Molnár Zoltán. A matematika reneszánsza

Átírás

1 Molnár Zoltán A matematika reneszánsza

2 Művelődéstörténeti korszak, korstílus, stílusirányzat 1350/ (XV-XVI. század) A szó (renaissance) jelentése: újjászületés Visszatérés az antikvitáshoz (ókori görög-római eredményekhez) Európa leszámol a középkor merev világnézetével, és az embert helyezi középpontba (humanizmus)

3

4 Johannes Müller ( ) Lipcse, Bécs, Pozsony, Mátyás király Öt könyv mindenféle háromszögekről, Alapok (arányok, definíciók, tételek) 2. Síkháromszögek 3. Gömbi geometria 4. Gömbi trigonometria 5. Gömbi trigonometria A trigonometria önállóvá válik

5 A sinustétel igazolása

6 Egyéb eredményei: Sinus- és tangenstáblázat (7 tizedes jegy pontossággal) Gyökvonás fogalmának bevezetése Ötödik tökéletes szám megtalálása ( ) Foglalkozott csillagsokszögekkel Szélsőértékproblémák (A talaj mely pontjáról látszik egy függőlegesen felfüggesztett rúd a leghosszabbnak, vagyis melyik pontból lesz a legnagyobb a látószöge?)

7 1445?-1517 Toszkánában született, ferences szerzetes Leonardo barátja, munkatársa (Az isteni arányt illusztrálta) Az aritmetika, a geometria, az arányok és arányosságok summázata Summa (1494) Az algebra megnevezésére az ars magna kifejezést használta, aminek jelentése nagy művészet. Ezzel kívánta megkülönböztetni azt az aritmetikától

8 Jelöléstechnikája: Hatványok: ce. (négyzet), cu. (köb), ce. ce. (negyedik hatvány) Összeadás: p(piu = több) Kivonás: m(meno= kevesebb) Egyenlőség: ae. (aequalis = egyenlő) Gyökök: Rx (Rx2), Rx3, Rx4 (radix = gyök) Ismeretlen: co. (cosa = dolog) Zárójel: v(universale= közös, általános) (Az u helyett gyakran használtak v-t) Irracionális gyökök: surdi(süket)

9 Egyéb eredményei: Ismerte a kettős könyvelés szabályait Kamatos kamatszámítási feladatok Harmadfokú egyenlet megoldása, kör négyszögesítése lehetetlen feladat Valószínűség-számítási feladatok (megoldásuk nem mindig helyes) Ketten játszanak. Minden fordulóban a győztes 10 pontot kap, és a játék akkor ér véget, ha valakinek 60 pontja van. A játék végén a nyeremény 10 dukát. Egyszer a játék azonban félbeszakadt akkor, amikor az egyik játékosnak 50, a másiknak 20 pontja volt. Hogyan osztozzanak a 10 dukáton?

10 Ősi kultúrák (különböző számrendszerek, semmi formalizmus) Hindu számírás, arab közvetítéssel jutott el Európába (V. század) Kereskedők nem szerették, mert könnyebb volt a hamisítás mint a római számokkal (amikkel a műveletek elvégzése volt bonyolultabb) Albrecht Dürer: számjegyek mai alakja XV-XVII. század: a mai jelölésrendszer kialakulása, egységessé válása

11 1445?-1500?, francia orvos A számok tudománya három részben Jelöléstechnikája (olasz hatás): Összeadás: p Kivonás: m Ismeretlenek hatványai: 4 0 =4, 4 1 =4x, 4 2 =4x 2 Gyökvonás: R x2, R 3 x Zárójel: aláhúzás Negatív kitevőjű hatvány bevezetése Billió, trillió nonillió (10 54 ) elnevezések

12 1462?-1498, lipcsei egyetemi tanár Elsőként adott elő önálló egyetemi stúdiumként algebrát Gyors és szép számolás minden kereskedő számára (1489) Itt jelenik meg először nyomtatásban a + és a jel (Korábban előfordultak már névtelen német kéziratokban)

13 , Luther papja Teljes aritmetika Jelöléstechnikája: Összeadás: + Kivonás: Szorzás: m (multiplicatio = szorzás) Osztás: d(divisio= osztás) Négyzet(második hatvány): z(zensus = vagyon) Köb(harmadik hatvány): c(cubus = köb) Negyedik hatvány: zz(zensi-zensus) Ötödik hatvány: zc(zensi-cubus) Hatodik hatvány: cc(cubi-cubus) Gyökvonás: (a radix gyökér latin szó stilizált kezdőbetűje) Négyzetgyök: z Köbgyök: c Negyedik gyök: zz

14 1510?-1558, walesi matematikus, fizikus, tanár Oxfordban Ő írta az első matematika-tankönyvet angolul A tudás útjai (1551) A Bölcsesség Köszörűköve (1557) Utóbbiban jelent meg először az egyenlőség jele (=) Legtöbb művét dialógus formájában írta, ábrákkal, példákkal Dolgozott a Királyi Pénzverdének

15 , francia matematikus, jogász Az algebrai egyenleteket szimbólumokkal írta le Magánhangzók ismeretlen mennyiségek Mássalhangzók ismert mennyiségek Gyökök és együtthatók közötti összefüggések A π közelítése 10 tizedes jegy pontossággal Harmadfokú egyenleteknél trigonometrikus megoldási módok

16 Számolóversenyek harmad- és magasabbfokú egyenletek megoldása Bologna, XVI. század Harmadfokú egyenletek három típusa: Az általános harmadfokú egyenlet ügyes Az általános harmadfokú egyenlet ügyes helyettesítéssel ilyan alakúra hozható

17

18 ScipioneDel Ferro( ) megtalálta a megoldási módot, de nem publikálta Egy tanítványának, Antonio Maria Fiorenek elárulta NiccoloFontana (Tartaglia, 1500?-1557) szintén rájött a megoldási módra (mivel Fiore versenyre hívta) GirolamoCardano( ) kiszedte Tartagliaból a képletet, és publikálta Tartaglia kihívta Ludovico Ferrarit ( ), de veszített

19 A megoldóképlet(cardano-képlet):

20 A három valós gyök nem valós számok összegeként vagy különbségeként áll elő Cardano példája: Egy másik példa: A problémát RaffaelBombelli( ) oldotta meg, hozzájárulva a komplex számok elméletének kidolgozásához

21 , matematikus, fizikus, orvos Cardano-rács(titkosítás) A kockajátékokról Valószínűség-számítási problémák A nagy művészet, avagy az algebra szabályai (Ars magna sivede regulisalgebraicis, 1545) Az európai matematika először haladta túl a görög és arab matematikát A magasabbfokú egyenletek vizsgálata az algebra központi témája lett ( absztrakt algebra) 1545 az újkori matematika kezdete

22 Az ókor után a geometria háttérbe került A reneszánsz is a festészet (a perspektíva) miatt tette fontossá A háromdimenziós teret két dimenzióban kellett élethűen ábrázolni, ami korábban nem volt túl sikeres

23 A reneszánsz festők a természet és annak valósághű ábrázolása felé fordultak Fontossá vált az ember szépségének megjelenítése (egyházi témájú képeken is) Az ábrázolás kérdéseivel a geometria foglalkozik

24 A 3D-s világok 2D-ben kell ábrázolni úgy, hogy ugyanazt a benyomást keltse a látvány Új ábrázolási mód kell ehhez: a perspektivikus ábrázolás Ki kellett dolgozni a matematikai és optikai feltételeit Andrea Mantegna: Halott Krisztus siratása (1480) nem tökéletes perspektíva

25 Sandro Botticelli: Rágalmazás a bíróságon (1494) tökéletes perspektíva

26 Raffaello: Az athéni iskola (1509) a nagyon tökéletes perspektíva

27 Platón és Arisztotelész Pitagorasz Euklidesz és Ptolemaiosz

28 Filippo Brunelleschi ( ) Leon Battista Alberti ( ) Összekapcsolták a kőfaragók és az építészek gyakorlati tudását a geometriai szerkesztések elméletével Brunelleschi kupolája a Santa Maria del Fiore székesegyházon A firenzei Santa Maria Novella homlokzatát Leon Battista Alberti alkotta

29 , festő és matematikus A festészet perspektívájáról(az első festőknek szóló könyv a perspektíváról) Rövid könyv a szabályos testekről Foglalkozott az öt szabályos testtel és azok kiterjesztésével is Az oldallapok különböző szabályos sokszögek lehetnek 13 ilyen test van (szabályos sokszögek csonkolásával nyerhetők) Megkonstruálásukat is ismertette Kamatos kamatszámítási feladatok

30 Piero della Francesca: Krisztus ostoroztatása

31 , festő és matematikus Magyar származású, Nürnbergben született Értekezés a körzős és vonalzós mérésről(1525) Az első német nyelven kinyomtatott matematika tankönyv Zömmel sík- és térgeometriai problémák Szerkesztési feladatok, eljárások Perspektíivikus ábrázolás Testek felül-és oldalnézeti ábrázolás (ábrázoló geometriát idéző)

32 Albrecht Dürer: Ádám és Éva Albrecht Dürer: Melankólia

33 A perspektíva és a kúpszeletek geometriájának találkozásával jött létre a projektív geometria Ideális pontok, ideális egyenesek, ideális sík, projektív tér Nemeuklideszi geometria

34 , francia építész és matematikus Első fogalmazvány a kúpszeletekről (1639) Pontra és egyenesre perspektív háromszögek Desargues-tétel

35 Az európaihoz viszonyítva viszonylag későn indult be a magyar matematika Mátyás király és a reneszánsz 1467, egyetem Pozsonyban Itt oktatott Regiomontanus, az itt összeállított csillagászati táblázatát használta Kolumbusz Amerika felfedezésénél A fiatalok inkább külföldi egyetemeken tanultak (Krakkó, Prága, Bécs, Bologna, Utrecht, stb.) Regiomontanus csillagászati könyve

36 1422?-1502 Az első magyarországi matematikakönyv szerzője (1499), címe: Aritmetika Latin nyelven íródott, 3 részből áll Hindu-arab számjegyekkel való számolás Kilenc számolási forma: számlálás, összeadás, kivonás, kétszerezés, felezés, szorzás, osztás, haladványok, gyökvonás Abakusszal való számolás A 3. részben 15 feladat (arányos osztás, pénzátszámítás, szöveges elsőfokú egyenletek megoldása, térfogatszámítás) György mester könyvének egy oldala

37 A matematika annyira komoly szakterület, hogy egyetlen alkalmat sem szabad elmulasztanunk arra, hogy szórakoztatóbbá tegyük. (Blaise Pascal) Michelangelo: Ádám teremtése (a Sixtus-kápolna mennyezetén)

38 CSÁKÁNY BÉLA: Kis matematikai szintézis FILEP LÁSZLÓ: A tudományok királynője FILEP LÁSZLÓ BEREZNAI GYULA: A számírás története HOLLINGDALE, STUART: Makers of Mathematics KLUKOVITS LAJOS: Klasszikus és lineáris algebra KLUKOVITSLAJOS: Egy művészetből született tudomány, a projektív geometria (előadás) MANKIEWICZ, RICHARD: A matematika históriája RUBICON, 2006/5-6. szám, SZENDREI JÁNOS: Algebra és számelmélet