Tanítói kézikönyv Általános iskola 1 4. osztály

Átírás

1 dr. Török Tamás Az egész számfogalom kialakítása Kata egy szombati napon óránként megmérte és lejegyezte a külső levegő hőmérsékletét. Mérései végeztével grafikonon ábrázolta a hőmérséklet változását: o C óra Olvass a grafikonról! a) Hány órakor volt a leghidegebb? b) Hány órakor volt a legmelegebb? c) Mekkora volt a hőingadozás? Válaszok: a) A leghidegebb reggel 8 órakor volt ( 2 C). b) A legmelegebb déli 2 órakor volt ( 3 C). c) A hőingadozás (a legmelegebb és a leghidegebb közötti különbség) 5 C volt. Tanítói kézikönyv Általános iskola 4. osztály

2 dr. Török Tamás, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 200 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt. a Sanoma company Vevőszolgálat: info@ntk.hu Telefon: A kiadásért felel: Kiss János Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE84237 Felelős szerkesztő: Kallós Katalin Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Szabóné Szetey Ildikó Grafikai szerkesztő: Róth Ágnes. kiadás, 200 Formakészítés: 2

3 Tartalom Bevezetés A természetes számfogalom bővítésének szükségessége Számkörbővítések az alsó tagozatos tananyagban Negatív számok bevezetése 3. osztályban Hőmérsékletmérés Készpénz, adósság, anyagi helyzet A kisautós modell. Az egész számok helye a számegyenesen Egész számok rendezése Az összeadás és a kivonás előkészítése az egész számkörben.. 25 Felhasznált és ajánlott irodalom 29 3

4 Bevezetés A Nemzeti Alaptanterv szerint a kezdő szakasz feladata a legfontosabb matematikai fogalmak tapasztalati alapozása, az alapvető matematikai ismeretek elsajátítása és a problémamentes továbbhaladás biztosítása. Az alapozás a matematika kiemelt témaköreiben az ismeretek spirális bővülésében valósul meg, ezért kiemelten kezeljük azokat a tanítási tartalmakat, amelyekre a következő időszak tananyaga épül. A számkörbővítés elnevezést az alsó tagozatos matematikatanításban kettős értelemben használjuk. Jelenti egyrészt a természetes számok évfolyamonként növekvő terjedelmét (20-tól ig), másrészt a negatív egészekkel és a törtekkel való bővítését. Ez utóbbi folyamat érdemben már 3. osztályban elkezdődik (majd a későbbiekben spirálisan folytatódik) megalapozva a tanulók egész, illetve racionális számfogalmát. Az egész számfogalom kialakításához sok-sok tevékenységen keresztül megszerezhető tapasztalatra van szükség. A Nemzeti Alaptanterv 3. és 4. osztályban is tananyagként rögzíti a negatív szám fogalmának tapasztalati úton való előkészítését irányított mennyiségek mérőszámaként. Tartalmazza továbbá az ilyen módon származtatott mennyiségek összehasonlítási képességének megszereztetését. A kézikönyvben a negatív számok származtatásához és összehasonlításához három fő tevékenységi kört javaslok, amelyek órai megvalósításával, az ajánlott feladatok feldolgozásával a tanulók közelebb kerülhetnek az egész számok jelentéstartalmának megértéséhez és alkalmazásához. Tisztelt Pedagógusok! Bízunk benne, hogy a kézikönyv segítségükre lesz az egész számfogalom kialakításához, 3 4. osztályos tanításához. A benne található ajánlások, módszertani ötletek hasznosításához kívánunk kellő érdeklődést és sok sikerélményt. A kiadó és a szerző 4

5 . A természetes számfogalom bővítésének szükségessége A számkörbővítések tanításának elméleti hátterét jelenti (többek között) annak ismerete, hogy miért van szükség a természetes számokon kívül más számokra. Bevezetésképpen néhány gondolat erejéig foglalkozzunk ezzel a kérdéssel! A természetes számok halmazában (N) az összeadás és a szorzás korlátlanul elvégezhető. Ez azt jelenti, hogy két tetszőleges természetes szám összege és szorzata szintén természetes szám. Azt is mondhatjuk, hogy a természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve, vagy másképpen: ezen két művelet nem vezet ki N-ből: N a + b a b a. b Inverz műveleteik (a kivonás és az osztás) viszont már nem végezhetők el korlátlanul a természetes számok halmazában. Algebrai szempontból az a + x = b, illetve az a x = b (a, b N) egyenletek megoldása (x = b a, x = b : a) csak akkor természetes szám, ha b a, illetve a b. Ezek a feltételek azonban nem teljesülnek minden esetben. Nem állíthatjuk, hogy két tetszőleges természetes szám különbsége, illetve hányadosa is természetes szám. Például a 3 és az 5 különbsége, de hányadosa sem az. Vagyis a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra és az osztásra nézve, vagy másképpen: a két művelet kivezet N-ből: N a a b a: b b Nem pusztán a matematika öncélú problémafelvetése (egyenletek megoldhatósága), hanem praktikus szempontok is indokolják, hogy egyetlen számmal tudjuk kifejezni a kivonás és az osztás eredményét akkor is, ha kisebb számból nagyobbat vonunk ki (b kisebb, mint a), illetve, ha nem teljesül az oszthatóság (b nem osztható a-val). 5

6 A természetes számok negatív számokkal történő bővítésével az egész számok halmazát (Z) kapjuk, amelyben az összeadáson és a szorzáson kívül a kivonás is korlátlanul elvégezhető. Ennek a számhalmaznak törtszámokkal való kiegészítésével pedig a racionális számok halmazához (Q) jutunk, amely már mind a négy alapműveletre nézve zárt. Elméleti szempontból tehát nem két egymástól független számkörbővítésről (N Z, N Q), hanem két egymást követő számkörbővítésről (N Z Q) van szó: Q Z N 6

7 2. Számkörbővítések az alsó tagozatos tananyagban Alsó tagozaton a természetes számkör bővítéséhez érdemben 3. osztályban célszerű hozzákezdenünk, amikor a tanulók természetes számfogalma a 00-as számkörben szilárdnak mondható, és megfelelő jártassággal rendelkeznek az alapműveletek végzésében. Ez természetesen nem zárja ki, hogy a gyerekek már korábban is tudják, hogy pl. a mínusz 0 C nagyon hideget jelent, hogy egy negyed pizza az mekkora, és így tovább. Az 2. osztályban esetlegesen felmerülő problémákhoz képest a negatív számok és a törtszámok fogalmi kialakítására 3. és 4. osztályban lényegesen több időt kell fordítanunk. Tekintettel arra, hogy negatív törtszámokat alsó tagozatban nem tanítunk, ezért az elmélettől eltérően nem az egész számkört bővítjük tovább, hanem a természetes számokból kiindulva egyfelől a negatív egészeket, másfelől a pozitív törtszámokat vezetjük be. A természetes számok két irányban történő bővítése (az alsó tagozatos tanítás szempontból) tehát egymástól teljesen független folyamat: Pozitív törtek Természetes számok Negatív egészek A tanítás során mindkét bővítésnél elvileg kétféle utat követhetnénk: az ún. algebrai és a szemléletes utat. Az algebrai út olyan nyitott mondatok feldolgozását jelentené, amelyek megoldása nem természetes szám (pl. 5 + = 3, 2 = 7). Ez a fajta tárgyalásmód magában foglalná az ilyen jellegű nyitott mondatok létjogosultságának indoklását, megoldásuk értelmezését és az új számokkal való műveletvégzés szabályainak rögzítését. Ennek az útnak a bejárása egyrészt rendkívül időigényes, másrészt formális jellegéből adódóan nem felel meg az életkori sajátosságoknak. Alsó tagozatban a negatív egészek és a törtek bevezetésekor lényegesen egyszerűbb (és célszerűbb is) egy szemléletes, tapasztalati utat követni: a gyerekek számára az új (korábban nem ismert) számokat tartalommal felruházni, a valóságban is létező állapotokhoz, helyzetekhez, változásokhoz hozzárendelni, és a velük való műveletvégzést tevékenységgel is követni. A szemléletes út alsó tagozatos bejárásával készíthetjük elő a számkörbővítési problémák lényegesen magasabb absztrakciós szintet igénylő felső tagozatos tárgyalását. Mindkét számkörbővítés tanításakor az alábbi időrendet célszerű követni: fogalmi kialakítás; jelölés bevezetése; az értelmezés tanulói aktivizálása (negatív egésszel, illetve törttel megadható állapotok, mennyiségek, változások, helyzetek előállítása); az új számokkal bővített számhalmaz elemeinek rendezése; tevékenységgel kísért művelet-előkészítés a bővített számhalmazban. 7

8 Tantárgypedagógusok körében nem eldöntött kérdés, hogy a tanulók többségének melyik számkörbővítés jelent komolyabb problémát. Mivel ismeretelsajátítási szempontból egyik sem épül a másikra, ezért a tanítás során szabadon választhatjuk meg (a 3. és a 4. osztályban használt tankönyvünk ajánlását is figyelembe véve) a bővítések időbeli sorrendjét. Ugyanakkor az. fejezetben leírt elméleti megfontolásokat szem előtt tartva az egész számfogalom kialakítása történhet korábban. 8

9 3. Negatív számok bevezetése 3. osztályban A természetes számokat többféle értelemben, különböző jelentéstartalommal (darabszám, mérőszám, sorszám, jelzőszám) használjuk. Halmazok elemszámát, mértékegységhez viszonyított összehasonlítások eredményét fejezhetjük ki, számhalmazok és sorbarendezések konkrét elemeire hivatkozhatunk segítségükkel. A negatív számok funkciója más: olyan állapotokhoz, helyzetekhez rendelhetjük őket hozzá, amelyek kétirányú változások vagy mozgások eredményeképpen jöhetnek létre, és természetes számmal csak körülményesen adhatók meg. Ha pl. a számegyenesen az -ről indulva 4-et lépünk egyesével balra, akkor a 0-tól balra 3 egység távolságra jutunk. Ezt rövidebben úgy fejezhetjük ki, hogy a 3-ra érkezünk. Ha C-ról 4 C-ot csökkent a hőmérséklet, akkor egyszerűbb azt mondani, hogy most 3 C van (3 C hideg helyett). A negatív számok használata a gyakorlati életben, a köznyelvi szóhasználatban is egyre inkább elterjedt. A fagypont alatti hőmérsékleti értékek megadásán kívül alkalmas pl. vállalkozások veszteséges mérlegének, de az eladósodás mértékének jellemzésére is. A labdajátékokban a negatív gólkülönbség fogalmát alkalmazzák abban az esetben, ha több a kapott gólok száma. Harmadik osztályban a negatív számok bevezetésére három (többé-kevésbé minden tanító által ismert) megközelítést javasolnék. Ezeket az ajánlásokat a tanítás során ne csak alternatív módon vegyük figyelembe, hanem lehetőség szerint mind a hármat kellő részletességgel tárgyaljuk! 3.. Hőmérsékletmérés A levegő, a víz, a talaj, az emberi test hőmérsékletének mérésére különböző hőmérőket használunk. A hőmérséklet egyik, Európában használatos mértékegysége a Celsius-fok (jele: C), de pl. Amerikában a hőmérsékletet Fahrenheitben mérik. 0 C-on a víz megfagy, 00 C-on pedig forr. Azt is szokás mondani, hogy a Celsius-skála két alappontja a 0 és a 00. A fagypont alatti hőmérsékletek mérőszámának jelölésére a tanítás során a, 2, 3 vagy a, 2, 3 előjeles számokat vezetjük be. A köznyelv használja még az, 2, 3 fok hideg kifejezéseket is. MEGJEGYZÉSEK A hőmérsékletmérést a negatív hőmérsékleti értékek természetes előfordulása miatt a téli hónapokban célszerű tanítani. A negatív számok előjelét alsó tagozatban célszerű még megkülönböztetni a kivonás jelétől. A, 2, 3 mérőszámok nem elvételre, hanem a fagypont alatti hőmérsékletekre utalnak. Ezért szerencsésebbnek érzem a, 2, 3 jelölésnél. A hőmérsékletmérés tanításakor mutassunk a gyerekeknek különböző hőmérőket (lázmérőt, szobahőmérőt, folyadék- és talajhőmérőt)! Beszélgessünk arról, hogy melyiket hol és hogyan használják! Olvastassuk le a tanterem és a külső levegő hőmérsékletét, mérjük meg egy tanuló testhőmérsékletét, a víz körülbelüli forrás- és fagyáspontját (pohárba tett jégkockák segítségével)! 9

10 A mértékegységről (a Celsius hőmérsékleti skála konstrukciójáról) alsó tagozaton nem tudunk érthető magyarázatot adni, mindenesetre szoktassuk hozzá a gyerekeket ahhoz, hogy a hőmérséklet megadásakor a mérőszámhoz tegyék mindig hozzá a Celsius-fokot. Például a külső levegő hőmérséklete most szóban: mínusz két Celsius-fok, írásban: 2 C. Fedeztessük fel a hőmérőnek azt a tulajdonságát, hogy a hőmérséklet emelkedésekor (csökkenésekor) a higanyszint is följebb (lejjebb) kerül. Beszéljük meg, hogy mi történik, ha pl. 4 C-ról fokonként csökken a hőmérséklet. Házi feladatként végeztessünk méréseket otthon, figyeltessük meg a meteorológiai előrejelzést a következő néhány napban:. Végezz méréseket otthon! Hallgasd meg a tévében az időjárás-jelentést! Hány C várható ma éjszakára és holnap napközben? Írd a vonalakra a hiányzó hőmérsékleti értékeket! Hány C van a szobádban? Mennyi a külső levegő hőmérséklete? Hány C van a hűtőszekrény belsejében? Hány C van a mélyhűtőben? Mennyi a testhőmérsékleted? Lázas vagy? Ma éjszaka várható. Holnap napközben körülbelül lesz a levegő hőmérséklete. Képről olvasással jegyeztessük le a hőmérsékleteket és fordítva: jelöltessük be a higanyszintet a megadott hőmérsékletek alapján! 2. Hány C-ot mutatnak a hőmérők? Írd a hőmérők alá! Jelöld a megadott hőmérsékleteket a higanyszál berajzolásával! O O 9 C 23 C 7 C Olyan problémát is adhatunk a tanulóknak, amelyben több hőmérsékleti érték megadása a feladat (felsorolással és egyenlőtlenségpárral). 0

11 3. Írd le nyitott mondattal! Hány C lehet a hőmérséklet (h), ha a) melegebb van 3 C-nál, de hidegebb van 8 C-nál. < h < b) hidegebb van 4 C-nál, de melegebb van 2 C -nál. < h < c) melegebb van 5 C nál, de nincs melegebb 0 C-nál. < h < MEGJEGYZÉS Mielőtt ismertetnénk a feladatot, beszéljük meg, mit jelentenek a melegebb, mint, nincs melegebb, mint, hidegebb, mint, nincs hidegebb, mint kifejezések. Ha a feladathoz hasonló megfogalmazásban kérjük a tanulóktól, hogy becsüljék meg a hőmérsékletet az osztályteremben, illetve odakint, megbizonyosodhatunk arról, hogy értik-e ezeket a fogalmakat. A hőmérséklet változásával kapcsolatos feladatok feldolgozásához (tanulónak és tanítónak) egyaránt segítséget jelent egy kartonból készített hőmérőmodell. Kétféleképpen is készíthetünk ilyet: A bal oldali képen a higanyszálat az egyik felén megfestett szélesebb gumiszál ( gatyagumi ) helyettesíti, amelynek két végét a vastagított helyeken átfűzzük, majd a hőmérő hátsó oldalán szorosan összekötjük. A jobb oldali kép egy tologatható modell, amelynél a higanyszál egy kartoncsík. Ezekkel a modellekkel nemcsak az aktuális hőmérsékletet állíthatjuk be, hanem a gumikarika, illetve a papírcsík mozgatásával a hőmérséklet-változást is szemléltetni tudjuk.

12 Két példa, amelyben a papírmodell jó szolgálatot tehet: 4. Töltsd ki a táblázat hiányzó részét! a) Reggel 6 órától kezdve óránként C-ot emelkedett a hőmérséklet: Időpont (óra) Hőmérséklet ( C) b) Délután 2 órától kezdve óránként 2 C-ot csökkent a hőmérséklet: Időpont (óra) Hőmérséklet ( C) 5. Mennyi volt, hogyan változott, és mennyi lett a hőmérséklet? Töltsd ki a táblázatok hiányzó részét! ( : emelkedett a hőmérséklet, : csökkent hőmérséklet) a) b) Ennyi volt Így változott Ennyi lett Ennyi volt Így változott Ennyi lett 0 C 4 C 0 C 6 C C 3 C 4 C 4 C 2 C 5 C C 5 C 0 C 7 C 3 C C 9 C 6 C 2 C 3 C 3 C C 4 C 2 C MEGJEGYZÉS Problémát csak a b) táblázat három utolsó sorának kitöltése jelenthet. Ismertessük fel, hogy az eredeti hőmérsékletekhez a jelenlegi állapotokból kiindulva ellentétes irányú változással juthatunk el. Ennek megállapításakor a gyerekek természetesen használhatják valamelyik hőmérőmodellt. 2

13 3.2. Készpénz, adósság, anyagi helyzet Ha rendelkezünk készpénzzel (vagy bankbetéttel), de tartozásunk nincs, akkor anyagi helyzetünket pozitív számmal jellemezhetjük. Ha viszont nincs pénzünk, és ezért kölcsönt veszünk fel, akkor hiányunk (tartozásunk, adósságunk) keletkezik. Ebben az esetben anyagi helyzetünket negatív számmal fejezhetjük ki. Általában is igaz, hogy az anyagi helyzetet a készpénz és az adósság együttesen határozza meg. Például 7000 Ft készpénz és Ft adósság esetén anyagi helyzetünk mérlege : 3000 Ft. Ha több (kevesebb, ugyanannyi) a készpénzünk, mint az adósságunk, akkor anyagi helyzetünket pozitív (negatív, nulla) számmal tudjuk számszerűsíteni. MEGJEGYZÉS Az iskolai szóhasználatban az anyagi helyzet helyett a vagyoni helyzet kifejezés terjedt el. A vagyon azonban tágabb értelmű fogalom, egyéb dolgok (ingatlanok, értéktárgyak) is beletartoznak, ezért inkább az anyagi helyzet kifejezést tartom helyesebbnek. A tanulók már a számkörbővítések előtt (a helyi értékes rendszer, illetve az összeadás és a kivonás kapcsán) hozzászoktak a játék pénzek használatához. A körbe (körlapba) írt szám mindig készpénzt jelentett: Ft 2 Ft 5 Ft 0 Ft 00 Ft A tartozást, az adósságot szintén tárgyiasíthatjuk az ún. adósságcédulák bevezetésével. A cédulára, illetve rajzos megjelenítésnél a téglalapba írt szám azt mutatja meg, hogy mennyivel tartozunk, mennyi az adósságunk: Ft 2 Ft 5 Ft 0 Ft 00 Ft 3

14 Például 000 Ft adósság az anyagi helyzetünkhöz 000 Ft-tal járul hozzá. A negatív számhozzárendeléseket kezdetben kapcsoljuk össze adósságról, kölcsönről, hitelről szól feladatokkal: 6. Rajzolj, számolj! Helgának 0 Ft készpénze és 250 Ft tartozása volt. Hány Ft-ot gyűjtött, ha a tartozását megadta, és még egy 80 Ft-os hajgumit is tudott vásárolni? Volt: Gyűjtött: 7. Balázs egy 500 Ft-os könyvet szeretne megvásárolni, de csak 300 Ft-ja van. Mit kell tennie? Milyen lesz az anyagi helyzete a vásárlás után? Számmal add meg! Játék pénzek és adósságcédulák használatával magyarázzuk el, hogy anyagi helyzetünket milyen módon fejezhetjük ki, illetve számszerűsíthetjük a legegyszerűbb módon. Ehhez azt az egyszerű tényt kell megérteniük a gyerekeknek, hogy (2, 3, ) Ft készpénz és (2, 3, ) Ft adósság együtt 0 Ft-ot ér, mert Ft adósságot Ft készpénzzel tudunk kifizetni. Két példa: A bal oldali persely tartalma 2 Ft készpénzzel helyettesíthető, a persely szerinti anyagi helyzetünk 2 Ft. Most a bal oldali persely tartalma 3 Ft adóssággal helyettesíthető, a persely szerinti anyagi helyzetünk 3 Ft. 4

15 8. Folytasd a táblázat kitöltését, ha rájöttél a szabályra! MEGOLDÁS Az első három oszlop alapján észrevehetjük, hogy az anyagi helyzet mindenhol 0 Ft (a két sorban összesen). Ennek megfelelően kell rajzolni a hiányzó helyekre 0 Ft készpénzt, illetve 40 Ft adósságot. Az utolsó oszlopba nem kell rajzolni semmit, mert az eleve 0 Ft-ot mutat. Gyakoroltassuk az anyagi helyzetek megállapítását és többféle előállítását számlák kifizetésével, vásárlással, kölcsönfelvétellel kapcsolatos feladatok megoldásával. A manipuláció, a készpénz és az adósság tárgyiasítása a megértés szempontjából fontos, ezért engedjük meg minden olyan esetben, amikor azt igénylik a tanulók. 9. Anyagi helyzeteket soroltunk fel. 5 Ft 0 Ft 20 Ft 20 Ft 30 Ft 0 Ft 50 Ft 00 Ft 50 Ft Karikázd be azokat, amelyek készpénzt jelentenek! Húzd alá azokat, amelyek adósságra utalnak! 0. Mennyit ér a zsebben található készpénz és adósság összesen? Írd a zseb alá! Ft Ft Ft Ft 5

16 . Rajzolj a perselyekbe többféleképpen! a) Mindenhol 40 Ft-ot érjen a készpénz és az adósság összesen! b) Mindenhol 50 Ft-ot érjen a készpénz és az adósság összesen! MEGJEGYZÉS A 0. és a. feladat ellentétes tevékenységet vár el a tanulóktól. Az egyiknél az anyagi helyzet megállapítása, a másiknál annak előállítása a feladat. Ez a fajta kétirányúság analóg a 2. feladatban megfogalmazott tevékenységekkel. 2. A hét minden munkanapján pénzt és számlát is hozott a postás. A pénzt átvettük, és a számlát kifizettük. Hogyan változott az anyagi helyzetünk a postás távozása után? Mínusz jelet írj az összeg elé, ha kevesebb lett a pénzünk! Hétfőn Kedden Szerdán Csütörtökön Pénteken Kaptunk 300 Ft 00 Ft 50 Ft 000 Ft 560 Ft Kifizettünk 00 Ft 200 Ft 450 Ft 700 Ft 990 Ft Változás MEGOLDÁS Ha kevesebb pénzt kapunk, mint amennyit ki kell fizetnünk, akkor rosszabb lesz az anyagi helyzetünk (kevesebb lesz a pénzünk): Változás 200 Ft 00 Ft 300 Ft 300 Ft 430 Ft A füzetükben még azt is kiszámíthatják a tanulók, hogy az egész heti mérleg 330 Ft. 6

17 3. Rajzolj hozzá annyit, hogy a megadott vagyon legyen a keretben! Vagyon: 4 Ft Vagyon: 3 Ft Vagyon: 0 Ft Vagyon: 00Ft Volt: Volt: Volt: Volt: Hozzátettem: Hozzátettem: Hozzátettem: Hozzátettem: 7

18 3.3. A kisautós modell. Az egész számok helye a számegyenesen A negatív egész számokat bevezethetjük a számegyenesen való lépegetésekkel, kisautó mozgatásával kapcsolatos feladatokkal is. Ha a kisautó mondjuk a pozitív számok felé néz, és több egységet tolat, mint amelyik szám fölött áll, akkor a 0-tól balra fog megállni. 4. Jelöld színessel a kisautó érkezésének helyét a számegyenesen! a) 5 egységet tolatott: b) 0 egységet haladt előre: MEGJEGYZÉS Az új számok bevezetését ebben a modellben azzal indokolhatjuk, hogy a kisautó helyét számmal szeretnénk megadni akkor is, ha a 0-tól balra helyezkedik el. A számegyenesen a rovátkák alá beírhatják a tanulók a hiányzó számokat a 0-tól balra egyesével haladva. Maguktól is rájöhetnek a számelhelyezésekre, ha emlékeztetjük őket az elforgatott hőmérőre. A negatív számok számegyenesen elfoglalt helyének ismeretében már összetettebb feladatot is kitűzhetünk a kisautó mozgásával kapcsolatosan: 5. A kisautó mindig jobbra nézzen! Mozgasd a számegyenesen a táblázatban leírtak szerint! Oszloponként haladj a hiányzó számok beírásával! Ezen a helyen állt Ennyit haladt előre Ennyit tolatott hátra Ide érkezett MEGJEGYZÉS A táblázat 9 2. oszlopának hiányzó számaihoz úgy juthatnak el könnyen a tanulók, ha az érkezés helyétől kiindulva a megadotthoz képest ellenkező irányban, de ugyanannyi egységgel mozgatják a kisautót. 8

19 Az egész számokról eddig tanultakat az alábbiak szerint foglalhatjuk össze: A, 2, 3 számokat negatív számoknak nevezzük. A számegyenesen a pozitív számok a 0-tól jobbra, a negatív számok a 0-tól balra helyezkednek el. Az és a, a 2 és a 2, a 3 és 3 a 0-tól ugyanakkora távolságra van: negatív számok pozitív számok A 0 se nem pozitív, se nem negatív szám. A számegyenesen a nyíl a számok növekedésének irányát mutatja: 3 < 2 < < 0 < < 2 < 3 MEGJEGYZÉS Az egész számok halmazábrában történő elhelyezésénél gyakran előforduló hiba, hogy a tanulók a 0-t a pozitív és a negatív számok közös részébe (a metszetbe) írják. A 0 helye a két halmazkarikán kívül van, a metszetbe viszont egyetlen szám sem kerülhet! 9

20 3.4. Egész számok rendezése Az egész számfogalom kialakításához a negatív egészek értelmezésén túl az egész számok nagyság szerinti összehasonlítása, növekvő és csökkenő rendezése is hozzátartozik. Elkerülhetjük, illetve csökkenthetjük a hibás analógiák (pl. 7 > 5 7 > 5) alkalmazását, ha az ilyen feladatoknál kezdetben nem vonatkoztatunk el a számok jelentéstartalmától. Először tehát ne számokat, hanem hőmérsékleti értékeket, anyagi helyzeteket és a kisautó érkezési helyeit hasonlítsák össze a tanulók. A hőmérsékleti értékek növekvő rendezésekor az van előbb, amelyik hidegebbet jelent. 6. Húzd alá a kettő közül a megfelelő hőmérsékletet! a) Melyik jelent hidegebbet? b) Melyik jelent melegebbet? 3 C 3 C 7 C 5 C 8 C 9 C 6 C 6 C 2 C 2 C 0 C 2 C 0 C 0 C 5 C 4 C 7. Kati egy szombati napon óránként megmérte és lejegyezte a külső levegő hőmérsékletét. Mérései végeztével grafikonon ábrázolta a hőmérséklet változását: o C óra 2 a) Hány órakor volt a leghidegebb? órakor C volt a hőmérséklet. b) Hány órakor volt a legmelegebb? órakor C volt a hőmérséklet. c) Melyik két egymást követő órában volt a legnagyobb a hőmérséklet emelkedése? 20

21 8. Állítsd növekvő sorrendbe a hőmérsékleteket! A leghidegebbel kezdd! 23 C, 25 C, C, 3 C, 9 C, 2 C, 9 C, 35 C, 3 C, 7 C, 0 C Az egyetlen számmal kifejezett anyagi helyzetek összehasonlításakor csak a negatív értékek viszonyítása okozhat problémát. Az ilyen értékek növekvő rendezésekor az kerül előbbre, amelyik kedvezőtlenebb anyagi helyzetre, nagyobb adósságra utal. 9. Fejezd ki egyetlen számmal, majd hasonlítsd össze a gyerekek anyagi helyzetét! (<, =, >) Saci Teri Tóni Laci Ft Ft Ft Ft 20. Rendezd sorba az anyagi helyzeteket! A legrosszabb anyagi helyzettel kezdd a felsorolást! Ft 0 Ft 8 Ft 5 Ft Ft 0 Ft 40 Ft 70 Ft 0 Ft MEGJEGYZÉS Az egész számok rendezése (a hőmérsékleti értékek és az anyagi helyzetek összehasonlítása után) várhatóan már nem okoz problémát a tanulóknak. Ennek ellenére szükség esetén használhatják a számegyenest. Sorozatokkal, grafikonokkal kapcsolatos feladatokkal szintén tovább mélyíthetjük az egész számok közötti eligazodásukat. 2. Rendezd a számokat először növekvő, majd csökkenő sorrendbe! Számok Növekvő sorrendben Csökkenő sorrendben Színezz az. sorban! Zöldre színezd a 3. legnagyobb számot, sárgára a 2. legkisebbet! 2

22 22. Folytasd a számsorozatot, ha felismerted a szabályt! a), 9, 7,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.. b) 3, 0, 7,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.. c*) 0, 2,,, 2,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.. MEGOLDÁS A c*) feladatrészben egy váltakozó differenciájú (+2, 3) számsorozat szerepel. Ennek megfelelően (számegyenes segítségével) a megoldás: 0, 2,,, 2, 0, 3,, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7 22

23 23. Ágnes 200-ben minden hónap utolsó napján feljegyezte, hogy mennyi készpénze és mennyi adóssága volt. Feljegyzéseiről az év végén egy rajzot készített: Ft I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. hónap Készpénz Adósság Anyagi helyzet a) Jelöld be a rajzon Ágnes anyagi helyzetét az egyes hónapokban! b) Kösd össze a pöttyöket! c) Mely hónapokban volt Ágnes anyagi helyzete 0 Ft? d Hány hónapon keresztül volt Ágnes anyagi helyzete negatív? e) Hányadik hónapban romlott Ágnes anyagi helyzete a legtöbbet? f) Hányadik hónapban javult Ágnes anyagi helyzete a legtöbbet? g) Mely hónapokban nem változott Ágnes anyagi helyzete? MEGOLDÁS Az anyagi helyzeteknek megfelelő pöttyök berajzolásával és összekötésével már könnyű válaszolni a c) g) feladatrészek kérdéseire: 23

24 Ft I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. hónap Készpénz Adósság Anyagi helyzet 24

25 4. Az összeadás és a kivonás előkészítése az egész számkörben Negyedik osztályban az egész számok körében szerzett 3. osztályos tapasztalatok felelevenítése után (vagy azzal párhuzamosan) megkezdhetjük az összeadás és a kivonás előkészítését. Valóban csak előkészítésről lehet szó, nem pedig a felső tagozatos formális műveletvégzési algoritmusok előrehozataláról! A műveletek előkészítésére mindhárom ismertetett modell lehetőséget kínál. Tevékenységgel kövessük nyomon a hőmérséklet, az anyagi helyzet, illetve a kisautó helyzetének változását! Ha egy számhoz negatív számot adunk hozzá vagy vonunk ki belőle, akkor ez utóbbit tegyük mindig zárójelbe. A hőmérsékleti változásoknál a hőmérséklet emelkedését összeadással, csökkenését kivonással írhatjuk le. Ezeknél a műveleti lejegyzéseknél negatív érték hozzáadása vagy kivonása nem fordulhat elő, hiszen a növekedés és a csökkenés mértékét is pozitív egész számmal adjuk meg. 24. Mennyi volt, hogyan változott és mennyi lett a hőmérséklet? a) Töltsd ki a táblázat hiányzó részét! ( : emelkedett, : csökkent) b*) Jegyezd le művelettel is! Ennyi volt Így változott Ennyi lett Művelettel 2 C 3 C 2 C 3 C 4 C 9 C C 5 C 0 C 7 C 6 C 3 C 8 C C 6 C 5 C 3 C 4 C 25

26 MEGOLDÁS Ennyi volt Így változott Ennyi lett Művelettel 2 C 3 C 5 C 2 C + 3 C = 5 C 2 C 3 C C 2 C 3 C = C 4 C 9 C 5 C 4 C + 9 C = 5 C C 5 C 6 C C 5 C = 6 C 0 C 7 C 7 C 0 C 7 C = 7 C 6 C 9 C 3 C 6 C 9 C = 3 C 8 C 9 C C 8 C + 9 C = C C 6 C 5 C C 6 C = 5 C 7 C 3 C 4 C 7 C + 3 C = 4 C Az anyagi helyzetek változásánál ugyanúgy, mint a természetes számok körében a hozzátevésnek összeadás, az elvételnek kivonás felel meg. 25. Rajzolj a keretbe a hozzátevésnek megfelelően! Hogyan változott az anyagi helyzet? Jegyezd le összeadással is! a) b) c) d) Volt: Volt: Volt: Volt: Hozzátettem: 5 Ft Hozzátettem: 30 Ft Hozzátettem: 50 Ft Hozzátettem: 0 Ft Lett: Lett: Lett: Lett: 26

27 26. Áthúzással jelöld az elvételt! Hogyan változott az anyagi helyzet? Jegyezd le kivonással is! a) b) c) d) Volt: Volt: Volt: Volt: Elvettem: 3 Ft Elvettem: 0 Ft Elvettem: 30 Ft Elvettem: 00 Ft Lett: Lett: Lett: Lett: MEGOLDÁS Adósság elvételénél a műveleti lejegyzésben negatív számot kell kivonni. Akár készpénz, akár adósság elvételénél szükség lehet arra, hogy az anyagi helyzethez először 0 Ft-ot, ugyanannyi készpénzt és adósságot adjunk. Ennek megfelelően a c) és a d) feladatrészek megoldása: c) d) Volt: 20 Ft Volt: 50 Ft Elvettem: 30 Ft Elvettem: 00 Ft Lett: 0 Ft Lett: 50 Ft 20 Ft 30 Ft = 0 Ft 50 Ft ( 00 Ft) = 50 Ft A kisautós modellben a mozgatásnak megfelelő számtannyelvű lejegyzés szabályait így rögzíthetjük: a műveleti lejegyzést azzal a számmal kezdjük, ahová a kisautót állítottuk; az előremozgásnak összeadást, a tolatásnak kivonást feleltetünk meg; ezután azt jegyezzük le, hogy hány egységgel mozgattuk. Ha balra nézve közlekedett, akkor a szám elé zárójelben mínusz jelet teszünk. 27

28 Két magyarázó példa: 4 7= = Két feladat a kisautó mozgatásának művelettel történő lejegyzésére. 27. Hová érkezett a kisautó? Jegyezd le a mozgását művelettel is! Innen indult Erre nézett Így mozgott Ennyit haladt Ide érkezett Művelettel 2 jobbra előre 6 balra hátra 3 balra előre 5 0 jobbra hátra 3 4 jobbra előre 7 balra hátra 4 2 jobbra hátra Mozgasd a kisautót a számegyenesen a műveleteknek megfelelően! a) b) c) d) e*) f*) ( 4) ( 4) ( 2) MEGOLDÁS Például a d) feladatrész alapján a kisautót a 3-ra helyezzük, és a negatív számok felé fordítjuk. Mivel a művelet kivonás, ezért tolatni fog 4 egységet, így a 7-re érkezik. 28

29 Felhasznált és ajánlott irodalom () Dr. Csóka Géza (szerkesztő): Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 998. (2) Papp Olga Szilágyi István Török Tamás: Így is taníthatjuk a matematikát. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 996. (3) dr. Pelle Béla (szerkesztő): Így tanítjuk a matematikát II. Tankönyvkiadó, Budapest, 978. (4) Szerencsi Sándor Papp Olga: A matematika tanítása II. (főiskolai jegyzet) Tankönyvkiadó, Budapest, 99. (5) Tantárgypedagógiai füzetek (matematika). Budapesti Tanítóképző Főiskola, Budapest, 995. (kézirat) (6) Török Tamás Bognár Péterné: Matematika tankönyv 3. osztályosoknak. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 200. (7) Török Tamás Bognár Péterné: Matematika tankönyv 4. osztályosoknak. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (8) Török Tamás Bognár Péterné: Tanítói kézikönyv a 3 4. osztályos matematika tanításához. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (9) Török Tamás Bognár Péterné: Matematika feladatgyűjtemény 3. osztályosoknak Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (0) Török Tamás Bognár Péterné: Matematika feladatgyűjtemény 4. osztályosoknak. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, () Török Tamás Bognár Péterné: Felmérő feladatlapok, matematika 3. osztály. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (2) Török Tamás Bognár Péterné: Felmérő feladatlapok, matematika 4. osztály. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (3) Török Tamás: Az egész számfogalom erősítése. Tanító, XXXIII. Évfolyam, 0. szám (4) Török Tamás: Hőmérő-modell kartonból. Tanító, XXXVIII. Évfolyam, 0. szám 29