MATEMATIKA 7. Megoldások

Átírás

1 MATEMATIKA 7. Megoldások Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A kiadvány megfelel az /0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 8. évfolyama számára..0. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány- és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Flickr, MorgueFile, Pixabay, WikimediaCommons, Wikipedia, Dominic Alves, Kováts Borbála, Louis K., Márton Tünde, Wintsche Gergely, Wolfgang Lonien A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados László Terjedelem:,7 (A/ ív), tömeg:, gramm. kiadás, 0 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program..-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma: Európai Szociális Alap

3 TARTALOM Bevezetés I. Gondolkodjunk! Számold össze! Rendezd sorba! Kiválasztások Igazold! Cáfold! Matematikai játékok Összefoglalás II. Racionális számok és hatványozás... Az egész számok tulajdonságainak áttekintése A törtek Törtek összeadása, kivonása Törtek szorzása, osztása Törtek tizedes tört alakja Műveletek tizedes törtekkel Szöveges feladatok Zárójelfelbontások, összetett műveletek Nagy számok és a hatványalak A hatványozás azonosságai I A hatványozás azonosságai II Normálalak Összefoglalás III. Geometriai transzformációk III. Geometriai transzformációk Fontos geometriai fogalmak Síkidomok, testek Geometriai transzformációk Középpontos tükrözés A középpontos tükrözés alkalmazása Szögpárok Középpontos és tengelyes szimmetria Paralelogramma és deltoid A paralelogramma területe A háromszög területe A trapéz területe A deltoid területe Középpontosan szimmetrikus alakzatok Sokszögek Szerkesztések Összefoglalás

4 TARTALOM V. Geometria IV. Oszthatóság, egyenletek Számelmélet A tanult ismeretek áttekintése Összetett számok prímtényezős felbontása Osztó, többszörös Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös Egy kis logika Oszthatósági szabályok Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! Matematikai játékok Arányosságról még egyszer Mit tudunk a százalékszámításról?.. 6. Összetett százalékszámítási feladatok Szöveges feladatok Számok és betűk használata Egyenletek megoldása Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Összefoglalás Egybevágó háromszögek Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között A háromszög és a köré írt köre A háromszög és a beírt köre Magasságvonalak a háromszögben Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben Sokszögek szögei és átlói A kör kerülete A kör területe A hasáb felszíne és térfogata A henger felszíne és térfogata Összefoglalás VI. Függvények, statisztika VI. Függvények, statisztika Két halmaz közötti hozzárendelések.. 6. Függvények és grafikonjaik Olvassunk a grafikonról! Ábrázoljunk képlet alapján! Keressünk szabályokat! Átlag, módusz, medián Gyakoriság, relatív gyakoriság Valószínűség Összefoglalás

5 I. GONDOLKODJUNK! Esztert és Kristófot első hallásra nem hozta lázba a kötelező tanulmányi kirándulás híre. Láttad, hogy Judit néni még azt is előírta, hogy előadást tartsunk a többieknek? fordult Eszter Kristófhoz. Kristóf csak bólogatott, de nem válaszolt, mert teljesen elmerült annak az új téridőtrafónak a tanulmányozásában, amit az iskola egy nemzetközi pályázaton nyert. A szerkezet lehetővé tette, hogy az osztály néhány tagja a kirándulás alkalmával szabadon mozogjon a térben és az időben. A kezdeti unott várakozást és az első téridőutazást követően Kristóf úgy fordult Eszterhez, mintha csak az egy nappal korábban feltett kérdésére válaszolna, bár ez alkalommal elégedett mosoly terült szét az arcán. Azt hittem, halálosan unalmas lesz, de ez elképesztő volt! Láttuk Arisztotelészt meg Alexandroszt fiatalon. Ott sétáltak előttünk, akár meg is tudtuk volna érinteni őket! És az a fordítókütyü, amit kaptunk, Attila eddigi legjobban sikerült szerkezete! Érdekes volt hallani, amikor Arisztotelész arról magyarázott, hogyan emlékezünk azokra a dolgokra, amiket korábban érzékeltünk, és hogy tulajdonképpen ebből következik az, hogy tudunk valamit mondta Eszter elgondolkodva. Kár, hogy utána a katonák elvitték a kis Nagy Sándort vívóedzésre. Rémes, hogy még be sem jelölhetem facebookon! nevetett Kristófra, aki lelkesen böngészte a következő utazás kiírását a neten.

6 I. SZÁMOLD ÖSSZE! Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Hány darab kétjegyű páros szám van? b) Hány darab háromjegyű páratlan szám van? c) Hány darab négyjegyű öttel osztható szám van? a) 0-től 99-ig összesen 90 darab kétjegyű szám van, ebből minden második páros. Azaz ilyen szám van. b) 00-től 999-ig összesen 900 darab háromjegyű szám van, ebből minden második páratlan. Azaz 0 ilyen szám van. c) 000-től 9999-ig összesen 9000 darab négyjegyű szám van, ebből minden ötödik osztható öttel. Azaz 800 ilyen szám van. Nekeresdiában csak öt betű van: két magánhangzó és három mássalhangzó. Minden szó hárombetűs, és pontosan egy magánhangzót tartalmaz. Hány szó lehet összesen Nekeresdiában? Legyen az öt betű: a, b, c, d, e. A három mássalhangzóból kettőt kell választanunk: bb, bc, bd, cc, cd, dd. Ezekhez vagy az a, vagy az e magánhangzót hozzá kell tennünk. A három különböző betűt hatféleképpen tudjuk sorba rendezni. Ha a szóban van két egyforma betű, akkor háromféle sorba rendezés van. Így a darabszám: ^ h =. Vagyis szó van Nekeresdiában. Egy társasjátékban annyit léphetsz előre a bábuddal, amennyit a dobókockával dobsz. A startmező sorszáma 0. a) Hányas sorszámú mezőkön állhat a bábud, ha már háromszor dobtál? b) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a 7-es mezőre került? c) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a 9-es mezőre került? a) A legrosszabb esetben mindháromszor -est dobtunk, ekkor a -as mezőn áll a bábu, a legjobb esetben pedig három 6-ost, ekkor a bábu a 8-as mezőn áll. A két szám között mindegyik mezőre eljuthattunk. b) A 7-es mezőre csak úgy juthat el a bábu, ha két 6-ost és egy -öst dobtunk. Az érintett mezők sorszámai esetenként: az első dobás -ös:,, 7; a második dobás -ös: 6,, 7; a harmadik dobás -ös: 6,, 7. Tehát a bábu az., 6.,.,. sorszámú mezőkön állhatott. 6 GONDOLKODJUNK!

7 SZÁMOLD ÖSSZE! I. c) A három dobásból az első -től 6-ig bármi lehet, mert utána a bábu akár a 7-es, akár a 8-as mező érintésével két dobásból eljuthat a 9-es mezőre. Tehát a bábu -től 8-ig bármelyik sorszámú mezőn állhatott. Növekedő számsort kell készítened pozitív egész számokból. A számsorban a 0 legyen a legnagyobb szám, és az -nek is szerepelnie kell benne. Az öttel osztható számok elé mindig pontosan egy darab nem öttel osztható számot kell írnod. Hányféle számsort tudsz készíteni? A számsor mindig hosszúságú lesz, a második tagja az, a negyedik, egyben utolsó tagja pedig a 0. A növekedés miatt az elé írható számok:,,, ; a 0 elé írható számok: 6, 7, 8, 9. Ezért $ = 6 ilyen számsor készíthető. Válaszolj a kérdésekre! a) Hány egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát? b) Hány darab négyzetet határoznak meg a sakktáblát kijelölő egyenesek? a) = 8 egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát. b) A sakktáblára 8 különböző méretű négyzet rajzolható. Ha a legkisebb négyzetet a bal felső sarokba rajzoljuk, akkor vízszintesen és függőlegesen is nyolc helyre tolhatjuk el. Az összes lehetséges helyzet figyelembevételével 6 esetet kapunk. A különböző méretű négyzeteket hasonlóan végiggondolva összesen = 0 négyzetet kapunk. Tehát a sakktáblát kijelölő egyenesek 0 négyzetet határoznak meg. 6 Figyeld meg a korábbi ábrán Dürer Melankólia című metszetét, majd válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Mennyi a bűvös száma a metszeten látható négyszer négyes bűvös négyzetnek? b) Mennyi a számok összege a besatírozott mezőkben? a) A bűvös szám: =. b) = = GONDOLKODJUNK! 7

8 I. SZÁMOLD ÖSSZE! = = = = 7 Liza szobájából a szemközti házon háromszor négy ablak látható. Este megfigyelte, hogy ezek közül négy mögött nem ég a villany. A sötét ablakok sem sarkukkal, sem oldalukkal nem érintkeznek. Hányféleképpen helyezkedhet el ez a négy ablak? Rajzolj a füzetedbe! A négy sötét ablak csak úgy helyezkedhet el, hogy kettő a felső és kettő az alsó emeleten van. Egy sorban három lehetőség van: Ezek közül bármelyik lehet a felső és az alsó sorban is, így $ = 9 eset lehetséges. 8 GONDOLKODJUNK!

9 SZÁMOLD ÖSSZE! I. 8 Az ábrán egy olyan, négyzet alakú ablakokból álló sorozat első négy elemét látjuk, amelyekre rácsot terveztek. Az első ablakot a rács két, a második ablakot hat egyforma részre osztja, és így tovább. a) Hány darab függőleges szakaszból állna a rács a hetedik ablakon? b) Hány darab vízszintes szakaszból állna a rács a nyolcadik ablakon? c) Hány részre osztaná a rács a tizedik ablakot? d) Hány cm lenne egy kis téglalap területe az ötödik ablakon, ha az eredeti ablak, m területű? e) Hányadik ablakot osztaná a rács 9900 részre? a) 7 függőleges szakaszból. b) 7 vízszintes szakaszból. c) Az. ablakot, a. ablakot, a harmadik ablakot, a sorozatot folytatva a 0. ablakot 0 = 0 részre osztaná a rács. d) Az ötödik ablak 6 = 0 kis téglalapból áll, ezért egy téglalap 00 : 0 = 80 cm területű lenne. e) 9900 = 99 00, vagyis a 99. ablakot osztaná a rács ennyi részre GONDOLKODJUNK! 9

10 I. RENDEZD SORBA! Feladatok Készíts háromjegyű számokat a képen látható számkártyák mindegyikének felhasználásával! Sorold fel az összes esetet! Hány esetben kaptál négyzetszámot? A háromjegyű számok: 69, 96, 69, 69, 96, 96. Ezek közül négyzetszámok: 69 =, 96 =, 96 =. Hányféle sorrendben rakhatod egymás mellé a következő szavak betűit? A megoldások között értelmes szavak is lesznek. Írd le ezeket! a) RÉT; b) ADNI; c) TAPOS. a) 6-féleképpen. Értelmes szavak: RÉT, TÉR, ÉRT, TRÉ. b) -féleképpen. Értelmes szavak: ADNI, ANDI, DANI, INDA, INAD. (Esetleg: ANID, DINA.) c) 0-féleképpen. Értelmes szavak: TAPOS, POSTA. Lázár Ervin A Négyszögletű Kerek Erdő című mesekönyvében olvashatsz arról, hogy az erdő lakói költői versenyt rendeztek. Szerették volna eldönteni, hogy ki a legnagyobb költő közöttük. Nagyon sok vers született. Bruckner Szigfrid ezt írta: Ej, mi a kő! tyúkanyó, kend a szobában lakik itt bent? Miután a többiek elmagyarázták neki, hogy ez nem az ő verse, a következő változattal állt elő: Ej, kend, tyúkanyó, mi a kő, itt bent lakik a szobában? Hányféle változatot írhatott volna ilyen módon Bruckner Szigfrid, ha csak soronként keverte össze a szavakat, és a kő és a szobában szavak előtt az a névelőt mindig megtartotta? Az első sorban lévő öt szót 0, a második sorban lévő négy szót pedig féleképpen keverhette össze Szigfrid. Ez összesen 0 = 880 különböző vers, de ezek közül egy az eredeti, ezért 879 féle változatot írhatott volna. 0 GONDOLKODJUNK!

11 RENDEZD SORBA! I. A egy olyan kilencjegyű szám, amelyikben az összes pozitív számjegy szerepel. Hány ilyen kilencjegyű szám készíthető, ha először a páros, aztán a páratlan számjegyeket kell felhasználnod? A négy páros számjegy -, az öt páratlan számjegy 0-féleképpen rendezhető sorba. Ez összesen 0 = 880 különböző szám. Az iskolai verseny döntőjébe a tíz legjobb sakkozó került. Hányféleképpen alakulhat az arany-, ezüst-, bronzérem kiosztása? Az aranyérmet 0, az ezüstérmet a maradék 9, a bronzérmet a maradék 8 versenyző bármelyike kaphatta. Ez összesen = 70 lehetséges éremosztás. 6 Hány különböző ötjegyű számot tudsz előállítani a 0,,,, számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A nullát nem tehetjük az első helyre, mert akkor négyjegyű számot kapunk. A tízezresek helyére, az ezresekére, a százasokéra, a tízesekére, az egyesekére számot írhatunk. Ez összesen = 96 különböző ötjegyű szám. GONDOLKODJUNK!

12 I. KIVÁLASZTÁSOK Feladatok Hány olyan nyolcjegyű szám van, amelynek számjegyei csökkenő sorrendben követik egymást? A számból kell kihúznunk két számjegyet, így a feltételeknek megfelelő számot kapunk. Elsőként bármelyiket kihúzhatjuk. Ez 0 lehetőség. Másodikra bármelyiket a megmaradt 9-ből. Ez öszszesen 0 9 = 90 eset. Így azonban minden esetet kétszer számoltunk, vagyis 90 : = különböző kihúzás lehetséges. Tehát olyan nyolcjegyű szám van, amely megfelel a feltételeknek. Egy nyolcszemélyes társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt összesen? Mindenki hét emberrel fogott kezet, így viszont minden kézfogást kétszer számoltunk. Tehát összesen 8$ 7 = 8 kézfogás történt. Hét pont úgy helyezkedik el a síkon, hogy semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Hány darab szakaszt kell rajzolnod, ha minden lehetséges módon összekötöd őket? y A C Mind a hét pontból hat különböző szakasz rajzolható, így viszont minden szakaszt kétszer számoltunk. Tehát összesen 7$ 6 = szakasz rajzolható. B 0 x B C Egy fős csoportban mozijegyet kell kiosztani. Egynél több jegyet senki nem kaphat. Hányféle kiosztás lehetséges? Válasszuk ki azt a két főt, akik nem kapnak mozijegyet! Az egyik, a másik a maradék ember közül kerülhet ki, így viszont minden párt kétszer számoltunk. Összesen $ = 0-féle kiosztás lehetséges. A GONDOLKODJUNK!

13 KIVÁLASZTÁSOK I. Az iskolai pályázatra öt pályamű érkezett. A három legjobbat díjazzák. A díjakat nem különböztetik meg egymástól. Hányféleképpen történhet a díjazás? Legyen az öt versenyző A, B, C, D és E. A díjazottak lehetnek: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Vagyis a díjazás 0-féleképpen történhet. 6 Egy társasjátékhoz hat darab különböző színű bábu tartozik: piros, zöld, fehér, sárga, lila és fekete. Hárman szeretnének játszani, ezért három bábut kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? Sorold fel az eseteket! A hat szín rövidítve: p, z, f, s, l, (feket)e. Vizsgáljuk a következő két esetet:. eset: Van piros a kiválasztott bábuk közt: pzf, pzs, pzl, pze, pfs, pfl, pfe, psl, pse, ple.. eset: Nincsen köztük piros: zfs, zfl, zfe, zsl, zse, zle, fsl, fse, fle, sle. Mindkét esetben 0 különböző bábuhármast választhattunk, vagyis összesen 0-féleképpen lehet a három bábut kiválasztani. 7 Egy sakkfeladványt öt bábuval lehet kirakni a sakktáblára: három világossal és két sötéttel. Tudjuk, hogy a világos és a sötét királynak is a táblán kell lennie, továbbá nem lehet két azonos világos bábu a táblán. Hányféle kiválasztása lehet a bábuknak egy ilyen feladvány esetén? A lehetséges figurák a király, vezér, bástya, huszár, futó és a gyalog. A királyok a táblán vannak, ezért csak a maradék három bábut kell kiválasztanunk hozzá. A fehérek esetében az öt bábuból tízféleképpen választhatunk kettőt, a fekete király mellé pedig a fekete bábu az ötféle egyike lesz. Ez összesen 0 = 0-féle kiválasztás. GONDOLKODJUNK!

14 I. IGAZOLD! CÁFOLD! Feladatok Döntsd el a tankönyv. példájában szereplő mondatokról és megfordításaikról, hogy igazak vagy hamisak! A hamis állításokat cáfold! a) Ha egy állat ló, akkor négylábú. I A megfordítása: Ha egy állat négylábú, akkor ló. H A róka is négylábú és nem ló. b) Ha egy négyszög rombusz, akkor tengelyesen tükrös. I A megfordítása: Ha egy négyszög tengelyesen tükrös, akkor rombusz. H A deltoidok tengelyesen tükrösek, de nem feltétlenül rombuszok. c) Ha egy szám pozitív egész szám, akkor a reciproka pozitív tört szám. H Az pozitív és egész, de a reciproka nem tört. A megfordítása: Ha egy szám pozitív tört szám, akkor a reciproka pozitív egész szám. H Az, pozitív és tört, de a reciproka nem egész. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! Az igaz állításokat igazold, a hamisakat cáfold! a) Ha egy négyszög minden oldala egyenlő, akkor az négyzet. b) Ha egy egész szám -re végződik, akkor osztható -tel. c) Ha egy állatnak hat lába van, akkor az rovar. d) Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor az deltoid. a) Ha egy négyszög négyzet, akkor minden oldala egyenlő. Igaz, mert a négyzet minden oldala egyenlő. b) Ha egy szám -tel osztható, akkor -re végződik. Hamis, mert nullára is végződhet. c) Ha egy állat rovar, akkor hat lába van. Igaz, mert a rovaroknak hat lába van. d) Ha egy négyszög deltoid, akkor van szimmetriatengelye. Igaz, mert minden deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög. GONDOLKODJUNK!

15 IGAZOLD! CÁFOLD! I. Tudunk mondani olyan igaz állításokat, amelyeknek a megfordítása is igaz. Például: Ha egy pozitív egész szám osztható -tel, akkor az utolsó számjegye 0 vagy. Ha egy pozitív egész szám utolsó számjegye 0 vagy, akkor osztható -tel. Ilyenkor a két mondatot egy igaz állításként is megfogalmazhatjuk: Egy pozitív egész szám akkor és csak akkor osztható -tel, ha utolsó jegye 0 vagy. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Ha az eredeti állítás és a megfordítása is igaz, akkor fogalmazd meg őket egy igaz állításként! a) Ha egy négyszög deltoid, akkor a két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható -vel, akkor osztható -gyel. c) Ha egy háromszög két oldala egyenlő hosszúságú, akkor tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható -tel, akkor osztható -mal és -tel. a) Ha egy négyszög két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, akkor deltoid. Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható -gyel, akkor osztható -vel. c) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, akkor két oldala egyenlő hosszúságú. Egy háromszög két oldala akkor és csak akkor egyenlő hosszúságú, ha tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható -mal és -tel is, akkor osztható -tel. Egy szám akkor és csak akkor osztható -tel, ha osztható -mal és -tel is. A Minden négyzet téglalap állítás tagadása: Nem igaz, hogy minden négyzet téglalap. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan négyzet, amelyik nem téglalap. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Minden paralelogramma rombusz. b) Minden bogár rovar. c) Minden kocka téglatest. a) Van olyan paralelogramma, ami nem rombusz. I b) Van olyan bogár, ami nem rovar. H c) Van olyan kocka, ami nem téglatest. H GONDOLKODJUNK!

16 I. IGAZOLD! CÁFOLD! A Nincs olyan háromszög, amelyben két tom paszög van állítás tagadása: Nem igaz, hogy nincs olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Nincs olyan háromszög, amelyben két derékszög van. b) Nincs olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. c) Nincs olyan test, amelyiknek hat lapja van. a) Van olyan háromszög, amelyben két derékszög van. H b) Van olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. I c) Van olyan test, amelyiknek hat lapja van. I 6 GONDOLKODJUNK!

17 MATEMATIKAI JÁTÉKOK I. Feladatok Dóri és Zsombi továbbra is a lecke első játékát játsszák. a) Zsombi kimondta a 7-et. Mit mondjon Dóri, hogy megnyerje a játékot? b) Dóri kimondta a 6-os számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? c) Zsombi kimondta a -es számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? a) Dóri mondjon 0-at, ekkor Zsombi biztosan veszíteni fog a legalább -gyel. b) Zsombi 7-et, 8-at vagy 9-et mond, utána Dóri 0-at, ezután Zsombi kénytelen kimondani a - et, így veszített. c) Dóri 6-ot mond, onnantól pedig az a) rész megoldása szerint zajlik a játék tovább. Hogyan változik a taktikád a lecke első játékában, ha a) az előző számot maximum -gyel lehet növelni, és a -et nem szabad túllépni? b) az előző számot maximum 6-tal lehet növelni, és a 0-et nem szabad túllépni? a) A nyerő stratégia a 0,, 0,, 0, kimondása. Tehát a kezdés lehetőségét érdemes átadni a másik félnek. b) A nyerő stratégia a 9,,, 8,,, 7 kimondása, ezért a kezdés lehetőségét át kell engedni a másik félnek. Gondold tovább a lecke második játékában megkezdett játszmát! Véleményed szerint ki fog nyerni? Az nyer, aki a jobb szélső kupakot a saját lépéseinél a tetejére fordítja. GONDOLKODJUNK! 7

18 I. MATEMATIKAI JÁTÉKOK A lecke második játékában megismert szabályokkal kell játszanod. Szeretnél kezdeni? Válaszodat indokold, és rajzold le a folytatást a füzetedbe! a) b) c) d) a) Nem szeretnénk kezdeni. Folytatás (F = felfordított kupak, R = rendesen álló) : RRRFF; RRRRR. b) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRRFR; RRRRF; RRRRR. c) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRFFR; RRRRF; RRRRR. d) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RFFFR; RRRRF; RRRRR. 8 GONDOLKODJUNK!

19 6 ÖSSZEFOGLALÁS I. Feladatok Írd fe a 0,, 6 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezhető összes a) páros számot; b) páratlan számot; c) öttel osztható számot! a) 06, 60, 60 b) 60 c) 60, 60 Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Hányféle sorrendben helyezheted egymásra az ötödikes matematikakönyved, a munkafüzeted, a hatodikos matematikakönyved és a munkafüzeted? b) Az előző kupac tetejére ráteszed a hetedikes matematikakönyvedet és a munkafüzetedet is. Így hányféle sorrend alakulhat ki összesen? a) A legalsó helyre négy könyv közül választhatok, rá a maradék háromból tehetem az egyiket, majd kettő közül választok, végül a maradék negyediket teszem a tetejére. Ez összesen = -féle sorrend. b) A két tankönyvet kétféleképpen tehetem a kupac tetejére, ez megkétszerezi az eddigi sorrendek számát, vagyis 8-féle sorrend alakulhat ki. Hányféle betűsor készíthető az Á, I, D, K betűk mindegyikének egyszeri felhasználásával? Hány értelmes szó keletkezett így? Az. feladat a) megoldása szerint gondolkozva = -féle betűsor készíthető. Ezek közül az értelmesek: DIÁK, KÁDI. Esetleg még elfogadható: KIÁD (kiad régiesen), ÁDIK (Ádámok becézve), ÁKID (Ákosod becézve), IDÁK. Egy barátságos tornán öt labdarúgócsapat vett részt. a) Hányféle sorrendben végezhettek? b) Hányféle sorrendben végezhettek, ha a két legesélyesebbnek kikiáltott csapat valóban az első két helyet szerezte meg? a) = 0-féle sorrendben végezhettek. b) Az első két helyezés kétféleképpen alakulhatott, az utolsó három helyezés pedig = 6-féleképpen. Tehát a torna végére összesen 6 = -féle sorrend alakulhatott ki. GONDOLKODJUNK! 9

20 I. 6 ÖSSZEFOGLALÁS Hány darab nél nagyobb -tel osztható szám készíthető az,,, 7, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A szám akkor lesz nagyobb nél, ha az első számjegye mindig a 9-es. Az öttel való oszthatóság miatt pedig az egyesek helyére csak az -ös kerülhet. A középső három helyi értékre a maradék három számjegy tetszőleges sorrendben letehető, így 6 ilyen szám készíthető: 9 7, 9 7, 9 7, 9 7, 97, Az ABCDEFGHIJ tízszög csúcsaiból nyolcat kell választanod. Hány nyolcszöget kaphatsz ilyen módon? Ha az összes lehetséges módon kihúzzuk azt a két csúcsot a betűsorozatból, amit nem választunk a nyolcszög megrajzolásához, akkor megkapjuk a kérdésre a választ. Ezt összesen 0 $ 9 = -féle módon tehetjük meg, vagyis nyolcszöget kaptunk. 7 A 8 fős osztályban egy osztálytitkárt, egy sportfelelőst és egy gazdasági felelőst választanak. Hányféleképpen lehetséges ez? Az osztálytitkárt 8 főből, a sportfelelőst a maradék 7 főből, a gazdasági felelőst a maradék 6 fő közül választja az osztály. Ez összesen = 9 66-féleképpen lehetséges. 8 Panni firkálgatott a kockás füzetébe és egy idő után ezt látta maga elött: a) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha csak jobbra vagy lefelé léphet? b) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha egymás után legfeljebb kétszer léphet jobbra vagy lefelé? G Á S P Á R Á S P Á R S P Á R P Á R Á R R a) A Gáspár név kiolvasásának módját a következő módon írhatjuk le: L ha Panni lefelé halad, J ha Panni jobbra lép. Minden betű után, tehát összesen alkalommal, dönthet Panni arról, hogy lefelé vagy jobbra halad tovább, ezért a helyes kiolvasások az L és J betűkből álló hosszúságú sorok. Ilyen betűsorból pedig összesen: = van, azaz Panni féle módon olvashatja ki az ábrájából a Gáspár nevet. b) Vonjuk ki az összes lehetőségből azokat, melyek nem felelnek meg a feladat feltételének, azaz a, vagy azonos irányú lépést tartalmazókat! Ezek: JJJJJ, LLLLL, JJJJL, JJJLJ, JLJJJ, LJJJJ, LLLLJ, LLLJL, LJLLL, JLLLL, JJJLL, LJJJL, LLJJJ, LLLJJ, JLLLJ, JJLLL, A lehetséges kiolvasások száma tehát = 6 = 6. 0 GONDOLKODJUNK!

21 6 ÖSSZEFOGLALÁS I. 9 Fogalmazd meg a következő mondatok megfordításait! Minden esetben dönts, hogy melyik igaz és melyik hamis! a) Ha egy tört számlálója és nevezője is páros szám, akkor a tört egyszerűsíthető. b) Ha egy háromjegyű szám minden számjegye egyenlő, akkor osztható hárommal. c) Ha egy egész szám végződése 7, akkor osztható -tel. d) Ha egy szám osztható néggyel, akkor osztható hússzal. a) Ha egy tört egyszerűsíthető, akkor a számlálója és a nevezője is páros szám. H b) Ha egy háromjegyű szám osztható hárommal, akkor minden számjegye egyenlő. H c) Ha egy szám osztható -tel, akkor a végződése 7. H d) Ha egy szám osztható hússzal, akkor osztható néggyel. I 0 Fogalmazd meg a következő állítások tagadását! a) Minden macska szereti a tejet. b) Nincs olyan macska, amelyik fehér. c) Minden macska tud nyávogni. d) Van olyan macska, amelyik fekete. a) Van olyan macska, amelyik nem szereti a tejet. b) Van olyan macska, amelyik fehér. c) Van olyan macska, amelyik nem tud nyávogni. d) Nincs olyan macska, amelyik fekete. GONDOLKODJUNK!

22

23 II. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS Bár a második útra Gazsi és Attila kártyáját sorsolta ki a véletlenszám-generátor, az al-hvárizmiről szóló Wikipédia-lapot valamennyi gyerek elolvasta. A két szerencsés időutazó reménykedett, hogy a 800-as évek elejének Perzsiájába való utazás legalább annyira izgalmas lesz, mint az előző páros útja. A két fiú már jó előre beállította a fordító protokollrobotot, így a megérkezés pillanatában még épp elcsípték a következő beszélgetést: Miért rajzolsz magadnak négyzeteket és téglalapokat? kérdezte érdeklődve Rashid. Egyenleteket oldok meg. Nézd csak, ha itt egy téglalapot is rajzolok, akkor épp kiegészítem az egészre válaszolta al-hvárizmi. Rashid nem tágított, mindenképpen megpróbálta kizökkenteni az elmélyülten dolgozó tudóst. Miért használsz hindu jeleket? Én is láttam már néhány helyen, de nem szoktam használni őket. Sokkal kényelmesebb. Ezt ideírom, ezt meg alá, és kész is az összeadás. Gyors vagy. Lehet ezekkel az új jelekkel szorozni is? Persze. Gyere el délután az iskolába, ahol gyerekeknek magyarázok mosolyodott el al-hvárizmi, és visszafordult a rajzaihoz. Láttad? Súgta Attila Gazsinak. Már az új számokat használja. Kicsit hasonlítanak a mi számainkra, de sok különbség is van. Úgy tűnik, több mint 000 éve ugyanazokat a dolgokat tanuljuk a suliban somolygott Gazsi, aki már elképzelte, hogyan meséli el a többieknek, hogy már ezer éve is az összeadást és a szorzást kellett gyakorolni az iskolában.

24 II. AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE Feladatok Mennyi a kiemelt számot helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 60; b) 7; c) 0. A megoldásokat táblázatba foglaltuk. Helyi érték Alaki érték Valódi érték Furavilágban egy év hónapból, egy hónap hétből, egy hét napból áll. Hány napig tart Furavilágban a hétéves katonai szolgálat? év = hónap = hét = nap = nap 7 év = 7 = napig tart a szolgálat. Gerzson úgy döntött, március -től sportos életet él és minden nap futni fog. Első nap lefutott kilométert, majd ezt a távot kétnaponta 00 méterrel növelte. a) Hány métert fut majd április 0-én? b) Hány kalóriát égetett el március -én, ha km lefutása alatt 0 kalóriát éget el? a) Mivel a táv naponta 00 méterrel nő, így március. és április 0. között 0-szor 00 méterrel nőtt, tehát Gerzson = 000 métert futott le április 0-én. b) Március -én = 00 méter =, km-t futott, így, 0 = kalóriát égetett el. Döntsd el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak! a) Két természetes szám összege természetes szám. b) Két egész szám összege egész szám. c) Ha két egész szám összege természetes szám, akkor mindkét szám természetes szám. d) Ha egy szám kétszerese egész szám, akkor a szám is egész szám. a) Igaz b) Igaz c) Hamis d) Hamis RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

25 AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE II. Flóra három legjobb barátnője számára összeállított egy oldalas újságot, amelynek 9 oldalán színes fényképek is vannak. Számold ki, hány forintba kerül négy példány kinyomtatása, ha tudod, hogy egy színes oldalt 8 Ft-ért, egy fekete-fehéret pedig Ft-ért nyomtatnak ki! (9 8 + ) = 880 forintba került. 6 Határozd meg, hogy melyik műveletsor eredménye pozitív, negatív, illetve nulla! a) ; b) ; c) ; d) 7 - ( + ); e) 7 - ( - ); f) 7 + ; g) (7 + ) ; h) 7 -. a) pozitív; b) pozitív; c) nulla; d) 7 - ( + ) nulla; e) 7 - ( - ) pozitív; f) 7 + pozitív; g) (7 + ) pozitív; h) 7 - negatív. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

26 II. A TÖRTEK Feladatok Add meg az alábbi egész számokat tört alakban! Keresd meg az egyenlőket! Melyik számnak nincs párja? , 0, ,,,7 = 0, ; 7 = 7, ; =, ; 7 = 07, o. A,-nek nincs párja. Írj három-három olyan törtet, amelyek értéke megegyezik az alábbi számokkal! a) ; a) = 6 = 9 = ; b) - ; b) - =- =- =- ; c) ; c) = = 6 = 8 ; d) ; d) = 6 = = 78 ; e) ; e) - =- 6 =- 9 =- ; f) - ; f) - =- 9 =- 8 =- 87 ; 0 g) 0; g) 0 = 0 = 0 = 0 ; h). h) = = 6 = RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

27 A TÖRTEK II. Válogasd ki az alábbi számhalmazból az egész számokat, a tört alakban írt egész számokat és a törteket! Egész számok: -; 7. Tört alakban írt egész számok: ; ; Törtszámok: ; - 7 ; - 7 ; - ; ;. 6 6 Zoli megette a müzlijének az részét, Dani pedig a saját adagjának a 6 részét. Ki evett többet, ha 8 eredetileg ugyanannyit kaptak? Zoli: = részét, Dani: 6 = 8 részét ette meg, így Zoli evett többet Hasonlítsd össze a két mennyiséget, és tedd ki a megfelelő relációs jelet (<; >; =)! a) 7 perc óra; b) másodperc perc; 0 c) hét = 8 óra; 7 d) 7 m m; e) m 7 mm; f) 900 dm = g) dl h) 76 cl 7 km; 0 l; l. 6 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 7

28 II. A TÖRTEK 6 Döntsd el, igaz-e vagy hamis? a) Ha két pozitív tört számlálója és nevezője is megegyezik, akkor a két tört értéke megegyezik. b) Két pozitív tört közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója és a nevezője is nagyobb. c) Ha két pozitív tört számlálója megegyezik, akkor az a nagyobb, amelyiknek a nevezője nagyobb. d) Ha két negatív tört nevezője megegyezik, akkor a kisebb számlálójú a nagyobb. e) Két negatív tört közül az a nagyobb, amelyik a számegyenesen közelebb van a nullához. a) Igaz b) Hamis c) Hamis d) Igaz e) Igaz 8 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

29 TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA II. Feladatok Végezd el a műveleteket! Ahol tudsz, egyszerűsíts! a) 7 + ; b) + ; c) 8-0 ; d) 8-0 ; e) 6 + ; f) 8 - ; g) 6 + ; h) - 6 ; i) + + ; j) ; k) + + ; l) - + ; m) + ; n) + ; p) 7 9 q) 7 0 u) y) ; r) ; v) 7 + ; z) 7 - ; o) ; s) + + ; w) ; - 8 ; 9 t) 8 - ; x) 0 0 a) ; b) ; c) ; d) -; e) ; f) ; 77 g) 7 ; 0 h) - ; 8 i) 7 ; 8 j) ; 6 k) ; 0 l) ; 0 m) ; 6 n) ; 8 o) 8 ; p) ; 9 q) 9 ; 0 r) 6 ; 0 s) ; 76 t) ; u) 6 ; 0 v) ; w) 7 ; x) 9 ; 0 y) ; z). - 8 ; ; 8 Szofi ezen szomorkodik: Az ismerőseim kétharmada lájkolta a fényképemet, az ötöde csak hozzászólt. Vajon miért nem reagált semmit a maradék 8 ismerősöm? Hány ismerőse van Szofinak? Zsófi ismerőseinek + = része lájkolta a képeit, a maradék 8 ismerőse - = része az összes ismerősének. Ha a rész 8 ismerős, akkor az rész ismerős, amiből megkapjuk, hogy az ismerőseinek száma összesen: = 60 fő. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 9

30 II. TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA Dávid így morfondírozik: Van 600 forintom. Ha a zsebpénzem negyedéből ajándékot veszek nagyinak, a harmadát kölcsönadom a bátyámnak, akkor nem marad 800 forintom arra a pendrive-ra, amit meg akartam venni. a) Számold ki, mennyi pénze marad Dávidnak! b) Minimum hány forintra van szüksége ahhoz, hogy az ajándék, a kölcsön és a pendrive megvásárlása után is maradjon 000 forintja? a) Dávid pénzének negyede 900 Ft, harmada 00 Ft, így a kiadások után = 900 Ft-ja marad. b) Dávidnak = 900 Ft-ra lenne szüksége. Számold ki A, B, C, D és E értékét! Számításaidat írd a füzetbe! a) b) A 7 6 A 0 B 7 B C D E C D E a) A) - 7 ; B) 9 ; C) ; D) ; E). 0 0 b) A) ; B) ; C) ; D) - 9 ; E) 7. Számolj minél egyszerűbben! Végezd el a műveleteket! a) ; b) ; c) ; d) ` 8 j ; 8 e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

31 TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA II. a) = ; b) = 00; c) + 7 = ; d) =- + 0 = 9; e) = ; f) = ; g) + 8 = ; h) = ; 7 i) 0-9 = 0; j) = - 6 = Számítsd ki a következő összeget! b + + f l+ b + + f+ f f l+ b l b l +, + +, = RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

32 II. TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Melyik számnak nincs reciproka? b) Melyik az a szám, amelyik megegyezik a reciprokával? c) Melyek azok a pozitív számok, amelyek reciproka kisebb -nél? a) 0 b) ; - c) Az -nél nagyobb számok. Számítsd ki a) -nek a részét; $ = 9 b) -nak az részét; $ = c) -nek az részét; 0 $ = $ = 0 = d) -nek a 6 részét; 6 $ = 9 = e) 8 részének a 8 -szeresét; $ $ = f) hatodrészének a -szorosát; 6 g) 8 háromnyolcadának a 8 -szorosát! $ $ = $ $ = RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

33 TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA II. Melyik nagyobb? a) 0 km része vagy 9000 m 6 része? a) 0 km része 9000 m 6 része. b) óra része vagy perc része? 8 b) óra része 8 perc része. c) 8 liter 7 része vagy dl része? 8 7 c) 8 liter 7 része dl része. 8 7 d) 0 kg része vagy tonna része? 7 d) 0 kg része tonna része. 7 Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi törteket! a) ; b) 6 ; c) 8 ; d) ; e) - - ; f) ; g) a) : = $ 7 = b) : = : = $ = c) d) : = $ 8 = 8 8 e) 7 f) 0 = g) - : = - $ - = = h) Növekvő sorrend: c) b) e) g) f) h) a) d) = 6-9 ; h) Válaszd ki, melyik műveleteknél lehet egyszerűsíteni a művelet elvégzése előtt! A műveleteket írd le a füzetedbe és végezd el! Ahol lehet, mindenhol egyszerűsíts! a) + ; b) $- ; c) $ ; d) - ; 6 77 e) - `- 7 j; f) $ + 6 ; g) : 7 `- - j ` j; h) :. 7 9 a) 77 ; b) - ; c) ; d) ; e) 8 ; f) 9 ; g) 8 ; h) RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

34 II. TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 6 Egy almáskertben délelőtt eladták egy nagy láda alma részét. Délután a ládában maradt mennyiség részét értékesítették. A délután eladott mennyiség 60 kg volt. a) A teljes láda hányadrészét adták el a délutáni időszakban? b) Mennyi alma volt eredetileg a ládában? $ = részét adták el délután. Ha a rész = 60 kg, akkor az rész = 0 kg, így az egész láda alma súlya 0 = 0 kg volt. 7 A harmincfős osztály -e Bertára szavazott, amikor meg kellett szervezni a korcsolyázást. Hányan nem szavaztak Bertára? Ha az osztály -e Bertára szavazott, akkor - = része nem. Tehát 0 $ = fő nem Bertára szavazott. 8 Szofi a perces óra elején nagyon figyelt, de aztán kicsit elfáradt, és az óra -ed részén rajzolgatott. Utána az óra végéig újra figyelt. Hány percig figyelt Szofi az 9 órán? $ = 0 percig nem figyelt Szofi, tehát - 0 = percig nagyon figyelt. 9 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

35 TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA II. Feladatok Melyik szám a nagyobb: a),79 vagy 8o, ; b), vagy o, ; c),8 vagy, 89o ; d),8 vagy 8, oo? a),79 8o, ; b), o, ; c),8, 89o ; d),8 8, oo? Írd fel az alábbi törtek tizedes tört alakját! a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 7 ; h) a),7; b),; c) 08o, ; d) 06o, ; e) 0,; f) 0, 87 o o ; g) 07o, ; h) 0,8. Szofi és Helén a lecke megírása közben talált két egymáshoz közeli racionális számot. Szofi szerint mindig tud olyan racionális számot mondani, ami a kettő között van, Helén viszont úgy gondolja, hogy ez nem lehetséges. Írj két egymáshoz közeli racionális számot, és próbáld ellenőrizni Szofi és Helén állítását! Melyik lánynak van igaza? Válaszodat indokold! Szofi állítása igaz, hisz a bővítés során mindig írhatunk újabb számokat két szám közé. Például: 0, 0,, ezt bővítve 0,0 0, 0, 0,9 0,0. Határozd meg számológép segítségével az alábbi számok tizedes tört alakját: és 6! 9 9 Milyen érdekességet vettél észre? Mi a magyarázata? = =, 9 o és 6 = 7 = 7, 9 9 o 9 A 9-cel való osztási maradék ismétlődik, így a hányados mindig ugyanaz. Vizsgáld meg a 99 nevezőjű törtek tizedes tört alakját számológéped vagy mobiltelefonod segítségével! Írj a füzetedbe legalább öt példát! Fogalmazd meg tapasztalataidat! : 99 = 0, 0o; : 99 = 0, 0 o o ; 0 : 99 = 0, 0 oo; : 99 = 0, oo; 79 : 99 = 0, 79 o o A 9-cel való osztáshoz hasonlóan működik a 99-cel való osztási maradék is. 6 Az előző feladat alapján próbáld felírni a a) 0, 68 o o ; b), o o; c) 66, 6 o o törteket közönséges tört vagy vegyes tört alakban! a) 0, 68 o o = 68 ; b), o o = ; c) 66, 6 o o = RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

36 II. 6 MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Csoportmunka Az alábbi társasjátékot kis csoportokban játszhatjátok. A játék célja és menete: Oldjátok meg a feladatokat és szerezzetek minél több pontot! Válasszatok saját stratégiát, és alakítsátok úgy a pályátokat, ahogy a legjobbnak gondoljátok! Játékszabályok: A játékot legfeljebb négyen játszhatjátok. Minden csapathoz kell egy játékmester, aki a játékot felügyeli és a feladatokat javítja. Válasszatok ki egy kerek startmezőt, és tegyétek rá a bábutokat! Mindenki dobjon egyet a dobókockával, és lépjen annyit, amennyit dobott! A lépés iránya tetszőleges: jobbra, balra, lefele vagy felfele is mehettek. (Átlósan nem léphettek.) A kiinduló mezőkre többször nem léphettek. Minden mezőhöz egy feladat tartozik, aminek megoldásáért pontokat kaphattok. A zöld mezőn, a narancssárgán, a citromsárgán pontot szerezhettek. Egy-egy feladatot maximum két perc alatt kell megoldanotok. Aki hibás választ adott, nem kap pontot. A játék hét körből áll, így mindenki hét feladatot kap. Segítségek: Ha egy feladattal nem boldogultok egyedül, kétféle segítség közül választhattok: Jelentkeztek és segítséget kértek a tanárotoktól. Számológépet használtok. Segítség igénybevétele esetén a helyes megoldásért csak pont jár. Ha egyetlen segítséget sem használtok a játék során, végül jutalompontot kaptok. 6 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

37 6 MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL II. Zöld:. 8,67 +,69 +,8 = 76,7.,8, = 9,7. 8, -,6 = 78,6. 6,6 :,7 =.,. 9,0 +, ,8 = 99, 6.,9-7,68 =,7 7. 6, - 87,8 = 68, ,,8 = 0,6 9. 9,7 + 0, + 0,08 = 98,0 0. 8,60 :, = 6,. 8,7-9,8 =,7. 7,8,6 = 08,768 Narancssárga:. 9,07 -,6 +,00 = 08,9. 9,87 (-7,) = -0,78. 7,8-9,8 + 9,077 =,789. (-8,06) :,8 = -6,7. 8,0 -,7 +,6 = -79, ,68 -,6-9,9 = -7,0 7. (-8,06) (-,79) = 788, ,87-9,06 +, =,6 9. (-,) : (,) = -,6 0.,7,9, = 6, ,07 + 6,8 +,096 = -08,9. 6,060 :, = 78, Sárga:.,7 (-,8) + 6,7 = -,66. 9,8 :, - 0,7 = -96,7.,8-9,0,6 =,9. -,7 + 9,06 :, = -9,9. (,6 + 9,7) : 0, = 6,9 6. (-7,8), + 9,07 = -, 7.,7 + 7,8 :, =, 8. 9,0 +,9 (-8,) = -0,0 9. (-,7) (-6,) -,8 = 6, ,66 : (-,) + 8,7 = -90,. (-9,6) +,8 (-,9) = -,96. 86,0 :, -,9 = 9,7 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 7

38 II. 7 SZÖVEGES FELADATOK Feladatok Levente éppen elvégezte az egyetemet, amikor meghallotta a hírt, hogy hatalmas farmot örökölt kocsándi nagybátyjától. Ismerte a terepet, rengeteg szép nyarat töltött ott. Szeme előtt megjelent a kis tó, a kecskék és a frissen fejt tej, a hat ló, melyeken annyira szeretett lovagolni a környékbeli gyerekekkel, s a távoli méhkaptárak a sokat dolgozó méhekkel. Levente három napig gondolkodott, mi tévő legyen. Adja el az egész farmot, vagy hagyjon itt csapot papot, költözzön Kocsándra, és folytassa, amit a nagybátyja elkezdett? Megbeszélte a feleségével, Jankával, és úgy döntöttek, elutaznak Kocsándra. Mikor megérkeztek, egyenesen a szomszédokhoz Bálint bácsihoz és Anna nénihez mentek, akik mindeddig gondját viselték az állatoknak. Leventéék számtalan kérdést tettek fel nekik, hogy lássák, fenn tudnák-e tartani a gazdaságot. Számold ki, a szomszédoktól szerzett információk alapján mennyi bevételre és kiadásra számíthatnak harminc nap alatt! A számolásoknál egy hónapot 0 nappal, illetve héttel számoltunk. Bálint bácsi büszkén mesélte, hogy az összes anyakecske együtt napi 6 liter tejet ad, amit könnyedén el tudnak adni a piacon. Azt is hozzátette, hogy az összes kecskének csak a 8 része ad tejet. a) Hány kecske él a farmon, ha tudjuk, hogy egy kecske napi liter tejet ad? b) Hány forintot kereshetnek Leventéék a tej eladásából naponta, ha liter kecsketej ára 80 Ft, de a bevétel részét ki kell fizetniük a piacon helypénzre? c) Egy kecske napi takarmányozása 90 Ft. Számold ki, hányad része a kecskék napi takarmányozása a kecsketejből származó napi bevételnek! a) 6 : = 6 kecske. Ez a 6 kecske az összes kecske 8 része. (6 : 8) = kecske él a farmon. b) 6 $ 80 $ = 60 forint a napi bevétel. c) kecske napi takarmányozása 90 = 980 Ft, a napi bevétel 60 Ft. A takarmányozás a bevétel 980 = 9 része, körülbelül a 8%-a RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

39 7 SZÖVEGES FELADATOK II. A hat ló békésen legelészett a karámban. A lovász már készítette a nyergeket a délutáni lovagláshoz. A futószáras oktatás 000 Ft, az osztályban lovaglás 000 Ft, a tereplovaglás pedig 6000 Ft minden felnőttnek. A gyerekek ennek csak a részét fizetik. a) Mennyi heti bevételre számíthat Levente és Janka, ha tizenkét gyerek jár hozzájuk lovagolni, hetente kétszer? A gyerekek harmada futószáron, a többiek már osztályban lovagolnak. b) Tereplovaglásra minden szombat délelőtt felnőtt jár. Mennyi lesz az ebből származó havi bevétel? c) Egy ló napi takarmányozásához 8 kg széna és feleennyi abrak kell. A 00 kg-os szénabála 6000 Ft, egy mázsa abrak pedig ennek a részébe kerül. Számold ki, hány forintot kell költeniük a lovak takarmányozására havonta! Egy táblázatban foglaltuk össze a lovaglás bevételeit: Felnőtt Gyerek Futószár 000 Ft 600 Ft Osztály 000 Ft 00 Ft Terep 6000 Ft 800 Ft a) A gyerekből futószáron, 8 pedig osztályban lovagol. Az ebből származó heti bevétel: = 00 Ft. b) A tereplovaglás havi bevétele: 6000 = Ft. c) Az adatokból kiszámolható, hogy 8 kg széna 0 Ft, kg abrak 0 Ft, így ló napi takarmányozása: = 0 forintba kerül. 6 ló havi takarmányozása = 9 00 Ft. Hálás állatok a méhek dicsérte őket Bálint bácsi. Egy kaptár átlagosan évi 70 kg mézet termel. A méz ötöde hársméz, része repceméz, része akácméz és a maradék virágméz. a) Mennyi mézet gyűjthetnek az egyes fajtákból egy év alatt, ha a farmon három kaptár van? b) Hány forint bevételük van a mézből évente, ha a piacon kg repcemézért 600 Ft-ot, a virágmézért ennek a 8 9 -szorosát, a hárs mézért az -szeresét és az akácmézért a -szeresét kapják? a) kaptár átlagosan évi 0 kg mézet termel. Ebből kg hárs-, 8 kg repce-, 7 kg akác- és 7 kg virágméz. b) A repceméz 600 Ft, a virágméz 800 Ft, a hársméz 000 Ft és az akácméz 00 Ft, így az ezekből származó bevétel: = Ft. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 9

40 II. 7 SZÖVEGES FELADATOK Anna néni büszkén mutatta meg nekik a baromfiudvart. Közben összeszedte a tojásokat is, aminek darabját Ft-ért lehet eladni a piacon. Arra is figyelmeztette őket, hogy minden este zárják be a tyúkokat, nehogy a környéken garázdálkodó róka elvigyen közülük párat. a) A baromfiudvar lakóinak része tojó tyúk, része jérce és kakas is van. Hányan laknak a 6 7 baromfiudvarban? b) Egy tyúk heti hat tojást tojik. Mennyi bevétel származhat a tojások eladásából, ha a bevétel részét ki kell fizetni a piacon helypénzre? a) A baromfiudvar lakóinak + = 0 része tojó tyúk vagy jérce. A kakas tehát a baromfiállomány 6 7 része, amiből már leolvasható, hogy lakója van a baromfiudvarnak. b) 8 tojó tyúk van. A tojásokból származó heti bevétel: 8 $ 6 $ $ = 90 Ft. Egy baromfi napi takarmányszükséglete dkg, de a jérce ennek csak a részét fogyasztja. A vegyes takarmány része kukorica, 7 része búza, része árpa, része zab, része napraforgó és a maradék korpa. a) Számold ki, melyik összetevőből hány dkg-ot tartalmaz kg vegyes takarmány! b) Hány forintot kell havonta a baromfik etetésére költeniük, ha kg vegyes takarmány 6 forintba kerül? a) kg vegyes takarmány összetevői: Kukorica Búza Árpa Zab Napraforgó Korpa 8 dkg 7 dkg 0 dkg 0 dkg dkg 0 dkg b) A jérce, 8 tyúk és kakas havi etetésének díja: $ $ $ 0 + $ 8 $ 0 + $ $ 0 = 680 dkg, ami 6,8 6 = 889 Ft. 6 A farmra kéthavonta kijár az állatorvos, aki a család régi ismerőse, így a vizitdíj -át nem számolja 6 fel. Hány forintot kell erre havonta átlagosan félretenni, ha egy látogatásért hivatalosan 700 forintot kér el? Az állatorvos díja: $ $ 700 = 6 Ft havonta. 6 0 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

41 7 SZÖVEGES FELADATOK II. 7 Készíts összesítő táblázatot a bevételekből és a kiadásokból! a) Mennyi a havi bevétel? b) Mennyi a havi kiadás, ha a víz-, áram-, és gázszámlára, illetve az egyéb kiadásokra havi forintot számolhatnak átlagosan? c) Mit gondolsz, fenn tudják-e tartani a gazda ságot? A havi fix bevételeket és kiadásokat táblázatba foglaltuk: Kecskék Lovak Méhek Baromfi Orvos Rezsi Bevétel Kiadás Nyereség Összeadva a különböző forrásokból származó nyereségeket megkapjuk, hogy 87 9 Ft nyereségre tehetnek szert Leventéék, ha minden munkát egyedül végeznek. Ez szinte lehetetlen, hisz rengeteg állatról kell gondoskodniuk, így fogadniuk kell pár embert, aki elvégzi helyettük a munka egy részét, így a bevételből még az ő munkabérüket is le kell vonni. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

42 II. 8 ZÁRÓJELFELBONTÁSOK, ÖSSZETETT MÛVELETEK Feladatok Melyik az a szám, amelyik a) és összegénél 9 -del több? b) -dal több, mint és különbsége? 7 6 c) 7 -szerese a 8 7 és az 6 összegének? d) a és a 0 hányadosánál 6 7 -dal kisebb? a) 9 9 c + 7 m + = b) 8 c - m+ = 6 60 c) 7 c + $ 8 6 m = d) : - 7 = Hasonlítsd össze a két kifejezést, és tedd ki a megfelelő relációs jelet a füzetedben (<; >; =)! a) -, - ` 7 j -, + ; b) -, - -, 7 7 ` - 7 j; c) +, - ` 7 j +, + ; d) +, - +, 7 7 ` - 7 j. a) -, ` - 7 j = -, + ; b) -, - -, 7 7 ` - 7 j; c) +, ` - 7 j +, + ; d) +, - = +, 7 7 ` - 7 j. Válaszd ki a helyes zárójelfelbontást, majd végezd el a műveleteket! a), - 6 ` + 7 j, vagy, ; 7 7 b), 9-6 ` -0, j, , vagy, , ; c) $ 7, 08 ` - -6, 0 j $ 7, , vagy $ 7, , ; 0 0 d) -$ 7 ` -, 8 j -$ 7 - $, vagy - $ 7 + $, ; 8 8 e) c- m$ c - - m c 0 m - $ 7 - $ 6 - vagy - $ 7 + $ a), - 6, 6 67 ` + 7 j = - - = ; 7 b), 9-6 0, 9, 6 ` - = - +, 0 =, 9-0, +, 0 = 9, 7 j ; RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

43 8 ZÁRÓJELFELBONTÁSOK, ÖSSZETETT MÛVELETEK II. c) $ 7, 08 6, 708, 68 ` - - = $ - - 6, = 76, 0 j ; 0 d) - $ 7, 7 ` - = - $ + $, =, 8 j ; 8 e) c- m$ c - m c- 0 m =- $ 7 + $ 6 + = Hozd egyszerűbb alakra a következő emeletes törteket! 7 7 a) ; b) + ; c) - -, ; d) , a) = 7 $ = 7 ; b) + = + 7 $ 6 = 9 = ; , - 6 c) = - : 8 = : 8 = 8 ` j ; d) 6 = 6 = , Péter, az iskola Rubik-kocka kirakó bajnoka 6,8 másodperc alatt rakja ki a kockát. Feliks Zemdegs, a 0-as év világbajnoka ennek az időnek csak a részét használja fel. Számold ki, mennyi 9 a világbajnok ideje! A Rubik-kocka kirakó világbajnok ideje: 6, 8 $ = 88, másodperc. 9 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

44 II. 9 NAGY SZÁMOK ÉS A HATVÁNYALAK Feladatok Írd fel az alábbi szorzatokat hatványalakban! a) ; b) ; c) (-) (-) (-) (-); d) $ $ $ $ $ $. a) = ; b) = 7 6 ; c) (-) (-) (-) (-) = (-) ; d) $ $ $ $ $ $ = 7 ` j. Írd rövidebb alakba a következő szorza tokat! a) ; b) ; c) 6 6 ; d) (-) (-). a) = ; b) = ; c) 6 6 = 6 = 6 ; d) (-) (-) = (-). Melyik hatványok egyenlők egymással? a) 9 ; b) - ; c) (-) 6 ; d) (-) ; e) 0. Az a), c) és e) értéke, ezért egyenlők. A b) értéke - =- ^$ $ h =-. A d) értéke ^- h = ^-h$ ^-h$ ^-h$ ^-h$ ^- h =-, ezért a b) és a d) is egyenlő. Írd fel az alábbi hatványokat szorzatalakban, majd csoportosítsd őket aszerint, hogy pozitívak vagy negatívak! a) ; b) - ; c) (-) ; d) (-) 6 ; e) -7. Pozitív: a) = ; d) (-) 6 = (-) (-) (-) (-) (-) (-); Negatív: b) - = -( ); c) (-) = (-) (-) (-) (-) (-); e) -7 = -( ). RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

45 9 NAGY SZÁMOK ÉS A HATVÁNYALAK II. Ha egy vírus egy olyan számítógépet fertőz meg, amelyiknek internet-összeköttetése is van, akkor fél óra alatt három további számítógépre küldi át a vírust. A vírusos gépek fél óra múlva ismét három-három gépet fertőznek meg. a) Hány gép fertőződik meg egyetlen délelőtt folyamán (8.00-tól.00-ig)? b) Hány gép fertőződik meg reggel 8-tól este 8-ig? Próbáld meg kiszámolni a számológépeddel! Olvasd ki a kapott számot! c) Hány jegyű ez a szám? A Föld összlakosságánál kisebb vagy nagyobb számot kaptál? a) A nyolc félóra alatt összesen = 980 gép fertőződik meg. b) Ezen időszak alatt félóra telik el, tehát -ig sorban össze kell adni hatványait. Sajnos a számológép a teljes számot nem írja ki, de nemsokára megtanuljuk, hogy hogyan kell ezt kiolvasni. Ha viszont a számítógépen megkeresed a számológép alkalmazást, és ezen adod össze a számokat, akkor a kapott eredmény: A szám kiolvasva: Négyszázhuszonhárommilliárd-hatszáznegyvennégymilló-háromszáznégyezer-hétszázhúsz c) A szám tizenkét jegyű, és sokkal nagyobb, mint a Föld összlakossága, amely kb. hét és fél milliárd. 6 A kettő hatványai fontos szerepet játszanak az informatikában. Nézz utána, hogy byte hány bit, és hogy kilobyte hány byte! byte = 8 bit = ( ) bit kilobyte = 0 byte = ( 0 ) byte RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

46 II. 0 A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI I. Feladatok Számítsd ki az alábbi műveletek eredményét! a) $ ; b) 6 $ $ ; c) 0 $ 0 ; d) 0, $ 0, $ 0 ; e) ^-h $ ^-h ; f) : ; g) ^7 $ 7 h : 7; h) ; i) $ 7 8 ; j) ^ : h $. a) $ = = ; b) $ $ = = 6; c) 0 $ 0 = 0 = ; d) 0, $ 0, $ 0 = 0, $ 0 = 0; e) ^-h $ ^- h = ^- h =-; f) : = = 9; g) 7 7 : 7 7 ^ $ h = = 7 = 0; h) 7 = ; 9 i) $ = = = ; j) ^ : h $ = = Írd egyszerűbb alakba a következő szorzatokat! 8 6 a) $ ; b) $ $ ; c) 8 6 a) $ = ; b) $ $ = ; c) b $ l b l. b l $ b = 9 l b l. Írd növekvő sorrendbe! a) ^- h$ ^- h; b) ^-h $ ^- h; c) $ ^-h; d) b $ l b l ; e) ; f) $ 7 Növekvő sorrend: ^-h $ ^- h = $ ^- 6h =-6 $ ^- h =-8 a k $ a = k ^- h$ ^- h = = $ 9 7 = Írd le az alábbi műveleteket, és pótold a hiányzó részeket! 6 a) $ = d $ ; b) 6 d $ $ = $ $ ; 6 c) - $ = - d 8 ` j ` j $ ; d) $ = d $ ; e) $ = $ d. 6 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

47 0 A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI I. II a) $ = $ ; b) $ $ = $ $ ; 8 6 c) `- j $ = `-j $ ; d) $ = $ ; e) $ = $. 6 Melyik nagyobb: a) 7 $ `7 $ 7j vagy 9 $ 7 ; b) - $ `-j vagy `-j $? a) Mindkét oldalt át kell alakítani. Bal oldal: 7 $ `7 $ 7j = 7 $ `7 j = 7 $ 7 = Jobb oldal: 9 $ 7 = `7 j $ 7 = 7 $ 7 = Így tehát: 7 $ `7 $ 7j 9 $ 7 b) A bal oldali negatív szám, a jobb oldali pedig pozitív, ezért: 0 - $ `-j `-j $ 8 6 Végezd el a lehetséges szorzásokat, osztásokat! A végeredményt hatványalakban add meg! 8 a) $ $ 6 6 ; b) $ $ $ $ ; 9 7 $ c) 7 $ $ $ 7 $ ; d) $ $ $ $. 7 $ $ $ 8 77 a) $ $ = 76 = ; b) $ $ $ $ = $ ; $ c) 7 $ $ $ 7 $ = $ 7 ; d) $ $ $ $ 9 7 = $ 9 = $. $ $ $ $ RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 7

48 II. A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI II. Feladatok Számítsd ki az alábbi hatványok értékét! a) $ 6 ; b) $ ; c) 0 ; d) $ $ $ $. a) $ 6 = ` $ 6j = = ; b) $ = ` $ j = 6 = 6; c) 0 0 = b = = 6 l ; d) $ $ $ $ = $ $ 80 b = = $ = l. Döntsd el, melyik egyenlőség igaz! a) $ = ; b) $ = ; c) 6 $ = ; d) $ = a) $ =, hamis, mert $ = b) $ =, hamis, mert a jobb oldal átalakítása után látható, hogy = ` $ j = $, ami nem egyenlő a bal oldallal. c) 6 $ =, igaz. 0 0 d) $ = 6 hamis, mert a bal oldal átalakítása után $ = vagy $ = 6. Írd fel prímszámok hatványainak szorza taként! 6 0 a) 7 $ ; b) $ 8 ; c) $ 6 ; d) 6 $ 00. $ 8 $ $ a) $ = ` $ j $ ` $ j = $ $ $ = $ ; 8 b) $ 8 = ` $ j $ ` $ 7j = $ $ $ 7 = $ 7 $ ; c) $ $ ` $ j = = $ = ; d) 6 $ 00 = $ $ $ 9 =. $ ` $ j $ $ $ $ 8 $ $ Írd fel a számokat növekvő sorrendben! 0 ; b l ; b l ; b l ; ; $. Átalakítás után írjuk a legegyszerűbb hatványalakba! 0 6 = = ; 7 b l = = ; 8 b = l ; b = = 7 l ; = 7 =, ; $ = =. Növekvő sorrend: 0 c m c $ m c m 8 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

49 A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI II. II. A tanult azonosságok alkalmazásával írd egyszerűbb alakba! Segítség: Először írd le a számokat prímszámok hatványának szorzataként, majd utána alkalmazd a hatványozás tanult azonosságait! b a) 6 $ $ e 8 7 o ; b) 9 $ 0 $ l d n ; c) ; d). $ 6 ` j $ $ $ b l $ b 8 l a) 6 $ $ $ $ $ $ $ e 8 7 o = e 8 8 o = e 8 8 o = e 0o = ; 60 $ $ $ $ $ $ $ b) $ $ ` j $ ` $ j $ ` j = = $ $ $ 6 = ; ` j $ $ $ $ ` $ j $ $ b l c) = 8 = = ; $ $ $ b 9 l d n d) = = $ 6 = $. $ b l $ Számolj fejben! a) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; ; b) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; 9; c) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; 6; d) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; ; e) Meddig tudod felsorolni az 6 hatványait? ; 6; 6; f) Meddig tudod felsorolni a négyzetszámokat? ; ; 9; g) Meddig tudod felsorolni a köbszámokat? ; 8; 7; Saját megoldás. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS 9

50 II. NORMÁLALAK Feladatok Írd át normálalakba a számokat! a) ; b) 00 milliárd; c) 8 000; d) 0; e) 6 000; f) hatszázhuszonötezer; g) ; h) millió ezer; i) 7,; j) 97,; k) 0 00; l) a) = 0 ; b) 00 milliárd =, 0 ; c) =,8 0 ; d) 0 =, 0 ; e) =,6 0 ; f) hatszázhuszonötezer = 6, 0 ; g) = 6,87 0 ; h) millió ezer =,0 0 7 ; i) 7, =,7 0 ; j) 97, = 9,7 0 ; k) 0 00 =,00 0 ; l) =, Írd fel az alábbi számokat normálalakban! a) ; b) 6 0 ; c) ; d) 0,067 0 ; e) 0,0 0 6 ; f) 0, ; g) 0 0 ; h) 0, ; i),96 0 ; j) 0, 0 ; k) 0,09 0 ; l) 0, a) =,7 0 9 ; b) 6 0 =,6 0 7 ; c) = 8, ; d) 0,067 0 = 6,7 0 ; e) 0,0 0 6 = 0 ; f) 0, = 7, 0 6 ; g) 0 0 = 0 ; h) 0, = 0 0 ; i),96 0 =,96 0 ; j) 0, 0 =, 0 ; k) 0,09 0 =,9 0 ; l) 0, =, Vizsgáld meg, hogyan tudsz nagy számokat tartalmazó műveleteket elvégezni a mobilodon! Saját megoldás. 0 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

51 NORMÁLALAK II. Végezd el a műveleteket, és add meg a végeredményt normálalakban! Az eredmény ellen őrzéséhez használj számológépet vagy mobilt! a) (, 0 ) 000; b) (,6 0 8 ) ( 0 ); c) (, 0 0 ) (, 0 ); d) (7, 0 8 ) : (,8 0 ); e) (, ) : ; f) (8, 0 6 ) (, 0 6 ). a) (, 0 ) 000 =, 0 8 ; b) (,6 0 8 ) ( 0 ) = 0 ; c) (, 0 0 ) (, 0 ) =,6 0 ; d) (7, 0 8 ) : (,8 0 ) = 0 ; e) (, ) : =, 0 ; f) (8, 0 6 ) (, 0 6 ) =,6 0. A Nap Föld távolságának hányszorosa a 67P üstökös Föld távolsága? A lecke elején szerepel, hogy a rádiójelek kb. 8 perc alatt érnek le a Földre. Ebből kiszámíthatjuk az üstökös és a Föld távolságát. perc alatt: 60 $ =, 8 $ 0 0 m perc alatt: 8 $, 8 $ 0 =, 0 $ 0 m =, 0 $ 0 km. A Nap és a Föld távolsága közelítőleg km. 8 Így tehát az üstökös Föld távolsága, 0 $ 0 : =, 6-szorosa a Nap Föld távolságnak. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

52 II. ÖSSZEFOGLALÁS Feladatok Mennyi a kiemelt számok helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 078; b) 80,; c) 6, , 80, 6,0 6,0 Kiemelt szám Helyi érték Alaki érték Valódi érték , , , ,0 Helyezd át a zárójeleket úgy, hogy könnyebb legyen a számolás, majd végezd el az összeadásokat! a) + ( ) + 08; b) ( ) + ( ); c) 8 + ( ) + ( + ) + 88; d) ( ) + ( ) + 7. a) ( + 86) + ( ) = 9000; b) ( + 7) + (09 + 9) + ( + 6) = 000; c) (8 + 66) + (88 + ) + ( + 88) = 000; d) ( ) + ( ) + (77 + 7) = Melyik eredmény melyik műveletsorhoz tartozik? Először becsülj, aztán tippelj, végül számold ki az eredményeket! a) ; 8 b) + ( ); c) ; 96 d) - ( ); e) ; 0 f) ( + 879) - 8; g) - (879-8). 70 8: d); e) 96: c); g) 0: f) 70: a); b) RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

53 ÖSSZEFOGLALÁS II. Végezd el a műveleteket! Vannak-e közöttük olyanok, amelyeknek egyenlő az eredménye? a) b - l; b) ; c) ; d) b- - l; e) b + l; f) ; g) ; h) b - l. a) b - = l ; b) = 7 ; c) = 7 ; d) b- - = l ; e) b + = l ; f) = 9 ; g) = 9 ; h) b - = l. Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi műveletek eredményeit! a) 7-7 ; b) b 0 l; c) b 8 l; d) b- - 0 l ; e) b- + l. 6 a) 7-7 = 7 ; b) b- = 0 l ; c) b- = 8 l ; d) 0 b- 0 l - =- =- ; e) 6 b- l + =- = Növekvő sorrend: d e a c b 6 Töröljünk az 00 számból öt számjegyet úgy, hogy a megmaradó ötjegyű szám a lehető legkisebb legyen! Mennyi a letörölt számjegyek összege? 00 így 0 0-t kaptunk. A törölt számjegyek összege: 6. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

54 II. ÖSSZEFOGLALÁS 7 Melyik nagyobb: a) $ vagy 0 ; b) $ ` j a) b) vagy? 8 Végezd el az alábbi műveleteket, és az eredményeket add meg normálalakban! a) ` 000 $ 000j ; b) ` $ 0 000j ; c) `600 $ 000 : 00 j ; d), 0 6 b` $ j : `, $ 0jl ; e) ` 000 $ 000j. a) , ` $ j = ` $ $ $ j =, $ 0 $ $ 0 =, $ 0 ; 8 b) , 0 0, 8 0 ` $ j = ` $ $ $ j = ` $ j = 8, 8999 $ 0 ; c) : 00 ` $ j = 8, 7 =, $ 0 ; d), b` $ j : `, $ 0 jl =, 6 $ 0 ; e) ` 000 $ 000j =, $ 0. 9 Az alábbi ábra Magyarország búzatermését szemlélteti 0 és 0 között (tonnában mérve) Forrás: KSH Olvasd le, hogy mennyi búza termett az egyes években Magyarországon! Írd át az adatokat normálalakba, és kerekítsd őket tizedesjegy pontosságúra! 0:, 0 6 tonna 0:,0 0 6 tonna 0:, tonna 0:, 0 6 tonna millió 6 Éves búzatermés tonnában évszám RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

55 GEOMETRIAI III. TRANSZFORMÁCIÓK A Kr. e. 90-be induló útra Judit néni örömére mindenki jelentkezett. A szerencse két lánynak kedvezett, így a téridőtrafóval felszerelt szerkezet Bertát és Pannit repítette Alexandriába. Az első, amit megláttak és meghallottak, az a kardok csattogása volt. Néhány izmos fiatal testőr küzdött a gyakorlótéren. A szomszédos épület lépcsőjén két tógás alak diskurált. A beszédfelismerő rájuk fókuszált, és a lányok már hallhatták is a fordítógép hangját. Euklidész, nem zavarnak a fiatalok? kérdezte a társát az idős férfi. Épp ellenkezőleg, Démétriosz! Csengő zajuk az erdei madarak énekére emlékeztet, amely mindig megnyugtat. Remélem, ez azt jelenti, hogy jól haladsz a könyveddel. Milyen címet adtál neki? Sztoikheia a fordító protokollrobot csak rövid késéssel tudta tolmácsolni Elemek. Összefoglaltam benne azt, amit nyilvánvalóan tudunk, és azt, amire ezekből következtetni lehet. Tartalmazza például a milétoszi Thalész körre vonatkozó következtetéseit, és más munkákat is. Mikor olvashatjuk végre? Sokan kíváncsiak új írásod logikájára. Nemsokára. Most még választ keresek egy-két problémára, bár lehet, hogy anélkül fejezem be ezt a könyvet, hogy megtalálnám a megoldást. Legyetek egy kicsit türelemmel! Berta feldobódva fordult barátnőjéhez. Ha visszaértünk, megkeresem ezt a könyvet a neten! Ha visszaértünk, beiratkozom vívni válaszolta Panni, le sem véve szemét a testőrökről.

56 III. FONTOS GEOMETRIAI FOGALMAK Feladatok Válogasd ki a hegyesszögeket! Melyik csoportba tartozik a többi? a) 00l; b) 9 ; c) 0 ; d) 6600l; e) l m; f) 700m; g) 70 ; h) 7 9l. Váltsuk át fokokba a nem fokokban megadott szögeket! 00l = 7 ; 6600l = 0 ; 700m = 0l =. hegyesszögek: 00l; l m; 700m tompaszögek: 9 ; 6600l; 70 homorúszögek: 0 ; 7 9l Legyen a = l, b = 88 7l, c = l! Rakd növekvő sorrendbe a következő szögeket: a) a + b; b) c; c) b - a; b c d) +! Számoljuk ki a szögek nagyságát! a + b = l l = 60l = c = l b - a = 88 7l - l = 87 87l - l = 6 l o o b c 88 7l l o o o + = + = l0m + 7 l = 8 8l0m b c A sorrend: b- a + c a+ b. Mekkora szöget zár be az óra két mutatója a) órakor; b) órakor; c) fél -kor; d) fél -kor? a)60 ; b) 0 ; c) 6 ; d) 0. Az ábrán néhány síkidomot látsz. Másold le a füzetedbe a mellékelt halmazábrát, feliratozd, majd írd be a síkidomok betűjelét a megfelelő helyre! A B C D E F G H I J 6 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

57 FONTOS GEOMETRIAI FOGALMAK III. Síkidomok A G B Sokszögek F E H C I D J a) Rajzolj két egyenest a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? b) Rajzolj három egyenest a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? c) Rajzolj két kört a füzetedben! Hány részre oszthatják a síkot? a) vagy b), 6 vagy 7 c) vagy 6 Egy sokszögnek két homorú szöge van. Minimum hány oldala lehet? Rajzolj ilyen sokszöget! Például: Tehát minimum 6 oldala lehet. 7 Melyik igaz, melyik hamis? a) Minden sokszög síkidom. b) Van olyan síkidom, amelyik sokszög. c) Van olyan sokszög, amelyik nem síkidom. d) Nincs olyan sokszög, amelyik síkidom. e) Minden síkidom sokszög. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 7

58 III. FONTOS GEOMETRIAI FOGALMAK 8 Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyet néhány átlójával a) két háromszögre és egy négyszögre; b) egy háromszögre és két négyszögre; c) egy háromszögre, egy négyszögre és egy ötszögre; d) két négyszögre és egy ötszögre vágtunk? a) A síkidom keletkezéséhez egymást nem metsző átló behúzása szükséges. A keletkezett síkidomok oldalait az eredeti sokszög oldalai illetve a behúzott átlók adják. Mivel az átlók két új síkidomhoz is tartoznak, így ha az új síkidomok oldalszámát összeadjuk, akkor az eredeti síkidom oldalszámánál -gyel többet kapunk. Esetünkben + + = n +, melyből n = 6, azaz hatszög volt az eredeti síkidom. (Ide lehetne egy szemléltető ábrát tenni!) b) Az előző gondolatmenet alapján: + + = n +, melyből n = 7, azaz hét oldalú sokszög volt. c) + + = n +, ahonnan n = 8, azaz nyolcszögből indultunk ki. d) + + = n +, melyből n = 9, azaz kilenc oldalú sokszög szerepelt a feladatban. 8 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

59 SÍKIDOMOK, TESTEK III. Feladatok Melyik állítás igaz, melyik hamis? a) Ha egy háromszög legnagyobb szöge hegyesszög, akkor a háromszög hegyesszögű. b) Ha egy háromszög legnagyobb szöge derékszög, akkor a háromszög derékszögű. c) Ha egy háromszög legnagyobb szöge tompaszög, akkor a háromszög tompaszögű. d) Ha egy háromszögnek két hegyesszöge van, akkor a háromszög biztosan hegyesszögű. e) Ha egy háromszögben két szög egymás pótszöge, akkor a háromszög derékszögű. f) Nincs olyan háromszög, amelyben két szög egymás kiegészítő szöge. a) Igaz. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Igaz. f) Igaz. Egy 60 cm kerületű téglalap egyik oldala cm-rel rövidebb, mint a másik. Mekkorák az oldalai? Mekkora a területe? Az egyik oldalt jelöljük a-val, ekkor a másik oldal hossza a +. A kerületre felírható egyenlet: (a + a + ) = 60, amelyből a = 8 cm, ekkor a másik oldal 96 cm hosszú. A terület 8 96 = 806 cm. Egy téglalap minden oldalának hossza centiméterben mérve egész szám. Mekkora lehet a kerülete, ha a területe 9 cm? Ha a 9-et két egész szám szorzatára bontjuk, akkor a két szám a téglalap oldalhosszait adja meg centiméterben: 9 = 9 = 7. Az első esetben a kerület 8 cm, a második esetben pedig 0 cm. Egy háromszög két szögének különbsége l. A harmadik szöge 8 0l nagyságú. Mekkorák a háromszög hiányzó szögei? A feladat szövege alapján a - b = l és c = 8 0l. Mivel a háromszög belső szögeinek összege 80, ezért a + b = 80 - c = l = 97 0l. Tudjuk, hogy a = b + l, ezért ezt az előbb kapott összefüggésbe behelyettesíthetjük: b + l + b = 97 0l, azaz b = 8 8l. Az egyik hiányzó szög: b = l. A másik hiányzó szög: a = b + l = l + l = 6 6l. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 9

60 III. SÍKIDOMOK, TESTEK Egy derékszögű háromszög egyik szöge fele egy másiknak. Hány fokosak a háromszög szögei? Két eset lehetséges. I. eset: Az egyik hegyesszög feleakkora, mint a 90 -os szög. Ekkor mindkét hegyesszög -os, azaz a háromszög szögei:,, 90. II. eset: Az egyik hegyesszög feleakkora, mint a másik hegyesszög. Ekkor az a + a = 90 összefüggésből a = 0, a másik hegyesszög pedig ennek a kétszerese, azaz 60. Így a háromszög szögei: 0, 60, Egy derékszögű háromszögben a 60 -os szög csúcsába befutó befogó hossza, cm. Milyen hosszú az átfogó? A derékszögű háromszöget a, cm hosszú befogójára tükrözve egy szabályos háromszöget kapunk, amelyben ez a befogó az egyik oldal hosszának a fele lesz, a keresett átfogó pedig a szabályos háromszög oldala, azaz ennek kétszerese, 8, cm hosszú., 60 8,, 8, 7 Készíts tömör téglatestet darab egyforma kocka felhasználásával! Hány különbözőt tervezhetsz? Annyi különböző téglatestet tervezhetünk, ahányféleképpen a felbontható három pozitív egész szám szorzatára. = = = = 6 7 = 7, vagyis öt különböző téglatest készíthető. 8 Egy kocka éleinek hossza: cm. Van egy ezzel azonos térfogatú téglatestünk is, amelynek az élei centiméterben mérve egész számok. Mekkora lehet a téglatest felszíne? A kocka térfogata: V = = cm. Annyiféle ezzel azonos térfogatú, egész élű téglatest létezik, ahányféleképpen három pozitív egész szám szorzatára tudjuk bontani a -öt. I. eset: A téglatest élei, és cm hosszúak. A felszíne ekkor: ( + + ) = 0 (cm ). II. eset: A téglatest élei, és cm hosszúak. A felszíne ekkor: ( + + ) = 0 (cm ). 60 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

61 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK III. Feladatok Adva van egy egyenes a síkon. Bármely síkbeli pont képét megkapjuk úgy, hogy a pontból merőlegest állítunk az adott egyenesre. Erre az egyenesre a talppontból kiindulva felmérjük a pont és a talppont távolságának a felét a másik oldalra. Az adott egyenesre illeszkedő pont képe önmaga lesz. a) Vegyél fel három tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont képét! b) Vegyél fel három további tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont ősét! a) B C B A C A b) C B C A B A GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 6

62 III. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK A síkban adott egy egyenes és egy irány a hosszával (az irány nem párhuzamos és nem is merőleges az adott egyenesre). Bármely pont képét megkapjuk, ha a pontból a megadott iránnyal párhuzamos egyenest húzunk, és bejelöljük a két egyenes metszéspontja és a pont közötti szakasz felezőpontját. Az adott egyenesre illeszkedő pont képe önmaga lesz. a) Vegyél fel három tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont képét! b) Vegyél fel három további tetszőleges pontot! Szerkeszd meg mindhárom pont ősét! a) b) B B C C A A A A C C B B Transzformáljuk az A(; 8), B(; -), C(6; 6) pontokat a következő szabályok szerint! Minden pont képét úgy kapjuk, hogy a) mindkét koordinátáját duplázzuk; b) az első koordinátájának az ellentettjét vesszük; c) a második koordinátájának az ellentettjét vesszük; d) mindkét koordinátájának az ellentettjét vesszük; e) a két koordinátáját felcseréljük, majd a csere után kapott második koordinátának az ellentettjét vesszük; f) mindkét koordinátát csökkentjük -tel. 6 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

63 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK III. a) Al(; 6), Bl(8; -), Cl(; ) b) Al(-; 8), Bl(-; ), Cl(-6; 6) y A C A C C A y A C 0 x B 0 x B B B c) Al(; -8), Bl(; ), Cl(6; -6) d) Al(-; 8), Bl(-; ), Cl(-6; -6) y A y A C B 0 x B B C 0 x B C C A A e) Al(8; -), Bl(-; -), Cl(6; -6) f) Al(-; ), Bl(-; -7), Cl(; ) y A y A A C C C 0 x B B 0 x B A B C GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 6

64 III. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Tükrözd az ABCD tetszőleges négyszöget az a) AB oldalegyenesére; b) AC átlóegyenesére! a) C b) B B C B C C D D A A D A A D B Az iskolaudvaron áll két gyerek. Szeretnének a kerítésnél találkozni. a) Hol legyen a találkozási hely, ha azt szeretnék, hogy mindketten azonos hosszúságú utat tegyenek meg? b) Hol legyen a találkozási hely, ha azt szeretnék, hogy a kettőjük által megtett út hossza a lehető legrövidebb legyen? a) Az általuk meghatározott szakasz felezőmerőlegese jelöli ki a kerítésnél azt a pontot, ahová ugyanakkora sétával érkeznek. Ha ez a felezőmerőleges párhuzamos a kerítéssel, akkor nincs ilyen találkozási pont, ha egybeesik vele, akkor minden pont megfelelő. T B B B A A A b) Egyenesen egymás felé induljanak el, és a találkozási pont az legyen, ahol az általuk meghatározott egyenes metszi a kerítést. T B A 6 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

65 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS III. Feladatok Egy kártyalapnak elég csak az egyik felét megmutatnunk, mert a másik felét megkaphatjuk a lap középpontjára tükrözve. Melyik a lap hiányzó része? a) b) c) d) A lap hiányzó része a c). Rajzolj egy szabályos háromszöget! Tükrözd a) az egyik csúcsára; b) az egyik oldal felezőpontjára; c) egy olyan pontra, amely a háromszög egyik oldalegyenesén a háromszögön kívül van! a) C b) C c) C B A B A F B B A D A B C C C Rajzolj két egyenlő hosszúságú szakaszt! Szerkeszd meg azt a pontot, amelyre az egyik szakaszt tükrözve pontosan a másik szakaszt kapjuk! Mikor kapsz ilyen pontot? Az egyenlő hosszú szakaszokhoz akkor kapunk ilyen pontot, ha a két szakasz párhuzamos. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 6

66 III. KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS Rajzolj egy nyomtatott A betűt! Tükrözd a) a csúcsára; b) egy olyan pontra, mely a szárán van; c) egy tetszőleges pontra! a) b) c) Rajzolj egy négyszöget! Tükrözd a) az egyik csúcsára; b) az egyik oldalának a felezőpontjára; c) egy olyan pontra, amely a négyszögön kívül van! a) B b) A D C C D A B B E D A B A D C C c) B D E C A A C D B 66 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

67 KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS III. 6 Rajzolj egy ABC háromszöget és a háromszögön kívül egy Fl pontot! Tudjuk, hogy Fl a BC oldal F felezőpontjának a középpontos tükörképe. Szerkeszd meg a háromszög tükörképét! Ha megszerkesztjük a BC oldal felezőpontját, majd az FFl szakasz felezőpontját, akkor megkapjuk a tükrözés középpontját. Innentől már csak a háromszög tükrözése a feladat. B C A F D F A C B 7 Másold az ábrát a füzetedbe, és tükrözd az ábrán látható számot a) az A pontra! b) a B pontra! c) a C pontra! GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 67

68 III. A KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSA Feladatok Fogalmazd meg és írd le a füzetedbe az. példa állításainak megfordításait! Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két-két szemközti oldala (oldalegyenese) párhuzamos, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két szemközti oldala egyenlő hosszúságú és párhuzamos, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög két-két szemközti szöge egyenlő egymással, akkor paralelogramma. Ha egy négyszög bármely két szomszédos szöge egymásnak kiegészítő szöge, akkor paralelogramma. Tükrözd az ABC háromszöget a BC oldal F felezőpontjára! Igazold, hogy az eredeti háromszög és az AlBlCl kép együtt egy paralelogrammát alkot! C B F A A B C A BC oldalt az F felezőpontjára tükrözve B = Cl és C = Bl. Az ABAlBl négyszögben az AB oldal középpontos tükörképe a vele szemben lévő AlBl oldal, ezért párhuzamosak egymással. Ugyanez igaz az ABl és a BAl oldalakra, tehát ez a négyszög paralelogramma. Tükrözz egy szabályos háromszöget az egyik oldal felezőpontjára! Milyen síkidomot határoz meg az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése? C A F B C Az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése egy rombuszt határoz meg. 68 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

69 A KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSA III. Vegyél fel két metsző egyenest és egy rájuk nem illeszkedő pontot! Szerkessz egy-egy olyan pontot az egyenesekre, amelyek az eredeti pontra tükrösek! b F a a E F Legyen a két egyenes a és b, és a rájuk nem illeszkedő pont E. Ha az a egyenest középpontosan tükrözzük az E pontra, akkor al és b egyenesek F metszéspontja olyan pont lesz a b egyenesen, amelynek középpontos tükörképe az E pontra nézve biztosan az a egyenesre esik. Legyen az ABCD négyszög négy oldalának felezőpontja E, F, G és H. Tükrözd az A csúcsot E-re, majd a kapott tükörképet sorban az F, aztán G, majd a H oldalfelező pontra! Mi lesz az A pont képe a négy tükrözés után? Az A pont E-re vonatkozó tükörképe B, mivel E az AB szakasz felezőpontja. Hasonlóan a pontot továbbtükrözve az oldalfelező pontokra, mindig a csúcsokat kapjuk tükörképként. Így az A pont képe a tükrözés után saját maga lesz. 6 Az ABCD paralalogrammát és a tetszőleges P pontot rajzold meg a füzetedben! Tükrözd a P pontot az A csúcsra, az így kapott tükörképet a B-re, majd a C-re és D-re! Mit tapasztalsz? Ha pontosan végezted el a tükrözést, akkor az A pontba kellett jutnod. 7 Tükrözd az ABCD trapézt az AB hosszabb alapjának F felezőpontjára! Hogyan neveznéd el az eredeti trapéz és az AlBlClDl kép egyesítésével kapott sokszöget? A B F C D Az ABCDBlCl egy középpontosan szimmetrikus hatszög. C B GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 69

70 III. 6 SZÖGPÁROK Feladatok Rajzold le az ábrát a füzetedbe! A rajzodon jelöld pirossal az a-val egyállású, kékkel az a-val fordított állású, szögeket zölddel az a kiegészítő szögeit! Rajzold le az ábrát a füzetedbe! A rajzodon jelöld azonos színekkel a csúcsszögeket! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a) Nincs olyan párhuzamos szárú szögpár, ahol a két szög különböző. b) Minden fordított állású tompa szögpárban a két szög egyenlő. c) Egy 0 -os és egy 60 -os szög nem alkothat párhuzamos szárú szögpárt. d) Ha két szög egyenlő, akkor egyállásúak. e) Ha két szög szárai páronként párhuzamosak, akkor a két szög egyenlő. a) Hamis. b) Igaz. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. Keresd meg a kiegészítő és a pótszög pá rokat! a) 8l; b) l; c) 76 7l; d) 7 l; e) 0 l; f) 7 6l; g) 7 l; h) l. Kiegészítő szögpárok: E C. Pótszög párok: F G, A H. Add meg a kiegészítő szögét! a) l 9m; b) l 7m; c) 90 l 8m; d) l 6m. a) 6 l m b) 6 7l m c) 89 7l m d) 76 l m 70 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

71 7 KÖZÉPPONTOS ÉS TENGELYES SZIMMETRIA III. Feladatok Keresd meg azokat a számjegyeket, amelyek lerajzolhatók középpontosan szimmetrikusan! Melyek azok a nyomtatott nagybetűk, amelyek középpontosan szimmetrikusan is lerajzolhatók? H, I, N, O, S, X, Z Készíts nyomtatott nagybetűkből olyan betűsorokat, amelyek középpontosan szimmetrikusak! Például: HOHOHOH, OXO, IOXOI Rajzolj a füzetedbe olyan középpontosan szimmetrikus nyolcszöget, amelyik nem tengelyesen szimmetrikus! Sorold fel néhány tulajdonságát! B C D A E H G F Tulajdonságok: a szemközti oldalak párhuzamosak a szemközti oldalak ugyanolyan hosszúak középpontosan szimmetrikus tengelyesen nem szimmetrikus a szemközti szögei egyenlők két általános ötszögre bonthatók, amelyek egymás középpontos tükörképei GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 7

72 III. 7 KÖZÉPPONTOS ÉS TENGELYES SZIMMETRIA A következő ábrákat körző és vonalzó segítségével hetedikesek készítették. Csoportosítsd a képeket az eddig tanult szimmetriák szerint! a) b) c) d) e) f) Tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem: d) Középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem: f) Tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus: a), e), c) 6 Válaszd ki a megadott pontok közül azt a négyet, amelyik középpontosan szimmetrikus négyszöget határoz meg! Ha tudsz, akkor válassz többféleképpen is! A(-; ); B(-; ); C(; 0); D(0; ); E(; ); F(; ); G(; ); H(; ). Középpontosan szimmetrikus négyszögek: BDHE, CGHE, BDGC. y y y H H H D D D G G G A A A E F E F E F B B B 0 C x 0 C x 0 C x 7 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

73 8 PARALELOGRAMMA ÉS DELTOID III. Feladatok Miért nem lehet egy háromszög középpontosan tükrös? A középpontos tükrözés során a csúcsokat párba kell állítani, a háromszögnél pedig egy csúcs kimarad. (Ha ez a csúcs a középpont, a tükrözés akkor sem viszi önmagába a háromszöget.) a) Rajzolj öt olyan pontot, amelyek középpontosan szimmetrikus helyzetűek! b) Lehet-e egy ötszög középpontosan szimmetrikus? a) Az öt pont közül az egyik a szimmetria-középpont. b) Nem lehet, hasonló megfontolás miatt, mint a háromszögnél. Rajzolj páros oldalszámú középpontosan szimmetrikus sokszögeket! Konkáv és konvex sokszögek is legyenek a rajzaid között! Fogalmazzatok meg olyan tulajdonságokat, amelyek a paralelogrammára és a deltoidra is érvényesek! Nem általános négyszögek. Van két-két azonos hosszúságú oldaluk. Van két egyforma nagyságú szögük. Mindkettő lehet rombusz és négyzet is. Van valamilyen szimmetriájuk. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 7

74 III. 8 PARALELOGRAMMA ÉS DELTOID Igazak-e a következő állítások? a) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor középpontosan tükrös. b) Ha egy sokszög középpontosan tükrös, akkor páros oldalszámú. c) Ha egy sokszög szabályos, akkor középpontosan szimmetrikus. d) Ha egy sokszög szabályos, akkor tengelyesen tükrös. e) Ha egy sokszög minden oldalának van párhuzamos párja, akkor az középpontosan tükrös. f) Ha egy sokszög minden oldalának van vele egyenlő hosszúságú párja, akkor az középpontosan tükrös. a) Hamis. b) Igaz. c) Igaz. d) Igaz. e) Hamis. f) Hamis. 7 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

75 9 A PARALELOGRAMMA TERÜLETE III. Feladatok Hány négyzetdeciméter a területe a következő paralelogrammáknak? a) a = dm, m a =,8 dm; b) b =, dm, m b = dm; c) a = 8 cm, m a =, m; d) b =,8 m, m b = 0 cm. Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! Mivel itt a területet négyzetdeciméterben kell megadni, ezért mindenhol a decimétert választottuk. a) t = $, 8 =, 6 dm b) t =, $ = 8 dm c) t = 8, $ = 9 dm d) t = 8 $ = 9 dm Add meg a hiányzó oldal vagy magasság hosszát! a) a = 8,8 cm, m a =, cm, b = cm; b) a =, m, b = 0,8 m, m b = 0,6 m; c) a = dm, m a = 6 dm, m b = 7 dm; d) a = mm, b = 6 mm, m b = 9 mm. Használjuk a t = a$ ma = b$ mb összefüggést! a) 88, $, = $ mb, innen m 88, $, b = = (cm). b), $ ma = 08, $ 06,, innen m 08, $ 06, a = = 0, (m)., c) $ 6 = b $ 7, innen b = $ 6 = 8 (dm). 7 d) $ ma = 6 $ 9, innen m 6 9 a = $ = 6 (mm). Egy 9 hektáros paralelogramma alakú terület két párhuzamos oldalának távolsága 60 méter. Milyen hosszúak ezek az oldalak? A 9 hektár a paralelogramma területe, az 60 méter a magassága. Az oldal hossza a terület számításából adódik: = a $ 60, ebből a = = 87 m. Tehát a terület párhuzamos oldalai méter hosszúak. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 7

76 III. 9 A PARALELOGRAMMA TERÜLETE Hogyan változik a paralelogramma területe, ha a) az alapjának a hosszát kétszeresére növeled; b) az egyik magasságának a hosszát a harmadára csökkented; c) az alapját és a hozzá tartozó magasság hosszát is kétszeresére növeled; d) az alapjának a hosszát háromszorosára, a hozzá tartozó magasság hosszát a felére változtatod? a) A területe a kétszeresére nő. b) A területe a harmadára csökken. c) A területe a négyszeresére nő. d) A területe a másfélszeresére nő. Egy rombusz alakú búzaföld kerülete,8 km, a területe m. a) Milyen messze van a földterület két széle egymástól? b) Mennyivel nagyobb egy ugyanilyen kerületű, négyzet alakú terület? a) A rombusz oldala:,8 : = 0,7 km = 700 m. A területszámítás alapján = 700 m a, innen m a = 60 m. Vagyis a földterület két széle 60 méter messze van egymástól. b) Egy ugyanilyen kerületű, négyzet alakú terület oldalai is 700 m hosszúak lennének, ezért a területe = m. Ez négyzetméterrel nagyobb, mint a rombusz alakú búzaföld területe. 76 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

77 0 A HÁROMSZÖG TERÜLETE III. Feladatok Mekkora a területe a következő háromszögeknek? a) a = 67 dm, m a = 8, dm; b) b =,8 dm, m b = dm; c) c = 8 cm, m c = 0,7 m; d) a =,7 m, m a = 7 dm. Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! a$ ma a) t 67 $ 8, = = = 79, 7 (dm ) b$ mb b) t 8, $ = = = 9, 8 (dm ) c$ mc c) t = = 8 $ 7 = 08 (cm ) a$ ma d) t 7, $ 7 = = = 6, (dm ) Add meg a hiányzó oldalak és magasságok hosszát a háromszögekben! a) a = 0, cm, m a =, cm, b =, cm; b) a =, m, b = 9,6 m, m b = 7, m; c) a = 6, km, m a = 0,8 km, b = km; d) a = 0, cm, m a = 0, cm, c = 0, cm. A háromszög területképletéből következik, hogy az oldalak és a hozzájuk tartozó magasságok szorzata egyenlő, azaz $ t = a$ ma = b$ mb. a) 0, $, =, $ mb, innen m 0, $, b = = (cm)., b), $ ma = 9, 6 $ 7,, innen m 96, $ 7, a = = 8, (dm)., c) 6, $ 0, 8 = $ mb, innen m 6, $ 0, 8 b = =, (km). d) 0, $ 0, = 0, $ mc, innen m 0, $ 0, c = = 06, (cm). 0, A harmadik oldal és a hozzá tartozó magasság nem adható meg egyértelműen. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 77

78 III. 0 A HÁROMSZÖG TERÜLETE Hogyan változik a háromszög területe, ha a) az egyik oldalának a hosszát háromszorosára növeled, a hozzá tartozó magasság hosszát viszont nem változtatod; b) az egyik magasságának a hosszát a felére csökkented, a hozzá tartozó oldal hosszát viszont nem változtatod; c) az oldalát és a hozzá tartozó magasság hosszát is felére csökkented; d) az oldalának a hosszát kétszeresére, a hozzá tartozó magasság hosszát a felére változ tatod? a) A területe a háromszorosára nő. b) A területe a felére csökken. c) A területe a negyedére csökken. d) A területe nem változik. Egy derékszögű háromszög hosszabb befogójának felezőpontjától a háromszög határoló vonalán haladva a szemközti csúcs 0, illetve 6 cm-re van. Az átfogó és a rövidebb befogó együtt 6 cm. a) Mekkora a háromszög kerülete? b) Mekkora a háromszög területe? a) A háromszög kerülete = 96 cm. b) A hosszabbik befogó 96-6 = cm hosszú. A 0 cm-es út a rövidebb befogón keresztül a szemközti csúcsig ennek a felével hosszabb, azaz a rövidebb befogó 0-6 = cm hosszú. A háromszög területe: $ = 8 cm. Egy szabályos háromszög kerülete cm, magasságát,6 cm-nek mértük. Mekkora a területe? K = a, innen a K a$ ma = = = (cm). T. $ 6, = = 7, cm. 6 Mérd meg az ábrán látható háromszög megfelelő adatait, majd számold ki a területét! Méréssel az alábbi adatokat kapjuk: a = mm, m a = 9 mm T = $ 9 = 0, (mm ) b = 0 mm, m b = mm T = 0 $ = 00 (mm ) c = 7 mm, m c = mm T = 7 $ = 6 (mm ) A háromszög területe körülbelül 00 mm = cm 78 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

79 A TRAPÉZ TERÜLETE III. Feladatok Mekkora a trapéz területe, ha a) a = 8 cm, c = cm, m = 7 cm; b) a = m, c = 7 m, m = m; c) a = 0 dm, c = m, m = 00 cm; d) a = cm, c = 0,07 m, m =, dm? Ügyeljünk arra, hogy a számolás előtt a megadott adatokat azonos mértékegységre váltsuk! ^a+ ch$ m ^8 + h$ 7 a) t = = = 0 (cm ) ^a+ ch$ m ^ + 7h$ b) t = = = 0 (m ) ^a+ ch$ m ^ + h$ c) t = = = 96 (m ) ^a+ ch$ m ^ + 7h$ d) t = = = 0, (cm ) Mekkora a trapéz magassága, ha a) a = cm, c = cm, t = 8 cm ; b) a = 7 m, c = 9 m, t = 66 m? ^ + h$ m a) 8 =, innen m = 8 $ : 6 = 8 (cm). ^7 + 9 h$ m b) 66 =, innen m = 66 $ : 76 = 7 (m). Mekkora a trapéz hiányzó alapjának hossza, ha a) a = 7 cm, m = 8 cm, t = 6 cm ; b) a = 0 m, m = m, t = 88 m? ^7 + ch$ 8 a) 6 =, innen c = 6 $ : 8-7 = (cm). ^0 + ch$ b) 88 =, innen c = 88 $ : - 0 = 6 (m). GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 79

80 III. A TRAPÉZ TERÜLETE Melyek igazak a következő állítások közül? A hamis állításokat javítsd, hogy igazak legyenek! a) A trapézt az egyik átlója két háromszögre vágja. b) A trapéz szemközti oldalegyeneseinek távolságát a trapéz magasságának nevezzük. c) A trapéz területét úgy számíthatjuk ki, hogy a két párhuzamos oldalának az összegét megszorozzuk a trapéz magasságával. d) Van olyan trapéz, amelynek a területét három oldal ismeretében is ki lehet számítani. a) Igaz. b) Hamis. A trapéz szemközti párhuzamos oldalegyeneseinek távolságát a trapéz magasságának nevezzük. c) Hamis. A trapéz területét úgy számíthatjuk ki, hogy a két párhuzamos oldalának az összegét megszorozzuk a trapéz magasságával és elosztjuk kettővel. d) Igaz (a derékszögű trapéz ilyen). Mekkora az ábrán látható sokszög területe, ha a függőleges szakaszok hossza 0 cm, 6 cm, 8 cm és cm, és a szomszédos függőleges szakaszok távolsága cm, cm és cm? 0 t t 8 6 t t = t + t + t = ^0 + 6h$ ^6+ 8h$ ^8+ h$ + + = = 6 (cm ) 6 Egy tűzfal trapéz alakú. Mennyi vakolatra lesz szükség a felújításnál, ha m -enként kg anyagot használnak fel? ^ + 8h$ 6 A felújítandó tűzfal területe: t = = 6 (m ). Ehhez 6 = 7 7 kg vakoló anyagra lesz szükség. 80 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

81 A DELTOID TERÜLETE III. Feladatok Hogyan változik a deltoid területe, ha a) az egyik átlóját kétszeresére növeljük, a másik átló hosszát nem változtatjuk; b) mindkét átló hosszát duplázzuk; c) mindkét átló hosszát harmadoljuk; d) az egyik átlóját kétszeresére növeljük, a másik átló hosszát felére csökkentjük? a) A területe kétszeresére nő. b) A területe négyszeresére nő. c) A területe kilencedére csökken. d) A területe nem változik. Számold ki a deltoid területét, ha adott az e és f átlójának hossza! a) e = 6 cm, f = 8 cm; b) e = m, f = m; c) e = 6 dm, f = 7 dm; d) e = 6 mm, f = 8 mm. e$ f a) t = = 6 $ 8 = (cm e$ f ) b) t = = $ = (m ) e$ f c) t = = 6 $ 7 = (dm e$ f ) d) t = = 6 $ 8 = (mm ) Egy cm oldalhosszúságú rombusz átlóinak hossza 6 cm, illetve 8 cm. Milyen távol van egymástól a két párhuzamos oldala? e$ f A rombusz egyben deltoid is, tehát az átlók hosszának ismeretében a területe: t = = 6$ 8 = (cm ). A rombusz területét a paralelogrammánál tanult módszerrel is felírhatjuk: t = a$ m a, azaz = $ ma, innen m a = = 8, (cm). Vagyis a rombusz két párhuzamos oldala,8 cm távolságra van egymástól. Egy rombusz alakú szántóföld két párhuzamos széle 67 méterre van egymástól. A terület két távoli csúcsa között 00 méter, a két közelebbi csúcsa között pedig 700 méter a távolság. Mekkora a szántóföld oldalhossza? Az előző feladathoz hasonlóan használjuk a paralelogramma és a deltoid területképletét is, hiszen a e$ f rombuszra mindkettő alkalmazható. A szántóföld területe: t = = a$ ma, azaz 00 $ 700 = a $ 67, innen a = 00 $ 700 : 67 = 0 (m). Vagyis a szántóföld oldalának hossza 0 m. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 8

82 III. A DELTOID TERÜLETE Egy parkolót az ábrán látható térkövekkel burkoltak. A kövekből összesen 00 darabot használtak fel. Mekkora részt burkoltak összesen? Az ábra néhány térkő felülnézetét mutatja. Tudjuk, hogy az AD átló két egybevágó deltoidra vágja a térkövet, illetve, hogy a BD átló hossza cm, a DF átló hossza pedig 0 cm. A BD és DF átló a két egybevágó deltoid átlója. Egy térkő területe egy ilyen deltoid területének a kétszerese, azaz t = BD $ DF = $ 0 = 00 cm = dm. A lefedett terület ennek 00-szorosa, azaz 00 = 6000 dm = 60 m. 6 A képen látható karácsonyfadíszt színes papírból szeretnénk kivágni. A minta négy egybevágó deltoidból áll. Az ABCD négyzet oldalai cm, a KLMN négyzet átlói 6 cm hosszúak. Mekkora területű papírt használunk fel a dísz elkészítéséhez? Az ABCD négyzet oldalai az egybevágó deltoidok rövidebb átlói, a KLMN négyzet átlói a deltoidok hosszabb átlóinak kétszeresei. Tehát a deltoidok átlói cm és 8 cm hosszúak. A díszhez szükséges papír területe: t = $ $ 8 = 6 (cm ). K D A N C B M L 8 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

83 KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS ALAKZATOK III. Feladatok Rajzold le néhány autó márkajelzését a füzetedbe! Írd mellé, ha valamelyik tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus! Középpontosan szimmetrikus. Tengelyesen szimmetrikus. Egyik tanult szimmetriával sem rendelkezik. Középpontosan szimmetrikus. Gyűjts egyszerű, középpontosan szimmetrikus ábrákat a környezetedből! Rajzold le őket! Ennek a feladatnak a megoldását a gyerekek fantáziájára és kreativitására bízzuk. Az ellenőrzésnél érdemes kiemelni azokat az ötleteket, amelyeket nem mindenki írt le. Melyik igaz? Melyik hamis? a) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor páros oldalszámú. b) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor középpontosan szimmetrikus. c) Ha egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, akkor páros oldalszámú. d) Ha egy sokszög páros oldalszámú, akkor tengelyesen szimmetrikus. e) Ha egy sokszögben minden oldalnak van párhuzamos párja, akkor a sokszög középpontosan szimmetrikus. f) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor minden oldalának van párhuzamos párja. a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Hamis. e) Hamis. f) Igaz. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 8

84 III. KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS ALAKZATOK a) A sakktáblát két színnel színezik. A színeket is figyelembe véve milyen szimmetriája van a sakktáblának? b) Egy hatszor hatos táblát színezz ki két színnel úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus legyen! Tervezz több ábrát is! c) Egy négyszer négyes táblát színezz ki három színnel úgy, hogy középpontosan szimmetrikus legyen! a) A sakktáblának a színezését is figyelembe véve középpontos szimmetriája van. b) c) Pentominónak nevezzük azokat a sokszögeket, amelyek öt darab egység (például cm ) területű négyzetből rakhatók össze. A négyzeteket az éleik mentén illesztheted egymáshoz. a) Rajzold le a füzetedbe az összes pentominót! Csak azokat tekintsd különbözőnek, amelyek elforgatással és tükrözéssel sem hozhatók fedésbe egymással! Törekedj arra, hogy megtaláld mind a tizenkettőt! b) Csoportosítsd őket a szimmetriájuk szerint! a) 8 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

85 KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS ALAKZATOK III. b) Tengelyesen szimmetrikus Tengelyesen nem szimmetrikus Középpontosan szimmetrikus Középpontosan nem szimmetrikus 6 Válogasd szét a képeket! Melyik középpontosan szimmetrikus? Az első két ábra középpontosan szimmetrikus, a harmadik és a negyedik viszont nem. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 8

86 III. SOKSZÖGEK Feladatok Hol találsz a környezetedben szabályos sokszögeket? Ennek a feladatnak a megoldását a gyerekek fantáziájára és kreativitására bízzuk. Az ellenőrzésnél érdemes kiemelni azokat az ötleteket, amelyeket nem mindenki írt le. Néhány példa: közlekedési táblák, focilabda, méhkaptár, térkövek. Döntsd el, igaz vagy hamis! a) Egy sokszög csak akkor lehet tengelyesen szimmetrikus, ha szabályos. b) Ha egy sokszög középpontosan szimmetrikus, akkor szabályos. c) A szabályos sokszögnek biztosan van legalább három szimmetriatengelye. d) Ha egy sokszög tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, akkor szabályos. a) Hamis. b) Hamis. c) Igaz. d) Hamis. Egy egyenlő szárú háromszög szögei: 0, 7, 7. Hány darab egybevágó példányra lenne szükséged, ha szabályos sokszöget szeretnél összerakni belőlük? Szabályos tizenkétszög rakható ki, ehhez db ilyen háromszög szükséges Egy szabályos sokszög összes szimmetriatengelyét megrajzoltuk. Ezek 0 csúcson haladtak át. Hány oldalú a sokszög? A szimmetriatengelyek minden csúcson csak egyszer haladnak át. A sokszög tízoldalú. 86 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

87 SOKSZÖGEK III. Készítsd el papírból az ábrán látható egyenlő szárú háromszögeket! Milyen szabályos sokszöget tudsz kirakni mind a négy felhasználásával? A háromszögekből egy négyzet rakható ki: GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 87

88 III. SZERKESZTÉSEK Feladatok Szerkessz háromszöget a következő ada tokból: a) a, b, c; b) a, b, c; c) a, b, m a! b c m b mc m a a a) Vázlat: A c b B a C A szerkesztés menete: A C pont megszerkesztéséhez két körvonalat szerkesztünk, egy A középpontú és b sugarú, illetve egy B középpontú és a sugarú körvonalat. Ezek metszéspontja lesz a C pont. b) Vázlat: A b B a C A szerkesztés menete: Az A pont megszerkesztéséhez két vonalra van szükségünk. A BC szakasz C végpontjához másoljuk a γ szöget. Ennek a szára és a C középpontú b sugarú kör metszéspontja adja az A pontot. c) Vázlat: A m a b B a C A szerkesztés menete: Az A pont egy kör és egy egyenes metszéspontjaként szerkeszthető meg. Az egyik vonal a BC oldallal párhuzamos és tőle m a távolságra lévő egyenes, a másik vonal a C középpontú és b sugarú kör. 88 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

89 SZERKESZTÉSEK III. Szerkessz rombuszt a következő adatokból: f a) a, e; b) a, a; c) a, m a! m e a a a) Vázlat: D C a e a A a B A szerkesztés menete: A C csúcs két körvonal metszéspontja: az egyik A középpontú és e sugarú, a másik B középpontú és a sugarú. A D csúcs szintén két körvonal metszéspontja: az egyik A középpontú, a másik C középpontú, és mindkettő a sugarú. b) Vázlat: D C A a a B A szerkesztés menete: A D pont megszerkesztéséhez két vonalra van szükségünk. Az AB szakasz A pontjához másoljuk az α szöget. Ennek a szára és az A középpontú a sugarú kör metszéspontja adja a D pontot. A B középpontú és a D középpontú a sugarú körök metszéspontja adja a C pontot. c) Vázlat: D C a m a A a B A szerkesztés menete: A C és D pontok is illeszkednek az AB oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre ezt szerkesztjük meg. A D pont ezen párhuzamos egyenes és egy A középpontú, a sugarú kör metszéspontja, a C pont helyét pedig egy B középpontú és szintén a sugarú kör jelöli ki. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 89

90 III. SZERKESZTÉSEK Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból: f a) a, b, a; b) a, b, e; c) a, b, m a! e m a b a) Vázlat: D C a A b a B A szerkesztés menete: A D pont az α szögszára és egy A középpontú, b sugarú kör metszéspontja lesz, a C pont pedig egy B középpontú, b sugarú és egy D középpontú, a sugarú körvonal metszéspontjaként szerkeszthető meg. b) Vázlat: D C e b A a B A szerkesztés menete: A C pont egy A középpontú, e sugarú és egy B középpontú, b sugarú kör metszéspontja, a D pont pedig egy A középpontú, b sugarú és egy C középpontú, a sugarú kör metszéspontja lesz. c) Vázlat: D C b m a b A a B A szerkesztés menete: A D és C pontok is illeszkednek az AB oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre ezt szerkesztjük meg. A D pont ezen párhuzamos egyenes és egy A középpontú, b sugarú kör metszéspontja, a C pont helyét pedig egy B középpontú és szintén b sugarú kör jelöli ki. 90 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

91 SZERKESZTÉSEK III. Szerkessz téglalapot a következő adatokból: a) a, b; b) a, e; c) e, {! e b a a) Vázlat: D C b b A a B A szerkesztés menete: Az A és B pontokban is merőlegest állítunk az AB oldalra. Az A pontban állított merőlegesen a D pont helyét egy A középpontú és b sugarú kör jelöli ki, valamint a B pontban állított merőlegesen a C pont helyét egy B középpontú, b sugarú kör jelöli ki. b) Vázlat: D C e A a B A szerkesztés menete: Az A és B pontokban is merőlegest állítunk az AB oldalra. Az A pontban állított merőlegesen a D pont helyét egy B középpontú és e sugarú kör jelöli ki, valamint a B pontban állított merőlegesen a C pont helyét egy A középpontú, e sugarú kör jelöli ki. c) Vázlat: D C e F A B A szerkesztés menete: Az AC átló felezőpontjában (F) felvesszük a { nagyságú szöget, ennek a szögnek a másik szárára illeszkednek a B és D csúcsok. Mindkettő helyét az F középpontú, e sugarú körvonal jelöli ki a szögszárakon. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 9

92 III. SZERKESZTÉSEK Szerkessz trapézt, ha adott az a + c, m a, e, a! c d e f b m a a Vázlat: D C e m a A a c B D A szerkesztés menete: A tankönyv. példája (és jelölései) alapján az ADl oldalból indulunk ki. A D csúcs az A csúcsban felmért α szög másik szárára, illetve az ADl oldaltól m a távolságra lévő párhuzamos egyenesre is illeszkedik, így ez a csúcs megszerkeszthető ezek metszéspontjaként. Az A középpontú, e sugarú körvonal ugyanezen a párhuzamos egyenesen jelöli ki a C csúcs helyét, így megkapjuk a DC szakaszt, ami a trapéz c oldalának felel meg. A Dl középpontú és c sugarú kör és az ADl szakasz metszéspontja lesz a B pont. 9 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

93 6 ÖSSZEFOGLALÁS III. Feladatok A megadott öt válasz között pontosan egy jó van. A helyes választ a füzetedben jelöld! Melyik nem a középpontos tükrözés tulajdonsága? (A) Távolságtartó; (B) Az egyenes és képe párhuzamos; (C) Van olyan egyenes, amelyik egybeesik a képével; (D) A körüljárási irányt megfordítja; (E) Szögtartó. A helyes válasz: D. Melyik befejezés hibás? Ha egy négyszög paralelogramma, akkor (A) két-két szemközti oldala egyenlő hosszú ságú; (B) két-két szemközti oldala párhuzamos; (C) az átlói merőlegesen felezik egymást; (D) két-két szemközti szöge egyenlő egymással; (E) bármely két szomszédos szöge egymásnak kiegészítő szöge. A helyes válasz: C. Rajzoltunk egy középpontosan szimmetrikus szabályos sokszöget. Hány oldala lehet a megadottak közül? (A) 96; (B) 986; (C) 00; (D) 0; (E). A helyes válasz: B. A 7 cm területű paralelogramma egyik oldalának hossza 9 cm. Mekkora lehet az ehhez az oldalhoz tartozó magasság hossza? (A) cm; (B) 6 cm; (C) 8 cm; (D) 6 cm; (E) Ennyi adatból nem adható meg. A helyes válasz: C. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 9

94 III. 6 ÖSSZEFOGLALÁS Mekkora a cm átlóhosszúságú négyzet területe? (A) cm ; (B) 7 cm ; (C) 6 cm ; (D) 88 cm ; (E) Az átló hosszával nem határozható meg a négyzet területe. A helyes válasz: B. 6 Egy deltoid egyik átlója kétszer olyan hosszú, mint a másik átlója. Centiméterben mérve mindkettő hossza egész szám. Mekkora lehet a területe? (A) 96 cm ; (B) 96 cm ; (C) 69 cm ; (D) 69 cm ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: A. 7 Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) cm hosszúságú átlói merőlegesek egymásra. Mekkora lehet a területe? (A) 96 cm ; (B) 69 cm ; (C) 98 cm ; (D) 6 cm ; (E) Csak az átló hosszának ismeretében nem határozható meg ennek a trapéznak a területe. A helyes válasz: C. 8 A cm, cm és cm oldalhosszúságú háromszög területe (A) 0 cm ; (B) 8 cm ; (C) biztosan nagyobb, mint 0 cm ; (D) biztosan nagyobb, mint 9 cm ; (E) 8 cm. A helyes válasz: E. 9 GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

95 IV. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK Következő járatunkkal Alexandriába látogatunk, Kr. e. 0-be. Mindenki jelentkezett? kérdezte Judit néni teljesen feleslegesen, hiszen maga előtt látta a pályázók névsorát. Még tizenkét másodpercet kellett várni, és a holomonitoron megjelent az utazók listája. A két kiválasztott, Zsombi és Zsuzsi először örömujjongásban tört ki, majd villámgyorsan készülődni kezdtek az időugrásra. A visszaszámlálás megkezdésekor erősen megmarkolták a karfát, s szorításuk csak akkor enyhült, amikor megpillantottak néhány görögösen öltözött embert és mögöttük az alexandriai könyvtárat. Üdv, Béta! Hallom, keresel egy megbízható embert, aki Szüénébe utazik mérni. Jól hallottad, Hérón, de ha még egyszer Bétának szólítasz, nem te leszel az, bármilyen nagyra tartom is a munkáidat. Bocsáss meg, Eratoszthenész! Tudod, én is mennyire becsüllek. Nem mellesleg szeretnék részt venni a mérésben. Elmagyaráznád az eljárásodat? Az utazók szerint van Szüénében egy nap, amikor a Nap úgy süti a kutak fenekét, hogy egy csepp árnyék sem esik a vízre. Ha ugyanekkor itt Alexandriában is megmérjük, hogy mekkora árnyékot vet egy függőlegesen leszúrt bot, akkor ki tudjuk majd számolni a Föld kerületét, hiszen tudjuk, milyen messze van Szüéne Alexandriától. Miközben beszélt, egy bottal hevenyészett ábrát rajzolt a homokba. Most, hogy elmondtad, olyan egyszerűnek tűnik. Hogy nem jutott ez nekem is eszembe? sóhajtott Héron. Zsuzsi azt forgatta a fejében, hogyha hazaérnek, ők is lerajzolják a többieknek Eratoszthenész magyarázatát. Zsombi viszont ekkorra már készített is néhány téridőképet, amit elégedetten bámult a holomonitoron.

96 IV. SZÁMELMÉLET A TANULT ISMERETEK ÁTTEKINTÉSE Feladatok Sorold fel az alábbi számok első tíz többszörösét! Húzd alá azokat a többszörösöket, amelyek mindkét felsorolásban szerepelnek! Például az többszörösei: 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 0 a) 6 és 9; b) 0 és ; c) 6 és ; d) ; és 6; a) 6 többszörösei: 6; ; 8; ; 0; 6; ; 8; ; 60 9 többszörösei: 9; 8; 7; 6; ; ; 6; 7; 8; 90 b) 0 többszörösei:0; 0; 0; 0; 0; 60; 70; 80; 90; 00 többszörösei: ; 0; ; 60; 7; 90; 0; 0; ; 0 c) 6 többszörösei:6; ; 8; 6; 80; 96; ; 8; ; 60 többszörösei: ; 6; 96; 8; 60; 9; ; 6; 88; 0 d) többszörösei: ; 6; 9; ; ; 8; ; ; 7; 0 többszörösei: ; 8; ; 6; 0; ; 8; ; 6; 0 6 többszörösei: 6; ; 8; ; 0; 6; ; 8; ; 60 Keresd meg az alábbi számok legkisebb közös többszörösét! Például: [6; 8] = a) [6; ]; b) [9; 7]; c) [; 6; ]; d) [; 8]. a) [6; ] = b) [9; 7] = c) [; 6; ] = 60 d) [; 8] = 6 Hozd közös nevezőre a törteket, és végezd el az alábbi műveleteket! Például: + 7 = + 08 = a) + ; b) 7-8 ; c) ; d) a) + = + 6 = 8 b) 7-8 = - 6 = c) = = 6 = d) = = OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

97 SZÁMELMÉLET A TANULT ISMERETEK ÁTTEKINTÉSE IV. Milyen számjegyeket írhatsz az a, b, c, d betűk helyére, hogy a számok oszthatók legyenek A) -vel, B) -mal, C) -tel, D) 9-cel, E) 0-zel, F) -mal és 9-cel, G) -vel és -tel, H) -vel és -mal? a) 8a; b) 8b; c) 7c0; d) d0. -vel: a) nincs ilyen szám b) 0; ; ; 6; 8; c) 0; ; ; 9 d) ; ; ; 9 -mal: a) ; ; 8 b) ; ; 7 c) ; ; 8 d) ; 6; 9 -tel: a) 0; ; ; 9 b) 0; c) 0; ; ; 9 d) ; ; 9 9-cel: a) b) c) d) 6 0-zel: a) nincs ilyen szám b) 0 c) 0; ; ; 9 d) ; ; 9 -mal és 9-cel: ugyanaz, mint a D). -vel és -tel: ugyanaz, mint az E). -vel és -mal: a) nincs ilyen szám b) c),, 8 d), 6, 9 Igaz vagy hamis? a) Ha egy szám osztható -vel és -tel, akkor osztható 0-zel is. Igaz. b) Ha egy szám osztható -tel és 8-cal, akkor osztható 0-nel is. Igaz. c) Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor osztható 8-cal is. Hamis, például. d) Ha egy szám -re végződik, akkor osztható -gyel. Hamis, például. e) Ha egy szám utolsó két számjegyéből álló szám osztható -mal, akkor maga a szám is osztható -mal. Hamis, például. f) Ha egy szám páros, akkor összetett szám. Hamis, például. g) Ha egy szám prímszám, akkor nincs osztója. Hamis. 6 Sorold fel az alábbi számok összes osztóját! Mely számoknak van páratlan darab osztója? a) 8; b) 6; c) 9; d) 0; e) 6; f) 7. 8 osztói: ; ; ; 6; 9; 8 6 osztói: ; ; ; ; 6; 9; ; 8; 6 9 osztói: ; 7; 9 0 osztói: ; ; ; 0; ; 0 6 osztói: ; ; ; 8; 6; ; 6 7 osztói: ; ; ; ; 6; 8; 9; ; 8; ; 6; 7 Tehát páratlan számú osztója van a 6-nak, a 9-nek és a 6-nek (a négyzetszámoknak). OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 97

98 IV. SZÁMELMÉLET A TANULT ISMERETEK ÁTTEKINTÉSE 7 Sorold fel az alábbi számok pozitív osztóit és keresd meg a közös osztókat! Karikázd be a füzetedben a közös osztók közül a legnagyobbat! Például: (6; 0) = 8 a) (; ); b) (0; 70); c) (; ); d) (6; ; 8). a) osztói:,, 7, osztói:,, 7, (; ) = 7 b) 0 osztói:,,,, 8, 0, 0, 0 70 osztói:,,, 7, 0,,, 70 (0; 70) = 0 c) osztói:,,, 6, 7,,, osztói:,,, 6, 9, 8, 7, (; ) = 6 d) 6 osztói:,,, 8, 6 osztói:,,, 8, 6, 8 osztói:,,,, 6, 8,, 6,, 8 (6; ; 8) = 6 8 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! Például: 6 $ 8 = = a) ; b) 6 ; c) 0. $ a) = = 0 6$ 6 b) 6 = $ = 60 $ c) 0 = 0 98 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

99 ÖSSZETETT SZÁMOK PRÍMTÉNYEZÔS FELBONTÁSA IV. Feladatok Hány kétjegyű prímszám van? db kétjegyű prímszám van. A ; ; 7; 9; ; 9; ; 7; ; ; 7; ; 9; 6; 67; 7; 7; 79; 8; 89; 97. Szorozd össze A: az első három; B: az első öt prímszámot, majd a szorzathoz adj hozzá -et! a) Mely számokkal nem osztható biztosan a kapott szám? b) Milyen számot kaptál? Vajon mindig igaz ez a megfigyelés? A) + = a) Biztosan nem osztható = 0 összes -nél nagyobb osztójával. b) Prímszámokat, de ez nem mindig igaz. B) 7 + = a) Biztosan nem osztható 7 = 0 összes -nél nagyobb osztójával. b) Prímszámokat, de ez nem mindig igaz. Bontsd fel az alábbi számokat prímszámok szorzatára! a) 80; b) 900; c) ; d) 60; e) ; f) a) 80 = b) 900 = c) = d) 60 = e) = 7 f) 9 66 = 7 Készíts összetett számokat a következő prímszámokból oly módon, hogy a prímeket összeszorzod! Egy adott prímszámból legfeljebb annyi tényezőt használhatsz, amennyit a felsorolásban látsz. a) ; ; b) ; ; 7; c) ; ; 7; 7; a) Például: ; 0 b) Például: ; 6 c) Például: ; 98 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 99

100 IV. ÖSSZETETT SZÁMOK PRÍMTÉNYEZÔS FELBONTÁSA a) Van hárommal osztható prímszám? b) Van öttel osztható prímszám? c) Van héttel osztható prímszám? d) Van hattal osztható prímszám? a) Igen a, és csak ez. b) Igen az, és csak ez. c) Igen a 7, és csak ez. d) Nincs, mert a hattal osztható számok oszthatók kettővel és hárommal is. 6 A hajó méterben megadott hosszának és a kapitány életkorának szorzata 67. Hány éves a kapitány? A 67 prímtényezős felbontása: 67 = 7. A kapitány életkora ezért csak év lehet, így a hajó hossza 7 m. 7 Gazsi két prímszámra gondolt és összeadta őket. Eredményül egy harmadik prímszámot kapott. Mi lehetett a Gazsi által gondolt kisebbik prím? Két prímszám összege csak úgy lehet prím, ha az egyik prím páros. Egyetlen páros prímszám van, a, ennél kisebb prím nincs, így a kisebbik prím a. 8 Keress az interneten információkat az ikerprímekről! Egyéni keresési eredmények, vessétek össze, ki mit talált! 00 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

101 OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS IV. Feladatok Döntsd el, az alábbi számok közül melyik többszöröse a 8-nak! a) ; b) ; c) ; d) 9; e) ; f) 7. Azok a számok oszthatók 8-cal, amelynek prímtényezős felbontásában szerepelnek 8 prímtényezői, azaz. Ilyenek az a), d) és az f). Sorold fel az alábbi számok osztóit! Az osztók mellé írd fel, az adott szám hányszorosa az osztónak! a) 6; b) ; c) 60; d). A feladat az osztópárokat kéri. a) 6 osztópárjai: -6; -8; -; -9 b) osztópárjai: -; -; -7; 9- c) 60 osztópárjai: -60; -80; -0; -90; -7; 6-60; 8-; 9-0; 0-6; -0; -; 8-0 d) osztópárjai: -; -66; -; -; 6-; - Sorold fel az alábbi számok prímosztóit! Az osztók mellé írd fel, az adott szám hányszorosa az osztónak! a) ; b) ; c) 7; d) ; e) ; f) 7. Szám Prímosztó Hányszorosa a) b) c) Szám Prímosztó Hányszorosa d) e) f) OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 0

102 IV. OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS Sorold fel a számok osztópárjait! Húzd alá a valódi osztókat! a) 6; b) ; c) 60; d). Lásd. feladat. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyik -vel, -mal, -gyel és -tel is osztható? A négy szám LKKT-je, azaz Többszöröse-e a) -nek a ; b) -nek a ; c) 77-nek a 7 ; d) -nek a 7? a) Igen b) Nem c) Igen d) Igen 7 Egy téglalap területe cm. Mekkorák a téglalap oldalai, ha tudjuk, hogy az oldalak hossza (centiméterekben mérve) egész szám? osztópárjai adják az összes megoldást. -; -7; -8; Sorold fel a következő kifejezések osztóit! a) + ; b) + ; c) 7 + ; d) 9 +. a) + ; osztói: ; 7 b) + ; osztói: ; c) 7 + ; osztói: ; d) 9 +. osztói ; 7; ; 9 9 Készíts a füzetedbe táblázatot -től -ig, majd minden szám alá írd oda, hogy hány osztója van! osztók száma osztók száma Hozz ellenpéldát az ötletre! Péter felsorolta a 60-nak mind a osztóját. 60 =, ezért úgy gondolta, hogy a számok osztóinak számát megkaphatjuk, ha a prímtényezős felbontásban szereplő prímszámok szorzatából kivonjuk a kitevők szorzatát. Nem igaz, például:. 0 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

103 LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ IV. Feladatok Írd fel az alábbi számok közös osztóit! a) 0; ; b) 0; 70; c) ; ; d) ; ; e) ; ; f) 60; 08. Közös osztók: Közös osztók: a) 0; ; b) 0; 70 ; ; ; 0 c) ; ; d) ; e) ; f) 60; 08 ; ; ; ; 6; A számok prímtényezős alakjának felhasználásával írd fel az alábbi számok legnagyobb közös osztóját! a) (; 60); b) (0; ); c) (96; ). a) (; 60) = b) (0; ) = c) (96; ) = 8 Írd fel prímtényezős alakban a számok legnagyobb közös osztóját! a) ( ; 7; ); b) ( 0 8 ; 6 7; 7 9 ). a) ( ; 7; ) = b) ( 0 8 ; 6 7; 7 9 ) = 6 Egyszerűsítsd az alábbi törteket! Javaslat: A legnagyobb közös osztó segítségével gyorsabb az egyszerűsítés. a) 8 ; b) 68 ; 96 c) 9 ; 09 d) a) 8 = 8 ; b) = 7 ; c) 9 09 = ; d) 06 9 Számítsd ki az alábbi számhármasok legnagyobb közös osztóját! a) (; 0; 7); b) (; 00; 00). a) (; 0; 7) = b) (; 00; 00) =. = Milyen számok kerüljenek a téglalap helyére, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) ( ; 7) = ; b) ( ; ) = 60. a) ( ; 7) = = ; = b) ( ; ) = 60 =. = ; ; ; ; OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 0

104 IV. LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS Feladatok Írd fel az alábbi számok öt-öt közös többszörösét! a) ; ; b) ; ; c) ; ; d) ; ; e) 0; ; f) 0; 70; g) 7; 8; h) ; 6; i) ; ; j) ; ; k) ; ; l) 8; 9. Közös többszörösök: a) ; ; ; ; ; b) ; ; ; 6; 8; 60 c) ; 80; 60; 0; 70; 900 d) ; 60; 0; 80; 0; 00 e) 0; 60; 0; 80; 0; 00 f) 0; 70 0; 80; 0;60; 700 g) 7; 8 6; ; 68; ; 80 h) ; 6 86; 7; 88; ; 0 i) ; 60; 0; 80; 0; 00 j) ; 60; 0; 80; 0; 00 k) ; 0; 0; 60; 80; 00 l) 8; 9 7; ; 6; 88; 60 Írd fel az alábbi számok legkisebb közös többszörösét a számok prímtényezős alakjának felhasználásával! a) [8; ]; b) [; ]; c) [; 60]; d) [0; ]; e) [96; ]; f) [60; 08]; g) [; ]; h) [; 7]. a) [8; ] = [ ; ] = = ; b) [; ] = [; 7] = ; c) [; 60] = [ ; ] = ; d) [0; ] = [ ; ] = ; e) [96; ] = [ ; ] = ; f) [60; 08] = [ ; ] = ; g) [; ] = [ 7; ] = 7; h) [; 7] = [ ; ] =. Számítsd ki az alábbi számhármasok legkisebb közös többszörösét! a) [7; 8; ]; b) [; 8; 7]; c) [8; 0; 7]; d) [7; 00; 00]. a) [7; 8; ] = 7 = 8; b) [; 8; 7] = = 00; c) [8; 0; 7] = = 70; d) [7; 00; 00] = = 600. Add meg a legkisebb közös többszörösöket prímhatványok szorzataként! a) [ ; 7; ]; b) [ 0 8 ; 6 ; 7 ]. a) [ ; 7; ] = 7 ; b) [ 0 8 ; 6 ; 7 ] = OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

105 LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS IV. Milyen számok kerüljenek a négyzetek helyére, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) ( ; ) = 00; b) ( ; ) = 080. a) ( ; ) = 00 = ; Ilyen adatok mellett nem lehet megoldani a feladatot. b) ( ; ) = 080 =. A kitevője lehet: 0; ; ;. Az kitevője: 0;. A kitevője:. 6 Egy repülőgép-társaságnál négyféle úti cél közül választhatunk: naponta indul egy gép Londonba, naponta Párizsba, 8 naponta Brüsszelbe és naponta Stockholmba. Ha Budapestről január elsején mind a négy városba elrepülhetünk, melyik napon indul újra együtt Budapestről ez a négy járat? A négy szám legkisebb közös többszöröse adja a megoldást [; ; 8; ] =. Tehát nap múlva, azaz január -én indul újra együtt a négy repülőgép. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 0

106 IV. 6 EGY KIS LOGIKA Feladatok Hétfőn a szigeten sétálva találkoztam három szigetlakóval. Megmutattam nekik két számot, és a következőket mondták: A: A két szám összege osztható -mal. B: Az egyik szám többszöröse. C: A másik szám -mal osztva -t ad maradékul. Lehetett-e mindhárom szigetlakó szorgi? Nem lehetett. Indoklás: Ha feltételezzük, hogy bármelyik két szigetlakó szorgi, akkor kiderül, hogy a harmadik csak morgi lehetne. Kedden szembejött velem három szigetlakó, megmutattam nekik három számot, ekkor a következőket mondták: A: Mindhárom szám osztható -tel. B: A három szám szorzata osztható -tel. C: A három szám összege osztható -tel. a) Mit mondhatsz B-ről és C-ről, ha tudod, hogy A szorgi? b) Mit mondhatsz A-ról és C-ről, ha tudod, hogy B morgi? a) Akkor B is és C is szorgi. b) Ha B morgi, az azt jelenti, hogy a számok között nincs -tel osztható., tehát A is morgi. C azonban lehet szorgi (például ; ; esetén) és morgi is (például ; 6; 7 esetén). Szerdán újabb ismerősöket szereztem a szigeten, így nekik is mutattam két számot. A következőket mondták: A: A két szám összege osztható 8-cal. B: A két szám különbsége osztható 8-cal. C: A két szám szorzata osztható 8-cal. a) Lehet-e A, B és C is szorgi? b) Lehet-e mindhárom szigetlakó morgi? c) Lehet-e közöttük egy szorgi és két morgi? Ha igen, melyikük mond igazat? a) Igen, ha például a két szám 0 és. b) Igen, mert például a és számok esetén az A, B, C egyike sem teljesül. c) Lehet, hogy A szorgi, B és C pedig morgi, például, ha a két szám és 7. Lehet B szorgi, ha a két szám például 8 és, de ekkor A és C morgi. Lehet, hogy C szorgi, A és B pedig morgi, ha a két szám és OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

107 6 EGY KIS LOGIKA IV. Csütörtökön három 0-nél nagyobb természetes számot mutattam nekik, melyek összege osztható -mal. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy mondhatták-e szorgik! Válaszaidat példákkal indokold! A: Az összeg minden tagja osztható hárommal. B: Az összeg pontosan két tagja osztható hárommal. C: Az összeg pontosan egy tagja osztható hárommal. D: Az összeg egyik tagja sem osztható hárommal. A: Igen, mondhatta szorgi, például a ; ; 8 esetén. B: Nem mondhatta, mert ha egy háromtagú összegben a két tag mindegyike osztható hárommal, és az összeg is osztható hárommal, akkor a harmadik tagnak is oszthatónak kell lennie hárommal. C: Igen, például a ; ; esetén. D: Igen, lehetséges, például a ; ; 8 esetén. Pénteken a 06 0-es számot mutattam a szembe jövő szorgiknak és morgiknak, akik a következő megállapításokat tették: A: Ez a szám akkor is páros, ha az első és az utolsó számjegyét felcseréljük. B: Ez a szám akkor is osztható -mal, ha a számjegyeit összekeverjük, és tetszőleges sorrendben felírjuk. C: Ez a szám akkor is osztható -tel, ha az utolsó két számjegyét felcseréljük. D: Ez a szám nem osztható 9-cel. E: Ezt a számot tetszőleges természetes számmal szorozva -mal osztható számot kapunk. Kik voltak morgik a csapatból? A: Morgi volt. B: Szorgi volt. C: Morgi volt. D: Morgi volt. E: Szorgi volt. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 07

108 IV. 7 OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK Feladatok a) Osztható-e a szám -mal, illetve 9-cel? b) Osztható-e a szám -mal, illetve 9-cel? c) Osztható-e a szám -vel, -gyel, illetve 8-cal? d) Osztható-e a szám -gyel? a) Igen, a számjegyek összegéből következik. b) Igen, a számjegyek összegéből következik. c) -vel és -gyel osztható, mert az utolsó jegy páros, az utolsó két helyen álló kétjegyű szám pedig osztható -gyel. 8-cal nem osztható. d) Nem osztható. Válaszolj a kérdésekre az összeg, illetve a szorzat kiszámítása nélkül! a) Osztható-e a összeg -mal? b) Osztható-e a összeg -gyel? c) Osztható-e a különbség 9-cel? d) Osztható-e a 67 - különbség -gyel? e) Osztható-e a 6 7 szorzat 8-cal? f) Osztható-e a 7 szorzat 0-zel? a) Nem, mert mindkét tag hárommal osztva egy maradékot ad, így az összeg hárommal osztva kettő maradékot ad. b) Nem, mert bár két tagja osztható néggyel, a harmadik tag viszont nem, így az összeg sem. c) Igen, mert mindkét tag osztható 9-cel. d) Mindkét tag néggyel osztva három maradékot ad, így a különbség osztható néggyel. e) Igen, mert egyik tényezője osztható 8-cal. f) Igen, mert a szorzat prímtényezői között szerepel a és az is. Milyen számjegyet írhatunk a helyére, hogy igaz legyen az állítás? a) 08 osztható -gyel. b) 08 osztható -mal. c) 08 osztható 9-cel. a) 08 osztható -gyel. = 0; ; 8 b) 08 osztható -mal. = ; ; 7 c) 08 osztható 9-cel. = 08 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

109 7 OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK IV. Dobókockával dobunk kétszer egymás után. Sorold fel azokat a dobáspárokat, ahol az így kapott kétjegyű szám osztható a) -tel; b) 8-cal; c) 0-zel; d) -tel! a) -tel: ; ; ; ; ; 6 b) 8-cal: 6; ; ; 6; 6 c) 0-zel: Nincs ilyen. d) -tel: Írjunk fel a ; 9; és számok segítségével olyan kéttényezős szorzatokat, ahol a szorzat a) osztható -mal; b) -gyel osztva maradékot ad; c) -tel osztva maradékot ad; d) osztható 8-cal! a) Például: 9; 9 ; b) Például: c) Például: 9; d) Például: 6 Rakj ki az ; ; ; számkártyákból olyan háromjegyű számokat, amelyek oszthatók a) -mal; b) -gyel; c) -tel! Keresd meg az összes számot! a) A kiválasztható számhármasok: ; ; és ; ;. Ezek mindegyikével 6 db szám rakható ki, így öszszesen db ilyen szám van. b) Az utolsó két helyre kerülhet a ; ;. Minden kétjegyű szám elé kerülhet bármelyik a maradékok közül. Így összesen hat ilyen szám van. c) -tel: ; 7 Igaz-e, hogy a) négy egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható -mal? b) öt egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható -gyel? c) hét egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 6-tal? a) Igaz, mert hárommal való oszthatóság során háromféle maradék lehet. Négy szám esetén tehát biztosan van kettő, amelyeknek ugyanaz a hármas maradéka. Ezek különbsége osztható hárommal. b) Igen, lásd előző indoklás. c) Igen, lásd előző indoklás. 8 Hány egész számot kell választanod, hogy biztos legyen köztük kettő, amelyek különbsége osztható -tel? Hat számot, az előző feladat indoklása alapján. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 09

110 IV. 8 KÉSZÍTSÜNK MAGUNKNAK OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOKAT! Feladatok Osztható-e a 8 szorzat a) 6-tal? b) 8-cal? c) -gyel? d) -tel? a) Igen, mert osztható -vel és -mal. b) Nem, mert nem osztható 9-cel. c) Igen, mert osztható -mal és 7-tel. d) Nem, mert a szorzat nem osztható -tel. Igaz vagy hamis? Hamis válaszaidat példával igazold! a) Ha egy szám osztható 6-tal és 8-cal, akkor 8-cal is. b) Ha egy szám osztható 8-cal, akkor 6-tal és 8-cal is. c) Ha egy szám osztható 7-tel és 0-zel, akkor 70-nel is. d) Ha egy szám osztható 70-nel, akkor -vel, -tel és 7-tel is. e) Ha egy szám nem osztható 9-cel, akkor 8-cal sem. f) Nincs olyan 0-zel osztható szám, amelyik nem osztható 0-szal. a) Nem, mert például a nem osztható 8-cal. b) Igaz. c) Igaz, mert 7 és 0 relatív prímek. d) Igaz. e) Igaz f) Hamis, mert például a 0 nem osztható 0-szal. Gondoltam egy számra. Négyjegyű. Osztható -tel. Az első és az utolsó számjegye megegyezik. A második számjegye 7. Melyik számra gondoltam? A szám osztható -tel, tehát osztható -tel és 9-cel. A szám utolsó számjegye csak lehet, mert osztható öttel és első és utolsó jegye megegyezik. A feltételek alapján tehát egy 7x alakú számot kaptunk. A számjegyek összeg 7 + x, tehát a 9-cel oszthatóság miatt, 7 + x = 8, azaz x =. 7 + x = 7, esetén x = 0, de ez már nem lehetséges. A keresett szám így csak az 7 lehet 0 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

111 8 KÉSZÍTSÜNK MAGUNKNAK OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOKAT! IV. Milyen számjegyet írhatunk a helyére, hogy igaz legyen az állítás? a) 08 osztható -vel. b) 9 60 osztható -tel. c) 0 osztható 0-cal. a) Ha egy szám -vel osztható, akkor -mal és -gyel is osztható. A néggyel való oszthatóság miatt az utolsó jegy csak 0, és 8 lehet, a hárommal való oszthatóság miatt csak a jó. b) Ha egy szám -tel osztható, akkor -mal és -tel is osztható. A szám öttel osztható, de a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie hárommal is. Így csillag helyére csak az, és a 7 kerülhet. c) A 0-cal való oszthatósághoz elegendő megnézni 0 és oszthatóságát. A szám osztható 0-zel. A számjegyek összegéből következik, hogy a csillag helyére a 0,, 6 és a 9 kerülhet. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amit a helyére írhatsz, hogy a a) összeg osztható legyen -vel? b) 97 - különbség osztható legyen 8-cal? c) 7 szorzat osztható legyen 0-zel? d) 9 szorzat osztható legyen 8-cal és -gyel is? a) b) A kisebbítendő 9-cel osztva 7 maradékot ad és páratlan, ezért a kivonandónak is ilyen tulajdonságúnak kell lennie, tehát a 7 a legkisebb ilyen szám. c) d) A szorzat mindig osztható 8-cal. Ahhoz, hogy -gyel is osztható legyen, a téglalap helyére 7-et kell írni. 6 Gondoltam egy számra szól az osztály lelkes matekosa, és a többiek már kérdezgetik is. Annyit elárulok róla, hogy és 00 között van teszi hozzá sokat sejtető mosollyal. 0-zel osztva mennyi maradékot ad? Négyet. Osztható nyolccal? Igen. Megvan benne a három? Igen. Én már tudom! örvendezik Jázmin. Próbáljátok ki ti is a padtársaddal ezt a játékot! Ha a szám 0-zel osztva -et ad maradékul, akkor az a vagy négyre végződő kétjegyű szám. Mivel a szám osztható 8-cal is, ezért a és 6 lehet a megoldás. A harmadik állításból tudjuk, hogy osztható -mal, vagyis a gondolt szám a. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

112 IV. 9 MATEMATIKAI JÁTÉKOK Feladatok Adj nyerő stratégiát! Keress olyan lépéssorozatot, amelyikkel mindig nyersz! A játékok nyerő stratégiáit több játék alapján gondoljátok meg! Ezt a játékot párban játszhatjátok. Tegyetek egy bábut (radírt, papírfecnit stb.) a START mezőre! Lépjetek a bábuval felváltva egy vagy két mezőt előre! Az a játékos nyer, aki pontosan rálép a CÉL mezőre. A nyerő stratégia: Én kezdek, s az -es mezőre lépek, ezután bármit lép az ellenfél én mindig a -mal osztva egy maradékot adó mezőket választom:, 7, 0,, 6, 9. A 9-es mezőről ugyanis bármit lép az ellenfél, mindig én léphetek majd be a célba. Ha nem én kezdek akkor igyekszem minél előbb valamelyik -mal osztva egy maradékot adó mezőre lépni, mert akkor nyerhetek. Változtassatok a játékszabályon! Lépjetek egyet, kettőt vagy akár hármat is! Működik az előző játéknál kialakított stratégia? A nyerő stratégia: Én kezdek, a -es mezőre lépek, ezután pedig az ellenfél lépéseitől függetlenül mindig a -gyel osztva maradékot adó mezőket választom:, 6, 0,, 8. Mit gondolsz, hogyan változik a nyerő stratégia, ha a mezők számát növeljük a) -mal? b) -tel? c) 7-tel? OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

113 9 MATEMATIKAI JÁTÉKOK IV. a) A cél mező száma ekkor lesz, azaz a megfelelő mezők, melyeket érintenem kell:,, 7, 0,, 6, 9,. b) A cél mező száma így 7 lesz, ebben az esetben a -mal osztható mezőket kell érintenem, azaz most nem én szeretném kezdeni a játékot! c) A cél mező száma most 9, ezért a hárommal osztva maradékot adó mezőket fogom a játék során választani. A játékot én akarom kezdeni és a -es mezőre lépek. Ezt a játékot másféleképpen is játszhatjátok. Rakjatok ki tetszőleges számú kavicsot vagy pálcikát az asztalra, és vegyetek el belőle felváltva egyet, kettőt vagy hármat! Az nyer, aki az utolsó darabot elveszi. Figyeljétek meg, hogyan kell megváltoztatni a nyerő stratégiát a kirakott tárgyak darabszámától függően! Akkor nyerhetek, ha a játék során mindig annyi követ veszek el az asztalról, hogy a maradék négygyel osztható legyen. Így ugyanis elérem, hogy a vége felé az asztalon kavics legyen, s az ellenfél következik. Ő akár hányat vesz el, az utolsó kavics végül az enyém lesz. Ha a kupacban eredetileg néggyel osztható számú kavics volt, akkor kezdjen az ellenfél, ha nem néggyel osztható a kavicsok száma, akkor én szeretnék kezdeni. Versenyezzetek, ki tud adott idő alatt többféle téglatestet megépíteni adott darabszámú kiskockából! Hányféle téglatest építhető a) 8 darab; b) darab; c) 6 darab; d) 8 darab kiskockából? a) féle ( 8,, ) b) féle (, 6,, ) c) féle ( 6, 8,, ) d) 9 fél ( 8,, 6,, 6 8,, 8, 6, ) OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

114 IV. 0 ARÁNYOSSÁGRÓL MÉG EGYSZER Feladatok Írj fel három olyan számpárt, melyeknek aránya a) : ; b) : ; c) 0 :! a) : = : 0 = :, = 8 : 0; b) : = 6 : = : = : 8; c) 0 : = : = :, = : 9. Írd fel egész számokkal a megadott arányokat! a), : 6,7; b) : ; c) : ; d) : ; e) : 6 7 ; f) :. 9 7 a), : 6,7 = 0 : ; b) : = : ; c) : = : ; d) : = : ; e) : = 7 : 8; f) : = : Írd fel két egész számmal az alábbi arányokat úgy, hogy a lehető legkisebb pozitív egész szám szerepeljen az arányban! a) 8 : ; b) : ; c) 0 : 0,0; d) 0,7 :,; e) :. 8 a) 8 : = : ; b) : = : ; c) 0 : 0,0 = 0 : ; d) 0,7 :, = : 6; e) : = : 6. 8 Osszuk fel az alábbi számokat a megadott arányban! a) 6-ot : arányban; b) 0,-ot 7 : 9 arányban; c) d) 800-at : arányban; e) 600-at : : arányban; f) 6 -öt : 6 arányban; 9 -ot : : arányban. A megadott számokat elosztjuk az arányszámok összegével, a kapott részt pedig megszorozzuk az arányszámokkal. a) ; b) 0,; 0,8 c) ; 6 d) : = :, ezért a számok 800; e) 00; 00; 800 f) ; 6 ; OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

115 0 ARÁNYOSSÁGRÓL MÉG EGYSZER IV. Két testvérnek összesen 0 cserélhető focis kártyája van. Az idősebb testvérnek háromszor annyi kártyája van, mint a fiatalabbnak. a) Írd fel a két testvér kártyái számának az arányát! b) Hány focis kártyája van a kisebb testvérnek? a) Az idősebb és a fiatalabb testvér matricáinak aránya :. b) 0 $ = 0, tehát a kisebb testvérnek 0 matricája van. 6 Két szám aránya : 7. a) Mekkora a nagyobbik szám, ha a kisebb szám? b) Melyik két számra gondoltunk, ha az összegük 70? c) Melyik két számról van szó, ha különbségük? a) A kisebbik szám rész, ebből b) 9 rész 70 rész 6 rész 90 7 rész rész 80 A nagyobb szám a. 7 rész 0 A számok 80 és 0. c) A különbség rész. rész rész 9 A számok 8 és 6. 7 Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének az aránya :. Hány fokosak a háromszög szögei? A két hegyesszög összege 900. Ha ezt részre osztjuk, 0-ot kapunk. Tehát a hegyesszögek és 7 fokosak. 8 A Vidám családban három gyerek van. A családtagok életkorának összege 6 év. A gyerekek életkorának aránya : :. Az apa évvel idősebb az anyánál. Ha az apa életkorának kétszereséhez -et adunk, 00-at kapunk. a) Hány évesek a szülők? b) Hány éves a legidősebb gyermek? c) Hány év múlva lesz a legkisebb gyerek fele annyi idős, mint az anya most? a) Apa életkora: (00 - ) : = 8, anya életkora év. b) A gyerekek életkorának összege, ebből arányos osztással kapjuk, hogy a gyerekek 6, 8 és 0 évesek. A legidősebb gyermek tehát 0 éves. c) Az anya most éves, tehát a kérdés, hogy hány év múlva lesz a legkisebb gyerek éves. Ez - 6 = 6 év múlva következik be. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

116 IV. MIT TUDUNK A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSRÓL? Feladatok Számítsd ki 70-nek a a) 0%-át; b) %-át; c) 7,%-át; d) %-át; e),7%-át; f) 00%-át! a) 0; b),; c) 06,; d) 087,; e) 8,6; f) 000. Számítsd ki kétféle módon a a) 00 m %-át; b), kg 70%-át; c) 700 cm 7,%-át. a) I. Kiszámítjuk az %-ot, majd a %-ot. ( 00 : 00) = 0 m II. A szám 0, részét számítjuk ki. 00 0, = 0 m b) (, : 00) 70 =,78 kg, 0,7 =,78 kg c) (700 : 00) 7, = 07, cm 700 0,7 = 07, cm Írd fel többféleképpen a a) 0 perc p%-át; b) m kg 6%-át; c) a liter 60%-át; d), hl p%-át; e) k kg p%-át! p p p a) ^0 : 00h $ p = vagy 0 $ = 00 b) m : 00 6 m m 00 6 ^ h $ = $ = vagy m 0,6 0 c) a : a ^ h $ = vagy a,6 p p, p d) ^, : 00h $ p = vagy, $ = k$ p p k$ p e) ^k: 00h $ p = vagy k $ = Egy téglalap alakú kert egyik oldala m, hosszabb oldala ennek 70%-a. Milyen hosszú a kert másik oldala? $ 70 = $, 7 =, m hosszú a másik oldal OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

117 MIT TUDUNK A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSRÓL? IV. Egy városismereti vetélkedőn 0 kérdéses tesztet kellett kitölteni. A Pajkos csapat célba érés után az alábbit mondta a már beérkezett csapatoknak: A feladatok közül 0% biztos, hogy jó, % lehet hogy jó, és csak a tesztkérdések %-ára nem tudtunk válaszolni. Igaz lehetett-e az állításuk? 0-nek a %-a 7,, ami nem egész szám, így biztosan nem lehetett az az állítás igaz, hogy a kérdések %-ára nem tudtak válaszolni. 6 0 kg narancsban 9 kg víz van. Hány százalék a narancs víztartalma? 9 része, azaz az 0 kg narancs 78%-a víz. 0 7 Hány százaléka a) 7 a 00-nak; b) a 00-nak; c) -nek az ; d) a 0, a 70-nek; e) 00-nak az 60; f) a 0, a,-nek; g) 7 a -nek; h) a 68 a 800-nak; i) a 0-nek a ; j) 7 a 7-nek? a) 7%-a; b) 6%-a; c),%-a; d) %-a; e) 0%-a; f) 00%-a; g) 0%-a; h) 6%-a; i) 0%-a; j).,6%-a. 8 Melyik az a szám, amelynek a) %-a ; b) %-a ; c) %-a 7; d) %-a 00; e) 7,%-a,; f) %-a ; g) 0%-a 9; h), o %-a ; i) p%-a 700; j) p%-a,? a) 00; b) 6; c) 00; d) 8 000; e) ; f) 00; g) 0; h) 0; p i) 700 : p = ; j), : = p 00 p 9 Az iskolánkban lány tanul. Ez a tanulók létszámának a %-a. Hány tanuló jár az iskolába? = 700 0, Tehát 700 tanuló jár az iskolába. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 7

118 IV. MIT TUDUNK A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSRÓL? 0 A hetedik évfolyamon lévő A osztályba 6-tal több tanuló jár, mint a B osztályba. Az A osztály tanulóinak 60%-a lány, és az osztályba fiú jár. a) Hányan tanulnak az A osztályban? b) Hányan járnak a hetedik évfolyamra? c) A B osztályban a fiúk és lányok aránya :. Hány lány jár az évfolyamra? a) 0 tanuló jár az A osztályba. b) A B-be -en, így az évfolyamra tanuló jár. c) A B osztályban 6 lány tanul, így az évfolyamra lány jár. 8 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

119 ÖSSZETETT SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSI IV. FELADATOK Feladatok Számítsd ki a) -nek a részét; b) 0-nek a %-át; c) 0 kg %-kal megnövelt értékét; d) 600 liter 8%-kal csökkentett értékét; e) 870 részének a 6%-át; f) 0 %-ának az 0%-kal növelt értékét; 7 g) 0%-kal csökkentett értékének a %-át! a) $ = 0, b) 0 $ = 00 c) $ 0, = 0 $, = 76 d) $ 0, 8 = 600 $ 0, 8 = 9 e) 870 a $ $ 0, 6 = 7 k f) ^0 $ 0, h$, = 8, g) ^ $ 0, 8h$, = Írd fel egyenlőségalakban! Ellenőrizd, valóban jók-e a számolások! Ha hibát találsz, akkor írd le helyesen a füzetedbe! a) 0 méter %-a 99 méter. b) 00 dl %-kal csökkentett értéke 890 dl. c) 60 dkg 8%-ával megnövelt értéke 76 dkg. d) 0%-kal csökkenetett értékének %-kal megnövelt értéke. e), óra %-a 8 perc. a) 0 0, = 99 méter helyes. b) 00 dl - 00 dl 0,% = 890 dl helyes. c) 60 dkg,8 = 76 dkg ez nem igaz, a helyes egyenlőség: 60 dkg,8 = 7, dkg. d) ( 0,8), = ez nem igaz, a helyes egyenlőség: ( 0,8), =,. e) 7 perc 0, = 8 perc helyes. Egy fapados légitársaságnál október hónapban meghirdették az akciós utakat. Ha valaki ebben az időpontban megveszi a jegyét akkor a következő év áprilisára 600 Ft a repülőjegy Barcelonába. Az indulás időpontjához közeledve egyre drágulnak a jegyek. Már cius ban ugyanerre az időpontra a jegy ára 80 Ft. Hány %-kal emelkedett a jegy ára ezen időszak alatt? Azt kell meghatározni, hogy a 00 Ft hány %-a az 600 Ft-nak , 600 Tehát a repülőjegy ára 80%-kal emelkedett. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 9

120 ÖSSZETETT SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSI IV. FELADATOK A tavaszi leárazás során a Ft-os csizma árát először %-kal, majd áprilisban 0%-kal csökkentették. a) Mennyibe került a csizma a kétszeri leárazás után? b) Hány százalékos lenne az árleszállítás, ha egy lépésben csökkentették volna az árat? a) $ 0, 8 $ 0, 9 = 90 Ft-ba kerül a csizma a kétszeri leárazás után. b) 90 = 0, 76, tehát az eredeti ár 76,%-a lett a kétszeri leárazás után, vagyis alkalmanként,% kal kellene leárazni. Egy hipermarket árufeltöltője 00 csomag nápolyit rakott ki kedd reggel az üzlet polcaira. Estére elfogyott a nápolyi %-a, sőt másnap estig újabb %-kal csökkent a nápolyi készlet. a) Hány csomag nápolyi volt a polcokon kedd este? b) Hány csomag nápolyi fogyott el a két nap alatt? a) 00 $ 0, 88 = 0 csomag volt kedd este a polcokon. b) Másnap estére 00 $ 0, 8 = 7 csomag maradt a polcokon. Tehát a két nap alatt 6 csomag nápolyi fogyott el. 6 A megtakarított pénzem 0%-át elköltöttem karácsonyi ajándékozásra. A megmaradt pénzem hány százalékát kell újra hozzátennem a nyaralásig, hogy ugyanannyi pénzem legyen, mint a karácsonyi vásárlás előtt volt? Ha A Ft-om volt, akkor megmaradt a 0,6 része. Először számítsd ki konkrét számokkal! A kérdés az, hogy az A Ft hány %-a a 0,6 A-nak. A = = 0. 67, 06, $ A 06, 6 Tehát a megmaradt pénz 67%-át kell hozzátenni, hogy megkapjam az eredeti összeget. 0 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

121 SZÖVEGES FELADATOK IV. Feladatok Olga néni sütött egy nagy tepsi pogácsát. Matyi a pogácsák 0%-át, Gazsi a negyedét, Gergely a 0 részét ette meg, így anyának és apának 0 darab maradt. a) A pogácsák hány százaléka maradt meg a szülőknek? b) Hány darab pogácsát sütött Olga néni? a) A gyerekek megették a pogácsák -részét, a szülőknek %-a maradt meg. b) 0 db pogácsát sütött Olga néni. Nyáron bejártuk Görögországot. Az út 7%-át repülővel tettük meg, az ötödét autóval, és 0 km-t még bicikliztünk is. Hány kilométert utaztunk a nyáron? A 0 km biciklizés az egész út 0,0%-a, ezért a teljes út 0 00, = 00 km volt. Az iskolába 680 gyerek jár. A gyerekek %-a minden nap vesz magának tízórait a büfében, közülük minden harmadik ásványvizet is vásárol. Hány gyerek vásárol minden nap tízórait és ásványvizet is a büfében? ^680 $ 0, h : = gyerek vásárol üdítőt mindennap a büfében. A téglalap egyik oldala 0 dm, másik oldala m. Minden oldalát %-kal megnöveljük. a) Hány százalékkal növekszik a kerülete? b) Hány százalékkal növekszik a területe? a) %-kal. b) A megnövelt oldalak hossza, dm, illetve 9 dm. A megnövelt téglalap területe,0-szorosa lesz az eredeti téglalap területének. A terület tehát 0,%-kal növekedett. A 0 cm-es oldalú négyzet egyik oldalát 0%-kal megnöveltük, másik oldalát 0%-kal csökkentettük. a) Hány százalékkal változott a kerülete? b) Hány százalékkal változott a területe? a) A keletkezett téglalap oldalai cm, illetve 6 cm hosszúak. Így a kerülete nem változott. b) A téglalap területe 8 cm lett, azaz 6%-kal csökkent. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

122 IV. SZÖVEGES FELADATOK 6 liter vízhez dl málnaszörpöt keverünk. Hány százalékos lesz az italunk? = 009, oo azaz az üdítő közelítőleg 9%-os lett. 7 Az edzésre lány jár. A csapat 7%-a fiú. Hány gyerek jár az edzésre? A lányok az edzésre járók 8%-át teszik ki, azaz 0 gyerek jár edzésre. 8 A szünetig még 8 dolgozatot írunk. Tegnap már megírtunk kettőt, ma egyet. A tervezett dolgozatok hány százaléka van még hátra? 8 = 07, o o része, azaz. 7%-a van még hátra. 9 A nyári angoltábor 0%-kal olcsóbb, ha most fizetem be, így 780 forintba kerül. Mennyibe kerül eredetileg? Az eredeti ár 90%-a 780 Ft, ezért az eredeti ár 8700 Ft volt. 0 A matematikadolgozatok átlaga,6 lett, ami %-kal jobb, mint a földrajzdolgozatok átlaga. Mennyi lett az osztályátlag földrajzból? A matematikadolgozat eredménye a földrajzdolgozat átlagának %-a. Így a földrajz dolgozat átlaga,0. A nagy nyári hőségben eladtuk a jégkrémek %-át. Hány százalékkal kell növelnünk a megmaradt mennyiséget, hogy ugyanannyi jégkrémünk legyen, mint eredetileg volt? Próbáld meg kiszámítani konkrét számokkal. % maradt meg. 00 = 0 =, 9 o, tehát o, -szeresére kell növelni, azaz a meglévő mennyiséget kb. %-kal kell megnövelni. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

123 SZÖVEGES FELADATOK IV. Nyári munkával és újságkihordással összegyűjtöttem Ft-ot, de a laptop, amit kinéztem magamnak Ft-ba kerül. A boltban ki tudom fizetni a fennmaradó összeget hathavi részletre, de akkor a kamat miatt %-kal többe kerül. a) Mennyivel kell így többet fizetnem a laptopért? b) Hány forint lesz a havi törlesztőrészlet, ha fél évre vettem fel a hitelt, és minden hónapban ugyananynyit fizetek? a) Ft %-át kell kifizetni kamatként, azaz 00 Ft-tal kell többet fizetni. b) 00 : 6 = 70 Ft lesz a havi törlesztőrészlet. Volt két tengerimalacom. Egy szép napon kölykeik születtek, majd azoknak is kölykeik születtek, akik még tovább szaporodtak. Azóta eltelt pár év és megállapítottam, hogy a tengerimalac-állományom fél év alatt 0%-kal növekszik. Jelenleg 00 tengerimalacom van. Hány tengerimalac boldog tulajdonosa leszek fél év, egy év és két év múlva? Ha feltesszük azt, hogy nem pusztul el egyetlen állat sem, akkor Eltelt idő Számítás Tengeri malacok száma Fél év múlva 00, = 0 0 Egy év múlva 0, = Másfél év múlva, = 7,8 7 Két év múlva 7, = 06, 06 Vigyázz! A válasz csak egész érték lehet. Egy tableteket forgalmazó cég az új termékét 000 Ft-ért állítja elő. Mivel a piacon nincs más ilyen termék, nagy hasznot remél a forgalmazásból. Ezért az előállítási költség 0%-kal megnövelt értékéért árusítja. Nem sokkal később megjelennek hasonlóan jó minőségű tabletek, így az árat 0%-kal csökkentenie kell. a) Mennyibe került a piacra kerüléskor a tablet? b) Hány Ft-tal csökkentették a tabletek árát? c) Mennyi volt a cég bevétele, ha 00 tabletet sikerült eladniuk a bevezető áron és 000 darabot a csökkentett áron? a) Ft-ba. b) Ft-tal csökkentették a tablet árát. c) = Ft. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

124 IV. SZÖVEGES FELADATOK Lakásvásárlás során a szerződés megkötésekor a lakás árának %-át kell kifizetni előlegbe. Lucáék szülei, millió forintot fizettek az eladónak. a) Mennyibe került a lakás? b) A lakás vásárlásához hitelt kellett felvenni. Ez a lakás árának a 0%-a. Hány forint hitelre volt szükség? c) A lakásvásárlásakor Ft illetéket kell fizetni az államnak. Hány % az illeték mértéke? a) = Ft-ba. 0, b),8 millió Ft kölcsönt kell felvenni. c) = 00,, tehát %-os illetéket kell fizetni OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

125 SZÁMOK ÉS BETÛK HASZNÁLATA IV. Feladatok Keresd a párját! a) Egy szám hétszerese. b) Egy szám felének a háromszorosa. c) Két szám hányadosa. d) Egy szám harmadának a kétszerese. e) Egy számnál kilencszer nagyobb szám. f) Egy számnál héttel nagyobb szám négyszerese. A) (x : ) ; B) 7x; C) x ; D) x 9; E) x 7 ; F) x $ $ ; G) x + 9; H) (x + 7) ; I) x. y a) B b) F c) I d) A e) D f) H Készíts az a; b; a ; -; elemekből egytagú algebrai kifejezéseket! Írj a füzetedbe tíz különböző lehetőséget! Néhány példa: a, b, ab, a, a, a b, a, ab, a b, -a, -b, -a. Válaszd ki azokat az algebrai kifejezéseket, amelyeknek az együtthatója -nél nagyobb! a) 7xy; b) a b; c),7x 6 ; d) 7 ab; e) 8,x y z ; f) a ; g) km h) x 6 7xy; 7 ab ; 8, xyz ; x Végezd el az összevonásokat a következő algebrai kifejezésekben! a) a-a- a+ a-a- a b), b- 9, b+, b c) x- ( + x) + 7x-( - x) d) -7y- y+ (- 9y) + a) -a b),8b c) 0x d) -9y + Végezd el az összevonásokat, és számold ki a kifejezések helyettesítési értékét, ha tudod, hogy x =- ; y =! a) x- y+ x- 7y 8x- y =- 9 6 b) x+ - 7x+ (- 9) -x - 8 = xy - x + y = c) xy x y xy d) x + 8y- + x - y 9x - y- =- OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 9 6

126 IV. SZÁMOK ÉS BETÛK HASZNÁLATA 6 Végezd el a szorzásokat! a) ( x + ) ; b) - ( + y) ; c), ( x- y) ; d) x( 7 - x) ; e) ( x+ y) $ (- ) ; f) z( x- 6y) ; g) xx ( + 8) ; h) xy(, + 7,); i) yx ( + y) ; j) z( x+ y- z). a) x + 6 b) -0 - y c) x-, y d) 7x- x e) -x- y f) xz - 6yz g) x + 6x h), xy i) xy + y j) xz + yz - z 7 Először vond össze a zárójelen belüli kifejezéseket, majd végezd el a szorzásokat! a) ( a+ 7b- a+ b) ; b) (-e- f+ 7f-e) $ (- ) ; c) x( -- x+ 8- x+ ) ; d) (-)( - x+ + x-8- x) ; e) ( x - y + xy - yx) $ xy; f) ( x -y -x -7y -xy) $ (- xy). a) ^ b- ah = 6b- 9a b) ^- e+ fh^- h= 70e- 0f c) x^6-6xh = 6x- 6x d) ^- h^h=- e) ^x - y + xyh xy = x y - xy + x y f) ^-x - 8y - xyh^- xyh= 9x y + xy + x y 8 Keresd az egyenlőket! a) a + a -a (a - 9) a - 7a a a + a (a - )6 -(a - ) - a) a+ a = a = a+ a a- 7a =- a =-^a- h- ^a- 6 h = ^ a- 9h b) x + y y - x - ( 8 x - y) -(y - x) x - y - x + y x+ y x - y (y - x) b) x+ y = x- y- x+ y = - 8 x - y = y - x ^ h ^ h -^y- xh= x- y y- x x+ y 9 Péntek délután megírtam az összes leckém negyedét, szombat délelőtt a -át. Maradt-e leckém vasárnapra? Igen, megmaradt az - a + = k része. 0 Vettem s darab rágót (9 Ft/db), c da rab csokit (87 Ft/db), k csomag gumicukrot (6 Ft/db) és n üveg lekvárt (9 Ft/db). a) Írd fel, mennyit fizettem összesen! b) Hány forinttal fizetek többet, ha veszek még négy rágót és két csokit? a) 9s+ 87c+ 6k+ 9n b) $ 9 + $ 87 = 60 Ft-tal fizetek többet. 6 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

127 EGYENLETEK MEGOLDÁSA IV. Feladatok Oldd meg az alábbi egyenleteket a lebontogatás módszerének felhasználásával! a) $ ] 6x - g+? - = 6; b) $ $ ] x + g+? - = 8. a) x = b) x = Oldd meg az alábbi egyenleteket! A mérlegelv alkalmazása előtt ahol tudsz, végezz összevonást! a) x+ + 8x-7- x+ = x- ; b) x-8-0x+ + x+ 6 = - x; c) x+ x+ - x+ = x+ + x- ; d) x+ 6+ 0x+ - 6x = x-8- x+. a) azonosság b) x =- c) x = d) x =- Zárójelfelbontás után végezd el a lehetséges összevonásokat, és oldd meg az egyenleteket! a) $ ] x+ g+ 7$ ] 8x+ g= $ ] x+ 6g- $ ] x+ g - 6; b) 6- ] x+ g-$ ] x- g= 8$ ] - xg+ $ ] x- g; c) $ ] x+ g+ $ ] x- g= 6$ ] x- g+ $ ] x- g + ; d) 0 - $ ] - xg+ $ ] x+ g= $ ] -xg- $ ] 6 -xg. a) 8x+ + 6x+ = x+ 7 - x- 8-6 b) 6- x- - 6x+ = - 8x+ x- 6x+ 6 = 8x+ 8-7x+ 6 =- x+ 0 6x = - = x x = x =- c) 6x+ + 6x- = 8x- 6 + x- + d) x+ x+ 8 = - 6x- + x x- = x- 7 x+ 8 =-x- 0 x = x =-8 x = = x =- Egy számhoz a négyszeresét hozzáadva 978-t kapunk. Melyik ez a szám? x+ x = 978 x = 97 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 7

128 IV. EGYENLETEK MEGOLDÁSA Egy számot elosztva a nyolcadával eredményül 8-at kaptunk. Melyik számra igaz ez az állítás? x : x = 8 8 x $ 8 = 8x = 8 x x Mivel a nevezőben ismeretlen van, ki kell kötnünk, hogy x! 0, hisz 0-val tilos osztani. Ha az értelmezési tartományból kizártuk a 0-t, akkor egyszerűsítés után azonosságot kapunk. Ennek a feladatnak tehát a 0-n kívül minden szám megoldása. 6 Ki melyik számra gondolt? Írd fel az egyenleteket, és oldd meg lebontogatással az alábbi feladatokat! a) Anna: A gondolt szám hétszereséből négyet elvéve -öt kaptam. b) Bálint: A gondolt számhoz hozzáadtam 8-at, az összeget elosztottam 7-tel, a hányadosból elvettem -at, így -et kaptam. c) Csenge: A gondolt szám kilencszeresénél -vel kisebb szám harmada. d) Gáspár: Ha a gondolt szám négyszereséből elveszek -t, a különbséget megszorzom -mal, a szorzatból elveszek 0-et és az eredményt elosztom -tel, -et kapok. a) Anna: 7x - =, x = 7-re gondolt. b) Bálint: x =, x = 0-ra gondolt. 7 c) Csenge: 9 x - =, x = -re gondolt. ^ x - h-0 d) Gáspár: =, x = -ra gondolt. 7 Délután fél háromkor biciklizni mentünk. Megtettük a túra negyedét és még 0 km-t, így már csak a harmada van hátra. a) Hány kilométeres a túra? b) Mikor értünk haza, ha 8 km sebességgel tekertünk? h a) x+ 0 = x x+ 0 = 8 x 0 = x x = 8 km-es volt a túra. b) A túrát 8 8 = óra, azaz óra 0 perc alatt megtettük, így 7.0-re értünk haza. 8 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

129 EGYENLETEK MEGOLDÁSA IV. 8 Arany János 6 évvel volt idősebb Petőfi Sándornál. 88-ban ketten együtt 6 évesek voltak. Hány éves volt Arany János 8-ben, amikor fia, Arany Laci megszületett? Arany János életkorát jelöltük x + 6-tal. x + x + 6 = 6 egyenletből megkapjuk, hogy Arany János 88- ban éves volt, így a fia születésekor, 8-ben 7 éves volt. 9 Falu végén kurta kocsma, Oda rúg ki a Szamosra[ ] Tudod-e mire utal Petőfi Sándor versében a kurta kocsma kifejezés? A XVIII. században a parasztok nem egész évben, hanem csak rövidebb ideig árulhatták saját borukat a kocsmákban. Az év maradék részében a földesúré volt a borkimérés joga és haszna is. a) Hány napon keresztül árulhattak bort a parasztok a maguk hasznára, ha az év / részénél nappal kevesebb ideig volt övék a borkimérés joga? b) A haszon hányad része lehetett a földesúré? a) Szökőévtől függően számolhatunk 6 vagy 66 nappal, így kerekítve napon keresztül árulhatnak bort a parasztok. b) A haszon vagy része a földesúré OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK 9

130 IV. 6 SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL Feladatok Dolgozzatok párban! Csenge és Mátyás együtt évesek. Csenge kétszer annyi idős, mint Mátyás. Hány évesek külön-külön? Az x + x = egyenlet alapján Csenge 8, Mátyás éves. Dávid 8 évvel idősebb, mint az öccse, Gergő. Ketten együtt évesek. Hány éves Dávid? Az x + x + 8 = egyenlet alapján Dávid, Gergő éves. Anya éves volt, amikor Csenge megszületett. Most 8 év híján négyszer annyi idős, mint Csenge. Hány éves most Csenge? Ha x-szel jelöljük Csenge életkorát, felírhatjuk a következő egyenletet: + x = x - 8. Az egyenlet megoldása után megkapjuk, hogy Csenge éves. Apa évvel idősebb, mint anya. Dávid évvel fiatalabb, mint anya. Apa, anya és Dávid életkorának összege 80 év. Hány évesek külön-külön? Ha x-szel jelöljük anya életkorát, akkor a következő egyenletet írhatjuk fel: x + + x + x - = 80, melyet megoldva megkapjuk, hogy anya, apa 7 és Dávid 0 éves. Anya és apa együtt 60, anya és Lili együtt, apa és Lili együtt évesek. Hány évesek külön-külön? Ha Lili életkorához apáét adjuk, -vel nagyobb számot kapunk, mintha az anyukájáét adnánk hozzá, tehát Lili apukája évvel idősebb az anyukájánál. Ezt felhasználva, anya életkorát pedig x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: x + x + = 60, amiből kiszámolhatjuk, hogy anya 9, apa éves. Lili: - 9 = éves. 6 Gondoltam egy számra. A háromszorosából elvettem -et, a különbséget elosztottam -tel, a hányadoshoz hozzáadtam -t, így -at kaptam. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: megkapjuk, hogy a -ra teljesül a feladat feltétele. x - + =, melyet megoldva 0 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

131 6 SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA IV. 7 A téglalap egyik oldala 6 cm-rel rövidebb, a másik oldala cm-rel hosszabb, mint annak a négyzetnek az oldala, amelynek a területe 6 m. Mekkorák a téglalap oldalai? A négyzet területképletét felhasználva megkapjuk, hogy a négyzet oldala m hosszúságú. Így a téglalap oldalai: 8 cm és cm. 8 Gondoltam egy számra. Ha 0-ből elveszem a kétszeresét, a szám hatszorosát kapom. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: 0 - x = 6x, melyet megoldva megkapjuk, hogy az -re teljesül a feladat feltétele. 9 Gondoltam egy számra. Ha a hétszereséből elveszek 0-et, épp a szám harmadát kapom. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: 7x - 0 = x, melyet megoldva megkapjuk, hogy az,-re teljesül a feladat feltétele. 0 Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 0. Ha ebből a számból elvesszük a számje gyeinek felcserélésével kapott számot, -et kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Ez a feladat néhány próbálgatással is megoldható, hiszen csak végig kell nézni, melyek azok a kétjegyű számok, amelyekre teljesül, hogy számjegyeik összege 0 és teljesítik a feladat másik feltételét is. Egyenlettel megoldva: Jelöljük a tízes helyi értéken álló számot x-szel, az egyes helyi értéken állót 0x-szel, így felírhatjuk az alábbi egyenletet: 0x+ 0 - x-90^0 - xh+ xc= Az egyenletet megoldva megkapjuk, hogy x = 8, tehát a keresett szám a 8. Gondoltam egy számra. A hatodánál -gyel kisebb szám egyenlő a kétszeresénél 7-tel nagyobb számmal. Melyik számra gondoltam? A gondolt számot x-szel jelölve felírhatjuk a következő egyenletet: x - = x + 7, melyet megoldva 6 megkapjuk, hogy a -6-ra teljesül a feladat feltétele. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

132 IV. 6 SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA Gondoltam egy kétjegyű számra, amely számjegyeinek összege 8. Ha a szám számje gyeit felcseréljük, a kapott szám -mal nagyobb, mint a gondolt szám négyszerese. Melyik számra gondoltam? Egyenlettel megoldva: Jelöljük a tízes helyi értéken álló számot x-szel, az egyes helyi értéken állót 8 - x-szel, így felírhatjuk az alábbi egyenletet: (0x x) = 0(8 - x) + x - Az egyenletet megoldva megkapjuk, hogy x =, tehát a keresett szám a 7. Másképpen: Csak 8 ilyen szám van, ami számpár: 7 és 7; 6 és 6, és, és. Kipróbálva 7 + = 7 a megoldás. Az egyenlő szárú háromszög egyik szöge 68. Hány fokosak a belső szögei? Két esetet tudunk megkülönböztetni: II. A háromszög szárszöge: 68, ekkor x-szel jelölve az alapon fekvő szöget megoldhatjuk a 68 + x = 80 egyenletet, melyből megkapjuk, hogy a háromszög szögei: 6, 6, 68. II. A háromszög alapon fekvő szöge: 68, ekkor x-szel jelölve a szárszöget megoldhatjuk a 68 + x = 80 egyenletet, melyből megkapjuk, hogy a háromszög szögei:, 68, 68. Az egyenlő szárú háromszög egyik külső szöge 0. Hány fokosak a belső szögei? Két esetet különböztethetünk meg: II. Az alap melletti külső szög 0, ekkor a belső szögek: 0, 0, 0. II. A szárszög melletti szög 0, ekkor a belső szögek: 7, 7, 0. Egy négyszög külső szögeinek aránya : : 6 : 7. Mekkorák a négyszög belső szögei? A négyszög külső szögeire felírhatjuk a következő egyenletet: x + x + 6x + 7x = 60, melyet megoldva megkapjuk a külső szögeket. Ha ezeket rendre kivonjuk a 80-ból, megkapjuk a belső szögeket: 6, 08, 7,. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

133 7 ÖSSZEFOGLALÁS IV. Feladatok Totó Az alábbi totóban több jó válasz is lehetséges. A jó válaszok betűjelét írd a füzetedbe! I. A 69 6 osztható A: 6-tal; B: 8-cal; C: 7-vel; D: 8-cal. A, B, C, D II. A 6 6 Z ötjegyű szám osztható -vel. Milyen szám kerülhet a Z helyére? A: ; B: ; C: 0; D: 8. A III. Az,,,, számkártyákkal hány -mal osztható háromjegyű szám rakható ki? A: ; B: 6; C: ; D: nincs ilyen szám. C IV. Hányféle módon rendezhetők párokba a 8; ; 7; ; 90 számok úgy, hogy a párokon belüli sorrendet nem vesszük figyelembe? A: 8; B: 0; C: ; D: 9. B V. A 8; ; 7; ; 90; számok közül az összes lehetséges módon kiválasztunk kettőt úgy, hogy a kiválasztott számok sorrendjét nem vesszük figyelembe. Hány esetben lesznek a kiválasztott számpárok tagjai relatív prímek? A: ; B: 6; C: 0; D:. A VI. Az alábbiak közül mely számpároknak lesz a legnagyobb közös osztója? A: 0 és 8; B: 8 és ; C: és 96; D: és 9. B, D Melyik állítás igaz? A hamis állításra keress példát! A: Ha egy szám osztható -gyel és -vel, akkor osztható 8-cal is. B: Ha egy szám osztható -tel és -vel, akkor osztható 0-zel is. C: Ha egy szám osztható 6-tal és -gyel, akkor osztható -gyel is. D: Ha egy szám osztható -gyel és 8-cal, akkor osztható -vel is. E: Ha egy szám osztható 9-cel és -tel, akkor osztható -tel is. A: Hamis, például a. B: Igaz. C: Hamis, például a. D: Hamis, például a 8. E: Igaz. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

134 IV. 7 ÖSSZEFOGLALÁS Melyik az ; ; ; ; ; 6 számjegyek valamilyen sorrendjével felírható hatjegyű számok közül a legnagyobb -vel osztható szám? 6 A Nagy család havi összjövedelme Ft. Élelmiszerre Ft-ot költöttek. A maradék 0%-át közlekedésre kellett kiadniuk, 000 Ft-ot lakástakarékba fektettek. A maradék pénz 8%-a gáz-, villany-, vízdíj volt. Az ezután megmaradt pénzt nyaralásra tették félre. a) Hány Ft-ot szántak közlekedésre? b) A rezsiköltség hány százaléka az összjövedelmüknek? c) A havi jövedelem hány százalékát teszik félre a nyaralásra? a) 0,( ) = 000 Ft-ot szántak közlekedésre. b) 0,8( ) = 0 Ft a rezsiköltség, ami a havi összjövedelmük 0. 0,% 9 -a c) A maradék 7 0 Ft-ot félreteszik nyaralásra, ami a jövedelem 7 0 = 7,%-a A Föld vízkészletének %-a édesvíz, aminek legnagyobb részét az Északi- és Déli-sarkvidékeken található jéghegyek teszik ki, tehát a ténylegesen hozzáférhető mennyiség az összes vízkészlet 0,6%-a. Kevés használható édesvíz van tehát a Földön, takarékoskodnunk kell vele. Egy új találmány segítségével csökkenteni tudjuk a kézmosáshoz használt víz mennyiségét. Az újítással liter helyett csak 7 liter perc folyik a csapból percenként. a) Hány százalékkal kevesebb vizet használunk el így egy 0 perces zuhanyzás alatt? e) Egy négytagú városi család napi vízfogyasztása kb. 0, m lenne az újítás bevezetése után. Hány m vizet használnak el a találmány nélkül havonta? a) 0 perc alatt 0 liter helyett 70 litert használunk, ami 0 literrel, vagyis 0 =, 6o %-kal kevesebb. 0 b) 0, m = 0 l. A találmány nélkül minden 7 liter elhasznált víz helyett litert használna a nap család, ami ^0 : 7h $ = 600 liter víz lenne. 6 Oldd meg a lebontogatás módszerével az alábbi egyenleteket! a) $ ] x + g - = ; b) ] x - 8g : 9+ = 6. a) x =, b) x =, OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

135 7 ÖSSZEFOGLALÁS IV. 7 Oldd meg mérlegelv segítségével! a) ] x- g + = 6x-0; b) x+ + = - x; 0 c) x = 7 - x; d) x + x - x + 0 = - x. 6 a) x = 0 ; b) x = 69 ; 7 c) x = ; d) x = -. 8 Gondoltam egy számra közli somolyogva Jancsi. Ha a négyszereséből elveszek 6-ot, a különbséget elosztom -vel, és a hányadoshoz hozzáadok -öt, éppen 0-t kapok. Akkor nyertem szól Juliska, az én számom nagyobb, hisz a háromszorosa -tel nagyobb, mint a fele. Melyik gyerek melyik számra gondolt? Jancsi a --re gondolt, mely a x = 0 egyenletből megkapható. Juliska a -re gondolt, mely a x - = x egyenletből kapható meg. 9 A sarki boltban egy csoki és egy jégkrém 0 Ft-ba, egy jégkrém és egy üdítő 80 Ft-ba, egy csoki és egy üdítő pedig 0 forintba kerül. Mennyibe kerül a csoki, a jégkrém és az üdítő külön-külön? Jelöljük a csokit: cs-vel, a jégkrémet j-vel, az üdítőt ü-vel. cs + j + j + ü + cs + ü = (cs + j + ü) = 70 Ft, amiből a -vel való osztás után megkapjuk, hogy cs + j + ü = 60 Ft. Ha cs + j + ü = 60 Ft és cs + j = 0 Ft, akkor cs = 60-0 = 0 Ft. Hasonlóképp a jégkrém és az üdítő ára is meghatározható. A csoki ára 80 Ft, a jégkrémé 0 Ft, az üdítőé pedig 0 Ft. 0 Egy szimmetrikus trapéz egy száron fekvő két szögének a különbsége 0. Mekkorák a trapéz szögei? Használjuk fel, hogy a trapéz egy száron fekvő szögei 80 -ra egészítik ki egymást. Felírhatjuk az alábbi egyenletet: x+ 0 + x = 80, amiből megkapjuk, hogy a trapéz szögei: 0, 0, 0, 0. OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

136 IV. 7 ÖSSZEFOGLALÁS Péter, Pál és Panka hármas ikrek. Péter születési súlya 0 grammal több, mint Pankáé, de 60 grammal kevesebb, mint Pál súlya. Mikor mindhármukat egyszerre mérték meg, a kijelző 870 grammot mutatott. Hány grammal születtek a gyerekek? Panka súlyát x-szel jelölve felírhatjuk az alábbi egyenletet: x+ 0 + x x = 870, melyet megoldva megkapjuk, hogy Panka 870 g, Pál 970 g és Péter 90 g súllyal születtek. A rombusz egyik szöge háromszor akkora, mint a szomszédos szöge. Mekkorák a rombusz szögei? Felhasználva, hogy a rombusz szomszédos szögei 80 -ra egészítik ki egymást, felírhatjuk a következő egyenletet: x+ x = 80, melyet megoldva megkapjuk, hogy a rombusz szögei:,,, nagyságúak. A téglalap egyik oldalát a négyszeresére, a másik oldalát a harmadára változtattuk. Hányszorosa az így kapott téglalap területe az eredeti téglalap területének? Írjuk fel a téglalap területére tanult képletet: T = ab. A változtatások után: T új = a $ b = $ $ ab = ab, tehát a téglalap területe a -szorosára változott. 6 OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK

137 V. GEOMETRIA Az előző útra nagyon sokan jelentkeztek, de sajnos csak két diák jöhetett velem Alexandriába. Nem kell azonban elkeserednetek, mivel a mostani kalandunk is hasonló korba indul. Úti célunk ezúttal Szürakusza, ahol Arkhimédészt láthatják a szerencsések, aki Matyi és Zozó! kiáltotta Judit néni vásári kikiáltóként elnyújtva a hangját. Fiúk! Ha megérkezünk, ne ijedjetek meg a zajoktól! Kr. e. -ban épp ostromolták Szürakuszát! mondta a tanárnő, s alig néhány pillanat múlva már valóban maguk előtt látták a csatát. A várfalon sürgölődők harsányan nevettek, amikor a római hajókról kilőtt kő jóval a falak előtt, ártalmatlanul hullott a vízbe. Itt jön Arkhimédész. Mutassuk meg a rómaiaknak a hajítógépét! Tekerjetek a kötélen még kettőt, aztán álljatok hátrébb! vezényelt egy díszes egyenruhájú katona. A nehéz kő magasra ívelt, majd telibe találta az egyik hajó árbocát. Recsegve-ropogva dőlt el. Az evezőknél ülő rabszolgáknak igencsak igyekezniük kellett, ha biztonságos távolságba akarták juttatni a hajó maradékát. Remélem, örülsz és büszke vagy a sikereinkre, Arkhimédész. Szerencsére jól működnek a terveid alapján épített gépek fordult oda a tudóshoz a parancsnok. Örülök, de nem a szerencse működteti a gépeimet. A matematika és a fizika törvényeinek engedelmeskednek, de ez csak játék! A gömbről és a kúpról írt munkámra büszkébb vagyok, mint erre a gépre. Csinálhatnánk mi is hajítógépet technika órán lelkesült fel Zozó. Sokkal izgalmasabb lenne, mint a múltkori feladat, amikor rakott krumplit kellett főzni.

138 V. EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK Feladatok Rajzoltunk két négyzetet, amelyek átlója egyenlő hosszúságú. Egybevágó-e a két négyzet? Igen, a két négyzet egybevágó, mivel az egyenlő átlóik két-két egyenlő szárú derékszögű háromszögre osztják a négyzeteket, amelyek egyik oldala (a négyzet átlója) azonos hosszúságú, és a rajta fekvő szögek ugyanakkorák, tehát egybevágók. Rajzolj egy ABCD paralelogrammát és húzd meg a két átlóját! A metszéspont legyen E. Írj föl annyi egybevágó háromszöget, ahányat csak találsz az ábrán! Egybevágó párok: ABD és CBD, DAC és ACB, AEB és CED, BEC és DEA. D E C A B Rajzoltunk két egyenlő szárú háromszöget, amelyeknek az alaphoz tartozó magassága egyenlő. Egybevágó-e a két háromszög? m m Nem egybevágók, mert az azonos magasságtól függetlenül az alap, a szár és a szögek is lehetnek különböző nagyságúak. Az ABC szabályos háromszög oldalain bejelöltük az ábrán látható P, Q, R harmadolópontokat. Mutasd meg, hogy a PQR háromszög is szabályos háromszög! A R P B Q C 8 GEOMETRIA

139 EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK V. Mivel az ABC háromszög szabályos, ezért az A, B, C csúcsoknál 60 -os szögeket találunk. Legyen a szabályos háromszög oldalának hossza a. Mivel a A a P, Q, R pontok harmadoló pontok, ezért 60 a R AP = BQ = CR = a, PB = QC = AR = a. x Az APR, BQP, CRQ háromszögekre teljesülnek a tankönyv II. a) feltételei, P z a y azaz két-két oldaluk páronként egyenlő hosszú (mindegyiknek van a és a B Q C a hosszúságú oldala), és a közbezárt szögük is egyenlő (60 -os). Ezek a a alapján APRi, BQPi, CRQi. Ha a háromszögek egybevágók, akkor használhatjuk az I. b) állítást, amely alapján minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz x = y = z. Ez azt jelenti, hogy PQR valóban szabályos háromszög. Az ABCD négyzet oldalain bejelöltük az ábrán látható K, L, M, N negyede lőpontokat. Mutasd meg, hogy a KLMN négyszög is négyzet! A K N D M Mivel az ABCD négyszög négyzet, ezért az A, B, C, D csúcsoknál 90 -os A N szögeket találunk. Legyen a négyzet oldalának hossza a. Mivel a K, L, M, N a a D pontok negyedelő pontok, ezért a K x AK = BL = CM = DN = a, KB = LC = MD = NA = a. w a Az AKN, BLK, CML, DNM háromszögekre teljesülnek a tankönyv II. a) y a feltételei, azaz két-két oldaluk páronként egyenlő hosszú (mindegyiknek z M van a és a a hosszúságú oldala), és a közbezárt szögük is egyenlő (90 os). Ezek alapján AKNi, BLKi, CMLi, DNMi. B L C a a Ha a háromszögek egybevágók, akkor használhatjuk az I. b) állítást, amely alapján minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz x = y = z = w. Ez azt jelenti, hogy a KLMN négyszög oldalai ugyanolyan hosszúak (tehát biztosan rombusz). A négy egybevágó háromszög derékszögű, vagyis két hegyesszögük pótszögei egymásnak. Mivel a KLMN négyszög mindegyik szögét két ilyen pótszögpár egészíti ki az egyenesszögre, ezért mindegyik szöge 90 -os. Vagyis a KLMN négyszög négyzet. B L C GEOMETRIA 9

140 V. EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK 6 Az ABC szabályos háromszög AB oldalára kifelé az AEDB, AC oldalára kifelé az ACFG négyzetet rajzoltuk. Mutasd meg, hogy CE = BG! Az ábrán a szabályos háromszög és a két négyzet összes oldala egyenlő hosszúságú, a háromszög szögei 60 -osak, a négyzetek szögei 90 -osak. ACEi, BAGi, mert EACB = BAGB = = 0, és EA = AC = GA = AB, azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CE = BG. 7 Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójára kifelé az AEDB, AC oldalára kifelé az ACFG, BC oldalára kifelé a BHJC négyzetet rajzoltuk. Mutasd meg, hogy CE = BG és CD = AH! E D E B A C G F H B D J C A F G CAEi, GABi, mert EACB = BAGB = a + 90, és EA = AB, illetve GA = AC (mert azonos négyzetek oldalai), azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CE = BG. CDBi, AHBi, mert CBDB = ABHB = b + 90, és BD = AB, illetve CB = BH (mert azonos négyzetek oldalai), azaz két-két oldal és a közbezárt szög nagysága ugyanakkora. Mivel a háromszögek egybevágók, ezért minden megfelelő oldalpárjuk hossza egyenlő, azaz CD = AH. 0 GEOMETRIA

141 ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG V. OLDALAI, SZÖGEI KÖZÖTT Feladatok Létezik-e olyan háromszög, amelynek oldalhosszai az alábbiak? a) cm, cm, cm; b) 7 dm, 7 dm, dm; c) 0 mm, cm,,6 dm; d) 0,8 m, cm, 0 mm. Ellenőrizzük, hogy a három megadott távolság teljesíti-e a háromszög-egyenlőtlenséget! Ügyeljünk a mértékegységekre! a) Létezik. b) Létezik. c) Nem létezik, mert + = 6. d) Nem létezik, mert 8 + = 0. Három település távolságát egy térkép segítségével légvonalban megbecsültük. Selyebtől Monaj km-re, Lak pedig 7 km-re található. Mit gondolsz, a becsült adatok alapján milyen messze lehet Lak és Monaj egymástól? Nézz utána, hogy hol találhatók ezek a települések! A két becsült adat ismeretében Lak és Monaj egymástól legfeljebb 0 km-re lehet, ha Selyebhez képest ellenkező irányban találhatók. Legalább km viszont kell, hogy legyen a távolságuk. Gondoljunk arra, hogy ugyanabban az irányban találhatók Selyebhez képest! Vagyis Monaj és Lak legalább km-re, de legfeljebb 0 km-re található egymástól. Ezek a települések Miskolc közelében találhatók, a térképvázlat mutatja a valódi elhelyezkedésüket. A térképen A és B pont között, valamint B és C pont között is cm a távolság. A három pont a térképen egy egyenesre illeszkedik. A valóságban azonban az A-ból B-be vezető egyenes út hosszabb, mint a B-ből C-be vezető. Véleményed szerint hogyan lehetséges ez? Elképzelhető, hogy B és C között nincs szintkülönbség, A és B pont között pedig van! Ezt látjuk a térképen: De a három pont valójában így helyezkedik el: A C B A C B GEOMETRIA

142 V. ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG OLDALAI, SZÖGEI KÖZÖTT Add meg a háromszög hiányzó belső szögét! a), 67 ; b) 88, ; c) 9', 0 '; d) 78 ', 8 '. a) = 79 b) = 7 c) 80-9l - 0 l = 0l d) l - 8 l = 7 l Add meg a háromszög harmadik szögéhez tartozó külső szöget! a) 6, 0 ; b) 9'", '"; c) 8, ; d) 8 '7", 7'9". a) = 60 b) 8 + = 6 c) 9lm + lm = 6 80l66m = 6 l6m d) 8 l7m + 7l9m = 6 78l66m = 7 9l6m 6 Rakd növekvő sorrendbe a háromszög a, b és c oldalát, ha a) a = 8 ', b = 86 '; b) a = 68 ', b = 96 8'! a) c = 80 - a - b = 80-8 l - 86 l = l. Mivel a c b, ezért az oldalak sorrendje a c b. b) c = 80 - a - b = l l = 9l. Mivel c a b, ezért az oldalak sorrendje c a b. 7 Rakd növekvő sorrendbe a háromszög a, b és c oldalát, ha a) a = 97 ', b' = 6 0'; b) a' = 78 8', b' = 0'! a) b = 80 - bl = l = 0l c = bl - a = 6 0l - 97 l = 9 9l Mivel c b a, ezért az oldalak sorrendje c b a. b) a = 80 - al = l = 0 l b = 80 - bl = 80-0l = 6 0l c = al - b = 78 8l - 6 0l = 8l Mivel b c a, ezért az oldalak sorrendje b c a. 8 Egyenlő szárú háromszögről van-e szó, ha a) a = 8 8', b' = 77 6'; b) a = 6 ', b' = 7 7'? a) b = 80 - bl = l = 0 l c = 80 - a - b = l - 0 l= 8 8l Mivel a = c, ezért a = c, vagyis a háromszög egyenlő szárú. b) b = 80 - bl = l = 6 l. Mivel a = b, ezért a = b, vagyis a háromszög egyenlő szárú. GEOMETRIA

143 A HÁROMSZÖG ÉS A KÖRÉ ÍRT KÖRE V. Feladatok Szerkessz a füzetedbe egy cm oldalú szabályos háromszöget! Szerkeszd meg a köré írt körét is! Mérd meg, hogy milyen messze van a kör középpontja az oldalaktól és a csúcsoktól! Mit tapasztalsz? A kör középpontja az oldalaktól kb. 0,8 cm-re, a csúcsoktól,7 cm távolságra van. Ez utóbbi távolság kétszerese az elsőként megmértnek. cm,7 cm O cm 0,8 cm cm Egy egyenlő szárú háromszög szárai cm hosszúak. A köré írt körének sugara szintén cm hosszú. a) Mekkorák a háromszög szögei? b) Milyen messze van a kör középpontja a háromszög alapjától? B A T O C a) Az ABO és a CBO háromszögek szabályosak, ezért az ABCB = = 0. Mivel ABC háromszög egyenlő szárú, ezért a másik két szöge egyenlő. Az ABC háromszög szögei: 0, 0, 0. b) Az ABCO rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, ezért TO = cm. Vagyis a kör O középpontja cm távolságra van az ABC egyenlő szárú háromszög AC alapjától. Szerkeszd meg azt a háromszöget, amelynek egyik oldala cm, a köré írt kör sugara cm hosszú, az adott oldalon fekvő egyik szöge pedig 60 -os! G A szerkesztés menete: Az O középpontú cm sugarú körvonalon kijelölünk egy cm hosszúságú GJ húrt. Ez lesz a háromszög egyik oldala. A húr egyik végpontjához (az ábrán J-hez) szerkesztett 60 -os szög szára kimetszi a körből a hiányzó L csúcsot. L O 60 J GEOMETRIA

144 V. A HÁROMSZÖG ÉS A KÖRÉ ÍRT KÖRE Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja cm, a köré írt kör sugara pedig cm hosszú! A szerkesztés menete: Az O középpontú cm sugarú körvonalon kijelölünk egy cm hosszúságú AB húrt. Ez lesz az egyenlő szárú háromszög alapja. Az AB felezőmerőlegese kimetszi a körből a harmadik csúcsot. Az ábra mutatja, hogy két ilyen háromszög létezik: ABC és ABC. A O C B Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, amelynek szára cm, a köré írt kör sugara pedig, cm hosszú! A szerkesztés menete: Az O középpontú, cm sugarú körvonalon kijelölünk egy cm hosszúságú AB húrt. Ez lesz az egyenlő szárú háromszög egyik szára. Az A középpontú, cm sugarú kör kimetszi az O középpontú,, cm sugarú köré írható körből a C csúcsot is. C A O B C GEOMETRIA

145 A HÁROMSZÖG ÉS A BEÍRT KÖRE V. Feladatok Melyik igaz, melyik hamis? a) A szabályos háromszög beírt és köré írt körének középpontja egybeesik. b) Van olyan háromszög, hogy a két nevezetes körének középpontja közül az egyik a háromszögön belül, a másik a háromszögön kívül van. c) A tompaszögű háromszögek esetén mindkét kör középpontja a háromszögön kívül helyezkedik el. d) Ha egy háromszög hegyesszögű, akkor mindkét kör középpontja a háromszögön belül található. e) A háromszög beírt körének középpontja mindig a háromszög belsejében van. a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz. e) Igaz. Egy egyenlő szárú háromszög alapja cm, a beírt körének sugara pedig cm hosszú. Szerkeszd meg a háromszöget! A szerkesztés menete: A szerkesztést a cm hosszú AB szakasz felvételével kezdjük. Az AB felezőmerőlegeséből az F felezőpont körüli cm-es körrel kimetszszük a beírt kör K középpontját. Mivel a háromszögben AK szögfelező, ezért a BAK szöget másoljuk az AK félegyenes A csúcsához. A szög szára kimetszi az AB felezőmerőlegeséből a C csúcsot. C K A F B Szerkeszd meg a füzetedben ezt az ábrát! A téglalap rövid oldala, cm, az átlója cm hosszúságú legyen! Mekkorák a szögei azoknak a háromszögeknek, amelyeknek egyik oldala a téglalap valamelyik oldalával azonos, a harmadik csúcsa pedig az ezt az oldalt érintő kör középpontjában van? A D A megadott hosszúságok (, cm, cm) miatt a téglalapról tudjuk, hogy az átlója két 0 -os és 60 -os hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögre K osztja. Ezeknek a háromszögeknek a beírt köre látható az ábrán. Az ABK háromszög egyik oldala a téglalap rövidebb oldala, a másik két oldala B C pedig a derékszögű háromszög szögfelezőjére illeszkedik. Vagyis szö- geik nagysága 60 : = 0, 90 : = és = 0. A BCK háromszög egyik oldala a téglalap hosszabb oldala, a másik két oldala pedig a derékszögű háromszög szögfelezőjére illeszkedik. Vagyis szögeinek nagysága 0 : =, 90 : = és = 0. GEOMETRIA

146 V. A HÁROMSZÖG ÉS A BEÍRT KÖRE Egy 0 cm oldalú, négyzet alakú szalvétát egy, cm-es zöld sáv határol. A négyzet narancssárga átlói által kialakított négy háromszögben egy-egy citromsárga körgyűrű látható, melyek a két átlót és a zöld sávot érintik. A körgyűrű szélessége, cm. Az elmondottak alapján szerkeszd meg a szalvéta mintáját egy cm oldalú négyzetbe! 6 GEOMETRIA

147 MAGASSÁGVONALAK V. A HÁROMSZÖGBEN Feladatok Adj meg az ábrán látható nyolc pont közül hármat, amely nem derékszögű háromszöget alkot, és a három pont által meghatározott há romszög magasságpontja is a megadott nyolc pont között van! Az ABCD trapézban AD = BC (vagyis húrtrapéz). Keress több megoldást! D R Q C A BEC háromszög magasságpontja A. A DAC háromszög magasságpontja R. A DBC háromszög magasságpontja Q. Az ARD háromszög magasságpontja C. A BQC háromszög magasságpontja D. A P B E Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M. Hol van az ABM, BCM és CAM háromszögek magasságpontja? Készíts ábrát a füzetedbe! Az ABM háromszög magasságpontja C. Az BCM háromszög magasságpontja A. A CAM háromszög magasságpontja B. C M A B Mekkora szöget zár be egymással a háromszög 7 -os és 8 -os szögének csúcsából induló két magasságvonal? Az ATB és AVB háromszögek derékszögűek, mivel az egyik oldaluk a háromszög oldala, a másik oldaluk pedig a hozzá tartozó magasság. A hegyesszögek ismeretében TABB = 90-8 = és ABVB = 90-7 = 6. Mivel AMBB = =, ezért a két magasságvonal által bezárt szög 68. C V M 7 A T 8 B GEOMETRIA 7

148 V. MAGASSÁGVONALAK A HÁROMSZÖGBEN Az ABC derékszögű háromszög 0 -os szögének szögfelezője D pontban metszi a derékszögű csúcsból induló magasságvonalat. Határozd meg az ADC háromszög szögeinek nagyságát! Mivel AD szögfelező, ezért CADB =. Az ACE háromszögben az A csúcsnál 0, az E csúcsnál derékszög van, ezért ACDB = 60. Tehát az ACD háromszögben a D csúcsnál: = 0 van. E D B F A C Egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 70 -os. Mekkora szöget zár be egymással a másik két csúcsából induló magasságvonal? A háromszög magasságpontja, a 70 -os szög szárain lévő két talppont és a 70 -os szög csúcsa egy olyan négyszöget határoz meg, amelynek három szögét ismerjük. A negyedik szög nagysága: = 0, amelyből következik, hogy a két magasságvonal szöge 80-0 = Melyik igaz, melyik hamis? a) A magasságpont mindig a háromszög belsejében található. b) A derékszögű háromszögeknek csak egy magasságuk van. c) A háromszögek magasságpontja egyenlő távolságra van az oldalegyenesektől. d) Minden háromszögnek van olyan magasságvonala, amelyik metszi a szemközti oldalszakaszt. a) Hamis. b) Hamis. c) Hamis. d) Igaz. M 70 8 GEOMETRIA

149 6 SÚLYVONALAK ÉS KÖZÉPVONALAK V. A HÁROMSZÖGBEN Feladatok a) Hány darab háromszöget látsz az ábrán? b) Add meg azokat a háromszögeket, amelyekben berajzoltunk egy súlyvonalat! A B a C a D a E a F a) A háromszögek: ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF. Tehát összesen 0 darab háromszög van az ábrán. b) Az ábrán lévő, berajzolt súlyvonalú háromszögek: ABD, ABF, ACE, ADF. Az ABC háromszögben a CP, az APC háromszögben pedig az AQ a súlyvonal. Az APQ háromszög területe 0,7 cm². Mekkora az ABC háromszög területe? Mivel a CP súlyvonal felezi az ABC háromszög területét és az AQ súlyvonal felezi az APC háromszög területét, ezért a megadott APQ háromszög területe az ABC háromszög területének a negyedét teszi ki. Az ABC háromszög területe 0,7 = 0 cm. Az ABC háromszögben S a súlypont. Tudjuk, hogy az ASB háromszög területe cm². Mekkora az ABC háromszög területe? A CF súlyvonal felezi az ABC háromszög területét. Mivel az S súlypont a CF szakasznak az AB oldalhoz közelebbi harmadolópontja, ezért az AS szakasz harmadolja az ACF háromszög területét és a BS szakasz harmadolja a BCF háromszög területét. Azaz az ASF és a BSF háromszög is az ABC területének részét adja, ezért az ASF és a BSF háromszög együtt az ABC területének 6 részét teszik ki. Vagyis az ABC háromszög területe: = cm. A A C C Q P S F B B GEOMETRIA 9

150 V. 6 SÚLYVONALAK ÉS KÖZÉPVONALAK A HÁROMSZÖGBEN Egy háromszögbe berajzoltunk egy súlyvonalat, majd berajzoltuk azt a középvonalat is, amelyik az előbbi súlyvonalat metszi. Milyen négyszöget alkot az így berajzolt két szakasz négy végpontja? A négyszög szemközti oldalai egy-egy középvonal és a háromszög vele szemközti oldalai. Mivel ezek páronként párhuzamosak egymással, ezért a két szakasz négy végpontja egy paralelogrammát határoz meg. Milyen hosszú vonallal rajzolható meg az ábra, ha a nagy szabályos háromszög oldalhossza 0 cm? A vonal hosszának meghatározásához a nagy, a közepes és a három kis háromszög kerületének összegét kell kiszámolnunk. A nagy háromszög kerülete 60 cm, a közepes háromszög a nagy háromszög középvonalaiból áll, ezért kerülete feleakkora, mint a nagy háromszögé, azaz 0 cm. A kis háromszögek a közepes háromszög középvonalaiból állnak, ezért a kerületük feleakkora, mint a közepes háromszögé, azaz cm. A keresett vonal hossza = cm. 6 Az egyenlő szárú háromszög egyik szárával párhuzamos, cm hosszúságú középvonal a háromszög kerületét egy 9 cm-es és egy 9 cm-es darabra vágja. Mekkorák a háromszög oldalai? Az cm hosszúságú középvonal fele olyan hosszú, mint az egyik szár, tehát a háromszög szárai 0 cm hosszúak. Mivel a háromszög kerülete = 8 cm hosszú, ezért az alapja 8-0 = 8 cm hosszú. Vagyis a háromszög oldalainak hossza: 8 cm, 0 cm, 0 cm Az ábra úgy készült, hogy mindig a háromszög oldalainak a felezőpontjait kötöttük össze. Ha a legnagyobb háromszög kerülete 0 cm, akkor mekkora a legkisebb háromszög kerülete? A középvonalak tulajdonsága alapján a háromszögek kerülete mindig az előző háromszög kerületének felével egyenlő. Vagyis a legkisebb háromszög kerülete: 0 : : : = cm. 0 GEOMETRIA

151 7 SOKSZÖGEK SZÖGEI ÉS ÁTLÓI V. Feladatok Egy ötszög belső szögeinek nagysága:, 99, l, 8 6l. Add meg a külső szögek nagyságát és összegét! A külső szögek a belső szögek kiegészítő szögei, ezért négy külső szög nagysága: 80 - = 68, = 8, 80 - l = 66 l és l = l. Az ötszög belső szögeinek összege 0, ezért az ötödik belső szög nagysága: l - 8 6l = 86 9l. Az ötödik külső szög: l = 9 l. A külső szögek összege: l + l + 9 l = 60. Egy négyszög egyik szöge 6, a másik kétszer akkora, a harmadik és a negyedik szöge között pedig 0 az eltérés. Mekkorák a négyszög belső és külső szögei? A négyszög egyik szöge 6 -os, a másik -os. Mivel a belső szögek összege 60, ezért a harmadik és a negyedik szög összege = 7. Ebből kiszámítható, hogy a harmadik szög: o o 7-0 = 8 -os, a negyedik pedig 9 -os. A külső szögek nagysága rendre: 8, 6, 98 és 88. A következő kérdések konvex tizenkétszögre vonatkoznak. a) Hány átló húzható egy csúcsból? b) Hány háromszögre vágják az egy csúcsból húzható átlói? c) Hány darab átlója van összesen? d) Mennyi a belső szögeinek összege? e) Mennyi a külső szögeinek összege? a) Egy csúcsból 9 átló húzható. b) Az egy csúcsból húzható átlók 0 háromszögre vágják. c) Összesen $ 9 = darab átlója van. d) A belső szögek összege 0 80 = 800. e) A külső szögeinek összege 60. GEOMETRIA

152 V. 7 SOKSZÖGEK SZÖGEI ÉS ÁTLÓI Határozd meg az oldalak számát abban a konvex sokszögben, amelyben a) egy csúcsból 7 átló húzható; b) az egy csúcsból húzott átlók 00 darab háromszöget hoznak létre; b) összesen átló van; c) a belső szögek összege 0 o ; e) a külső szögek összege 0 o! a) Az oldalak száma 0. b) Az oldalak száma 0. n$ n c) = ^ - h, mindkét oldalt kettővel szorozva: 88 = n $ n - ^ h, ahol n -nál nagyobb egész szám. Próbálkozás útján megtalálható, hogy n =, azaz az oldalak száma. d) Mivel a belső szögek összege (n - ) 80 = 0, és 0 : 80 = 8, ezért 0 oldala van. e) Ilyen sokszög nem létezik. Készíts táblázatot, amelyben a szabályos sokszögek belső szögének nagysága szerepel! Táblázatodban a szabályos sokszögek oldalainak száma -tól -ig szerepeljen! Az oldalak száma (db) A belső szög nagysága (fok) ,6 0 7, 0 Megjegyzés: A 7-szögnél és a -szögnél kerekített érték szerepel a táblázatban. 6 Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben a belső szögek összege hétszer akkora, mint a külső szögek összege? A belső szögek összege 60 7 = 0 = 80, azaz darab háromszögre osztják a sokszöget az egy csúcsból induló átlók. Tehát a sokszög 6 oldalú. GEOMETRIA

153 8 A KÖR KERÜLETE V. Feladatok Mekkora a kör kerülete, ha a sugara a) mm; b) cm; c) 0,6 dm; d), m? a) k = r r = r = 6 r. 8,8 mm b) k = r r = r = 0 r. 9, cm c) k = r r = 0,6 r =, r.,8 dm d) k = r r =, r =, r. 7,9 m Mennyit fordul egy 60 cm átmérőjű kerék egy 0 m-es úton? A kerék sugara 60 : = 0 cm = 0, m. Egy fordulat alatt r r = 0, r = 0,6 r.,9 m. Tehát egy 0 méteres úton a kerék 0 :,9. 6-at fordul. Ha a Föld sugarát 670 km-nek vesszük, akkor milyen hosszú az Egyenlítő? Az Egyenlítő a 670 km sugarú kör kerülete, tehát a hossza: k = r r = 670 r = 70 r. 0 0 km. Egy méter sugarú, kör alakú parkban ketten sétálnak egymás mellett. Az egyik sétáló a méter sugarú, kör alakú járda külső szélén halad, a másik tőle méterrel beljebb. Véleményed szerint egy teljes kör megtétele után mennyivel ment többet a külső köríven haladó ember? Ellenőrizd számolással a tippedet! A két ember által megtett út különbsége: r π - r r = r (r - r )= r ( - ) = r. 6, m. Ennyivel sétált többet a külső köríven haladó ember. Budapesten, az Erzsébet téren látható óriáskerékről azt olvashattuk, hogy 6 méter magas. Mekkora utat tesz meg az óriáskerék utasa egy fordulat alatt? A kerék átmérője 6 m, a kerülete r r = 6 π 0 m. Ennyi utat tesz meg egy utas egy fordulat alatt. GEOMETRIA

154 V. 9 A KÖR TERÜLETE Feladatok Mekkora a kör területe, ha a sugara a) mm; b) 8 cm; c) 0, dm; d),7 m? a) t = r r = r = r. 78, mm b) t = r r = 8 r = r. 07,9 cm c) t = r r = 0, r = 0,6r. 0, dm d) t = r r =,7 r = 7,6r.,8 m Számítsd ki az ábrákon színessel jelölt területeket! A négyzetek oldalhossza cm. A négyzet területéből vonjuk ki a kör területét, melynek sugara cm. t zöld = - r = 6 - r., cm A négyzet szemközti oldalfelező pontjait összekötve látható, hogy a négyzet területének a fele színes. t rózsaszín = : = 8 cm A színes terület egy cm sugarú kör felének és egy cm sugarú kör területének összege. t kék = r : + r = r. 9, cm A cm sugarú kör területének a negyedéből vonjuk ki a négyzet területének a felét. t narancssárga = r : - : = r - 8.,6 cm Mekkora területet fednek a 0,, 0 és 6 cm átmérőjű fedők? A fedők sugarai 0,, és 8 cm. t = 0 r = 00r. cm t = r = r. cm t = r = r. 707 cm t = 8 r = r. 08 cm GEOMETRIA

155 9 A KÖR TERÜLETE V. Egy 8 cm átmérőjű körből a lehető legnagyobb négyzetlapot vágtuk ki. A körlap hány százaléka lett hulladék? t kör = r = 96r, és t hulladék = t kör - t négyzet = 96r - $ $ = 96r - 9. thulladék = 96r , 6. Tehát a körlap 6,%-a lett hulladék. t 96r kör 8 Képzelj el egy km sugarú kört! Véleményed szerint hány százalékot veszít a területéből, ha sugarát m-rel csökkented? Ellenőrizd tippedet számítással! t nagy = 000 r = r, és t körgyűrű = 000 r r = 999r. tkörgyuru m m = 999r = 999 = 0, , 00. Tehát a kör 0,%-ot veszít a területéből. t r kör GEOMETRIA

156 V. 0 A HASÁB FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA Feladatok Rendezd táblázatba a hasábok csúcsainak, éleinek, lapjainak számát! A hasábok alaplapjai legyenek háromszögek, négyszögek,, nyolcszögek! Az alaplap szögeinek száma A csúcsok száma Az élek száma 9 8 A lapok száma Az ábra a szabályos ötszög alapú hasáb élvázát szemlélteti. Határozd meg, összesen hányszor hosszabbak a zöld élek, mint a pirosak, ha a test magassága az alapél hosszának ötszörösével egyenlő! Jelölje a piros él hosszát p. Az élvázon látható piros élek hossza összesen 0p. Egy zöld él hossza a piros él hosszának ötszöröse, ezért az öt zöld él hossza (p) = p. Vagyis a p zöld élek összesen =, -szer hosszabbak a piros éleknél. 0p Egy hasáb alaplapjának a területe 0 cm, kerülete cm. A hasáb magassága cm. Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát! A = T alaplap + P = T alaplap + K alaplap m = 0 + = 88 (cm ) V = T alaplap m = 0 = 70 (cm ) A rajz egy cm magas hasáb alaplapjának vázlatát mu tatja. Ezt a nyolcszöget egy cm-szer 7 cm-es téglalapból négy egybevágó derékszögű háromszög levágásával kaptuk. A nyolcszög oldalai cm, cm és cm hoszszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? T alaplap = 7 - : = 77 - = (cm ). K alaplap = + + = 8 (cm) A = T alaplap + K alaplap m = + 8 = (cm ) V = T alaplap m = = 66 (cm ) 7 6 GEOMETRIA

157 0 A HASÁB FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA V. Az ábrán egy H keresztmetszetű mé teres vasrudat látsz. A rúd alapja db cm-es téglalapból áll. Mennyi festékre lesz szükség a rúd befestéséhez, ha a festék használati utasítása szerint m lefestéséhez 00 gramm szükséges? Számítsuk ki a vasrúd felszínét! T alaplap = ( ) = 9 (cm ). K alaplap = + 8 = 0 (cm) A = T alaplap + K alaplap m = = 08 (cm ) Vagyis a rúd felszíne 0,08 m, tehát a lefestéséhez 00 0,08 = 80,6 gramm festék szükséges. 6 Egy meghámozott krumpli térfogata 0, dm. Az aprítógép db cm-szer cm-szer 6 cm-es hasábot vág ki belőle. A krumpli többi részéből püré készül. A burgonya hány százalékából lesz püré? A darab hasáb térfogata: 6 = 0 (cm ). A maradék (amiből püré készülhet) krumpli térfogata: 00-0 = 90 (cm ). Vagyis a krumpli 90 $ 00 = 7,% -ából lesz püré A gyertyaöntő mester egyedi gyertyákat is készít. a) Hány cm³ viaszt használ darab 0 cm magas, hasáb alakú gyertyához, ha ezek alaplapja egy 8 cm² területű szabályos hatszög? b) Hogyan változna a gyertyaöntéshez felhasznált anyagmennyiség, ha az alaplapot az előző megrendelés adatai alapján, de a hatszög minden második csúcsát összekötve határoznánk meg? a) V viasz = V gyertya = 8 0 = 0 cm. Ennyi viaszt használ a gyertyák elkészítéséhez. b) A hatszög minden második csúcsát összekötve egy olyan háromszöget kapunk, melynek területe feleakkora, mint a hatszög területe. Így a gyertyaöntéshez is feleannyi viaszra lesz szüksége a gyertyaöntőnek, azaz 60 cm -re. 8 Egy vízlevezető árok keresztmetszete olyan trapéz, amelynek az egyik párhuzamos oldala 80 cm, a másik 60 cm, a magassága pedig 60 cm. Hány hektoliter víz fér el benne, ha a hossza 80 méter? ^ h$ 60 A keresztmetszet területe: = 700 (cm ). Vagyis az árok egy 7 dm alapterületű, 800 dm magasságú hasábnak tekinthető. A térfogata: V = = (dm ). Vagyis liter, azaz 60 hektoliter víz fér el benne. GEOMETRIA 7

158 V. A HENGER FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA Feladatok Számítsd ki a henger felszínét és térfogatát, ha a) r =, cm, m = cm; b) r = 7 cm, m =, cm! a) A = r r(r + m) =, r(, + ) = r 6, =,r. 0, cm V = r r m =, r = r. 78, cm b) A = r r(r + m) = 7 r(7 +,) = r, = 6,8r. 9,6 cm V = r r m = 7 r, = 0,8r. 66, cm Egy cm-szer cm-es téglalapot mindkét szimmetriatengelye mentén megforgatva két hengert kapunk. Tippeld meg, hogy melyik hengernek lesz nagyobb a felszíne, térfogata! Ellenőrizd számolással tippjeidet! I. eset: Az cm-es oldallal párhuzamos szimmetriatengely körüli forgatás. A forgatás után kapott henger magassága cm, alapkörének sugara 6 cm. A = r r(r + m) = 6 r(6 + ) = r = r (cm ). V = r r m = 6 r = 80r (cm ). 6 II. eset: A cm-s oldallal párhuzamos szimmetriatengely körüli forgatás. A forgatás után kapott henger magassága cm, alapkörének sugara, cm. A = r r(r + m) =, r(, + ) = r, = 7,r (cm ). V = r r m =, r = 7r (cm ). Az eredményekből látható, hogy az első esetben nagyobb térfogatú és felszínű hengert kaptunk., Egy henger alakú konzervdoboz átmérője 8 cm, magassága cm. a) Milyen méretű és mekkora területű címke tervezhető a palástjára? b) Mekkora a doboz űrtartalma? a) A címke téglalap alakú lesz, egyik oldala cm, a másik oldala r., cm hosszú. A címke területe: 8 r = 96r. 0,6 cm. b) A doboz térfogata: r r m = r = 9r. 60, (cm ). Azaz a doboz kb. 6 deciliter űrtartalmú. 8 GEOMETRIA

159 A HENGER FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA V. Juli szereti, ha a hulladékot újrahasznosíthatja, ezért kitalálta, hogy az üres cse me ge kukoricás konzervdobozokból ajándék ceruzatartókat készít. A dobozok palástját saját tervezésű mintákkal fogja díszíteni, de előtte az egészet lealapozza egy színnel. A dobozok átmérője és magassága is 8 cm. Mekkora felületet kell Julinak alapozni, ha ceruzatartót szeretne készíteni? Az alapoznivaló felület: T palást = r r m = r 8 = 768r. (cm ). Egy cm hosszú cső belső átmérője cm, külső átmérője pedig 6 cm. Mennyit emelkedne a vízszint, ha ezt a csövet egy cm-szer 8 cm-es alapterületű akváriumba tennénk? (Az akváriumban lévő víz teljesen ellepné a csövet.) A cső térfogata befolyásolja a víz szintjének az emelkedését: V cső = V külső - V belső = r - r = 0r.,6 cm. Annyival emelkedik a vízszint, amilyen magasan állna ugyanennyi víz az üres akváriumban:,6 = 8 m, innen m =,6 : : 8. 0,7 cm. Ennyivel emelkedne a víz szintje. 6 A szoba kifestéséhez festőhengert használunk. Legkevesebb hányszor fog fordulni a henger egy méterszer méteres falfelületen, ha a henger sugara cm, a szélessége pedig 0 cm? Egy fordulattal akkora területet festünk be, amekkora a henger palástja: T palást = r r m = r 0 = 60r. 0,7 (cm ), ami kb. 0,0 m. A méterszer méteres, azaz négyzetméteres falfelületen legkevesebb : 0,0 = 0 fordulatot fog megtenni ez a festőhenger. GEOMETRIA 9

160 V. ÖSSZEFOGLALÁS Feladatok Minden feladatnál pontosan egy helyes választ adtunk meg. Keresd meg a megfelelőt! Egy háromszög egyik oldalának hossza, cm, egy másiké pedig 6,8 cm. Melyik nem lehet a harmadik oldal hossza a megadottak közül? (A) 90 mm; (B), dm; (C) 6 mm; (D), cm; (E) 6,8 cm. A helyes válasz: C. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a külső szögek összege egyenlő a belső szögek összegével? (A) ; (B) ; (C) ; (D) 6; (E) 8. A helyes válasz: B. Felsoroltunk néhányat egy háromszög belső és külső szögei közül. Melyik a kakukktojás? (A) 0 ; (B) 80 ; (C) 90 ; (D) 0 ; (E) 0. A helyes válasz: C. Ha egy háromszögben az egyik belső szög, az egyik külső szög pedig, akkor a háromszög (A) derékszögű; (B) egyenlő szárú; (C) tompaszögű; (D) nem létezik; (E) szabályos. A helyes válasz: B. Egy egyenlő szárú (nem szabályos) háromszögbe berajzoltuk az öt nevezetes vonal mindegyikét. Hány egyenest rajzoltunk? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: A. 6 Melyik állítás igaz az egyenlő szárú (nem szabályos) háromszög alapjának egyik csúcsából induló súlyvonalra, szögfelezőre és magasságra? (A) Egyik sem felezi a háromszög területét. (B) Egyik sem merőleges a szemközti oldalegyenesre. (C) Közülük mindig a szögfelező a legrövidebb. (D) Közülük mindig a súlyvonal a legrövidebb. (E) Közülük mindig a magasság a legrövidebb. A helyes válasz: E. 60 GEOMETRIA

161 ÖSSZEFOGLALÁS V. 7 Ha egy háromszög három középvonalának hossza cm, akkor a háromszög kerülete (A) 6, cm; (B) cm; (C) 66 cm; (D) 99 cm; (E) cm. A helyes válasz: C. 8 Hány oldalú az a sokszög, amelyben egy csúcsból összesen 000 átló húzható? (A) 997; (B) 998; (C) 00; (D) 00; (E) 00. A helyes válasz: E. 9 Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege 0? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E). A helyes válasz: E. 0 Hány átlója van a 0 oldalú konvex sokszögnek? (A) 70; (B) 80; (C) 00; (D) 0; (E) 0. A helyes válasz: A. Hány oldalú az a sokszög, amelynek összesen átlója van? (A) 9; (B) 90; (C) ; (D) ; (E) Az előzőek egyike sem. A helyes válasz: D. Két kör kerületének összege 6r. Mennyi a két sugár hosszának összege? (A) ; (B) ; (C) 6; (D) r; (E) Nem adható (E) meg egyértelműen. A helyes válasz: A. Az egyik kör sugarának hossza r, a másik kör sugarának hossza R. Tudjuk, továbbá hogy r + R = 09. Mekkora a két kör területének az összege? 6 (A) Ilyen körök nincsenek. (B) Nem adható meg egyértelműen. (C) 6,8. (D) 6,8r. (E) 7. 6 A helyes válasz: D. GEOMETRIA 6

162 V. ÖSSZEFOGLALÁS Az ábrán egy dm magas oszlop keresztmetszete látható. Az alaplap minden éle egyenlő hosszúságú, és deciméterben mérve egész szám. Melyik lehet a megadott értékek közül az oszlop térfogata? (A) 0 dm³; (B) 60 dm³; (C) 79 dm³; (D) dm³; (E) 790 dm³. A helyes válasz: B. Egy hasáb alaplapja 6 cm kerületű és cm² területű. Mekkora a magassága, ha a felszíne 8 cm²? (A) cm; (B) 8 cm; (C),7 cm; (D), cm; (E) 8 cm. A helyes válasz: A. 6 Felírtuk egy henger alapkörének területét, palástjának területét és a térfogatát egy papírra, de elfelejtettük, hogy melyik szám mit jelent. A papíron ezek a számok szerepelnek: 9r, 60r, 90r. A megadottak közül melyik lehet jó? (A) r =, m = 0; (B) r =, m = 0; (C) r = 9, m = 6; (D) r =, m = 0; (E) r = 9, m = 0. A helyes válasz: D. 6 GEOMETRIA

163 VI. FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA A következő csapat csak pár száz évet ugrik az időben tájékoztatta a tanulókat Judit néni, majd néhány másodperc múlva kihirdette: Helén és Dávid látogathatja meg Galileit. Néhányan ugyan elszontyolodtak egy kicsit, de aztán rögtön tervezgetni kezdték a jövő évi programot. Csak egy villanás volt, és a két gyerek Itáliában találta magát. A Napnak még elég ereje volt, hogy kellemesen átmelegítse a ház köveit, úgyhogy mindketten elfoglalták helyüket az egyik ablakfülkében. Mondd csak, miért foglalkozol olyan felesleges dolgokkal, mint a játékkockák természete? fordult Niccolini Galileihez. Azért, kedves barátom, mert sokan hódolnak e szenvedélynek, és kérdéseik kíváncsivá tettek. Ahogy egyre több választ tudok adni nekik, egyre jobban érzem, hogy egyáltalán nem feleslegesek az ezzel kapcsolatos kísérleteim: törvényeket vettem észre a véletlenek mögött. Akkor mindenki nyerni fog a kockajátékokon, ha megismeri a munkádat? Nem, kedves barátom. Nem tudom megjósolni a véletlent, csak megérteni és leírni a törvényeit. Ezek azonban nem olyan természetűek, mint az optika törvényei. Az algebra mely fejezetébe illenek az eredményeid? Egyikbe sem, szerintem ennek nincs neve, de úgy érzem nemsokára lesz. Lehet, hogy új tudományág van születőben. Az is véletlen volt, hogy éppen minket sorsoltak ki erre az útra? kérdezte Helén. Természetesen hümmögött Dávid, aki mindig jó volt infóból, és egy egész napot pepecselt a sorsolás előtti este az iskola számítógépén.

164 VI. KÉT HALMAZ KÖZÖTTI HOZZÁRENDELÉSEK Feladatok Egészítsd ki a mondatot! a) Egyértelmű hozzárendelést akkor hozunk létre, ha az alaphalmaz eleméhez, képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. b) Nem egyértelmű hozzárendelést adunk meg, ha van olyan alaphalmazbeli elem, amelyhez képhalmazbeli elemet rendelünk. a) Egyértelmű hozzárendelést akkor hozunk létre, ha az alaphalmaz minden eleméhez, egy képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. b) Nem egyértelmű hozzárendelést adunk meg, ha van olyan alaphalmazbeli elem, amelyhez több képhalmazbeli elemet rendelünk. Adj meg olyan hozzárendeléseket, amelyekre teljesül, hogy alaphalmaza a) az osztályodba járó gyerekek halmaza; b) az iskolátok menzáján fogyasztható ételek halmaza; c) az iskolai tantárgyak halmaza! a) Az osztályodba járó gyerekekhez h ozzárendeljük a testvéreik számát. b) Az ételekhez hozzárendeljük, hogy az osztályban ki szereti az adott ételt. c) A tantárgyakhoz hozzárendeljük a tárgy heti óraszámát. Párosítsd a hozzárendeléseket a diagramokkal! Döntsd el, melyik egyértelmű és melyik nem egyértelmű hozzárendelés! a) Minden magyar emberhez hozzárendeljük a taj-számát. b) Minden emberhez hozzárendeljük a születési dátumát. c) Minden emberhez hozzárendeljük a barátait. Első ábra: c). Második ábra: a). Harmadik ábra: b). A második és a harmadik ábra egyértelmű hozzárendelést mutat. 6 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

165 KÉT HALMAZ KÖZÖTTI HOZZÁRENDELÉSEK VI. Melyik egyértelmű és melyik nem egyértelmű hozzárendelés az alábbi megfeleltetések közül? a) Minden számhoz hozzárendeljük a nála eggyel nagyobb számot. b) Minden számhoz hozzárendeljük a reciprokát. c) Minden számhoz hozzárendeljük a számszomszédait. d) Minden számhoz hozzárendeljük az abszolút értékét. e) Minden számhoz hozzárendeljük a tizedét. f) Minden egész számhoz hozzárendeljük a paritását. a) Egyértelmű. b) Egyértelmű, a 0-t kivéve. c) Nem egyértelmű. d) Egyértelmű. e) Egyértelmű. f) Egyértelmű. Adj meg hozzárendelést az alábbi nevek és képek között! Párosítsd a névhalmaz elemeit a képhalmaz elemeivel! Melyik névhez nem találsz képet? Bolyai János Erdős Pál Neumann János Sain Márton Varga Tamás Neumann János Bolyai János Varga Tamás Erdős Pál Sain Mártonról nem találunk képet. FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 6

166 VI. KÉT HALMAZ KÖZÖTTI HOZZÁRENDELÉSEK 6 Az alábbi hozzárendelések közül melyek egyértelműek? a) Alaphalmaz: az aktuális év dátumai január -től december -ig. Képhalmaz: a hét napjai. Hozzárendelés: Minden dátumhoz rendeljük hozzá a hét megfelelő napját! b) Alaphalmaz: az iskolád diákjai. Képhalmaz: az iskolád tanárai. Hozzárendelés: Minden diákhoz rendeljük hozzá az őt tanító tanárokat! c) Alaphalmaz: {szilárd; folyékony; légnemű} Képhalmaz: {víz; tankönyv; levegő; jég; oxigén} Hozzárendelés: Minden halmazállapothoz rendeljük hozzá a vele egyező halmazállapotú anyagot! a) Egyértelmű. b) Nem egyértelmű. c) Nem egyértelmű. 66 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

167 FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJAIK VI. Feladatok Válaszd ki az alábbi hozzárendelések közül a függvényeket! Az alaphalmazt A-val, a képhalmazt B-val jelöltük. a) A = {iskoláskorú gyerekek}; B = {iskolák} Minden iskoláskorú gyerekhez hozzárendeljük a saját iskoláját. b) A = {állattulajdonosok}; B = {állatok} Minden állattulajdonoshoz hozzárendeljük a háziállatát. c) A = {házaspárok}; B = {évszámok} Minden házaspárhoz hozzárendeljük az évet, amikor összeházasodtak. d) A = {gyümölcsök}; B = {racionális számok} Minden gyümölcshöz hozzárendeljük, hányféle vitamint tartalmaz. a) Egyértelmű, ha azt az iskolát nézzük, ahol tanul, nem egyértelmű akkor, ha az iskolák közé beszámítjuk például a zeneiskolákat, művészeti iskolákat is, hiszen ekkor lesz olyan gyerek, akit több iskolához is hozzá kell rendeljünk. b) Nem egyértelmű. c) Egyértelmű. d) Nem egyértelmű. Megadtuk egy függvény alaphalmazát, képhalmazát és hozzárendelési szabályát. Készítsd el a hozzárendelés táblázatát! a) A = {0-nél kisebb nem negatív egész számok} B = {természetes számok} Hozzárendelési szabály: Minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál -vel nagyobb számot! b) A = {0-nál kisebb prímszámok} B = {természetes számok} Hozzárendelési szabály: Minden A-beli számhoz rendeljük hozzá az ellentettjét! a) b) FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 67

168 VI. FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJAIK Elemenkénti hozzárendeléssel megadtuk egy függvény alaphalmazát, képhalmazát és a hozzárendelési szabályát. Add meg a hozzárendelést szövegesen és Venn-diagrammal is! a) A = { 6-nál nagyobb negatív számok} B = {racionális számok} 7,; 7 ; 7,; 7 ; 7,. b) A = { és közötti egész számok} B = {természetes számok} 7 ; 7 ; 7 ; 0 7 0; 7 ; 7 ; 7. a) Minden számhoz rendeljük a felénél eggyel kisebb számot. b) Minden számhoz hozzárendeljük az abszolút értékét.,,, 0 0 Készíts táblázatot az alábbi hozzárendelésekhez 8 db általad választott számmal, és ábrázold az alábbi függvényeket a koordináta-rendszerben! Az alaphalmaz és a képhalmaz is a tanult számok halmaza. a) Minden számhoz rendeljük hozzá a nála eggyel nagyobb szám kétszeresét! b) Minden számhoz rendeljük hozzá a negyedénél -vel nagyobb számot! a) , b) ,,7,, 68 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

169 FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJAIK VI. Válaszd ki a függvények grafikonjait az alábbi ábrák közül! a) y 0 x b) y 0 x c) y 0 x d) y 0 x e) y f) y 0 x 0 x a) függvény b) nem függvény c) függvény d) függvény e) nem függvény f) függvény FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 69

170 VI. OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL! Feladatok Az utasszállító repülőgép magassági adatai alapján nyomon követhetjük, hogy az in dulást követő egyes időpontokban 8000 milyen magasan szállt a repülőgép. a) Hány perc alatt érte el a repülési magasságát a repülőgép? b) Milyen magasan járt a gép az indulást követő 8. percben? c) Hány métert emelkedett a gép a 8. perc között? d) Melyik időintervallumban indulástól eltelt idő (perc) volt a legnagyobb a repülőgép emelkedési sebessége? e) Hányadik percben volt 8000 m a repülési magassága? 6 8 magasság (m) a) perc alatt. b) 000 m magasan. c) 000 m-t emelkedett. d) A. és. perc között. e) A. percben. A következő ábrán a budapesti és a bécsi repülőtér éves utasforgalmát látod 000 és 0 között. millió fő Döntsd el a grafikon alapján, melyik igaz, illetve 8 melyik hamis a következő állítások közül! 6 Bécs a) A bécsi reptéren mindig többen voltak, mint a budapestin. b) A legnagyobb forgalmat mindkét repülőtér 0 ugyanabban az évben érte el. 8 Budapest c) Volt olyan év, amikor a bécsi repülőtéren 0 6 millióval több ember fordult meg, mint a budapesti reptéren. d) 009-ben volt a legkisebb eltérés a két reptér forgalma között e) Ez alatt a év alatt 70 milliónál több látogatója volt a budapesti repülőtérnek. a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz (0-ben). d) Igaz, de a grafikonról nem feltétlenül olvasható le. e) Igaz 70 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

171 OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL! VI. Piroska reggel 8-kor indult el a km-re lakó nagymamához. Óránként átlagosan km-t tett meg. 0 órakor letért az útról, hogy fél óra alatt virágot szedjen a nagyinak, majd folytatta az útját. Anyukájának 9-kor jutott eszébe, hogy elfelejtett kislányának szólni a gonosz farkasról, így 6 km sebességgel h utána szaladt. Tudott-e beszélni az anyuka Piroskával még a virágszedés előtt? Grafikusan oldd meg a feladatot a füzetedben! hely (km) Nagymama lakása Piroska 7 6 Anyukája Piroskáék lakása idő (óra) Piroskát 0 órakor érte el anyukája, így még éppen tudott vele beszélni a virágszedés előtt. Áron és Barnus különböző iskolákba járnak, de pénteken mindkettőjüknek öt órája van. Tanítás után Barnusnak Áron iskolájában van zeneórája, Áronnak meg Barnus iskolájában van kosárlabdaedzése. Egyszerre indulnak, s mindketten biciklivel mennek egymás iskolájába. Válaszolj a kérdésekre a grafikon alapján! a) Melyik grafikon jelöli Áron és melyik Barnus mozgását? b) Melyik gyerek biciklizik gyorsabban? Miért? c) Milyen messze van egymástól a két iskola? hely (km) Barnus iskolája Áron iskolája d) A fiúk az indulástól számított hányadik percben találkoznak? e) Hány perc alatt teszi meg az utat Áron? f) Hány km utat tesz meg Barnus egy perc alatt? idő (perc) FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 7

172 VI. OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL! a) A kék grafikon Áron, a lila grafikon Barnus mozgását jelöli. b) Barnus biciklizik gyorsabban, mert rövidebb idő alatt teszi meg a két iskola közötti távot. c) 9 km-re vannak egymástól. d) A 6. percben találkoznak. e) 6 perc alatt. f) km-t tesz meg. Van a kertünkben egy 00 literes felfújható medence, azonban a kutyánk kirágta az oldalát. Egyenletesen folyt belőle a víz, és, óra múlva szomorúan láttuk, hogy a víz fele kifolyt és elszivárgott a földbe. Ábrázold a medencében levő víz mennyiségének csökkenését az eltelt idő függvényében! a medencében lévő víz mennyisége (liter) idő (óra) 6 Meggyújtottunk két gyertyát. Az egyik cm hosszú, a másik ennél vastagabb, de csak 6 cm hoszszúságú. A gyertyák egyenletesen égtek. A hosszabb gyertya magassága 6 óra alatt 9 cm-t, a rövidebbé cm-t csökkent. a) Ábrázold egy koordináta-rendszerben a gyertyák magasságát az eltelt idő függvényében! b) Melyik gyertya ég el hamarabb? c) Milyen hosszúak lesznek a gyertyák óra elteltével? d) Mennyi idő alatt ég el a hosszabb gyertya? e) Mikor lesz a rövidebb gyertya 8, cm magas? 7 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

173 OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL! VI. a) idő (óra) gyertya magassága (cm) b) A magasabb ( cm-es) gyertya ég el hamarabb. c) A magasabb gyertya 6 óra alatt 9 cm-t csökken, tehát két óra alatt cm-t csökken, így magassága cm lesz. Az alacsonyabb gyertya 6 óra alatt cm-t, így óra alatt cm-t csökken, s a magassága., cm cm lesz. d) 6 óra alatt ég el. e) 9 óra elteltével. FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 7

174 VI. ÁBRÁZOLJUNK KÉPLET ALAPJÁN! Feladatok Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! a) x 7 x; b) x 7 x + ; c) x 7 x ; d) x 7 x +. y d b a 0 x c Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! a) x 7 x; b) x 7 x; c) x 7 x; d) x 7 x; e) x 7 x +. y b a e 0 d x c Melyik képlethez melyik grafikon tartozik? a) f : x 7 x; b) g : x 7 x ; c) h : x 7 x ; d) l : x 7 x +. y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x 7 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

175 ÁBRÁZOLJUNK KÉPLET ALAPJÁN! VI. a) f : x 7 x. grafikon b) g : x 7 x -. grafikon c) h : x 7 -x -. grafikon d) l : x 7 - x +. grafikon Ábrázold az alábbi függvényeket, majd tükrözd az y tengelyre! Add meg az így kapott függvények hozzárendelési szabályát! a) f : x 7 x + ; b) g : x 7 x ; c) h : x 7 x. a) y b) g y c) f 0 x f g 0 x h y h 0 x Hozzárendelési szabályok: a) Az f függvény tükörképének: f : x 7 -x +. b) A g függvény tükörképének: g : x 7 x -. c) A h függvény tükörképének: h : x 7 - x. Add meg az alábbi pontok hiányzó koordinátáit, ha tudod, hogy a pontok rajta vannak az f : x 7 x + függvény grafikonján! A(6; ); B( ; ); C(0; ); D( ; ); E(00; ); F( ; ). A(6; -) B(-; ) C(0; ) D(9; -) E(00; -98) F(; -) FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 7

176 VI. ÁBRÁZOLJUNK KÉPLET ALAPJÁN! 6 Ábrázold az g : x 7 x függvény grafikonját! Döntsd el, hogy hol helyezkednek el az alábbi pontok: a függvény alatt, a függvényen vagy a függvény felett! A(; ); B( ; 7); C(; ); D( ; ); E(7; ). D B y g C A 0 x E Alatta: C(; ); E(7; -) Felette: B(-; -7); D(-; ) Rajta: A(; ) 7 Egyenletesen zuhog az eső. Az udvaron két egyforma méretű esővízgyűjtő dézsánk is van. a) Az egyikben perc alatt 0, cm-t emelkedik a vízszint. Ez a dézsa két és fél óra alatt tele lett, de addigra annyira megsüllyedt alatta a föld, hogy felborult, és az összes víz kiömlött belőle. Ábrázold grafikonon a hordóban levő víz mennyiségének változását az idő függvényében! b) Vizsgáljuk meg a másik dézsát! A két dézsa közti különbség mindössze annyi, hogy ezen alul van egy kisebb lyuk, ahol folyamatosan elszivárog a víz, így percenként mm-rel csökken a víz szintje. Ábrázold grafikonon a hordóban levő víz mennyiségének változását az idő függvényében! Mennyi idő alatt telik meg ez a hordó? a) A grafikonon a víz magasságát ábrázoltuk az idő függvényében. A víz pillanatok alatt elfolyt, így időben 0-val jelöltük. vízmagasság (cm) idő (perc) 76 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

177 ÁBRÁZOLJUNK KÉPLET ALAPJÁN! VI. b) Ha perc alatt mm-nyi víz szivárog el, akkor perc alatt, mm-nyi víz szivárog el. Ez alatt mm-t emelkedne a vízszint, tehát összesen csak, mm-t emelkedik a vízszint perc alatt. Ez pont fele az a) feladatban megadott értéknek, tehát pont kétszer annyi idő alatt telik meg. óra alatt lesz tele. vízmagasság (cm) idő (perc) FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 77

178 VI. KERESSÜNK SZABÁLYOKAT! Feladatok Add meg az alábbi grafikonok hozzárendelési szabályát! a) b) y i g f n y m j h 0 x l 0 x a) f : x 7 x b) j : x 7 x g : x 7 x + k : x 7 x h : x 7 x - i : x 7 x + k l : x 7 x m : x 7 x n : x 7 -x Keresd a párját! p y q o 0 x o: l : 7 x - p: h : x 7 - x + q: f : x 7 x + r: g : x 7 -x + r f : x 7 x + g : x 7 x + h : x 7 x + l : 7 x Egy lineáris függvény grafikonja átmegy a (; ) és a (; ) pontokon. Döntsd el az alábbi állításokról, melyik igaz és melyik hamis! a) A függvény az x = -höz -at rendel. b) A függvény az x = -höz -at rendel. c) A függvény az x = 0-hoz kevesebbet rendel, mint az x = -höz. a) Igaz b) Hamis c) Igaz 78 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

179 KERESSÜNK SZABÁLYOKAT! VI. Adott a síkban két pont. Add meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely átmegy ezeken a pontokon! a) A(-; ); B(; -); b) A(; ); B(-; 0); c) A(; ); B(-6; -). A függvények ábrázolása után megadható a hozzárendelési szabály. a) f : x 7 -x + b) g : x 7 x + c) h : x 7 x + Az alábbi táblázatban megadott számpárok egy kivételével egy lineáris függvény grafikonjának pontjai. Határozd meg a függvény hozzárendelési szabályát! Melyik pont a kakukktojás? a) x 0 b) x 0 8 y y a) Hozzárendelési szabály: f : x 7 x +, a kakukktojás a (-; -) koordinátájú pont. b) Hozzárendelési szabály: g : x 7 - x +, a kakukktojás a (; ) koordinátájú pont. 6 Ábrázold az alábbi lineáris függvényeket, majd add meg a hozzárendelési szabályukat! a) Az f függvény grafikonja átmegy az A(; -9) ponton és az y tengelyt a (-) pontban metszi. b) A g függvény a -höz -öt, a 6-hoz 7-et rendel. a) Hozzárendelési szabály: f : x 7 -x - b) Hozzárendelési szabály: g : x 7 x + y 0 x g y 0 x f FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 79

180 VI. KERESSÜNK SZABÁLYOKAT! 7 A bankrabló észreveszi a 00 méterre álló rendőrt és elkezd rohanni. Hány perc alatt éri utol a rendőr a rablót, ha a rabló km, a rendőr pedig 8 km sebességgel fut? h h Oldd meg a feladatot grafikusan! hely (km) rabló rendőr 0 0 idő (perc) A grafikonról leolvasható, hogy perc alatt éri utól a rendőr a bankrablót. 80 FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

181 6 ÁTLAG, MÓDUSZ, MEDIÁN VI. Feladatok Határozd meg a {-; 0; 0; 0; 7} számok a) számtani átlagát; b) móduszát; c) mediánját! a) x = = ; b) módusz = 0; c) medián = 0 Határozd meg az {-; -; ; ; ; 6} számok a) számtani átlagát; b) móduszát; c) mediánját! a) x = , = ; b) módusz = {-; }; c) medián = Az iskolai büfében eladtak párizsis, sajtos, 7 sonkás és 8 rántott húsos zsömlét. a) Melyik középértéket tudod meghatározni? b) Mennyi volt az egy szendvicsre jutó átlagos ár? a) A módusz meghatározható. Párizsis zsömléből adták el a legtöbbet, tehát ez a módusz. b) x = $ 0 + $ $ $ 0 = 0 0 = 70, Ft volt az egy szendvicsre jutó átlagos ár. A YouTube-on 0 elején az első hat leggyakrabban hallgatott zeneszám hossza :08; :; :0; :9; :7 és : volt. a) Milyen hosszú az átlagos zeneszám? b) Mekkora az adatok mediánja? a) Az adatok nyilván percben és másodpercben vannak megadva. Összegük 8 másodperc. Ebből következik, hogy x = , = másodperc hosszú egy átlagos zeneszám. b) Nagyság szerint rendezve :9; :7; :0; :; :; :08. A medián, azaz a két középső érték átlaga :09. FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA 8