IRÁNYÍTOTT GRÁFOK FOKHALMAZAI IVÁNYI ANTAL, MATUSZKA TAMÁS, NÉMETH ZSOLT (MÁJUS 14)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "IRÁNYÍTOTT GRÁFOK FOKHALMAZAI IVÁNYI ANTAL, MATUSZKA TAMÁS, NÉMETH ZSOLT (MÁJUS 14)"

Átírás

1 Alkalmazott Matematikai Lapok 1 IRÁNYÍTOTT GRÁFOK FOKHALMAZAI, MATUSZKA TAMÁS, NÉMETH ZSOLT (MÁJUS 14) Legyenek a, b és n egész számok, (0 a b és 1 n). Az (a, b, n)-gráfok olyan hurokmentes irányított gráfok, amelyekben bármely két csúcsot legalább a és legfeljebb b él köt össze. Ezen gráfok kifokainak nemcsökkenő sorozatát foksorozatnak, a különböző kifokaiból alkotott halmazokat pedig fokhalmaznak nevezzük. A cikkben különböző (a, b, n)-gráfok mint a szimmetrikus, antiszimmetrikus gráfok, versenyek és multiversenyek, páros és többrészes gráfok foksorozatait és fokhalmazait jellemezzük (teszteljük a potenciális sorozatokat és halmazokat, helyreállítjuk és leszámláljuk a helyreállítható sorozatokat és halmazokat). 1. Bevezetés A gyakorlatban különböző területeken szükség van objektumok rangsorolására. Ennek egyik elterjedt módszere, hogy az objektumokat páronként összehasonlítjuk, és az összehasonlítás eredményeképpen pontokat adunk az objektumoknak, végül pedig a kapott pontszámok alapján rangsoroljuk őket. Például Landau biológiai [48], Newman és Barabási [58] hálózati, Bozóki, Fülöp, Kéri és Rónyai gazdasági [5, 46], Liljeros et al. emberi kapcsolatokra vonatkozó [50], Iványi et al. pedig sportbeli [31, 32, 37, 40, 62, 66] alkalmazásokra hivatkoztak. Legyenek a, b és n egészek (n 1, b a 0). Az (a, b, n)-gráfok olyan hurokmentes irányított gráfok, melyek csúcshalmaza V = {v 1,..., v n } és a különböző v i és v j csúcsok legalább a és legfeljebb b éllel vannak összekötve. Ha adott vonatkozásban n nem lényeges, akkor elhagyjuk, azaz a rövidebb (a, b)-gráf elnevezést használjuk. A cikkben többnyire a sportbeli alkalmazások terminológiáját használjuk: a gráfokat versenyeknek, a csúcsokat játékosoknak vagy csapatoknak, a kifokok számát pontszámnak, a befokok számát vesztett pontok számának, két csúcs összehasonlítását meccsnek, csapatok számát a verseny rendjének, a meccsek számát pedig a verseny méretének nevezzük. Az élek száma és iránya a meccseken dől el: a P i játékos által a P j játékos ellen szerzett s ij pontnak s ij darab, a P i csúcsból a P j csúcsba mutató él felel meg [36]. Az (a, b)-versenyek lehetnek teljesek vagy hiányosak. Ha a c b, akkor a teljes verseny meccsein kiosztott c pont tetszés szerint bontható k (0 c c) és c k egész részekre, míg a hiányos versenyeken bizonyos elosztások nem megengedettek. Például a régi labdarúgás ahol 2:0, 1:1 és 0:2 volt megengedve teljes (2, 2) sport, a modern labdarúgás [18, 37, 42] ahol 3:0, 1:1 és 0:3 van megengedve hiányos (2,3)-sport, hiszen például a 2:0 és 2:1 elosztás nincs megengedve.

2 2 Míg teljes versenyek esetén a sorozatok tesztelése az operációkutatás folyamos módszereivel [18] kényelmesen megoldható (bár gyakran vannak gyorsabb algoritmusok is), hiányos versenyek esetén ezek a módszerek nem alkalmazhatóak. A cikkben első sorban teljes versenyekkel foglalkozunk. Legyenek l, m és u egész számok, továbbá 1 m és l u. Egész számok f = f 1,..., f m sorozatát és h = {h 1,... h n } halmazát (l, u, m)-korlátosnak nevezzük, ha l f i u, illetve l h i u minden 1 i m indexre. Ha egy mononoton nemcsökkenő, egészekből álló f sorozat (l, u, m)-korlátos, akkor (l, u, m)- szabályosnak mondjuk [13]. Ha A h (l, u, m)-korlátos halmazt (l, u, m)-szabályosnak mondjuk, ha szigorúan monoton nő. A vizsgálatok során kitüntetett szerepet játszanak az (a(n 1), b(n 1), n)-szabályos és a (0, n 1, n)-szabályos sorozatok. Ezeket a sorozatokat (a, b, n)-jónak (röviden jónak) nevezzük, ha létezik olyan (a, b, n)-verseny, melynek foksorozata/fokhalmaza az adott sorozat/halmaz. A továbbiakban főleg szabályos sorozatokkal foglalkozunk. A definíciókban az alsó és felső korlátok azért szerepelnek, hogy ellenőrző algoritmusainkat megkíméljük a nyilvánvalóan nem jó sorozatok ellenőrzésétől, ezért ezek a megszorítások nem jelentik az általánosság korlátozását. Kutatásaink melléktermékként bővítettük a The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences adatbázist [38]. Megjegyezzük, hogy Avery 1991-es [2], valamint Mubay et al es cikkét [56] követően jelennek meg olyan cikkek is (például [40, 41, 66, 74]), amelyek a játékosok pontszámának és vesztett pontjaik számának különbségét, és az ilyen különbségekből alkotott sorozatokat és halmazokat vizsgálják. Mivel a fokkülönbségekre vonatkozó tételek többsége a foksorozatokra és fokhalmazokra vonatkozó tételek következménye, ezekkel a kérdésekkel csak érintőlegesen foglalkozunk. A cikk felépítése a következő. A bevezető első rész után a 2. részben az aszimmetrikus, a 3. részben a szimmetrikus, majd a 4. részben az (a, b)-versenyek pontsorozataival, ezt követően a 5. részben (a, b)-versenyek ponthalmazaival foglalkozunk. A 6. és 7. részekben scheveningeni versenyek, a 8. részben pedig a szimmetrikus scheveningeni versenyek pontsorozatait és ponthalmazait elemezzük. Végül a 9. részben a többrészes versenyekre vonatkozó eredményeket foglaljuk össze. 2. Aszimmetrikus versenyek pontsorozatai és ponthalmazai Először a (0, 1)-versenyekkel foglalkozunk, amelyek a szimmetrikus gráfoknak felelnek meg. Ezeknél a versenyeknék a P i és P j játékos vagy játszik meccset egymással (ekkor a győztes egy pontot kap, a vesztes pedig nulla pontot),vagy nem játszik (ekkor mindkét játékos nulla pontot kap). Chartrand, Lesniak, Roberts [9]

3 Alkalmazott Matematikai Lapok 3 3. Szimmetrikus versenyek pontsorozatai és ponthalmazai versenyek ponthalmazai A szimmetrikus versenyek olyan (0, 2)-versenyek, amelyekben a 0:0 és az 1:1 a megengedett eredmény, a 2:0 és 0:2 viszont nem az, tehát ez hiányos verseny. Chartrand, Lesniak, Roberts [9] 4. Teljes (a, b)-versenyek pontsorozatai A hagyományos versenyek pontsorozatainak gyors ellenőrzését teszi lehetővé Landau következő tétele. 1. Tétel. (Landau [48]) Egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (1, 1, n)-versenynek, ha k f i k=1 ( ) k 2 (1) minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Lásd [48]. Megjegyezzük, hogy irányítatlan gráfok potenciális foksorozatainak tesztelésére először egymástól függetlenül Havel [28] és Hakimi [25], továbbá Erdős és Gallai [13] javasoltak legrosszabb esetben négyzetes futási idejű algoritmust. A Havel-Hakimi algoritmus lineáris idejű változata a [33], míg az Erdős-Gallai algoritmus lineáris futási idejű változata Takahashi [76] disszertációjában, majd a [29, 37] cikkekben jelent meg. Landau tételéből közvetlenül adódik az (1, 1)-versenyek potenciális különbségsorozatainak gyors tesztelését lehetővé tevő állítás. 2. Következmény. (Avery [2], Mubayi, Will, West, [56]). Egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (1, 1, n)-versenynek, ha k ( ) k f i (2) 2 k=1 minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Legyen??? Landau tételét Moon a következőképpen általánosította 1963-ban.

4 4 3. Tétel. (Moon [55]) Ha b 1, akkor egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (b, n)-versenynek, ha k ( ) k f i b 2 k=1 (3) minden 1 k < n indexre, továbbá a k = n esetben egyenlőség teljesül. Bizonyítás. Lásd [55]. Landau tételének következő általánosítása 2009-ben jelent meg. 4. Tétel. (Iványi [31]) Ha b a 0, akkor egész számok f = f 1,..., f n nemcsökkenő sorozata akkor és csak akkor pontsorozata egy (a, b, n)-versenynek, ha ab k k f i bb n L k (n k)f i (4) i=1 minden 1 ( ) k n indexre, ahol L 0 = 0 és ha 1 k n 1, akkorl k = max(l k 1, k 2 ) k i=1 f i. Bizonyítás. Lásd [31]. A szakirodalomban több algoritmus is ismert pontsorozatok előállítására: például Ryser [73] 1964-ben, Kleitman és Wang [47] 1973-ban, Gervacio [20] 1988-ban, Ruskey et al. [72] 1995-ben, Hemasinha [30] 2003-ban javasoltak algoritmust (1, 1, n)- versenyek összes pontsorozatának előállítására. A 4. tétel alapján tetszőleges (a, b)-verseny összes pontsorozata előállítható. A következőkben a tételen alapuló Pontsorozatok algoritmust ismertetjük, amely adott b és n bemenetekhez előállítja a (b, b, n)-versenyek legfeljebb n hosszúságú pontsorozatait. Azért elégszünk meg ezzel a speciális esettel, mert a későbbiekben csak erre van szükségünk a ponthalmazok leszámlálásához. Az (1, 1)-versenyek pontsorozatainak számát T (n)-nel, a (b, b, n)-versenyek pontsorozatainak számát pedig T (b, n)-nel jelöljük. A Pontsorozatok algoritmus a lexikografikusan legkisebb 0, b,..., b(n 1) sorozattal kezd. Rendre megkeresi az utoljára előállított pontsorozat legnagyobb indexű olyan elemét (s k ), amelyik legalább kettővel kisebb az utolsó elemnél (ha ilyen nincs, azaz az utolsó és az első elem különbsége legfeljebb egy, akkor az algoritmus már előállította a lexikografikusan legnagyobb elemet is). Végül az s 1,..., s k sorozatot úgy egészíti ki, hogy a meglévő részt rendre a megengedett legkisebb elemmel folytatja (ennek az elemnek egyrészt elég nagynak kell lennie a monotonitás biztosításához, másrészt elég kicsinek a sorozat összegére vonatkozó bb n felső korlát betartásához). A cikk programjai a [11] tankönyv konvencióit követik.

5 Alkalmazott Matematikai Lapok 5 Bemenet. n: a pontsorozatok maximális hossza; b: az egy meccsen kiosztható pontszám legnagyobb megengedett értéke. Kimenet. M = (M 1,..., M n ): M i T (i) i méretű mátrix, melynek j-edik sora az i hosszú pontsorozatok közül lexikografikusan j-edik pontsorozatot tartalmazza; k: az aktuális M mátrixban tárolt foksorozatok száma. Munkaváltozók. S = S 1,..., S n : S i az( aktuális pontsorozat első i elemének összege; B = B 1,..., B n : B i (i = 1,..., n): i 2) binomiális együttható; m, i, j: ciklus változók. Pontsorozatok(b, n) 01 for m = 1 to n sor: n változtatása 02 S 1 = sor: elemek összegének kezdeti értéke 03 for i = 1 to m sor: legkisebb pontsorozat beállítása 04 M 1,i = (i 1)b 05 S i = S i + (i 1)b 06 k = sor: M k-adik sorának számítása 07 while M k 1,m M k 1,1 > 1 08 j = 1 09 while M k 1,m M k 1,j 2 10 j = j j = j 1 12 for i = 1 to j 1 13 M k,i = M k 1,i 14 M k,j = M k 1,j S j = S j for i = j + 1 to m 17 M k,i = max(m k,i 1, bb m S i 1 ) 18 S i = S i 1 + M k,i 19 k = k k = k 1 21 return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása Ha célunk csak az T (n) meghatározása, akkor használhatjuk Narayana és Bent [57] rekurzív képleteit. 5. Tétel. (Narayana, Bent [57]) Ha n 1, akkor { 1, ha n = 1, T (n) = n 1 E=r f n (B n, E), ahol r = n/2, ha n > 1, továbbá f 1 (T, E) = { 1, ha T = E 0, 0, egyébként, (5) (6)

6 6 és ha n 2, akkor ( ) E n 1 k=0 f n (T, E) = f n 1(T E, k) ha T E, 2 0, egyébként. (7) Bizonyítás. A tételben f n (T, E) az n > 1 esetben azoknak a q 1,..., q n nemcsökkenő egész sorozatoknak a számát jelenti, amelyekre n q i = T, q n = E és i=1 k ( ) n 1 q i 2 i=1 (k = 1,..., n 1). (8) A bizonyítás további részét lásd [57]. A Pontsorozatok algoritmust azért ismertettük, mert majd felhasználjuk a potenciális ponthalmazok ellenőrzésére és a ponthalmazok leszámlálására. T (n) aszimptotikus jellemzése megtalálható Winston és Kleitman [99] cikkében. 6. Tétel. (Winston, Kleitman [99]) Léteznek olyan C 1 és C 2 pozitív konstansok, hogy C 1 4 n Bizonyítás. Lásd [99]. 4 n n 5/2 < T (n) < C 2 n 2 minden n 1 egészre. (9) Winston és Kleitman cikkükben azt írják, hogy ha a q-catalan számokra [98] vonatkozó sejtésük igaz, akkor van olyan C 3 konstans, amelyre fennáll, hogy T (n) < C 3 4 n n 2, (10) ahonnan T (n) = Θ(4 n /n 5/2 ) következne. Vizsgáljuk meg, hogy milyen C 1 (n), illetve C 2 (n) függvényt kapunk, ha feltesszük, hogy T (n) egyenlő az alsó, illetve felső korláttal, azaz számoljuk ki a C 1 (n) = T (n)n5/2 4 n, illetve C 2 (n) = T (n)n2 4 n (11) értékeket. Az 1. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 1,..., 36 esetén. A 2. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 37,..., 72 esetén. A 3. táblázat az n, T (n), C 1 (n) és C 2 (n) értékeket tartalmazza n = 73,..., 108 esetén.

7 Alkalmazott Matematikai Lapok 7 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 1,..., 36 esetén.

8 8 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 37,..., 72 esetén.

9 Alkalmazott Matematikai Lapok 9 n T (n) C 1 (n) C 2 (n) táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 73,..., 108 esetén. A 4. táblázat a C 1 (n + 1)/C 1 (n) hányadosokat tartalmazza n = 1,..., 100 estén. Ennek alapján próbálunk a C 1 (n) sorozat konvergenciájára következtetni a hányados kritérium [97] alapján. (11) szerint C 1 (n) = nc 2 (n). Mit jelentene az, ha mindkét sorozat nullához tartana? Nem azt, hogy mindkét érték NAGYOBB, mint T (n), azaz hibás a tétel? És mit jelentene, ha C 2 (n) határértéke pozitív, azaz a felső korlát nagyságrendje pontos, míg ennek a konstansnak a n-szerese természetesen végtelenhez tartana összhangban azzal, hogy az alsó korlát nagyságrendje kisebb, mint T (n) nagyságrendje. Kemnitz és Dulff cikke [45] T (b, n) jellemzésével foglalkozik. 7. Tétel. (Kemnitz, Dulff [45]) Ha b 1, akkor léteznek olyan K 1 és K 2 pozitív

10 10 C 1 (n+1) C 1 (n+1) C 1 (n+1) C ( n) n C 1 (n) C ( n) n C 1 (n) C ( n) n C 1 (n) táblázat. n, T (n), C 1 (n), C 2 (n) n = 37,..., 72 esetén.

11 Alkalmazott Matematikai Lapok 11 konstansok, hogy K 1 4 n Bizonyítás. Lásd [45]. n 5/2 < T (b, n) < K 2 (b + 1) b+1 b b 1 n 3/2 minden n 1 egészre. (12) Megjegyezzük, hogy a b = 1 esetben az alsó korlát megegyezik Kleitman és Wang [47] alsó korlátjával, míg a felső korlát egy n tényezővel gyengébb. Táblázat??? 5. Teljes (a, b)-versenyek ponthalmazai K. B. Reid 1978-ban publikálta a következő sejtést. 8. Sejtés. (Reid [69]) Ha m 1, D = d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor van olyan (1, 1)-verseny, amelynek ponthalmaza D ben Yao [100] bebizonyította ezt az állítást. 9. Tétel. (Yao [100]) Ha m 1, D = {d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor van olyan S = s 1,..., s n (1, 1, n)-verseny, amelynek ponthalmaza D. Bizonyítás. Lásd [100]. Yahoo bizonyítása aritmetikai eszközöket használ és csak a ponthalmazok létezését bizonyítja, de nem ad megoldást a ponthalmazok előállítására. Mi konstruktív bizonyítást adunk egy ennél erősebb tételre, amelyet néhány segédállítással készítünk elő. 10. Lemma. A D = {d 1 } ponthalmazt egyetlen pontsorozat, az S = d 2d állítja elő. Ez a pontsorozat (2d 1 )! különböző versennyel valósítható meg. Bizonyítás. Legyen????????????????? 11. Lemma. Ha az S = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a D = {d 1,..., d m } ponthalmazt, akkor n d m + 1. Bizonyítás. d m győzelemhez d m ellenfélre van szükség, ehhez pedig legalább d m + 1 játékosra. 12. Lemma. Ha m 2 és az S = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a D = {d 1,..., d m } ponthalmazt, akkor 2d n 2d m, (13) és mind az alsó, mind a felső korlát éles.

12 12 Bizonyítás. Az S sorozatban D minden elemének legalább egyszer elő kell fordulnia. Ezért a pontszámok számtani közepének d 1 és d m közé kell esnie. Másrészt n játékos B n meccset játszik, ezért az átlagos pontszám B n /n = (n 1)/2, így d 1 < n 1 2 < d m, (14) ahonnan következik (14). Ha például k 0 és D = {k, k + 1}, akkor (14) szerint n = 2k + 2 bizonyítja a felső korlát élességét. Ha pedig k > 1, akkor a D = {0, k}??? Landau tétele miatt s legfeljebb (2d 1 + 1)-szer tartalmazhatja d 1 -et, mert S első 2d elemének összege legalább ( 2d ).?????????? Ezen lemmákon alapul Reid tételének következő kiterjesztése. 13. Tétel. (Iványi [34, 35]) Ha m 1, D = {d 1,..., d m } nemnegatív egészek növekvően rendezett halmaza, akkor 1. létezik olyan T (1, 1, n)-verseny, melynek ponthalmaza D és pontsorozata S = s 1,..., s n ; 2. ha m = 1, akkor n = 1 és S = s 1 = 0; 3. ha m 2, akkor max(d m + 1, 2d 1 + 2) n 2d m ), (15) 4. a (15) egyenlőtlenségben szereplő korlátok élesek. Bizonyítás. Az állítás 1) részének bizonyítását az m = 2 és m = 3 esetben lásd [69].??? Még az (1, 1)-versenyek ponthalmazainak tesztelésére, helyreállítására és leszámlálására vonatkozó eredmény is alig van. Megjegyezzük, hogy egyszerű irányítatlan gráfokra Kapoor, Polimeni és Wall [44] 1977-ben bizonyította a következő tételt. Adott G egyszerű gráf különböző fokainak halmazát jelöljük D G -vel, pozitív egészek D = {d 1,..., d n } (n 1) növekvő halmazára pedig jelöljük µ(d)-vel és µ(d 1,..., d n )-nel a csúcsszámát tekintve legkisebb olyan gráf csúcsszámát, amelynek fokhalmaza D. 14. Tétel. (Kapoor, Polimeni, Wall [44]) Ha n 1 és D = {d 1,..., a k } pozitív egészek növekvő halmaza, akkor µ(d = d k + 1. Bizonyítás. See [44, 77]. A tételre 2003-ban Tripathi és Viyai egyszerű bizonyítást adott. Ugyanebben a cikkben az f(d, n) függvényt is vizsgálták, melynek definíciója: a legkisebb olyan

13 Alkalmazott Matematikai Lapok 13 egyszerű gráf csúcsszáma, amelynek fokhalmaza D és a gráfban lévő legkisebb kör hossza n ban Ahuja és Tripathi [1] adott D fokhalmazhoz minden olyan gráf rendjét meghatározták, amelynek ponthalmaz D. Most ismertetjük a 13 tételen alapuló Reid algoritmust, amely nemnegatív egészek tetszőleges D = {d 1,... d m } halmazához hozzárendel egy olyan foksorozatot, amelynek megfelelő ponthalmaz D. Bevezető megjegyzések a Reid algoritmushoz 1. Ha m = 1, akkor az S = d 2d foksorozatnak megfelelő fokhalmaz D. Ezért a legalább két elemet tartalmazó D halmazt addig rövidítjük, amíg a halmaz ki nem ürül, vagy pedig pozitív lesz az első eleme. 2. Az m 2 és d 1 = 0 esetben D akkor és csak akkor fokhalmaz, ha D = {d 2 1,..., d m 1} fokhalmaz. Ezért a legalább két elemet tartalmazó D halmazt addig rövidítjük, amíg a halmaz ki nem ürül, vagy pedig pozitív lesz az első eleme. 3. Legyen a rövidített sorozat E = {e 1,..., e q }, ahol q 2. Azokat a játékosokat, akiknek több pontja van, mint n/2, győzteseknek nevezzük. Akiknek kevesebb pontja van, mint n/2, azok a vesztesek, míg azok, akiknek n/2 pontja van, a kiegyensúlyozott játékosok. A győztes játékosok kifoka és befoka különbségét többletnek nevezzük, míg a vesztes játékosok befoka és kifoka különbségét hiánynak. A verseny kezdetekor minden többlet és hiány nulla, ezért ezek összege is nulla. Minden meccs egy győzelemmel és egy vereséggel jár, ezért az összeg a verseny végén is nulla lesz. Ha 0 E, akkor a kiegyensúlyozott játékos annyi meccset nyert, mint ahányat elvesztett, ezért a meccseinek száma páros, és ezért a többletek és hiányok is párosak. Ilyenkor átmenetileg hagyjuk el a halmazból a nulla elemet,és csökkentsük a többiek többletét, illetve hiányát eggyel (Ugyanannyian vannak?). Az így kapott halmaz F = {e 1, e 2,..., e (k 1)/2, e (k 1)/2 1,..., e k 1}. A (12) által megengedett n értékekre (ezek száma legfeljebb m 1) rendre legyen az F halmaz többleteinek összege t, míg hiányainak összege h, továbbá legyen lnko(t, h) = l. Ezt követően mindegyik vizsgált n-re rendeljük E-hez azt a sorozatot, amelyben a vesztes játékosok pontszámát t/l-szer, míg a győztes játékosok pontszámát h/l-szer ismételjük. Ha az így kapott sorozat z hossza kisebb az éppen feltételezett n-nél, akkor az előbbi multiplicitásokat szorozzuk meg n/z-vel. Most ellenőrizzük példák segítségével a javasolt konstrukciót. Tegyük fel, hogy a vizsgált halmaz elemei rendre a d m = 0, 1,..., 6 intervallumból vett egész számok. Ha d m = 0, akkor D eleme csak nulla lehet, akkor az S = 0 foksorozat (és csak az) megfelel.

14 14 Amint a [0, d m 1] intervallumból származó elemekből álló halmazokat ellenőrizzük egyre nagyobb d m -re, elég csak azokat azokat a halmazokat vizsgálni, amelyek addig nem fordultak elő, azaz amelyek tartalmazzák az d m 1 elemet. Ha d m = 1, akkor a [0 : 1] intervallum elemeiből a {0}, {1} és a {0, 1} nemüres halmazok származnak, és ezek közül csak az utóbbi kettőt kell vizsgálnunk. Az {1} halmaznak csak egy eleme van, ezért a módszerünk 1) pontja szerint az S = 1 3 sorozat megfelel. A {0, 1} halmaz pedig kétszeri rövidítéssel kiürül a rövidítő lépés inverzét alkalmazva az S = 0, 1 sorozatot kapjuk. Ha d m = 2, akkor a {2}, {0, 2}, {1, 2} és a {0, 1, 2} halmazokat vizsgáljuk. A {2} halmaznak egyetlen eleme van, így az S = 2 5 az egyértelmű megoldás. {0, 2} esetén a 12. lemma szerint 3 n 4. A többletekre vonatkozó lemma szerint n = 3 esetén az S = 0, 2,, míg n = 4 esetén az S = 0, 2, 2, 2 sorozatot kapjuk utóbbi Landau tétele szerint pontsorozata egy olyan (1, 1, 4)-versenynek, melynek ponthalmaza D = {0, 2}. Ha d m = 3, akkor a [0, 3] intervallum egész értékeiből álló halmaz hármast is tartalmazó 8 nemüres részhalmazát vizsgáljuk. Ezek közül a {3} egyelemű, a {0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3} és a {0, 1, 2, 3} nullával kezdődik, így csak a következő 3 sorozatot kell megvizsgálni: {1, 3}, {2, 3} és {1, 2, 3}. Az első esetben 4 n 6 és ha n = 4, akkor a jó 1 3, 3 sorozatot kapjuk. A második esetben 6 n 6 és az ugyancsak jó 2 3, 3 3 sorozat adódik. Végül a harmadik esetben 4 n 6. Ha n = 5, akkor S = 1 2, 2, 3 2 jó, a másik két sorozat rossz Ha d m = 4, akkor a {4}, {0, 4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, 1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} és a {0, 1, 2, 3, 4} halmazokkal kell foglalkoznunk. {4} egyelemű, a nullával kezdődő halmazok rövidítés után korábban vizsgált halmazokra vezetnek. {1, 4} esetén (14) szerint 5 n 8. Ekkor a 3. megjegyzés szerint n = 5 esetén az S = 1 4, 4 3, n = 6 esetén az S = 1 3, 4 3, n = 7 esetén az S = 1 2, 4 4, míg n = 8 esetén az S = 1 1, 4 6 sorozatot kapjuk, amelyek közül az 1 3, 4 3 olyan foksorozat, amelyhez az előírt fokhalmaz tartozik. {2, 4} esetén 6 n 8}, és az S = 2 3, 4 1, a 2 4, 4 4 és a 2 2, 4 6 sorozatokat kapjuk, amelyek közül a harmadik jó. {3, 4} esetén 8 n 8 és az S = 3 4, 4 4 sorozatot kapjuk, amely jó. {1, 2, 4} esetén 5 n 8 és az n = 5 esetben a 2 pontos játékos kiegyensúlyozott, ezért átmenetileg töröljük, majd a megmaradó {1, 2} halmazhoz hozzárendeljük az S = 1 2, 2 2 sorozatot, ezt követően pedig beszúrjuk a kiegyensúlyozott játékost úgy, hogy a vesztesek pontszámait változatlanul hagyjuk, a győztesek között pedig kaszálva elosztjuk a kiegyensúlyozott játékos két vereségét, és így a jó S = 1, 1, 2, 3, 3 sorozatot kapjuk. A többi n-re rossz sorozatokat kapunk. Az {1, 3, 4} esetben is 5 n 8. Most a hiányok összege 2, míg a többleteké 6, ezért a legnagyobb közös osztójuk 2, amivel egyszerűsítünk és így az 1 3, 3 1, 4 1 jó sorozatot kapjuk. Ez az első eset, amikor két jó megoldást kapunk: ugyanis az n = 8 esetben kapott S = 1 1, 3 1, 4 6 sorozat is jó. A {2, 3, 4} esetben 6 n 8. Az n = 6 esetben a jó {2 4, 3, 4}, az n = 7 esetben a jó 2 3, 3, 4 3 sorozatot kapjuk. Az {1, 2, 3, 4} esetben a korlátok 5 n 8. Ha

15 Alkalmazott Matematikai Lapok 15 n = 7, akkor a kiegyensúlyozott hármat átmenetileg töröljük, a maradékra kapjuk a S = 1, 2, 4 3 sorozatot, amelyet két kiegyensúlyozott elemmel egészítünk ki a megoldást jelentő S = 1, 2, 3 2, 4 3 sorozatra. Itt érdemes megjegyezni, hogy ebben az esetben a S = 1 2, 2, 3, 4 2 és a 1, 2 2, 3 2, 4 is megoldások ezeket azonban a Reid nem találja meg. Ha d m = 5, akkor a [0 : 5] intervallum egész számaiból 32 olyan halmazt tudunk előállítani, amelyek tartalmazzák az 5-öt. Ezek között van egy egyelemű és 16 olyan, amelyik nullával kezdődik. A fennmaradó 15 halmazt elemezzük. Ha D = {1, 5}, akkor 6 n 10. Ekkor egyedül az n = 8 esetben kapunk jó sorozatot, mégpedig az S = 1 3, 5 5 sorozatot. A {2, 5} esetben 6 n 10 a korlátok, és az n = 6 esetben átmenetileg elhagyva a maximális 5 értéket, a jó {2 5, 5} sorozatot kapjuk. Az n = 8 esetben is jó sorozatot kapunk, mégpedig a 2 4, 5 4 -t, míg az n = 9 esetben a 2 3, 5 6 a jó megoldás.a A további két esetben rossz megoldást kapunk. Ez az első eset, hogy algoritmusunk 3 jó megoldást is talál. A{3, 5} esetben 8 n 10. n = 8 esetén 3 6, 5 2 jó sorozat, a másik két n érték esetén rossz sorozatot kapunk. Az {1, 2, 5} esetben 6 n 10 a korlátok. Az n = 7 esetben a 1 2, 2 2, 5 3 jó sorozatot kapjuk, a többi esetben rossz az eredmény. Az {1, 3, 5} esetben a korlátok 6 n 10. Az n = 7 esetben 1 3, 3, 5 3 jó, a többi rossz. Az {1, 4, 5} esetén a korlátok 6 n 10. n = 7 esetén 1 3, 4 2, 5 2 jó, Ha d m = 6, akkor a [0 : 6] intervallum egész számaiból 64 olyan halmazt tudunk előállítani, amelyek tartalmazzák a 6-ot. Ezek között van 32 olyan, amelyik nullával kezdődik. A fennmaradó 32 halmazt elemezzük Ha D = {6}, akkor egy pontsorozathoz ez a 6 13 sorozat tartozik az adott D. Ha d m = 6, akkor n 2d m = 12 a pontos felső korlát, ezért ezt nem ismételjük. Ha D = {5, 6}, akkor az alsó korlát n 12 és az egyetlen jó sorozat az S = 5 6, 6 6. Ha D = {4, 6}, akkor n 10 és a S = 4 5, 6u jó sorozat. Ha D = {3, 5, 6}, akkor n 8 és az S = 3 3, 5, 6 6 } jó sorozat. a többi sorozat viszont nem jó.??????????????????????????????????????????????????? Ezt az algoritmust valósítja meg a Reid program. A 04. sorban meghívott Bináris eljárás feladata, hogy a bemenetként kapott j decimális szám b bináris alakját (mint i 1 bites rektort) előállítsa. LNKO a legnagyobb közös osztót határozza meg, Landau pedig ellenőrzi, hogy az előállított S sorozat pontsorozat-e. Bemenet. l 2: a legnagyobb pontszám. Kimenet. 2 i 1 nullamentes, l-re végződő ponthalmaz és az őket előállító pontsorozatok i = 2,..., l esetén. Munkaváltozók. b = b 1,..., b l 1 : aktuális potenciális ponthalmazt leíró bináris vektor; L: aktuális halmazt megvalósító sorozat elemeinek alsó korlátja; U: aktuális halmazt megvalósító sorozat elemeinek felső korlátja; x: adott sorozathoz talált megoldások száma; V : vesztesek hiánya; V : redukált többlet;v: vesztesek száma; G: győztesek többlete; G : redukált többlet; g: győztesek száma; Z: kiegyensúlyozott elem jelenlétét jelző változó (ha van nulla elem, akkor Z = 1, egyébként Z = 0; O: többlet és hiány legnagyobb közös osztója; M: megoldások száma adott bemenetre;

16 16 Y : Landau kimenete: ha a tesztelt sorozat jó, akkor Y = 1, egyébként Y = 0; p: halmaz elemeinek száma i, j, k, n, q: ciklusváltozók. N??? x??? Reid(l) 01 for i = 2 to l előírt legnagyobb elemek vizsgálata 02 print newline Legnagyobb pontszám: l 02. sor: első cím kivitele 03 for j = 0 to 2 i sor: 04 Bináris(j) 04. sor: j előállítása binárisan 05 p = 1 06 for k = i 1 downto sor: aktuális D halmaz előállítása 07 if b k == 1 08 d p = i + 1 k 09 p = p d p = i 11 if p == sor: egyelemű halmaz helyreállítása 12 s 1 = d 2d print newline j + 1. D= d 1 quad S= d 2d go to else L = max(d p + 1, 2d 1 + 2) 15. sor: alsó korlát 16 U = 2d p 15. sor: felső korlát 17 for n = L to U 17??. sor: aktuális D halmaz helyreállítása 18 x = 0 19 V = sor: hiányok összege 20 v = sor: vesztesek száma 21 G = sor: többletek összegek 22 g = sor: győztesek száma 23 N = 0 24 M = sor: megoldások száma 25 Z = sor: nulla elem jelzése 26 for q = 1 to p 27 if d q == sor: d q kiegyensúlyozott? 28 Z = 1 29 if d q < n/ sor: hiányok összegzése 30 V = V + (n 1 d q ) d q 31 v = v sor: vesztesek leszámlálása 32 if d q > n/ sor: többletek összegzése 33 G = G + d q + (n 1 d q ) 34 g = g sor: győztesek leszámlálása 35 if V G == sor: van-e győztes és vesztes is? 36 go to sor: rossz a sorozat 37 O = LNKO(G, V ) 38 G = G/O

17 Alkalmazott Matematikai Lapok V = V/O 40 h = v U + g V sor: hossz ellenőrzése 41 if Z = sor: ha nincs nulla elem 42 if h > n 43 go to??? 43. sor: túl hoszú 44 f = n/h sor: hossz ellenőrzése 45 if fh n 46 go to??? 46. sor: sor nem többszörözhető 47 else G = G f sor: kitevők beállítása 48 V = V f 49 u = sor: sorindex beállítása 50 for q = 1 to v sor: vesztesek másolása 51 for r = 1 to G 52 s u = d q 53 u = u for q = 1 to g sor: győztesek másolása 55 for r = 1 to V 56 s u = d r+q 57 u = u Landau(S) 58??. sor: sorozat ellenőrzése 59 if Y == 0 60 go to??? 60. sor: nem pontsorozat 61 else print newline M.S 61. sor: jó sorozat kivitele 62 M = M sor: egy új megoldás 63 go to sor: következő n-hez 64 if Z == sor: ha van nulla elem 65 for q = 1 to v sor: rövidített halmaz 66 d q = d q 67 for q = v + 2 to p 68 d q = d q+1 69 if h n 70 go to sor: túl hoszú 71 f = n/h sor: hossz ellenőrzése 72 G = G f 73 V = V f 74 u = sor: sorindex beállítása 75 for q = 1 to v sor: vesztesek másolása 76 for r = 1 to G 77 s u = d q 78 u = u w = n (vg + gg ) 80 for q = 1 to n w sor: kiegyensúlyozottak beszúrása

18 18 81 s u = n/2 82 u = u for q = 1 to g sor: győztesek másolása 84 for r = 1 to V 85 s u = d v+1+r 86 u = u Landau(S) sor: sorozat ellenőrzése 88 if Y == 0 89 go to sor: nem pontsorozat 90 else print newline M.S sor: jó sorozat kivitele 91 M = M sor: egy új megoldás 92 VÉGE a j ciklusnak 93 VÉGE az i ciklusnak Az eredmények így összegezhetőek (i = 6)-ig kézzel is számoltunk, a nagyobb értékeket a program adta. Legnagyobb pontszám i = 0: 2 i = 1 új, összesen 2 i+1 1 ponthalmaz 1. D = {0}, S = 0. Legnagyobb pontszám i = 1: 2 i = 2 új, összesen 2 i+1 1 = 3 ponthalmaz 1. D = {1}, S = D = {0, 1}, S = 0, 1 A továbbiakban csak a nullamentes ponthalmazokat soroljuk fel. Legnagyobb pontszám i = 2: 2 i = 4 új, összesen 2 i+1 1 = 7 ponthalmaz 1. D = {2}, S = D = {1, 2}, S = 1 2, 2 2 Legnagyobb pontszám i = 3: 2 i 1 = 4 új, összesen 2 i 1 = 7 ponthalmaz 1. D = {3}, S = D = {2, 3}, S = 2 3, D = {1, 3}, S = 1 3, 3 4. D = {1, 2, 3}, S = 1 2, 2, 3 2 Legnagyobb pontszám i = 4: 2 i 1 = 8 új, összesen 2 i 1 = 15 ponthalmaz 1. D = {4}, S = 4 9

19 Alkalmazott Matematikai Lapok D = {3, 4}, S = 3 4, D = {2, 4}, S = 2 2, D = {2, 3, 4}, S = 2 4, 3, 4, S = 2 3, 3, D = {1, 4}, S = 1 3, D = {1, 3, 4}, S = 1 3, 3, 4 7. D = {1, 2, 4}, S = 2 3, D = {1, 2, 3, 4}, S = 1, 2, 3 2, 4 3 Legnagyobb pontszám i = 5: 2 i 1 = 16 új, összesen 2 i 1 = 31 ponthalmaz 1. D = {5}, S = D = {4, 5}, S = 4 5, D = {3, 5}, S = 3 6, D = {3, 4, 5}, S = 3 4, 4, D = {2, 5}, S = 2 5, 5, 2 4, 5 4, 2 3, D = {2, 4, 5}, S = 2, 4 4, D = {2, 3, 5}, S = 2 4, 3, D = {2, 3, 4, 5}, S = 2 3, 3 2, 4, 5 9. D = {1, 5}, S = 1 3, D = {1, 4, 5}, S = 1 3, 4 2, D = {1, 3, 5}, 1 3, 3, D = {1, 3, 4, 5}, S = 1 3, 3, 4, D = {1, 2, 5}, S = 1 2, 2 2, D = {1, 2, 4, 5}, S = 1 2, 2 2, 4, D = {1, 2, 3, 5}, S = 1, 2, 3, D = {1, 2, 3, 4, 5}, S = 1, 2, 3 3, 4, 5 Legnagyobb pontszám i = 6: 2 i 1 = 32 új, összesen 2 i 1 = 63 ponthalmaz 1. D = {6}, S = 6 13

20 20 2. D = {5, 6}, S = 5 6, D = {4, 6}, S = 4 3, D = {4, 5, 6}, S4 5, 5, D = {3, 5, 6}, 3 3, 5 2, D = {3, 4, 6}, 3 6, 4, 6 7. D = {3, 4, 5, 6}, S = D = {2, 6}, S = 2 4, D = {2, 5, 6}, S = 2 5, 5, D = {2, 4, 6}, S = 2 4, 4, D = {2, 4, 5, 6}, 2 3, 4 1, 5 2, 6 2, 2 3, 4 2, 5 2, , 4 3, 5 2, 6 2 2, 4, 5 5, D = {2, 3, 6}, S = 2 3, 3 3, D = {2, 3, 5, 6}, S = 14. D = {2, 3, 4, 6}, S = 15. D = {2, 3, 4, 5, 6}, S = 16. D = {1, 6}, S = 17. D = {1, 5, 6}, S = 18. D = {1, 4, 6}, S = 19. D = {1, 4, 5, 6}, S = 20. D = {1, 3, 6}, S = 21. D = {1, 3, 5, 6}, S = 22. D = {1, 3, 4, 6}, S = 23. D = {1, 3, 4, 5, 6}, S = 24. D = {1, 3, 5, 6}, S = 25. D = {1, 2, 6}, = 26. D = {1, 2, 5, 6}, S = 27. D = {1, 2, 4, 6}, S =

21 28. D = {1, 2, 4, 5, 6}, S = 29. D = {1, 2, 3, 6}, S = 30. D = {1, 2, 3, 5, 6}, S = 31. D = {1, 2, 3, 4, 6}, S = 32. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = Alkalmazott Matematikai Lapok 21 Eredeti cikkében Reid az n = 1, 2 és 3 esetre adott polinomiális idejű konstrukciós módszert, majd Hager [24] az n = 4 és n = 5 esetben javasolt gyors konstrukciós algoritmust. Iványi és Phong [39] 2006-ban megmutatták, hogy a tétel a b 2 esetekre nem vihető át. Speciális esetekre adtak konstrukciós algoritmust, és megmutatták, hogy bizonyos halmazokhoz nem léteznek megfelelő (b, n)-versenyek. A további elemzés előtt nézzünk néhány konkrét példát (1, 1)-versenyekkel kapcsolatban. Ha p és q nemnegatív egészek, akkor a továbbiakban p q olyan sorozatot jelent, amelyben q-szor ismételjük meg a p számot. Azt mondjuk, hogy egy s = s 1,..., s n pontsorozat előállítja a h = {h 1,..., h m } ponthalmazt, ha s különböző elemeinek halmaza h. Adott h ponthalmaz optimális előállításának nevezzük az olyan minimális hosszúságú pontsorozatot, amely előállítja h-t és az ilyen sorozatok között a lexikografikusan legkisebb.. h optimális előállításának hosszát e(h)-val jelöljük. A fő cél a ponthalmazok leszámlálása. n csapat esetén n lehetséges pontszám van, ezért a megfelelő ponthalmazokat egy n elemű halmaz J(n) = 2 n 1 nem üres részhalmaza között keressük a köztük lévő ponthalmazok számát H(n) adja meg. Az n hosszúságú pontsorozatokhoz tartozó ponthalmazok száma Q(n). Végül a H(n) ponthalmaz optimális megvalósításához szükséges pontsorozatok hosszainak maximumát M(n)-nel jelöljük. Ezen függvényekre csak a J(n) = 2 n 1 (16) képletet ismerjük. Legyen n = 1. Akkor P (1) = 1 n-szabályos sorozat van a 0 és az pontsorozat, és a neki megfelelő halmaz ponthalmaz, ezért H(1) = 1 pontsorozat van, a 0, és R(1) = 1 n-szabályos sorozat, ennek megfelelően Q(1) = 1 ponthalmaz, a {0}. Mivel ehhez a ponthalmazhoz nulla meccs tartozik, ezért az adott ponthalmaz csak az egy elemből álló 0 sorozathoz tartozik, ezért R(1) = 1. Ha n = 2, akkor is csak T (2) = 1 pontsorozat, és ennek megfelelően Q(2) = 1 ponthalmaz van, a {0, 1}. Az (1, 1)-versenyek pontsorozataiban Landau tétele szerint legfeljebb egy 0 elem lehet, és ha van bennük 0 elem, akkor legfeljebb egy 1, ezért ez a ponthalmaz is csak egyetlen pontsorozatnak felel meg, ezért a (0, 2)-szabályos sorozatok között R(2) = 2 ponthalmaz van

22 22 Ha n = 3, akkor a J(4) = 15 halmazjelölt között ott vannak a korábban megtalált {0}, {0, 1}, {0, 1, 2} és {1} halmazok, valamint ezekhez jön még a következő 4: {2, 3}, {0, 1, 2, 3}, {1, 3}, {0, 2}. Az utóbbi 3 tartozik 4 hosszúságú pontsorozathoz, ezért Q(3) = 3, míg {3} optimális megvalósítása a 2 3, 3 3 sorozat, így Q(4) = 3 és M(4) = 6. A h halmazok legnagyobb elemét tekintve a {3} halmaz a legkisebb olyan halmaz, amelyre e(h) > h m + 1. Az 5. táblázat az n, J(n), H(n) és M(n) értékeket tartalmazza n = 1,..., 20 esetén. A J(n) értékeket (16) segítségével számoltuk, míg a H(n), Q(n) és M(n) értékeket a következő két programmal. n J(n) H(n) Q(n) M(n) ??? 9??? 6 63????????? 7 125????????? ??? táblázat. n, J(n), H(n), Q(n) és M(n) n = 1,..., 20 esetén. A Ponthalmazok algoritmus feladata az, hogy adott n-ig előállítsa és leszámlálja az (1, 1, n)-versenyek pontsorozataihoz tartozó ponthalmazokat és azokat a legkisebb és legnagyobb elemeik szerint csoportosítva tárolja. Ez az algoritmus a korábban bemutatott Pontsorozatok algoritmus bővített változata. A Ponthalmazok algoritmus előállítja a legfeljebb n hosszúságú pontsorozatokat, közben pedig meghatározza a T (1),..., T (n) értékeket. Az előállított pontsorozatokból rendre meghatározza a hozzájuk tartozó ponthalmazokat, és a megfelelő V i vektorban tárolja ezeket, hosszukkal és a nekik megfelelő pontsorozat M i -beli

23 Alkalmazott Matematikai Lapok 23 sorszámával együtt. A lexikografikusan legkisebb 0, 1,..., (n 1) sorozattal kezd. Rendre megkeresi az utoljára előállított pontsorozat legnagyobb indexű olyan elemét (s k ), amelyik legalább kettővel kisebb az utolsó elemnél (ha ilyen nincs, azaz az utolsó és az első elem különbsége legfeljebb egy, akkor az algoritmus már előállította a lexikografikusan legnagyobb elemet is). Végül az s 1,..., s k sorozatot úgy egészíti ki, hogy a meglévő részt rendre a megengedett legkisebb elemmel folytatja (ennek az elemnek egyrészt elég nagynak kell lennie a monotonitás biztosításához, másrészt elég kicsinek a sorozat összegére vonatkozó B n felső korlát betartásához). Bemenet. n: az előállítandó pontsorozatok maximális hossza. Kimenet. M = (M 1,..., M n ): M i T (i) i méretű mátrix, melynek j-edik sora az i hosszú pontsorozatok közül lexikografikusan j-edik pontsorozatot tartalmazza; T = (T 1,..., T n ): T i : az i hosszúságú pontvektorok száma; H = (H 1,..., H n ): H i H(i) (i + 2) méretű mátrix, melynek H i,i+1 eleme a H i sor kezdő elemeiben tárolt ponthalmaz elemszámát, míg a H i,i+2 eleme az adott ponthalmaznak megfelelő pontsorozat sorszáma az M i mátrixban. Munkaváltozók: S = S 1,..., S n : S i az ( aktuális pontsorozat első i elemének összege; B = B 1,..., B n : B i (i = 1,..., n): i 2) binomiális együttható; k: az aktuális M mátrixban tárolt foksorozatok száma; m, i, j: ciklus változók. Ponthalmazok(n) 01 for m = 1 to n sor: n változtatása return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása A Ponthalmazok algoritmus futási ideje legrosszabb esetben O(2 dm h 1 log d m ). A Helyreállít algoritmus feladata, hogy adott n-ig megvizsgálja a potenciális ponthalmazokat. Ehhez felhasználja a Ponthalmazok algoritmus által előállított M és V mátrixokat, amelyek adott m-ig tartalmazzák a pontsorozatokat és a nekik megfelelő ponthalmazokat. A Ponthalmazok algoritmus 1. vagy megtalálja az adott halmazt optimálisan (azaz a lehető legrövidebb pontsorozattal) előállító pontsorozatot; 2. vagy megállapítja, hogy a vizsgált halmaz nem ponthalmaz; 3. vagy megállapítja, hogy az V mátrixok alapján nem tud dönteni. Helyreállít(n) 01 for m = 1 to n sor: n változtatása return m, b, k, M k 21. sor: eredmény nyomtatása

24 24 Keressünk olyand halmazokat, amelyeket közvetlenül helyre tudunk állítani. 15. Lemma. Ha D = {0, 1,..., m}, akkor az S = 0, 1,..., m 1 pontsorozathoz tartozó ponthalmaz H. Bizonyítás.??? 16. Lemma. A D = {d 1,..., d m } halmaz akkor és csak akkor Bizonyítás.??? 6. Scheveningeni versenyek pontsorozatai 7. Scheveningeni versenyek ponthalmazai Az optimális [60] 8. Szimmetrikus páros versenyek pontsorozatai és ponthalmazai Az optimális 9. Többcsapatos versenyek pontsorozatai és ponthalmazai A Hivatkozások [1] Ahuja, T. S. and A. Tripathi: On the order of a graph with a given degree set. J. Comb. Math. Comb. Comp., 57 (2006), [2] Avery, P.: Score sequence of oriented graph, J. Graph Theory, 15(3) (1991), , 3 [3] Barrus, M. D., Hartke, S. G., Jao, K. F., and D. B. West: Length thresholds for graphic lists given fixed largest and smallest entries and bounded gaps. Discrete Math., 312(9) (2012), [4] Behzad, M. and G. Chartrand: No graph is perfect. Amer. Math. Monthly, 74 (1967),

25 Alkalmazott Matematikai Lapok 25 [5] Bozóki S., J. Fülöp and L. Rónyai: On optimal completion of incomplete pairwise comparison matrices. Math. Comput. Modelling, 52 (2010), [6] Brualdi, A. R. and K. Kiernan: Landau s and Rado s theorems and partial tournaments, Electron. J. Combin., 16 # N2 (2009), 6 pages. [7] Brualdi, A. R. and J. Shen: Landau s inequalities for tournament scores and a short proof of a theorem on transitive sub-tournaments, J. Graph Theory 38(4) (2001), [8] Chartrand, G., Gould, R. J., and S. F. Kapoor: Graphs with prescribed degree sets and girths, Periodica Math. Hung., 12(4) (1981), [9] Chartrand, G., Lesniak, L., and J. Roberts: Degree sets for digraphs, Periodica Math. Hung., 7(1) (1976), , 3 [10] Chartrand, G., Lesniak, L., and P. Zhang: Graphs and Digraphs. CRC Press, Boca Raton, FL, [11] Cormen, T. H., Leiserson, Ch. E., Rivest, R. L., and C. Stein: Introduction to Algorithms Third edition, The MIT Press/McGraw Hill, Cambridge/New York, [12] Dahl, G. and T. Flatberg: A remark concerning graphical sequences. Discrete Math. 304(1-3) (2005), [13] Erdős, P. and T. Gallai: Gráfok előírt fokú pontokkal. Mat. Lapok, 11 (1960), , 3 [14] Erdős, P. and H. Saschs: Reguläre Graphen gegebener Taillenweite mit minimaler Knotenzahl, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle Wittenberg, Math.-Natur Reihe, 12 (1973), [15] Ferrara, M.: Some problems on graphic sequences, Graph Theory Notes New York, 64 (2013), [16] Frank, A.: Összefüggések a kombinatorikus optimalizálásban. I. Optimalizálás gráfokon. Mat. Lapok, 14(1) (2008), [17] Frank, A.: Összefüggések a kombinatorikus optimalizálásban. II. Szubmoduláris optimalizálás és poliéderes kombinatorika. Mat. Lapok, 14(2) (2008), [18] Frank, A.: Connections in Combinatorial Optimization. Oxford University Press, Oxford, , 2 [19] Garg, A., Goel, A. and A. Tripathi: Constructive extensions of two results on graphic sequences. Discrete Appl. Math., 159(17) (2011), [20] Gervacio, S. V.: Score sequences: lexicographic enumeration and tournament reconstruction, Discrete Math., 72 (1988), [21] Gervacio, S. V.: Construction of tournaments with a given score sequence. Southeast Asian Bull. Math., 17(2) (1993), [22] Griggs, R. and K. B. Reid: Landau s theorem revisited. Australas. J. Comb., 20 (1999),

26 26 [23] Guiduli, B., Gyárfás, A., Thomassé, S., and P. Weidl: 2-partition-transitive tournaments, J. Combin. Theory, Ser. B, 72 (1998), [24] Hager, M.: On score sets for tournaments. Discrete Math., 58 (1986), [25] Hakimi, S. L.: On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph. J. SIAM Appl. Math., 10 (1962), [26] Hakimi, S. L.: On the degrees of the vertices of a directed graph. J. Franklin Inst., 279 (1965), [27] Hartke, S. and T. Seacrest: Graphic sequences have realizations containing bisections of large degree. J. Graph Theory, 71(4) (2012), [28] Havel, V.: A remark on the existence of finite graphs (cseh). Casopis Pĕst. Mat., 80 (1955), [29] Hell, P. and D. Kirkpatrick: Linear-time certifying algorithms for near-graphical sequences. Discrete Math., 309(18) (2009), [30] Hemasinha, R.: An algorithm to generate tournament score sequences, Math. Comp. Modell., 37(3 4) (2003), [31] Iványi, A.: Reconstruction of complete interval tournaments, Acta Univ. Sapientiae, Inform., 1(1) (2009), , 4 [32] Iványi, A.: Reconstruction of complete interval tournaments. II. Acta Univ. Sapientiae, Math., 2(1) (2010), [33] Iványi, A.: Degree sequences of multigraphs. Annales Univ. Budapest., Comput., 37 (2012), [34] Iványi, A.: Score sets in multitournaments, I. Mathematical results, Annales Univ. Sci. Budapest., Comput., benyújtva. 12 [35] Iványi, A.: Score sets in multitournaments, II. Algorithmic results, Acta Univ. Sapientiae, Inform., benyújtva. 12 [36] Iványi, A. and L. Lucz: Multigráfok foksorozatai, Alk. Mat. Lapok, 29 (2012), [37] Iványi, A., Lucz, L., Móri, F. T., and P. Sótér: On the Erdős-Gallai and Havel- Hakimi algorithms. Acta Univ. Sapientiae, Inform., 3(2) (2011), , 3 [38] Iványi, A., Lucz, L., Móri F. T., and P. Sótér: Number of graphical partitions (degree-vectors for simple graphs with n vertices. Elérhető: 2 [39] Iványi, A. and B. M. Phong: On the unicity of the score sets of multitournaments, in: Fifth Conference on Mathematics and Computer Science (Debrecen, June 9 12, 2004), University of Debrecen, 2006, 10 pages. 21 [40] Iványi, A. and S. Pirzada: Comparison based ranking. In (ed. A. Iványi): Algorithms of Informatics, Vol. 3. AnTonCom, Budapest 2011, , 2 [41] Iványi, A., Pirzada, S. and N. A. Shah: Imbalances of bipartite multitournaments, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comput., 37 (2012),

ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK

ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA MATEMATIKAI TUDOMÁNYOK OSZTÁLYÁNAK KÖZLEMÉNYEI ALAPÍTOTTÁK KALMÁR LÁSZLÓ, TANDORI KÁROLY, PRÉKOPA ANDRÁS, ARATÓ MÁTYÁS FŽSZERKESZTŽ PÁLES ZSOLT

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Rangsorolás csoportos összehasonlítással

Rangsorolás csoportos összehasonlítással Rangsorolás csoportos összehasonlítással Készítette: Hámori Ádám Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Témavezető: Dr. Iványi Antal Miklós Egyetemi tanár Budapest, 2011. március 1 Tartalomjegyzék

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Programozás I. Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu

Programozás I. Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Programozás I. 3. előadás Tömbök a C#-ban Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus. A véletlen nyomában

XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus. A véletlen nyomában XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus A véletlen nyomában Mi is az a véletlen? 1111111111, 1010101010, 1100010111 valószínűsége egyaránt 1/1024 Melyiket

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek Sorozatszámítás tétele Például az X tömbben kövek súlyát tároljuk. Ha ki kellene számolni az összsúlyt, akkor az S = f(s, X(i)) helyére S = S + X(i) kell írni. Az f0 tartalmazza

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Párhuzamos Erdős-Gallai algoritmus. TDK dolgozat

Párhuzamos Erdős-Gallai algoritmus. TDK dolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Komputeralgebra Tanszék Párhuzamos Erdős-Gallai algoritmus TDK dolgozat Témavezető: Dr. Iványi Antal Miklós egyetemi tanár Készítette: Lucz Loránd II. évfolyam

Részletesebben

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika)

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika) Europass Önéletrajz Személyi adatok Vezetéknév(ek) / Utónév(ek) Bujtás Csilla Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900 E-mail(ek) Szakmai tapasztalat bujtas@dcs.vein.hu

Részletesebben

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri. Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

p j p l = m ( p j ) 1

p j p l = m ( p j ) 1 Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján

Részletesebben

Informatikai tehetséggondozás:

Informatikai tehetséggondozás: Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Rendezések TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV-2012-0018 Az alapfeladat egy N elemű sorozat nagyság szerinti sorba rendezése. A sorozat elemei

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN

SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN NEIGHBORHOOD SEQUENCES AND THEIR APPLICATIONS IN IMAGE PROCESSING AND IMAGE DATABASES András Hajdu, János Kormos, Tamás

Részletesebben

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők

Részletesebben

3. Gyakorlat Ismerkedés a Java nyelvvel

3. Gyakorlat Ismerkedés a Java nyelvvel 3. Gyakorlat Ismerkedés a Java nyelvvel Parancssori argumentumok Minden Java programnak adhatunk indításkor paraméterek, ezeket a program egy tömbben tárolja. public static void main( String[] args ) Az

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat PM-04 p. 1/18 Programozási módszertan Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 4. Dinamikus programozással megoldható feladatok A dinamikus programozás elnevezés egy

Részletesebben

Országzászlók (2015. május 27., Sz14)

Országzászlók (2015. május 27., Sz14) Országzászlók (2015. május 27., Sz14) Írjon programot, amely a standard bemenetről állományvégjelig soronként egy-egy ország zászlójára vonatkozó adatokat olvas be! Az egyes zászlóknál azt tartjuk nyilván,

Részletesebben

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő Bevezetés a programozásba 12. Előadás: 8 királynő A 8 királynő feladat Egy sakktáblára tennénk 8 királynőt, úgy, hogy ne álljon egyik sem ütésben Ez nem triviális feladat, a lehetséges 64*63*62*61*60*59*58*57/8!=4'426'165'368

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága KÁSA Zoltán Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Kolozsvár Marosvásárhely Csíkszereda Matematika-Informatika Tanszék, Marosvásárhely Budapest, 2010.

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 0 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Szolnok 0. május 0. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Számjegyes vagy radix rendezés

Számjegyes vagy radix rendezés Számláló rendezés Amennyiben a rendezendő elemek által felvehető értékek halmazának számossága kicsi, akkor megadható lineáris időigényű algoritmus. A bemenet a rendezendő elemek egy n méretű A tömbben

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002. INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság

Részletesebben

Debrecen. Bevezetés A digitális képfeldolgozás közel hetven éves múlttal rendelkezik. A kezdeti problémák

Debrecen. Bevezetés A digitális képfeldolgozás közel hetven éves múlttal rendelkezik. A kezdeti problémák VÁZKIJELÖLŐ ALGORITMUSOK A DIGITÁLIS KÉPFELDOLGOZÁSBAN Fazekas Attila Debrecen Összefoglalás: A digitális képfeldolgozásban vonalas ábrák feldolgozása során gyakran használatos a vázkijelölés. Ez a módszer

Részletesebben

1. ábra. Számláló rendezés

1. ábra. Számláló rendezés 1:2 2:3 1:3 1,2,3 1:3 1,3,2 3,1,2 2,1,3 2:3 2,3,1 3,2,1 1. ábra. Alsó korlát rendezési algoritmusokra Minden olyan rendezési algoritmusnak a futását, amely elempárok egymással

Részletesebben

MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ

MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 5. ÉVFOLYAM 1. MODUL: DOMINÓ TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A tudatos

Részletesebben

Dinamikus programozás alapú szivattyú üzemvitel optimalizálási technikák (főként) kombinatorikus vízműhálózatokra

Dinamikus programozás alapú szivattyú üzemvitel optimalizálási technikák (főként) kombinatorikus vízműhálózatokra Systeemitekniikan Laboratorio Dinamikus programozás alapú szivattyú üzemvitel optimalizálási technikák (főként) kombinatorikus vízműhálózatokra Bene József HDR, Dr. Hős Csaba HDR, Dr. Enso Ikonen SYTE,

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE

Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE TARTALOM: Általánosságok Algoritmusok ábrázolása: Matematikai-logikai nyelvezet Pszeudokód Függőleges logikai sémák Vízszintes logikai sémák Fastruktúrák Döntési táblák 1 Általánosságok 1. Algoritmizálunk

Részletesebben

Kombinatorikus kerese si proble ma k

Kombinatorikus kerese si proble ma k Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar Lenger Da niel Antal Matematikus MSc Kombinatorikus kerese si proble ma k Szakdolgozat Te mavezeto : Katona Gyula egyetemi tana r Sza mı to ge

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros

Részletesebben

Adattípusok, vezérlési szerkezetek. Informatika Szabó Adrienn szeptember 14.

Adattípusok, vezérlési szerkezetek. Informatika Szabó Adrienn szeptember 14. Informatika 1 2011 Második előadás, vezérlési szerkezetek Szabó Adrienn 2011. szeptember 14. Tartalom Algoritmusok, vezérlési szerkezetek If - else: elágazás While ciklus For ciklus Egyszerű típusok Összetett

Részletesebben

Edényrendezés. Futási idő: Tegyük fel, hogy m = n, ekkor: legjobb eset Θ(n), legrosszabb eset Θ(n 2 ), átlagos eset Θ(n).

Edényrendezés. Futási idő: Tegyük fel, hogy m = n, ekkor: legjobb eset Θ(n), legrosszabb eset Θ(n 2 ), átlagos eset Θ(n). Edényrendezés Tegyük fel, hogy a rendezendő H = {a 1,...,a n } halmaz elemei a [0,1) intervallumba eső valós számok. Vegyünk m db vödröt, V [0],...,V [m 1] és osszuk szét a rendezendő halmaz elemeit a

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR

OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtani, mértani,

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra. Páli Róbert László

Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra. Páli Róbert László Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra Szakdolgozat Páli Róbert László Témavezető: Vígh Viktor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2014 Tartalomjegyzék 1. Bevezető 3 2. A

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

A félév során előkerülő témakörök

A félév során előkerülő témakörök A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok

Részletesebben

Mesterséges intelligencia 1 előadások

Mesterséges intelligencia 1 előadások VÁRTERÉSZ MAGDA Mesterséges intelligencia 1 előadások 2006/07-es tanév Tartalomjegyzék 1. A problémareprezentáció 4 1.1. Az állapottér-reprezentáció.................................................. 5

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK Informatikai alapismeretek középszint 1021 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

MATEMATIKA 1-2.osztály

MATEMATIKA 1-2.osztály MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani

Részletesebben

Körkörös listák. fej. utolsó. utolsó. fej

Körkörös listák. fej. utolsó. utolsó. fej Körkörös listák fej utolsó fej utolsó Példa. Kiszámolós játék. Körben áll n gyermek. k-asával kiszámoljuk őket. Minden k-adik kilép a körből. Az nyer, aki utolsónak marad. #include using namespace

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok K. L. Érdekes informatika feladatok XXVIII. rész A konvex burkoló (burok) Legyen S a Z sík egy ponthalmaza. S konvex, ha tetszőleges A, B S-beli pont esetén az AB szakasz is S-be esik. Legyen S a Z sík

Részletesebben

DÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN ELŐSZÓ

DÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN ELŐSZÓ Dr. Gyarmati József mk. őrnagy ZMNE BJKMK Katonai Logisztikai Minőségügyi és Közlekedésmérnöki Tanszék DÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN Absztrakt A cikk egy olyan algoritmust mutat

Részletesebben

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK

SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara

Részletesebben

Bánsághi Anna 2014 Bánsághi Anna 1 of 68

Bánsághi Anna 2014 Bánsághi Anna 1 of 68 IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Bánsághi Anna anna.bansaghi@mamikon.net 3. ELŐADÁS - PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 2014 Bánsághi Anna 1 of 68 TEMATIKA I. ALAPFOGALMAK, TUDOMÁNYTÖRTÉNET II. IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Imperatív

Részletesebben

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Oktatási segédlet a Komputer algebra c. tárgyhoz Felszeghy Bálint Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapfogalmak és a Gröbner-bázisok elemi tulajdonságai 5 2.1. Jelölések..............................

Részletesebben

MULTIGRÁFOK FOKSOROZATAI. 1. Bevezetés

MULTIGRÁFOK FOKSOROZATAI. 1. Bevezetés Alkalmazott Matematikai Lapok 29 (2012), 1-52. MULTIGRÁFOK FOKSOROZATAI IVÁNYI ANTAL ÉS LUCZ LORÁND Havel 1955-ben [28], Erd s és Gallai 1960-ban [20], Hakimi 1962-ben [27], Tripathi, Venugopalan és West

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

14. Mediánok és rendezett minták

14. Mediánok és rendezett minták 14. Mediánok és rendezett minták Kiválasztási probléma Bemenet: Azonos típusú (különböző) elemek H = {a 1,...,a n } halmaza, amelyeken értelmezett egy lineáris rendezési reláció és egy i (1 i n) index.

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez

Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez Szakdolgozat Írta: Góbor Dániel Matematika BSc. alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Király Zoltán, egyetemi docens Számítógéptudományi

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

2.3. A C nyelv utasításai

2.3. A C nyelv utasításai 2.3. A C nyelv utasításai A C szabvány hét csoportban osztályozza a C nyelv utasításait: Csoport Kulcsszavak, ill. jelölések Kifejezés utasítás Üres utasítás: ; Összetett utasítás: } Szelekciós utasítások:

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Programozási tételek. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2012.

Programozási tételek. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2012. Programozási tételek Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2012. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Programozási tételek... 4 I. Elemi programozási tételek... 4 1. Sorozatszámítás (összegzés)... 4 2. Eldöntés...

Részletesebben

Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása

Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása FAZEKAS DÉNES Távközlési Kutató Intézet ÖSSZEFOGLALÁS Az INTEL D 2920-at kifejezetten analóg feladatok megoldására fejlesztették ki. Segítségével olyan

Részletesebben

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 18 év pentominók adott tulajdonságú alakzatok építése szimmetrikus alakzatok egybevágó alakzatok

Részletesebben

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS Gregorics Tibor PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS egyetemi jegyzet 2011 1 ELŐSZÓ TARTALOM ELŐSZÓ... 4 BEVEZETÉS... 6 I. RÉSZ PROGRAMOZÁSI FOGALMAK... 9 1. ALAPFOGALMAK... 10 1.1. Az adatok típusa... 10 1.2.

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:

Részletesebben

Többszörösen metsz halmazrendszerek

Többszörösen metsz halmazrendszerek Többszörösen metsz halmazrendszerek Katona Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem E-mail: zskatona@cs.bme.hu Kivonat Jelölje [n] az {1,,..., n} halmazt, [n] pedig [n] összes részhalmazát. Vegyünk egy F [n]

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

Intelligens robotok. Előadás vázlat. 1 előadás

Intelligens robotok. Előadás vázlat. 1 előadás Intelligens robotok Előadás vázlat 1 előadás Felhasznált Irodalom: Összeállította: Harmati István Ph.D., egyetemi adjunktus J. R. Kok, M. T. J. Spaan, N. Vlassis: Non-commutative multi-robot cooperation

Részletesebben

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3) Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index

Részletesebben

A bemeneti feszültség 10 V és 20 V között van. 1. ábra A fuzzy tagsági függvény

A bemeneti feszültség 10 V és 20 V között van. 1. ábra A fuzzy tagsági függvény BÁRKÁNYI PÁL: FUZZY MODELL MATEMATIKAI HÁTTERE SPECIÁLIS KATONAI RENDSZEREKRE ALKALMAZVA A katonai rendszerek műszaki megbízhatóságának vizsgálatai során, több matematikai módszert alkalmazhatunk, mint

Részletesebben