P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) =

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10"

Átírás

1 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint komplementereik is függetlenek. Tehát P (AB = P (AP (B =, 7, 6 =, 42. P (A B = P (A =, 3 és P (A + B = P (A + P (B P (AP (B..2. Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B kizáróak?.2.. Megoldás. Ha A és B kizáróak, akkor AB =, A B, és B A, így P (A + B = P (B =, 4, P (AB = P (B =, 6, és P (A B = 2. Feladat. Egy automata cukorkát csomagol. (A zacskókban levő cukorka tömege normális eloszlásúnak tekinthető. 2.. Kérdés. Milyen mennyiségű adagra állítsák be az automatát, ha az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerülhet 49 grammnál kevesebb cukorka, és az adagok szórása gramm? 2... Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 m =.3 49 m = Kérdés. Mennyi lehet szórás, ha azt akarjuk, hogy az automatát 5 grammra állítva, az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerüljön 49 grammnál kevesebb cukorka? Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 5 =.3 σ σ = Feladat. Két telefon van az irodában, éppen mindkettőn beszélnek. Bálint átlagosan 5 percig szokott beszélni, Dénes 3 percig. Legyen ξ és η az a valószínűségi változó, amely azt mondja meg, hogy mostantól hány perc múlva fejezi be Bálint, illetve Dénes a beszélgetést. 3.. Kérdés. Írjuk fel a ξ és η (egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét! 3... Megoldás. Ha függetlenek, akkor együttes sűrűségfüggvényük a peremsűrűségfüggvények szorzata. { x < vagy y < f ξ,η (x, y = 5 3 e x 5 e y 3 x, y 3.2. Kérdés. Mi a valószínűsége, hogy Bálint előbb fejezi be a beszélgetést, mint Dénes?

2 3.2.. Megoldás. Annak valószínűsége, hogy a ξ és η változók értékei egy adott tartományba esnek, egyenlő a sűrűségfüggvénynek az adott tartományon vett integráljával. P (ξ < η = f ξ,η (x, ydxdy = 5 e x y 5 e 3 dy dx =... x<y 4. Feladat. A Préri horgásztónál az egy bottal kifogható halak száma jó közelítéssel Poisson-eloszlást követ 2 óránként várható értékkel. Kiül egy horgász három bottal horgászni. 4.. Kérdés. Jelölje ξ az első fogásig eltelt időt órában mérve. Határozzuk meg ξ sűrűségfüggvényét! 4... Megoldás. Meghatározzuk ξ eloszlásfüggvényét, majd abból deriválással a sűrűségfüggvényt. ( x F ξ (x = P (ξ < x = van legalább egy kapás P x > x idő alatt A " legalább egy kapás" azt jelenti, hogy, vagy 2, vagy 3, stb. Sokkal egyszerűbb a komplementert számolni, azaz azt, hogy kapás van minden boton. Egy boton a kapások számának várható értéke óra alatt,5, így x óra alatt, 5x. Egy boton x óra alatt kapás valószínűsége (,5x! e,5x = e,5x. A három boton egymástól függetlenül mindegyiken kapás valószínűsége (e,5x 3 = e,5x. F ξ (x = P (ξ < x = A sűrűségfüggvény tehát: x { x P (van legalább egy kapás x idő alatt = e,5x x > f(x = { x, 5e,5x < x Vegyük észre, hogy ez egy exponenciális valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amelynek várható értéke 2 3. Ez annak felel meg, hogy ha egy boton általában kétóránként van kapás, akkor, mivel 3 bottal háromszor annyi hal várható, három bottal harmadannyi időnként várható kapás. 5. Feladat. Egy bizonyos típusú, 5 kg-os csomagolású hagyományos mosóport vizsgálunk. Azt látjuk, hogy a mosópor tömege jó közelítéssel normális eloszlású. 5.. Kérdés. Ha az esetek,5%-ában 5 gr-nál kisebb, 2,5%-ában 54 grnál nagyobb értéket mérünk, mennyi a mosópor tömegének várható értéke és szórása? 2

3 5... Megoldás. Jelölje ξ a csomagban levő mosópor tömegét grammban mérve. P (ξ < 5 = F ξ (5 = Φ( 5 m =, 5 = Φ( 2, 7, σ P (54 > ξ = F ξ (54 = Φ( 54 m =, 25 = Φ(, 96. σ Ebből 5 m 54 m σ = 2.7, σ =, 96. Ez két egyenlet két ismeretlenre, a megoldás m = 52,, σ =, Feladat. A haverokkal kártyázunk. Az asztal alatt egy hűtőládában dobozos sörök vannak. db Soproni, 8 db Borsodi és 6 db Arany Ászok. Az asztal alá lenyúlva véletlenszerűen kiveszünk 4 dobozzal. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a kivett Borsodis, az η-é pedig a kivett Sopronis dobozok száma. 6.. Kérdés. Milyen eloszlású ξ, és mennyi a valószínűsége, hogy ξ 2? 6... Megoldás. 8 db Borsodisból és 6 db nem-borsodisból bármely 4-et ugyanakkora valószínűséggel választva a Borsodisok száma hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó, és annak valószínűsége, hogy éppen k db Borsodis lesz a 4 között ( 8 6 P (ξ = k = k( 4 k ( 24 4 és P (ξ 2 = ( 8 ( 6 ( 8 ( 6 ( 8 ( ( 24 + ( 24 + ( Kérdés. Mennyi P (ξ = 2, η = 2? Megoldás. 2 Borsodi, 2 Soproni, Arany Ászok ( 6 ( 8 ( 2 2 P (ξ = 2, η = 2 = ( Kérdés. Független-e ξ és η? Megoldás. Nem függetlenek, hiszen annak valószínűsége, hogy pl. 3 Borsodis van a négy között, nem nulla, és az sem, hogy 3 Sopronis, de annak valószínűsége, hogy a 4-ből 3 Borsodi és 3 Soproni, az nulla, tehát nem a valószínűségek szorzata Kérdés. Milyen előjelű cov(ξ, η? Megoldás. Negatív. Ugyanis ha sok van az egyikből, csak kevés lehet a másikból. 7. Feladat. Egy üdítőital-automata által adagolt ital mennyisége normális eloszlásúnak tekinthető, liter szórással. 3

4 7.. Kérdés. Mennyire állították be az automatát, ha a félliteresnek címkézett palackoknak csak 2%-a tartalmaz,5 liternél kevesebbet? 7... Megoldás. Jelölje ξ az egy palackban levő ital mennyiségét. P (ξ <, 5 = F ξ (, 5 = Φ(, 5 m =, 2., Φ( 2.5 =, 2, ebből m =, , =, Feladat. A menzán egy adag leves átlagosan 3 dl,,2 dl szórással. 8.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy 3 liter levesből legalább 2 adagot mérnek ki? 8... Megoldás. A levesadagok mennyiségének összegéről van szó. Jelölje ξ i az i-edik levesadag mennyiségét. A kérdés tehát: 2 P ( ξ i 3 i= Mivel kézenfekvő feltételezés, hogy a levesadagok mennyisége a várható érték körül meglehetősen szimmetrikusan oszlik el, a 2 már elég sok ahhoz, hogy a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk. ( 2 ( 2 i= P ξ i 3 = P ξ ( i < = Φ = 2, 2 2, 2 2, 2 i= = Φ( 2.9 =, 998 =, 9. Azaz, gyakorlatilag szinte sosem fordul elő, hogy 2 adag is kiteljen. 9. Feladat. Egy üzemben két gép állít elő egy bizonyos típusú alkatrészt, amelyek élettartama exponenciális eloszlásúnak tekinthető az első gépnél, a másodiknál 2 óra várható értékkel. Az első gép a termelés 4 %-át adja. 9.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk egyet, az tovább fog működni, mint 3 óra? 9... Megoldás. Mivel könnyen meg tudjuk mondani azokat a feltételes valószínűségeket, hogy milyen valószínűséggel működik az alkatrész 3 óránál többet, ha az első, ill. a második gyártotta, a teljes valószínűség tételével próbálkozunk, és persze sikerrel. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 = P (ξ > 3 első gépp (első gép+p (ξ > 3 második gépp (második gép. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =,

5 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, 32 Figyelmeztetés: Kis kalkulátorral számolva könnyű elütni a számokat. Azt mindenesetre ránézésre tudjuk, hogy ha az egyik gépről kikerülő termékek 27%-a, a másikról kikerülők 34%-a éli túl az 3 órát, akkor az összesből az ilyenek a két % között lesznek, és ahhoz közelebb, amelyikből több van, jelen esetben a 34%-hoz. Ha nem ilyen jön ki, számoljunk újra Megoldás. Grafikus megoldás. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 Azaz, ez az első gépen gyártottak 27,25%-a. P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 Azaz, ez a második gépen gyártottak 33,85%-a. ÁBRA P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk négyet, akkor legalább kettő tovább fog működni, mint 3 óra? Megoldás. A " legalább kettő tovább működik" azt jelenti, hogy kettő, három, vagy négy tovább működik, a többi nem. Ezek egymást kizáró események. Feltehetjük, hogy az alkatrészek élettartama egymástól független, így felhasználva az előző pont eredményét P (legalább kettő tovább működik = 4 k=2 ( 4, 32 k, k =... k Nyilvánvaló, hogy a " négy közül továbbműködők" száma binomiális eloszlású. Ha a " legalább 2" -t úgy tekintjük, hogy " nem vagy ", a szumma egyszerűbb. A " működik tovább" azt jelenti, " mind tönkremegy" : ( legalább kettő P = (P ( működik tovább + P ( működik tovább = tovább működik ( 4 = (, , 32, = Kérdés. Ha egy ilyen alkatrész tovább működött, mint 3 óra, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a második gép gyártotta? Mielőtt kiszámítanánk, becsüljük meg, az eredmény több lesz, vagy kevesebb, mint a feltétel nélküli,6 valószínűség? 5

6 9.3.. Megoldás. Mivel az élettartam több, mint bármelyik gépen gyártott alkatrész átlaga, nagy valószínűséggel a jobbakat gyártó gép gyártotta, tehát a második. A valószínűségnek a feltétel nélküli,6-nál nagyobbnak kell lennie. A kérdés: P (második gyártotta ξ > 3 Ha felhasználjuk az első alkérdés eredményét, akkor ez egy egyszerű feltételes valószínűség: P (ξ > 3 és második gép P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 P (ξ > 3 második gépp (második gép = =, 658 P (ξ > 3 Ha nem használjuk az első alkérdés eredményét, akkor az egyes gépekre vonatkozó valószínűségek meghatározása után a Bayes-tételt alkalmazzuk: P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 második gépp (második gép =, 658 P (ξ > 3 első gépp (elsgp + P (ξ > 3 második gépp (második gép. Feladat. Egy 8 cm sugarú körlapra 4 cm átmérőjű korongokat dobálunk (a középpontjuk helyét választva véletlenszerűen, egymástól függetlenül, és a korong nem lóghat le a körlapról... Kérdés. Ha a korongok középpontjainak helyét " területarányosan" választjuk, mennyi a valószínűsége, hogy ha 5 korongot ledobunk, akkor a kör középpontja el lesz takarva?... Megoldás. Mivel a korongok nem lóghatnak ki, egy 6 sugarú körből választjuk középpontjukat. A kör középpontja el lesz takarva, ha van olyan korong, amelyiknek a középpontja 2 cm-nél közelebb van a kör középpontjához, azaz a középpont körüli 2 cm sugarú körbe esik. Annak valószínűsége, hogy egy választás éppen ide esik, egyenlő a kettő területének arányával: P (egy véletlenül ledobott korong eltakarja a középpontot = 22 π 6 2 π = 9. Az " ötből legalább egy" bekövetkezhet úgy, hogy egy, kettő, három, stb. Egyszerűbb úgy számolni, hogy a komplementere " egyik sem" : P (5-ből legalább egy eltakarja = P (5-ből egyik sem takarja el = ( Feladat. Ketten azt játsszák, hogy dobókockákat feldobnak, és ha a számok összege osztható 4-gyel, akkor X fizet Y-nak, különben Y fizet X-nek. 6

7 .. Kérdés. Ha két kockával játszanak, és X 75 Ft-ot fizet, akkor mennyit fizessen Y X-nek, hogy a játék méltányos legyen?... Megoldás. A játék akkor méltányos, ha a nyeremény várható értéke mindkettőjüknek ugyanannyi, és mivel egymásnak fizetnek, ez nulla. Annak valószínűségét, hogy a dobott számok összege 4, a kedvező/összes képlettel számolhatjuk. Az összes esetek száma 36, a kedvezőké pedig (amikor az összeg osztható 4-gyel 9. Ha Y α forintot fizet, akkor X nyereményének várható értéke: amiből α = 25 Ft. α =, 2. Feladat. A menzán kétféle menüből, az A és B jelűből lehet választani. Ma olyan az ebéd, hogy a tapasztalatok szerint a diákoknak kb. a 2 százaléka választja az A menüt. Ebből már csak 6 adag van, a B-ből még Kérdés. Még 7 ember van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy mindenki kaphat olyat, amilyet szeretne? 2... Megoldás. Mindenki azt kap, amit szeretne, ha az A menüt választók száma legalább és legfeljebb 6.A hátralévő 7 ember egymástól függetlenül 2 százalék valószínűséggel választ A menüt, így az A menüt választók száma a 7-ből binomiális eloszlású. 6 ( 7 P ( az A menüt választók száma 6 =.2 k.8 7 k. k k= 2.2. Kérdés. Közelítse az előző pont eredményét normális eloszlással is Megoldás. Ha ξ jelöli az A menüt választók számát, akkor M(ξ = 7, 2 = 4, D(ξ = 7, 2, 8 =, 2 = 3, 347. Jelöljön η egy olyan normális eloszlású valószínűségi változót, amelynek ugyanennyi a várható értéke és szórása. P ( ξ 6 P (9, 5 η 6.5 = F η (6, 5 F η (9, 5 = = Φ( 6, 5 4 3, Φ(9, = Φ(, 75 Φ(, 34 = 3, 347 =, 7734 (, 999 =, Feladat. Egy nagyvárosban naponta átlagosan 3 baleset történik. 3.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy egy nap nincs baleset? 3... Megoldás. Az egymástól függetlenül bekövetkező balesetek száma általában Poisson eloszlásúnak tekinthető. Egy napra a várható érték 3, ezért P (balesetek száma = = 3! e 3 = e 3. 7

8 3.2. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap mindegyikén 2 baleset van? Megoldás. A Poisson eloszlásról tudjuk, hogy az egymást kizáró tartományokban felvett értékek egymástól függetlenek, azaz az egyes napokon bekövetkező balesetek száma független a többi napokon bekövetkezett balesetek számától. P (3 nap mindegyikén 2 baleset = 32 2! ! 2! e 3 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap alatt 6 baleset van? Megoldás. Ha az egy nap alatt bekövetkező balesetek száma Poisson eloszlást követ 3 várható értékkel, akkor a Poisson eloszlás tulajdonságaiból következik, hogy a három nap alatt bekövetkező balesetek száma is Poisson eloszlást követ 3 3 = 9 várható értékkel. P (balesetek száma = 6 = 96 6! e 9 =, Megoldás. Ha nem akarjuk használni az előző megoldásban adott " additív" tulajdonságot, akkor a következőképpen is okoskodhatunk, bár így sokkal bonyolultabb: Az előző pontban említett függetlenséget használjuk. Három nap alatt 6 baleset történhet úgy, hogy egyik nap 6, a többin, és a 6-balesetes napot 3 féleképpen jelölhetjük ki; lehet egyik nap 5, egy másikon, a harmadikon, ezt 3! sorrendben jelölhetjük ki; stb. Az előbb felsorolt esetek egymást valamennyien kizárják, így a valószínűség: P ( 3 nap alatt 6 baleset =3 36 6! ! ! ! 3 3! 3 3! !! e ! ! 2! e 3! e !! e ! 3 3!! e !! e !! e 3 + Némi számolással meggyőződhetünk róla, hogy ez ugyanannyi, mint az előző megoldásban volt. 4. Feladat. Egy szerkezet élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 8 óra várható értékkel. A szerkezet használói a szerkezetet átlagosan napi órát üzemeltetik. 4.. Kérdés. Milyen hosszú garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át akarja garanciálisan cserélni? 8

9 4... Megoldás. Jelölje ξ egy ilyen szerkezet élettartamát. Ha a garanciaidő N óra, akkor P (ξ < N = F ξ (N = e 8 N, 5 Ebből, 95 e 8 N, azaz ln, 95 8N, azaz N 8 ln Feladat. Egy gyárban az egyik elöregedett gép átlagosan 2 percenként elakad (az elakadások között eltelt idő exponenciális eloszlásúnak tekinthető, és 5 perc időbe telik, amíg újra lehet indítani. 5.. Kérdés. Várhatóan mennyi időbe telik, amíg a gép egy egyórás munkát elvégez? (Használjuk az exponenciális és a Poisson-eloszlás közötti kapcsolatot! 5... Megoldás. Ha az első elakadásig eltelt idő exponenciális, akkor adott idő alatt bekövetkező elakadások száma Poisson. Ha átlagosan 2 percenként akad el, akkor 6 percenként átlagosan 3 leállás várható. Így a 6 perces munka elvégzésére fordított idő átlagosan = 75 perc Megoldás. Ha valaki nem bízik az előző megoldásban, mert " túl nagyvonalúnak", vagy " felületesnek" tartja, akkor a következőképpen okoskodhat: Az, hogy a 6 perc alatt bekövetkező leállások száma 3 várható értékű Poissoneloszlás, nem vitatható, ez közismert a valószínűségszámítás elméletéből. A 6 perces munka 6 + k 5 percet vesz igénybe, ha 6 perc működési idő alatt k leállás történik. A munka elvégzéséhez szükséges idő várható értéke: (6+k 5 3k k! e 3 = 6 3k k! e 3 + k= k= k= 5k 3k k! e 3 = 6 k= 3 k k! e 3 +5 k= k 3k k! e 3 A 6 mögötti szumma, hiszen ez épp a Poisson-eloszlás valószínűségeinek összege, az 5 mögötti szumma pedig 3, mert ez éppen egy 3 várható értékű Poisson-eloszlás várható értéke Kérdés. Ha indítás után 8 perccel benézünk, mennyi a valószínűsége, hogy a gép éppen az első sziesztáját tölti? Megoldás. A gép az első sziesztáját tölti, ha az első leállás a 3-ik és 8-ik perc közben következett be. Jelölje ξ az első leállásig eltelt időt percekben. Ekkor λ = 2. P (3 < ξ < 8 = F ξ (8 F ξ (3 = ( e 8 2 ( e 3 2 = e 3 2 e 8 2, vagy P (3 < ξ < 8 = 8 3 λe λx dx = e 2 x dx = e 3 2 e Feladat. Egy szerecsendió szállítmányban a belőle vett minta alapján a szemek átlagos tömege 5gr, és 5%-uk több, mint 6gr. 9

10 6.. Kérdés. Mennyi a szemek tömegének szórása, ha a tömeg normálisnak tekinthető? 6... Megoldás. Jelölje ξ egy dió tömegét. P (ξ < 6 = P (ξ 6 = P (ξ = 6 P (ξ < 6 = F ξ (6 = Φ( 6 5 σ = Φ( =, 5. σ Φ(.645 =, 95, így σ =, 645, amiből σ =, Kérdés. A diókat kettesével csomagolják. Mennyi lesz egy-egy csomag tömege és szórása? Megoldás. A csomag tömegének várható értéke gr. Az egybecsomagolt két dió tömege függetlennek tekinthető, így a csomag tömegének szórásnégyzete D 2 (ξ + D 2 (ξ =, 9248, a szórás pedig, Kérdés. A szállítmány egyik dobozában összesen 2gr dió van. Mennyi a valószínűsége, hogy kevesebb, mint csomagot készítünk belőle? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( i= η i > 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: P ( η i > 2 = P i= ( i= η i 2 >, 967, 967 ( 2 Φ = Φ(.2 =, 5832 =, 468, Kérdés. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2gr dióból legalább 99 csomag készíthető? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( 99 i= η i < 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: ( i= P ( η i < 2 = P η i < 99, , 967 i= ( 2 99 Φ = Φ(.25 =, , Feladat. A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő: η\ ξ - -,5,,2,5,2,,2,5,5 7.. Kérdés. Mennyi a kovarianciájuk?

11 7... Megoldás. A kovarianciához szükségünk van a külön-külön vett várható értékekre, ehhez pedig a peremeloszlásokra. η\ ξ - -,5,,2,35,5,2,,35,2,5,5,3,3,35,35 M(ξ = (, 3 +, 35 +, 35 =, 5, M(η = (, 35 +, 35 +, 3 =, 5, M(ξη = ( (, 5+(, +(, 2+ +, 5+, 5 =, 3, cov(ξη =, 3 (, 5 (, 5 =, Kérdés. Mennyi M(η ξ =? Megoldás. A feltételes várható értékhez ismernünk kell a feltételes valószínűségeket. P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, 2 P (ξ =, 35 P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, P (ξ =, 35 P (η =, ξ =, 5 P (η = ξ = = = P (ξ =, 35 és így a feltételes várható érték M(η ξ = = (,2,,5,35 +,35 +,35 =,5,35 =, Látjuk, ez a szám jóval kisebb, mint a feltétel nélküli várható érték. Ez érthető: a kovarianciájuk negatív, ami azt jelenti, hogy ξ növekedésével általában η csökkenése jár. Az érték pedig ξ legnagyobb értéke, így η kicsi értékei dominálnak. 8. Feladat. Sztochasztikus folyamat Egy állandó átmenetvalószínűségű Markov-lánc két egymás utáni állapotához tartozó együttes eloszlás a következő: X k \ X k Kérdés. Adjuk meg a átmenetvalószínűségek mátrixát! 8... Megoldás. Az átmenetvalószínűségek mátrixában az i-edik sor j-edik eleme azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel kerül a rendszer az i-edik

12 állapotból a j-edik állapotba egy lépés során, azaz, P (X k+ = a j X k = a i. Ez a valószínűség a P (X k+ = a j X k = a i = P (X k+ = a j, X k = a i P (X k = a i képletből kapható meg, de ehhez ismernünk kell X k peremeloszlását. X k \ X k Ebből pl. P (X k+ = X k = = =, P (X k+ = X k = = stb., így az átmenetvalószínűség mátrixa a három állapot között: A = Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszlást! = 2, Megoldás. A stacionárius eloszlásra az áll, hogy ha a rendszer abban van, abból nem mozdul ki. Azaz, ha X k eloszlását a p vektor adja, akkor X k+ eloszlása ugyanaz. Mivel X k+ eloszlását az Ap szorzat adja, keressük az A mátrixnak az sajátértékhez tartozó sajátvektorait. Ennek a mátrixnak egyszeres sajátértéke a λ =, és a hozzá tartozó sajátvektor ( 3, 3, Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszláshoz tartozó R(2-t! Megoldás. " E" -vel jelölve a várható értéket: R(2 = E((X k+2 m(x k m = E((X 2 m(x m, azaz X 2 és X kovarianciája. Az m várható érték a stacionárius eloszlásra =. Két lépés átmenetvalószínűség mátrixa A 2, azaz A 2 = Ebben a mátrixban a feltételes valószínűségek vannak, ezeket még be kell szorozni az X = a i feltételek valószínűségeivel, hogy megkapjuk az együttes eloszlását X -nak és X 2 -nek. Most P (X = a i = 3 minden lehetséges értékre. X \ X A szorzat várható értékében csak a nem nulla tagokat írjuk ki: E(X X 2 = = Tehát E((X 2 m(x m = E(X X 2 E(X E(X 2 =

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

STATISZTIKA PÉLDATÁR

STATISZTIKA PÉLDATÁR STATISZTIKA PÉLDATÁR www.matektanitas.hu www.matektanitas.hu info@matektanitas.hu 1 Minden feladat csak szöveges válasszal együtt ad teljes értékű megoldást! Becslés 1. feladat Az alábbi táblázat megadja

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

I. rész 1. Egy gyümölcsjoghurt árát egy akció során 20%-kal csökkentették, így 100 Ft-ért adták. Mi volt a joghurt eredeti ára?

I. rész 1. Egy gyümölcsjoghurt árát egy akció során 20%-kal csökkentették, így 100 Ft-ért adták. Mi volt a joghurt eredeti ára? Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Hraskó András 1. feladatsor (Tanulói példány) I. rész 1. Egy gyümölcsjoghurt árát egy akció során 20%-kal csökkentették, így 100 Ft-ért

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik

Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk Milyen esemény valószínűsége lehet az illetve az érték? P(a dobott szám prím) = P(a dobott szám -mal nem osztható)

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a Feladatok:. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát egymás után egymástól függetlenül végtelen sokszor. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a harmadik hatos dobás vagy a huszadik vagy valamely későbbi

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES Matematika A 3. évfolyam ÍRÁSBELI KIVONÁS 31. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 31. modul ÍRÁSBELI KIVONÁS MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest,

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

1. Lineáris differenciaegyenletek

1. Lineáris differenciaegyenletek Lineáris differenciaegyenletek Tekintsük az alábbi egyenletet: f(n) af(n ) + bf(n + ), (K < n < N) f(k) d, f(n) d Keressük a megoldást f(n) α n alakban Így kajuk a következőket: α n aα n + bα n+ α a +

Részletesebben