Maximális hosszúságú bináris ályéletlen jelsorozat előállításának kritériumai BTO 6S1.325.S6

Átírás

1 TÓTH ÁRPÁD Orio Rádió és Villamossági Vállalat Maximális hosszúságú biáris ályéletle jelsorozat előállításáak kritériumai BTO 6S325S6 Az elektroikus alapáramkörök fejlődésével a beredezésekkel szembe támasztott miőségi igéyek is egyre őek Ez maga utá voja új vizsgálati módszerek kidolgozását A fejlődés sorá kialakult apjaik egyik legexaktabb megfigyelése: a sztochasztikus módszer Az elektroikus redszerek ilye vizsgálatáál véletlejel geerátorokat haszáluk és attól függőe, hogy aalóg vagy digitális-e a redszer, aalóg, ill biáris véletle jelsorozatot alkalmazuk Az aalóg jel eloszlása az alkalmazástól függőe változik, de az esetek legtöbbjébe dötő fotosságú szerepük va a Gauss-amplitúdóeloszlású forrásjelekek [, 2] A mérések és számítások sorá adódó problémák leegyszerűsítése végett előyösek bizoyult az álvéletle Gauss- és biáris jelsorozatok alkalmazása [3] Digitális automatikai és hírátvivő redszerek statisztikus vizsgálataihoz szite általáos módszer álvéletle biáris jelgeerátorok alkalmazása Maximális hosszúságú biáris álvéletle jelsorozat előállítása Lieáris rekurres reláció, lieáris rekurres sorozatok A léptető regiszter geerátor általáos tömbvázlata az ábrá látható A K t kapcsolók azt jelképezik, hogy va-e visszacsatolás az í-edik tároló kimeetéről, vagy ics A mod 2 összeadok a visszacsatoló áramkörök Jelöljük ö^-val a léptető regiszter geerátor által előállított jelsorozat ft-adik elemét, c, a visszacsatolási koefficies, amely, ha az i-edik fokozatról visszacsatoluk, és 0, ha em 0 *t-- (rh) e - - () \H220-TA\ ábra Álvéletle biáris sorozatot előállító visszacsatolt léptető regiszter geerátor általáos tömbvázlata 4 eseté például a 2a ábráak megfelelőe alakul a léptető regiszter geerátor E fogalmak és jelölések bevezetése utá övetkezők modhatók: kielégíti övetkező egyeletet: ahol c +c 2 _ 2 + +c - ^c i a l! -i () ii 0<A, s2 egy cikluso belül Az egyeletbe szereplő összeadás mod 2 műveletet jelöl Az () összefüggést lieáris rekurres relációak és bármelyik { } sorozatot, amely ezt kielégíti, lieáris rekurres sorozatak evezzük (2) (3) aj (2) (3) (4) b) IH220-T/m Z ábra a) Visszacsatolt léptető regiszter geerátor 4 tárolóval, ahol K l vagy K 3 rövidzár b) Egyszerűsített visszacsatolt léptető regiszter geerátor 4 tárolóval Visszatérve példákra, a 2a ábra alapjá övetkező írható: ~ 0 - x +0- a & _ 2 + _ z +l-^, _ 3 + _ t Tehát az () összefüggés alapjá a jelsorozat /c-adik eleme meghatározható, ha ismert az ezt megelőző 3 és 4 elem Például, h 9, a g, a 9 a 6 +a 5 Az táblázat első oszlopáak értékei alapjá: a 9 l, a 6 0, a 5 l, a 5 +a 6 0+l l Nem szabad elfelejtei, hogy itt és ésőbbiekbe is az összeadás művelete alatt mod 2 műveletet értük táblázat

2 HÍRADÁSTECHNIKA XXIV ÉVF SZ Ahol visszacsatolás ics, mod 2 összeadó em is szükséges (26 ábra) Vizsgáljuk ebbe az esetbe valamelyik tároló kimeeté megjeleő jelsorozatot Tegyük fel, hogyismerjük az egy perióduso belüli állapotokat, ezek redre: a x, cr 2 >» a ft' 0-%<*-\- Példákba, ha feltételezzük, hogy a regiszter kezdeti állapota 000, akkor egy ciklus az táblázatak megfelelőe alakul A táblázat alapjá pl az tároló kimeeti jele : Ha Kj zárt, akkor c, l, ha K t yitott, akkor c,0, továbbá 'c l, mivel az fokozatú léptető regiszter -edik kimeetéről midig törtéik visszacsatolás ahhoz, hogy N2 maximális hosszúságú biáris álvéletle sorozatot kapjuk (ld ábra), így a K kapcsolót rövidzár helyettesíti Geerátorfüggvéy, karakterisztikus poliom A rekurres sorozatok vizsgálatáak két módszere va: geerátorfüggvéyek módszere, mátrix módszer Ha a léptető regiszter egyetle tárolójáak kimeeti jelét vizsgáljuk csak, akkor a geerátorfüggvéyek módszerét alkalmazzuk Ha a teljes léptető regisztert vizsgáljuk, amelyek kimeeti jelsorozata kielégíti a rekurres relációt, akkor a mátrix módszert alkalmazzuk Geerátorfüggvéyek Legye adott az módszere sorozat, amely például a léptető regiszter tárolójáak kimeeti jelsorozata, akkor a geerátorfüggvéy övetkezőképpe defiiálható: G(x) 2 x k, ahol x a geerátorfüggvéy változója, amely és 0 lehet A léptető regiszter kezdeti állapotáak tekithetjük az a_ v a_ 2, a_ sorozatot Ha { } kielégíti a rekurres relációt: akkor c i -b G(x) 22 ci -ix k 2 c i x ' 2 cik-i^ ~ k 0i l i l Á c i x i [a_ i x~ i + + a x- + 2 a ip% / Á0 így és G(x)-re G(x) 2 qx'la^x-' + +a_ l x~ + G(x)], G{x) 2 ÍI redezve: (x) + 2 CiX'ia^x-' + + a^x' ] /i G 2 CiX'[a~iX~ l + +a x' ] '(?(*)í± ( 2 ) i~2 c i x > Láthatjuk, hogy a geerátorfüggvéy a léptető regiszter kezdeti állapotával: a_ x, OL_ 2,, a_ - el és a visszacsatoló koefficiesekkel: c v c 2,,c - el va kifejezve (2) evezője függetle ezdeti állapottól Hiiduláskét feltételezzük, hogy a a_ 2 a _ 0 és a_ l, akkor (2) övetkezőképpe redukálódik: G(x) - A geerátorfüggvéy evezőjéek -ed fokú poliomját a léptető regiszter által előállított { } sorozat karakterisztikus poliomjáak evezzük: /<*) - 2'c/s'- (3) ÍI A karakterisztikus poliomak számukra értékes további alakjaihoz juthatuk el, ha övetkező megfotolásokat tesszük [4, 5] A léptető regiszter felfogható tulajdoképpe mit késleltető voal, hisze a bemeetére adott x jel óraimpulzusokét lép egy fokozattal tovább Tehát például az í-edik tároló kimeeté az UAT idővel korábba a bemeetre adott jel va így a visszacsatolt léptető regiszter geerátoruk mod 2 összeadóiak bemeetei is a bemeeti jel késleltetettjei vaak B-x (D (-D () ^é- <±> \H220-TA'3\ 3 ábra Magyarázó ábra a D késleltetési operátorhoz A 3 ábrá látható áramkörre felírható övetkező egyelőség: xc j Dx+c 2 D 2 x+ +C{D'x+ +c T) x, (4) ahol a D' szimbólum algebrai operátor, eve késleltetési operátor Azt az időt reprezetálja, ami ahhoz kell, hogy az z-edik tárolóba a bemeeti jel beíródjo Ez az idő az ütemidő egész számú többszöröse

3 TÓTH A : BINÁRIS ÁLVÉLETLEN JELSOROZAT Adjuk (4) midkét oldalához x-et, ekkor kapjuk: 0X + C]D:L- + C 2 D 2 X+ + c,d'x + + c D x, és vezessük be övetkező operátort: ID Emeljük ki x-et (5) jobb oldalából: 0x[I+c D + c 2 D 2 + +c D ], 0(+ 2cp\ Eek az egyeletek a jobb oldalát evezzük karakterisztikus poliomak Mivel q értéke 0 vagy lehet, az összegzése belül csak azok a tagok szerepelek, amelyekek visszacsatolási koefficiesei -gyel egyelők Tehát f{x)x[l + ZT)i], j ahol / azo léptető regiszter-tárolókat jelöli, amelyekről a visszacsatolás törtéik Tekitsük orábbiakba említett példát ( 4 a fokozatok száma, a léptető regiszter 3 és 4 tárolójáról törtéik visszacsatolás) Ekkor: xcj)x+c 2 D 2 x+c 3 D 3 x+c 4 D 4 x, <ác 2 0, c 3 c 4 l, xd 3 x+d 4 r Midkét oldalhoz x-et adva: tehát: Mithogy c l, 0x+D 3 x+d 4 x, /(x)x[l+d 3 +D 4 ], ráx) mr G ( x ) Í+D 3 +D 4 ~ - :r[i+d 3 +D 4 +D 6 +D 8 +D 9 +D 0 +D + D 5 + ] A zárójele belüli kifejezés az álvéletle sorozatot írja le Ugyais, ha mide tagot kiíruk N2 4-5-ig: -D\ 0-D 4, 0-D 2, I-D 3, I-D, 0-D 5, I-D 6, 0-D 7, I-D 8 ; I-D 9, >D 0, -D U, 0-D 42, 0-D 3, 0-D 4, I-D 5, Ami potosa ugyaaz, mit ami az táblázat első oszlopába található: A periódus meghatározása Az előzőekbe láttuk, hogy a visszacsatolt léptető regiszter által előállított biáris álvéletle jel periodikus és a periódus felső határa N 2" (5) Vizsgáljuk meg, hogy ha egy állapotú visszacsatolt léptető regiszter sorozata A { }, és kezdeti állapota a a_ 2 a,_ 0, a_ \, akkor A periódusa az a legkisebb pozitív N egész szám amelyre igaz, hogy x^ osztható /(x)-szel Bizoyítás : ( x )TTTs 2 x k a 0 x +a x x + JiX) /i0 G + a N xk+a N+ x"+ + Ha A periódusa N, akkor ugyais így G(x) [a 0 +a : x- -JV- ] + +x N [a 0 +a l x + +a N - l + x 2N [a 0 +a l x+ +a N l [a 0 +a L x+ +a N^x N ' ]- [l+x N +x 2N + ] ö 0 +a,x+ +a N^x N " l-x A l+x N +x 2 N + -X A ü (lásd [6]) X' /(*)a 0 +a L x+ +a N x N ~ ' Tehát x N osztható /(x)-szel, ha A periódusa AT Viszot, ha x N osztható /(x)-szel, legye a háyados: a 0 +a-[x+ +a N x N ~, akkor {x k ){ ) _a 0 + a,x+ a N _!X rn-l A [a 0 +ac x+ +a N x A r - ]-[l+x i V +x 2 A? + [a 0 +oc x + +<x N + x J V [a 0 +«x+ +a N _ x' v - ] + + G(x) Z x\ és x hatváysoráak koefficiese: Tehát A-ak valóba A r a periódusa Következtetések: (2) alapjá G(x)-- ahol a számláló, g(x) kisebb fokszámú, mit a evező /(x) Ha a léptető regiszter fokozatú, akkor /(x) -ed fokú Ha N az a legkisebb egész szám, hogy \~x N osztható /(x)-szel, N-et /(x) expoeséek evezzük A maximális hosszúságú sorozat szükséges feltétele Ha az A sorozat maximális hosszúságú, akkor karakterisztikus poliomja irreducibilis GF(2) felett + 337

4 HÍRADÁSTECHNIKA XXIV ÉVF SZ Bizoyítás: Tegyük fel, hogy /(x) felbotható két téyező szorzatára : f(x) s(x)4(x) Akkor a(x) pjx) f(x) s(x) t(x)- + Tegyük fel, hogy s(x) és t(x) fokszáma Ü >0 és 2 >0, L + 2 ocíx) ~ s(x) tehát egy hatváysor, amelyek B(x) koefficiesei ismétlődek 2"-~ utá és is egy hatváysor, amelyek koefficiesei 2' 2 utá ismétlődek Akkor az a(x) (x) f(x) s(x)^t(x) összeg hatváysor koefficieseiek periódusa legfeljebb az egyes periódusok legkisebb közös többszöröse, amely em lehet agyobb a periódusok szorzatáál, így tehát a tétel alapjá írható: 2" - (2"' -) (2"«-)2"'+"»- 2"> - 2 «+, 2ii+"i 2", és 2"_2^-2^+l2 -l-[2">+2! -2], ami mideképp kisebb, mit 2", tehát elletmodáshoz jutottuk, ami tételüket igazolja A tétel akkor is igaz, ha s(x)í(x), azaz /(x)s 2 (x) Ekkor /(x) periódusa s(x) periódusáak kétszerese, ami 2[2"' 2 -l], viszot 2[2, 2 -l]<2"-l Például az /(x) l+x+x 2 +x 3 +x 4 A tétel megfordítottja em állítható tehát az, hogy ha az /(x) karakterisztikus poliom irreducibilis, akkor a hozzá tartozó A sorozat maximális hosszúságú karakterisztikus poliomról egyszerű osztással belátható, hogy x 5 osztható /(x)-szel, ami orábbiak alapjá azt jeleti, hogy /(x) periódusa N5, em pedig A maximális hosszúságú sorozat szükséges és elégséges feltétele Ha a visszacsatolt léptető regiszter geerátor karakterisztikus poliomja primitív, akkor a hozzá tartozó A sorozat maximális hosszúságú A második követelméy, hogy arakterisztikus poliom primitív is, már egy szorosabb megkötés Primitívek evezzük az irreducibilis poliomot, ha iv2" l-re va olya f'(x) poliom, hogy l-x' Y és semmilye iv'<iv számra em létezik az egyeletet kielégítő f(x) Tehát a feladat, megkeresi az irreducibilis poliomok közül a primitíveket, ezek megadják a maximális hosszúságú sorozatokat előállító visszacsatolt léptető regiszter geerátor karakterisztikus poliomjait A primitív és irreducibilis poliomokra táblázatot a [6] irodalomba találuk Ha megva arakterisztikus poliom, a legagyobb hatváy kitevő a léptető regiszter tárolóiak számát és az egyik visszacsatolást, a többi hatváykitevő pedig a többi visszacsatolási helyet adja meg Szemléltessük feti állításaikat övetkező példákkal: a) Legye adva övetkező irreducibilis karakterisztikus^ poliom: /(x) +x+x 2 +x 3 + x" Korábba már említettük, hogy x 5 osztható a feti /(x)-szel, így eredméyül N5 hosszúságú sorozatot kaptuk helyett Tehát ez az irreducibilis poliom em primitív b) Legye adott az fix)l+x 3 +x i (6) irreducibilis karakterisztikus poliom Bizoyítható, hogy x 5 osztható /(x)-szel, fix)- ~f x 3 - x 4 +x 6 +x 8 - x 9 - x 0 - x, v ' ' l+x 3 +x 4 és x N ' em osztható /(x)-szel, ha AT < 5 (7) Mivel ativaleciépzés szempotjából míusz és plusz között ics külöbség, (7) jobb oldala így is írható: fix) + x 3 +x 4 +x 6 +x 8 +x 9 +x 0 +x Tehát a (6)-tal defiiált karakterisztikus poliom irreducibilis és primitív Összefoglalás Összefoglalva az előbbieket: álvéletle biáris hullámformák előállítása mod 2 összeadókkal visszacsatolt léptető regiszter segítségével törtéik; az előállított sorozatok periodikusak 2 periódushosszal, ahol a léptető regiszter tárolóiak száma; mide { } léptető regiszter sorozat kielégíti a lieáris rekurres relációt: «ít 2 c i -i > ahol Ci visszacsatolási koefficies vagy 0 értéket vehet fel, a tárolók visszacsatolására jellemző; a léptető regiszter geerátor-függvéye G(x)Ía,x^f 338

5 alakba írható, ahol a számláló legfeljebb ( l)-ed fokú poliom, a evező: TÓTH A: BINÁRIS ÁLVÉLETLEN JELSOROZAT arakterisztikus poliom; a léptető regiszter sorozatáak periódusa az a legkisebb pozitív N egész szám, amellyel képzett x N osztható /(:r)-szel; /(x)-ek primitívek kell leie ahhoz, hogy a hozzá tartozó visszacsatolt léptető regiszter maximális hosszúságú jelsorozatot állítso elő I R O D A L O M [í] DT Gorcfos G Sallai Gy; Hírayagok természetes és összetett jeleiek statisztikai tulajdoságai Híradástechika, XXIII évf 9 szám, old (972 szept) [2] Dr Ambrózy A: Elektroikus zajok Műszaki Köyvkiadó, Budapest, 972 [3] Tóth Á: Biáris és Gauss-amplitúdóeloszlásü álvéletle zajgeerátorok, előyeik és alkalmazásuk Híradástechika, XXIII évf 2 szám, old (972 febr) [4] Curry, R C: A method of obtaiig arbitráry phases of a M-sequece The Uiversity of Rochester, Departmet of Electrical Egieerig, Rochester, New York, 960 ov [5] Davies, W D T: Geeratio ad properties of maximum legth sequeces Cotrol, 966 jú p ; 966 júl p ; 966 aug p [6] Peterso, W W: Error Correctig Codes Joh Wiley ad Sos, Ic New York, 96 [7] Soloma, W G: Shift register sequeces Holdé Day Ic Sa Fracisco, 967 Nagy teljesítméyű és megbízható elektroikai alkatrészek Optimális kapcsolástechikai méretezés, potos kalkuláció ezek azok az elvek, amelyekhez tartauk kell magukat új, piacképes készülékek és beredezések kifejlesztéséél Ezekek az elvekek a sikeres megvalósításához yújt alkalmas eszközt az RFT-electroic: kitűő miőségű elektroikai alkatrészeket, kiváló teljesítméy-paraméterekkel és agy megbízhatósággal íme egy kis ízelítő ajálatukból: itegrált áramkörök és trazisztorok, digitális mérési és vizsgálati eredméyek kijelzésére szolgáló eszközök, egyoldait, illetve kétoldalt fóliázott, valamit többrétegű yomtatott áramköri lapok, késleltető, művoalak szíes TV-vevőkészüíékekhez és mechaikus-mágeses szűrők a vivőfrekveciás techika számára Kérjük, érdeklődjék a részletes műszaki adatok és az egyedi szállítási lehetőségek irát! Tapasztalt szakmérökök adak szaktaácsot mide alkalmazási kérdésbe Exportálja az EXPORT-IMPORT VOLKSEIGENER AUSSENHANDELSBETRIEB DER OEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN REPUBLIK DDR 02 BERLIN-ALEX ANDERPLATZ HAUS DER ELEKTROINDUSTRIE Tájékoztatást yújt a Német Demokratikus Köztársaság Magyarországi Nagykövetsége 27 Kereskedelempolitikai Osztálya 43 Budapest XIV, Népstadio út 0-03 eiecrroic 339