Elektronikai javítási folyamatok modellezése Markov-láncokkal

Átírás

1 Elektronikai javítási folyamatok modellezése Markov-láncokkal Absztrakt Jónás Tamás Tóth Zsuzsanna Eszter Kutatásaink során azt vizsgáltuk, hogy az elektronikai javítási folyamatok, mint sztochasztikus folyamatok, miként írhatók le Markov-láncok segítségével. Munkánk középpontjában a javítási folyamatok erőforrásigényének meghatározása állt. Megvizsgáltuk, hogy a stacionárius állapotátmenet valószínűségek és időben állandó folyamatlépés idők feltételezésével nyert modell miért nem képes adekvát módon leírni a valós javítási folyamatokat. Bemutattuk, hogy megfelelő nyelő állapotokkal rendelkező körmentes Markov-láncok segítségével a javítási folyamat egy jobb modellezése valósítható meg, valamint ezzel a leírási módszerrel a lehetséges folyamatidő, mint valószínűségi változó valószínűségi eloszlása megadható. Módszerünk segítségével feltérképezhetőek a javítási folyamatot reprezentáló körmentes, irányított gráfban azok a domináns utak, melyek a várható folyamatidő alakulását leginkább befolyásolják. Eljárásunk iránymutatást ad a folyamatfejlesztési prioritások meghatározásához, segítségével olyan érzékenységvizsgálatok és szimulációk valósíthatók meg, amelyek lehetővé teszik a javítási tevékenységek elvégzéséhez szükséges erőforrások megfelelő tervezését. Kulcsszavak: elektronikai javítási folyamatok, sztochasztikus folyamat, Markov-láncok, folyamatidő, domináns utak 1 Bevezetés A 21. század technológiai fejlődését nyomon követve az elektronikai ipar a világgazdaság húzóágazatává vált, ezt jól bizonyítja, hogy mind a háztartások, mind pedig a vállalatok által használt elektronikai termékek és eszközök száma folyamatosan nő. Ezen iparágban a gyártási képességek, a tervezés, a különböző mérnöki és eladás utáni szolgáltatások kiszervezésének aránya jelentősen növekszik és e szolgáltatások iránti kereslet további növekedése várható, mivel nemcsak a piaci verseny válik egyre élesebbé, hanem az elektronikai termékek összetettségének növekedése mellett a termékköltségek csökkenése és a termék életciklusok rövidülése is bizonyított tény. Mivel az elektronikai termékek eladás utáni életciklusa aránylag hosszú, a vevői elvárások súlypontja is eltolódik: felértékelődik az értékesítés utáni időszak. Az elektronikai gyártóknak a termék teljes életciklusát felölelő. új, hozzáadott értéket növelő szolgáltatásokat kell vevőiknek nyújtaniuk ezzel is növelve elégedettségüket. A gyártás és a szolgáltatás közötti határvonal egyre inkább elmosódik (Bowen és Youngdahl, 1998; Grove et al, 2003, Marceau et.al, 2002). Mindez igaz az elektronikai iparra is, ahol a gyártási és szolgáltatási műveletek komplex együttesének kialakítása ma már alapvető elvárás. Kitüntetett helyzetben vannak azok az elektronikai gyártók, akik a nagy megbízhatóságú termékeik mellett különböző szolgáltatások széles skáláját nyújtják és a termék meghibásodása

2 esetén vevőbarát megoldásokkal állnak elő, hiszen a vevők már nem csak az ár, a szín és egyéb fogyasztást jellemző tényező alapján választanak, hanem azt is figyelembe veszik, hogy mennyibe kerül a termék javítása és milyen hosszú ideig tart a javítási folyamat. Ennek megfelelően a szervizelhetőség a megbízhatóság egyik alkotóelemévé vált (Kövesi et al., 2011) és a garancia ideje alatt nyújtott szolgáltatások a termékek közötti választás döntő kérdésévé váltak. Az elektronikai termékek használói a termék életciklusa során különböző szolgáltatásokat igényelnek, így az elektronikai ipar növekedése számos egyéb, kapcsolódó terület, köztük az elektronikai javítási szolgáltatások nyújtásával foglalkozó vállalatok növekedését is magával hozta. A tanulmány célja, hogy e vállalatok javítási folyamatainak vizsgálatára kidolgozott módszert bemutassa és kiemelje annak főbb alkalmazási és hasznosítási lehetőségeit. A javítási és karbantartási tevékenységek a vállalati működés jelentős részét képezik (Kövesi et al., 2011). E tevékenységeket érintő kutatások meglehetősen kiterjedtek és a teljes javítási folyamat tudományosan is kellően megalapozott. Az elektronikai iparban a termékek és alkatrészeik meghibásodásának nyomon követése különös jelentőséggel bír, a hibák hatékony és eredményes javítása rendkívül fontos, a széles körben alkalmazott garancia számos gazdaságigazdaságossági kérdést vet fel. A garanciális tevékenységek optimalizálása sokoldalúan vizsgált téma a szakirodalomban. Menezes és Currim (1992) a garanciális idő optimalizálásával, Jack és Van der Duyn Schouten (2000) optimális javítási és csere stratégiák kialakításával, Hastings (1969), Nakagawa és Osaki (1974) javítási peremfeltételek meghatározásával foglalkozik. A javítási szolgáltatásokat nyújtó vállalatok függetlenül attól, hogy a vevőknek végeznek javítást, vagy mindezt a saját működésük érdekében teszik egy három lépésből álló javítási folyamaton mennek keresztül (Zuo et al., 2000). A termék szintjén a hibás alkatrész cseréje valósul meg vagy úgy, hogy azt megjavítják vagy úgy, hogy újjal helyettesítik. Az alkatrész szintjén döntést kell hozni, hogy a hibás elem javítható-e vagy tanácsosabb-e leselejtezni. Döntést kell hozni arról, hogy az alkatrész javítása vagy cseréje gazdaságos-e. Ha az elem javítására kerül sor, a megfelelő javítási műveletek meghatározására van szükség. E lépések azonban nem függetlenek egymástól. A harmadik lépés többször ismételhető, ha a javítás nem jár sikerrel. A második és harmadik lépések minden iterációban követik egymást. Kutatásunk e kérdésre, vagyis az elektronikai termékek iteratív javítási folyamataira fókuszál. E ciklusos javítási folyamatban javítás vagy csere döntéseket kell hozni és a terméktől, a meghibásodástól, valamint a javítási tevékenységtől függ, hogy hány kísérlet tekinthető ésszerűnek. Egy ponton azonban a folyamatot le kell zárni. E döntések sorozatát számos tényező befolyásolja, a vállalat javítási folyamatait és tevékenységeit ismerve általános következtetések levonhatók. A javítási folyamatok, más folyamatokhoz hasonlóan modellezhetőek és többféleképpen vizsgálhatóak. Kutatásunk során az elektronikai javítási folyamatokat, mint sztochasztikus folyamatokat Markov-láncok segítségével kívánjuk leírni. 1.1 A kutatás célja Kutatásunk során olyan elektronikai javítási tevékenységeket vizsgáltunk, amelyeket szervizszolgáltatásra szakosodott vállalkozások üzletszerűen nyújtanak vevőiknek. Egy ilyen 2

3 tevékenység célja a vevőktől a szervizszolgáltatóhoz jutó, vélhetően hibás elektronikai termékek javítása és visszajuttatása a vevőkhöz. A szervizszolgáltatók vevői lehetnek egyrészt azok az elektronikai gyártók, amelyek termékeit a vállalkozás javítja, másrészt vevők lehetnek azok a végfelhasználók, akik egy elektronikai gyártó termékeinek a vásárlói. E két vevő típus között a legfontosabb különbség az, hogy a szervizszolgáltató egy másik vállalkozással (elektronikai gyártóval), vagy pedig egy végfelhasználóval áll üzleti kapcsolatban. Legyen szó akár elektronikai gyártóknak, akár végfelhasználónak nyújtott elektronikai javítási szolgáltatásokról, egy szervizszolgáltató sikeres működésének egyik kulcsa az erőforrásaival történő megfelelő gazdálkodás. Figyelembe véve, hogy az elektronikai javítási folyamatok lényegesen kisebb mértékben automatizálhatók, mint a gyártási folyamatok, a javítási folyamatok elvégzéséhez szükséges élőmunka szükséglet meghatározása kiemelt fontossággal bír. Vizsgálataink célja olyan módszer kidolgozása volt, amely lehetővé teszi egy elektronikai javítási folyamat elvégzéséhez szükséges élőmunka adekvát meghatározását. A bemutatásra kerülő modellezési módszerek elméleti alapját a Markov-láncok képezik. Munkánkban két modell jellemzőit vizsgáltuk, majd vontuk le következtetéseinket azok alkalmazhatóságával kapcsolatban. 2 Elektronikai javítási folyamatok általános jellemző A következőkben bemutatjuk az elektronikai javítási folyamatok általános jellemzőit. E tulajdonságok felhasználásával, valamint modell-specifikus peremfeltételek alkalmazása mellett készítjük el azokat a Markov-láncokra épülő konstrukciókat, amelyekkel javítási folyamatok élőmunka szükségletének meghatározását végezhető el. 2.1 Egy egyszerűsített, általános javítási folyamat Elektronikai javítási folyamatok általános jellemzőinek megismeréséhez tekintsük az 1. ábra látható egyszerűsített, általános javítási folyamatot. Hangsúlyozzuk, hogy az ábrán látható folyamatábra nem egy valós javítási folyamatot reprezentál, hanem egy olyan mintafolyamatot, amelynek segítségével a javítási folyamatok általánosnak tekinthető tulajdonságai megragadhatóak. 3

4 Bevételezés Hibakeresés Selejtezés Javítás Kiszállítás Tesztelés 1. ábra: Egy általánosnak tekinthető elektronikai javítási folyamat Az 1. ábra szerinti javítási folyamat tulajdonságainak megismerése érdekében Jónás, Tóth és Erdei (2012) alapján röviden ismertetjük a folyamat lépéseinek tartalmát. Bevételezés A bevételezés során a szervizszolgáltatás vevőjétől a szervizszolgáltatóhoz érkező hibás vagy hibásnak vélt termék javítási folyamatba léptetése történik meg. Ez általában a termék beérkezése tényének rögzítését jelenti, többnyire egy elektronikus termék-nyomkövető rendszerben. A gyakorlatban nem ritka, hogy a bevételezési folyamatlépés eredményeként egy olyan jelzés vagy jelentés generálódik a vevő felé, amely a javítási folyamat megkezdésének tényét igazolja. Hibakeresés A hibakeresés alapvető célja az észlelt hibajelenségek okainak azonosítása, illetve a feltárt hibaokok megszűntetése érdekében a megfelelő javítási intézkedések meghatározása. A hibakeresés eredményeként a termék vagy a javítási, vagy a selejtezési folyamatlépésébe kerül. A termék akkor kerül selejtezésre, ha műszaki okokból nem javítható, vagy azt gazdasági okokból nem érdemes javítani. Javítás A javítási folyamatlépés célja a hibakeresés során azonosított hibaokok és azok megszűntetése érdekében meghatározott javítási intézkedések fizikai végrehajtása. A javítás műszaki tartalma a javítandó termék és az alkalmazható technológiák függvényében különböző lehet. Modul szintű a javítás akkor, amikor a hibaokok egy-egy termékmodul lecserélésével kerülnek kiküszöbölésre, 4

5 míg alkatrész szintű a javítás, ha a hibaokok megszűntetése elektronikai alkatrészek cseréjével történik meg. A javítási folyamatlépést a tesztelés követi. Selejtezés Egy termék selejtezése akkor történik meg, ha a hibakeresés eredményeként a terméket nem lehet vagy nem érdemes megjavítani. Megjegyezzük, hogy a selejtezés nem feltétlenül jelenti a termék fizikai megsemmisítését. E folyamatlépés műszaki és adminisztratív tartalmát általában a vevővel érvényben lévő megállapodás határozza meg. Fontos látnunk, hogy mintafolyamatunkban a selejtezést már nem követi további folyamatlépés, ez azt jelenti, hogy a javítási folyamat egyik lehetséges kimenetele a selejtezés. Vizsgálatainkban eltekintünk azoktól a lehetséges folyamatlépésektől, mint például a termék megsemmisítése, újrahasznosítása vagy elszállítása, amelyek egy valós folyamatban a javítási vagy selejtezési folyamatlépést követhetnék. Tesztelés A javítási folyamatlépést a termék tesztelése követi. A tesztelés során a javítási művelet hatásosságáról kell meggyőződni, azaz azt kell eldönteni, hogy a termék az előírt funkcionális követelményeknek megfelelően működik-e. Ha a termék a javítás eredményeként megfelelően működik, akkor kiszállításra kerül, ha nem, akkor a folyamat a hibakeresési folyamatlépéstől folytatódik. Ez azt jelenti, hogy egy termék a javítási folyamatban akár többször is bejárhatja a hibakeresés javítás tesztelés folyamatlépések sorozatát. Lényeges, hogy e folyamatlépések ismételt végrehajtása nem feltétlenül az elvégzett műveletek nem megfelelő hatékonyságából fakad, lehetséges ugyanis, hogy egy termék helyreállítása csak egymást követő, tesztelt lépésekben valósítható meg. Ha nem ezzel az esettel állunk szemben, akkor a hibakeresés javítás tesztelés folyamatlépések ismételt végrehajtása veszteségnek tekinthető, melyet minimalizálni kell. Mind műszaki, mind gazdaságossági szempontból fontos kérdés, hogy egy termék esetében átlagosan hány hibakeresés javítás tesztelés ciklus engedhető meg. Kiszállítás Ebben a folyamatlépésben kezdődik el az a logisztikai folyamat, amelynek eredményeként a megjavított termékek visszajutnak a szervizszolgáltatás vevőjéhez. További vizsgálatainkban nem foglalkozunk azzal, hogy egy megjavított termék milyen lépések sorozatán keresztül kerül vissza a vevőhöz, ezért a kiszállítási folyamatlépést úgy tekintjük, mint a javítási folyamat másik lehetséges kimenetelét. 2.2 Sztochasztikus jelleg Mintafolyamatunk tanulmányozásából láthatjuk, hogy a hibakeresési és tesztelési folyamatlépésekben döntések születnek a következő folyamatlépésről. Egy adott termék esetén a folyamat vagy selejtezéssel, vagy sikeres javítással és kiszállítással zárul és ezeket a lehetséges kimeneteleket a folyamat lehetséges végállapotainak tekinthetjük. Azt azonban, hogy egy termék milyen utakat jár be a folyamatban, amíg annak valamelyik végállapotába kerül, nem tudjuk 5

6 előre. Azt mondhatjuk, hogy egy folyamatlépésből a következő lehetséges folyamatlépések valamelyikébe bizonyos valószínűséggel kerülhet egy termék. Ez azt jelenti, hogy a teljes javítási folyamatot sztochasztikus folyamatként értelmezhetjük. Az egyes folyamatlépések végrehajtási ideje nagymértékben függ attól, hogy a javításban részt vevő termékek milyen hibákkal terheltek, így a folyamat ebből a szempontból szintén sztochasztikusnak tekinthető. 3 Modellezés Markov-láncokkal 3.1 Első modell A javítási folyamatot a termék szempontjából szemlélve úgy tekinthetjük, hogy a termék az egyes folyamatlépéseken, mint állapotokon keresztül jut el a végállapotok valamelyikébe. Mintafolyamatunkban a termék kezdőállapota a bevételezés, ezt követően a hibakeresés állapotába jut, majd valamekkora valószínűségekkel a következő lehetséges állapotok valamelyikébe és így tovább mindaddig, amíg a végállapotok valamelyikébe nem jut. Állapotok egy ilyen sorozatát modellezhetjük a,, valószínűségi változók sorozatával, ahol jelöli a termék állapotát az -edik lépésben., ahol a lehetséges állapotok véges halmaza =1,2,3,. A folyamatra úgy tekintünk, hogy annak a valószínűsége, hogy a termék az edik lépésben az állapotba kerül, csak attól függ, hogy a megelőző 1-edik lépésben mely állapotban volt,. Ezzel a javítási folyamatot Markov-láncként írjuk le. Mintafolyamatunk Markov-lánc modellje a 2. ábra szerinti irányított, élsúlyozott gráffal reprezentálható. 6

7 p 2,6 p 1,2 s 1 s 2 s 6 p 6,6 p 2,3 s 3 p 4,2 p 3,4 s 5 p 4,5 s 4 p 5,5 2. ábra: A mintafolyamat, mint Markov lánc ( a bevételezést, a hibakeresést, a javítást, a tesztelést, a kiszállítást, pedig a selejtezést jelöli) A gráf csúcsai a lehetséges állapotok: =,,,,,. A, állapotátmenet valószínűség annak a valószínűségét jelenti, hogy a folyamat (termék) egy lépésben az állapotból az állapotba kerül. Úgy is fogalmazhatunk, hogy, annak a feltételes valószínűsége, hogy a folyamat a következő lépésben az állapotba kerül, feltéve, hogy jelenleg az állapotban van. Első megközelítésben a, állapotátmenet valószínűségeket időben állandónak tekintjük. Ekkor a Markov-láncot stacionárius állapotátmenet valószínűségűnek nevezzük. A, állapotátmenet valószínűségeket a állapotátmenet valószínűség mátrixban foglalhatjuk össze. Mintafolyamatunk állapotátmenet valószínűség mátrixa: , 0 0, P=, 0, 0 0,

8 ahol,,,,,,, pozitív valószínűségek. A folyamatot leíró élsúlyozott gráfban az éleken az állapotátmenet valószínűségek szerepelnek. Minden csúcsra teljesül, hogy onnan a termék valamelyik következő lehetséges állapotba jut, ezért =1,2,,6., =1, Az és állapotok úgynevezett nyelő állapotok, azaz, =, =1 és így, =0, ha 5 és, =0, ha 6. Ha a folyamat egyszer eléri az, állapotok valamelyikét, akkor abban az állapotban marad. Mintafolyamatunkban a kezdőállapot az állapot ezért a folyamat Markov-láncának kezdeti eloszlása 1, =1 = = 0, =2,3,,6 Ha a Markov lánc kezdeti eloszlása és az állapotátmenet valószínűségek adottak, akkor meghatározható annak a valószínűsége, hogy a folyamat az -edik lépésben az állapotban van: = = =, (1) A folyamatidő meghatározása Az folyamatlépés (állapot) terhelése az = összefüggéssel számítható, ahol az folyamatlépés végrehajtásának ideje, pedig a folyamatlépés úgynevezett multiplikátora: azt fejezi ki, hogy a termék átlagosan hányszor halad át az folyamatlépésen, amíg a lehetséges végállapotok valamelyikébe nem jut. Az (1) összefüggés alkalmazása után = = = =,. (2) Mivel vizsgálatunk célja a javítási folyamat élőmunka szükségletének meghatározása, ezért az folyamatlépés terhelése alatt a folyamatlépés végrehajtásához szükséges humán időszükségletet értjük. A (2) összefüggés alkalmazásával a multiplikátorok egyértelműen kiszámíthatóak, ha a lehetséges állapotok halmaza, az állapotátmenet valószínűségek P mátrixa és a Markov-lánc 8

9 kezdeti eloszlása adott. Nem megy az általánosság rovására, ha a folyamatot úgy modellezzük, hogy =, azaz azt feltételezzük, hogy kezdetben mindig az első lépésben, azaz gyakorlatilag a bevételezési lépésben van. Ezzel a folyamat Markov-láncának kezdeti eloszlása adott, így és P ismeretében minden folyamatlépés multiplikátora egyértelműen meghatározható. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy ha és P mellett az egyes folyamatlépések = végrehajtási időit tartalmazó halmazt is ismerjük, akkor minden információval rendelkezünk ahhoz, hogy a folyamat várható terhelését meghatározzuk. Mivel számunkra a folyamat terhelése a fontos, úgy tekintjük, hogy egy folyamatot az,, hármasa egyértelműen meghatározza, ezért a továbbiakban az,, hármassal rendelkező elektronikai javítási folyamatot az,, szimbólummal jelöljük. Az eddigiek alapján az,, folyamat,, várható terhelése az összefüggéssel határozható meg Az első modell összegzése Az,, javítási folyamatban,, = -, egy olyan stacionárius állapotátmenet valószínűségű Markov-lánc, amelyben o a lehetséges állapotok halmaza =,,,,, o a folyamat kezdőállapota, o az állapotátmenet valószínűségeket a P=, mátrix tartalmazza, o minden esetén:, =1, o a folyamat végállapotai az, nyelő állapotok, azaz, =, =1, o az folyamatlépés multiplikátora: = = = =,, - a folyamatlépések végrehajtási idői:,,,,, - a folyamat várható végrehajtási ideje:,, =. 9

10 3.1.3 Az első modell gyakorlati szempontból Valós elektronikai javítási folyamatokat vizsgálva az első modell alkalmazhatóságával kapcsolatban a következő három probléma merül fel. Az első modellben a folyamatot leíró Markov-láncban lehetnek körök, ahogy ezt mintafolyamatunkban is láttuk. Ebben a folyamatban elvileg lehetséges az,,,,,,,,,, végtelen bolyongás. Ugyanakkor a gyakorlatban, gazdaságossági és műszaki megfontolások alapján a folyamatban található köröket a termék csak véges számú ismétléssel járhatja be. Például, a gyakorlatban általában 3-4 hibakeresés, javítás, tesztelés sorozat elérése után már nem érdemes tovább folytatni a javítási folyamatot. Azzal a feltételezéssel éltünk, hogy a folyamat Markov-láncában az állapotátmenet valószínűségek időben állandóak. A gyakorlatban azonban azt tapasztaljuk, hogy egy folyamatlépésből egy másik folyamatlépésbe történő átmenet valószínűsége függ attól, hogy ezt a lépést hányadik alkalommal hajtjuk végre. Lehetséges például, hogy annak a valószínűsége, hogy egy termék az első hibakeresést követően javításra kerül 0,8, míg annak a valószínűsége, hogy a második hibakeresés után javításra kerül 0,3. Ennek oka abban rejlik, hogy egy javítás végrehajtása után a termék fizikai, műszaki jellemzői változhatnak és ezekkel együtt a termék javíthatósága is megváltozhat. Az első modellben az egyes folyamatlépések végrehajtási időit időben állandónak tekintettük, miközben a gyakorlatban egy adott termék esetében például az első, a második, illetve a további hibakeresések végrehajtási idői között jelentős különbség lehet. 3.2 Második modell Ha az első modellt úgy változtatjuk meg, hogy az azonos folyamatlépések első, második, stb. végrehajtásait önálló állapotoknak tekintjük, akkor a folyamatot egy olyan Markov-lánccal írhatjuk le, amely nem tartalmaz köröket. Egy ilyen lánccal lehetőség nyílik annak a kifejezésére, hogy két folyamatlépés közötti átmenet valószínűsége függ attól, hogy ez az átmenet hányadszor hajtódik végre. Ezzel a megközelítéssel egy folyamatlépés első, második, stb. végrehajtási idői közötti különbség szintén kezelhető. Összességében tehát elmondhatjuk, hogy az azonos folyamatlépések első, második, stb. végrehajtásait önálló állapotoknak tekintve az első modellel kapcsolatos problémák mindegyikére megoldást nyújtunk. Nézzük, hogy mit jelent ez a mintafolyamatunk esetében! Ha a hibakeresés, javítás és tesztelés lépések végrehajtásainak számát egy termék esetén legfeljebb kettőre korlátozzuk és különbséget teszünk e folyamatlépések első és második végrehajtásai között, akkor a folyamat e megkülönböztetett állapotokat tartalmazó Markov-láncát reprezentáló irányított gráfja a 3. ábra szerint alakul. Ezt a Markov-láncot tekintjük a mintafolyamat második modelljének. 10

11 p 2,9 p 1,2 s 1 s 2 s 9 p 9,9 p 2,3 s 3 p 5,9 p 3,4 s 8 p 4,8 s 4 p 4,5 p 7,9 s 5 p 8,8 p 5,6 s 6 p 7,8 p 6,7 s 7 3. ábra: A mintafolyamat Markov-lánca a második modell szerint ( a bevételezés, az első hibakeresés, az első javítás, az első tesztelés, a második hibakeresés, a második javítás, a második tesztelés, a kiszállítás és a selejtezés) A folyamatban legkésőbb a második tesztelés után döntés születik arról, hogy a termék kiszállítható-e vagy selejtezni kell. Mivel a folyamat második modell szerinti leírásához tartozó Markov-lánc nem tartalmaz köröket, ezért a folyamat miden állapotba legfeljebb egyszer kerülhet és így egy adott állapotba kerülés számának várható értéke egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a folyamat ebbe az állapotba jut. Ez alapján egy tetszőleges állapot multiplikátora egyenlő a folyamat állapotba kerülésének valószínűségével. 11

12 Mintafolyamatunk második körmentes Markov-lánc modellje a következő tulajdonságokkal rendelkezik: - a folyamat kezdőállapota, azaz =1, - annak a valószínűsége, hogy a folyamat eléri az állapotot:,=1,,9, =,, - bármely állapotra,=1,,9, az állapotból lehetséges átmenetek valószínűségeinek összege 1, azaz:, =1, - és nyelő állapotok (végállapotok):, =, =1, - a termék a két lehetséges végállapot pontosan egyikét biztosan eléri, azaz: + =1. A mintafolyamat várható végrehajtási ideje a = egyenlőség felhasználásával :, ahol az állapothoz tartozó végrehajtási idő A második modell általánosítása A fenti mintafolyamatunkra bemutatott konstrukció általánosítható, felhasználásával minden elektronikai javítási folyamat úgy modellezhető, hogy a modell választ ad az első modelltípussal kapcsolatban felvetett problémákra. Az,, elektronikai javítási folyamat második modelljében: -, egy olyan stacionárius állapotátmenet valószínűségű Markov-lánc, amelyben o az egy terméken végrehajtásra kerülő azonos folyamatlépések első, második, stb. végrehajtásai önálló állapotok, o az egy terméken végrehajtásra kerülő azonos folyamatlépések mint önálló állapotok száma rögzített, o az állapotátmenet valószínűségeket a P=, mátrix tartalmazza, 12

13 o az állapotok halmaza S=,,,,, ahol a kezdőállapot azaz:, a végállapotok, azaz: =1,, =, =1, amelyek közül pontosan egyet minden termék elér, így + =1, o annak a valószínűsége, hogy a folyamat eléri az állapotot:,=1,, =,, o bármely állapotra,=1,,, az állapotból lehetséges átmenetek valószínűségeinek összege 1, azaz: o a lánc körmentes., =1, - az állapotokhoz tartotó végrehajtási idők:,,,,, - a folyamat várható végrehajtási ideje:,, =. (3) A folyamatidő, mint valószínűségi változó Egy,, folyamat második modell szerinti Markov-láncát reprezentáló irányított gráfjában véges sok út lehetséges a kezdőállapottól a végállapotokba, azaz úgy tekintjük, hogy egy termék a javítása során a kezdőállapotból véges sok lehetséges állapoton keresztül jut a végállapotok valamelyikébe. (Megjegyezzük, hogy a második modell e feltételezése összhangban van az elektronikai javítási folyamatok gyakorlatával.) A gráfban minden a kezdőállapot és végállapotok valamelyike közötti útra kiszámítható az úton szereplő állapotokhoz tartozó végrehajtási idők összege, valamint az úton található élekhez tartozó állapotátment valószínűségek szorzata. Ez előbbi mennyiséget az út végrehajtási idejének, míg ez utóbbit az út bejárási valószínűségének nevezzük. 13

14 Tegyük fel, hogy az,, folyamat második modell szerinti Markov-láncát reprezentáló irányított gráfjában különböző lehetséges út van az és állapotok között és különböző lehetséges út az és állapotok között. Jelöljék ezeket az utakat illetve,,,,,,,. Minden, illetve útra az út végrehajtási ideje illetve =, =, ugyanezen utak bejárási valószínűségei pedig rendre és =1,2,,;=1,2,,. Legyen =,,, =,,,,, = = +. (4) Az,, mennyiség nem más, mint az egyes utak végrehajtási idejének és bejárási valószínűségeinek szorzatösszege a két végállapot szerinti csoportosításban. Belátható az a gyakorlati szempontból fontos összefüggés, hogy,, =,,, ahol,, a folyamat várható végrehajtási idejének (3) összefüggés szerint számított értéke. Ha a folyamat második modell szerinti Markov-láncát reprezentáló irányított gráfjában a kezdőállapot és végállapotok valamelyike közötti utak végrehajtási idői mind különbözőek és 14

15 miden úthoz meghatározzuk annak bejárási valószínűségét, akkor voltaképpen a lehetséges végrehajtási idő, mint valószínűségi változó, valószínűség eloszlását kapjuk. Ha a végrehajtási idők között vannak azonosak, akkor az azonos végrehajtási időkhöz tartozó bejárási valószínűségek összegét az adott végrehajtási idő valószínűségének tekintve szintén a lehetséges végrehajtási idő valószínűség eloszlását kapjuk. Jelölje a lehetséges végrehajtási időt, mint valószínűségi változót, és lehetséges értékei legyenek a,,, idők,,,, pedig a hozzájuk tartozó megfelelő valószínűségek. Ekkor várható értéke: =.,, (4) szerinti összefüggése az azonos és időkhöz tartotó valószínűségek összegzésével és a jelölések átírásával az alakra hozható. Így,, =,, =,, =, ez pedig azt jelenti, hogy az,, javítási folyamat várható terhelése egyenlő a lehetséges végrehajtási idő várható értékével. 4 Összegzés A kutatási eredmények számos kulcskövetkeztetés levonására nyújtanak lehetőséget a gyakorlati alkalmazás szempontjából. A végrehajtási idő valószínűség eloszlásának meghatározása azért fontos, mert segítségével azonosíthatóak a folyamat domináns végrehajtási útjai, azaz azok az utak, amelyek a folyamat várható terheléséhez a legnagyobb mértékben járulnak hozzá. Gyakorlati vizsgálataink azt mutatják, hogy egy valós javítási folyamatban a lehetséges végrehajtási utak száma akár több tízezer is lehet. Ilyen nagy komplexitás esetén a domináns utak ránézésre történő azonosítása már nem kivitelezhető. Módszerünk segítségével az egyes utak valószínűsége és összideje meghatározható, amelyek segítségével az egyes utak folyamatterheléshez való hozzájárulásának mértéke számítható. Ezért ezen utak bemutatott módszer szerinti azonosítása sokat segíthet a folyamatot menedzselő mérnököknek és termelésvezetőknek a folyamatfejlesztési prioritások meghatározásában. Módszerünk további előnye, hogy a végrehajtási idő valószínűség eloszlásának ismeretében a végrehajtási idő várható értéke mellett annak szórása is meghatározható, s e két mennyiség felhasználásával beállíthatóak a folyamat végrehajtásával szembeni elvárások. 15

16 A lehetséges folyamatidő várható értékének és szórásának ismeretében a módszer révén a valós folyamatok megfigyelésére nyílik lehetőség. Így például, ha a folyamat terhelése időben változik, a folyamatot a második modellel leírva meghatározhatóak a tapasztalt változás lehetséges okai. Ezek az okok visszavezethetőek egyes folyamatlépések idejében vagy az átmenet valószínűségekben bekövetkező változásokra. Módszerünk lehetőséget ad arra is, hogy a lehetséges utak és azok terhelésének vizsgálata révén meghatározhatóak legyenek azok a folyamatlépés idők és átmenet valószínűségek, amelyek a változások kiváltói. Mindez egyúttal azt is jelenti, hogy a folyamat második modell szerinti leírása megteremti annak a lehetőségét, hogy az átmenet valószínűségek és végrehajtási idők mint modell paraméterek változtatásának a várható végrehajtási időre gyakorolt hatását vizsgáljuk. A kutatási eredmények számos gazdasági vonatkozású kérdést vetnek fel. Mind műszaki, mind gazdaságossági szempontból fontos kérdés, hogy egy termék esetében átlagosan hány hibakeresés javítás tesztelés ciklus engedhető meg. A második modell fontos jellemzője, hogy az első modell szerinti Markov-lánc gráfjában található körök folyamatlépéseink ismételt végrehajtását mennyiben limitáljuk. Különböző ismétlési limitek mellett, azaz különböző második modellekre kiszámítva a folyamat várható végrehajtási idejét, lehetőségünk nyílik arra, hogy gazdaságossági és műszaki szempontok figyelembe vételével válasszuk ki az üzleti szempontból leginkább megfelelő ismétlési limiteket. A bemutatásra kerülő módszerek segítségével választ kapunk arra a gazdaságossági szempontból fontos kérdésre, hogy meddig érdemes egy terméket javítani. Ez a fajta gondolkodás azt is lehetővé teszi, hogy a bemutatott modell árazási eszközként is használható hasonló folyamatok tervezése és árazása esetén. Az eredmények egyik kiemelt, menedzseri szempontból releváns következménye az elektronikai javítási folyamatok humán erőforrás igényének meghatározása. Mivel e javítási folyamatok automatizáltsági foka meglehetősen alacsony, ahol a technológiai költségek nem jelentősek, a humán erőforráshoz kapcsolódó költségek kulcsparamétereknek tekinthetők. A gráf domináns útjainak meghatározása az erőforrás-allokációt illetően is jelentőséggel bír. A domináns utak megváltozásával az erőforrások újraosztására lehet szükség. Mindez azt is jelenti, hogy a szükséges képzések, továbbképzések irányáról is tájékozódni lehet a gráf szűk keresztmetszeteinek átrendeződésekor. A munkaerő-költség és erőforrás-allokáció kérdések mellett az eredmények minőségszabályozást érintő vonatkozásai érdemelnek még említést. Feltételezve, hogy a meghibásodások egy állandó mintát követnek és a gráf terhelése időben állandó a domináns utak változása belső problémákra és nem megfelelő hatékonyságra hívhatja fel a figyelmet. Irodalomjegyzék Bowen, D. E., Youngdahl, W. E Lean service: in defense of a production-line approach. International Journal of Service Industry Management, 9(3), pp

17 Grove, S. J., Fisk, R. P., John, J The future of services marketing: forecasts from ten services experts. Journal of Services Marketing, 17(2), pp Hastings, N.A. J The repair limit replacement method. Operational Research Quarterly, 20(3), pp Jack, N., Van der Duyn Schouten, F., Optimal repair replace strategies for a warranted product. International Journal of Production Economics, 67, pp Jónás T., Tóth Zs. E., Erdei J., (2012):. Elektronikai hibakeresési folyamat megbízhatóságának vizsgálata., Minőség és Megbízhatóság, XLVI:4,46(4), pp. xxxxxmegjelenés alatt Kövesi, J., (szerk.) Minőség és megbízhatóság a menedzsmentben. Budapest: Typotex Kiadó Marceau, J. Cook, N. Dalton, B., Wixted, B Selling solutions: emerging patterns of product-service linkage in the Australian economy, Australian Expert Group in Industry Studies (AEGIS), University of Western Sydney. Menezes, M. A. J., Currim, I. S An approach for determination of warranty length. International Journal of Research in Marketing, 9(2), pp Nakagawa, T., Osaki, S The optimum repair limit replacement policies. Operational Research Quarterly, 25, pp Zuo, M.J., Liu, B., Murthy, D.N.P., Replacement repair policy for multi-state deteriorating products under warranty. European Journal of Operational Research, 123, pp