Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 1 / 55
|
|
|
- Fanni Klaudia Balogné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 1 / 55
2 1 Játékelmélet Történeti áttekintés A játékelmélet ágai 2 Gráfelméleti alapismeretek 3 Számítástudományi alapismeretek Futásidő Számítási bonyolultság Approximáció 4 Racionalitás A racionalitás köztudása A tömegek bölcsessége 5 Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés Einstellung 6 Ultimátum játékok Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 2 / 55
3 Játékelmélet tárgya Játékelmélet Történeti áttekintés the study of mathematical models of conflict and cooperation between intelligent rational decision-makers Roger B. Myerson Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 3 / 55
4 Játékelmélet Történeti áttekintés Rövid összefoglaló Elődök: Sir James Waldegrave ( ) Antoine Augustin Cournot ( ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 4 / 55
5 Játékelmélet Történeti áttekintés Rövid összefoglaló Modern játékelmélet Theory of Games and Economic Behavior (1944), Neumann J., Morgenstern O. Az 50-es évek forradalma: Nash-egyensúly (Nash), Részjáték tökéletes egyensúly (Selten), Shapley-érték, Fogolydilemma A 60-as években: Nemteljes információs Bayes-i játékok (Harsányi), Kooperatív játékok (Aumann, Schmeidler), biológiai alkalmazások, evolúciósan stabil stratégia Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 5 / 55
6 A játékelmélet atyja Játékelmélet Történeti áttekintés Neumann János ( ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 6 / 55
7 Játékelmélet Történeti áttekintés Nobel-emlékdíjak Az elmúlt 20 év termése (1994): Nash J., Harsanyi J., Selten R. for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games (2005): Aumann R., Schelling T. for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis. (2007): Hurwicz L., Maskin E., Myerson R. for having laid the foundations of mechanism design theory. (2012). Roth A.E., Shapley L.S. for their work on matching supply and demand for everything from single men and women to organ donors and their recipients. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 7 / 55
8 Játékelmélet A játékelmélet ágai A játékelmélet ágai Főbb ágak Nem kooperatív játékok (Fogolydilemma, alkujátékok) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 8 / 55
9 Játékelmélet A játékelmélet ágai A játékelmélet ágai Főbb ágak Nem kooperatív játékok (Fogolydilemma, alkujátékok) Kooperatív játékok (Szavazás, elosztási problémák) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 8 / 55
10 Játékelmélet A játékelmélet ágai A játékelmélet ágai Főbb ágak Nem kooperatív játékok (Fogolydilemma, alkujátékok) Kooperatív játékok (Szavazás, elosztási problémák) Algoritmikus játékelmélet (Párosítás, aukciók) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 8 / 55
11 Játékelmélet A játékelmélet ágai A játékelmélet ágai Főbb ágak Nem kooperatív játékok (Fogolydilemma, alkujátékok) Kooperatív játékok (Szavazás, elosztási problémák) Algoritmikus játékelmélet (Párosítás, aukciók) Evolúciós játékelmélet (Populációdinamika) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 8 / 55
12 Játékelmélet A játékelmélet ágai A játékelmélet ágai Főbb ágak Nem kooperatív játékok (Fogolydilemma, alkujátékok) Kooperatív játékok (Szavazás, elosztási problémák) Algoritmikus játékelmélet (Párosítás, aukciók) Evolúciós játékelmélet (Populációdinamika) Kombinatorikus játékok (Sakk és más táblajátékok) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 8 / 55
13 Gráfok I. Gráfelméleti alapismeretek Definíció Egy gráf pontokból és ezeket összekötő szakaszokból álló struktúra, amely kiválóan alkalmas hálózatok modellezésére. A pontokat szakszóval csúcsoknak, míg az összekötő szakaszokat éleknek nevezzük. Egy G gráfot megadhatunk úgy, hogy felsoroljuk a csúcsainak (V ) és éleinek (E) a halmazát (a V az angol vertex, míg az E az edge szóból jön). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 9 / 55
14 Gráfelméleti alapismeretek Gráfok II. Fogalmak Irányítatlan/irányított gráf. Párhuzamos él, hurokél Séta, út (önmagát nem metsző séta), kör. Összefüggőség, izolált csúcsok. Fa, feszítő fa. Élsúly/élkapacitás. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 10 / 55
15 Példa Gráfelméleti alapismeretek Példa feszítő fára Feladat Találjuk meg a fenti gráf legolcsóbb feszítő fáját! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 11 / 55
16 Gráfelméleti alapismeretek Minimális költségű feszítő fa Kruskal-algoritmus 1 Rendezzük az éleket költségük szerint nem-csökkenő sorrendbe! 2 Az éleket sorban tekintve akkor vegyünk be egyet, ha az eddig kiválasztottakkal nem zár be kört! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 12 / 55
17 Gráfelméleti alapismeretek Minimális költségű feszítő fa Tétel Ha G összefüggő, akkor a Kruskal-algoritmus minimális súlyú feszítő fát álĺıt elő. Bizonyítás vázlat Legyen F 0 az algoritmus által előálĺıtott gráf. 1 F 0 fa. 2 F 0 feszítő fa. 3 F 0 minimális költségű (indirekt). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 13 / 55
18 Königsbergi hidak Gráfelméleti alapismeretek Feladat Be lehet-e járni a várost, úgy, hogy minden hídon pontosan egyszer haladunk át? Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 14 / 55
19 Gráfelméleti alapismeretek Euler bejárás Definíció A G gráfban Euler-útnak nevezünk egy olyan élsorozatot, amely G minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Ha az élsorozat zárt, Euler-körről beszélünk. Megjegyzés Az Euler-kör nem feltétlenül kör, hiszen egy csúcson akár többször is áthaladhat. Precízebb lenne Euler-sétának hívni, de ez a hagyományos elnevezése. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 15 / 55
20 Euler bejárás Gráfelméleti alapismeretek Tétel Egy összefüggő G gráfban akkor és csak akkor van Euler-kör, ha G minden pontjának fokszáma páros. Tétel Egy összefüggő G gráfban akkor és csak akkor van Euler-út, ha G-ben a páratlan fokú pontok száma 0 vagy 2. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 16 / 55
21 Gráfelméleti alapismeretek Gráfok III. További Fogalmak Fokszám, befok, kifok. Forrás, nyelő. Folyamok. Páros gráfok, teljes gráf. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 17 / 55
22 Példa Gráfelméleti alapismeretek Példa folyamra Feladat Találjuk meg a fenti gráfban a legnagyobb folyamot! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 18 / 55
23 Példa Gráfelméleti alapismeretek Példa folyamra Feladat Találjuk meg a fenti gráfban a legnagyobb folyamot! Max-flow Min-cut tétel Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 18 / 55
24 Számítástudományi alapismeretek A számítástudomány atyja Alan Turing ( ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 19 / 55
25 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
26 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
27 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
28 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
29 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
30 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
31 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
32 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
33 Futásidő Számítástudományi alapismeretek Futásidő Adott egy gép, amely másodpercenként 10 milliárd műveletet képes elvégezni. Jelölje az input méretét n. A következő táblázat azt mutatja meg, hogy mekkora lesz a futásidő különböző műveletigényű problémák esetén. n n 2 2 n n! Megj.: A Föld kora kb év míg az összes elemi részecske becsült száma az univerzumban megközeĺıtőleg Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 20 / 55
34 Számítástudományi alapismeretek Futásidő Nagyságrendek Definíció (Nagy ordó) Legyen f, g : N R. Azt mondjuk, hogy f (n) = O(g(n)) ha c > 0, és n 0 N küszöb, úgy hogy n > n 0 -ra igaz, hogy f (n) c g(n). Hibatagok becslése, pl: (x + 1) 2 = x 2 + O(x) x esetén mert 2x + 1 < 3x ha x > 1. Hasonlóan e x = 1 + x + O(x 2 ) ha x 0. Feladat Javasoljunk egy eljárást n db. pozitív egész szám növekvő sorrendbe rendezésére, majd elemezzük a módszer futásidejét! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 21 / 55
35 Számítástudományi alapismeretek Gyakran alkalmazott rendezések Futásidő Név Legjobb Átlagos Legrosszabb Memóriaigény Gyorsrendezés n n log n n 2 log n Kupacrendezés n log n n log n n log n 1 Buborékrendezés n n 2 n 2 1 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 22 / 55
36 Számítástudományi alapismeretek P és NP-beli problémák I. Számítási bonyolultság Definíció Egy döntési feladat polinom időben megoldható, ha létezik olyan k pozitív egész, hogy n méretű input esetén a feladat megoldását O(n k ) idő alatt kiszámolhatjuk. Egy döntési probléma P-beli, ha polinom időben megoldható. Sok döntési problémára nem ismert hatékony algoritmus, ugyanakkor ha már valaki kiszámolta a megoldást, gyorsan le lehet ellenőrizni, hogy az valóban jó-e. Egy döntési feladatról azt mondjuk, hogy NP-beli, ha bármely megoldása polinom időben leellenőrizhető. Egy feladatról azt mondjuk, hogy NP-teljes, ha azt megoldva bármely NP-beli problémát polinom időben meg tudunk oldani. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 23 / 55
37 Számítástudományi alapismeretek Számítási bonyolultság P és NP-beli problémák II. Nyitott kérdés A számítástudomány alapkérdése, hogy P = NP vagy sem. A probléma az egyike azon hét problémának, amiért a Clay Mathematical Institute 1 millió dollárt ajánlott fel. Példa NP-teljes problémákra Hamilton-kör Partíció Részgráf-izomorfia Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 24 / 55
38 Számítástudományi alapismeretek P és NP-beli problémák III. Számítási bonyolultság Definíció Egy G gráfban Hamilton-körnek (-útnak) nevezünk egy H kört (utat), ha minden pontját pontosan egyszer tartalmazza. Partíció feladat Legyen A = {a 1, a 2,..., a n } pozitív egészeknek egy multihalmaza, úgy hogy n i=1 a i = 2b valamely b számra. Kérdés létezik A-nak olyan partíciója, amelyekben a számok összege megegyezik. Másképpen létezik-e A-nak egy olyan részhalmaza, amelyben a számok összege b. Részgráf izomorfia Legyenek G és H gráfok. Kérdés létezik-e G-nek H-val izomorf részgráfja. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 25 / 55
39 Számítástudományi alapismeretek Számítási bonyolultság P és NP-beli problémák IV. Definíció Egy problémát NP-nehéznek nevezünk, ha minden NP-beli probléma visszavezethető rá. Ha egy NP-nehéz probléma NP-ben is van, akkor NP-teljes is egyben. Példa NP-nehéz problémákra Hátizsák-pakolás Steiner fa Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 26 / 55
40 Approximáció Számítástudományi alapismeretek Approximáció Definíció Egy algoritmust α-approximációnak nevezünk egy P problémára nézve, ha az algoritmus által számolt célfüggvény érték és az optimális célfüggvény érték között legfeljebb α-szoros eltérés van. Azaz M(p) α OPT (p), ahol α > 1 és p a P probléma egy tetszőleges példánya. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 27 / 55
41 Számítástudományi alapismeretek Approximáció Steiner fa Definíció Legyen adott G = (V, E) összefüggő gráf, egy S V csúcshalmaz, valamint egy w : E R + élsúlyozás. Steiner fának nevezünk egy fát, amely feszíti S minden csúcsát. Számítási bonyolultság Annak meghatározása, hogy adott k-ra létezik-e legfeljebb k költségű Steiner fa NP-teljes. A legolcsóbb Steiner fa megtalálása NP-nehéz. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 28 / 55
42 Steiner fa változatok Számítástudományi alapismeretek Approximáció Eredeti változat Adott a síkon n db csúcs, amelyekhez még tetszőleges számú segédcsúcs felvehető. Ezeket kéne összekötni úgy, hogy az összekötő szakaszok összhossza minimális legyen. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 29 / 55
43 Steiner fa változatok Számítástudományi alapismeretek Approximáció Eredeti változat Adott a síkon n db csúcs, amelyekhez még tetszőleges számú segédcsúcs felvehető. Ezeket kéne összekötni úgy, hogy az összekötő szakaszok összhossza minimális legyen. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 29 / 55
44 Számítástudományi alapismeretek Approximáció Steiner fa változatok Approximációs algoritmus metrikus esetre Adott G = (V, E) teljes gráf és egy c súlyfüggvény, amely teljesíti a -egyenlőtlenséget. A feladat egy olyan minimális súlyú fát találni, amely feszíti az S V csúcshalmazt. 1 Határozzunk meg egy minimális súlyú feszítő fát az S csúcshalmaz által feszített részgráfon. Legyen ez F. 2 Eredmény: F. Álĺıtás Az algoritmus 2-approximáció a metrikus esetre. Azaz ha F az optimális megoldás, akkor c(f ) 2c(F ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 30 / 55
45 Hátizsák pakolás Számítástudományi alapismeretek Approximáció Definíció Adott n különböző tárgy, amelyeknek p i értéke és a i súlya van. A hátizsák kapacitása b. Annak eldöntése, hogy be lehet-e pakolni legalább k értékű tárgyat a hátizsákba, úgy hogy azok összsúlya ne lépje át b értékét NP-teljes. Az analóg optimalizálási feladat pedig NP-nehéz. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 31 / 55
46 Hátizsák pakolás Számítástudományi alapismeretek Approximáció Hátizsák feladat A hátizsák feladatot a következőképp lehet egészértékű programozási feladatként feĺırni: max p i x i i a i x i b i x i {0, 1}, i = 1,..., n Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 32 / 55
47 Hátizsák pakolás Számítástudományi alapismeretek Approximáció Hátizsák feladat Tekintsük a feladat LP-relaxációját: max p i x i i a i x i b i 0 x i 1, i = 1,..., n Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 33 / 55
48 Számítástudományi alapismeretek Approximáció Hátizsák pakolás Megjegyzés A relaxált feladat optimuma csak nagyobb lehet, azaz LP OPT OPT Az LP-relaxált feladat megoldása Indexeljük át a tárgyakat, úgy hogy teljesüljön p 1 a 1 p 2 a 2 p n a n. k b b k b i=1 LP OPT = p i + p a i kb +1 a kb +1 i=1 ahol k b i=1 a i b = k b +1 i=1 a i. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 34 / 55
49 Számítástudományi alapismeretek Approximáció Hátizsák pakolás Álĺıtás OPT 2 { k b } max p i, p kb +1 i=1 Bizonyítás Indirekt: k b OPT > p i + p kb +1 LP OPT OPT i=1 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 35 / 55
50 Számítástudományi alapismeretek Approximáció Hátizsák pakolás Következmény A következő algoritmus 2-approximáció a hátizsák feladatra: 1 Megkeresem k b -t 2 Ha k b p i > p kb +1, i=1 akkor S = {1,..., k b }. Különben S = {k b }. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 36 / 55
51 Racionalitás Tökéletes racionalitás Definíció A közgazdaságtanban és játékelméletben gyakran felteszik, hogy a résztvevők tökéletesen racionálisak. Azaz, a saját hasznosságukat szeretnék maximalizálni ennek érdekében képesek tetszőlegesen komplex eszmefuttatásokra és ismerik a lehetséges kimeneteleket és a számukra legkedvezőbbet választják ezek közül Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 37 / 55
52 A racionalitás korlátai Racionalitás Kártyás feladat Kérdés: Igaz-e, hogy ha egy kártya betűs oldalán magánhangzó van, akkor annak számos oldalán páros szám áll? Oldjuk meg a feladatot a lehető legkevesebb kártya megfordításával! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 38 / 55
53 A racionalitás korlátai Racionalitás Kártyás feladat Kérdés: Melyik csekk érvényes? A 30$ alatt a csekk aláírás nélkül is érvényes, felette csak aláírással. Oldjuk meg a feladatot a lehető legkevesebb kártya megfordításával! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 39 / 55
54 Racionalitás A racionalitás korlátai Monty Hall probléma A közismert tévés vetélkedőben a játékos három ajtó közül választhat. Kettő mögött egy kecske lapul, a harmadik mögött viszont egy drága sportautó. A játékos először kijelöl egy ajtót. Ekkor a műsorvezető a maradék kettő közül kinyit egy olyat, amely mögött egy kecske található. Ezután felajánlja a játékosnak, hogy változtathat a döntésén. Érdemes-e a játékosnak átváltani a másik ajtóra? Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 40 / 55
55 Racionalitás A racionalitás korlátai Tanulság Egyszerű logikai feladatokat sem vagyunk képesek racionálisan végiggondolni. Legtöbbször intuíciónk alapján döntünk. Ez azonban tévútra vezethet. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 41 / 55
56 Tökéletes racionalitás Racionalitás A racionalitás köztudása Oroszlánok és az altatózott hús Egy mesebeli szigeten 15 tökéletes logikával megáldott oroszlán él. Mind nagyon éhesek. Egy napon a szigetre ledobnak egy altatóval átitatott húst. Ha egy oroszlán megeszi, akkor maga is altatóval átitatott hússá válik, amit a többiek megehetnek. Ezt mindegyikük tudja és azt is, hogy a ledobott hús altatózott. Mindent megtesznek azért, hogy éhségüket csillapítsák, ugyanakkor elpusztulni sem akarnak. Mi történik és miért? (A hús oszthatatlan, egy oroszlán vagy megeszi, vagy nem bántja!) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 42 / 55
57 Racionalitás A racionalitás köztudása A tőzsde és a szépségverseny A találgatós játék (Ledoux [1981]) Minden játékos leír 1-től 100-ig egy tetszőleges számot. Az nyer, aki a legközelebb lesz a megadott számok átlagának 2/3-ához (többen is nyerhetnek). Kérdések Létezik-e domináns stratégia? Milyen számot kell mondanunk, ha tökéletesen racionálisak vagyunk? Mi lesz a játék Nash-egyensúlya? Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 43 / 55
58 Racionalitás A racionalitás köztudása A találgatós játék Definíció A racionalitás köztudása azt jelenti, hogy a játékosok racionálisak, tudják egymásról, hogy racionálisak, és azt is tudják egymásról, hogy tudják egymásról, hogy racionálisak és így tovább a végtelenségig. A találgatós játék a gyakorlatban Egy több, mint fős, nagy pénzjutalommal járó internetes versenyen a nyertes szám a ( 2 3 )4 volt. Ez azt jelenti, hogy a győztes úgy becsülte, hogy az átlagos tippelő három szint mélységig tud eljutni ebben a gondolatmenetben. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 44 / 55
59 Racionalitás A tömegek bölcsessége A tömegek bölcsessége Az ökör súlya Francis Galton a viktoriánis kor egyik polihisztora (egyébként Darwin unokatestvére) volt. Egy vidéki vásáron egy érdekes versenybe botlott. Egy ökör súlyát kellett megbecsülni a résztvevőknek. Több mint 800-an adták le tippüket, de egy sem találta el a helyes választ (ami egyébként 1198 font volt). A számokat később elemezve meglepő felfedezésre jutott. A medián (1207 font) mindössze 0.8%-ban tért el a valóságtól, a tippek átlaga (1197 font) pedig még ennél is jobban megközeĺıtette. Ami még meglepőbb, hogy a résztvevők között több szakértő is akadt, de semmelyikük nem jutott ilyen közel az igazsághoz. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 45 / 55
60 Racionalitás A tömegek bölcsessége A tömegek bölcsessége Alkalmazhatóság Természetesen nem minden tömeg bölcs. Az alábbi kritériumok szükségesek ahhoz, hogy a tömeg bölcsessége kiaknázható legyen: a vélemények sokszínűsége függetlenség decentralizáció (hierarchia hiánya) létezzen egy aggregációs mechanizmus Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 46 / 55
61 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés Két kísérlet Adott egy urna benne 90 alakra és súlyra megkülönböztethetetlen golyóval. A golyók közül 30 fekete, a maradék 60 pedig sárga vagy piros színű (hogy milyen arányban az nem ismert). Egy golyót kell húzni az urnából és választhatunk a jutalmazási opciók közül. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 47 / 55
62 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés 1. kísérlet 1. Ha fekete golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. kísérlet 1. Ha sárga vagy piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha fekete vagy sárga golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 48 / 55
63 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés 1. kísérlet 1. Ha fekete golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. kísérlet 1. Ha sárga vagy piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha fekete vagy sárga golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 48 / 55
64 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés 1. kísérlet 1. Ha fekete golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. kísérlet 1. Ha sárga vagy piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha fekete vagy sárga golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 48 / 55
65 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés 1. kísérlet 1. Ha fekete golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Több a sárga, mint a piros golyó. 2. Ha piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. kísérlet 1. Ha sárga vagy piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. Ha fekete vagy sárga golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 48 / 55
66 Ellsberg-paradoxon Kísérletek a gondolkodásról Kockázatkerülés vs. Kockázatkeresés 1. kísérlet 1. Ha fekete golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Több a sárga, mint a piros golyó. 2. Ha piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. 2. kísérlet 1. Ha sárga vagy piros golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Több a piros, mint a sárga golyó. 2. Ha fekete vagy sárga golyót húzunk fizetnek nekünk 100 $-árt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 48 / 55
67 Die Hard Kísérletek a gondolkodásról Einstellung Segits John McClane-nek hatástalanítani a bombát! Adott egy 3 és egy 5 gallonos vizespalack és rendelkezésre áll tetszőleges mennyiségű víz. Pontosan 4 gallon súlyú vizet kell ráhelyezni a mérlegre, hogy a bomba deaktiválja magát! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 49 / 55
68 Kísérletek a gondolkodásról Luchins kísérlete (1942) Einstellung A. vizespalack B. vizespalack C. vizespalack mérete mérete mérete Kívánt mennyiség Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 50 / 55
69 Ultimátum játékok Ultimátum játék Ultimátum játék Adott két játékos. Az egyiknek felajánlanak egy összeget (pl. 10$), amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. Ha azonban a második játékos kevesli a rá jutó részt, akkor megvétózhatja az elosztást. Ekkor egyikük sem kap semmit. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 51 / 55
70 Ultimátum játékok Ultimátum játék Ultimátum játék Adott két játékos. Az egyiknek felajánlanak egy összeget (pl. 10$), amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. Ha azonban a második játékos kevesli a rá jutó részt, akkor megvétózhatja az elosztást. Ekkor egyikük sem kap semmit. Játékelmélet: A második játékos hasznot maximalizál ezért bármilyen keveset is kap elfogadja. Az első játékos ezt felismerve a lehető legkevesebbet adja. Valóság: A legtöbb játékos elfelezi a kapott pénzt. Az összeg 30%-nál kisebb ajánlatokat rendszerint visszautasítják. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 51 / 55
71 Ultimátum játékok Diktátor játék Diktátor játék Adott két játékos. Az egyiknek felajánlanak egy összeget, amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. A második játékosnak semmilyen beleszólása nincs az elosztásba. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 52 / 55
72 Ultimátum játékok Diktátor játék Diktátor játék Adott két játékos. Az egyiknek felajánlanak egy összeget, amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. A második játékosnak semmilyen beleszólása nincs az elosztásba. Játékelmélet: A diktátor hasznot maximalizál, ezért semmit nem ad a másiknak. Valóság: A legtöbb játékos az összeg 30%-át továbbadja. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 52 / 55
73 Ultimátum játékok Bizalom játék Bizalom játék Adott két játékos. Az egyik kap egy összeget, amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. A második játékos az átadott pénz háromszorosát kapja, amiből valamennyit visszajuttathat, ha úgy dönt. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 53 / 55
74 Ultimátum játékok Bizalom játék Bizalom játék Adott két játékos. Az egyik kap egy összeget, amit valamilyen arányban megoszthat a másik játékossal. A második játékos az átadott pénz háromszorosát kapja, amiből valamennyit visszajuttathat, ha úgy dönt. Játékelmélet: A második játékos hasznot maximalizál, ezért nem küld vissza semmit. Az első játékos ezt felismerve nem ad semmit. Valóság: A legtöbb játékos több mint az összeg felét átküldi. Általában legalább ennyit vissza is küldenek. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 53 / 55
75 Ultimátum játékok Bizalom játék II Bizalom játék (variáns) Adott négy játékos, akik csak számítógépen keresztül tudnak kommunikálni. Mindegyiküknek adnak egy fix zsetonmennyiséget, amit később pénzre válthatnak. Dönthetnek, hogy a zsetonjukból valamennyit a közösbe raknak. A közösben lévő zsetonmennyiséget a játék végén megduplázzák és négy felé osztják. Tehát ha mindegyikük kooperál, akkor megduplázzák a pénzüket, míg ha csak egyvalaki, akkor az elveszíti a berakott pénzének a felét. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 54 / 55
76 Ultimátum játékok Bizalom játék II Bizalom játék (variáns) Kurzban and Houser 2005-ös kísérletében 84 játékos vett részt. A résztvevők 13%-a mindig kooperált, 20%-uk potyautasként viselkedett, a maradék pedig a társai viselkedésétől függően cselekedte az előbbit, vagy az utóbbit. Hosszú távon mindenki ugyanolyan jól járt, tehát a stratégiák ilyen keveredése ESS-t alkotott. Később tesztjátékokon megfigyelték, hogy a játékosok konzisztensen ugyanazon stratégiák mentén hoztak döntéseket, tehát programozottan cselekedtek. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 1. ea 55 / 55
Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév
1. oldal, összesen: 6 Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév NÉV:... 1. Legyenek,Q,M páronként diszjunkt halmazok; /= Ř, Q > 2, M = 3. Egyszalagos, determinisztikus Turing gépnek
Algoritmuselmélet ZH 2015. április 8.
Algoritmuselmélet ZH 2015. április 8. 1. Tekintsük az f(n) = 10n 2 log n + 7n n + 2000 log n + 1000 függvényt. Adjon olyan c konstanst és olyan n 0 küszöbértéket, ami a definíció szerint mutatja, hogy
Szakdolgozat. Pongor Gábor
Szakdolgozat Pongor Gábor Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Egy kétszemélyes játék számítógépes megvalósítása Témavezetı: Mecsei Zoltán Egyetemi tanársegéd Készítette: Pongor Gábor Programozó
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása
Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;
Gyakorló feladatok ZH-ra
Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
3. gyakorlat Dinamikus programozás
3. gyakorlat Dinamikus programozás 1. Az 1,2,...,n számoknak adott két permutációja, x 1,...,x n és y 1,...,y n. A két sorozat egy közös részsorozata egy 1 i 1 < < i k n, és egy 1 j 1
Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!
Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
NP-teljesség röviden
NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel
MATEMATIKA C 6. évfolyam 6. modul CSUPA TALÁNY
MATEMATIKA C 6. évfolyam 6. modul CSUPA TALÁNY Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 6. ÉVFOLYAM 6. MODUL: TALÁNY TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály A képességfejlesztés fókuszai
Szeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
Puskás Béla: Hálózatelméleti alapok
Puskás Béla: Hálózatelméleti alapok "Egyébként kedves játék alakult ki a vitából. Annak bizonyításául, hogy a Földgolyó lakossága sokkal közelebb van egymáshoz, mindenféle tekintetben, mint ahogy valaha
p j p l = m ( p j ) 1
Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján
Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).
Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés
JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA
Szociológiai Szemle 2005/1, 23 40. JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA MÉSZÁROS József Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi, Egyetem Szociológia és Kommunikáció Tanszék
1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.
Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,
OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR
OPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential
A MAGYAR KIEGYENLÍTŐENERGIA-PIACI ÁRKÉPZÉSI RENDSZER VIZSGÁLATA
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Villamos Energetika Tanszék Kondor Máté András A MAGYAR KIEGYENLÍTŐENERGIA-PIACI ÁRKÉPZÉSI RENDSZER VIZSGÁLATA Tudományos
9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek
9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések A fák magassága és határa
DOMSZKY ZOLTÁN. Gondolkodj!
DOMSZKY ZOLTÁN Gondolkodj! Előszó Szinte mindenki szereti a rejtvények, feladványok valamilyen formáját. Egyszerűen azért, mert gondolkodni jó. Bár nem egyszer hallottam már mondani, hogy én nem tudok
A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal
A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők
MATEMATIKAI PARADOXONOK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI PARADOXONOK BSc MATEMATIKA SZAKDOLGOZAT TANÁRI SZAKIRÁNY Készítette: Hajnal Anna Témavezető: Korándi József BUDAPEST, 2015 Tartalomjegyzék
Válasz Páles Zsolt opponensi véleményére
Válasz az opponenseknek Köszönöm az opponensek elismerő szavait és a játékelmélet szerepének az értekezésen túlmutató pozitív értékelését. A bírálatra válaszaimat a bírálóknak külön-külön tételesen, az
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.
19. Hasításos technikák (hash-elés)
19. Hasításos technikák (hash-elés) Példák: 1. Ha egy telefon előfizetőket a telefonszámaikkal azonosítjuk, mint kulcsokkal, akkor egy ritkán kitöltött kulcstartományhoz jutunk. A telefonszám tehát nem
Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2016. január 7.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: GI pont(45) : Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2016. január 7. A dolgozat minden lapjára, a kerettel
DIPLOMAMUNKA Bir o P eter
DIPLOMAMUNKA Biró Péter BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR VILÁGGAZDASÁGI TANSZÉK EURÓPA FŐSZAKIRÁNY STABIL PÁROSÍTÁSOK GAZDASÁGI ALKALMAZÁSAI Készítette: Biró Péter Témavezető: Dr. Magas
Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.
Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és
Számításelmélet 2 - El adás jegyzet
Számításelmélet 2 - El adás jegyzet Rózsa Gábor 2007. els félév 1 Bevezetés Ajánlott irodalom: Katona-Recski: Bevezetés a véges matematikába Rónyai-Ivanyos-Szabó: Algoritmusok Lovász: Aloritmusok bonyolultsága
Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc
É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
Relációs algebrai lekérdezések átírása SQL SELECT-re (példák)
Relációs algebrai lekérdezések átírása SQL SELECT-re (példák) Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 Áttekintés: Rel.algebra és SQL Példák: Tk.Termékek
Kvízverseny. SimpleX Tehetségnap, 2015
Kvízverseny SimpleX Tehetségnap, 2015 GEOMETRI 1. mellékelt ábrán négyzet, F, E és [E] [F ]. Mekkora az α szög mértéke? E α F 2. α =? 3. mellékelt ábrán négyzet, F és [F ] []. Mekkora a ĈF szög mértéke?
Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák
Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák A tanult paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Egymintás U próba Kétmintás U próba Egymintás T próba Welch próba (Kétmintás T próba) F próba Grubbs próba
Makrogazdasági helyzetkép és tendenciák
Makrogazdasági helyzetkép és tendenciák Nyugdíjbiztosítások szerepe a nyugdíjrendszerben Palotai Dániel 1. november. MABISZ konferencia I. Makrogazdasági helyzetkép és tendenciák Felvevőpiacaink növekedési
Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória
Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.
A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé
A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé A Matematika Közoktatási Munkabizottságot az MTA III. osztálya azzal a céllal hozta létre, hogy felmérje a magyarországi matematikatanítás
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Digitális technika VIMIAA01
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek
Budapest a kulturális turizmus szemszögéből A Budapesti Kulturális Munkacsoport tanulmánya. Szerzők: Nyúl Erika és Ördög Ágnes 1
Budapest a kulturális turizmus szemszögéből A Budapesti Kulturális Munkacsoport tanulmánya Szerzők: Nyúl Erika és Ördög Ágnes 1 A Budapestre érkező külföldi turisták kulturális szokásait vizsgáló kutatás
EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2013. január 9.
Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: GI pont(45) : Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2013. január 9. A dolgozat minden lapjára, a kerettel
Geometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam
ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési
A főbb témakörök listája
A főbb témakörök listája Nem jelenti azt, hogy kizárólag ezek közül lehetnek vizsgakérdések (nem mind részletezettek, a teljes számonkérhető anyag a tankönyv és az előadás fóliák), de a hangsúly ezeken
Általános Szolgáltatási Feltételek Ingatlan Forrás Üzletszabályzat
Általános Szolgáltatási Feltételek Ingatlan Forrás Üzletszabályzat Hatályos 2016. január 1-től új ÜZLETSZABÁLYZAT megjelenéséig vagy visszavonásig Jelen Üzletszabályzat tartalmazza az InterPont Plus Kft.
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.
Készítette: Gyalus Katalin
Készítette: Gyalus Katalin 2011 Ha tetszik az írás, továbbküldheted másoknak is. Viszont ne változtasd meg, ne add el, ne tüntesd fel saját munkádnak! Tartalom CSOMÓZOTT NYAKLÁNC... 3 RÖVID CSOMÓZOTT NYAKLÁNC...
Bódis Lajos Privatizáció, munkaszervezet és bérelosztási mechanizmusok egy nagyüzemi varrodában, II. rész
ESETTANULMÁNY Közgazdasági Szemle, XLIV. évf., 1997. szeptember (799 818. o.) Bódis Lajos Privatizáció, munkaszervezet és bérelosztási mechanizmusok egy nagyüzemi varrodában, II. rész A szerzõ az új intézményi
Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)
Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,
4. modul Poliéderek felszíne, térfogata
Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott
Átkeléses feladatok 1.) 2.) 3.) 4.)
Átkeléses feladatok 1.) Van egy folyó, amin egy csónak segítségével egy embernek át kell vinnie az egyik partról a másikra egy farkast, egy kecskét és egy káposztát. A csónakba az emberen kívül csak egyvalami
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Multihalmaz típus TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV Értékhalmaz: az alaphalmaz (amely az Elemtípus és egy darabszám által van meghatározva)
* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell
* Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Verseny és versenyellenesség
Összegezés az ajánlatok elbírálásáról
Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 1 9. melléklet a 92/2011. (XII. 30.) NFM rendelethez 1. Az ajánlatkérő neve és címe: Budapesti Távhőszolgáltató Zártkörűen Működő Részvénytársaság (FŐTÁV Zrt.) 1116
Hibatűrő TDMA ütemezés tervezése ciklikus vezeték nélküli hálózatokban. Orosz Ákos, Róth Gergő, Simon Gyula. Pannon Egyetem
Hibatűrő TDMA ütemezés tervezése ciklikus vezeték nélküli hálózatokban Orosz Ákos, Róth Gergő, Simon Gyula Pannon Egyetem Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Email: {orosz, roth, simon}@dcs.uni-pannon.hu
A MATEMATIKA ÉS A HADTUDOMÁNYOK HATÁRÁN: JÁTÉKELMÉLET ALKALMAZÁSA A KATONAI KÉPZÉSBEN
X. Évfolyam 2. szám - 2015. június SZEGEDI Péter peter.szegedi92@gmail.com A MATEMATIKA ÉS A HADTUDOMÁNYOK HATÁRÁN: JÁTÉKELMÉLET ALKALMAZÁSA A KATONAI KÉPZÉSBEN Absztrakt A cikkben bemutatásra kerül, hogy
ADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS
ADATBÁZISKEZELÉS 1 ADATBÁZIS Az adatbázis adott (meghatározott) témakörre vagy célra vonatkozó adatok gyűjteménye. - Pl. A megrendelések nyomon követése kereskedelemben. Könyvek nyilvántartása egy könyvtárban.
Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1
Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre
MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ
MATEMATIKA C 5. évfolyam 1. modul DOMINÓ Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 5. ÉVFOLYAM 1. MODUL: DOMINÓ TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A tudatos
Spike Trade napló_1.1 használati útmutató
1 Spike Trade napló_1.1 használati útmutató 1 ÁLTALÁNOS ÁTTEKINTŐ A táblázat célja, kereskedéseink naplózása, rögzítése, melyek alapján statisztikát készíthetünk, szűrhetünk vagy a már meglévő rendszerünket
Hronyecz Ildikó - Mátics Katalin. A pszichiátriai betegek ápolást, gondozást nyújtó intézményeinek vizsgálata II.
Hronyecz Ildikó - Mátics Katalin A pszichiátriai betegek ápolást, gondozást nyújtó intézményeinek vizsgálata II. Bevezető Az alábbiakban olvasható tanulmány folytatása a Kapocs 2003. decemberében megjelent
Szepesvári Csaba. 2005 ápr. 11
Gépi tanulás III. Szepesvári Csaba MTA SZTAKI 2005 ápr. 11 Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III. 2005 ápr. 11 1 / 37 1 Döntési fák 2 Felügyelet nélküli tanulás Klaszter-anaĺızis EM algoritmus Gauss
Halmazelmélet alapfogalmai
1. Az A halmaz elemei a kétjegyű négyzetszámok. Adja meg az A halmaz elemeit felsorolással! 2. Adott három halmaz: A = {1; 3; 5; 7; 9}; B = {3; 5; 7}; C = {5;10;15} Ábrázolja Venn-diagrammal az adott halmazokat!
LAKOSSÁGI TELEVÍZIÓS PLATFORMOK, DIGITÁLIS ÁTÁLLÁS ÉRINTETTSÉGI ÉS INFORMÁLTSÁGI ADATOK
2012. május Projektkoordinációs Főosztály DIGITÁLIS ÁTÁLLÁS MONITORING 2012. TAVASZ KUTATÁSI EREDMÉNYEK LAKOSSÁGI TELEVÍZIÓS PLATFORMOK, DIGITÁLIS ÁTÁLLÁS ÉRINTETTSÉGI ÉS INFORMÁLTSÁGI ADATOK A KUTATÁSSOROZAT
GYÖNGYÖS-MÁTRA Takarékszövetkezet HIRDETMÉNY
GYÖNGYÖS-MÁTRA Takarékszövetkezet 3200 Gyöngyös, Magyar út 1. 1 em 7. Telefon: 37/505-220, Fax: 37/505-225 email: kozpont@gyongyosmatra.tksz.hu, www.gyongyosmatratakarek.hu Nyilvántartó bíróság: Egri Törvényszék
KVANTITATÍV MÓDSZEREK
KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...
Duncan Shelley Íróakadémia
Duncan Shelley Íróakadémia ÍRÁSTANULÁS az interneten 1. A távoktatás nagyon kényelmessé teszi a tanulást, de csak bizonyos tárgyak tanulhatók ezen a módon. Minden olyan mesterség, amely nagyfokú veszéllyel
Mikroökonómia 11. elıadás
Mikroökonómia 11. elıadás ÁLTALÁNOS EGYENSÚLY ELMÉLET - folytatás Bacsi, 11. ea. 1 A TERMELÉS ÉS CSERE ÁLT. EGYENSÚLYA ÁRAK NÉLKÜL/1 termelés: hatékony input allokáció csere: hatékony output allokáció
LEKÉRDEZÉSEK SQL-BEN. A relációs algebra A SELECT utasítás Összesítés és csoportosítás Speciális feltételek
LEKÉRDEZÉSEK SQL-BEN A relációs algebra A SELECT utasítás Összesítés és csoportosítás Speciális feltételek RELÁCIÓS ALGEBRA A relációs adatbázisokon végzett műveletek matematikai alapjai Halmazműveletek:
Távközlési szolgáltatások használata az üzleti felhasználók körében 2009
Távközlési szolgáltatások használata az üzleti felhasználók körében 2009 Prezentáció a Nemzeti Hírközlési Hatóság [NHH] részére 2010. március A projekt és a prezi címe 2005.12.34. Távközlési szolgáltatások
A FM Közép-magyarországi Agrár-szakképző Központ Bercsényi Miklós Élelmiszeripari Szakképző Iskola és Kollégium. meghirdeti a 2015/2016.
A FM Közép-magyarországi Agrár-szakképző Központ Bercsényi Miklós Élelmiszeripari Szakképző Iskola és Kollégium meghirdeti a 2015/2016. tanévben a III."FÖLDTŐL AZ ASZTALIG" AGRÁR- ÉS ÉLELMISZERTUDOMÁNYI
Tudásmenedzsment és a fogolydilemma Fenyvesi Éva
Tudásmenedzsment és a fogolydilemma Fenyvesi Éva A fogolydilemma Neumann János már 1928-ban publikált a játékelméletről, ami azonban csak 1944-ben, egy amerikai közgazdásszal, Oskar Morgenstern-nel együtt
Kő, papír, olló és a snóbli
Matematika C 3. évfolyam Kő, papír, olló és a snóbli 1. modul Készítette: Köves Gabriella Matematika C 3. évfolyam 1. modul kő, papír, olló és A snóbli MODULLEÍRÁS A modul célja Szabály megértése, követése,
5 HOZZÁFÉRÉS-VÉDELEM. A fejezet VIDEOTON fejlesztési dokumentációk felhasználásával készült
5 HOZZÁFÉRÉS-VÉDELEM A rejtjelezésben az adatvédelem hatékony és az adathálózat védelmében nélkülözhetetlen eszközét ismertük meg. Természetesen annak sincs semmilyen elvi akadálya, hogy a rejtjelezést
Kapacitív áramokkal működtetett relés áramkörök 621.316.92S:621.318.B7:S21.3S2.$
DR. GÁL JÓZSEF Budapesti Műszaki Egyetem Kapacitív áramokkal működtetett relés áramkörök BTO 621.316.92S:621.318.B7:S21.3S2.$ A cikk cím szerinti témáját két, egymástól időben nagyon távoleső kapcsolási
A térinformatika t. Az informáci. ciós s rendszerek funkciói. Az adatok vizsgálata
Térinformatika Elemzések 1. Az informáci ciós s rendszerek funkciói adatnyerés s (input) adatkezelés s (management) adatelemzés s (analysis) adatmegjelenítés s (presentation) Összeállította: Dr. Szűcs
Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2011. június 2.
GI pont(45) : Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2011. június 2. A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja fel nevét, valamint
Adatbázisok I. Az SQL nyelv
Adatbázisok I Az SQL nyelv SQL (Structured Query Language) Deklaratív nyelv, 1974-ben publikálták Halmaz orientált megközelítés, a relációs algebra műveleteinek megvalósítására Előzménye a SEQUEL (IBM)(Structured
Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)
Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index
Egyenletes törlesztésű, zárt végű, változó kamatozású, forint alapú fogyasztóval kötött pénzügyi lízingszerződés
amely létrejött egyrészről Egyenletes törlesztésű, zárt végű, változó kamatozású, forint alapú fogyasztóval kötött pénzügyi lízingszerződés neve: Készfizető kezes neve/cégneve, aki készfizető kezességet
Szakmai ajánlás. az egységes villamos energia feszültség minőség monitoring rendszer kialakítására
ES-891/9/2008. Szakmai ajánlás az egységes villamos energia feszültség minőség monitoring rendszer kialakítására Budapest, Tartalomjegyzék 1. Célkitűzés... 3 2. Bevezetés... 3 3. Nemzetközi kitekintés...
Számítógépes adatbiztonság
Számítógépes adatbiztonság IN11 Tematika Bevezetés Informatikai biztonság, adat- és információvédelemi alapfogalmak Zajos csatornák Hibadetektáló és javító kódolások Kriptográfia - alap algoritmusok I.
Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán
1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?
skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as
MATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
GAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
A FOGLAKOZÁS ADATAI: SZERZŐ. Vindics Dóra. Vezérelj robotot! A FOGLALKOZÁS CÍME A FOGLALKOZÁS RÖVID
A FOGLAKOZÁS ADATAI: SZERZŐ Vindics Dóra A FOGLALKOZÁS CÍME Vezérelj robotot! A FOGLALKOZÁS RÖVID LEÍRÁSA A tanulók gyakran nem értik, hogy miért van szükség arra, amit matematika órán tanulnak. Ebben
Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és
FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. május 4. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
Az 5. 14. modul. Készítette: bóta mária kőkúti ágnes
Matematika A 1. évfolyam Az 5 14. modul Készítette: bóta mária kőkúti ágnes matematika A 1. ÉVFOLYAM 14. modul Az 5 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK
1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései
A Számítástudomány Alapjai
A Számítástudomány Alapjai Kidolgozott tételsor Eke Máté eke.mate@outlook.com Tartalom Tartalom... 1 1. Leszámlálási alapfogalmak: permutációk, variációk és kombinációk (ismétlés nélkül és ismétléssel);