Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet"

Átírás

1 Szeged Tudománegetem Gazdaságtudomán Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA I. kötet

2 Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egetem docens Statsztka és Demográa Tanszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomán Kar

3 Első kötet

4 Előszó Könvünk elsődlegesen közgazdászoknak készült, és általános statsztkával oglalkozk. Ennek részletes taglalása előtt, a kor szellemének megelelően, néhán (kvanttatív elemzésekkel kacsolatos) általános összeüggésre hívuk el az Olvasó gelmét. Az üzlet vlág modern, globalzálódó korszakában nag mértékben növekszk a acgazdaság szerelőnek normácógéne. Az adatok mennségének robbanásszerű növekedése nem ár egütt a megelelő mértékű normácó-növekedéssel. A két ogalom között elentős különbséget az alább ábra szemléltet. Igazából az üzlet vlág döntéshozónak nem az adatok hánával, hanem azok bőségével kell szembenéznük, ugans még a legóvatosabb becslések szernt s az elektronkusan tárolt adatok volumene évente legalább megkétszereződk. A rendelkezésre álló adatok nag mennsége növel ezek elemzésének összetettségét és az adatelemzőkkel szemben támasztott elvárásokat. Mvel az adatok normácóvá alakítása ksebb sebességgel történk, mnt azok rendelkezésre bocsátása, a elhasználóknak egre nkább adatelemzés szakértővé kell válnuk, smernük kell azokat a módszereket, amelekkel az adatok értékelhetőek és hasznosíthatóak. Ismeret Intézménesített normácók összessége, roblémák megoldását tesz lehetővé. Inormácó Döntéshozatalt szolgáló hasznos tartalmat hordozó adatok összessége. Mnőségét az határozza meg, hog mlen mértékben használható, alkalmazható. Adat Tárolt ormáában üggetlen, ténszerű szám vag szöveg. Mnőségét ontossága, elérhetősége határozza meg. Eg adathalmazban a retett normácók eltárásával az adatbánászat oglalkozk. Az

5 adatbánászat elárásokat mára az üzlet vlág s átvette a tudomános elemzésektől. Számos len elárás smert a hagomános statsztka elemzésektől a mesterséges ntellgenca által használt módszerekg. Ebben a könvben a szerzők azokkal az alavető statsztka módszerekkel kívánák megsmertetn az Olvasót, amelek gazdaság elemzéseknél alkalmazhatóak. Mnd az adatok rendelkezésre bocsátásáról, mnd azok elemzéséről szólva nem lehet gelmen kívül hagn az normatka oldalt. Könvünkben a széles körben hozzáérhető Mcrosot Ecel szotver statsztka unkcó kerülnek elhasználásra. Ez nem eg statsztka rogramcsomag, de a bemutatott statsztka módszerek elvégzésére alkalmas. Fontossága matt elhívuk a gelmet arra, hog a kvanttatív elemzéseknél általában az adatok normácóvá, lletve smeretté alakítása a cél. Ezért nem elég usztán a matematka műveleteket elvégezn, hanem a kaott eredméneket kell megelelően értelmezn. 3

6 Tartalomegzék. Általában a statsztkáról 6.. A statsztka ogalma 6.. Alaogalmak 7.3. A statsztka munka ázsa 9.4. Mérés szntek (skálák) és tuladonságak.5. A statsztka adatok ontossága 3. Egszerű elemzések 5.. Sokaság nagságának meghatározása 5.. Statsztka sorok, táblák 6.3. Vszonszámok 3.4. A grakus ábrázolás eszköze 9 3. Sokaság eg smérv szernt vzsgálata Mennség sorok Helzet-mutatók, közéértékek Szóródás mutatók A koncentrácó vzsgálata Momentumok Alakmutatók 83 4

7 4. Sokaság több smérv szernt vzsgálata Részekre bontott sokaságok Ismérvek között kacsolat Standardzálás és ndeszámítás Standardzálás Érték-, ár- és volumenndeek 5.3. A Bortkewcz-éle összeüggés Kétváltozós regresszó- és korrelácószámítás Lneárs regresszó emlneárs regresszó Lneárs és nemlneárs korrelácó 69 Tárgmutató 73 Kéletgűtemén 8 Irodalom 99 5

8 . Általában a statsztkáról.. A statsztka ogalma A statsztka keezés háromélekéen s értelmezhető, mnt gakorlat számbavétel tevékenség, íg nert adatok összessége, tömegelenségek vzsgálatára szolgáló módszerek rendszere. M az utóbbval oglalkozunk részletesen, azt oguk megvzsgáln, hog meghatározott cél érdekében gűtött adatokat hogan lehet eldolgozn, elemezn. Mvel vzsgálatunk tárga a gazdaság, társadalm és természet elenségek mennség oldala, nem szakítva el a mnőség oldaltól, íg gakran támaszkodunk alavető matematka smeretekre (éldául: mértan átlag, normáls eloszlás, stb.). Érdemes ezért elhatároln a matematkát a statsztkától. A matematka tárga taasztalattól mentes számabsztrakcó, míg a statsztka szntén gakran dolgozk számokkal, de azok gazdaság, társadalm vag természet aktualtásukban elennek meg. A statsztka nkább taasztalat, a osteror tudomán, míg a matematka taasztalattól mentes, a ror tételeket alkot. Létezk a matematka statsztka, mnt külön tudomán, mel a valószínűségszámítással egütt elődött k, és a statsztka azon részével oglalkozk, amel matematka tételekkel alátámasztható. A m megközelítésünkben tehát a statsztka a tömegelenségek ellemzőnek tömör, számszerű megsmertetését szolgáló módszertan. 6

9 .. Alaogalmak.. Alaogalmak Sokaság A statsztkában a vzsgálatunk tárgát kéező egségek, egedek összességét (statsztka) sokaságnak, vag oulácónak nevezzük.. élda Statsztka sokaság lehet éldául: Magarországon beegzett kt-k eg meghatározott dőontban, eg üzemben gártott termékek összessége eg meghatározott dőszakban, stb. A statsztka sokaságok között léneges különbség, hog azok dőontra vag dőszakra vonatkoztatva értelmezhetők. Az olan statsztka sokaságot, amel eg adott dőontra vonatkozóan értelmezhető állósokaságnak vag stock ellegű sokaságnak nevezzük.. élda A vlág néessége. anuár -én. Az olan statsztka sokaságot, amel eg adott dőszakra vonatkozóan értelmezhető mozgósokaságnak vag low ellegű sokaságnak nevezzük. 3. élda Halálozások, születések alakulása Magarországon -ben. Az előző éldákból látható, hog bzonos álló és mozgó sokaságok összeügghetnek egmással. Ha eg állósokaságra vonatkozó régebb normácónkat úg tesszük aktuálssá, hog a kacsolódó mozgósokaság segítségével növelést vag csökkentést eszközölünk, akkor továbbvezetésről beszélünk. Ismérv A sokaság statsztka egségekből áll, ezek a vzsgált normácó hordozó. Meghatározott tuladonságokkal, ellemzőkkel, vag más néven smérvekkel rendelkeznek. 7

10 . Általában a statsztkáról Az smérv a statsztka egségeknek a statsztka vzsgálat szemontából ontos olan tuladonsága, amel alaán a sokaság egmást át nem edő részekre bontható. Az smérvek lehetséges értéke az smérvváltozatok. Az smérveket általában X-szel, míg az smérvváltozatokat,,, n -nel elölük. Azokat a ellemzőket, melek szernt a sokaság egsége egormák közös smérveknek, míg azokat melek szernt különbözőek megkülönböztető smérveknek nevezzük. Az smérveknek az alább tíusa lehetnek: terület, dőbel, mnőség, mennség. A terület (öldraz) és dőbel smérvek a statsztka egségek térbel, lletve dőbel ellemzését adák. A mnőség smérvek a sokaság egséget verbálsan ellemzk. A mndössze két smérvváltozattal rendelkező smérveket alternatív smérveknek nevezzük. A mennség smérvek kvantkálhatóak, és smérvváltozatat általában smérvértékeknek nevezzük. Két atáukat különböztetük meg: a dszkrét tíusú (csak egész számmal keezhető) és a oltonos tíusú (nem csak egész számmal keezhető) smérvváltozatokat. 4. élda Statsztka sokaság: Budaest állandó lakosa. anuár -én. A sokaság tíusa: állósokaság. Fontosabb smérve és tíusa: lakóhel: terület; születés dő: dőbel; életkor: mennség; oglalkozás: mnőség; nem: alternatív. 8

11 .3. A statsztka munka ázsa.3. A statsztka munka ázsa A statsztka munka 4 ázsát különíthetük el: tervezés, adatgűtés, statsztka adatok eldolgozása, statsztka adatok elemzése. Tervezés Az első eladat annak rögzítése, hog m a statsztka munka céla. Magarországon az adatvédelm törvén tartalmazza a célhoz kötöttség elvét. Ez azt elent, hog személes adatot gűten, eldolgozn csak ontosan meghatározott ogszerű célra szabad. A tervezés szakaszában kell eldönten, hog mlen tíusú adatokat kívánunk begűten, mel meggelés egségekről. Meg kell határozn, hog melek lesznek a számbavétel egségek, amelekkel kacsolatot hozunk létre az adatok begűtése érdekében. Dönten kell az adatgűtés ellemzőről: gakorságáról, köréről, deéről, heléről, módáról. Adatgűtés Az adatgűtés vag adatelvétel (rövden: elvétel) a statsztka adatok beszerzését elent. Több móda smeretes. Kkérdezés: ez történhet személes nterúban vag osta úton kérdőívvel. A acés közvéleménkutatásban alkalmazzák leggakrabban. A kkérdezéseknél gondot okoz a hbás válaszok kezelése. Meggelés: az adatok rögzítését közvetlen meggelés vag mérőműszer segítségével végezhetük el. Meggelést alkalmaznak l. orgalomszámlálásnál, testmagasság megállaításánál. A mérés hbának ontos szeree van. Kísérlet: Ennek során valamlen hotézs ellenőrzését végezzük. A hotézs eltételenek telesüléséről gakran külön gondoskodn kell megelelő beavatkozással, kezeléssel. Ismertek az ún. kontrollált kísérletek, amelek esetében valamel változót tervszerűen változtatnak ceters arbus. A közgazdaságtanban a kísérletezés többnre nem lehetséges. Az adatgűtés (körét tekntve) lehet teles vag részleges. A részleges meggelés lehet: rerezentatív meggelés (mntavétel), kontrollált-kísérlet, 9

12 . Általában a statsztkáról egéb részleges meggelés. Feldolgozás Itt kell elvégezn az adatok ellenőrzését és helesbítését; azok osztálozását, az eredmének táblákba oglalását. Ez történhet kéz vag gé eszközökkel. Elemzés Matematka és logka műveletek végzését elent: különböző (később smertetett) módszereket alkalmazunk, mutatószámokat kéezünk, összeüggéseket, tendencákat keresünk; elvégezzük a szöveges elemzést, különéle szemléltető eszközöket alkalmazunk. Az elemzés célát tekntve megkülönböztetünk leíró és nduktív (következtető) statsztkákat. A leíró statsztka területe az adatgűtésre, adatok ábrázolására, csoortosítására, és egszerűbb mutatószámok meghatározására tered k; míg az nduktív statsztkában helet ka eg általánosítás törekvés. Ez utóbbnak, mvel óval hasznosabb, nagobb a gakorlat alkalmazása.

13 .4. Mérés szntek (skálák) és tuladonságak.4. Mérés szntek (skálák) és tuladonságak A legegszerűbb, legkevésbé normatív mérés sznt a nomnáls skála. A nomnáls (névleges) skálán az smérvértékek azonossága vag különbözősége állaítható csak meg. 5. élda Vallás, nem, oglalkozás, államolgárság, stb. Ha tuduk két ember államolgárságát, akkor csak azt tuduk megállaítan, hog azok azonos államolgárságúak-e, vag sem; egéb relácónak nlván nem szabad elentőséget tuladonítan. A névleges mérés szntű adatokkal végzett artmetka műveletek értelmetlenek. A következő okozat az ordnáls mérés sznt. Az ordnáls (sorrend) skálán az smérvértékek között sorrendség s megállaítható. 6. élda Termékek, szolgáltatások mnőség okozat, különböző rendokozatok, stb. Az ordnáls skála smérvértéke nem tartalmaznak normácót azok abszolút nagságára vonatkozóan, íg azok között különbség nagsága sem állaítható meg. Az ntervallum- vag különbség skálán már az smérvértékek között mennség különbség s megállaítható, valós normácót hordoz. 7. élda Hőmérséklet, tengersznt elett magasság, öldraz szélesség, hosszúság, stb. Itt a skála kezdőonta mndg valamlen önkénesen választott -ont, ezért az smérvértékek arána nem értelmezhető. Azt mondhatuk éldául, hog C és C között C a hőmérsékletkülönbség; az vszont nem gaz, hog a C kétszer olan meleget elent, mnt a C, hszen uganezen hőmérsékletek Kelvn skálán mért értéke között, már más arán adódna. A különbség skála mndg valamlen mértékegséggel adott. A legtöbb normácót az aránskála núta, tt a kezdőont s egértelműen adott.

14 . Általában a statsztkáról 8. élda Költségek, övedelm adatok, súl, hosszúság mérése, életkor, stb. Az aránskála adatan mnden matematka és statsztka művelet értelmes módon elvégezhető. Skálatranszormácó (Eg lehetséges értelmezése) A skálatranszormácó a skála értékenek más értékekre történő transzormácóa ol módon, hog a skála tuladonsága változatlanok maradnak. Skálatranszormácót hatunk végre éldául, amkor valamlen mnőség smérvek verbálsan adott értéket (szám) kódokkal helettesítük. 9. élda A nemek (ér, nő) ú módon való kódolása l. és számegekkel. A statsztkában az ntervallum- és aránskálák összeoglaló neveként gakran alkalmazzuk a kardnáls skála vag metrkus skála ogalmakat. Azokat a skálákat, ahol nomnáls vag ordnáls skálán mérhető smérveket valós számértékekkel mérük álkardnáls skáláknak nevezzük.. élda Jeles, ó, közees, elégséges, elégtelen osztálzatok 5,4,3,, valós számértékekre történő transzormácóa. Ez nlvánvalóan ordnáls skála, hszen csak a telesítmének sorrende állaítható meg, azt nem lehet tudn, hog mekkora a különbség két osztálzat között, lehet hog csak ont, de lehet, hog több. Az edg már végké nem állítható, hog éldául eg 4-es osztálzat eléréséhez kétszer olan ól kell telesíten, mnt a ketteshez, hszen -es legtöbbször csak 5% ölött telesítménért ár. Lneárs skálatranszormácóról beszélünk, ha a transzormácót l. a+b alakú lneárs egenlet szernt hatuk végre.

15 .5. A statsztka adatok ontossága.5. A statsztka adatok ontossága A statsztka adatok egk legontosabb ellemzőe a ontosság. Mndg döntenünk kell azonban a ontosság, gorsaság és gazdaságosság követelméne között, mert egszerre (általában) nem lehet mndhármat otmalzáln. Gakran meg kell tehát határoznunk, hog mlen ontossággal váruk el a statsztka adatokat eg adott elemzés esetében. Tökéletesen ontos adatokhoz gakorlatlag soha sem uthatunk hszen, ahog az adatgűtés módanál láttuk, egata elvétel hba mndg létezk. Ezen kívül, az adatok rögzítése és eldolgozása során s keletkeznek bzonos hbák. Külön kell beszélnünk a rerezentatív meggelésből adódó hbákról. Ezek oka az, hog nem gelük meg a sokaságot teles körűen. Ez a hba az eddgekkel szemben matematkalag kezelhető, számszerűsíthető, ha a meggelés egségekből álló mnta kválasztása a követelméneknek megelelően, véletlenszerűen történk. Ezt a hbát mntavétel hbának nevezzük. (A mntával kacsolatos törvénszerűségeket, elárásokat a másodk kötet tartalmazza.) Indokolt tehát az adatok és mutatószámok A m a () alakú megadása, am úg értelmezhető, hog adatunk az [A-a,A+a] ntervallumba esk. Az a mennséget abszolút hbakorlátnak nevezzük. A statsztka gakorlatban bevett szokás szernt az adatok ontosságára úg utalunk, hog értékét (kerekítve) olan számegekkel közölük, amelek még bztosan ontosnak teknthetőek (az 5-öt és annál nagobb számegeket elelé, az 5-nél ksebbeket leelé kerekítük). Ezek a számegek az ún. szgnkáns számegek. Ha az utolsó szgnkáns számeg helértéke sz, akkor (a kerekítés konvencó alaán) a hbakorlát becsülhető: sz a ˆ. () (Megegzés: az â szmbólum ketése a becsült értéke.) A ellel mndg arra utalunk, hog az adatunk becsült értékű. Gakran nem az abszolút hanem a relatív hbakorláttal dolgozunk: a α. A (3) 3

16 . Általában a statsztkáról A relatív hbakorlátot, amel az abszolút hbakorlát és a közölt adat hánadosa, általában százalékban keezve aduk meg. A becsült relatív hbakorlát: â α ˆ. (4) A 4

17 . Egszerű elemzések.. Sokaság nagságának meghatározása A statsztka adat a sokaság valamlen számszerű ellemzőe. Ezek közül a legegszerűbb a sokaság nagságát ellemző érték. Azért ontos, mert megada a vzsgált sokaság súlát, ontosságát a gazdaság, társadalm és természet elenségek között. Természetesen csak véges sokaságok nagsága adható meg. A dszkrét sokaságok nagságát megszámlálással állaítuk meg. A oltonos sokaságok nagságának meghatározása már csak méréssel történhet.. élda A megszámlálás eg klasszkus esete a nészámlálás. Eg gazdaság adott dőszakra vonatkozó tetermelése csak valamlen méréssel adható meg. 5

18 . Egszerű elemzések.. Statsztka sorok, táblák Statsztka adatok valamlen smérv szernt elsorolását statsztka sornak nevezzük. Statsztka sor keletkezhet: azonos ata adatokból: összehasonlító sor, csoortosító sor; különböző ata adatokból: leíró sor.. élda Eg kt dolgozónak nemek szernt megoszlását az. táblázat tartalmazza. Eg kt dolgozónak nemek szernt megoszlása em Fő. táblázat Fér 5 ő 5 Összesen Forrás: ktív élda Statsztka sorok összeüggő rendszerét statsztka táblának nevezzük. 3. élda Eg kt dolgozónak megoszlását nemek és az adott munkahelen eltöltött dő szernt a. táblázat tartalmazza. 6

19 .. Statsztka sorok, táblák A kt dolgozónak megoszlása nemek és az adott munkahelen eltöltött dő szernt. táblázat Munkahelen eltöltött évek száma Fér ő Összesen Összesen 5 5 Forrás: ktív élda Mnden statsztka sornak és táblának megkövetelt orma eleme a cím és a orrás megnevezése, lletve kötelező eltüntetése. (Megegzés: az egszerűség kedvéért, a továbbakban ettől sokszor eltekntünk.) A sorok és táblák számítógées tárolása m n -es mátrokban történk. Eg adatbázsban a mátr oszloanak eléce oglalák magukba az eges smérvek megnevezését, míg a több sor az smérvváltozatokat tartalmazza (ezeket nevezzük rekordoknak). Mnden eges rekordban azonos számú mező van. M a továbbakban a Mcrosot Ecel 7. táblázatkezelőt oguk használn. Ez eg Wndows alaú rogram, amel alavetően táblázatkezelő, de hasznos statsztka műveletek elvégzésére s kées. Indítsuk el a Mcrosot Ecelt, és géelük be a ent tábla adatat. A bevtelnél ügelünk arra, hog a hosszabb szövegeket s egetlen cellába íruk. A cellák között a kurzormozgató bllentűkkel, lletve egeres kattntással mozoghatunk. Az Ecel tuladonsága közé tartozk az AutoSzámolás unkcó. Ezzel olamatosan vsszaelzést kahatunk az állaotsorban (a kéernő alán) a kelölt cellák összegéről. Ellenőrzzük ennek segítségével a táblázat összesen sorában levő számok ontosságát! Összehasonlítás Az összehasonlítás alkalmával több sokaság nagságának vag más ellemző adatának egmás mellé rendelését végezzük. Ez történhet egszerű elsorolással, különbség 7

20 . Egszerű elemzések kézéssel vag hánados kézéssel. Összehasonlítás célából egmás mellé sorolt adatok összességét összehasonlító sornak nevezzük. Csoortosítás (osztálozás) A statsztka sokaság eg vag több smérv szernt tagolását csoortosításnak vag osztálozásnak nevezzük. Azt az smérvet am alaán a sokaság osztálat elhatároluk egmástól csoortkéző smérvnek nevezzük. Eg osztálozástól azt váruk el, hog: teles legen (a sokaság mnden egsége besorolható eg osztálba); átedésmentes legen (mnden sokaság egség csak eg osztálba sorolható be); mnél homogénebbek legenek az osztálok (az osztálokon belül egségek mnél obban hasonlítsanak egmáshoz a vzsgált smérv szemontából). A sokaság eg smérv szernt csoortosítását csoortosító sornak nevezzük. A k db osztálból álló csoortosító sor általános alaka a 3. táblázatban látható. Csoortosító sor Ismérvváltozatokat tartalmazó osztálok 3. táblázat Előordulások száma C C M C M C k Összesen M M k A másodk oszloban levő számokat a statsztkában általában gakorságoknak nevezzük. A sokaság több smérv szernt csoortosításának eredméne a kontngenca vag kombnácós tábla. 8

21 .. Statsztka sorok, táblák Az r sorból és c oszloból álló kétdmenzós kombnácós tábla általános alakát a 4. táblázat tartalmazza. Kombnácós tábla Az Y smérv 4. táblázat szernt osztálok Y C Y Y C Y C C c Összesen Az X smérv szernt osztálok X C c. X C c. M M X C c. M M X C r r r r rc r. Összesen....c A 4. táblázat utolsó sorában (. ) és oszloában (. ) szerelő gakorságokat a statsztkában eremgakorságoknak vag eltétel nélkül eloszlásoknak nevezzük, míg a több gakorságot ( szóló eezetben ezekkel részletesebben oglalkozunk.) ) eltételes eloszlásoknak nevezzük. (Az asszocácóról A statsztka sorok vázlatos áttekntése az. ábrán látható. 9

22 . Egszerű elemzések A statsztka sorok vázlatos áttekntése Statsztka sorok azonos atáú adatokból (összehasonlító, csoortosító sorok) különböző atáú adatokból (leíró sorok) mnőség sorok terület sorok dősorok mennség sorok. ábra A továbbakban az. ábra alsó sorában elsoroltakkal oglalkozunk részletesebben. Mnőség sorok Mnőség smérv szernt szerkesztett sort mnőség sornak nevezzük. 4. élda Az 3. táblázatban a vzsgált smérv legen mnőség smérv. (Lásd a. éldát.) Terület sorok Terület sorról akkor beszélünk, ha a sor kalakításakor a rendező elv valamlen terület hovatartozás. 5. élda Az 3. táblázatban a vzsgált smérv legen terület (öldraz) smérv. Eg kt dolgozónak lakóhel szernt megoszlását az 5. táblázat tartalmazza.

23 .. Statsztka sorok, táblák Eg kt dolgozónak lakóhel szernt megoszlása Lakóhel Fő Szeged 6 Egéb 4 Összesen 5. táblázat Idősorok Az dősoroknak két atáa van: állaotdősor (stock tíusú) és tartamdősor (low tíusú). Állaotdősor: eg állósokaság dőbel alakulását ellemz. 6. élda Az 3. táblázatban a vzsgált smérv legen stock tíusú smérv. Eg kt oglalkoztatottanak számát (az között dőszakban) a 6. táblázat tartalmazza. Eg kt dolgozónak száma az év első naán Év Fő táblázat Az len tíusú smérveket tartalmazó táblázatok összesen sorának (az ún. összegző sornak) nncs értelme, ezért nem s szereel. Tartamdősor: eg mozgósokaság eg-eg dőszak alatt bekövetkezett változását ellemz. 7. élda Az 3. táblázatban a vzsgált smérv legen low tíusú smérv.

24 . Egszerű elemzések Eg kt orgalmának nagsága 3 év alatt az alábbak szernt alakult. Eg kt orgalma (mlló Ft) Év 7. táblázat Forgalom 997 6, , 999 3, Összesen 7,6 Az len tíusú smérveket tartalmazó táblázatok összesen sorának van értelme. Jelen esetben a teles vzsgált dőszak összorgalmát elent. Mennség sorok Ezeket a sorokat a harmadk eezetben mad részletesebben tárgaluk.

25 .3. Vszonszámok.3. Vszonszámok agtömegű, eredet ormáában átteknthetetlen adathalmaz kezelésére vszonszámokat s használhatunk. A vszonszám nem más, mnt adatok vag mutatószámok hánadosa. a vszonítás tárga, a vszonított adat vszonszám A V (5) B a vszonítás alaa, bázsa Három legontosabb atáa: dnamkus, megoszlás és ntenztás vszonszám. Dnamkus vszonszám: azonos sokaság, dőben különböző adataból számított hánados, százalékos ormában szoktuk megadn. Kettőnél több (,,,) adatból álló dősor esetén kétéle atáa kéezhető. Bázsvszonszám: b,,,. (6) b Láncvszonszám: l,3,,. (7) Gakran az dősor összes dőegségére kszámítuk az adott vszonszámot és a keletkező vszonszámsort használuk elemzésre. A lánc- és bázsvszonszámokra vonatkozó azonosságokat a (8)-() kéletek mutaták. Egmást követő bázsvszonszámok hánadosa láncvszonszám. : l (8) b b b b 3

26 . Egszerű elemzések Áttérés ú bázsra: a bázsvszonszámokat elosztuk az ú bázshoz tartozó rég vszonszámmal. b b c c : c (9) b b c Bázsdőegséget követő egmás után következő (m db) láncvszonszám szorzata bázsvszonszámot ad.... b m () m b+ b+ b+ m b+ m l b+ b b+ b+ m b m Láncvszonszámokból (a vzsgált dőszakban) tetszőleges bázsú bázsvszonszámokat lehet kszámítan az alább összeüggések szernt: az dőtengelen obbra (a övőbe) haladva b, () + b l+ az dőtengelen balra (a múltba) haladva b. () : b+ l+ 8. élda A néesség számát mnden év első naára a 8. táblázat tartalmazza. 4

27 .3. Vszonszámok Magarország néessége között Év 8. táblázat éesség száma, ezer ő Forrás: Magar statsztka zsebkönv 98, KSH, B., 999. Számítsuk k a ent dősorból a néesség alakulásának bázsvszonszámsorát 99-es és 999-es bázssal s! Számítsuk k a láncvszonszámsort s! Alkalmazzuk az azonosságokat ellenőrzésre! Használuk a eladat megoldásához az Ecelt! Vgük el az adatokat! Az eredmént a. ábra mutata. Az 99-es bázsévhez tartozó vszonszámsort úg tuduk kszámítan, hog az eges évekhez tartozó adatokat osztuk az 99-es év adatával. A cellák eltöltése eredmént szolgáltató kélettel a következőkéen végezhető el: a cella mezőébe íruk be egenlőségel után annak a műveletnek megelelő kéletet, amelet a kndulás cellákkal akarunk elvégezn, úg, hog azokra a megelelő oszlo és sor elekkel hvatkozunk. (Ez megelenk a Szerkesztőlécben, a táblázat ölött s.) 5

28 . Egszerű elemzések Az Ecel munkalaának részlete A B C D Év éesség 99% Előző év% *B/B$ ábra A B stílusú elölés relatív hvatkozás, a B$ edg a sorra nézve abszolút hvatkozás. Magarország néességének bázs- és láncvszonszámsora 9. táblázat Év éesség 99% Előző év% 999% , -, ,8 99,8, ,6 99,7, , 99,7, ,9 99,7, ,6 99,7, ,3 99,6, ,9 99,6, ,5 99,6, Ennek megkülönböztetésére a következők matt van szükség: ha eg vszonszámsor első adatát a ent módon kszámítottuk, akkor a több kéletet nem kell begéeln, elég az adott cella obb alsó sarkát az egérrel leelé a több cellára húznunk, és a megelelő kéleteket kauk a több cellában s. A megelelően alkalmazott relatív és abszolút hvatkozások eredménezk azt, hog a heles kéleteket (értékeket) kauk. A több vszonszámsor hasonlóan kszámítható. A kaott eredméneket a 9. táblázat tartalmazza. 6

29 .3. Vszonszámok Megoszlás vszonszám: valamel sokaságrésznek az egész sokasághoz vszonított nagsága, százalékos ormában szoktuk megadn. 9. élda A. élda adata alaán elkészíthető a. táblázat. Eg kt dolgozónak nemek szernt megoszlása. táblázat em Megoszlás (%) Fér 75 ő 5 Összesen Intenztás vszonszám: két egmással valamlen kacsolatban álló sokaság valamlen adatából kézett hánados. Lehet egenes vag ordított, lletve ettől üggetlenül, ners vag tsztított. Egenes ntenztás vszonszámról beszélünk, ha a társadalm megítélés szemontából az lenne a ó, ha a vszonszám értéke mnél nagobb lenne. Fordított ntenztás vszonszámról beszélünk, ha a társadalm megítélés szemontából az lenne a ó, ha a vszonszám értéke mnél ksebb lenne. Ha eg ntenztás vszonszám esetén a vszonítás alaának csak eg része kötődk obban a vszonítás tárgához, akkor gakran eg ú ntenztás vszonszámot alkotunk, amelben a vszonítás alaa az említett részsokaság lesz. Az íl módon létreövő ú vszonszámot tsztított ntenztás vszonszámnak, míg az elsőt ners ntenztás vszonszámnak nevezzük. A A ners ntenztás vszonszám az (5) kélet szernt legen, a tsztított ntenztás B vszonszám edg A b. Közöttük elírható a következő összeüggés: A B A b b B, (3) ahol B b a tszta rész aránát elent (am eg megoszlás vszonszám). 7

30 . Egszerű elemzések. élda Eg hóna alatt alkalmazott (8 zka és szellem oglalkozású) db terméket db állít elő. Vállalt sznten a termelékenségük, db/ő. Ez ners ntenztás ő db vszonszám. A tsztított edg:,5 db/ő. A (3) kélet szernt gaz a 8 ő következő összeüggés: 8, [db/ő]. 8 8

31 .4. A grakus ábrázolás eszköze.4. A grakus ábrázolás eszköze A grakus ábrázolás nem keezetten elemzés módszer, hanem a statsztka adatok szemléltető megelenítésének eszköze, melben az normácósűrítés bzonos eleme s megelennek. Mnden grakus ábrázolás lénege az összehasonlítás. Általában ontokat, vonalakat, köröket, oszlookat használunk. A grakus ábrázolás alábbakban smertetett atát használuk a leggakrabban. Dagramok Dagramokon belül megkülönböztetük a következőket: ontdagram: két smérv szernt hovatartozást ábrázolunk vele; vonaldagram: egenes szakaszokból álló grakus ábra; síkdagram: gakorságokat ábrázolunk vele, területek segítségével (l. oszlo- vag kördagram). Kartogramok Kartogramok: gakorságok térkéen alauló ábrázolása. Sztereogramok Sztereogramok: három releváns dmenzóban történő ábrázolás, három smérv szernt hovatartozást ábrázolunk vele. Pktogramok Pktogramok: guráls ábrázolás, gakorságok különböző nagságú vag számú készmbólumokkal való ábrázolása. A grakus ábrázolásnál gelnünk kell a következő alaelvekre: mndg az alaul vett síkdomok területe kell, hog arános legen az ábrázoln kívánt adat nagságával; mndg legen címe a grakus ábrának; az adatok orrásának eltüntetése kötelező; dősorokat általában vonaldagrammal, a sokaság szerkezetét általában osztott oszlo- vag osztott kördagrammal szemléltetük (lásd a 4. és az 5. ábrát!); 9

32 . Egszerű elemzések állaotdősornál az tengelen szerelő dőontokhoz (lásd a 3. ábrát!), tartamdősornál az tengelen kelölt dőszak közeéhez gazítunk. Az smertetett grakus ábrázolás módok közül néhán a 3., 4. és 5. ábrán látható.. élda A 8. élda adata alaán ábrázoluk vonaldagram segítségével Magarország néességének változását között! A vonaldagramot az Ecel segítségével készítük el. A 8. éldában már bevttük az adatankat az A-B cellatartománba. Jelölük most k a B-B cellákat, és ndítsuk el a Dagram Varázslót a Beszúrás menü Dagram... almenüének segítségével (ez konnal s meghívható)! Az Ecel oututa Magarország néessége között éesség száma ( ezer õ) an an an an an an an an an.. Év 3. ábra Első léésként válasszuk k a nekünk megelelő dagramtíust! A Tovább> nomógomb segítségével léhetünk tovább. Másodk léésként az Adatsorok menü alatt A kategóratengel (X) elrata: mezőbe vgük be az A-A cellatartománt a munkalaon történő kelölésével. Léünk tovább. A harmadk léésben a Címek menüben írhatuk be a dagram címét és a tengelek megnevezését. A Rácsvonalak menüben a vezető és segédrácsokat állíthatuk be. 3

33 .4. A grakus ábrázolás eszköze Ha ezekre nncs szükségünk, kacsoluk k a elölőnégzeteket! Jelmagarázat menüben állíthatuk be azt, hog szükségünk van-e elmagarázatra, és hog az hova kerülön. A negedk léésben edg azt kell eldöntenünk, hog a dagramunk ú lara (dagramla) kerülön, vag az eredet munkalaunkra. A kaott dagram a 3. ábrán látható. A kész dagram beállításat utólag módosíthatuk a Formátum menüének segítségével, ha a grakus ábra megelelő részét aktvzáluk az arra történő egérkattntással.. élda Az 999. év első negedévére vonatkozó kötelező géármű-bztosítás díbevételenek adatat a. táblázat tartalmazza első negedév díbevételek Bztosítók. táblázat Díbevételek (ezer Ft) Argosz Aa Colona ÁB-Aegon General-Provdenca Hungára Közlekedés Bztosító Egesület 7 OTP-Garanca Összesen Forrás: ÁBIF A sokaság szerkezetének ábrázolására legnkább az osztott oszlo-, lletve az osztott kördagram alkalmas. Ezeket láthatuk a 4. és az 5. ábrán. A vonaldagram razolásakor smertetett menüontok megelelő alkalmazásával az Ecelben megszerkeszthető a 4. és az 5. ábra s. 3

34 . Egszerű elemzések A kötelező géármű-bztosítások díbevételenek megoszlása osztott oszlodagramon Díbevételek megoszlása % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % Argosz ÁB-Aegon Hungára OTP-Garanca Aa Colona General-Provdenca Közlekedés Bztosító Egesület 4. ábra A kötelező géármű-bztosítások díbevételenek megoszlása osztott kördagramon Argosz ÁB-Aegon Hungára OTP-Garanca 5% 7% 3%3% % 3% % Aa Colona General-Provdenca Közlekedés Bztosító Egesület 5. ábra 3

35 3. Sokaság eg smérv szernt vzsgálata 3.. Mennség sorok Rangsor A mennség smérvek lehetséges értéke rendezett halmazt alkotnak, ezért a sokaság egsége sorba rendezhetőek. Ezt monoton nemcsökkenő módon szoktuk megtenn. A sokaság egségenek (és a hozzáuk tartozó smérvértékeknek) mennség smérv szernt monoton nemcsökkenő elsorolását rangsornak nevezzük. (Rendezett halmaz elemenek sorba rendezésére számos rendezés algortmus létezk: beszúró rendezés, gorsrendezés, kuac rendezés, stb.) 3. élda Eg kt dolgozónak kereset adata a következőek (ezer Ft): 7,; 63,; 5,5; 77,4; 54,3; 48,; 4,; 7,; 5,; 63,; 55,8; 56,7; 36,; 4,; 5,; 53,9; 4,5; 48,; 53,3; 78,; 68,6; 47,. A sorbarendezést gorsan elvégezhetük az Ecel segítségével. Vgük be az adatokat az A-A3 cellákba, az A a elécet tartalmazza. Jelölük k az előbb cellát! Ezt megtehetük az egérrel, annak bal gombát lenomva tartva mozgatva az egérkurzort, vag bllentűzettel, a SHIFT gomb lenomása mellett használva a bllentűzet kurzorgombat. Mután kelöltük az A-A3 cellatartománt, az Adatok menü Sorba rendezés almenüvel elvégezhetük a kívánt rendezést. (A rendezés kon segítségével s elvégezhető.) A keresetek rangsora: 36,; 4,; 4,; 4,5; 47,; 48,; 48,; 5,; 5,; 5,5; 53,3; 53,9; 54,; 55,8; 56,7; 63,; 63,; 68,6; 7,; 7,; 77,4; 78,. Gakorság sor Mvel gakran nag mennségű, és ezért eredet ormáában kezelhetetlen és átláthatatlan adattal kell dolgoznunk, abból elemzést készítenünk, a könnebb átteknthetőség érdekében ezeket osztálokba soroluk. Az osztálok természetesen az X 33

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás 4-5. előadás A jövedelem- és árváltozások hatása a fogasztói döntésre ICC és Engel-görbe, PCC és egéni keresleti függvén. A iaci keresleti görbe származtatása. A fogasztói többlet. Kereslet-rugalmassági

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

Megoldások. Az ismérv megnevezése közös megkülönböztető 2007. szeptember 10-én Cégbejegyzés időpontja

Megoldások. Az ismérv megnevezése közös megkülönböztető 2007. szeptember 10-én Cégbejegyzés időpontja Megoldások 1. feladat A sokaság: 2007. szeptember 12-én a Miskolci Egyetem GT-204-es tankör statisztika óráján lévő tagjai az A 1 épület III. em. 53-as teremben 8-10-ig. Közös ismérv Megkülönböztető ismérv

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 1. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 1. előadás Statisztika 1 előadás Témakörök Statisztikai alapfogalmak Statisztikai sorok Mennyiségi sorok csoportosítása Statisztikai táblák Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Statisztika 1. tantárgyi kalauz

Statisztika 1. tantárgyi kalauz Balog Margt Monorné Szabó Edt Statsztka. tantárgy kalauz Szolnok Főskola Szolnok 26. Statsztka. Tantárgy kalauz Ez a kalauz az alább tankönyekhez készült: Általános statsztka. Főskola tanköny (szerkesztette:

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Statisztika I. 2. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 2. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 2. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai sorok Meghatározott szempontok szerint kiválasztott két vagy több logikailag összetartozó statisztikai adat, statisztikai sort képez. általában

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára másik termék mennisége. gakorlat Transzformációs görbe, mikroökonómiai optimumfeladatok megoldásának alapmódszere Oktatási segédlet hallgatók számára Eg fontos közgazdasági alapmodell TLH, alternatív költség,

Részletesebben

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/1-011-0067 GSPulisherEngine

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Statisztika

Érettségi feladatok: Statisztika Érettségi feladatok: Statisztika 2003. Próba 14. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották

Részletesebben

Acélszerkezetek tervezése tűzhatásra Analízis és méretezés

Acélszerkezetek tervezése tűzhatásra Analízis és méretezés Előadás /6 2015. március 11., szerda, 9 50-11 30, B-2 terem Acélszerkezetek tervezése tűzhatásra Analízis és méretezés Detroit Marseille előadó: Dr. habil Papp Ferenc eg. docens Szabvánok MSZ EN 1990:2005

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

A Microsoft OFFICE. EXCEL táblázatkezelő. program alapjai. 2013-as verzió használatával

A Microsoft OFFICE. EXCEL táblázatkezelő. program alapjai. 2013-as verzió használatával A Microsoft OFFICE EXCEL táblázatkezelő program alapjai 2013-as verzió használatával A Microsoft Office programcsomag táblázatkezelő alkalmazása az EXCEL! Aktív táblázatok készítésére használjuk! Képletekkel,

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

Microsoft Excel 2010

Microsoft Excel 2010 Microsoft Excel 2010 Milyen feladatok végrehajtására használatosak a táblázatkezelők? Táblázatok létrehozására, és azok formai kialakítására A táblázat adatainak kiértékelésére Diagramok készítésére Adatbázisok,

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012. Név:... Kód:...... Eredmény:..... STATISZTIKA I. VIZSGA; NG KM ÉS KG TQM SZAKOKON MINTAVIZSGA Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó

REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK. c. készülő egyetemi tankönyvből, szerkesztő: Nemes Nagy József várható megjelenés 2004., ELTE Eötvös Kiadó Kézrat részletek a REGIONÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZEREK c. készülő egetem takövből, szerkesztő: Nemes Nag Józse várható megjeleés 004., ELTE Eötvös Kadó 5 TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK 5. Fogalm keretek Az egelőtleség

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

tutor adatai távoktatási csomag távoktatási tagozat, e-learning képzés

tutor adatai távoktatási csomag távoktatási tagozat, e-learning képzés Mikroökon konómia 2010/2011. tanév, õszi félév távoktatási tagozat, e-learning kézés Az oktató/tutor tutor adatai r. Koán Krisztián Ph egetemi adjunktus személes fogadóóra idõontja és hele: keddenként

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning képzés

2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning képzés Mikroökonómia 2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning kézés Az oktató/tutortutor adatai r. Koán Krisztián Ph egetemi adjunktus személes fogadóóra időontja és hele: keddenként 10:00,

Részletesebben

Adatbázis-kezelés az Excel 2013-ban

Adatbázis-kezelés az Excel 2013-ban Molnár Mátyás Adatbázis-kezelés az Excel 2013-ban Magyar nyelvi verzió Csak a lényeg érthetően! www.csakalenyeg.hu Csak a lényeg érthetően! Microsoft Excel 2013 Kimutatás készítés relációs adatmodell alapján

Részletesebben

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők 7. Laboratóriumi gyakorlat Passzív és aktív aluláteresztő szűrők. A gyakorlat célja: A Micro-Cap és Filterlab programok segítségével tanulmányozzuk a passzív és aktív aluláteresztő szűrők elépítését, jelátvitelét.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk

Az aktív foglalkoztatási programok eredményességét meghatározó tényezõk Az aktív foglalkoztatás programok eredményességét meghatározó tényezõk GALASI ÉTER LÁZÁR GYÖRGY NAGY GYULA Budapest Munkagazdaságtan Füzetek BW. 1999/4 1999. máus 1 Budapest Munkagazdaságtan Füzetek.1999/4.

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben