P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) =

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10"

Átírás

1 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint komplementereik is függetlenek. Tehát P (AB = P (AP (B =, 7, 6 =, 42. P (A B = P (A =, 3 és P (A + B = P (A + P (B P (AP (B..2. Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B kizáróak?.2.. Megoldás. Ha A és B kizáróak, akkor AB =, A B, és B A, így P (A + B = P (B =, 4, P (AB = P (B =, 6, és P (A B = 2. Feladat. Egy automata cukorkát csomagol. (A zacskókban levő cukorka tömege normális eloszlásúnak tekinthető. 2.. Kérdés. Milyen mennyiségű adagra állítsák be az automatát, ha az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerülhet 49 grammnál kevesebb cukorka, és az adagok szórása gramm? 2... Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 m =.3 49 m = Kérdés. Mennyi lehet szórás, ha azt akarjuk, hogy az automatát 5 grammra állítva, az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerüljön 49 grammnál kevesebb cukorka? Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 5 =.3 σ σ = Feladat. Két telefon van az irodában, éppen mindkettőn beszélnek. Bálint átlagosan 5 percig szokott beszélni, Dénes 3 percig. Legyen ξ és η az a valószínűségi változó, amely azt mondja meg, hogy mostantól hány perc múlva fejezi be Bálint, illetve Dénes a beszélgetést. 3.. Kérdés. Írjuk fel a ξ és η (egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét! 3... Megoldás. Ha függetlenek, akkor együttes sűrűségfüggvényük a peremsűrűségfüggvények szorzata. { x < vagy y < f ξ,η (x, y = 5 3 e x 5 e y 3 x, y 3.2. Kérdés. Mi a valószínűsége, hogy Bálint előbb fejezi be a beszélgetést, mint Dénes?

2 3.2.. Megoldás. Annak valószínűsége, hogy a ξ és η változók értékei egy adott tartományba esnek, egyenlő a sűrűségfüggvénynek az adott tartományon vett integráljával. P (ξ < η = f ξ,η (x, ydxdy = 5 e x y 5 e 3 dy dx =... x<y 4. Feladat. A Préri horgásztónál az egy bottal kifogható halak száma jó közelítéssel Poisson-eloszlást követ 2 óránként várható értékkel. Kiül egy horgász három bottal horgászni. 4.. Kérdés. Jelölje ξ az első fogásig eltelt időt órában mérve. Határozzuk meg ξ sűrűségfüggvényét! 4... Megoldás. Meghatározzuk ξ eloszlásfüggvényét, majd abból deriválással a sűrűségfüggvényt. ( x F ξ (x = P (ξ < x = van legalább egy kapás P x > x idő alatt A " legalább egy kapás" azt jelenti, hogy, vagy 2, vagy 3, stb. Sokkal egyszerűbb a komplementert számolni, azaz azt, hogy kapás van minden boton. Egy boton a kapások számának várható értéke óra alatt,5, így x óra alatt, 5x. Egy boton x óra alatt kapás valószínűsége (,5x! e,5x = e,5x. A három boton egymástól függetlenül mindegyiken kapás valószínűsége (e,5x 3 = e,5x. F ξ (x = P (ξ < x = A sűrűségfüggvény tehát: x { x P (van legalább egy kapás x idő alatt = e,5x x > f(x = { x, 5e,5x < x Vegyük észre, hogy ez egy exponenciális valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amelynek várható értéke 2 3. Ez annak felel meg, hogy ha egy boton általában kétóránként van kapás, akkor, mivel 3 bottal háromszor annyi hal várható, három bottal harmadannyi időnként várható kapás. 5. Feladat. Egy bizonyos típusú, 5 kg-os csomagolású hagyományos mosóport vizsgálunk. Azt látjuk, hogy a mosópor tömege jó közelítéssel normális eloszlású. 5.. Kérdés. Ha az esetek,5%-ában 5 gr-nál kisebb, 2,5%-ában 54 grnál nagyobb értéket mérünk, mennyi a mosópor tömegének várható értéke és szórása? 2

3 5... Megoldás. Jelölje ξ a csomagban levő mosópor tömegét grammban mérve. P (ξ < 5 = F ξ (5 = Φ( 5 m =, 5 = Φ( 2, 7, σ P (54 > ξ = F ξ (54 = Φ( 54 m =, 25 = Φ(, 96. σ Ebből 5 m 54 m σ = 2.7, σ =, 96. Ez két egyenlet két ismeretlenre, a megoldás m = 52,, σ =, Feladat. A haverokkal kártyázunk. Az asztal alatt egy hűtőládában dobozos sörök vannak. db Soproni, 8 db Borsodi és 6 db Arany Ászok. Az asztal alá lenyúlva véletlenszerűen kiveszünk 4 dobozzal. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a kivett Borsodis, az η-é pedig a kivett Sopronis dobozok száma. 6.. Kérdés. Milyen eloszlású ξ, és mennyi a valószínűsége, hogy ξ 2? 6... Megoldás. 8 db Borsodisból és 6 db nem-borsodisból bármely 4-et ugyanakkora valószínűséggel választva a Borsodisok száma hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó, és annak valószínűsége, hogy éppen k db Borsodis lesz a 4 között ( 8 6 P (ξ = k = k( 4 k ( 24 4 és P (ξ 2 = ( 8 ( 6 ( 8 ( 6 ( 8 ( ( 24 + ( 24 + ( Kérdés. Mennyi P (ξ = 2, η = 2? Megoldás. 2 Borsodi, 2 Soproni, Arany Ászok ( 6 ( 8 ( 2 2 P (ξ = 2, η = 2 = ( Kérdés. Független-e ξ és η? Megoldás. Nem függetlenek, hiszen annak valószínűsége, hogy pl. 3 Borsodis van a négy között, nem nulla, és az sem, hogy 3 Sopronis, de annak valószínűsége, hogy a 4-ből 3 Borsodi és 3 Soproni, az nulla, tehát nem a valószínűségek szorzata Kérdés. Milyen előjelű cov(ξ, η? Megoldás. Negatív. Ugyanis ha sok van az egyikből, csak kevés lehet a másikból. 7. Feladat. Egy üdítőital-automata által adagolt ital mennyisége normális eloszlásúnak tekinthető, liter szórással. 3

4 7.. Kérdés. Mennyire állították be az automatát, ha a félliteresnek címkézett palackoknak csak 2%-a tartalmaz,5 liternél kevesebbet? 7... Megoldás. Jelölje ξ az egy palackban levő ital mennyiségét. P (ξ <, 5 = F ξ (, 5 = Φ(, 5 m =, 2., Φ( 2.5 =, 2, ebből m =, , =, Feladat. A menzán egy adag leves átlagosan 3 dl,,2 dl szórással. 8.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy 3 liter levesből legalább 2 adagot mérnek ki? 8... Megoldás. A levesadagok mennyiségének összegéről van szó. Jelölje ξ i az i-edik levesadag mennyiségét. A kérdés tehát: 2 P ( ξ i 3 i= Mivel kézenfekvő feltételezés, hogy a levesadagok mennyisége a várható érték körül meglehetősen szimmetrikusan oszlik el, a 2 már elég sok ahhoz, hogy a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk. ( 2 ( 2 i= P ξ i 3 = P ξ ( i < = Φ = 2, 2 2, 2 2, 2 i= = Φ( 2.9 =, 998 =, 9. Azaz, gyakorlatilag szinte sosem fordul elő, hogy 2 adag is kiteljen. 9. Feladat. Egy üzemben két gép állít elő egy bizonyos típusú alkatrészt, amelyek élettartama exponenciális eloszlásúnak tekinthető az első gépnél, a másodiknál 2 óra várható értékkel. Az első gép a termelés 4 %-át adja. 9.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk egyet, az tovább fog működni, mint 3 óra? 9... Megoldás. Mivel könnyen meg tudjuk mondani azokat a feltételes valószínűségeket, hogy milyen valószínűséggel működik az alkatrész 3 óránál többet, ha az első, ill. a második gyártotta, a teljes valószínűség tételével próbálkozunk, és persze sikerrel. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 = P (ξ > 3 első gépp (első gép+p (ξ > 3 második gépp (második gép. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =,

5 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, 32 Figyelmeztetés: Kis kalkulátorral számolva könnyű elütni a számokat. Azt mindenesetre ránézésre tudjuk, hogy ha az egyik gépről kikerülő termékek 27%-a, a másikról kikerülők 34%-a éli túl az 3 órát, akkor az összesből az ilyenek a két % között lesznek, és ahhoz közelebb, amelyikből több van, jelen esetben a 34%-hoz. Ha nem ilyen jön ki, számoljunk újra Megoldás. Grafikus megoldás. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 Azaz, ez az első gépen gyártottak 27,25%-a. P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 Azaz, ez a második gépen gyártottak 33,85%-a. ÁBRA P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk négyet, akkor legalább kettő tovább fog működni, mint 3 óra? Megoldás. A " legalább kettő tovább működik" azt jelenti, hogy kettő, három, vagy négy tovább működik, a többi nem. Ezek egymást kizáró események. Feltehetjük, hogy az alkatrészek élettartama egymástól független, így felhasználva az előző pont eredményét P (legalább kettő tovább működik = 4 k=2 ( 4, 32 k, k =... k Nyilvánvaló, hogy a " négy közül továbbműködők" száma binomiális eloszlású. Ha a " legalább 2" -t úgy tekintjük, hogy " nem vagy ", a szumma egyszerűbb. A " működik tovább" azt jelenti, " mind tönkremegy" : ( legalább kettő P = (P ( működik tovább + P ( működik tovább = tovább működik ( 4 = (, , 32, = Kérdés. Ha egy ilyen alkatrész tovább működött, mint 3 óra, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a második gép gyártotta? Mielőtt kiszámítanánk, becsüljük meg, az eredmény több lesz, vagy kevesebb, mint a feltétel nélküli,6 valószínűség? 5

6 9.3.. Megoldás. Mivel az élettartam több, mint bármelyik gépen gyártott alkatrész átlaga, nagy valószínűséggel a jobbakat gyártó gép gyártotta, tehát a második. A valószínűségnek a feltétel nélküli,6-nál nagyobbnak kell lennie. A kérdés: P (második gyártotta ξ > 3 Ha felhasználjuk az első alkérdés eredményét, akkor ez egy egyszerű feltételes valószínűség: P (ξ > 3 és második gép P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 P (ξ > 3 második gépp (második gép = =, 658 P (ξ > 3 Ha nem használjuk az első alkérdés eredményét, akkor az egyes gépekre vonatkozó valószínűségek meghatározása után a Bayes-tételt alkalmazzuk: P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 második gépp (második gép =, 658 P (ξ > 3 első gépp (elsgp + P (ξ > 3 második gépp (második gép. Feladat. Egy 8 cm sugarú körlapra 4 cm átmérőjű korongokat dobálunk (a középpontjuk helyét választva véletlenszerűen, egymástól függetlenül, és a korong nem lóghat le a körlapról... Kérdés. Ha a korongok középpontjainak helyét " területarányosan" választjuk, mennyi a valószínűsége, hogy ha 5 korongot ledobunk, akkor a kör középpontja el lesz takarva?... Megoldás. Mivel a korongok nem lóghatnak ki, egy 6 sugarú körből választjuk középpontjukat. A kör középpontja el lesz takarva, ha van olyan korong, amelyiknek a középpontja 2 cm-nél közelebb van a kör középpontjához, azaz a középpont körüli 2 cm sugarú körbe esik. Annak valószínűsége, hogy egy választás éppen ide esik, egyenlő a kettő területének arányával: P (egy véletlenül ledobott korong eltakarja a középpontot = 22 π 6 2 π = 9. Az " ötből legalább egy" bekövetkezhet úgy, hogy egy, kettő, három, stb. Egyszerűbb úgy számolni, hogy a komplementere " egyik sem" : P (5-ből legalább egy eltakarja = P (5-ből egyik sem takarja el = ( Feladat. Ketten azt játsszák, hogy dobókockákat feldobnak, és ha a számok összege osztható 4-gyel, akkor X fizet Y-nak, különben Y fizet X-nek. 6

7 .. Kérdés. Ha két kockával játszanak, és X 75 Ft-ot fizet, akkor mennyit fizessen Y X-nek, hogy a játék méltányos legyen?... Megoldás. A játék akkor méltányos, ha a nyeremény várható értéke mindkettőjüknek ugyanannyi, és mivel egymásnak fizetnek, ez nulla. Annak valószínűségét, hogy a dobott számok összege 4, a kedvező/összes képlettel számolhatjuk. Az összes esetek száma 36, a kedvezőké pedig (amikor az összeg osztható 4-gyel 9. Ha Y α forintot fizet, akkor X nyereményének várható értéke: amiből α = 25 Ft. α =, 2. Feladat. A menzán kétféle menüből, az A és B jelűből lehet választani. Ma olyan az ebéd, hogy a tapasztalatok szerint a diákoknak kb. a 2 százaléka választja az A menüt. Ebből már csak 6 adag van, a B-ből még Kérdés. Még 7 ember van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy mindenki kaphat olyat, amilyet szeretne? 2... Megoldás. Mindenki azt kap, amit szeretne, ha az A menüt választók száma legalább és legfeljebb 6.A hátralévő 7 ember egymástól függetlenül 2 százalék valószínűséggel választ A menüt, így az A menüt választók száma a 7-ből binomiális eloszlású. 6 ( 7 P ( az A menüt választók száma 6 =.2 k.8 7 k. k k= 2.2. Kérdés. Közelítse az előző pont eredményét normális eloszlással is Megoldás. Ha ξ jelöli az A menüt választók számát, akkor M(ξ = 7, 2 = 4, D(ξ = 7, 2, 8 =, 2 = 3, 347. Jelöljön η egy olyan normális eloszlású valószínűségi változót, amelynek ugyanennyi a várható értéke és szórása. P ( ξ 6 P (9, 5 η 6.5 = F η (6, 5 F η (9, 5 = = Φ( 6, 5 4 3, Φ(9, = Φ(, 75 Φ(, 34 = 3, 347 =, 7734 (, 999 =, Feladat. Egy nagyvárosban naponta átlagosan 3 baleset történik. 3.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy egy nap nincs baleset? 3... Megoldás. Az egymástól függetlenül bekövetkező balesetek száma általában Poisson eloszlásúnak tekinthető. Egy napra a várható érték 3, ezért P (balesetek száma = = 3! e 3 = e 3. 7

8 3.2. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap mindegyikén 2 baleset van? Megoldás. A Poisson eloszlásról tudjuk, hogy az egymást kizáró tartományokban felvett értékek egymástól függetlenek, azaz az egyes napokon bekövetkező balesetek száma független a többi napokon bekövetkezett balesetek számától. P (3 nap mindegyikén 2 baleset = 32 2! ! 2! e 3 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap alatt 6 baleset van? Megoldás. Ha az egy nap alatt bekövetkező balesetek száma Poisson eloszlást követ 3 várható értékkel, akkor a Poisson eloszlás tulajdonságaiból következik, hogy a három nap alatt bekövetkező balesetek száma is Poisson eloszlást követ 3 3 = 9 várható értékkel. P (balesetek száma = 6 = 96 6! e 9 =, Megoldás. Ha nem akarjuk használni az előző megoldásban adott " additív" tulajdonságot, akkor a következőképpen is okoskodhatunk, bár így sokkal bonyolultabb: Az előző pontban említett függetlenséget használjuk. Három nap alatt 6 baleset történhet úgy, hogy egyik nap 6, a többin, és a 6-balesetes napot 3 féleképpen jelölhetjük ki; lehet egyik nap 5, egy másikon, a harmadikon, ezt 3! sorrendben jelölhetjük ki; stb. Az előbb felsorolt esetek egymást valamennyien kizárják, így a valószínűség: P ( 3 nap alatt 6 baleset =3 36 6! ! ! ! 3 3! 3 3! !! e ! ! 2! e 3! e !! e ! 3 3!! e !! e !! e 3 + Némi számolással meggyőződhetünk róla, hogy ez ugyanannyi, mint az előző megoldásban volt. 4. Feladat. Egy szerkezet élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 8 óra várható értékkel. A szerkezet használói a szerkezetet átlagosan napi órát üzemeltetik. 4.. Kérdés. Milyen hosszú garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át akarja garanciálisan cserélni? 8

9 4... Megoldás. Jelölje ξ egy ilyen szerkezet élettartamát. Ha a garanciaidő N óra, akkor P (ξ < N = F ξ (N = e 8 N, 5 Ebből, 95 e 8 N, azaz ln, 95 8N, azaz N 8 ln Feladat. Egy gyárban az egyik elöregedett gép átlagosan 2 percenként elakad (az elakadások között eltelt idő exponenciális eloszlásúnak tekinthető, és 5 perc időbe telik, amíg újra lehet indítani. 5.. Kérdés. Várhatóan mennyi időbe telik, amíg a gép egy egyórás munkát elvégez? (Használjuk az exponenciális és a Poisson-eloszlás közötti kapcsolatot! 5... Megoldás. Ha az első elakadásig eltelt idő exponenciális, akkor adott idő alatt bekövetkező elakadások száma Poisson. Ha átlagosan 2 percenként akad el, akkor 6 percenként átlagosan 3 leállás várható. Így a 6 perces munka elvégzésére fordított idő átlagosan = 75 perc Megoldás. Ha valaki nem bízik az előző megoldásban, mert " túl nagyvonalúnak", vagy " felületesnek" tartja, akkor a következőképpen okoskodhat: Az, hogy a 6 perc alatt bekövetkező leállások száma 3 várható értékű Poissoneloszlás, nem vitatható, ez közismert a valószínűségszámítás elméletéből. A 6 perces munka 6 + k 5 percet vesz igénybe, ha 6 perc működési idő alatt k leállás történik. A munka elvégzéséhez szükséges idő várható értéke: (6+k 5 3k k! e 3 = 6 3k k! e 3 + k= k= k= 5k 3k k! e 3 = 6 k= 3 k k! e 3 +5 k= k 3k k! e 3 A 6 mögötti szumma, hiszen ez épp a Poisson-eloszlás valószínűségeinek összege, az 5 mögötti szumma pedig 3, mert ez éppen egy 3 várható értékű Poisson-eloszlás várható értéke Kérdés. Ha indítás után 8 perccel benézünk, mennyi a valószínűsége, hogy a gép éppen az első sziesztáját tölti? Megoldás. A gép az első sziesztáját tölti, ha az első leállás a 3-ik és 8-ik perc közben következett be. Jelölje ξ az első leállásig eltelt időt percekben. Ekkor λ = 2. P (3 < ξ < 8 = F ξ (8 F ξ (3 = ( e 8 2 ( e 3 2 = e 3 2 e 8 2, vagy P (3 < ξ < 8 = 8 3 λe λx dx = e 2 x dx = e 3 2 e Feladat. Egy szerecsendió szállítmányban a belőle vett minta alapján a szemek átlagos tömege 5gr, és 5%-uk több, mint 6gr. 9

10 6.. Kérdés. Mennyi a szemek tömegének szórása, ha a tömeg normálisnak tekinthető? 6... Megoldás. Jelölje ξ egy dió tömegét. P (ξ < 6 = P (ξ 6 = P (ξ = 6 P (ξ < 6 = F ξ (6 = Φ( 6 5 σ = Φ( =, 5. σ Φ(.645 =, 95, így σ =, 645, amiből σ =, Kérdés. A diókat kettesével csomagolják. Mennyi lesz egy-egy csomag tömege és szórása? Megoldás. A csomag tömegének várható értéke gr. Az egybecsomagolt két dió tömege függetlennek tekinthető, így a csomag tömegének szórásnégyzete D 2 (ξ + D 2 (ξ =, 9248, a szórás pedig, Kérdés. A szállítmány egyik dobozában összesen 2gr dió van. Mennyi a valószínűsége, hogy kevesebb, mint csomagot készítünk belőle? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( i= η i > 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: P ( η i > 2 = P i= ( i= η i 2 >, 967, 967 ( 2 Φ = Φ(.2 =, 5832 =, 468, Kérdés. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2gr dióból legalább 99 csomag készíthető? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( 99 i= η i < 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: ( i= P ( η i < 2 = P η i < 99, , 967 i= ( 2 99 Φ = Φ(.25 =, , Feladat. A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő: η\ ξ - -,5,,2,5,2,,2,5,5 7.. Kérdés. Mennyi a kovarianciájuk?

11 7... Megoldás. A kovarianciához szükségünk van a külön-külön vett várható értékekre, ehhez pedig a peremeloszlásokra. η\ ξ - -,5,,2,35,5,2,,35,2,5,5,3,3,35,35 M(ξ = (, 3 +, 35 +, 35 =, 5, M(η = (, 35 +, 35 +, 3 =, 5, M(ξη = ( (, 5+(, +(, 2+ +, 5+, 5 =, 3, cov(ξη =, 3 (, 5 (, 5 =, Kérdés. Mennyi M(η ξ =? Megoldás. A feltételes várható értékhez ismernünk kell a feltételes valószínűségeket. P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, 2 P (ξ =, 35 P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, P (ξ =, 35 P (η =, ξ =, 5 P (η = ξ = = = P (ξ =, 35 és így a feltételes várható érték M(η ξ = = (,2,,5,35 +,35 +,35 =,5,35 =, Látjuk, ez a szám jóval kisebb, mint a feltétel nélküli várható érték. Ez érthető: a kovarianciájuk negatív, ami azt jelenti, hogy ξ növekedésével általában η csökkenése jár. Az érték pedig ξ legnagyobb értéke, így η kicsi értékei dominálnak. 8. Feladat. Sztochasztikus folyamat Egy állandó átmenetvalószínűségű Markov-lánc két egymás utáni állapotához tartozó együttes eloszlás a következő: X k \ X k Kérdés. Adjuk meg a átmenetvalószínűségek mátrixát! 8... Megoldás. Az átmenetvalószínűségek mátrixában az i-edik sor j-edik eleme azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel kerül a rendszer az i-edik

12 állapotból a j-edik állapotba egy lépés során, azaz, P (X k+ = a j X k = a i. Ez a valószínűség a P (X k+ = a j X k = a i = P (X k+ = a j, X k = a i P (X k = a i képletből kapható meg, de ehhez ismernünk kell X k peremeloszlását. X k \ X k Ebből pl. P (X k+ = X k = = =, P (X k+ = X k = = stb., így az átmenetvalószínűség mátrixa a három állapot között: A = Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszlást! = 2, Megoldás. A stacionárius eloszlásra az áll, hogy ha a rendszer abban van, abból nem mozdul ki. Azaz, ha X k eloszlását a p vektor adja, akkor X k+ eloszlása ugyanaz. Mivel X k+ eloszlását az Ap szorzat adja, keressük az A mátrixnak az sajátértékhez tartozó sajátvektorait. Ennek a mátrixnak egyszeres sajátértéke a λ =, és a hozzá tartozó sajátvektor ( 3, 3, Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszláshoz tartozó R(2-t! Megoldás. " E" -vel jelölve a várható értéket: R(2 = E((X k+2 m(x k m = E((X 2 m(x m, azaz X 2 és X kovarianciája. Az m várható érték a stacionárius eloszlásra =. Két lépés átmenetvalószínűség mátrixa A 2, azaz A 2 = Ebben a mátrixban a feltételes valószínűségek vannak, ezeket még be kell szorozni az X = a i feltételek valószínűségeivel, hogy megkapjuk az együttes eloszlását X -nak és X 2 -nek. Most P (X = a i = 3 minden lehetséges értékre. X \ X A szorzat várható értékében csak a nem nulla tagokat írjuk ki: E(X X 2 = = Tehát E((X 2 m(x m = E(X X 2 E(X E(X 2 =

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 1. Kombinatorikus valószínűség 1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

STATISZTIKA PÉLDATÁR

STATISZTIKA PÉLDATÁR STATISZTIKA PÉLDATÁR www.matektanitas.hu www.matektanitas.hu info@matektanitas.hu 1 Minden feladat csak szöveges válasszal együtt ad teljes értékű megoldást! Becslés 1. feladat Az alábbi táblázat megadja

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK KOMBINATORIKA Példa: a) Hányféle módon rakható sorba egy csomag Magyar kártya 3 lapja? Nyilván 3! féle módon. Ez nagyon nagy szám, 3!,63 0 35. b) Hányféle módon

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Nevezetes diszkre t eloszlá sok Nevezetes diszkre t eloszlá sok Szűk elméleti összefoglaló Binomiális eloszlás: Jelölés: X~B(n, p) vagy X B(n, p) Tipikus használata: Egy kétféle kimenetelű (valami beteljesül vagy sem) kísérletet elvégzünk

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben