A harmonikus rezgőmozgás (emelt szint)

Átírás

1 haronikus rezgőozgás (eelt szint) ozgás jellezői: két szélső helzet között égbeenő periodikus (időben isétlődő) ozgás. Jellező enniségek: rezgésidő (periódusidő): eg teljes rezgés (a két szélső helzet között oda-issza) egtételéhez szükséges idő. f frekencia (rezgésszá): időegségenként égbeenő rezgések száa Hz (/s) ben. - körfrekencia: időegségenként égbeenő rezgések száa szögben (radiánban). Mértékegsége /s. Eg teljes rezgésnek egfelelő szög (radián). ag x kitérés: a rezgő töegpont egensúli helzetétől (középhelzet) a tárg eg adott pillanati helzetéig ért táolság. kitérés lehet pozití ag negatí attól függően, hog a rezgő pont a középhelzet felett ag alatt található az adott pillanatban. kitérés idő függénében áltozik. aplitúdó (a rezgés tágassága): a legnagobb kitérés. Ha eg rezgőozgás csillapítatlan, akkor időben állandó, ha a rezgés csillapított, akkor az aplitúdó időben csökken. rezgőozgás sebessége, gorsulása időben áltozó. Ha a rezgés kitérése, sebessége, gorsulása idő szerint sin ag cos függének, akkor a rezgőozgás haronikus. Ilen ozgás például eg rugóra akasztott tárg (rugalas inga) rezgései, ag a fonálinga lengései. Ha az aplitúdó időben állandó, akkor csillapítatlan haronikus rezgésről ag lineárisharonikus rezgésről beszélünk. Ez eg ideális eset. rugalas ag fonál-inga ozgása lineárisharonikus lenne, ha seiféle fékező hatás ne akadálozná az inga rezgéseit. ozgást leíró törének: kitérés töréne: sebesség töréne: gorsulás töréne: x sin( t) cos( t) a sin( t) Egéb összefüggések: ax = a ax = = f Ha kezdeti állapotában (t=0 pillanatban) a rezgő töegpont ne az egensúli helzeten halad át pozití iránban (x=0, =+), akkor a ozgást leíró egenletekben a sin és cos függének áltozója (t)-ről (t+ 0 )-ra ódosul. 0 a rezgés kezdeti fázisa radiánban. Ha t=0 pillanatban a rezgés kitérése x 0, akkor x 0 = sin 0. rezgőozgást leíró egenleteket leezethetjük, ha eg egenletes körozgást égző töegpontot eg a ozgás síkjába eső egenes tengelre etítjük. rezgő etület aplitúdója egegezik a körpála sugaráal, a körozgás szögsebessége egadja a rezgések körfrekenciáját. a rezgőozgást leíró függéneket a körozgásból száraztathatjuk. egértést segítő aniációt találhatunk a: cíen. Kis szögkitérésekkel lengő ateatikai inga (fonálinga) lengésideje: ahol l a fonál hossza, g a graitációs gorsulás. Rugalas típusú erő: lineáris-haronikus rezgőozgás fenntartásához szükséges erő. z erő indig a rezgő tárg kitéréséel ellentétes iránú, de azzal egenesen arános. lineáris-haronikus rezgés kialakulásának dinaikai feltétele:, ahol D a rugalassági állandó (direkciós erő), a kitérés. Pl: eg rugalas inga esetében a rugó erejének és a graitációs erőnek az eredője rugalas típusú. F D l g

2 Lineáris-haronikus oszcillátor energiája: Ez a ozgás rugalas erő hatására eg égbe, ez az erő konzeratí erő (echanikai energiát ne eésztő erő), ezért a rezgő rendszer összes energiája időben állandó. E D cos ( t) D D (ozgási energia) E p D D sin ( t) (helzeti ag potenciális energia) E E E p D ax D állandó rezgő test szélső helzeteiben (=): E E p D, E 0 rezgő test középhelzetében (=0): E E, E 0 ax p D D Rezgések közben a rendszer potenciális energiája folaatosan ozgási energiáá alakul és fordíta. két energiatípus összege a rezgő rendszer inden állapotában uganakkora.. hulláozgás (eelt szint) Ha eg rugalas közeg alael pontjában eg zaart (perturbációt) keltünk, akkor ez a pont lendületet közetít a közeg szoszédos pontjainak, elek rendre toábbítják a ozgást. Eg idő után a közeg pontjainak eg része ozgásba jön. zt is ondhatjuk, hog a közeg pontjai ozgást és energiát toábbítanak szoszédjainak. Ezt a folaatot neezzük echanikai hullának. hullá egszerűen egfogalaza: eg rugalas közegben terjedő rezgés. Ha a közeg eg pontja folaatos rezgéseket égez (pl haronikus rezgés) akkor a hullá folaatosan terjed a közegben és a közeg inden pontja folaatos rezgésben an. Például, ha eg kifeszített huzal eg égét folaatosan le-fel ozgatjuk, akkor a huzalon eg hullá terjed égig elnek köetkezéneként a huzal inden pontja eg idő után rezegni fog. Ha eg kaicsot ejtünk eg sia ízfelszínre, akkor a felületen léő íz részecskék hullázó ozgásba kezdenek. Ez a hullá koncentrikus körök forájában terjed. Ilenkor felületi hulláról beszélünk. hulláokat két féle kategóriába sorolhatjuk: Longitudinális hulláról beszélünk, ha a hullá terjedése közben a közeg részecskéi a hullá terjedési irána entén rezegnek. Pl: hang ranszerzális a hullá, ha a hullá terjedése közben a közeg részecskéi a hullá terjedési iránára erőlegesen rezegnek. Pl eg kifeszített huzalo terjedő hullá. ranszerzális hullá ne terjedhet gázneű közegben a közeg részecskéi közötti genge kapcsolat iatt.

3 toábbiakban olan hulláról beszélünk el esetében a rezgésforrás haronikus oszcillátor, a rugalas közegben pedig a hullá energiaeszteség nélkül terjed. Ez azt jelenti, hog a közeg inden pontja azonos aplitúdóal és frekenciáal rezeg. hulláokra jellező enniségek: plitúdó (), frekencia (f), periódusidő (), körfrekencia () elek lénegében a rezgésforrás jellezői. Hulláhossz (): a hulláot közetítő rugalas közeg két olan szoszédos pontja közötti táolság elek fázisban rezegnek. (azonos pillanatban haladnak át uganabban az iránban az egensúli helzeten, alaint szélső helzeteken). Belátható, hog a hullá eg periódusni idő alatt hulláhosszni utat halad előre. ehát: = ahol a hullá terjedési sebessége, el a rugalas közeg tulajdonságaitól függ. Longitudinális hullá esetén: ranszerzális hullá esetén: hulláegenlet: R F l ideális gázok esetén, kifeszített huzalban. Ha a hulláforrás eg haronikus oszcillátor (F) elnek rezgéstöréne: F t sin t sin E rugalas rudakban akkor eg Fx irán entén a rezgésforrástól x táolságra található P pont kitérése () az idő függénében: pontok táolsága a hullákeltőtől, x a hulláok útkülönbsége. p t x sin ( ) az illető pont fáziseltérése a hulláforráshoz képest x 0 a közeg két pontjának fáziskülönbsége: x x x, ahol x és x a hang eg longitudinális hullá el leegőben kb. 340 /s sebességgel terjed. Féekben és foladékokban a terjedési sebesség nagobb. hallható hangrezgések frekenciatartoána 0Hz- 0000Hz. hang agasságát a frekenciája adja eg, a hang erősségét a rezgések aplitúdója. Hulláokkal kapcsolatos jelenségek:. Hulláisszaerődés, hullátörés: ha eg hullá két különböző rugalas közeg határfelületére érkezik, akkor egrészt isszaerődik egáltoztata terjedési iránát, ásrészt, pedig átlépi a álasztófelületet egáltoztata hulláhosszát (a terjedési sebesség áltozása iatt). Ilenkor, ha a beeső hullá terjedési irána ne erőleges a határfelületre, akkor egáltozik a terjedési irána is. Ha a ásodik közeg rugalas szepontból sűrűbb, int az első ( < ) akkor a hullá a erőlegeshez törik, ellenkező esetben ( > ) a erőlegestől törik. Ennél a ásodik esetnél túl nag beesési szög esetén egtörténhet, hog a hullá ár ne lépi át a határfelületet,

4 tehát a törés jelensége ne lép fel. Ilenkor teljes isszaerődésről beszélünk. határszög ( H ) az a legnagobb beesési szög elnél a hullá ég átlépi a álasztófelületet. Ha H a törés egszűnik. isszaerődés töréne: isszaerődési szög =beesési szög (=) törés töréne (Snellius-Descartes): sin sin határszög: ahol a törési szög. H sin ( ) sin ( ). Hulláinterferencia (összeteődés): Ha eg rugalas közeg eg pontjába egidejűleg két ag több hullá (rezgés) érkezik akkor ezek összeteődnek. Lénegében ilenkor két ag több rezgőozgás összeteődéséről an szó. Két ag több rezgés összeteődésekor a kitéréseket, sebességeket, gorsulásokat ektorként adjuk össze. Ha az illető pontba két haronikus rezgés érkezik, eleknek frekenciája és rezgésirána egegezik: és akkor a keletkező rezgés egenlete: ahol sin( ) t sin( t 0 ) sin( t 0 ) cos tg 0 sin 0 ( cos Észreehető, hog a két rezgés axiálisan erősíti egást (=ax), ha 0 =k, ai azt jelenti, hog az összeteődő két rezgés fázisban an, tehát a fáziskülönbségük =k (kz). két rezgés gengíti egást (=in) ha 0 ==(k+) (kz). Ha az összeteődő két hullára gondolunk, akkor az eredő aplitúdó a lehető legnagobb, agis interferencia axiuról (erősítés) beszélünk, ha az összeteődő hulláok útkülönbsége x k k Interferencia iniuról (gengítés) beszélünk, ha. (félhulláhossz páratlan száú többszöröse) x (k ) (k ) z interferencia eg érdekes esetét figelhetjük eg, ha eg hullá isszaerő felület felé terjed és az onnan isszaerődő hullá összeteődik a direkt hulláal. Ilenkor állóhullá keletkezik, ai annit 0 ) 0 jelent, hog a közeg pontjainak aplitúdója időben állandó, az aplitúdó értéke a pont helzetétől függ. Vannak olan pontok elek axiális aplitúdóal rezegnek (duzzadóhelek) és annak olan pontok elek ne rezegnek tehát =0 (csoópontok). Ilen jelenség figelhető eg eg kifeszített húron elnek egik ége haronikus rezgéseket égez, ásik ége rögzített. Ugancsak állóhulláok keletkeznek eg egpendített gitárhúron, ag eg egfújt sípban is. Eg rögzített égű húron ag leezen akkor alakulnak ki állóhulláok, ha a húr hossza l k ahol k terészetes szá. Két szoszédos duzzadóhel táolsága, eg duzzadóhel és a szoszédos csoópont táolsága 4.

5 Eg egpendített gitárhúron több állóhullá is egjelenik. Ezek frekenciája: f k ( k ) l, k=0 alaphang, k>0 k-ad rendű felharonikusok. Megpendített húr esetén az alaphang erőssége (rezgések aplitúdója) a legnagobb, a felharonikusoké kisebb. z alaphang és felharonikusok egüttese adja eg a hangszínt, azért színes a húr által kibocsátott hang, ert egszerre több hangot hallunk. Uganez az összefüggés érénes indkét égén nitott gázoszlopban (nitott síp) kialakuló hang állóhulláokra is. Ha a gázoszlop egik égén nitott, ásik égén zárt (zárt síp) akkor: f k (k ) 4l, k=0 alaphang, k>0 k-ad rendű felharonikusok.