Budapesti Corvinus Egyetem. Közgazdaságtani Ph.D. Program

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Budapesti Corvinus Egyetem. Közgazdaságtani Ph.D. Program"

Átírás

1 Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtani Ph.D. Program SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN Ph.D. értekezés tézisgyűjtemény Bozóki Sándor Budapest, 2006

2 MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Témavezető: Dr. Rapcsák Tamás Copyright c Bozóki Sándor

3 Tartalomjegyzék 1. Többszempontú döntési problémák 2 2. Hasznossági függvények 3 3. Többszempontú döntési modellek 5 4. A kutatásban felhasznált módszerek Rezultáns módszer Gröbner-bázisok Általánosított rezultáns módszer Homotópiás algoritmus Elméleti és módszertani eredmények Az LSM feladat megoldása Számítási tapasztalatok Kutatási lehetőségek A páros összehasonlítás mátrix a makro-ökonómia Leontiefféle input-output modelljében Alkalmazás: banki projektek rangsorolása Modellezés: Agyfarm Főbb hivatkozások Saját ill. társszerzős publikációk és tanulmányok 20 1

4 1. Többszempontú döntési problémák Melyiket válasszam? ez a napi gyakorisággal felmerülő kérdés az emberi gondolkodás és viselkedés alapvető mozzanata. A válasz megkeresésére fordított energia- és időmennyiség elsősorban a probléma fontosságától függ. A kis jelentőségű feladatok megoldása egyszerű, rutinszerű, a komoly következményekkel járó döntéseket azonban mérlegelés előzi meg. Dolgozatom az utóbbi feladatosztályra koncentrál, azaz amikor a probléma fontossága megkívánja a részletes elemzést. A többszempontú döntési feladat célja: adott alternatívák közül az adott szempontok szerint összességében legjobb kiválasztása vagy az alternatívák rangsorolása. A teljesség igénye nélkül megemlítek néhány olyan magyarországi problémát, amelyek 2004-ben a sajtó által széles körben nyilvánosságra kerültek. M6-os autópálya koncessziós megépítésének és üzemeltetésének pályázata; Malév-privatizáció; a Nemzeti Tankönyvkiadó privatizációja; harmadik generációs mobiltender; a nagykörúti villamosok megrendelése; MTV elnöki pozíciójára kiírt pályázat. A különböző területekről származó példák a következő közös tulajdonságokkal rendelkeznek: az értékelési szempontok között vannak egymásnak ellentmondók; nincs (matematikai értelemben vett) egyetlen legjobb megoldás; a döntésben szubjektív tényezők is szerepelnek. A fenti feladatok között találhatók olyanok, amelyek komoly politikai és társadalmi konfliktushoz vezettek. A döntéshozatal folyamata a legtöbb példában nem nyilvános, ezért nehéz szakmai szempontból megítélni, hogy mi lehetett az oka az egyes pályázati értékelések, tenderek botrányba fulladásának. A tények mindenesetre rávilágítanak a szakmai megalapozottságú döntéselemzés szükségességére. 2

5 2. Hasznossági függvények A közgazdaságtan egyik alapfogalma, a hasznossági függvény Bernoulli [1], Ramsey [27] és Menger [26] várható hasznosság elméletében, majd Wald statisztikai döntéselméletében [35] is fontos szerepet játszik. Az alapfeladat a következő: adottak az A 1, A 2,...,A n cselekvési lehetőségek (alternatívák), valamint a világ lehetséges s 1,s 2,...,s k állapotai és azok p 1,p 2,...,p k bekövetkezési valószínűségei ( k p i = 1), valamint az alternatíváknak az egyes i=1 állapotokhoz tartozó értékeit melyet nevezhetünk a kifizetések vagy nyeremények hasznosságának tartalmazó táblázat: Világállapotok s 1 s 2... s k Bekövetkezési valószínűségek p 1 p 2... p k Alternatívák A 1 c 11 c c 1k A 2 c 21 c c 2k A n c n1 c n2... c nk Ha a kifizetéseket az u : R R hasznossági függvénnyel vesszük figyelembe, akkor azt az alternatívát fogjuk választani, amelynek a várható hasznossága, k p i u(c.i ) i=1 maximális. Ez a várható hasznosság elméletének alapfeladata. A bizonytalanság melletti feladat átfogalmazható többszempontú döntési feladattá az alábbi megfeleltetéssel: 3

6 Bizonytalanság melletti döntéshozatal Cselekvési lehetőségek (alternatívák) Többszempontú döntéshozatal Alternatívák Világállapotok (kimenetelek) Szempontok Világállapotok bekövetkezési valószínűsége Szempontsúlyok Kifizetések hasznossága Az alternatívák szempontok szerinti értékelése A hasznossági függvény additív alakban való megadásának lehetőségét és a többszempontú döntési feladatokra való alkalmazását Fishburn [14], valamint Keeney és Raiffa [22] dolgozta ki, magyar nyelvű összefoglalás Temesi könyvében [32] található. A hasznossági függvény fogalmának gyakorlati problémákban történő felhasználására az értekezés alkalmazási (8.) és modellezési (9.) fejezetében mutatok konkrét példákat. A problémákat többszempontú döntési feladatként megfogalmazva, az egyes szempontok szerint történő értékelésekre mutatok számszerű hasznossági függvény-konstrukciókat. 4

7 3. Többszempontú döntési modellek A többszempontú döntési feladatok modellezése fiatal tudomány. Az elmúlt fél évszázadban megjelent többszempontú döntési modellek az alábbi három csoportba oszthatók: elemi szabályokra épülő modellek; az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit a szempontsúlyok figyelembevételével aggregáló módszerek; és az outranking rangsoroló eljárások. Az elemi szabályokra épülő módszerek könnyen megfogalmazható megfontolásokon, heurisztikákon alapulnak. Ha ismert az alternatívák értékelése (pontszámai) a szempontok alapján, valamilyen egyszerű elv alapján kiválasztható a legjobb, vagy legalábbis szűkíthető a vizsgálandó alternatívák halmaza. Például a lexikografikus modellben, ha ismert a szempontok fontossági sorrendje, akkor a legfontosabb szempont szerinti legjobb alternatíva lesz a győztes. Ha több ilyen is van, akkor továbblépünk a második legfontosabb szempontra és az aszerinti legjobb(ak)at választjuk. Az eljárást addig folytatjuk, amíg egyetlen alternatíva marad. Az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit aggregáló módszerekben a többszempontú döntési feladat megoldása az alternatívák szempontok szerinti értékelésén, a szempontok fontosságának meghatározásán, majd az értékeléseknek a szempontsúlyokkal vett aggregálásán keresztül vezet. A legtöbbet hivatkozott modellek a Multi Attribute Utility/Value Theory (MAUT/MAVT, [22]), az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) és a Simple Multi Attribute Ranking Technic (SMART, [9]). Az alternatívák összehasonlítására szolgáló outranking relációt Roy [28] vezette be. A módszer egy elemi lépése annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy milyen mértékben állítható alternatíva preferáltsága egy másikkal szemben egy-egy rögzített szempont esetében. A legismertebb outranking típusú eljárások az ELECTRE [28] és a PROMETHEE [3] módszercsaládok, magyarországi viszonylatban pedig a KIPA [23]. Az elemi szabályokon alapuló modellek kivételével minden módszertanban szükség van a szempontok fontosságának számszerű kifejezésére, azaz a szempontsúlyok meghatározására. A szempontok súlyai mutatják meg a döntéshozó céljait és preferenciáit. A feladat egyik nehézsége, hogy a fontosságnak nincs általánosan elfogadott mértékegysége, azt csak valamilyen skálával együtt lehet értelmezni. Előfordul, hogy a döntéshozó közvetlenül, számszerűen meg tudja adni a szempontsúlyokat, ezt egyszerű közvetlen becslésnek 5

8 is nevezi az irodalom [23]. Nagyobb méretű, összetett feladatoknál azonban nem várható el, hogy a modellező rendelkezésére bocsássa a számszerűsített értékeket. A probléma kisebb részekre történő bontásával azonban elérhető, hogy a döntéshozónak csak egyszerű, világos kérdéseket kell megválaszolnia, azokból mégis előállítható az egész feladat szempontsúly-rendszere. A súlymeghatározás módszerei közül legismertebbek a már említett egyszerű közvetlen súlybecslés, a Churchman-Ackoff- ill. Guilford-féle eljárások [23], lineáris programozási technikák, a SMART súlyozásos módszer [32] és a páros összehasonlításon alapuló modellek, ez utóbbiak egy részosztályával foglalkozok részletesen az értekezésben. Axiómaként elfogadjuk a preferencia-modellezésben használt feltételt, miszerint a döntéshozó képes két dolog (ami lehet pl. a szempontok fontossága) összehasonlítására: meg tudja mondani, hogy valamelyik jobb (vagy nagyobb) a másiknál, vagy egyformák. Condorcet [6] és Borda [2] szavazási feladataikban már az 1780-as években bevezették a páros (vagy páronkénti) összehasonlítás fogalmát mint az egyéni preferenciák alapján felállított rangsor két eleme közötti viszonyt. A kísérleti pszichológiában először Weber és Fechner [13] használták e fogalmat a 19. század közepén, majd az 1920-as években Thorndike [33] és Thurstone [34]. A páros összehasonlítás mint módszer alkalmazási lehetőségeit Kindler [23] történeti és módszertani áttekintése tárgyalja. Az értekezésben a páros összehasonlítások azon változatát tárgyalom, amelyben az elemeket arányskálán hasonlítjuk össze, azaz a döntéshozótól olyan formában várjuk az elemek összehasonlítását, hogy hányszor tekinti az egyiket jobbnak vagy nagyobbnak a másiknál [29]. Az összehasonlítandó elemek a probléma jellegétől függően lehetnek: szempontok fontosságai; az alternatívák rögzített szempont szerinti értékelései; csoportos döntés esetén a döntéshozók szavazóerői. A páronkénti összehasonlításokból felépíthető egy négyzetes mátrix, melynek definíciója a következő: Definíció. osztályát. Az Jelölje R n n + a pozitív valós elemekből álló n n-es mátrixok 1 a 12 a a 1n 1/a 12 1 a a 2n A = 1/a 13 1/a a 3n /a 1n 1/a 2n 1/a 3n R n n +

9 mátrixot páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük, ha minden i, j = 1,...,n indexre teljesül, hogy a ii = 1, (1) a ij = 1. a ji (2) A mátrix a ij eleme azt mutatja meg, hogy a döntéshozó hányszor jobbnak ítéli meg az i-edik objektumot a j-ediknél. (1) alapján az önmagával való összehasonlítás eredménye mindig 1. A (2) tulajdonság azon a feltételezésen alapul, hogy ha a döntéshozó számára az i-edik objektum a ij -szer akkora, mint a j-edik, akkor a j-edik pontosan 1 a ij -szer akkora, mint az i-edik. Az (1)-(2)-ből adódóan n objektum esetén ( n 2) = n(n 1) 2 összehasonlítással adható meg a mátrix. Definíció. Ha egy A = [a ij ] i,j=1,2,...,n R n n + mátrixra (1)-(2)-n túl még a ij a jk = a ik (3) is teljesül minden i,j,k = 1,...,n indexre, akkor konzisztens páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük. Az (1)-(2) feltételeket igen, de (3)-at nem teljesítő mátrixot inkonzisztens mátrixnak nevezzük. A feladat: az elemek páronkénti összehasonlításának (A mátrix) ismeretében a w 1,w 2,...,w n súlyok meghatározása, ahol w i > 0, i = 1, 2,...,n, (4) n w i = 1. (5) i=1 A súlyokat együttesen a w = (w 1,w 2,...,w n ) T súlyvektorral jelöljük. A problémára több megoldási lehetőség kínálkozik. Az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) módszertanban a mátrix legnagyobb sajátértékéhez tartozó jobboldali sajátvektor komponensei adják a súlyokat. Más, távolságminimalizáló módszerekben a mátrix valamilyen célfüggvény szerinti legjobb közelítése alapján lehet a súlyokra következtetni. A legkisebb négyzetek módszere [5] és annak relaxált változatai, mint pl. a súlyozott legkisebb négyzetes, a logaritmikus legkisebb négyzetes, vagy a χ 2 -es feladatok mellett olyan megközelítések találhatók, mint a szinguláris felbontás [17], célprogramozás és lineáris programozás. 7

10 Konzisztens mátrixok esetén minden súlyozási eljárás ugyanazt az eredményt adja. Inkonzisztens esetben a különböző módszerek által eredményezett súlyvektorok kisebb-nagyobb mértékben eltérnek. Golany és Kress [18] több szempont alapján történő összehasonlító elemzéséből kiderül, hogy minden súlyozási módszernek van előnye és hátránya, egyik sem nevezhető a legjobb -nak. A legkisebb négyzetes közelítés feladata (LSM) közel 30 éves, megoldásával azonban kevés dolgozat foglalkozik. A többi módszerrel ellentétben a legkisebb négyzetes feladatról általában nem mondható el, hogy megoldása egyértelmű [20]. A célfüggvény ugyanis nem feltétlenül konvex, és az eddigiekben publikált eljárásoknál ([20], [11]) jelentős nehézséget okoz a stacionárius pontok meghatározása, mivel azok az iterációs elvű numerikus módszereket használják. Az optimális megoldás tehát általában függ az indulópont választásától. Az irodalomban nem találtam olyan eredményt, amely az összes megoldás előállítására ad módszert. Kutatásom célja a következő, tudomásom szerint mások által még nem tárgyalt kérdések vizsgálata volt: a páros összehasonlítás mátrixokra felírt legkisebb négyzetes feladat összes megoldásának előállítása; az összes megoldás ismeretében a páros összehasonlítás mátrixok struktúrájának feltárása; a megoldás nem egyértelműségének döntéselméleti következményei, pl. a döntéshozó ill. az általa kitöltött páros összehasonlítás mátrix inkonzisztenciájára vonatkozóan. A súlyozási módszerek fő alkalmazási területe a többszempontú döntési feladatok szempontjainak meghatározása, de felhasználható az alternatívák értékelésére vagy csoportos döntési problémákban a döntéshozók szavazóerőinek (kompetencia-súlyainak) meghatározására is. Rámutatok továbbá, hogy a legkisebb négyzetes közelítés alkalmazhatóságának nem feltétele az összes ( n 2) elempár összehasonlításának megléte, ebben az értelemben tehát általánosabbnak tekinthető, mint pl. a sajátvektor módszer. 8

11 4. A kutatásban felhasznált módszerek Polinomrendszerek megoldása A legkisebb négyzetes célfüggvény minimalizálásának problémáját az optimalitás elsőrendű feltételeinek többváltozós polinomrendszerre történő átírásával közelítem meg. A matematikai (főleg geometriai) és fizikai-mérnöki problémák (kinetika és egyensúly) gyakran vezetnek polinomiális rendszerek megoldására, mely mint a nemlineáris rendszerek megoldása általában nem könnyű. Az alábbi négy módszert tekintem át, amelyek segítségével kisméretű feladatok megoldhatók: rezultáns módszer; Gröbner-bázisok; általánosított rezultáns módszer; homotópiás algoritmus. Mivel egy adott polinomrendszer összes megoldását keressük, a Newtoniteráción alapuló algoritmusokat nem tárgyalom. Megjegyzem azonban, hogy valamely polinomrendszer-megoldó algoritmus által szolgáltatott megoldás, mely szükségképpen csak közelítő megoldás lehet, a Newton-iteráció indulóértékéül választva tetszőlegesen pontosítható Rezultáns módszer A rezultáns két egyváltozós polinom gyökeiből származtatható, és azt hivatott kifejezni, hogy a polinomoknak létezik-e közös gyöke. Ha igen, a rezultáns definíció szerint nulla. A közös gyök létezésének ezen szükséges feltétele lehetőséget ad arra, hogy egy kétváltozós, kétegyenletes polinomrendszer megoldását egyváltozós polinomok gyökeiből írjuk fel. A rezultáns-módszer elméleti szempontból elegáns, a gyakorlatban való alkalmazhatósága azonban a kétváltozós esetre korlátozódik. 9

12 4.2. Gröbner-bázisok A polinomgyűrűk és ideálok tanulmányozására vezette be Buchberger [4] a Gröbner-bázis fogalmát. Egy adott polinomrendszerhez tartozó Gröbnerbázis egy az eredetivel ekvivalens rendszer, azaz pontosan ugyanazok a gyökei, mint az eredetinek. A Gröbner-bázisbeli polinomrendszer azonban rendelkezik bizonyos tulajdonságokkal is, melyek jól használhatók a polinomokkal való osztás és egyéb vizsgálatok során Általánosított rezultáns módszer A kettő és annál több egyenletből álló polinomrendszerek megoldására vezette be Dixon [7] a később róla elnevezett általánosított rezultáns fogalmát. A Dixon-rezultáns szerepe azonos a rezultánséval: olyan kifejezést keresünk, amely kifejezhető a többváltozós polinomok együtthatóival, és pontosan akkor nulla, ha a polinomiális egyenletrendszernek van megoldása (közös gyöke). A Dixon-rezultánson alapuló Bezout-Dixon-Kapur-Saxena-Yang módszert [21] Lewis implementálta az általa kifejlesztett Fermat szoftverben [24] Homotópiás algoritmus Az utóbbi 25 év során a homotópiás kontinuitási módszerek megbízható és hatékony technikává fejlődtek a nemlineáris rendszerek összes megoldásának meghatározására. Garcia és Zangwill [16], valamint tőlük függetlenül Drexler [8] javasolta elsőként a homotópiás módszerek alkalmazását polinomiális rendszerek összes gyökének numerikus meghatározására. A többváltozós polinomok összes közös gyökének előállítására mint a nemlineáris rendszerek speciális esetének megoldására Li és Gao [25, 15] algoritmusát választottam. 10

13 5. Elméleti és módszertani eredmények 5.1. Az LSM feladat megoldása Az értekezés első részében a páros összehasonlítás mátrixok alapján történő súlyozási módszerek közül a legkisebb négyzetes feladatot (LSM) oldottam meg a 3 3, 4 4,...,8 8-as mátrixokra. A minimalizálandó nemlineáris célfüggvény nemkonvexitása miatt az optimumhely általában nem egyértelmű. A feladat megoldására korábban használatos Newtoniterációs technikák sajátossága, hogy a megoldás érzékeny az indulópont választására. Az általam tárgyalt módszerek az összes lokális és globális minimumhely megkeresésére alkalmasak. Tapasztalataim alapján a 3 3-as mátrixok esetére használható a rezultáns-módszer és a Gröbner-bázisok, 3 3-as és 4 4-es esetben az általánosított rezultánsokat alkalmazó Fermat szoftver, 3 3-astól 8 8-as méretig pedig a homotópiás kontinuitási módszer. Önálló eredmények: a legkisebb négyzetes célfüggvény optimalizálási feladat átírása többváltozós polinomrendszer gyökeinek megkeresésére [S-1]; 3 3-as esetben a rezultáns-módszer implementálása a Maple és a Matlab szoftverekben; tetszőleges méretű mátrix esetében az LSM-feladathoz tartozó polinomrendszer megadása [S-3]. Közös együttműködésben elért eredmények: a 4 4-es mátrixokból felírt 3 egyenletes 3 változós polinomrendszer megoldása a Lewis által implementált Fermat szoftverrel [S-2]; Gao homotópiás algoritmusának alkalmazása a 3 3, 4 4,..., 8 8-as mátrixokból felírt polinomrendszerek megoldására [S-3]. 11

14 5.2. Számítási tapasztalatok Önálló eredmények: A kutatás jelenlegi fázisában a 3 3-as esetben tudok páros összehasonlítás mátrixokat nagy számban generálni, majd azokból automatikusan LSMsúlyokat számolni. A sajátvektor-, a legkisebb négyzetes és a szinguláris módszerek összehasonlítása alapján az alábbi következtetésekre jutottam: a három módszerhez tartozó inkonzisztencia-mérőszámok közül a szinguláris jelentős eltérést mutat a másik kettőhöz képest. A közel konzisztens tartományban a szinguláris módszer inkonzisztencia-definíciója teszi leginkább lehetővé a döntéshozó következetlenségi fokozatainak megkülönböztetését; az EM-inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály szerint elfogadhatónak minősített mátrixok LSM-értelemben is kis hibával közelíthetők; példát mutattam olyan mátrixra, amelynek EM-inkonzisztenciája 10% alatti, SV D-inkonzisztenciája viszont nagy; az inkonzisztencia mértékének növekedésével a különböző súlyozási módszerek által adott súlyvektorok egyre jobban eltérnek egymástól; magas inkonzisztencia-szint mellett az EM-megoldás az egyenlő súlyok ( 1, 1, 1 ) közelében marad, a legkisebb négyzetes megoldás pedig többnyire nem egyértelmű. A páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére szolgáló EM-inkonzisztencia (CR) értéket nagy mintaszámú, véletlenül generált mátrixok statisztikai elemzésével közelítettem meg. Számításaim szerint az EMinkonzisztenciára felírt 10%-os szabály lényeges különbséget mutat a mátrix méretének függvényében: n = 3-ra a véletlen mátrixok jelentős része (28%) elfogadható; n = 4, 5-re kis százaléka fogadható el; n = 6, 7-re található néhány elfogadható; n = 8, 9, 10-re egyetlen elfogadható inkonzisztencia-szintű mátrix sem fordult elő a több milliós mintában. 12

15 Utóbbi eredményem jelenlegi formájában elsősorban kérdésfelvető célzatú: teremthető-e és ha igen, milyen kapcsolat a valós döntési szituációkban konkrét döntéshozó által konkrét problémára felírt páros összehasonlítás mátrixok és a véletlen módon generált mátrixok inkonzisztenciája között? A válaszokhoz további, a gyakorlati feladatokból származó mátrixokat is szerepeltető kutatás szükséges Kutatási lehetőségek A 4 4-estől 8 8-as méretig a súlyok számítása jelenleg egyedileg történik, ezért a statisztikai jellegű elemzés lehetősége korlátozott. A futási eredmények (különösen n = 7, 8 esetében) azt mutatják, hogy döntési feladatok valós időben történő megoldására még nem használhatók, az általam alkalmazott módszertan a kutatás fázisában van. A jelenlegi algoritmusok és számítástechnikai eszközök által megoldható legnagyobb mátrixméret a 8 8-as. Összetett feladatokban azonban felmerülhet ennél nagyobb számú objektum összehasonlításának igénye, ezért keresem a megoldás lehetőségét 9 9-es és es mátrixokra is. Döntési szempontból alapvető fontosságú annak biztosítása, hogy egy páros összehasonlítás mátrixból számolt súlyvektor egyértelmű legyen, ami a sajátvektor- és szinguláris módszerek esetében biztosított. A legkisebb négyzetes megoldás egyértelműségére vonatkozó szükséges és elégséges feltétel azonban még nem ismert. A páros összehasonlítás mátrixok egy osztályában a megoldás nem-egyértelműségére Farkas és Rózsa [12] adott elégséges feltételt. Döntéselméleti és alkalmazási szempontból is lényeges kérdés a különböző súlymeghatározó módszerek összehasonlítása. Célunk, hogy a döntési feladatok jellegzetes vonásainak, típusainak leginkább megfelelő módszert ki tudjuk választani. Ezen jellegzetességek feltérképezése és azonosítása jelenleg is kutatás tárgya. A legkisebb négyzetes közelítés feladata olyan esetekben is felírható, amikor a páros összehasonlítás mátrix nincs teljesen kitöltve. Elsősorban nagyobb méretű (8 8, 9 9, 10 10) mátrixok esetén fontos gyakorlati szempont a döntéshozó idejének hatékony igénybevétele. Kezdeti stádiumban levő eredményeim azt mutatják, hogy az összes n(n 1) páronkénti összehasonlítás 2 helyett elegendő lehet lényegesen kevesebb is. 13

16 6. A páros összehasonlítás mátrix a makroökonómia Leontief-féle input-output modelljében A páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntési problémákon kívül más feladatokban is megjelennek. Ilyen például a Leontief-féle input-output modell dinamikus változata stacionárius növekedés esetén. Stojanović [31] az általa definiált növekedési mátrixot az egyenletesen bővülő gazdaság (minden szektor növekedési rátája azonos) esetében egy páros összehasonlítás mátrix konstansszorosaként írta fel, ahol a konstans a növekedési ráta. Steenge [30] megmutatta, hogy mind a statikus, mind a dinamikusstacionárius Leontief-féle input-output modell felírható páros összehasonlítás mátrix segítségével. Kutatási irányok A gyakorlatban az egyes szektorok növekedésének mért értékeiből felépített mátrix csak közelítőleg teljesíti a fenti modellek feltételeit. A mátrix sajátértékeinek feltérképezésével a modell mint dinamikai rendszer stabilitására vonatkozóan lehet következtetéseket levonni, mint ahogy azt Farkas és Rózsa [10] tette a páros összehasonlítás mátrixok egy speciális szerkezetű perturbált változatának vizsgálatán keresztül. 14

17 7. Alkalmazás: banki projektek rangsorolása Első gyakorlati problémánkban egy nemzetközi háttérrel rendelkező bank projektjeinek rangsorolására adtunk modellt [S-4]. A feladatot egy nemzetközi bank magyarországi fiókja megbízásából az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztályán végeztük el 2001/2002-ben. A feladat olyan rendszer tervezése és annak szoftveres megvalósítására vonatkozó javaslat elkészítése volt, amely egyidejűleg projekt kezelésére alkalmas, az alternatívák dinamikusan változó halmazát is megengedve. A szakirodalomban található modellek közül egyiket sem találtuk közvetlenül adaptálhatónak a feladat megoldására, ezért egy új modellt építettünk fel. A bank szakembereivel közösen kialakított szempontrendszert fastruktúrába rendeztük, majd a banki felsővezetés által megadott páros összehasonlításokból számított szempontsúlyokkal láttuk el. Ez lehetővé tette a rangsoroló mechanizmus működésének a banki stratégiákhoz való illesztését. A projektek (alternatívák) szempontok szerinti értékelését a bank által megadott támpontokon alapuló értékelő (hasznossági) függvények konstrukciójával javasoltuk. A objektív szempontok szerint történő értékelés a beépített függvényeken keresztül automatikusan történik, a szubjektív szempontok szerinti értékelésre pedig egységes, áttekinthető skálákat vezettünk be, megkönnyítendő a folyamatban résztvevő döntéshozók munkáját. A bank 2002-ben vezette be az általunk javasolt módszertan alkalmazását, melynek sikeres működéséről írásbeli referenciát kaptunk. Önálló eredmények: a bank felsővezetése és szakértői által kitöltött páros összehasonlítás mátrixok alapján a szempontsúlyok meghatározása; az alternatívák szempontok szerinti értékelési mechanizmusának kidolgozása, hasznossági függvények konstrukciója a bank képviselője által megadott instrukciók alapján; az Expert Choice szoftver alkalmazhatósági területének körülhatárolása ebben a döntési feladatban. 15

18 8. Modellezés: Agyfarm Második feladatunk az Agyfarm (az akadémiai kutatás kollaboratív kommunikációs és tudományszervezési modellje on-line technológiai környezetben) modellezésében az ajánló rendszer, a felhasználók közötti kapcsolatok feltárása, valamint a csoportképződés folyamatának döntési feladatként való megfogalmazása és megoldása volt [S-5]. Az Agyfarm modellezése a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Média Oktató és Kutatóközpontja (BMGE-MOKK), az MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztálya, és a Frutta Elettronica közös együttműködésében készült. Munkánk során a nemzetközi szakirodalomban is újnak tekinthető döntési modelleket építettünk fel, amelyek lehetővé teszik olyan feladatok kezelését, mint az Agyfarm többezres felhasználói létszámra és több tízezres oldal- és dokumentumszámra tervezett rendszerében valós időben működő ajánlás; a felhasználói aktivitás követése és annak a rendszerbe történő visszacsatolása; a felhasználók egymás közötti kapcsolatainak létrehozása és erősítése; a működtetés során fellépő döntési szituációk. Önálló eredmények: döntési problémaként kezelhető feladatok azonosítása és modellezése; többszempontú döntési problémák szempontrendszerének kidolgozása; szempontok szerinti értékelési mechanizmusok (hasznossági függvények) konstrukciója; szempontsúlyok kiszámítása páros összehasonlítás mátrixok alapján; az Agyfarmban szereplő felhasználói profilok ill. értékelések hasonlóságának mérésére szolgáló lehetőségek áttekintése. 16

19 9. Főbb hivatkozások Hivatkozások [1] Bernoulli, D. [1738]: Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperalis Petropolitanae, Angol fordításban: Exposition of a new theory of measurement of risk, Econometrica 51(4), July, pp [2] Borda, J.C. de [1781]: Mémoire sur les électiones au scrutin, Histoire de l Académie Royale des Sciences, Paris. [3] Brans, J.P. [1982]: L ingéniérie de la décision, Élaboratorion d instruments d aide ŕ la décision. Méthode PROMETHEE, Université Laval, Collogue d Aide ŕ la Décision Québec Canada, pp [4] Buchberger, B. [1985]: An algorithmic method in polynomial ideal theory, in: Multidimensional System Theory, N.K. Bose (editor), D. Rediel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, pp [5] Chu, A.T.W., Kalaba, R.E., Spingarn, K. [1979]: A comparison of two methods for determining the weight belonging to fuzzy sets, Journal of Optimization Theory and Applications, 4, pp [6] Condorcet, M. [1785]: Essai sur l Application de l Analyse à la Probabilité des Décisions Rendues á la Pluralité des Voix, Paris. [7] Dixon, A.L. [1908]: The eliminant of three quantities in two independent variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 7, pp , pp [8] Drexler, F.J. [1978]: Eine Methode zur Berechnung sämtlicher Lösungen von Polynomgleichungssystemen, Numerische Mathematik, 29, pp [9] Edwards, W. [1977]: How to use multiattribute utility measurement for social decision making, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-7, 5, pp [10] Farkas, A., Rózsa, P. [2001]: Data Perturbations of Matrices of Pairwise Comparisons, Annals of Operations Research, 101, pp [11] Farkas, A., Lancaster, P., Rózsa, P. [2003]: Consistency adjustment for pairwise comparison matrices, Numerical Linear Algebra with Applications, 10, pp

20 [12] Farkas, A., Rózsa, P. [2004]: On the Non-Uniqueness of the Solution to the Least-Squares Optimization of Pairwsie Comparison Matrices, Acta Polytechnica Hungarica, Journal of Applied Sciences at Budapest Polytechnic Hungary, 1, pp [13] Fechner, G.T. [1860]: Elemente der Psychophysik, Breitkopf und Härtel, Leipzig. [14] Fishburn, P.C. [1970]: Utility Theory for Decision Making, Wiley, New York. [15] Gao, T., Li, T.Y., Wang, X. [1999]: Finding isolated zeros of polynomial systems in C n with stable mixed volumes, Journal of Symbolic Computation, 28, pp [16] Garcia, C.B., Zangwill, W.I. [1979]: Finding all solutions to polynomial systems and other systems of equations, Mathematical Programming, 16, pp [17] Gass, S.I., Rapcsák, T. [2004]: Singular value decomposition in AHP, European Journal of Operations Research, 154, pp [18] Golany, B., Kress, M. [1993]: A multicriteria evaluation of methods for obtaining weights from ratio-scale matrices, European Journal of Operations Research, 69 pp [19] Guilford, J.P. [1936]: Psychometric Methods, McGraw-Hill Book, New York. [20] Jensen, R.E. [1984]: An Alternative Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, Journal of Mathematical Psychology, 28, pp [21] Kapur, D., Saxena, T., Yang, L. [1994]: Algebraic and geometric reasoning using Dixon resultants. In: Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. A.C.M. Press. [22] Keeney, R.L., Raiffa, H. [1976]: Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs, John Wiley & Sons, New York. [23] Kindler J., Papp, O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata Összemérési módszerek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. [24] Lewis, R.H. : Computer algebra system Fermat. lewis/ 18

21 [25] Li, T.Y. [1997]: Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods, Acta Numerica, 6, pp [26] Menger, K. [1934]: Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre. Betrachtungen in Anschluss an das sogenannte Petersburger Spiel, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5, pp [27] Ramsey, F.P. [1931]: Truth and probability, in: Ramsey, F.P.: The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, ed. R.B. Braithwaite, Kegan Paul, Trench, Trubner and Co., London. [28] Roy, Bernard [1969]: Algebre Moderne et Theorie des Graphes Orientees vers les Sciences Economiques et Sociales, Paris, Dunod. [29] Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York. [30] Steenge, A.E. [1981]: The Verification of Efficient Growth: An Approach via Stojanović s Matrix of Growth, Journal of Macroeconomics, 3, No. 2, pp [31] Stojanović, D. [1974]: Model kretanja privede sap vojvodine na bazi matrice rasta, (English Summary), Mathematika Balkanika, 4. [32] Temesi, J. [2002]: A döntéselmélet alapjai, Aula Kiadó, Budapest. [33] Thorndike, E.L. [1920]: A Constant Error in Psychological Ratings, Journal of Applied Psychology, 4, pp [34] Thurstone, L.L. [1927]: The Method of Paired Comparisons for Social Values, Journal of Abnormal and Social Psychology, 21, pp [35] Wald, A. [1950]: Statistical Decision Functions, Wiley, New York. 19

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék

Részletesebben

Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes közelítése alapján

Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes közelítése alapján Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes közelítése alapján Bozóki Sándor Kivonat A páros összehasonlítások módszere a többszempontú döntési feladatok megoldásának egy lehetséges

Részletesebben

5. Analytic Hierarchy Process (AHP)

5. Analytic Hierarchy Process (AHP) 5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar Kari Tudományos Diákköri Tanács TDK módszertani kurzus 3. alkalom Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra 2016. április 4. A kurzus a Nemzeti

Részletesebben

Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN

Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN Bozóki Sándor SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Témavezető: Dr. Rapcsák

Részletesebben

Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés

Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés XII. előadás Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az

Részletesebben

Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből

Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Rebák Örs 2013. november 26. 1. Bevezetés A bevezetésben tárgyaltakat ismertnek teszem fel, közlésük csupán a teljesség kedvéért történik, illetve mert

Részletesebben

Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok

Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 1 / 28

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Bírálat. Farkas András

Bírálat. Farkas András Bírálat Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával (Appraisal and Development of Transportation Systems Using Multiple Criteria Decision

Részletesebben

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol

Részletesebben

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,..., Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Méréselmélet MI BSc 1

Méréselmélet MI BSc 1 Mérés és s modellezés 2008.02.15. 1 Méréselmélet - bevezetés a mérnöki problémamegoldás menete 1. A probléma kitűzése 2. A hipotézis felállítása 3. Kísérlettervezés 4. Megfigyelések elvégzése 5. Adatok

Részletesebben

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Illés Tibor Keverési modellek Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Keverési modellek matematikai jellemzői Nemlineáris sokszor nem konvex optimalizálási

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

Matematikai modellezés

Matematikai modellezés Matematikai modellezés Bevezető A diasorozat a Döntési modellek című könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István Döntési folyamatok matematikai modellezése Az emberi tevékenységben meghatározó szerepe

Részletesebben

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009. Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása...

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok

Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as

Részletesebben

Hét, páronként érintkező végtelen henger

Hét, páronként érintkező végtelen henger Hét, páronként érintkező végtelen henger Bozóki Sándor 1,2, Rónyai Lajos 1,3, Tsung-Lin Lee 4 1 MTA SZTAKI 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 4 National Sun Yat-sen

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék

Publikációs lista. Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Publikációs lista Dr. Molnárka-Miletics Edit Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudományi Tanszék Folyóirat cikkek: E. Miletics: Energy conservative algorithm for numerical solution of ODEs

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE Komplex termékek gyártására jellemző, hogy egy-egy termékbe akár több ezer alkatrész is beépül. Ilyenkor az alkatrészek általában sok különböző beszállítótól érkeznek,

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

ZÁRÓJELENTÉS. Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József

ZÁRÓJELENTÉS. Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József ZÁRÓJELENTÉS Gazdasági döntések modellezése, 2003-2007, OTKA T043241 Témavezető: Temesi József A kutatás eredetileg 4 évre szólt, azonban engedélyt kértünk és kaptunk egy éves hosszabbításra. A résztvevők

Részletesebben

Válogatott fejezetek a közlekedésgazdaságtanból

Válogatott fejezetek a közlekedésgazdaságtanból Válogatott fejezetek a közlekedésgazdaságtanból 2. Választási modellek Levelező tagozat 2015 ősz Készítette: Prileszky István http://www.sze.hu/~prile Fogalmak Választási modellek célja: annak megjósolása,

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák

Többszempontú döntési problémák Budapesti Corvinus Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák Egyetemi oktatáshoz segédanyag

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK. Elérhetőség

KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK. Elérhetőség KÖZGAZDASÁGTAN GAZDASÁGI INFORMATIKUSOKNAK Oktatók Csongrádi Gyöngyi Kiss Gabriella Dr. Nagy András Elérhetőség Hivatalos honlap http://www.bgf.hu/pszk /szervezetiegysegeink/oktatasiszervezetiegysegek

Részletesebben

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel

Többszempontú döntési problémák. II. Esettanulmányok a WINGDSS szoftverrel Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére

Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére Doktori (PhD) értekezés tézisei Holczinger Tibor Témavezető: Dr. Friedler Ferenc Veszprémi Egyetem Műszaki Informatikai

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK Békési Bertold - Kavas László - Prof Dr. Óvári Gyula HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK A Magyar Honvédség légierejének lehetséges korszerűsítési módja napjainkban

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Új változatelemzési útmutató a közép-kelet-európai régióban:

Új változatelemzési útmutató a közép-kelet-európai régióban: MaSzeSz XII. Országos Konferencia Megvalósított csatornázási és szennyvíztisztítási beruházások értékelése Új változatelemzési útmutató a közép-kelet-európai régióban: DCCC módszer (Dynamic Cost Comparison

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Történet John Little (1970) (Management Science cikk)

Történet John Little (1970) (Management Science cikk) Információ menedzsment Szendrői Etelka Rendszer- és Szoftvertechnológia Tanszék szendroi@witch.pmmf.hu Vezetői információs rendszerek Döntéstámogató rendszerek (Decision Support Systems) Döntések információn

Részletesebben

Fogalmak Navigare necesse est

Fogalmak Navigare necesse est Döntéselmélet Fogalmak Navigare necesse est - dönteni mindenkinek kell A döntés nem vezetői privilégium: de! vezetői kompetencia, a vezetői döntések hatása Fogalmak II. A döntés célirányos választás adott

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA.

LINEÁRIS ALGEBRA. LINEÁRIS ALGEBRA Bércesné Novák Ágnes Honlap: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak Követelményrendszer: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/la/4_la_kovetelmeny.doc Gauss elimináció Vektoralgebra: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet

VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet VALÓS HULLÁMFRONT ELŐÁLLÍTÁSA A SZÁMÍTÓGÉPES ÉS A DIGITÁLIS HOLOGRÁFIÁBAN PhD tézisfüzet PAPP ZSOLT Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fizika Tanszék 2003 1 Bevezetés A lézerek megjelenését

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ

ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ 1 TARTALOM 1.1 A MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ META-SZINTŰ HATÉKONYSÁGÁNAK JAVÍTÁSA A. Az SMM definiálása, a Jackson Keys módszer kiterjesztése

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás

Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

I. HUMÁN TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE

I. HUMÁN TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE I. HUMÁN TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE I.1. Munkatársak kiválasztása hagyományos döntés alapján Jelen esettanulmányunk korábbi [1-3] publikációink összefoglalásának tekinthető. Tekintsük egy vállalat emberi

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 0 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Szolnok 0. május 0. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20

Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Számítógéppel segített folyamatmodellezés Piglerné Lakner Rozália Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Pannon Egyetem Számítógéppel segített folyamatmodellezés p. 1/20 Tartalom Modellező rendszerektől

Részletesebben

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem

műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó Munkahelyek: Nokia -Hungary kft Veszprémi Egyetem Név: Tarnay Katalin Születési adatok: Nyiregyháza, 1933. május 8 Legmagasabb tudományos fokozat, és elnyerésének éve: műszaki tudomány doktora 1992 Beosztás: stratégiai tanácsadó, tudományos tanácsadó

Részletesebben

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml Szakmai önéletrajz 1.1 Személyes adatok: Nevem: Kovács Edith Alice Születési idő, hely: 1971.05.18, Arad Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Név KP Blokk neve KP. Logisztika I. 6 LOG 12 Dr. Kovács Zoltán Logisztika II. 6 Logisztika Dr. Kovács Zoltán

Név KP Blokk neve KP. Logisztika I. 6 LOG 12 Dr. Kovács Zoltán Logisztika II. 6 Logisztika Dr. Kovács Zoltán Név KP Blokk neve KP Felelıs vizsgáztató Kombinatorikus módszerek és algoritmusok 5 MAT 10 Dr. Tuza Zsolt Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek matematikai alapjai 5 Matematika Dr. Hartung Ferenc

Részletesebben

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Csató László Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2011. október 14. Összefoglaló A tanulmány

Részletesebben

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter Publikációs jegyzék Balogh János Jegyzetek, tézis: [1] Balogh J., Maximális folyamok és minimális költségű cirkulációk; algoritmusok és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, 1994. Témavezető: Dr.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 271 276. HULLADÉKOK TEHERBÍRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA CPT-EREDMÉNYEK ALAPJÁN DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST

Részletesebben

Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata. Tóth László Richárd. Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola

Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata. Tóth László Richárd. Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Doktori (PhD) értekezés tézisei Irányítási struktúrák összehasonlító vizsgálata Tóth László Richárd Pannon Egyetem Vegyészmérnöki és Anyagtudományok Doktori Iskola Témavezetők: Dr. Szeifert Ferenc Dr.

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK

SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK SZÁMÍTÓGÉPES VIZUALIZÁCIÓ A MATEMATIKA TANÍTÁSÁBAN: ESZKÖZÖK, FEJLESZTÉSEK, TAPASZTALATOK Karsai János, karsai@silver.szote.u-szeged.hu, Forczek Erzsébet, forczek@dmi.szote.u-szeged.hu, Nyári Tibor, nyari@dmi.szote.u-szeged.hu

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató

Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo Nappali Operációkutatás II. Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás II. Tantárgy kódja: OPKT2KOMEMM Tanterv szerinti óraszám:

Részletesebben

Modellkiválasztás és struktúrák tanulása

Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Szervezőelvek keresése Az unsupervised learning egyik fő célja Optimális reprezentációk Magyarázatok Predikciók Az emberi tanulás alapja Általános strukturális

Részletesebben