ÚJ ELV SZÁMÍTÓGÉPEK (Bevezetés az új számítási modellekbe és a nem-klasszikus "számítógépek" tudományába)

Átírás

1 Nagy Benedek ÚJ ELV SZÁMÍTÓGÉPEK (Bevezetés az új számítási modellekbe és a nem-klasszikus "számítógépek" tudományába) mobidiák könyvtár

2

3 Nagy Benedek ÚJ ELV SZÁMÍTÓGÉPEK (Bevezetés az új számítási modellekbe és a nem-klasszikus "számítógépek" tudományába)

4 mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István

5 Nagy Benedek ÚJ ELV SZÁMÍTÓGÉPEK (Bevezetés az új számítási modellekbe és a nem-klasszikus "számítógépek" tudományába) Egyetemi jegyzet Programozó, Programtervez, Informatika szakos és egyéb érdekl d hallgatók részére mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem Informatikai Kar

6 Copyright c Nagy Benedek, 2005 Copyright c elektronikus közlés mobidiák könyvtár, 2005 mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem Informatikai Kar 4010 Debrecen, Pf A m egyéni tanulmányozás céljára szabadon letölthet. Minden egyéb felhasználás csak a szerz el zetes írásbeli engedélyével történhet. A m A mobidiák önszervez mobil portál (IKTA, OMFB-00373/2003) és a GNU Iterátor, a legújabb generációs portál szoftver (ITEM, 50/2003) projektek keretében készült.

7 ELŽSZÓ 7 El szó a sorozathoz A mobidiák könyvtár a A mobidiák önszervez mobil portál (IKTA, OMFB /2003)) és a GNU Iterátor, a legújabb generációs portál szoftver (ITEM, 50/2003) projektek keretében készült dokumentumokat tartalmazza. A dokumentumok az informatika oktatása, kutatása, alkalmazása és népszer sítése legkülönöz bb témaköreib l kerülhetnek ki.

8

9 Tartalomjegyzék El szó a sorozathoz... 7 I. Bevezetés II. A Hagyományos Számítási Modell A Turing-gép A Neumann-elv Hagyományos számítógépek Néhány nem-hagyományos elv algoritmus III. DNS Számítások A DNS Alapm veletek a DNS láncokkal Adleman kísérlete - Hamilton út probléma Számítási modellek Sejten belüli számítások IV. Membrán Számítások A biológiai membránok Formális membrán-modell Multihalmazok és számítások: Parikh nyelvek M veletek a membrán-rendszerben Aktív membránok A kiszámíthatóság fogalma membrán-rendszerekben Összefoglalás és a legújabb kutatási irányok V. Kvantum Számítások A kvantum-mechanika "különös" jelenségei A "megfordítható" számítástechnika A kubit A Kubit Transzformációi A Kvantum Regiszter Kubit dinamika: egyszer kubit kapuk Egy NMR számítógép A szabályozott NOT-kapu Kvantum algoritmusok Kvantumszámítógépek a gyakorlatban, összefoglalás

10 10 TARTALOMJEGYZÉK VI. Intervallum-számítógép Természetes motivációk Matematikai leírás A hagyományos számítógép modellezése A SAT probléma megoldása lineáris id ben Lista-reprezentáció Irodalomjegyzék

11 I. fejezet Bevezetés A jegyzetet a hagyományos számítástechnika alapjainak áttekintésével kezdjük a II. fejezetben: elméletileg a Turing-gép, mint absztrakt modell, gyakorlatban a számítógépek a Neumann elv alapján épülnek fel, a klasszikus propozicionális logikát használva. A jegyzet ezután következ fejezetei új-elv, nem a klasszikus módon m köd számítási modellekbe nyújtanak bevezetést. Ezek a "nem hagyományos" számítógépek a következ k: III. fejezet: DNS-számítástechnika: biológiai alapok, a DNS felépítése, a kett s spirál tulajdonságai, biológia folyamatai, "ragadós vég", enzimek szerepe, a DNS lánc "elolvasása"; Adleman kísérlete; H-rendszerek: DNS szeletelés, matematikai modell: sztring-szeletelés; gyakorlati példák; beszúró-törl rendszerek; a sejt "számítási" folyamatai: makro- és mikro-nukleusz, DNSm veletek - különböz absztrakciós szinteken. IV. fejezet Membrán-rendszerek: biológiai motiváció: a sejt; membránrendszer, mint absztrakt számítási modell; alapmodell, katalizátorok, prioritás, szimbólum objektumok, kommunikáció a membránok között, aktív membránok; Parikh-halmazok, multihalmaz-nyelvek, példák. V. fejezet: Kvantum-számítástechnika: kvantummechanikai alapok, részecske-hullám kett sség, szuperpozíció, mérés, matematikai formalizmus. Kubit, Kubit-transzformációk, kvantum-regiszter, kvantum-kapuk és kvantum-algoritmusok. VI. fejezet: Intervallum-számítások: intervallum-logika, az intervallum-bájt, lista-reprezentáció, számítások intervallumokkal, példák. Az ismertetésre kerül számítási modellek a XX. század végén (leginkább a 90-es években) indultak fejl désnek, és napjainkban is töretlenül fejl dnek. Az irodalomjegyzékben rengeteg cikket és könyvet gy jtöttünk össze (dönt en angol nyelven). Köszönet a tantárgy év 2. félévi hallgatóinak (személy szerint is, Dandár Gábornak, Éger Tamásnak, Handki Sándornak, Hasulyó Lászlónak, Szanyi Gergelynek és Szegedi Lászlónak), akik sokat segítettek az anyag csiszolásában, és a jegyzet elkészítésében. Hasonlóan köszönet illeti szakdolgozómat, Tilki Lászlót is, aki a DNS-számítástechnikával kapcsolatban anyaggy jtéssel is hozzájárult a jegyzet elkészítéséhez. A jegyzet elkészítésében az OTKA T is segítséget nyújtott. 11

12

13 II. fejezet A Hagyományos Számítási Modell Miel tt belekezdenénk a nemhagyományos számítások elméletébe, tekintsük át a hagyományosnak, illetve klasszikusnak nevezett Számítástechnika néhány alapvet jellemz jét. Els ként a Turing-géppel és a kiszámíthatóság fogalmának átismétlésével kezdünk. Ezt Alan Turing 1937-ben vezette be a számítási eljárások tanulmányozására. 1. A Turing-gép A Turing gép egy absztrakt 'szekvenciális hozzáférés ' számítási modell amit a számítástudomány ma is használ, és amellyel például az Algoritmuselmélet tantárgy foglalkozik behatóbban. A Turing-gépnek véges sok bels állapota van. A gép képes rá, hogy egy végtelen hosszúnak tekintett szalagot mozgasson el re-hátra, mindig egy-egy lépéssel. A gép a szalagról olvashat, és arra írhat is. A szalagon cellák találhatóak, melyekbe a Σ ábécéhez tartozó jelek vannak írva (illetve a speciális # szimbólum szerepel a szalag "üres" celláin). A Turing-gép szalagja végtelen, s mivel ezt bármely irányban mozgatni tudja, a gép (küls -)memóriája végtelennek tekinthet (1.1. ábra). A következ deníció a Turing-gép matematikai megfogalmazása. Az Q, Σ, δ, q 0, F rendezett ötöst Turing-gépnek nevezzük, ahol Q = {q 0, q 1,..., q n } a bels állapotok véges halmaza; Σ = {a 0, a 1,..., a r } a szalagjelek véges halmaza; ezek mind az input, mind az output megadására szolgáló jelek; q 0 Q kezd állapot; F Q a végállapotok halmaza; δ átmenet-függvény, amely a Q (Σ {#})-t képezi le a Q (Σ {#}) {balra, jobbra, helyben} halmazba (állapotátmenet, szalagjel írás, fej mozgás). Az utolsó halmaz elemei a következ t jelentik: balra esetén a Turing-gép egyet balra lép, azaz a szalagot eggyel jobbra húzza; jobbra esetén a gép egyet jobbra lép, azaz a szalagot balra húzza; helyben esetén pedig a szalagot nem mozdítja, a gép olvasó-író feje és a szalag helyben marad. 13

14 14 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL 1.1. ábra. A Turing-gép rajza A Turing-gép a következ képpen m ködik: Eredetileg a q 0 állapotban van, és az író-olvasó feje a bemeneti szó els bet jére mutat (vagyis a szalag legbaloldalibb nem # elemére). Valamely q i állapotában olvas egy a j jelet a szalagról. Ennek hatására a δ függvény eredményének els tagja szerinti q l állapotba kerül, a δ függvény eredményének második tagja szerint az a j helyére egy a k jelet írja a szalagra, valamint lépteti a szalagot, vagy nem mozdítja a δ harmadik tagja szerint. Ha az író-olvasó fej, amely a szalag megfelel helyér l olvas, illetve oda ír, éppen p i -re mutat, akkor balra után p i 1 -re fog mutatni, jobbra után p i+1 -re, helyben után pedig p i -re (lásd pl. a 1.2. ábrán). Megjegyezzük, hogy bár a szalagot mindkét irányban végtelennek tekintjük, mindig csak véges sok #-tól különböz jel lehet rajta.

15 II. A TURING-GÉP ábra. Egy kétszalagos Turing-gép sematikus rajza A Turing-gép fogalma szorosan összekapcsolódik a "kiszámíthatóság" fogalmával. Turing-géppel mindent (és pont azokat a feladatokat) ki lehet számolni, amit algoritmikusan meg lehet oldani. A Turing-gépnek több változata is ismert. Sokszor az egyszer bb leírás kedvéért többszalagos Turing-gépet használunk: (k, Q, Σ, δ, q 0, F ) k-szalagos Turing-gép, ahol k N természetes szám, ennyi szalagja van a Turing-gépnek; Q, Σ, mint az el bb, δ : Q Σ k Q Σ k {balra, jobbra, helyben} k átmenetfüggvény. M ködését tekintve a többszalagos Turing-gép egy lépésben olvashat/írhat egyszerre több szalagra is. Kezd kongurációban az egyik szalagon (input-szalag) van a feldolgozandó adat, a többi szalag pedig üres. Minden többszalagos Turing-gép m ködése szimulálható egyszalagos Turing-géppel, vagyis egyszalagos Turing-gép is el tudja végezni azt a számítást amit egy többszalagos Turing-gép.

16 16 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL Megkülönböztethetünk kiszámító és eldönt Turing-gépeket a következ deníció alapján. Amennyiben a Turing-gép célja adott függvény kiszámítása a megadott bemen értékekkel, akkor a gép a megállásakor az (output)szalagon a megfelel eredményt hagyja. Ezzel szemben vannak olyan számítások, amikor a választ egy igen-nem kérdésre keressük, ezesetben eldönt Turing-gépr l beszélünk. Az eldönt Turing-gépekkel lehet pl. egy L nyelvet elfogadtatni a következ képpen: bemenet egy v Σ szó, a Turing-gép számításának eredménye pontosan akkor "IGEN" ha v L teljesül. A kiszámíthatóság fogalma a számítástudományban másként is megjelenik: a Turinggépekkel elfogadott nyelvek osztálya éppen a rekurzívan felsorolható nyelvek osztályával egyezik meg. Ugyanezt a nyelvosztályt lehet generálni a Chomsky féle generatív nyelvtanokkal (0-típusú nyelvtanok). Ha T egy Turing-gép, v Σ k a számítás id igényének a t T (v) függvényt nevezzük, mely a következ alakú: t T (v) = max{n, l(v)} = max{n, k}, ha T az v inputon n lépés után megáll, egyébként pedig. (Itt az l(v) függvény a v szó hosszát adja meg.) Egy konkrét számítási folyamat id igényének meghatározása után olyan id igényfogalmat vezetünk be, amely egy egész problémára, és nem csak annak egyes példányaira vontkozik. A tárigényt a bemenet hosszának függvényében fogjuk megadni. Azt mondjuk, hogy egy T Turing-gép id igénye (legfeljebb) f(n), ha T futási ideje egyetlen n hosszú bementre sem több f(n)-nél. Ha egy f(n) id igény Turing-gép elfogad egy L nyelvet, akkor azt mondjuk, hogy L T IME(f(n)). T IM E(f(n)) egy bonyolultsági osztály, ami tartalmazza azokat a nyelveket, amelyek f(n) id ben eldönthet ek. Formálisan tehát a T Turing-gép id bonyolultsága (maximális id bonyolultsága): t T (n) = max{t T (w), ahol l(w) n}. A tárbonyolultság a számítások közben a szalagokon el forduló leghosszabb sztring. Az eddig leírt Turing-gépek determinisztikus m ködés ek (ahogy napjaink számítógépei is azok). A Turing-gépeknek nemdeterminisztikus verzióját is szokás használni. A nemdeterminisztikus verzióban a δ 'függvény' tulajdonképpen nem egyértelm en adja meg az új állapot, új szalagjel, fejmozgás hármas(oka)t (vagyis a δ nem függvény). Itt a kiszámíthatóságot úgy deniáljuk, hogy van olyan számítási sorozat amely az eredményt szolgáltatja. Számítási 'erejét' tekintve a nemdeterminisztikus verzió sem tud többet a determiniztikus változatoknál, vagyis minden ami nemdeterminisztikusan kiszámítható kiszámítható determinisztikusan is. (A másik irány triviális.) A nemdeterminisztikus változat számítási sebessége, hatékonysága viszont lehet jobb a determinisztikusénál. Ez azt jelenti, hogy pl. 'találgatással' hamarabb találhatunk megoldást. A következ részben egy kicsit kitekintünk arra, hogy milyen problémák milyen költséggel oldhatók meg determinisztikus, illetve nemdeterminisztikus Turing-gép segítségével.

17 II. A TURING-GÉP Bonyolultsági osztályok Ebben a részben néhány fontos bonyolultsági osztályt említünk meg, pl. a polinomiálisan megoldható és bonyolultabb problémák, a P, NP, PSPACE problémaosztályait. A bonyolultsági osztályok meghatározásához szükségünk lesz a számítási módra, amely lehet determinisztikus vagy nemdeterminisztikus. Ezenkívül arra, hogy mely er forrást (id, tár: szalag) korlátozzuk. Mint az el z részben bevezettük, a determinisztikus módon, f(n) id korlátozással számoló Turing gépekkel kiszámítható nyelvek a T IM E(f(n)) bonyolultsági osztályt alkotják. Általában az f(n) nemnegatív egészekhez nemnegatív egészeket rendel függvényt l megköveteljük, hogy monoton növekv legyen. Ha f(n) = c egy c N konstansra, akkor a nyelv bármely v szavát maximum l(v) + c lépésben eldönti a T Turing-gép. Szokásos a lineáris függvény (f(n) = cn), illetve az n tetsz leges polinómjának használata (ahol n a bemeneti szó hossza). Azon nyelvek (problémák) unióját, amelyekhez van olyan determinisztikus Turing-gép, ami a ezek szavait valamilyen polinomfüggvénnyel megadható id ben eldönti (kiszámítja), P bonyolultági osztálynak nevezzük. Legyen most T egy nemdeterminisztikus Turing-gép. Azt mondjuk, hogy T f(n) id ben eldönti/felismeri az L nyelvet, ha bármely v L szóval indítva a kezd kongurációból van olyan számítás, amely elfogadja v-t legfeljebb f(n) lépés után (n = l(v)). Azon nyelvek unióját, amelyekhez van olyan nemdeterminisztikus Turing-gép, ami a ezek szavait valamilyen polinomfüggvénnyel megadható id ben eldönti (kiszámítja), NP bonyolultági osztálynak nevezzük. A számítógéptudomány egyik legfontosabb eddig sem nem bizonyított, sem nem cáfolt problémája a P és NP bonyolultsági osztályok viszonyának eldöntése, vagyis mivel P NP, ezért a kérdés P? NP alakba írható. Általában elfogadott az a feltételezés, hogy a két osztály nem egyezik meg, egyel re azonban nem ismert olyan feladat (nyelv) ami NP-ben van és bizonyítottan nincs P-ben. Minden NP-beli nyelvre (problémára) igaz, hogy minden szavára létezik egy 'tömör bizonyíték' (ami polinomiális id ben ellen rizhet ), hogy az adott szó benne van a nyelvben. Azokra a szavakra, amelyek nem elemei a nyelvnek nincs ilyen bizonyíték. Az NP osztály rengeteg természetes és a gyakorlatban is fontos számítási problémát tartalmaz. Például sok tervezési probléma (utak, kiértékelések, egyenletek megoldásai, VLSI tervrajzok) ilyen. Amikor optimális (egy adott feltételt kielégít ) megoldást keresünk, akkor a keresett objektum maga lesz a bizonyíték. Ezek a bizonyítékok gyakran zikai objektumok vagy azok matematikai absztrakciói, amelyek nem túl nagyok a probléma méretéhez képest és a feltételek is gyakran polinomiális id ben ellen rizhet ek. Azokat a problémákat nevezzük NP-teljesnek, amelyek legkevésbé feltételezhet ek, hogy egyben P-beliek is. Egy L problémát NP-teljesnek nevezünk, ha abból, hogy L P az következik, hogy P = NP. Ez az jelenti, hogy ha valaki determinisztikusan polinomiális id ben tud megoldani egy NP-teljes problémát, akkor minden NP-beli problémát meg lehet oldani polinomiális id ben determinisztikusan is.

18 18 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL 1.3. ábra. A fontosabb bonyolultsági osztályok hierarchiája További fontos bonyolultsági osztályok a PSPACE: determinisztikus Turing-géppel polinomiális szalagigénnyel kiszámolható problémák osztálya; NPSPACE: nemdeterminisztikus módon polinomiális szalagigénnyel kiszámolható problémák osztálya; EXP: determinisztikusan exponenciális id ben kiszámolható problémák osztálya. A 1.3 ábrán a fent említett bonyolultsági osztályok egymáshoz képesti viszonya látható. A következ alfejezetekben két széles körben ismert NP-teljes problémát ismertetünk A SAT probléma megfogalmazása. A SAT probléma alapvet szerepet játszik a bonyolultságelméletben, ugyanis ez az egyik legismertebb NP-teljes probléma. A feladat maga röviden a következ : adott egy propozicionális logikai formula, döntsük el, hogy kielégíthet -e (vagyis lehet-e a propozicionális változóknak értéket adni úgy, hogy a formula igaz legyen). A feladatnak többféle speciális megfogalmazása is létezik, és használt mind az elméletben, mind a gyakorlatban. Az els speciális alak, amikor a formula konjunktív normál formában adott. A feladat így is NP-teljes. A következ, még speciálisabb alak, amikor a konjunktív normál forma mellett az is adott, hogy az egyes tagok hány

19 II. A TURING-GÉP 19 literált tartalmaz(hat)nak. A feladat ilyen megszorítással történ megfogalmazását nevezik n-sat problémának. Az n-sat n 3 esetén NP-teljes, míg a 2-SAT probléma P-beli. A tömör bizonyíték ezesetben egy kielégít kiértékelés, amely megadja mely Booleváltozó értéke legyen igaz és melyek legyenek hamisak A Hamilton-út probléma megfogalmazása. A Hamilton-út probléma a gráfelmélet egyik legismertebb NP-teljes problémája. Adott egy n csúcsú (irányított) gráf. A feladat, hogy megadjunk egy olyan élsorozatot, utat (vagy azt hogy van-e ilyen a gráfban), amely a gráf minden csúcsát pontosan egyszer tartalmazza és benne (az els kivételével) minden él onnan indul, ahova az el z él érkezett. Az ilyen típusú utat hívjuk Hamilton útnak. Semmilyen egyszer feltétel nem ismert ilyen út létezésének eldöntésére (szemben pl. az Euleri út problémájával, ahol minden élnek pontosan egyszer kell az útban szerepelnie). Ezesetben a polinomiálisan ellen rizhet bizonyíték magának egy Hamilton-útnak a megadása Univerzális Turing-gép Ebben a részben visszatérve a Turing-gépekhez, azoknak egy speciális fajtájával, az ún. univerzális Turing-géppel fogunk foglalkozni. Az univerzális Turing-gép többféleképpen is megadható, mi itt most az egyik ilyen megvalósítással fogunk foglalkozni. A k szalagos U Turing-gépet univerzálisnak nevezzük az l szalagos Turing-gépek halmazára nézve, ha minden l szalagos T Turing-géphez van olyan v Σ, hogy minden s Σ -ra a T futásának eredménye az s inputon megegyezik az U futásának eredményével a v#s inputon. A # jelet hashmark-jelnek nevezzük. A T 'programja' v (az U nyelvén), s pedig egy tetsz leges szó. Ha T az s inputot kapja, akkor ugyanazt csinálja, mint U a v programmal az s-en. Az k szalagos Turing-gépek halmazához van k + 1 szalagos univerzális Turing-gép. Viszont azt is tudjuk, hogy minden egyes többszalagos Turing-géphez van egyszalagos amely szimulálja. Tehát van egyszalagos univerzális Turing-gép. Az univerzális Turing-gép tulajdonképpen egy általános elvont számítógép, ami minden Turing-gépet képes szimulálni, vagyis elvileg a programjának megfelel en feldolgozni az input szót. Ez azt jelenti, hogy van olyan gép, ami minden kiszámítható függvényt ki tud számolni. Az alábbiakban egy példát adunk az univerzális Turing-gépre. Tulajdonképpen a δ átmenetfüggvényt kell megadnunk ami a Q (Σ {#}) véges doménen és a Q (Σ {#}) {balra, jobbra, helyben} véges értékkészleten van értelmezve, illetve egy másik Turing-gép leírásának (program) kódolását. Legyen M valamilyen Turing-gép, melynek n darab bels állapota van, és a szalagábécéje m bet t tartalmaz. Tegyük fel, hogy M-et kódolt formában adtuk meg (az [M] jelölést ). A továbbiakban vázlatosan ismertetjük, hogy hogyan tudjuk modellezni M

20 20 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL m ködését egy U univerzális Turing-géppel. Tegyük fel, hogy M a v inputon dolgozik. El ször azt kell megadnunk, hogy adott [M] és [v] esetén ezeket az információkat miképpen tároljuk az U szalagján (azaz mi lesz U kezd kongurációja), majd pedig azt, hogy ezek hatására U hogyan fog m ködni. Jelöljünk ki a szalagon egy mez t, és írjunk ebbe a mez be egy rögzített X jelet a szalagábécéb l. A szalagnak a kiválasztott mez t l jobbra es felét három részre osztjuk. Az els részt nevezzük puerterületnek; ez közvetlenül az X jel után kezd dik, legalább n+m+2 mez t tartalmaz, és ezek mindegyikébe 0 van írva. A puerterülett l jobbra es szalagrész legels mez jébe egy Y jelet teszünk a szalagábécéb l, utána beírjuk M kódolt formáját, [M]-et, három 0-t téve a végére. A szalagnak ezen részét nevezzük M kódolási területének. A harmadik rész a második részt l jobbra helyezkedik el. Az els mez jébe egy rögzített Z jelet írunk a szalagábécéb l, majd a v bemeneti szó [v] kódolása következik. A szalagnak e három részen kívül es mez i üresek. A puerterület arra szolgál, hogy mialatt M valamelyik lépését szimuláljuk, ide másolhassuk M pillanatnyi bels állapotának, illetve az éppen leolvasott M-beli szalagjelnek a kódját. Az Y jel általában az el tt a rendezett ötös el tt fog állni, amely azt határozza meg, hogy milyen bels állapotban van M, milyen szalagjelet olvasunk éppen, mivel kell ezeket kicserélni (új állapot és új szalagjel), s eközben milyen irányban mozduljon el M olvasófeje a szalagon. A Z jel az M szalagjára felírt jelek közül jelöli ki azt, amelyiket éppen olvasunk. Az U-ban lezajló számítási folyamatot, mellyel az M Turing-gép m ködését szimuláljuk az v bemeneti szóval, olyan szakaszokra bonthatjuk, melyek sorra megfelelnek az M egyes kongurációi közötti átmeneteknek. Az U m ködésének egy ilyen szakasza az alábbi módon zajlik le. Az U univerzális Turing-gép el ször a puerterület elejére másolja azt az 1-esekb l álló blokkot, amely közvetlenül az Y jel után következik - nevezzük ezt Y -blokknak -, majd a végére odaír még egy X jelet. Ezután kitörli Y -t, és jobbra haladva megkeresi a Z-t tartalmazó mez t. Amikor ezt megtalálta, akkor a Z után következ 1-esekb l álló blokkot (Z-blokkot) is átmásolja a puerterületre az el bb beírt második X jel után, majd visszaírja Y -t az M kódolt leírása, [M] elé. Így a puerterületre az aktuális bels állapot és a szalagról éppen beolvasott jel kódja került. A következ lépésekben U az Y jel után következ két 1-es blokkot hasonlítja össze a puerterületen lev kkel. Ezáltal azt ellen rzi, hogy az M gép soron következ kongurációátmenetét az a rendezett ötös határozza-e meg, amelynek kódja az Y jel után van leírva. Ha a blokkok megegyeznek, ez azt jelenti, hogy megtaláltuk a keresett ötöst. Ha nem, akkor U áthelyezi az Y jelet a következ rendezett ötös kódolása elé, majd újrakezdi a blokkok összehasonlítását. Abban az esetben, ha az M leírásában szerepl ötösök közül egyik sem felel meg, U leáll a m ködésével (az eredeti M is ugyanezt tenné a v inputra). Ha viszont megtaláljuk a keresett ötöst, akkor U kitörli a puerterületet, majd az Y jelet átteszi az ötösben szerepl harmadik elem elé. Ezután kicseréli a Z után következ blokkot az Y utáni blokkal, majd Y -t jobbra mozdítja el a rendezett ötös negyedik elem elé. Miután U leolvasta ezt a negyedik elemet is, mely az M olvasófejének elmozdulási irányát határozza meg, U átteszi a jelet az elem mögé, az ötödik elem elé. Attól függ en, hogy a negyedik blokkban két vagy csak egy darab 1-est talált-e, az U egy blokkal jobbra vagy egy blokkal balra tolja el Z-t. Ha Z eredetileg a szalagszó bal szélén volt, és M-nek balra

21 II. A NEUMANN-ELV 21 kellett lépnie, akkor U a szó kódolását jobbra tolja, és egy üres mez kódjelét írja be a Z után. Ha pedig Z a szalagszó jobb szélén állt, s jobbra kellene elmozgatni, akkor U a szó végére írja egy üres mez kódját. Amikor tehát mindezzel végeztünk, az Y jel után álló 1-es blokk az M aktuális bels állapotát jelzi, a Z utáni blokk pedig azt a szalagjelet, amelyet M-nek a következ lépésben be kellene olvasnia. Minden készen áll tehát arra, hogy az M következ lépését szimuláló szakasz megkezd dhessen. Az U m ködésének egyes szakaszai így M egy-egy lépését modellezik. U ezeken kívül még a következ ket hajtja végre: a munka legelején a szalag mindhárom részében a 0-kat a saját üres-jeleire cseréli, a munka végeztével pedig, olyankor, amikor M leállna, U még ellen rzi, hogy M-nek végállapota-e az az állapot, amelyben megállt, és ett l függ en kerül saját maga is végállapotba, ill. nem végállapotba. Minden Turing-gép m ködése szimulálható olyan Turing-géppel, amiben a szalagábécé bináris, vagyis Σ = {0, 1}. Az Univerzális Turing-gép létezése azt mutatja, hogy elvileg konstruálható olyan számítási eszköz, amely programozható és mindent ki tud számítani, ami kiszámítható. A gyakorlati megvalósulás felé a következ lépés a Neumann elv, amit a következ fejezetben ismétlünk át. Az absztrakt számítógép után lássuk a valódi gépek milyen elven m ködnek. 2. A Neumann-elv A hagyományos számítógépek atyjának tekinthetjük Neumann Jánost, aki sok más tudományos tevékenysége mellett, a klasszikus számítógépek m ködésének alapelveit is megadta. Ezek az elvek, amelyeknek megfelel en épült a legtöbb számítógép, a következ ek: A tárolt program elve: A programot alkotó utasítások kifejezhet k számokkal, azaz adatként kezelhet k. Ezek a bels memóriában tárolhatók, mint bármelyik más adat. Ezáltal a számítógép önállóan képes m ködni, hiszen az adatokat és az utasításokat egyaránt a memóriából veszi el. A memória a numerikus adatokkal együtt tárolja a programot is, a vezérl egység pedig végrehajtja az utasítások sorozatát. Kettes számrendszer használata, és a számítógép legyen teljesen elektronikus: A kettes számrendszert és a rajta értelmezett aritmetikai ill. logikai m - veleteket könny megvalósítani kétállapotú áramkörökkel (pl.: 1- magasabb feszültség, 0 - alacsonyabb feszültség) A számítógép legyen soros m ködés : A gép az egyes utasításokat egymás után, egyenként hajtsa végre. A számítógépnek legyen bels memóriája: A számítógép gyors m ködése miatt nincs lehet ség arra, hogy minden egyes lépés után a kezel beavatkozzon a számítás menetébe. A bels memóriában tárolhatók az adatok és az egyes számítások részeredményei, így a gép bizonyos m veletsorokat automatikusan el tud végezni.

22 22 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL A számítógép legyen univerzális: A számítógép különféle feladatainak elvégzéséhez nem kell speciális berendezéseket készíteni. Ugyanis Turing bebizonyította, hogy az olyan gép, amely el tud végezni néhány alapvet m veletet, elvileg bármilyen számítás elvégzésére is alkalmas (Turing-gép). 3. Hagyományos számítógépek Ebben a részben röviden átfutjuk hogyan valósul meg a Neumann elv a gyakorlatban. A számítógéparchitektúrák alapjaival kapcsolatban a bitekr l és a bájtokról valamint az ezeken az aritmetikai és logikai egység (ALU) által végzett operátorokról (m veletekr l) lesz szó. A hagyományos számítógépek a klasszikus propozicionális logikára épülnek (nagyban köszönhet ez a kettes számrendszer használatának) A klasszikus logika A klasszikus logikában a formulák kijelentéseket szimbolizálnak. Ezek igazságértéke kétféle lehet: igaz, illetve hamis. Szokás ezeket az 1, illetve a 0 számértékekkel jelölni. Az úgynevezett atomi kijelentéseket logikai összeköt jelekkel köthetjük össze, ezzel bonyolultabb, összetett kifejezést kapva. Lássuk most a klasszikus logika összeköt jeleit. 1. táblázat. Az alapvet logikai operátorok igazságtáblája Név Els Második negáció konjunkció diszjunkció implikáció változó változó Jel A B A A B A B A B érték A többi logikai összeköt jel a 1 táblázatban felsorolt alapvet logikai operátorokkal deniálható, pl. a következ módon: ekvivalencia: A B = def (A B) (B A), 'xor': A B = def A B, 'nand': A&B = def A B, 'nor': A B = def A B.) Valójában ezek a logikai összeköt jelek annyira nem függetlenek egymástól, hogy pl. a 'nor' vagy a 'nand' egymagában elegend ahhoz, hogy minden mást deniáljunk vele. (A 'nor' m veletet szokás Sheer-vonásnak is nevezni H. Sheer után, aki ban megjelent cikkében bizonyította, hogy ez a m velet önmagában elegend minden

23 II. HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÓGÉPEK 23 logikai formula felírásához. A számítógépek chipjein hagyományosan egyféle logikai kaput szoktak használni, ez pedig a 'nand' kapu, mely ugyancsak univerzális.) 3.2. Bitek és bájtok Az információelméletben a bit az információ alapegysége, egy eldöntend (igennem) kérdésre adott válasz. A számítógépekben általában egyszerre több bitnyi információt tárolunk és dolgozunk fel. A 80-as években a 8 bites számítógépek terjedtek el (pl. Commodore 64), amiket a 90-es években a 16 és a 32 bites gépek követtek. Napjainkban terjednek el a 64 bites architektúrák. Az, hogy egy számítógép 'hány bites' egy fontos jellemz je a gépnek, minél nagyobb ez az érték, annál fejlettebb, jobb a számítógép. A logikai operátorok bitenként hajtódnak végre a bájt összes helyiértékén egymástól függetlenül (2. táblázat). 2. táblázat. Az alapvet logikai operátorok m ködése egy bájton (bitek sorozatán), ahol minden x j és y i bit értéke a {0, 1} halmazból való A értéke A negáltja B értéke A és B konjunkciója x 1 x 2...x n x 1 x 2... x n y 1 y 2...y n x 1 x 2...x n y 1... y 2...y n A és B diszjunkciója x 1 x 2...x n y 1... y 2...y n Arithmetikai operátorok: a shift (eltolás), tulajdonképpen 2-vel való szorzás és osztás m veletének felel meg. 3. táblázat. A shift operátor hatása egy bájtra A bináris kódban left-shift A right-shift A x 1 x 2...x n x 2 x 3...x n 0 0 x 1 x 2...x n 1 Az összeadás operátora az egyik legfontosabb m velet, tulajdonképpen szinte minden számítási m velet erre van visszavezetve. Az összeadást (add) hagyományosan logikai áramkörökkel szokták megvalósítani. Legyen C n = A n B n. Ezutén: C i = (A i B i ) (A i C i+1 ) (B i C i+1 ). (n > i 1) Az eredmény bitjei: R n = A n B n, és R i = (A i B i ) C i+1. (n > i 1), valamint C 1 jelenti a túlcsordulást (túlcsordulás bit). Ahogy láttuk a logikai m veletek bitenként párhuzamosan hajtódnak végre (ez végülis már valamiféle párhuzamosságot jelent, ezért tarjuk fejlettebnek azokat a számítógépeket, amelyekben több bit alkot egy bájtot, mint azokat amelyekben kevesebb), míg az aritmetikai operátoroknál általában a környez bitek értékei is szerepet játszanak az eredmény bitjeinek kialakulásában.

24 24 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL 4. Néhány nem-hagyományos elv algoritmus Azért, hogy elszakadjunk a hagyományos értelemben vett "algoritmikus" gondolkodásmódtól mutatunk néhány olyan rendezési algoritmust, ami alapjában véve tér el a tanult rendezési módszerekt l (beszúrásos-, buborékos-, legkisebb kiválasztásos-, gyorsrendezés, stb.) A Spagetti-számítógép rendezési algoritmusa Legyenek adva különböz hosszúságú rudak ('spagettik'). A feladat az, hogy rendezzük ket hosszuk szerint sorrendbe. Ahelyett, hogy mindig egy-egy elemet hasonlítanánk össze egy másikkal (mint a hagyományos rendezési algoritmusoknál), az összeset egy kötegnek tekintjük: kézbe vesszük, és az asztalra állítjuk ket. (Lásd a 4.4. ábrát.) Így ránézésre (egy méréssel) ki tudjuk választani közülük a legnagyobbat. Ezt kiemeljük, s a maradékot újra egy kötegnek tekintjük. Így n elem esetén a rendezést n lépésben, azaz lineáris id ben hajthatjuk végre szemben a hagyományos algoritmusok általában négyzetes id bonyolultságával Rendezés a gravitáció segítségével Most egy újabb rendezési algoritmust mutatunk be, ami egy mindennapi zikai jelenségen, a gravitáción alapul. Legyenek most adva a(z egész) számok, mint különböz hosszúságú kockacukor csíkok. A feladat az, hogy mondjuk meg a csíkok hosszait pl. csökken sorrendben. A rendezés során a gravitációt használjuk fel. Tegyük a csíkokat egymás fölé közös kezd ponttal. Ha az alakzatokat elengedjük, a nagyobb számokat jelent csíkok kockacukrai behullanak a rövidebb csíkoknál lev lyukakba. Így a rendezés végére egy piramisszer alakzatunk lesz, benne minden olyan szám szerepel (és ugyanannyiszor), mint az eredetiben. (Lásd pl. a 4.5 ábrán.)

25 II. NÉHÁNY NEM-HAGYOMÁNYOS ELV ALGORITMUS ábra. A spagetti rendezés: egy csoportos összehasonlítással kiválasztható a leghosszabb elem

26 26 II. A HAGYOMÁNYOS SZÁMÍTÁSI MODELL 4.5. ábra. A 'gravitációs' rendezés

27 III. fejezet DNS Számítások Az élet egyik alapvet molekulája a dezoxiribo-nukleinsav, röviden DNS. A most következ fejezetben megnézzük hogyan foghatóak számításokra ezek a molekulák, amikkel a természet évmillió évek óta "számítja ki az él lényeket". A molekuláris genetika és ennek köszönhet en a DNS-számítások is forradalmi és új területei a tudománynak. 1. A DNS El ször is nézzük a DNS felépítését. A nukleinsavak nukleotid egységekb l álló polimerek. Mindegyik nukleotidban foszfátcsoport, cukor és egy purin vagy pirimidin bázis (lapos, gy r alaku, szént (C) és nitrogént (N) tartalmazó molekula) van. A nukleotidok csak ezekben a bázisokban különböznek egymástól. Amikor sok nukleotid összekapcsolódik, polinukleotid keletkezik. A DNS-ek felépítésében négy nukleotid vesz részt: ezek az adenin, a citozin, a guanin és a timin. Lásd a 1.1., 1.2, 1.3 és 1.4 ábrákat, amelyeken a négyféle nukleotid bázisának kémiai felépítését mutatjuk be; a szén és nitrogén atomok számozva szerepelnek ábra. Az Adenin bázisának szerkezeti felépítése Az 1.5. ábrán az adenin molekula látható (a szén atomok nincsenek jelezve külön az ábrán), minden bázishoz ugyanígy kapcsolódik a cukormolekula és a foszfát-csoport. 27

28 28 III. DNS SZÁMÍTÁSOK 1.2. ábra. A citozin bázisának felépítése 1.3. ábra. A guanin bázisának kémiai felépítése Szokás a cukor szénatomjait a bázistól kezd d en számozni: így az oxigén az 1. és 4. szénatomot kapcsolja össze, a foszfát-csoport pedig az 5. szénhez kapcsolódik. Egy DNS molekula tehát egy bázisból, egy cukor molekulából és a foszfát-csoportból áll, ez sematikusan a 1.6 ábrán látható. Az 1940-es évek végén már valószín síthet volt, hogy a DNS olyan rendszeresen ismétl d szerkezeti egységekb l áll, amelyekben mindegyik bázis ismétl dik a lánc mentén. Még érdekesebbnek t nt a a felvetés, hogy igen sokféle DNS molekula létezhet, s mindegyik sajátos bázissorrenddel jellemezhet. Ma már tudjuk, hogy ez az a mód, ahogyan a DNS molekulák felépülnek, s a DNS változatos bázissorrendjében hordozza azt a hatalmas (genetikai) információmennyiséget, ami az él világban található fehérjék igen sok lehetséges aminosavsorrendjének tárolásához szükséges. Az 1950-es évek elején a Cambridge-i Egyetem Kémiai Laboratóriumában dolgozó kutatócsoport

29 III. A DNS ábra. A timin molekula bázisa meghatározta a nukleotidokat összekapcsoló pontos foszfátészterkötéseket. Az eredmény meglep en egyszer volt. Ezek a kötések mindig ugyanolyanok voltak: a foszfátcsoport a dezoxiribóz, a cukor 5' szénatomját köti a következ nukleotid cukrának 3' szénatomjához (kovalens kötéssel) (1.7. ábra). A cukor és a foszfátcsoportok közötti foszfodiészter-kötések képezik a DNS gerincét. Az egyszálú DNSben a nukleotidok összekapcsolódnak egymással, mégpedig úgy, hogy az egy adott molekula cukrának 5' része kovalens kötéssel kapcsolódik az el z molekula cukrának 3' szénatomjához, amíg 5' része szintén kovalens kötéssel a következ molekulához. Amikor a nukleotidok összekapcsolódnak ily módon minden egyen 3' szénatomnál egy-egy vízmolekula (H 2 O) keletkezik. Tehát a DNS polinukleotidláncai, a fehérjék polipeptidláncaihoz hasonlóan, szigorúan lineáris molekulák. Kromatográás elválasztási módszereket alkalmazva vizsgálták a purin és pirimidin bázisainak mennyiségét re már nemcsak az volt ismeretes, hogy a négy bázis nem egyenl mennyiségben van jelen, hanem nyilvánvaló volt az is, hogy mennyiségük igen változó. Azt is felfedezték, hogy a négy bázis mennyisége nem egymástól függetlenül változik; minden egyes vizsgált fajban az adenin purin mennyisége majdnem vagy tökéletesen pontosan megegyezik a timin pirimidinével. Hasonlóképpen, a másik purin, a guanin mennyisége mindig nagyon hasonló vagy azonos volt a másik pirimidin, a citozin mennyiségével. A purinok száma a DNS-ben így megközelít en egyenl nek mutatkozott a pirimidinekével. Egy vonatkozásban a DNS nagyon szabályos: ismétl d cukor- (dezoxiribóz-) foszfát csoportokat tartalmaz, amelyek mindig pontosan ugyanazzal a kémiai kötéssel kapcsolódnak. Ezek az azonos, ismétl d csoportok alkotják a DNS gerincét. Másrészt a DNS négy különböz bázisa valamilyen rend szerint kapcsolódhat a gerinc mentén, és ez a variabilitás adja a DNS-molekulák nagyfokú egyediségét. Központi kérdés volt a molekula 3 dimenziós szerkezete is, melyet röntgen-dirakciós eljárással próbáltak meghatározni el ször 1938-ban. A vizsgálatok megmutatták, hogy a DNS cukor-foszfát gerince spirális kongurációt mutat, illetve a spirál átmér jének a méréséb l kiderült,

30 30 III. DNS SZÁMÍTÁSOK 1.5. ábra. Az adenin: a bázis a cukor és a foszfát csoport szerkezete és kapcsolódásának módja hogy az túl nagy volt egy olyan molekulához, amely csak egy láncból áll. A DNS alapvet egységének így két, összetekeredett láncból kellett állnia (1.9. ábra), de ellenkez irányú szállefutással. A kétszálú DNS-láncok felépítésében aéapvet szerepet játszik a Watson-Crick komplementaritás. James D. Watson és Francis H. C. Crick 1953-ban bizonyították a DNS kett s-spirál felépítését, és ezért a feéfedezésükért Nobel-díjban részesültek Watson-Crick párok Mérési eredmények szerint a DNS-ben az adenin mennyiség közel azonos a timin mennyiségével, míg a guaniné a citozinnal. Watson és Crick ismerték ezeket az eredményeket, mégis sokáig nem vették gyelembe. Egyszer en nem tartották fontosnak

31 III. A DNS ábra. Nukleotid sematikus rajza valamilyen B bázissal a DNS szerkezete szempontjából. Amíg a m helyben készültek a bázismodellek, Watson azokat kartonból kivágta és elkezdte tologatni. E közben hirtelen rádöbbent, hogy az adenin-timin pár, amelyet két H-kötés tart össze, azonos formájú a legalább két H-kötéssel összetartott guanin-citozin párral. Ekkor jutottak eszébe a mérési eredmények. Így már adta magát a DNS molekuláris szerkezete: a cukor-foszfát-gerinc a molekula küls részén van, a purin és a pirimidin bázisok pedig belül; olyan módon, hogy az ellenkez oldalon lév bázissal H-hidat alakíthassanak ki. Ugyanolyan fontos az is, hogy az adenin és a guanin purinok nem válogatás nélkül kapcsolódhatnak a két pirimidinhez, a timinhez és a citozinhoz. Az adenin csak a timinhez, a guanin viszont csak a citozinhoz tud köt dni (lásd a ábrát). A nukleotidmolekulák (báziaik segítségével) tehát (komplementer-) párokat alkotnak, az adenin kett s hidrogén kötéssel kapcsolódhat (és a kétszálú DNS-ban kapcsolóik is) a timinhez, míg a guanin hármas hidrogén kötéssel a citozinhez. Ezeket a párokat nevezzük Watson-Crick pároknak a felfedez ik után. Amikor nem érdekel minket a nukleotid felépítése használhatjuk például a következ sematikus ábrákat (1.11., 1.12., 1.13 és ábrák) a Watson-Crick komplementaritásnak megfelel en. A nukleotidokra ezentúl általában kezd bet jükkel hivatkozunk: A, C, G és T. A ábrán láthatjuk a kett s-spirál szerkezetet megfelel (komplementer) bázispárokból felépítve. Sematikusan, két-dimenzióban ezt a ábrán látható módon ábrázolhatjuk, ahol a szerepl B bázisokra a Watson-Crick komplementaritásnak kell teljesülnie. Tehát a kétszálú DNS lét darab egyszálú DNS-b l áll, amik a bázisokból alkotott Watson-Crick párokon keresztül kapcsolódtak össze hidrogén kötéssel. Mindegyik bázispárnak a szimmetriája lehet vé teszi, hogy a kett s spirálba kétféle módon illeszkedjék be (A=T; T=A; G C; C G); így bármely adott DNS-lánc mentén mind a négy bázis minden lehetséges sorrend permutációban létezhet. Emiatt a specikus bázispárképzés miatt, ha ismerjük az egyik szál szekvenciáját (pl. TCGCAT),

32 32 III. DNS SZÁMÍTÁSOK 1.7. ábra. A nukleotidokból a foszfodiészter kötéssel egyszálú DNS lánc épül fel

33 III. A DNS ábra. Az egyszálú DNS lánc sematikus rajza 1.9. ábra. A DNS molekula kett sspirál alakú akkor a másik szálét is tudjuk (AGCGTA). A szemben lév sorrendet komplementernek nevezzük és a megfelel polinukleotidpartnert komplementer szálnak. Ha van egy egyszálú DNS-ünk, akkor az felírható a bázisokkal. Mivel a szerkezet lineáris láncnak tekinthet, egyszer en felsoroljuk ket sorban, de még így is kétfajta sorrend lehet, mert olvashatjuk 5'-t l a 3' felé és fordítva, ezért a felírásnál meg kell adni az olvasási sorrendet. Ha nem adunk meg mást akkor 5'-t l 3' irányig lesz az alapértelmezés. A kétszálúnál is hasonlóan lehet eljárni, és elég az egyik szálat leírni, mivel a másik ennek a komplementere.

34 34 III. DNS SZÁMÍTÁSOK ábra. A citozin és a guanin bázisai közt háromszoros hidrogénkötés alakulhat ki ábra. Az adenin sematikus jelölése ábra. A citozin sematikus rajza ábra. A guanin sematikus ábrája Pl.: 5' 3' TCGCAT AGCGTA

35 III. ALAPM VELETEK A DNS LÁNCOKKAL ábra. A timin sematikus rajza 2. Alapm veletek a DNS láncokkal Ebben a fejezetben áttekintjük milyen m veleteket végezhetünk a DNS láncokkal, milyen utasításokból kell a DNS gép programját felépíteni. A kísérletek során az úgynevezett (molekuláris) levessel dolgoznak a kutatók, ami általában olyan vizes oldat, ami a DNS molekulákon kívül tartalmazhat különböz enzimeket, katalizátorokat. Fromális szempontból az ilyen molekuláris levest egyszálú és kétszálú DNS molekulák multihalmazának tekintjük. (Általában tekinthetjük halmaznak is, feltételezve, hogy mindenféle molekulából elegend en sok áll rendelkezére. Ez a gyakorlatban elterjedt eljárások során valójában nem jelent megszorítást, ahogy látni fogjuk.) 2.1. Denaturálás A DNS molekula komplementer párjai közötti hidrogén-kötés másodrend kötés, jóval gyengébb, mint az egyszeres láncokon belüli foszfodiészter kötés (els rend kovalens kötés). Az egyes bázispárokat könnyebben el lehet választani egymástól. Erre az egyik megoldás a molekula melegítése - denaturáció -, amelynek hatására a molekula két összekapcsolódott lánca különválik egyszeres DNS láncokat eredményezve Renaturálás vagy hibridizáció Az egyszeres láncok a h tés hatására újra összekapcsolódhatnak (rekombinálódnak), vagy más egy szálú DNS-el új kétszálút hozhatnak létre. (Természetesen a Watson-Crick komplementaritás gyelembe vételével). Tehát az egyszeres láncok duplaszálú DNS-sé állhatnak össze. Mint kés bb látni fogjuk ebben a lépésben fontos szerepet játszhat a ligáz enzim. Az el z két m velet tulajdonképpen implicit részm velet, valójában összetettebb m veletekben fogjuk ket általában használni Szintetizálás Ha még nincs DNS láncunk, akkor gyakorlati módszerek vannak arra, hogyan állíthatunk el. Egyszálú DNS láncot szintetizálhatunk vagyis, meseterségesen el állítunk (felépíthetünk), bármilyen bázissorendben néhány 100 nukleotidot tartalmazó méretig. Ezt a m veletet hívjuk szintetizálásnak.

36 36 III. DNS SZÁMÍTÁSOK ábra. A DNS lánc két spirálját a bázisok közti H-kötések tartják össze 2.4. Sokszorozás Fontos probléma, hogy hogyan er síthatjük meg a kis mennyiség számunka fontos DNS molekula jelenlétét a hatalmas mennyiség számunkra nem fontos darab között.

37 III. ALAPM VELETEK A DNS LÁNCOKKAL ábra. A két szál sematikusan Az erre szolgáló technikát polimeráz láncreakciónak nevezzük. Segítségével milliószámra lehet el állítani a kívánatos molekulákat egyetlen molekulából. Ez egy összetett m velet, ami arra szolgál, hogy a kívánt kétszálú DNS-láncokból elég sok legyen jelen a levesben. Ennek egyik lépése a denaturálás ami során megfelel egyszálú DNS láncaink jönnek létre. Az oldatban lev nukleotidokból az egyszeres láncok kétszálúakká egészít dnek ki pl. a polimeráz enzim segítségével. Lássuk az enzim m ködését. Az enzim létez DNS molekulához további nukleotidokat képes hozzákapcsolni a következ módon: tegyük fel, hogy a DNS-szál eleje kétszálú, és egy adott ponttól kezdve csak a 3' - 5' irányú szál van meg (2.17. ábra). Ekkor ha az oldatban jelen vannak a nukleotidok a polimeráz enzim felismerve, hogy milyen bázisú nukleotidnak kell következnie a még hiányzó 5' - 3' irányú láncon beilleszti a következ nukleotidot. Ezáltal lépésenként haladva létrehozza a teljes kétszálú DNS-t úgy, hogy a hiányzó molekulákat sorban hozzáf zi a meglév lánchoz. Az enzim csak

38 38 III. DNS SZÁMÍTÁSOK ábra. A polimeráz enzim kiegészíti a DNS láncot 3' szénatomhoz kapcsolódó új nukleotidot (azt annak az 5' szénatomjával kapcsolva) képes a kiterjesztést véghez vinni. A sokszorozás m veletében tehát a polimeráz enzimek kulcsfontosságú szerepet játszanak, ezt a következ módszerrel tudjuk kihasználni. Tegyük fel, hogy olyan kétszálú DNS láncaink vannak, ami végeinek ismert a bázissorrendje. Legyenek az oldatban az adott láncon kívül az ismert végek komplementer láncai (β-primer és γ-primer az ábrán). Ekkor melegítéssel elérhetjük, hogy a láncok egyszálú DNS-ekké esnek szét. Kicsit h tve a levest a komplementerpárok az egyszálú láncok végéhez tapadhatnak. Így tehát van egy egyszálú DNS-ünk, aminek az elején (az 5' végén) néhány nukleotid már kétszálúra van kiegészítve. és a levesben megtalálható mind a négyféle nukleotid a kell en nagy számban. Ezután a polimeráz enzim az oldatban található nukleotidokból kétszálúvá egészíti a molekulát. Így sokszorosíthatjuk a láncokat, ha van egy kétszálú DNS-ünk akkor ezt szétválasztjuk a bázis párok mentén, mondjuk melegítéssel, utána az enzim segítségével el tudunk állítani a kiinduló lánccal megegyez két láncot. Az eljárás során rövöd id alatt exponenciális gyorsasággal emelhet meg adott molekulák száma a levesben, akár milliószorosára is emelhet egyes láncok száma. DNS molekulák kiválasztására kétféle módszert szoktak használni, az els adott minta alapján választja ki a megfelel molekulákat, a második pedig hossz alapján Pecázás Legyenek egyszálú DNS láncaink a molekuláris levesben. A célunk az oldatot 2 részre osztani oly módon, hogy az egyikbe olyan molekulák kerüljeneknek melyek adott rövid bázissorozatot tartalmaznak. Ekkor a levesbe egyszálú DNS-láncokat (a kívánt láncrész komplementerláncát) lógatunk, amikhez azok a láncok tudnak a levesb l hozzátapadni (H-kötéssel) amelyek tartalmazzák a belógatott lánc komplementer sorozatát, vagyis tartalmazzák a kívánt bázissorrend részt. Így kipecázhatjuk a megfelel molekulákat.

39 III. ALAPM VELETEK A DNS LÁNCOKKAL ábra. Ismert vég kétszálú DNS-lánc el készítése a polimeráz enzim számára

40 40 III. DNS SZÁMÍTÁSOK 2.6. Hosszmérés Egy DNS hosszán a benne tálaláható bázisok, vagy bázis párok darabszámát értjük. Most a célunk az, hogy az oldatból kiválasszuk az adott hosszúságú DNS láncokat. A mérés alapját a gél elektroforézis nev eljárás képezi. Töltéssel rendelkez részecskék elektromos térben töltésükkel ellentétes irányban mozognak. A DNS molekulák negatív töltés ek, a pozitív töltés anód felé haladnak. A molekula töltése arányos a hosszával, csakúgy, mint a mozgatásához szükséges energia. Ez a két hatás kioltja egymást, ezért azonos méret molekulák azonos sebességgel mozognának, viszont most olyan speciális anyagban, gélben kell haladniuk, ami a hosszabb milekuláknak komolyabb ellenállást jelent. Így különböz méret molekulák sebessége különböz lesz, így adott távolság megtételéhez szükséges id b l ki lehet számítani a molekula méretét. Az eljárás a következ : A molekuláris levest (f ként a benne szerepl DNS molekulákat) egy speciális gélt tartalmazó kádba rakják. A DNS molekulák eredetileg a gél egyik szélén helyezkednek el, ezután a gélnek erre a végére a oldalára kapcsolják a negatív pólust, ennek hatására a molekulák elindulnak a másik (a pozitív) pólus, a katód irányba. Tehát, amikor az oldatra egyenáramot kapcsolnak, ekkor a töltéssel rendelkez DNS molekulák az elektromos áramot vezetve mozgásnak indulnak. Minél hosszabb egy molekula annál nagyobb ellenállást kell leküzdenie a gélben való haladáshoz, így a molekulák a hosszuk alapján fognak elrendez dni egy adott pillanatban. Tudjuk azt hogy adott hosszúságú molekula egységnyi id alatt mekkora távolságot tesz meg, illetve egy n-szer hosszabb molekulának n-szer nagyobb id re van szüksége ugyanakkora távolság megtételéhez. Így nagyon pontosan meg lehet mondani, hogy a gél melyik részében lesz a kívánt hosszúságú molekula, ezt a részt a gélb l kivágva megkaptuk az összes ilyen hosszúságú molekulát. A ábra mutatja sematikusan a mérést. Ehhez hasonló módszerrel megy egy DNS lánc bázissorendjének meghatározása is. Nézzük tehát, hogyan olvashatunk el DNS láncot. Ezt az ún. Sanger módszerrel tesszük, amit a felfedez jér l nevezték el. Az eljárás során analóg nukleotidokat gyártunk le oly módon, hogy a 3' szénatom OH csoportját H-re cseréljük. Az így létrehozott Dideoxy Adenin (dda), Dideoxy Citozin (ddc), Dideoxy Guanin (ddg) és dideoxy Timin (ddt) molekulák szerkezete olyan, hogy bennük a 3' szénatomhoz nem tud másik molekula foszfoidészter kötéssel kapcsolódni. Módosítjuk az el z sokszorozó algoritmust. Négy lombikban fogjuk a sokszorosítást végezni, ezek mindegyikébe valamelyik analóg molekulából is teszünk. Ez alapján fogjuk megkülönböztetni a lombikokat. Egy lombikban keletkezhet teljes duplaszálú DNS, de olyan is amit a polimeráz enzim nem tud folytatni, mert az eredeti nukleotid helyett annak analóg párját, dedoxi nukleotidot tartalmaz. Ekkor a sokszorozás után, ha újra denaturáljuk a molekulákat lesznek olyan egyláncú DNS-ek amik nem a teljes hosszúságúak, hanem valahol dideoxy nukleotiddal fejez dnek be. Ezután a molekulák hosszának mérésével megállapítható, hogy az egyes lombikokban milyen hosszúságban játszódhatott le a kiterjesztés folyamata. Világos, hogy ezek a hosszak pontosan a lehetséges dedoxy molekulák helyeit jelentik az adott lombikból. Viszont a dedoxy molekula csak az analóg párjának megfelel helyen lehet a molekulában, tehát az

41 III. ALAPM VELETEK A DNS LÁNCOKKAL ábra. DNS láncok kiválasztása hossz alapján gélelektroforézissel eredeti molekulában ezen a helyen az a nukleotid szerepelt, aminek analógját az adott lombik tartalmazza. Így a négy analóg nukleotidokat (is) tartalmazó lombikra elvégezve a gél elektroforézist megkapjuk az eredeti molekula nukleotidsorrendjét Enzimek Egyes alapm veletek végrehajtásában a természet által adott enzimeket használjuk. A már részletezett polimerázon kívül ilyenek pl. a következ k: A ligáz enzim alapvet szerepet játszik az él sejtekben is. A kett s DNS-láncokon végighaladva ellen rzi a foszfodiészter kötéseket, ha valahol hiányzik a kötés akkor helyreállítja (a molekula nem esik szét a két láncot összetartó hidrogén-kötések, illetve a másik láncon meglev foszfodiészter-kötés miatt). A számítások során is fontos szerepet játszik ez az enzim, amikor rövidebb láncokból építünk fel hosszabbakat. (Rövid láncok összekötése, a kés bbiekben mutatunk erre példát.) Egyes számításokban fontos szerepet játszanak az ún. vágóenzimek (restrikciós endonukleázok). Ezekb l nagyon sok ismert. Általános m ködési elvük a következ : Dupla láncot vágnak ketté és csak meghatározott helyen. Az enzim megköti a molekulát egy speci- kus felismer helyen, ezen belül vagy kívül kettéhasítja azt. Ha egy DNS molekula több ilyen felismer helyet tartalmaz, az enzim bármelyik ilyen helyen elvágja azt. Ez

42 42 III. DNS SZÁMÍTÁSOK a vágás lehet lépcs zetes is, két 'ragadós' 5' véget (pl ábra) vagy két 'ragadós' 3' véget hagyva meg. Bizonyos restrikciós enzimek nem ennyire specikusak és 'tompán' vágják ketté a dupla láncot ábra. Egy vágás 'ragadós végek' létrehozásával 3. Adleman kísérlete - Hamilton út probléma 1994-ben Adleman kísérlete jelentett áttörést. Végre a gyakorlatban is sikerült "számításra fogni" a DNS molekulákat: Adleman a Hamilton út problémát oldotta meg a 3.21 ábrán látható hét csúcsú gráfra. Tehát a gráfban keressük azt az utat, amely minden csúcsot csak egyszer érint (ha van ilyen). A gráf minden csúcsához hozzárendelünk egy-egy húsz nukleotid hosszúságú egyszeres DNS láncot. Például a kísérletben a csúcsnak a következ láncok feleltek meg: 2. csúcs: TATCGGATCG GTATATCCGA 3. csúcs: GCTATTCGAG CTTAAAGCTA 4. csúcs: GGCTAGGTAC CAGCATGCTT Ezek a 20 hosszú láncok olyan 10 hosszúságú láncokból épülnek fel, amelyek egyediek, és komplementer láncaik is különböznek mindegyikt l. Hasonlóan az élekhez szintén 20 hosszú egyszeres láncokat rendelünk, ezeket a csúcsok láncainak segítségével hozzuk létre. Ha két csúcs közt vezet él, akkor a második csúcs els tíz nukleotidjának komplementer láncához kapcsoljuk az els csúcs második tíz nukleotidjának megfelel komplementerláncot. A példánál maradva: a 2. csúcsból a 3.-ba mutató él: CATATAGGCT CGATAAGCTC a 3. csúcsból a 2.-ba mutató él: GAATTTCGAT ATAGCCTAGC a 3. csúcsból a 4.-be mutató él: GAATTTCGAT CCGATCCATG Így ha két csúcs között él van, létre tudnak hozni egy olyan kétszálú molekulát, amiben az egyik szál a csúcsokat tartalmazza, a másik az éleket.

43 III. ADLEMAN KÍSÉRLETE - HAMILTON ÚT PROBLÉMA ábra. Az Adleman által vizsgált gráf A gráfot tekintve, például létrejöhet a ábrán látható utat megtestesít kétszálú DNS lánc ábra. A csúcsoknak és az éleknek megfelel láncokból a H-kötések által létrejönek az utakat jelent kétszálú DNS láncok Az összes csúcsnak és élnek megfelel láncot berakjuk a levesbe. A folyamat során elméletileg el állhat az összes lehetséges út, gyakorlatilag ez elég nagy méretig így is van (minden rövid út meglesz az oldatban). Ezután végzünk egy hossz vizsgálatot és az összes megfelel hosszúságú molekulát kivesszük: azokat amelyek hossza megegyezhet a Hamiltoni-út hosszával (jelen esetben 140 nukleotid). A mintát sokszorosítjuk, majd pecázás következik az els csúcsnak megfelel komplementer szálal, az így nyert mintában biztos, hogy minden molekula tartalmazza az els csúcsot, ezután megint sokszorosítás és pecázás a következ csúcsra, ezt megismételjük minden csúcsra, így ami marad, az a molekula a probléma megoldását jelenti, mivel a keresett hosszúságú és tartalmaz minden csúcsot.

44 44 III. DNS SZÁMÍTÁSOK Tehát végül azt kell eldöntetnünk, hogy maradt-e olyan DNS szálunk ami eleget tesz az összes el z mérésnek, kiválasztásnak. (Egyébként a példában a csúcsokat növekv sorrendben végigjárva éppen egy Hamiltonutat kapunk.) 4. Számítási modellek Ebben a fejezetben további módszereket mutatunk be a Watson-Crick komplementaritás kihasználására a DNS számításokban H-rendszerek (Szeletelés) Tekintsük el ször az ún. szeletel rendszereket, amelyeket H-rendszereknek is neveznek. A H-rendszer elnevezés Tom Head nevéb l ered, aki az ún. vizes számítások atyja, már Adleman kísérlete el tt, 1987-ben elkészítette elméleti modelljét a DNSszámításokról. A vizes számítás arra utal, hogy a hagyományos számítógépekkel (amelyeknek a víz halálos ellenségük) ellentétben a DNS-számítások vizes közegben mennek végbe ábra. A H-rendszerekben a tompán vágó enzimek nem használhatóak ábra. Azok az enzimek amelyek a felimerési mintát lépcs zetesen vágják ragadós vég molekulákat hoznak létre ábra. A létrejött ragadós vég molekulák

45 III. SZÁMÍTÁSI MODELLEK 45 A számítás tulajdonképpen a vágóenzimek által hagyott 'ragadós vég ' molekulákon alapul. A ragadós végek kapcsolódási felületet nyújtanak másik molekuláknak. Ha két molekulának a megfelel a ragdós vége (pl. ugyanazzal az enzimmel lettek elvágva), akkor ezek a végek összeragadhatnak összekapcsolva a két molekulát. A szeletelést vágóenzimek végzik, melyek nem rongálva vágják a DNS láncokat. A legtöbb ilyen enzim palindrom mintát tud vágni. Egy láncrészt akkor nevezünk palindromnak, ha a másik szálat olvasva (ugyanúgy 5' - 3' irányba) ugyanazt a nukleotidsorrendet kapjuk. A 4.26 ábrán egy palindrommintát felismer vágóenzimet mutatunk be ábra. Vágóenzim által felismert minta és a vágás módja Tehát a ragadós vég molekulák újra összekapcsolódva a újabb láncokat alkothatnak. Ezeket a láncokat hidrogénkötések tartják össze. A lánc stabilizálására a ligáz enzim szolgálhat, amely a két szálon a kovalens kötéseket is képes létrehozni. Pl. három vágóenzim m ködési elvét láthatjuk a 1 táblázatban. Enzim neve Vágása Típusa Felismerési minta, és ragadós vég TagI ϕ (T,CG,A) SciNI ϕ (G,CG,C) HhaI κ (G,CG,C) 1. táblázat. Három enzim m ködése, amikkel kétszálú DNS láncokat lehet elvágni A szeletel rendszerekben a következ két f operátor áll rendelkezésre: - Szétvágás a minta mentén. - Rekombináció, ragadós végekkel újra összekapcsolás. A szétvágott molekula is újra össze tud kapcsolódni, és más, új molekula is képz dhet. A Watson - Crick komplementaritás miatt a vágás helye az egyik láncfél által is egyértelm en meghatározott, így a vágást egy hármassal adhatjuk meg: a fels szálat

46 46 III. DNS SZÁMÍTÁSOK tekintve: (felismerési minta 1. része, szétvágott rész, a minta utolsó része). A rekombinációhoz az is fontos viszont, hogy melyik molekulának melyik szála hosszabb: ez alapján két típusról beszélhetünk (ϕ vagy κ). Csak az azonos típusúak kapcsolódhatnak össze. Matematikailag tekintve a következ esetekben kapcsolódhatnak a láncok: w 1 = w 1u 1 xv 1 w 1 w 2 = w 2u 2 xv 2 w 2 Az összekapcsolódás feltétele, hogy a ragadós végek megegyezzenek. A következ új láncok jöhetnek létre: z 1 = w 1u 1 xv 2 w 2 z 2 = w 2u 2 xv 1 w 1 Így matematikailag formális nyelvekre értelmezhetjük ezt a szeletel -rekombináló m veletet. Egy szeleltel rensdzer megadásáhos szükség van egy kezdeti nyelvre (milyen láncaink vannak eredetileg a 'DNS ábécével', vagy a matematikai formalizmust tekintve bármilyen ábécé felett megadva). Ezen kívül meg kell adnunk a szeletel operátorainkat. A szabályokat a következ alakban adhatjuk meg: r : (u1, u 2, u 3, u 4 ), ezt egy szeletel operátornak nevezzük. Az operátor alkalmazása: ha az x és y láncaink már vannak x, y L és ezek a következ alakúak: x = x 1 u 1 u 2 x 2 y = y 1 u 3 u 4 y 2 Akkor a z: z = x 1 u 1 u 4 y 2 is benne lesz a nyelvben. A szabály fenti alkalmazását (x, y) r z alak jelöli. w = x 1 u 3 u 2 x 2 Ugyanez teljesül a w-re is, bár ezt matematikai modellekben nem feltétlenül szokták hozzávenni, viszont valódi DNS rendszerekben ez a lánc is létrejöhet/jön. Egy szeletel rendszer által generált nyelv azon szavak halmaza, amelyek a kezdeti szavakból, és az azokból levezetett szavakból a megadott operátorok segítségével levezethet ek. Amennyiben véges vagy reguláris nyelvb l indulunk ki, és a szabályink száma véges, akkor reguláris lesz a generált nyelv is. A szabály sugara alatt a szabályt alkotó stringek hosszának maximumát értjük. r = def max( u 1, u 2, u 3, u 4 ). Érdekes probléma az olyan rendszerek vizsgálata, amikben a szabályok mérete korlátozott. A DNS rendszerekben mindig el fordulhat, hogy a rekombináció során az eredeti molekula jön létre, vagyis olyan molekulák kapcsolódnak össze, amilyeneket szétvágtunk. Viszont el fordulhat, hogy más létrejöv molekulákra a felismerési minta már nem egyezik egyik az oldatban lev vágóenzimre sem, míg azok a molekulák amik újra létrejöttek megint szétvághatóak ugyanazzal az enzimmel. Egy id után így nagy valószín séggel már csak új láncok lesznek az oldatban. Az így létrejöv nyelvet, ami az eredeti láncokat már nem tartalmazza feln tt nyelvnek nevezzük.

47 III. SZÁMÍTÁSI MODELLEK 47 Például a következ kísérlet egy ilyen feln tt nyelvet állít el : Egy oldatban egy 500 nukleotidból álló molekula található (természetesen hatalmas példányszámban) A molekulát 400 és 100 nukleotidból álló darabokra vágó enzim van jelen. Mind a 400, mind a 100 hosszúságú darab képes kapcsolódni a másik fajtához és a saját típusához is. Vizsgáljuk, hogy bizonyos id elteltével milyen hosszúságú láncok vannak az oldatban. A kiindulásban tehát csak 500 hosszúságú molekulák voltak jelen, a folyamat megkezdésekor 100 és 400 hosszúságúak is megjelennek. Egy ideig a kezdeti nyelvet követ en, az ún. aktív nyelvben 100 és 400 hosszúságú, valamint az 500-on kívül a 200 és 800 hosszúságúak is megjelennek. Mivel viszont az oldatban lev enzim a 200 és 800 hosszúságú molekulákat nem tudja szétvágni, egy bizonyos id eltelte után ezek lesznek abszolút többségben, majd kés bb már csak a 800 és a 200 hosszúságú molekulákból lesz az oldatban. Matematikai modellekben elegend egy szót deniálni, azonban a DNS-számításokhoz jobban köt d rendszerekben szokás minden szó fordítottját is tekinteni (mintha a másik végér l olvasánk a duplaláncot). Tekinthetünk olyan kétszálú DNS láncokat, amelyek egyik vége a másikkal kapcsolódott össze. Az ilyen körkörös molekulák létrejöhetnek pl. szeletelés során: a molekulalánc két ragadós vége egymáshoz ragadhat, így saját magával gy r vé kapcsolódik össze a molekula. Gyakorlatban ez információ tárolására lehet alkalmas, oly módon, hogy egy enzimmel szétvágjuk, kiegészítjük egy rövid nukleotid sorozat darabbal (a tárolni kívánt információval), majd újra zárjuk; CEL (cut - extend - lock) technológia. Olyan rövid a gy r, hogy a saját végét hamar meg s találja A SAT probléma megoldása A SAT probléma is NP-teljes. Most nézzük ennek megoldását DNS-ek segítségével. Legyen adott az alábbi formula (konjunktív normál formában): A = (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 ) ( x 1 x 3 ) x 3 A megoldás során el ször a ábrán látható gráfban lev utakat hozunk létre a kezd ponttól a végpontig. Természetesen ekkor minden ilyen út minden x változóra pontosan vagy a változót, vagy a negáltját tartalmazza. A változóknak és a negáltjaiknak egyszálú DNS láncokat feleltetünk meg, mint ahogy a Hamilton-út problémánál tettük ábra. Három változós kiindulási gráf SAT problémához

48 48 III. DNS SZÁMÍTÁSOK Ebben a gráfban az összes Hamilton út egy értékelést jelent. Így mindenféle lehetséges megoldási kombinációnk el áll (n változóra 2 n variáció). Ez után vesszük a logikai és oparátorokkal összekötött klózokat (zárójelben elhelyezett kifejezéseket) és keressük azokat az értékeléseket amelyekre mindegyik klózban van igaz literál (4.28) ábra. A megadott klózok literáljai szerint sz rünk Eredetileg tehát mindenféle értékelésünk ott van a levesben. Ezután sorra vesszük a klózokat, és minden klózra a következ lépéseket tesszük. El ször is annyi másolatot készítünk a lombikból (a benne lev DNS szálakról) amennyi literál van az adott klózban. Vagyis a sokszorosítás m veletét is felhasználva szétosztjuk a lombik tartalmát ennyi részre. Ezután a literáloknak megfelel komplementerkkel pecázunk, mindegyik levesb l kiválasztjuk azokat a láncokat amikben az adott literál igaz. Ezután összeöntve a lombikok tartalmát azok a láncaink maradnak meg amelyekben az adott klóz igaz. Az eljárást megismételve a többi klózra is, végül csak azok a láncok maradnak az oldatban, amelyek kielégítik az egész formulát. Eddig mesterséges környezetben használtuk a DNS molekulákat. A következ fejezetben a DNS alapú számításoknak egy olyan ágával ismerkedünk meg, ami az él sejten belül történik. 5. Sejten belüli számítások Napjainkban a számítógépes tudósokat a molekuláris biológia segíti annak a kutatásában, hogy hogyan lehetne helyettesíteni (vagy kiegészíteni) a szilikon alapú számítógépeket DNS alapú számítógépekkel. A legtöbb kutatás a DNS számításokkal kapcsolatban, mint ahogy az eddigiekben is írtuk a biomolekulák kémcs ben való használatával foglalkozik, vagyis az él sejteken kívül. Azonban most egy új, fontos és izgalmas ágát vizsgáljuk meg a DNS számításoknak: az él sejtekkel foglalkozunk, a DNS molekulákat természetes környezetükben vizsgáljuk. Ez a terület is hozzátartozik

49 III. SEJTEN BELÜLI SZÁMÍTÁSOK 49 a bioinformatikához, mert hozzájárul hogy megértsük az összetett biologiai rendszerekben végbemen "számítási folyamatok" természetét. A DNS-számításokat sziliátokban vizsgáljuk, amik az egysejt ek egy nagyon régi csoportját alkotják. Annak ellenére, hogy egysejt ek, a bonyolultabb DNS m veletekre képes él szervezetek közé tartoznak. Érthet számítási szerkezettel rendelkeznek, s t tulajdonképpen határozottan azt mondhatjuk, hogy a láncoltlista adatszerkezetet használják. Különösen érdekes számítási szempontból a génképzés folymata a mikronukleuszból a makronukleusz alakig. Ezt a folymatot mind sztring-, mind gráf modellel leírjuk a három molekuláris m veletettel együtt. Ez a három m velet univerzális abban az értelemben, hogy ezekkel össze tudunk állítani bármilyen génállomány makronukleuszát a mikronukleusz alakból. Habár a gráfmodell sokkal elvontabb, mint a sztringmodell, mégis minden génképzési folyamat felírható mindkét formában. Tulajdonképpen ez a témája a [15] könyvnek és több újabb DNS-számítás témájú cikknek is A sziliátok Mint említettük a sziliátok (ciliated protozoa) kb. 2 milliárd éves egysejt él lények. Az eukariótáknak ez az si csoportja kb különböz fajt takar. Genetikai anyagukat tekintve is hatalmas különbség van köztük (több mint a gyümölcslégy és az ember közt). Ezekben az egysejt ekben az örökít anyag kétféle forma egyikében található meg. Mikronukleusz formában van jelen a genetikai információ a szaporodás nyugalmi fázisaiban. A mikronukleusz tulajdonképpen egy nagy hosszúságú kétszálú DNS-lánc, aminek csak kb. 5 százaléka rejt genetikai információt. Ezzel szemben a szaporodási fázisban a genetikai információ sokkal tömörebb formában, csak magukat a géneket tartalmazva van jelen. Jelen fejezetben azt fogjuk áttekinteni, hogy a genetikai információt a sejt hogyan rakja össze. A mikronukleuszban jelenlev olyan részek amelyek nem géneket kódolnak els látásra feleslegesnek t nnek, napjainkban köszönhet en a nagyfokú érdekl désnek, egyre több hasznos funkciójukra derítenek fényt kutatók. Tehát a genetikai kód a szaporodási fázis kezdetén mikronukleusz formából makronukleusz formába alakul át. Ez a folyamat számítási néz pontból is érdekes, a DNS számításokkal foglalkozó közösség egyik f vizsgálati tárgya A génképzés sziliátokban A szokásos jelölést használva az egyszálú DNS-t az {A, C, G, T} ábécé feletti sztringek, a kétszálú DNS láncokat pedig dupla szavak fogják jelölni. A teljes dupla láncokban a fels és az alsó sztringhossz ugyanannyi, és minden egyes bet az els sztringb l a komplementere a másik sztring megfelel bet jének. Egy ilyen láncot pl. a ( pi p i ). A pi egyszálú DNS láncot a p i inverzének nevezünk. Hasonlóan a kétszálú DNSlánc inverze, amikor a másik végér l tekintjük. Ezenkívül ragadós vég molekulákat is fogunk használni.

50 50 III. DNS SZÁMÍTÁSOK A γ mikronukleuszban a genetikailag fontos részeket (Macronuclear Destined Sequence) egymástól genetikai információt nem hordozó IES (Internally Eliminated Sequence) részek választják el. Az MDS-ek {M 1,..., M k } halmazának (k > 1) minden eleme pontosan egyszer fordul el a γ-ban. Ezeknek az M i értékeknek a felépítése a következ : M i = ( pi p i, µ i, ) p i+1, p i+1 ahol 2 i k 1; az els és az utolsó MDS pedig: M 1 = ( b, µ 1, ) p 2, M p k = 2 ( pk p k, µ k, e A µ i részek az M i gén 'testének' tekinthet ek, ezek teljes dupla szálrészek. Ezzel szemben a p i egyszeres szál Watson-Crick komplementere a p i, a kett együtt pedig mutatóként funkcionál. A p i p i DNS láncot az M i MDS bementi, az M i 1 MDS-nek pedig kimeneti mutatójának nevezzük. A γ mikronukleuszban minden mutató kétszer fordul el, egyszer bementi-, egyszer pedig kimeneti mutatóként. A b és e kétszálú láncok pedig a kezd - és a végjelz k, ezek olyan láncszakaszok, amik pontosan egyszer fordulnak el a γ-ban. Fontos, hogy ezek a jelz k és mutatók mindig az MDS és az IES határán helyezkednek el, azokat elválasztva egymástól. Az M i részek inverzei: az els nek és az utolsónak pedig: M 1 = M i = ( p2 p 2, µ 1, b ( pi+1 p i+1, µ i, ), M k = ) p i, p i ( e, µ k, ). ) p k. p k Ezek tulajdonképpen ugyanazt a duplaláncszakaszt jelentik fordított irányban elhelyezkedve (pl. a γ-ban). Pl. a mikronukleusz lehet M 3 I 1 M 5 I 2 M 1 I 3 M 6 I 4 M 2, ahol M 5 az M 5 inverze, az I 1, I 2, I 3 és I 4 láncszakaszok pedig az IES-ek (5.29. ábra). A mikronukleusz és a makronukleusz közti kapcsolat az, hogy a makronukleuszt megkaphatjuk a mikronukleuszból 'átfed ragasztásokkal', úgy, hogy az eredetileg nem sorrendben lev MDS-ek a helyes sorrendben és az IES-ek nélkül alkotják a makronukleuszt (5.30. ábra). A génképzés m velete alatt, a mikronukleuszt transzformáljuk makronukleáris formába, az IES-ek a sorozatban fokozatosan kivágódnak, és a MDS-ek összeilleszt dnek a szükséges sorrendben. Ahogy látni fogjuk, a természet tulajdonképpen évmilliók óta használja a láncoltlista adatszerkezetet. A mikronukleuszban a mutatók jelzik az MDS-ek sorrendjét, méghozzá oly módon, hogy a makronukleuszban maguk a mutatók is a gének részei és genetikai információt hordoznak. Ha a mutató kétszer ugyanabban a formában fordul el, akkor direkt ismétlésnek, ha az egyik el fordulás a másik inverze, akkor inverz ismétlésnek hívjuk.

51 III. SEJTEN BELÜLI SZÁMÍTÁSOK ábra. Az MDS-ek egy lehetséges elhelyezkedése a mikronukleuszban ábra. A makronukleusz felépítése, az összerakott gének 5.3. A génképzés m veletei Nézzük most mi az a három m velet, aminek segítségével a mikronukleuszból a makronukleusz kialakul Az ld m velet. Az els ilyen m velet az ld, aminek neve a loop, directrepeat szavak rövidítése. Ez a m velet olyan mutatópárnál mehet végbe, amikor egy mutató kétszer jön egymás után, és mindkétszer ugyanolyan formában (vagy mindkett ben invertálva, vagy mindkett ben nem invertálva), vagyis direkt ismétléssel. Ekkor el fordulhat, hogy a lánc egy kör alakú hurkot ír le, ahol egymás mellé kerül a mutató két el fordulása. Ekkor azokat ragadós véggel elvágva, és újra egyesítve a lánc két részre esik szét: egy körre és egy láncra (5.31. ábra). Az operátor alkalmazásánál azért fontos, hogy a mutatók el fordulása egymás melletti legyen, mert a genetikai információnak együtt kell maradnia. Ha a mutató két el fordulása közt más mutató, így más MDS is lenne, akkor a genetikai információ szétszakadna. Márpedig olyan m veletünk, amely két DNS molekulát kapcsol össze

52 52 III. DNS SZÁMÍTÁSOK ábra. Az ld operátor nincs, ezért általában feltételezzük, hogy az ld m velete(ke)t a génképzés utolsó szakaszában hajtjuk végre A hi m velet. A hajt (hi) m velet a hairpin és az inverted-repeat szavak rövidítéséb l kapta nevét. Ez a m velet akkor hajtható végre, ha egy mutató egyik el fordulása invertált, vagyis inverzen ismét dik. Ekkor a láncot hajt alakba hajtva, és a mutatónál elvágva az összeillesztés úgy is létrejöhet, hogy a lánc középs szakasza megfordul (invertálva kerül vissza a láncba, lásd az ábrán) ábra. A hi kivágás és újraillesztés operátor A dlad m velet. A dlad m velet a double loop és alternating directrepeat szavakból kapta nevét. Ennek megfelel en a m velet akkor hajtható végre, ha két mutató felváltott sorrendben fordul el, és az azonos mutatók azonos formában (direkt ismétl déssel). Ekkor a dupla hurok alakban (lásd ábra) az operátor hatására a lánc két része felcserél dik. Nagyon fontos, hogy a fent leírt három m velet univerzális abban az értelemben bármilyen mikronukleuszból el állítható bel le a helyes MDS sorrend makronukleusz A génképzés modellezése A génképzés m velete a mikronukleuszból a fenti három m velet segítségével makronukleuszt készít, az IES-ek a fokozatosan kivágódnak a sorozatból az ld m velettel,

53 III. SEJTEN BELÜLI SZÁMÍTÁSOK ábra. A dlad kivágás és újraillesztés operátor az MDS-ek pedig összeilleszt dnek a kívánt sorrendben. A három transzformációs m - veletben a mutatók a dönt k. Így, a jelölés egyszer sítéseként a mutatókra pozitív számokkal fogunk hivatkozni 2, 3,..k, a mutatók inverzeit pedig a 2, 3,..., k fogják jelölni. Ezen kívül megtartjuk a b, e (mint els és k + 1. mutató helyetti szakaszokat) és b, e jelölést ezek inverzére. A génképzési folyamat modellezésében a f ötlet az, hogy csak a mutatókat és a jelz ket tartjuk meg. A mutatók sorrendbe transzformációja, illetve az azonos mutatók egymás melletti direkt ismétlésbe kerülése a cél. Az ld pedig ekkor a mutató két el fordulása közti (IES) szakszt kivágva két egymás mellé ill MDS-t összeilleszt. Ekkor tulajdonképpen a felhasznált mutató megsz nik mutatónak lenni (a génképzésben további szerepe nincs), a létrejött MDS szakaszt másik két mutató (vagy jelz ) határolja. A génképzés tulajdonképpen akkor ér véget, ha az MDS-ek egy folytonos szakaszt alkotnak, a b és e jelz k határolják, vagyis létrejött a makronukleusz. Ha a m veletek eredményeként a makronukleusz létrejött, akkor azt mondjuk a génképzés stratégiája sikeres volt Példa. Számítási szempontból tehát maguk az MDS-es és IES-ek nem érdekelnek minket, a m veletek a mutatók helyét l és egymáshoz viszonyított elhelyezkedését l függnek, és azokon dolgoznak. Használjuk tehát az (i, i + 1) jelölést az i. MDS-re. Így az inverze: (i + 1, i). (Ahol i = 1 a b, i = k + 1 pedig az e; a többi i érték a p i mutatót jelöli.) Ekkor a γ = (4, 5)(2, b)(5, e)(4, 3)(3, 2) egy lehetséges MDS sorozatot leíró sorozat. Három m velet is használható erre a sorozatra: ld a 3 mutatóra, a hi a 4-re, míg a dlad az 5, 2 mutatópárra. Az ld-t végrehajtva a γ-ra: (4, 5)(2, b)(5, e)(4, 2)-t kapunk. (Itt a ((4, 2) azt rövidíti, hogy a 3. és a 2. MDS már egymás mellé került, nincs köztük IES szakasz a láncban. A hi végrehajtásával a γ-ból a (e, 5)(b, 2)(5, 3)(3, 2) sorozatot kapjuk. Ha a γ-ra a dlad m veletet alkalmazzuk, akkor (4, e)(4, 3)(3, b) az eredmény. Ha a dlad, hi, ld sorrendben alkalmazzuk a m veleteket, akkor: a dlad után folytatva a hi-vel a 4-es mutatóra: (e, 3)(3, b), végül az ld a 3-asra: (e, b). Ez azt jelenti, hogy minden MDS a helyére került a b és e közt helyezkednek el a helyes sorrendben IES-ek nélkül (a jelen esetben a kett s láncot a végér l olvasva). Tehát a génképzési stratégia sikeres volt.

54 54 III. DNS SZÁMÍTÁSOK 5.5. Sztring-modell a génképzésre Nézzük most, hogy a DNS-szálakat sztringként kezelve a m velteket hogyan írhatjuk le formálisan. Az el z példában párok sorozatával írtuk le a makronukleuszt. Most egy absztrakciót végrahajtva egyszer sítjük a jelölést, mégpedig elhagyjuk a zárójeleket, a b és az e szimbólumokat. A sztringben egy mutató (bet ) el fordulása pozitív, ha nem felülhúzott jellel fordul el ; ellenkez esetben a bet negatív el fordulásáról beszélünk. Az el bbi γ-nak megfelel sztring: Nézzük a m veleteket hogyan írhatjuk ebben az alakban. Az ld m velet tulajdonképpen azt jelenti, hogy ha egy mutató kétszer közvetlenül egymás után fordul el direkt ismétl déssel, akkor elhagyhatjuk mindkett t a sztringb l. Ugyancsak az ld m veletet fogja jelenteni az, amikor egy mutatópár direkt ismtl dése úgy fordul el, hogy a sztring els, illetve utolsó bet je az adott mutató. Ekkor a mutatópár törlése annak felel meg, hogy az összes MDS-t tartalmazó DNS részlet a m velet során a gy r alakú részbe kerül (és a láncrész az ami csak IES részeket tartalmaz). A hi m veletnek megfelel sztringm velet akkor alkalmazható, ha valamely p bet re igaz, hogy mind a p, mind a p formában megtalálható a sztringben. Hatására az xpypz sztringb l az xyz sztringet kapjuk, ahol y nem más, mint az y visszafelé olvasva és bet nként invertálva (ami nem volt felül húzva az úgy lesz, ami úgy volt az nem lesz). A dlad operátor sztringmegfelel je akkor használható ha két direkt ismétléses mutatópár átfed, vagyis a szó xpyqzpvqw alakba írható (a p-k és/vagy a q-k lehetnek páronként felülhúzottak is). Ekkor az operátor hatására az xvzyw sztring keletkezik. Világos, hogy ebben a modellben egy stratégia akkor sikeres, ha az üres szót sikerül el állítani a kiinduló sztringb l. Másrészt fontos, hogy az absztrakciót megtehetjük, vagyis az eredeti sikeres stratégiák és a sztringmodell sikeres stratégiái megfelelnek egymásnak. Ez pedig azt is jelenti, hogy a használt három m velet univerzális abban az értelemben, hogy segítségükkel minden lehetséges (öszzekevert) mikronukleuszból el állítható a gének makronukleusz formája. Mint a dlad operátor sztring változatánál láttuk a mutatók átfedései fontos szerephez jutnak. Ez alapján deniálhatjuk a mutatópároknak megfelel intervallumokat, mint az ket tartalmazó legrövidebb részszavakat. Például a sztring 3-intervalluma a 343, 4-intervalluma a sztring. Láthatjuk, hogy a 3 és a 4 átfed ek. (Mindkett intervallumában pontosan egyszer fordul el a másik.) A következ alfejezetben ezeket az átfedéseket kihasználva egy még magasabb absztrakciós szintre visszük a génképzés modelljét Átfedési gráf modell Most még absztraktabb szinten mutatjuk be a génképzést, a mutatók sorrendjéb l csak az átfedési relációt megtartva. Az intervallum-átfedési gráfot a következ képpen deniálhatjuk: Legyenek a csúcsok a mutatók. Minden csúcsot egy el jellel is ellátunk,

55 III. SEJTEN BELÜLI SZÁMÍTÁSOK 55 attól függ en, hogy a mutató két el fordulása ugyanolyan (paritású)-e ( ), vagy egyszer pozitív és egyszer negatív az el fordulás (+). Két csúcs között pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelel mutatópárok a sztringben átfedési relációban vannak (intervallumaik a másik mutató pontosan egy el fordulását tartalmazzák). Itt jegyezzük meg, hogy többszörös éleket, illetve hurok élt(aminek végpontjai megegyeznek) nem engedünk meg a gráfban. Bármilyen mikronuklesz sztring alakját felírhatjuk gráf alakban is. Lássuk a m veleteknek milyen megfelel ik lesznek ezen az absztrakciós szinten. Az ld m veletnek az fog megfelelni, hogy a jel csúcsokat, amik nincsenek összekötve egyetlen csúccsal sem (izoláltak) törölhetjük a gráfból. A hi m velet átfedési gráf szint megfelel je: + jel csúcs törölhet a gráfból, legyen ekkor V azon csúcsok halmaza, ami a törlend csúccsal össze van kötve. A m velet során minden az adott csúccsal összekötött csúcs (a V minden eleme) paritást vált ( -ból + lesz és fordítva), valamint V két csúcsa pontosan akkor lesz összekötve, ha az el z gráfban nem volt (mintha az élek is 'paritást' váltanának 'volt'ból nincs és 'nem volt'ból van). Végül a dlad a gráfban a következ nek felel meg: a m velet két összekötött negatív jel csúcsra (legyenek ezek A és B) alkalmazható. Hatása: legyen V A, V B és V AB rendre azon csúcsok halmaza a gráfban amelyek: (V A :) össze vannak kötve A-val, de B-vel nem; (V B :) össze vannak kötve B-vel, de A-val nem; (V AB :) össze vannak kötve A-val és B-vel is; Ekkor a m velet hatására az adott két csúcs (A és B) elt nik (azokkal az élekkel együtt amelyeknek legalább az egyik végpontja e két csúcs közül való), és a V A -ban lev csúcsok pontosan akkor lesznek összekötve, ha eddig nem voltak; és hasonlóan a V B -beli csúcsok közti élek is pontosan azok lesznek, amelyek az eddigi gráfban nem voltak; a többi él (így pl. a V AB -beli csúcsok köztiek) nem változik. A gráfokra vonatkozó transzformációs szabályokat nevezhetjük 'negatívcsúcs'-, 'pozitívcsúcs'- és 'duplacsúcs-szabálynak'. A sztringnek megfelel gráfot a ábrán mutatjuk be. Az ezt követ két ábrán példát mutatunk szabályok alkalmazására. Gráfoknál akkor mondjuk, hogy a gráf-stratégia sikeres, ha az üres (csúcsnélküli) gráfot sikerült elérni. Láthatjuk, hogy egy átfedési gráf nem egyértelm en adja meg azt, hogy mely sztringb l képeztük. (A lehetséges sztringekb l a gráfokra történ léképezés több az egyhez típusú.) Fontos azonban, hogy mégis ekvivalensek a modellek, vagyis pontosan akkor van sikeres stratégia a gráfban, ha a sztringre is van. Az, hogy a sikeres sztringstratégiának megfelel sikeres gráf-stratégia triviális, a lépések ugyanabban a sorrendben megadnak egy sikeres gráfstartégiát. Ezzel ellentétben a sikeres gráfstratégiák nem egy-az-egyben fordíthatók sikeres sztring-stratégiává, néha a lépések sorrendjét át kell rendezni. A következ részben ugyancsak az él sejtekkel kapcsolatos számítási modellt veszünk, a membrán számítások viszont csak a motivációt tekintve rokonok az él sejt folyamataival, maguk a számítások elvont modelleket használnak.

56 56 III. DNS SZÁMÍTÁSOK ábra. Példa átfedési gráfra el jeles csúcsokkal ábra. Negatívcsúcs szabály alkalmazása a 4-es csúcsra

57 III. SEJTEN BELÜLI SZÁMÍTÁSOK ábra. Duplacsúcs szabály alkalmazása a 4-es és 5-ös csúcspárra (a ábra gráfjára)

58

59 IV. fejezet Membrán Számítások A DNS számítástechnika alapjai és a sziliátok után most nézzünk egy másik számítási modellt, amihez az el sejtek m ködése adta a mintát. Ebben a fejezeteben, tehát a membránrendszerekkel, mint absztrakt számítási modellekkel fogunk részletesebben megismerkedni. A Membrane Computing fogalma Gheorghe Paun nevével köt dik össze, ezért a membrán-számítógépeket P-rendszereknek (P-systems) is szokták hívni. Tulajdonképpen a számítástechnikának ez az ága még 10 éves sincsen. A membránrendszerek a számítások egy a természet, mégpedig a biológiai membránok néhány jellemz je által motivált modelljei. A membránrendszerek objektumok multihalmazaival dolgoznak. A membránrendszer strukturált, a membránokhoz "reakció-szabályok" tartoznak, amik maximálisan párhuzamos, nemdeterminisztikus módon alkalmazandók. Az objektumok áthatolhatnak a membránokon, a membránok töltése, vastagsága (áthatolhatósága) változhat, membránok megsz nhetnek, illetve osztódhatnak. Ezeket a jellemz ket használhatjuk a rendszer kongurációinak átmeneteinek és magának a számításnak a deniálására. Rengeteg variációját deniálták már ezeknek a rendszereknek, a legtöbb ezek közül univerzális, vagyis számítási ereje megegyezik a Turing-gépével. Ezzel szemben köszönhet en a párhuzamos m ködésüknek, illetve hogy akár exponenciális tárhellyel is dolgozhatnak, bonyolult problémák (NP-teljes, PSPACE stb.) is hatékonyan oldhatók meg (lineáris, polinomiális id ben) segítségükkel. Most az alapötletet, és néhány membrán-rendszer (és a velük történ számítások) néhány alaptulajdonságát fogjuk kicsit részletesebben megvizsgálni. 1. A biológiai membránok Tulajdonképpen durván azt mondhatjuk, hogy az 'él -anyag alapegysége a sejt'. Ez azt jelenti, hogy az él lények sejtekb l épülnek fel. Nagyon sokféle sejt fordul el, de van néhány jellemz tulajdonság ami minden sejtre jellemz. A természetben minden él sejtet az úgynevezett sejthártya határolja (lásd a 1. és 2.3. ábrákat). A sejten belül különböz alkotórészek helyezkednek el, amiket ugyancsak speciális hártya vesz körül. Például a növényi sejteken belül jellemz en megtalálható a sejtmag, azon belül a magvacska; a Golgi-komplex, a színtest, a mitokondrium, lizoszóma stb. A membránok egyes molekulák számára nem áthatolhatóak, pl. egyes sejtalkotók nem hagyhatják el a sejtet; vagy egyes mérgez anyagokat a hártya nem enged be a sejtbe. Bizonyos molekulák számára viszont (egy vagy mindkét irányban) átjárható 59

60 60 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK 1.1. ábra. A sejt membránjának szerkezete

61 IV. A BIOLÓGIAI MEMBRÁNOK ábra. A membránalkotó Foszfolipid molekula szerkezete

62 62 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK a membrán, pl. tápanyagot fel tud venni a sejt, a keletkezett felesleges illetve káros anyagok pedig távozhatnak bel le. Azt a tényt, hogy egyes molekulák áthatolhatnak membránok hártyáin fogjuk a membrán-régiók közti kommunikációra használni a modellünkben. Itt emeljük ki, hogy a modellel most nem az el sejt m ködésének (vagy annak egyes folyamatainak) a vizsgálata illetve modellezése a cél, hanem egy a sejtben meggyelhet folymatok által inspirált számítási modell, elvi számítástechnikai eszköz leírása. 2. Formális membrán-modell Ami a biológiai membránokból fontos nekünk, hogy régiókat választanak el egymástól, illetve környezetükt l; valamint néhány speciális molekula áthaladásának engedélyezésével megengedik a "kommunikácót" a régiók közt. A továbbiakban a szaknyelvet átvéve magukat a régiókat fogjuk membránnak nevezni, és nem az ket határoló hártyákat. Fontos, hogy minden membránnak (a legküls t, ami magának a sejtnek felel meg kivéve) pontosan egy szül membránja van. A membránok egy fa-struktúrát alkotnak. A struktúra gyökere maga a sejt, ez néhány fontos tulajdonságban különbözni fog a többi membrántól a modellben. Azt a membránt, amiben nincs további membrán, elemi (elementary) membránnak nevezzük. Értelmezhetjük a membránrendszer mélységét az alapján, hogy mekkora a rendszert leíró fa magassága. Továbbmenve a számítási eszköz felépítésében, a következ lépés az hogy objektumokat adunk a struktúrához. Minden egyes membrán objektumok multihalmazát és evolúciós szabályok halmazát tartalmazza. Biológiai értelemben ez jelenthet különféle molekulákat, esetleg mérgez anyagokat vagy éppen tápanyagot, illetve magát a cselekvést, amivel a membrán az anyagot feldolgozza: megemészti, kiválasztja, stb. Modellünkben az objektumokat egy adott ábécé szimbólumaival jelöljük. A membránok az objektumokkal, mint üzenetekkel tulajdonképpen egy kommunikációs rendszert alkotnak, mivel ezek az objektumok mozoghatnak a sejten belül (pl. a hártyák proteincsatornáin át). A membránrendszert ábrázolhatjuk Euler-Venn-diagrammal (mint a 2.3 ábrán), fával, vagy egymásba ágyazott zárójelek sorozatával is. Formálisan: Π = (V, T, C, µ, w 1,...w n, (R 1, ρ 1 ),..., (R n, ρ n ), i 0 ) egy membrán-számítógép, ahol V egy véges ábécé, a számítás során fellép szimbólumok (objektumok) halmaza; T V a kimeneti jelek halmaza; C V \ T a katalizátorok halmaza; µ a membránstruktúra n membránnal (a membránok számozva 1-t l n-ig), ezt a fastruktúrát pl. egymást tartalmazó zárójelpárokkal adhatjuk meg;

63 IV. FORMÁLIS MEMBRÁN-MODELL ábra. A sejt, mint membrán-számítási modell n a Π foka (ennyi membránt tartalmaz); w i a számítás kezdetén az i. membránban lev objektumok multihalmazát írja le (általában ezt egy V szóval tesszük, pl. azzal amiben valamilyen ábécésorrendben vannak a szimbólumok); R i pedig az i. membrán evolúciós szabályainak véges halmaza, ρ i, a prioritási reláció egy féligrendezés a membrán szabályai közt. Az evolúciós szabályok u v alakúak értelmezésük a formális nyelvekben megszokott szabályokéhoz hasonló: ha az adott membránban rendelkezésre állnak az u-t alkotó szimbólumok, akkor a szabállyal történ evolúció során ezeket az objektunokat a v objektumaival helyettesítjük. (Az u objektumainak kölcsönhatásából a v objektumai keletkeztek.) Az evolúciós lépésre és a szabályokra kés bb még visszatérünk.

64 64 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK végül, i 0 egy 0 és n közé es természetes szám, ami az ún. kimeneti membrán sorszáma. Az i 0 = 0 esetben a környezetbe (a legküls mwmbránon kívülre) távozó objektumok multihalmazát tekintjük a számítás kimenetének. (valójában a T és a C megadását a szabályok, illetve a kimeneti membrán maga helyettesíti, deniálja) Természetesen bármelyik id pillanatban bármelyik membránra teljesülhet az, hogy az üres halmazt alkotják a benne lev szimbólumok, vagyis üres az adott membrán. Hasonlóan az is el fordulhat, hogy egy membránhoz nulla darab szabály tartozik (pl. ez a kimeneti membránnal gyakran el fordul). A membránrendszereket gyakran grakusan is ábrázolni szokták. Ekkor az egymást tartalmazó membránok különböz egymást tartalmazó régiókat jelentenek (lásd 2.3. ábra), minden régióba beleírjuk az adott membrán evolúciós szabályit (a prioritási sorrendeket pl. nyilakkal tudjuk a szabályok közt jelezni), valamint az aktuálisan ottlev objektumokat (pl. egy olyan w szóval, ami minden objektumból pontosan a megfelel mennyiségben tartalmaz. A természetben lejátszódó folyamatok alapján továbbfejleszthetjük a számítási modellt úgynevezett aktív membránok bevezetésével. Például bevezethetünk egy olyan speciális m veletet ami egy membrán megsz nésének, kilyukadásának felel meg, ekkor a tartalma egy szinttel feljebb kerül a membránstrukturában. Egy membrán tehát tartalmazhatja többször ugyanazokat az elemeket, így a membránokkal történ számítások tulajdonképpen multihalmazokkal történ számítások. Ezt részletezzük a következ fejezetben. 3. Multihalmazok és számítások: Parikh nyelvek Egy V rendezett ábécé felett adott w szó Parikh vektorát deniáljuk a következ képpen: Φ(w) = ( w ai ), ahol a i V és w az ábécé i. bet jét pontosan w ai -szer tartalmazza. Tulajdonképpen az w szó kommutatív képeinek halmaza jellemezhet ezzel a vektorral, mintha a sztringekben a bet k sorrendje nem számítana: így multihalmaz adatszerkezettel írhatjuk le ket. Éppen ezt jelentik a Parikh-vektorok. Például az {a, b, c} rendezett ábécé feletti ababbcaa szó Parikh-vektora: (4, 3, 1), mivel a szó 4 a, 3 b és 1 c bet t tartalmaz. Tehát egy Parikh-vektor bijektív módon ad meg egy multihalmazt (rendezett ábécé fölött). Adott L nyelv, az L nyelv Parikh-halmazát a következ képpen deniáljuk: Φ(L) = {Φ(w) w L}. Egy nyelv Parikh-halmaza tehát a nyelv szavainak Parikh-vektorait tartalmazó halmaz. Legyen az ábécénk számossága n. Egy nyelvet (Parikh értelemben) lineárisnak nevezünk, ha Parikh halmaza lineáris, vagyis teljesül rá a következ feltétel: van k +1 darab { v v = v 0 + k olyan n-dimenziós vektor (v 0,...v k ), hogy Φ(L) = i=1 Egy L nyelv szemilineáris, ha Parikh halmaza lineáris halmazok véges uniója. α i v i, α i 0( i)}.

65 IV. M VELETEK A MEMBRÁN-RENDSZERBEN 65 Köztudott, hogy minden környezetfüggetlen nyelv szemilineáris. Tehát ha egy nyelv nem-szemilineáris (ilyen pl. a {a n m N : n = m 2 } nyelv) akkor az nem lehet környezetfüggetlen. Mivel a membránok a bennük lev vegyületek multihalmazát tartalmazzák, a membránszámításokat tulajdonképpen multihalmaz-számításoknak is nevezhetjük. Tehát tulajdonképpen így nyelvek helyett azok Parikh-halmazaival dolgozhatunk. Most térjünk vissza a membrán modellhez, és nézzük milyen lépésekb l áll a számítás. 4. M veletek a membrán-rendszerben Membránt nevezhetünk régiónak is. Egy ilyen objektumok multihalmazát és ezekhez tartozó evolúciós szabályokat tartalmaz. Tekintsük most az evolúciós szabályokat Evolúciós szabályok Egy evolúciós szabály (más átíró rendszerekhez hasonlóan) szimbólumokat (a használt ábécé szimbólumait) tartalmazza az alkalmazás el tti és utáni id pontban. Egy u v szabálynál az u szó által leírt multihalmaz számosságát (azaz az u hosszát) a szabály sugarának nevezzük. Ha minden szabály sugara 1 akkor a rendszer nem-kooperatívnak hívjuk. (Ekkor a rendszer a környezetfüggetlen nyelvtanokkal tekinthet analógnak, e tekintetben.) Ha van olyan szabály a rendszerben aminek a sugara legalább kett, akkor a rendszer kooperatív. Például a ca cb inj d out e szabály jelentése a következ. Ha az adott membránban rendelkezésre áll egy c és egy a szimbólum (molekula) akkor lehetséges az, hogy ezek kölcsönhatása nyomán az a elt nik, a c megmarad, továbbá egy b szimbólum bemegy a j. membránba (általában elvárjuk, hogy a j. membrán ilyen esetekben éppen az aktuális membrán egy gyermeke legyen a fastruktúrát tekintve), egy d szimbólum kimegy az adott membránból (eggyel feljebb a membránhierarchiában), és egy e szimbólum is keletkezik, ami az aktuális membránban marad. Egy szabályban esetlegesen el forduló olyan szimbólumokat, amelyeknek száma nem változik meg egyetlen szabály alkalmazása következtében sem katalizátoroknak nevezzük. A fenti példában ilyen a c, maga nem változik meg, de szükség van rá a szabály végrehajtásához. (A generatív nyelvtanok szabályaihoz hasonlítva az evolúciós szabályokat, a katalizátoros (katalitikus) szabályok valamiképpen a környezetfügg szabályoknak feleltethet ek meg.) A membrán struktúra egy számítási állapotát írja le a konguráció, vagyis a membránoknak megfelel multihalmazok. Egyik kongurációból a másikba úgy megyünk át, hogy a szabályokat nemdeterminisztikus módon, maximálisan párhuzamos módon alkalmazzuk. A maximálisan párhuzamos mód azt jelenti, hogy egyik membránban sem maradhat ki a szabályok alkalmazásából olyan objektumok multihalmaza, amely tartalmaz

66 66 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK valamely ott lev szabályhoz minden szükséges szimbólumot (a megfelel példányszámban). Például legyen egy membrán tartalma a 5 b 2. (Így adjuk meg azt a multihalmazt, ami 5 darab a és 2 darab b szimbólumot tartalmaz.) Továbbá legyenek a membránhoz tartozó evolúciós szabályok a következ k: 1. a ab 2. ab a 3. Ekkor a nemdeterminisztikus maximálisan párhuzamos m ködés a következ eseteket jelentheti: lejátszódhat 5-ször egyszerre az els szabály (ekkor az alkalmazás után a 5 b 7 lesz a membrán tartalma); vagy 4-szer az els és egyszer a második szabály (ekkor a 7 b 5 multihalmazt kapjuk); illetve 3-szor az els és 2-szer a második szabály (a a 9 b 3 -t eredményezve). Minden membrán szabályai között prioritási reláció van értelmezve (ez lehet üres is, ami azt jelenti, hogy a régió minden szabálya azonos prioritású). Ez azt jelenti, hogy egy alacsonyabb prioritású szabály nem hajtható végre amíg egy nála magasabb prioritású szabály bal oldalához minden szimbólum rendelkezésre áll. Tehát ahoz, hogy egy alacsonyabb prioritású szabály (is) végrehajtódjon egy lépésben az szükséges, hogy ne legyen olyan nála nagyobb prioritású szabály ami egyel több példányban is végrehajtódhatna a lépés során. Ha például az el bbi példában az (ab a 3 ) > (a ab) reláció áll fenn, akkor az a 5 b 2 állapotból a a 9 b 3 állapot jöhet csak létre. Világos hogy egy membránból kiküldött szimbólum közvetlenül a szül -membránban fog megjelenni. Ezalól viszont kivétel maga a sejt, vagyis a legküls membrán, aminek nincs szül je. Az innen kiküldött szimbólumok a környezetbe megy. A környezetben (elméletileg) végtelen számú el fordulás van minden típusú objektumból, amikre akkor lehet szükség, ha van olyan szabály a legküls membránban ami innen "beszív" szimbólumokat. Egy konguráció "meghalt" (a rendszer, illetve a számítás megállt, a számítás befejez dött), ha nincs olyan régió, ahol szabályt lehetne alkalmazni. Nagyon fontos a számítás eredményének meghatározása (a befejezett számítások esetén) A számítás eredménye A számítás eredményét többféleképpen is deniálhatjuk, céljainktól függ en. A számításnak pl. a Turing-gépek számításaihoz hasonlóan akkor van eredménye, ha a számítás megállt. Ekkor, az els módszer. Van egy kimeneti membrán, amely a membránstruktúrában tetsz legesen elhelyezett, kitüntetett membrán. Ezesetben az eredmény a kimeneti membránban keletkezik a számítás során, a számítás végén a membrán tartalma az eredmény (melyik szimbólumból mennyi van itt.) Más számításoknál eredménynek tekinthetjük a környezetet is, oly módon, hogy tekintjük azon objektumok multihalmazát, melyek elhagyták a küls membránt. Ily

67 IV. AKTÍV MEMBRÁNOK 67 módon akár a kimeneteket stringekként is deniálhatjuk, a végeredményt (és csak azt) tekintve visszatérve a hagyományos számításokra (bár a számítás bels lépései multihalmaz számítási lépések). Legyen L 0 = {λ}. Legyen a számítás i. lépésében a környezetbe kilép szimbólumok multihalmazának Parikh-vektora v. Ekkor L i = L i 1 {w Φ(w) = v}. Ha a számítás a j. lépésben véget ér, akkor L j jelenti a futás által generált nyelvet. Tehát ha az egy lépésben a környezetbe kimen szimbólumok összes lehetséges permutációját konkatenáljuk az addigi kimeneti nyelvhez, akkor az aktuális kimemeti nyelvet kapjuk, ami a számítás végén az adott számítás kimemeti (sztring)nyelvét adja. Tekintve a nemdeterminisztikus m ködést, az összes lehetséges befejez d számítási folyamat által generált nyelv unióját tekinthetjük az adott membrán-rendszer által generált nyelvnek. Az evolúciós szabályok nemdeterminisztikusságának valamilyen szint irányítását adhatjuk meg a számításokban következ módokon: Katalizátorok segítségével. Prioritási relációval a szabályok közt az adott membránon belül. Aktív membránok által, amit majd a következ fejezetben részletezünk. Most nézzünk egy példát a membránrendszer m ködésére (4.4. ábra). A rendszer kezd állapotában tehát egy-egy a ás b objektum található az 1. régióban, a 2. régió (ez a kimeneti membrán) üres. Az evolúciós szabályok közti prioritási reláció üres. A rednszert nyelvgenerálásra fogjuk használni. A végállapotot (megállt számítás) kivéve a rendszer minden állapotára igaz, hogy a küls régióban pontosan egy a és egy b objektum van. Ha ezekb l bármelyik abban az evolúciós szabályban vesz részt, ami a 2. régióba küld be szimbólumokat, akkor a maximális párhuzamosság miatt a másik szimbólum is a hasonló jelleg szabály szerint kell hogy fejl djön. Ezekben a párhuzamos lépésekben két-két a és három-három b jut be a 2. membránba. A 2. régióban nincs felhasználható szabály, ezért ami oda bekerült változatlanul ott marad a számítás befejezéséig. A számítási folyamat addig tart, amíg az els régióban a kooperatív szabály végre nem hajtódik kiküldve az itt lev a és b szimbólumokat a környezetbe. A számítás leáll ezzel a lépéssel. A rendszer által generált multihalmaznyelv Parikh halmaz formában írva: {(2n, 3n) n N}. Ez a nyelv (Parikh-értelemben) lineáris, vagyis a halmaz elemei (mint kétdimenziós vektorok) egy lineáris halmazt alkotnak. 5. Aktív membránok Egy aktív membránnal a következ dolgok is megtörténhetnek (a bennük lev szimbólumok multihalmazának evolúciós szabályokkal történ változtatásain kívül) megsz nik, keletkezik, kettéválik (osztódik).

68 68 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK 4.4. ábra. Példa kooperatív membránrendszerre Ezek a m veletek azt jelentik, hogy a számítás során maga a membránstruktúra is változik. (Attól függ en, hogy milyen a struktúrát változtató m veleteket engedünk meg mi állíthatjuk be a számítási modell 'erejét'. Általában a membrán megsz nését sokkal több modellben meg szoktuk engedni, mint pl. az új membránok létrehozását.) Például a ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) alakban felírt struktúrából a 2. és 7. membrán megsz nésével, illetve a 8. membrán osztódásával a ( ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) a 8a 8b 8b 1 membránstruktúra keletkezik. Tehát az aktív membrán pl. osztódni tud. Nézzük a modellt formálisan: A membrán-számítógép: Π = (V, H, µ, w 1,..., w m, R), ahol m 1 a membránok iniciális száma. A V halmaz a szimbólumok halmaza: a rendszer ábécéje. Mindegyik membrán neve a H halmaznak, a membráncímkék véges halmazának egy eleme. µ a kezdeti membránstruktúra, m címkézett membránt tartalmaz.

69 IV. AKTÍV MEMBRÁNOK 69 Az w i multihalmazok az eredeti m darab membrán tartalmát adja meg a számítás kezdetén. (w i V ) Eredetileg minden membrán semleges töltés. Az R a rendszer szabályainak véges halmaza. Az R elemei a következ típusúak lehetnek: 1. [ h a v] α h (Objektum evolúciós szabálya, a töltés is megváltozhat.) h H a membrán neve amire ez a szabály érvényes, a V szimbólum, aminek az adott szabály evolúciós szabálya, v V szó, ami szimbólumokból áll, végül α {+,, 0} töltés. 2. a[ h ] α h [ hb] β h (Egy objektumot beviszünk a h membránba.) a, b V szimbólumok, h a membrán neve, α, β {+,, 0} töltések. 3. [ h a] α h [ h] β h a, b V szimbólumok, h a membrán neve, α, β {+,, 0} töltések. 4. [ h a] α h a, b V szimbólumok, h a membrán neve, b (Egy objektumot kiküldünk a h membránból.) b (A h membrán megsz ntetése.) α, β {+,, 0} töltések. 5. [ h a] α 1 h [ hb] α 2 h [ hc] α 3 h (Elemi membrán osztódása.) a, b, c V szimbólumok, h H egy elemi membrán címkéje, α 1, α 2, α 3 {+,, 0} töltések. Ezen szabály használatakor, az egy helyett két azonos címkéj membránt kapunk; az egyik membránban az a a b szimbólummal, a másikban c szimbólummal lesz helyettesítve, az összes többi szimbólum ami az adott membránban volt duplázódik, és mindkét membránban benne lesz egy-egy példányban. Az objektumok reakciója során a membrán címkéje nem változik, de az lehetséges, hogy a töltése megváltozik. Itt is nemdeterminisztikus módon (amennyiben több szabály is alkalmazható lenne egyszerre) maximálisan párhuzamosan történik a szabályok alkalmazása: minden id pillanatban amelyik objektum tud evolúcióban részt venni, annak kell is. Viszont minden egyes membrán és minden egyes szimbólum (példány) egyid ben csak egy szabályban vehet részt, természetesen az 1. típusú szabályokban csak az objektumokat számoljuk (ezek nem változtatnak semmit a membránon, a töltését sem). A párhhuzamos m ködésben minden membrán is csak egy szabályban (2.-5. típusúak) vehet részt egyszerre egyébként. Tehát ha pl. egy 2. típusú szabályt alkalmazunk egy i membránon, akkor ezt a membránt ebben a lépésben már használjuk, sem másik 2. sem egyéb típusú szabály nem használható a membránra. Amikor egy membrán megsz nik, akkor a tartalma a környez membrán tartalma lesz.

70 70 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK Csak elemi membránok tudnak osztódni. legküls se osztódni, se törl dni nem tud, de elektromosan az is tölthet. A 3. típusú szabálynál objektumok hagyhatják el a rendszert. Általánosítása a rendszernek, ha nem csak elemi membránoknak engedjük meg az osztódást. Ilyenkor a bels membránok is osztódnak, vagyis mindkét új membránban megjelennek teljes tartalommal. Ezt formálisan így írhatjuk (a fenti jelölést megtartva): 5'. [ h a] α 1 h [h b] α 2 h [h c] α 3 ahol h tetsz leges (nem feltétlenül elemi) membrán címkéje. Exponenciális teret nem csak membránok osztódásával, hanem membránok létrehozásával is kaphatunk. Formálisan: 6. a [ i b] i Létrehoz egy új i címkéj membránt benne a b objektummal. h, Az eredeti modell egy másféle kiterjesztése, amikor a membránok falának vastagsága (értsd: átereszt képessége) változhat, illetve speciálisan a membrán így is megsz nhet (kb. túl vékonnyá vált és kiszakadt). A membrán falának vastagságágát speciális δ, σ / V szimbólumok segítségével szabályozhatjuk. Ezek a speciális szimbólumok szabályok jobboldalán fordulhatnak el, és nem jelennek meg objektumként a membránban, e helyett hatásuk azonnal megjelenik a membrán tulajdonságában. Alapállapotban a membrán normálisan (átereszt üzemmódban m ködik). Ha δ objektum keletkezik valamely szabály alkalmazása során, akkor a membrán megsz nik. Ha egy membrán megsz nik, akkor a benne lév szabályok is megsz nnek, a benne lev szimbólumok pedig a membrán (fastruktúrabeli) szül membránjába kerülnek. Ha a normál állapotú membránban a másik speciális szimbólum (σ) keletkezik, akkor a membrán fala megvastagszik, se ki se be nem juthat objektum amíg ez a vastag, nem átereszt állapot fennáll. A nemátereszt állapot csak a δ speciális szimbólum hatására tud visszaállni az eredeti állapotra (lásd a 5.5. ábrát). Egy membrán megsz nésekor a szabályai megsz nnek, az aktuális tartalma (a benne lev objektumok multihalmaza) pedig a membránstruktúrában lev szül membránjába kerül. Egy membrán megsz ntetése egy benne lev v wδ alakú szabály végrehajtását jelenti. (Ezt úgy lehet legegyszer bben modellezni, hogy a rendszerben minden membrán ellen rzi minden lépés után, hogy nem keletkezett e benne δ szimbólum. Ha keletkezett, akkor ez 'kilyukasztja' a membránt, és minden V ábécébeli szimbóluma 'kiszabadul'. Most nézzünk néhány példát olyan renszerekre, ahol membránok sz nhetnek meg (a δ speciális szimbólum hatására). A 5.6. ábrán egy olyan számításból látszik példa, ahol a 3. membrán megsz nik. A 5.7. és 5.8. ábrákon egy nyelv-generáló membránrendszer kiindulási kongurációja (a szabályokkal, és a köztük lev prioritási relációval), illetve egy példaszámítás látható. A 3. régióban az a ab és f ff szabályokat iterálhatjuk (hajthatjuk végre párhuzamosan az a és az f minden el fordulására) tetsz legesen sokszor (i-szer, ahol i N).

71 IV. AKTÍV MEMBRÁNOK ábra. A membránfal vastagsága (átjárhatósága, megléte) speciális szimbólummal szabályozható Mivel más membránban nincs objektum kezdetben, a számítás csak a 3. membránban folyik egészen addig amíg az (i + 1). lépésben a ab szabály helyett az a bδ végre nem hajtódik (e lépésben is hajtódik/nak végre f ff szabályok is). Ekkor, mivel az (i). lépés után ab i f -vel leírható multihalmaz volt a 3. régióban az 2i (i+1). lépésben a harmadik régió megsz nik és a tartalma (az objektumok a szabályok nélkül) a 2. membránba kerül b i+1 f lesz így a második membrán tartalma a lépés 2i+1 után. Most a 2. membrán szabályai szerint folyik a számítás: A szabályok közti prioritási reláció miatt, amíg az f-ek száma osztható kett vel a membrán nem sz nik meg, hanem el bb d i+1 f 2i lesz a tartalma (b d és ff f szabályok), majd d i+1 e i+1 f 2 (i 1) (d de és ff f szabályok alkalmazása minden d és f-re) stb... Itt minden lépésben felelz dik az f-ek száma, a d-k száma nem változik, az e-k száma pedig minden lépésben (i + 1)-gyel n. Ez a lépés i-szer fog lejátszódni. A harmadik membrán megsz nése utáni (i+1). lépés után d i+1 e i(i+1) f lesz a membrán tartalma. Ekkor az ff f szabály nem hajtható végre többször, de az f δ szabály igen: a kettes membrán megsz nik, és az egyesbe kerül a d i+1 e -vel leírható multihalmaz. (i+1)2 Az els régió szabályai szerint: a következ lépésben az összes e a környezetebe megy. Így e (i+1) 2 tulajdonképpen megfelel az (i + 1) 2 számnak. A számítás leáll, nincs végrehajtható szabály. Az eredményt a környezetbe távozó objektumokkal értelmezve a generálható halmaz: {e, eeee, e 9, e 16, e 25,...}, vagyis éppen a négyzetszám hosszú csak e-kb l álló szavak. Ez a rendszer tehát legyártja a négyzetszámokat, a négyzetszámok nyelve (egybet s ábécével) nem környezetfüggetlen (a nyelv nem szemilineáris), vagyis 1-es típusú.

72 72 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK 5.6. ábra. Részlet egy membránrendszer számításából

73 IV. A KISZÁMÍTHATÓSÁG FOGALMA MEMBRÁN-RENDSZEREKBEN ábra. Kiinduló állapot 6. A kiszámíthatóság fogalma membrán-rendszerekben Mint láttuk az el z példán tudunk generálni olyan halmazokat, melyek veremautómatával nem felismerhet k. Lássuk mire is képesek számítási szempontból a membránrendszerek.

74 74 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK 5.8. ábra. Egy példaszámítás Vesszük az összes rekurzíve felsorolható nyelvet: RF. Ezen nyelvek Parikh halmazainak halmaza Φ(RF). Mint ahogy már említettük egy membránrendszerbeli számítás a következ : adott kezdeti kongurációból indul. egy kongurációból egy másik konguráció 'közvetlenül elérhet ', ha egy lépésben nemdeterminisztikusan maximálisan paralell módon hasznááljuk a szabályokat. (Átmenet két konguráció között: az összes régióra végrehajtjuk a rájuk vonatkozó szabályokat nemdeterminisztikus maximálisan párhuzamosan.) a közvetlen elérhet ség szokásos tranzitív és reexív lezártjával deniálhatjuk az 'elérhet ség' fogalmát. A kezd állapotból induló, kongurácók közti átmenetek sorozata az adott rendszer egy számítása. El fordulhatnak olyan kongurációk, melyeket a rendszer adott evolúciójában nem lehet elérni. Egy számítás eredményes, ha megáll, vagyis

75 IV. A KISZÁMÍTHATÓSÁG FOGALMA MEMBRÁN-RENDSZEREKBEN 75 nincs további alkazható szabály. A hagyományos membrán-számításokban a párhuzamosság és a nemdeterminizmus szabályozására rendelkezésre állhatnak különböz dolgok, pl. a katalizátorok, a szabályok közti prioritás, kontroll a membrán vastagságának változtatásával, valamint címezhet ek az objektumok (kommunikációt irányítjuk, azzal hogy megmondjuk melyik membránba menjen be az objektum). Néha a számítási folyamat 'nyomon követés'ével deniálunk outputot. Például, azt gyeljük, hogy egy adott egyedi molekula (pl. katalizátor, amib l végig pontosan egy van a számítás során) melyik membránban van az egymást követ kongurációkban. Ekkor minden (befejez d ) számítás egy-egy szót jelent a membánok címkéi, mint ábécé felett. Membrán rendszereket használhatjuk nyelvgenerálásra: minden egyes futás általában egy szót (vagy azonos Parikh-vektorú szavak halmazát) ad. Membránrendszerekkel id ben hatékonyan oldhatunk meg nehéz problémákat. A következ alfejezetben a Hamilton-út probléma egy hatékony megoldását mutatjuk be. Az aktív membránok segítségével ahogy megyünk az id ben (lineárisan), (exponenciális) teret csinálhatunk számításainknak. Ez adja e rendszerek erejét (gyorsaságát). Aktív membránokkal a Hamilton út probléma négyzetes id ben oldható meg, a SAT probléma pedig lineáris id ben (az 1., 2.,3.,4. és 5'. típusú szabályok alkalmazásával) A Hamilton-kör feladat megoldása Legyen adott egy gráf, csúcsai: N és élei: E. Legyen a csúcsok száma n: N = {a 1,..., a n }. A feladat az, hogy döntsük el van-e a gráfban Hamilton-út az a 1 -t l az a n - ig. Induljunk ki a következ membránstruktúrából: µ = [ 0 [ 1 ] 1 ] 0, tehát két membrán, az 1-es a 0-on (a küls membrénen) belül. Ezen kívül legyen az (a 1, 1) objektum az 1- ben. Használjuk a következ ábécét: V = {(a i, j), (a i, j) 1 i, j n} {M N M 0}, vagyis az objektumaink párok, illetve a csúcsok nemüres részhalmazai lesznek. Szabályaink a következ ek: R 0 = {N yes out } R i = {(a i, j) (a k 1, j + 1)... (a k si, j + 1) (a i, a kr ) E, minden1 r s i, s i 1 és 1 j n 1} {(a k, j) [ k(a k, j)] k 1 k, j n 1} {(a n, n) {a n }} {M (M {a i }) out M N}, minden i = 1, 2,..., n 1 Az ötlet ami a konstrukció mögött van: Az (a i, j) objektum jelenti azt, hogy az a 1 -b l eljutunk a a i csúcsig úgy, hogy j csúcson mentünk keresztül. Ahány helyre mehetünk az a i csúcsból tovább, annyi ilyen (a k, j +1) típusú objektum lesz bevezetve. Minden ilyen (a k, j +1) objektum létrehoz egy k címkéj membránt. A lehetséges utak tehát a membrán struktúrába lesznek bekódolva. Ha van n hosszúságú utunk, akkor az a membrán struktúrában n mélységben van. Követve a számítást, amennyiben van a 1 -b l a n -be vezet Hamilton-út, akkor 3n 2 lépés után 'IGEN' választ kapunk. Itt jegyezzük meg, hogy a felhasznált ábécé számossága a probléma méretével exponenciálisan n. Ha Turing géppel, vagy generatív grammatikával oldjuk meg, akkor az ábécé véges, rögzített. Ezzel szemben a membrán-számítások során általában indexelt bet ket használva az ábécé mérete függhet a konkrétan megoldandó feladat méretét l.

76 76 IV. MEMBRÁN SZÁMÍTÁSOK Membrán rendszereknél az objektumok száma, s t a membránok száma is exponenciálisan n het az id ben. Tulajdonképpen ez ad esélyt ezeknek a rendszereknek arra, hogy kis id bonyolultsággal oldjanak meg bonyolult (NP-teljes, P-space) problémákat is. Lehet csinálni determinisztikus membrán rendszereket is, mint ahogy az el z példán láttuk. Ezek a membrán rendszerek szimulálhatóak determinisztikus T-géppel, polinomiális lassulással. Exponenciális problémák determinisztikus membrán rendszerel nem oldhatóak meg polinomiális id ben. Akkor tudunk könnyek pl. NP-teljes (vagy EXP) problémákat polinomiális id ben megoldani, ha tudunk új membránokat létrehozni. A következ részben a formális nyelvek elméletéb l az ún. mátrix nyelvtanokkal ismerkedünk meg, amik nagyon hasznosak egyes membránrendszerek számítási univerzalitásának bizonyításához Mátrix nyelvtanok Ebben a fejezetben megint a formális nyelvek elméletéhez fordulunk segítségért. A Mátrix nyelvtanok olyan környezetfüggetlen szabályokat tartalmazó rendszerek, amelyekben a szabályok alkalmazásának sorrendje nem tetsz leges, így akár a 0.-típusú nyelvtanok generáló ereje is elérhet velük ábra. Példa mátrix-nyelvtanra Tulajdonképpen egy 2.-es típusú (környezetfüggetlen) nyelvtanunk van, de a szabályok táblázatokban (mátrix) helyezkednek el. Kiindulunk az S mondatszimbólumból. Minden levezetési lépésben szabály helyett most választani kell egy táblát és annak szabályait a sorrendjükben, mindet pontosan 1-szer kell alkalmazni. A 6.9. ábrán látható rendszer generálja az úgynevezett 'copy' nyelvet: {ww w {a, b} }, amely közismerten nem környezetfüggetlen. Ha a szabály mellett van a jel, akkor az adott szabály kihagyható, ha nem alkalmazható. Az ilyen rendszerrel minden RF nyelv generálható. Jellemz je ezeknek a rendszereknek: a csapdaszimbólum, amit jelenlét ellen rzésre használhatunk. Például a { A F, B BB} mátrixot alkalmazva olyan mondatformára, amiben A található bevezeti az F nemterminálist. Ha sehol nincs olyan

77 IV. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS A LEGÚJABB KUTATÁSI IRÁNYOK 77 szabály, aminek a baloldalán az F van, akkor ez a levezetés nem tud terminálni. Ha viszont az A nincs benne a mondatformában, akkor egyszer en egy benne lev B lesz megkett zve a mátrix alkalmazásával. A membrán rendszerek univerzalitásának bizonyításait ilyen rendszerekre vezetik vissza. Végül néhány univerzalitási eredmény. A maximum két membránt tartalmazó katalizátort tartalmazó (aktív membránt nem tartalmazó) membránrendszerekkel minden RF nyelv Parikh-halmaza kiszámítható. Ugyancsak minden kiszámítható számhalmazt megkaphatunk kooperatív szabály(oka)t tartalmazó legfeljebb két membránt tartalmazó rendszerekkel. Minden RF nyelv Parikh-halmaza kiszámítható legfeljebb 4 membránnal az 1., 2. és 3. típusú szabályok segítségével is. (Ezekben a rendszerekben aktív membránokat és töltéseket használunk, de minden szabály sugara 1.) 7. Összefoglalás és a legújabb kutatási irányok A membrán-rendszereknek, mint absztrakt számítási modelleknek a biológiai motivációja a sejt, mint membrán-rendszer. Ez alapján egy absztrakt számítási modell került kidolgozásra, f leg Gheorghe Paun vezetésével, amely alapja a membránhierarchia. Többféle modellt vizsgáltunk meg: az alapmodell, amely tartalmazhat katalizátorokat, prioritási relációt az ún. evolúciós szabályok között stb. A számításban szimbólum objektumok vesznek részt, amelyek a membránok közti kommunikációban is részt vesznek. Az aktív membránok osztódni, megsz nni képesek, ezzel hatékonyabbá téve a rendszert. A rendszer m ködése a magasszint párhuzamosságra épül, a számítás akkor áll meg, ha nincs végrehajtható evolúciós szabály. A membrán rendszerek multihalmazokkal dolgoznak, minden membrán az objektumok multihalmazát tartalmazza minden lépésben. Matematikailag tehát Parikh-halmazokról, multihalmaz-nyelvekr l van szó. A membránrendszerekkel Parikh-értelemben minden rekurzívan felsorolható halmaz generálható. Példát láttunk nem környezetfüggetlen nyelv generálására, illetve a Hamilton-út probléma hatékony megoldására is. A matematikai formalizmust tekintve a membrán-számítógépek, ugyanúgy mint a DNS-sel történ számítások a formális nyelvek átírási szabályaival rokonok. A szakterületnek van külön honlapja, amit a Milánói Egyetem üzemeltet, innen szinte bármilyen a témával kapcsolatos anyag letölthet ([45]). A bemutatott modelleken kívül rengeteg egyéb modell ismert, pl. elektromos töltések bevezetésén túl, olyan kommunikációs szabályok használata, amelyek megkövetelik, hogy egy adott szimbólum membránfalon történ átjutásával egyid ben ugyanazon a membránfalon más objektum is áthaladjon (akár ellenkez irányban). Rengeteg olyan modell van amely a DNS-számítások valamelyikét (pl. szeletelés) ötvözi a membrán-rendszerekkel. Az aktuális kutatási irány (2005 nyara) az id nélküli, a maximális helyett minimális párhuzamosságot megkövetel rendszereket, valamint azokat a rendszereket is magába foglalja, amelyekben a membránokon, mint hártyákon történnek különböz reakciók.

78

79 V. fejezet Kvantum Számítások A kvantummechanika a XX. század egyik legnagyobb tudományos áttörése. Rengeteg a klasszikus zika által nem leírható jelenséget sikerült általa megmagyarázni. Ezek többsége megtalálható napjaink háztartási eszközeiben is. Ahhoz, viszont hogy olyan hatékony kvantumszámítógépet építsenek, amely a gyakorlatban old meg, más eszközzel nem megoldható feladato(ka)t a XXI. század feladata. 1. A kvantum-mechanika "különös" jelenségei A XX. század elejére a klasszikusnak nevezett zikai elméletek készen voltak és nagyjából megadták a természeti jelenségek leírását. Csak néhány apróbbnak hitt jelenség lógott ki. A zikusok azt várták, hogy néhány év alatt megválaszolják ezeket az apró kérdéseket, és meglesz a teljes zikai világ zikai leírása. Ezzel szemben ezt a pár apróbbnak hitt jelenséget tanulmányozva egy sor meghökkent dologra került fény, kiderült, hogy a jelenségek egy hatalmas csoportja nem magyarázható meg a klasszikus elmélet keretein belül. Ebben a fejezetben néhány alapvet nemklasszikus zikai törvényr l és jelenségr l fogunk szólni. A világban el forduló véletlen eseményeket két részre bonthatjuk aszerint, hogy valódi véletleneseményr l, vagy nem valódi véletlen eseményr l van szó. Utóbbi esetben nem ismerjük (nincs elég információnk), vagy nagyon bonyolult lenne el re pontosan mgjósolni a jelenséget. Ilyen pl. a dobókocka vagy a pénzérme dobása, s t a lottóhúzás is. Ezzel a szemben a kvantummechanikai jelenségek, mint pl. a rádioaktív bomlás vagy a kvantumoptikai jelenségek valódi véletlenesemények, vagyis elméletileg sem jósolható el re meg a kimenetelük, csak valószín ségeket ismerhetünk. Most egy optikai kísérletet fogunk bemutatni. Vegyünk egy polarizált fényforrást. (Köztudott, hogy a fény transzverzális hullám, vagyis a rezgés ami terjed mer leges a terjedés irányára. Ez azt jelenti, hogy a rezgés a fény sebességére mer leges síkban játszódik le. Polarizált fény esetén ez a rezgés egydimenziós.) Ha a polarizált fényt kalcit kristályon engedjük át az két fénysugárra törik: az egyik egyenesen megy át a kristályon, a másik eltolódással. A kristályt elhagyva a két fénysugár párhuzamos, és polarizáltságuk egymásra mer leges. (Mintha az eredeti polarizáció vektort mer leges vektorok összegére bontanánk.) Ha a szétbontott fény útjába egy másik kalcit kristályt helyezünk, az újra egyesíti ket (1.1. ábra, a polarizáltsági irányok fekete nyilakkal berajzolva). A második kristályból kilép fény pont olyan mint az eredeti. 79

80 80 V. KVANTUM SZÁMíTÁSOK 1.1. ábra. A polarizált fényt az els kalcit kristály ketté bontja, a második egyesíti Ha a kísérletben az alsó vagy a fels fénysugár útját elzárjuk (valamit odateszünk, amin nem tud áthaladni), akkor a második kristály utáni fény pontosan olyan polarizáltságú lesz, mint a megmaradó fénysugár. Végezzük most el ugyanezt a kísérletet egyetlen (polarizált) fotonnal (a fénysugár helyett egyetlen fény-részecskével). Az els kristályon áthaladva 50% esély van, hogy a foton a fels, és ugyanennyi, hogy az alsó ágon fog haladni. (Polarizáltsága is ennek megfelel en változik). Tegyük most be a második kristályt is. Ekkor a foton az eredetivel megegyez polarizációval fogja a második kristályt elhagyni. Azt mondhatnánk(?), volt 50% esély, hogy a fenti, és 50% esély, hogy a lenti úton haladt a foton, vagy ezen, vagy azon haladt. De (!) folyatssuk a kísérletet a következ képpen. Blokkoljuk a fels, majd az alsó utat. Ekkor a foton polarizációja a második kristályból kilépve megegyezik a nem blokkolt úton lev polaritással. Ha viszont a foton csak az egyik úton haladt volna, akkor itt, a második kristály után fele-fele arányban kellene az alsó, illetve a fels útnak megfelel polarizácó értéket mérni. Ezzel szemben, ha mindkét út szabad akkor az eredeti polarizációt mérjük. Tehát a foton nem vagy ezt vagy azt az utat választotta, hanem egyszerre ment mindkett n, a két út szuperpozíciójában haladt, egyszerre volt ott mindkét úton (és a második kristálynál interferált saját magával). Ez egy nemklasszikus jelenség ami a kvantumszuperpozíció nevet viseli. Ha nem mérjük meg a fotont, akkor egyszerre van jelen több állapotban. A kísérletben tehát megjelent a fény részecske-hullám kett ssége, az állapotok szuperozíciója, illetve a mérés problémája is. Nagyon érdekes, és számunkra is fontos az a jelenség, aminek különlegessége a Schrödinger macskája nevet visel paradoxonban fogalmazódik meg. Tehát tegyük fel, hogy egy (fekete) dobozban van egy macska, a dobozhoz csatlakozik egy csap, amin mérgez gáz áramolhat be a dobozba. A csap vezérl je egy

81 V. A KVANTUM-MECHANIKA "KÜLÖNÖS" JELENSÉGEI 81 kvantummechanikai jelenséghez (pl. rádióaktív atom bomlása) van kötve, olyan elreendezésben, hogy 50% esély van arra, hogy a csap kinyílik és mérges gáz lepi el a dobozt, illetve ugyancsak 50% annak az esélye, hogy a acsap zárva marad a kísérlet során. Tegyük fel, hogy a kísérlet lejátszódott. Vajon él-e a macska? Amíg nem nyitjuk ki a dobozt és nem nézzük meg, addig nem tudhatjuk. Viszont, mint az el z kvantummechanikai kísérletben is el fordult, amíg nem végzünk mérést (nem nézzük meg a macskát), addig a rendszer a lehetséges rendszerek szuperpozíciójában van. Ez pedig azt jelenti, hogy a macska félig életben van (50% esély) és félig halott. Ez az állapot mindaddig fennáll amíg ki nem nyitjuk a dobozt. Viszont ebb l az következik, hogy a doboz kinyitásakor (a rendszer beáll saját-állapotba, vagyis) vagy élve marad a macska teljesen, vagy teljesen meghal. Ez viszont csak a doboz kinyitásakor d l el. Ez paradoxon, jó magyarázat nem ismert rá. Valószín arról lehet szó (ez a szerz saját véleménye), hogy nem csak az számít mérésnek, ha egy ember megnézi mi történt, hanem ha bármilyen nem kvantumzikai folyamat függ az adott kvantum jelenségt l. A nemkvantum jelenség méri a kvantum jelenséget, hogy bekövetkezzen-e vagy sem... Ebben a paradoxonban is megjelenik a kvantummechanikában szerepl szuperpozíció, illetve a mérés különleges és fontos szerepe. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy olyan állapot nem létezik, amelyben minden zikai mennyiség egyidej leg pontos értéket vesz fel. Vannak olyan egymással párban álló mennyiségek (ezek a fel nem cserélhet operátorokkal leírható mennyiségek) amiknek értékei minden állapotban elmosódottak, vagyis a két mennyiség egyidej mérésének pontossága elméletileg sem lehet bármekkora. Ilyen mennyiségek például a hely és az impulzus. Formálisan: x p x 2, ahol a egy univerzális zikai állandó, x az egyik helykoordináta, x a helykoordináta mérési bizonytalansága (hibája), p x az x irányú lendület (impulzus, p x = mv x, ahol m a részecske tömege, v x pedig az x irányú sebességkomponense), p x pedig az x irányú impulzus bizonytalansága. Ez azt jelenti, hogy a helykoordináta és az ezirányú sebességkomponens egyidej leg csak bizonytalanul ismerhet (mérhet ), minél pontosabban mérjük az egyiket, annál nagyobb hibával ismerhetjük csak a másik értéket. Heisenberg több gyakorlati példát is mutatott az összefüggés alátámasztására. A határozatlansági relációnak fontos szerepe van az úgynevezett részecske-hullám kett sség megmutatkozásában is. Az ugyanis, hogy egy adott részecske állapota a klasszikus tömegpont, vagy a klasszikus hullám fogalmához áll-e közelebb az attól függ, hogy milyen típusú m sszerrel mérjük: olyannal ami a helyet vagy olyannal ami az impulzust méri pontos(abb)an. Egyszerre a két mennyiség a határozatlansági összefüggés értelmében nem mérhet pontosan. Nézzük tehát, hogyan aknázhatjuk ki a kvantum-mechanika egyes jelenségeit, hogyan foghatjuk számításra a "kvantumokat". A további fontos jellemz i vannak a kvantum-elméletnek: Nem klónozhatunk: ellenben pl. a hagyományos számítástechnikával, ahol a változókat többször felhasználhatjuk értékadásokban (jobb oldalán) anélkül hogy értékük változna, a kvantumelméletben tetsz leges érték nem másolható. Mint láttuk a

82 82 V. KVANTUM SZÁMíTÁSOK "klónozás" a DNS számítógép egyik "fegyvere", ett l hatékony, rövid id alatt akár millió példányban lesz jelen az adott molekula. Ezzel szemben a kvantummechanikában csak ismert (megmért) értékek másolhatók le, ismeretlen érték kvantum állapot (és kvantum-bit, röviden kubit) nem másolható. Ennek nem gyakorlati hanem elméleti okai vannak. A következ kben egy újabb kvantumjelenséget írunk le ami Einstein, Podolsky és Rosen nevéb l az EPR rövidítést kapta. Ennek egy kísérleti megfogalmazása Mermin nevéhez f z dik. A berendezés három semmilyen módon nem összekötött darabból áll. Van két detektor (D1 és D2) és egy részecske forrás (F). A forrás a két detektor közt helyezkedik el, oly módon, hogy gombnyomásra a forrás egy-egy részecskét indít a két detektor felé. Mindkét detektor három állapotú, és rendelkezik egy piros és egy zöld lámpával (1.2. ábra). A lámpák azért vannak, hogy a meggyel információhoz jusson. A detektorokon mindig kigyullad az egyik lámpa, ha részecske érkezik. Mivel semmilyen kapcsolat nincs a berendezések közt, az F-en lev gomb megnyomása, vagyis a részecskék indítása a felvillanásokkal csak az F-b l a D1-be illetve D2-be érkez részecskékkel köt dik össze. Ismételjük a következ lépéseket. 1. Állítsuk a D1 és D3 berendezéseket véletlenszer en valamelyik állapotba, úgy hogy mind a kilenc állapot-párnak azonos valószín sége legyen. 2. nyomjuk meg az F gombját: részecske indul D1 és D2-höz. 3. kicsit kés bb mind D1-nek, mind D2-nek felvillan az egyik lámpája (piros vagy zöld). 4. Vegyük fel a futás eredményét ijxy alakban: D1 az i, D2 a j állapotban volt a D1 az X fényt, D2 az Y -t villantotta fel. Ekkor elég sok futás után azt kapjuk, hogy az i = j esetekben mindkét detektor ugyanazt a színt villantotta fel: a piros-piros és a zöld-zöld azonos valószín séggel villant, a piros-zöld és a zöld-piros kombináció soha nem fordult el. Az i j esetekben pedig ugyanaz a szín az esetek negyedében villant fel (ezen belül egyforma valószín séggel a piros-piros és a zöld-zöld), különböz szinek pedig az esetek 3 4-ében. Mivel a detektorok közt nincs kapcsolat, feltehetjük, hogy a beérkez részecske valamilyen tulajdonsága alapján döntenek arról melyik szín lámpa fog kigyulladni. Mindegy mi ez a tulajdonság, a lényeg az, hogy a részecskébe ez a tulajdonság mintegy be van programozva. Habár D1 és D2 nincs összekötve, tehát nem tudhat a másik állapotáról, csak így lehet összefüggés köztük. Tehát legyenek a részecskék típusai leírhatóak az XY Z alakban. Ez a típus azt jelzi, hogy az els állapotban lev detektor az X színt, a második állapotban lev az Y -t, a harmadik állapotban lev a Z-t gyújtja/aná ki az adott részecskére. Tehát két hipotézissel magyarázhatjuk a jelenséget: legyen 8 féle típusú részecskénk (a színeknek megfelel en), és legyenek azonos típusúak az F-ben egyszerre generált részecskék. A detektorok ugyanazt a színt gyújtják ki, ha ugyanabban az állapotban vannak, mivel a kapott részecskékben ugyanaz a 'program' van. Ehhez az F-nek semmit sem kell tudnia a detektorok állapotáról. A kísérletben nem a két detektor kommunikált egymással, tehát az nem mond ellent a fénysebesség határsebességének. Viszont a mi szempontunkból a fontos az, hogy léteznek olyan részecskepárok, hogy az egyik mérése kihat a másik értékére is.

83 V. A "MEGFORDÍTHATÓ" SZÁMÍTÁSTECHNIKA ábra. Mermin kísérlete A kvantum-számítástechnikában egy "algoritmus", illetve egy "program" általában arról szól, hogy megkonstruálunk valamilyen zikai folyamatot, aminek a végén egyetlen mérés segítségével kell tudnunk eldönteni a választ a kérdésünkre. Bevezetésként nézzünk egy feladványt (nem a kvantum-mechanika világából), ami hasonló gondolkodást kíván, okosan kell elrendezni a dolgokat, hogy egy méréssel megkaphassuk az eredményt. Adott 10 automata, mindegyik érméket gyárt. Adottan, minden érmének 10 gramm súlyúnak kellene lennie. Tudjuk, hogy egy automata meghibásodott, és 0,1 grammal eltér súlyú érméket gyárt (azt nem tudjuk, hogy könnyebbeket vagy nehezebbeket). Döntsük el egyetlen mérés (mérleg) segítségével, hogy melyik automata gyártja a hibás érméket! Megoldás: Tehát egyetlen kísérleti eredményb l kell rekonstruálnunk a helyzetet. Számozzuk meg az automatákat egyt l tízig. Vegyünk mindegyik atomata által készített érmékb l pontosan annyit, amennyi a sorszáma az adott automatának. Tegyük fel az összeszedett érméket a mérlegre és mérjük meg a súlyukat. Világos, hogy az eltérés tized grammokban a legközelebbi egészt l éppen a hibás automata sorszámát adja eredményül. (Lásd a 1.3. ábrát.) Tulajdonképpen, matematikai szempontból a kvantumszámítógép annyivel általánosabb a hagyományosnál, hogy a kétérték bit helyett (ami lehetne pl. +1 és -1) egy egy abszolútérték komplex szám lehet a bit értéke. (Így, viszont a valós 2 ilyen érték helyett végtelen sok különböz értéket vehet fel a kubit.) Viszont méréskor csak a klasszikus értékeket kaphatjuk meg (bizonyos valószín ségekkel). 2. A "megfordítható" számítástechnika Most összekapcsoljuk a számítástechnikát a zikával: ugyanis a számítások a hardver szintjén zikai folyamatokkal történnek. Létezik egy fogalom amit Kvantum Turing-gépnek neveznek. Megmutatták, hogy ez ekvivalens a kvantum áramkörökkel bizonyos probléma osztályra, de az még nincs bizonyítva, hogy ez az ekvivalencia univerzális is lenne. Ez nem okoz problémát, hiszen a kvantum áramkörök azok amikkel valójában dolgozunk a kvantum számítások során,