Az egyenszilárdságú láncról

Átírás

1 1 Az egyenzilárdágú lánról Régóta tudtuk, hogy ebbe a témába i bele kell mennünk valamikor; mot jött el ennek az ideje. Ahogy a rugalma lán, úgy az egyenzilárdágú lán témája i olyan motohagye - rek ~ féle: motanában nemigen növelik velük a könyvek terjedelmét. Régebben má volt a helyzet, amiről a forrájegyzék régi műveinek kötele - láno fejezetei tanúkodnak. Az egyenzilárdágú lán egy bezéde elnevezée annak az inhomogén lánnak, illetve kötélnek, amelyre két végén felfüggeztett állapotában ~ külő megozló erőrendzerként ak a aját úlya hat, é amelynél ~ a lán minden kereztmetzetében egyenlő nagyágú húzófezültég ébred. Mot tekintük az 1. ábrát! 1. ábra Itt a zámítáok orán előjövő fontoabb geometriai adatok betűjeleit i feltüntettük. Ezek: ~ A, B: a kötél / lán végpontjai, illetve rögzítő fix uklói; ~ L: a lán hoza; ~ d: a felfüggeztéi pontok távolága; ~ l: a felfüggeztéi pontok távolágának a vízzintere vett vetülete;

2 ~ m: a felfüggeztéi pontok távolágának a függőlegere vett vetülete. ~ φ A, φ B : a végérintők hajláa. Az 1. ábrán egy konkrét zámpélda eredménye látható. Azért hoztuk ezt előre, hogy mindjárt az elején helye képet alakíthaunk ki a zerkezet geometriájáról. ( Ezt motanában egyre gyakrabban elkövetjük, mert haznonak bizonyul. ) Az egyenzilárdágú lángörbe elnevezé pedig az egyenzilárdágú lán tengelyvonalá - nak görbéjére utal. A zámítá elő rézében a görbe paramétere egyenletrendzerét vezetjük le, [ 1 ] alapján. Ehhez tekintük a. ábrát!. ábra A lán egy d elemi hozúágú darabjára ható elemi úlyerő nagyága: dg g dm g ρ dv γ dv γ A d ; ( 1 ) itt ρ a lán anyagának állandó űrűégét jelenti. Az elemi lándarabra ható erők egyenúlyi egyenletei az alábbiak. F x 0 S + S + d(s ) 0, innen: d(s ) 0 S H kont. S φ H. ( )

3 3 F y 0 S in φ + S in φ + d S in φ dg 0, innen ( 1 ) - gyel i: d S in φ dg γ A d. ( 3 ) Mot ( ) é ( 3 ) - mal: d H in φ γ A d H d tg φ γ A d. ( 4 ) M P 1 0 S dy + S in φ dx + dg dx 0 ; dx 0, S dy dx + S in φ 0 dy dx tg φ V H ; ( 5 ) Mot az egyenzilárdági feltétellel, ( ) - vel i: ς H A 0 S A A A 0 S H 1 A φ A 0. ( 6 ) A ( 6 ) képlet írja le a kereztmetzet - változá ( egyik ) törvényét a lán hoza mentén. Ezután ( 4 ) - ből, ( 6 ) - tal i: dφ H d tg φ γ A d H γ A 0 d H dφ γ A o φ 0 d, innen: d H dφ dφ, ( 7 / 1 ) γ A 0 H ς kont. ( 7 / ) γ A 0 γ Mot ( 7 / 1 ) - et integráljuk, figyelembe véve, hogy φ 0 0 : φ φ 0 dφ ln tg π 4 + φ. ( 8 ) Továbbá ( 7 / 1 ) - gyel i: dx d dy d in φ dφ dφ dφ, ( 9 / 1 ) in φ tgφ dφ. ( 9 / ) Mot ( 9 / 1 ) - et integráljuk, figyelembe véve, hogy φ 0 x 0 : x φ φ. ( 10 ) Majd ( 9 / ) - t integráljuk, figyelembe véve, hogy φ 0 y 0 :

4 4 φ y φ tgφ dφ ln oφ 0. ( 11 ) Özefoglalva a derékzögű é az ívkoordináta - egyenleteket: x φ φ, ( E / 1 ) y φ ln oφ ln 1, ( E / ) φ ln tg π + φ 4, ( E / 3 ) ς kont. γ ( E / 4 ) Az ( E ) egyenletek képezik a továbbiak alapját. Segítégükkel, az 1. ábra zerint felírha - tók az alábbi, a geometriai adatokra vonatkozó egyenletek. l x B x A φ B φ A φ B φ A, tehát: l φ B φ A. ( 1 ) m y B y A ln 1 B ln 1 A ln 1 B 1 A ln 1+tg φ B 1+tg φ A, m ln 1+tg φ B 1+tg φ A ln 1+tg φ B 1+tg φ A 1/ ln 1+tg φ B 1+tg φ A, tehát: m ln 1+tg φ B 1+tg φ A. ( 13 ) L φ B φ A ln tg π 4 + φ B tehát: L ln tg π 4 +φ B tg π 4 +φ A ln tg π 4 + φ A ln tg π 4 +φ B tg π 4 +φ A. ( 14 ), A ( 1 ), ( 13 ), ( 14 ) egyenletek alkalmazáa többféleképpen i történhet. Itt azt az életzerűnek tűnő feladatot oldjuk meg előzör elvben, utána mintapéldán át, melynek kiíráa az alábbi. Adott:, l, m. Kereett: x A, y A ; x B, y B ; L.

5 5 A ς kont. mennyiéget akár anyagjellemzőnek i tekinthetjük, hizen: γ ~ a γ fajúly anyagjellemző, ~ a ς ς meg ς F mennyiég i zinte annak tekinthető a zerkezeteknél, ahol n ~ σ meg : a lán / kötél anyagára megengedett húzófezültég nagyága, ~ σ F : a kötél / lán anyagának folyáhatára, ~ n: a felvett biztonági tényező. Ezek zerint ( itt ) nem kell bonyolult zámítáokat végeznünk meghatározáához, ha - nem fel kell azt venni. Az alábbi zámítáok közvetlen élja az adott l é m mennyiégekhez tartozó φ A é φ B végérintő - hajlázögek meghatározáa. Mot ( 1 ) - ből: l φ B φ A l φ B φ A φ A φ B l ; ( 15 ) majd ( 13 ) - ból: m ln 1+tg φ B 1+tg φ A m ln 1+tg φ B 1+tg φ A, ( 16 ) ezután ( 15 ) é ( 16 ) - tal: ln 1+tg φ B 1+tg φ B l m, φ B,1, φ A,1 φ B,1 l. ( 17 ) A ( 17 ) képletor bekeretezett egyenletét grafikuan / numerikuan oldjuk meg. Ezek után ( 14 ) é ( 17 / ) zerint kizámítjuk a lán zükége hozát. L ln tg π 4 + φ B,1 tg π 4 + φ A,1. ( 18 ) A görbe expliit egyenletének felíráához ( E / 1 ) é ( E / ) - vel: y x ln o x. ( 19 ) A ( 19 ) zerint megrajzolt görbén az A é B végpontokra: x A φ A,1, y A ln o x A x B φ B,1, y B ln o x B,1, ( 0 / 1 ). ( 0 / )

6 6 Eredményeinket zámpéldában alkalmazzuk. SZÁMPÉLDA Adott: 10 m ; l 4 m ; m 3 m. ( A ) Kereett: φ A,1, φ B,1 ; x A, y A ; x B, y B ; L. Előzör ( 17 / 1 ) é ( A ) - val: ln 1+tg φ B 1+tg φ B ; ( a ) az ( a ) egyenlet grafiku megoldáát mutatja a 3. ábra. 3. ábra A 3. ábrán látjuk, hogy több megoldáa i van az ( a ) egyenletnek. Nekünk a π 1, nél kiebb abzizájú metzépont a jó; ezzel: φ B,1 0, rad, ( b ) majd ( 17 / ) é ( b ) - vel:

7 7 φ A,1 φ B,1 l 0, ,4 0, , tehát: φ A,1 0, ( ) A lán végpontjainak koordinátái ( 0 ) é ( b ), ( ) - vel: x A φ A,1 10 m 0, ,335 m, tehát: x A 4,335 m. ( d /1 ) y A ln oφ A,1 10 m ln o 0, , m, tehát: y A 0,971 m. ( d / ) x B φ B,1 10 m 0, , m 8,335 m, tehát: x B 8,335 m. ( e/ 1 ) y B ln B,1 10 m ln o 0, , m, tehát: y B 3,971 m. ( e / ) A lán hoza ( 18 ), ( b ) é ( ) - vel: L ln tg π 4 + φ B,1 tg π 4 + φ A,1 10 m ln tg π 4 + 0, tg π 4 + 0, , m, tehát: L 5,034 m. ( f ) Azt itt kizámított eredményekkel kézült az 1. ábra. Mot határozzuk meg a lán kereztmetzetének alakuláát, hogy az elvileg legyártható i legyen. Ehhez a kereztmetzeti területeket az ívkoordináta függvényében kell megad - ni, hizen vízzinte aljzaton fekvő állapotban, eetleg függőlegeen lógatva zerelik öze a lánot, elképzeléünk zerint. Ehhez tehát végre kell hajtanunk a ( 6 ) - ból induló

8 8 A φ A 0 A? ( * ) átmenetet. Ehhez a [ ] - ben vázolt átalakítáokat végezzük. Előzör: 1 + in φ in φ 1+ tg φ 1 tg φ ; ( 1 ) Máodzor ( E / 3 ) - ból: ln tg π 4 + φ tg π 4 + φ tg π 4 + tg φ 1 tg π 4 tg φ e tg π 4 + φ ; ( ) 1+ tg φ 1 tg φ ; ( 3 ) majd ( ) é ( 3 ) - mal: e 1+ tg φ 1 tg φ ; ( 4 ) ebből: 1 + tg φ e e tg φ e 1 tg φ 1 + e tg φ e tg φ e 1 e e + 1, tehát:. ( 5 ) Négyzetre emelve ( 5 ) - öt: tg φ e 1 e +1 e e + 1 e + e +1 ; ( 6 ) Ezután ( 1 ) é ( 6 ) - tal: 1 1+ tg φ 1 tg φ e e + 1 e e 1 1+ e e+1 e + e+1 1 e e+1 e + e+1 e e e + e e e + 1 e + e + 1 e + e + 1 e e e e + e e e + e e + e e e + 1 e + e + 1 e + e 1 h, tehát:

9 9 1 h. ( 7 ) Mot ( * ) megadáa: A φ A 0 A A 0 h. ( 7 / 1 ) A ( 7 / 1 ) képlet alkalmazáa orán termézeteen az A é az B ívhozak közti anyagi zakazon kell a kereztmetzeti területeket tekinteni, azaz: A B. ( 7 / ) Még meghatározandó az A 0 kezdő kereztmetzeti terület. Erre egy lehetőég az alábbi. A lán dg elemi úlya ( 3 ), ( 6 ) é ( 7 / 1 ) zerint: dg γ A d γ ezt integrálva: G dg H G φ B φ A A 0 dφ H γ A 0 dφ φ B o φ H tgφ φ A H o φ dφ, ( 8 ) H tgφ B tgφ A, innen: H ; ( 9 ) tgφ B tg φ A ámde: H ς A 0 A 0 H ς, ( 30 ) így ( 9 ) é ( 30 ) - al: A 0 1 G. ( 31 ) ς tgφ B tg φ A Megemlítjük, hogy ~ a telje lán egyenúlyát leíró, ( 5 ) - tel i adódó G V B V A H tgφ B H tgφ A ( 9 / 1 ) kapolatok i ( 9 ) - re vezetnek; ~ a ( 9 ) egyenlet mindenféle lánra így a közönége lánra i érvénye, ha a lán ak önúlyterhelét kap. A végérintők tangene azono egyéb geometriai adatok mellett i már nem azono, mert a bár egyező úlyú, de eltérően inhomogén lánok úlypontja, illetve úlyerői hatávonala az l zakaz különböző helyein vannak, márpedig a G, S A, S B erőknek a G úlyerő hatávonalán kell metződniük. Ez má - má végérintőket okozhat.

10 10 Megjegyzéek: M1. Még nem láttunk egyenzilárdágú lánot. Kézítenek ilyet egyáltalán? Megvalóított ( közel ) egyenzilárdágú ozlopról tudunk, kötélről / lánról nem. Bizonyára nem túl gyakran fordul elő, ha van i ilyen. [ 3 ] egy mintapéldájában hajók mélyvízi lehorgony - záánál alkalmaznak ilyet, ahol a vízmélyég 5000 m 4. ábra. 4. ábra forráa: [ 3 ] Itt a lán aél anyagának fajúlyát a víz fajúlyával ökkentett értékkel vették figyelem - be, az egéz lánot vízbe merülőnek tekintve. Továbbá az ábrabeli feladat arról i zól, hogy a hajóra a zélnyomából egy Q 0 nagyágú, vízzinte erő hat, mellyel: H Q 0 ς H A 0 A 0 H ς Q 0 ς, (! ) megadva ezzel a kezdő kereztmetzeti terület zámítáát i, egy felvett σ - val. M. Előző dolgozatunkban melynek íme: Kötéltatikai feladatok a BVM példatárból ~ 3. már foglalkoztunk inhomogén, azaz nem egyenlete tömegelozláú lánokkal. Az itteni lán / kötél i inhomogén, ám külön zokták tárgyalni. M3. A [ 4 ] műben i tárgyalják a témát, de ennek írámódja elég régienek, ezért kié nehezebbnek tűnik; pl. az A kereztmetzet zámítáa eléggé nehézkeen követhető.

11 11 M4. A nem rézletezett matematikai kérdéekre nézve lád az [ 5 ] művet! M5. Egy további özefüggé a ρ görbületi ugárra az alábbiak zerint adódik. Az 1. ábra alapján: ρ dφ d ρ d dφ ; ( 3 ) mot ( 7 / 1 ), ( 7 ) é ( 3 ) zerint: ρ d h, tehát: dφ ρ h. ( 33 ) ( Ne tévezük öze a fajúlyt é a görbületi ugarat, bár mindkettőt ρ - val jelöltük! Ez a bevett zoká a zakirodalomban. Nem tévedünk el, ha figyelünk a zövegkörnyezet - re, ahol előjönnek.) A ( 33 ) egyenletet [ ] - ben G. Corioli - nak tulajdonítják, é az egyenzilárdágú lán - vonal termézete egyenletének nevezik. Az [ 1 ] műben pedig ( E / 3 ) - vel oztott változatát nevezik az egyenzilárdágú lángörbe belő, lényegi / intrini egyenletének. M6. Az [ 1 ] munkában feladják, hogy igazoljuk az itteni jelöléekkel fennálló: S H A A 0 h (!! ) özefüggét. Ehhez kiindulunk az egyenzilárdág feltételéből, é ( 7 / 1 ) - gyel i: ς S H S A h. A A 0 H A 0 M7. [ 1 ] - ben azt i feladják, hogy igazoljuk, mizerint az itteni jelöléekkel : G H h, (!!! ) ahol G( ) az 1 0 é az paraméterekkel adott, hozúágú egyenzilárdágú lán úlya. Írjuk fel a mondott lándarab függőlege egyenúlyi egyenletét; ehhez ld. a. ábrát i! V G 0, majd a Pitagoráz tételével adódó özefüggét i: S () H + V H + G G S H, végül felhaználunk egy i - mert azonoágot i, ezzel é (!! ) - lel: G H h H H h náal kapjuk (!!!) - et. 1 H h, innen pozitív gyökvo -

12 1 M8. A [ ] műben levezetik, hogy az egyenzilárdágú lán kereztmetzeti területe az itteni jelöléekkel az y koordináta függvényében így alakul: A y A 0 e y. (!!!! ) Szép, de még ki kellene találni, hogy mire i haználható. Vagy ak egy idevágó mate - matikai érdekeég? M9. A fenti feladatban nem kellett az L kötélhozat felvenni, az L > d l + m feltételre i figyelve. Eetünkben utóbbi feltétel automatikuan teljeül, hizen a görbe két pontja közti távolág mindig kiebb, mint a két pont közti ív hoza. A görbe pedig fel - vételével már adott i, ( 19 ) zerint. M10. Nézzük meg, hogyan alakul az egyenzilárdágú lán folyóméterúlya! ( 1 ) - ből i: q dg γ A. ( 34 ) d Továbbá ( 7 / ) - vel i: ς 1 S() γ A 1 S q 1 S. ( 35 ) γ γ A() A ( 35 ) özefüggé azt mondja, hogy az egyenzilárdágú lán megozló teherintenzi - táának helyi nagyága arányo az ottani húzóerő nagyágával. Továbbá ( 35 ) é (!!) - lel, valamint ( 34 ) - gyel i: q 1 S 1 H h γ A 0 h q 0 h, tehát: q q 0 h, ( 36 / 1 ) q 0 γ A 0. ( 36 / ) A ( 36 / 1 ) képlet azt mondja, hogy az egyenzilárdágú lán teherintenzitáa kozinuz hiperbolikuz függvény zerint változik, az ívhoz függvényében. M11. Mot tekintük az 5. ábrát! Itt azt látjuk, hogy a ( 19 ) függvény grafikonja végtelen ok különálló görbéből áll. Ezek közül nekünk ak arra az egyre van zükégünk, amely az origót fogja közre. Azt i láthatjuk, hogy a görbék zárai gyakorlatilag a függőlegebe mennek át. Ezt úgy fogalmazzuk, hogy a görbék azimptotái az y tengellyel párhuzamoak. Képlettel:

13 13 5. ábra y x ln o x ln 1 o x ; o x 0, ha x ± π, így x ± π eetén: y x ± π ln 1 ln. 0 Rövidebben [ 6 ] : x ± π y. (!!!!!) M1. A [ 7 ] könyvben i találkozunk egy rokon feladattal, mely arra a kérdére kerei a válazt, hogy milyen alakot vez fel a párhuzamo erőrendzerrel terhelt fonál, ha a meg - ozló teher intenzitáa arányo a húzóerővel. A ( 35 ) képlet zerint i a válaz: olyan fo - nálgörbe áll elő, melynek termézete egyenlete ( 33 ) alakú, vagyi az egyenzilárdágú fonálról van zó. [ 7 ] - ben a ( 33 ) termézete egyenletet a [ 4 ] munkához kötik. Meg - említik, hogy e termézete egyenlet ugyanolyan alakú, mint a (közönége) lángörbe derékzögű koordinátá egyenlete. ( Talán ezért i ajtóhibá ez [ 6 ] - ban. ) M13. [ 1 ] - ben i háromféle a közönége, a rugalma é az egyenzilárdágú lángör -

14 14 bével gyakorlatoznak. Haonló a helyzet [ ] é [ 7 ] - ben i, de utóbbiak még a entrá - li erőtérben nyugvó kötél eeteivel i foglalkoznak. ( Pedig e feladatok keletkezée idején még ehol em volt űrutazá, űrben végzendő munka, kivéve némely haladó gondolkodó fantáziájában. Tényleg olyan ez, mintha előre látták volna, hogy zükég lez a entráli gravitáió erőtérben lévő kötelek matematikai leíráára i. ) Forráok: [ 1 ] Jame MMahon: Hyperboli Funtion 4. kiadá, New York, John Wiley & Son, [ ] Karl Federhofer: Prüfung - und Übungaufgaben au der Mehanik de Punkte und tarren Körper, I. Teil: Statik Springer-Verlag, Wien, [ 3 ] D. R. Merkin: Vvegyenyije v mehanyiku gibkoj nyityi Nauka, Mozkva, [ 4 ] George M. Minhin: A Treatie on Stati, Vol. I. 3. kiadá, Clarendon Pre, London, [ 5 ] I. N. Brontejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zebkönyv. kiadá, Műzaki Könyvkiadó, Budapet, [ 6 ] A. K. Gupta: Golden Stati Laxmi Publiation (P) Limited, New Delhi, 006. [ 7 ] Roberto Marolongo ~ H. E. Timerding: Theoretihe Mehanik, 1. Band Kinematik und Statik B. G. Teubner Verlag, Leipzig, Sződliget, Özeállította: Galgózi Gyula ny. mérnöktanár Továbbiak: