A szállítási feladat klasszikus megfogalmazása a következő. Adott n számú F 1. mennyiségűhomogén termékkel rendelkeznek, valamint m számú R 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szállítási feladat klasszikus megfogalmazása a következő. Adott n számú F 1. mennyiségűhomogén termékkel rendelkeznek, valamint m számú R 1"

Átírás

1 Dr. BenkőJános A szállítás feladat 4. A SZÁLLÍTÁSI FELADAT A szállítás feladat klasszkus megfogalmazása a következő. Adott n számú, F 2,..., F n feladó, akk f 1, f 2,..., f n mennységűhomogén termékkel rendelkeznek, valamnt m számú,,..., R m megrendelő, akk r 1, r 2,..., r m mennységet gényelnek a szóban forgó termékből. Jelentse c azt a falagos szállítás költséget, amelybe az egységny termék szállítása kerül, ha azt az -edk feladótól a -edk megrendelőhöz szállítuk. A cél a megrendelők gényét úgy kelégíten, hogy a szállítás összes költsége mnmáls legyen. Ha x az -edk feladótól a -edk megrendelőhöz szállítandó mennységet elent, akkor a feladatot a következőformában írhatuk fel: (4.1) x ( = 1,...,n) ( = 1,...,m), (4.2) x f, (4.3) x r, (4.4) f r, (4.5) c x z mn. A modell felírása után tekntsük a feltételek elentését: Az (4.1) feltétel azt elent, hogy a szállítás egyrányú a feladóktól a megrendelők felé. A (4.2) feltétel szernt a feladók készletét el kell szállítan. A (4.3) feltételben kkötük, hogy a megrendelők gényét k kell elégíten. A (4.4) feltétel értelmében a feladók készlete egyenlőa megrendelők gényével. Az (4.5) lneárs függvényben fogalmazzuk meg a célt. (Az összes szállítás költség akkor mnmáls, ha a falagos költségek és a szállított mennységek szorzatanak összege mnmáls.) A gyakorlatban az alapmodell (4.4) feltétele rtkán telesül, azaz a f r. Ilyenkor a (4.2) és (4.3) feltételekben az egyenletek helyett csak egyenlőtlenségek követelhetők meg: ha a f r, akkor x f, ha a f r, akkor x r.

2 Ezek a formák fktív feladó vagy megrendelőbektatásával könnyen vsszavezethetők az alapmodellre. A létezőés a fktív feladók, lletve megrendelők vszonylatához c értékűfalagos költséget rendelünk, a (4.4) feltételt pedg a úgy bztosítuk, hogy a fktív feladót r f készlettel, a fktív megrendelőt f r génnyel szerepeltetük. A gyakorlat problémák megoldása során előfordulhat olyan kkötés s, hogy bzonyos feladók nem szállíthatnak bzonyos megrendelőknek. Ezeket a korlátozásokat az alapmodell változtatása nélkül úgy vehetük fgyelembe, hogy a tltott relácókhoz c falagos költséget rendelünk. A gyakorlatban a tltott relácók költsége: c, ahol sokkal nagyobb, mnt a több c elem. Az -mel elölt mennységet szokás tltótarfának nevezn. A tltótarfát alkalmazzuk akkor s, amkor a feladók készlete nagyobb, mnt a megrendelők génye, és valamely feladónál nem maradhat készlet. Ezt bztosan úgy érhetük el, hogy a ktüntetett feladó nem szállíthat a fktív megrendelőnek. Fordított esetben, amkor a megrendelők génye a nagyobb, és valamely megrendelőgénye elsőbbséget élvez, akkor a fktív feladó nem szállíthat az elsőbbséget élvezőmegrendelőnek. A tltótarfa alkalmazásának lehetőséget a gyakorlat problémák megfogalmazásakor részletesen bemutatuk. Feltétlen említést érdemel, hogy a klasszkus formában, az anyagmozgatásban használatos kfeezésekkel megfogalmazott modell nagyon sokoldalúan alkalmazható más problémák megoldására s. Ezért talán helyesebb az rodalomban kevésbé elteredt elosztás feladat elnevezés, a megtévesztőszállítás feladat helyett. Említést érdemel az elosztás feladatoknak a hozzárendelés feladat néven smert csoporta, amkor s t =r =1 mnden,-re és n=m. Ilyen feladat megoldása merül fel akkor, amkor n számú különbözőanyagmozgatás műveletet kell hozzárendeln n számú, különbözőműszak paraméterrel ellemezhető géphez, és a munka elvégzésére fordított a költség mnmalzálása a cél. A c falagos szállítás költséget eddg hallgatólagosan állandónak tekntettük. A gyakorlatban azonban előfordulhat, hogy c az x lneárs vagy kvadratkus függvénye. Ilyen ellegűfeladatokkal nem foglalkozunk, de megemlítük, hogy ezek megoldására s hatékony algortmusok állnak rendelkezésre [41]. Végül megegyezzük, a modell maxmumfeladatok megoldására s alkalmas. A cél megfordítását úgy érhetük el, hogy a c falagos költségelemeket 1-gyel szorozzuk. A szállítás feladat megoldására több heursztkus és egzakt eredményt szolgáltató módszert smerünk. A közelítőmódszerek egyrészt az optmumhoz közel bázsmegoldást adnak az egzakt elárásokhoz, másrészt kéz számolás esetén kevesebb munkával szolgáltatnak a gyakorlat számára elfogadható eredményt. Ezért mndkét területről bemutatunk algortmusokat. Ezeket a közérthetőség kedvéért egy példa megoldásával párhuzamosan smertetük. 2

3 4.1. A Vogel-Korda-féle elárás A heursztkus elárások közül az egyk leghatékonyabb és az egyk legsmertebb a Vogel-Korda-féle módszer. A módszer bemutatásához tekntsük a következőpéldát. Legyen a feladók száma n=3, a készletük f =[5,4,3]. A megrendelők száma m=4, gényük r =[4,1, 6,1]. A falagos szállítás költségek mátrxa: C = Az elsőlépés a költségmátrx redukálása. Ha a mátrx mndegyk sorának elemeből levonuk a sorban található legksebb elemet, mad az így kapott mátrx mndegyk oszlopának elemeből levonuk az oszlopban található legksebb elemet, akkor olyan költségmátrxhoz utunk, amelyhez ugyanazon optmáls megoldás tartozk, mnt az eredethez. Legyen p az -edk sor, q pedg a -edk oszlop legksebb eleme, azaz p mn{ c 1, 2,..., m}, q mn{ c p 1, 2,..., n}, akkor a redukált mátrx eleme: c c p q. Ezt helyettesítsük az (4.5) célfüggvénybe: z ( c p q ) x z c x p x q x z c x p ( x ) q ( x ) Felhasználva a (2) és (3) összefüggéseket a (4.6) z c x p f q r. Ezzel z célfüggvényt az x -től függőés attól független részekre bontottuk, és a redukcóra vonatkozó állításunkat bzonyítottuk. Íruk fel ezek után a példánkat táblázatos formában, mad hatsuk végre a redukcót. f F F r

4 f F F r A következőlépés a költségelemek rangsorolása az ún. dfferencák alapán. A dfferencákat úgy számíthatuk k, hogy mnden oszlopban és sorban vesszük a mnmáls elemek különbségét. A sorokban: Az oszlopokban: 3 =3, 1 =1, =. 1 =1, 1 =1, =, 4 =4. Ha az előzőtáblázatunkat kegészítük a dfferencákkal, akkor a következőtáblázatot nyerük: f F F r A dfferencák alapán dönthetünk arról, hogy melyk sorban lletve oszlopban kezdük a programozást. Azt a sort, lletve oszlopot részesítük előnyben, amelykhez a legnagyobb dfferenca tartozk. Esetünkben ez egyértelműen a 4. oszlop. Ha a dfferencák halmazában nncs egyértelműen maxmáls elem, akkor a legnagyobb dfferencákhoz tartozó sorok lletve oszlopok közül szabadon választhatunk. A kválasztott sor vagy oszlop mnmáls elemére a lehetőlegnagyobb mennységet programozzuk. Azt a sort, lletve oszlopot elhagyuk, ahol a készlet -ra csökken, és úra kszámítuk a dfferencákat. A leírt elárást ezt követően addg folytatuk, amíg az összes feladó készletét, lletve megrendelőgényét szét nem osztottuk. Az elárás lépéset a következőtáblázatokban nyomon követhetük. f F F r

5 f F F r f F F r f F F r A megoldás: f F F 3 1 r 1 x 13 =5, x 21 =3, x 22 =1, x 31 =1, x 33 =1, x 34 =1. A célfüggvény értéke: z =1*5+2*3+1*1+1*1+1*1+1*1=15, am, mnt később látn foguk, az optmáls megoldás s. Természetesen nagyobb volumenűfeladatoknál ez nem mndg következk be, csupán abban lehetünk bztosak, hogy az optmumhoz közel megoldást kapunk példa: Olduk meg a következőszállítás feladatokat a Vogel- Korda módszerrel:

6 A korlátozás és szétválasztás módszerének alkalmazása Az optmumszámítás területén az elmúlt évtzedekben előtérbe kerültek az ún. kombnatorkus módszerek. Ezek közé sorolható a korlátozás és szétválasztás. A továbbakban ennek gyakorlat alkalmazását mutatuk be a szállítás feladaton. vel a szállítás probléma mnmumfeladat, a korlátozás tevékenységnél alsó korlátot állapítunk meg, a szétválasztásnál pedg a legksebb alsó korlátot vesszük fgyelembe [11]. Az összes megoldások halmazára alsó becslést úgy nyerünk, hogy az előzőpontban bemutatott módon redukáluk a C költségmátrxot. A (4.6) alapán könnyű belátn, hogy a redukcó nagysága: a célfüggvényben: p f q r, z c x p f q r bekövetkezett változásokat mutata. Az s belátható, hogy a c matt a redukcó mértékénél ksebb értékűmegoldás nem található, ezért az összes megoldások halmazához alsó korlátként a összeget rendelük. z p f q r c elemre kszá- Szétválasztás krtérumnak tekntsük az összes mított r mn ( c k 1, 2,..., 1, 1,..., m) f ( c k 1, 2,..., 1, 1,..., n) r k k összegek halmazából a maxmálsat, azaz a szétválasztás krtérum R r max. Ez gyakorlatlag azt elent, valamenny c elemre megvzsgáluk, hogy mlyen mértékben növekedne a z célfüggvény, ha a vzsgált helyet tartalmazó megoldásokat kzárnánk a megoldások halmazából, mad ezek közül azt választuk, amelynek a kzárása a legnagyobb célfüggvény növekedést eredményez. aga az elárás nagyon egyszerű, az R -nek megfelelőc = helyére c =-t írunk, am R redukcót tesz lehetővé. előtt azonban ezt megtennénk, megvzsgáluk, hogy mlyen mértékben növekedne a célfüggvény akkor, ha a kválasztott -vszonylatra a lehetőlegnagyobb mennységet programoznánk. Ezt úgy hatuk végre, hogy a kválasztott helyre a lehetőlegnagyobb mennységet programozzuk, mad azt a sort vagy oszlopot, ahol -ra csökkent a készlet, elhagyuk. Ezt követően redukáluk a maradék költségmátrxot. Az így elérhetőredukcó: R p f q r, 6

7 ost már eldönthetük, hogy a szétválasztás krtérum alapán kválasztott vszonylat kzárása (x =), vagy bevonása (x >) kedvezőbb-e számunkra. Így gyakorlatlag az összes megoldások halmazát kettéválasztuk. Az elsőbe tartoznak azok, amelyek nem tartalmazzák, a másodkba pedg azok, amelyek tartalmazzák az -vszonylatot. Ha az R R, akkor az helyet tartalmazó megoldásokat kzáruk. A c = lesz, redukáluk a költségmátrxot, és kszámítuk az ú mátrxhoz tartozó alsó korlátot: z 1 z R. Ha az R R, akkor az vszonylatra programozunk. Elhagyuk azt a sort vagy oszlopot, ahol -ra csökkent a készlet, redukáluk a költségmátrxot, és kszámítuk az ú mátrxhoz tartozó alsó korlátot: z 1 z R. Ezt követően a leírtakat addg smételük, amíg az összes készletet el nem osztuk. A továbbakban alkalmazzuk az elárást az előzőpontban megsmert példa megoldására. Redukáluk a költségmátrxot: f F F r f F F r A redukcó mértéke, amely egyben az alsó korlát s: z =1*5+1*4+1*3=12. Határozzuk meg a szétválasztás krtérumot! r 13 =3*5+=15 r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+= r 34 =+4*1=4 R =max{r }=3 =15 Az 1-3 vszonylat kzárása tehát 15-nel növel a célfüggvény értékét. ost nézzük meg, hogy az 1-3-vszonylat bevonása mlyen növekedést eredményez. Az 1-3 helyre programozható maxmáls mennység 5 egység, így az elsősor készlete -ra csökken, ezért az elsősort elhagyuk, és redukáluk a megmaradó C 1 költségmátrxot. A lépések a táblázatokban követhetők. 7

8 f F F r Az elérhetőredukcó: f F F r vel az R13 R, az x =5, a C 1 mátrxot bontuk tovább, a hozzá tartozó alsó korlát z1 z R Ezután a C 1 költségmátrxhoz tartozó szétválasztás krtérumot határozzuk meg: r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+2*1=2 r 34 =+7*1=7 R =max{r }=4 =7 A tovább lépéseket kommentár nélkül közölük. f F F r A f F F r , R R, x z2 z 1 R C 2 mátrxhoz tartozó szétválasztás krtérum: 8

9 r 22 =1*4+1*1=5 r 31 =+1*4=4 r 33 =+2*1=2 R =max{r }=2 =5 f F F r 4 1 A f F F 3 2 r 4 1 R 3, R R, x 1, z3 z 2 R C 3 mátrxhoz tartozó szétválasztás krtérum: r 21 =1*3+=3 r 31 =+= r 33 =+1*1=1 R = max{r }=1 =3 f F F 3 2 r 1 1 f F 2 F 3 2 r 1 1 R 21, R21 R 21, x21 3, z4 z 3 R Az utolsó sorban a szétosztás már egyértelmű, és a elemek matt a célfüggvény értéke sem változk. f F 2 F r 9

10 A megoldás: x 1, x 1, z z x 5, x 3, x 1, x 1, x 1, x A célfüggvény értéke: z=1*5+2*3+1*1+1*1+1*1+1*1=15. Az eredményeket összehasonlítva a Vogel-Korda-féle elárással kapott eredményekkel megállapíthatuk, hogy a korlátozás szétválasztás s optmumot adott. Természetesen az optmumban ennél az elárásnál sem lehetünk bztosak példa: Olduk meg a következőszállítás feladatot a korlátozás és szétválasztás módszerével: 4.3. A dsztrbúcós módszer A szállítás feladat egzakt megoldása között ktüntetett szerepe van a lneárs programozásban általánosan alkalmazható szmplex-módszernek, amely a korább tanulmányokból smeretes. A szmplex-táblába foglalt modellből ugyans egyértelműen látható a feladat specáls struktúráa. Ez lehetővé tesz a szmplex algortmusnál ksebb számítás és memóragényűelárások alkalmazását, nevezetesen a magyar és a dsztrbúcós módszerét. A (4.2), (4.3) feltételek és az (4.5) célfüggvény alapán az előzőpontban megfogalmazott példát szmplex-táblába foglalhatuk (4.1. táblázat) táblázat A mntapélda szmplex-tábláa x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 u u u v v v v A (4.2) és (4.3) feltételek egy m+n egyenletből álló egyenletrendszert határoznak meg, ahol az smeretlenek száma m*n. A táblából látható, hogy egy olyan lneárs programozás feladattal állunk szemben, ahol a feltétel egyenletek csak és 1 együtthatóú x tagokat tartalmaznak, és 1

11 az együtthatómátrx oszlopvektora az e egy n eleműés e m elemű egységvektorok. A tábla alapán belátható az s, hogy a feladat duál pára, ha u -vel és v -vel elölük a duálváltozókat: (4.7) u v c ( 1,..., n; 1,..., m) (4.8) f u r v z max. A feladat felépítése lehetővé tesz, hogy a szmplex-tábla helyett az ún. dsztrbúcós táblából ndulunk k, amely csak a szmplex-tábla peremadatat (C, f, r) tartalmazza. Később látn foguk, a dsztrbúcós táblán kelölhetőa prmál feladat egy lehetséges bázsmegoldása, és elvégezhetőa bázsmegoldás avítása anélkül, hogy a szmplex-táblán belül változásokat nylvántartanánk. A dsztrbúcós módszer alkalmazásának előfeltétele a (4.4) feltétel telesülése, am matt a szmplex-tábla n+m egyenlete közül csak n+m 1 független egymástól. Ebből vszont az következk, hogy a bázsmegoldásnak n+m 1 eleme van, mvel a kötött smeretlenek száma megegyezk az együtthatómátrx rangával. A (4.7) duál feltételek pedg a kötött helyeken egyenlőség formáában telesülnek. Ezt a megállapításunkat az optmaltás vzsgálat során fel foguk használn. Az ndulóprogram előállítása Az ndulóprogram (az elsőbázsmegoldás) előállítására az rodalomban több módszer smeretes. Többek között a Vogel-Korda-féle elárás s alkalmazható. Itt most a sor és oszlop mnmum módszert smertetük. A módszer bemutatását összekötük az alkalmazással, ezért íruk fel smét a mntapéldánk nduló dsztrbúcós tábláát, amelyben nyomon követhetük a megoldás lépéset. A szállítás feladat f F F r a/ Az f és r elemek között megkeressük a legnagyobbat. A példában r 3 =6. b/ A kválasztott feladó sorában, vagy megrendelőoszlopában megkeressük a legksebb költségűvszonylatot (c 13 =1), és erre a helyre akkora mennységet programozunk, amennyt az f és r korlátok megengednek. A példában f 1 < r 3, így x 13 =5. c/ A programozást a következőlegksebb költségűhelyen folytatuk, mközben betartuk a következőszabályokat: ndg maradunk egy sorban vagy oszlopban, amíg az lletősort vagy oszlopot telesen k nem merítettük. A le nem kötött f és r értékek közül mndg a ksebbet programozzuk. 11

12 Ha egyszerre csökken -ra a feladó készlete és a megrendelőgénye, akkor a feladatot degeneráltnak nevezzük. Ilyenkor a következőlegksebb költségűhelyre x = mennységet programozunk. d/ A programozást addg folytatuk, amíg az összes készletet, lletve gényt szét nem osztottuk. A továbbakban azokat a helyeket, ahová programoztunk, kötött helynek, a többt szabad helynek foguk nevezn. Az ndulóprogramot a bázs avítása előtt célszerűellenőrzn. Ha betartottuk a szabályokat, akkor a kötött helyek száma n+m 1, és telesülnek a (4.2), (4.3) feltételek. A példánk ndulóprograma az elosztás sorrendében: x 13 =5, x 33 =1, x 31 =2, x 21 = 2, x 22 = 1, x 24 =1, a célfüggvény pedg z=21. Az optmaltás vzsgálata Az ndulóprogram kelégít az (4.1)-(4.4) feltételeket. A kérdés ezek után már csak az, mként dönthetük el, hogy a bázsmegoldás optmáls-e, vagy pedg avítható. Az optmaltás feltételet, mnt tuduk a szmplex-módszernél a dualtás tétel határozza meg. Ha a prmál megoldás mellett smernénk a duálváltozók (u, v ) értéket, akkor egyszerűen dönthetnénk. A dsztrbúcós táblából a duálváltozók sanos nem olvashatók k, de kszámíthatók, mvel a prmálbázsba vont vektorokhoz tartozó duálfeltételek mndg egyenlőség formáában telesülnek, azaz u +v =c. A továbbakban az u és v duálváltozókat a dsztrbúcós módszernél használatos termnológának megfelelően potencáloknak nevezzük. Vsszatérve az előzőekhez a potencálok száma n+m, a prmálbázsba vont vektorokhoz tartozó duálfeltételek száma n+m 1, így egy potencál értéke szabadon választható, a több pedg a (4.9) c (u +v )= egyenletekből számítható. Az így meghatározott potencálokat felhasználva megvzsgáluk, hogy a szabad helyekre telesül-e a (4.7) feltétel, azaz a (4.1) d =c (u +v ). Ha található olyan szabad hely, ahol d <, akkor a program avítható. A gyakorlatban a potencálok a következőtábla alapán számíthatók: v 1 v 2 v 3 v 4 u 1 1 u u

13 Legyen u 1 =, akkor v 3 =c 13 u 1 =1 u 3 =c 33 v 3 = v 1 =c 31 u 3 =1 u 2 =c 21 v 1 =1 v 2 =c 22 u 2 = v 4 =c 24 u 2 =7 A kapott értékeket a (4.1)-be helyettesítve: d 11 =5, d 12 =4, d 14 = 2, d 23 =1, d 32 =2, d 34 = 6. Az ndulóprogram tehát avítható. A bázsmegoldás avítása A bázsmegoldást úgy avíthatuk, hogy azt a helyet, amelyhez a legnagyobb abszolút értékűnegatív d tartozk, bevonuk a bázsba. A szállítás feladat specáls felépítése egy vszonylag egyszerű, mechankusan alkalmazható vektorcserére ad lehetőséget. Ennek tárgyalása előtt bevezetük a hurok fogalmát. Ha a C költségmátrx bármelyk elemétől kndulva bástyamozgással haladunk úgy, hogy ugyanazon sorban és oszlopban csak két elemet érntünk, akkor hurkot kapunk. Bzonyítható, ha adott egy bázsmegoldás, akkor bármely szabad helyhez egyértelműen hozzárendelhetőegy hurok, amelynek egyk csúcsponta a szóban forgó szabad hely, a több csúcsa pedg az adott bázsmegoldás egy-egy eleme. Az elmondottak egyszerűelárást adnak a vektorcserére. egrazoluk a bevonandó szabadhelyhez tartozó hurkot. A hurokban a szabad helyhez tartozó elemet, mad ezt követően mnden másodkat poztívnak, a többt negatívnak tekntük. A negatív csúcsokon lévőx mennységek közül a legksebbet a negatív csúcsokon álló mennységekből levonuk, a poztív csúcsokon állókhoz pedg hozzáaduk. Végül a negatív csúcsok közül azt, amelynél az x mennység -ra csökkent, elhagyuk a hurokból, de mndg csak egy csúcsot. Degenerácó esetén ugyans több helyen s -ra csökkenhet az x. A megmaradó hurok csúcsponta, és az előzőbázsmegoldás hurkon kívül eleme alkoták az ú bázst. A leírt elárást alkalmazzuk a példán. A d értékek alapán a 3-4 szabad helyet kell bevonn a bázsba. A dsztrbúcós táblán megrazoluk a hurkot, amelynek csúcsponta: 3-4, 3-1, 2-1, 2-4. A negatív csúcsok között x 24 a legksebb, ezt levonuk a negatív csúcson állókból, és hozzáaduk a poztív csúcson állókhoz. f F F * 3 r

14 x 34 =+1=1 x 31 =2 1=1 x 21 =2+1=3 x 24 =1 1= Az x 24 -et elhagyuk, így az ú bázsmegoldás: f F F r x 13 =5, x 21 =3, x 22 =1, x 31 =1, x 33 =1, x 34 =1 Az optmaltás vzsgálat elvégzése után már valamenny szabad helyen a d értéke poztív, vagys a fent bázsmegoldás optmáls. A célfüggvény értéke z=15. A megoldás részletes smertetése után foglaluk össze a dsztrbúcós módszer algortmusát: a/ A feladatot a (4) feltételnek megfelelőalakra hozzuk fktív megrendelővagy feladó beállításával. b/ Felíruk a feladat nduló tábláát: C r c/ Az előzőekben leírt módon ndulóprogramot készítünk, vagys keresünk egy bázsmegoldást. d/ A kötött helyekre felírható u +v =c egyenletrendszer segítségével kszámítuk a potencálokat. e/ A szabad helyekre írható d =c (u +v ) feltételek alapán megvzsgáluk a bázsmegoldás optmaltását. Ha a feltétel valamenny párra telesül, akkor a megoldás optmáls. f/ A szabad helyek közül azt, ahol a d negatív, és a legnagyobb abszolútértékű, bevonuk a bázsba. A vektorcserét az smertetett módon végezzük el. A vektorcsere után vsszatérünk a d ponthoz. 4.3 példa: Négy raktár öt fogyasztót lát el. Az egységny termék raktározás költsége az egyes raktárakban rendre 3, 4, 3, 5 Ft. A raktárak kapactása: [3, 2, 4, 35] egység. A fogyasztók génye: [2, 8, 12, 1, 18] egység. A falagos szállítás költség az egyes vszonylatokban Ft/egység mértékegységben: f F 2 F 3 F 4 F

15 Határozzuk meg az optmáls szállítás programot, továbbá kérdés, hogy megszüntethető-e valamelyk raktár anélkül, hogy a szállítás és raktározás költség növekedne? Alkalmazzuk a dsztrbúcós módszert A magyar módszer A magyar módszert H.W. Kuhn az ún. hozzárendelés probléma megoldására felesztette k [43] Kőng Dénes magyar matematkus egyk gráfelmélet tételének felhasználásával [46], amelyet egy másk magyar matematkus Egerváry Jenőáltalánosított [26]. E módszer széles körben felkeltette a matematkusok, és az elosztás problémákkal foglalkozó szakemberek fgyelmét, különösen azóta, hogy Egerváry megmutatta, a módszer nemcsak a hozzárendelés probléma, hanem a szállítás feladat megoldására s alkalmas. A Kőng-Egerváry-féle tétel általánosan a következők szernt fogalmazható meg: ha az R egy adott C [ c ] mátrx pontanak egy nem üres részhalmaza, akkor az R-ben felvehetőfüggetlen pontok maxmáls száma megegyezk az R összes pontat lefedővonalak mnmáls számával. A bzonyításnál abból ndulnak k, hogy adottnak tekntk az R-nek egy olyan maxmáls számú elemet tartalmazó F részhalmazát, amelynek mnden eleme független pont. Ha az F pontanak számát n-nel, az R mnden pontát lefedővonalak számát v-vel elölük, akkor fennáll a v n összefüggés. Azt kell tehát csak megmutatn, hogy a v mnmáls értéke n. A gyakorlatban rendszernt az R halmazt smerük, és feladat az F meghatározása. A követendőelárás a következő: a/ Az adott C C ( ) mátrxból elhagyuk azokat a vonalakat, amelyeken nncs ponta R-nek. Legyen az így nyert mátrx C ( 1 ). b/ A C ( 1) -ben keresünk olyan vonalat, amelyen csak egy ponta van az R-nek. Ezt a pontot bevesszük a független pontok közé, mad a nek megfelelőkét vonalat elhagyva a C ( 1) -ből az elárást annyszor smételük, ahányszor csak lehetséges, így bzonyos számú lépés után vagy olyan C ( 2) mátrxhoz utunk, amelyben már nncs ponta az R-nek, vagy pedg olyan C ( 3) mátrxot kapunk, amelynek mnden vonalán legalább két R-hez tartozó pont található. Az elsőesetben a felvett független pontok száma maxmáls, és a fedővonalrendszer a később smertetendőmódon megrazolható. A másodk esetben azonban tovább lépések szükségesek. c/ A C ( 3) egyk vonalán felvesszük a független pontok közé az R valamelyk elemét. Ezután a C ( 3) -ból elhagyuk a feltételezett független ponthoz tartozó két vonalat, mad az így nyert ú mátrxszal az a, b és c lépéseket annyszor smételük, ahányszor csak lehetséges. Az elárás végén a független pontok olyan halmazához utunk, amely úabb R- bel ponttal nem bővíthető. Abban azonban nem lehetünk bztosak, hogy a független pontok száma maxmáls. Ez csak a fedővonalrendszer megszerkesztése után derül k. Ha egy független pont sem esk a fedővonalak metszéspontára, akkor a független pontok száma max- 15

16 máls. Ellenkezőesetben a független pontok halmazát és a fedővonalrendszert módosítan kell. A 3. pontban megfogalmazott szállítás feladatban az (5) célfüggvény mnmumát keressük a (1)-(4) feltételek mellett. Ha a C költségmátrx sorahoz f, oszlopahoz pedg r multplctásokat rendelünk, és az így nyert N-ed rendűmátrxot ( N f r ) B-vel elölük, akkor a problémát a következőképpen fogalmazhatuk meg: Válasszunk k a B-ben N független pontot úgy, hogy a megfelelőköltségelemek összege mnmáls legyen. Ha az f r 1, akkor a C mnden sorának és oszlopának multplctása 1, és hozzárendelés problémával állunk szemben. Ennek a feladatnak a megoldása egyrészt a Kőng-Egerváry-féle tételen alapszk, másrészt azon a tényen, hogy a ahol a c c p q, p mn{ c 1, 2,..., m}, q mn{ c p 1, 2,..., n}, transzformácó esetén, olyan C' költségmátrxhoz utunk, amelyhez ugyanaz az optmáls megoldás tartozk, mnt C-hez. A c -t helyettesítsük a célfüggvénybe: z ( c p q ) x c x p x q x c x p ( x ) q ( x ). Felhasználva a (4.2) és (4.3) összefüggéseket, a z c x p f q r. Ezzel a z célfüggvényt az x -től függőés attól független részekre bontottuk, és állításunkat bzonyítottuk. A transzformácót, mnt már azt említettük, a költségmátrx redukcóának nevezzük. Legyen akkor a Könnyen belátható, hogy c akkor z p f q r, z c x z., p, q kkötés mellett a z. z Ha pedg mn{ c x }, mnz. z Bzonyítható, hogy mndg megadható a redukcóknak egy olyan véges sorozata, am a fent mnmumra vezet. Alkalmazzuk a c c p q ( 1) ( 1) ( 1) 16

17 redukcót, ahol Ekkor a ( 1) ( 1) p mn{ c 1, 2,..., m} és q. z c x z ( 1 ) ( 1 ), ahol a ( 1) ( 1) z p f. A redukcót hatsuk végre oszloponként s: ahol a c c p q ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) p és q mn{ c 1, 2,..., n}. A célfüggvény ahol a z c x z z ( 2) ( 1) ( 2 ), ( 2) ( 2) z q r. ( 2) A c mátrxban található zérus elemek közül az előzőleg leírt módon maxmáls számú független -át választunk k. Ha ezek száma N, akkor és így ( 2) mn{ c x }, ( ) ( ) mn z z 1 z 2. Ha azonban a független -ák száma ksebb, mnt N, akkor megrazoluk a fedővonalrendszert, mad a le nem fedett elemek közül kválasztuk a mnmálst. Ez legyen ( 2 ) ( 2). Ezután redukáluk a c költségmátrxot: ahol ( 3) ( 2) ( 3) ( 3) c c p q, ha az -edk sor fedővonal, ha az -edk sor nem fedővonal. ha a -edk oszlop fedővonal, ha a -edk oszlop nem fedővonal. Ez gyakorlatlag azt elent, hogy a le nem fedett elemekből levonuk az ( 2) -t, az egyszer fedett elemeket változatlanul hagyuk, a kétszer fedett elemeket pedg ( 2) -vel növelük. A redukcó után a célfüggvény: ahol a (3) p (3) q, (2),, (2), z c x z z z ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 17

18 z d. ( 3) ( 2) ( 2) A d ( 2) az N-nek és a független zérusok számának a különbsége. ( A c 3 ) mátrxban független zérusokat keresünk, elkészítük a fedővonalrendszert, mad redukáluk a mátrxot. E lépéseket addg smételük, amíg olyan c ( r) mátrxot nem kapunk, amelyben a független zérusok száma N. Ekkor ( r ) ( 1) ( 2) ( r ) z c x z z... z mn, ahol a ( r ) c x. A módszer matematka ndoklása után tekntsük a hozzárendelés és a szállítás feladat esetén alkalmazható algortmusokat. A hozzárendelés feladat megoldása magyar módszerrel Feltételezzük, hogy adott négy professzor, akk valamennyen képesek előadásokat tartan különbözőtémakörökből. Tekntettel azonban a professzorok eltérőszakrányultságára, az egyes előadások előkészítéséhez szükséges dőtartam professzoronként változó. A tanszékvezető egyéb területeken s szeretné foglalkoztatn a professzorokat, ezért az előadásokat, úgy kívána elosztan közöttük, hogy azok előkészítése a lehetőlegkevesebb dőt gényele. Az előadások előkészítéséhez szükséges dőtartamokat az a következőtáblázat foglala össze: Professzor Lneárs programozás Sorbanállás elmélet Dnamkus programozás Regresszó analízs Kovács Kss Fehér Nagy Olduk meg a problémát a magyar módszerrel. 1. Ha feladat a célfüggvény maxmumának meghatározása, akkor változtassuk meg a költségmátrx mnden elemének előelét. A mnmum feladathoz tartozó költségmátrx: Redukáluk a mátrxot soronként! p Redukáluk a mátrxot oszloponként! 18

19 q 5 5 Az összes redukcó értéke: z p q Keressük meg azokat a sorokat, amelyekben független elem van. (A elem akkor független, ha egyedül álló elöletlen a szóban forgó sorban.) Ha találtunk lyen sort, akkor a független elemet elölük csllaggal (*). A független elem oszlopában található több elemet pedg elölük meg kereszttel (+). A másodlagosan megelölt -k segítségével megszüntetük az oszlop aktvtását (u. egy sorban és oszlopban csak egy elemet elölhetünk k). Ismételük az elárást addg, amíg a sorokban úabb és úabb független elemet tudunk kelöln. * * Keressük meg azokat az oszlopokat, amelyekben független elem van. (A elem akkor független, ha egyedül álló elöletlen a szóban forgó oszlopban.) Ha találtunk lyen oszlopot, akkor a független elemet elölük csllaggal (*). A független elem sorában található több elemet pedg elölük meg kereszttel (+). A másodlagosan megelölt -k segítségével megszüntetük a sor aktvtását. Ismételük az elárást addg, amíg az oszlopokban úabb és úabb független elemet tudunk kelöln. * * * Ismételük a 4. és 5. lépéseket, amíg az eredményre vezet. Ha már nem tudunk ú független -át kelöln, akkor a következőhárom eset fordulhat elő. a/ mnden sorban kelöltünk egy független elemet, b/ van olyan sor vagy oszlop, amelykben legkevesebb két el nélkül elem van, c/ nncs elöletlen elem, de a független nulla elemek száma kevesebb, mnt a sorok száma. 7. Ha az a/ eset fordul elő, akkor a kelölés teles, megkaptuk az optmáls megoldást. A b/ esetben véletlenszerűen elölük meg az egyk el nélkül elemet csllaggal (*), mad ugyanebben a sorban és oszlopban elölük kereszttel (+) a több elöletlen nulla elemet, mad tér- 19

20 ünk vssza a 4. lépéshez. A harmadk, c/ esetben folytassuk az elárást a 8. lépéssel. 8. Jelölük meg azokat a sorokat, amelyekben nncs független. 9. Jelölük meg azokat az oszlopokat, amelyek még nncsenek megelölve, és az oszlopban található olyan, amely megelölt sorban van. 1. Jelölük meg azokat a sorokat, amelyek még nncsenek megelölve, és amelyekben a független a megelölt oszlopban van. 11. Ismételük a 9. és 1. lépéseket addg, amíg az eredményre vezet. * * * Fedük le a meg nem elölt sorokat és a megelölt oszlopokat. Ez bztosíta, hogy a elemeket mnmáls számú fedővonallal fedük le. (Ha nem vétettünk hbát, akkor a fedővonalak száma megegyezk a független -k számával.) * * * Keressük meg a fedetlen elemek közül a legksebbet ( ), ez esetünkben =2, mad a le nem fedett elemeket csökkentsük -nal, az egyszer fedett elemeket változatlanul hagyuk, a kétszer fedett elemeket növelük -nal, és térünk vssza a 4. lépéshez. A célfüggvény változása: ahol f a független elemek száma z1 z ( n f ) 26 2 ( 4 3 ) 28, + 6 * 3 13 * * *

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató

Részletesebben

Tömegközlekedési rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Viktória - Szöllősy Zsolt - Dr. Csiszár Csaba 1.

Tömegközlekedési rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Viktória - Szöllősy Zsolt - Dr. Csiszár Csaba 1. Tömegközlekedés rendszer tervezéséhez alkalmazható, forgalom-megosztást előrebecslő modell Déska Vktóra - Szöllősy Zsolt - Dr. Csszár Csaba 1. Bevezetés A közlekedés térben-dőben leátszódó, kívülről és

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

GAZDASÁGI ÉS NATURÁLIS CÉLFÜGGVÉNYEK KOMBINÁLT ALKALMAZÁSA EGY EGYSZERŰ LOGISZTIKAI PÉLDÁN

GAZDASÁGI ÉS NATURÁLIS CÉLFÜGGVÉNYEK KOMBINÁLT ALKALMAZÁSA EGY EGYSZERŰ LOGISZTIKAI PÉLDÁN GZDSÁGI ÉS NURÁLIS ÉLFÜGGVÉNY OMINÁL LLMZÁS GY GYSZRŰ LOGISZII PÉLDÁN Pokornyk Norbert aposvár gyetem Gazdaságtudomány ar, aposvár Informatka anszék onzulens: Dr. sukás éla, tanszékvezető, egyetem docens

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

A neurális hálózatok alapjai

A neurális hálózatok alapjai A neuráls hálózatok alapja (A Neuráls hálózatok és mszak alkalmazásak cím könyv (ld. források) alapján) 1. Bológa alapok A bológa alapok megsmerése azért fontos, mert nagyon sok egyed neuráls struktúra,

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk Az aktív foglalkoztatás programok eredményességét meghatározó tényezõk GALASI ÉTER LÁZÁR GYÖRGY NAGY GYULA Budapest Munkagazdaságtan Füzetek BW. 1999/4 1999. máus 1 Budapest Munkagazdaságtan Füzetek.1999/4.

Részletesebben

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal 9. Vsszavezetés egyed felsorolókkal Ebben a fejezetben a hét általános programozás tételt olyan feladatok megoldására alkalmazzuk, ahol nem lehet nevezetes felsorolókat sználn, azaz a Frst(), Next(), End()

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés.

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés. Foglalkoztatáspoltka. Modellek, mérés. Galas Péter Budapest, 20 Galas Péter, 20 Kézrat lezárva: 20. júnus Bevezetés A tananyag célja a foglalkoztatáspoltka közgazdaságtan szempontú elemzésében és értékelésében

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Reaktivitás on-line digitális mérhetősége virtuális méréstechnikával

Reaktivitás on-line digitális mérhetősége virtuális méréstechnikával Szeged Tudományegyetem Természettudomány Kar Reaktvtás on-lne dgtáls mérhetősége vrtuáls méréstechnkával TDK dolgozat Készítette: Bara Péter fzkus szakos hallgató IV-V. évfolyam Témavezető: Dr. Korpás

Részletesebben

ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTRAKT

ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTRAKT Bánya Tamás ELLÁTÁSI LÁNC VALÓS IDEJŰ OPTIMALIZÁLÁSA ABSZTAKT Jelen kutatómunka céla egy olyan, az ellátás láncok valós deű optmalzálását és analízsét támogató módszer kdolgozása, amely alkalmas az ellátás

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS EGY GYAKORLATI ALKALMAZÁSA Bakó Tamás, dr. Dabócz Tamás Budapest Mszak és gazdaságtudomány Egyetem, Méréstechnka és Informácós Rendszerek Tanszék e-mal:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr.

Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr. Szolnok Tudományos Közlemények XI. Szolnok, 2007. Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr. AZ OPTIMALIZÁLÁS ELMÉLETÉNEK EGYIK MAGYAR GYÖNGYSZEME Előadásukkal a 160 éve született Farkas Gyula (1847-1930) akadémkus, vlághírű

Részletesebben

2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK

2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK ELTE Regonáls Földrajz Tanszék 2005. 1 2 ADATKEZELÉS, STATISZTIKAI ÉS SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ALAPOK 2.1 Terület statsztka és térelemzés A kutatás cél, a főbb vzsgálat témakörök (hpotézsek) meghatározása, a

Részletesebben

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN Kss Ferenc László BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN A szerzőnek a Verseny és szabályozás első kötetében 2007-ben megjelent sorozatndító ckke a szabályozás gazdaságtana történelmének és főbb témának

Részletesebben

DR. KINCZEL FERENC * Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy életbevágó sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése

DR. KINCZEL FERENC * Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy életbevágó sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése DR. KINCZEL FERENC * Kszolgálás folyamat vzsgálata egy életbevágó sorbanállás jelenségben. Mentőszolgálat szmulácós modellezése 1. Bevezetés The examnaton of an attendance process n a fateful queueng ncdent.

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

INCZÉDY János. Magyar Kémiai Folyóirat - Összefoglaló közlemények 77. Pannon Egyetem, 8201 Veszprém, Pf. 158.

INCZÉDY János. Magyar Kémiai Folyóirat - Összefoglaló közlemények 77. Pannon Egyetem, 8201 Veszprém, Pf. 158. Magyar Kéma Folyórat - Összefoglaló közlemények 77 Vegyészmérnök tudomány szerepe a fenntartható felődésben II. rész, Környezetbarát kéma technológa rendszerek tervezése, ú típusú kéma rendszerek alkalmazása,

Részletesebben

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK FELHASZNÁLÁSÁVAL Doktor (PhD) értekezés Témavezető: Dr. Erdély József DSc. egyetem tanár Nyugat-Magyarország

Részletesebben

ERP beruházások gazdasági értékelése

ERP beruházások gazdasági értékelése Rózsa Tünde 1 ERP beruházások gazdaság értékelése 1 DE ATC AVK Gazdaság- és Agrárnformatka Tanszék, Debrecen, Böszörmény u. 138 Absztrakt. Egy ERP rendszer bevezetése mnden esetben nagy anyag megterhelést

Részletesebben

Szállítási feladat_1.

Szállítási feladat_1. Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből :

Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezési feladatok osztályozása témakörből : Termeléstervezés és vállalatrányítás Ellenőrző kérdések és lényegre törő válaszok az ütemezés feladatok osztályozása témakörből : 1 Ismertesse az ütemezés feladatok háromelemes osztályozásának alapvető

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Mesterséges intelligencia Szakértői rendszerek. Mesterséges intelligencia Szakértői rendszerek

Mesterséges intelligencia Szakértői rendszerek. Mesterséges intelligencia Szakértői rendszerek Gépgyártástechnológa Tanszék Dr. Mkó Balázs Mesterséges ntellgenca Szakértő rendszerek Technológa tervező rendszerek 2003/2004 I. BME GTT mko.balazs@freestart.hu Gábor Dénes Főskola Dr. Mkó Balázs Mesterséges

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben

Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben Bevezető feladat Esettanulmányok Önköltségkalkuláció témakörben A vállalkozás a tárgyidőszakban A és B típusú terméket gyártott. A tárgyidőszakkal kapcsolatban a következő információkat ismeri: A termék

Részletesebben

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel SZAKDOLGOZAT Keresztkorrelácó vzsgálata statsztka teszttel Készítette: Balogh Bertalan kéma BSc szakos hallgató Témavezető: Tóth Gergely egyetem docens Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudomány

Részletesebben

Kezelési útmutató. Rádiós-motor-állításmeghajtás 1187 00

Kezelési útmutató. Rádiós-motor-állításmeghajtás 1187 00 Kezelés útmutató Rádós-motor-állításmeghajtás 1187 00 Tartalomjegyzék Ehhez az útmutatóhoz... 2 Készülékábrázolás... 3 Felszerelés... 3 Leszerelés... 3 Feszültségellátás... 4 Elem behelyezése... 4 Működés

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

1. AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYI MODELLEZÉS MELLÉKLETEI

1. AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYI MODELLEZÉS MELLÉKLETEI MELLÉKLETEK 1. AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYI MODELLEZÉS MELLÉKLETEI A FEIM modell részletes leírása, dnamzálása A FEIM modell függeléke, a statkus rész leírása A FEIM modell leírása Az üvegházgázok kbocsátásának

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Bevezető milyen információkkal rendelkezik a magyar lakosság ezekről a termékkategóriákról Módszertan:

Bevezető milyen információkkal rendelkezik a magyar lakosság ezekről a termékkategóriákról Módszertan: Bevezető A Szinapszis Kft. a Magyar Gyógyszerészi Kamarával együttműködve piackutatást kezdeményezett, amelynek célja annak feltárása, milyen szerepe van a gyógyszernek illetve az egyéb, gyógyhatású, étrend-kiegészítő

Részletesebben

Visual motion based Human-Computer Interface

Visual motion based Human-Computer Interface Project 4: Vsual moton based Human-Computer Interface Számítógépes Látás kurzus 2007/08. 3. ellenırzés pont (2007-12-11) Számítógépes látás 2007 Project 4. 2 / 12 Tartalomjegyzék Csapattagok...3 Feladat...3

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja

Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Függőségek felismerése és attribútum halmazok lezártja Elméleti összefoglaló Függőségek: mezők közötti érték kapcsolatok leírása. A Funkcionális függőség (FD=Functional Dependency): Ha R két sora megegyezik

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Modern piacelmélet

Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Kutatás és fejlesztés. Modern piacelmélet Moern pacelmélet Moern pacelmélet ELE ák Közgazaságtuomány anszék Sele Arenn ELE ák Közgazaságtuomány anszék Készítette: H János A tananyag a Gazaság Versenyhvatal Versenykultúra Központja és a uás-ökonóma

Részletesebben

A bruttó hazai termék (GDP) növekedéséhez való hozzájárulás

A bruttó hazai termék (GDP) növekedéséhez való hozzájárulás Mûhely Anwar Klára, a KSH vezető tanácsosa E-mal: Klara.Anwar@ksh.hu Szôkéné Boros Zsuzsanna, a KSH osztályvezetője E-mal: Zsuzsanna.Boros@ksh.hu A bruttó haza termék (GDP) növekedéséhez való hozzájárulás

Részletesebben

Beszállítás AR Gyártási folyamat KR

Beszállítás AR Gyártási folyamat KR 3. ELŐADÁS TERMELÉSI FOLYAMATOK STRUKTURÁLÓDÁSA 1. Megszakítás nélküli folyamatos gyártás A folyamatos gyártás lényege, hogy a termelési folyamat az első művelettől az utolsóig közvetlenül összekapcsolt,

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Borsos Attila. Doktori értekezés. Témavezető: Koren Csaba, PhD, egyetemi tanár

Borsos Attila. Doktori értekezés. Témavezető: Koren Csaba, PhD, egyetemi tanár Borsos Attla Közút nfrastrukturáls beavatkozások bztonság hatásának modellezése és optmálása Doktor értekezés Témavezető: Koren Csaba, PhD, egyetem tanár Szécheny István Egyetem Infrastrukturáls Rendszerek

Részletesebben

Területi különbségek a hazai egészségturizmus kínálatában

Területi különbségek a hazai egészségturizmus kínálatában KÖZLEMÉNYEK DR. ÁCS PONGRÁC LACZKÓ TAMÁS Terület különbségek a haza egészségturzmus kínálatában Bevezetés Napjankban az egészségturzmus különböző formá egyre jelentősebb szerepet játszanak a vlág turzmusában,

Részletesebben

A keynesi modell I. Elméleti közgazdaságtan II. A keynesi modell I. A pénzpiac és a makrokereslet. Makroökonómia. A keynesi pénzpiaci modell

A keynesi modell I. Elméleti közgazdaságtan II. A keynesi modell I. A pénzpiac és a makrokereslet. Makroökonómia. A keynesi pénzpiaci modell Elmélet közgazdaságtan. Makroökonóma A keynes modell. A pénzpac és a makrokereslet A keynes modell. A keynes pénzpac modell a) A pénzkínálat azonos a neoklasszkus modellével b) A pénzkeresletnél a Fsher-egyenlet

Részletesebben

Koopetíció néhány elméleti és empirikus eredmény egy kooperatív elemeket tartalmazó versenyzői helyzetről

Koopetíció néhány elméleti és empirikus eredmény egy kooperatív elemeket tartalmazó versenyzői helyzetről Közgazdaság Szemle, LXI. évf., 04. szeptember (000 0. o.) Kőhegy Gergely Kss Hubert János Sele Adrenn Zsoldos János Koopetícó néhány elmélet és emprkus eredmény egy kooperatív elemeket tartalmazó versenyző

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

HATÁROZAT. A kábítószerrel visszaélés vétsége miatt a Budapesti III. kerületi Rendõrkapitányságon 143-5111/2005. bû. szám alatt indult büntetõügyben a

HATÁROZAT. A kábítószerrel visszaélés vétsége miatt a Budapesti III. kerületi Rendõrkapitányságon 143-5111/2005. bû. szám alatt indult büntetõügyben a r. J Budapest. és. kerület Ügyészség B.. 8984/2005/6-1. HATÁROZAT A kábítószerrel vsszaélés vétsége matt a Budapest. kerület Rendõrkaptányságon 143-5111/2005. bû. szám alatt ndult büntetõügyben a TAKÁCS

Részletesebben

SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA

SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA SOPRONI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR Dr. Szala József egyetem tanár MŰSZAKI MECHANIKA II. SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA (Rugalmasság- és szlárdságtan) Jegyzet fapar-, papírpar-, erdő- és környezetmérnök hallgatók

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Variációs módszerek a gépi látásban

Variációs módszerek a gépi látásban Varácós módszerek a gép látásban MOLNÁR JÓZSEF Doktor értekezés Témavezetı: Prof. Csetverkov Dmtrj Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatka Doktor Iskola Az nformatka alapja és módszertana A doktor program

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

AZ ARCHASADÉKOK EPIDEMIOLÓGIAI VIZSGÁLATA. Doktori (Ph.D.) értekezés HORVÁTH-PUHÓ ERZSÉBET

AZ ARCHASADÉKOK EPIDEMIOLÓGIAI VIZSGÁLATA. Doktori (Ph.D.) értekezés HORVÁTH-PUHÓ ERZSÉBET PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Vezető: Prof. Dr. Bóds József egyetem tanár, dékán AZ ARCHASADÉKOK EPIDEMIOLÓGIAI VIZSGÁLATA Doktor (Ph.D.) értekezés HORVÁTH-PUHÓ

Részletesebben

Módszertani leírás a Szigetközben kijelölt mintaterületeinek fatermési és egészségi állapot felvételezéseihez.

Módszertani leírás a Szigetközben kijelölt mintaterületeinek fatermési és egészségi állapot felvételezéseihez. Módszertan leírás a Szgetközben kjelölt mntaterületenek fatermés és egészség állapot felvételezésehez. Készült: az INMEIN projekt keretében. Témafelelősök: Dr. Illés Gábor, Dr. Somogy Zoltán A felvételezések

Részletesebben

A logisztika feladata, célja, területei

A logisztika feladata, célja, területei A logisztika feladata, célja, területei A logisztika feladata: Anyagok és információk rendszereken belüli és rendszerek közötti áramlásának tervezése, irányítása és ellenőrzése, valamint a vizsgált rendszerben

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ÜZLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ÜZLETI GAZDASÁGTAN) 0521 É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 24. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ÜZLETI GAZDASÁGTAN) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Elfogadható a megoldási

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS - ÜZEMVITEL, KÖZLEKEDÉS-TECHNIKA) KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS - ÜZEMVITEL, KÖZLEKEDÉS-TECHNIKA) KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS - ÜZEMVITEL, KÖZLEKEDÉS-TECHNIKA) 1.1 Közlekedési alapfogalmak 1.2 Közúti közlekedés technikai elemei KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA I. RÉSZLETES KÖVETELMÉNYEK

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM

Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM Kmbatrkus ptmalzálás egyzet az elıadás és a kadtt szakrdalm alapá Készítette: Schmdt Péter Alk. Mat., II. évf. 00-0 TARTALOM KOMBINATORIKUS OPTIMALIZÁLÁS... HALMAZOK... Halmaz lefedése... Sperer-redszerek...

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

BEVEZETÉS A STATISZTIKÁBA

BEVEZETÉS A STATISZTIKÁBA MEZEI ELEMÉR BEVEZETÉS A STATISZTIKÁBA Egyetem egyzet Kolozsvár 004-005 TARTALOMJEGYZÉK I. A STATISZTIKA RÖVID TÖRTÉETE... 5 II. A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI... 9.. STATISZTIKAI SOKASÁG... 9.. STATISZTIKAI

Részletesebben