Budapesti Corvinus Egyetem. Közgazdaságtani Ph.D. Program

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Budapesti Corvinus Egyetem. Közgazdaságtani Ph.D. Program"

Átírás

1 Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtani Ph.D. Program SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN Ph.D. értekezés tézisgyűjtemény Bozóki Sándor Budapest, 2006

2 MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Témavezető: Dr. Rapcsák Tamás Copyright c Bozóki Sándor

3 Tartalomjegyzék 1. Többszempontú döntési problémák 2 2. Hasznossági függvények 3 3. Többszempontú döntési modellek 5 4. A kutatásban felhasznált módszerek Rezultáns módszer Gröbner-bázisok Általánosított rezultáns módszer Homotópiás algoritmus Elméleti és módszertani eredmények Az LSM feladat megoldása Számítási tapasztalatok Kutatási lehetőségek A páros összehasonlítás mátrix a makro-ökonómia Leontiefféle input-output modelljében Alkalmazás: banki projektek rangsorolása Modellezés: Agyfarm Főbb hivatkozások Saját ill. társszerzős publikációk és tanulmányok 20 1

4 1. Többszempontú döntési problémák Melyiket válasszam? ez a napi gyakorisággal felmerülő kérdés az emberi gondolkodás és viselkedés alapvető mozzanata. A válasz megkeresésére fordított energia- és időmennyiség elsősorban a probléma fontosságától függ. A kis jelentőségű feladatok megoldása egyszerű, rutinszerű, a komoly következményekkel járó döntéseket azonban mérlegelés előzi meg. Dolgozatom az utóbbi feladatosztályra koncentrál, azaz amikor a probléma fontossága megkívánja a részletes elemzést. A többszempontú döntési feladat célja: adott alternatívák közül az adott szempontok szerint összességében legjobb kiválasztása vagy az alternatívák rangsorolása. A teljesség igénye nélkül megemlítek néhány olyan magyarországi problémát, amelyek 2004-ben a sajtó által széles körben nyilvánosságra kerültek. M6-os autópálya koncessziós megépítésének és üzemeltetésének pályázata; Malév-privatizáció; a Nemzeti Tankönyvkiadó privatizációja; harmadik generációs mobiltender; a nagykörúti villamosok megrendelése; MTV elnöki pozíciójára kiírt pályázat. A különböző területekről származó példák a következő közös tulajdonságokkal rendelkeznek: az értékelési szempontok között vannak egymásnak ellentmondók; nincs (matematikai értelemben vett) egyetlen legjobb megoldás; a döntésben szubjektív tényezők is szerepelnek. A fenti feladatok között találhatók olyanok, amelyek komoly politikai és társadalmi konfliktushoz vezettek. A döntéshozatal folyamata a legtöbb példában nem nyilvános, ezért nehéz szakmai szempontból megítélni, hogy mi lehetett az oka az egyes pályázati értékelések, tenderek botrányba fulladásának. A tények mindenesetre rávilágítanak a szakmai megalapozottságú döntéselemzés szükségességére. 2

5 2. Hasznossági függvények A közgazdaságtan egyik alapfogalma, a hasznossági függvény Bernoulli [1], Ramsey [27] és Menger [26] várható hasznosság elméletében, majd Wald statisztikai döntéselméletében [35] is fontos szerepet játszik. Az alapfeladat a következő: adottak az A 1, A 2,...,A n cselekvési lehetőségek (alternatívák), valamint a világ lehetséges s 1,s 2,...,s k állapotai és azok p 1,p 2,...,p k bekövetkezési valószínűségei ( k p i = 1), valamint az alternatíváknak az egyes i=1 állapotokhoz tartozó értékeit melyet nevezhetünk a kifizetések vagy nyeremények hasznosságának tartalmazó táblázat: Világállapotok s 1 s 2... s k Bekövetkezési valószínűségek p 1 p 2... p k Alternatívák A 1 c 11 c c 1k A 2 c 21 c c 2k A n c n1 c n2... c nk Ha a kifizetéseket az u : R R hasznossági függvénnyel vesszük figyelembe, akkor azt az alternatívát fogjuk választani, amelynek a várható hasznossága, k p i u(c.i ) i=1 maximális. Ez a várható hasznosság elméletének alapfeladata. A bizonytalanság melletti feladat átfogalmazható többszempontú döntési feladattá az alábbi megfeleltetéssel: 3

6 Bizonytalanság melletti döntéshozatal Cselekvési lehetőségek (alternatívák) Többszempontú döntéshozatal Alternatívák Világállapotok (kimenetelek) Szempontok Világállapotok bekövetkezési valószínűsége Szempontsúlyok Kifizetések hasznossága Az alternatívák szempontok szerinti értékelése A hasznossági függvény additív alakban való megadásának lehetőségét és a többszempontú döntési feladatokra való alkalmazását Fishburn [14], valamint Keeney és Raiffa [22] dolgozta ki, magyar nyelvű összefoglalás Temesi könyvében [32] található. A hasznossági függvény fogalmának gyakorlati problémákban történő felhasználására az értekezés alkalmazási (8.) és modellezési (9.) fejezetében mutatok konkrét példákat. A problémákat többszempontú döntési feladatként megfogalmazva, az egyes szempontok szerint történő értékelésekre mutatok számszerű hasznossági függvény-konstrukciókat. 4

7 3. Többszempontú döntési modellek A többszempontú döntési feladatok modellezése fiatal tudomány. Az elmúlt fél évszázadban megjelent többszempontú döntési modellek az alábbi három csoportba oszthatók: elemi szabályokra épülő modellek; az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit a szempontsúlyok figyelembevételével aggregáló módszerek; és az outranking rangsoroló eljárások. Az elemi szabályokra épülő módszerek könnyen megfogalmazható megfontolásokon, heurisztikákon alapulnak. Ha ismert az alternatívák értékelése (pontszámai) a szempontok alapján, valamilyen egyszerű elv alapján kiválasztható a legjobb, vagy legalábbis szűkíthető a vizsgálandó alternatívák halmaza. Például a lexikografikus modellben, ha ismert a szempontok fontossági sorrendje, akkor a legfontosabb szempont szerinti legjobb alternatíva lesz a győztes. Ha több ilyen is van, akkor továbblépünk a második legfontosabb szempontra és az aszerinti legjobb(ak)at választjuk. Az eljárást addig folytatjuk, amíg egyetlen alternatíva marad. Az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit aggregáló módszerekben a többszempontú döntési feladat megoldása az alternatívák szempontok szerinti értékelésén, a szempontok fontosságának meghatározásán, majd az értékeléseknek a szempontsúlyokkal vett aggregálásán keresztül vezet. A legtöbbet hivatkozott modellek a Multi Attribute Utility/Value Theory (MAUT/MAVT, [22]), az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) és a Simple Multi Attribute Ranking Technic (SMART, [9]). Az alternatívák összehasonlítására szolgáló outranking relációt Roy [28] vezette be. A módszer egy elemi lépése annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy milyen mértékben állítható alternatíva preferáltsága egy másikkal szemben egy-egy rögzített szempont esetében. A legismertebb outranking típusú eljárások az ELECTRE [28] és a PROMETHEE [3] módszercsaládok, magyarországi viszonylatban pedig a KIPA [23]. Az elemi szabályokon alapuló modellek kivételével minden módszertanban szükség van a szempontok fontosságának számszerű kifejezésére, azaz a szempontsúlyok meghatározására. A szempontok súlyai mutatják meg a döntéshozó céljait és preferenciáit. A feladat egyik nehézsége, hogy a fontosságnak nincs általánosan elfogadott mértékegysége, azt csak valamilyen skálával együtt lehet értelmezni. Előfordul, hogy a döntéshozó közvetlenül, számszerűen meg tudja adni a szempontsúlyokat, ezt egyszerű közvetlen becslésnek 5

8 is nevezi az irodalom [23]. Nagyobb méretű, összetett feladatoknál azonban nem várható el, hogy a modellező rendelkezésére bocsássa a számszerűsített értékeket. A probléma kisebb részekre történő bontásával azonban elérhető, hogy a döntéshozónak csak egyszerű, világos kérdéseket kell megválaszolnia, azokból mégis előállítható az egész feladat szempontsúly-rendszere. A súlymeghatározás módszerei közül legismertebbek a már említett egyszerű közvetlen súlybecslés, a Churchman-Ackoff- ill. Guilford-féle eljárások [23], lineáris programozási technikák, a SMART súlyozásos módszer [32] és a páros összehasonlításon alapuló modellek, ez utóbbiak egy részosztályával foglalkozok részletesen az értekezésben. Axiómaként elfogadjuk a preferencia-modellezésben használt feltételt, miszerint a döntéshozó képes két dolog (ami lehet pl. a szempontok fontossága) összehasonlítására: meg tudja mondani, hogy valamelyik jobb (vagy nagyobb) a másiknál, vagy egyformák. Condorcet [6] és Borda [2] szavazási feladataikban már az 1780-as években bevezették a páros (vagy páronkénti) összehasonlítás fogalmát mint az egyéni preferenciák alapján felállított rangsor két eleme közötti viszonyt. A kísérleti pszichológiában először Weber és Fechner [13] használták e fogalmat a 19. század közepén, majd az 1920-as években Thorndike [33] és Thurstone [34]. A páros összehasonlítás mint módszer alkalmazási lehetőségeit Kindler [23] történeti és módszertani áttekintése tárgyalja. Az értekezésben a páros összehasonlítások azon változatát tárgyalom, amelyben az elemeket arányskálán hasonlítjuk össze, azaz a döntéshozótól olyan formában várjuk az elemek összehasonlítását, hogy hányszor tekinti az egyiket jobbnak vagy nagyobbnak a másiknál [29]. Az összehasonlítandó elemek a probléma jellegétől függően lehetnek: szempontok fontosságai; az alternatívák rögzített szempont szerinti értékelései; csoportos döntés esetén a döntéshozók szavazóerői. A páronkénti összehasonlításokból felépíthető egy négyzetes mátrix, melynek definíciója a következő: Definíció. osztályát. Az Jelölje R n n + a pozitív valós elemekből álló n n-es mátrixok 1 a 12 a a 1n 1/a 12 1 a a 2n A = 1/a 13 1/a a 3n /a 1n 1/a 2n 1/a 3n R n n +

9 mátrixot páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük, ha minden i, j = 1,...,n indexre teljesül, hogy a ii = 1, (1) a ij = 1. a ji (2) A mátrix a ij eleme azt mutatja meg, hogy a döntéshozó hányszor jobbnak ítéli meg az i-edik objektumot a j-ediknél. (1) alapján az önmagával való összehasonlítás eredménye mindig 1. A (2) tulajdonság azon a feltételezésen alapul, hogy ha a döntéshozó számára az i-edik objektum a ij -szer akkora, mint a j-edik, akkor a j-edik pontosan 1 a ij -szer akkora, mint az i-edik. Az (1)-(2)-ből adódóan n objektum esetén ( n 2) = n(n 1) 2 összehasonlítással adható meg a mátrix. Definíció. Ha egy A = [a ij ] i,j=1,2,...,n R n n + mátrixra (1)-(2)-n túl még a ij a jk = a ik (3) is teljesül minden i,j,k = 1,...,n indexre, akkor konzisztens páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük. Az (1)-(2) feltételeket igen, de (3)-at nem teljesítő mátrixot inkonzisztens mátrixnak nevezzük. A feladat: az elemek páronkénti összehasonlításának (A mátrix) ismeretében a w 1,w 2,...,w n súlyok meghatározása, ahol w i > 0, i = 1, 2,...,n, (4) n w i = 1. (5) i=1 A súlyokat együttesen a w = (w 1,w 2,...,w n ) T súlyvektorral jelöljük. A problémára több megoldási lehetőség kínálkozik. Az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) módszertanban a mátrix legnagyobb sajátértékéhez tartozó jobboldali sajátvektor komponensei adják a súlyokat. Más, távolságminimalizáló módszerekben a mátrix valamilyen célfüggvény szerinti legjobb közelítése alapján lehet a súlyokra következtetni. A legkisebb négyzetek módszere [5] és annak relaxált változatai, mint pl. a súlyozott legkisebb négyzetes, a logaritmikus legkisebb négyzetes, vagy a χ 2 -es feladatok mellett olyan megközelítések találhatók, mint a szinguláris felbontás [17], célprogramozás és lineáris programozás. 7

10 Konzisztens mátrixok esetén minden súlyozási eljárás ugyanazt az eredményt adja. Inkonzisztens esetben a különböző módszerek által eredményezett súlyvektorok kisebb-nagyobb mértékben eltérnek. Golany és Kress [18] több szempont alapján történő összehasonlító elemzéséből kiderül, hogy minden súlyozási módszernek van előnye és hátránya, egyik sem nevezhető a legjobb -nak. A legkisebb négyzetes közelítés feladata (LSM) közel 30 éves, megoldásával azonban kevés dolgozat foglalkozik. A többi módszerrel ellentétben a legkisebb négyzetes feladatról általában nem mondható el, hogy megoldása egyértelmű [20]. A célfüggvény ugyanis nem feltétlenül konvex, és az eddigiekben publikált eljárásoknál ([20], [11]) jelentős nehézséget okoz a stacionárius pontok meghatározása, mivel azok az iterációs elvű numerikus módszereket használják. Az optimális megoldás tehát általában függ az indulópont választásától. Az irodalomban nem találtam olyan eredményt, amely az összes megoldás előállítására ad módszert. Kutatásom célja a következő, tudomásom szerint mások által még nem tárgyalt kérdések vizsgálata volt: a páros összehasonlítás mátrixokra felírt legkisebb négyzetes feladat összes megoldásának előállítása; az összes megoldás ismeretében a páros összehasonlítás mátrixok struktúrájának feltárása; a megoldás nem egyértelműségének döntéselméleti következményei, pl. a döntéshozó ill. az általa kitöltött páros összehasonlítás mátrix inkonzisztenciájára vonatkozóan. A súlyozási módszerek fő alkalmazási területe a többszempontú döntési feladatok szempontjainak meghatározása, de felhasználható az alternatívák értékelésére vagy csoportos döntési problémákban a döntéshozók szavazóerőinek (kompetencia-súlyainak) meghatározására is. Rámutatok továbbá, hogy a legkisebb négyzetes közelítés alkalmazhatóságának nem feltétele az összes ( n 2) elempár összehasonlításának megléte, ebben az értelemben tehát általánosabbnak tekinthető, mint pl. a sajátvektor módszer. 8

11 4. A kutatásban felhasznált módszerek Polinomrendszerek megoldása A legkisebb négyzetes célfüggvény minimalizálásának problémáját az optimalitás elsőrendű feltételeinek többváltozós polinomrendszerre történő átírásával közelítem meg. A matematikai (főleg geometriai) és fizikai-mérnöki problémák (kinetika és egyensúly) gyakran vezetnek polinomiális rendszerek megoldására, mely mint a nemlineáris rendszerek megoldása általában nem könnyű. Az alábbi négy módszert tekintem át, amelyek segítségével kisméretű feladatok megoldhatók: rezultáns módszer; Gröbner-bázisok; általánosított rezultáns módszer; homotópiás algoritmus. Mivel egy adott polinomrendszer összes megoldását keressük, a Newtoniteráción alapuló algoritmusokat nem tárgyalom. Megjegyzem azonban, hogy valamely polinomrendszer-megoldó algoritmus által szolgáltatott megoldás, mely szükségképpen csak közelítő megoldás lehet, a Newton-iteráció indulóértékéül választva tetszőlegesen pontosítható Rezultáns módszer A rezultáns két egyváltozós polinom gyökeiből származtatható, és azt hivatott kifejezni, hogy a polinomoknak létezik-e közös gyöke. Ha igen, a rezultáns definíció szerint nulla. A közös gyök létezésének ezen szükséges feltétele lehetőséget ad arra, hogy egy kétváltozós, kétegyenletes polinomrendszer megoldását egyváltozós polinomok gyökeiből írjuk fel. A rezultáns-módszer elméleti szempontból elegáns, a gyakorlatban való alkalmazhatósága azonban a kétváltozós esetre korlátozódik. 9

12 4.2. Gröbner-bázisok A polinomgyűrűk és ideálok tanulmányozására vezette be Buchberger [4] a Gröbner-bázis fogalmát. Egy adott polinomrendszerhez tartozó Gröbnerbázis egy az eredetivel ekvivalens rendszer, azaz pontosan ugyanazok a gyökei, mint az eredetinek. A Gröbner-bázisbeli polinomrendszer azonban rendelkezik bizonyos tulajdonságokkal is, melyek jól használhatók a polinomokkal való osztás és egyéb vizsgálatok során Általánosított rezultáns módszer A kettő és annál több egyenletből álló polinomrendszerek megoldására vezette be Dixon [7] a később róla elnevezett általánosított rezultáns fogalmát. A Dixon-rezultáns szerepe azonos a rezultánséval: olyan kifejezést keresünk, amely kifejezhető a többváltozós polinomok együtthatóival, és pontosan akkor nulla, ha a polinomiális egyenletrendszernek van megoldása (közös gyöke). A Dixon-rezultánson alapuló Bezout-Dixon-Kapur-Saxena-Yang módszert [21] Lewis implementálta az általa kifejlesztett Fermat szoftverben [24] Homotópiás algoritmus Az utóbbi 25 év során a homotópiás kontinuitási módszerek megbízható és hatékony technikává fejlődtek a nemlineáris rendszerek összes megoldásának meghatározására. Garcia és Zangwill [16], valamint tőlük függetlenül Drexler [8] javasolta elsőként a homotópiás módszerek alkalmazását polinomiális rendszerek összes gyökének numerikus meghatározására. A többváltozós polinomok összes közös gyökének előállítására mint a nemlineáris rendszerek speciális esetének megoldására Li és Gao [25, 15] algoritmusát választottam. 10

13 5. Elméleti és módszertani eredmények 5.1. Az LSM feladat megoldása Az értekezés első részében a páros összehasonlítás mátrixok alapján történő súlyozási módszerek közül a legkisebb négyzetes feladatot (LSM) oldottam meg a 3 3, 4 4,...,8 8-as mátrixokra. A minimalizálandó nemlineáris célfüggvény nemkonvexitása miatt az optimumhely általában nem egyértelmű. A feladat megoldására korábban használatos Newtoniterációs technikák sajátossága, hogy a megoldás érzékeny az indulópont választására. Az általam tárgyalt módszerek az összes lokális és globális minimumhely megkeresésére alkalmasak. Tapasztalataim alapján a 3 3-as mátrixok esetére használható a rezultáns-módszer és a Gröbner-bázisok, 3 3-as és 4 4-es esetben az általánosított rezultánsokat alkalmazó Fermat szoftver, 3 3-astól 8 8-as méretig pedig a homotópiás kontinuitási módszer. Önálló eredmények: a legkisebb négyzetes célfüggvény optimalizálási feladat átírása többváltozós polinomrendszer gyökeinek megkeresésére [S-1]; 3 3-as esetben a rezultáns-módszer implementálása a Maple és a Matlab szoftverekben; tetszőleges méretű mátrix esetében az LSM-feladathoz tartozó polinomrendszer megadása [S-3]. Közös együttműködésben elért eredmények: a 4 4-es mátrixokból felírt 3 egyenletes 3 változós polinomrendszer megoldása a Lewis által implementált Fermat szoftverrel [S-2]; Gao homotópiás algoritmusának alkalmazása a 3 3, 4 4,..., 8 8-as mátrixokból felírt polinomrendszerek megoldására [S-3]. 11

14 5.2. Számítási tapasztalatok Önálló eredmények: A kutatás jelenlegi fázisában a 3 3-as esetben tudok páros összehasonlítás mátrixokat nagy számban generálni, majd azokból automatikusan LSMsúlyokat számolni. A sajátvektor-, a legkisebb négyzetes és a szinguláris módszerek összehasonlítása alapján az alábbi következtetésekre jutottam: a három módszerhez tartozó inkonzisztencia-mérőszámok közül a szinguláris jelentős eltérést mutat a másik kettőhöz képest. A közel konzisztens tartományban a szinguláris módszer inkonzisztencia-definíciója teszi leginkább lehetővé a döntéshozó következetlenségi fokozatainak megkülönböztetését; az EM-inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály szerint elfogadhatónak minősített mátrixok LSM-értelemben is kis hibával közelíthetők; példát mutattam olyan mátrixra, amelynek EM-inkonzisztenciája 10% alatti, SV D-inkonzisztenciája viszont nagy; az inkonzisztencia mértékének növekedésével a különböző súlyozási módszerek által adott súlyvektorok egyre jobban eltérnek egymástól; magas inkonzisztencia-szint mellett az EM-megoldás az egyenlő súlyok ( 1, 1, 1 ) közelében marad, a legkisebb négyzetes megoldás pedig többnyire nem egyértelmű. A páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére szolgáló EM-inkonzisztencia (CR) értéket nagy mintaszámú, véletlenül generált mátrixok statisztikai elemzésével közelítettem meg. Számításaim szerint az EMinkonzisztenciára felírt 10%-os szabály lényeges különbséget mutat a mátrix méretének függvényében: n = 3-ra a véletlen mátrixok jelentős része (28%) elfogadható; n = 4, 5-re kis százaléka fogadható el; n = 6, 7-re található néhány elfogadható; n = 8, 9, 10-re egyetlen elfogadható inkonzisztencia-szintű mátrix sem fordult elő a több milliós mintában. 12

15 Utóbbi eredményem jelenlegi formájában elsősorban kérdésfelvető célzatú: teremthető-e és ha igen, milyen kapcsolat a valós döntési szituációkban konkrét döntéshozó által konkrét problémára felírt páros összehasonlítás mátrixok és a véletlen módon generált mátrixok inkonzisztenciája között? A válaszokhoz további, a gyakorlati feladatokból származó mátrixokat is szerepeltető kutatás szükséges Kutatási lehetőségek A 4 4-estől 8 8-as méretig a súlyok számítása jelenleg egyedileg történik, ezért a statisztikai jellegű elemzés lehetősége korlátozott. A futási eredmények (különösen n = 7, 8 esetében) azt mutatják, hogy döntési feladatok valós időben történő megoldására még nem használhatók, az általam alkalmazott módszertan a kutatás fázisában van. A jelenlegi algoritmusok és számítástechnikai eszközök által megoldható legnagyobb mátrixméret a 8 8-as. Összetett feladatokban azonban felmerülhet ennél nagyobb számú objektum összehasonlításának igénye, ezért keresem a megoldás lehetőségét 9 9-es és es mátrixokra is. Döntési szempontból alapvető fontosságú annak biztosítása, hogy egy páros összehasonlítás mátrixból számolt súlyvektor egyértelmű legyen, ami a sajátvektor- és szinguláris módszerek esetében biztosított. A legkisebb négyzetes megoldás egyértelműségére vonatkozó szükséges és elégséges feltétel azonban még nem ismert. A páros összehasonlítás mátrixok egy osztályában a megoldás nem-egyértelműségére Farkas és Rózsa [12] adott elégséges feltételt. Döntéselméleti és alkalmazási szempontból is lényeges kérdés a különböző súlymeghatározó módszerek összehasonlítása. Célunk, hogy a döntési feladatok jellegzetes vonásainak, típusainak leginkább megfelelő módszert ki tudjuk választani. Ezen jellegzetességek feltérképezése és azonosítása jelenleg is kutatás tárgya. A legkisebb négyzetes közelítés feladata olyan esetekben is felírható, amikor a páros összehasonlítás mátrix nincs teljesen kitöltve. Elsősorban nagyobb méretű (8 8, 9 9, 10 10) mátrixok esetén fontos gyakorlati szempont a döntéshozó idejének hatékony igénybevétele. Kezdeti stádiumban levő eredményeim azt mutatják, hogy az összes n(n 1) páronkénti összehasonlítás 2 helyett elegendő lehet lényegesen kevesebb is. 13

16 6. A páros összehasonlítás mátrix a makroökonómia Leontief-féle input-output modelljében A páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntési problémákon kívül más feladatokban is megjelennek. Ilyen például a Leontief-féle input-output modell dinamikus változata stacionárius növekedés esetén. Stojanović [31] az általa definiált növekedési mátrixot az egyenletesen bővülő gazdaság (minden szektor növekedési rátája azonos) esetében egy páros összehasonlítás mátrix konstansszorosaként írta fel, ahol a konstans a növekedési ráta. Steenge [30] megmutatta, hogy mind a statikus, mind a dinamikusstacionárius Leontief-féle input-output modell felírható páros összehasonlítás mátrix segítségével. Kutatási irányok A gyakorlatban az egyes szektorok növekedésének mért értékeiből felépített mátrix csak közelítőleg teljesíti a fenti modellek feltételeit. A mátrix sajátértékeinek feltérképezésével a modell mint dinamikai rendszer stabilitására vonatkozóan lehet következtetéseket levonni, mint ahogy azt Farkas és Rózsa [10] tette a páros összehasonlítás mátrixok egy speciális szerkezetű perturbált változatának vizsgálatán keresztül. 14

17 7. Alkalmazás: banki projektek rangsorolása Első gyakorlati problémánkban egy nemzetközi háttérrel rendelkező bank projektjeinek rangsorolására adtunk modellt [S-4]. A feladatot egy nemzetközi bank magyarországi fiókja megbízásából az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztályán végeztük el 2001/2002-ben. A feladat olyan rendszer tervezése és annak szoftveres megvalósítására vonatkozó javaslat elkészítése volt, amely egyidejűleg projekt kezelésére alkalmas, az alternatívák dinamikusan változó halmazát is megengedve. A szakirodalomban található modellek közül egyiket sem találtuk közvetlenül adaptálhatónak a feladat megoldására, ezért egy új modellt építettünk fel. A bank szakembereivel közösen kialakított szempontrendszert fastruktúrába rendeztük, majd a banki felsővezetés által megadott páros összehasonlításokból számított szempontsúlyokkal láttuk el. Ez lehetővé tette a rangsoroló mechanizmus működésének a banki stratégiákhoz való illesztését. A projektek (alternatívák) szempontok szerinti értékelését a bank által megadott támpontokon alapuló értékelő (hasznossági) függvények konstrukciójával javasoltuk. A objektív szempontok szerint történő értékelés a beépített függvényeken keresztül automatikusan történik, a szubjektív szempontok szerinti értékelésre pedig egységes, áttekinthető skálákat vezettünk be, megkönnyítendő a folyamatban résztvevő döntéshozók munkáját. A bank 2002-ben vezette be az általunk javasolt módszertan alkalmazását, melynek sikeres működéséről írásbeli referenciát kaptunk. Önálló eredmények: a bank felsővezetése és szakértői által kitöltött páros összehasonlítás mátrixok alapján a szempontsúlyok meghatározása; az alternatívák szempontok szerinti értékelési mechanizmusának kidolgozása, hasznossági függvények konstrukciója a bank képviselője által megadott instrukciók alapján; az Expert Choice szoftver alkalmazhatósági területének körülhatárolása ebben a döntési feladatban. 15

18 8. Modellezés: Agyfarm Második feladatunk az Agyfarm (az akadémiai kutatás kollaboratív kommunikációs és tudományszervezési modellje on-line technológiai környezetben) modellezésében az ajánló rendszer, a felhasználók közötti kapcsolatok feltárása, valamint a csoportképződés folyamatának döntési feladatként való megfogalmazása és megoldása volt [S-5]. Az Agyfarm modellezése a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Média Oktató és Kutatóközpontja (BMGE-MOKK), az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztálya, és a Frutta Elettronica közös együttműködésében készült. Munkánk során a nemzetközi szakirodalomban is újnak tekinthető döntési modelleket építettünk fel, amelyek lehetővé teszik olyan feladatok kezelését, mint az Agyfarm többezres felhasználói létszámra és több tízezres oldal- és dokumentumszámra tervezett rendszerében valós időben működő ajánlás; a felhasználói aktivitás követése és annak a rendszerbe történő visszacsatolása; a felhasználók egymás közötti kapcsolatainak létrehozása és erősítése; a működtetés során fellépő döntési szituációk. Önálló eredmények: döntési problémaként kezelhető feladatok azonosítása és modellezése; többszempontú döntési problémák szempontrendszerének kidolgozása; szempontok szerinti értékelési mechanizmusok (hasznossági függvények) konstrukciója; szempontsúlyok kiszámítása páros összehasonlítás mátrixok alapján; az Agyfarmban szereplő felhasználói profilok ill. értékelések hasonlóságának mérésére szolgáló lehetőségek áttekintése. 16

19 9. Főbb hivatkozások Hivatkozások [1] Bernoulli, D. [1738]: Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperalis Petropolitanae, Angol fordításban: Exposition of a new theory of measurement of risk, Econometrica 51(4), July, pp [2] Borda, J.C. de [1781]: Mémoire sur les électiones au scrutin, Histoire de l Académie Royale des Sciences, Paris. [3] Brans, J.P. [1982]: L ingéniérie de la décision, Élaboratorion d instruments d aide ŕ la décision. Méthode PROMETHEE, Université Laval, Collogue d Aide ŕ la Décision Québec Canada, pp [4] Buchberger, B. [1985]: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in: Multidimensional System Theory, N.K. Bose (editor), D. Rediel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, pp [5] Chu, A.T.W., Kalaba, R.E., Spingarn, K. [1979]: A comparison of two methods for determining the weight belonging to fuzzy sets, Journal of Optimization Theory and Applications, 4, pp [6] Condorcet, M. [1785]: Essai sur l Application de l Analyse à la Probabilité des Décisions Rendues á la Pluralité des Voix, Paris. [7] Dixon, A.L. [1908]: The eliminant of three quantities in two independent variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 7, pp , pp [8] Drexler, F.J. [1978]: Eine Methode zur Berechnung sämtlicher Lösungen von Polynomgleichungssystemen, Numerische Mathematik, 29, pp [9] Edwards, W. [1977]: How to use multiattribute utility measurement for social decision making, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-7, 5, pp [10] Farkas, A., Rózsa, P. [2001]: Data Perturbations of Matrices of Pairwise Comparisons, Annals of Operations Research, 101, pp [11] Farkas, A., Lancaster, P., Rózsa, P. [2003]: Consistency adjustment for pairwise comparison matrices, Numerical Linear Algebra with Applications, 10, pp

20 [12] Farkas, A., Rózsa, P. [2004]: On the Non-Uniqueness of the Solution to the Least-Squares Optimization of Pairwsie Comparison Matrices, Acta Polytechnica Hungarica, Journal of Applied Sciences at Budapest Polytechnic Hungary, 1, pp [13] Fechner, G.T. [1860]: Elemente der Psychophysik, Breitkopf und Härtel, Leipzig. [14] Fishburn, P.C. [1970]: Utility Theory for Decision Making, Wiley, New York. [15] Gao, T., Li, T.Y., Wang, X. [1999]: Finding isolated zeros of polynomial systems in C n with stable mixed volumes, Journal of Symbolic Computation, 28, pp [16] Garcia, C.B., Zangwill, W.I. [1979]: Finding all solutions to polynomial systems and other systems of equations, Mathematical Programming, 16, pp [17] Gass, S.I., Rapcsák, T. [2004]: Singular value decomposition in AHP, European Journal of Operations Research, 154, pp [18] Golany, B., Kress, M. [1993]: A multicriteria evaluation of methods for obtaining weights from ratio-scale matrices, European Journal of Operations Research, 69 pp [19] Guilford, J.P. [1936]: Psychometric Methods, McGraw-Hill Book, New York. [20] Jensen, R.E. [1984]: An Alternative Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, Journal of Mathematical Psychology, 28, pp [21] Kapur, D., Saxena, T., Yang, L. [1994]: Algebraic and geometric reasoning using Dixon resultants. In: Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. A.C.M. Press. [22] Keeney, R.L., Raiffa, H. [1976]: Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs, John Wiley & Sons, New York. [23] Kindler J., Papp, O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata Összemérési módszerek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. [24] Lewis, R.H. : Computer algebra system Fermat. lewis/ 18

21 [25] Li, T.Y. [1997]: Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods, Acta Numerica, 6, pp [26] Menger, K. [1934]: Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre. Betrachtungen in Anschluss an das sogenannte Petersburger Spiel, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5, pp [27] Ramsey, F.P. [1931]: Truth and probability, in: Ramsey, F.P.: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, ed. R.B. Braithwaite, Kegan Paul, Trench, Trubner and Co., London. [28] Roy, Bernard [1969]: Algebre Moderne et Theorie des Graphes Orientees vers les Sciences Economiques et Sociales, Paris, Dunod. [29] Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York. [30] Steenge, A.E. [1981]: The Verification of Efficient Growth: An Approach via Stojanović s Matrix of Growth, Journal of Macroeconomics, 3, No. 2, pp [31] Stojanović, D. [1974]: Model kretanja privede sap vojvodine na bazi matrice rasta, (English Summary), Mathematika Balkanika, 4. [32] Temesi, J. [2002]: A döntéselmélet alapjai, Aula Kiadó, Budapest. [33] Thorndike, E.L. [1920]: A Constant Error in Psychological Ratings, Journal of Applied Psychology, 4, pp [34] Thurstone, L.L. [1927]: The Method of Paired Comparisons for Social Values, Journal of Abnormal and Social Psychology, 21, pp [35] Wald, A. [1950]: Statistical Decision Functions, Wiley, New York. 19

Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN

Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Témavezető: Dr. Rapcsák

Részletesebben

Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből

Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Rebák Örs 2013. november 26. 1. Bevezetés A bevezetésben tárgyaltakat ismertnek teszem fel, közlésük csupán a teljesség kedvéért történik, illetve mert

Részletesebben

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

Bírálat. Farkas András

Bírálat. Farkas András Bírálat Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával (Appraisal and Development of Transportation Systems Using Multiple Criteria Decision

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Illés Tibor Keverési modellek Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Keverési modellek matematikai jellemzői Nemlineáris sokszor nem konvex optimalizálási

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Hét, páronként érintkező végtelen henger

Hét, páronként érintkező végtelen henger Hét, páronként érintkező végtelen henger Bozóki Sándor 1,2, Rónyai Lajos 1,3, Tsung-Lin Lee 4 1 MTA SZTAKI 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 4 National Sun Yat-sen

Részletesebben

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Publikációs lista Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Folyóirat cikkek: E. Miletics: Energy conservative algorithm for numerical solution of ODEs

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

ZÁRÓJELENTÉS. Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József

ZÁRÓJELENTÉS. Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József ZÁRÓJELENTÉS Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József A kutatás eredetileg 4 évre szólt, azonban engedélyt kértünk és kaptunk egy éves hosszabbításra. A résztvevők

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák

Többszempontú döntési problémák Budapesti Corvinus Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák Egyetemi oktatáshoz segédanyag

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK Békési Bertold - Kavas László - Prof Dr. Óvári Gyula HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK A Magyar Honvédség légierejének lehetséges korszerűsítési módja napjainkban

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK. Elérhetőség

KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK. Elérhetőség KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK Oktatók Csongrádi Gyöngyi Kiss Gabriella Dr. Nagy András Elérhetőség Hivatalos honlap http://www.bgf.hu/pszk /szervezetiegysegeink/oktatasiszervezetiegysegek

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Történet John Little (1970) (Management Science cikk)

Történet John Little (1970) (Management Science cikk) Információ menedzsment Szendrői Etelka Rendszer- és Szoftvertechnológia Tanszék szendroi@witch.pmmf.hu Vezetői információs rendszerek Döntéstámogató rendszerek (Decision Support Systems) Döntések információn

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők

Részletesebben

VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet

VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet PAPP ZSOLT Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fizika Tanszék 2003 1 Bevezetés A lézerek megjelenését

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 0 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Szolnok 0. május 0. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Számítógéppel segített folyamatmodellezés Piglerné Lakner Rozália Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Pannon Egyetem Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Tartalom Modellező rendszerektől

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml Szakmai önéletrajz 1.1 Személyes adatok: Nevem: Kovács Edith Alice Születési idő, hely: 1971.05.18, Arad Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Részletesebben

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem Név: Tarnay Katalin Születési adatok: Nyiregyháza, 1933. május 8 Legmagasabb tudományos fokozat, és elnyerésének éve: műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Csató László Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2011. október 14. Összefoglaló A tanulmány

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 271 276. HULLADÉKOK TEHERBÍRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA CPT-EREDMÉNYEK ALAPJÁN DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST

Részletesebben

Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata. Tóth László Richárd. Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola

Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata. Tóth László Richárd. Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Doktori (PhD) értekezés tézisei Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata Tóth László Richárd Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Témavezetők: Dr. Szeifert Ferenc Dr.

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Modellkiválasztás és struktúrák tanulása

Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Szervezőelvek keresése Az unsupervised learning egyik fő célja Optimális reprezentációk Magyarázatok Predikciók Az emberi tanulás alapja Általános strukturális

Részletesebben

OBJEKTÍV JÓL-LÉTI MEGKÖZELÍTÉSEK MODELLSZÁMÍTÁS, JÓL-LÉT DEFICITES TEREK MAGYARORSZÁGON

OBJEKTÍV JÓL-LÉTI MEGKÖZELÍTÉSEK MODELLSZÁMÍTÁS, JÓL-LÉT DEFICITES TEREK MAGYARORSZÁGON Társadalmi konfliktusok - Társadalmi jól-lét és biztonság - Versenyképesség és társadalmi fejlődés TÁMOP-4.2.2.A-11/1/KONV-2012-0069 c. kutatási projekt OBJEKTÍV JÓL-LÉTI MEGKÖZELÍTÉSEK MODELLSZÁMÍTÁS,

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Dinamikus Költségelemzés (DCC): hatékony módszer a hatékony fejlesztésekért. Czeglédi Ildikó okl.közgazdász közművagyon-gazdálkodási szakértő

Dinamikus Költségelemzés (DCC): hatékony módszer a hatékony fejlesztésekért. Czeglédi Ildikó okl.közgazdász közművagyon-gazdálkodási szakértő Dinamikus Költségelemzés (DCC): hatékony módszer a hatékony fejlesztésekért Czeglédi Ildikó okl.közgazdász közművagyon-gazdálkodási szakértő A módszertani fejlesztés szükségessége Elhúzódó projekt előkészítések

Részletesebben

Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával

Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával Dr. Mester Gyula Honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával Összefoglaló: A közlemény tematikája honlap szerkesztés Google Tudós alkalmazásával. A bevezetés után a tudományos teljesítmény mérésének

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK

SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK Karsai János, karsai@silver.szote.u-szeged.hu, Forczek Erzsébet, forczek@dmi.szote.u-szeged.hu, Nyári Tibor, nyari@dmi.szote.u-szeged.hu

Részletesebben

Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai. Kiezer Tamás

Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai. Kiezer Tamás Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai Doktori (PhD) értekezés tézise Kiezer Tamás Témavezetı: Dr. Dominich Sándor (1954-2008) Pannon Egyetem Mőszaki Informatikai Kar

Részletesebben

Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time)

Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time) Mérnök informatikus (BSc) alapszak levelező tagozat (BIL) / BSc in Engineering Information Technology (Part Time) (specializáció választás a 4. félévben, specializációra lépés feltétele: az egyik szigorlat

Részletesebben

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai

Részletesebben

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA

SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA SZÉLTURBINÁKAT TARTALMAZÓ MÉRLEGKÖRÖK KIEGYENLÍTŐ ENERGIA KÖLTSÉGEINEK MINIMALIZÁLÁSA Varga László E.ON Hungária ZRt. Hirsch Tamás Országos Meteorológiai Szolgálat XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók:

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók: Adatbázis Rendszerek Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fotogrammetria és Térinformatika 6.1. Egyed relációs modell lényegi jellemzői 6.2. Egyed relációs ábrázolás 6.3. Az egyedtípus 6.4. A

Részletesebben

BIZONYTALANSÁG A KOCKÁZATBECSLÉSBEN 1. BEVEZETÉS

BIZONYTALANSÁG A KOCKÁZATBECSLÉSBEN 1. BEVEZETÉS Pokorádi László BIZONYTALANSÁG A KOCKÁZATBECSLÉSBEN A műszaki menedzsment döntései különböző pozitív vagy negatív előjelű eredményeket eredményezhetnek. A döntéshozóknak mind morális, mind szakmai szempontokat

Részletesebben

EGÉSZSÉG-GAZDASÁGTAN

EGÉSZSÉG-GAZDASÁGTAN EGÉSZSÉG-GAZDASÁGTAN EGÉSZSÉG-GAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Bánhelyi Balázs, Csendes Tibor, Palatinus Endre és Lévai. Szeptember 28-30, 2011, Balatonöszöd, Hungary

Bánhelyi Balázs, Csendes Tibor, Palatinus Endre és Lévai. Szeptember 28-30, 2011, Balatonöszöd, Hungary optimalizáló eljárás, Csendes Tibor, Palatinus Endre és Lévai Balázs László Szegedi Tudományegyetem Szeptember 28-30, 2011, Balatonöszöd, Hungary Közmegvilágítási feladat Adott egy megvilágítandó terület,

Részletesebben

Ismeretanyag Záróvizsgára való felkészüléshez

Ismeretanyag Záróvizsgára való felkészüléshez Ismeretanyag Záróvizsgára való felkészüléshez 1. Információmenedzsment az információmenedzsment értelmezése, feladatok különböző megközelítésekben informatikai szerepek, informatikai szervezet, kapcsolat

Részletesebben

SZOFTVERES SZEMLÉLTETÉS A MESTERSÉGES INTELLIGENCIA OKTATÁSÁBAN _ Jeszenszky Péter Debreceni Egyetem, Informatikai Kar jeszenszky.peter@inf.unideb.

SZOFTVERES SZEMLÉLTETÉS A MESTERSÉGES INTELLIGENCIA OKTATÁSÁBAN _ Jeszenszky Péter Debreceni Egyetem, Informatikai Kar jeszenszky.peter@inf.unideb. SZOFTVERES SZEMLÉLTETÉS A MESTERSÉGES INTELLIGENCIA OKTATÁSÁBAN _ Jeszenszky Péter Debreceni Egyetem, Informatikai Kar jeszenszky.peter@inf.unideb.hu Mesterséges intelligencia oktatás a DE Informatikai

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Nyíregyháza, 2010. május 19. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ:

A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ: A hallgató neve:. MENTORTANÁR SEGÉDANYAG ÉS FELADATMEGOLDÓ FÜZET SZERKESZTİ: AZ ELMÉLETI ÉS GYAKORLATI PEDAGÓGIAI TUDÁS FELTÁRÁSÁNAK NÉHÁNY MÓDSZERE 1. INTERJÚ Szóbeli kikérdezésen alapuló vizsgálati módszer.

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Modell alapú tesztelés mobil környezetben

Modell alapú tesztelés mobil környezetben Modell alapú tesztelés mobil környezetben Micskei Zoltán Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék A terület behatárolása Testing is an activity performed

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

GÉPI ÉS EMBERI POZICIONÁLÁSI, ÉRINTÉSI MŰVELETEK DINAMIKÁJA

GÉPI ÉS EMBERI POZICIONÁLÁSI, ÉRINTÉSI MŰVELETEK DINAMIKÁJA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK PhD Tézisfüzet GÉPI ÉS EMBERI POZICIONÁLÁSI, ÉRINTÉSI MŰVELETEK DINAMIKÁJA Szerző MAGYAR Bálint Témavezető Dr. STÉPÁN Gábor Budapest,

Részletesebben

Süle Zoltán publikációs listája

Süle Zoltán publikációs listája Süle Zoltán publikációs listája Statisztikai összegzés Referált nemzetközi folyóiratcikkeim száma: 3 (+1) Nemzetközi konferenciakiadványban megjelent publikációim száma: 14 Hazai konferenciakiadványban

Részletesebben

2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22. feladatok megoldásában. Csendes Tibor

2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22. feladatok megoldásában. Csendes Tibor 2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22 Megbízható optimalizálás matematikai feladatok megoldásában Csendes Tibor 2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia,

Részletesebben

Neurális hálózatok bemutató

Neurális hálózatok bemutató Neurális hálózatok bemutató Füvesi Viktor Miskolci Egyetem Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet Miért? Vannak feladatok amelyeket az agy gyorsabban hajt végre mint a konvencionális számítógépek. Pl.:

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában

Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában Cselkó Richárd 2009. október. 15. Az előadás fő témái Soft Computing technikák alakalmazásának

Részletesebben

A CAN mint ipari kommunikációs protokoll CAN as industrial communication protocol

A CAN mint ipari kommunikációs protokoll CAN as industrial communication protocol A CAN mint ipari kommunikációs protokoll CAN as industrial communication protocol Attila FODOR 1), Dénes FODOR Dr. 1), Károly Bíró Dr. 2), Loránd Szabó Dr. 2) 1) Pannon Egyetem, H-8200 Veszprém Egyetem

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter. 2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter. 2010. június ÖKONOMETRIA ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben