő események sorrendjének, időzítésének vizsgálata hálózati modellek segítségével. Ezeknek a feladatoknak a megkönnyítésére az 1950-es évek végétől kezdődően kifejlesztettek a hálózatokon és a hálózati módszereken alapuló formális eljárásokat. Ezek közül az eljárások közül a legkiemelkedőbbek a CPM(Critical Path Method- Kritikus út módszere) és a PERT(Program Evaluation and Review Technique- Program kiértékelés és áttekintés módszere). Számos nagy projekt tervezésekor használták ezeket a módszereket, pl. nagy szoftver rendszerek határidős kidolgozásánál, űrkutatási projektekben, vagy rakétaindítások visszaszámlálási eljárásának kidolgozásában. Mindkét eljáráshoz szükség van a projektet alkotó tevékenységek listájára(mint az 1. mintapéldánál adott táblázat). A projektet akkor tekintjük befejezettnek, ha minden részfeladata befejeződött. Minden tevékenységnek lehetnek előzményei, olyan munkafolyamatok, amelyeknek előbb be kell fejeződni ahhoz, hogy az adott tevékenység elkezdődhessen. A munkafolyamat lépéseinek ilyen összefüggését egy projekthálózattal adjuk meg. A tevékenységeket a hálózat gráfjának irányított élei definiálják, a csúcsok pedig a tevékenységek csoportjainak befejezését jelzik. A csúcsokat emiatt eseménynek is nevezzük. Az ilyen projekt-hálózatot AOA(Activity On Arc) hálózatnak nevezzük Kritikus út modszere, CPM A CPM módszert akkor alkalmazzák, amikor a munkafolyamat tevékenységeinek végrehajtási ideje biztosan tudható mintapélda (Faház építése). Egy lakás építése több elemi műveletből tevődik össze, amelyek az alábbi táblázatban vannak összefoglalva. Ismerjük mindegyiknek az időtartamát(munkahétben kifejezve) és a közvetlen előtte lévő műveleteket. 111

120 Projektek ütemezése Tevékenységek Időtartam Előző tevékenységek Terület vásárlása(a) 3 - Építkezési engedély kiváltása(b) 1 A Építőanyagok beszerzése(c) 5 B Építészek alkalmazása(d) 3 B Az építőtelep megszervezése(e) 1 D Az alap ásása(f) 4 E Vakolat a falazáshoz(g) 1 F, I Falak megépítése(h) 6 F, I Ajtó-ablak tokok összeállítása(i) 2 C A tokok beszerelése(j) 1 F,I A tetőzet megépítése(k) 5 G, H, J Szobák plafonozása(l) 3 K Villanyáram bevezetése(m) 2 K Víz bevezetése(n) 2 K Külső vakolás(o) 3 K Belső vakolás(p) 4 L, M, N Padló lerakása(q) 4 P Meszelés és festés(r) 3 Q Ajtók és ablakszemek összeállítása(s) 10 F, I Ajtók és ablakszemek beszerelése(t) 1 S Azépületátadása(U) 1 O,R,T a. Rajzoljuk meg a munkálathoz tartozó gráfot. b. Határozzuk meg a projekt végrehajtásának minimális időtartamát. c. Határozzuk meg a legkorábbi és legkésőbbi kezdési időpontokat. d. Számoljuk ki a tevékenységek tűrési értékeit. e. Határozzuk meg a kritikus útvonalat. f. Rajzoljuk meg a műveletek Gantt diagramját. Megoldás. a. Figyelembe véve a táblázatban megadott tevékenységi sorrendet az 5.1. ábrán bemutatott hálózathoz jutunk. A hálózatban az élek jelentik a tevékenységeket. Mindegyik él mellett zárójelben feltüntettük a tevékenység időtartamát is. A szaggatott vonallal jelölt éleket vakélekneknevezzük, mivel ezek csak sorrendiséget mutatnak és nem jelentnek tevékenységet. Például a(8, 9) vakél azt mutatja, hogy a K tevékenység kezdeti csomópontja (kezdeti időpontja) az L tevékenység befejezési csomópontja(befejezési időpontja után jön). A vakél időtartama 0. b. Egy tevékenység kezdésének legkorábbi időpontja, az az időpont, amikor minden a tevékenységet közvetlen megelőző tevékenység már befejeződött. Kiszámítását az alábbi táblázatban mutatjuk be:

121 5. Projektek ütemezése ábra. Az 5.1. mintapélda projekthálózata. Közvetlenül A legkorábbi idő Maximum megelőző + a legkorábbi Tevékenység tevékenységek a tevékenységek időtartama idő A B A 0+3=3 3 C B 3+1=4 4 D B 3+1=4 4 E D 4+3=7 7 F E 7+1=8 8 G F, I 8+4=12, 9+2=11 12 H F, I 8+4=12, 9+2=11 12 I C 4+5=9 9 J F, I 8+4=12, 9+2=11 12 K G, H, J 12+1=13, 12+6=18, 12+1=13 18 L K 18+5=23 23 M K 18+5=23 23 N K 18+5=23 23 O K 18+5=23 23 P L, M, N 23+3=26, 23+2=25, 23+2=25 26 Q P 26+4=30 30 R Q 30+4=34 34 S F, I 8+4=12, 9+2=11 12 T S U O, R, T 23+3=26, 34+3=37, 22+1=23 37

122 Projektek ütemezése TehátazUtevékenységlegkorábbana37hétenkezdődhetelés1hetettart. Ígyaprojekt legkorábban a 38. hét végén fejezhető be. c. Egy tevékenység kezdésének legkésőbbi időpontja, az a legkésőbbi időpont, amikor tevékenységet még elkezdhetjük, anélkül, hogy a projekt legkorábbi befejezési időpontját késleltetnénk. Kiszámítását az alábbi táblázatban mutatjuk be: Közvetlenül A legkésőbbi idő Minimum rákövetkező - a legkésőbbi Tevékenység tevékenységek a tevékenység időtartama idő U T U 37-1=36 36 S T 36-10=26 26 R U 37-3=34 34 Q R 34-4=30 30 P Q 30-4=26 26 O U 37-3=34 34 N P 26-2=24 24 M P 26-2=24 24 L P 26-3=23 23 K L, M, N, O 23-5=18, 24-5=19, 24-5=19, 34-5=29 18 J K 18-1=17 17 I G, H, J, S 17-2=15, 12-2=10, 17-2=15, 26-2=24 10 H K 18-6=12 12 G K 18-1=17 17 F G, H, J, S 17-4=13, 12-4=8, 17-4=13, 26-4=22 8 E F 8-1=7 7 D E 7-3=4 4 C I 10-5=5 5 B C, D 5-1=4, 4-1=3 3 A B 3-3=0 0 d. Egy tevékenység tűrése a legkésőbbi és a legkorábbi kezdési időpontjai közötti különbség. Feltéve, hogy minden más tevékenység az ütemezés szerint zajlik, egy tevékenység tűrése megmutatja, hogy a tevékenység elvégzésében mekkora késés engedhető meg, amely még nem késlelteti a projekt legkorábbi befejezésének időpontját. Kiszámításához készítsük el az alábbi táblázatot:

123 5. Projektek ütemezése 115 Legkésőbbi Legkorábbi kezdési kezdési Tevékenység időpont időpont Tűrés A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U e. Azokat a tevékenységeket, amelyek tűrése nulla kritikus tevékenységeknek nevezzük. Egy projektben a kritikus útvonal egy olyan a hálózat kezdőpontjától a befejezési pontig tartó útvonal, amelyen a tevékenységek tűrése nulla. Ebben a mintapéldában a kritikus útvonal: A B D E F H K L P Q R U. A legkorábbi és a legkésőbbi időpontokra, a tűrésekre és a kritikus útvonalra vonatkozó információk nagyon értékesek a projektvezető számára, mert lehetővé teszik, hogy meghatározza, hol kell különleges erőfeszítéseket kifejteni ahhoz, hogy ne késsünk, és hogy felbecsülje az ütemezéshez képest végbemenő csúszások hatását. f. A feladatot meg lehet oldani a WinQSB PERT/CPM eszköztára segítségével is. Ekkor a kezdő ablakban ki kell választani a CPM módszert(deterministic CPM), meg kell adni a tevékenységek számát(number of Activities). Ebben feladatban ez 21. Vigyázni kell, hogy ennél a feladattípusnál csak a normál idő(normal Time) legyen kijelölve(lásd a 5.2. ábrát). Afeladatbanazidőegységeahét(TimeUnit: week). Az OK gombra kattintva megjelenik a feladat adattáblája. Itt a második oszlopban(activity Name) meg kell adni a tevékenységek elnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagy betűivel jelöljük, úgy mint a feladatban, akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. A második oszlopban(immediate predecessor) a tevékenységet közvetlen megelőző tevékenységeket kell felsorolni. Ha több van, akkor az elválasztó a vessző. A harmadik oszlopba (Normal Time) a tevékenységek időtartamát kell beírni(lásd a 5.3. ábrát).

124 Projektek ütemezése 5.2. ábra. A CPM módszer kezdőtáblája ábra. Az 5.1. mintapélda adattáblája. A síző emberke ikonra kattintva megjelenik a feladat 5.4. eredménytáblája. A táblázatból kiolvasható, hogy a projekt legkorábbi befejezésének időpontja (Project Completion Time) 38 hét, és a feladatban van egy kritikus útvonal (Number of Critical Path(s)=1). Az első oszlop (Activity Name) a tevékenységek elnevezését tartalmazza. A második oszlop(on Critical Path) azt mutatja meg, hogy a tevékenység a kritikus útvonalon van-e(igen=yes, Nem=No). A harmadik oszlop(activity Time) a tevékenység időtartamát, a negyedik oszlop(earliest Start) a legkorábbi kezdési időpontot, az ötödik oszlop(earliest Finish) a legkorábbi befejezési időpontot, a hatodik oszlop(latest Start) a legkésőbbi kezdési időpontot, a hetedik oszlop (Latest Finish) a legkésőbbi befejezési időpontot, a nyolcadik oszlop(slack LS-ES) pedig a tűrési értékeket mutatja.

125 5. Projektek ütemezése ábra. Az 5.1. mintapélda eredménytáblája. A vezető számára a legfontosabb a Gantt diagram, ami grafikusan szemlélteti az eredménytáblaadatait. EztaWinQSB-benadiagram( )ikonrakattintvaérjükel(lásda5.5. ábrát): 5.5. ábra. Az 5.1. mintapélda Gantt diagramja.

126 Projektek ütemezése Az ábrán különböző színekkel vannak megjelenítve a tevékenységek időtartamai. Egy tevékenységnél a felső téglalapok a legkorábbi kezdés-befejezést, az alsók pedig a legkésőbbi kezdés-befejezést szemléltetik. Ha a két téglalap kezdeti- és végpontja egybeesnek, akkor az illető tevékenység kritikus. Habár egy projekt-hálózatban a kritikus út megkeresése könnyen programozható, a CPM módszer lineáris programozási feladattal is modellezhető. Ennek érdekében jelölje x j a j- csúcsponthoz tartozó esemény bekövetkezésének időpontját. Minden (i, j) tevékenységre igaz, hogy a j esemény előtt minden(i, j) tevékenységnek be kell fejeződnie. Ezért a projekthálózat minden (i,j) élére igaz: x j x i +t ij, ahol t ij jelöli az (i,j) tevékenység hosszát. Célunk az,hogy a befejezés-kezdés időtartam-különbséget minimalizáljuk. A mintapéldához tartozó lineáris programozási modell: z=x 19 x 1 min, x 2 x 1 +3, x 3 x 2 +1, x 4 x 3 +5, x 5 x 3 +3, x 6 x 4 +2, x 6 x 7 +4, x 7 x 5 +1, x 8 x 6 +1, x 9 x 6 +6, x 10 x 6 +1, x 11 x 6 +10, x 12 x 8 +5, x 12 x 9 +5, x 12 x 10 +5, x 12 x 11 +5, x 13 x 12 +3, x 14 x 12 +2, x 15 x 12 +2, x 16 x 13 +4, x 16 x 14 +4, x 16 x 15 +4, x 17 x 16 +4, x 18 x 17 +3, x 18 x 12 +3, x 18 x 11 +1, x 19 x 18 +1, x j 0, j=1,2,...,19.i 5.2. Idő-költség diagramon alapuló CPM módszer Gyakran előfordul, hogy a projektet hamarabb be kell fejezni, mint amennyi a kritikus út hossza. Ilyenkor pótlólagos erőforrások bevezetésével megpróbálják leszorítani a befejezési határidőt. Mindezt persze a lehető legkisebb költséggel szeretnék elérni. Ilyenkor minden egyes(i, j) tevékenységhez hozzárendeljük a 5.6. ábrán bemutatott úgynevezett idő-költség diagramot. Az ábrán a t n ij a normális időtartamot, a t c ij a gyorsított időtartamot, a p n ij anormálidőtartamhoztartozóköltségetésp c ij agyorsítottidőtartamhoztartozóköltséget jelentik. A grafikon azt mutatja meg, hogy az időtartam növekedésével hogyan esik a költség. Afeladataz,hogyhatározzukmegatevékenységekt ij [ t c ij,tn ij] időtartamátúgy,hogya befejezési határidő az előre ismert T időtartamnál kisebb és az összköltség pedig minimális legyen.

127 5. Projektek ütemezése ábra. Idő-költség diagram 5.2. mintapélda (Auditálás). Egy vállalat auditálásának első fázisában a könyvvizsgáló cégnek először meg kell tanulnia az ügyfelét. Ez a folyamat az alábbi táblázatban felsorolt tevékenységeket jelenti: Tevékenységek Időtartam(nap) Előző tev. A. A vizsgálat feltételeinek meghatározása 3 - B. Az auditálhatóság felbecslése 6 A C. A tranzakció típusok és hibalehetőségek azonosítása 14 A D. A rendszer leírása 8 C E. A rendszerleírás ellenőrzése 4 D F. A belső ellenőrzés értékelése 8 B, E G. Az auditálás menetének megtervezése 9 F a. Rajzoljuk meg a projekt-hálózatot, keressük meg a kritikus utat, határozzuk meg az egyes tevékenységek tűréshatárait! b. Tegyük fel, hogy a projektnek 30 nap alatt be kell fejeződnie. Bármelyik tevékenység hossza rövidíthető Az alábbi táblázat mutatja a normál és gyorsított időtartamokhoz tartozó költségeket euróban kifejezve. WinQSB segítségével határozzuk meg a minimális összköltséghez tartozó tevékenységi időtartamokat. Tev. Normál idő(t n ij ) Normál költs.. (pn ij ) Gyors. idő(tc ij ) Gyors. költs.(pc ij ) A B C D E F G c. Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét. Megoldás. a. Az 5.1. mintapéldában leírtak alapján járunk el. Figyelembevéve a táblázatban megadott tevékenységi sorrendet az 5.7. ábrán bemutatott hálózathoz jutunk: Alkalmazva a WinQSB PERT/CPM eszköztárát az alábbi tűréshatár-táblázatot kapjuk:

128 Projektek ütemezése 5.7. ábra. Az 5.2. mintapélda projekthálózata. Legkésőbbi Legkorábbi kezdési kezdési Tevékenység időpont időpont Tűrés A B C D E F G A kritikus út: A C D E F G. A projektet leghamarabbi befejezési időtartama 46 nap b. A WinQSB PERT/CPM eszköztárát alkalmazzuk (lásd a 5.8. ábrát). Ekkor a kezdő ablakban ki kell választani a CPM módszert (Deterministic CPM), meg kell adni a tevékenységek számát(number of Activities). Ebben feladatban ez 7. Ennél a feladattípusnál az adatmezőből (Select CPM Data Field) ki kell választani a normál időt(normal Time), a gyorsított időt(crash Time), a normál-költséget(normal Cost) és a gyorsított idő költségét(crash Cost). A feladatban az idő egysége a hét(time Unit: day) ábra. Az 5.2. mintapélda kezdőtáblája.

129 5. Projektek ütemezése 121 Az OK gombra kattintva megjelenik a feladat adattáblája. Itt a második oszlopban(activity Name) meg kell adni a tevékenységek elnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagy betűivel jelöljük, úgy mint a feladatban, akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. A második oszlopban(immediate Predecessor) a tevékenységet közvetlen megelőző tevékenységeket kell felsorolni. Ha több van, akkor az elválasztó a vessző. A harmadik oszlopba (Normal Time-t n ij)atevékenységeknormálidőtartamát,anegyedikoszlopbaagyorsítottidőtartamot (Crash Time - t c ij), az ötödik oszlopba a a normál költségeket (Normal Cost - p n ij), a hatodikoszlopbapedigagyorsítottidőköltségét(crashcost-p c ij)kellbeírni(lásda5.9. ábrát) ábra. Az 5.2. mintapélda adattáblája. A síző emberke kattintva megjelenik a feladat eredménytáblája(5.10. ábra) ábra. Az 5.2. mintapélda eredménytáblája. A táblázatból kiolvasható, hogy a projekt legkorábbi befejezésének időpontja (Project Completion Time) 46 hét, és a feladatban van egy kritikus útvonal (Number of Critical Path(s)=1). Az első oszlop (Activity Name) a tevékenységek elnevezését tartalmazza. A második oszlop(on Critical Path) azt mutatja meg, hogy a tevékenység a kritikus útvonalon van-e(igen=yes, Nem=No). A harmadik oszlop(activity Time) a tevékenység időtartamát, a negyedik oszlop(earliest Start) a legkorábbi kezdési időpontot, az ötödik oszlop(earliest Finish) a legkorábbi befejezési időpontot, a hatodik oszlop(latest Start) a legkésőbbi kezdési időpontot, a hetedik oszlop (Latest Finish) a legkésőbbi befejezési időpontot, a nyolcadik oszlop(slack LS-ES) pedig a tűrési értékeket mutatja. Kiolvasható az is, hogy a a projekt költsége (Total Cost of Project) normál időtartamok esetén 2200 euró. Ahhoz, hogy a projektet 30 nap alatt befejezzük, bizonyos tevékenységeket fel kell gyorsítani. Hogy melyikeket és mennyivel megkapjuk, ha az eredmények(results) menüpontból kiválasztjuk a gyorsítási analízis eszköztárat(perform Crashing Analysis- vagy az ikont). A

130 Projektek ütemezése megjelent táblából(5.11) kiolvasható, hogy normál időtartamok(project Completion time and cost based on normal time) esetén a projekt 46 nap alatt 2200 eurós költséggel végezhető el és ha minden tevékenységet a lehető legkisebb időtartam alatt végeznek el, akkor 23 nap szükséges, ekkor a költség pedig 4200 euró. Tehát a projekt 23 nap és 46 nap közötti időtartamban fejezhető be. A feladatban a projektet 30 nap alatt kell befejezni. Ezt a szükséges időtartam(desired completion time) mezőben adjuk meg a programnak. Az OKra kattintva megkapjuk az eredménytáblát ábra. A gyorsítási eszköztár vezérlőablaka ábra. A gyorsítási analízis eredménytáblája. Az eredménytáblából kiolvasható, hogy ha 30 nap alatt akarjuk befejezni a projektet, az nekünk euróba kerül. A tevékenységek javasolt időtartami(suggested Time) a 6. oszlopból olvashatók ki. A pluszköltségeket (Suggested time) a 7. oszlop mutatja. A projekt Gantt diagramját tartalmazza a ábra ábra. A projekt Gantt diagramja.

131 5. Projektek ütemezése 123 c. Jelöljük t A,t B,...,t G -vel az A G tevékenységhez szükséges a normál időtartamtól eltérő többlet időtartamokat. Először is meghatározzuk az egyes tevékenységek napi többletköltségeit a képlettel: m ij = pc ij p n ij t n ij tc ij Célunk az, hogy a teljes többletköltséget: m A = =50, m B= =100, m C = =83.33, m D= =75, m E = =100, m F = =75, m G = =80, z=50t A +100t B t C +75t D +100t E +75t F +80t G minimalizáljuk. Hax j aj-csúcsponthoztartozóeseménybekövetkezésénekidőpontja,akkor az(i, j) élre vonatkozó feltétel: x j x i +t n ij t ij, aholt ij az(i,j)éllelmegadotttevékenységidőtartama. Tehát,afeladatLPmodellje: z=50t A +100t B t C +75t D +100t E +75t F +80t G min, x 2 x 1 +3 t A, x 3 x 2 +6 t B, x 4 x t C, x 5 x 4 +8 t D, x 6 x 3 +8 t F, x 7 x 6 +9 t G, x j 0, j=1,2,...,7, t A,t B,...,t G Program kiértékelés és áttekintés módszere, PERT A CPM feltételezi, hogy a tevékenységek időtartama nagy biztonsággal ismert. Ez a feltétel nagyon sok esetben nem teljesül. A CPM-nek ezt a hiányosságát kisérli meg feloldani a program kiértékelés és áttekintés módszer(program Evaluation and Review Technique- PERT) azzal, hogy a tevékenységek időtartamát valószínűségi változónak tekinti. A Win- QSB 16 különböző valószínűségi eloszlás esetén képes elemezni a problémát: béta, binomiális, Erlang, exponenciális, geometriai, hipergeometriai, normál, pareto, Poisson, háromszögű, egyenletes, Weibull, hatvány, lognormal, Laplace, gamma. A leggyakrabban a béta eloszlást alkalmazzák. Ekkor a PERT az egyes tevékenységekkel kapcsolatban a következő három adatot igényli:

132 Projektek ütemezése a optimista becslés: a tevékenység időtartamának becslése a legkedvezőbb feltételek mellett; b pesszimista becslés: a tevékenység időtartamának becslése a legkevezőtlenebb feltételek mellett; m legvalószínűbb becslés: a tevékenység időtartamának legvalószínűbb értéke. Aháromadatközöttmindigérvényesekaza m begyenlőtlenségek. Haatevékenységek béta eloszlást követnek, akkor az(i, j) tevékenység időtartamának várható értéke: M(t ij )= 1 ( ) aij +b ij m ij (5.1) és varianciája: V (t ij )= (b ij a ij ) 2, 36 ahola ij az(i,j)élheztartozótevékenységidőtartamánakoptimista,b ij az(i,j)élheztartozó tevékenységidőtartamánakpesszimistaésm ij pedigaz(i,j)élheztartozótevékenységidőtartamának legvalószínűbb becslése. A PERT feltételezi, hogy a tevékenységek időtartamai egymástól független valószínűségi változók és hogy a kritikus út kellően sok tevékenységből áll ahhoz, hogy a centrális határeloszlás tétele alkalmazható legyen.ebben az esetben a kritikus út várható hossza a kritikus úton elhelyezkedő tevékenységek várható időtartamainak az összege. A kritikus utat alkotó tevékenységek teljes varianciája megegyezik a kritikus úton levő tevékenységek varianciáinak összegével. Feltételezve, hogy a várható időtartamokkal számított kritikus út lesz a tényleges kritikus út, továbbá, hogy alkalmazható a centrális eloszlás tétele és a kritikus út normális eloszlásúnaktekinthetőm(cp)várhatóértékkelésv (CP)varianciával,ahol M(CP) = M(t ij ) és ACP-kritikusútszórása V (CP) = (i,j) kritikus űt (i,j) kritikus űt σ= V (CP). V (t ij ). Annak valószínűsége, hogy egy projekt T időtartam alatt befejeződik: ( CP M(CP) P(CP T)=P T M(CP) ) ( ) T M(CP) =Φ, σ σ σ aholφ=φ(x)astandardnormáliselosztástjelöli: Φ(x)= x e t2 dt és a standard normális eloszlás táblázatából olvasható ki.

133 5. Projektek ütemezése ábra. Az 5.3. mintapélda projekthálózata mintapélda(rockkoncert). Egy rockkoncert szervezőjének a következő táblázatban felsorolt teendői vannak: Időtartam(nap) Előző Tevékenységek a b m tevékenységek A. Helyszín keresése B. Mérnökök toborzása A C. Előzenekar biztosítása A D. Rádió és tv-hirdetések előkészítése C E. Jegyárusítás megszervezése A F. Hangosítás előkészítése B G. Plakátok nyomtatása C H. Szállítás megszervezése C I Próbák F, H J. Utolsó simítások I a. Rajzoljuk meg a projekt-hálózatot. b. Határozzuk meg a kritikus utat. c. Ha a szervező 99%-os eséllyel június 30-ig kész akar lenni minden előkészülettel, mikor kell elkezdenie a koncert helyszínének keresését? Megoldás. a. Figyelembevéve a táblázatban megadott tevékenységi sorrendet az ábrán bemutatott hálózathoz jutunk. b. A kritikus út meghatározása a CPM módszernél leírtak alapján történik úgy, hogy a tevékenységek időtartamának a várható értékeket tekintjük. A várható értékeket a 5.1. képlettel számoljuk ki és az alábbi táblázatba foglaltuk össze:

134 Projektek ütemezése ábra. A PERT módszer kezdőtáblája. Időtartam(nap) Várható Tevékenységek a b m érték(nap) A B C D E F G H I J A továbbiakban a WinQSB PERT/CPM eszköztárát alkalmazzuk (lásd a ábrát). Ekkor a kezdőablakban ki kell választani a PERT módszert(probabilistc PERT) és meg kell adni a tevékenységek számát(number of Activities). Ebben feladatban ez 10. A feladatban azidőegységeahét(timeunit: day). Az OK gombra kattintva megjelenik a PERT adattáblája, amit az adatlista alapján ki kell tölteni(5.16. ábra). Itt a második oszlopban(activity Name) meg kell adni a tevékenységek elnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagy betűivel jelöljük, úgy mint a feladatban, akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. A harmadik oszlopban(immediate Predecessor) a tevékenységet közvetlen megelőző tevékenységeket kell felsorolni. Ha több van, akkor az elválasztó a vessző. A negyedik oszlopba(opimistic time- a) a tevékenységek optimista időtartam becslése, az ötödik oszlopba a legvalószínűbb becslése( Most likely time- m), a hatodik oszlopba pedig a pesszimista becslése(pessimistic time- b) kerül.

135 5. Projektek ütemezése ábra. Az 5.3. mintapélda adattáblája. A síző emberke ikonra kattintva a WinQSB betölti az eredménytáblát. Innen leolvasható, hogy a projekt befejezésének várható legkorábbi időpontja(project Completion Time) 15.5 nap és a projektnek egy kritikus útja van (Number of Critical Path(s) = 1). A második oszlop(on Critical Path) megadja a kritikus útvonalon levő tevékenységeket( A B F I J). A harmadik opszlop (Activity Mean Time) a tevékenységek várható időtartamát ( M(t ij ) értékeket) tartalmazza. A negyedik oszlop (Earliest Start) a tevékenységek legkorábbi kezdési, az ötödik oszlop (Earliest Finish) a legkorábbi befejezési, a hatodik oszlop(latest Start) a legkésőbbi kezdési, a hetedik oszlop(latest Finish) a legkésőbbi befejezési időpontokat mutatja. A nyolcadik(slack LS-ES) oszlopban vannak feltüntetve a tevékenységek tűrései. A kilencedik oszlop azt mutatja, hogy a három becslésen alapulóeljárástalkalmaztuk,atízedikoszloppedigmegadjaaσ(t ij )= V (t ij )szórásokat ábra. Az 5.3. mintapélda eredménytáblája. c. Ha meg akarjuk tudni, hogy a 15.5 nap várható időtartam milyen valószínűséggel teljesül az eredmények(results) menüpontból kiválasztjuk a valószínűségi elemzés(perform Probability Analysis, vagy a%-jel ikont) eszköztárat(5.18. ábra), ahol a szükséges időtartam (Desired Completion Time) mezőben beírjuk a 15.5-öt. A szamítsd a valószínűséget(compute Probability) gombra kattintva kiolvasható, hogy a kritikus útvonal (Critical Path): A B F I J. A standard szórás (Standard deviation): , és a 15.5 nap várható időtartam 50% valószínűséggel(probability%) teljesül.

136 Projektek ütemezése ábra. A PERT valószínűségi elemzés eszköztára. Ha növeljük a szükséges időtartamot mondjuk 18 napra, és újra kiszámoltatjuk a valószínűséget, akkor erre már 94.81% kapunk, 19 napra pedig 98.86%-ot. Végül 20 napra 99.82% valószínűség jön ki. Tehát, ha alkalmazható a centrális eloszlás tétele és a kritikus út normális eloszlásúnak tekinthető, akkor június 30-adika előtt 20 nappal, azaz június 9-én kell elindítani a koncert szervezését. Legtöbb esetben nehéz eldönteni, hogy a centrális eloszlás tétele alkalmazható-e? Annak ellenőrzésére, hogy valóban a 20 nap 99.86% valószínűséggel teljesül-e használjuk a PERT szimulációs eszköztárát (Results-Perform Simulation, vagy a dobókocka ikon). A megjelent ablakban(5.19. ábra) a szükséges időtartamot 20-ra állítva és a szimuláció(simulate) gombra kattintva a szükséges időtartam relatív gyakorisága (% to finish in desired completion time) mezőben megjelenik a 99.8%, ami nagy közelítéssel megegyezik a 99.82% valószínűséggel. A relatív gyakoriságot a beállítás alapján (Number of simulated observations) a program 1000 megfigyelésből számolja ki ábra. A PERT szimulációs eszköztára. Érdemes megfigyelni a relatív gyakoriságok és a valószínűségek közötti eltéréseket. Ennek érdekében a szükséges időt 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 napra állítjuk, mint a valószínűségi elemzés, mint a szimulációs eszköztárnál és kiszámoljuk a valószínűségeket valamint a relatív gyakoriságokat. Az alábbi táblázat összefoglalja a kapott eredményeket:

137 5. Projektek ütemezése 129 Időtartam Valószín. Rel. gyak % 20.7% % 44.4% % 74.9% % 92.5% % 98.7% % 99.8% % 99.99% Látható, hogy amint az időtartam nő a relatív gyakoriság és a valószínűség közelít egymáshoz és, hogy a 20 nap valóban egy jó becslésnek tekinthető Kitűzött feladatok 1. A helyi kábel-tv társaság néhány izgalmas csatornával akarja bővíteni TV-szolgáltatását itt Csíkszeredában. A teendőket az alábbi táblázat tartalmazza: Közvetlen Időtartam Tevékenység Leírás előzmények (hét) A Csatornák kiválasztása - 2 B Bővítés engedélyeztetése A 4 C Jelerősítők megrendelése B 3 D Új parabola üzembe helyezése B 2 E Jelerősítők üzembe helyezése C, D 10 F Számlázási rendszer átalakítása B 4 a. Rajzoljuk meg a projekthálózatot, keressük meg a kritikus utat, határozzuk meg az egyes tevékenységek tűréshatárát. b. Mennyi idő szükséges a tervezet elkészítéséhez? 2. A következő táblázat egy kisebb projekt tevékenységeit tartalmazza: Időtartam Közvetlen Tevékenység (hét) előzmények A 3 - B 1 A C 2 B D 7 - E 8 A,D F 3 B G 1 E,F H 2 A,D Rajzoljuk meg a hálódiagramot. Adjuk meg a projekt elkészülésének legrövidebb időtartalmát és a kritikus útvonalat. Határozzuk meg az egyes tevékenységek tűréshatárát is.

138 Projektek ütemezése 3. Tekintsük egy faház építésének tevékenység listáját. Tevékenység Leírás Előzmények Időtartam A Alapozás - 5 B Falak A 8 C Tetőfedés B 10 D Villanyszerelés B 5 E Nyílászárok B 4 F Külsőburkolat E 6 G Festés C, F 3 Rajzoljuk meg a projekthálózatot és határozzuk meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! 4. Tekintsük az alábbi ütemezési feladatot: Tevékenység Előzmények Időtartam A - 2 B - 3 C A 4 D A,B 3 E C,D 8 F C 3 G E 2 H G,F 3 Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. 5. Egy projekt 11 tevékenységből áll (1, 2, 3,..., 11). A tevékenységek időtartalmát és a közvetlenül megelőző tevékenységeit az alábbi táblázat adja meg. Rajzoljuk meg a hálódiagramot, és határozzuk meg a kritikus útvonalat. Közvetlen Időtartam Tevékenység előzmények (hét) ,7, , 10 2

139 5. Projektek ütemezése Egy új termék piacra dobásához az alábbi előkészítő tevékenységeket végzik: Tevékenység Leírás Időtartam 1. A termék megtervezés 6 2. A csomagolás megtervezés 2 3. A termék anyagszükségletének megrendelés 3 4. A csomagolás anyagszükségletének megrendelés 2 5. A termék prototípusának elkészítése 4 6. A csomagolás prototípusának elkészítése 1 7. A csomagolás optimalitásának vizsgálata 1 8. Piackutatás 6 9. A termék végső tervének elkészítése A csomagolás végső tervének elkészítése A termék bemutatása a döntéshozó testülethez 1 A tevékenységek sorrendiségét az alábbi táblázat tartalmazza: Tevékenység Megjegyzés Tevékenység sorszáma 1. tevékenységet be kell fejezni 3. tev. megkezdése előtt 2. tevékenységet be kell fejezni 4. tev. megkezdése előtt 3. tevékenységet be kell fejezni 5. tev. megkezdése előtt 4. tevékenységet be kell fejezni 6. tev. megkezdése előtt 5. és 6. tevékenységet be kell fejezni 7. tev. megkezdése előtt 7. tevékenységet be kell fejezni 8. tev. megkezdése előtt 8. tevékenységet be kell fejezni 9. tev. megkezdése előtt 8. tevékenységet be kell fejezni 10. tev. megkezdése előtt 9. és 10. tevékenységet be kell fejezni 11. tev. megkezdése előtt Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. 7. Tekintsük az alábbi ütemezési feladatot: Tevékenység Előzmények Időtartam A - 5 B - 7 C - 6 D A 3 E B,C 4 F C 2 G A,D 6 H E,F 5 Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. Mi történik, ha az E vagy az F tevékenység 3 nappal csúszik? Befolyásolja-e ez az eredeti befejezési időpontot?

140 Projektek ütemezése 8. Barátai és Ön közösen lassagne vacsorához készülődnek. A teljesítendő feladatok, a hozzájuk szükséges időtartamok(percben), valamint a megelőzési kényszerek a következők: Tevékenység Leírás Előzmények Időtartam A Vásárold meg a mozzarella sajtot - 30 B Szeleteld fel a mozzarellát A 5 C Verj fel 2 tojást - 2 D Keverd el a tojásokat túróval C 3 E Vágj fel hagymát és gombát - 7 F Főzd meg a paradicsomszószt E 25 G Forralj egy nagy fazék vizet - 15 H Főzd meg a lassagne tésztát G 10 I Csöpögtesd le a lassagne tésztát H 2 J Gyűjtsd össze a hozzávalókat B, D, F, I 10 K Melegítsd be a sütőt - 15 L Süsd meg a lassagne tésztát J, K 30 a. Fogalmazzuk meg ezt a problémát CPM-típusú rendszerként, és rajzoljuk meg a tervezeti hálózatot! b. Határozzuk meg minden egyes események kezdésének legkorábbi időpontját, és a tűrési határát. Határozzuk meg a kritikus útvonalat is! c. Telefonhívás miatt 6 percre félbeszakították, amikor a hagymát és a gombát kellett volna felvágnia. Mennyivel fog később elkészülni a vacsora? Ha használja a robotgépet amelyavágásiidőt7percről2percrecsökkenti,mégakkorisatervezettnélkésőbbfog elkészülni a vacsora? 9. A következő táblázat egy kisebb projekt tevékenységeit tartalmazza: Időtartam Tevékenység (hét) A 7. tevékenységet csak az 5. tevékenység befejezése után lehet elkezdeni. Adjuk meg a projekt elkészülésének legrövidebb időtartalmát és a kritikus útvonalat.

141 10. A következő táblázat egy kisebb projekt tevékenységeit tartalmazza: 5. Projektek ütemezése 133 Időtartam Tevékenység (hét) Az 5. tevékenységnek csak három héttel az 1. tevékenység befejezése után lehet neki kezdeni. Adjuk meg a projekt legrövidebb időtartalmát és a kritikus útvonalat. Mi történik, ha: a 8. tevékenység időtartamát 3 hétre csökkentjük? a 4. tevékenység időtartamát 2 héttel meghosszabbítjuk? a 7 tevékenység időtartamát 2 héttel csökkentjük? 11. Egy vállalat egy olyan termék gyártását készíti elő, amelyet három részből (A, B és C) szerelnek össze. Azzal számolnak, hogy 4 hetet vesz igénybe a három alkotóelem megtervezése és összeszerelésük mikéntjének kidolgozása. Az A gyártásának időigényét 3 hétre, a B-ét 5 hétre, a C-ét pedig 4 hétre becsülik. Elkészülte után az A részt tesztelni kell, ez 1-ét hétbe telik. Az összeszerelési folyamat ezután a következő: egybeépítik az A és B részeket (3-ét hét), majd hozzárögzítik a C részt (2 hét). Végül a terméket 2 hétig tesztelik. Rajzoljuk meg a projekthálózatot és határozzuk meg a kritikus utat, valamint az egyes tevékenységek tűréshatárát. A feladat megoldásához használjuk a WinQSB programcsomagot! 12. Egy kockázati ellenőrzés az alábbi táblázatban felsorolt tevékenységeket jelenti: Tevékenység Leírás Előzmények Időtartam A A feltételek meghatározása - 3 B A kockázat felbecslése A 6 C A hibalehetőségek azonosítása A 14 D A rendszer leírása C 8 E A rendszerleírás ellenőrzése D 4 F Az ellenőrzés értékelése B, E 8 G Az ellenőrzés megtervezése F 9 a. Rajzoljuk meg a projekthálózatot, keressük meg a kritikus utat és határozzuk meg az egyes tevékenységek tűréshatárait!

142 Projektek ütemezése b. Tegyük fel, hogy a projektnek 30 nap alatt be kell fejeződnie. Bármelyik tevékenység hossza rövidíthető, de ennek ára van. A költségeket az alábbi táblázatban találhatók: Tevékenység Lerövidítés költsége Lerövidítés ideje A B 80 4 C 60 5 D 70 2 E 30 3 F 20 4 G 50 4 Milyen minimális költséggel érhető el, hogy a projekt 30 nap alatt befejeződjön? 13. Egy új termék bevezetése előtt az alábbi táblázatban felsorolt lépéseket kell megtenni: Tevékenység Leírás Előzmények Időtartam A Termék megtervezése - 6 B Piackutatás - 5 C Alapanyagok megrendelése A 3 D Alapanyagok bevételezése C 2 E Prototípus elkészítése A, D 3 F Reklám megszervezése B 2 G Tömegtermelés beindítása E 4 H Termék kiszállítása a boltokban G, F 2 a. Rajzoljuk meg a projekt-diagrammot. b. Határozzuk meg az összes kritikus utat és tevékenységeket. c. Számoljuk ki az egyes tevékenységek tűréshatárát. d. Bármelyik tevékenység hossza legfeljebb 2 héttel csökkenthető. Az egyes tevékenységek egyhétteltörténőlerövidítésénekköltségeakövetkező: A80euró,B60euró,C30euró, D60euró,E40euró,F30euró,G20euró. Milyenminimálisköltséggelérhetőel,hogy a termék két héttel korábban a boltokba kerüljön. 14. Egy cég megtudja, hogy konkurense újfajta termékkel készül kijönni a piacra, amely iránt valóban nagy lesz a kereslet. Ez a cég is dolgozott egy hasonló terméken, és a kutatással már majdnem készen vannak. Most gyorsan piacra akarják dobni a terméket, hogy felvegyék a versenytársukkal a versenyt. Még négy, egymást át nem fedő fázist kell befejezniük, beleértve a kutatásból hátra maradt részt, amelyek jelenleg normális ütemben folytatnak. Azonban minden fázis végezhető prioritással vagy gyors befejezés érdekében sürgősséggel. Az egyes szinteken szükséges időtartamokat(hónap) és költségeket az alábbi táblázat tartalmazza: Normál Sürgőségi Normál Sürgőségi Tevékenység idő idő költség költség Hátralévő kutatás Fejlesztés Gyártórendszer megtervezése Termelés megkezdése

143 5. Projektek ütemezése 135 Tudva, hogy a cégnek 30 millió eurója van a négy fázisra, milyen gyorsassággal kell egyes fázisokat elvégezniük, hogy a lehető legrövidebb idő alatt a termék piacra kerüljön az adott költségvetési korlát mellett. 15. Tegyük fel, hogy egy tervezetet az alábbi háló reprezentál. Alkalmazva az idő-költség diagramon alapuló CPM-módszert határozzuk meg, hogy milyen minimális költséggel lehet 100 hét alatt a tervezetet befejezni. Sürgőségi Normál Normál Sürgőségi Tevékenység idő idő költség költség A Jó Közkapcsolat cég projekt menedzsere az alábbi tervezetet nyújtotta be egy reklámkampány előkészületeihez(az idők napokban vannak megadva). Időtartam Közvetlen Tevékenység a m b előzmények A B C D B E A,C F D,E G D,E H F,G I G J H K H Rajzoljuk meg a hálódiagramot. Mi a valószínűsége annak, hogy a projekt 35 nap alatt elkészül?

144 Projektek ütemezése 17. Tekintjük az alábbi projekthálózatot Közvetlen Időtartam Tevékenység előzmények a m b A B C B D A E A F A,C G A,C H A,C I D J I K F L G M E N M O K P L,H Q J Határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. Mi a valószínűsége, hogy a projektet 26 nap alatt befejezik. 18. Egy szerelési munkákkal foglalkozó Kft. versenytárgyalásra készül. A kiírás tárgya egy betonlapra elhelyezett motor felszerelése és beüzemelése. A Kft. vezetése szeretné meghatározni a munka várható átfutási idejét úgy, hogy azt a legrövidebb idő alatt végezhesse azt el. Az egyes résztevékenységek és az elvégzéshez szükséges becsült időtartamokat(napban kifejezve) az alábbi táblázat tartalmazza: Közvetlen Időtartam Tevékenység Leírás előzmények a m b A Fémlap elkészítése B Fémlap helyszínre szállítása A C Alapárok ásása D Zsalu készítése C E Zsalu kiöntése betonnal D F Beton kezelése E G Motor szállítása H Fémlap elhelyezése B, F I Motor felszerelése H, G J Motor beüzemelése I Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. Adjuk meg 99%-os valószínűséggel mennyi a munka várható átfutási ideje.

145 19. Tekintsük az alábbi táblázatban megadott projekt-hálózatot. a. Határozzuk meg a kritikus utat valamint a tevékenységek tűréshatárát. b. Mennyi a valószínűsége, hogy a projekt 40 nap alatt befejeződik? Tevékenység a b m Projektek ütemezése Egy számítástechnikai cég egy új, komplett informatikai rendszer telepítését vállalta el. Mivel azonban ilyen munkát még nem végeztek, ezért az egyes résztevékenységek átfutási időire vonatkozóan csak becsült adatokkal rendelkeznek. Az egyes résztevékenységek és az elvégzéshez szükséges becsült időtartamokat(napban kifejezve) az alábbi táblázat tartalmazza: Időtartam Tevékenység Leírás a m b 1 2 Rendszerterv elkészítése Gépi konfiguráció kiválasztása Tanfolyam a rendszermérnököknek Program megírása, fejlesztése Bemenő adatrendszer előállítása Számítógépek leszállítása Rendszermérnökök vizsgáztatása Programrendszer tesztelése Konfigurálás Ellenőrzés Futtatás éles adatokkal Ellenőrzés, átadás A versenyképes ajánlat megadása érdekében határozzuk meg azt a legrövidebb átfutási időt, amely mellett a cég a rendszer telepítését vállalni tudja és 98% valószínűséggel be is fejezi azt. Határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésőbbi kezdési időpontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját.

146

147 II. rész GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

148

149 6. fejezet Komplex döntések 6.1. Döntési fák Gyakran előfordul, hogy az embereknek különböző időpontokban döntések sorozatát kell meghozniuk. Ekkor az optimális döntés meghozatalához alkalmazhatók az úgynevezett döntési fák, amik lehetővé teszik, hogy egy komplex döntési problémát néhány egyszerűbb problémára bontsuk fel mintapélda (Piackutatás). Egy vállalatnak el kell döntenie, hogy végezzen-e piackutatást az egyik új terméke(kódneve M997) piacra dobása előtt. A piackutatás költsége euró, a régebbi tapasztalatok alapján a vállalat tudja, hogy a termékeknek csak 30% sikeres egy ilyen piackutatás esetén. Ha az M997 termék sikeresen helytáll a piackutatás során, akkor a vállalat el kell döntse, hogy a termékét milyen méretű telephelyeken állítja elő. Egy kicsi telephely kiépítése euróba kerül és évi 2000 darab M997-es termék előállítását teszi lehetővé. Ha nagy telephelyen állítanák elő a terméket akkor az euróba kerülne de évente 4000 darab M997 terméket állíthatnának elő. A marketing osztály becslései szerint 40% az esélye annak, hogy a konkurencia is előáll egy hasonló termékkel, és így az ár amit egy M997 termékért kérhetnek a következők szerint alakulhat: Nagy telep Kicsi telep Konkurencia közbelép 20 euró darabja 35 euró darabja Konkurencia nem reagál 50 euró darabja 65 euró darabja a. Érdemes-e a cégnek piackutatást végeznie a M997 terméken? b. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a cégnek érdemes kifizetni ezért a piackutatásért? c. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a cégnek érdemes kifizetni azért, hogy megtudja a konkurencia belép vagy sem a piacra? 141

150 Komplex döntések 6.1. ábra. A piackutatás mintapélda döntési fája. Megoldás. a. A probléma megoldására döntési fát használunk. Tulajdonképpen a cég vezetésének két döntést kell meghoznia. Az egyik, hogy végezzen-e piackutatást vagy sem? A másik, hogy ha piackutatás azt mutatja érdemes piacra dobni a terméke, akkor milyen méretű telephelyet építsen: kicsit vagy nagyot? A döntések és a különböző véletlenszerű események időbeli sorrendjében rajzoljuk meg a döntési fát. A döntési csomópontokat négyzettel, a véletlenszerű események bekövetkezését pedig körrel ábrázoljuk. Egy döntési csomópont az időben olyan pontot képvisel, amikor a cég vezetőségének döntést kell hoznia. Minden ág, amelyik egy döntési csomópontból ered, egy lehetséges döntést jelképez. Egy esemény csomópontot akkor rajzolunk, amikor külső tényezők határozzák meg, hogy a véletlenszerű események közül melyik következik be. Egy esemény csomópontból kiinduló ágak a lehetséges eseményeket mutatják, és az ágakon feltüntetett számok az események bekövetkezésének valószínűségét jelentik. A döntési fának egy olyan ágát, ahonnan már nem indul ki ág, levélnek nevezzük. A leveleken feltüntetjük a különböző kimenetelekhez tartozó vagyoni helyzetet(nyereséget). Amint a feladatból is kiderül természetes, hogy egyszer a piackutatásra vonatkozó döntést hozzuk meg, aminek két kimenetele lehet: igen, vagy nem. Ha a döntésünk az, hogy nem, akkor nem is dobjuk piacra a terméket. Így nyereségünk nulla. Ha pedig piackutatás mellett döntünk, akkor egy véletlenszerű esemény következik be: 30% eséllyel sikert fognak jósolni, és 70% eséllyel bukást. Ha bukást jósolnak, akkor nem dobjuk piacra a terméket, így nyereségünk a piackutatásra kiadott összeg ellentétje, azaz euró. Ha sikert jósolnak, akkor a második döntésünk, hogy milyen méretű telephelyet építsünk. Ha a kicsi mellett döntünk és a konkurencia is közbelép, aminek 40% az esélye, akkor nyereségünk hét évre számolva: = Hapedigkonkurencianemlépközbe, aminek 40% az esélye, akkor nyereségünk hét évre számolva: = Másik lehetőség, hogy a nagy mellet döntünk. Ekkor a nyereség a konkurencia közbelépésekor =210000,akonkurenciaközbelépésenélkül pedig = A leírtak alapján a 6.1. ábrán bemutatott döntési fa rajzolható meg. A döntési fa kiértékelése a várható érték elve alapján történik. Kezdjük a leveleket összefogó6. és7. csomópontokkal. A6-odikcsomóponthoztartozóvárhatóérték: v 6 = =492000,a7-edikhezpedig: v 7 = = Ezeket az értékeket feltüntetjük a csomópontok alatt.

151 6. Komplex döntések ábra. A piackutatás mintapélda EVWSI-je. Most kiértékeljük az 5. csomóponthoz tartozó döntési helyzetet. A kicsi telephely megépítésevárhatóanv 6 =492000euró,anagytelephelymegépítésepedigvárhatóanv 7 = euró nyereséget eredményez. A várható érték elve alapján azt a kimenetet választjuk, ahol nagyobb a várható érték. Ebben az esetben a nagy telephely megépítését. Ezt úgy jelöljük, hogyaz5csomóponthozbeírjukav 7 értékét. Továbblépünk a 3. csomópont kiértékeléséhez. Ez egy véletlenszerű eseményt jelképez, tehátacsomópontbólkimenőágakvárhatóértékétkellmeghatározni: v 3 = = , és a csomópont alatt feltüntetni. Ezután már csak az marad hátra, hogy meghatározzuk a helyes döntést az 1. csomópontban. Mivel a hármas csomópontban lévő érték nagyobb mint a Nem kimenetelhez tartozó érték, ezért döntésünk a hármas csomópontra esik, azaz a piackutatás mellett döntünk. Tehát, a piackutatás mellett döntünk és, ha az sikert fog jósolni, akkor a nagy telephelyet építsük meg. Ez a stratégia várhatóan euró jövedelmet fog eredményezni. b. A döntési fák arra is felhasználhatók, hogy megmérjük a mintavételből(piackutatásból) származó információ értékét. Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a cég nyereségét abban az esetben, ha a piackutatás nem kerülne semmibe. Ezt a nyereséget(végső vagyoni helyzetet) úgy nevezzük, hogy várható érték mintainformációval (Expected Value with Sample Information: EV W SI). Kiszámítása ugyanúgy történik, mint az előbbi esetben, csak itt a piackutatás költsége nulla, azaz a fa leveleinek értékei a piackutatás ágon euróval nagyobbak lesznek (6.2. ábra). A piackutatás döntés várható értéke a 3. csomópontnál van feltüntetve. Tehát, azevwsi= Ezután meghatározzuk azt a vagyoni helyzetet(nyereséget), amelyet a cég akkor érne el, ha nem végez piackutatást. Ezt úgy nevezzük, hogy várható érték az eredeti információ alapján(expected Value with Orginal Information: EV W OI). Ezt az értéket a piackutatás csomópontnak arról az ágáról olvashatjuk le, amelyikhez a Nem döntéshez tartozik. A mi esetünkbeneznulla. TehátazEVWOI=0. Így a piackutatásból nyerhető információ várható értéke, melynek elnevezése a mintanformáció várható értéke (Expected Value of Sample Information: EV SI) így adható meg: EbbenapéldábanazEVSI= EVSI=EVWSI EVWOI.

152 Komplex döntések Az EV SI az a legnagyobb pénzösszeg amit a cég a piackutatásból származó információért fizethet, mert ha ennél többet fizet, akkor a várható nyeresége piackutatás nélkül nagyobb lesz, mint piackutatással. c. Az EVSI meghatározására alkalmazott elemzést kiterjeszthetjük a tökéletes információ meghatározására is. Tökéletes információn azt értjük, hogy bár a konkurencia belépése a piacra ugyanúgy 40% valószínűséggel következik be, de a marketing osztály valamilyen külső információ alapján már előre, a telephely megépítése előtt megmondja, hogy a konkurencia belép a piacra vagy sem. Ez az információ aztán felhasználható a vállalat optimális marketing stratégiájának meghatározására. A tökéletes információval kapott várható érték (Expected Value with Perfect Information: EV W P I) kiszámítható úgy, hogy rajzolunk egy döntési fát, ahol a döntéshozónak a döntéshozás előtt tökéletes információja van arról, hogy melyik állapot fog bekövetkezni(6.3. ábra). Ebben az esetben a kiinduló csomópont egy véletlenszerű esemény, amelynek az ágain a konkurencia belépésének valószínűségeit tüntetjük fel. Majd mind a két esetben jön egy döntés, ami a telephelyek kiválasztására vonatkozik. A döntési csomópont ágain a nulla piackutatási költséggel számított nyereségeket tartalmazó levelek vannak. A döntési fát az előbbiekben leírtak alapján értékeljük ki. Az EVWPI a végsővárhatóanyagihelyzet. EbbenafeladatbanEVWPI= ábra. A piackutatás mintapélda EVWPI-je. Ezután a tökéletes információ várható értéke (Expected Value of Perfect Information: EVPI)az EVPI=EVWPI EVWOI képlettel számítható ki. A tanulmányozott példában EV P I = euró. A marketing osztály maximálisan ezt az összeget adhatja egy olyan információért, ami egyértelműen megmondja, hogy a konkurencia belép vagy sem a piacra A döntési fa elemzése a WinQSB segítségével 6.2. mintapélda(pályázat) Egy cég el kell döntse, hogy megpályázza-e az állam által kiirt MS1 és MS2 eszközbeszerzési projekteket. A cégnek több lehetősége van: csak az egyik projektet pályázza meg, vagy mindkettőt egy pályázatban vagy egyáltalán nem készít pályázatot. A cégnek csak egy pályázat benyújtására van lehetőségé. A pályázati anyag összeállítása, ha csak az MS1 projektre pályáz 50000, ha csak az MS2-re pályáz 14000, ha mindkettőre, akkor euróba kerül. Sikeres pályázás esetén pluszkiadások lépnek fel: az MS1 pályázat esetén euró, az MS2 pályázat esetén euró és mindkét projekt elnyerése esetén euró. Az egyes projekt eszközbeszerzésére felajánlott összegek és ezen értékek mellett a projektek elnyerési valószínűségét a következő táblázat adja meg.

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Modellalkotási feladatgyűjtemény

Modellalkotási feladatgyűjtemény Modellalkotási feladatgyűjtemény Az év végi írásbeli vizsgán, a vizsga első részében a teszt mellett minden egy feladatot is fog kapni az alábbiak közül. A feladat megoldása a maximális pontszám eléréséhez

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok 1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Esettanulmányok és modellek 2

Esettanulmányok és modellek 2 Esettanulmányok és modellek Kereskedelem Mezőgazdaság Készítette: Dr. Ábrahám István Kereskedelem. Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (. oldal) nyomán: Kiskereskedelmi cég négyféle üdítőt rendel, melyek

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Alkalmazott operáiókutatás. elıadás 8/9. tanév 8. szeptemer 9. Maimumfeladat grafikus megoldása lehetséges megoldások + 4 + () 8 + Optimális

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat Ellenőrzés Variáns számítás Érzékenység vizsgálat Készítette: Dr Árahám István Az ellenőrzés A matematikai modell megoldása, a szimple tálák kitöltése közen könnyen elkövethetünk számolási hiát A kiindlási

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

Alapfogalmak, alapszámítások

Alapfogalmak, alapszámítások Alapfogalmak, alapszámítások Fazekas Tamás Vállalatgazdaságtan szeminárium 1. Vállalati gazdálkodás Gazdálkodás - Gazdaságosság. A gazdálkodás a vállalat számára szűkösen rendelkezésre álló és adott időszakon

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Alkalmazásával 214 Monostori László egyetemi tanár Váncza József egyetemi docens 1 Probléma Igények

Részletesebben

Hasonlóságelemzés COCO használatával

Hasonlóságelemzés COCO használatával Hasonlóságelemzés COCO használatával Miért a CoCo?? Mire használhatom a CoCo-t?! Például megállapíthatom, hogy van-e a piacon olyan cég, amely az árhoz és a többiekhez képest kevesebbet vagy többet teljesít.?

Részletesebben

Az érzékenységvizsgálat jelentősége

Az érzékenységvizsgálat jelentősége Az érzékenységvizsgálat jelentősége (Tanulmány) Egyéb olyan fontos szempontok mellett, mint a stabilitás, rugalmasság, társadalmi elfogadottság, stb., az ipari menedzser fő célja, hogy növelje cége nyereségét.

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő.

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő. 1. Minden olyan jószágkosarat, amely azonos szükségletkielégítési szintet (azonos hasznosságot) biztosít a fogyasztó számára,.. nevezzük a. költségvetési egyenesnek b. fogyasztói térnek c. közömbösségi

Részletesebben

Operációkutatási modellek

Operációkutatási modellek Operációkutatási modellek Alkalmazott matematika A sorozat kötetei: Kóczy T. László Tikk Domonkos: Fuzzy rendszerek (2000) Elliott, J. R. Kopp, P. E.: Pénzpiacok matematikája (2000) Michelberger Szeidl

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Döntési módszerek

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Döntési módszerek III. évfolyam szakirány BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Döntési módszerek TÁVOKTATÁS Tanév 2014/2015 II- félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Döntési módszerek Tanszék: Matematika-Statisztika Tantárgyfelelős

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok Mikroökonómia Vizsgafeladatok Bacsi, Mikro feladatok 1 1, Marshall- kereszt, piaci egyensúly Mennyi a savanyúcukorka egyensúlyi mennyisége, ha a cukorka iránti kereslet és kínálat függvénye a következı:

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Microsoft Excel 2010

Microsoft Excel 2010 Microsoft Excel 2010 Milyen feladatok végrehajtására használatosak a táblázatkezelők? Táblázatok létrehozására, és azok formai kialakítására A táblázat adatainak kiértékelésére Diagramok készítésére Adatbázisok,

Részletesebben

Transzformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform

Transzformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása,

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Operációkutatás. Feladatok. Rózemberczki Benedek Got It! konzultáció 2014 Őszi félév

Operációkutatás. Feladatok. Rózemberczki Benedek Got It! konzultáció 2014 Őszi félév Operációkutatás Feladatok Rózemberczki Benedek Got It! konzultáció 2014 Őszi félév 1 Tartalomjegyzék 1. LP feladatok felírása 5 1.1. Feladat - Termelési probléma I........................ 5 1.2. Feladat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben