A szállítási feladat klasszikus megfogalmazása a következő. Adott n számú F 1. mennyiségűhomogén termékkel rendelkeznek, valamint m számú R 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szállítási feladat klasszikus megfogalmazása a következő. Adott n számú F 1. mennyiségűhomogén termékkel rendelkeznek, valamint m számú R 1"

Átírás

1 Dr. BenkőJános A szállítás feladat 4. A SZÁLLÍTÁSI FELADAT A szállítás feladat klasszkus megfogalmazása a következő. Adott n számú, F 2,..., F n feladó, akk f 1, f 2,..., f n mennységűhomogén termékkel rendelkeznek, valamnt m számú,,..., R m megrendelő, akk r 1, r 2,..., r m mennységet gényelnek a szóban forgó termékből. Jelentse c azt a falagos szállítás költséget, amelybe az egységny termék szállítása kerül, ha azt az -edk feladótól a -edk megrendelőhöz szállítuk. A cél a megrendelők gényét úgy kelégíten, hogy a szállítás összes költsége mnmáls legyen. Ha x az -edk feladótól a -edk megrendelőhöz szállítandó mennységet elent, akkor a feladatot a következőformában írhatuk fel: (4.1) x ( = 1,...,n) ( = 1,...,m), (4.2) x f, (4.3) x r, (4.4) f r, (4.5) c x z mn. A modell felírása után tekntsük a feltételek elentését: Az (4.1) feltétel azt elent, hogy a szállítás egyrányú a feladóktól a megrendelők felé. A (4.2) feltétel szernt a feladók készletét el kell szállítan. A (4.3) feltételben kkötük, hogy a megrendelők gényét k kell elégíten. A (4.4) feltétel értelmében a feladók készlete egyenlőa megrendelők gényével. Az (4.5) lneárs függvényben fogalmazzuk meg a célt. (Az összes szállítás költség akkor mnmáls, ha a falagos költségek és a szállított mennységek szorzatanak összege mnmáls.) A gyakorlatban az alapmodell (4.4) feltétele rtkán telesül, azaz a f r. Ilyenkor a (4.2) és (4.3) feltételekben az egyenletek helyett csak egyenlőtlenségek követelhetők meg: ha a f r, akkor x f, ha a f r, akkor x r.

2 Ezek a formák fktív feladó vagy megrendelőbektatásával könnyen vsszavezethetők az alapmodellre. A létezőés a fktív feladók, lletve megrendelők vszonylatához c értékűfalagos költséget rendelünk, a (4.4) feltételt pedg a úgy bztosítuk, hogy a fktív feladót r f készlettel, a fktív megrendelőt f r génnyel szerepeltetük. A gyakorlat problémák megoldása során előfordulhat olyan kkötés s, hogy bzonyos feladók nem szállíthatnak bzonyos megrendelőknek. Ezeket a korlátozásokat az alapmodell változtatása nélkül úgy vehetük fgyelembe, hogy a tltott relácókhoz c falagos költséget rendelünk. A gyakorlatban a tltott relácók költsége: c, ahol sokkal nagyobb, mnt a több c elem. Az -mel elölt mennységet szokás tltótarfának nevezn. A tltótarfát alkalmazzuk akkor s, amkor a feladók készlete nagyobb, mnt a megrendelők génye, és valamely feladónál nem maradhat készlet. Ezt bztosan úgy érhetük el, hogy a ktüntetett feladó nem szállíthat a fktív megrendelőnek. Fordított esetben, amkor a megrendelők génye a nagyobb, és valamely megrendelőgénye elsőbbséget élvez, akkor a fktív feladó nem szállíthat az elsőbbséget élvezőmegrendelőnek. A tltótarfa alkalmazásának lehetőséget a gyakorlat problémák megfogalmazásakor részletesen bemutatuk. Feltétlen említést érdemel, hogy a klasszkus formában, az anyagmozgatásban használatos kfeezésekkel megfogalmazott modell nagyon sokoldalúan alkalmazható más problémák megoldására s. Ezért talán helyesebb az rodalomban kevésbé elteredt elosztás feladat elnevezés, a megtévesztőszállítás feladat helyett. Említést érdemel az elosztás feladatoknak a hozzárendelés feladat néven smert csoporta, amkor s t =r =1 mnden,-re és n=m. Ilyen feladat megoldása merül fel akkor, amkor n számú különbözőanyagmozgatás műveletet kell hozzárendeln n számú, különbözőműszak paraméterrel ellemezhető géphez, és a munka elvégzésére fordított a költség mnmalzálása a cél. A c falagos szállítás költséget eddg hallgatólagosan állandónak tekntettük. A gyakorlatban azonban előfordulhat, hogy c az x lneárs vagy kvadratkus függvénye. Ilyen ellegűfeladatokkal nem foglalkozunk, de megemlítük, hogy ezek megoldására s hatékony algortmusok állnak rendelkezésre [41]. Végül megegyezzük, a modell maxmumfeladatok megoldására s alkalmas. A cél megfordítását úgy érhetük el, hogy a c falagos költségelemeket 1-gyel szorozzuk. A szállítás feladat megoldására több heursztkus és egzakt eredményt szolgáltató módszert smerünk. A közelítőmódszerek egyrészt az optmumhoz közel bázsmegoldást adnak az egzakt elárásokhoz, másrészt kéz számolás esetén kevesebb munkával szolgáltatnak a gyakorlat számára elfogadható eredményt. Ezért mndkét területről bemutatunk algortmusokat. Ezeket a közérthetőség kedvéért egy példa megoldásával párhuzamosan smertetük. 2

3 4.1. A Vogel-Korda-féle elárás A heursztkus elárások közül az egyk leghatékonyabb és az egyk legsmertebb a Vogel-Korda-féle módszer. A módszer bemutatásához tekntsük a következőpéldát. Legyen a feladók száma n=3, a készletük f =[5,4,3]. A megrendelők száma m=4, gényük r =[4,1, 6,1]. A falagos szállítás költségek mátrxa: C = Az elsőlépés a költségmátrx redukálása. Ha a mátrx mndegyk sorának elemeből levonuk a sorban található legksebb elemet, mad az így kapott mátrx mndegyk oszlopának elemeből levonuk az oszlopban található legksebb elemet, akkor olyan költségmátrxhoz utunk, amelyhez ugyanazon optmáls megoldás tartozk, mnt az eredethez. Legyen p az -edk sor, q pedg a -edk oszlop legksebb eleme, azaz p mn{ c 1, 2,..., m}, q mn{ c p 1, 2,..., n}, akkor a redukált mátrx eleme: c c p q. Ezt helyettesítsük az (4.5) célfüggvénybe: z ( c p q ) x z c x p x q x z c x p ( x ) q ( x ) Felhasználva a (2) és (3) összefüggéseket a (4.6) z c x p f q r. Ezzel z célfüggvényt az x -től függőés attól független részekre bontottuk, és a redukcóra vonatkozó állításunkat bzonyítottuk. Íruk fel ezek után a példánkat táblázatos formában, mad hatsuk végre a redukcót. f F F r

4 f F F r A következőlépés a költségelemek rangsorolása az ún. dfferencák alapán. A dfferencákat úgy számíthatuk k, hogy mnden oszlopban és sorban vesszük a mnmáls elemek különbségét. A sorokban: Az oszlopokban: 3 =3, 1 =1, =. 1 =1, 1 =1, =, 4 =4. Ha az előzőtáblázatunkat kegészítük a dfferencákkal, akkor a következőtáblázatot nyerük: f F F r A dfferencák alapán dönthetünk arról, hogy melyk sorban lletve oszlopban kezdük a programozást. Azt a sort, lletve oszlopot részesítük előnyben, amelykhez a legnagyobb dfferenca tartozk. Esetünkben ez egyértelműen a 4. oszlop. Ha a dfferencák halmazában nncs egyértelműen maxmáls elem, akkor a legnagyobb dfferencákhoz tartozó sorok lletve oszlopok közül szabadon választhatunk. A kválasztott sor vagy oszlop mnmáls elemére a lehetőlegnagyobb mennységet programozzuk. Azt a sort, lletve oszlopot elhagyuk, ahol a készlet -ra csökken, és úra kszámítuk a dfferencákat. A leírt elárást ezt követően addg folytatuk, amíg az összes feladó készletét, lletve megrendelőgényét szét nem osztottuk. Az elárás lépéset a következőtáblázatokban nyomon követhetük. f F F r

5 f F F r f F F r f F F r A megoldás: f F F 3 1 r 1 x 13 =5, x 21 =3, x 22 =1, x 31 =1, x 33 =1, x 34 =1. A célfüggvény értéke: z =1*5+2*3+1*1+1*1+1*1+1*1=15, am, mnt később látn foguk, az optmáls megoldás s. Természetesen nagyobb volumenűfeladatoknál ez nem mndg következk be, csupán abban lehetünk bztosak, hogy az optmumhoz közel megoldást kapunk példa: Olduk meg a következőszállítás feladatokat a Vogel- Korda módszerrel:

6 A korlátozás és szétválasztás módszerének alkalmazása Az optmumszámítás területén az elmúlt évtzedekben előtérbe kerültek az ún. kombnatorkus módszerek. Ezek közé sorolható a korlátozás és szétválasztás. A továbbakban ennek gyakorlat alkalmazását mutatuk be a szállítás feladaton. vel a szállítás probléma mnmumfeladat, a korlátozás tevékenységnél alsó korlátot állapítunk meg, a szétválasztásnál pedg a legksebb alsó korlátot vesszük fgyelembe [11]. Az összes megoldások halmazára alsó becslést úgy nyerünk, hogy az előzőpontban bemutatott módon redukáluk a C költségmátrxot. A (4.6) alapán könnyű belátn, hogy a redukcó nagysága: a célfüggvényben: p f q r, z c x p f q r bekövetkezett változásokat mutata. Az s belátható, hogy a c matt a redukcó mértékénél ksebb értékűmegoldás nem található, ezért az összes megoldások halmazához alsó korlátként a összeget rendelük. z p f q r c elemre kszá- Szétválasztás krtérumnak tekntsük az összes mított r mn ( c k 1, 2,..., 1, 1,..., m) f ( c k 1, 2,..., 1, 1,..., n) r k k összegek halmazából a maxmálsat, azaz a szétválasztás krtérum R r max. Ez gyakorlatlag azt elent, valamenny c elemre megvzsgáluk, hogy mlyen mértékben növekedne a z célfüggvény, ha a vzsgált helyet tartalmazó megoldásokat kzárnánk a megoldások halmazából, mad ezek közül azt választuk, amelynek a kzárása a legnagyobb célfüggvény növekedést eredményez. aga az elárás nagyon egyszerű, az R -nek megfelelőc = helyére c =-t írunk, am R redukcót tesz lehetővé. előtt azonban ezt megtennénk, megvzsgáluk, hogy mlyen mértékben növekedne a célfüggvény akkor, ha a kválasztott -vszonylatra a lehetőlegnagyobb mennységet programoznánk. Ezt úgy hatuk végre, hogy a kválasztott helyre a lehetőlegnagyobb mennységet programozzuk, mad azt a sort vagy oszlopot, ahol -ra csökkent a készlet, elhagyuk. Ezt követően redukáluk a maradék költségmátrxot. Az így elérhetőredukcó: R p f q r, 6

7 ost már eldönthetük, hogy a szétválasztás krtérum alapán kválasztott vszonylat kzárása (x =), vagy bevonása (x >) kedvezőbb-e számunkra. Így gyakorlatlag az összes megoldások halmazát kettéválasztuk. Az elsőbe tartoznak azok, amelyek nem tartalmazzák, a másodkba pedg azok, amelyek tartalmazzák az -vszonylatot. Ha az R R, akkor az helyet tartalmazó megoldásokat kzáruk. A c = lesz, redukáluk a költségmátrxot, és kszámítuk az ú mátrxhoz tartozó alsó korlátot: z 1 z R. Ha az R R, akkor az vszonylatra programozunk. Elhagyuk azt a sort vagy oszlopot, ahol -ra csökkent a készlet, redukáluk a költségmátrxot, és kszámítuk az ú mátrxhoz tartozó alsó korlátot: z 1 z R. Ezt követően a leírtakat addg smételük, amíg az összes készletet el nem osztuk. A továbbakban alkalmazzuk az elárást az előzőpontban megsmert példa megoldására. Redukáluk a költségmátrxot: f F F r f F F r A redukcó mértéke, amely egyben az alsó korlát s: z =1*5+1*4+1*3=12. Határozzuk meg a szétválasztás krtérumot! r 13 =3*5+=15 r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+= r 34 =+4*1=4 R =max{r }=3 =15 Az 1-3 vszonylat kzárása tehát 15-nel növel a célfüggvény értékét. ost nézzük meg, hogy az 1-3-vszonylat bevonása mlyen növekedést eredményez. Az 1-3 helyre programozható maxmáls mennység 5 egység, így az elsősor készlete -ra csökken, ezért az elsősort elhagyuk, és redukáluk a megmaradó C 1 költségmátrxot. A lépések a táblázatokban követhetők. 7

8 f F F r Az elérhetőredukcó: f F F r vel az R13 R, az x =5, a C 1 mátrxot bontuk tovább, a hozzá tartozó alsó korlát z1 z R Ezután a C 1 költségmátrxhoz tartozó szétválasztás krtérumot határozzuk meg: r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+2*1=2 r 34 =+7*1=7 R =max{r }=4 =7 A tovább lépéseket kommentár nélkül közölük. f F F r A f F F r , R R, x z2 z 1 R C 2 mátrxhoz tartozó szétválasztás krtérum: 8

9 r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+2*1=2 R =max{r }=2 =5 f F F r 4 1 A f F F 3 2 r 4 1 R 3, R R, x 1, z3 z 2 R C 3 mátrxhoz tartozó szétválasztás krtérum: r 21 =1*3+=3 r 31 =+= r 33 =+1*1=1 R = max{r }=1 =3 f F F 3 2 r 1 1 f F 2 F 3 2 r 1 1 R 21, R21 R 21, x21 3, z4 z 3 R Az utolsó sorban a szétosztás már egyértelmű, és a elemek matt a célfüggvény értéke sem változk. f F 2 F r 9

10 A megoldás: x 1, x 1, z z x 5, x 3, x 1, x 1, x 1, x A célfüggvény értéke: z=1*5+2*3+1*1+1*1+1*1+1*1=15. Az eredményeket összehasonlítva a Vogel-Korda-féle elárással kapott eredményekkel megállapíthatuk, hogy a korlátozás szétválasztás s optmumot adott. Természetesen az optmumban ennél az elárásnál sem lehetünk bztosak példa: Olduk meg a következőszállítás feladatot a korlátozás és szétválasztás módszerével: 4.3. A dsztrbúcós módszer A szállítás feladat egzakt megoldása között ktüntetett szerepe van a lneárs programozásban általánosan alkalmazható szmplex-módszernek, amely a korább tanulmányokból smeretes. A szmplex-táblába foglalt modellből ugyans egyértelműen látható a feladat specáls struktúráa. Ez lehetővé tesz a szmplex algortmusnál ksebb számítás és memóragényűelárások alkalmazását, nevezetesen a magyar és a dsztrbúcós módszerét. A (4.2), (4.3) feltételek és az (4.5) célfüggvény alapán az előzőpontban megfogalmazott példát szmplex-táblába foglalhatuk (4.1. táblázat) táblázat A mntapélda szmplex-tábláa x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 u u u v v v v A (4.2) és (4.3) feltételek egy m+n egyenletből álló egyenletrendszert határoznak meg, ahol az smeretlenek száma m*n. A táblából látható, hogy egy olyan lneárs programozás feladattal állunk szemben, ahol a feltétel egyenletek csak és 1 együtthatóú x tagokat tartalmaznak, és 1

11 az együtthatómátrx oszlopvektora az e egy n eleműés e m elemű egységvektorok. A tábla alapán belátható az s, hogy a feladat duál pára, ha u -vel és v -vel elölük a duálváltozókat: (4.7) u v c ( 1,..., n; 1,..., m) (4.8) f u r v z max. A feladat felépítése lehetővé tesz, hogy a szmplex-tábla helyett az ún. dsztrbúcós táblából ndulunk k, amely csak a szmplex-tábla peremadatat (C, f, r) tartalmazza. Később látn foguk, a dsztrbúcós táblán kelölhetőa prmál feladat egy lehetséges bázsmegoldása, és elvégezhetőa bázsmegoldás avítása anélkül, hogy a szmplex-táblán belül változásokat nylvántartanánk. A dsztrbúcós módszer alkalmazásának előfeltétele a (4.4) feltétel telesülése, am matt a szmplex-tábla n+m egyenlete közül csak n+m 1 független egymástól. Ebből vszont az következk, hogy a bázsmegoldásnak n+m 1 eleme van, mvel a kötött smeretlenek száma megegyezk az együtthatómátrx rangával. A (4.7) duál feltételek pedg a kötött helyeken egyenlőség formáában telesülnek. Ezt a megállapításunkat az optmaltás vzsgálat során fel foguk használn. Az ndulóprogram előállítása Az ndulóprogram (az elsőbázsmegoldás) előállítására az rodalomban több módszer smeretes. Többek között a Vogel-Korda-féle elárás s alkalmazható. Itt most a sor és oszlop mnmum módszert smertetük. A módszer bemutatását összekötük az alkalmazással, ezért íruk fel smét a mntapéldánk nduló dsztrbúcós tábláát, amelyben nyomon követhetük a megoldás lépéset. A szállítás feladat f F F r a/ Az f és r elemek között megkeressük a legnagyobbat. A példában r 3 =6. b/ A kválasztott feladó sorában, vagy megrendelőoszlopában megkeressük a legksebb költségűvszonylatot (c 13 =1), és erre a helyre akkora mennységet programozunk, amennyt az f és r korlátok megengednek. A példában f 1 < r 3, így x 13 =5. c/ A programozást a következőlegksebb költségűhelyen folytatuk, mközben betartuk a következőszabályokat: ndg maradunk egy sorban vagy oszlopban, amíg az lletősort vagy oszlopot telesen k nem merítettük. A le nem kötött f és r értékek közül mndg a ksebbet programozzuk. 11

12 Ha egyszerre csökken -ra a feladó készlete és a megrendelőgénye, akkor a feladatot degeneráltnak nevezzük. Ilyenkor a következőlegksebb költségűhelyre x = mennységet programozunk. d/ A programozást addg folytatuk, amíg az összes készletet, lletve gényt szét nem osztottuk. A továbbakban azokat a helyeket, ahová programoztunk, kötött helynek, a többt szabad helynek foguk nevezn. Az ndulóprogramot a bázs avítása előtt célszerűellenőrzn. Ha betartottuk a szabályokat, akkor a kötött helyek száma n+m 1, és telesülnek a (4.2), (4.3) feltételek. A példánk ndulóprograma az elosztás sorrendében: x 13 =5, x 33 =1, x 31 =2, x 21 = 2, x 22 = 1, x 24 =1, a célfüggvény pedg z=21. Az optmaltás vzsgálata Az ndulóprogram kelégít az (4.1)-(4.4) feltételeket. A kérdés ezek után már csak az, mként dönthetük el, hogy a bázsmegoldás optmáls-e, vagy pedg avítható. Az optmaltás feltételet, mnt tuduk a szmplex-módszernél a dualtás tétel határozza meg. Ha a prmál megoldás mellett smernénk a duálváltozók (u, v ) értéket, akkor egyszerűen dönthetnénk. A dsztrbúcós táblából a duálváltozók sanos nem olvashatók k, de kszámíthatók, mvel a prmálbázsba vont vektorokhoz tartozó duálfeltételek mndg egyenlőség formáában telesülnek, azaz u +v =c. A továbbakban az u és v duálváltozókat a dsztrbúcós módszernél használatos termnológának megfelelően potencáloknak nevezzük. Vsszatérve az előzőekhez a potencálok száma n+m, a prmálbázsba vont vektorokhoz tartozó duálfeltételek száma n+m 1, így egy potencál értéke szabadon választható, a több pedg a (4.9) c (u +v )= egyenletekből számítható. Az így meghatározott potencálokat felhasználva megvzsgáluk, hogy a szabad helyekre telesül-e a (4.7) feltétel, azaz a (4.1) d =c (u +v ). Ha található olyan szabad hely, ahol d <, akkor a program avítható. A gyakorlatban a potencálok a következőtábla alapán számíthatók: v 1 v 2 v 3 v 4 u 1 1 u u

13 Legyen u 1 =, akkor v 3 =c 13 u 1 =1 u 3 =c 33 v 3 = v 1 =c 31 u 3 =1 u 2 =c 21 v 1 =1 v 2 =c 22 u 2 = v 4 =c 24 u 2 =7 A kapott értékeket a (4.1)-be helyettesítve: d 11 =5, d 12 =4, d 14 = 2, d 23 =1, d 32 =2, d 34 = 6. Az ndulóprogram tehát avítható. A bázsmegoldás avítása A bázsmegoldást úgy avíthatuk, hogy azt a helyet, amelyhez a legnagyobb abszolút értékűnegatív d tartozk, bevonuk a bázsba. A szállítás feladat specáls felépítése egy vszonylag egyszerű, mechankusan alkalmazható vektorcserére ad lehetőséget. Ennek tárgyalása előtt bevezetük a hurok fogalmát. Ha a C költségmátrx bármelyk elemétől kndulva bástyamozgással haladunk úgy, hogy ugyanazon sorban és oszlopban csak két elemet érntünk, akkor hurkot kapunk. Bzonyítható, ha adott egy bázsmegoldás, akkor bármely szabad helyhez egyértelműen hozzárendelhetőegy hurok, amelynek egyk csúcsponta a szóban forgó szabad hely, a több csúcsa pedg az adott bázsmegoldás egy-egy eleme. Az elmondottak egyszerűelárást adnak a vektorcserére. egrazoluk a bevonandó szabadhelyhez tartozó hurkot. A hurokban a szabad helyhez tartozó elemet, mad ezt követően mnden másodkat poztívnak, a többt negatívnak tekntük. A negatív csúcsokon lévőx mennységek közül a legksebbet a negatív csúcsokon álló mennységekből levonuk, a poztív csúcsokon állókhoz pedg hozzáaduk. Végül a negatív csúcsok közül azt, amelynél az x mennység -ra csökkent, elhagyuk a hurokból, de mndg csak egy csúcsot. Degenerácó esetén ugyans több helyen s -ra csökkenhet az x. A megmaradó hurok csúcsponta, és az előzőbázsmegoldás hurkon kívül eleme alkoták az ú bázst. A leírt elárást alkalmazzuk a példán. A d értékek alapán a 3-4 szabad helyet kell bevonn a bázsba. A dsztrbúcós táblán megrazoluk a hurkot, amelynek csúcsponta: 3-4, 3-1, 2-1, 2-4. A negatív csúcsok között x 24 a legksebb, ezt levonuk a negatív csúcson állókból, és hozzáaduk a poztív csúcson állókhoz. f F F * 3 r

14 x 34 =+1=1 x 31 =2 1=1 x 21 =2+1=3 x 24 =1 1= Az x 24 -et elhagyuk, így az ú bázsmegoldás: f F F r x 13 =5, x 21 =3, x 22 =1, x 31 =1, x 33 =1, x 34 =1 Az optmaltás vzsgálat elvégzése után már valamenny szabad helyen a d értéke poztív, vagys a fent bázsmegoldás optmáls. A célfüggvény értéke z=15. A megoldás részletes smertetése után foglaluk össze a dsztrbúcós módszer algortmusát: a/ A feladatot a (4) feltételnek megfelelőalakra hozzuk fktív megrendelővagy feladó beállításával. b/ Felíruk a feladat nduló tábláát: C r c/ Az előzőekben leírt módon ndulóprogramot készítünk, vagys keresünk egy bázsmegoldást. d/ A kötött helyekre felírható u +v =c egyenletrendszer segítségével kszámítuk a potencálokat. e/ A szabad helyekre írható d =c (u +v ) feltételek alapán megvzsgáluk a bázsmegoldás optmaltását. Ha a feltétel valamenny párra telesül, akkor a megoldás optmáls. f/ A szabad helyek közül azt, ahol a d negatív, és a legnagyobb abszolútértékű, bevonuk a bázsba. A vektorcserét az smertetett módon végezzük el. A vektorcsere után vsszatérünk a d ponthoz. 4.3 példa: Négy raktár öt fogyasztót lát el. Az egységny termék raktározás költsége az egyes raktárakban rendre 3, 4, 3, 5 Ft. A raktárak kapactása: [3, 2, 4, 35] egység. A fogyasztók génye: [2, 8, 12, 1, 18] egység. A falagos szállítás költség az egyes vszonylatokban Ft/egység mértékegységben: f F 2 F 3 F 4 F

15 Határozzuk meg az optmáls szállítás programot, továbbá kérdés, hogy megszüntethető-e valamelyk raktár anélkül, hogy a szállítás és raktározás költség növekedne? Alkalmazzuk a dsztrbúcós módszert A magyar módszer A magyar módszert H.W. Kuhn az ún. hozzárendelés probléma megoldására felesztette k [43] Kőng Dénes magyar matematkus egyk gráfelmélet tételének felhasználásával [46], amelyet egy másk magyar matematkus Egerváry Jenőáltalánosított [26]. E módszer széles körben felkeltette a matematkusok, és az elosztás problémákkal foglalkozó szakemberek fgyelmét, különösen azóta, hogy Egerváry megmutatta, a módszer nemcsak a hozzárendelés probléma, hanem a szállítás feladat megoldására s alkalmas. A Kőng-Egerváry-féle tétel általánosan a következők szernt fogalmazható meg: ha az R egy adott C [ c ] mátrx pontanak egy nem üres részhalmaza, akkor az R-ben felvehetőfüggetlen pontok maxmáls száma megegyezk az R összes pontat lefedővonalak mnmáls számával. A bzonyításnál abból ndulnak k, hogy adottnak tekntk az R-nek egy olyan maxmáls számú elemet tartalmazó F részhalmazát, amelynek mnden eleme független pont. Ha az F pontanak számát n-nel, az R mnden pontát lefedővonalak számát v-vel elölük, akkor fennáll a v n összefüggés. Azt kell tehát csak megmutatn, hogy a v mnmáls értéke n. A gyakorlatban rendszernt az R halmazt smerük, és feladat az F meghatározása. A követendőelárás a következő: a/ Az adott C C ( ) mátrxból elhagyuk azokat a vonalakat, amelyeken nncs ponta R-nek. Legyen az így nyert mátrx C ( 1 ). b/ A C ( 1) -ben keresünk olyan vonalat, amelyen csak egy ponta van az R-nek. Ezt a pontot bevesszük a független pontok közé, mad a nek megfelelőkét vonalat elhagyva a C ( 1) -ből az elárást annyszor smételük, ahányszor csak lehetséges, így bzonyos számú lépés után vagy olyan C ( 2) mátrxhoz utunk, amelyben már nncs ponta az R-nek, vagy pedg olyan C ( 3) mátrxot kapunk, amelynek mnden vonalán legalább két R-hez tartozó pont található. Az elsőesetben a felvett független pontok száma maxmáls, és a fedővonalrendszer a később smertetendőmódon megrazolható. A másodk esetben azonban tovább lépések szükségesek. c/ A C ( 3) egyk vonalán felvesszük a független pontok közé az R valamelyk elemét. Ezután a C ( 3) -ból elhagyuk a feltételezett független ponthoz tartozó két vonalat, mad az így nyert ú mátrxszal az a, b és c lépéseket annyszor smételük, ahányszor csak lehetséges. Az elárás végén a független pontok olyan halmazához utunk, amely úabb R- bel ponttal nem bővíthető. Abban azonban nem lehetünk bztosak, hogy a független pontok száma maxmáls. Ez csak a fedővonalrendszer megszerkesztése után derül k. Ha egy független pont sem esk a fedővonalak metszéspontára, akkor a független pontok száma max- 15

16 máls. Ellenkezőesetben a független pontok halmazát és a fedővonalrendszert módosítan kell. A 3. pontban megfogalmazott szállítás feladatban az (5) célfüggvény mnmumát keressük a (1)-(4) feltételek mellett. Ha a C költségmátrx sorahoz f, oszlopahoz pedg r multplctásokat rendelünk, és az így nyert N-ed rendűmátrxot ( N f r ) B-vel elölük, akkor a problémát a következőképpen fogalmazhatuk meg: Válasszunk k a B-ben N független pontot úgy, hogy a megfelelőköltségelemek összege mnmáls legyen. Ha az f r 1, akkor a C mnden sorának és oszlopának multplctása 1, és hozzárendelés problémával állunk szemben. Ennek a feladatnak a megoldása egyrészt a Kőng-Egerváry-féle tételen alapszk, másrészt azon a tényen, hogy a ahol a c c p q, p mn{ c 1, 2,..., m}, q mn{ c p 1, 2,..., n}, transzformácó esetén, olyan C' költségmátrxhoz utunk, amelyhez ugyanaz az optmáls megoldás tartozk, mnt C-hez. A c -t helyettesítsük a célfüggvénybe: z ( c p q ) x c x p x q x c x p ( x ) q ( x ). Felhasználva a (4.2) és (4.3) összefüggéseket, a z c x p f q r. Ezzel a z célfüggvényt az x -től függőés attól független részekre bontottuk, és állításunkat bzonyítottuk. A transzformácót, mnt már azt említettük, a költségmátrx redukcóának nevezzük. Legyen akkor a Könnyen belátható, hogy c akkor z p f q r, z c x z., p, q kkötés mellett a z. z Ha pedg mn{ c x }, mnz. z Bzonyítható, hogy mndg megadható a redukcóknak egy olyan véges sorozata, am a fent mnmumra vezet. Alkalmazzuk a c c p q ( 1) ( 1) ( 1) 16

17 redukcót, ahol Ekkor a ( 1) ( 1) p mn{ c 1, 2,..., m} és q. z c x z ( 1 ) ( 1 ), ahol a ( 1) ( 1) z p f. A redukcót hatsuk végre oszloponként s: ahol a c c p q ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) p és q mn{ c 1, 2,..., n}. A célfüggvény ahol a z c x z z ( 2) ( 1) ( 2 ), ( 2) ( 2) z q r. ( 2) A c mátrxban található zérus elemek közül az előzőleg leírt módon maxmáls számú független -át választunk k. Ha ezek száma N, akkor és így ( 2) mn{ c x }, ( ) ( ) mn z z 1 z 2. Ha azonban a független -ák száma ksebb, mnt N, akkor megrazoluk a fedővonalrendszert, mad a le nem fedett elemek közül kválasztuk a mnmálst. Ez legyen ( 2 ) ( 2). Ezután redukáluk a c költségmátrxot: ahol ( 3) ( 2) ( 3) ( 3) c c p q, ha az -edk sor fedővonal, ha az -edk sor nem fedővonal. ha a -edk oszlop fedővonal, ha a -edk oszlop nem fedővonal. Ez gyakorlatlag azt elent, hogy a le nem fedett elemekből levonuk az ( 2) -t, az egyszer fedett elemeket változatlanul hagyuk, a kétszer fedett elemeket pedg ( 2) -vel növelük. A redukcó után a célfüggvény: ahol a (3) p (3) q, (2),, (2), z c x z z z ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 17

18 z d. ( 3) ( 2) ( 2) A d ( 2) az N-nek és a független zérusok számának a különbsége. ( A c 3 ) mátrxban független zérusokat keresünk, elkészítük a fedővonalrendszert, mad redukáluk a mátrxot. E lépéseket addg smételük, amíg olyan c ( r) mátrxot nem kapunk, amelyben a független zérusok száma N. Ekkor ( r ) ( 1) ( 2) ( r ) z c x z z... z mn, ahol a ( r ) c x. A módszer matematka ndoklása után tekntsük a hozzárendelés és a szállítás feladat esetén alkalmazható algortmusokat. A hozzárendelés feladat megoldása magyar módszerrel Feltételezzük, hogy adott négy professzor, akk valamennyen képesek előadásokat tartan különbözőtémakörökből. Tekntettel azonban a professzorok eltérőszakrányultságára, az egyes előadások előkészítéséhez szükséges dőtartam professzoronként változó. A tanszékvezető egyéb területeken s szeretné foglalkoztatn a professzorokat, ezért az előadásokat, úgy kívána elosztan közöttük, hogy azok előkészítése a lehetőlegkevesebb dőt gényele. Az előadások előkészítéséhez szükséges dőtartamokat az a következőtáblázat foglala össze: Professzor Lneárs programozás Sorbanállás elmélet Dnamkus programozás Regresszó analízs Kovács Kss Fehér Nagy Olduk meg a problémát a magyar módszerrel. 1. Ha feladat a célfüggvény maxmumának meghatározása, akkor változtassuk meg a költségmátrx mnden elemének előelét. A mnmum feladathoz tartozó költségmátrx: Redukáluk a mátrxot soronként! p Redukáluk a mátrxot oszloponként! 18

19 q 5 5 Az összes redukcó értéke: z p q Keressük meg azokat a sorokat, amelyekben független elem van. (A elem akkor független, ha egyedül álló elöletlen a szóban forgó sorban.) Ha találtunk lyen sort, akkor a független elemet elölük csllaggal (*). A független elem oszlopában található több elemet pedg elölük meg kereszttel (+). A másodlagosan megelölt -k segítségével megszüntetük az oszlop aktvtását (u. egy sorban és oszlopban csak egy elemet elölhetünk k). Ismételük az elárást addg, amíg a sorokban úabb és úabb független elemet tudunk kelöln. * * Keressük meg azokat az oszlopokat, amelyekben független elem van. (A elem akkor független, ha egyedül álló elöletlen a szóban forgó oszlopban.) Ha találtunk lyen oszlopot, akkor a független elemet elölük csllaggal (*). A független elem sorában található több elemet pedg elölük meg kereszttel (+). A másodlagosan megelölt -k segítségével megszüntetük a sor aktvtását. Ismételük az elárást addg, amíg az oszlopokban úabb és úabb független elemet tudunk kelöln. * * * Ismételük a 4. és 5. lépéseket, amíg az eredményre vezet. Ha már nem tudunk ú független -át kelöln, akkor a következőhárom eset fordulhat elő. a/ mnden sorban kelöltünk egy független elemet, b/ van olyan sor vagy oszlop, amelykben legkevesebb két el nélkül elem van, c/ nncs elöletlen elem, de a független nulla elemek száma kevesebb, mnt a sorok száma. 7. Ha az a/ eset fordul elő, akkor a kelölés teles, megkaptuk az optmáls megoldást. A b/ esetben véletlenszerűen elölük meg az egyk el nélkül elemet csllaggal (*), mad ugyanebben a sorban és oszlopban elölük kereszttel (+) a több elöletlen nulla elemet, mad tér- 19

20 ünk vssza a 4. lépéshez. A harmadk, c/ esetben folytassuk az elárást a 8. lépéssel. 8. Jelölük meg azokat a sorokat, amelyekben nncs független. 9. Jelölük meg azokat az oszlopokat, amelyek még nncsenek megelölve, és az oszlopban található olyan, amely megelölt sorban van. 1. Jelölük meg azokat a sorokat, amelyek még nncsenek megelölve, és amelyekben a független a megelölt oszlopban van. 11. Ismételük a 9. és 1. lépéseket addg, amíg az eredményre vezet. * * * Fedük le a meg nem elölt sorokat és a megelölt oszlopokat. Ez bztosíta, hogy a elemeket mnmáls számú fedővonallal fedük le. (Ha nem vétettünk hbát, akkor a fedővonalak száma megegyezk a független -k számával.) * * * Keressük meg a fedetlen elemek közül a legksebbet ( ), ez esetünkben =2, mad a le nem fedett elemeket csökkentsük -nal, az egyszer fedett elemeket változatlanul hagyuk, a kétszer fedett elemeket növelük -nal, és térünk vssza a 4. lépéshez. A célfüggvény változása: ahol f a független elemek száma z1 z ( n f ) 26 2 ( 4 3 ) 28, + 6 * 3 13 * * *

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Logisztikai költségek

Logisztikai költségek 1 Logsztka ek Vállalat állandó logsztka ek Logsztka teljesítménytol függo ek Logsztka teljesítmény okozta veszteségek Teljes logsztka ek Logsztka teljesítmény hánya okozta ek Vállalat állandó logsztka

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

A korlátozás programozás alapjai

A korlátozás programozás alapjai A korlátozás programozás alapa Kovács András akovacs@mt.bme.hu Bevezetés Ez a segédlet a Mesterséges Intellgenca Labor c. tárgyat felvett hallgatókhoz szól, és feltételez a logka programozás elmélet alapanak,

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása Gépgyártástechnológa 2000/3, pp. 9 15. Forgácsolás paraméterek mûvelet szntû optmalzálása Mkó Balázs 1 - Szánta Mhály 2 - Dr Szegh Imre 3 1 - udományos segédmunkatárs, 2 - Egyetem hallgató, 3 Egyetem docens

Részletesebben

Tömegközlekedési rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Viktória - Szöllősy Zsolt - Dr. Csiszár Csaba 1.

Tömegközlekedési rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Viktória - Szöllősy Zsolt - Dr. Csiszár Csaba 1. Tömegközlekedés rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Vktóra - Szöllősy Zsolt - Dr. Csszár Csaba 1. Bevezetés A közlekedés térben-dőben leátszódó, kívülről és

Részletesebben

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL)

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) Közlekedés alapsmeretek (közlekedés-üzemvtel) középsznt 1212 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

GAZDASÁGI ÉS NATURÁLIS CÉLFÜGGVÉNYEK KOMBINÁLT ALKALMAZÁSA EGY EGYSZERŰ LOGISZTIKAI PÉLDÁN

GAZDASÁGI ÉS NATURÁLIS CÉLFÜGGVÉNYEK KOMBINÁLT ALKALMAZÁSA EGY EGYSZERŰ LOGISZTIKAI PÉLDÁN GZDSÁGI ÉS NURÁLIS ÉLFÜGGVÉNY OMINÁL LLMZÁS GY GYSZRŰ LOGISZII PÉLDÁN Pokornyk Norbert aposvár gyetem Gazdaságtudomány ar, aposvár Informatka anszék onzulens: Dr. sukás éla, tanszékvezető, egyetem docens

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

5.1. A szállítás fontosabb jellemzői Hoover-féle egyik alapkő: a szállítási/közlekedési költségek minimalizálása transzferálható inputok és outputok

5.1. A szállítás fontosabb jellemzői Hoover-féle egyik alapkő: a szállítási/közlekedési költségek minimalizálása transzferálható inputok és outputok 5. Szállítás költségek mnmalzálása (regonáls gazdaságtan, 2004.03.09.) 5.. A szállítás fontosabb jellemző Hoover-féle egyk alapkő: a szállítás/közlekedés költségek mnmalzálása transzferálható nputok és

Részletesebben

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Egyenáramú szervomotor modellezése

Egyenáramú szervomotor modellezése Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

A neurális hálózatok alapjai

A neurális hálózatok alapjai A neuráls hálózatok alapja (A Neuráls hálózatok és mszak alkalmazásak cím könyv (ld. források) alapján) 1. Bológa alapok A bológa alapok megsmerése azért fontos, mert nagyon sok egyed neuráls struktúra,

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján NEMZETBIZTONSÁGI SZAKSZOLGÁLAT GAZDASÁGI VEZETŐ 1399 Budapest 62. Pf.: 710/4-2. Ikt.sz.: 30700/21293- /2015. 1. számú példány Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján 1. Az ajánlatkérő

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

PhD értekezés. Gyarmati József

PhD értekezés. Gyarmati József 2 PhD értekezés Gyarmat József 2003 3 ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM Hadtechnka és mnõségügy tanszék PhD értekezés Gyarmat József Többszempontos döntéselmélet alkalmazása a hadtechnka eszközök összehasonlításában

Részletesebben

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol

Ismételt játékok: véges és végtelenszer. Kovács Norbert SZE GT. Példa. Kiindulás: Cournot-duopólium játék Inverz keresleti görbe: P=150-Q, ahol 9. elõaás Ismételt játékok: véges és végtelenszer történõ smétlés Kovács Norbert SZE GT Az elõaás menete Ismételt játékok Véges sokszor smételt játékok Végtelenszer smételt játékok Péla Knulás: ournot-uopólum

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Szállítási feladat_1.

Szállítási feladat_1. Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Breuer Marcell Doktori Iskola BIZONYTALAN ERŐFORRÁS-KORLÁTOS PROJEKTEK ÜTEMEZÉSE DANKA SÁNDOR

Pécsi Tudományegyetem Breuer Marcell Doktori Iskola BIZONYTALAN ERŐFORRÁS-KORLÁTOS PROJEKTEK ÜTEMEZÉSE DANKA SÁNDOR Pécs Tudományegyetem Breuer Marcell Doktor Iskola BIZONYTALAN ERŐFORRÁS-KORLÁTOS PROJEKTEK ÜTEMEZÉSE DANKA SÁNDOR - PhD Doktor Értekezés - Tudományos vezetők: Dr. habl Csébfalv Ankó Borbála CSc PhD Dr.

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

vállalatok esetén Technológia és költségek, Árdiszkrimináció és monopólium: A vállalati árbevétel megoszlása Számviteli költségek + számviteli profit

vállalatok esetén Technológia és költségek, Árdiszkrimináció és monopólium: A vállalati árbevétel megoszlása Számviteli költségek + számviteli profit 3. Elõadás Technológa és költségek, Árdszkrmnácó és monopólum: lneárs árképzés Kovács Norbert SZE KGYK, GT vállalat árbevétel megoszlása Gazdaság költség + gazdaság proft Számvtel költségek + számvtel

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat Ellenőrzés Variáns számítás Érzékenység vizsgálat Készítette: Dr Árahám István Az ellenőrzés A matematikai modell megoldása, a szimple tálák kitöltése közen könnyen elkövethetünk számolási hiát A kiindlási

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

Integrált rendszerek n é v; dátum

Integrált rendszerek n é v; dátum Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)

Részletesebben

Beszállítás AR Gyártási folyamat KR

Beszállítás AR Gyártási folyamat KR 3. ELŐADÁS TERMELÉSI FOLYAMATOK STRUKTURÁLÓDÁSA 1. Megszakítás nélküli folyamatos gyártás A folyamatos gyártás lényege, hogy a termelési folyamat az első művelettől az utolsóig közvetlenül összekapcsolt,

Részletesebben

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés.

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés. Foglalkoztatáspoltka. Modellek, mérés. Galas Péter Budapest, 20 Galas Péter, 20 Kézrat lezárva: 20. júnus Bevezetés A tananyag célja a foglalkoztatáspoltka közgazdaságtan szempontú elemzésében és értékelésében

Részletesebben

Beszerzési és elosztási logisztika. Előadó: Telek Péter egy. adj. 2008/09. tanév I. félév GT5SZV

Beszerzési és elosztási logisztika. Előadó: Telek Péter egy. adj. 2008/09. tanév I. félév GT5SZV Beszerzési és elosztási logisztika Előadó: Telek Péter egy. adj. 2008/09. tanév I. félév GT5SZV 2. Előadás A beszerzési logisztika alapjai Beszerzési logisztika feladata/1 a termeléshez szükséges: alapanyagok

Részletesebben

Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben

Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben Bevezető feladat Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben A vállalkozás a tárgyidőszakban A és B típusú terméket gyártott. A tárgyidőszakkal kapcsolatban a következő információkat ismeri: A termék

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS EGY GYAKORLATI ALKALMAZÁSA Bakó Tamás, dr. Dabócz Tamás Budapest Mszak és gazdaságtudomány Egyetem, Méréstechnka és Informácós Rendszerek Tanszék e-mal:

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk Az aktív foglalkoztatás programok eredményességét meghatározó tényezõk GALASI ÉTER LÁZÁR GYÖRGY NAGY GYULA Budapest Munkagazdaságtan Füzetek BW. 1999/4 1999. máus 1 Budapest Munkagazdaságtan Füzetek.1999/4.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal 9. Vsszavezetés egyed felsorolókkal Ebben a fejezetben a hét általános programozás tételt olyan feladatok megoldására alkalmazzuk, ahol nem lehet nevezetes felsorolókat sználn, azaz a Frst(), Next(), End()

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTRAKT

ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTRAKT Bánya Tamás ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTAKT Jelen kutatómunka céla egy olyan, az ellátás láncok valós deű optmalzálását és analízsét támogató módszer kdolgozása, amely alkalmas az ellátás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben