Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok.
|
|
|
- Fanni Magyar
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet február 16. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Szinte minden oldalról természetes, nehezen áthatolható határok: északon és keleten tenger, délen az Etiop magasföld, nyugaton a Nubiai sivatag; bejárat csak a Sinai félsziget felöl. A (sokhelyütt keskeny) folyóvölgy védett a hódítóktól, külső hatásoktól. Nincsenek pusztító esők, de a Nilus rendszeresen árad, ez víz + szerves anyag utánpótlást jelent, lehetőség nagy mennyiségű gabona termelésére. Ezért e vidék számos ókori birodalom éléskamrájaként funkcionált. A Nilus rendszeres áradása csillagászati megfigyelésekre támaszkodva naptárrendszerük alapja lett. Ez az áradások miatti földmérések szükségessége az itt élő népek matematikájának fejlődésére is hatott. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Az egyiptomi civilizáció kezdete. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Az egyiptomi mitológia: a legfőbb istenek. Kezdet: a Napisten, RA vagy RÉ, Amonra, Amonré. Gyemekeik az első isten pár : SU és TEFNUT, a szárazság és a nedvesség isteni párja. Gyermekeik az isten pár : NUT az Ég és GEB a Föld istene. Gyermekeik a két isten pár : OZIRISZ és IZISZ valamint SET és NEFTISZ. A két pár férfi tagjainak, Ozirisznek és Setnek állandó harca. Predinasztikus kor: a két királyság. Alsó- ill. Felső Egyiptom, eltérő temetkezési szokások. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred vége felé. Az első írás, a hieroglifikus, kialakulása, majd a második, a hieratikus. A két írás használatának eltérő vonásai. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
2 Első egyesítés. A predinasztikus kor vége Narmer Felső-Egyiptom uralkodója a IV. évezred végén meghódítja Alsó-Egyiptomot. Narmer paletta Első egyesítés. Narmer paletta: előlap Narmer neve a tetején olvasható (korai hieroglif írás) a Hathor-fejek közt, az uralkodó Felső-Egyiptom fehér koronáját viseli, az Alsó-Egyiptomot szimbolizáló fejedelemre sújt, Alsó-Egyiptom jelképét Hórusz isten megkötözi. Narmer paletta: hátlap Narmer Alsó-Egyiptom vörös koronáját viseli, körülötte lefejezett ellenségek. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 A három birodalom. A dinasztiák. I.e. 280 körül uralkodott (hellén korbeli) II. Ptolemaiosz (Philadelphusz) utasítására egy Manetho nevű pap listát készített az uralkodókról (uralkodó családokról), amely 31 ún. dinasztiát sorolt föl. Az Óbirodalom. Az első egyesítés I.e körül (3200 és 2800 közötti időpontok olvashatók), Narmer utóda: Menész (Hórusz Aha néven is szerepel) stabilizálja a hódítást. Kezdetét veszi az Óbirodalom kora. Piramisépítések: a Királyok völgye. Abu Simbel sziklatemploma. Szobrászati emlékek: a guggoló írnok, Nofretete. Irodalmi alkotások: Imhotep (Ptahhoptep) intelmei. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 A három birodalom. A Középbirodalom. I.e tól hanyatlás, majd az első átmeneti kor: a birodalom kettészakadt. I.e körül II. Mentuhotep (XI. dinasztia, Felső Egyiptom) ismét egyesíti a két királyságot: kezdetét veszi a Középbirodalom kora. Építészet: a Fajjumi víztározó. Irodalom: Szinuhe története, Fontos matematikai papirusztekercsek: Rhind (British Musem), Moszkvai (Golenisev) (Puskin Múzeum). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
3 A három birodalom. Írásos emlékek. Az egyiptomi írások és megfejtésük. Második átmeneti kor. I.e körül a XII. dinasztia végén, részben külső (hikszosz) támadás következtében, megbukik az egységes birodalom, ismét két királyság. Elkészül a Rhind papirusz egy másolata, sok további matematikai tekercs. Kerekes járművek, fazekaskorong. Az Újbirodalom körül a XVIII. dinasztia uralkodói ismét egyesítik a birodalmat: létrejön az Újbirodalom. A XXV. dinasztia idején, a 8-7. században megjelenik a harmadik írás, a demotikus, A hieroglifikus írás. A hieroglifikus írás egyfajta képírás, hasonló a másutt, pl. Mezopotámiában használthoz. Eredete nem világos. Első változata vélhetően még az Óbirodalom előtti időből származik. A hieratikus írás. Első változata szintén a predinasztikus korból származik, a hieroglifikus egyszerűsítésével kurzívabbá tételével alakult ki. I.e körülre alakult ki a végsőnek tekinthető változata. Ez időtől a hieroglifikus írás használata szakrális célokra korlátozódott, a hieratikus írás vált áltlánossá. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Írásos emlékek. Az egyiptomi írások és megfejtésük. A démotikus írás. Az Újbirodalom vége felé, kb. a I.e században további egyszerűsítés, kurziválás révén létrejött a démotikus írás. Rosetta kő. Írásos emlékek. Az írások megfejtése. 1799, a Rosetta kő megtalálása. A British Museumban őrzik. A I.e. II. század elejéről származik. Kétféle egyiptomi (hieroglifikus valamint démotikus) írással, és görög nyelven szerepel ugyanaz a szöveg: Memphis főpapja istenként, istenek fiaként köszönti V. Ptolemaioszt. A megfejtés tól Champolion és T. Young előbb megfejtették a két egyiptomi írást, majd interpolációval megkapták a hieratikus írás megfejtését is. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
4 Csillagászat. Csillagászat. A Nílus áradásai. Megfigyelték, hogy a a Nilus évenkénti, rendszeres áradása röviddel az után következik be, hogy a Sziriusz csillag közvetlenül a Nap fölkelte előtt jelenik meg a horizonton. Az ezt követő napokon a csillag hosszabb ideig látható a napkelte előtt egészen addig, amíg a Nap fénye elhomályosítja. Azt a napot, amelyen a csillag megjelent választották az év kezdőnapjának, ugyanis e naphoz volt köthető a Nilus rendszeres áradásának kezdete, és A Nílus áradásai alapvető fontosságúak voltak mezőgazdaságukban. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Csillagászat. A tanulságok. Csillagászat. Azt tapasztalták, hogy két áradás, a Sziriusz két megjelenése között 365 nap telik el. Ezt tekintették egy évnek. Pontosabb számítások szerint A Sziriusz két megjelenése között kb nap telik el. Ezen eltérés a későbbiek során számos problémát okozott, naptárreformok sorát indította el. Az első naptár. Az évet 12 egyenként 30 napos hónapra osztották, és volt még 5 extra nap. Az 1 4 napos eltérés miatt a rendszer 1460 évenként került összhangba a valósággal. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Csillagászat. Csillagászat. Hieroglifikus számok A naptár bevezetése. Egyes források szerint az egyiptomiak e naptárukat I.e ben vezették be, de ezen dátum komolyan megkérdőjelezhető. E dátum Censorinus római csillagász I.sz. 238-as számításain alapul, szerinte az egyiptomi naptár legutóbb I.sz. 139-ben volt összhangban a csillagászatival. Extrapolációs számításai eredményezték a I.e es bevezetést. Három ciklussal számolt, de valószínűbb a két ciklussal korábbi, azaz I.e as bevezetés. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
5 Hieratikus és démotikus számok Számírásuk. 10-es alapú és nem helyiértékes, a 10 hatványainak különböző jele volt. Törteket is használtak, DE... : összeadás. Additív jellegű, kezdetben minden műveletet a kettőzésre vezettek vissza, később tízszereztek és feleztek is. Ebben a rendszerben egyszerű összeadni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Szorzás kettőzésekkel (hieroglifikusan) Szorzás kettőzésekkel (mai jelölésekkel). Ismételt összeadásként végezték: kettőzések után. A kiszámítása (mai számírással): Az első oszlopban a -mal jelzett sorokban = 12 áll, így a második oszlop alapján = = 156. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
6 Szorzás tízszerezéssel és felezéssel (hieroglifikusan) Szorzás tízszerezéssel és felezéssel (mai jelölésekkel) A kiszámítása tízszerezéssel és felezésel: a számolás alapján a szorzat, lévén 17 = , nem más, mint , azaz 221. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Szorzás mindkét úton (hieroglifikusan) Osztás. Az előbbi szorzás alapján az osztás is elvégezhető akkor, ha a hányados egész, ugyanis additív aritmetikájukban az a : b azt jelentette, hogy számolj b-vel addig, amíg a-t kapsz. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
7 Osztás. Bonyolultabb azonban a helyzet akkor, ha a hányados nem egész. Meg kell vizsgálni: hogyan számoltak törtekkel, egyáltalán milyen törtekkel tudtak számolni. Törtek. A korabeli egyiptomiak számára általában nem léteztek az m n csak az 1 n alakúak. Törtek: jelölések. alakú törtek, Saját jele csak az 1 n alakú törteknek, valamint a 2 3-nak volt. Ezeket n és 3 fogja jelölni. Osztás. Tekintsük a 21 : 8 osztást, azaz számoljunk nyolcasával addig, amíg 21-et kapunk tehát, 21 : 8 = = problémájának megoldása alapján: az osztásnál a szorzásnál használt tízszerezés analogonjaként tizedrészt is vettek a számolás rövidítésére. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Számolás törtekkel. Három formula a Londoni bőrtekercsből = = = 3 Ezekből könnyen kaphatók a Rhind-papiruszon gyakran alkalmazott = = 1 3 = Számolás törtekkel. egyenlőségek = = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
8 Az elemi törtek kétszerezése. Az elemi törtek kétszerezése. Két sor a Rhind-papirusz 2: n táblázatából. Első 2: 31 A papiruszon ez áll: Így az 20, 4 az, az = A mögöttes számolás: ugyanis / / ( ) = 2. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Az elemi törtek kétszerezése. Interpretáció. A számolás tömör, csak sejthető hogyan jött rá. Valószínű, hogy az első sor után amit a tizedrész felezésével kap az eredményt kiegészíti 2-re, és közben használja az ugyancsak a bőrtekercsen található = 4 egyenlőséget. Az elemi törtek kétszerezése. Az előbbi számolás az az A második sor. 2: 35 Így 2 = A papiruszon ez áll: az az A piros számok. A papiruszon szereplő piros számok az első pillantásra nehezen interpretálhatók. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
9 Az elemi törtek kétszerezése. Interpretáció 1. lehetőség: a 7 és az 5 nem más, mint a hatodok száma az első sorbeli és ban, s ekkor az elől álló 6-os szerepe is világos, hatodokról van szó. 2. lehetőség: a 6, 7, 5 fordítottan arányos a 35, 30, 42-vel, s így egyenesen arányos 35, 30, 42-vel. Az utóbbit támasztja alá, hogy a papiruszon levő két sor a következő számolást rejtheti: Amiből 1 35 / / = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Az elemi törtek kétszerezése. Interpretáció Tekintsünk egy mai számolást = = = , azaz, törtek számlálóiként funkcionálnak. Ezt más számolásaik is alátámasztják. Kiegészítés 1-re. Emlékezzünk: a 2: 31 kiszámításánál at kellett kiegészíteni 1-re. Kiegészítésként adódott, de a probléma nem triviális. Egy kiegészítési technikát ad a Rhind 21. feladata. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 A 21. feladat. Mi egészíti ki a öt 1-re? Az eredmény. A megoldás összesen: 10 a maradék 4. Számolj 15-tel, míg 4-et kapsz A jelzett sorok jobb oldalán = 4 található, így az, amit hozzá kell adni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Interpretáció. A vörös kisegítő számok ismét tekinthetők számlálóknak közös nevezőre hozáskor. Ugyanis = Összegük 11, tehát még 4 15-öd hiányzik. Tekintsünk egy nehezebb kiegészítést, a Rhind 23. problémáját. Ebben a vörös kisegítő számok számlálóként való interpretálása első látásra problematikus. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
10 A Rhind 23. problémája. Egészítsük ki 3-ra. A (hiányos) számolás. Az eredmény öt Tehát et kell hozzáadni, hogy 3-at kapjunk. Ellenőrzés. Az összeg A további részletek hiányoznak a papiruszról, de megadható egy lehetséges rekonstrukció. Hangsúlyozzuk, hogy ez csak egy lehetséges eljárás, semmi biztosat nem tudunk az eredeti gondolatmenetről. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Rekonstrukció. Ha a törtek közös nevezőjének a 45-öt választjuk, akkor a számlálók összege (11 + 4) + ( ) + (4 + 2) + (1 + 2) + 1 = lenne. A 30-hoz még hiányzik Ezt 45-tel osztva kapjuk a kiegészítést. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Az osztás /9 5 / Tehát a hányados, vagyis a kiegészítés Vegyük észre A korabeli egyiptomi közös nevező a legkisebb tört nevezője, de a számláló így már nem értelmezhető mai módon, hiszen gyakran nem egész. Ez őket nem zavarta. Igazolásul még egy feladat. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
11 A 33. feladat. Egy mennyiséghez hozzáadva kétharmadát, felét és hetedét 37-et kapunk. A számolás (2 7 = ) (3 = 2 + 6) A számolás 2. A kiegészítés a vörös kisegítő számokon alapul. A közös nevező azonban nem 28, hanem 42. Miért? Láttuk: a számlálóknak nem kell egészeknek lenniük, DE összegük már mindig egész. Ez 28-cal még nem, de 42-vel már teljesül. A már nagyon közel van a 37-hez. Ami hiányzik, az kiegészítője 1-re. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 A vörös számok eredete. A szöveg alapján: A folytatás: az összeg 40, a maradék 2. A 40 kisegítő számok összege, és az egység 42 kisegítő egységet tartalmaz, tehát 2 még hiányzik. E 2-t úgy kapjuk, hogy az osztót, et, kisegítő egységekben fejezzük ki. A számolás az összeg 97 Azaz az osztó 97 kisegítő egységet tartalmaz, 97-ed része egyenlő 42-del. Már csak egy kétszerezés kell, ami a papiruszon a következő: A kétszerezés a Rhind bevezető táblázatából való. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
12 A Moszkvai papirusz. Egy meglepő eredmény. A végeredmény. 37: ( ) = A 14. probléma. Az a alapélű, b fedőélű és h magasságú csonkagúla térfogata V = (a 2 + ab + b 2 ) h 3. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Mat. Kultúrtört február / 46
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok.
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 8. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Szinte minden oldalról természetes, nehezen
A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.
Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 206. február. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred
A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.
Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 8. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig Egyiptom mai kiterjedése, az ország az egyesítés korában 02 03 Korai dinasztiák időszaka, 1-2. din. (Archaikus
Az egyiptomi művészet korszakai
Egyiptom térképe a városokkal Az egyiptomi művészet korszakai Predinasztikus korszak (i.e. IV-III. évezred) Óbirodalom (i.e. III-II. évezred) Első átmeneti kor Középbirodalom (i.e. 2000-1700) Második átmeneti
Ókori Egyiptom. Oktatási segédanyag 9. osztályos diákoknak
Ókori Egyiptom Oktatási segédanyag 9. osztályos diákoknak Témakörök 1. Földrajzi viszonyok 2. Gazdaság 3. Társadalom Súgó 3.1. Fáraó 3.2. Katonai és Hivatalnoki réteg 3.3. Közrendű szabadok és Rabszolgák
SZKB_105_09. Most már megy?
SZKB_105_09 Most már megy? SZOCKOMP_B_105_diak_book.indb 85 2007. 07. 24. 16:23:22 SZOCKOMP_B_105_diak_book.indb 86 2007. 07. 24. 16:23:22 tanulói Most már megy? 5. évfolyam 87 D1 Összekevert mondatok
Egyiptom és Mezopotámia. A csillagászat története 1., 2015. szeptember 17.
Egyiptom és Mezopotámia A csillagászat története 1., 2015. szeptember 17. Egyiptom és fővárosai Egy kis kronológia Égi objektumok és istenek Nut: Az égbolt egésze Su: a lég istene Geb: a Föld istene (Nut
Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...
Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (
Középkori matematika
Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig BME GTK 2013.szeptember 17. 4/1 - Vasáros Zsolt DLA egyetemi docens www.ipar.bme.hu Egyiptom mai kiterjedése,
Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve
Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,
Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:
Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Ókori Kelet. Az írás kialakulása Vallások Törvények. Szalayné KI
Ókori Kelet Az írás kialakulása Vallások Törvények Szalayné KI Az írás megjelenése Oka: államok kialakulása bonyolultabb élet nyilvántartások megjelenése Megjelenik az írás a folyam menti kultúrákban ie.
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig BME GTK 2016. szeptember 13. 4/1 - Vasáros Zsolt DLA egyetemi docens www.ipar.bme.hu Egyiptom mai kiterjedése,
TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez
TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika
Egyiptom művészete Ókor-1
Egyiptom művészete Ókor-1 I.e. III. évezredtől - I.e. XI. század óbirodalom középbirodalom új birodalom A művészetnek a halotti kultuszt kellett szolgálnia. Fáraók (isten) attribútumaik az állszakáll és
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
1 Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Mezopotámia a II. évezred előtt. Az Óbabyloni Birodalom aritmetikája és számelmélete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 25. Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai
Egyiptom művészetének tárgyalása korszakok szerint
Egyiptom művészetének tárgyalása korszakok szerint A XIX. század végéig az a nézet uralkodott, hogy Egyiptom legrégebbi emlékei a piramisok, melyek az i.e. 2600 2500 körül épültek. Ma már régészeti leletek
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a Középbirodalom világa BME GTK 2015. szeptember 15. 4/3 - Vasáros Zsolt DLA egyetemi docens www.ipar.bme.hu 02 Egyiptom térképe a fontosabb középbirodalmi
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.
6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)
6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Előadó: Horváth Judit
Előadó: Horváth Judit Előkészítés Tapasztalatszerzés: tevékenység eszközhasználat játék Az összeadás, kivonás típusai Változtatás Hasonlítás Egyesítés A típusok variánsai Fordított, indirekt szövegű feladatok
TestLine - Az őskor és az ókori Kelet Minta feladatsor
TestLine - z őskor és az ókori Kelet soport: 5/a 5/b átum: 2016.10.21 Típus: Témazáró dolgozat Intézmény: Kerecsendi Magyary Károly Általános Iskola Oktató: Nagy yörgy z ember termelésre történő áttérése
TestLine - Az őskor és az ókori Kelet Minta feladatsor
TestLine - z őskor és az ókori Kelet soport: 5/a 5/b átum: 2016.10.21 Típus: Témazáró dolgozat Intézmény: Kerecsendi Magyary Károly Általános Iskola Oktató: Nagy yörgy Válaszd ki az IZ állításokat! helyes
Egész számok értelmezése, összehasonlítása
Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, +3 +
Számológép nélkül! százasokra:,,zsinór ; ezresekre:,,lótuszvirág ; tízezresekre:,,ujj ; százezresekre:
Számológép nélkül! Manapság az iskolában a matematika órán szinte mindenhez megengedett a számológép használata. Persze mindezen a mai világban már meg se lepődünk, hiszen a mindennapi tevékenységeink
Az ókori Kelet Földrajzi helyzete: Földrész Ország Folyó(k) Afrika Egyiptom Nílus Ázsia Mezopotámia Tigris Eufrátesz
Az ókori Kelet Földrajzi helyzete: Földrész Ország Folyó(k) Afrika Egyiptom Nílus Ázsia Mezopotámia Tigris Eufrátesz India Indus Gangesz Kína Sárga-folyó Kék-folyó Palesztina Jordán Fönícia Orontész Perzsia
I. Közép- és Dél-Amerika ősi civilizációi, az aztékok és az inkák
Horváth Mihály Történelemverseny középiskolások számára 2013 I. Közép- és Dél-Amerika ősi civilizációi, az aztékok és az inkák TESZT 60 perc Név:... Iskola neve:...... Javító tanár neve:... I. témakör
Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat
Kiegészítő ismeretek az Egyiptom című fejezethez
Kiegészítő ismeretek az Egyiptom című fejezethez Egyiptom egy hatalmas oázis, mely kb. 2000 km hosszan terül el a Nílus két partján. Egyiptom térképe Maguk az egyiptomiak Kemetnek, azaz fekete földnek
MÚMIÁK ÉS DOKTOROK. Az óegyiptomi orvoslás titkai
MÚMIÁK ÉS DOKTOROK Az óegyiptomi orvoslás titkai Az ókori Egyiptom kronológiája Egyiptom egyesítése elıtti korszak ( Kr.e.3500-3000 k.) Archaikus kor ( Kr.e 3000-2635 k.) I. - II. dinasztia ÓBIRODALOM
I. A ókori Egyiptom 1. A szó szoros értelmében vett Egyiptom a Nílus első kataraktájától (zuhatagától) a Földközi-tengerig terjedő területet
I. A ókori Egyiptom 1. A szó szoros értelmében vett Egyiptom a Nílus első kataraktájától (zuhatagától) a Földközi-tengerig terjedő területet jelentette, mely Afrika északkeleti részén helyezkedett el (és
Előadó: Horváth Judit
Előadó: Horváth Judit Az új NAT fejlesztésterületeihez kapcsolódó eredménycélok Alapműveletek - Helyesen értelmezi a 10 000-es számkörben az összeadást, a kivonást, a szorzást, a bennfoglaló és az egyenlő
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Egyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
Varga Tamás Matematikaverseny Javítási útmutató Iskolai forduló 2016/ osztály
1. Az erdészet dolgozói pályázaton nyert facsemetékkel ültetnek be egy adott területet. Ha 450-et ültetnének hektáronként, akkor 380 facsemete kimaradna. Ha 640 facsemetével többet nyertek volna, akkor
7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Műveletek egész számokkal
Mit tudunk az egész számokról? 1. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások az A halmaz elemeire! a) Az A halmaz elemei között 3 pozitív szám van. b) A legkisebb szám abszolút értéke a legnagyobb.
Az idő története múzeumpedagógiai foglalkozás
Az idő története múzeumpedagógiai foglalkozás 2. Ismerkedés a napórával FELADATLAP A az egyik legősibb időmérő eszköz, amelynek elve azon a megfigyelésen alapszik, hogy az egyes testek árnyékának hossza
b) Melyikben szerepel az ezres helyiértéken a 6-os alaki értékű szám? c) Melyik helyiértéken áll az egyes számokban a 6-os alaki értékű szám?
A term szetes sz mok 1. Helyi rt kes r s, sz mk rb v t s 1 Monddkihangosanakövetkezőszámokat! a = 1 426 517; b = 142 617; c = 1 426 715; d = 1 042 657; e = 1 402 657; f = 241 617. a) Állítsd a számokat
3. OSZTÁLY A TANANYAG ELRENDEZÉSE
Jelölések: 3. OSZTÁLY A TANANYAG ELRENDEZÉSE Piros főtéma Citromsárga segítő, eszköz Narancssárga előkészítő Kék önálló melléktéma Hét Gondolkodási és megismerési módszerek Problémamegoldások, modellek
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
1 NEM, mert az csupa elavult, ma már egyszerűen mosolyra fakasztó. 2 Talán IGEN, bár az csak színes, érdekes epizódokat, történeteket
Bevezetés. Érdemes-e tudománytörténettel foglalkozni? Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből. Bevezető Gondolatok. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 2. Négy lehetséges válasz. 1 NEM,
MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MTEMTI a 8. évfolyamosok számára Mat1 JVÍTÁSI-ÉRTÉEÉSI ÚTMUTTÓ 201. január 18. javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. pontszámok
Neszperennub koporsói és múmiája
Neszperennub koporsói és múmiája A múmiákat sokan érdekesnek, lenyűgözőnek találják. Az utóbbi években egyre több múzeum veti alá röntgen és CT vizsgálatoknak a gyűjteményükben őrzött múmiákat, hiszen
Számokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
Polinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok
KÉPTÁR. Őskor, Ókori Egyiptom, Ókori Mezopotámia 22 dia tartalomjegyzékkel. oktatási segédanyag, 2014
KÉPTÁR Őskor, Ókori Egyiptom, Ókori Mezopotámia 22 dia tartalomjegyzékkel oktatási segédanyag, 2014 Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Összeállította: Bánlaki Ildikó ŐSKOR 1. Stonehenge bronzkor ŐSKOR 2.
11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Matematika. 1. évfolyam. I. félév
Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése
A görög klaszikus kor.
Történeti áttekintés. Történeti mérföldkövek A görög klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) és számelmélet. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 4. A folyammenti kultúrák hanyatlása a II.
1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
E G Y I P T O M. Az egyiptomi szfinxek testesítik meg az örök változatlanságot.
E G Y I P T O M HÉRODOTOSZ ÉS PLÁTÓN FELFOGÁSA EGYIPTOMRÓL Egyiptomra a stabilitás, a mozdulatlanság jellemző, szemben a görög szellemmel, és az athéni demokrácia zűrzavarával, szélsőséges kilengéseivel.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál.
Számolásos feladatok, műveletek 2004_1/1 Töltsd ki az alábbi bűvös négyzet hiányzó mezőit úgy, hogy a négyzetben szereplő minden szám különböző legyen, és minden sorban, oszlopban és a két átlóban is ugyanannyi
1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően
Horváth Mihály Történelemverseny középiskolások számára. Orvoslás, varázslás és gyógyítás az Ókorban
Horváth Mihály Történelemverseny középiskolások számára 2015 Orvoslás, varázslás és gyógyítás az Ókorban TESZT 60 perc Név: Iskola neve: Javító tanár neve: 1. feladat Írja be a táblázatba a szerzők neve
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
2. Fejezet : Számrendszerek
2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College
Tartalom Tartalom I. rész Játékok és fejtörők: összeadás és kivonás II. rész Játékok és fejtörők: szorzás és osztás
Tartalom Tartalom A szerzőről, a fordítóról és a lektorról.... 7 Bevezetés.................................................................... 9 Áttekintő táblázatok.... 11 I. rész Játékok és fejtörők:
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu
Fejezetek a Matematika
Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2012. szeptember 14. A történelem előtti idők A Lebombói csont (kb. i.e. 35000, Afrika) Az Ishangói csont
Ábrahám könyve (Igazgyöngy)
www.apologia.hu Ábrahám könyve (Igazgyöngy) A mormon vallás Biblián kívüli, új szentírásai közé tartozik a Mormon Könyve (MK), a Tanok és szövetségek (T&Sz) és az Igazgyöngy (IGY). Az Igazgyöngy a Bevezetés
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003
. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának
Egyiptomi szobrászat és festészet
Egyiptomi szobrászat és festészet ? Ez a szobor őrizte azt ládát, amelyben a belsőszerveket tartalmazó edények voltak Anubisz Ez a szobor őrizte azt ládát, amelyben a belsőszerveket tartalmazó edények
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Hammurapi korának algebrája. Klukovits Lajos SZTE TTIK Bolyai Intézet 013. február 13. 1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen
Az egyiptológia tudománya
Egyiptom Az egyiptológia tudománya Történeti szövegek Biblia Antik szerzők: Hérodotosz (Kr.e.450) Diodórosz világtörténete (Kr.e.1.szd) Sztrabón (földrajztudós, Kr.e.25) id.plinius Plutharkosz (egyiptomi
Sebességmérés jegyzőkönyv
Sebességmérés jegyzőkönyv 2009.10.14. Készítette: Gazafi Gertrúd Hanczvikkel Adrienn Tassy Zita A gyakorlat célja: A gyakorlat során két célunk volt. Egyrészről megismerkedtünk a sebesség fogalmával, a
Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.
Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt
Jegyzetek művészettörténethez III. Egyiptom. 8. és 9. osztály
Jegyzetek művészettörténethez III. 8. és 9. osztály Egyiptom Óbirodalom Kr. e. 2635-2155 I. Átmeneti kor Kr. e. 2155 2040 Középbirodalom Kr. e. 2040-1780 II. Átmeneti kor Kr. e. 1785-1522 Újbirodalom Kr.
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes
Matematika az ókori Mezpotámiában
Matematika az ókori Mezpotámiában Mezopotámia története Dormán Miklós SZTE TTIK, Bolyai Intézet 2010. október 15. Rövid történeti áttekintés Mezopotámia (Föld) a folyók között, Rövid történeti áttekintés
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?
Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =
Mechatronika Modul 1: Alapismeretek
Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.