Logika feladatok
|
|
- Gréta Török
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Logika feladatok
2 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. Az alábbi mondatok közül melyek fejeznek ki állítást? (a) Budapesten, május elsején sütött a nap. (b) Egynél több páros törzsszámnak kell lennie. (c) Hol voltál, Ádám? (d) Én kérem, a világháborúban. (e) Ami nem azonos önmagával, az különbözik minden mástól is. (f) Van-e ennek valami értelme? (g) Minden szám osztható vagy kett vel, vagy hárommal. (h) Semmi nem ugyanaz többé. (i) A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal. (j) Vedd tudomásul, hogy ami elromolhat, az el is romlik! Amelyik mondat nem fejez ki állítást, annál indokoljuk meg, hogy miért nem. Ha valamelyik önmagában nem fejez ki állítást, de alkalmas kontextusban igen, akkor adjunk meg hozzá ilyen kontextust Vannak-e az alábbi mondatok között olyanok, amelyek ugyanazt az állítást fejezik ki? (a) Senki nem ment el, aki Alinak hiányzott volna. (b) Aki Alinak hiányzott, nem ment el. (c) Aki elment, Alinak nem hiányzott. (d) Ha soha nem indulsz el, nem juthatsz el sehová. (e) Ha eljutsz valahová, akkor valamikor elindulsz. (f) Ha nem jutsz el sehová, akkor el sem indulsz. (g) Itt van a kutya elásva. (h) Ezen a helyen hantolták el az ebet. (Azt kell megfontolni, hogy egy mondatpár egyik tagja lehet-e igaz, a másik pedig hamis.) 1.3. Írjuk át a természetes nyelven megfogalmazott negációkat a ' ' jel használatával a következ mondatokban! A negációjel argumentumát határoljuk zárójelekkel. (a) Péter nem ment haza. (b) Éva nem sz ke. (c) Nem igaz, hogy Péter nem ment haza. 2
3 (d) Nem áll, hogy nem igaz, hogy Éva nem sz ke. (e) Péter vagy nem ment haza, vagy nem maradt otthon, de nem áll, hogy otthon van. (f) Nem igaz, hogy ha Éva nem sz ke, akkor nem Juli volt az, akit nem értem utol Írjuk ki a konjunkciókat és a negációkat logikai jelükkel a következ mondatokban! (a) Éva sz ke, mindazonáltal nekem nem tetszik, annak ellenére, hogy a sz kéket kedvelem. (b) Tivadar hazament, de nem maradt otthon, bár mindenki ezt várta t le. (c) Esik az es, de nincs hideg, és a szél sem fúj. (d) Ha hazajössz, és be is vásárolsz, nekem nem kell lemennem, és megf zhetem az ebédet Fejezzük ki a Geom nyelvben a következ ket: (a) (p = q) : A p és a q egyenesek egybeesnek. (b) (p q) : A p és a q egyenesek különböznek. (c) (a = b) : Az a és a b síkok egybeesnek. (d) (a b) : Az a és a b síkok különböznek. (e) (p a) : A p egyenes az a síkban fekszik. (f) (p q) : A p és a q egyenesek párhuzamosak. (g) (a b) : Az a és a b síkok párhuzamosak. (h) Párhuzamos síkok esetén az egyiket metsz tetsz leges egyenes metszi a másikat is Vezessünk be egy új jelölést a "pontosan egy olyan x van, hogy teljesül az A állítás" kifejezésére:!xa xa x y((a A x y) x = y), ahol A x y az A formulából úgy keletkezett, hogy A-ban az x változó szabad el fordulásait egy, az A-ban nem szerepl, új y változóra cseréltük. Fejezzük ki a Geom nyelvben az alábbi állításokat a! jelölés használatával és anélkül: (a) Bármely két különböz pontra pontosan egy egyenes illeszthet. (b) Bármely nem egy egyenesen fekv három pontra pontosan egy sík illeszthet. 3
4 (c) Bármely egyenes és rá nem illeszked pont esetén a ponton át húzható pontosan egy párhuzamos egyenes Fejezzük ki a Geom nyelvben a párhuzamos egyenesekr l szóló (a) euklideszi axiómát: A síkban egy ponton át legfeljebb egy olyan egyenes húzható, mely a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (b) Bolyai-Lobacsevszkij-féle axiómát: A síkban egy ponton át húzható két olyan egymástól különböz egyenes, melyek a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamosak Fejezzük ki a Subset nyelvben a következ ket: (a) (x = U) : Az x részhalmaz maga az alaphalmaz. (b) (x = ) : Az x részhalmaz üres halmaz. (c) (x = y) : Az x és az y részhalmazok egyenl ek. (d) (x y) : Az x részhalmaz valódi része az y részhalmaznak. (e) Az x részhalmaz egyelem. (f) (x = y z) : Az x részhalmaz az y és a z részhalmazok metszete. (g) (x = y z) : Az x részhalmaz az y és a z részhalmazok uniója. (h) (x = y) : Az x részhalmaz az y komplementere. (i) (x = y \ z) : Az x részhalmaz a z részhalmaz y-ra vonatkozó komplementere Fejezzük ki a Subset nyelvben az alábbi mondatokat: (a) Létezik az alaphalmaznak a tartalmazásra nézve szigorúan növekv háromtagú részhalmazlánca, melynek tagjai az alaphalmaz részhalmazai. (b) Létezik az alaphalmaznak három, páronként különböz részhalmaza Milyen interpretációkban igazak az el z feladat mondatai? Adjunk általános módszert a Subset nyelv bonyolult kifejezései közötti egyenl ségek leírására. Fejezzük ki ennek segítségével az (a) (x \ ((y z) y) = x (y \ z)) (b) ((y \ z) (x \ z) = x \ (y \ z)) egyenl ségeket Fejezzük ki a Set nyelvben a következ ket: 4
5 (a) (x y) : Az x halmaz az y-nak részhalmaza. (b) (x y) : Az x és az y halmazok különböz ek. (c) (x y) : Az x halmaz része az y-nak, de x és y különböznek. (d) (x = ) : x az üres halmaz. (e) (x = {y, z}) : x kételem halmaz, melynek elemei y és z. (f) (x = y z) : x az y és z halmazok uniója. (g) (x = y z) : x az y és z halmazok metszete. (h) (x = y \ z) : x a z-nek y-ra vonatkozó komplementere. (i) (x = P y) : x az y részhalmazainak a halmaza. (j) (({x} P y) y P {x, y}) Fejezzük ki az Ar nyelvben N interpretáció mellett a következ ket: (a) (x y) : x és y különböz számok. (b) (x y) : x kisebb vagy egyenl, mint y. (c) (x < y) : x kisebb, mint y. (d) (x y) : x osztója y-nak. (e) x prímszám. (f) (z = (x, y)) : z az x és az y legnagyobb közös osztója. (g) (z = [x, y]) : z az x és az y legkisebb közös többszöröse Fejezzük ki az Ar nyelvben N interpretációban a következ mondatokat: (a) A prímszámok száma végtelen. (b) A prímszámok száma véges. (c) Az ikerprímek száma végtelen. (d) Minden természetes szám el állítható négy négyzetszám összegeként. (e) Van legnagyobb a természetes számok között. (f) A 3x 2 + 2x + 1 = 0 egyenletnek pontosan két különböz gyöke van Az el z feladat mely mondatai igazak, melyek hamisak ebben az interpretációban? Fejezzük ki az Ar nyelvben R interpretációban a következ ket: (a) (x y) : x kisebb vagy egyenl, mint y. (b) (x < y) : x kisebb, mint y. 5
6 (c) Ha x kisebb, mint y, akkor van olyan szám is, amelyik x-nél nagyobb, de y-nál kisebb. (d) Van olyan szám, hogy 3. (e) Van olyan szám, hogy ( 3 5) Fejezzük ki az Ar nyelvben Z interpretációban a következ ket: (a) (x > 0) : x pozitív. (b) (x y) : x kisebb vagy egyenl, mint y. (c) (x < (y z)) : x kisebb, mint y és z különbsége Fejezzük ki az Ar* nyelvben N interpretációban a következ ket: (a) (x = 0) : x egyenl 0-val. (b) (x 0) : x nem egyenl 0-val. (c) (x = 1) : x egyenl 1-gyel. (d) (x = y) : x egyenl y-nal. (e) (x = Sy) : x egyenl Sy-nal. (f) (x = 2) : x egyenl 2-vel. (g) (x = (y + z) Sy) : x egyenl az (y + z) Sy kifejezéssel. (h) (x y) : x osztója y-nak. (i) x prímszám Fejezzük ki az Ar* nyelvben N interpretációban, hogy bármely két nullától különböz számnak van legkisebb közös többszöröse Adjunk általános módszert, hogy lehet leírni az Ar* nyelv bonyolult kifejezéseinek egyenl ségét az N interpretációban. Fejezze ki ennek segítségével az ((x 2 + x y) 2 = (z + x) z) egyenl séget Fejezzük ki az Ar* nyelvben az R interpretációban az egyenl tlenséget. ((x + y) x 2 ) Szerkesszünk olyan mondatot a Vect nyelvben, mely az E 3 interpretációban igaz, de bármely E n, n 3 interpretációban hamis. 6
7 2. Els rend nyelvek; formulák és termek 2.1. Hány különböz típusú változó van nyelvben? 2.2. Mutassuk meg, hogy (a) a Geom (b) az Ar (c) a Vect (a) a Geom (b) a Subset (c) az Ar (d) az Ar* (e) a Set (f ) a Vect els rend matematikai-logikai nyelvek. Mik a konstansok, a függvényszimbólumok és a predikátumszimbólumok ezekben a nyelvekben? Milyen termeket és atomi formulákat tartalmaznak? 2.3. Adjunk példákat a Geom és Ar nyelvek termjeire és atomi formuláira! Adjunk meg az Ar nyelvben legalább 3 funkcionális összetettség termet! 2.4. Legyenek x, y, z π típusú változók és f (π π), g (π,π π), h (π,π,π π) pedig függvényszimbólumok egy nyelvben. Termek-e ebben a nyelvben a következ szimbólumsorozatok: (a) f(g(x, y)) (b) g(f(z), h(x, x, x)) (c) f(g(x), h(x, y, z)) (d) f(x) g(x, y) 2.5. Legyen a nyelvünk az el z feladatbeli. Adjuk meg azoknak a termeknek a halmazát, melyek egyetlen változót, az x-et, és egyetlen függvényszimbólumot, (a) az f-et, (b) a g-t, tartalmaznak Soroljuk fel a következ termek résztermeit, és határozzuk meg a funkcionális összetettségüket! x, f(x), h(x, f(y)), g(h(x, f(y)), y, f(z)), h(g(x, y, z), f(x)), f(g(h(x, f(y)), y, f(y))) 2.7. Döntsük el, hogy az alábbi jelsorozatok formulák-e: (a) (A B)C C 7
8 (b) (A B) D (c) ((C A) A) (d) ((( A) B) (A C)) 2.8. Legyenek A, B, C egy nyelv formulái. Döntsük el, hogy az alábbi jelsorozatok formulák-e: (a) (A B) C (b) ((A B) B) (c) (A B C) (d) (A B C 2.9. Legyenek A, B, C formulák. Hányféleképpen lehet zárójelekkel ellátni az alábbi jelsorozatokat úgy, hogy formulákat kapjunk: (a) A B B C (b) A B C A B Legyenek x, y, z π típusú változók, f (π π), g (π,π π), h (π,π,π π) függvényszimbólumok és P (π), Q (π,π,π) predikátumszimbólumok egy nyelvben. Formulák-e ebben a nyelvben a következ szimbólumsorozatok: (a) Q(x, f(y), h(y, z, z)) (b) (P (x) y(q(x, y, z) P (g(x, y)))) (c) Q(P (x), f(y), f(z)) (d) f(h(x, y, z)) Soroljuk fel az alábbi formulák összes részformuláit: (a) (((P Q) (Q R)) ( P R)) (b) ((P Q) ((P Q) Q)) (c) Q(f(x), g(y, x)) (d) ( xq(x, y) (P (g(x, y)) zp (z))) (e) ( x (P (f(x)) Q(x, y)) zr(z)) Soroljuk fel a következ formulák részformuláit, és állapítsuk meg a logikai összetettségüket! A(x), A(x) B(y), Q(f(x), g(y, z)), ((P Q) ((P Q) Q)), (((P Q) (Q R)) ( P R)) 8
9 2.13. Melyek részformulái az alábbiak közül a formulának? z( xp (x, z). z xp (x, z) zp (x, z)) (a) xp (x, z) (b) xp (x, z) z xp (x, z) (c) z xp (x, z) zp (x, z) (d) zp (x, z) (e) xp (x, z) zp (x, z) Legyen az A formulában n helyen logikai összeköt jel. Hány részformulája lehet maximum A-nak? Bizonyítsuk be, hogy minden formula, amely nem propozícionális bet, el áll A, (A B), (A B), vagy (A B) alakban, ahol A, B formulák! Igazoljuk, hogy egy formula valamelyik részformuláját másik formulával helyettesítve ismét formulát kapunk! Adjuk meg az alábbi formulák teljes (rövidítés mentes) alakját: (a) (P Q.R S) Q. R S (b) z( xp (x, z). z xp (x, z) zp (x, z)) (c) xq(x, y) x(q(x, y) R.Q(x, y)) (d) z. xp (x) Q(x) R (e) z x(p (x) Q(x)) R P (x) A következ formulákban állapítsuk meg a kvantorok hatáskörét, és döntsük el változóiról, hogy melyik el fordulásuk szabad, melyik kötött. (a) x( yp (x, y, z) Q(x, y)) (b) y z(p (x, y, z) zq(z, x)) (c) x y(p (x) Q(x, f(y))) yq(x, y) Mely változó-el fordulások szabadok és melyek kötöttek a következ formulákban: (a) x(p (x, y) yq(y)) (b) ( xp (x, y) yr(x, y)) (c) ( zq(z, z) R(f(y, z))) 9
10 2.20. Határozzuk meg a következ formulákban a kötött és szabad változókat! (a) xa(x) (b) x(a(x) xb(x)) (c) x( yp (x, y, z) Q(x, y)) (d) y z(p (x, y, z) xq(z, x)) (e) x y(p (x) Q(x, f(y))) yq(x, y) Az alábbi formulákban állapítsuk meg a kvantorok hatáskörét, s jelezzük a változók minden el fordulásánál, hogy kötöttek-e vagy szabadok! (a) x(p (x, y) yq(x, y)) (b) xr(x) S(x) (c) x y(r(x) S(x)) xt (x) (d) x y(p (x, y) R(z)) Írjuk fel formula alakjában az alábbi állításokat: (a) Nincs jó id. (b) Ha jó az id, kirándulni megyünk. (c) Nincs jó id, és nem megyünk kirándulni. (d) Csak akkor megyünk kirándulni, ha jó az id. (e) Nem fordulhat el, hogy kirándulni megyünk, és nincs jó id. (f) Ha esik az es vagy fúj a szél, akkor nincs jó id Jelentse E, hogy "Esik az es.", S, hogy "Strandolok.", N, hogy "Napozok.", O, hogy "Otthon maradok." Mit jelentenek természetes nyelven az alábbi formulák: (a) E (S N) (b) O E (c) S E (d) (E O) ( E S) (e) O (N E) S Megfelel en megválasztott els rend nyelven formalizáljuk az alábbi állításokat: (a) Nem minden madár tud repülni. (b) Van olyan madár, amelyik nem tud repülni. 10
11 (c) A struccok kivételével minden madár tud repülni. (d) Van, aki senkiben sem bízik meg. (e) Péterben mindenki megbízik. (f) Egyes betegek nem bíznak meg az orvosokban Formalizáljuk nulladrend logikai nyelven a következ mondatokat! (a) Esik az es, bár süt a Nap. (b) Ha esik az es és süt a Nap, akkor szivárvány van, kivéve ha éppen dél van. (c) Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor - föltéve hogy nem alszom el - nyolc órára megérkezem. (d) Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. (e) Ha nem alszom el, akkor reggelit is várakozás nélkül kapok, és meg is érkezem nyolc órára. (f) Ha ünnepély lesz, a tanítás délben véget ér. (g) Ha osztályf nöki óra lesz, a tornaóra elmarad. (h) A tanítás nem ér véget délben, pedig ünnepély vagy osztályf nöki óra lesz. (i) Ha a szemtanú megbízható, és az írásszakért véleménye helytálló, úgy a b ncselekményt akkor és csak akkor követték el el re megfontolt szándékkal, ha a talált ujjlenyomatok a tettest l vagy esetleges b ntársától származnak. (j) Ha a szemtanú megbízható, az írásszakért véleménye helytálló, és a talált ujjlenyomatok a tettest l származnak, akkor a b ncselekményt el re megfontolt szándékkal követték el Formalizáljuk nulladrend logikai nyelven a következ mondatokat! (a) Jancsi eltévedt az erd ben, és nem talált haza. Jancsi eltévedt az erd ben, de Juliska nem. Jancsi eltévedt az erd ben, bár jól ismerte az utat. (b) Egészségtelenül táplálkozik, vagy keveset mozog. Saját autójával megy, vagy hív egy taxit. (c) Ha holnap süt a Nap, akkor 10-kor várlak az uszodában. Csak akkor fejezzük be a gyakorlatot, ha már mindenki volt a táblánál. Elmegyek moziba, feltéve, hogy van pénzem. (d) Akkor és csak akkor süt a Nap, ha holnap kimegyek az uszodába. 11
12 2.27. Formalizáljuk els rend logikai nyelven a következ mondatokat! (a) Gábor pék. Ha Gábor pék, akkor Kriszta is az. Vannak pékek. Minden ember pék. (b) Minden bíró jogász. Vannak ügyesked jogászok. Nincs ügyesked bíró. Bizonyos bírók id sek, de nem életer sek. A bírók kivételével minden jogász ügyesked. Néhány jogász, aki politikus, képvisel is. Egyetlen képvisel felesége sem id s. Minden id s képvisel jogász. (c) Minden strucc madár. Van olyan madár, amely nem strucc. A struccok kivételével minden madár tud repülni. Csak a strucc olyan madár, amely nem tud repülni. (d) Mindenki aki átver valakit nem becsületes. Senki sem veri át az apját, legfeljebb, ha használtautó keresked. Mindenki aki átveri Gábort, az átveri a saját apját is. Mindenki rajtam kívül átver mindenkit. Aki mindenkit átver, azt legalább egy becsületes is átveri. Senki sem veri át a barátait, csak azok, akik használtautó keresked k apjai K(x) jelentse azt, hogy "x - használtautó keresked ", T (x) pedig azt, hogy "x - tisztességes ember". Mit jelentenek ekkor a formulák? (a) xk(x) (b) x(k(x) T (x)) (c) x(k(x) T (x)) (d) x(t (x) K(x)) 3. A kötött változók átjelölése; változók helyettesítése termekkel 3.1. Vannak-e az alábbi formulák között olyanok, amelyek egymás variánsai? (a) x(p (x, y) zq(x, z)) yr(y, z) 12
13 (b) x(p (z, y) zq(x, z)) yr(y, z) (c) u(p (z, y) uq(u, u)) ur(u, z) (d) z(p (z, y) xq(z, x)) vr(v, z) 3.2. Döntsük el a következ formulákról, melyek egymás variánsai. (a) z( xq(z, x, v) v(p (v, u) wq(v, w, x))); (b) x( wq(x, w, v) w(p (w, u) vq(w, v, x))); (c) x( wq(x, w, u) v(p (v, u) wq(v, w, x))); (d) z( xq(x, z, v) w(p (w, u) vq(w, v, x))); (e) v( wq(v, w, x) x(p (x, u) wq(v, w, x))) Változó-tiszta-e az alábbi formula? Ha nem, hozzuk olyan alakra! xp (x, y, z) x y(q(y) P (x, y, z)) 3.4. Számítsuk ki az alábbi helyettesítések eredményét. Mely helyettesítések megengedettek? ( (a) ( yp (x, y, z)) ( (b) ( yp (x, y, z)) ( (c) ( yp (x, y, z)) x f(x, y) y f(x, y) x f(x, z) ( (d) ( z yp (x, y) Q(x)) ( (e) ( yp (x, y) Q(x)) ( (f) (P (x, y) yq(y)) ) ; ) ; ) ; x f(x, z) x f(x, z) x f(x, y) ( (g) ( yp (y, z) yr(x, y)) ) ; y z ) ; ) ; x z y f(x, y) y z ) ; 3.5. Megengedett e az {x/t} helyettesítés az A számára? (a) t = f(y, z), x = v, A = yp (y, v) (b) t = f(y, v), x = y, A = (P (y, v) vq(v)) 13
14 3.6. Bizonyítsuk be, hogy ( ) x1 x 2... x k x 1 x 2... x k (a) a Θ = triviális helyettesítés megengedett minden kifejezés számára. (b) ha a K kifejezésben nincs a helyettesítend x 1, x 2,..., x k változóknak szabad el fordulása, akkor Θ megengedett K számára. (c) ha a K kifejezésben egyáltalán nincsenek a helyettesít t 1, t 2,..., t k termekbeli szabad változók, akkor Θ megengedett K számára. (d) ha a Θ helyettesítés konstans, vagyis a t 1, t 2,..., t k helyettesít termek nem tartalmaznak változót, akkor a Θ helyettesítés megengedett minden kifejezés számára Döntsük el, hogy az alábbi helyettesítések megengedettek-e, és végezzük el a szabályos helyettesítéseket! ( ) (a) x y v z ( x(p (x, y) zq(x, z, v)) R(x)) z z f(z) v ( ) (b) x y z ( yp (x, y) xq(x, y)) z x y 3.8. Végezzük el az alábbi szabályos helyettesítéseket: (a) ( z yq(x, y) P (x))(x f(x, z)) (b) ( yp (y, z) R(x, y))(x, z, y f(x, y), y, z); (c) (P (x, y) yq(x, y))(x, y f(x, y), z); 3.9. Jelölje A(x, y) a y( zp (x, z, y) zq(x, z)) formulát. Írjuk ki az A(f(y, z), g(y)) formula teljes alakját! Jelölje A(u, v, w) a x(p (x, u) ( vq(v, x) R(w, v))) formulát. Írjuk ki az A(f(u, x), x, x) formula teljes alakját! 4. A nyelv szemantikája; igazságértékelés a modellben 4.1. Tekintsük a < {π}, {c}, {f (π π) }, {P (π,π), Q (π,π) } > els rend nyelvet. Mit jelent természetes nyelven a formula a következ interpretációkban: x(p (x, c) yq(f(y), x)) 14
15 (a) Az objektumtartomány legyen R. c jelölje a 0-t. f jelölje a négyzetre emelést. P jelölje a szokásos nagyobb, Q pedig az egyenl ség relációt. (b) Az objektumtartomány legyen az emberek halmaza. c jelölje Pétert. f(x) jelölje x feleségét. P (x, y) jelölje, hogy x y-nak a lánya, Q(x, y) pedig, hogy x és y ugyanaz a személy Az alábbi állítások közül melyek igazak, és melyek hamisak? (a) Ha kétszer kett négy, akkor öt osztható hárommal. (b) Ha öt osztható hárommal, akkor kétszer kett négy. (c) Abból, hogy a körvonalon van három egy egyenesen lev pont, következik, hogy öt osztható hárommal. (d) Nem igaz, hogy a következ két állítás ekvivalens: Kétszer kett egyenl öttel. Öt osztható hárommal. (e) Az a tény, hogy öt osztható hárommal ekvivalens azzal, hogy van a körvonalon három olyan pont, amely egy egyenesre illeszkedik Határozzuk meg az alábbi formulák értékét, ha A = 0, és B = 1: (a) A (B A) (b) (B A) (A B) (c) ( B A A B) 4.4. A megadott értékek ismeretében határozzuk meg az alábbi formulák értékét, ha lehet: (a) A B, ha A B = 1 (b) A B, ha A B = 0 (c) (A B) C, ha B = 1 (d) (A B) ( B A), ha B = 1 (e) A B A D, ha A = 1 és D = 0 (f) A B A B, ha A B = 1 (g) A B A B, ha A B = 1 15
16 4.5. Keressünk olyan (minél rövidebb) zárt formulákat, amelyek az Ar nyelv (a) N interpretációjában igazak, de a Z interpretációjában nem; (b) Z interpretációjában igazak, de az R interpretációjában nem Jelölje a sem-sem logikai m veletet, azaz tetsz leges A, B formulákra A B jelentése: sem A, sem B. A logikai alapm veletekkel kifejezve: A B A B. Fejezzük ki a,, m veleteket a m velet segítségével! 4.7. Mutassuk meg, hogy van olyan végtelen modell, melyben a x P (x, y) x y z(p (x, y) P (y, z) P (x, z)) x yp (x, y) formula igaz, de egyetlen véges modellben sem igaz Mutassuk meg, hogy a x y z(p (x, y) P (y, z) P (x, z)) x yp (x, y) xp (x, x) formula bármelyik véges modellben igaz, és mégis van olyan (végtelen) modell, melyben ez a formula hamis Mutassuk meg, hogy a x y z((p (y, z) P (x, z)) (P (x, x) P (y, x))) formula bármelyik véges modellben igaz, és mégis van olyan (végtelen) modell, melyben ez a formula hamis Bizonyítsuk be az alábbi lemmát az r term összetettsége szerinti indukcióval! Legyen M az Ω nyelv egy interpretációja és r egy olyan term, melyben legfeljebb egy paraméter, a π típusú x szerepel. Legyen a t π típusú értékelhet term értéke t M. Ekkor ( ) x r t M ( = r x t M ) M, azaz egy értékelhet term értéke csak résztermjei értékeit l függ Bizonyítsuk be az alábbi lemmát az A formula összetettsége szerinti indukcióval! Legyen M az Ω nyelv egy interpretációja és A egy olyan formula, melyben legfeljebb egy paraméter, a π típusú x szerepel. Legyen a t π típusú értékelhet term értéke t M. Ekkor M = [ A ( x t )] ( ) akkor és csak akkor, ha x M = A. t M 16
17 5. Logikai törvények; logikai következmények 5.1. Bizonyítsuk be az alábbi lemma állításait! (a) A 1, A 2,..., A n = B akkor és csak akkor, ha = A 1 A 2... A n B. (b) A 1, A 2,..., A n = B akkor és csak akkor, ha = A 1 A 2... A n B. (c) = A akkor és csak akkor, ha = A. (d) Az A formula pontosan akkor kielégythet, ha nem igaz, hogy = A Bizonyítsuk be a következ lemmát! A B pontosan akkor, ha A = B és B = A A tanult logikai törvények segítségével igazoljuk, hogy az alábbi formulák logikai törvények! (a) (A B) A (b) (A B) (A B) (c) ((A B) B) (A B) 5.4. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi formulák, melyekben P és Q predikátumszimbólumok, nem logikai törvények: (a) P Q.Q P (b) xp (x) xp (x) (c) x yp (x, y) y xp (x, y) (d) xp (x) xq(x) x(p (x) Q(x)) (e) x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x) (f) xp (x, x) x yp (x, y) (g) x yp (x, y) xp (x, x) (h) P (x) xp (x) (i) xp (x) P (x) (j) xp (x, y) yp (y, y) (k) xp (x, y) yp (y, y) 5.5. Bizonyítsuk be, hogy nem igaz, hogy = x yp (x, y) y xp (x, y) Kielégíthet k-e a következ formulák: 17
18 (a) x y(q(x, x) Q(x, y)) (b) x y(q(x, x) zr(x, y, z)) (c) x y(p (x) P (y)) (d) x y(p (x) P (y)) 5.7. Bizonyítsuk be, hogy (a) = (A B C) (A B.A C) (b) = x y z(p (x, y) (P (y, z) P (z, z))) 5.8. Ellen rizzük, hogy a felsorolt logikai törvények valóban azok Bizonyítsuk be, hogy (a) A B, C B = A C (b) (A B) (C D), (D E) F = A F Ellen rizzük, hogy a konklúzió a premisszák logikai következménye-e. (a) Lacinak nincs kocsija. Éva csak azokat a úkat szereti, akiknek van kocsija. Tehát Éva nem szereti Lacit. (b) Ha a lóversenyek eredményeit az összeesküv k el re eldöntik, vagy a játéktermeket kezükbe veszik a hamis játékosok, akkor a turizmus kevesebb bevételt hoz és a város kárt szenved. Ha a turizmus kevesebb bevételt hoz, a rend rség meg lesz elégedve. A rend rség sohasem elégedett. Következésképp a lóversenyek eredményeit nem az összeesküv k döntik el. (c) Néhány republikánus kedvel minden demokratát. Nincs olyan republikánus, aki szeretné a szocialistákat. Tehát egyik demokrata sem szocialista. 6. A logikai törvények néhány alkalmazása 6.1. Határozzuk meg az alábbi formulák prenex alakját: (a) x yp (x, y) x yq(x, y) (b) x yp (x, y) x yq(x, y) (c) x( yp (x, y) zq(z)) xq(x) (d) x( yp (x, y) xq(x)) x yp (x, y) 18
19 6.2. Hozzuk konjunktív és diszjunktív normálformára a következ formulákat: (a) (A B A) (A B B) (b) (A (B C)) (A B) C (c) (C A) ( (B C) A) (d) (A B.C A). B C (e) ((A B. A) B. C) C 7. A természetes technika 7.1. Vezessük le a természetes technika segítségével a tanult logikai törvényeket! 7.2. A természetes technika segítségével végezzük el az 5. fejezet feladatainak bizonyításait! 7.3. Bizonyítsuk be, hogy logikai törvények az alábbi formulák! (a) A (B A) ( A) (A B) (b) (A B) B A B (c) A (B C) (A B) (A C) (d) (A C) (B C) (A B) C (e) A B A (A B) 7.4. Tekintsük azt az els rend nyelvet, amelyben három predikátumjel van: P, R (egyváltozós), Q (kétváltozós), függvényjel pedig nincs. Logikai törvények-e az alábbi formulák: (a) xp (x) xp (x); (b) ( xp (x) xp (x)); (c) x yq(x, y) y xq(x, y); (d) x yq(x, y) y xq(x, y); (e) x(p (x) R(x)) ( xp (x) xr(x)); (f) ( xp (x) xr(x)) x(p (x) R(x))? 7.5. Bizonyítsuk be, hogy (a) A (B C).B ( C A), (b) A ( A B), (c) A A. 19
Logika feladatgyűjtemény
Debreceni Egyetem Informatikai Kar Logika feladatgyűjtemény 2005. május 19. Készítette: Lengyel Zoltán lengyelz@inf.unideb.hu Tartalomjegyzék 1. Ítéletlogika 2 2. Elsőrendű logika 17 2.1. Prenex alak......................................
RészletesebbenMegoldások. 2001. augusztus 8.
Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenMatematikai logika. Nagy Károly 2009
Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű
RészletesebbenA matematika alapjai. Nagy Károly 2014
A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenMatematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenMatematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenHalmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Funkcionális függés, normál formák
ADATBÁZIS-KEZELÉS Funkcionális függés, normál formák KARBANTARTÁSI ANOMÁLIÁK beszúrási anomáliák törlési anomáliák módosítási anomáliák DOLG_PROJ(Dszsz, Pszám, Dnév, Pnév, Órák) 2 MÓDOSÍTÁSI ANOMÁLIÁK
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenÚtmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez
Útmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez A vízumkérő lap ( Visa application form of the People s Republic of China, Form V. 2013 ) az egyik legfontosabb dokumentum, amit a kínai vízumra való jelentkezésnél
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenAz abortusz a magyar közvéleményben
Az abortusz a magyar közvéleményben Országos felmérés a egyesület számára Módszer: országos reprezentatív felmérés a 18 éves és idősebb lakosság 1200 fős mintájának személyes megkérdezésével a Medián-Omnibusz
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenDr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
RészletesebbenElsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenNagy András. Számelméleti feladatgyűjtemény 2009.
Nagy András Számelméleti feladatgyűjtemény 2009. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 1 Bevezetés... 2 1. Feladatok... 3 1.1. Természetes számok... 3 1.2. Oszthatóság... 5 1.3. Legnagyobb közös osztó, legkisebb
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenProlog 1. Készítette: Szabó Éva
Prolog 1. Készítette: Szabó Éva Prolog Logikai, deklaratív nyelv. Egy logikai program egy modellre vonatkoztatott állítások halmaza, melyek a modell tulajdonságait, és az azok között fellépő kapcsolatokat
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
Részletesebben( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 1. levelezős gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének
RészletesebbenMinta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész
1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához
RészletesebbenMATEMATIKA VERSENY --------------------
Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2014. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
Részletesebbenö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 2011/11 11
(Logika rész) Logika és számításelmélet. 2011/11 11 1. előadás 1. Bevezető rész Logika (és a matematikai logika) tárgya Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. A gondolkodás
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenJátékok (domináns stratégia, alkalmazása. 2016.03.30.
Játékok (domináns stratégia, Nash-egyensúly). A Nashegyensúly koncepciójának alkalmazása. 2016.03.30. Játékelmélet és közgazdaságtan 1914: Zermelo (sakk) 1944. Neumann-Morgenstern: Game Theory and Economic
RészletesebbenMatematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
RészletesebbenProgramozás I. - 9. gyakorlat
Programozás I. - 9. gyakorlat Mutatók, dinamikus memóriakezelés Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 9, 2009 1 tar@dcs.vein.hu
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenHatározat száma: 49/2014. (X.13.) Tárgy: Roma települési nemzetiségi képviselő választás eredményének megállapítása HATÁROZAT
Határozat száma: 49/2014. (X.13.) Tárgy: Roma települési nemzetiségi képviselő választás eredményének megállapítása HATÁROZAT Nádudvar Város Helyi Választási Bizottsága a választási eljárásról szóló 2013.
RészletesebbenMinta 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR
1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
RészletesebbenA matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenMATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
Részletesebben5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
RészletesebbenAdatbázis-kezelés. 7. SQL Táblák összekapcsolása
Adatbázis-kezelés 7. SQL Táblák összekapcsolása Adatok kinyerése több táblából Táblák összekapcsolásának alapja: kulcs idegen kulcs Az 5-nél több aranyat nyert országok nevét listázzuk ki. két tábla tartalmazza
RészletesebbenINFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI JEGYZET
INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI JEGYZET KÉSZÍTETTE: CSENGERI ISTVÁN PTI SALGÓTARJÁN 2009 Nulladrendű matematikai logika... 4 1.1 Matematikai Logika = mat.log = symbolic logic... 4 1.2 Kijelentések... 4 1.3
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebbenhogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenTanmenetjavaslat 5. osztály
Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel
RészletesebbenÁramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (13. fejezet)
Áramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (3. fejezet). Egy H I = 70 m - 50000 s /m 5 Q jelleggörbéjű szivattyú a H c = 0 m + 0000 s /m 5 Q jelleggörbéjű
RészletesebbenÁ Á É É É ö É Ó ú Á ú Á Á Á Á ö Á ő ű ú ö ö ú ű ú É ő ö ú ú ű ö ű ő Ú Ú ú ő ö ö ő ö ö Á ö Á ö ú ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ő ö ö ö ö ő ö Á ö ő ö ö ő ú ú ö ö ő ö ö ö ö ú ö ú ö ő ú ö ö ö ö ö ú ö ú ú ö Ú ő ű ő ö
RészletesebbenNemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 1. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 1. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli
RészletesebbenMatematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek
Matematikai logika A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezd dött. Maga a logika szó is görög eredet, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Kialakulása ahhoz köthet, hogy már
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 18. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 006. május 18. 1:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 0 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,
Részletesebben