Árazási modellek inflációs termékekre

Átírás

1 Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Budapesi Corvinus Egyeem Közgazdaságudományi Kar Árazási modellek inflációs ermékekre Készíee: Víg Aila András Bizosíási és pénzügyi maemaika meserszak Kvaniaív pénzügyek szakirány 2016 Szakszemináriumvezeő: Dr. Vidovics-Dancs Ágnes

2 Köszönenyilváníás Szereném megköszönni émavezeőmnek, Vidovics-Dancs Ágnesnek a szakmai és emberi ámogaás nélküle e dolgoza nem készülhee volna el. Hálával arozom ovábbá Michalezky György Tanúr Úrnak, aki öbbszöri konzulációk során segíe eligazodni a szochaszikus folyamaok úveszőjében.

3 Taralomjegyzék 1. Bevezeés 2 2. Alapfogalmak Infláció Tőkeindexál kövények Pénzügyi maemaikai alapismereek Vasicek-modell az inflációra Tőkeindexál elemi kövény éréke Megoldás a differenciálegyenle felírásával Megoldás a várhaó érék kiszámíásával Összeveés a Vasicek-modellel Forward görbék Tőkeindexál elemi kövényre szóló opció éréke Zéró-kupon inflációs csereügyle éréke Zéró-kupon inflációs floorle éréke Hull-Whie-modell az inflációra Összegzés 33 1

4 1. Bevezeés A pénzügyi fogalmak közül alán az infláció rendelkezik a legbizosabb hellyel a közudaban. Jelenősége óriási a magánszemélyek, a vállalaok és az állam számára is. Reáleszközökben így például a részvények és az ingalanok érékében implici módon megjelenik az inflációs kockáza, érheő azonban az igény olyan eszközök irán, melyek szorosabb kapcsolaban vannak az inflációval. Az első és máig legjelenősebb pénzügyi ermék, melyben explici módon megjelenik az inflációs kockáza, a őkeindexál kövények. Ez az elsősorban államok álal kibocsáo kövényípus az uóbbi évizedekben rendkívüli volumennövekedésen men á, és a felfuással párhuzamosan a pénzügyi innováció eredményeképpen megjelenek az inflációs derivaívák is: a pénzügyi közveíőkön kereszül az inflációs kockázaok eladói és vásárlói ma már könnyen megalálják egymás. Célunk ezen inflációs ermékek árazása, mely során gondolameneünk a kamalábmodellekhez hasonló lesz: szochaszikus dinamiká fogunk feléelezni mind a rövid kamalábra, mind az inflációra a kockázamenes mérék ala, és zár formulá igyekszünk levezeni az érékfolyamaokra. A dolgoza bevezeő uáni első részében a használ alapfogalmaka muajuk be. Lesz szó az árindexről és az inflációról, mérésének folyamaáról és nehézségeiről, különböző muaószámokról. Bemuajuk a őkeindexál kövény min pénzügyi erméke, körüljárjuk jelenőségé mind befekeői, mind kibocsáói oldalról. Bemuajuk ovábbá a dolgoza során használ pénzügyi maemaikai alapfogalmaka, melyek az árazási elméle alapkövei. Az árazás alapgondolaa melye relaív-, vagy arbirázsmenes árazásnak is nevezünk, hogy az eszközöke egymáshoz képes árazzuk, éréküke a közgazdasági és maemaikai kényszer haározza meg. A dolgoza gerincé adó második részben egy Vasicek-modell ihleeségű egyensúlyi modell állíunk fel: a rövid kamalábra és az inflációra is egy álaghoz visszahúzó dinamiká feléelezünk a kockázamenes mérék ala. A modell kereein belül ké módszerrel is zár formulá adunk a őkeindexál elemi kövény érékére, illeve a őkeindexál elemi kövényre szóló opcióra árára is, ovábbá felírjuk, hogy a modell milyen alakú hozam- és inflációs görbéke képes előállíani. Ezek uán ké nagy volumenű inflációs derivaívá is megemlíünk: a zéró-kupon inflációs csereügyle és a zéró-kupon inflációs floorle éréké is meghaározzuk a modell kereein belül. 2

5 A harmadik részben köveve a kamalábmodellek evolúciójá egy Hull-Whie-modell ihleeségű piaci modell állíunk fel: a rövid kamalábra és az inflációra ovábbra is álaghoz visszahúzó dinamiká feléelezünk, azonban i megengedjük, hogy az álag egy időől függő, deerminiszikus mennyiség legyen. Ekkor nem célunk a őkeindexál elemi kövény érékének felírása éppen fordíva, célunk az álagfüggvény meghaározása, hogy a modell ökéleesen illeszkedjék a piacon megfigyel lejárai srukúrához, mind a nominális, mind a őkeindexál kövények ekineében. Az uolsó részben az eredményeke összegezzük, illeve kövekező evolúciós lépéskén egy olyan modell is vázolunk, melynek kifejése úlmua e dolgoza kereein. 3

6 2. Alapfogalmak 2.1. Infláció Az infláció mindannyiunk számára ismer jelenség: a vásárol jószágok és szolgálaások ára ipikusan egy időben válozó mennyiség. Míg pongyola szóhasználaal álalában inflációnak nevezünk bármilyen időbeli árválozás, ponosabban fogalmazva az árak növekedésé nevezzük így, míg a csökkenés deflációnak hívjuk. A pongyolaság védelmére egy indok hozhaó fel: az árak kevés kivéelől és rövid időszakaszokól elekinve álalában növekvő rende muanak. Az infláció mérése összee probléma, önálló saiszikai udományágnak is ekinheő. Bár a méréssel kapcsolaos nehézségek alapos körüljárása nem célja a dolgozanak, néhánya megemlíünk közülük. A különböző ermékek árválozása nem azonos üemben és mérékkel örénik ezér infláció ala minden eseben egy alkalmasan válaszo álagos árválozás érünk. Az álagolás mögö az árindex áll, amely egy fogyaszói kosár áralakulásá kövei. A fogyaszói kosár az álagos házarás álal vásárol ermékeke aralmazza, így máris felmerül az igény arra, hogy különböző fogyaszói csoporok eseén úgyneveze réegárindexe számoljunk. Magyarországon például a Közponi Saiszikai Hivaal ovábbiakban: KSH az alábbi lakossági réegekre készí fogyaszói árindexe: akív házarások, ebből három és annál öbb gyerekes házarások; nyugdíjasok; alacsony, közepes és magas jövedelmű házarások. KSH, 2008 Az árak válozásá nemcsak a keresle és kínála ermészees ingadozása okozza, hanem olyan orzíó ényezők, min az adószabályok legegyszerűbb ese az álalános forgalmi adó mérékének válozása, a világpiaci árak mozgása az energiahordozók nagy arányú imporjára szoruló országok eseén, valamin az időjárási haások elsősorban a mezőgazdasági ermékek eseén. Az ilyen egyszeri haásokól megiszío inflációs muaó nevezzük maginflációs muaónak. A fen emlíe fogyaszói kosár összeéele gyakori via árgya: a lakhaási kölségekhez kapcsolódó bérlei díjak országonkén más és más módon, illeve mérékben jelennek meg az inflációs muaókban. Még azonos módszeran eseén sem lenne egyeérés, hiszen a sajá ulajdonú ingalanban lakók aránya az Európai Unión belül is rendkívül sokréű: 4

7 52, 4% Némeországban és 96, 1% Romániában Eurosa, Az összehasonlíhaóság érdekében az EU-ban minden agország köeles harmonizál fogyaszói-árindexe Harmonised Index of Consumer Prices, HICP publikálni. Az Unión kívül azonban ovábbra sincs egyeérés: míg a HICP nem veszi figyelembe a sajá lakásszolgálaás impuál bérlei díjá, addig az Egyesül Államok árindexe Consumer Price Index for All Urban Consumers, CPI-U igen. Lane és Schmid, 2006 További kérdéseke ve még fel, hogy milyen módon és mérékben vesszük figyelembe a ermékek minőségbeli válozásá az árindex számolásakor. Tagadhaalan, hogy egy új auó ma egészen más felszerelséggel rendelkezik, min íz évvel korábban, ovábbá felmerülhe, hogy az élelmiszerek sem azonos minőségűek a korábbiakkal Tőkeindexál kövények Lássuk az alábbi gondolakísérlee! Egy év múlva ponosan 100 üveg pezsgőre van szükségünk. Ez fedezhenénk oly módon, hogy ma meg is vesszük a szükséges mennyisége, viszon így a árolási kölségekől el is ekinve egy évnyi kamao hagyunk kárba veszni. Kövekező megoldás lehene, hogy veszünk annyi egy éves diszkon kincsárjegye, amely lejárakor annyi fize, hogy meg udjuk venni a száz üveg pezsgő az előző megoldásnál ez már jobb, viszon mivel nem udjuk ponosan, hogy egy év múlva mennyibe fog kerülni egy üveg pezsgő, ez a kockázao kényelenek vagyunk viselni. Az ideális megoldás a kövekező lenne: keresünk valaki, akinek ma van szüksége pezsgőre, és cserébe vállalja, hogy egy év múlva szállí nekünk 100 üveggel. Amennyiben például 96 mai üveg pezsgőér cserébe vállalná valaki ez az üzlee, máris elérünk kb. 4% pezsgőhozamo, és nem fujuk a pezsgő áringadozásának kockázaá. Dodgson és Kainh, 2006 Természeesen a fogyaszási cikkeknek nincsen olyan likvid piaca, ahol a különböző időponbeli fogyaszások gazdá cserélhenének. Ez a funkció ölik be a őkeindexál kövények, melyek kifizeései egy árindexhez kööek. Ellenében a radicionális kövényekkel, a őkeindexál kövények pénzáramlása reálérelemben fix, míg nominális érelemben valószínűségi válozók sorozaának ekinheő. Például egy 100 egység névérékű, 3 éves, 5%-os éves kuponnal rendelkező őkeindexál kövény pénzáramlása a kövekező: [ 5 I1, 5 I2 I3, 105 I0 I0 I0], ahol IT jelöli az árindexe. 5

8 Tőkeindexál kövény kibocsáani elsősorban olyan gazdasági szereplőnek érdemes, akinek a bevéelei szinén az árindexhez kööek. Ez az inflációs kockáza mérlegen kereszüli ermészees fedezésének ekinheő. Érdemes lehe még az árindexhez köve forrás szerezni, ha a szereplő véleménye szerin a piaci inflációs várakozások úlfűöek ekkor ermészeesen már spekulációról beszélünk. Továbbá, mivel a őkeindexál kövények reálérelemben kevésbé kockázaosak, min nominális ársaik, az inflációs kockázai prémiumo megakaríva olcsóbb forrásszerzési leheősége bizosíanak. Deacon e al., 2004 Bár a kibocsáók közö alálunk államoka és vállalaoka is, volumené ekinve messze az államok a legfonosabb szereplői e piacnak. Mivel az állami adóbevéelek erősen függnek az inflációól elsősorban a fogyaszási adókon kereszül, de például a bárinfláció megjelenik a jövedelem ípusú adókon kereszül is, ezér logikus lépés a forrás oldal egy részé is ehhez köni. Állami oldalról ráadásul jelzéséréke is van ennek a finanszírozási módnak: az adósság inflációhoz való horgonyzásával az állam érdekelé válik olyan gazdaságpoliiká folyani, mely bizosíja az alacsony, kiszámíhaó infláció. Vállalai oldalról elsősorban a kiskereskedelmi szekor jelenik meg kibocsáókén, hiszen az ő bevéelük függ legerősebben az inflációól. Befekeői oldalról vizsgálva, a őkeindexál kövény alkalmas lehe fedezési és spekulációs célra is. Fedezésre olyan szereplő arja, akinek a köelezeségei részben az inflációhoz kööek. A legjelenősebb ilyen szereplők a nyugdíjalapok pension funds, hiszen az álaluk fizee nyugdíjak gyakran inflációval korrigálak. Megemlíheők még a magánbefekeők is, hiszen álalában ők is a vagyonuk reálérékének megőrzésére örekednek a jövőbeni kiadások fedezésének érdekében. Spekulációs céllal akkor érdemes őkeindexál kövény aranunk, ha úgy véljük, az infláció magasabb lesz, min ami jelenleg a piac áraz. Ilyen ípusú műveleek elsősorban befekeési alapokra, hedge fundokra jellemzők. Jelenős indexál adósságporfólióval rendelkezik például az Egyesül Államok: márciusi adaok szerin a eljes adósság minegy 6,1%-á eszik ki a a Kincsári Inflációvéde Érékpapírok Treasury Inflaion-Proeced Securiies, TIPS. Unied Saes Deparmen of he Treasury, 2016 Abszolú érelemben kisebb, relaív érelemben azonban még jelenősebb indexál 6

9 adósságporfólióval rendelkezik az Egyesül Királyság: névéréken az összes kin levő állampapír minegy 25,7%-á eszik ki az inflációhoz kööek index-linked gils. Unied Kingdom Deb Managemen Office, 2016 A legjelenősebb indexál adósságporfólióval rendelkező Eurózóna-ag Franciaország: márciusi végi adaok szerin az összes kin levő állampapír 11,9%-a inflációköveő. Agence France Trésor, 2016 Franciaország különlegesnek számí ezen a éren egy másik szemponból is: rendelkezik olyan indexál államkövénnyel is, mely nem a sajá, hanem az Eurózóna inflációjához köö. Méreéből fakadóan persze Franciaország és az Eurózóna inflációja közö erős az összefüggés, de ez a disszonancia önmagában is vizsgála árgya lehene. Bár inkább egy inflációs-hibridnek, min klasszikus őkeindexál kövénynek ekinheő, de magyar vonakozása mia megemlíjük még a lakossági befekeőke célzó Prémium Magyar Államkövény. Az infláció e kövénynek csak a kuponjában jelenik meg az éves infláció és egy előre rögzíe kamaprémium összegekén, a őkerész nem kerül kiigazíásra Pénzügyi maemaikai alapismereek Az alábbiakban azoka a pénzügyi maemaikai fundamenumoka soroljuk fel, amelyek elengedheelenek a későbbi számolásokhoz. A éelek és definíciók kimondásával célunk alkalmazás- és szemléleorienál: Maringálmérék, ármérce-pár Álljon egy pénzügyi piac n darab szigorún poziív érékű kockázaos eszközből: S = S1,..., S n, mely adapál az Ω, A, F, P filrál valószínűségi mezőre. A Q i valószínűségi méréke az S i -hez arozó maringálméréknek nevezzük, ha ekvivalens P -vel, és S k S i maringál k {1,..., n}-re. Az S i, Q i pár ármérce-párnak hívjuk. Az eszközárazás alapéele I. és II. Egy piac arbirázsmenes akkor és csak akkor, ha léezik maringálmérék I., és eljes akkor és csak akkor, ha ez a maringálmérék egyérelmű II.. 7

10 Replikáló önfinanszírozó sraégia Egy = 1,..., n vekor érékű folyamao sraégiának nevezünk, ha F- re nézve adapál. Egy sraégia önfinanszírozó, ha d S = n i=1 i ds i, vagyis érékválozás csak a mögöes eszközök érékválozásából fakad. Továbbá egy sraégiá az X-hez arozó replikáló sraégiának hívunk, ha az X FT -mérheő valószínűségi válozóra: X = T ST, ω Ω-ra, vagyis örénjék bármi, a sraégia előállíja X-e. Árazási formula Az X FT -mérheő kifizeésfüggvénnyel meghaározo származao köveelés derivaíva éréké úgy definiáljuk, min az a legkisebb kezdőőke, amelyhez léezik replikáló önfinanszírozó sraégia. Ez a legkisebb őké adja meg az alábbi összefüggés: X V = S i E Qi S i T F, ahol S i, Q i ármérce-pár. A származao köveelés éréke függelen az ármérce-pár válaszásól. 8

11 3. Vasicek-modell az inflációra Inflációs modellünk azon az észrevéelen alapszik, hogy amennyiben az árindexe és a bankbeée is kereskede erméknek feléelezzük, az árazási formulá felírva a őkeindexál elemi kövény érékére a várhaó érékben éppen ez a ké ermék jelenik meg. A piac ára mond, vagyis kialakul egy kockázamenes mérék, így a szochaszikus folyamaainka is e mérék ala írjuk fel. Kézenfekvőnek lászik az árindex és a bankbeé helye a dinamiká ezek deriváljára, vagyis az inflációs ráára, illeve a rövid kamalábra felírni. Mindkeőre egy álaghoz visszahúzó folyamao feléelezünk a szokásos közgazdasági indoklás melle: az infláció és a rövid kamaláb sem szoko egy hosszúávú álagszinől úlzoan elávolodni. Modellünk szerin ehá a rövid kamaláb és az inflációs ráa dinamikája a Q kockázamenes mérék ala: dr = α r r r d + σr dw Q r, di = i i d + σi dw Q i. Mivel a piacon ké Wiener-folyama van jelen, ezér definiálunk egy korrelációs együhaó is: d W Q r, W Q i = ρ d. Bankbeének [jel.: B] nevezzük az a pénzügyi erméke, melynek időbeli alakulásá a d B = rb d differenciálegyenle, míg árindexnek [jel.: I] az a pénzügyi erméke, melynek időbeli alakulásá a d I = ii d differenciálegyenle írja le. A bankbeé és az árindex differenciálegyenleeinek megoldása: < T : BT = Be rs ds, illeve IT = Ie is ds. A Q mérék és a B bankbeé együ ármérce-pár alko, ehá a Q mérék min maringálmérék melle a bankbeéel oszva vagyis a bankbeée használva ármércefolyamakén maringáloka kapunk. 9

12 3.1. Tőkeindexál elemi kövény éréke A őkeindexál elemi kövény olyan pénzügyi ermék, amely garanál reálhozamo bizosí egy ado időinervallumra oly módon, hogy a fuamidő végén a lejárakori és a kibocsááskori árindexek hányadosá fizei ki egy összegben. A névéréke így önkényesen 1-nek válaszjuk, de az eredményeink a névérékkel szorozva ermészeesen álalánosíhaók Definíció. Tőkeindexál elemi kövénynek nevezzük az a pénzügyi erméke, melynek kifizeésfüggvénye XT = IT IT 0, T 0 < T, ahol T 0 a kibocsáás, T a lejára időponja. Keressük a őkeindexál elemi kövény éréké időponban, ahol ermészeesen T 0 T. Jelöljük ez P I, T 0, T -vel, ahol T 0 és T rögzíe paraméerek. Felírva az árazási formulá a bankbeée használva ármérce folyamakén: IT P I IT, T 0, T = BE 0 Q BT F = BE Q I IT 0 B Ie is ds IT 0 Be rs ds F. mérheő a feléeli filrációra, így ez kiemelheő a várhaó érékből, és B-vel egyszerűsíheünk is: P I, T 0, T = I IT 0 E Q e e is ds rs ds F = I IT 0 E Q e is ds = I IT 0 E Q e is rs ds rs ds F F. Mivel mind r, mind i Markov-folyama, ezér az F-re ve feléeles várhaó érék ekvivalens az {r, i}-re ve feléeles várhaó érékkel, vagyis: P I, T 0, T = I IT 0 E Q e is rs ds r, i Megoldás a differenciálegyenle felírásával P I,T 0,T = B I r,i,,t IT 0 V I B = I IT 0 V I r, i,, T. 1 a Q mérék ala maringál, vagyis a drifjének nullának kell lennie. Iô lemmájá alkalmazva kiszámoljuk ez a drife, melye nullával egyenlővé éve egy differenciálegyenlee fogunk kapni. 1 IT 0 konsans, így ez kiemeljük, majd felírjuk 10

13 Iô lemmájá a szorzafüggvényre, ahol az egyik ényező I B, a másik V I r, i,, T : 1 IT 0 d I V I r, i,, T B = 1 IT 0 = 1 I IT 0 d B V I r, i,, T I B d V I r, i,, T + V I r, i,, T d I B. 2 Szükségünk van d V I r, i,, T I -re és d -re. A parciális deriválaka alsó indexben B jelölve, és az argumenumoka elhagyva: d V I r, i,, T = = V I d + Vr I dr + Vi I di + Vri I d r, i V rr I d r V ii I d i. Visszahelyeesíjük dr- és di-, illeve a kvadraikus variációka: σ{r,i} 2 d-, majd összegyűjjük a d- és a dw Q {r,i}- aralmazó agoka: d V I r, i,, T = = V I = d + V I r [ αr r r d + σr dw Q r ] + V I i [ αi i i d + σi dw Q i ] + V I riσ r σ i ρ d V I rrσ 2 r d V I [ V I + Vr I α r r r + V I i i i + V I ri σ r σ i ρ V rrσ I r V ii I σi 2 ] d + V I r σ r dw Q r + V I i σ i dw Q i. ii σ 2 i d I A kövekező számolandó mennyiség d. I és B is korláos válozású folyama, így B hányadosuk deriváljában kvadraikus variáció és keresz kvadraikus variáció sem jelenik meg: I d B = d 1 I B = I d 1 B + 1 B d I = I r 1 B d + 1 I ii d = B B 3 i r d. 4 11

14 Visszahelyeesíve 4-e és 3-a 2-be: = 1 IT 0 d I IT 0 B Mivel d I maringál, a d-s agok együhaójának nullának kell lennie. Kiemelve V I I V I r, i,, T = B [ V I + Vr I α r r r + V I i i i + V I ri σ r σ i ρ V I ] + V I r σ r dw Q r + V I i σ i dw Q i r,i,,t IT 0 V I B V I r, i, T, T = 1 rrσ 2 r V I + V I I i r d. IT 0 B ii σ 2 i d I IT 0 B - így egy differenciálegyenlee kapunk V I -re: + V I r α r r r + V I i i i + V I riσ r σ i ρ V I rrσ 2 r V I ii σ 2 i + V I i V I r = 0 peremfeléel melle Sejés. 5 megoldása V I r, i,, T = e AI,T C,T r+d,t i alakú, vagyis affin szerkezeű. A feléeleze V I r, i,, T függvényre felírjuk a parciális deriválaka: V I = V I A I C r + D i, V I r = V I C, V I i = V I D, V I ri = V I CD, V I rr = V I C 2, V I ii = V I D 2. Behelyeesíve a parciális deriválaka 5-be az alábbi differenciálegyenlee kapjuk: V I A I α r rc + id σ r σ i ρcd σ2 rc σ2 i D 2 C r + α r Cr r + D i Di + i = 0 6 A I T, T CT, T r + DT, T i = 0 peremfeléel melle. 6 megoldásá r, i melle keressük. Ha r = i = 0, akkor a peremfeléelből kövekezik, hogy A I T, T = 0, ha r 0 és i = 0 akkor CT, T = 0, és hasonlóan ha r = 0 és i 0 akkor DT, T = 0. Így három egymásól különálló peremfeléel kapunk. V I r, i,, T > 0, hiszen a őkeindexál elemi kövény éréke haározoan poziív. 5 12

15 Használhajuk ehá az előző gondolamenee magára a differenciálegyenlere is, ami így három különálló differenciálegyenlere esik szé: A I α r rc + id σ r σ i ρcd σ2 rc σ2 i D 2 = 0, ha r = i = 0, 7 C + α r C 1 = 0, ha r 0 és i = 0, 8 D D + 1 = 0, ha r = 0 és i és 9 lineáris, inhomogén differenciálegyenleek megoldása: C, T = α r C, T 1 C, T = 1 eαr T α CT, T = 0 r α r D, T = D, T 1 D, T = 1 e T α DT, T = 0 i = 1 e αrt α r, = 1 e αit. 7-ben csak A I, T, C, T és D, T szerepel, így uóbbiak ismereében A I, T már egyszerű inegrálással számolhaó: A I T, T A I, T = 0 A I, T = A I, T = A I s, T ds A I s, T ds A I s, T ds 7-hez szükségünk van még C, T D, T -re, C 2, T -re és D 2, T -re: C, T D, T = e αr+t e αrt e T + 1 α r, C 2, T = e 2αrT 2e αrt + 1 Így ehá: A I, T = α 2 r, és D 2, T = e 2T 2e T + 1. αi 2 r e αrt s 1 i e T s 1 σ rσ i ρ e α r+ T s e αrt s e T s + 1 α r 2 e 2α rt s 2e αrt s + 1 σr α r σi 2 e 2 T s 2e T s + 1 ds

16 Inegrálás uán a kövekező kapjuk: 1 e A I α rt 1 e T, T = r T i T α r σ rσ i ρ 1 e α r+ T 1 e αrt 1 e αit + T α r α r + α r σr 1 e 2α rt 2 1 e αrt + T 2 α r 2α r α r σi 1 e 2 T 2 1 e αit + T 2 2 Mind C, T = 1 e αrt α r ezekkel kifejezve A I, T -:, mind D, T = 1 e T gyakran visszaköszön, úgyhogy A I, T = C, T r + σ rσ i ρ 1 α 2 r σr α r C, T + 2 α r α r + 2α r + D, T i + σ rσ i ρ 1 α 2 i σi D, T + 2 α r α r + 2α i 2 + C, T D, T σ rσ i ρ + T i r σ σ r rσ i ρ α r + σ i + α r + α r A T 0 -ban kibocsáo, T -ben lejáró őkeindexál elemi kövény éréke -ben ehá: P I, T 0, T = I IT 0 eai,t C,T r+d,t i Megoldás a várhaó érék kiszámíásával A számolandó mennyiség 1 szerin: P I, T 0, T = I IT 0 E Q e is rs ds r, i. Szükségünk van ehá is rs ds eloszlására, ahol mind rs, mind is Ornsein Uhlenbeck folyama. Szochaszikus differenciálegyenleük megoldásához felírjuk Iô lemmájá az f x, = xe α függvényre, ahol x = α x x d + σ dw = 14

17 αx d αx d + σ dw : d f x, = d xe α = f d + f x dx + f xx d x = αxe α d + e α αx d αx d + σ dw + 0 = αxe α d + σe α dw. A folyama növekménye ismereével felírhaó a szochaszikus differenciálegyenle megoldása: s : xse αs = xe α + xs = xe αs + αx s s αxe αu du + e αs u du + σ xs = xe αs + x 1 e αs + σ s s s σe αu dw u e αs u dw u e αs u dw u. xs Gauss-folyama, ahol az első ké ag haározza meg a várhaó éréke, míg a harmadik ag a varianciá. Így már felírhaó is rs ds: is rs ds = ie αis + i 1 e s re αrs r 1 e αrs ds s s + σ i e αis u dw Q i u ds σ r e αrs u dwr Q u ds. 11 első négy agja haározza meg ehá a várhaó éréke: E Q is rs ds = i 1 e T + i T 1 e T 1 e αrt 1 e αrt r r T. α r α r 11 Az korábbiakhoz hasonlóan legyen C, T = µ = E Q 1 e αrt α r és D, T = 1 e T : is rs ds = D, T i i C, T r r + T i r. 11 második ké agja haározza meg a varianciá. Ennek kiszámíásához először az inegrálás sorrendjé kell felcserélnünk, melyhez a szochaszikus Fubini-éel Karazas és 15

18 Shreve, 1991 ad ámasz. Az inegrálás a u s T háromszögarományon végezzük, így a haárok az alábbi módon váloznak: σ s e αs u dw u ds = σ u e αs u ds dw u = σ αt u 1 e dw u. α ben ké 12 ípusú inegrál különbsége szerepel, viszon a Wiener-folyamaok korrelálak! Á udunk érni azonban ké korrelálalan ami ebben az eseben a függelenséggel ekvivalens Wiener-folyama szerini inegrálra a dwr Q = ρ dw Q i 1 ρ 2 d W Q i összefüggés segíségévél, ahol d W Q i, W Q i = 0. Így ehá: σ i Du, T dw Q i u = σ r Cu, T dw Q r u = [ σi Du, T σ r ρcu, T ] dw Q i u + σ r 1 ρ2 Cu, T d W Q i u mindké agja nulla várhaó érékű normális eloszlású valószínűségi válozó, melyek immár korrelálalanok függelenek is. Varianciájuk az Iô-izomeria Karazas és Shreve, 1991 segíségével számolhaó: D 2 X = EX 2 E 2 T 2 X = E fu dw u 0 = T E f 2 u du = f 2 u du, ahol fu deerminiszikus függvény. A függelenség mia az együes varianciájuk egyszerűen a varianciák összegekén megkaphaó, vagyis ké deerminiszikus függvény négyzeének az inegráljá kell számolnunk a Lebesgue-mérék szerin: D 2 Q is rs ds = = = = + σr α r σi 2 σ rσ i ρ α r 2 2 σ i Ds, T σ r ρcs, T ds + σ r 1 ρ2 Cs, T ds σrc 2 2 s, T 2σ r σ i ρcs, T Ds, T + σi 2 D 2 s, T ds 2 1 e 2α rt 2 1 e αrt + T 2α r α r 2 1 e 2 T 2 1 e αit + T 2 1 e α r+ T α r + 1 e αrt α r 1 e αit + T. 16

19 Visszahelyeesíve C, T = 1 e αrt α r ν 2 = D 2 Q is rs ds = σ r σ i ρ = C, T 2 α r α r σ r σ i ρ + D, T 2 α r és D, T = 1 e T -: σr α r σi + 2 σ rσ i ρ α r + C, T D, T + T 2 α r C, T D, T + 2 σr α r 2 2 σ rσ i ρ α r + σi 2. is rs ds ehá egy normális eloszlású valószínűségi válozó µ várhaó érékkel és ν 2 varianciával. Ennek exponenciálisa lognormális eloszlású valószínűségi válozó e µ+ ν2 2 várhaó érékkel. Így végül ehá a őkeindexál elemi kövény éréke: P I, T 0, T = I IT 0 E Q e T is rs ds = I ν 2 IT 0 eµ+ 2, mely éppen megegyezik az előző szakaszban számol érékkel Összeveés a Vasicek-modellel Ha elimináljuk az infláció a modellből, akkor a őkeindexál elemi kövény éréke meg kell hogy egyezzék a nominális elemi kövény érékével. Ez az jeleni, hogy a Vasicekmodell Vasicek, 1977 aralmaznia kell az álalunk definiál modellnek a kövekező paraméerválaszással: IT 0 = I = 1, σ i = 0, i = 0, ovábbá = 0 és/vagy i = 0. Ez egy ellenőrzési pono bízosí számunkra nézzük meg ehá az az esee, ha σ i = i = i = 0 és > 0! Ekkor A I, T -ben 10 D, T együhaója nulla, mer minden agja nulla. C, T D, T együhaója is nulla, T együhaójából pedig 2 mindössze σ2 r σ r marad. C, T együhaójából csak r r 2α 2 αr r 2α r C, T + 2 marad. Jelölje A, T az ezekkel a megszoríásokkal felír A I, T -, és írjuk is ez fel: 2 σr A, T = C, T r αr C, T + 2 σ 2 + T r r. 14 2α r 2αr 2 17

20 Így végül P I, T 0, T = I IT 0 eai,t C,T r+d,t i az alábbira egyszerűsödik: P I, T 0, T = P, T = e A,T C,T r, ahol C, T = ami ekvivalens a Vasicek modellben számol elemi kövény árfolyammal. 1 e αrt α r, 3.3. Forward görbék 3.2. Definíció inflációs várakozások. Az árindexre vonakozó várakozások időbeli függvényé az inflációval visszakorrigál őkeindexál és a nominális elemi kövények hányadosával definiáljuk: Î, T =. IT 0 P I,T 0,T = P I,,T. I P,T P,T 3.3. Definíció forward ráák. Nominális forward ráának nevezzük a kamaömeg növekményé, vagyis a lejára szerini deriváljá: f, T = log 1 = log P, T, T P,T T míg forward inflációs ráának nevezzük az árindexre vonakozó várakozások növekményé, vagyis a lejára szerini deriváljá: f I, T = log Î, T = log P I,,T. T T P,T Lássuk milyen forward görbéke definiál a modellünk! f, T = T log P, T = A T, T + C T, T r = e αrt r A T, T. A T, T 14 alapján egyszerű deriválással számolhaó lenne, de más ua válaszunk. 7 alapján i = σ i = 0 válaszással kapjuk, hogy A, T = α r rcs, T σ2 rc 2 s, T ds, így persze A T, T = α r r Cs, T + 1 T 2 σ2 r T C2 s, T ds. Sajnos az inegrandusban a C, T függvény második válozó szerini deriváljai szerepelnek, míg az inegrál az első válozóra vonakozik. Vegyük észre azonban, hogy C, T = e αrt = C T, T! Áírva ehá a deriválaka: A T, T = α r r s Cs, T 1 2 σ2 r A T, T ismereében már felírhaó a nominális forward görbe: s C2 s, T ds = α r rc, T σ2 rc 2, T. f, T = re αrt + r 1 e αrt σ2 r 1 e α rt 2. 2αr 2 Hasonló a gondolamene az forward inflációs görbe eseén is: f I, T = T log Î, T = T log P I,, T T 18 log P, T = T log P I,, T +f, T.

21 A második ag éppen f, T, vagyis T log P I,, T -re van szükségünk: T log P I,, T = [ log I + A I, T C, T r + D, T i ] T = A I T, T C T, T r + D T, T i = A I T, T e αrt r + e T i. C T, T -vel és D T, T -vel könnyen elbánunk, ismé A I T, T okoz nehézsége. Próbáljunk meg ez eseben is deriválás nélkül számolni! 7 alapján: A I T, T = α r r T Cs, T + i T Ds, T σ rσ i ρ T σ2 r Cs, T Ds, T T C2 s, T σ2 i T D2 s, T ds. Az előzőekhez hasonlóan igaz, hogy C, T = C T, T, illeve D, T = D T, T, így: A I T, T = α r r s Cs, T i s Ds, T + σ rσ i ρ Cs, T Ds, T s 1 2 σ2 r s C2 s, T 1 2 σ2 i s D2 s, T ds = α r rc, T + id, T σ r σ i ρc, T D, T + σ2 r 2 C2, T + σ2 i 2 D2, T. Felírva f I, T -, öbb ag is ellenées előjellel szerepel akik így ki is esnek, így a kövekező kapjuk: f I, T = ie T + i 1 e T σ rσ i ρ α r 1 e α rt 1 e T + σ2 i 2α 2 i 1 e T 2. A nominális forward görbe az {1, e αrt, e 2αrT } függvények, míg az inflációs forward görbe az {1, e αrt, e αrt, e αr+t, e 2T } függvények lineáris kombinációja, vagyis a valós függvényér három, illeve ö dimenziós aleré alkoják. Ebből kövekezik, hogy eszőleges forward görbéke és így hozam és inflációs görbéke a modell nem képes replikálni

22 [%] α r = 0.5 r = 0.1 σ r = 0.1 r 0 = 0.02 = 0.5 i = 0.07 σ i = 0.1 i 0 = 0.01 α r = 0.8 r = 0.1 σ r = 0.35 r 0 = 0.05 = 0.8 i = 0.05 σ i = 0.1 i 0 = 0.03 α r = 0.5 r = 0.05 σ r = 0.2 r 0 = 0.1 = 0.6 i = 0.05 σ i = 0.1 i 0 = 0.01 ρ = 1 [%] 6 ρ = 0 4 [%] Lejára [év] Lejára [év] Lejára [év] ρ = 1 1. ábra. Tipikus hozam- és inflációs-görbék 3.4. Definíció hozamgörbe, inflációs görbe. Az elemi kövények éves álagos hozamá a fuamidő függvényében ábrázolva kapjuk a hozamgörbé: y, T = 1 log P,T T log 1 = T P,T, míg az árindexre vonakozó várakozások évesíe éréké a fuamidő függvényében ábrázolva kapjuk az inflációs várakozások görbéjé: y I, T = log Î,T T = 1 T log P I,,T P,T. Lássunk néhány példá a modell álal definiál hozam- és inflációs görbére különböző paraméerek melle! A Vasicek-modell eredményeképpen három ipikus hozamgörbé kaphaunk eredményül: emelkedő, csökkenő, illeve púpos, ezekre egy-egy példa láhaó az 1. ábrán egy-egy inflációs görbével együ. Az egy oszlopban szereplő görbék egyedül a korrelációban érnek el egymásól. Az ábrákon egyérelműen megfigyelheő a 15-ben negaív előjellel szereplő korrelációs muaó, hiszen az erős poziív korreláció mind a három 20

23 eseben benyomja az inflációs görbé a hozamgörbe alá. Erre a jelenségre közgazdasági magyarázao is alálhaunk: az infláció és a rövid kamaláb közöi erős poziív korreláció illeszkedik ahhoz a szokásos jegybanki viselkedéshez, amikor a növekvő infláció az alapkama növelésével hűik vissza, míg a defláció elkerülésére az alapkamao csökkenik. Ennek a jegybanki viselkedésnek kövekezménye, hogy az ex ane reálhozamok álalában poziívak, vagyis az inflációs várakozások görbéje a hozamgörbe ala fu, melye a modellünk kereein belül éppen erős poziív korreláció eseén láunk Tőkeindexál elemi kövényre szóló opció éréke 3.5. Definíció. Tőkeindexál elemi kövényre szóló call opciónak nevezzük az a pénzügyi erméke, melynek kifizeésfüggvénye: XU = P I U, T 0, T K +. Három időpon érdekes számunkra: időponban keressük annak az opciónak az éréké, mely U-ban jogo bizosí arra a befekeőnek, hogy az T 0 -ban kibocsáo és T -ben lejáró őkeindexál elemi kövény K áron megvehesse. Természeesen így T 0 < U T. A klasszikus elemi kövénnyel szemben ebben az eseben van érelme az U = T esenek is, hiszen a őkeindexál elemi kövény éréke T -ben is egy valószínűségi válozó: ekkor fizei ki a fuamidő ala felhalmozo inflációs hozamo. Felírjuk az árazási formulá a bankbeée használva számláló folyamakén: P I U, T 0, T K + c, T 0, U, T, K = BE Q BU F. A számláló keébonhaó a χ indikáorfüggvény segíségével: c, T 0, U, T, K = = BE Q P I U, T 0, T BU χ {P I U,T 0,T >K} 1 F KBE Q BU χ {P I U,T 0,T >K} F. Mindké ag eseén az ármérce folyamao szerenénk lecserélni oly módon, hogy a várhaó érékeken belül csak az indikáorfüggvények maradjanak. Az első agban olyan ármérce folyamara van szükségünk, mely U időponban P I U, T 0, T éréke vesz fel, ehhez 21

24 P I, T 0, T éppen megfelelő lesz, míg a második agban olyan folyamara van szükségünk, mely U időponban 1 éréke vesz fel, ez P, U eljesíi. Az ármérce folyamaok lecserélésével azonban a valószínűségi mérékek is megváloznak: T I -vel fogjuk jelölni az a méréke, mely melle P I, T 0, T -vel oszva, illeve U-val az a méréke, mely melle P, U-val oszva maringáloka kapunk. Így ehá: c, T 0, U, T, K = = P I, T 0, T E TI χ{p I U,T 0,T >K} F KP, UEU χ{p I U,T 0,T >K} F. Az indikáorfüggvények várhaó éréke éppen a valószínűséggel ekvivalens, így: c, T 0, U, T, K = = P I, T 0, T P TI P I U, T 0, T > K F KP, UP U P I U, T 0, T > K F. Ké különböző mérék ala van ehá szükségünk a P P I U, T 0, T > K F valószínűségre. Ezek számolásához először bünelenül oszunk P U, U-val, hiszen az U-ban lejáró elemi kövény éréke U-ban éppen 1. Erre az oszásra azér van szükségünk, mer így olyan folyamaoka kapunk, melyek az ado mérék ala maringálok, és így ki udjuk számolni a dinamikájuka, aminek ismereében az U időponbeli eloszlásuka is. P TI P I U, T 0, T > K F P I U, T 0, T = P TI > K P U, U F P U, U = P TI P I U, T 0, T < 1 K F, 16 P U P I U, T 0, T > K F P I U, T 0, T = P U > K P U, U F. 17 Lássuk először 17-e! Szükségünk van P I,T 0,T dinamikájára, ehhez írjuk fel a hányadosra Iô lemmájának sorozaá élve azzal az egyszerűsíéssel, hogy a d-s agok P,U együhaójá nem számoljuk ki: d P I, T 0, T P, U = 1 P, U d P I, T 0, T P I, T 0, T d P 2 P, U, U 1 P 2, U d P I, T 0, T, P, U + P I, T 0, T P 3, U d P, U. 22

25 Szükség van ehá d P I, T 0, T -re és d P, U-ra: d P I, T 0, T = = 1 IT 0 I d e AI,T C,T r+d,t i + e AI,T C,T r+d,t i d I. Mos szükségünk van d e AI,T C,T r+d,t -re és d I-re. Az előbbi eseén a d-s agok együhaójá nem számoljuk ki, hiszen később a maringálmérékre áérve ez úgyis el fog űnni. d e AI,T C,T r+d,t i = = e AI,T C,T r+d,t i d I = ii d.... d σ r C, T dwr Q + σ i D, T dw Q i, Ezek ismereében d P I, T 0, T, illeve analóg módon d P, U már felírhaó: d P I, T 0, T = P I, T 0, T... d σ r C, T dwr Q + σ i D, T dw Q i, d P, U = P, U... d σ r C, U dw Q r. Ismerve d P I, T 0, T - és d P, U-, d P I,T 0,T P,U is felírhaó: d P I, T 0, T P, U = = P I, T 0, T P, U Az U mérék ala d P I,T 0,T P,U d P I, T 0, T P, U [ ]... d + σ r C, U C, T dw Q r + σ i D, T dw Q i. 18 = P I, T 0, T P, U maringál, vagyis áérve erre a mérékre a d-s ag elűnik: [ ] σ r C, U C, T dw U r + σ i D, T dwi U egy geomeriai Brown-mozgás, melye ké korrelál Wiener-folyama haj meg. Mivel a korrelációs srukúrá az ekvivalens mérékcsere nem válozaja meg, ismé alkalmazhajuk a dwi U = ρ dwr U + 1 ρ 2 d W r U összefüggés, ahol d Wr U, W r U = 0: P I, T 0, T d = P I, T 0, T [σr C, U C, T + σi ρd, T ] dwr U P, U P, U + σ i 1 ρ2 D, T d W r U. 23

26 Térjünk á a kövekező jelölésekre: ψ 1 = σ r C, U C, T + σi ρd, T, ψ 2 = σ i 1 ρ2 D, T, X = P I, T 0, T. P, U P Ezekkel a jelölésekkel felírva d I,T 0,T - a kövekező kapjuk: P,U d X = X ψ 1 dwr U + ψ 2 d W r U. A szochaszikus differenciálegyenle megoldásához írjuk fel Iô lemmájá a log X függvényre: d log X = 1 X d X X 2 d X, X d log X = ψ 1 dw U r + ψ 2 d W U r 1 2 ψ2 1 d 1 2 ψ2 2 d log XU = log X + XU = e log X+ U U ψ 1 s dw U r s + U ψ 1 s dwr U s+ U ψ 2 s d W r U s 1 U 2 ψ 2 s d W U r s 1 2 U ψ 2 1s + ψ 2 2s ds ψ 2 1 s+ψ2 2 s ds. 20 XU = P I U,T 0,T az U mérék ala ehá egy lognormális eloszlású valószínűségi válozó, ahol a mögöes normális eloszlású valószínűségi válozó várhaó éréke log X P U,U 1 2 U ψ 2 1s + ψ 2 2s ds = log X 1 2 Ψ2, U, a varianciája pedig az Iô-izomeria Karazas és Shreve, 1991 érelmében U ψ 2 1s + ψ2s 2 ds = Ψ 2, U. Ezek ismereében már számolhaó a szükséges valószínűség 17: P I U, T 0, T P U > K P U, U F = Φ log P I,T 0,T 1 P,UK 2 Ψ2, U = Φd. 21 Ψ, U 16 számolásához szükségünk van P,U dinamikájára a T P I,T 0,T I mérék ala. A Q mérék alai dinamika 18 alapján számolhaó, ha felírjuk Iô lemmájá a reciprok függvényre: P, U d P I, T 0, T = P 2, U P I 2, T 0, T d P I, T 0, T P, U = P, U P I, T 0, T + P 3, U P I 3, T 0, T d P I, T 0, T P, U [ ]... d σ r C, U C, T dw Q r σ i D, T dw Q i 24.

27 A T I mérék ala d P, U P I, T 0, T P,U P I,T 0,T P, U = P I, T 0, T maringál, vagyis a d-s ag kiesik: σ r [ C, U C, T ] dw T I r Ismé áérünk ké függelen Wiener-folyamara a dw T I függés segíségével, bevezejük az Y = i = ρ dw T I r + 1 ρ 2 d W T I r össze- jelölés, valamin felhasználjuk a korábbi ψ 1, és ψ 2 jelöléseke: d Y = Y P,U P I,T 0,T ψ 1 dw T I r σ i D, T dw T I i. ψ 2 d W T I r. Ez a szochaszikus differenciálegyenle a korábbival csaknem azonos, és a megoldása is mindössze ké előjelben ér el 20-ól: P U, U P I U, T 0, T Y U = Y U = elog ψ 1 s dw T I r s U ψ 2 s d W T I r s 1 U 2 ψ1 2s+ψ2 2 s ds. Az exponenciálisban lévő normális eloszlású valószínűségi válozó várhaó éréke az előzőekhez hasonlóan log Y 1 2 Ψ2, U, a varianciája pedig ismé Ψ 2, U, hiszen függelen normális eloszlású valószínűségi válozók összegének és különbségének a varianciája egyarán a varianciák összegével egyenlő. Ezek ismereében ismé számolhaó a szükséges valószínűség 16: P U, U P TI P I U, T 0, T < 1 K F = Φ log P I,T 0,T + 1 P,UK 2 Ψ2, U = Φd Ψ, U A eljességhez azonban adósok vagyunk még U ψ 2 1s + ψ2s 2 ds = Ψ 2, U-val, ahol ψ 1 = σ r C, U C, T + σi ρd, T, illeve ψ 2 = σ i 1 ρ2 D, T. Lássuk először a négyzeösszege! ψ ψ 2 2 = σ 2 rc, U C, T 2 + 2σ r σ i ρc, U C, T D, T + σ 2 i D 2, T = σ 2 rc 2, U 2σ 2 rc, UC, T + σ 2 rc 2, T + 2σ r σ i ρc, UD, T 2σ r σ i ρc, T D, T + σ 2 i D 2, T. Ha ag -ől U-ig ve inegráljára van szükségünk, ahol persze C, T = D, T = 1 e T 1 e αrt α r. Az inegrálok nehézségé az adja, hogy egy ago leszámíva a 25 és

28 felső haár nem egyezik meg az inegrandusok második válozójával. Tagonkén elvégezzük az inegrálásoka és az eredményeke a C, és D, függvényekkel kifejezve írjuk fel. Lássuk először a négyzefüggvények inegráljai: U C 2 s, U ds = 1 α r αr 2 2 C2, U C, U + U, U U C 2 s, T ds = 1 α 2 r αr 2 C2 U, T + CU, T α r 2 C2, T C, T + U αi 2 D2 U, T + DU, T α i 2 D2, T D, T + U D 2 s, T ds = 1 αi 2 Mos kövekezzenek a szorzafüggvények inegráljai: U CU, T C, U C, T αr C, UC, T,. Cs, UCs, T ds = 1 α 2 r 2 + U, U U Cs, UDs, T ds = 1 αr DU, T C, U α r D, T α r α r + α r C, UD, T + U, α r + Cs, T Ds, T ds = 1 αi CU, T + α r DU, T C, T α r D, T α r α r + + α r CU, T DU, T α r C, T D, T + U. α r + Az inegrálok ismereével alapos áalakíás uán már felírhaó a kerese függvény: Ψ 2, U = σ2 r C 2 U, T C 2, T C 2, U + C, UC, T α r 2 + σ2 i D 2 U, T D 2, T DU, T D, T + U σ [ rσ i ρ C, T C, U CU, T + D, T C, T C, U α r + α r ] DU, T CU, T. Így végül ehá a őkeindexál elemi kövényre szóló call opció éréke: c, T 0, U, T, K = P I, T 0, T Φd + P, UKΦd, d ± = log P I,T 0,T ± 1 P,UK 2 Ψ2, U. Ψ, U ahol 26

29 3.5. Zéró-kupon inflációs csereügyle éréke A zéró-kupon inflációs csereügyle zero coupon inflaion-indexed swap, ZCIIS egy olyan derivaív szerződés, melyben a felek a fuamidő végén egy előre rögzíe, fix nominális hozamo [ 1 + K T T 0 1 ] [ ] és a fuamidőre vonakozó lebegő inflációs hozamo IT 1 IT 0 cserélik el egymással Definíció. A zéró-kupon inflációs csereügyle az a derivaíva, melynek kifizeésfüggvénye: XT = IT IT KT T 0. Ennek a derivaívának az éréke a őkeindexál és a nominális elemi kövény érékével könnyen kifejezheő. Felírjuk az árazási formulá: IT ZCIIS, T 0, T, K = BE 1 + IT 0 KT T 0 Q BT F IT IT = BE K T T Q BT F 0 BE Q BT F IT IT = BE 0 Q BT F 1 + K T T 0 1 BE Q BT F. 1+K T T 0 konsans, így ez ki uduk emelni a várhaó érékből. Észrevehejük, hogy az első ag éppen egy T 0 -ban kibocsáo, T -ben lejáró őkeindexál elemi kövény éréke időponban, míg a második ag egy T -ben lejáró nominális elemi kövény -beli érékének konsansszorosa: ZCIIS, T 0, T, K = P I, T 0, T 1 + K T T 0 P, T. 23 Felveődhe még kérdéskén, hogy a szerződés megköésének pillanaában mekkora nominális hozamban egyeznek meg a felek. A szerződés megköésekor nincs pénzmozgás, a derivaíva érékének nullának kell lennie. A 23-beli összefüggés felírjuk = T 0 -ra, és ez nullával egyenlővé éve egy egyenlee kapunk K-ra: ZCIIST 0, T 0, T, K = P I T 0, T 0, T 1 + K T T 0 P T 0, T = 0 K-ra való árendezés uán az alábbi, várakozásainknak megfelelő eredmény kapjuk: P K = I T T T 0 0, T 0, T 1 = T T 0 ÎT 0, T 1, P T 0, T vagyis kibocsááskor éppen a piac álal árazo infláció kerül rá a papírra. 27

30 3.6. Zéró-kupon inflációs floorle éréke A zéró-kupon inflációs floor zero coupon inflaion floor, ZCIF a magas infláció ellen nyúj bizosíás: akkor örénik kifizeés, ha a fuamidő ala az infláció nagyobb vol, min egy előre rögzíe nominális hozam Definíció. A zéró-kupon inflációs floor az a derivaíva, melynek kifizeésfüggvénye: XT = IT IT 0 KT T A derivaíva időponbeli éréké számoljuk ki, ahol T 0 formulá: IT 1 + IT 0 KT T 0 ZCIF, T 0, T K, = BE Q BT < < T. Felírjuk az árazási + F. Vegyük észre, hogy ez a feladao már megoldouk! Ez a derivaíva a őkeindexál elemi kövényre szóló call opciónak az a speciális esee, amikor a mögöes ermék vagyis a őkeindexál elemi kövény lejáraa és az opció lehívási időponja éppen egybeesik, vagyis U = T. Így ehá: ZCIF, T 0, T, K = c, T 0, T, T, K = P I, T 0, T Φd + P, T KΦd, d ± = log P I,T 0,T ± 1 P,T K 2 Ψ2, T, illeve Ψ, T Ψ 2, T = σ2 i T D2, T D, T, és 2 D, T = 1 e T. ahol 28

31 4. Hull-Whie-modell az inflációra Előző modellünk legnagyobb kriikája, hogy eszőleges hozamgörbé és inflációs görbé nem képes reprodukálni, vagyis nem udunk a modell kereein belül a piachoz kalibrálni. Ez a problémá a modell Hull-Whie ípusú Hull és Whie, 1990 módosíásával igyekszünk orvosolni: megengedjük, hogy mind a rövid kamaláb, mind az inflációs ráa álagszinje időől függő legyen: dr = α r r r d + σr dw Q r, di = i i d + σi dw Q i, ahol mind rt, mind it deerminiszikus függvények. A rövid kamalába és az inflációs ráá meghajó Wiener-folyamaok közöi korreláció ovábbra is d W Q r, W Q i = ρ d definiálja. A megoldás menee analóg az előző szakaszban árgyalakkal, így i csak vázlaos levezeés adunk. A őkeindexál és a sandard elemi kövények éréké a kövekező kifejezések adják: P, T = E Q e T rs ds r = V r,, T, P I, T 0, T = I IT 0 E Q e T is rs ds r, i = I IT 0 V I r, i,, T. Mivel P,T = V r,,t és P I I,T 0,T r,i,,t IT = 0 V I a Q mérék ala maringálok, B B B B drifjüknek nullának kell lennie. Iô lemmájának öbbszöri alkalmazása uán a d-s agoka nullával egyenlővé éve a kövekező differenciálegyenleekhez juunk: V + V r r r V rrσr 2 V r = 0, V r, T, T = 1 V I V I r, i, T, T = 1 peremfeléel melle, valamin + V I r α r r r + V I i i i + V I riσ r σ i ρ V I rrσ 2 r V I ii σ 2 i + V I i V I r = 0, peremfeléel melle. A differenciálegyenleek megoldásai ismé V r,, T = e A,T C,T r, illeve V I r, i,, T = e AI,T C,T r+d,t i alakban keressük. Behelyeesíés uán a kövekező differenciálegyen- 29

32 le-rendszerekhez juunk: A α r rc σ2 rc 2 = 0, ha r = 0, C + α r C 1 = 0, ha r 0, A I α r rc + id σ r σ i ρcd σ2 rc σ2 i D 2 = 0, ha r = i = 0, C + α r C 1 = 0, ha r 0 és i = 0, D D + 1 = 0, ha r = 0 és i 0. Mivel a megoldás r, i melle keressük, a peremfeléelek a V r, T, T = V I r, i, T, T = 1 feléelekből kövekeznek: AT, T = A I T, T = CT, T = DT, T = 0. A C, T és D, T függvényekre vonakozó egyenleek megoldása ermészeesen a korábbiakkal azonos: C, T = ehá, hogy: A, T = A I, T = 1 e αrt α r és D, T = 1 e T. A korábbiakhoz hasonlóan kövekezik α r rscs, T σ2 rc 2 s, T ds, valamin α r rscs, T + isds, T σ r σ i ρcs, T Ds, T + σ2 r 2 C2 s, T + σ2 i 2 D2 s, T ds. A feni inegráloka nem udjuk explici kiszámolni, hiszen rt és it függvényeke nem ismerjük, de célunk is épp fordío: megfigyel nominális hozamgörbéhez és inflációs görbéhez szerenénk illeszeni a modell. Lássuk ehá milyen forward görbéke udunk reprodukálni: f, T = T log P, T = re αrt A T, T, f I, T = T log Î, T = T log P I, T 0, T T illeve log P, T = T log P I, T 0, T + f, T = ie T A T, T + A I T, T. A T, T és A I T, T meghaározásához szükségünk lenne C T, T -re és D T, T -re, de a számolás egyszerűsíése érdekében ismé felhasználjuk, hogy C T, T = C, T = 30

33 e αrt, illeve D T, T = D, T = e T. Így ehá: A T, T = A I T, T = A T, T + α r rse αrt s ds + σ2 r 2 C2, T, Ezek ismereében felírhajuk a forward görbéke: f, T = re αrt + f I, T = ie T + ise T s ds σ r σ i ρc, T D, T + σ2 i 2 D2, T. α r rse αrt s ds h,t { }} { σ 2 r 2 C2, T, ise T s ds + σ2 i 2 D2, T σ r σ i ρc, T D, T. } {{ } h I,T Tegyük fel, hogy eszőleges időpillanaban megfigyelünk a piacon egy nominális és egy inflációs forwardgörbé, ezeke jelöljük f, T -vel és f I, T -vel. Ekkor a felada az, hogy rögzíe α r,, σ r, σ i, ρ paraméerek melle megmondjuk rt és it függvényeke, hogy f, T = f, T, illeve f I, T = f I, T eljesüljön. Vegyük észre, hogy az első ké ag mindké eseben f, T, illeve f I, T eseében is éppen egy lineáris inhomogén differenciálegyenle megoldása. T g, T = α rg, T + α r rt g, T = re αrt + g, = r Írjuk fel ehá f, T - g, T segíségével, és fejezzük ki rt -: f, T = g, T h, T f, T + h, T = g, T T f, T + T h, T = α rg, T + α r rt T f, T + T h, T = α f, r T α r h, T + α r rt. Tehá a kerese függvény: rt = 1 α r T f, T + 1 α r α r rse αrt s ds T h, T + f, T + h, T. Ugyanez a gondolamene alkalmazhaó it eseében is, mindössze ké előjelben van válozás: it = 1 T f I, T 1 T hi, T + f I, T h I, T. 31

34 Visszahelyeesíve végül a h, T és h I, T függvényeke, valamin elvégezve a deriválásoka: rt = f, T + 1 α r T f, T + σ2 r 1 e 2α rt, 2αr 2 it = f I, T + 1 T f I, T σ2 i 1 e 2 T 2αi 2 + σ rσ i ρ 1 e α rt α r + 1 e αit αrt e. Teszőleges deriválhaó nominális és inflációs forward görbéhez ehá a feni módon kalibrálhaó a modell. Bár a hozam- és inflációs görbe illeszésével a piac egy részé sikerül reprodukálnunk, e öbbfakoros Hull-Whie ípusú modellünk is kevésnek bizonyul amin más likvid ermékhez is illeszeni szerenénk: inflációs cap és floor ügyleek éréke a köési árfolyam függvényében rendszerin mosoly alakú szoko lenni, melye ez a modell nem képes reprodukálni Dodgson és Kainh,

35 5. Összegzés Dolgozaunk célja árazási modellek felállíása vol olyan ermékekre, melyekben explici módon megjelenik az inflációs kockáza. Köveve a kamalábmodellek álal kijelöl úvonala, az inflációra és a rövid kamalábra is álaghoz visszahúzó dinamiká feléelezünk a kockázamenes mérék ala. Az egyensúlyi modellünk kereein belül zár formulá alálunk a őkeindexál elemi kövényre és az erre szóló opcióra, melyek a ovábbi derivaív ermékek eseén épíőkövekkén szolgálnak. Modellünk egyik megnyugaó eredménye, hogy az inflációs várakozások görbéje akkor húzódik a hozamgörbe ala mely a poziív várhaó reálhozamo jeleni, ha az infláció és a rövid kamaláb közi korreláció erősen poziív. Ez éppen a maemaikai leírása a hieles jegybanki poliikának: az alapkama és az infláció együmozgása bizosíja a poziív reálhozamo persze abban az eseben, ha az alapkama az infláció majorálja. A zár képleek maemaikailag impresszívek, de nem kizárólag öncélúak: kockázakezelőknek adhanak úmuaás inflációs ermékek eseén a kockázaok ké fakorra az inflációra és a kamalábra való bonásában ahelye, hogy csak egyelen fakor a reálhozamo vennék figyelembe. Megaduk ovábbá zár alakban a modellünk álal produkál hozam- és inflációs görbék alakjá is. Ez éppen modellünk legnagyobb hiányosságára muao rá: min minden egyensúlyi modell, így ez sem képes eszőleges hozam- és inflációs görbé reprodukálni. A kövekező szakaszban ez a hibá orvosoluk: piaci modellünkben a konsans álago egy időől függő, de deerminiszikus függvénnyel helyeesíeük mind a rövid kamaláb, mind az infláció eseén. A őkeindexál és a nominális kövények árá adonak ekinve zár alakban megaduk ezeke a deerminiszikus függvényeke, így ehhez a ké lejárai srukúrához már ökéleesen kalibrálhaóvá vál a modell. Az illeszés uán eszőleges inflációs derivaíva éréke felírhaó, illeve számolhaó numerikus például Mone Carlo módszerrel. Modelljeink közös hiányossága, hogy mind az infláció, mind a rövid kamaláb eseén a leheséges rajekóriák közö bőségesen akadnak olyanok, amelyek negaív érékeke vesznek fel. Ez ellenmond annak a szokásos megfigyelésnek, hogy sem a kamaláb, sem 33

36 az infláció nem szoko úlzoan negaív érékeke felvenni. Ez a problémá lehene orvosolni a modellünk CIR ípusú Cox e al., 1985 módosíásával: dr = α r r r d + σr r dw Q r, di = i i d + σi i dw Q i, dwr Q, dw Q i = ρ d, megállapíouk azonban, hogy a megoldás ekkor nem affin lejárai szerkezeű, így a kapo külalakjá ekinve 5-höz hasonló differenciálegyenle megoldása úlmua e dolgoza kereein. 34

37 Hivakozások Agence France Trésor [2016] Negoiable deb ousanding a 31 March URL hp: // [Online; leölés dáuma: május 14.] Cox, J.C. és Ingersoll, J.E. és Ross, S.A. [1985] A heory of he erm srucure of ineres raes. Economerica: Journal of he Economeric Sociey, Deacon, M. és Andrew Derry, A. és Mirfendereski, D. [2004] Inflaion-indexed securiies: bonds, swaps and oher derivaives. John Wiley & Sons. Dodgson, M. és Kainh, D. [2006] Inflaion-linked derivaives. Royal Bank of Scoland Risk Training Course, Marke Risk Group. Eurosa [2015] Eurosa yearbook, URL hp://ec.europa.eu/eurosa/ saisics-explained/index.php/housing_saisics. [Online; leölés dáuma: április 25.] Hull, J. és Whie, A. [1990] Pricing ineres-rae-derivaive securiies. Review of Financial Sudies, 34: , doi: /rfs/ URL hp://rfs. oxfordjournals.org/conen/3/4/573.absrac. Karazas, I. és Shreve, S.E. [1991] Brownian moion and sochasic calculus. Springer-Verlag, New York, második kiadás. ISBN doi: / URL hp://dx.doi.org/ / KSH [2008] Közponi Saiszikai Hivaal. Módszerani dokumenáció / fogalmak. URL hp:// id=201&p_o_id=200&p_level=1&p_session_id= &p_obj_id=4202. [Online; leölés dáuma: április 25.] Lane, W. és Schmid, M.L. [2006] Comparing U.S. and European inflaion: he CPI and he HICP. Monhly Labor Review, 1295: ISSN , URL hp:// 35

38 Unied Kingdom Deb Managemen Office [2016] Quarerly Review for Ocober December URL hp://dmo.gov.uk/documenview.aspx?docname= publicaions/quarerly/oc-dec15.pdf&page=quarerly_review. [Online; leölés dáuma: április 25.] Unied Saes Deparmen of he Treasury [2016] Monhly saemen of he public deb of he Unied Saes March 31, URL hp://reasurydirec.gov/gov/repors/ pd/mspd/2016/opds pdf. [Online; leölés dáuma: április 25.] Vasicek, O. [1977] An equilibrium characerizaion of he erm srucure. Journal of Financial Economics 5, Norh-Holland Publishing Company. 36

39 NYILATKOZAT Név: Víg Aila András ELTE Természeudományi Kar, szak: Bizosíási és pénzügyi maemaika NEPTUN azonosíó: QCUI2P Szakdolgoza címe: Árazási modellek inflációs ermékekre A szakdolgoza szerzőjekén fegyelmi felelősségem udaában kijelenem, hogy a dolgozaom önálló munkám eredménye, sajá szellemi ermékem, abban a hivakozások és idézések sandard szabályai kövekezeesen alkalmazam, mások álal ír részeke a megfelelő idézés nélkül nem használam fel. Budapes, május 17. klasszik őskalap adások ömkelege a hallgaó aláírása

40 Hozzájárulás szakdolgoza benyújásához Alulíro Dr. Vidovics-Dancs Ágnes igazolom, hogy Víg Aila András az előre meghaározo gyakoriságú szakdolgozai konzuláción rész ve, és hozzájárulok szakdolgozaának benyújásához. Budapes, május 17. klasszik őskalap adások ömkelege Dr. Vidovics-Dancs Ágnes