P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) =

Átírás

1 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint komplementereik is függetlenek. Tehát P (AB = P (AP (B =, 7, 6 =, 42. P (A B = P (A =, 3 és P (A + B = P (A + P (B P (AP (B..2. Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B kizáróak?.2.. Megoldás. Ha A és B kizáróak, akkor AB =, A B, és B A, így P (A + B = P (B =, 4, P (AB = P (B =, 6, és P (A B = 2. Feladat. Egy automata cukorkát csomagol. (A zacskókban levő cukorka tömege normális eloszlásúnak tekinthető. 2.. Kérdés. Milyen mennyiségű adagra állítsák be az automatát, ha az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerülhet 49 grammnál kevesebb cukorka, és az adagok szórása gramm? 2... Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 m =.3 49 m = Kérdés. Mennyi lehet szórás, ha azt akarjuk, hogy az automatát 5 grammra állítva, az 5 grammosnak címkézett zacskóknak legfeljebb 3%-ába kerüljön 49 grammnál kevesebb cukorka? Megoldás. P (ξ < 49 = F ξ (49 = Φ( 49 5 =.3 σ σ = Feladat. Két telefon van az irodában, éppen mindkettőn beszélnek. Bálint átlagosan 5 percig szokott beszélni, Dénes 3 percig. Legyen ξ és η az a valószínűségi változó, amely azt mondja meg, hogy mostantól hány perc múlva fejezi be Bálint, illetve Dénes a beszélgetést. 3.. Kérdés. Írjuk fel a ξ és η (egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényét! 3... Megoldás. Ha függetlenek, akkor együttes sűrűségfüggvényük a peremsűrűségfüggvények szorzata. { x < vagy y < f ξ,η (x, y = 5 3 e x 5 e y 3 x, y 3.2. Kérdés. Mi a valószínűsége, hogy Bálint előbb fejezi be a beszélgetést, mint Dénes?

2 3.2.. Megoldás. Annak valószínűsége, hogy a ξ és η változók értékei egy adott tartományba esnek, egyenlő a sűrűségfüggvénynek az adott tartományon vett integráljával. P (ξ < η = f ξ,η (x, ydxdy = 5 e x y 5 e 3 dy dx =... x<y 4. Feladat. A Préri horgásztónál az egy bottal kifogható halak száma jó közelítéssel Poisson-eloszlást követ 2 óránként várható értékkel. Kiül egy horgász három bottal horgászni. 4.. Kérdés. Jelölje ξ az első fogásig eltelt időt órában mérve. Határozzuk meg ξ sűrűségfüggvényét! 4... Megoldás. Meghatározzuk ξ eloszlásfüggvényét, majd abból deriválással a sűrűségfüggvényt. ( x F ξ (x = P (ξ < x = van legalább egy kapás P x > x idő alatt A " legalább egy kapás" azt jelenti, hogy, vagy 2, vagy 3, stb. Sokkal egyszerűbb a komplementert számolni, azaz azt, hogy kapás van minden boton. Egy boton a kapások számának várható értéke óra alatt,5, így x óra alatt, 5x. Egy boton x óra alatt kapás valószínűsége (,5x! e,5x = e,5x. A három boton egymástól függetlenül mindegyiken kapás valószínűsége (e,5x 3 = e,5x. F ξ (x = P (ξ < x = A sűrűségfüggvény tehát: x { x P (van legalább egy kapás x idő alatt = e,5x x > f(x = { x, 5e,5x < x Vegyük észre, hogy ez egy exponenciális valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amelynek várható értéke 2 3. Ez annak felel meg, hogy ha egy boton általában kétóránként van kapás, akkor, mivel 3 bottal háromszor annyi hal várható, három bottal harmadannyi időnként várható kapás. 5. Feladat. Egy bizonyos típusú, 5 kg-os csomagolású hagyományos mosóport vizsgálunk. Azt látjuk, hogy a mosópor tömege jó közelítéssel normális eloszlású. 5.. Kérdés. Ha az esetek,5%-ában 5 gr-nál kisebb, 2,5%-ában 54 grnál nagyobb értéket mérünk, mennyi a mosópor tömegének várható értéke és szórása? 2

3 5... Megoldás. Jelölje ξ a csomagban levő mosópor tömegét grammban mérve. P (ξ < 5 = F ξ (5 = Φ( 5 m =, 5 = Φ( 2, 7, σ P (54 > ξ = F ξ (54 = Φ( 54 m =, 25 = Φ(, 96. σ Ebből 5 m 54 m σ = 2.7, σ =, 96. Ez két egyenlet két ismeretlenre, a megoldás m = 52,, σ =, Feladat. A haverokkal kártyázunk. Az asztal alatt egy hűtőládában dobozos sörök vannak. db Soproni, 8 db Borsodi és 6 db Arany Ászok. Az asztal alá lenyúlva véletlenszerűen kiveszünk 4 dobozzal. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a kivett Borsodis, az η-é pedig a kivett Sopronis dobozok száma. 6.. Kérdés. Milyen eloszlású ξ, és mennyi a valószínűsége, hogy ξ 2? 6... Megoldás. 8 db Borsodisból és 6 db nem-borsodisból bármely 4-et ugyanakkora valószínűséggel választva a Borsodisok száma hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó, és annak valószínűsége, hogy éppen k db Borsodis lesz a 4 között ( 8 6 P (ξ = k = k( 4 k ( 24 4 és P (ξ 2 = ( 8 ( 6 ( 8 ( 6 ( 8 ( ( 24 + ( 24 + ( Kérdés. Mennyi P (ξ = 2, η = 2? Megoldás. 2 Borsodi, 2 Soproni, Arany Ászok ( 6 ( 8 ( 2 2 P (ξ = 2, η = 2 = ( Kérdés. Független-e ξ és η? Megoldás. Nem függetlenek, hiszen annak valószínűsége, hogy pl. 3 Borsodis van a négy között, nem nulla, és az sem, hogy 3 Sopronis, de annak valószínűsége, hogy a 4-ből 3 Borsodi és 3 Soproni, az nulla, tehát nem a valószínűségek szorzata Kérdés. Milyen előjelű cov(ξ, η? Megoldás. Negatív. Ugyanis ha sok van az egyikből, csak kevés lehet a másikból. 7. Feladat. Egy üdítőital-automata által adagolt ital mennyisége normális eloszlásúnak tekinthető, liter szórással. 3

4 7.. Kérdés. Mennyire állították be az automatát, ha a félliteresnek címkézett palackoknak csak 2%-a tartalmaz,5 liternél kevesebbet? 7... Megoldás. Jelölje ξ az egy palackban levő ital mennyiségét. P (ξ <, 5 = F ξ (, 5 = Φ(, 5 m =, 2., Φ( 2.5 =, 2, ebből m =, , =, Feladat. A menzán egy adag leves átlagosan 3 dl,,2 dl szórással. 8.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy 3 liter levesből legalább 2 adagot mérnek ki? 8... Megoldás. A levesadagok mennyiségének összegéről van szó. Jelölje ξ i az i-edik levesadag mennyiségét. A kérdés tehát: 2 P ( ξ i 3 i= Mivel kézenfekvő feltételezés, hogy a levesadagok mennyisége a várható érték körül meglehetősen szimmetrikusan oszlik el, a 2 már elég sok ahhoz, hogy a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk. ( 2 ( 2 i= P ξ i 3 = P ξ ( i < = Φ = 2, 2 2, 2 2, 2 i= = Φ( 2.9 =, 998 =, 9. Azaz, gyakorlatilag szinte sosem fordul elő, hogy 2 adag is kiteljen. 9. Feladat. Egy üzemben két gép állít elő egy bizonyos típusú alkatrészt, amelyek élettartama exponenciális eloszlásúnak tekinthető az első gépnél, a másodiknál 2 óra várható értékkel. Az első gép a termelés 4 %-át adja. 9.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk egyet, az tovább fog működni, mint 3 óra? 9... Megoldás. Mivel könnyen meg tudjuk mondani azokat a feltételes valószínűségeket, hogy milyen valószínűséggel működik az alkatrész 3 óránál többet, ha az első, ill. a második gyártotta, a teljes valószínűség tételével próbálkozunk, és persze sikerrel. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 = P (ξ > 3 első gépp (első gép+p (ξ > 3 második gépp (második gép. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =,

5 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, 32 Figyelmeztetés: Kis kalkulátorral számolva könnyű elütni a számokat. Azt mindenesetre ránézésre tudjuk, hogy ha az egyik gépről kikerülő termékek 27%-a, a másikról kikerülők 34%-a éli túl az 3 órát, akkor az összesből az ilyenek a két % között lesznek, és ahhoz közelebb, amelyikből több van, jelen esetben a 34%-hoz. Ha nem ilyen jön ki, számoljunk újra Megoldás. Grafikus megoldás. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó paramétere a várható érték reciproka. Ha ξ jelöli a kivett alkatrész élettartamát, akkor P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 Azaz, ez az első gépen gyártottak 27,25%-a. P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 Azaz, ez a második gépen gyártottak 33,85%-a. ÁBRA P (ξ > 3 =, 2725, 4 +, 3385, 6 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy ha az egy helyen gyűjtött alkatrészek közül kiveszünk négyet, akkor legalább kettő tovább fog működni, mint 3 óra? Megoldás. A " legalább kettő tovább működik" azt jelenti, hogy kettő, három, vagy négy tovább működik, a többi nem. Ezek egymást kizáró események. Feltehetjük, hogy az alkatrészek élettartama egymástól független, így felhasználva az előző pont eredményét P (legalább kettő tovább működik = 4 k=2 ( 4, 32 k, k =... k Nyilvánvaló, hogy a " négy közül továbbműködők" száma binomiális eloszlású. Ha a " legalább 2" -t úgy tekintjük, hogy " nem vagy ", a szumma egyszerűbb. A " működik tovább" azt jelenti, " mind tönkremegy" : ( legalább kettő P = (P ( működik tovább + P ( működik tovább = tovább működik ( 4 = (, , 32, = Kérdés. Ha egy ilyen alkatrész tovább működött, mint 3 óra, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a második gép gyártotta? Mielőtt kiszámítanánk, becsüljük meg, az eredmény több lesz, vagy kevesebb, mint a feltétel nélküli,6 valószínűség? 5

6 9.3.. Megoldás. Mivel az élettartam több, mint bármelyik gépen gyártott alkatrész átlaga, nagy valószínűséggel a jobbakat gyártó gép gyártotta, tehát a második. A valószínűségnek a feltétel nélküli,6-nál nagyobbnak kell lennie. A kérdés: P (második gyártotta ξ > 3 Ha felhasználjuk az első alkérdés eredményét, akkor ez egy egyszerű feltételes valószínűség: P (ξ > 3 és második gép P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 P (ξ > 3 második gépp (második gép = =, 658 P (ξ > 3 Ha nem használjuk az első alkérdés eredményét, akkor az egyes gépekre vonatkozó valószínűségek meghatározása után a Bayes-tételt alkalmazzuk: P (ξ > 3 első gép = F (3 = ( e 3 = e,3 =, 2725 P (ξ > 3 második gép = F 2 (3 = ( e 3 2 = e,833 =, 3385 P (második gyártotta ξ > 3 = = P (ξ > 3 második gépp (második gép =, 658 P (ξ > 3 első gépp (elsgp + P (ξ > 3 második gépp (második gép. Feladat. Egy 8 cm sugarú körlapra 4 cm átmérőjű korongokat dobálunk (a középpontjuk helyét választva véletlenszerűen, egymástól függetlenül, és a korong nem lóghat le a körlapról... Kérdés. Ha a korongok középpontjainak helyét " területarányosan" választjuk, mennyi a valószínűsége, hogy ha 5 korongot ledobunk, akkor a kör középpontja el lesz takarva?... Megoldás. Mivel a korongok nem lóghatnak ki, egy 6 sugarú körből választjuk középpontjukat. A kör középpontja el lesz takarva, ha van olyan korong, amelyiknek a középpontja 2 cm-nél közelebb van a kör középpontjához, azaz a középpont körüli 2 cm sugarú körbe esik. Annak valószínűsége, hogy egy választás éppen ide esik, egyenlő a kettő területének arányával: P (egy véletlenül ledobott korong eltakarja a középpontot = 22 π 6 2 π = 9. Az " ötből legalább egy" bekövetkezhet úgy, hogy egy, kettő, három, stb. Egyszerűbb úgy számolni, hogy a komplementere " egyik sem" : P (5-ből legalább egy eltakarja = P (5-ből egyik sem takarja el = ( Feladat. Ketten azt játsszák, hogy dobókockákat feldobnak, és ha a számok összege osztható 4-gyel, akkor X fizet Y-nak, különben Y fizet X-nek. 6

7 .. Kérdés. Ha két kockával játszanak, és X 75 Ft-ot fizet, akkor mennyit fizessen Y X-nek, hogy a játék méltányos legyen?... Megoldás. A játék akkor méltányos, ha a nyeremény várható értéke mindkettőjüknek ugyanannyi, és mivel egymásnak fizetnek, ez nulla. Annak valószínűségét, hogy a dobott számok összege 4, a kedvező/összes képlettel számolhatjuk. Az összes esetek száma 36, a kedvezőké pedig (amikor az összeg osztható 4-gyel 9. Ha Y α forintot fizet, akkor X nyereményének várható értéke: amiből α = 25 Ft. α =, 2. Feladat. A menzán kétféle menüből, az A és B jelűből lehet választani. Ma olyan az ebéd, hogy a tapasztalatok szerint a diákoknak kb. a 2 százaléka választja az A menüt. Ebből már csak 6 adag van, a B-ből még Kérdés. Még 7 ember van hátra. Mennyi a valószínűsége, hogy mindenki kaphat olyat, amilyet szeretne? 2... Megoldás. Mindenki azt kap, amit szeretne, ha az A menüt választók száma legalább és legfeljebb 6.A hátralévő 7 ember egymástól függetlenül 2 százalék valószínűséggel választ A menüt, így az A menüt választók száma a 7-ből binomiális eloszlású. 6 ( 7 P ( az A menüt választók száma 6 =.2 k.8 7 k. k k= 2.2. Kérdés. Közelítse az előző pont eredményét normális eloszlással is Megoldás. Ha ξ jelöli az A menüt választók számát, akkor M(ξ = 7, 2 = 4, D(ξ = 7, 2, 8 =, 2 = 3, 347. Jelöljön η egy olyan normális eloszlású valószínűségi változót, amelynek ugyanennyi a várható értéke és szórása. P ( ξ 6 P (9, 5 η 6.5 = F η (6, 5 F η (9, 5 = = Φ( 6, 5 4 3, Φ(9, = Φ(, 75 Φ(, 34 = 3, 347 =, 7734 (, 999 =, Feladat. Egy nagyvárosban naponta átlagosan 3 baleset történik. 3.. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy egy nap nincs baleset? 3... Megoldás. Az egymástól függetlenül bekövetkező balesetek száma általában Poisson eloszlásúnak tekinthető. Egy napra a várható érték 3, ezért P (balesetek száma = = 3! e 3 = e 3. 7

8 3.2. Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap mindegyikén 2 baleset van? Megoldás. A Poisson eloszlásról tudjuk, hogy az egymást kizáró tartományokban felvett értékek egymástól függetlenek, azaz az egyes napokon bekövetkező balesetek száma független a többi napokon bekövetkezett balesetek számától. P (3 nap mindegyikén 2 baleset = 32 2! ! 2! e 3 =, Kérdés. Mennyi a valószínűsége, hogy három nap alatt 6 baleset van? Megoldás. Ha az egy nap alatt bekövetkező balesetek száma Poisson eloszlást követ 3 várható értékkel, akkor a Poisson eloszlás tulajdonságaiból következik, hogy a három nap alatt bekövetkező balesetek száma is Poisson eloszlást követ 3 3 = 9 várható értékkel. P (balesetek száma = 6 = 96 6! e 9 =, Megoldás. Ha nem akarjuk használni az előző megoldásban adott " additív" tulajdonságot, akkor a következőképpen is okoskodhatunk, bár így sokkal bonyolultabb: Az előző pontban említett függetlenséget használjuk. Három nap alatt 6 baleset történhet úgy, hogy egyik nap 6, a többin, és a 6-balesetes napot 3 féleképpen jelölhetjük ki; lehet egyik nap 5, egy másikon, a harmadikon, ezt 3! sorrendben jelölhetjük ki; stb. Az előbb felsorolt esetek egymást valamennyien kizárják, így a valószínűség: P ( 3 nap alatt 6 baleset =3 36 6! ! ! ! 3 3! 3 3! !! e ! ! 2! e 3! e !! e ! 3 3!! e !! e !! e 3 + Némi számolással meggyőződhetünk róla, hogy ez ugyanannyi, mint az előző megoldásban volt. 4. Feladat. Egy szerkezet élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 8 óra várható értékkel. A szerkezet használói a szerkezetet átlagosan napi órát üzemeltetik. 4.. Kérdés. Milyen hosszú garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át akarja garanciálisan cserélni? 8

9 4... Megoldás. Jelölje ξ egy ilyen szerkezet élettartamát. Ha a garanciaidő N óra, akkor P (ξ < N = F ξ (N = e 8 N, 5 Ebből, 95 e 8 N, azaz ln, 95 8N, azaz N 8 ln Feladat. Egy gyárban az egyik elöregedett gép átlagosan 2 percenként elakad (az elakadások között eltelt idő exponenciális eloszlásúnak tekinthető, és 5 perc időbe telik, amíg újra lehet indítani. 5.. Kérdés. Várhatóan mennyi időbe telik, amíg a gép egy egyórás munkát elvégez? (Használjuk az exponenciális és a Poisson-eloszlás közötti kapcsolatot! 5... Megoldás. Ha az első elakadásig eltelt idő exponenciális, akkor adott idő alatt bekövetkező elakadások száma Poisson. Ha átlagosan 2 percenként akad el, akkor 6 percenként átlagosan 3 leállás várható. Így a 6 perces munka elvégzésére fordított idő átlagosan = 75 perc Megoldás. Ha valaki nem bízik az előző megoldásban, mert " túl nagyvonalúnak", vagy " felületesnek" tartja, akkor a következőképpen okoskodhat: Az, hogy a 6 perc alatt bekövetkező leállások száma 3 várható értékű Poissoneloszlás, nem vitatható, ez közismert a valószínűségszámítás elméletéből. A 6 perces munka 6 + k 5 percet vesz igénybe, ha 6 perc működési idő alatt k leállás történik. A munka elvégzéséhez szükséges idő várható értéke: (6+k 5 3k k! e 3 = 6 3k k! e 3 + k= k= k= 5k 3k k! e 3 = 6 k= 3 k k! e 3 +5 k= k 3k k! e 3 A 6 mögötti szumma, hiszen ez épp a Poisson-eloszlás valószínűségeinek összege, az 5 mögötti szumma pedig 3, mert ez éppen egy 3 várható értékű Poisson-eloszlás várható értéke Kérdés. Ha indítás után 8 perccel benézünk, mennyi a valószínűsége, hogy a gép éppen az első sziesztáját tölti? Megoldás. A gép az első sziesztáját tölti, ha az első leállás a 3-ik és 8-ik perc közben következett be. Jelölje ξ az első leállásig eltelt időt percekben. Ekkor λ = 2. P (3 < ξ < 8 = F ξ (8 F ξ (3 = ( e 8 2 ( e 3 2 = e 3 2 e 8 2, vagy P (3 < ξ < 8 = 8 3 λe λx dx = e 2 x dx = e 3 2 e Feladat. Egy szerecsendió szállítmányban a belőle vett minta alapján a szemek átlagos tömege 5gr, és 5%-uk több, mint 6gr. 9

10 6.. Kérdés. Mennyi a szemek tömegének szórása, ha a tömeg normálisnak tekinthető? 6... Megoldás. Jelölje ξ egy dió tömegét. P (ξ < 6 = P (ξ 6 = P (ξ = 6 P (ξ < 6 = F ξ (6 = Φ( 6 5 σ = Φ( =, 5. σ Φ(.645 =, 95, így σ =, 645, amiből σ =, Kérdés. A diókat kettesével csomagolják. Mennyi lesz egy-egy csomag tömege és szórása? Megoldás. A csomag tömegének várható értéke gr. Az egybecsomagolt két dió tömege függetlennek tekinthető, így a csomag tömegének szórásnégyzete D 2 (ξ + D 2 (ξ =, 9248, a szórás pedig, Kérdés. A szállítmány egyik dobozában összesen 2gr dió van. Mennyi a valószínűsége, hogy kevesebb, mint csomagot készítünk belőle? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( i= η i > 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: P ( η i > 2 = P i= ( i= η i 2 >, 967, 967 ( 2 Φ = Φ(.2 =, 5832 =, 468, Kérdés. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2gr dióból legalább 99 csomag készíthető? Megoldás. Jelölje η i az i-edik csomag tömegét. A keresett valószínűség P ( 99 i= η i < 2. A centrális határeloszlástételt alkalmazzuk: ( i= P ( η i < 2 = P η i < 99, , 967 i= ( 2 99 Φ = Φ(.25 =, , Feladat. A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő: η\ ξ - -,5,,2,5,2,,2,5,5 7.. Kérdés. Mennyi a kovarianciájuk?

11 7... Megoldás. A kovarianciához szükségünk van a külön-külön vett várható értékekre, ehhez pedig a peremeloszlásokra. η\ ξ - -,5,,2,35,5,2,,35,2,5,5,3,3,35,35 M(ξ = (, 3 +, 35 +, 35 =, 5, M(η = (, 35 +, 35 +, 3 =, 5, M(ξη = ( (, 5+(, +(, 2+ +, 5+, 5 =, 3, cov(ξη =, 3 (, 5 (, 5 =, Kérdés. Mennyi M(η ξ =? Megoldás. A feltételes várható értékhez ismernünk kell a feltételes valószínűségeket. P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, 2 P (ξ =, 35 P (η =, ξ = P (η = ξ = = =, P (ξ =, 35 P (η =, ξ =, 5 P (η = ξ = = = P (ξ =, 35 és így a feltételes várható érték M(η ξ = = (,2,,5,35 +,35 +,35 =,5,35 =, Látjuk, ez a szám jóval kisebb, mint a feltétel nélküli várható érték. Ez érthető: a kovarianciájuk negatív, ami azt jelenti, hogy ξ növekedésével általában η csökkenése jár. Az érték pedig ξ legnagyobb értéke, így η kicsi értékei dominálnak. 8. Feladat. Sztochasztikus folyamat Egy állandó átmenetvalószínűségű Markov-lánc két egymás utáni állapotához tartozó együttes eloszlás a következő: X k \ X k Kérdés. Adjuk meg a átmenetvalószínűségek mátrixát! 8... Megoldás. Az átmenetvalószínűségek mátrixában az i-edik sor j-edik eleme azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel kerül a rendszer az i-edik

12 állapotból a j-edik állapotba egy lépés során, azaz, P (X k+ = a j X k = a i. Ez a valószínűség a P (X k+ = a j X k = a i = P (X k+ = a j, X k = a i P (X k = a i képletből kapható meg, de ehhez ismernünk kell X k peremeloszlását. X k \ X k Ebből pl. P (X k+ = X k = = =, P (X k+ = X k = = stb., így az átmenetvalószínűség mátrixa a három állapot között: A = Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszlást! = 2, Megoldás. A stacionárius eloszlásra az áll, hogy ha a rendszer abban van, abból nem mozdul ki. Azaz, ha X k eloszlását a p vektor adja, akkor X k+ eloszlása ugyanaz. Mivel X k+ eloszlását az Ap szorzat adja, keressük az A mátrixnak az sajátértékhez tartozó sajátvektorait. Ennek a mátrixnak egyszeres sajátértéke a λ =, és a hozzá tartozó sajátvektor ( 3, 3, Kérdés. Adjuk meg a stacionárius eloszláshoz tartozó R(2-t! Megoldás. " E" -vel jelölve a várható értéket: R(2 = E((X k+2 m(x k m = E((X 2 m(x m, azaz X 2 és X kovarianciája. Az m várható érték a stacionárius eloszlásra =. Két lépés átmenetvalószínűség mátrixa A 2, azaz A 2 = Ebben a mátrixban a feltételes valószínűségek vannak, ezeket még be kell szorozni az X = a i feltételek valószínűségeivel, hogy megkapjuk az együttes eloszlását X -nak és X 2 -nek. Most P (X = a i = 3 minden lehetséges értékre. X \ X A szorzat várható értékében csak a nem nulla tagokat írjuk ki: E(X X 2 = = Tehát E((X 2 m(x m = E(X X 2 E(X E(X 2 =