(Biomat mód I. félév május 15 Biomat mód I. félév 2016.doc december 14. jav: dec 20-tól a Játékelméletig, piros )

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "(Biomat mód I. félév május 15 Biomat mód I. félév 2016.doc december 14. jav: dec 20-tól a Játékelméletig, piros )"

Átírás

1 Biomt I 8 május 8.doc Biomt mód I. félév 8. május 5 m ez friss! Biomt mód I. félév 6.doc 6. december 4. jv: 7. dec -tól Játékelméleti, piros Áltlános bevezetés Mtemtiki módszerek lklmzás biolói különböző területein c. tntáryhoz Az eymástól füetlen temtikájú két féléves speciálkolléium célj z, hoy bepillntást nyújtson biolóus, mtemtikus, továbbá fizikus és veyész szkos eyetemi hlltók számár mtemtiki biolói eyes részterületeibe. A kurzus hlltásához felsőfokú biolóii ismeretek nem szükséesek. Mtemtiki oldlról is csupán mtemtiki klkulus eyes részeinek és néhány vlószínűsészámítási folomnk, összefüésnek z ismerete szüksées. Eyedül közönsées differenciáleyenletek kvlittív vizsáltávl kpcsoltos néhány tudnivlót láttuk célszerűnek összefollni, második félév nyánk elején. Ennek tntárynk z is lehetne címe, hoy Szemelvények biomtemtik táryköréből. Minthoy biomtemtik okttásánk csekély múltj vn, célszerű lesz szokásosnál kicsit bővebben beszélni ennek szkterületnek lényeéről és okttásáról nemzetközi viszonyltbn. A biomtemtik, mint tudományterület nehezen definiálhtó. Például Goolebn: A mtemtiki és elméleti biolói ey interdiszciplináris tudományos- kuttási terület, biolóii, orvosi és biotechnolóii lklmzások sorávl. Elmondhtjuk, hoy definíció nem kellően konkrét. Ez nem véletlen; biomtemtik ny számú önálló részterületét eyüttesen nem nyon lehet jellemezni. A biomtemtik okttásánk lehetőséei:

2 Mtemtikus, ill. biolóus hlltóknk mehirdetett speciálkolléiumok keretében erről vn szó esetünkben. Lelább BSC vézettséű biolóus, vy mtemtikus hlltóknk biomtemtikus szkirányú MSC képzés keretében. Melyik jobbik meoldás? Mtemtik BSC-re vy biolóus BCS-re lpozni? Tlán z első eset, vö. I.J. My. Tud.. jnuári cikk. 3 PhD prormok, persze ey-ey szűkebb szkmi szektorbn. Jelen kurzus tehát z típusú biomtemtik okttás keretében folyik. Ilyesmire vilá számtln eyetemén Myrorszáon is számos péld vn. Azt ondolom zonbn, hoy konkrét példák említése helyett célszerűbb, perspektívikusbb típusú biomtemtik okttás kérdésével, lehetőséeivel follkoznunk. Tlán mondni sem kell, hoy vilá ny eyetemein erre is vn ny számú péld bár z USA kivételével viszony kevés. Emellett vilászerte csupán z utóbbi években indult ilyen képzés. Ey ilyen prorm, tájékozódás kedvéért: UCI University of Cliforni t Irvine UCI: Mthemticl nd Computtionl Bioloy Grdute Prorm, 5, Drft itt rdute mefelel z európi MSC-nek A Prembulumból: Óriási szüksélet muttkozik ziránt, hoy kvntittív képzést biztosítsunk biolóusok számár és biolóii képzést biztosítsunk mtemtikusok, vlmint számítástudomány művelői számár. A résztvevő tnszékek: Biomedicl Enineerin biolóii és mérnöki tudomány htárterülete Computer Science Developmentl nd Cell Bioloy Ecoloy nd Evolutionry Bioloy Mthemtics

3 Moleculr Bioloy nd Biochemistry Neurobioloy nd Behvior Physics Sttistics Az első tnulmányi év tntáryi beosztás három-három tnulmányi neyedévben, uyncsk Drft-bn, vázltosn: Biolóii oldl: Biofizik és fiziki biokémi Sejt- és eyedfejlődés biolói Élettn, populációbiolói, evolúció. Mtemtiki oldl: Sttisztik és számítások scientific computin, ezen belül prormcsomok, vizulizáció, Monte Crlo szimuláció Közönsées differenciáleyenletek Prciális differenciáleyenletek. Irodlom [] J.B.S. Hldne, The Cuses of Evolution, 93, Lonmns, Green nd Co., London. [] C. C. Li, Popultion Genetics, 955, University of Chico Press, Chico. [3] A.J. Lotk, Elements of Mthemticl Bioloy, 956, Dover Publictions, New York. [4] B.C. Goodwin, Temporl Ornistion in Cells, 963, Acdemic Press, New York. [5] F.S. Grodins, Control Theory nd Bioloicl Systems, 963, Columbi University Press, New York. [6] T.H. Wtermn nd H.J. Morowitz ed., 965, Theoreticl nd Mthemticl Bioloy, 3

4 965, Blisdell Publishin Co., New. York. [7]. J. M. Smith, Mthemticl Ides in Bioloy, 968, Cmbride University Press, Cmbride, Enlnd. [8] J.D. Murry, Mthemticl Bioloy, I: An Introduction, 993, Spriner, New York. [9] M.A. Nowk nd R.M. My, Virus Dynmics: Mthemticl Principles of Immunoloy nd Viroloy,, Oxford University Press, Oxford, Enlnd. [] J.D. Murry, Mthemticl Bioloy, II: Sptil Models nd Biomedicl Applictions, 3, Spriner, New York.. Core courses: All first-yer students prticipte in six qurters of four-unit MCB core course, three in bioloy nd three in mthemticl nd computtionl methods for bioloy: FÜGGELÉK ynánt MATHEMATICAL AND COMPUTATIONAL BIOLOGY st Qurter: Biophysics nd Physicl Biochemistry Fundmentls of bioloicl molecules Biophysics/physicl biochemistry Enzyme mechnism nd kinetics, lind-receptor interction Experimentl methods Physics nd/or MB&B to tke primry responsibility st Qurter: Sttistics & Scientific Computin 4

5 Sttisticl methodoloy Symbolic computtion pckes Visuliztion Moleculr Dynmics Monte Crlo simultions Mthemtics to tke primry responsibility for the entire sequence nd Qurter: Cell nd Developmentl Bioloy Cell structure nd function Trnscription/trnsltion Trnsport Sinlin The cell cycle Developmentl bioloy Morphoenesis Dev & Cell to tke primry responsibility nd Qurter: Ordinry Differentil Equtions Initil vlue problems theory, nlyticl & numericl methods Dynmic systems/control theory Boundry vlue problems theory, nlyticl & numericl methods Applictions: enzyme kinetics, cell cycle, sinlin networks Solvin non-liner equtions Stochstic methods 3rd Qurter: Physioloy, Pop. Bioloy, Evolution 5

6 Neurophysioloy Orn systems physioloy e.. crdiovsculr, Pulmonry Popultion Bioloy nd Genetics Evolution, nd evolutionry theory BME, N&B, nd/or E&E to tke primry responsibility 3rd Qurter: Prtil Differentil Equtions Clssifiction of PDE s Bioloicl pplictions diffusive trnsport, wve proption in cells, pttern formtion Theory nd nlyticl solution methods Numericl methods Stbility nlysis, eienvlue problems Stochstic methods APPENDIX I POTENTIAL PARTICIPATING FACULTY Tnszékek és résztvevő személyek hosszú listáj,, két myr névvel.. RESEARCH FUNDING - tehát képzést kezdeményezők horizontjábn ez is szerepel! Complex Bioloicl Systems Inititives Summry of the Inititives 6

7 Publicity Flyer pdf NIGMS Ntionl Centers for Systems Bioloy Request for Applictions GM-5-, September, 4 - számos további web-cím - ne felejtsük el, hoy mindez több mint éve történt Ey másik, szintén bizonyos kitekintést nyújtó, kirdott példáról, röviden: Az usztrálii The University of New South Wles eyetemén, 9-ben, mtemtikus hlltók számár mehirdetett eyetlen kurzus temtikáj: Populációdinmiki modellek, ey fjr vontkozón Populációdinmiki modellek, két fjr vontkozón Járványok terjedésének modellezése Komprtment modellek Kémii rekciókinetiki modellek Biolóii diffúziós modellek Idesejt-élettni modellek Az állti köztkró mintáztánk kilkulás Dntnövekedési modellek Néhány mejeyzés: Fenti kontextusbn mtemtik szinte minden esetben z informtikávl, illetve komputertudománnyl eyütt értendő. A sttisztik uyn mármint mtemtiki és nem leíró sttisztik - mtemtik része, zonbn biomtemtikához nem szoktuk hozzáérteni 7

8 mtemtiki sttisztikánk biolóiát érintő részterületét, biometriát. Mellékesen: Németorszábn z ottni Biometrii Társsánk közel -féle munkcsoportj vn A biometri önmábn is htlms, és li áttekinthető szkterület. A jelen kurzus keretében eyáltlán nem follkozunk biosttisztiki kérdésekkel. Uynkkor vlószínűsészámítás biolóii lklmzását bimtemtikához szokás sorolni és ilyen lklmzásr rövidesen látunk is mjd példát. Számos, biomtemtikávl közeli rokonsábn álló szkterület említhető. Ilyen például mtemtiki pszicholói. A biomtemtik szkkönyveiről: Ny számú könyv érdemel említést. Néhány kirdott péld: Történeti jelentőséű Nicols Rshevsky könyve: Mthemticl Biophysics: Physico-mthemticl Foundtions of Bioloy, 938. Edwrd Btschelet: Introduction to Mthemtics for Life Scientists, 97. myr: I.J., Juhász-Ny Pál, Vr Zoltán.: Bevezetés Biomtemtikáb, 98. A két utóbbi könyv nyobbrészt mtemtik iránt érdeklődő biolóus hlltók és biolóusok számár íródott. Külön említést érdemel: Murry, Jmes Dickson: Mthemticl Bioloy, 989 ld. fentebb is. Szempontunkból tnulsáos trtlomjeyzéke, vázltosn: I. kötet:. fejezet: Populációdinmik, ey fjr vontkozón. fejezet? 3-4. fejezet: Populációdinmik, két fjr vontkozón 5. fejezet: Rekciókinetik 6-3. fejezet: Biolóii oszcillátorok, diffúzió, biolóii hullámok 4-7. fejezet: Mintáztképződés 8. fejezet: Morfoenesis röviden 8

9 9. fejezet: Járványterjedési modellek A II. kötetben főként z I. kötetben follt témkörök speciális részleteiről vn szó. Ey utolsó kirdott péld: Hoppenstedt, Frnk C. nd Peskin, Chrles S.: Mthemtics in Medicine nd the Life Sciences, 99. Trtlomjeyzéke, vázltosn:. fejezet: Populációdinmik, ey fjr vontkozón. fejezet: Öröklődés, Hrdy-Weinber eyensúly 3. fejezet: Járványterjedési modellek 4. fejezet. Bioeoráfi röviden 5. fejezet: Szív- és kerinésélettni modellek 6. fejezet: Lézésélettni modellek 7. fejezet: Sejtélettni modellek 8. Fejezet: A veseműködéssel kpcsoltos modellek Tpsztlhtjuk z álltélettni modellek némi túlsúlyát. Ey mejeyzés: Érdekes, hoy mtemtiki enetik modelljei csekély szerephez jutnk biomtemtiki tnkönyvekben. További mejeyzések: A biomtemtiki könyveknek és közleményeknek nyon ykrn feltűnően yene oldl z eredmények és konkrét mefiyelések eybevetésének hiány. Az is mejeyezhető, hoy ey-két részterülettől eltekintve viszonyl ritk diszkrét mtemtiki modellek lklmzás. Ey nevezetes könyvsorozt, mely szintén ny szerepet játszott és játszik biomtemtik letöbb területének formálódásábn: Lecture Notes in Biomthemtics, 974-től 995-i, kötet. Átöleli z összes nyobb biomtemtiki diszciplínát. Számos kötetét őrzi z MTA Könyvtár és z ELTE TTK Könyvtár. 9

10 A biomtemtiki folyóirtok szám is ny. Mnpsá sok tekintetben támszkodhtunk Goole-r is. Mint tudjuk, z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék follkozik biomtemtikus képzés lelább részbeni mehonosításánk kérdésével. Íy került sor mostni speciálkolléium meszervezésére is, mely -biolóus hlltók szempontjából ey több féléves mtemtiki speciálkolléium sorozt ey része és kötelezően válszthtó speciálkolléium - mtemtikus hlltók szempontjából eyelőre nem kötelezően válszthtó speciálkolléium. Vélemény lehetsées myrorszái biomtemtikus képzésről I.J. Myr Tudomány,. jnuár korábbn hsonló Felsőokttási Szemlében is, 98: Köztudott, hoy számos hzi kuttóintézet vy kuttócsoport szívesen lklmzn biomtemtiki természetű problémák meoldás érdekében és eyben tudományos pályár állítás szándékávl pálykezdő fitlt, mefelelő feltételek mellett. Melyek lehetnek ezek feltételek? Szüksées, hoy rendelkezzék pálykezdő fitl olynfjt mtemtiki tudássl, problémmeoldó készséel, mint mondjuk ey jó felkészültséű középiskoli mtemtik tnár. Nélkülözhetetlenek z informtiki lpismeretek is. Rendelkezzék uynkkor fitl pályázó áltlános biolóii intellienciávl vy biolóii rányérzékkel nnk mefelelően, hoy eyetemi évei során jónéhány mehtározó szemeszterben biolóus hlltóként biolóiát hlltott, és klsszikus biolóii tntárykt jó eredménnyel bszolvált. Eyszóvl, átélte biolóussá válásnk ey viszonyl rövid, de pályár állító korszkát. Hlltott emellett néhány kurzust biomtemtikához, biofizikához sorolndó szkterületről is. Véül kellő szkmi becsváyl rendelkezik hhoz, hoy célul tűzze ki m elé biomtemtik vlmely területén vló szkmi boldoulást. Bizony, vezető nemzetközi biomtemtiki folyóirtok, de kár számos speciális biolóii folyóirt közleményeinek spektrumár ondolv beláthtjuk, hoy ilyen felkészültséű kuttók munkáj iránt vilászerte ny kereslet. Számítni lehet rr, hoy oddó munk és kissé önsnyrtó évek

11 után kilkul pálykezdő szkmi profilj biomtemtik dott területén és menyílik előtte szkmi vilá. Új, fontos irodlom: Eton, C.D. et l. 6 A Rule of five frmework for models nd modelin to unify mthemticins nd bioloists nd improve student lernin. rxiv:67.65 vy rxiv:67.65v Tnulsá: Tlán inkább kori eyetemi években kell hlltósáot biolói mtemtik htárterület irányáb orientálni, h nem is sziorú mtemtikávl, hnem szimulációkkl, modellekkel, kvntittív kérdések felvetésével. Ezért nem áll szándékombn z lsóéveseket kizárni ebből kurzusból.

12 Vlószínűsészámítási emlékeztető Vázltos ismétlés, áttekintés nélkülözhetetlen vlószínűsészámítási lpfolmkról lábbikt biolóus hlltók és más hlltók eyránt tnulták, tehát csk emlékeztetőről vn szó. Elemi esemény, ω: Az ω elemeket áltlábn nem tudjuk konkretizálni, ezért is vlószínűsészámítás folmi lpji nem mentesek intuitív motívumoktól. Véletlen kisérlet lpfolom lehetsées kimenetele dott jelensékörben. Elemi esemény tér, Ω: Az elemi események hlmz dott jelensékörben, Ω i i. Esemény: Ω bizonyos részhlmz tehát ω nem esemény. Az A esemény bekövetkezik: kisérlet kimenetele A-beli elemi esemény. Az eseményeket mefiyelhetőknek bekövetkezésüket eldönthetőnek tekintjük. Mivel Ω Ω és Ø Ω, ezért fennáll, hoy z Ω I és Ø hlmz eseménynek vehető biztos, illetve lehetetlen esemény. Események közti műveletek, úm. A+B eseményössze, AB eseményszorzt, A- B esemény- különbsé, A Ω-A esemény komplementere. A és B eymást kizáró def., h AB A B def., h A bekövetkezésekor B is bekövetkezik. Hlmzlebr jel. A: h A és B eleme A-nk, kkor z A B eseményúnió is eleme A-nk, továbbá h A eleme A-nk, kkor z A eseménykomlementer is eleme A-nk vyis műveleti zártsá z únióképzésre és komplementerképzésre nézve. Mej.: Ekkor fenti feltételek esetén AB is eleme A-nk és z lphlmz, illetve z üres hlmz is eleme A-nk. Eseménylebr: h speciálisn z A hlmzlebr elemei események és esemény össze, illetve esemény komplementer képzésről vn szó.

13 Teljes eseményrendszer ey eseménylebrábn: Az A-beli z A, A,, A n eseményhlmz ilyen, h z események eymást kizárók és összeük biztos esemény. Esemény vlószínűsée: Ey eseménylebr A eseményein értelmezett, nemnetív értékű P füvény, melyre PΩ és eymást kizáró A és B eseményre PA+BPA+PB. Vlószínűséi mező: Ω, A, P. Alklmzni fojuk: Feltételes vlószínűsé: leyen PB, def. P AB P A B. P B Füetlensé: PABPAPB. Teljes vlószínűsé tétele: leyen n P B P B A P. i i A i A,...,, A An teljes eseményrendszer, ekkor Vlószínűséi változó:.. Eloszlásfüvény: Definíciójuk bármely bevezető vlószínűsészámítási könyvben, könyvfejezetben metlálhtó. Biolóus hlltóknk jánlhtó például Mtemtik kurzus mefelelő részét trtlmzó fájl, letölthető Pfeil Tmás tnár úr honlpjáról. A Vlószínűsészámítás lpjink bővebb áttekintésére eyéb művek mellett jánlhtó Izsák J. 5 Biosttisztiki lpismeretek. Kézirt, ELTE, Bp. és Izsák, J., Pfeil, T. 6 Biosttistics. A first course in probbility theory nd sttistics for bioloists. Electronic 3

14 coursebook on the web. Me kell zonbn mondnunk, hoy vlószínűsészámítás lpjink bevezetése didktikil nehéz feldt. Az említett vlószínűsészámítási lpfolmkon lpuló sokoldlú konkrét modellezési lehetőséek ismertetésére természetesen nem válllkozhtunk. Gondoltébresztőként írunk le két enetiki táryú ykori esetet. Először is vázoljuk biolóii hátteret. Diploid fjokról leyen szó, melyeknek tehát testi, más szóvl szomtikus nem ivri sejtjeiben fjr jellemző kromoszómfjták kétszeresen, két példánybn vnnk képviselve. A kromoszóm más tekintetben kromtid! mehtározott helyén, mintey szkszán lókuszon énváltoztok llélek hlmzánk vlmelyik eleme, pontosbbn z,,, n llélfjták vlmelyikét képviselő konkrét llél helyezkedik el x. ábr. sejt belseje: hím szülőtől szármzó eyik kromoszóm részlete:.. női szülőtől szármzó eyik kromoszóm részlete:.. x. ábr. A kromoszómpár hím, illetve női szülőtől szármzó tj, benne z dott lókusszl. Részletek szöveben. Az dott lókuszt mindkét kromoszómán lehetsées,,, n típusú llélek vlmelyike follj el. Ezért sejt enotípusán, éspedi szomtikus enotípusán olyn típuspárt értünk, melynel két eleme,,, típusok vlmelyike. Az llélok sorrendjét nem értelmezzük. H pl. háromféle llél létezik, kkor lehetsées szomtikus enotípusok:,,,,. Az ivrsejtek enotípus ekkor 3 3,, lehet., Példák n 4

15 Leyen dott ey fj eyedeinek vlmely N számossáú hlmz. Leyenek szóbnforó llélok lléltípusok,, 3. Válsszunk ki z eyedhlmzbn follttott N számossáú lókuszhlmzból! véletlenszerűen ey lókuszt és állpítsuk me kísérlet lehetsées kimeneteleként lókusz enotípusát. A kísérlet kimenetele ekkor, lehet., 3 Válsszunk ki z eyedhlmzból véletlenszerűen ey eyedet és állpítsuk me kísérlet lehetsées kimeneteleként z eyed enotípusát zz testi sejtjeinek zonos szomtikus enotípusát. A kísérlet kimenetele ekkor,,,, lehet. 3 3, 3 3 Feltételeznünk kell zonbn, hoy meállpításr képesek vyunk. Jól ismert ellenpéld: Leyenek z llélok A és, de z eyedek esetében A ún. dominnciáj révén ne leyen mekülönböztethető z AA és z A szomtikus enotípus. Ekkor csk z AA+A és z események állpíthtók me. Eybedolozni mjd ++-i fentebbivel 6. dec. 6 Emlékeztető nem-biolóus hlltók számár enetiki épezet néhány elemére soksejtű fjok ny részénél Eyik szülő sejtje, benne ey tuljdonsá két változtánk A llél és llél képviseletével: hím vy nőstény minden testi szomtikus sejtje ilyen szomtikus enotípussl: AA vy A másképpen A vy Az llélek dott kromoszóm/kromtidpár mehtározott szkszán, ún. lókuszán vnnk. Ivrsejt képződés: AA szomtikus sejtből A és A, A-ból A és, -ból és enotípusú ivrsejt keletkezik. Ivrsejtek eyesülnek, ún. ziót jön létre, belőle soroztos osztódásokkl soksejtű, zonos enotípusú sejtekből álló utód. A és A ivri enotípusú ivrsejt eyesülésével AA szomtikus enotípusú ziót ill. utódszervezet, A 5

16 és ból A utód nem mekülönböztetve most zt z esetet, hol hím és hol női ivrsejt A enotípusú, és ból Alább először fenti esettel kpcsoltos modellel follkozunk. H viszont tuljdonsá z ún. ivri kromoszómánk vlmelyik lókuszán vnnk, kkor helyzet ykrn következőképpen módosul. Teljes értékű ivri kromoszóm pár pl. csk nőstény testi sejtekben vn, íy A vy csk itt vn képviselve AA vy A vy formábn. A hím testi sejt viszont csk A vy enotípusú lehet. Ezért női eyed ivrsejtje kétféle A és lehet, hím eyeddé csk A vy csk. Alább ilyen esettel is founk tlálkozni. ++ Füelék eseményterek Descrtes-szorzt Vlószínűsészámítási problémák táryláskor fontos nnk tisztázás, hoy melyek szereplő eseményterek, illetve vlószínűséi mezők. Tisztázndó kérdések vetődhetnek fel például már ey Punnett tábl felíráskor is. Tekintsük zt szituációt, mikor A vy llél fordulht elő hím ivrsejt enotípusként. A leeyszerűbb eseménytér { Ahím, hím, I, } lehet könnyen meyőződhetünk rról, hoy z események hlmz szorzás és neált képzésre zárt. Például A + I, stb. A vlószínűséi mezőt z dott hím hím szituációbn kijelölt vy feltételezhető P A, P vlószínűséek teszik hím hím eyértelművé. Hsonló, de z előzőtől különböztetendő { A,, I, } P Anő, P nő eseménytér, illetve vlószínűséi mező. nő nő, Más kérdés szomtikus enotípusok lehetsées leszűkebb eseménytere. Például mindi elsőként írv hímtől szármzó, másodikként írv nősténytől szármzó lléltípust, ez z eseménytér: { A A, A, A,,, }. A kipontozás olyn események esetlees felvételére utl, melyek z eseményösszeek képzésre vontkozó zártsá mitt szükséképpen elemei kell, hoy leyenek z ún. szorzt eseménytérnek ld. lább. hím nő hím nő hím nő hím nő Eseményterek Descrtes-szorzt Vlmely X és Y diszjunkt hlmz szorztán z x,y rendezett párok hlmzát értjük, hol x X, y Y. H értelmezve vn X elemeire vlmilyen 6

17 összedás és Y elemeire szintén ey esetle másféle összedási művelet és X, illetve Y zárt z előbbi öszedási műveletekre, illetve komplementer képzésre zz X és Y is hlmzlebr, kkor x, x X, y, y Y esetében x + x, y + y { x y, x y, x y, x y}??? is eleme szorzttérnek, itt persze + szorzttérbeli művelet.??? Például fenti enetiki példábn szorzttérnek eleme A hím, Anő és hím, nő, de kkor A hím, A nő + hím, nő is eleme, mely esemény homoziót eyed eyszerű párképzéssel nem áll elő. Teyük fel most, hoy dott z X és Y eseménylebr és dottk z események vlószínűséei eyrészt z X, másrészt z Y eseménylebrábn röviden: dott két vlószínűséi mező. Tekintsük most vlmely A eseményt X-ből, illetve B eseményt Y-ból mefelelnek fenti x-nek és y-nk, vlószínűséeik PX A, PY B. Ekkor természetesen A, B eleme szorzt eseménytérnek. Felmerül zonbn kérdés, mi lesz, illetve hoyn definiálndó A,B vlószínűsée szorzt eseménytérben. Fontos körülmény, hoy itt nem részletezhető okból - z eyetlen célszerű meoldás szerint PA,B-t íy szüksées válsztnunk: PX Y A, B P A, B PX A PY B ún. szorztmérték. Viyázt, itt z eyenlősé nem eyzon vlószínűséi mező két eseményének feltételezett füetlenséét fejezi ki! Azt sem táryljuk, hoy mi lesz vy mi lehet szorztmérték értéke szorzttérbeli vlószínűsé szorzttér tetszőlees eseményére.??? Mindenesetre például eymást kizáró események összeének vlószínűséére nézve természetesen me kell követelnünk, hoy z két esemény vlószínűséének összee leyen, stb. Mejeyezhetjük például, hoy P A, I P A P I P A, stb. X Y X Y X Füetlen kísérletek vy mefiyelések, füetlen ismétlés H vlmely mefiyelést, kísérletet többször, füetlen módon ismétlünk me, kkor olyn ondolti konstrukcióról vn szó, melynek keretében z eredeti X eseménytér önmávl vett n tényezős X X X szorztterét képezzük és z első X-beli A, második X-beli A,, z n-edik X-beli A n eseményből álló, n komponensű A A... An X X... X eseménysorozt vlószínűséét z előbbiek szerint íy képezzük: PX X... X A A... An P A P A... P An. 7

18 Vissztérve enetiki példánkr, meállpíthtjuk, hoy szorzttérnek fentebbi néy, zz A, A, A,,, A, eseménypár mellett hím szükséképpen eleme például P A, I P A P I P A X Y hím hím nő hím A, stb. nő hím nő hím nő, A + A, A I hím én A, továbbá hím nő hím nő, H ezek után konstruáljuk me közismert Punnett táblát, kkor sokkl tisztábbn láthtjuk kitöltött tábláztbn szereplő eredményeket: betéve *-i A bő nő A A A hím hím hím A nő nő hím hím hím A nő nő p p Abő nő p p p Ahím Ahím Ahím p p A nő nő p hím p p hím hím p p Anő nő p p p q p pq * q p qp q A mebeszélteknek mefelelően például p p szorzttérbeli hím nő szorztmérték mefelelő értéke, vy homoziót utód esemény, zz szorzttérbeli A A + eseménynek szorzttérbeli összee, ld. fentebb, stb. hím nőő hím nőő Vlószínűsészámítási emlékeztető eyáltlán kell belőle?? Esemény, mefiyelés Vlmely tömejelensé kimeneteleinek mefiyeléseit véletlen kísérleteknek, mí ey kísérlet lehetsées, eymástól különböző kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. A kísérlettel kpcsoltos elemi események nem üres { } hlmz z elemi esemény tér. Véletlen eseményen vy röviden eseményen z elemi események bizonyos A hlmzát értjük; z eseményeket tehát részhlmzokkl zonosítjuk. Ey E esemény definíció szerint 8

19 bekövetkezik, h kísérlet kimenetele, mint elemi esemény, eleme z E hlmznk. Bár mukt z elemi eseményeket nem nevezzük eseménynek, z áltluk lkotott eyelemű részhlmzok már események lehetnek. Alpfolom mefiyelés eredménye is. Az eseményeket - nem z elemi eseményeket! mindi mefiyelhetőknek tekintjük. Az elemi eseményteret, illetve z üres hlmzt minden esetben eseménynek tekintjük, és biztos eseménynek, illetve lehetetlen eseménynek nevezzük, e vontkozásbn jelölésük I, illetve Ø. Az lpfolmk tisztázásábn seít z. ábr.. ábr. Eseményekkel kpcsoltos lpfolmk szemléltetése. Elemi esemény,, 6, mefiyelhető esemény A és A. Mejeyzendő, hoy ondolti struktúrábn szereplő Ω elemi eseménytér elemeit és z elemi esemény bekövetkezését áltlábn nem tudjuk konkréttá tenni, csk mefiyelhető eseményeket és zok bekövetkezését. E tekintetben vlószínűsészámítás folmi lpji oly sok más szkterületéhez hsonlón nem mentesek intuitív elemektől. Tább értelemben véve kísérlet - melynek eredménye ey mefiyelés - z is, h például terepen meállpítjuk ey-ey elénk kerülő növényeyed fji hovtrtozását. Számos mérés is véletlen kísérletnek tekinthető, mint például ey véletlenül kiválsztott f kerületének memérése mellmssábn, mely számszerű kísérleti eredményre, mefiyelésre vezet. 9

20 Műveletek eseményekkel Tetszőlees A és B eseményre mint említettük, ezek hlmzokkl zonosíthtók, szokásos hlmzelméleti műveletek seítséével értelmezzük z események A + B A B összeét, A B AB A B szorztát és A B különbséét. Ezek szerint z A+B esemény pontosn kkor következik be, h A és B közül lelább z eyik esemény bekövetkezik. Továbbá AB pontosn kkor következik be, h A és B eyránt bekövetkezik. Hsonlón értelmezhető z A-B esemény: Ez pontosn kkor következik be, h A bekövetkezik, B pedi nem. Ey A esemény komplementer eseményének, neáltjánk z A A eseményt nevezzük. A tehát definíció szerint pontosn kkor következik be, h A nem következik be. H z A és B eseményre AB Ø, kkor zt mondjuk, hoy z A és B esemény diszjunkt, más kifejezéssel eymást kizáró. A hlmzelméleti értelmezésre tekintettel z eseményekre vontkozó más jelöléssel A<B reláció hlmzok közti relációként is értelmezhető és rr utl, hoy A bekövetkeztekor B feltétlenül bekövetkezik. A B, Péld: Kockdobássl kpcsoltbn leyenek mefiyelhető események: A : z eredmény, A : z eredmény. Ekkor A + A " vy ", A + A A A, A A + + A I A Ø. Az elemi események kérdésével itt nem + 6, A follkozunk! Másik péld: A c vércukorszint mérésére vontkozó események leyenek következők: A: 3,8<c<4,3, B: 3,9<c<4,7, C: 3,5<c<4,5, I: <c<3. Ekkor A+B3,8<c<4,7, AB3,9<c<4,3, A C, A c 3,8 + 4,3 c 3, AC3,8<c<4,3..

21 Hlmzlebr, eseménylebr Az események vlószínűséének bevezetését meelőzően kényelmes konstrukciót vezetünk be zon eseményhlmzr nézve, melynek elemeire, mint eseményekre vlószínűséeket definiálni fojuk. Azt mondjuk, hoy ey nem üres lphlmz bizonyos részhlmzink A hlmz hlmzlebr, h z eleet tesz z lábbi tuljdonsáoknk: A minden A és B elemére eseményekre fennáll, hoy A + B is eleme A -nk műveleti zártsá z összedásr nézve. b Minden írott A -beli A eseményre fennáll, hoy A is eleme A -nk műveleti zártsá z ellentett képzésre nézve. Amennyiben A -r teljesül és b, kkor A -t hlmzlebránk nevezzük. Mejeyzés: Az és b feltételek teljesüléséből következik, hoy A vlmely A elemét eseményét tekintve, A és A + A is eleme A -nk. Márpedi A + A. Tehát z lphlmz mindi eleme z A hlmzlebránk. Könnyen izolhtó, hoy AB A + B. Továbbmenve, h A és B eleme A -nk, kkor láthtón utóbbi eyenlősé jobboldl is z. Ekkor viszont bloldl is, tehát hlmzlebr esetében hlmzszorztr vontkozó műveleti zártsá utomtikusn teljesül. Ezért viszont z A A lehetetlen esemény üres hlmz is utomtikusn eleme hlmzlebránk. Amennyiben z hlmz bizonyos részhlmziból álló A hlmzlebr elemeit eseményeknek tekintjük ld. fentebb, kkor hlmzlebr eyben eseménylebr. Teljes eseményrendszer Erre folomr későbbiekben számos ízben founk hivtkozni.

22 Adott eseménylebr bizonyos A,, A, An elemeinek eseményeinek eyüttesét teljes eseményrendszernek nevezzük, h zok páronként eymást kizárók, zz minden i-re és j i -re A Ø lehetetlen esemény, továbbá összeük biztos esemény, zz i A j A + A + + A n I. A teljes eseményrendszer vlójábn z elemi eseménytérnek is tekinthető ey bizonyos osztályozásánk prtíciójánk felel me. Esemény vlószínűsée Leyen A vlmely elemi esemény tér elemi eseményeiből álló eseménylebr. Rendeljünk hozzá A minden A eseményéhez ey vlószínűsének nevezett PA számot vö.. ábr. Teyük fel, hoy P füvény rendelkezik z lábbi tuljdonsáokkl: P A P 3 P Ai + Aj P Ai + P Aj, h A i és A j A -nk eymást kizáró eseményei.. ábr A vlószínűséi füvény myráztához

23 A vlószínűséi füvény néhány könnyen beláthtó lpvető tuljdonsá: 4 PØ 5 P A P A 6 PB-APB-PAB 7 PA+BPA+PB-PAB 8 h A<B, kkor PA PB. Vlószínűséi mező H dott z, A eseménylebr és z A elemein zz eseményeken értelmezett P vlószínűsé füvény, kkor z, A, P vlószínűséi mezőről beszélünk. Klsszikus vy kombintorikus vlószínűséi mező Leyen z elemi eseménytér vées, zz vlmilyen pozitív eész n számr álljon fenn, hoy,,, }. Definiáljuk úy z szintén vées A { n eseménylebrát, hoy utóbbi összes részhlmzink hlmz ez hlmz nyilvánvlón hlmzlebr, illetve eseménylebr. Leyenek z A -beli A események P vlószínűséei olynok, hoy fennálljon A P A, n hol A z A hlmz elemszám, vyis z A-bn follt elemi események szám. Az íy dódó vlószínűséi mezőt klsszikus vy kombintorikus vlószínűséi mezőnek nevezzük. Feltételes vlószínűsé 3

24 Mint láttunk vlószínűsé folmánk bevezetésekor, vlószínűsé folm szoros kpcsoltb hozhtó reltív ykorisál. Nyon sok esetben vyunk kíváncsik rr, hoy ey dott tuljdonsáot hordozó eyedek körében milyen ykori ey másik tuljdonsá. Ilyen kérdések merülnek fel kkor is, h például zt ondoljuk, hoy z ey tuljdonsá meléte befolyásolhtj másik tuljdonsá előfordulását. Ezért célszerű bevezetni feltételes vlószínűsé folmát. Tekintsünk ey vlószínűséi mezőt. Leyen A és B z eseménylebr eleme és teyük fel, hoy PB>. Ekkor P A B P AB P B számot z A esemény B eseményre vontkozó feltételes vlószínűséének nevezzük. Könnyen ellenőrizhető, hoy P A B, P B B és PØ B. Mejeyzés: A feltételes vlószínűsé kisebb és nyobb is lehet feltétel nélküli vlószínűsénél. Események füetlensée Leyen A és B eyzon vlószínűséi mező két eseménye. Azt mondjuk, hoy A és B füetlenek eymástól, h teljesül következő: P AB P A P B. 4

25 Evidens, hoy ey, illetve vlószínűséű esemény íy Ø és z I esemény is vlószínűséi mező minden eseményétől füetlen. Könnyű belátni például, hoy h A és B füetlen esemény, kkor A és B is füetlen. Mejeyzés: Minthoy füetlensé esetén P B mellett! P A B P AB P B P A P B P A, P B füetlensé esetén z A esemény vlószínűsée füetlen ttól, hoy B feltétel teljesül, vy sem. Mefordítv, utóbbiból következik PABPAPB összefüés fentebbi P B kikötés mellett. A Mejeyzés hozzáseíthet hhoz, hoy meértsük füetlensé folmánk különös fontossáát vlószínűsészámítás területén. Mejeyzés: csk röviden Nyon ykrn merülnek fel hsonló kérdések: Vjon füetlen-e ey kock első és második feldobás lklmávl dódó eredmény? Vy hoy füetlen-e ey dott területen dott évben és következő évben dódó terméseredmény? Vy hoy füetlen-e ey csládbn z első yermek neme és z ny életévekben dott x életkor x5, 6,, 5? Áltlánosbbn: Milyen értelemben tekintsük füetlennek két, köznpi értelemben füetlennek tekintendő kísérlet eredményeit? Annyit meállpíthtunk, hoy véletlen, vlószínűle, vy éppen füetlen kifejezésnek vitthttlnul vn bizonyos intuitív trtlm. A problém bból dódik, hoy két kérdéses esemény yermek neme, illetve ny életkor nem zonos eseménylebrához és eyben vlószínűséi mezőhöz trtozik, hnem bizonyos A, illetve A eseménylebrához. Ezért fentebbi füetlensé-definíció szerinti füetlensé kérdése közvetlenül fel sem vethető. Fontossá mitt ismertetjük vázltosn problém mefelelő áthidlását. Képezzük z összes nem, életkor elempárt vö. hlmzok Descrtes szorzt,.. pont. Itt z első elem tehát nemre, második elem z életkorr vontkozik. Ekkor z elempárok közötti mefelelő műveletek bevezetésével részetek mellőzésével z A 3-nk tekintendő A, A eseménylebrához jutunk. Jelöljük nemre vontkozó eseménylebr biztos eseményét I-vel, z életkorr vontkozó biztos esemény leyen I. Leyen nemre, b z életkorr vontkozó ey-ey tetszőlees esemény. Ekkor A 5

26 ben -nk, I -t feleltetjük me, b-nek pedi I, b-t. Ezzel nemre vontkozó, illetve z életkorr vontkozó eseményeket beáyztuk z eseménypárok eseménylebrájáb. Ezzel z elvi nehézséet áthidltuk. Az, I és I, b események füetlensée z A 3 eseménylebr, illetve mefelelő vlószínűséi mező esetében következőképpen fejezhető ki: P 3, I I, b P3 I, Ib P3, b P, I P I, b P P b Átörökíthetjük továbbá két korábbi eseménylebr eseményeinek vlószínűséeit is, éspedi z P 3, I : P és 3 I, b : P b P, minden A -beli -r és A -beli b-re válsztássl. A többi,b párr vontkozón P, vlószínűséek kérdése ekkor mé nyitv mrd. 3 b A fenti szituáció speciális eseteként szoktunk kísérletek füetlen ismétléséről beszélni. Az előbbieknek mefelelően ezen következőt értjük: Tekintsük kísérlet bizonyos kimeneteleire vontkozó A eseménylebrát, illetve vlószínűséi mezőt. H kísérlet n-szeri ismétléséről vn szó, kkor leyen kísérletsoroztr vontkozó új eseménytér z A, A,, A Descrtes szorzt. A továbbikbn fentieknek mefelelően járhtunk el. Elé eddi 6. sep 5.-i fjlból, 6. dec. 3. 6

27 Eyszerű enetiki vontkozású vlószínűsészámítási feldtok, bemeleítésképpen. Az MN vércsoportrendszerről lesz szó. Milyen vlószínűséel születik dott enotípusú utód z lábbi esetekben? p NN, ny MN b p NN, ny NN c p NM, ny NM Meoldás Adott enotípusú utód születésének vlószínűséei: PMM, PMN/, PNN/ b PMMPMN, PNN, c PMN/, PMMPNN/4. Mejeyzés: Ezktbb, bár ykrn túlrészletezőnek tűnő módszert is lklmzhtunk. Ezt z feldt PNN-re vontkozó meoldásár muttjuk be. A modellnek mefelelően ivrsejt válsztáskor P Npi, P Nnyi,5. Mejeyzendő, hoy fenti két esemény kétféle eseménytérre vontkozik ld. Füelék. Az eseményterek keresztszorztár vontkozó mejeyzés szerint ld. Füelék z ott definiált füetlensé mitt P NN P N P N,5. utód p ny Számos más feldt esetében is hsonlón lehet eljárni. Ey p és lány B vércsoportú, z p felesée és z p pj A vércsoportú. Milyen vlószínűséel lesz házspár másik yermeke A, B, AB vy vércsoportú néy külön eset? Mejeyzés: z dott enotípushoz trtozó fenotípus zz vércsoport: AA A, BB B, AB AB, A A, B B. 7

28 Meoldás Ey B vércsoportú eyén itt z p, ill. lány enotípus BB vy B lehet., ld. Mejeyzés dtit. De z p BB enotípusú nem lehet, ld. pj A vércsoportját. Tehát z p enotípus B. Az A vércsoportú felesé enotípus nem lehet AA, mert kkor lány nem lehetne B vércsoportú, fiyelembe véve z p enotípusát. Tehát felesé A enotípusú. Összefollv, házspár tjink enotípus B és A. Az utód enotípus AB /x//4 vlószínűséel, A /x//4 vlószínűséel, B /x//4 vlószínűséel és szintén /x//4 vlószínűséel. Az lábbi feldtok férfi és lány utód témkörbe trtoznk. Ismeretes bár meoldásoknál ezt explicite nem hsználjuk ki -, hoy férfik nemi XY kromoszómpárjávl szemben nők nemi kromoszómpárj XX. 3 Mennyi vlószínűsée nnk, hoy kétyermekes csládbn mindkét yermek fiú FF esemény, h z idősebb yermek fiú b lelább z eyik yermek fiú PFPL,5 Meoldás Lány születését L-lel jelöljük.,5,5 P FF. F, 5 b Lelább z eyik yermek fiú: FL + FF +LF. P FF FL + FF + LF P + FF + / 4 P FF FL + FF + LF P FL + FF + LF P FL + P FF + P LF 3/ 4 3. Fiyelembe vettük, hoy FL, FF és LF diszjunkt események. A lehetetlen eseményt -vl jelöltük. 8

29 4 Mennyi vlószínűsée nnk, hoy ey cslád két yermeke különböző nemű, h fiú születésének vlószínűsée,5? Meoldás PLF+FL,5,49 +,49,5, Adott s számú ivrsejt enotípus. Lássuk be, hoy ss+/ számú szomtikus enotípus lehetsées. Meoldás Adott ivrsejt enotípushoz s--féle másfjt ivrsejt enotípus válszthtó. Ezért heteroziót szomtikus enotípusok szám ss-/. A homozióták szám evidens módon s. Véül ss-/+sss+/. Uynezen eredmény dódik, h z s, prméterű ismétléses kombinációr ondolunk. 9

30 Szomtikus enotípus eloszlás lkulás ey utoszómás lókusz, két vy több llél esetére. A Hrdy-Weinber eyensúly. Vlhol lejjebb: szülői PAA PA, P eyensúly?,, utód PAA, PA, P már eyensúly Bevezetés Számos lpvető enetiki összefüés meértéséhez hozzáseít leeyszerűbb párosodási sém lpos mebeszélése. Mindenekelőtt teyük fel, hoy érvényesül pnmixi, zz populáció hím és női eyedei véletlenszerűen és zonos vlószínűséel párosodnk, minden eyednek enotípusától füetlenül, zonos vlószínűséel lesznek utódi, melyek szám szülők enotípusától füetlen. Vyis ún. pnmiktikus szporodásról vn szó. Nincs mutáció, immiráció és kivándorlás. Fel fojuk tenni, hoy bbn, hoy ey eyed milyen enotípusú ivrsejtje vesz részt metermékenyítésben, nincs szerepe nnk, hoy z eyed hány sejtből épül fel és hány ivrsejtje közül válsztódik ki metermékenyítésben részt vevő ivrsejt. Ezért populáció eyedeit párosodási sém szempontjából eyetlen szomtikus sejttel reprezentálhtjuk. Itt fiyelembe vesszük, hoy ey szervezet szomtikus sejtjei zonos enotípusúk. Minden szomtikus reprezentáns sejtből két ivrsejt keletkezik. Mindehhez ld. Vázltos háttér enetiki bevezetőhöz c. nyot. Tekintsük reprezentáns sejtek hlmzábn, populációjábn ey nem szexkromoszómához kötött lokuszhoz trtozó llélok hlmzát. Alább első lépésben feltesszük, hoy két llél llél típus! létezik, A és. Leyen fizikil létező A llélok reltív ykorisá reprezentáns szomtikus sejtek összes fizikil létező A lókuszink és eyben fizikil létező lléljink! körében hím és női részpopuláció esetében eyránt p. Ez lehetsées, mert nem szexkromoszómán lévő lókuszról vn szó. Azonosn jelöltük z llélok típusát és z dott típusú, fizikil létező llélokt. Ekkor z llél reltív ykorisá uynitt q-p. Feltesszük, hoy minden reprezentáns sejtből ivrsejt keletkezik vö. pánmixiáról mondottkkl. A fizikil létező A llél reltív ykorisá z ivrsejtek populációjábn és eyben zok lókuszink populációjábn! szintén p. Tehát Ploc A Phím A Pnő A p, hol P loc 3

31 reprezenttív sejtek lókuszir! vontkozó vlószínűsé, P hím és Pnő pedi hím, illetve női ivrsejtek körében értelmezett vlószínűsé. Ekkor ey párosodási sémábn véletlenül válsztott hím női ivrsejt pár fenti sém szerint eyben hím női eredetű reprezentáns sejtpár esetében hím ivrsejt p vlószínűséel A enotípusú és eyben -pq vlószínűséel enotípusú. Hsonlón, petesejt is p vlószínűséel A enotípusú és -pq vlószínűséel enotípusú.. Ekkor ziótáknk, vyis z ivrsejtek eyesülésekor keletkező ún. ziót sejteknek és eyben z utódeneráció szomtikus sejtjeinek enotípus előfordulási vlószínűséei könnyen áttekinthetők z ún. Punnett-tábl seítséével. Itt fiyelembe vesszük, hoy z eyed enotípusát zonosítjuk hím ivrsejt és női ivrsejt uynilyen sorrendben eymás után írt ivrsejt enotípusánk eyüttes soroztávl, zz rendezett enotípus, enotípus párrl. Fontos körülmény, hoy hím i vr sejt nő i vr sejt szorzteseménytérben ezen párok vlószínűsée szükséképpen P enotípus P enotípus -nek válsztndó vö. Füelék Fejezet után. hím nőő hím A: p : q-p A: p p pq női : q-p qp q Azz elemi vlószínűsészámítási meondolások szerint szomtikus enotípusok létrejöttének, eyben z utódeneráció reprezentáns sejtjeiben vló előfordulásánk vlószínűséei: P utód [AA] p, P utód [A]pq, P utód [] q. Viyázt: Itt és lább P. vlószínűséek z ivrsejt enotípusokr, P.. vlószínűséek pedi szomtikus enotípusokr vontkozó vlószínűséi mező vlószínűséei! Feldt: Leyen szó tehát utoszóműs lókuszról, A, llélpárrl. Leyen szomtikus enotípus hím és nőstény részpopulációbn, ill. s reprod. testi sejtek körében és íy teljes populációbn is! PAA,5, PA,7, P,5. 3

32 Ekkor z ivrsejtek körében, yszersmind hím eyed ivrsejtjeinek és női eyedek ivrsejtjeinek körében eyránt A,5+,7,5, 6 P,4. P hím hím A nő A,6,6,4,6,4,4 utód: PAA,36, PA,48, P,6. Alább eyszerűsé kedvéért számos ízben pl. P, -t írunk. Más esetekben P -et írunk P[ ] helyett. Mejeyzés: Eredetile pl. A enotípust jelöl, A enotípusr vontkozó eseményt tekintet nélkül rr, hoy A és hím vy női szülőtől szármzik, [AA] P füvény rumentum. Alább eyszerűsé kedvéért számos ízben pl. PA-t írunk. Más esetekben PA-t írunk P[A] helyett, stb. Mindez z érthetőséet nem zvrj. Íy rövidebben P utód AA p, Putód A pq, Putód q. Viyázt, P utód vlószínűséek z utódnemzedékre vontkozó vlószínűséi mező vlószínűséei! Másrészt, hol helyzet nem félreérthető, z utód indexet esetle elhyhtjuk. Ezek szerint ey szbd párosodásból szármzó utódenerációbn z AA, A és szomtikus enotípusok előfordulási vlószínűsée levezethető z A és éppen úy z llélll rendelkező reprezentáns hím ivrsejteknek reprezentáns hím ivrsejtek körében vló előfordulási vlószínűsééből női ivrsejtekre uynez iz. Ami pl. z A llél előfordulási vlószínűséét illeti z utódeneráció reprezentáns sejtjeiben, z nem változhtott szülői enerációhoz képest, mert reprezentáns sejtek eyetlen llélj sem eliminálódott. Erre mejeyzésre Hrdy-Weinber törvény táryláskor térünk vissz. 3

33 Mefiyelhetjük, hoy fenti p, pq, q vlószínűséek előállnk p + q kifejtéseként. Ennek z észrevételnek z áltlánosítás következő tétel. A tétel kimondás előtt bevezetünk néhány folmt. Leyenek ey populáció eyedeinek, eyben reprezentáns szomtikus sejtjeinek enotípusi G,,G, z utóbbi sejtekből szármzó ivrsejtek enotípusi pedi,, s. Itt enertív sejt és s somtikus sejt között könnyen izolhtón fennáll ss+/ összefüés. Ekkor P + +P s eseménypolinomot! ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási polinomnk nevezzük természetesen z ivrsejt enotípusokr vontkozó vlószínűséi mező vlószínűséeivel. Mejeyzés: Írhtnánk -t, stb., zonbn z s P i vr eyetlen rumentum eyértelművé teszi, hoy ivrsejtek hlmzáról vn szó. A s P,, P vektort ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási vektornk nevezzük. Hsonlón, P G G + +P G G eseménypolinomot szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinomnk nevezzük. Véül P G,, P G mefelelő szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási vektor természetesen szomtikus enotípusokr vontkozó vlószínűséi mező vlószínűséeivel.. Tétel Nem szexkromoszómás vyis utoszómás lókusz esetén, pánmixi fentebb? fennálltkor, továbbá külső htások, pl. szelekció, továbbá mutáció, miráció, stb. hiányábn z utódenerációbn szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinom eyütthtói, mint vlószínűséek előállnk z előző enerációbeli hím és eyben női ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási polinom néyzetének, zz P + P + + P s s 33

34 polinom néyzetének polinom-eyütthtóiként mint mefelelő vlószínűséek. Például z utódeneráció szomtikus enotípus vlószínűséi eloszlás polinomjábn z szomtikus enotípus eyütthtój, mint P utód P P lesz, stb. Bizonyítás A következőképpen jöhet létre ey i,,s, j,,s i j : i j enotípusú ziót eyben utód, i enotípusú hím és j enotípusú női ivrsejt eyesül b j enotípusú hím és i enotípusú női ivrsejt eyesül Az i j enotípusú ziót létrejötte, mint esemény, z és b diszjunkt események összee. Másrészt z i enotípusú hím ivrsejt és j enotípusú női ivrsejt esemény röviden i hím és j női füetlen események ld. fejezet utáni Füelékben szorztmértékkel kpcsoltbn mondottkt. Ennek mefelelően ziót i, j enotípus esemény, jel. i j ziót keletkezési vlószínűsée: P i i j. j ziótp i hímp j női+p j hímp i női, i,,s, j,,s, Minthoy utoszómás lókuszról vn szó, P k hímp k női, k,,s, ezért bevezethetjük utóbbi vlószínűsé értékekre közös P k jelölést. Ekkor z előbbi vlószínűsé-össze íy írhtó: P i ziót P j utód i j Speciálisn, már ezen jelöléssel, ij-re P i i,,s. P i P j, i,,s, j,,s, 34 i ziót P i i j. P, utód i j

35 Másrészt fentebbi ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási polinomnk z i j eyütthtój néyzetreemelés után P i P j, jvítv i i eyütthtój pedi P lesz. i Ezek szerint z utódeneráció szomtikus enotípus vlószínűsé eloszlási polinomj: Részletesebben P + P P + P P 3 P + +P P s felírásából s s 3 s P s + +P P s P s s s + P s s + Ez z össze nem más, mint P +..+ P s s, mennyiben z ivrsejtekre vontkozó eseményszorztokt szomtikus sejtekre vontkozó i j i j eseményekkel zonosítjuk. Ezzel tételt bebizonyítottuk. A Hrdy-Weinber törvény Térjünk vissz z összefüésekhez, melyek szerint három szomtikus enotípus előfordulási vlószínűsée z utódenerációbn szbd párosodást követően ld. fentebb mindi olyn, hoy mefelelő p-re mefelelő rányok PAA p, PApq, P q. Vizsáljuk most ezen utódeneráció utódenerációjánk szomtikus enotípus vlószínűséeloszlását. Könnyű belátni, hoy ez is p : pq: q lesz! Eleendő rr hivtkoznunk, hoy szelekció, stb. hiányábn pl. z A llélek szám, íy reltív ykorisá, előfordulási vlószínűsée z utódeneráció szomtikus reprezenttív sejtjei fizikil létező lókuszink és eyben lléljink körében továbbr is p. Vlhol esetle rjzolt sém 34. oldl hátulján kell? 8. jn 5.: 35

36 Eseményszorztok: A hím hím A nő A hím A nő hím A nő nő A hím nő hím nő Keresztszorzt vlószínűséek füetlenséet feltételezve: P Ahím P hím P A nő P A hím P A nő P hím P A nő P nő P A hím P nő P hím P nő Gykori jelöléssel: p q p p p pq q p qp q. Ezért z utódeneráció utódenerációjár nézve is érvényesek szomtikus enotípus előfordulási vlószínűséek, zz ezeket P -vel jelölve, 36

37 P ' AA p, P' A pq, P' q. Úy is folmzhtunk, hoy z első utódeneráció már eyensúlyi eneráció. Ezt mondj ki Hrdy-Weinber szbály vy Hrdy-Weinber törvény, melyet már 98-bn leírtk. Azonbn ne felejtsük el, hoy mindez csk nem szexkromoszómán lévő lókuszr, pnmiktikus szporodásr és külső tényezők hiányábn érvényes. Kérdés: Több llélre is iz, hoy z első utódenerációbn beáll z eyensúly? Most zzl fontos kérdéssel follkozunk, hoy milyen esetben eyensúlyi populáció ey nem feltétlenül szbd párosodássl létrejött vy mutációknk, stb. kitett populáció esetében.. Tétel Feltételezzük továbbr is z előbbi szporodási feltételeket modell-háttér és pánmixi és zt, hoy lókusz nem szexkromoszómán vn. Ekkor nnk, hoy ey populáció eyensúlybn leyen, szüksées és elésées feltétele, hoy z dott populációbn szomtikus enotípusok vlószínűséeire fennálljon: P -PAA / vy ezzel lényeében ekvivlens módon b PAPAA / -PAA /. Ezen vlószínűséeket szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási vektorb follv vlószínűsévektor P AA, P AA / /, / P AA P AA, vy P AA p, p q jelöléssel, pq, q p. Ezek szerint eyensúly esetén pl. p már eymábn mehtározz másik két vlószínűséet vy koordinátát. Bizonyítás: A bizonyítást b összefüés belátásávl kezdjük. Leyen hím + nő populáció eyedszám és eyben szomtikus reprezenttív sejtek szám n. Leyen reprezenttív sejtek ld. fentebb 37

38 körében z AA, illetve A szomtikus enotípusú sejtek szám n AA, illetve na. Ekkor uynitt z A llélok szám n AA + na. A képződő ivrsejtek szám n. Az A llélok rány z ivrsejtek körében n n na naa na + +,, n n n AA 5 tehát, reltív ykorisáokról mefelelő vlószínűséekre térve, z ivrsejtek vontkozásábn p Pi A P AA +,5P A, vy h tetszik: P vr hím nő + A P A P AA P A. Többhelyütt fiyelembe vettük, hoy nem szexromoszómán lévő lókuszról vn szó! Az utódnemzedék AA enotípus ekkor vö. formul: P AA p utód PAA+.5PA. Eyensúly esetén ennek me kell eyeznie szülői nemzedék AA enotípusánk előfordulási vlószínűséével, PAA-vl: AA P utód PAA+.5PA PAA. Ez utóbbi tehát, fiyelembe véve levezetés lépéseit, z eyensúly szüksées és elésées feltétele. Ami ezzel ekvivlens: PAPAA / -PAA /. Ezzel b-t beláttuk. Ezért Az előbbiek szerint Ezért P-PAA+PA-PAA- PAA / -PAA /, mi elemi meondolásokkl íy is írhtó: Ezzel -t is beláttuk. P-PAA /. Minthoy ekvivlens átlkításokt véeztünk, utóbbi összefüésekről elmondhtó, hoy z eyensúlynk szüksées és elésées feltétele, mit bizonyítni kívántunk. Feldtok 38

39 Bizonyítsuk be, hoy eyensúlyi populáció esetében P A /. Útmuttás: Veyük fiyelembe b-t és, hoy fennáll P AA. A. Tétel szerint eyensúlyi populációbn PAA értéke eyértelművé teszi P-t és PA-t. Kérdés: PA eyértelművé teszi-e másik két szomtikus enotípust? Meoldás: Eyszerűsé kedvéért jelöljük paa-t x-szel x. Ekkor Tételben szereplő b pont szerint P A 4x x + x x x, vyis P A x x, mi x PAA -r másodfokú eyenlet. x y jelöléssel PAy-y eyenlethez jutunk, minek P A / mitt vö. feldt két, y/-re szimmetrikus meoldás vn. Tehát kérdésre válsz lényeében ienlő. Folyttás A PAA, PA, P vlószínűséek kpcsoltát áltlábn és eyensúly esetén ld. z. ábrán.. ábr. H PAA tenelyt és P tenelyt vízszintes síkbn helyezzük el és PA-PAA+P értékeket füőlees tenelyen ábrázoljuk, kkor z eyensúlyi PAA, P pontok z ábrán láthtó folytonos vonlú rfikon pontji. A 39

40 PAA+PA+P szimplexnek mefelelő pontok z ábrán láthtó háromszö mint síkidom pontji. A háromszönek eyensúlyi enotípus-hármsoknk mefelelő pontji úy dódnk, hoy folytonos rfikon pontjit füőleesen felvetítjük háromszöre sztott vonlú rfikon. A ferde síkú háromszö eyéb pontji nem-eyensúlyi szomtikus enotípus vlószínűsé eloszlásoknk felelnek me. Az ábrán A,A helyett AA értendő, stb. Látni-e rjzon, hoy ey döféspont lenyobb mssá /? Mej. Az. ábrán láthtó vízszintes síkbeli rfikonon, hoy eyensúlybn ey PAA-hoz kölcsönösen eyértelműen trtozik ey P érték. Áltlánosítások Trtozzon most szintén nem ivri kromoszómán lévő lókuszhoz három llél,, és 3. 3 Tétel Tétel áltlánosítás, ld. lább Ey eneráció eyensúlyi voltánk pánmiktikus körülmények között szüksées és elésées feltétele, hoy szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinom ebben szülői enerációbn következő lkú leyen más szóvl léteznek ilyen r, p, q eyütthtók: r + p + q 33 + pr + qr 3 + pq 3, r mefelel P -nek, stb. hol r, p és q z,, 3 llélok ivrsejti előfordulási vlószínűséei z dott enerációbn zz r+p+q. Mejeyzés: 4

41 H z 3 llél előfordulási vlószínűsée q, kkor visszjutunk kétllélos esethez, hiszen ekkor szóbnforó polinom q mitt következő lkú lesz: r + p + pr, mi r PAA /, p-r-paa / mefeleltetéssel pl. feleljen me A- nk, stb.?? visszvezet kétllélos esetre, ld.. Tétel. Ti. ekkor követelmény polinomr: r + p + pr, másképpen írv r AA + p + pra, itt r P AA, stb. Tehát vlóbn z előző pontbn tárylt összefüés áltlánosításáról vn szó. Az összefüés értelmében z eyik feltétel z, hoy z ún. homoziót i i enotípusok előfordulási vlószínűséei néyzetyökeinek összee leyen.uynis z előbbiek szerint + p + q + pr + pq + rq p + q + r vyis p + q + r. r, Bizonyítás - nem elmondni Eléséessé Teyük fel, hoy tetszölees r, p, q r r+p+q P r, P pr, P qr. 3 Leyen z n eyedszámú szülői populációbn és eyben reprezenttív sejtek körében z enotípusú eyedek szám n, stb. Az ivrsejtek szám következő lesz: ivrsejtek szám n, n n + n + n. Ekkor z 3 ivrsejt enotípus reltív ykorisá z ivrsejtek körében: P i vr n n n n n n n ,5 +, n n n n n n 5 n 3 P +,5P +,5P r + pr + qr r r + p + q r 3. 4

42 Vyis P i r vr feltétel mellett. Hsonlón mutthtó ki, hoy z eyütthtókr vontkozó vr és P i 3 q P i p vr. Természetesen itt is többhelyütt fiyelembe vettük, hoy pánmiktikus populációról és nem szexkromoszómához kötött lókuszról vn szó. Ezek szerint, z. Tétel fiyelembevételével, z utódeneráció szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási vektor, mint z ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási vektor néyzete pánmiktikus körülmények között: r + p + q 3 r + p + q 33 + pr + + rq pq, ez pedi meeyezik szülőeneráció szomtikus enotípus vlószínűséi vektorávl. Ezzel feltétel eléséesséét beláttuk. A feltételek szükséessée hsonlón láthtó be, ld. z lábbi, áltlánosbb esetnél. Ismeretesek további kézenfekvő áltlánosítások is. Ezek közül eyet ismertetünk. 4 Tétel 3. Tétel áltlánosítás? Leyenek z llélok,,, k, P i továbbr is z,, i,, k llél vlószínűsée populáció reprezentáns ivrsejtjeinek körében, i,, k, íy P + +P k. 4

43 Adott enerációbeli eyensúlynk szüksées és elésées feltétele, hoy ebben enerációbn szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinom következő lkú más szóvl létezik olyn r, r,, rk eyütthtó, hoy fennáll r + + rk kk + r r r rk k + + rk rk k, hol továbbr is r P, stb. k Bizonyítás nem elmondni Eléséessé Az ivrsejt enotípusok vlószínűséei, feltétel teljesülésének fiyelembevételével, z előzőek mintájár: P r. r +,5 r r +,5 r r3 +,5 r rk r r + r + r3 + rk Hsonlón láthtó be többi ivrsejt enotípusr is, hoy Íy z. Tétel szerint z utódeneráció szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinomj z r + + r k k P i r ivrsejt enotípus vlószínűséeloszlási polinomnk néyzete: r + + r k k., i,,k. Néyzetre emeléssel visszjutunk szülőeneráció szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási vektorához. Ezzel bizonyítottuk z állítást. i A feltételek szükséessée hsonlón láthtó be. Álljon fenn z eyensúly és leyen z ivrsejtek populációjábn enotípus vlószínűséeloszlási vektor r, r,, r. Ekkor z. Tételnek mefelelően z utódeneráció szomtikus k enotípus vlószínűséeloszlási polinomj r + + rk kk + r r r rk k + + rk rk k, tehát z előírt lkú. Márpedi z eyensúlyr vló tekintettel uynez kell, hoy leyen szülői eneráció szomtikus enotípus vlószínűséeloszlási polinomj. Ezt kívántuk bizonyítni. k 43

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A Hardy-Weinberg egyensúly

A Hardy-Weinberg egyensúly Hrdy-Weinerg egyensúly Evolúciót úgy definiáltuk, hogy ouláción z llélgykoriságok megváltozás. Egy ideális ouláció olyn, hogy n evolúció nincs. Ismérvei megmuttják, hogy mely folymtos vezethetnek evolúcióhoz.

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Formális nyelvek. Aszalós László, Mihálydeák Tamás. Számítógéptudományi Tanszék. December 6, 2017

Formális nyelvek. Aszalós László, Mihálydeák Tamás. Számítógéptudományi Tanszék. December 6, 2017 Formális nyelvek Aszlós László, Mihálydeák Tmás Számítógéptudományi Tnszék Deember 6, 2017 Aszlós, Mihálydeák Formális nyelvek Deember 6, 2017 1 / 17 Problémfelvetés Az informtikábn ngyon gykori feldt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Sugárszivattyú H 1. h 3. sugárszivattyú. Q 3 h 2. A sugárszivattyú hatásfoka a hasznos és a bevezetett hidraulikai teljesítmény hányadosa..

Sugárszivattyú H 1. h 3. sugárszivattyú. Q 3 h 2. A sugárszivattyú hatásfoka a hasznos és a bevezetett hidraulikai teljesítmény hányadosa.. Suárszivattyú suárszivattyúk működési elve ey nay eneriájú rimer folyadéksuár és ey kis eneriájú szekunder folyadéksuár imulzusseréje az ún. keverőtérben. rimer és szekunderköze lehet azonos vay eltérő

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Solow modell levezetések

Solow modell levezetések Solow modell levezetések Szabó-Bakos Eszter 25. 7. hét, Makroökonómia. Aranyszabály A azdasá működését az alábbi eyenletek határozzák me: = ak α t L α t C t = MP C S t = C t = ( MP C) = MP S I t = + (

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Formális nyelvek I/2.

Formális nyelvek I/2. Formális nyelvek I/2. Véges utomták minimlizálás Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informtiki Intézet Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Véges utomták minimlizálás Két utomt ekvivlens, h ugynzt

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Matematika a fizikában

Matematika a fizikában DIMENZIÓK 53 Matematikai Közlemények III kötet, 015 doi:10031/dim01508 Matematika a fizikában Nay Zsolt Roth Gyula Erdészeti, Faipari Szakközépiskola és Kolléium nayzs@emknymehu ÖSSZEFOGLALÓ A cikkben

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják. 8 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése A dy dx = y2 x 2 2xy y 2 x 2 +2xy 5.1. ábr. differenciálegyenlet lpján rjzoltó iránymező. 5.2. ábr. A mágnestűk rúdmágnes erőterében z erővonlk irányát

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

"ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30.

ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30. -8 4 - (...) "ALAPÍTÓ OKIRAT... (Változtlnul 12. pontig) 12.) Az intézmény vezetőiét pályázt útján Várplot város Önkormányztánk Képviselő-testülete htározott időre nevezi k i. Az áltlános iskolábn két

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

1. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) 1. Alapfogalmak:

1. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) 1. Alapfogalmak: SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-MECHNIZMUSOK ELŐDÁS (kidolozta: Szüle Veronika, ey. ts.). lapfoalmak:.. mechanizmus foalmának bevezetése: modern berendezések, épek jelentős részében

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Egy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra. 1. ábra

Egy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra. 1. ábra Ey másik alapfeladat fűrészelt, illetve faraott erendákra Az előző dolozatokban ld.: ( E - 1 ), ( E - ), ( E - ) már szinte teljesen előkészítettük az itteni feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1.

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 2. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 2. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról rész Az részben ddig jutottunk, hogy z A ) terhelési esetre vezettünk le képleteket Most további, gykorltilg is fontos esetek következnek B ) terhelési eset:

Részletesebben

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1 j)10 R (1)4 2000. évi XXV. törvény kémii biztonságról1 z Országgyűlés figyelembe véve z ember legmgsbb szintű testi és lelki egészségéhez, vlmint z egészséges környezethez fűződő lpvető lkotmányos jogit

Részletesebben

GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens

GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS 2012. február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens Biometria fogalma The active pursuit of biological knowledge by quantitative methods Sir R. A. Fisher, 1948 BIOMETRIA

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Hsználti útmuttó Windows rendszerhez Az üzeme helyezéssel kpcsoltos hielhárítás Megoldás gykori üzeme helyezési prolémákr. A nyomttó áttekintése Tudnivlók nyomttó részegységeiről

Részletesebben

A Hardy-Weinberg egyensúly. 2. gyakorlat

A Hardy-Weinberg egyensúly. 2. gyakorlat A Hardy-Weinberg egyensúly 2. gyakorlat A Hardy-Weinberg egyensúly feltételei: nincs szelekció nincs migráció nagy populációméret (nincs sodródás) nincs mutáció pánmixis van allélgyakoriság azonos hímekben

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat Veremutomták Formális nyelvek, 12. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Oldjuk meg következő egyenletrendszert! X () Y = X X Y = Y Célj: A környezet-független nyelvek hsználtávl kpsoltos lpfeldtok egykorlás

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

This article shows a new approximation cosinus theorem of geometry of Bolyai, Euclides and Riemann. From this pont of view these are special cases.

This article shows a new approximation cosinus theorem of geometry of Bolyai, Euclides and Riemann. From this pont of view these are special cases. EXPANDED BOLYAI GEOMETRY HORVÁTH ISTVÁN SZELLŐ LÁSZLÓ EXPANDED BOLYAI GEOMETRY CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL: I. BOLYAI JÁNOS ÚJ, MÁS VILÁGA Cikkünken egy új megközelítésen tárgyljuk

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben