Transzportfolyamatok

Átírás

1 ranszportfolyamatok (transzport = szállítás, fuvarozás) Jelentősége: élőlények anyagcsere pl. légzés, vérkeringés, sejtek közötti és sejten belüli anyagáramlás Korábban szerzett felhasználható ismeretek: mechanika (mozgások) elektromosság Q (elektromos áramerősség, I Q = ;[A]) sugárzások E (energia áramerősség, I E = ;[W]; I E W energia áramsűrűség, J E = ; A m )

2 érfogati áramlás (csövekben) Áramló folyadékok (és gázok) hidrodinamika (áramvonalak; időben állandó: stacionárius áramlás) térfogati áramerősség térfogati áramsűrűség Megjegyzések: IV J V V = ; m 3 s I m = ; A s (áramlási sebesség) összenyomhatatlan áramló közeg esetén, m V m tömeg áramerősség I m = = = IV ρ m V reális folyadék lamináris áramlás (réteges) turbulens áramlás (gomolygó)

3 Kontinuitási törvény: I V = állandó 3 V x IV = = A = Av = állandó v = Av (tömegmegmaradás, nincs forrás sem nyelő) I. A v A v A p p x x II. Pl. erek érszakasz átmérő (cm) ágak száma A ö (cm ) υ (cm/s) aorta,4 4,5 3 artériák 0, arteriolák 0,003 5, ,5 kapillárisok 0,0007, ,0 venulák 0,00, ,05 vénák 0, ,5 venae cavae 3,4 8 6

4 Ideális folyadék:.) összenyomhatatlan (inkompresszibilis).) a súrlódásától eltekintünk Mechanikai energia megmaradás (munkatétel): 4 p A v p A v = mv mv (p p ) V = m mv mv ( = ρ V m ) Bernoulli törvény: p + ρm v = p + ρm v = állandó Példák Viszkózus (reális) folyadék: (Amikor a súrlódásától nem tekintünk el) Newton-féle súrlódási törvény: -F h A A F v v=0 F v =η A h v/ h a sebességesés η[pas] belső súrlódási együttható vagy viszkozitás

5 Néhány anyag viszkozitása normál állapoton mérve: anyag viszkozitás [Pas] levegő 0-5 víz 0-3 méz 0 bitumen 0 8 üveg Érvényesség: newtoni folyadék nem newtoni folyadék Alkalmazás: R l r v p p pr v π = ηrπl r v pr = r ηl = Kr

6 Megoldás: 6 -R v* v r r R ( KR + Kr v* = * )( r v* = K(R+r * )(R r * ) * ( R)) v v* = K(R r * ) -R -r* v* r R p v* = (R r* ) ηl (parabolikus sebességprofil) Mekkora a térfogati áramerősség? I V = v átl. A = v átl. R π Mekkora v átl.? p v(r)= (R r ) ηl p v max. = (R ) 4ηl Új jelölés: R X, r x v -R R X v v m a x. r v m a x. v á t l. X x

7 7 v(x)= p ( X x ) vátl. = ηl v max. Hagen Poiseuille-törvény: p I V = (R ) R π = 4ηl π p R 4 8ηl Hogyan mozog a test viszkózus közegben? Becslés gömb esetén: ( F v F η4r π = 4πηrv r Stokes törvény: F = 6πηrv v =η A ) h Lamináris áramlás (F v) urbulens áramlás (F v ) v kritikus = R e η ρ r m Reynolds szám (R e 000 sima falú cső esetén)

8 A H P-törvény és az Ohm-törvény hasonlósága I V = π R 4 A p I Q = U = 8ηl R Ω ρl U = π R ϕ ρl a soros és párhuzamos kapcsolásra vonatkozó összefüggések (Kirchhoff törvények) érvényessége 8 p p ϕ ϕ l l gradiens vektor (-grad p), (-gradϕ)

9 Miért lép fel súrlódás? (mikroszkopikus kép) (aluljáró pl.) l t idő alatt A a véletlen ütközések száma k U τ = k t az ütközések között eltelt átlagos idő U a kitüntetett részecskékre F = q erő hat l F U m v drift = τ = uf = uq ; (u ; m l Ns a mozgékonyság) N n = a részecske koncentráció; (n ; V 3 m ) idő alatt Q = q N = qnv drift A töltés éri el a lemezt 9 Q U = I Q = uq Anq = uq A A S n U = σ U (σ ; l l l m ) J Q = -σ ϕ x Megjegyzések: gáz ill. folyadék lamináris áramlása

10 Diffúzió (kísérlet) N részecske áramerősség I N = ; s részecske áramsűrűség I N J N = ; A m s átlagos szabad úthossz d = vτ ; [m] Megjegyzések: elektromos áramerősség I Q = qi N, 0 n - n + tömeg áramerősség I m = mi N n nx () A n - n + x0 x x x-d 0 x + d 0 x idő alatt N = N - N + = vx A(n - n + ) részecske lép át az A felületen x Fick I. törvénye: J Nx = vx d x ( n ) x = v x d n n x = D x (D ; m x ) s felhasználva, hogy d x = v x τ, ill. τ = um J Nx = mv n x u ; (de mvx = k) D = uk x

11 Általánosított kontinuitási törvény: x [J(x) J(x + x)] A = A = [n(t +) n(t)] A x Jx () -(+ Jx x) J n = x x alkalmazás: Fick II. törvénye: n x D n = x n x n(t +) = n(t) + D t n ( D n x x = ) t n(x,t) grafikus megoldás: (gyakorlat) n(x,t) n(x,t) = n0 e πσ ( t) x [ σ ( t) ] σ(t) = Dt t x

12 Bolyongás R N = R N- +d R N- d cos γ R N = Nd és N = τ t R(t) = d t τ = Dt (Robert Brown ( ) angol botanikus, Maryan Smoluchowski (87-97) lengyel fizikus, Einstein) Hővezetés termikus energiaáram diffúzió útján: felhasználjuk, hogy idő alatt N = N N = vz A(n n ) = 0 részecske lép át az A felületen, de E = N k N k = vz An k( ) 0 J Ez = vz d z nk = λ z z (Fourier törvény) (λ ; W ) mk

13 I C Meddig tart az áramlás? I = R U ; U = C Q Q t = Q ; Q = Q0 R e RC RC t ϕ = ϕ 0 e RC Beáll az egyensúly. 3 A transzportfolyamatok termodinamikai vonatkozásai ermodinamika: energetikai kölcsönhatások folytán fellépő folyamatok ill. egyensúlyok tudománya. V, Q, N, E p V, ϕ Q, µ N E (µ?) ermodinamikai rendszer (és környezet): sok (egymással kölcsönható) részecske (makroszkopikus) Felosztás: ípusa Anyag Energia csere Izolált Zárt + Nyitott + +

14 Jellemző mennyiségek: extenzív mennyiségek: (pl. V, Q, N, E) arányosak a rendszer méretével, (a részrendszerekre vonatkozó mennyiségek összege megegyezik a teljes rendszerre vonatkozó mennyiséggel; pl. V i = V teljes ) i összeadódnak áramlanak intenzív mennyiségek: (pl. p, ϕ, µ, ) függetlenek a rendszer méretétől kiegyenlítődnek különbségük áramot hajt 4 Általánosítás: Onsager egyenlet: ahol J = A x ext J = LX X = x y int Ha X = 0 J = 0 EGYENSÚLY (dinamikus)

15 A termodinamika főtételei 5 0.) Ha a rendszer intenzív mennyiségeinek térbeli eloszlása homogén, akkor a rendszer egyensúlyban van. I.) E = Q E + W W = p V több lehetséges kölcsönhatás W Q = ϕ Q; W N = µ N A µ fizikai jelentése (hasonló az elektromos potenciálhoz): energiaváltozás; (Új töltetlen részecske megjelenése növeli a rendszer mozgási energiáját, továbbá a többi részecskével való kölcsönhatások miatt a helyzeti energia is megváltozik.) W Q és W N összevonható, mert Q = zq N W NQ = (µ + zqϕ) N [W NQ = (N A µ + zfϕ) ν] ovábbi általánosítás: W (i) = y (i) (i) int x ext (a termikus kölcsönhatás kitüntetett) II.) A spontán folyamatok irányára vonatkozó kvalitatív megállapítás; kiegyenlítődik. A kvantitatív megfogalmazáshoz szükséges az entrópia (S) bevezetése; formálisan: Q E = S

16 Hogyan változik az entrópia (S) a kiegyenlítődési folyamat során? 6 S S E = 0 E = E E = S ; E = S izolált hővezető S = S 0 S S nem megmaradó mennyiség! E + folyamat E egyensúly = E ( ) t Az entrópia statisztikus értelmezése (Mi az entrópia valójában?) Láttuk, hogy a formálisan bevezetett entrópia növekszik. Van-e olyan más mennyiség, ami ugyanígy viselkedik? Mikroállapot: a rendszer összes részecskéjének mikroszkopikus paramétereit (pl. helyét, sebességét) ismerjük. (egyformán valószínűek) Makroállapot: a makroszkopikus paraméterek (pl. hőmérséklet, nyomás, sűrűség, energia) eloszlását kell ismernünk.

17 Egy makroállapothoz tartozó mikroállapotok száma a makroállapot termodinamikai valószínűsége: Ω 7 Lássunk egy példát! A termodinamikai rendszer: a tanteremben lévő levegő Ω AB = Ω A Ω B kiegyenlítődési folyamat során növekszik, de Ω nem additív lnω AB = lnω A + lnω B S = k lnω S k ( Ω = e ) III. Egykomponensű kristályosodó anyagok entrópiája 0 K-n zérus. S = k lnω = k ln = 0

18 Egy fontos példa: gáz szabad tágulása ΔE = Q + W igaz összefüggés ΔE = ΔS pδv igaz összefüggés, de ΔS Q és pδv W ΔE = 0 és ΔS = pδv nincs munkavégzés, nincs hőcsere, de a térfogat és az entrópia növekszik A rendszer entrópiája a környezettől felvett hő következtében és a rendszerben lejátszódó megfordíthatatlan (irreverzíbilis) folyamatok révén változik meg. Q ΔS = + σ, aholσ > 0

19 ermodinamikai potenciálok Hess tétele: adott kezdeti és végállapot közötti átalakulásnak megfelelő átalakulási hők összege független az átalakulás közbülső állomásaitól, csakis a kezdeti és végállapottól függ Kitérő: a szorzat (pl. xy) kis megváltozásáról Δxy = (x + Δx)(y + Δy) xy = xδy + yδx mert ΔxΔy ezek mellett elhanyagolhatóan kicsi A kémiai reakciók többsége állandó nyomáson zajlik (Δp = 0) ΔE = Q + W ΔE = Q pδv, de pδv = ΔpV, mivel VΔp = 0 ezért ΔE + ΔpV Δ(E + pv) ΔH = Q entalpia változás A folyamatok iránya nem izolált rendszerekben ΔS = ΔS r + ΔS k > 0 Q ΔS k = Q ΔS r > 0 ΔS r > Q = ΔE r 0 > ΔE ΔS, de Δ = 0 Δ(E S) ΔF < 0 szabadenergia változás

20 3 ΔS = ΔS r + ΔS k > 0 Q ΔS k = Q ΔS r > 0 ΔS r > Q = ΔE r + pδv 0 > ΔE ΔS + pδv, de Δ = 0 és Δp = 0 Δ(E S + pv) = Δ(H S) ΔG < 0 szabadentalpia változás Mennyi energia fordítható munkavégzésre? Példa: akkumulátor (állandó hőmérsékleten, = állandó) ΔE = Q + W, módosítás ΔE = Q W le, ahol W le az akkumulátor által végzett munka ΔS = Q + σ = ΔE + Wle ΔE + W + σ > le W le < Δ(E S) = ΔF Elnevezés: szabad energia. A belső energia sohasem fordítható teljes mértékben munkára.