Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása"

Átírás

1 Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Zankó Istvánné tanár Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály Mûszaki Kiadó, Budapest

2 Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az elôzô kiadásokat bírálták: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus TÜSKÉS GABRIELLA matematika szaktárgyi szakértô Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Zankó Istvánné, 2010 Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2010 ISBN Azonosító szám: MK /UJ Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Orgován Katalin ügyvezetô igazgató Szerkesztôségvezetô: Hedvig Olga Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki szerkesztô: Csukás Márta Borítóterv: H-moll Grafika Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Garay Ferenc Terjedelem: 16,45 (A/5) ív 1. kiadás

3 Tartalom MÉRTÉKEGYSÉGEK A TERMÉSZETES SZÁMOK... 7 A tízes számrendszer... 7 A római számírás... 9 Továbblépünk a tízes számrendszerben... 9 Tájékozódás a számegyenesen Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, A természetes számok kerekítése Hosszúságmérés Tömegmérés A természetes számok összeadása A természetes számok kivonása A természetes számok szorzása Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval Az idõ mérése Osztó, többszörös A természetes számok osztása Osztás egyjegyû osztóval Az összeg és a különbség osztása Osztás többjegyû osztóval A mûveletek sorrendje Gyakorlófeladatok Nem tízes alapú számrendszerek Törd a fejed! Tudáspróba GEOMETRIAI ALAKZATOK Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal Egyenesek kölcsönös helyzete Síkidomok, sokszögek Egybevágó síkidomok Téglalap, négyzet A terület mérése, mértékegységei A téglalap területe Téglatest, kocka Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben A téglatest hálója, felszíne A téglatest térfogata Az ûrtartalom mérése

4 Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Képességpróba Tudáspróba A TÖRTEK A törtek értelmezése Törtek bõvítése, egyszerûsítése Törtek összehasonlítása Egyenlõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása Különbözõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása Törtek szorzása természetes számmal Törtek osztása természetes számmal Mi a valószínûbb? Gyakorlófeladatok Törd a fejed Tudáspróba GEOMETRIAI VIZSGÁLATOK, SZERKESZTÉSEK Ponthalmazok, a kör és a gömb Háromszög szerkesztése Szakaszfelezõ merõleges Téglalap szerkesztése Testek ábrázolása A szögtartomány A szögek mérése szögmérõvel A szögek fajtái Tájékozódás a terepen és a térképen Tájékozódás iránytûvel, tájolóval Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Tudáspróba A TIZEDESTÖRTEK A tizedestörtek értelmezése A tizedestörtek ábrázolása számegyenesen A tizedestörtek egyszerûsítése, bõvítése, összehasonlítása A tizedestörtek kerekítése A mérés pontosságának jelzése Euróval fizetünk A tizedestörtek összeadása, kivonása Az összeadás és a kivonás tulajdonságai A tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, A tizedestörtek szorzása természetes számmal

5 A tizedestörtek osztása természetes számmal Az átlag kiszámítása Törtalakban írt szám tizedestört alakja Gyakorlófeladatok Tudáspróba ÖSSZEFÜGGÉSEK, NYITOTT MONDATOK Táblázatok, grafikonok Összefüggések, sorozatok Arányos következtetések Egyenlet, egyenlõtlenség Gyakorló- és fejtörõ feladatok Tudáspróba AZ EGÉSZ SZÁMOK Nem elég a természetes szám Az egész számok összehasonlítása Az egész számok abszolútértéke Az egész számok összeadása, kivonása A derékszögû koordináta-rendszer Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Tudáspróba ÖSSZEFOGLALÓ Számok és mûveletek Mérések, mértékegységek, geometria Képességpróbák A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA A természetes számok Geometriai alakzatok A törtek Geometriai vizsgálatok, szerkesztések A tizedestörtek Összefüggések, nyitott mondatok Az egész számok Összefoglaló

6 MÉRTÉKEGYSÉGEK Hosszúságmérés: alapegység az 1 méter (jele: m). A Párizson átmenõ délkör hossza körülbelül m = km. Tömegmérés: alapegysége az 1 gramm (jele: g), SI-ben az 1 kilogramm (kg) g = 1 kg, az 1 l tiszta 4 C-os víz tömege. Nagyobb tömeg mérésére használják a tonnát (jele: t). 1 t = 1000 kg Ûrtartalommérés: alapmértékegysége az 1 liter (jele: l). 1 l 1 dm 3 (nagyon kicsi az eltérés) l 1 m 3 Az egység ezerszeresét a kilo-, százszorosát a hekto-, tízszeresét a deka-, tizedrészét a deci-, századrészét a centi-, ezredrészét a milli- elõtagok jelentik. Az alapegység hányszorosa (mekkora része) A hosszúság mértékegységei méter Jelölés km m dm cm mm A tömeg mértékegységei gramm Jelölés kg dkg, dag g dg cg mg Az ûrtartalom mértékegységei liter Jelölés hl l dl cl ml kilométer deciméter centiméter milliméter kilogramm dekagramm decigramm centigramm milligramm hektoliter deciliter centiliter milliliter Idõmérés mértékegységei: óra (= hora; jele: h); 1 nap = 24 h; perc (= minutum; jele: min); 1 h = 60 min; másodperc (= secundum; jele: s); 1 min = 60 s Nagyobb idõhossz mérésére használjuk az évet: 1 év 365 nap 6

7 1. A TERMÉSZETES SZÁMOK A tízes számrendszer Helyiértékes írásmód a tízes számrendszerben 1. a) Ft; b) Ft; c) 7953 Ft; d) Ft 7953 Ft < Ft < Ft < Ft 2. a) Sok megoldás van. Például: = = = = = b) Visszaadás nélkül: c) 2 db százassal fizetünk, és visszakapunk 32 Ft-ot. 3. Sz T E sz t e a) Az 5 tényleges értéke: ötvenezer ötven ötszáz öt ötezer b) Rendre: 9, egyes; 9, ezres; 5, százas; 8, ezres; 9, tízes c) Rendre: tízezres, 5; tízezres, 4; százas, 5; tízezres, 4; ezres, 5 4. a) ; ; 3456; b) 5 480; ; c) ; ; ; ; ; a) 10; 100; 1000; b) 10; 100; a) 50-et; b) 30-at; c) 20-at 7

8 7. a) 135 = ; 306 = ; 2345 = ; 5008 = ; = ; = a) A legkisebb háromjegyû szám: 100; a legnagyobb: 999 b) A kétjegyû természetes számok száma: 99 9 = 90 (10; 11;...; 99); a háromjegyûeké: = 900 (100; 101;...; 999); a négyjegyûeké: = 9000 (1000; 1001;...; 9999) c) Az ötjegyû kerek tízesek: ; ; ;...; ; tól ig db kerek tízes van. 0-tól ig db kerek tízes van tõl ig = 9000 kerek tízes van, ezek az ötjegyû kerek tízesek. Az ötjegyû kerek százasok: ; ; ;...; ; tõl ig = 900 kerek százas van tõl ig = 90 kerek ezres van. 9. a) 60 Ft; 600 Ft; Ft; Ft b) 100 Ft; Ft; Ft; Ft c) 80 Ft; 800 Ft; Ft; Ft d) 100 Ft; Ft; Ft; Ft e) Ft; Ft; Ft; Ft f) Ft; Ft; Ft; Ft 10. a) , ; b) , ; c) , a) , ; b) , ; c) , a) ; b) ; c) a) , , ,..., , b) , , ,..., , c) , , d) Nincs ilyen szám. 8 e) , , ,..., ,

9 A római számírás 14. XVIII; XXXI; XLV; XCIV; CCXLVIII; CDV; DCCCXXXIX; MCMXCIX; MMDCCCII; MMM ; 44; 298; 609; 911; 3999 Továbblépünk a tízes számrendszerben 16. a) Háromszázhuszonnégy; ezerkétszáznegyven (csekken: egyezerkettõszáznegyven); ezerhét; kétezer; kétezer-egy; huszonötezer; ötezer-háromszáznegyven; huszonnégyezer-három. b) Növekvõ sorrendben: ; ; ; ; ; ; Csökkenõ sorrendben: ; ; ; ; 5405; 5004; a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) a) 1234; 1243; 1324; 1342; 1423; 1432; 2134; 2143; 2314; 2341; 2413; 2431; 3124; 3142; 3214; 3241; 3412; 3421; 4123; 4132; 4213; 4231; 4312; 4321 A számokat növekvõ sorrendben írtuk fel. b) Hat számban áll a százasok helyén 4. c) Hat számban áll az ezresek helyén A kirakható négyjegyû számok növekvõ sorrendben: 2059; 2095; 2509; 2590; 2905; 2950; 5029; 5092; 5209; 5290; 5902; 5920; 9025; 9052; 9205; 9250; 9502; 9520 a) A legkisebb: 2059, mert 0-val négyjegyû szám nem kezdõdik; a legnagyobb: 9520 b) 18-at; c) 6; d) 4; e) 10-et 21. a) ; b)

10 22. a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ; ; ; ; f) ; ; ; ; a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ; ; ; ; f) ; ; ; ; a) ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; d) ; ; ; ; ; e) ; ; ; ; ; a) 4000-rel csökken; b) 400-zal nõ; c) rel nõ; d) 3-mal csökken; e) rel nõ; f) 30-cal csökken 26. a) Shreket. b) Macskafogó. c) A 3. héten, 4586-tal. d) Lecsó. e) Shrek. 27. a) 167 b) Margó: 10

11 Tájékozódás a számegyenesen 28. a) b) c) 29. a) x = 200; y = 350; z = 620; u = 770; v = 1000; w = 1100 b) Az a) feladatban adott számok 10-szeresei. Például: x = 2000 c) Az a) feladatban adott számok 100-szorosai. Például: x = d) Az a) feladatban adott számok 1000-szeresei. Például: x = a) x = 700; y = 3000; z = 5400; u = 7500; v = 8800; w = b) Minden szám rel nagyobb, mint az a) feladatban: x = ; y = ; z = ;...; w = c) x = ; y = ;...; w = d) x = ; y = ;...; w = a) a = 65; b = 400; c = 525; d = 810; e = 1150 b) a = 6518; b = ; c = ; d = ; e = a) b) c) d) 11

12 e) A növekvõ sorrend leolvasható a számegyenesrõl. Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb 33. a) ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; ; ; ; d) ; ; ; ; ; ; a) x > 5 b) x < 5 c) x ³ 5; h) x ³ 5; i) x ³ 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. d) x 5; e) x 5; g) x 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. f) 5 x 10 j) 5 < x < 10 12

13 a < b < < c a) 6080 < a 6310 b) 4400 b < < u < 1050 Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, a) Az egyforintosok száma: 450; 1250; 3200; ; ; b) A tízforintosok száma: 54; 540; 5400; c) A százforintosok száma: 63; 35; 543; 49 d) Az egyforintosok száma: 150; ; b) Tízzel szorozva: 580; 6040; 730; 8300; 5640; 70; 700 stb. Százzal szorozva: 5800; ; 7300; ; ; 700; 7000 stb. c) Ezerrel szorozva: ; ; ; ; ; 0; Tízezerrel szorozva: ; ; ; ; ; 0; (A 0-t bármivel szorozva 0-t kapunk.) 40. Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a) b)

14 41. a) A 0-ra végzõdõ számok oszthatók 10-zel. Pirossal például: : 10 = 5800; : 10 = ; : 10 = ; : 10 = ; : 10 = 7000; : 10 = 7007; : 10 = ; : 10 = 6600; : 10 = 6006; : 10 = A szám osztható 100-zal, ha két utolsó számjegye 0. Kékkel például: : 100 = 580; : 100 = 6040; 7800 : 100 = 78; : 100 = 5640; : 100 = ; : 100 = 700; : 100 = 7007; : 100 = 660; : 100 = 6006 A szám osztható 1000-rel, ha három utolsó számjegye 0. Feketével: : 1000 = 58; : 1000 = 604; : 1000 = 564; : 1000 = 3500; : 1000 = 70; 7000 : 1000 = 7; 6000 : 1000 = 6; : 1000 = 66 b) Igaz állítások például: Minden 1000-rel osztható szám osztható 100-zal is és 10-zel is. Minden 100-zal osztható szám osztható 10-zel is. c) Hamis állítások: Amelyik szám osztható 10-zel, az osztható 100-zal is. Minden 100-zal osztható szám 1000-rel is osztható. 42. Például: a) ; b) ; c) ; d) Ilyen szám nincs. e) ;

15 A természetes számok kerekítése kisebb szomszédok nagyobb szomszédok egyes tízes százas ezres tízezres Hasonlóan a kisebb szomszédai: , , , , ; nagyobb szomszédai: , , , , A kisebb szomszédai: , , , , ; nagyobb szomszédai: , , , , A 317 kisebb szomszédai: 316, 310, 300, 0, 0; nagyobb szomszédai: 318, 320, 400, 1000, Az 1988 kisebb szomszédai: 1987, 1980, 1900, 1000, 0; nagyobb szomszédai: 1989, 1990, 2000, 2000, A kisebb szomszédai: 9 999, 9 990, 9 900, 9 000, 0; nagyobb szomszédai: , , , , Pontos érték: Ft Közelítõ érték: Ft 45. a) Pontos: 3 (testvér) c) Kicsi a valószínûsége, hogy pontosan Ft-ba került. e) A futópálya hosszát nagy pontossággal mérik, de a mérésnek mindig van valamekkora hibája. 46. Ezresre úgy kerekítünk, hogy a szám helyett a legközelebbi 1000-rel osztható számot vesszük. Ha a szám ezerrel osztható, akkor ez maga a szám, ellenkezõ esetben a közelebbi 1000-es szomszéd. Ha 500-ra végzõdik a szám, akkor fölfelé kerekítünk. Ha x 4000, akkor 3500 x <

16 47. a) Legalább 65, legfeljebb 74 kiránduló volt. 65 x 74 b) Az iskolába legalább 695 tanuló, legfeljebb 704 tanuló jár. 695 tanuló létszám < 705 tanuló c) Máténak legalább 650 Ft-ja, de 750 Ft-nál kevesebb pénze van. Legfeljebb 745 Ft-ja lehet. 650 Ft Máté pénze 745 Ft d) Encsen legalább 6500 ember, legfeljebb 7499 ember él ember a lakosok száma < 7500 ember e) A pénztárgép legalább 6995 Ft-ot, de legfeljebb 7005 Ft-ot mutatott Ft összeg < 7005 Ft f) A kardszárnyú delfin tömege: 6950 kg tömeg < 7050 kg 48. a) x ; y ; z ; u ; v b) x ; y ; z ; u ; v

17 c) x ; y ; z ; u ; v d) x ; y ; z ; u ; v Hosszúságmérés 49. c) Ha a tanár araszának a hosszúsága más, mint a tanulóé, akkor az eredmény is más lesz. 53. Egy bekötõút hossza: 3 km Egy radír szélessége: 30 mm Egy szoba magassága: 300 cm 54. a) 6 m 10 cm = 61 dm = 610 cm = 6100 mm b) 3500 cm = mm = 350 dm = 35 m c) 5060 m = 5 km 60 m = dm = cm Egy papírlap hossza: 3 dm 55. a) A 37 és fél dm-es és a 367 cm-es darabokból vágható le cm b) Ha a 367 cm-es darabból vágjuk le, akkor kevesebb lesz a hulladék. Tömegmérés 57. a) A matematikakönyv tömege nagyobb, mint a matematikafüzet tömege. c) Egy tál konyhasó tömege nagyobb, mint az ugyanakkora tál daráé. 59. a) 4000 g = 400 dkg (dag) = 4 kg; b) 16 kg = 1600 dkg = g; c) 2500 dag = g = 25 kg; d) 40 t = kg = dkg; e) kg = 20 t 60 kg = dkg 17

18 60. A tanuló tömege: 30 kg A csecsemõ tömege: 3000 g A C vitamin tömege: 30 mg A homok tömege: 3 t A tea tömege: 3 dkg (dag) 61. Ásványtartalom: ( ) mg = 3000 mg = 3 g 1000 g 3 g = 997 g víz van 1 kg ásványvízben. 62. A 2600 kg tömegû gránittömb nem szállítható el ezzel a gépkocsival. A többi anyag tömege összesen 2400 kg. Egyszerre elszállítható. A természetes számok összeadása 64. a) = 974; b) = A tagok megfelelõ csoportosításával ésszerûsíthetõ a számítás: a) 4000; b) 590; c) 2100; d) ; e) 7000; f) a) Becslés: = ; a kiszámított összeg: ; b) 4708; c) ; d) ; e) a) 2146; b) 7672; c) ; d) ; e) ; f) = hétszázhetvenkilencezer-ötszázhetvenkilenc = 65 A zárójelekbe írt kifejezések értékének kiszámítása nélkül is meghatározhatjuk az eredményeket a komponensek változásából. a) ( ) + 17 = = 117 b) 48 + (17 10) = = 55 c) (48 20) + ( ) = Például: a) A 100-at adhatom az egyik taghoz: ( ) = A 100 egy részét adhatom az egyik taghoz, a fennmaradó részt a másik taghoz: ( ) + ( ) =

19 b) A 75-öt elvehetem az elsõ tagból: (143 75) + 72 = A 75 egy részét az egyik tagból veszem el, a fennmaradó részt a másik tagból: (143 3) + (72 72) = Az egyik tagból elveszünk 100-at, a másikhoz hozzáadunk 25-öt: ( ) + ( ) = c) Amennyit az egyik tagból elvettem, ugyanannyit kell a másikhoz adnom. 71. a) = ( ) + (202 2) = = 400 b) = (150 1) = = = 299 c) = = = 1519 d) = (627 2) + ( ) = = 1625 A természetes számok kivonása = 75. Jutkának 75 forintja marad. a) 235 (160 25) = = 100 b) 235 ( ) = = a) A különbség rendre: 5; 10; 0; 11 b) Ha a kisebbítendõt 1-gyel, 2-vel, 3-mal... stb. növeled, a különbség ugyanannyival nõ (ha közben a kivonandót nem változtatod). Ha a kisebbítendõt csökkented, a különbség ugyanannyival csökken. c) Ha a kivonandót 1-gyel, 2-vel, 3-mal... növeled, a különbség ugyanannyival csökken (ha közben a kisebbítendõ nem változik). Ha a kivonandót csökkented, a különbség ugyanannyival nõ. d) Ha a kisebbítendõt és a kivonandót egyidejûleg ugyanannyival csökkented vagy növeled, a különbség nem változik. 74. a) = 15; b) (60 + 5) 45 = = 20; c) 60 (45 + 5) = 15 5 = 10; d) (60 + 5) (45 + 5) = 15; e) (60 10) 45 = = 5; f) 60 (45 10) = = 25; g) (60 10) (45 10) = a) 700; b) 1970; c) 1470; d) 300; e) 2300; f) 3300; g) 1300; h) 1300; i)

20 76. a) Becslés: = 1100; a kiszámított különbség: 1112; b) 3744; c) ; d) ; e) a) 3227; b) 1323; c) 6400; d) 1327; e) 5184; f) 3345; g) 7050; h) 1999; i) a) 5219; b) ; c) ; d) 1032; e) 9304; f) 7944; g) a) 26 tanuló; b) 750 m-t; c) 760 Ft-ja; d) 273 mm; e) Éva 88 cm f) Csak a változásokból nem lehet megállapítani a város lakóinak a számát, mert hiányzik a lakosok egy évvel ezelõtti száma. Annyit tudunk, hogy 350-nel többen élnek a városban, mint egy éve. 80. a) A = 138; b) A = 100; c) nincs természetes szám megoldása; d) A < 8; e) A ³ 10; f) minden természetes szám megoldás; g) A = 47; h) A = 5000; i) A = 5500; j) A 56; k) A > 1995; l) A > a) Szükséges adatok Felesleges adatok 328 Ft; 428 Ft; 1200 Ft 3 nap; 5 óra 1200 ( ) = Ft-ot kell kérnie. b) Szükséges adatok: 35 kg; 75 kg; 58 kg. A lift terhelhetõsége: 300 kg Az adatokból kikövetkeztethetõ újabb szükséges adat: a két vendég tömege több 150 kg-nál. Felesleges adatok: 138 cm; 37 év; 162 cm Az öt személy több mint 318 kg, nem szállhatnak be egyszerre. c) Felesleges minden idõvel kapcsolatos adat. s = ( m m) 2 = cm = 183 km d) Bélának ( =) 5120 Ft-ja van. A két fiúnak együtt ( =) 8970 Ft-ja. Felesleges adat: Kati pénze 820 Ft. e) Szükséges adatok: a fiúk száma 413, a lányok száma ennél 28-cal kevesebb. Felesleges adat: tavaly 50 fiúval kevesebb volt. A kislányok száma a) 8000 ( ) + ( ) = 6000 (Ft) 20 b) ( ) = 1000 (Ft)

21 A természetes számok szorzása 83. A-ból B-be B-bõl C-be A-ból C-be B-n keresztül a) = 2 b) = 3 c) = 6 d) = a) A babára 3-féle szoknyát adhat. Így a 4 blúzzal 3 4 = 12-féleképpen öltöztethetõ. b) Az állomástól a kilátóig vezetõ 3 út mindegyike 4-féleképpen folytatható a múzeumig, így az állomástól a múzeumig 3 4 = 12-féleképpen juthatunk el a kilátó érintésével. c) A kétjegyû szám háromféleképpen kezdõdhet, és mindegyik kezdés négyféleképpen folytatódhat, így a megoldások száma: 3 4 = a) 280; 300; 600; b) 820; 410; 4100; c) 6800; 6732; ; d) 200; 2000; a) = 13 (4 25) = 1300; b) = (25 4) (30 15) = = ; c) (2 50) (34 20) = ; d) = (5 20) 63 = 6300; e) (2 5) = ; f) (8 125) (5 7) = = ; g) 0 van a tényezõk között, ezért a szorzat 0; h) 7 ( ) = 7000; i) (8 125) (4 5) 3 = ; j) 195 (5 20) = ; k) (4 2) (8 125) = 8000; l) (11 7) (4 250) =

22 87. a) 85 8 = 680 (Ft) b) = 6200 (Ft) c) = 400 (kézfogás) d) = (szõlõtõke) e) = 1500 (dkg), (azaz kb. 15 kg) f) = 200 (Ft) g) ( ) 20 = (Ft) 88. a) 2-szeresére nõ; b) ötödére csökken; c) felére csökken; d) 3-szorosára nõ; e) nem változik; f) nem változik; g) 4-szeresére nõ. 89. a) Pontatlan. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Hamis (pontatlan). f) Hamis (pontatlan). g) Igaz. Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval 90. a) 3766; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) 3388; ; ; ; ; ; ; c) 3648; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; a) = 2100; = 2200; = (84 + 4) 25 = b) = 2730; = 2800; = 70 (39 + 1) = c) = ; = ; = 921 (39 10) = d) = ; = ; = (333 20) 75 = e) = 9197; = ; 541 (17 100) = (541 17)

23 f) = 4200; = 4200; = (84 2) (50 : 2) = g) = ; 7 39 = 273; (700 39) : 100 = 7 39 h) = ; = 9210; = i) = 8325; = 8325; (333 : 3) (25 3) = j) = ; = ; 541 (117 2) = ( ) a) = (Ft) b) = (Ft) c) 1200 : 6 = 200 (Ft) d) Akkor is 3 perc alatt. e) Valószínûleg hamarabb; ha õk is ugyanolyan tempóban dolgoznak: 2 óra f) 250 g 52 = g = 13 kg g) m x Ft x h) = 275 (km); vagy: (110 85) 11 = = 275 (km) i) = = 7405 (Ft) Az idõ mérése 94. b) Egy szökõév elsõ 5 hónapja 152 napból áll. (Január 31 napos, február 29 napos, március 31 napos, április 30 napos, május 31 napos.) c) A leghosszabb ideig 80 percig Cili dolgozott. A három gyerek összesen 185 percig, azaz 3 óra 5 percig dolgozott. d) 9 óra 30 perctõl 13 óra 15 percig 3 óra 45 perc = 225 perc telik el. A hasonló feladatok megoldásában segíthet az idõegyenes. 23

24 e) 15 perc = 900 másodperc. f) Október 9-bõl még hátra van: 12 óra október 10-tõl 21-ig óra: 264 óra október 21-én eltelik: + 4 óra Ez összesen: 280 óra g) 10 nap = 240 óra = perc = másodperc, és ez kevesebb másodpercnél. 95. a) 8 óra 30 percet biztosítanak alvásra. b) 35 perc + 2 óra 30 perc + 25 perc + 10 perc = 3 óra 40 perc 3 óra 40 percet fordítanak egészségük megóvására. c) 2 óra 30 perc + 3 óra 25 perc + 1 óra 30 perc = 7 óra 25 perc 7 óra 25 percet fordítanak munkára. d) 15 perc = 900 másodperc 7800 m m = 7000 km e) 250 ml + 3 és fél dl = 6 dl, több mint fél liter. f) 67, 72, 71 átlaga perc alatt körülbelül = 700-at verhetett a szíve. 96. a) Az elsõ hat hónap 181 napból áll, szökõévben 182 napból. b) 1 hét = 168 óra; 1 nap = 1440 perc c) Aladár a házi feladatra 1 órát fordított = 270; 270 perc = 4 és fél óra d) Szükséges adatok: egy és fél óra, 12 perc, 65 perc Felesleges adatok: 127 km, 102 km Az út 167 perc = 2 óra 47 percig tartott. e) Szükséges adatok: 1 óra 25 perc, 2 óra 40 perc, 65 perc Felesleges adatok: 515 m tengerszint feletti magasság, 5 km hosszú út. A túra 5 óra 10 percig tartott. f) 6 és háromnegyed óra 2 óra 50 perc = 405 perc 170 perc 405 perc 170 perc = 235 perc = 3 óra 55 perc Legkésõbb 3 óra 55 perc múlva kell indulniuk. g) = 9360; 9360 (perc) = 9360 : 60 = 156 (óra) Másképp számolva: 4 45 perc = 180 perc = 3 óra; 3 52 = 156 (óra) Flóra egy év alatt 156 órát (= 6 nap 12 órát) edz. 24

25 Osztó, többszörös 97. a) 1, 20; 2, 10; 4, 5; b) 1, 36; 2, 18; 3, 12; 4, 9; 6; c) 1, 48; 2, 24; 3, 16; 4, 12; 6, 8; d) 1, 47; e) 1, 49; 7; f) 1, 50; 2, 25; 5, a) 1 b) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37 c) A többi egész szám 39-ig. 99. a) b) A szám többszörösére mutat a nyíl a), b), c) 2, 5, 10 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft; 5840 Ft Csak 5 Ft-osra váltható 2645 Ft. d) 20 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 5840 Ft e) 50 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft f) 100 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft g) 200 Ft-osra váltható: 4000 Ft; 3200 Ft h) 500 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft 101. a) 0, 20, 40, 60, 80, 100,..., 500, 520, 540, 560, 580, 600 b) 0, 25, 50, 75, 100, 125,..., 500, 525, 550, 575, 600 c) 0, 30, 60, 90, 120, 150,..., 480, 510, 540, 570,

26 102. a) Sárga: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30 Zöld: 0; 9; 18; 27 Csak sárga: 3; 6; 12; 15; 21; 24; 30 Csak zöld nincs, hiszen amelyik szám 9-cel osztható, az osztható 3-mal is. Mindkét színnel: ami zöld. Egy színnel sem: 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20;... b) A = {A 3 többszörösei}; B = {A 9 többszörösei} 103. a) A 10 többszöröseit. b) C = páratlan; D = nem osztható 5-tel c) Az ábrán megszámoztuk a mezõket. Így a megoldásban a római számok jelentik a beszínezett halmazokat. X = {2-nek többszöröse, de 5-nek nem többszöröse}: II. Y = {2-nek és 5-nek többszöröse}: III. W = {5-nek többszöröse, de 2-nek nem többszöröse}: IV. Z = {2-nek vagy 5-nek többszöröse}: II., III., IV Csak sárga: 4; 8; 16; 20; 28; 26 csak kék: 6; 18; 30; mindkettõ: 0; 12; 24; egyik sem: 1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 19; 21; 22; 23; 25; 26; 27; 29

27 A természetes számok osztása 105. a) 3 x = 21; x = 7; b) 8 x = 96; x = 12; c) x 6 = 150; x = 25 (dm); d) x = 11 3; x = 33; e) x 7 = 56; x = a) a = 8; b) b = 5; c) c = 3; d) d = 13; e) e = 25; f) f = 16; g) g = 136; h) h = 150; i) i = 2300; j) j = 100; k) k = 400; l) x = 40; m) nincs megoldás; n) n = 0; o) nincs megoldás; p) nincs megoldás 107. a) 3 többszörösei: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 3-mal osztva 0 maradékot adnak. b) A 4; 7; 10; 13; 16; 19 lesz kék. c) Nincs. d) 3-mal osztva 2-t adnak maradékul A hányados a) a kétszeresére nõ; b), c) a harmadára csökken; d) a négyszeresére nõ; e), f) nem változik. Osztás egyjegyû osztóval 109. A hányadosok után ( )-ben a maradék van. a) 163 (0); 63 (1); 1203 (0); 700 (5); 1006 (2) b) 159 (0); 128 (0); 60 (4); 1016 (0); 1561 (4) c) 56 (0); 115 (2); 105 (0); 147 (6); 655 (4) d) 63 (0); 111 (0); 500 (3); 677 (0); 111 (1) e) 71 (4); 71 (7); 57 (4); 921 (4); 125 (0) 110. a) 125 Ft; b) 745 Ft-ja van; c) nem, 143 nem osztható 5-tel; d) 3570 : 7 = 510 (0); e) =

28 Az összeg és a különbség osztása 111. a) (36 16) : 4 = 36 : 4 16 : 4 = 5 b) ( ) : 7 = : : 7 = 3000 (Ft) c) ( ) : 8 = 5720 : : 8 = 1000 (Ft) 112. a) ( ) : 6 = 360 : 6 = 60; 156 : : 6 = = 60 b) ( ) : 5 = 2425 : 5 = 485; 2015 : : 5 = = 485 c) A természetes számok körében csak a következõ terv szerint végezhetjük el a számítást: ( ) : 8 = 9824 : 8 = 1228 d) ( ) : 3 = 222 : 3 = 74; 456 : : 3 = = 74 e) ( ) : 9 = 3267 : 9 = 363; 4185 : : 9 = = 363 f) A természetes számok körében csak egy terv szerint számítható ki: ( ) : 5 = 1575 : 5 = 315 A következõ három feladatban csak egyféle terv szerint számolhatunk: g) 4536 : (6 + 2) = 4536 : 8 = 567 h) 225 : ( ) = 225 : 5 = 45 i) Nem értelmezhetõ a nullával való osztás a) = (150 2) 4 = = 592; 96 : 4 = (100 4) : 4 = 25 1 = 24; 2985 : 5 = ( ) : 5 = = 597 b) = = 8100; 68 : 4 28 : 4 = 40 : 4 = 10; 1896 : 8 16 : : 8 = 2000 : 8 = a) 32; 64; 80; 88; 92; 94;... b), c) 32; 40; 44; 46; 47; 47 és

29 Osztás többjegyû osztóval : 3 = 150 : 30 = 1500 : 300 (= : ) = : 3 = 270 : 30 = 2700 : 300 = : 3000 = 9 (a maradék 0) 29 : 3 = 9; 290 : 30 = 9; 294 : 30 = 9; 2900 : 300 = 9; 2940 : 300 = a) 96'7 : 23 = 4.; becslés: 40 < hányados < 50, maradék < 23; hányados (h) = 42, maradék (m) = 1; 568 : 41, h = 13, m = 35; 745 : 25, h = 29, m = 20; 630 : 15, h = 42, m = 0; 632 : 28, h = 22, m = 16 b) 745 : 68, h = 10, m = 65; 808 : 39, h = 20, m = 28; 560 : 28, h = 20, m = 0; 984 : 48, h = 20, m = 24; 635 : 27, h = 23, m = 14 c) 456 : 63, h = 7, m = 15; 2368 : 45, h = 52, m = 28; 6052 : 79, h = 76, m = 48; 6409 : 52, h = 123, m = 13; 7000 : 63, h = 111, m = 7 d) 46'52 : 18 = 2..; becslés: 200 < h < 300, m < 18; h = 258, m = 8; 2328 : 76, h = 30, m = 48; 8200 : 39, h = 210, m = 10; 6784 : 48, h = 141, m = 16; 3565 : 71, h = 50, m = a) 207 Ft-ba. b) 365 Ft-ot (és megmaradt 15 Ft); felesleges adat: 11-es találat. c) 750 : 25 = 30 (db-ot). d) 58 Ft-ja. e) ( ) : 425 = 150 (Ft) és maradt 50 Ft. f) : ( ) = 200 (db-ot) a) Becslés: : 80 = 1500 (zsák) zsákot teletölthettek és az zsákba 72 kg jut. A további feladatokban is becsüld meg az eredményt! Itt csak a kiszámított értékeket adjuk meg. b) perc = 168 óra = 7 nap. c) Csaba 3 km 450 m hosszú utat 6273 lépéssel tesz meg. ( : 55 = 6272) lépést másodperc = 4182 másodperc 70 perc alatt tesz meg. 29

30 d) A csõ átmérõje felesleges adat. 275 csõre van szükség. A 275. csõbõl csak 12 m-es darab kell. e) 17 és fél percig esett az esõ. A fél perc a 60-nal való osztás maradékából, a 30 másodpercbõl adódik a) Becslés: = 4800 < 6480 < = 7200; 20 < h < 30 A vég 27 méter hosszú. b) Egy lap szélességû járdához lap, két lap szélességû járdához lap kell. Megvizsgálhatjuk, hogy ha a lapok között fél centiméteres rést hagynak ki, akkor kb. hány lappal kell kevesebb. (Körülbelül 200 lappal.) c) Egy hét alatt Ft-ot keresett. d) 696 Ft az órabér. e) Egy-egy rész 506 kg. A maradék 32 kg = g g : g f) x 57 < ; : 57 = 309; x = g) x 87 < < x 88; : 87 = 420; x = 420; 10-zel több. 10 A mûveletek sorrendje 121. a) ( ) : 30 = 700 (Ft) b) = (Ft-ot) Ha nem volt szökõév, mert akkor még 645-tel (vagy 680-nal) többet I. II. III. Összehasonlítás a) I. = III. > II. b) I. = II. > III. c) III. < I. < II. d) I. > II. > III. e) I. > III. > II. f) I. > III. > II a) 970; 890; b) 81; 6; 30 c) 983; 5285; d) 1315; 1770; e) 752; ; f) ; 905; 768; 976; 1489; 921

31 Gyakorlófeladatok 124. a) Ötezer-háromszázhetvenhét; százötvenhat; háromszázötvenhatezer- -nyolcszázkilencvenhárom; százhetven; huszonháromezer-kilencszázöt; tízezer-nyolcszázhárom; ezerkilencszázkilencvenöt. b) 4030; ; 2002; ; < 4030 < < < c) Legnagyobb: 964; legkisebb: a) ; ; ; b) 460; 500; 0; 0 c) ; ; ; , 314; , ; 0, 49; , Az 1, 0, 9, 6 számkártyákból 18 négyjegyû szám rakható ki. Ezek: 1069; 1096; 1609; 1690; 1906; 1960; 6019; 6091; 6109; 6190; 6901; 6910; 9016; 9061; 9106; 9160; 9601; 9610 A legkisebb páros szám közülük: 1096 A legnagyobb páratlan szám: a) b) a) b) 129. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

32 130. a) 3222; b) ; c) 6111; d) 3554; e) 8848; f) ; g) 2912; h) ; i) a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p) Hányados: h; maradék: m a) h = 8, m = 26; b) h = 117, m = 57; c) h = 60, m = 25; d) h = 37, m = 26; e) h = 67, m = 29; f) h = 14, m = 32; g) h = 14, m = 83; h) h = 864, m = 44; i) h = 4, m = 29; j) h = 67, m = 2; k) h = 31, m = 30; l) h = 2561, m = 4; m) h = 15, m = 37; n) h = 2099, m = 63; o) h = 29, m = 618; p) h = 52, m = a) 7780; b) ; 4740; ; c) ; d) ; ; ; e) h = 400, m = 2; f) h = 520, m = 0; h = 311, m = 0; h = 100, m = 5; g) h = 140, m = 0; h) h = 300, m = 400; h = 40, m = 0; h = 140, m = 0 32 Milliós 134. Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a)

33 Milliós Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes b) a) ; b) 34 28; c) 28 13; d) 32 28; e) 34 29; f) 18 x a) (190 35) = 345 (Ft) b) A nyitott mondat lehet: 145+ x = Ft-ot kell még gyûjteni. c) Szükséges adatok: Katinak van 3100 forintja; a labda ára 650 Ft; a társasjáték 1970 Ft. Felesleges adat nincs > , ezért Katinak nem kell pénzt kérnie a szüleitõl. d) x = ; x = Ft-ot kaptak. e) ( ) : 2 = 150 Az 500 Ft-ból az egyik gyerek 150, a másik 350 Ft-ot kapott a) Ha a résztvevõk száma százas pontosságú, akkor a tanulók számát is százasokra kerekítjük = 1700 a felnõttek száma. b) A liftbe hatan szállhatnak be ; 500 : 80 6 c) ( Ft Ft) 12 = Ft Az évi jövedelem: Ft 138. a) 15 m 8 cm = 1508 cm; mm = 30 m 40 cm b) 40 dm 50 mm = 4 m 5 cm; 605 cm = 6 m 50 mm c) 7 km 50 m = 7050 m; 4360 m = 4 km 360 m 139. a) 35 kg 4 dkg = 3504 dkg; g = 25 kg 30 dkg b) 450 dkg = 4 kg 500 g; 1508 dkg = 15 kg 80 g 33

34 140. a) 5 nap 6 óra = 126 óra; 50 óra = 2 nap 2 óra = 3000 perc b) Fél óra = 30 perc = 1800 másodperc c) 1év 52 hét; 3 (normál) év 100 nap = 1195 nap Nem tízes alapú számrendszerek B1. a) A babszemek száma a leltár alapján: = = 148 b) 148 hatosával csoportosítva: = 404 ➅ B2. a = 5; b = 54; c = 109; d = 64; e = 33; f = 31; g = 127 B B4. a) 0 = 0 ➂ ; 1 = 1 ➂ ; 2 = 2 ➂ ; 3 = 10 ➂ ; 4 = 11 ➂ ; 5 = 12 ➂ ; 6 = 20 ➂ ; 7 = 21 ➂ ; 8 = 22 ➂ ; 9 = 100 ➂ ; 10 = 101 ➂ ; 11 = 102 ➂ ; 12 = 110 ➂ ; 13 = 111 ➂ ; 14 = 112 ➂ ; 15 = 120 ➂ ; 16 = 121 ➂ ; 17 = 122 ➂ ; 18 = 200 ➂ ; 19 = 201 ➂ ; 20 = 202 ➂ b) Egy, három, kilenc, huszonhét, nyolcvanegy c) 0; 1; 2; 3; 4; 5 d) 322 ➄ ; ➂ ; 223 ➅ B5. a) 73 = = ➁ ; 73 = = 1021 ➃ b) ➁ ; 157 ➇ Összehasonlítás: Összehasonlítás: 34

35 c) 1A9 ; 11C ; ahol A = 11, C = 13 d) g = 26; h = 396; i = 133; j = Törd a fejed! B6. A = {3 többszörösei} B = {5 többszörösei} K: 0; 15; 30 L: 3; 6; 9; 12; 18; 21; 24; 27; 33; 36; 39 M: 5; 10; 20; 25; 35; 40 N: 1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 22; 23; 26; 28; 29; 31; 32; 34; 37; 38 B7. a) b) B8. A: hamis B: hamis 35

36 B9. A = {Páratlan számok} B = {10-zel osztható számok} C = {Páros számok} D = {10-zel nem osztható számok} B10. 9; b) ; c) ; 108; ; ; 1107; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; B11. a) x = = ; x = 10062; = ; = b) y = = 5000; y = 5062; = ; = ; = 5062; = 5062; = B12. Becslés: = = = = : 10; = ; = B '50 : 25 = 6..; 600 < h < 700 B14. a = : 25 = 6300 b = : 75 = 630 : 3 = 210 c = : 250 =

37 B15. a) 5300 ( ) = 1200; b) ( ) = 4800; c) ( ) = 5800 B = 42; 9 3 = 27; 32 : 4 = 8; 96 : 8 = 12 a) = A; = A; : 8 = A; : 4 = A b) = B; : 4 = B; : 8 = B; = B c) 32 : 4 5 = C; 96 : 8 9 = C; = C; = C A = 53; B = 25; C = 3 B17. a) = 70; = 60; b) (2 + 5) = 70; = 10 c) ( + 2) 5 = 70; = 12; d) = 70; = 32 és fél B18. a) ( ) : 2 = ( ) : 2 = 700 b) ( ) 2 : 2 = : 2 = 750 c) (650 : ) 2 = ( ) 2 = 850 B19. Mindketten ugyanannyit költöttünk. ( ) + ( ) = = = (Ft-ért vásároltam.) ( ) + ( ) = = = (Ft-ért vásárolt Pista.) (Az összeg tagjai tetszés szerint csoportosíthatók.) B20. a) d = 0; b) e bármely természetes szám lehet; c) f = 34 B21. a) 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48 b) 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37; 43; 49 c) 2; 8; 14; 20; 26; 32; 38; 44; 50 d) 3; 9; 15; 21; 27; 33; 39; 45 e) 4; 10; 16; 22; 28; 34; 40; 46 f) 5; 11; 17; 23; 29; 35; 41; 47 g), h) 6-tal osztva 6, illetve 7 maradék nem lehet, mert abban még egyszer megvan a 6. A maradéknak kisebbnek kell lenni az osztónál. B22. a) 5 t = 5000 kg; 7 t 25 kg = 7025 kg; 13 t 13 kg= kg; 5 tized t = 500 kg (1 tized t = 1000 kg : 10) b) 20 kg = 2000 dkg; 3 t 2 kg = 3002 kg = dkg; negyed kg = 100 dkg : 4 = 25 dkg; 3 negyed kg = 75 dkg 37

38 c) 300 cm = 3 m; 300 dm = 30 m; 2000 mm = 2 m; 6000 cm = 60 m; 250 dm = 25 m; 250 cm = 2 és fél m d) 1000 dkg = 10 kg; 2000 g = 2 kg; 3400 dkg = 34 kg; 3500 g = 3 és fél kg B23. a) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Az ismert adatok segítségével a mennyiségeket szakaszokkal ábrázolhatjuk. Az ismert és az ismeretlen adatokat táblázatba foglalhatjuk: A megoldás lépései lehetnek: Csomag Doboz Rendeltek 35? Leszállítottak? 1344 Késõbb szállítják 7? (1) Leszállítottak (35 7 =) 28 csomagot, ez 1344 doboz. (2) Egy csomagban (1344 : 28 =) 48 doboz van. (3) A rendelt mennyiség (35 48 =) 1680 doboz. (4) Ellenõrzés például: késõbb szállítanak 48 7 = 366 dobozt, = 1680 doboz. b) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Most is segíthet a rajz, a mennyiségek szakaszokkal való ábrázolása. 38 A megoldás lépései lehetnek: (1) 3 autóra fér (8 + 1 =) 9 t burgonya. (2) 1 autóra 3 t fér. (3) Az elszállított burgonya ( =) 23 tonna. (4) Ellenõrzés: = 23 c) Hiányzik a lánc hossza, nem oldható meg a feladat. d) A gyerekek életkora felesleges adat. Mivel nem tudjuk, hogy a harmadik gyerek milyen munkatempóval ás, ezért csak azt mondhatjuk, hogy 4 óránál kevesebb idõ szükséges a kert felásásához. e) 1 km-t körülbelül 50 másodperc alatt teszünk meg. A 102 km-t 5100 másodperc = 85 perc alatt tesszük meg.

39 Tudáspróba ; pont ; ; pont 3. 0 < x 9 2 pont 4. a) 7 m 8 cm = 708 cm = 7080 mm; mm = 34 m 5 dm 3 pont b) 4 t 5 kg = 4005 kg = dkg; 405 dkg = 4 kg 50 g 3 pont c) 1 nap 12 óra = 36 óra = 2160 perc; 75 óra = 3 nap 3 óra 3 pont 5. x = = 3400 x = 3486 y = = y = z = ( ) 18 ( ) 20 = z = Ellenõrzéssel: 3 pont Rövidített szorzás esetén: 3 pont Mûveleti sorrend: 1 pont Becslés: 2 pont Számítás: 2 pont w = 5648 : 27; becslés: 200 < w < pont w = 209; maradék 5 Számítás: 2 pont Ellenõrzés: 2 pont 6. 2 pont 7. a) 1 fõ 585 Ft 18 fõ x Ft x = = ; x < ; x = pont Az eredmény összhangban van a becsült értékkel Ft-ot kaptak összesen. 5 pont b) 570 : 45 = 12; 12 pogácsát vehet, és marad 30 Ft-ja. Ellenõrzéssel: 5 pont 39

40 2. GEOMETRIAI ALAKZATOK Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal 1. a) Test. b) Test (esetleg gömbtest). c) Vonal, ha eltekintünk a vastagságától, ellenkezõ esetben test. d) Felület (sík). e) Test (téglatest). f) Felület (gömbfelület). g) Vonal. Ha végesnek gondoljuk, akkor szakasz, ha végtelennek, akkor egyenes. h) Vonal, ha a vastagságától eltekintünk. 2. Szakasz AB CD EF GH MN EP PF GP PH Mérés (mm) mm-es eltérés nem számít hibának. 3. a) A Q pont mindkét félegyeneshez hozzá tartozik. b) Lásd a tankönyv 76. oldalának utolsó három ábráját. Egyenesek kölcsönös helyzete 6. A pontok az adott egyenestõl 2 cm távolságra lévõ párhuzamos egyenespáron vannak. 7. a) A két szívószál párhuzamos egymással. Kétféleképpen helyezhetõ el a második szívószál. 40 b) A térben végtelen sokféleképpen helyezhetõ el a második szívószál úgy, hogy párhuzamos legyen a padra letett szívószállal.

41 8. 9. a) s párhuzamos p-vel (s p) b) f merõleges p-re (f p) c) k párhuzamos f-fel (k f ) k merõleges s-re (k s) k merõleges p-re (k p) Síkidomok, sokszögek 10. Csoportosítási szempontok lehetnek például: Egy határvonala van (1., 4., 5., 6., 7., 8.). A végtelenbe nyúlik, nem korlátos (4., 8.). Csak egyenes szakaszok határolják (1., 2., 4., 6., 7.). Félegyenesekbõl áll a határvonala (8.). Tengelyesen tükrös (1., 3., 5., 8.). 11. a) Az a oldallal szemközti oldal a c. b) Az a oldallal szomszédos oldalak a b és a d oldal. c) Az A csúccsal szemközt a C csúcs van. A két csúcsot átló köti össze. d) K = a + b + c + d = 27 mm + 24 mm + 30 mm + 35 mm = 116 mm = = 11 cm 6 mm = 1 dm 16 mm 12. A: 1., 4., 6., 7; B: 1., 2., 4., 6., 8., 10.; C: 6., 10.; D: 4., 6., 10.; E: 4., 6., 10.; F: 4., 6 41

42 Egybevágó síkidomok 13. Egybevágó sokszögek: az 1. és a 2., a 4. és a 9., a 5. és a b) Elkezdtük a kétszeresre nagyított kép megrajzolását: c) Elkezdtük a tükörkép megrajzolását. Egybevágó síkidomokat kapunk: d) A tükörkép egybevágó az eredeti képpel: 15. A két négyszög nem egybevágó egymással. Az oldalaik egyenlõk, de az egyikben merõlegesek a szomszédos oldalak, a másikban nem. Téglalap, négyzet 16. a) 148 m; 140 m; 112 m b) 74 db; 70 db; 56 db c) ; 280; lépéssel 42

43 17. A méréssel közelítõ értékeket kapunk, ezért az eredmények mellé odaírtuk, hogy milyen hibahatáron belül elfogadható a kerületre kapott érték. Például, ha K = 65 ± 3 mm, akkor a kerületet 62 mm és 68 mm közötti értéknek mérhetjük. (1) 79 ± 3 mm; (2) 69 ± 3 mm; (3) 70 ± 4 mm; (4) 56 ± 4 mm; (5) 65 ± 4 mm; (6) 81 ± 5 mm; (7) 68 ± 5 mm; (8) 47 ± 6 mm; (9) 66 ± 6 mm; (10) 48 ± 6 mm 18. a) 80 cm; b) 6 m = 60 dm = 600 cm; c) 252 dm = 2520 cm; d) 92 cm, ez a téglalap négyzet. 19. a) b 2 = 350; b 2 = 210; b = 105 cm b) Nincs ilyen téglalap, mert 2 65 mm = 130 mm. A másik két oldalnak 0 cm-nek kellene lennie. c) 15 dm, ez a téglalap négyzet; 4 15 dm = 60 dm = 6 m d) 6 cm, 11 cm; e) 8 cm, 16 cm 20. a) 4 a = 360 cm; a = 90 cm; b) 1 m 40 mm = 104 cm; a = 26 cm A terület mérése, mértékegységei 21. Ha a területegység 1 rácsnégyzet területe, akkor a téglalapok területe növekvõ sorrendben: (2) 10 egység; (4) 12 egység; (1) 15 egység; (3) 16 egység Észrevehetõ, hogy a (2) téglalap kerülete a legnagyobb (22 hosszúságegység), ugyanakkor ennek a téglalapnak a területe a legkisebb. A másik három téglalap kerülete egyenlõ, 16 hosszúságegység, a területük mégis különbözõ. Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 43

44 22. a) T = 32 területegység. b) A területegységet négyszeresére növeltük, a mérõszám egynegyed részére csökken. T = 8 területegység. 23. A téglalap oldalai (hosszúságegység): 1 és 7; 2 és 6; 3 és 5; 4 és 4 A téglalapok területe (területegység): 7; 12; 15; 16 Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 24. Az oldalak növekedése: A terület növekedése: 2-szeres 3-szoros 4-szeres (2 2 =) 4-szeres (3 3 =) 9-szeres (4 4 =) 16-szoros stb. 25. a) b) c) d) K (hosszúságegység) T (területegység) a) 1 dm 2 = 100 cm 2 = mm 2 ; 1 m 2 = cm 2 b) 6 dm 2 = 600 cm 2 = mm 2 ; 16 m 2 = cm 2 c) 1 ha = m 2 ; 9 ha = m 2 ; 15 ha = m 2 d) 4 ha 45 m 2 = m 2 ; m 2 = 20 ha e) 1 km 2 = 100 ha = m 2 f) 6 km 2 20 ha = 620 ha = m 2 A téglalap területe 27. a) T = 6 cm 2 = 600 mm 2 b) T = 1200 mm 2 = 12 cm Figyeljük meg a szorzatok változását: a) 315 cm 2 ; b) 630 cm 2 ; c) 945 cm 2 ; d) 1260 cm 2 44

45 29. a) mm 2 = 162 cm 2 b) cm 2 = 150 dm 2 = 1 m 2 50 dm 2 c) 1500 mm 2 = 15 cm 2 d) cm 2 = 210 dm 2 (= 2 m 2 10 dm 2 ) e) m 2 = 35 ha f) mm 2 = 200 cm 2 = 2 dm 2 g) m 2 = 300 ha = 3 km a) 50 cm; b) 120 mm; c) 205 m 31. c) T = m 2 = 756 m 2 ; marad: 756 m m 2 52 m 2 = 564 m 2 Téglatest, kocka 33. a) Az a négy él merõleges a kiválasztott lapra, amelyek egy pontban döfik a lap síkját. A többi nyolc él párhuzamos a kiválasztott lappal (azok is amelyek rajta vannak a lapon). b) Négy lap párhuzamos a kiválasztott éllel (két ilyen lapnak metszésvonala ez az él). c) A kiválasztott két él nem metszi egymást, és nem párhuzamos egymással. 45

46 Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben B1. a) A papírlap síkja párhuzamos az asztallap síkjával. (Igaz.) b) A lila rudak hossza 6 cm. A rájuk fektetett papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Néhány 3 cm hosszú világoskék rúdra ráhelyezünk egy lapot. Erre a lapra ráállítunk néhány világoskék rudat, majd rájuk is fektetünk egy lapot. A két papírlap síkja és az asztallap síkja párhuzamos egymással. A felül lévõ papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Az alatta lévõ lap pontjai 3 cm-re vannak a felsõ papírlap, illetve az asztallap síkjától is. c) A negyedik emelet padlósíkján. B2. Tekintsük a következõ feladatnál látható ábrát. a) Például az AB élre merõleges a BC, a BF, az AD és az AE él; az AB éllel párhuzamos az AB, az EF, a GH és a CD él; az AB éllel kitérõ élpárt alkot az EH, a DH, az FG és a CG él. b) Például az ABCD lappal párhuzamos az ABCD és az EFGH lap. c) Például az ABCD lappal párhuzamos az AB, a BC, a CD, a DA, az EF, az FG, a GH és a HE él. d) Például az AB éllel párhuzamos az ABCD, az ABFE, az EFGH és a CGHD lap. B3. a) A B csúcsban találkozó három él mindegyike merõleges a másik két élre. b) Az ABFE lapra merõleges az ABCD lap, az ADHE lap, a BCGF lap és az EFGH lap. c) Az ABFE lapra merõleges az AD él, az EH él, az FG él és a BC él. d) Az AB élre merõleges a BCGF és az ADHE lap. 46

47 A téglatest hálója, felszíne 34. Az a) és a c) kockaháló. 35. Az összeállítható téglatestek élei és felszíne: (1) 2 cm, 2 cm, 2 cm, A = 24 cm 2 ; (2) 2 cm, 2 cm, 3 cm, A = 32 cm 2 ; (3) 2 cm, 2 cm, 4 cm, A = 40 cm 2 ; (4) 2 cm, 3 cm, 4 cm, A = 52 cm a) 500 mm 2 ; 2500 mm 2 ; 250 mm 2 ; b) 15 cm 2 ; 205 cm 2 ; c) 300 cm 2 = mm 2 ; 3200 cm 2 = mm a) A = 112 egység; b) A = 192 egység; c) A = 136 egység 1 területegység egy rácsnégyzet területe. 38. a) 62 cm 2 ; b) 248 cm 2 = 2 dm 2 48 cm 2 ; c) 558 cm 2 = 5 dm 2 58 cm 2 ; d) 90 dm 2 ; e) 5400 dm 2 = 54 m 2 ; f) 142 m 2 ; g) 7636 mm 2 = 76 cm 2 36 mm 2 ; h) 1090 dm 2 = 10 m 2 90 dm a) 7462 mm 2 = 74 cm 2 62 mm 2 b) cm 2 = 11 m 2 17 dm 2 60 cm 2 c) 994 dm 2 = 9 m 2 94 dm a) 24 cm 2 ; b) 96 cm 2 ; c) 2400 cm 2 = 24 dm 2 ; d) mm 2 = 4 dm 2 13 cm 2 34 mm 2 ; e) mm 2 = 1 m 2 52 dm 2 40 cm 2 96 mm 2 ; f) mm 2 = 1 dm 2 81 cm 2 50 mm db 4 3 cm-es lappal kiegészítve cm-es téglatestet kapunk; A = 52 cm 2. A téglatest térfogata 42. Rózsaszín rúdból 4 db 8 fehér kocka. Világoskék rúdból 9 db 27 fehér kocka. Piros rúdból 16 db 64 fehér kocka. Lila rúdból 36 db 216 fehér kocka. 47

48 43. a) 5 4 egységkockából épül fel egy réteg. 3 rétegbõl épül fel a téglatest = 60 egységkocka szükséges. b) Az alaplapjára (4 3 =) 12 egységkocka fér. (72 : 12 =) 6 egység magas lesz a téglatest. c) A felépíthetõ téglatestek éleinek a hosszúsága: egység; egység; egység; egység; egység; egység; egység, ez kocka 44. a) A felépíthetõ téglatestek térfogata minden esetben 8 cm 3. b) Éleinek a hosszúsága, illetve felszíne: cm; A = 34 cm 2 ; cm; A = 28 cm 2 ; cm; A = 24 cm 2 A felépíthetõ, egyenlõ térfogatú téglatestek közül a kocka felszíne a legkisebb. 45. a) 27-et; (hat vágással darabolható fel). b) 1-szerese; a darabolás során a térfogat nem változik. 1 c) része; minden vágással még két lapnyi új felület képzõdik. Így a kocka 3 felszínéhez még hozzáadódik a kétszerese, ezért az eredeti felszín megháromszorozódik. 46. a) 30 cm 3 ; b) 240 cm 3 ; c) 250 dm 3 ; d) 50 dm 3 ; e) dm 3 = 27 m 3 ; f) 105 m 3 ; g) mm 3 = 43 cm mm 3 ; h) 2100 dm 3 = 2 m dm 3 ; i) cm 3 = 35 dm cm 3 ; j) cm 3 = 8000 dm 3 = 8 m a) a b c = 3600 cm 3 ; c = 3600 : (a b); c = 18 cm; b) 8 dm; c) 10 cm = 1 dm; d) 12 cm; e) 25 dm = 2 m 5 dm 48

49 = 192 kis kocka fér bele = 144 Kevesebb kis kocka férne bele. Az ûrtartalom mérése 50. a) 1 l = 10 dl; 100 dl = 10 l; 170 dl = 17 l; 5 dl = fél l b) 1 l = 1 dm 3 = 1000 cm 3 ; 1 dl = 10 cl = 100 cm 3 c) 1 cl = 10 ml = 10 cm 3 ; 1 ml = 1 cm 3 = 1000 mm 3 d) 5 l = 50 dl = 500 cl = 5000 ml; 300 cl = 30 dl = 3000 cm 3 e) 500 l = 5 hl = fél m 3 ; dm 3 = 20 m 3 = l f) 4 m 3 = 40 hl = 4000 l; 500 hl = l = 50 m fazék: 5 l; orvosságosüveg: 5 ml; bögre: 5 dl; kis pohár: 5 cl hordó: 5 hl; 52. a) A vödröt az 1 literes palack segítségével megtöltjük. Az egyliteres palackba 1 dm 3 víz fér. b) Például a félliteres (500 cm 3 -es) bögrét telemerjük a kis pohárral, így megállapíthatjuk, hogy a kis pohár térfogata mekkora része az 500 cm 3 -nek. A kavicsot mérõpohárban adott vízbe sûlyesztjük, és megállapítjuk a térfogat növekedését. 49

50 Gyakorlófeladatok 53. a) 1 m = 10 dm = 1000 mm = 100 cm; 1 dm = 10 cm = 100 mm b) 80 dm = 8 m = 800 cm = 8000 mm; 500 cm = 5000 mm = 50 dm = 5 m c) 1 km = 1000 m; 2 és fél km = 2500 m; m = 45 km d) 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml; 1 dl = 100 ml = 10 cl e) 100 l = 1000 dl = 1 hl; 2500 l = 25 hl = dl f) 1 l = 1 dm 3 = 1000 cm 3 ; 250 hl = 25 m 3 = l g) 40 dl = 4 dm 3 = 4000 cm 3 ; 250 cl = 2500 cm 3 = 25 dl h) 1 kg = 1000 g = 100 dkg; 250 t = kg i) 2500 g = 2 és fél kg = 250 dkg; 2500 dkg = 25 kg = g j) 1 óra = 60 perc = 3600 másodperc; 1 nap = 24 óra = 1440 perc 54. a b; a c; b c; c e; e a; e b; a a; b b stb téglalap határolja, 12 éle, 8 csúcsa van. Egy élben 2 lap, egy csúcsban 3 él találkozik. A szemközti téglalapok egybevágók. A kockát 6 egybevágó négyzet határolja. A kocka is téglatest, érvényesek rá a fent megfogalmazott összefüggések. 56. Az egyenesek a papír síkjában vannak. a) b c; d b; d c; b) a d; a c; b d; c) b d; a c; a d; d) Nem rajzolható így meg a négy egyenes. 57. a) 700 mm 2 ; b) mm 2 ; c) 1245 mm 2 ; d) mm 2 ; e) mm a) 30 cm 2 ; b) 1200 cm 2 ; c) 1004 cm 2 ; d) 307 cm 2 ; e) 450 cm a) 300 dm 2 ; b) 1200 dm 2 ; c) 234 dm 2 ; d) 207 dm 2 ; e) 650 dm a) 50 m 2 ; b) 2 és fél m 2 ; c) m 2 ; 50 d) 5020 m 2 ; e) 45 m 2

51 61. a) a = 6 cm; T = 36 cm 2 ; b) a = 8 cm; K = 32 cm 62. a) 6 db-ot; 70 cm széles, 10 cm hosszú csík marad. b) 36 db; c) 20 m, 28 m; T = 560 m a) Fedõlappal együtt: A = 2 ( ) cm 2 = cm 2 Ha fedõlap nélkül készítjük az akváriumot, akkor tudnunk kell, hogy milyen méretû a hiányzó fedõlap. Ennek a területét nem kell beszámítanunk. Így három megoldást kapunk: cm 2 ; cm 2 ; cm 2 Mivel a szorzat tényezõi felcserélhetõk, a térfogat értéke mindig ugyanakkora, függetlenül attól, hogy az akváriumnak melyik lapja a fedõlap. V = = cm 3 = 140 dm 3 = 140 l b) A testháló lehet például: A = 2 ( ) mm 2 A = 3150 mm 2 = 31 cm 2 50 mm 2 V = mm 3 = mm 3 = = 11 cm mm a) 117 m; b) K = 12 m 30 cm; c) K = 100 cm = 10 dm = 1000 mm 65. a) T = 27 m 2 = 2700 dm 2 b) T = mm 2 = 250 cm 2 = 2 és fél dm 2 c) 1488 : 24 = 62; a másik oldal hossza: 62 m 66. Él (cm) A (cm 2 ) V (cm 3 ) Ha az élhosszúság mérõszáma megegyezik a lapok számával, akkor A = V. Ha az élhosszúság mérõszáma kisebb 6-nál, akkor A > V, ha az élhosszúság mérõszáma nagyobb mint 6, akkor A < V. 67. b) A labdarúgópálya területe: T 5000 m 2 = fél ha 51

52 Törd a fejed! B4. 2 cm-szer 2 cm-es; 2 cm-szer 3 cm-es; 2 cm-szer 5 cm-es; 3 cm-szer 3 cm-es B5. Öt megoldás van. A téglalapok oldalai és területe: 1 cm, 9 cm, 9 cm 2 ; 2 cm, 8 cm, 16 cm 2 ; 3 cm, 7 cm, 21 cm 2 ; 4 cm, 6 cm, 24 cm 2 ; 5 cm, 5 cm, 25 cm 2 Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. B6. Az egyik oldala legyen a, a másik oldala legyen b. a) és b) feladat megoldása ugyanaz a téglalap is lehet: a = 2 b vagy a = b : 2 c) a = b + 2 cm d) Így a = 3 b 2; b > 2 3 cm. B7. A szorzat változásáról tanultakat alkalmazhatjuk. a) 3-szorosára nõ; b) 4-szeresére nõ; c) felére csökken; d) nem változik. B8. a) T = 350 dm 2, a = 7 dm, b = 50 dm; b) T = cm 2, a = 13 cm, b = cm = 300 m; c) T = m 2, a = 700 m, b = 500 m; d) T = m 2, a = 50 m, b = 9400 m; e) T = m 2, a = m, b = 30 m; f) T = 301 dm 2, a = 43 dm, b = 7 dm 52

53 B9. a) b) B10. a) 87 m kerítés kell még. A kert területe: T = 943 m 2 b) 9 megoldás van. Az udvar két szomszédos oldala, illetve területe lehet: a (m) b (m) T (m 2 ) c) A szoba: T = 20 m 2 ; a szõnyeg: 3 4 m 2 = 12 m 2 ; marad: 8 m 2 d) A fél kerület 11 cm; a másik oldal 7 cm; T = 28 cm 2 e) (5460 : 52 =) 105 m f) T = m 2 = 4176 m 2 ; görkorcsolyapálya: (4176 : 9 =) 464 m 2 ; füves terület: (464 8 =) 3712 m 2 Ha a görkorcsolyapálya téglalap alakú volt, akkor a másik oldalának hossza: (464 : 16 =) 29 m g) (1350 dm 2 : 6 =) 225 m 2 ; a kocka éle: 15 dm (Próbálgatással döntsd el, hogy melyik az a szám, amit önmagával megszorozva 225-ot kapunk!) h) K = (386 mm mm) 2 = 2316 mm = 2 m 3 dm 1 cm 6 mm i) a = 25 cm; b = 50 cm; c = 150 cm; V = a b c = cm 3 = 187 dm cm 3 = 187 és fél liter A zárt akvárium felszíne: A = cm 2 (1) Tételezzük fel, hogy az akvárium 50 cm magas és felül nyitott: A 1 = A cm 2 = cm cm 2 = cm 2 (2) Ha az akvárium 25 cm magas és felül nyitott: A 2 = A cm 2 = cm cm 2 = cm 2 (3) Ha az akvárium 150 cm magas és felül nyitott: A 3 = A cm 2 = cm cm 2 = cm 2 j) 225 l 152 l = 73 l marad. 53

54 B11. a) T = 5076 m 2 ; b = 108 m b) T = m 2 = 270 ha; 3240 t füvet kaszáltak le; ebbõl ( : 4800 =) 675 t széna lett. B12. A legbelsõ téglalap területe 6 egység. A köré írt négyszög területe 2 6 egység = 12 egység. A köré írt négyszög területe mindig 2-szerese az eredeti négyszögnek. Így az öt négyszög területe rendre: 6 egység; 12 egység; 24 egység; 48 egység; 96 egység B13. a) 1584 : : 24 = ( ) : 24 = 2400 : 24 = 100 A kert hosszúsága 100 m. b) A méréseket milliméter-pontossággal végezzük (1 mm eltérés nem számít hibának). A telek 29 m széles, 57 m hosszú. Az épület alaprajza téglalapokra bontható. Például: ( ) = 1082 Az udvar területe: T 1100 m 2 c) 5 ( ) m (17 és fél) m 2 = 120 m 2 B14. a) 30 ha; b) 289 km 2 = ha 1 ha = m 2 = m 2 ; 1 km 2 = ha = 100 ha B15. a) m 2 ; m 2 b) 7 ha; 3 és fél ha c) 1 km 2 = 100 ha = m 2 d) 6 km 2 = 600 ha = m 2 ; 2 és fél km 2 = 250 ha = m 2 e) m 2 = 300 ha = 3 km 2 ; m 2 = 450 ha = 4 és fél km 2 B16. 54

55 B17. a) 70 km 2 ; b) fél km 2 ; c) 2 km 2 ; d) fél km 2 B18. Az összerakott kocka minden éle 2 egység hosszúságú. a) 4-szerese; b) fele B19. a) 27-re; b) V = 27 térfogategység; c) A = 54 területegység; d) A 27 db egység élhosszúságú kis kockából 3 lapja piros a kocka csúcsain lévõ 8 kis kockának; 2 lapja piros az élek közepén lévõ 12 kis kockának; 1 lapja piros a lapok közepén lévõ 6 kis kockának; 0 lapja piros a kocka közepén lévõ 1 kis kockának. B20. a) Egy lapjának a területe (150 cm 2 : 6 =) 25 cm 2 ; egy éle: 5 cm; V = 125 cm 3 b) Egy éle 4 cm; A = 96 cm 2 B21. a) 10 dl; b) 5 dl; c) 3 dl; d) 4 dl 5 cl B22. Ha a téglatest minden élét 2-szeresére növeljük, akkor minden lapjának területe (2 2 =) 4-szeresére változik, tehát a felszín is 4-szeresére nõ. Ha a téglatest minden éle 3-szorosára nõ, akkor a felszíne (3 3 =) 9-szeresére változik. B B; 2. A; 3. C B24. A térben négy egybevágó háromszöget állíthatunk össze: B25. Ha a kocka éleit 2-szeresére változtatjuk, akkor a térfogata (2 2 2 =) 8-szorosára nõ. Ha a kocka éleit 3-szorosára változtatjuk, akkor a térfogata (3 3 3 =) 27-szeresére nõ. B26. a) 2 41 m + 2 x = 126 m; x = 22 m b) T = m 2 = 902 m 2 55

56 c) T sz = cm 2 ; T sz = cm 2 = 10 m 2 d) a = 28 cm; T = 3024 cm 2 ; T = a b b = T : a; b = 3024 : 28 (cm); 100 < b < 200; b = 108 cm e) V = 36 m 3 = l; V = a b c; 36 = 3 4 c; c = 3 m B27. I. megoldás: Hiányzik 2 db 30 cm-szer 40 cm-es lap. II. megoldás: Hiányzik 1 db 30 cm-szer 40 cm-es és 1 db 25 cm-szer 30 cm-es lap. I. II. B28. 56

57 B29. A következõ összeállításokból hajtogatható össze kocka: A következõ összeállításokból nem hajtogatható össze kocka: 57

58 Képességpróba B Nem jutunk ellentmondásra, ha feltételezzük, hogy Dóra kijelentése hamis, a többi kijelentés igaz. Ebben az esetben csak Berta rajzolhatta a hatszöget. Ha más állításokról tételezzük fel, hogy hamis, akkor még egy hamis állítást találunk, ami nem felel meg a feltételeknek. Például legyen Andi állítása hamis. Ekkor Andi rajzolta vagy a háromszöget vagy a hatszöget. Tehát vagy Cili vagy Dóra állítása is hamis. 2. a b = 88 cm 2 ; 88 = 11 8 a c = 99 cm 2 ; 99 = 11 9 a = 11 cm; b = 8 cm; c = 9 cm; A = 2 (a b + a c + b c) = 2 ( ) = 518 cm 2 A helyes válasz D: 518 cm 2 3. Petra 1 perc alatt cm = 6000 cm = 60 m utat tesz meg; 30 perc alatt m = 1800 m-t. K = 2 (400 + b) = 1800 m; A helyes válasz A: 500 m l = 100 dl; 100 dl víz 20 cm magas vízszint; 10 dl víz 2 cm magas vízszint; 5 dl víz 1 cm magas vízszint A helyes válasz C: 21 cm b = 500 m 5. a) = 8; b) 6 4 = 24; c) 12 2 = 24; d) 8; e) nincs ilyen kis kocka; f) 64 6 cm 2 = 384 cm 2 Tudáspróba A merõleges egyenes megrajzolása, pontosságtól függõen. 2 pont A párhuzamos egyenes megrajzolása, pontosságtól függõen. 2 pont 2. a) 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2 = mm 2 3 pont b) 50 dm 2 = 5000 cm 2 = mm 2 = fél m 2 3 pont 58

59 c) 50 ha = m 2 = fél km 2 ; m 2 = 1 és fél ha 3 pont d) 1 m 3 = 1000 dm 3 = cm 3 ; 1 cm 3 = 1000 mm 3 = 1 ml 4 pont e) 1 m 3 = 10 hl = 1000 l = dl; 15 cm 3 = 15 ml 4 pont 3. A kerítés hosszúsága: L = K 2 m = 2 (17 m + 48 m) 2 m = 128 m A kert területe: T = a b = 816 m 2 3 pont 2 pont 4. T = a b = 555 m 2 2 pont 5. T = 27 b = 3024 cm 2 1 pont b = (3024 : 27 =) 112 cm 2 pont 6. V = a b c; V = dm 3 = 9000 dm 3 = 9 m 3 3 pont V = 9000 l = 90 hl 2 pont 7. A téglatest élei: 15 mm, 20 mm, 30 mm 1 pont A téglatest hálójának hibátlan felrajzolása. 2 pont A = 2700 mm 2 = 27 cm 2 V = 9000 mm 3 = 9 cm 3 3 pont 3 pont 59

60 A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA Ebben a fejezetben az oldalak alján található feladatok megoldásával foglalkozunk. 1. A természetes számok 11. old. Ha a vásárolt áru árának utolsó számjegye 3, 4 vagy 6, 7, akkor 5-re kerekítünk. Ha az áru árának utolsó számjegye 1, 2 vagy 8, 9, akkor (szabályosan) kerek tízesre kerekítünk. a) 0 Ft; b) 5 Ft; c) 5 Ft; d) 10 Ft a visszajáró pénz. 12. old. 1. Ha bármely kétjegyû számhoz hozzáírjuk fordított sorrendben a számjegyeit, akkor a feltételnek megfelelõ négyjegyû számot kapunk: Például: 1001; 1111;...; 1991; 2002; 2112;...; 2992;...; 9779; 9889; 9999 Tehát a feltételnek 90 db négyjegyû szám felel meg, annyi ahány kétjegyû szám van = old. A gondolt szám old. Az A állítás hamis. 18. old. 105 mm 19. old. Egy beosztás 5 lépés. A 0-ról indult a teknõs. 150

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály)

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály) MEGOLDÓKULCSOK 1. feladatsor (1. osztály) 1. feladat 8 9 10 14 15 16 10 11 12 18 19 20 1. pontdoboz: Hibátlan számszomszédok írása 1 pont, hiba 0 pont. 2. feladat 20 17 14 11 8 5 2 2. pontdoboz: Szabályfelismerésért

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése TANANYAGBEOSZTÁS TÁMOP 3.1.4. 08/2-2008-0149 A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése Mátészalkán Implementáló pedagógus: Nagy Gusztávné Implementációs terület: Kompetencia alapú matematika

Részletesebben

Számok és műveletek 10-től 20-ig

Számok és műveletek 10-től 20-ig Számok és műveletek től 20ig. Hány gyerek vesz részt a síversenyen? 2. Hányas számú versenyző áll a 4. helyen, 3. helyen,. helyen? A versenyzők közül hányadik helyen áll a 4es számú, 3as számú, es számú?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK

KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK 1. a) I; b) H; c) I; d) I; e) I.. a) I; b) I; c) H; d) I; e) H. Természetes számok. 5555 < 7788< 7878< 7887< 8787< 8877< 8888. 4.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA

MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA JELÖLÉSEK: Nem szakrendszerű órák jelölése zöld színnel, számok a programterv A 6. évfolyam tanmenetből valók Infokommunikációs technológia

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály 40 rózsát el lehet-e osztani 5 lány között úgy, hogy mindegyik lánynak páratlan számú rózsa jusson? Nem lehet.(1 pont) Öt darab páratlan szám összege páratlan, a 40 páros (1 pont). Hogyan tudnátok

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Matematika. 1. osztály

TANMENETJAVASLAT. Matematika. 1. osztály TANMENETJAVASLAT Matematika 1. osztály 2 1. Tájékozódás a tanulók készségeirôl, képességeirôl Játék szabadon adott eszközökkel Tk. 5. oldal korongok, pálcikák építôkockák GONDOLKODÁSI MÛVELETEK ALAPOZÁSA

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

1. A TERMÉSZETES SZÁMOK A TÍZES SZÁMRENDSZER

1. A TERMÉSZETES SZÁMOK A TÍZES SZÁMRENDSZER 1. A TERMÉSZETES SZÁMOK Ebben a fejezetben átismételjük mindazt, amit az alsó tagozatban a természetes számokról és a velük végzett műveletekről tanultunk. Közben kibővítjük ismereteinket, magasabb számkörbe

Részletesebben

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Dr. Csóka Géza: Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Kilencedik éve vezetek győri és Győr környéki gyerekeknek

Részletesebben

Feladatgyűjtemény matematikából

Feladatgyűjtemény matematikából Feladatgyűjtemény matematikából 1. Pótold a számok között a hiányzó jelet: 123: 6 a 45:9.10 2. Melyik az a kifejezés, amelyik 2c-7 tel nagyobb, mint a 3c+7 kifejezés? 3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK A tanmenetet három lehetséges

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY ALAPMÉRTÉKEGYSÉGEK A fizikában és a méréstudományban mértékegységeknek hívjuk azokat a méréshez használt egységeket,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK Telefon: 37-8900 Fax: 37-8901 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. 1. Egy osztási műveletben az osztandó és az osztó összege 89.

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben A Nemzeti Alaptantervhez illeszkedő tankönyv-, taneszköz-, és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése TÁMOP-3.1.2-B/13-2013-0001 MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

PYTAGORIÁDA A járási forduló feladatai 34. évfolyam, 2012/2013-as tanév KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA A járási forduló feladatai 34. évfolyam, 2012/2013-as tanév KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Két kalácsért 32 centet fizetnénk. Hány centet fizet Peti, ha saját magának és három testvérének is vesz egy-egy kalácsot? 2. Írjátok le egy szóval, hogy milyen műveleti jelet kell a példában

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont 2012. január 28. 8. évfolyam TMat1 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

JAVÍTÓKULCS 6. osztályosok számára B-2 feladatlap

JAVÍTÓKULCS 6. osztályosok számára B-2 feladatlap JAVÍTÓKULCS 6. osztályosok számára B-2 feladatlap 2001. február 7. 1. A jéghegyeknek csak 1/9 része van a vízfelszín felett. Hány tonnás az a jéghegy, amelynek víz alatti része 96 tonna tömegű? A válasz:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Számtani alapok. - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag TÉMAKÖR TARTALMA

Számtani alapok. - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag TÉMAKÖR TARTALMA Számtani alapok TÉMAKÖR TARTALMA - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag ALAPMŐVELETEK A matematikai alapmőveletek az összeadás

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ 5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =

Részletesebben

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 2. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 3. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 4. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia és csoport

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Fodor Csaba, Szeged Név:..... Iskola:. Beküldési határidő:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Sashalmi Tanoda Általános Iskola. Helyi tanterv. 5-8. évfolyam

Sashalmi Tanoda Általános Iskola. Helyi tanterv. 5-8. évfolyam 5. évfolyam Matematika helyi tanterv Sashalmi Tanoda Általános Iskola Helyi tanterv 5-8. évfolyam 4 óra / hét MATEMATIKA Adaptálva: Műszaki Kiadótól 5. évfolyam Matematika helyi tanterv 5 6. évfolyam A

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓ VIZSGA KÖVETELMÉNYEI 1 4. ÉVFOLYAM

OSZTÁLYOZÓ VIZSGA KÖVETELMÉNYEI 1 4. ÉVFOLYAM OSZTÁLYOZÓ VIZSGA KÖVETELMÉNYEI 1 4. ÉVFOLYAM MATEMATIKA - számfogalom húszas számkörben - nyitott mondatok, hiányos műveletek, relációk - egyszerű szöveges feladatok - összeadás, kivonás, bontás, pótlás

Részletesebben

Felkészülés a Versenyvizsgára

Felkészülés a Versenyvizsgára Felkészülés a Versenyvizsgára Feladatok 5. osztályosoknak 1. Mennyi a -10, -9, -8,..., 9, 10 számok összege? 2. Mennyi a -10, -9, -8,..., 9, 10 számok szorzata? 3. Mennyi az öt legkisebb természetes szám

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Matematika 5 8. évfolyam

Matematika 5 8. évfolyam Matematika 5 8. évfolyam 5 6. évfolyam A felső tagozaton az eddig megszerzett tudást és kompetenciákat kell elmélyíteni és kiterjeszteni. A mindennapi élet problémamegoldásához szükséges képességek és

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM Matematika 5-8. évfolyam Helyi tanterv MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM Vásárosdombói Általános Iskola, Egységes Oktatási és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Vásárosdombó Matematika 5-8. évfolyam

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Matematika. Célok és feladatok

Matematika. Célok és feladatok Matematika Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok Tanárverseny 0 középiskolában tanító tanároknak vázlatok Kidolgozta: Csordásné Szécsi Jolán, Csordás Péter A verseny támogatói: Typotex Kiadó Maxim Kiadó MATEGYE Alapítvány . Mennyivel egyenlő a K E D

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

5. évfolyam Matematika helyi tanterv 2013. Matematika. 5 8. évfolyam

5. évfolyam Matematika helyi tanterv 2013. Matematika. 5 8. évfolyam 5. évfolyam Matematika helyi tanterv Matematika 5 8. évfolyam 5. évfolyam Matematika helyi tanterv Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben