Százalékok kezdőknek és haladóknak Arányok és százalékszámítás 2. feladatcsomag

Átírás

1 SZÁMTAN, ALGERA Százalékok kezdőknek és haladóknak Arányok és százalékszámítás 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: év a százalék fogalma a százalékszámítás alapesetei algebrai kifejezések egyenletek megoldása algebrai és grafikus módszerek a problémamegoldásban nyitott feladatok modellezési feladatok Százalékszámítással kapcsolatos helyzetekkel sokféle formában és sokféle tartalommal lehet találkozni az iskolában és a mindennapi életben is. Ennek ellenére a felmérések szerint ezen a téren a felnőtt lakosság ismeretei is elég hiányosak itthon és külföldön is. De felmérések nélkül is tudjuk, hogy sok a gond ebben a témában, hiszen rendszeresen találhatók százalékszámításhoz kapcsolható hibák például a médiában és a reklámokban is. Ennek egyik oka nyilvánvalóan az, hogy a százalékszámítás nem szerepel kellő hangsúllyal az órákon. De valószínűleg az is igaz, hogy a sokszor száraz számítások eleve unalmasak, és hamar feledésbe is merülnek. A következő feladatok nemcsak a százalékszámítás alkalmazására mutatnak több lehetséges szituációt, de remélhetőleg érdekessé, esetenként újszerűvé is teszik a téma feldolgozását. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 1

2 SZÁMTAN, ALGERA A feladatok listája 1. Ráhangoló I. (arányos következtetés, összefüggések alkalmazása, számolás) 2. Ráhangoló II. (arányos következtetés, összefüggések alkalmazása, számolás) 3. Feladatok az üzleti élet világából (összefüggések keresése, számolás, szövegértés) 4. Nemcsak profiknak! (összefüggéslátás, összehasonlítás, rendszeralkotás) Módszertani tanácsok A feladatcsomag két ráhangoló feladatlappal indul. Közülük a másodikat általában érdemes akkor is megoldatni a tanulókkal, ha egyébként úgy ítéljük meg, hogy a tanulók kellőképpen jártasak a témában. Ugyanis az alapvető számítások átismétlésén túl a feladatok bevezetést adnak a továbbiakban is felbukkanó nyitott feladatok világába, és ezek még sok helyen nem számítanak hagyományos feladatoknak. A nyitott feladatok típusai közül a feladatlapokon több is szerepel. A Ráhangoló I. feladatai két gyakori hibalehetőséget is tárgyalnak. Az egyik az, hogy a tanulók valós szituációhoz kapcsolható feladatokban a negatív eredményt akkor is elvetik, ha az egyébként a feladat szempontjából értékelhető lenne. Itt ezt a negatív értékként megjelenő vagyoni állapot jelzi, ami természetesen lehetséges, és adósságot jelent. A másik az utolsó feladatban megjelenő, kétszeri árváltoztatás utáni ár eredeti árhoz való viszonyával kapcsolatos. Nem véletlenül kér itt a feladat rajzot is. Ez vizuálisan is segít rögzíteni azt a tényt, hogy az állítás nem igaz. A többféle módon végiggondolt és különböző módon reprezentált tartalmak bizonyítottan tartósabban maradnak meg. 2 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

3 SZÁMTAN, ALGERA A Ráhangoló II. első feladata valószínűleg a gyakorlás érdekesebb lehetőségét kínálja a százalékszámítás egyik alapesetéhez. Emellett elgondolkodtató számadatot is szolgáltatnak a számított értékek arról, milyen sokan vannak azok, akiknek elmaradásuk van a testedzés terén. Így a számítás nem öncélú műveletvégzés volt csupán, hanem egy érdekes információhoz is juttatja a tanulókat, amiről érdemes elbeszélgetni röviden az órán. A feladat második része nemcsak az öntevékeny feladatvégzést segíti, de egyben az előző részhez képest fordított feladatot is jelent: az összehasonlításhoz ki kell számolni a megfelelő százalékokat. A lap második feladata egy egyszerű nyitott feladat (szituációs). A tanulóknak kell megadni azt az adatot, amivel számolnak, és ők választják meg az összehasonlítás módját is. Ezzel a feladattal így több kamatoskamat-számítás is történik. Természetesen feladható lett volna a feladat zárt formában, konkrét kezdeti értékekkel is, ami a helyes számítás gyors ellenőrzését segítette volna. Ám most mégsem ezt tettük, ugyanis bebizonyosodott, hogy a tanulók szívesebben foglalkoznak és jobban is dolgoznak olyan feladatokkal, amelyeknél a feladatkészítésben is legalább valamennyire részt vehettek. (Ezt a lehetőséget még a további feladatoknál is kihasználjuk.) A feladat megoldása emellett még fejleszti a tervszerű, átgondolt feladatmegoldást is, hiszen érdemes átolvasni, meggondolni, megtervezni az elindulást. Ugyanis jó kiindulási értéket választva nyilvánvalóan kevesebbet kell számolni. A feladat további hozadéka a számérzet fejlesztése, hiszen több példán átgondolva az adott százalékos emelés hatását, jobban érzékelhető a végeredmény alakulása. Ezt a feladatot érdemes csoportmunkában megoldatni: egy csoportban a tagok megegyeznek arról, hogy milyen kiindulási értékkel számolnak esetleg ezt a többi csoporttal is egyeztetik, majd a csoporttagok egymás között felosztják, ki melyik számítás(oka)t végzi el a három közül. Érdemes úgy dolgozni, hogy minden értékkel ketten végzik el ugyanazt a számítást, Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 3

4 SZÁMTAN, ALGERA egymástól függetlenül, majd összehasonlítják az eredményeket. A lap utolsó feladata egy modellezési feladat. Ennek megoldásához először érdemes felvázolni a szempontokat, amelyeket figyelembe veszünk a továbbiakban, meggondolni, majd elvégezni a szükséges számításokat, ezeket összevetni a szempontokkal, aztán átgondolni ennek alapján egy új szempontrendszer kialakításával egy esetleges új modell készítését. (Vö.: modellezési ciklus, Ambrus G., 2007) A Feladatok az üzleti élet világából feladatlap szituációi valóban az üzleti életből valók, bár helyenként érezhetően beöltöztetett feladatról van szó, azaz a matematikai tartalmat ruháztuk fel egy nagyjából alkalmas szituációval. Ezt esetleg érdemes megbeszélni a tanulókkal is, hiszen jó tisztázni, milyen esetben tekinthetjük (közel) valósnak a feladatban leírt helyzetet, és mikor van szó csupán a matematikai tartalom szövegbe ágyazott felismeréséről. Ennek tisztázása, tudatosítása hozzájárul a matematikai ismeretek valódi gyakorlati problémákban való helyes alkalmazásához is. A lap feladataiban változatos formában jelennek meg a százalékszámítás algebrai vonatkozásai. Emellett, ahogyan ez korábban is volt, más tartalmak is gyakorlásra kerülnek, például az 1. feladatnál a függvényszerű gondolkodás, a változó paraméterek vizsgálata. Mindhárom feladat jellemzője, hogy megoldásuk során keveset kell számolni, annál többet gondolkodni. Itt különösen fontos, hogy a különböző eredmények, különböző megoldási utak megvitatásra kerüljenek. A Nemcsak profiknak feladatlap tartalmazza véleményünk szerint a legnehezebb, de egyúttal a legérdekesebb feladatokat is. Megoldásuk során a bevált számítási módok csak részben alkalmazhatók, általában akkor is csak valamilyen újszerű formában. Az első feladathoz saját feladat készítése is kapcsolódik. Ennek az is célja, hogy a megoldás során megfigyelteket tudato- 4 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

5 SZÁMTAN, ALGERA sítsák a tanulók, azaz ne csak a megoldást, de ehhez kapcsolódóan a feladat megfogalmazását is figyeljék. Ez nyilvánvalóan jobban biztosítható, ha megoldást is kérünk a tanulók által készített feladathoz. Így a feladat nemcsak a problémamegoldó képességet, de a reflektív, analizáló feladatmegoldást is segíti. A százalékos feladatok világából nem maradhatnak ki a reklámok. A feladatlap utolsó feladataként egy egyetemi hallgató által gyűjtött gyöngyszem kerül terítékre. Megoldások, megjegyzések 1. Ráhangoló I. 1. A többféle módszer a következtetést és a törtrészszámítást, képletalkalmazást jelenti. A c) esetben lehet számolni úgy, hogy elvesszük a számból az érték hatvan százalékát, de úgy is, hogy figyelembe vesszük, a megmaradó rész az eredeti szám 40%-a, és ezt számoljuk ki. a) 210 b) 583,33 c) Ha a megtakarított pénzem 150%-a Ft, akkor a vagyonom kezdetben Ft-volt. Ebből költöttem el a Ft-ot, így a vagyonom Ft, azaz Ft adósság. 3. A számot a-val jelölve felírható, hogy 0,7 1,2a = 0,84a, ami nyilvánvalóan kisebb, mint 0,9a. Például a következő rajz készíthető: 4. A fiúk nem figyeltek eléggé a matematikaórákon. A 20%- os engedmény mindig az aktuális árból értendő, így az 5. árleszállítás után a cipő ára az eredeti ár 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8. 0,328-szorosába kerül. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 5

6 SZÁMTAN, ALGERA 2. Ráhangoló II. 1. A jelzett korosztály létszáma (6 18) körülbelül számítható például a következő korfa segítségével: Magyarország korfája 2008-ban ( Ennek alapján a fiúk létszáma körülbelül , a lányoké volt 2008-ban. Ez a létszám újabb eredményekkel, pontosabb adatokkal javítható. Ha körülbelül t veszünk (a fiatalok száma csökkent az utóbbi években) mindkét nem esetében, akkor is látható a nagyságrend az egyes adatokhoz: Lányok: Fiúk: A téglalap alakú terület hosszabbik vagy rövidebb oldalát 25%-kal csökkentve a terület is így csökken. Olyan megoldást is kerestessünk, ahol egy (esetleg több) darabot kell kivágni a téglalapból. 6 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

7 SZÁMTAN, ALGERA A kivágandó rész területe m 2. Ennek egy téglalap kivágása esetén elvileg bármely kéttényezős szorzatalakja megoldás lehet. A szöveget figyelembe véve inkább egész tényezős felbontások jönnek szóba, és ügyelni kell arra is, hogy a kis rész kivágásánál az oldalak nem lóghatnak túl az eredeti téglalap oldalain. Ezért érdemes vázlatot készíteni a tervezett csökkentéshez. A vázlat kapcsán megbeszélhető, hogy olyan megoldások is szóba jöhetnek, mint például az eredeti földterület valamelyik részén egy tanyának megfelelő rész és bekötőút (utak). 3. Ha a betett összeget p-vel jelöljük, akkor a kamatemelés hatásának vizsgálatához például a következő képletek használhatók az egyes esetekben: 15, 12 a) p$ `1 + j , p , 4 b) p$ `1 + j. 1, 01508p , c) p$ `1 + j. 1015, p 100 Ha például 1 millió forint esetében nézzük a hatást, akkor ez körülbelül a) Ft, b) Ft c) Ft többletet jelent éves szinten. Ez jó kiindulópontot jelent további értékek megválasztásához. Látható, hogy a háromféle kamatszámítás ekkora összegnél még nem vezet lényeges különbségre. 4. Például legyen a betett pénz minden hónap elején 1000 forint, a havi kamat az éves infláció kétszeresének 1/12 része. A kamatot a hónap végén számoljuk a betett összeghez. Ekkor 4,2%-os inflációval számolva havi körülbelül 0,7%-os a kamat. Az év végi összeg a mértani sorozat összegképletével számolva: ,007 (1, ) : 0, Ft. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 7

8 SZÁMTAN, ALGERA Azaz az éves nyereség 560 Ft. Látható, hogy ebben az esetben havi 2000 Ft, illetve 3000 Ft betétele esetén a megtakarítás is kétszerese, háromszorosa lesz az előbbi összegnek. További lehetőségek: A kamat legyen a banki alapkamat, legyen lehetőség a pénz egy részének lekötésére. Mivel itt nemcsak a bankoknál szokásos lehetőségek vannak, családi szempontok is figyelembe vehetők, például kamatemelés fél évre megfelelő eredmények elérése, külön feladatok vállalása esetén. 3. Feladatok az üzleti élet világából 1. 0,7 (x + y) = ax + by, ahol x, y a termékek eredeti árát, a és b a tervezett emelés mértékének tizedes tört alakját jelölik. Így látható, hogy az egyik változtatás szabadon megadható, és ennek függvényében kell változtatni a másik termék árát. Például ha a = 0,8, azaz 80% az új ár az eredetihez, akkor 07, y 01, x ezzel az értékkel b = lesz. y 2. A feladat akár fejben is megoldható, hiszen nem kell feltétlenül számolni ahhoz, hogy a kérdésre válaszolni lehessen. Nyilvánvalóan a maradék 40%-ot a nagykereskedelmi ár alatt eladva nem érhető el a cél. Ezt a megoldást érdemes mindenképpen megbeszélni. További lehetőségek a megoldásra: (algebrai út:) x db készülék esetén, ha az eredeti fogyasztói ár a, az eldöntendő kérdés az, hogy 0,75a 0,6x + 0,4x 0,5a 0,75ax teljesül-e? (grafikus út:) Elkészíthető például a következő ábra, amiről a megoldás egyértelműen leolvasható. 8 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

9 SZÁMTAN, ALGERA 4. Ha az eredeti árat b-vel jelöljük, akkor az új ár 125 b. Ahhoz, 100 hogy az eredeti árat visszakapjuk, ezt = -del kell megszorozni az új árat. Ez azt jelenti, hogy a második változtatás után az ár a 80%-a lett az új árnak, azaz az árcsökkenés 20% volt. 4. Nemcsak profiknak! 1. a) Ha x%-kal szállították le mindkét esetben, akkor felírható, hogy x 2 $ ` j = 2025, 100 így 1 x 45 = adódik. Ebből x = b) Ha most x és y az egymás utáni árleszállítások mértékét jelölik százalékban, akkor a 2500 x y $ `1 j $ `1 j = egyenlet vár megoldásra. Utánaszámolható, például megfelelő próbálgatással, hogy ha nem ragaszkodunk a pontos értékhez, akkor a két csökkentés 11% és 9% is lehet, ekkor a végső érték 2024,75, kerekítve A triviálisan adódó 19%, 0% csak akkor fogadható el, ha a 0%-os értéket is elfogadjuk csökkentésnek. Egész értékeket kaphatunk, ha megengedünk csökkentést és nö- Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 9

10 SZÁMTAN, ALGERA velést is. Például: először 25%-kal csökkentették az árat, utána 8%-kal emelték, akkor ez 0,75 1,08 = 0,81, tehát a második változtatás után a kívánt értéket kapjuk. Ekkor persze a fenti jelöléssel x = 25 és az y = 8. Feladatváltozat lehet az az eset, hogy ugyanilyen értékek mellett azt kérdezzük: Hogyan változott, ha ugyanannyi %-kal csökkentették, majd növelték az árat? Mennyi ez a változás %-ban? 2. Önálló megoldás. 3. A vásárlók 25%-a nem vett az elsőből, 30%-a nem vett a másodikból, és 40%-a nem vett a harmadikból. Így legalább = 5% vett mindháromból. 4. A feladat a Ráhangoló I. 3. feladatának valóságban is megjelent változata. Hiszen a forgalmi adó előtti ár 27%-a nyilvánvalóan nem egyezik meg az emelt ár 27%-ával, ez utóbbi a több, tehát ha valóban így maradt az üzleti számítás, akkor az üzletlánc a levonás után az eredeti (áfamentes) árnál kevesebbért fogja árulni termékeit. Így a feladat számolás nélkül is megoldható. Ha kiszámítjuk, hogy mennyiért vehetjük meg ezek után a terméket az eredeti (áfamentes) árhoz képest, akkor látható, hogy gyakorlatilag körülbelül %-os kedvezményről van szó. (a az eredeti áfamentes ár, 1,27a 0,73 = 0,9271a, azaz 92,71%-a az új ár az áfamentes árnak.) A feladatoknál felhasznált források: Ambrus G.: Modellezési feladatok a matematikaórán. Matematika Tanári Kincsestár, RAAE, udapest, dec. Ambrus, G. Wagner, A.: Mivel is kezdjünk? Témaindító feladatokról a tört szorzása törttel anyagrész kapcsán. In: A Matematika Tanítása, 2012/3. Mozaik Kiadó, Szeged Ambrus, G.: Titanic a alatonon és más modellezési feladatok matematikából középiskolásoknak. Műszaki Kiadó, udapest, Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

11 SZÁMTAN, ALGERA Arányok és százalékszámítás Arányos következtetés Ráhangoló I. 1. Számítsátok ki többféle módon: a) 350-nek a 60%-át b) azt a számot, aminek 60%-a 350 c) azt a számot, ami 350-nek 60%-kal történő csökkentése után marad! év 2. Mennyi a vagyonom, ha elköltöm a megtakarított pénzem 150%-át, Ft-ot? 3. Igaz-e, hogy ha egy szám először 30%-kal csökken, majd a kapott érték 20%-kal emelkedik, akkor az így kapott szám az eredeti számnál 10%-kal kevesebb? Pároddal közösen készítsetek rajzot is! 4. Két hetedikes hazafelé menet megáll az egyik cipőbolt kirakata előtt. Figyelj, Lacó! Látod azt a feliratot ott, a sárga focicsuka mellett? Én is azt figyelem éppen: Újra elengedünk 20%-ot! Az elmúlt hónapban egyszer már engedtek 20%-ot az árból. Ha így folytatják, 3 hónap múlva amikor ötödjére is 20%-kal csökkentik az árát ingyen megszerezhetjük azt a cipőt! Hogy úgy van, Joci, hiszen 5-ször 20 az éppen 100! Látod, mégiscsak volt értelme matekórákra járnunk! Mi a véleményetek a párbeszéd tartalmát illetően? Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 11

12 SZÁMTAN, ALGERA Arányok és százalékszámítás Arányos következtetés Ráhangoló II. 1. A következő statisztikai adatokat a Metró újságban találtuk 2012 májusában év a) A 6 18 éves korcsoport létszáma alapján (információt gyűjthetsz például az internetről) számítsátok ki, körülbelül hány lányról és fiúról van szó az egyes esetekben! b) Végezzetek felmérést az osztályotokban és iskolátokban (legalább egy másik évfolyam valamelyik osztályában) arról, hogyan alakulnak ott ezek az értékek! 12 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

13 SZÁMTAN, ALGERA Arányok és százalékszámítás Arányos következtetés Egy adott művelésű földterület nagyságát a jövő évtől gazdaságossági szempontok miatt 25%-kal csökkenteni akarják. Hogyan tehető meg, ha a terület téglalap alakú, és méretei 2500 m 960 m? Dolgozz ki legalább 3-4 lehetséges változatot a terület csökkentésére! év 3. Egy bank 1,5%-os kamatemelést ígér a jövő évtől. Vizsgáld meg legalább 2 példán, milyen hatással van ez az éves megtakarításra, ha a) havi b) háromhavi c) éves kamatjóváírással számolunk. 4. MI ank 1 Felmérések szerint a középiskolások közül sokan kapnak zsebpénzt, de ennek jelentős része gyorsan elköltésre is kerül. Egy kis odafigyeléssel jobban is fel lehetne használni. Jó ötlet lehet, ha valaki úgy takarékoskodik, hogy pénzét otthon teszi bankba (MI ank). Ez azt jelenti, hogy rábízza édesanyjára vagy édesapjára, a betett pénz pedig valamilyen megbeszélt módon kamatozik. Milyen szempontokat érdemes figyelembe venni, és hogyan működjön a bank? (Dolgozz ki legalább kétféle különféle modellt a MI ank működéséhez!) 1 Ambrus G., 2012 Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 13

14 SZÁMTAN, ALGERA Arányok és százalékszámítás Összefüggések keresése Feladatok az üzleti élet világából év 1. Egy kifutó termékből 2-féle típust árusítanak jelenleg. A termék árát 30%-kal csökkentik átlagosan az igazgatótanácsi döntés szerint. Milyen mértékben csökkenjen az egyes termékek ára? Készíts modellt több lehetőségre! 2. Egy marketingmanager azt a feladatot kapja az új iphone 4S készülék megjelenése után, hogy a régi típusokból álló készletet árusítsa ki kedvezményes áron. A nagykereskedelmi ár a kiskereskedelmi (fogyasztói) ár 75%-a. Készülékenként ekkora bevételt kell elérnie ahhoz, hogy legalább a nagykereskedelmi ár megtérüljön, azaz ne legyen vesztesége. a) A következő a terve: a készülékek 60%-át eladja az eredeti ár 75%-áért, és ha ez már megtörtént, akkor a maradék készüléket az eredeti ár 50%-áért fogja kínálni. Vajon elérheti-e célját ezzel a stratégiával? b) Hogyan határozza meg a kedvezmények mértékét és az eladni szánt mennyiségeket, ha veszteség nélkül, kettő vagy több lépésben akar megszabadulni az árutól? Adj tanácsot a marketingmanagernek! 3. Egy termék árát 25%-kal emelték. Mivel emiatt a készlet nagy része eladhatatlan lett, fél év múlva árcsökkenést határoztak el, aminek eredményeképpen az ár az áremelés előtti lett. Hány százalékos volt az árcsökkentés a második esetben? 14 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

15 SZÁMTAN, ALGERA Arányok és százalékszámítás Összefüggéslátás Nemcsak profiknak! 1. Egy autómodell régi ára 2500 Ft, az új ára kétszeri árleszállítás után 2025 Ft. Meg tudod mondani, hány százalékosak az árleszállítások, ha ez a) mindkét esetben ugyanannyi b) esetenként eltérő mértékű kedvezménnyel történt? év 2. Az 1. feladat megoldása során szerzett tapasztalataid felhasználásával készíts hasonló feladatot, és oldd is meg! 3. Egy akció során három különböző terméket dobtak piacra, mindegyikből azonos darabszámot. Az akció csak 1-1 darab megvásárlására vonatkozott. A felmérések szerint a vásárlók 75%-a az elsőből, 70%-a a másodikból, 60%-a a harmadikból vásárolt. A vásárlók legalább hány %-a vett mindhárom termékből? 4. Erről a reklámról mi a véleményed? Indokold meg elképzelésed! Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 15

16 SZÁMTAN, ALGERA Az Ön jegyzetei, kérdései*: * Kérdéseit juttassa el a RAAE Kiadóhoz! 16 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)