2. DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK TESZTJEINEK SZÁMÍTÁSA (Dr. Sziray József, 2001.)

Átírás

1 2. DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK TESZTJEINEK SZÁMÍTÁSA (Dr. Sziray József, 2001.) 2.1 A digitális tesztelés alapjai A következőkben a digitális áramköröket elvont formában, vagyis digitális vagy logikai hálózatokként kezeljük. Ez azt jelenti, hogy a fizikailag létező áramköröket az őket egyegyértelműen reprezentáló hálózati modellel helyettesítjük. Definíciók: Hálózati pont: A hálózatban szereplő logikai elemek bemenő, ill. kimenő pontjai, melyekhez logikai érték rendelhető. Elsődleges bemenet: Olyan hálózati pont, mely a hálózat egyik logikai elemétől sem kap vezérlő jelet. Elsődleges kimenet: Olyan hálózati pont, melyet a hibavizsgálat teljes végrehajtása alatt méréssel ellenőrizni tudunk és szándékozunk. Megjegyzés: A tárgyalásban elsődleges be/kimenet helyett hálózati be/kimenet is elő fog fordulni. Hálózati csomópont: elsődleges bemenet, vagy a hálózat logikai elemének kimenő pontja. Hálózati út: Csomópontoknak olyan rendezett sorozata, amelyben bármely két egymást követő csomópont egyazon logikai elem bemeneti, ill. kimeneti pontja, ahol a bemeneti pont megelőzi a kimenetit, és a sorozatban mindegyik elem csak egyszer fordul elő. Az i, j, k,, p sorszámú pontok által képezett utat P(i-j-k- -p) fogja jelölni (az angol path szó alapján). Ha egy útra csak i kezdő- és j végpontjával hivatkozunk, akkor a P(i-j) jelölést alkalmazzuk. Teljes út: Elsődleges bementtől elsődleges kimenetig terjedő út. Hálózati út hossza: Az út mentén előforduló csomópontok száma. Rekonvergens utak: Két vagy több hálózati út rekonvergens, ha legalább két közös pontjuk van. A jelenséget rekonvergenciának nevezzük. Tesztelés: A hálózat elsődleges bemeneteire történő sorozatos jelküldés és az elsődleges kimenetek jeleinek megfigyelése. Megjegyzés: A tesztelés végrehajtása célszerűen automatizáltan történik. Ilyenkor egy áramköri egységen (pl. integrált áramköri elem, szerelt áramköri kártya, stb.) a hozzáférési érintkezőket tekintjük elsődleges be/kimeneti pontoknak: a tesztelő automata a bemeneti érintkezőkre küldi a vizsgálójeleket, és a kimeneti érintkezőkön méri a válaszjeleket.

2 Egy hiba tesztje: Elsődleges bemeneti jelkombinációk olyan rendezett sorozata, melynek hatására az adott hibát tartalmazó hálózat a legutolsó kombinációra a helyestől eltérő (hibás) elsődleges kimeneti kombinációval válaszol. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a teszt kimutatja, felfedi, vagy detektálja a hibát. Itt használatban van még az a kifejezés is, hogy a teszt lefedi az adott hibát. Detektálható hiba: Egy hibáról akkor mondjuk, hogy detektálható, ha legalább egy tesztje létezik. (Tervezési redundancia folytán létezhetnek olyan áramköri hibák, amelyek semmilyen körülmények között nem éreztetik hatásukat az áramkör egészének működésében. Az ilyen hibák nem detektálhatók a teszt definíciója értelmében.) Egy adott ponton detektálható hiba: Egy hiba az i hálózati ponton detektálható, ha a hiba jelenléte miatt az i ponton az elvárt helyes logikai értéktől eltérő érték jelentkezik. Ennek megfelelően egy hiba tesztje a hibát legalább egy elsődleges kimeneten detektálja. Hibajel: Az i hálózati ponton jelentkező hibás logikai érték. Eszerint egy hiba tesztje legalább egy elsődleges kimeneten képes hibajelet eredményezni. Teljes tesztkészlet/teszthalmaz: Teszteknek olyan összessége, amely a hálózat mindegyik előre feltételezett és detektálható hibájának tesztjét magában foglalja. Az ilyen teszthalmazról azt mondjuk, hogy teljes hibalefedést eredményez. A hibalefedés mértékét szokás még százalékban is kifejezni: ekkor egy teszthalmazhoz azt az értéket rendeljük, ami az általa lefedett hibáknak az összes hibához viszonyított százalékát adja. A teljes teszthalmaz 100 %- os hibalefedésű. Ha a teszteket annak eldöntésére használjuk fel, hogy a hálózat egyáltalán hibás-e vagy sem, akkor hibadetektáló vagy jó-nem jó (angolban go-no go ) tesztelésről beszélünk. Ha a hibák helyének és mivoltának megállapítása a célunk, akkor hibadiagnosztizáló tesztelésről van szó. Ez nyilván magában foglalja a hibadetektáló tesztelés végrehajtását is. Teszttervezés: Az a tervezési folyamat, amelyben egymás után meghatározzuk az egyes előre feltételezett hálózati hibák tesztjét. Ezt a folyamatot mindenképpen célszerű számítógépen végezni: ekkor számítógépes teszttervezésről vagy számítógépes tesztgenerálásról beszélünk. A teszttervezés mindenkori célja a teljes tesztkészlet előállítása, vagyis a 100 %-os hibalefedés elérése. Megjegyzés: A mai félvezetős technológia már olyan bonyolult áramkörök előállítását teszi lehetővé (egy IC-be milliós számban tudnak tranzisztorokat integrálni), hogy a teljes hibalefedés elérése gyakorlatilag nem valósítható meg. Általában a 90 %-on felüli minél jobb lefedés a reális és elfogadható cél. Tesztszámítás vagy determinisztikus tesztgenerálás: Egy adott hiba tesztjének szisztematikus számításokkal történő meghatározása. Véletlenszerű/random tesztgenerálás: Bemenő jelkombinációk sorozatának véletlenszerű képzése a hálózati hibák tesztjeként történő felhasználásra. (Angolban: random test generation.) 2

3 Logikai hibaszimuláció: A hibátlan és a hibát tartalmazó hálózat logikai működésének végigkövetése adott bemenőjel-sorozat hatására, a hibátlan hálózat működésével való összehasonlítás céljából. A hibaszimuláció számítógépen hajtandó végre: elsődleges célja az, hogy meghatározzuk a bemenő jelek által felfedhető hibák halmazát. Elkerülhetetlen szerepe van a random tesztgenerálásban, ahol a véletlenül képzett tesztekről határozhatjuk meg a segítségével, hogy azok mely hibákat képesek detektálni. Ugyancsak fontos szerepet kap a determinisztikus tesztgenerálásban is: ekkor egy kiszámított tesztre végrehajtva meg tudjuk határozni a kapott teszt által felfedett többi hibát is. Ezekre a hibákra már nem kell elvégezni a tesztszámítást. Teljes hibaszimuláció: Hibaszimuláció végrehajtása az összes előre feltételezett hibát különkülön tartalmazó hálózatra. Ezáltal a bemenőjel-kombinációk sorozata által felfedni képes összes hibát meghatározzuk. Egy adott tesztkészletre végrehajtott teljes hibaszimuláció eredménye egy ún. hibamátrixban foglalható össze. A mátrix soraihoz a tesztek, oszlopaihoz a hibák tartoznak. Egy sor és egy oszlop találkozásánál 1-es szerepel, ha a sor tesztje felfedi az oszlop hibáját, 0 szerepel, ha nem fedi fel. Megjegyzés: A hibamátrixban foglalt információ alapján nyílik mód a diagnosztizáló tesztelés végrehajtására. Erre akkor kerül sor, amikor a fizikailag tesztelt áramkörről kiderült, hogy hibás. A mérési eredményekből tudni lehet, hogy melyik tesztre érkezett helyes válasz, ill. melyikre hibás. A helyes választ adó tesztek által felfedett hibák nem lehetnek az áramkörben, míg a hibás választ adó tesztek hibái elvileg igen. Mindezek alapján a méréssel kapott információ és a hibamátrix együttes felhasználása lehetővé teszi az elvileg lehetséges hibák körének a leszűkítését egy minimálisan lehetséges konkrét hibahalmazra. A hibamátrix alapján előre meg lehet határozni az adott tesztkészlet ún. diagnosztikai felbontóképességét: ez az a szám, amely megadja, hogy a tesztkészlet végrehajtásának összes lehetséges kimenetele átlagosan hány eleműre teszi lehetővé az áramkörben lehetséges konkrét hibák körét. Kombinációs hálózatok modellje: Kombinációs hálózatokra a következő algebrai modellt fogjuk használni: Legyen a hálózat elsődleges bemeneti változóinak vektora az elsődleges kimeneti változók vektora x = (x 1, x 2,, x n ), z = (z 1, z 2,, z m ), ahol z i az x változóinak Boole-függvénye: z i = z i (x) i = 1,2,, m-re. A továbbiakban a kombinációs hálózatokat késleltetés nélkülinek tekintjük, vagyis feltételezzük, hogy a z i kimeneti függvény értékét bármely időpillanatban meghatározza a bemeneti értékek kombinációja. Az elsődleges bemeneti, ill. kimeneti értékkombinációt olyan vektornak tekintjük, amelynek i-edik komponense x i, ill. z i logikai értéke. A hálózat általános rajza a 2.1. ábrán szerepel. 3

4 x 1 x 2 Kombinációs hálózat z 1 z 2 x n z n 2.1. ábra: Kombinációs hálózatok modellje Az i-edik hálózati pont logikai változója legyen gi, melynek viselkedését a Boole-függvény írja le. g i (x 1, x 2,, x n ) = g i (x) A logikai inverzió jelölésére az aposztróf (felülvessző) jelet fogjuk használni: Például x 1 inverze x 1. Legyen továbbá a hálózat pontjainak száma w, és a pontokat számozzuk 1-től w-ig a következő konvenció szerint: Egy logikai elem bemeneti pontjának sorszáma legyen mindig kisebb, mint bármelyik kimenetének sorszáma. Belátható, hogy ez a számozási előírás minden esetben teljesíthető. Ezen kívül még kikötjük, hogy i = 1, 2,, n-re g i = x i legyen. Sorrendi hálózatok modellje: A továbbiakban kizárólag szinkron, vagyis órajellel ütemezett sorrendi hálózatokkal foglalkozunk. Ezekre nézve a 2.2. ábra szerinti modellt fogjuk alkalmazni, ami nem más mint az ún. Mealy-modell. A modell jelöléseinek értelmezése, vektorok felhasználásával: x = (x 1, x 2,, x n ) z = (z 1, z 2,, z n ) y = (y 1, y 2,, y n ) az elsődleges bemeneti változók vektora. az elsődleges kimeneti változók vektora. a másodlagos (visszacsatolási) bemeneti változók vektora, amely a hálózat jelenlegi tároló állapotát fejezi ki. Y = (Y 1, Y 2,, Y n ) a másodlagos (visszacsatolási) kimeneti változók vektora, amely a hálózat következő tároló állapotát fejezi ki. 4

5 x 1 z 1 x n Kombinációs hálózat z n y 1 Y 1 y p Y p D 1 D p Órajel 2.2. ábra: Szinkron szekvenciális hálózatok modellje A szinkronitás következményeként az órajelek által megszabott t-edik ütem Y vektorának és a (t+1)-edik ütem y vektorának értékkombinációi megegyeznek. Emiatt szokás még y bitértékeit a hálózat jelenlegi állapotának, Y-éit pedig következő állapotának, y-t és Y-t pedig állapotvektoroknak nevezni. Eszerint tehát az időpontok t = 0, 1, 2, diszkrét értékeivel y j [t + 1] = Y j [t], j = 1, 2,, p-re. A kombinációs részhálózathoz tartozó alábbi Boole-függvények teljessé teszik a hálózat algebrai leírását: z j = z j (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y p ) Y j = Y j (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y p ) j = 1, 2,, m-re. j = 1, 2,, p-re. Ebben a modellben a kombinációs hálózatot továbbra is késleltetés nélkülinek tekintjük, vagyis feltételezzük, hogy a fenti két összefüggésben nem játszik szerepet az idő. 5

6 2.1.1 Hibamodellek és érvényességi körük Hibamodellnek nevezzük azoknak az előre feltételezett hibáknak a konkrét halmazát, amelyekre vonatkozóan a teszttervezést végre kívánjuk hajtani. Több fajta hibamodell létezik a gyakorlatban. Egy hibamodell meghatározásakor a következő főbb szempontokat érdemes tekintetbe kell venni: A teszttervezés kivitelezhetőségi lehetőségei és a ráfordítandó költségek. Az adott gyártási technológiához kapcsolódó hibajelenségek előzetes ismerete. A tesztelés végrehajtásához szükséges hardver és szoftver eszközök által nyújtott szolgáltatások köre. Megjegyzés: A publikált gyakorlati tapasztalatok alapján általában megállapítható, hogy a digitális áramkörök, ill. berendezések fejlesztési és előállítási költségében a tesztelési folyamatok megtervezésére és végrehajtására fordítandó költség több mint 50 %-ot tesz ki. A gyártási technológiák fejlődésével folyamatosan növekszik az integráltsági fok, az áramkörök bonyolultsága és mérete, ami végső soron a tesztköltségek arányának növekedését vonja maga után. Mindebből az következik, hogy folyamatosan szükség van újabb és hatékonyabb módszerek, eszközök kidolgozására mind a teszttervezés, mind pedig a tesztvégrehajtás területén. A következőkben a használatban levő fontosabb hibamodelleket tekintjük át. Ehhez előbb a különböző lehetséges hibákat ún. hibaosztályokba soroljuk, a fellépésük és hatásuk sajátságaitól függően. Általános hibaosztályok: a) A hiba jelentkezésének időtartamától függően: Állandó vagy permanens: a hiba az üzemelés teljes időtartama alatt változatlanul fennáll. Átmeneti vagy intermittens: a hiba az üzemelés során időnként megjelenik, majd megszűnik. Ideiglenes: a hiba csak egyszer jelenik meg, majd megszűnik. b) A működésben kifejtett hatástól függően: Statikus: a hiba az állandósult állapotbeli működésben nyilvánul meg. Dinamikus: a hiba hatása az időbeli viselkedésben jelentkezik. (Példák: Egy logikai elem késleltetése nagyobb a megengedettnél, aminek hatására a hálózat egésze lassabban hajtja végre a műveleteit a kelleténél. A hálózat belső jelterjedési idői a tárolók beírási és vezérlési viszonyait megzavarják, amitől hibás beírás történik meg.) c) A működési szemlélettől függően: Logikai: a hálózat logikai működését változtatja meg a hiba. Parametrikus: az áramköri működésben jelentkező hiba, amely a jelek feszültségszintjében, áramértékében, ill. az elemek terhelhetőségében nyilvánul meg. d) Az előfordulási számosságtól függően: Egyszeres: az adott hiba csak egyedül, önmagában fordul elő. Többszörös: az adott hiba egynél több helyen, egyidejűleg külön-külön lép fel. 6

7 A hibák érvényességi köre: A hardver-technológia fejlődésével a versenyben fennmaradt vezető nyugati és japán cégek olyan magas szintre tudták már emelni a fejlesztési és gyártási minőségbiztosítást, hogy ezzel lényegesen javult az általuk kibocsátott termékek megbízhatósága és időtállósága. A mai korszerű digitális rendszerek körében a meghibásodás szempontjából előtérbe kerültek az ún. biztonságkritikus rendszerek, amelyeknél a hibás működés jelentős károkat okozhat emberéletben, környezeti hatásban, vagy gazdasági, pénzügyi téren. Az USA-beli Bell Laboratories (jelenlegi nevén: Lucent Technologies), az általa üzemeltetett ilyen kategóriájú telefonvezérlési rendszerében 1997-ben statisztikai felmérést végzett a leállási idők okaira vonatkozóan. Eszerint az egy évre terjedő eredmények azt mutatták, hogy 70 %-ban szoftverhiba, 20 %-ban intermittens és dinamikus hiba, és állandósult statikus hardver-hiba csak 10 %-ban volt a leállások előidézője. A hardver tekintetében jelentkező fenti megfigyelés a gyakorlatban világszerte megerősítést nyert. Ez azt jelenti, hogy megnövekedett a jelentősége az időszakos, átmeneti, ill. dinamikus hibák tesztelésére alkalmas megoldások kidolgozásának. Az ezen a téren elért eddigi elméleti eredmények ugyanakkor arra utalnak, hogy a tesztszámításban nincsen szükség arra, hogy alapjában eltérő számítási megközelítést kelljen alkalmazni az ilyen hibákra nézve, mint amilyeneket a permanens, statikus hibáknál alkalmazhatunk. Ennek két fő oka van: Az időszakosan jelentkező hibák nagy része olyan hardver-hiba, amely nem különbözik az állandósult hibától, így az utóbbi tesztje az előbbi kimutatására is alkalmas. Ilyenkor tehát nem a tesztek tervezésében, hanem a tesztek végrehajtási módjában kell különbséget tenni. Ez azt jelenti, hogy az időszakos hibák kimutatása érdekében rendszeresen ismétlődő, üzem közbeni tesztelésre van szükség. A dinamikus hibák kimutatására szolgáló tesztszámítási eljárások visszavezethetőek a statikus hibák tesztjeinek számítására. Mindezek alapján a továbbiakban kizárólag olyan hibamodellel fogunk foglalkozni, amelyre a következő hibaosztályok érvényesek: Permanens. Statikus. Logikai. Megjegyzés: A számosság tekintetében elsősorban egyszeres hibákkal foglakozunk, de egyes módszereknél a többszörös hibákat is figyelembe vesszük. Az alkalmazott hibamodellek: Elakadási hiba: Egy hálózati pont hibája, ami abban nyilvánul meg, hogy az adott pont logikai értéke állandó szinten marad, és vezérléssel nem változtatható meg. (Angol elnevezése: stuck-at fault. Ebből származik a másik, széles körben elterjedt magyar elnevezése: leragadási hiba.) 7

8 Az α logikai szinten törtnő elakadást α-s elakadásnak (angolul stuck-at α) nevezzük. Például: 0-s vagy 1-es elakadás (stuck-at 0 vagy stuck-at 1). Az i-edik pont α szinten történő elakadási hibáját a továbbiakban i(α)-val jelöljük. Mint ismeretes, a sínen (buszon) keresztül történő adatátvitel az ún. nagyimpedanciás logikai értéket is megköveteli. Ez az érték valójában a sínre való jelkapcsolódás megszűntét fejezi ki, ezért valójában csak egy fiktív logikai érték, amit jelöljünk Z-vel. A nagyimpedanciás érték az elakadási hibák körébe a következő módon vonható be: Az i-edik pont nagyimpedanciás elakadása az i(z) hiba, ami abban nyilvánul meg, hogy az i pont nem vezérelhető sem 1-be, sem 0-ba, vagyis a pont nem tud rábeszélni a sínre. Ennek a hibának létezik az inverze is, amit kisimpedanciás elakadásnak nevezhetünk, és i(z )-vel jelölünk. Ez a hiba abban nyilvánul meg, hogy az i pont nem vezérelhető Z-be, csak 0-ba vagy 1-be, vagyis a pont mindig a sínre beszél. Jelvezetékek galvanikus hibái: Kétféle hiba léphet fel a logikai elemek galvanikus összeköttetésében, nevezetesen rövidzár, ill. szakadás. A rövidzárral két különböző jelvezeték kerül galvanikus kapcsolatba. Az áramköri technológiától függően ilyenkor ÉS-zárlatról, ill. VAGY-zárlatról beszélhetünk. ÉS-zárlat esetén a két jelvezeték egymástól eltérő logikai értéke mellett a zárlatban a 0 érték jelenik meg, vagyis a 0 szint dominál, VAGY-zárlat esetén pedig ugyanekkor az 1-es érték jelenik meg, vagyis az 1 szint dominál. Megjegyzés: Tesztszámítás szempontjából a zárlati hibák kezelése lényegében véve visszavezethető az elakadási hibákéra. Az igazi nehézséget itt az okozhatja, amikor egy zárlat visszacsatolási hurkot hoz létre egy hálózatban. Ezzel egy kombinációs hálózat aszinkron szekvenciálissá változik, míg egy szinkron szekvenciális hálózat egy tárolóval bővülhet, ami aszinkron működést is okozhat. A szakadással egy vezeték jeltovábbítása szűnik meg. Az esetek többségében ez egy adott szintű logikai elakadási hibának felel meg: az áramköri technológiától függően a leszakadt bemeneti pontok 0-s vagy 1-es elakadáson vannak. CMOS-hibák: Tranzisztor-hibák: Az elterjedt CMOS technológiájú félvezetős logikai áramkörök NMOS vagy PMOS típusú kapcsoló üzemű tranzisztorokkal működnek. (Emiatt működésük tulajdonképpen hasonlít a régi relés hálózatok működéséhez.) A félvezetős tranzisztoroknak kétféle hibája állhat elő: A tranzisztor forrás (source) és nyelő (drain) pontjai között állandó rövidzár lép fel. Ez a tranzisztor ún. zárlati hibája, amikor a tranzisztor állandóan átereszt (angolul: stuck-at short hiba). NMOS esetén ez a hiba ekvivalens a tranzisztor vezérő pontjának (jelöljük g-vel az angol gate elnevezés után) 1-es elakadásával, vagyis g(1)-gyel, PMOS esetén pedig g(0)-val. A tranzisztor forrás és nyelő pontjai között állandó szakadás lép fel. Ez a tranzisztor ún. szakadási hibája, amikor a tranzisztor állandóan nyitva van 8

9 (angolul: stuck-at open hiba). NMOS esetén ez a hiba ekvivalens a tranzisztor vezérő pontjának 0-s elakadásával, vagyis g(0)-val, PMOS esetén pedig g(1)-gyel. Galvanikus hibák: A CMOS áramkörök galvanikus hibái a tranzisztorok közötti összeköttetésekben jelentkeznek, rövidzár vagy szakadás formájában. Ezek a hibák azzal a következménnyel járnak, hogy többnyire lényegesen módosítják az eredeti logikai működést, ami nagymértékben megnehezíti a tesztszámítási feladatot. (Kombinációs hálózatnál ilyenkor a transzformált hálózathoz kell olyan bemenő jelkombinációt keresni, ami eltérő választ eredményez az eredeti hálózathoz képest. Szekvenciális hálózatnál ugyanezt a célt a bemeneti kombinációk megfelelő sorozatával lehet elérni.) A felhasznált hibamodell: A továbbiakban a legelterjedtebben használatos hibamodellel, az elakadási hibák halmazával foglalkozunk csak. Mint látható volt, ezek a hibák sok esetben ekvivalensek voltak zárlati, ill. szakadási hibákkal. Kimutatható továbbá az is, hogy egy logikai kapu bemeneti pontjai közötti zárlat mindig ekvivalens a kapuhoz tartozó elakadási hibával, akár ÉS-zárlatról, akár VAGY-zárlatról is van szó. Az elakadási hibákat felfedő tesztekről megállapítható, hogy igen alapos, átfogó vizsgálatot hordoznak magukban az általános értelemben vett működésre nézve, ami a hibamodellhez tartozó tesztkészletek hatékonysága mellet szól. Az ilyen hibákat felfedő teljes tesztkészlet végrehajtása után a következő megállapítást tudjuk tenni a vizsgált áramkörről: Ha nem volt hibás válasza, akkor mindegyik hálózati pont 0-ból 1-be, valamint 1-ből 0-ba vezérelhető, miközben a hálózat egésze is helyes működést mutat. Mondhatjuk azt, hogy a hálózat mindegyik ízülete megmozgatható. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban csak a hálózati csomópontok elakadási hibáival foglalkozunk, a logikai elemek bemeneti pontjain nem tételezünk fel külön hibát. Ez azt jelenti, hogy a hibák az elsődleges bemeneteken, valamint az elemek kimeneti pontjain jelentkeznek. (Könnyen belátható, hogy ez nem jelent semmilyen elméleti megszorítást, csak a tárgyalást egyszerűsíti.) A következő öt alpontban olyan determinisztikus tesztszámító módszerek, algoritmusok bemutatásra kerítünk sort, amelyek kizárólag kombinációs hálózatokra vonatkoznak. Ebben a tárgyalásban kapu szintű hálózatokkal foglalkozunk. A szekvenciális hálózatok, továbbá a kapu szintnél magasabb rendű, modul szintű, ill. funkcionális szintű hálózatok tárgyalását a fejezet későbbi alpontjai tartalmazzák Kapu szintű tesztelés Mint ismeretes, a kombinációs hálózatok felépítésükben és működésükben jóval egyszerűbbek a sorrendi hálózatoknál. Ennek tulajdonítható, hogy a logikai tesztelés irodalma először ezt a hálózattípust tárgyalta. Jelenleg már számos kidolgozott hatékony módszer ismeretes, amely alkalmas a tesztszámítási feladatok megoldására. A hálózatokról feltételezzük, hogy kizárólag logikai kapukból vannak felépítve. Az ilyen felépítést kapu szintűnek nevezzük. A meghibásodható pontok az elsődleges bemenetek és a kapuk kimenetei. Ezek hibáiról elmondható, hogy kimutatásukra mindig elegendő egyetlen 9

10 bemeneti jelkombináció. Ha erre a hibás áramkör olyan kimeneti kombinációval válaszol, ami a helyestől eltér, az adott input a hiba tesztje lesz. A hibaterjesztés fogalma: Ahhoz, hogy egy hiba detektálható legyen a hálózat kimenetén, nyilván arra van szükség, hogy a hiba hatása eljusson a kimenetig. Ezt a feltételt egy olyan input kombináció teljesíti, amelynek a jelenléte esetén a hiba hatására egy vagy több elsődleges kimeneti változó megváltoztatja helyes logikai értékét. A teszt által eredményezett jelenséget hibaterjesztésnek nevezzük (angolban: fault propagation). Egy hiba hatása akkor és csak akkor terjed tovább, ha a terjedése mentén előforduló valamennyi kapu kimeneti értékét a helyes logikai érték ellenkezőjére változtatja. Ez más megfogalmazásban azt jelenti, hogy a hiba terjedése mentén mindenütt egy-egy hibajel áll elő, egészen az elsődleges kimenetig. Ha egy adott kapu egyik bemenete hibás, ennek hatása kizárólag akkor rontja el a kapu kimeneti értékét, ha egyedül a hibás érték szabja meg a kimeneti értéket. Ezt viszont a kapu hibátlan bemeneteire adott megfelelő értékekkel tudjuk biztosítani. Ha például egy ÉS-kapu hibátlan bemenetein logikai 1 van, akkor az itt kívánt feltételt értük el. VAGY-kapu esetén ilyenkor 0-ra van szükség a hibátlan bemeneteken. Az egybemenetű inverter ugyanakkor mindig átbocsátja a hibajelet. Ha egy hálózati út mentén levő kapuk azon bemenetein, amelyek nem tartoznak az úthoz, a kapuk egyenkénti hibaátbocsátását biztosító logikai értékek vannak, akkor az utat aktívnak, hangoltnak vagy érzékenynek nevezzük. Egy aktív út mindegyik kapuja ugyancsak aktív (hangolt vagy érzékeny). (Az angol elnevezés: sensitive path.) A logikai értékeknek az út aktivitását biztosító kijelölését az út aktivizálásának, hangolásának vagy érzékenyítésének nevezzük. (Angolul: path sensitization.) Nagyon lényeges még egy másik tény is: a továbbterjesztésnek szükséges feltétele, hogy maga a hiba is detektálható legyen a keletkezési helyén, vagyis az elakadási logikai érték eltérő legyen a hibás ponton várt helyes logikai értéktől. Tehát a hibajelnek a hiba keletkezési helyén is meg kell jelennie. Magától értetődik ugyanis, hogy ellenkező esetben a hiba sehol sem éreztetné hatását. Ezeken a meggondolásokon alapul az a módszer, amelyet D. B. Armstrong (USA) publikált 1966-ban. A következőkben ezt a módszert vázoljuk fel. Armstrong módszere: Az Armstrong-féle eljárás egyszeres hibákra vonatkozik, és két számítási fázisból áll: 1) Az első fázisban a hiba helyéhez az elakadási szinttel ellentétes logikai értéket rendeljük. Ezután a hiba helyétől valamelyik elsődleges kimenetig egy lehetséges jelterjedési utat választunk ki. Az út mentén található kapuk azon bemeneteihez, amelyek nem elemei az útnak, a kapuk hangolását biztosító logikai értékeket rendeljük: ÉS-kapu, NAND-kapu estén 1-eseket, VAGY-kapu, NOR-kapu esetén 0-kat. 2) Miután a kiválasztott utat hangoltuk, a második fázisban szisztematikus próbálgatásokkal olyan logikai értékeket keresünk a kapuk bemeneteihez, melyek az első fázisban kijelölt 10

11 értékeket eredményezik. Ha sikerül az elsődleges bemenetekhez visszajutva ellentmodásmentesen megvalósítani a sorozatos hozzárendelést, akkor ezzel az adott hiba tesztjét kapjuk meg. Sikertelenség esetén egy újabb lehetséges út kiválasztására kerül sor, az eljárás megismétlésével. Armstrong módszeréről megállapítható volt, hogy nem mindegyik detektálható hibához képes tesztet találni. Ezt legkönnyebben egy ellenpéldán tudjuk illusztrálni, amit E. C. Schneider (USA) publikált 1966-ban. A példa hálózata a 2.3. ábrán látható. 5 8 x 1 9 x 2 x 3 6 (0) z 1 x Hálózati hiba: 6(0) ábra: A Schneider-féle példa kombinációs hálózata Tegyük fel, hogy a 6(0) hibához keresünk tesztet. A 6-os pontból a z 1 -nek megfelelő 12-es elsődleges kimenetig a P(6-9-12) és a P( ) utak léteznek. Ahhoz, hogy a hibamentes hálózatban a 6-os ponton logikai 1 legyen, szükséges. Az első út aktivizálási feltétele: x 2 = 0 és x 3 = 0 x 1 = 0, g 8 = 0, g 10 = 0, g 11 = 0. Esetünkben g 10 = 0-hoz x 4 = 1 szükséges (g 6 értéke a hiba miatt 0), g 11 = 0-hoz viszont g 7 = 1, ami x 4 értéke miatt feloldhatatlan ellentmondás. Ez azt jelenti, hogy az első út önmagában véve nem aktivizálható. Ugyanez adódik a második út esetében is. Mindezek ellenére az adott hibának létezik tesztje, mégpedig a (0, 0, 0, 0) bemeneti vektor, amiről könnyen meggyőződhetünk. 11

12 Vegyük észre, hogy a módszer eredménytelensége itt abból adódott, hogy egyszerre csak egy utat próbált meg aktivizálni, holott a 6(0) hiba tesztje mindkét lehetséges utat egyidejűleg aktivizálva tud érvényesülni. A két hibaterjesztési út azonban olyan, hogy egy pontban kétfelé ágazik, majd ismét találkozik a 12-es kapunál, vagyis a 2.1 alpontban szereplő definíció szerint rekonvergens. Általánosan is megállapítható, hogy az Armstrong-módszer a rekonvergencia miatt nem alkalmas mindegyik hiba tesztjének előállítására. Ennek a hiányosságnak a kiküszöböléséhez tehát olyan módszerre van szükség, amely képes arra, hogy egyidejűleg egynél több utat is aktivizálni, hangolni tudjon. Egy ilyen megoldást vázolunk fel a következő alpontban A D-algoritmus A többszörös úthangolás megvalósítására dolgozta ki J. P. Roth (USA) 1966-ban az általa D- algoritmusnak nevezett tesztszámító eljárást. Roth bebizonyította, hogy a D-algoritmus felhasználásával bármelyik detektálható elakadási hiba összes létező tesztje előállítható. A D- algoritmus ugyancsak alkalmas a többszörös hibák tesztjeinek kiszámítására is. Az algoritmus alapelve abban áll, hogy a hiba helyétől az elsődleges kimenetekig vezető különböző lehetséges útkombinációkat egyidejűleg kísérli meg aktivizálni. Ha egy aktivizálási procedúra tesztet eredményez, akkor célhoz értünk, ellenkező esetben egy újabb útkombináció kiválasztására kerül sor. A D-algoritmus úgy van szervezve, hogy mindegyik lehetséges útkombinációt végig tudja vizsgálni. A számítások ún. hálózati vektorok vagy kockák (Roth elnevezése: cube) között definiált műveletek elvégzésével hajtandók végre. A k csomópontból álló hálózathoz a k komponensből álló v = (v 1, v 2,, v k ) hálózati vektor tartozik, ahol v i az i-edik csomópont logikai értéke. A D-algoritmus 5-értékű logikai rendszert alkalmaz, a következő értékek halmazával: {0 1, d, D, D } Ebben a halmazban d az ún. közömbös érték. Jelentése: v i = d esetén az aktuális számítások szempontjából mindegy, hogy milyen határozott érték szerepel az i-edik ponton. A D jelentése a következő: v i = D esetén az i-edik ponton a helyes logikai 1 helyett a hibás 0 érték van jelen. (Roth a discrepancy szóból vette a betűt.) Ha a hibajelet úgy definiáljuk, hogy egy törtvonal baloldalán a helyes, jobb oldalán a hibás érték szerepel, akkor írhatjuk, hogy D = 1/0. A D-algoritmusnak nevet adó D logikai érték tehát nem más mint egy konkrét hibajel. Ugyanígy értelmezhető a D hibajel inverze, a D is. Eszerint a D jelentése a következő: v i = D esetén az i-edik ponton a helyes logikai 0 helyett a hibás 1 érték van jelen, vagyis D = 0/1. 12

13 A fenti értelmezés már sugallja, de mégis fontosnak tartjuk itt kiemelni, hogy az értékhalmazban szereplő 0 és 1 önmagukban véve mindig a hálózati pontok helyes logikai értékét képviselik, még hiba jelenlétekor is. A logikai értékek között definiálva vannak a Boole-műveletek. A 0-ra és 1-re nézve a kétértékű logikára érvényes műveletek vonatkoznak. A többi esetben az értékek definíciója alapján tudjuk értelmezni a műveleteket. Például: az ÉS-művelettel a VAGY-művelettel D 1 = D, D 0 = 0, D D = D, D D = 0, D + 1 = 1, D + 0 = D, D + D = D, D + D = 1. Ami az invertálást illeti, ott egyedül d esetében teljesül az, hogy d = d, vagyis a közömbös érték inverze is közömbös marad. Egy i(α) egyszeres elakadási hibára vonatkozóan a D-algoritmus menete a következő: 1) Kiindulásként a hálózati vektor mindegyik komponense d értéket kap. A hiba keletkezési helyén α konkrét értékétől függően D-t vagy D -et veszünk fel: Ha α = 0, akkor g i = D, ha pedig α = 1, akkor g i = D. Ezután a hibátlan g i = α értéket biztosító bemeneti kombinációt vesszük fel a hibás kimenetű kapu bemenetein. A Schneider-példán ez a következő hálózati vektort jelenti: v = (d, 0, 0, d, d, D, d, d, d, d, d,d). 2) A kezdeti értékek beállítása után a hibaterjesztési fázisra kerül sor. Roth ezt a folyamatot D-terjesztésnek (D propagation) nevezte el. Ennek célja az, hogy a hibajel D vagy D alakban legalább egy elsődleges kimenetre jusson el úgy, hogy a még szükséges 0 és 1 értékek ellentmondásmentes hozzárendelése is megtörténjen a hálózati pontokhoz. A D-terjesztés végrehajtásához mindegyik kapuhoz ún. D-terjesztési vektorok állíthatók elő. (Roth elnevezése: propagation D cube.) E vektorokban egy kapu bemeneti pontjainak olyan értékkombinációi szerepelnek, amelyek valójában a kapu lehetséges aktivizálási feltételeit fejezik ki. Olyan logikai feltételeket, melyek szerint a kapu egy vagy több bemenetére érkező hibajel miként terjeszthető a kapu kimenetére. (Egy kapu bemenetei között lehet egynél több hibás értékű is, hiszen a kiválasztott hálózati hiba hatása egynél több úton is eljuthat a kapuhoz.) A 2.3. ábra 12-es kapujához többek között például a (d, d, d, d, d,d, d, D, 0, 0, 0, D ), (d, d, d, d, d,d, d, 0, D, D, 0, D ), (d, d, d, d, d,d, d, D, 0, 0, 0, D), (d, d, d, d, d,d, d, 0, D, D, 0, D) D-terjesztési vektorok generálhatók. 13

14 Az algoritmus az először meghatározott hálózati vektorból kiindulva szisztematikusan, lépésenként kísérli meg olyan újabb vektorok kiszámítását, amelyek kifejezik, hogy milyen logikai értékek teszik lehetővé a hibának a különböző lehetséges utakon való terjesztését. Itt egy számítási lépés abból áll, hogy egy hibaterjesztési részeredményt tartalmazó vektornak képezzük az ún. D-interszekcióját egy olyan kapu D-terjesztési vektorával, amelyen át lehetőség van a hiba továbbjuttatására. Ezeket a műveleteket mindaddig végezzük, amíg az összes kapott eredményvektorban a D vagy D nem terjeszthető tovább. A Roth által definiált D interszekció valójában két vektor közötti művelet, amelyben az eredményvektor a két műveleti vektor azonos helyen levő komponenseinek interszekciójával áll elő. Jelöljük ezt a műveletet hullámvonallal ( ). Példaként néhány eset: 0 0 = 0, 1 1 = 1, 0 d = 0, 1 d = 1, D D = D, D D = D, D d = D, D D = D. Az ellentétes logikai értékek, valamint a D, D és a határozott értékek között a művelet nincs megengedve, vagyis nem ad eredményt. Ilyenek például a 0 1, D 0, D 1, D D műveletek. Belátható, hogy az értelmezett esetekben az adott logikai értékek nincsenek egymással ellentmondásban, a nem értelmezett esetekben viszont igen. Azok az eredményvektorok, amelyekben a D vagy D a hálózat egy vagy több kimenetén szerepel, kifejezik a hibaterjesztésben részt vevő utak együttes aktivizálási feltételeit. Ha a Schneider-példában a 6(0) hibához elvégezzük az összes lehetséges D-terjesztést, akkor a következő három eredményvektorhoz jutunk: v 1 = (0, 0, 0, d, d, D, d, 0, D, 0, 0, D), v 2 = (d, 0, 0, 0, d, D, d, 0, 0, D, 0, D), v 3 = (0, 0, 0, 0, d, D, d, 0, D, D, 0, D). Az eredményekből látható, hogy v 1 a P(6-9-12), v 2 a P( ), míg v 3 az előző két út együttes aktivizálási feltételét fejezi ki. Ebben a stádiumban a hátralevő feladat azoknak a hiányzó 0 és 1 értékeknek a kijelölése, amelyek ellentmondásmentesen biztosítják egy adott eredményvektorban levő 0 és 1 értékek teljesülését. Az erre szolgáló, szisztematikus próbálkozásokból álló műveletsorozatra a továbbiakban az összehangolási eljárás elnevezést használjuk. (Roth elnevezése: consistency operation. A másik, ennél jóval elterjedtebb angol elnevezés: line-value justification.) 14

15 3) Az összehangolás egy szisztematikus eljárás, amelynek során egymás után jelölünk ki határozott logikai értékeket a hálózati elemek kimenetein úgy, hogy azok logikailag összhangban legyenek az elemek kimeneti értékeivel, valamint a már korábban elhelyezett értékekkel. Ilyenkor kizárólag a kimenetek 0 és 1 értékeit kell a bemeneti oldalról biztosítani, d-t nem. A D és D már nem vesznek részt ebben a folyamatban.. Az eljárás mindaddig tart, amíg az elsődleges bemenetekig nem jutunk. Az összehangolás során fellépő ellentmondások feloldására az előző döntések szisztematikus megváltoztatását kíséreljük meg. Ezzel így egy ún. visszakövetéses döntéssorozatot hajtunk végre. (Ez angolul: backtracing vagy backtracking.) Egy régebbi döntés megváltoztatása után töröljük az akkori döntés összes következményeit, vagyis a döntés óta kiosztott logikai értékeket, és az új döntéstől folytatjuk tovább az összehangolást. Eben az eljárásban nagyon fontos, hogy egy kapu bemenetein mindig elég a minimálisan szükséges feltételt előírni a kimenet biztosításához. Más szóval ez azt jelenti, hogy minél kevesebb határozott értéket kell a bemenetekhez rendelni. A don t care érték visszakövetésére ugyanis nincs szükség. Például: ÉS-kapunál, ha a kimenet 0, elég az egyik bemenetre 0-t tenni, a többi maradhat d. A példánkban szereplő hálózat D-terjesztési vektorait tekintve, az összehangolás eredményeként a v1 és v2 vektorokhoz nincs konzisztens megoldás, míg a v3-hoz van: v = (0, 0, 0, 0, 1, D, 1, 0, D, D, 0, D). A végeredményként kapott vektorból kiolvasható a 6(0) hiba tesztje, ami az ismert Többszörös hibák kezelése: x = (0, 0, 0, 0) vektor. A D-algoritmus kiterjeszthető többszörös hibákra is. Ekkor azonban a számítási mennyiség lényegesen megnövekszik. A következőkről van szó ugyanis: Ha egynél több szimultán hiba van, akkor nem biztos, hogy azok tesztje mindegyiket terjeszti. Hogy melyik hiba hatását kell elindítanunk és melyiket nem, azt előre nem lehet tudni. Ami biztos, az annyi, hogy legalább egy hibát mindig terjeszteni kell. Ha egy hibát terjeszteni akarunk, akkor a helyére D-t vagy D -t kell írnunk. Ha kizárjuk a terjesztésből, akkor a hibátlan hálózatban a hiba helyére az elakadási szintet kell előírnunk. Ha az együttes hibák száma q, akkor az összes lehetséges hibaindítási kombináció száma 2 q 1 lesz. Ez azt jelenti, hogy legrosszabb esetben ennyiszer kell a teljes D-algoritmust végrehajtanunk, amíg tesztet találunk, vagy kiderül, hogy nem létezik teszt. Végezetül még szükségesnek tartjuk megjegyezni, hogy a D-algoritmust igen sokan vizsgálták és további módosításokat, javításokat dolgoztak ki rá vonatkozóan. Ezek közül leginkább az a továbbfejlesztett változat érdemel említést, amelyet P. Muth (Németország) publikált 1976-ban. Ebben az eredeti 5-értékű logika helyett Muth egy 9-értékűt javasolt, ami a végigpróbálandó hibaterjesztési útkombinációk számának lényeges csökkenésére vezet, vagyis gyorsítja az eredeti D-algoritmust. 15

16 2.1.4 A Boole-differenciák módszere Az előző két alpontban ismertetett számítási elvek magukban hordozzák a sikertelen próbálkozások lehetőségét. A következőkben egy olyan megoldással foglalkozunk, amelyben ez a tulajdonság jóval kevesebb szerepet játszik. Ez abból adódik, hogy itt a hálózat viselkedését leíró Boole-függvényeket használjuk fel, és a megfelelő logikai kifejezések között kell előre megszabott logikai műveleteket elvégezni. Ezt, az ún. Boole-differenciákon alapuló megközelítést először F. F. Sellers és társai (USA) vetették fel 1968-ban. Azóta számtalan publikáció jelent meg, amely ezzel a megoldási móddal foglalkozik. A Boole-differencia definíciója: Egy n-változós z j (x 1, x 2,, x n ) = z j (x) logikai függvénynek az x k változójára vonatkozó Boole-differenciája dz j / dx k = dz j (x 1, x 2,, x n ) / dx k = = z j (x1,, x k,, x n ) z j (x 1,, x k,, x n ), (2.1) ahol a műveleti jel a KIZÁRÓ VAGY-ot (XOR) képviseli. Bizonyítható, hogy a (2.1) kifejezhető a dz j / dx k = z j (x 1,, x k-1, 1, x k+1,, x n ) z j (x 1,, x k-1, 0, x k+1,, x n ) (2.2) összefüggéssel is. Ez azt jelenti, hogy az x k -ra vonatkozó Boole-differencia csak az x k -tól különböző n-1 darab változó függvénye. Az XOR művelet definíciója alapján könnyen igazolható, hogy ha dz j / dx k = 1, akkor z j (x 1,, x k-1, 1, x k+1,, x n ) zj (x 1,, x k-1, 0, x k+1,, x n ). Másrészt, ha dz j / dx k = 0, akkor z j (x 1,, x k-1, 1, x k+1,, x n ) = = zj (x 1,, x k-1, 0, x k+1,, x n ). Mindebből következik, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az x k változó logikai értéke befolyásolja z j értékét, dz j / dx k = 1. 16

17 A (2.1)-hez hasonlóan, általánosan a következő formában definiálhatjuk egy kombinációs hálózat z j (x 1, x 2,, x n ) = z j (x) kimeneti függvényének egy g i (x 1, x 2,,x n ) = g i (x) függvényre vonatkozó Boole-differenciáját: dz j / dg i = z j (x, g i (x)) z j (x, g i (x)) = = z j (x, g i = 1) z j (x, g i = 0). (2.3) Az általánosítás szerint g i (x) = x k esetén (2.3) a (2.1) és (2.2) képletekbe megy át. Az i(α) hibát a zj kimeneten detektáló tesztnek biztosítania kell, hogy z j értékét befolyásolja a g i. Ennek viszont szükséges és elégséges feltétele, hogy dz j / dg i = 1 (2.4) teljesüljön. A tesztnek emellett a hibamentes hálózatban a g i (x 1, x 2,, x n ) = α (2.5) értéket kell eredményeznie. Ugyanis a (2.4) feltétel teljesülése garantálja, hogy az egymással ellentétes gi értékekre a z j is ellentétes értékpárral válaszol. Ugyanakkor a (2.5) feltétel az i- edik pont helyes logikai értékét írja elő, ami hiba esetén ellentétesre változik, s így a hiba hatása megfigyelhető lesz a z j kimeneten: a z j értéke különbözni fog a hibamentes esethez tartozó logikai értékétől. Mindet tehát azt jelenti, hogy egy bemeneti kombináció akkor és csak akkor lehet i(α) tesztje, ha megoldása a (2.4) (2.5) logikai egyenletpárnak. Az egyenletpárt tehát az elsődleges bemeneti változókra mint ismeretlenekre nézve kell megoldani. A megoldásokat a következő úton kapjuk meg: A Boole-differenciát a (2.3) szerint g i = 1, g i = 0 helyettesítéssel állítjuk elő. Először képezzük a két egyenlet logikai szorzatát. Esetünkben ez azt jelenti, hogy α = 0-ra (2.4) baloldala a g i tényezővel, α = 1-re pedig g i -vel bővül, míg a jobboldal marad logikai 1. Az így előállt egyenletet a logikai függvények közti műveletek elvégzésével olyan alakra hozzuk, ami a negált és nem negált bemeneti változók logikai szorzatainak összegéből áll, vagyis az ún. diszjunkt forma alakul ki. Mivel a teljes kifejezés logikai értéke 1, ezért sorban mindegyik tagját 1-gyel téve egyenlővé, az így kapott egyenletekből azonnal kiolvasható az őket kielégítő egyetlen bemeneti kombináció. Eszerint az egyenletnek annyi különböző megoldása van, ahány különböző tagból áll a végső alak. Például: x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 megoldása (0, 1, 1, 0). Példaként tekintsük a 2.1. ábrán szereplő hálózatot, a 6(0) hibával. A hálózat kimeneti függvénye a g 6 bevonásával: z 1 (x, g 6 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 g 6 + x 1 x 2 x 3 g 6 + x 2 x 3 g 6 + x 1 x 2 x 3 x 4 g 6. A számítások elvégzésével 17

18 dz 1 / dg 6 = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4. Mivel g 6 (x) = (x 2 + x 3 ) = x 2 x 3, ezzel a 6(0) hiba tesztje (dz 1 / dg 6 ) g 6 (x) = x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 alapján a már ismert (0, 0, 0, 0) bemeneti vektor lesz. A gyakorlatban a logikai hálózatoknak általában 1-nél jóval több elsődleges kimenete van. Számunkra viszont egy hibához elegendő egyetlen teszt előállítása, ezért elegendő egyetlen kimenetre elvégezni a fenti számításokat. Ha viszont egy adott kimenethez nem találunk tesztet, akkor egy újabb kimenet kiválasztására kerül sor. Legrosszabb esetben tehát mindegyik kimenetre végre kell hajtani az algoritmust. Többszörös hibák kezelése: A Boole-differenciák módszere ugyancsak kiterjeszthető többszörös hibák tesztjeinek számítására is. A számítások elve követi a D-algoritmusnál bemutatott elvet. Ebben az esetben is azt kell figyelembe vennünk, hogy az egyidejűleg fennálló hibák különböző terjesztési-nem terjesztési kombinációkban kapcsolandók be a számításokba. Egy ilyen kombinációt egy Boole-egyenlet tud kifejezni, amit meg kell oldani. Ha a hibák multiplicitása q, akkor a legrosszabb esetben most is 2 q 1 alkalommal kell végrehajtani a Booledifferenciák módszerét, mégpedig egyetlen kimenetre vonatkozóan. Ahhoz, hogy egy hiba ne terjedjen, arra van szükség, hogy az előfordulási pontjára az elakadási szinttel megegyező logikai érték kerüljön. Ekkor az i hibás pont logikai függvénye a hibaszinttől függően a következő formában vesz részt a megoldandó Boole-egyenletben: Ha i(α)-ban α = 0, akkor g i = 0 kell, vagyis gi lesz az egyenletben szereplő szorzótényező, míg α = 1 esetén g i = 1 kell, és a g i vesz részt a szorzatban. A terjedés-nem terjedés aktuális esetét a Boole-differenciában is figyelembe kell venni. Ekkor az a függvény, amelyhez tartozó hiba nem terjesztendő, nem kerül bele a Boole-differencia egyik tagjába sem, mivel a két tag nem térhet el egymástól az adott függvény miatt. Például, ha az i(0) és a k(1) hibapár tesztjét úgy akarjuk meghatározni, hogy i(0)-at terjesztjük, k(1)-et pedig legátoljuk a terjesztésben, akkor a megoldandó Boole-egyenletünk a következő alakot veszi fel: g i g k [ z j (x, g i = 1) z j (x, g i = 0)] = 1. Abban az esetben, amikor mind a két hibát terjeszteni akarjuk, a következő egyenlet megoldására lesz szükség: g i g k [ zj (x, g i = 1, g k = 0) z j (x, g i = 0, g k = 1)] = 1. Az utóbbi egyenletben szereplő szögletes zárójeles tényezőt kettős Boole-differenciának nevezzük. Az elnevezés onnan ered, hogy két belső változó egymástól való eltérését, differenciáját fejezi ki. Ezen az alapon természetesen létezik az n-szeres Boole-differencia fogalma is, amelyben n számú változó eltérése van leírva. 18

19 2.1.5 A PODEM és a FAN algoritmus A P. Goel (USA) által 1981-ben publikált PODEM (Path-Oriented DEcision Making) algoritmus öt logikai értékkel dolgozik. Kapu szintű kombinációs hálózatok egyszeres elakadási hibáit képes kezelni. A gyakorlati tapasztalatok szerint jóval hatékonyabb a D- algoritmus 5-értékű változatánál. Kifejlesztésekor a szerző a következő gondolatmenetet követte: A D-algoritmus működése során a vizsgált hálózat belső csomópontjaira rögzít logikai értékeket, holott az elsődleges bemenetek logikai értékei egyértelműen meghatározzák bármely belső csomópont logikai értékét. Így, mivel egy hálózatnak általában jóval több belső csomópontja van, mint elsődleges bemenete, a D-algoritmusnak sokkal több döntési lehetőséggel kell számolnia mint egy olyan algoritmusnak, amely csak az elsődleges bemenetekre köt le értékeket. Ezáltal a helytelen, vagyis fölösleges döntések esélye is jóval nagyobb a D-algoritmusban. A PODEM ezért nem végez összehangolást, hanem olyan kombinációt keres az elsődleges bemenetekre, amely az elérni kívánt cél felé vezet. A cél, mint minden módszernél, ebben az esetben is kétféle lehet: A hiba aktivizálása és hatásának kiterjesztése egy elsődleges kimenetre. Ezzel a megoldással a PODEM jelentősen szűkíti a döntési teret, hiszen az csak az elsődleges bemenetekhez tartozó csomópontokból áll. Ráadásul látszólag megtakarítottuk az összehangolást is a D-algoritmushoz képest. A fentiek alapján a PODEM a következő fő lépésekre bontható: 1. A hiba kiválasztása 2. Olyan elsődleges bemeneti kombináció keresése, amely aktivizálja a hibát. Ha nem sikerül megfelelőt találni, akkor a kiválasztott hiba tesztelhetetlen. 3. Ha a hiba hatása elért egy elsődleges kimenetet, akkor az elsődleges bemeneteken egy tesztvektor van. Ebben az esetben itt befejeződik a számítás az adott hibára. 4. Egy célcsomópont kijelölése, ahová a hiba hatását tovább szeretnénk terjeszteni. Amennyiben az összes lehetséges aktivizált úttal megpróbálkoztunk már, a célcsomópontok különböző kijelölésén keresztül, akkor a kiválasztott hiba tesztelhetetlen. 5. Olyan elsődleges bemeneti kombináció keresése, amely a hiba hatását a kiválasztott csomópontra terjeszti. 6. Ugrás a 3. pontra. A döntési tér szűkülése és az összehangolás elhagyása magyarázatul szolgálhatna a jelentős hatékonyságnövekedésre a D-algoritmussal szemben. Mindazonáltal az összehangolás megtakarítása látszólagos, a hatásfok növekedése nem ezekben az okokban keresendő. A PODEM, az elsődleges bemenetek megfelelő logikai értékeit egy adott cél elérése érdekében, egy heurisztika segítségével választja meg. Most vizsgáljuk meg, hogyan is történhet ez a választás: Lehet véletlenszerű a választás az összes elsődleges bemenetre, de ez a megoldás gyakorlatilag a random tesztgenerálással lenne egyenértékű. A véletlen értékek generálását korlátozhatjuk a célcsomópontot meghajtó elsődleges bemenetekre és kizárhatjuk a már kipróbált kombinációkat. Ez a megoldás már valószínűleg hatékonyabb az előzőnél, de várhatóan még mindig rosszabb, mint a topológiai információkat is figyelembe vevő összehangolás a D-algoritmusban. 19

20 Végül egy elsődleges bemenet értékére tehetünk javaslatot, a célcsomópont kívánt logikai értékét az áramkörben az adott elsődleges bemenethez vezető úton visszakövetve. Egy ilyen módszer viszont minél pontosabb becslést ad, bonyolultságában annál közelebb áll a D-algoritmusban használt összehangoláshoz, hiszen a visszakövetés egy-egy lépésében is adminisztrálnunk kell a visszakövetett értéket, az pedig, hogy ezt az adminisztrációt érték lekötésnek tekintjük-e már csak értelmezés kérdése. Sőt, ha a visszakövetés köztes eredményeit értéklekötésként kezeljük és ezek alapján implikációt is végzünk, a döntési tér gyorsabban szűkülhet illetve a konfliktusok előbb kiderülhetnek. (Implikáció: az 1 és 0 logikai értékek további biztos értékhatásának meghatározása a hálózatban.) Miben áll tehát a hatékonyságnövekedés? Mivel a PODEM elsőnek publikált változatában az összehasonlítás alapja az 5-értékű D-algoritmus volt. Ennek pedig épp az volt a gyengéje, hogy a visszakövetés során a szűk értékkészlet miatt egyes belső csomópontokra gyakran pontatlan vagy hibás megkötéseket tett. A szintén öt logikai értéket használó PODEM-nél ez a probléma nem jelentkezhetett, hiszen a belső csomópontok egy elsődleges bemenet, az 5- értékű logikában szereplő, 1 vagy 0 értékre történő lekötését követő implikáció során kaptak értéket. Így tehát, a PODEM esetében az 5-értékű logika nem okozott pontatlanságokat vagy hibákat. Összefoglalva tehát az eddigieket, úgy tűnik, hogy csak a D-algoritmus túl nagy információveszteséggel dolgozó 5-értékű változatához képest jelentett egyértelmű haladást a PODEM. Az állítást alátámasztja, hogy a D-algoritmus 9-értékű változata nem marad el hatékonyságban a PODEM mögött. A PODEM-nek is számos módosított változatát publikálták. Ezek közül a legjelentősebb, a heurisztikák alkalmazására épülő, 5-értékű, kapu szintű FAN (FANout-oriented test pattern generation algorithm) algoritmus. (H. Fujiwara és T. Shimono, Japán, 1983.) A PODEM-hez képest további, a döntési visszalépések számának csökkentését célzó megoldásokat foglal magában Minden értéklekötés után előre- és hátrafelé implikációt hajt végre. Megfelelő aktivizált értéket vesz fel azokra a csomópontokra, amelyeken biztosan áthalad az adott hibahelyről kiinduló aktivizált út, azaz ahol a D-terjesztési front egyetlen kapura szűkül, továbbá az ilyen csomópontok hibaterjesztésben részt nem vevő kapubemeneteire nemvezérlő kombinációt allokál. Az előző pont alapján lekötött csomópontok összehangolása :Így tehát a PODEM-mel ellentétben a FAN-ben több célcsomópont létezhet egyszerre, ezért az ezek biztosítását végző procedúrát többszörös visszakövetésnek (Multiple Backtrace) hívják. Emellett a FAN többszörös visszakövetése, -a PODEM egyszeres út mentén végzett visszakövetésével szemben-, a D-algoritmushoz hasonlóan többszörös utat is képes kezelni. Ez a megoldás viszont elvében és így bonyolultságában megegyezik a D- algoritmusban használt összehangolással. A több ágon történő visszakövetést azonban a FAN szélességi jelleggel végzi, ami kevésbé hatékony, mint a mélységi jellegű megoldás. A különbség abból adódik, hogy a kapuk inverz működését leíró függvény általában nem egyértelmű, így előrefelé gyakrabban végezhető implikáció, mint hátra. Ha pedig mélységében végezzük az összehangolást, akkor növeljük az előrefelé ható implikációk lehetőségének az esélyét és így gyorsabban szűkül a döntési tér. Azok az áramköri csomópontok (ún. bead-line-ok), amelyeknek hátrafelé vetülő árnyéka független az áramkör többi részétől, fa struktúrájú és nem tartalmazza a hibahelyet, biztosan visszalépés nélkül leköthető akár 1 akár 0 értékre, ezért a FAN-ben az összehangolás csak ezekig a pontokig folyik első lépésben. Ennek oka az, hogy mivel ezen csomópontok esetében biztos sikerre számíthatunk, összehangolásukat 20

21 elhalaszthatjuk akkorra, amikor már minden egyéb, egy teszt előállításához szükséges munkát elvégeztünk. Így ha a tesztszámítás során vissza kell vonnunk egy döntést, nem végeztünk felesleges munkát a bead-line-ok összehangolásával. A FAN algoritmust közlő publikáció a PODEM-mel végzett összehasonlításokat. A kísérlet során minden elakadási hibát figyelembe vettek, és minden teszt előállítása után végeztek hibaszimulációt. A számításokat 10 és 1000 nagyságú visszalépési korláttal végezték. Megítélésem szerint a két eredménysorozat közül csak az elsőnek van gyakorlati jelentősége, az ezres korlát esetében észlelhető rohamos számításiidő-növekedés miatt. Emellett megállapítható, hogy a FAN algoritmus jelentősen hatékonyabb a PODEM hasonló körülmények között implementált változatánál. Egyedüli hátránya a sok KIZÁRÓ VAGYkaput (XOR-kaput) tartalmazó hálózatok kezelésében mutatkozik meg. Ennek oka valószínűleg az, hogy a FAN elemkészlete nem tartalmazza a KIZÁRÓ VAGY-kaput. Azokat a hálózatmodell előállítása során ekvivalens, három kapuból álló kapcsolással helyettesíti. Ez a megoldás a kapuszám növekedésén túl, újabb rekonvergens utakat is behoz a hálózatba. Áttekintve az ismertetett módszerekre vonatkozó publikált futási eredményeket, arra a véleményre juthatunk, hogy a D-algoritmus és a PODEM fejlettebb változatai között nincs lényeges hatásfokbeli eltérés. Az apróbb különbségek nagyrészt az alkalmazott heurisztikus megoldásoknak és az algoritmusok hálózatfüggőségének tudhatók be A kettős összehangolás A kettős összehangolás algoritmusa szintén a logikai értékek szisztematikus próbálgatással történő elhelyezésével képes tesztet számítani akár egyszeres, akár többszörös hibához. Az algoritmus végrehajtási módjából következően gyakorlatilag nincs különbség az egyszeres és többszörös hibák kezelésére fordítandó számítási mennyiségben, ami szembetűnő különbség az eddig ismertetett módszerekhez képest. A kettős összehangolást (angol elnevezése: composite justification) Sziray J. publikálta 1979-ben (USA, Stanford Egyetem). A módszer a következő meggondolásokon alapul: Tegyük fel, hogy q 1 számú hibához keresünk tesztet úgy, hogy a hibadetektálási kimenetünk z j. Ezen tesztvektor meghatározásának feladata a következő módon is megfogalmazható: Előállítandó egy olyan bemenő kombináció, amelyre nézve a hibátlan és a hibát tartalmazó hálózati változatok legalább egy elsődleges kimeneti értékben különböznek. Legyen ez a z j értéke. E cél elérése érdekében z j -hez egy β értéket rendelünk, ahol β önkényesen 0 vagy 1, és megkíséreljük egy olyan bemeneti kombináció előállítását, amely egyrészt összhangban van a) z j helyes β értékével a hibátlan hálózatban, és b) z j hibás β értékével a hibás hálózatban. A kitűzött feladat megoldásához egyidejűleg két tartományban fogjuk számításainkat végezni: az ún. normális, ill. a hibás tartományban. Ez azt jelenti, hogy mindegyik hálózati pontnál két logikai értéket veszünk figyelembe, mégpedig a hibátlan és a hibás hálózatban számított értéket. Egy ilyen értékpárt kettős értéknek (composite value) nevezünk. Egy i pont kettős 21