Készítette: Vidra Gábor. 6. modul Koordinátageometria 1 Az egyenes

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Készítette: Vidra Gábor. 6. modul Koordinátageometria 1 Az egyenes"

Átírás

1 Készítette: Vidra Gábor 6 modul Koordinátageometria 1 Az egyenes

2 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Az egyenes jellemző adatainak ismerete, azok kapcsolata Az egyenes egyenleteinek ismerete, a megadott adatok alapján a célszerűbb egyenlet használata A háromszög nevezetes vonalainak tudatos áttekintése 8 óra 11 évfolyam Vektorok, vektorműveletek a koordinátasíkon Korábbi tanulmányok a vektorokról Egyenesek kölcsönös helyzetének ismerete Általános iskolából a lineáris függvény és grafikonjának ismerete A háromszögek nevezetes vonalai: szögfelező, szakaszfelező merőleges, magasságvonal, súlyvonal Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése Folytatásként a kör egyenlete, és a kör és egyenes kölcsönös helyzete

3 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás: Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása Zsebszámológép biztos használata Mennyiségi következtetés: A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni A mennyiségek folytonosságának, fogalmának továbbfejlesztése Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén Koordinátákkal adott feladatok esetén az eredmények ellenőrzése a koordináta-rendszerben Szöveges feladatok, metakogníció: A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Egyszerűsítések felfedezése az ábrázolásból, az ábra és a számítás kapcsolatának elmélyítése A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben

4 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 4 AJÁNLÁS A modult úgy állítottuk össze, hogy az új anyag felfedezése korábbi ismeretekre támaszkodjon, amelyeket a modult megelőző vektorok modulban már megismertünk A mintapéldák a felfedezett új tudáselemek gyakorlati (koordinátageometriai) alkalmazását jelentik, ezért egyrészt a bemutató segítségével, csoportmunkában javasoljuk átvenni azokat, másrészt a tanulók a megoldás során ne használják a Tanulók könyvét Az ábrák színkódosak: kékkel jelöltük a megadott adatokat és pirossal azokat, amelyeket meg kell határozni a feladat megoldása során Az ellenőrzés párban módszer alkalmazásakor a feladatmegoldó vázlatot is készíthet és számol, míg ellenőrző társa a koordináta-rendszerben megszerkeszti a pontos ábrát és leolvassa a megoldást Általában hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva A koordinátageometria feladatok során az alapszerkesztéseket (például merőleges szerkesztése) már nem körzővel és vonalzóval végezzük, hanem kihasználjuk a négyzetrács adta lehetőségeket és a vonalzón a beosztást TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz a következő eszközök készültek: bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat; 61 kártyakészlet: csoportalakításhoz, amelyhez egyenesek rajzát vetítünk ki a tanulóknak meg kell találniuk azokat a társaikat, akiknek a kártyáján ugyanahhoz az egyeneshez tartozó pont található; 6 kártyakészlet: feldarabolt négyzetek, az egyenessel kapcsolatos alapfeladatok gyakorlásához; 6 igaz-hamis totó: 1+1 igaz-hamis kérdés az egyenes jellemzőiről (irányvektor, normálvektor, iránytényező); 64 diagnosztika a párhuzamos és merőleges egyenesekkel kapcsolatos ismeretek ellenőrzéséhez Nem kell minden feladatot megoldani a modulból A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra és arra is, hogy a modul anyagát a heti óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni

5 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS 1 Az egyenes pontjai 1 mintapélda frontálisan, csoportalakítás a 61 kártyakészlettel, 6 kártyakészlettel egyenesek vizsgálata Feladatok megoldása 1 1 feladatokból egyenesek ábrázolása, leolvasása, egyenes pontjai Az egyenes egyenletei mintapélda csoportban (rejtvény), alakzat egyenlete (frontális tanári magyarázat), az egyenesek jellemzői (csoportban felfedezés), egyenesegyenletek 4 Egyenesek egyenletének felírása 1 1 alapfeladatokból, lehetőleg csoportmunkában 5 Az egyenes egyenleteinek alkalmazásai 6 totó ellenőrzéshez, mintapélda (csoportban), 7 feladatokból 6 Egyenesek kölcsönös helyzete Egyenesek metszéspontjának meghatározása (frontális tanári magyarázat), párhuzamos és merőleges egyenesek (4 mintapélda a tapasztalatszerzéshez), 8 6 alapfeladatok közül 7 Feladatok megoldása 65 triminó és 64 diagnosztika (csoportban), 5 és 6 mintapélda (frontális), 7 44 feladatokból 8 Vegyes feladatok feladatok közül válogatunk (javasolt: tükrözéses feladatok, háromszöggel és négyzettel kapcsolatosak) ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét Egyenesek metszéspontjának számítása Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel Emelt szint Az egyenes egyenletének levezetése különböző kiindulási adatokból a síkban

6 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I Az egyenes pontjai, ábrázolása 1 Ráhangolódás (frontális) Metakogníció, figyelem 1 mintapélda (bemutató) Csoportalakítás Kooperáció, kommunikáció, 61 kártyakészlet metakogníció, számolás Egyenesek vizsgálata (feldarabolt négyzetek, majd annak egy része) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, számolás, becslés, rendszerezés, 6 kártyakészlet (előbb a teljes, majd csak egy része) kombinatív gondolkodás 4 Egyenes ábrázolása, leolvasása, meredekség (tanári összefoglaló, Rendszerezés, figyelem, deduktív és induktív Bemutató frontális) következtetés 5 Feladatok megoldása (csoportmunkában) Kooperáció, kommunikáció, számolás, becslés, kombinatív gondolkodás 1 1 feladatokból válogatunk

7 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 II Az egyenes egyenlete 1 Egyenes pontjai közötti kapcsolat felfedezése (csoportmunkában) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, számolás, becslés, kombinatív gondolkodás Görbe, egyenes egyenlete (frontális tanári magyarázat) Rendszerezés, figyelem, deduktív és induktív következtetés Az egyenes irányjellemzőinek felfedezése (csoportmunkában ötletroham, majd frontális tanári magyarázat irányszög, irányvektor, metakogníció, deduktív és induktív kö- Kooperáció, kommunikáció, normálvektor, iránytényező) vetkeztetés, számolás, becslés, ábrázolás 4 Az egyenes egyenleteinek ismertetése (frontális tanári magyarázat) Rendszerezés, figyelem 5 Egyenesek egyenletével kapcsolatos alapfeladatok (csoportmunkában, javasolt az ellenőrzés párban módszer) Deduktív és induktív következtetés, szá- Kooperáció, kommunikáció, figyelem molás, becslés, ábrázolás Matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása 6 Igaz-hamis totó (ellenőrzés, csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, deduktív és induktív következtetés, számolás 7 Az egyenes egyenleteinek alkalmazásai (feladatmegoldás csoportmunkában) metakogníció, számolás, becslés, ábrázo- Kooperáció, kommunikáció, lás Matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása mintapélda Bemutató Bemutató, függvénytábla 1 1 alapfeladatok közül válogatunk 6 totó mintapélda csoportban, majd 7 feladatokból válogatunk

8 Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 8 III Egyenesek kölcsönös helyzete 1 Egyenesek metszéspontjának meghatározása (frontális tanári magyarázat) Deduktív és induktív következtetés, számolás, figyelem, példakövetés, rendszerezés, Párhuzamos és merőleges egyenesek (tapasztalatszerzés csoportmunkában, kommunikáció, kooperáció majd tanári összefoglaló) Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel) Számolás, becslés, ábrázolás, képletek alkalmazása 4 Részösszefoglalás, ellenőrzés (csoportmunka, javasolt: Számolás, figyelem, rendszerezés, kooperáció, diákkvartett) kommunikáció, metakogníció 5 Iránytényezővel kapcsolatos mintapéldák (frontális feladatmegoldás) Számolás, becslés, ábrázolás, képletek alkalmazása, figyelem, deduktív és in- duktív következtetés 6 Iránytényezővel kapcsolatos feladatok megoldása (tetszőleges Számolás, becslés, ábrázolás, képletek módszerrel, javasolt csoportmunka: ellenőrzés párban) alkalmazása Bemutató 4 mintapélda, bemutató 8 6 alapfeladatok közül válogatunk 64 triminó, 65 diagnosztika 5 és 6 mintapélda 7 44 feladatok közül válogatunk IV Vegyes feladatok 1 Nehezebb feladatok megoldása (frontális feladatmegoldás; javasolt: tükrözéses feladatok, háromszöggel és négyzettel kapcsolatosak) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása feladatok közül válogatunk

9 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 I Az egyenes pontjai, ábrázolása Módszertani megjegyzés: Az első órán nincs szükség a Tanulók könyvére A tanár a modulhoz készített bemutatót és kártyakészleteket használja, a diákok az eszközöket és a füzetüket A koordináták és a velük kapcsolatos tevékenységek átszövik a mindennapjainkat még akkor is, ha ezzel nem vagyunk tisztában Mobiltelefonok használata, műholdas helymeghatározás, ábrák, képek, honlapok monitoron történő megjelenítése, adó-vevő antennák telepítése, csillagok tanulmányozása, robottevékenységek tervezése: mind-mind olyan feladat, amikor szükség van a koordinátákra mint a helymeghatározás vagy a mozgások leírásának legalapvetőbb eszközére Ebben a modulban megismerjük azokat a problémákat a koordinátageometriából, amelyeket egyenesekkel tudunk megoldani A koordináta-rendszert tartalmazó síkot koordinátasíknak nevezzük Ha kiegészítjük egy origón áthaladó, mindkét koordinátatengelyre merőleges z tengellyel (számegyenessel), akkor térbeli koordináta-rendszert kapunk A koordináta-rendszer x tengelyét abszcisszatengelynek, y tengelyét ordinátatengelynek nevezzük A koordinátasíkon minden pontot egy rendezett (azaz nem felcserélhető) valós számpár jellemez A számpár első tagját abszcisszának, második tagját ordinátának nevezzük Ezek a pont koordinátái Pont ( abszcissza; ordináta ) Módszertani megjegyzés: Az 1 mintapélda feldolgozását a Tanulók könyvében megjelenttől eltérően oldjuk meg Ennek az az oka, hogy a tanulókat rávezessük: egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha koordinátáit behelyettesítve igazzá teszik az egyenes egyenletét Ezt egymás utáni tanári kérdésekkel világítjuk meg, amelyeket természetesen nem írtunk bele a tanulói példányba, de a modulhoz tartozó bemutatón megtalálhatók Mintapélda 1 Döntsük el, hogy a P(1; 0), az R( ; 6) és az S(0; 40) pont eleme-e az e : y = x egyenesnek? Megoldás: Aki tud egyenest ábrázolni, az a P és R pontról valószínűleg könnyen el tudja dönteni, hogy rajta van-e, vagy sem Azonban a 40 mint koordiná-

10 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 10 ta általában kívül esik azon a tartományon, amit ábrázolni szoktunk, ezért találnunk kell egy másik módszert az eldöntésre Tanári kérdés lehet: Az ábrán látható az e egyenes grafikonja Olvassuk le az e egyenes néhány pontját! (0; ), ( 1; 4), (, 6), (; ), (; 4), Mondjunk további pontokat, amelyek az egyenesen találhatók! Mi a módszer, ami alapján dolgozhatunk? Egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha a pont megfelelő koordinátáit az egyenes egyenletébe behelyettesítve, az egyenes egyenlete igazzá válik Másképpen fogalmazva egy pont akkor van rajta az egyenesen, ha a pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét Az S(0; 40) pont koordinátáit behelyettesítve az e egyenes egyenletébe: 40 = 0 állítást kapjuk, ami nem igaz Az S pont koordinátái nem teszik igazzá az egyenes egyenletét, ezért S nem eleme e egyenesnek Ezzel szemben a P(1; 0) pont esetében 0 = 1 valóban fennáll, vagyis P e Hasonlóan: R e, mert 6 ( ) Csoportalakítás 61 kártyakészlettel Módszertani megjegyzés: A továbbiakban a tananyagot csoportbontásban célszerű feldolgozni Csoportbontáshoz használjuk a 61 kártyakészletet A tanulók feladata az, hogy megtalálják azokat a társaikat, akik a kártyájukon ugyanarra az egyenesre illeszkedő pontot kaptak 9 egyenes, és hozzá 6 kis kártya van a kártyakészletben Minden kártya számozott, így könynyen kivehetők azok a kártyák, amelyekre nincs szükség (mert 6-nál kevesebb tanuló van) Az egyenesek egyenleteit javasoljuk kivetíteni, a bemutatóban található dia segítségével A modulvázlatban megtalálható az eredmény Feldarabolt négyzetek (6 kártyakészlet) Módszertani megjegyzés: A következő feladat csoportmunka: minden csoport megkapja a 6 kártyakészletet, amelyben 8 egyenes grafikonja, egyenlete, tengelymetszetei és pontja alkot

11 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 11 egy négyzetet A feladat az, hogy az összetartozó kártyákat csoportosítva, mind a 8 nagyobb négyzetet rakják ki A modulvázlatban megtaláljuk az eredményt Egyenesek vizsgálata (6 kártyakészlettel) Módszertani megjegyzés: Most csak a 6 kártyakészletből az egyenesek egyenleteit és grafikonját tartalmazó kártyákkal dolgozunk 1 Mind a 8 egyenletből fejezzék ki a tanulók y-t Vizsgálják meg, hogy mi lehet a kapcsolat az y = mx + b alakú egyenlet és az egyenes grafikonja között! Az egyenesek grafikonjának elkészítésekor az egyenes egyenletének y = mx + b alakját használtuk általános iskolában m jelenti a meredekséget, b pedig azt az értéket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt A meredekség megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjától 1 egységgel x irányba lépünk, akkor y irányba hány egységet kell lépnünk egy másik pont megjelöléséhez Például az y = x 5 egyenes esetén m =, b = 5 Ábrázoláskor az y tengelyen 5 értékhez bejelöljük az egyenes egy pontját Az egyenes egy másik pontját kapjuk, ha 1-et jobbra, -őt felfelé lépünk a meredekségnek megfelelően Ekkor az (1; ) pontba érünk Megjegyzés: A koordináta-rendszerben egy egyenest úgy is ábrázolhatunk, hogy meghatározzuk két tetszőleges pontjának koordinátáit, ezeket kijelöljük és összekötjük Módszertani megjegyzés: A következő feladatok megoldását diákkvartett keretében javasoljuk Feladatok 1 Döntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont! 1) e : x y = 6, P(5; 4); ) e : x + 4y = 10, P( ; ); ) e : y + x 5 = 0, P( 1; ); 4) e : x = y + 6, P(; 14) Megoldás: Igen: 1) és ), nem: ) és 4)

12 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 1 Válaszd ki, hogy p mely értéke mellett illeszkedik az A(4, ) pont az e : x + py = 0 egyenesre! a) 4; b) 0,5; c) 0,5; d) 4; e) 0 Megoldás: d) 4 Válaszd ki a megadottak közül az e : x 5y = 4 egyenes y tengellyel alkotott metszéspontját! a) ; b) ; c) 0 ; ; d) ; 0 ; e) (; 0) Megoldás: c) 0 ; 5 4 A P(4; 6) pont illeszkedik az y = mx + egyenesre Mennyi az egyenes meredeksége? a) 4; b) Megoldás: d) 4 4 ; c) ; d) ; e) Melyik értéknél metszi az e : x y = p egyenes az y tengelyt, ha az egyenes átmegy az R(6; 7) ponton? a) ; b) ; c) ; d) ; e) Megoldás: b) Módszertani megjegyzés: A következő feladatokban az egyenesek jellemző adatainak, valamint egyenletének leolvasása és ábrázolása a cél Több olyan feladat is előfordul, amelyeket később számítással, és nem leolvasással kell megoldani (akkor majd határozd meg vagy számítsd ki lesz a feladat kitűzésében), és erre a jövőben figyelnünk kell Érettségin nem fogadják el az egyenes egyenletének leolvasását, azonban a legtöbb koordinátageometriai feladat ellenőrzésében segít, ha biztonsággal ábrázolnak egyeneseket és olvassák le az egyenleteket a koordináta-rendszerből

13 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 6 Add meg az 5 x + y = 1 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az értékeket, amelyeknél az egyenes metszi a tengelyeket), és még - pontját ábrázolás nélkül! Megoldás: (,4; 0) és (0; 1) 7 Határozd meg az 5 x y = 10 egyenes metszéspontját az x tengellyel! Megoldás: (; 0) 8 Adott egy háromszög három csúcsa: A( 9; 4), B(; 4) és C(11; 4) Olvasd le az oldalegyeneseinek jellemző adatait és írd fel azok az egyenleteit! Megoldás: y = 4 ; y = x + ; y = x Adott egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: y + x + 4 = 0; x = y 7; y + x = 4 Ábrázold koordináta-rendszerben a háromszöget, add meg csúcspontjainak koordinátáit, és határozd meg a háromszög területét! Megoldás: A csúcspontok leolvashatók: ( 6; 1), ( 1; 6), (4; 4) A terület 7,5 területegység 10 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége, és a) az y tengelyt az A(0; ) pontban metszi! b) az x tengelyt a (4; 0) pontban metszi! Megoldás: Használjuk az y = mx + b alakot, behelyettesítve az adott pont koordinátáit a) = 0 + b, ahonnan b = Az egyenes egyenlete: y = x + b) 0 = 4 + b, ahonnan b = 8 Az egyenes egyenlete: y = x Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 0,4, és átmegy az (5; 1) ponton! Megoldás: y = mx + b 1 = 0,4 5 + b, ahonnan b = Az egyenes egyenlete: y = 0,4x 1 Adott egy háromszög három csúcsa: A( 5; ), B(; ) és C(; 1) a) Lehet-e az e : x = y + 1egyenes a háromszög egyik oldalegyenesének egyenlete?

14 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 14 b) Lehet-e az f : x = y egyenes a háromszög egyik súlyvonalának egyenlete? Megoldás: a) Nem, mert nincs olyan pont a megadottak között, amely illeszkedik az egyenesre b) Igen, mert AB felezőpontja ( 1,5; 0,5), ami C-vel együtt igazzá teszi f egyenletét

15 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 15 II Az egyenes egyenlete Rejtvény Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldát csoportoknak adjuk fel, hogy a keresett összefüggéseket megvitassák egymás között Ötletként javasolhatjuk a tanulóknak, hogy használják a koordináta-rendszert és az előző anyag tapasztalatait Mintapélda Megadunk néhány pontot, amelyek egy-egy egyenesen vannak Keressünk összefüggést a pontok koordinátái között! a) A( ; 1), B(4; ), C(10; 5); b) A(5; ), B( ; ), C(11; ); c) A( 4; 1), B( 4; ), C( 4; 5); d) A(0; 4), B( ; 6), C(1; 4) Megoldás: A három pont egy egyenesen fekszik Ábrázolás után leolvashatjuk az egyenesek egyenleteit: a) x = y 5 ; b) y = ; c) x = 4 ; d) x + y = 1 A koordinátageometriában a pontokat mindig koordinátáikkal jellemezzük Az alakzatoknak végtelen sok pontja lehet (egyenesek, körök, parabolák stb), ezért nem lehet egy alakzatot úgy megadni, hogy a pontjait felsoroljuk Helyette megadjuk azt, hogy milyen szabály érvényes az alakzat pontjainak koordinátáira Például az e: x = y 5 összefüggés egy egyenest ad meg, és minden kétismeretlenes, elsőfokú egyenlet (x és y ismeretlenekkel) megfeleltethető egy egyenesnek a koordinátasíkon Úgy is fogalmazhatunk, hogy 1 az egyenes minden pontjának két koordinátájára érvényes az egyenletében megadott összefüggés (vagyis az e pontjainak x és y koordinátájára érvényes, hogy x = y 5 ), ugyanakkor csak az egyenesen találhatók olyan pontok a koordinátasíkon, amelyeknek koordinátáira érvényes az összefüggés (vagyis az összes pont, amelynek x és y koordinátájára x y = 5 fennáll, rajta van az e egyenesen) Megjegyzés: Sok alakzat egyenlete az egyenes egyenleténél algebrailag bonyolultabb Az alábbi ábra példákat mutat görbékre és egyenleteikre:

16 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 16 Általánosságban egy alakzat egyenletén olyan egyenletet értünk, amelyet az akakzat pontjainak koordinátái, és csakis azok tesznek igazzá Másképpen fogalmazva, egy alakzat egyenletét pontjainak koordinátái kielégítik, és a pontjain kívül semmilyen más pont koordinátái nem elégítik ki Ha az alakzat egyenlete y = 4, akkor a pontjai (x; 4) alakúak, ahol x végigfutja a valós számok halmazát Ez az alakzat egy x tengellyel párhuzamos egyenes Egy alakzat egyenlete alkalmas arra is, hogy ha egy pontjának megadjuk az egyik koordinátáját, akkor az egyenletből meghatározhatjuk a másik koordináta értékét Például ha a pont a x y = 5 egyenes egyik pontja, és a pont y koordinátája 1, akkor ezt behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk a pont x koordinátáját: x 1 = 5 x =, vagyis a pont a (; 1) Megjegyzés: A számítógépek a görbéket ugyanilyen elv alapján tárolják és ábrázolják: részgörbékre bontják, és a képpontok helyett a görbék egyenleteinek megfelelő kifejezéseket, kiszámított állandókat tárolják Az egyenes irányának jellemzői Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy csoportmunkában a tanulók keressenek további jellemzőket, amelyek meghatározhatják az egyenesek irányát Szögek, vektorok jöhetnek számításba, azonban hagyjuk, hogy ezeket ők maguk találják ki A Tanulók könyvét nem nyithatják ki Javasolt módszer: ötletroham Ha végképp nem megy, akkor keresztkérdésként feltehetjük ezeket:

17 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 17 1 Mi a kapcsolat az y = x 4 egyenes, az (1; ) vektor és a (; 6) vektor között? Mi a kapcsolat az y = x + egyenes, a ( ; 1) vektor és a (4; ) vektor között? Mi a kapcsolat az y = x + egyenes, a (; ) vektor és 45 között? Az egyenes irányát jellemző mennyiségek: irányvektor, v(v 1 ; v ): olyan vektor, amely az egyenessel párhuzamos, és hossza nem nulla; normálvektor, n(a; B): olyan vektor, amely az egyenesre merőleges, és hossza nem nulla; irányszög, α: az egyenesnek az x tengely pozitív irányával bezárt szöge, nagysága 90 < α 90 ; meredekség, m: például az y = mx + b alakú egyenes egyenletéből határozhatjuk meg; azt mutatja meg, hogy az x tengely pozitív irányába egységnyit lépve mennyit emelkedik vagy süllyed az egyenes Az egyenes meredekségének két másik elnevezését is használjuk: iránytényező és iránytangens A meredekség az egyenes irányszögének tangensével egyenlő: m = tg α Megjegyzés: Nem minden egyenesnek van meredeksége 90 -nak nincs tangense, ezért az x = állandó egyenletű, y tengellyel párhuzamos egyenesek esetén iránytényezőről nem beszélhetünk

18 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 18 Az egyenes egyenletei Módszertani megjegyzés: Az egyenesek egyenletei a függvénytáblában megtalálhatók Szoktassuk rá diákjainkat, hogy a feladat adatainak megfelelő összefüggést megtalálják, és azt helyesen alkalmazzák Egyszerűsége miatt a normálvektoros és az iránytényezős egyenleteket használjuk a megoldások során, de természetesen ez nem kötelező Az egyenes egyenletének felírásához szükségünk van az egyenes egy pontjára, amit P 0 (x 0 ; y 0 )-lal jelölünk Ezenkívül vagy egy másik pont, vagy egy olyan adat, amelyik az egyenes irányát jellemzi A v(v 1 ; v ) irányvektorú, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden irányvektoros egyenlet): v ( x x ) = v ( y ), átalakított formájában vx v1 y = vx0 v1 y0 0 1 y0 Az n(a; B) normálvektorú, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden normálvektoros egyenlet): Ax + By = Ax 0 + By0 Az m iránytangensű, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden iránytényezős egyenlet): y y = m x ) 0 ( x0 Ezt átalakítva kapjuk a jól ismert y mx + b = alakot ( b ) = y 0 mx 0 Megjegyzések: 1 Ha P 1 ( x1 ; y1 ) és P ( x ; y ) az egyenes két pontja, akkor egy irányvektor a pontok koordinátáiból is meghatározható: v (v 1 ; v ) = v (x x 1 ; y y 1 ) Az egyenes egyenletei egymásból levezethetők A meredekség és az irányvektor között találjuk a következő kapcsolatot: m v y 1 = tgα = = v1 x x1 Ezt beírva az iránytényezős egyenletbe: y y = ( x ) v 1 -el szorozva v ( y y ) = v ( x ) 1 0 x0 y v 0 x0 v1, vagyis az irányvektoros egyenlet adódik

19 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 19 A normálvektoros egyenlet is levezethető az irányvektoros egyenletből Ehhez azt használjuk fel, hogy a normálvektort +90 -kal vagy 90 -kal elforgatva az egyenes egy irányvektorát kapjuk: n(a; B) (B; A) v 1 helyébe B -t, v helyébe ( A) -t helyettesítünk az irányvektoros egyenletbe, és átalakítjuk: A x x = B y y Ax + By = Ax + ( ) ( ) By Az ismertetett egyenleteken kívül az egyenesnek több egyenlete is ismeretes Az egyenes egyenletének általános alakja: Ax + By + C = 0, ahol A, B és C állandók (A és B közül legfeljebb az egyik lehet 0, azaz A + B 0) Térben ez kiegészül az Ax + By + Cz + D = 0 alakra ( A + B + C 0 ) Módszertani megjegyzés: Érdeklődő diákok figyelmét felhívhatjuk további példákra Az egyenes egyenletének létezik tengelymetszetes alakja, Hesse-féle normálalakja, paraméteres egyenletrendszere stb, valamint a függvénytáblában megtalálható a két adott ponton átmenő egyenes egyenlete is A következő feladatok megoldásához javasoljuk a csoportmunkát, például az ellenőrzés párban módszert az ellenőrző tanuló megrajzolja az egyenest a koordináta-rendszerben Önálló munka esetén kérjük az ábra elkészítését is az egyenes egyenletének felírásán kívül Feladatok 1 Határozd meg a következő egyenesek meredekségét, irányszögét, valamely irányvektorát és normálvektorát! Megoldás: 1 a) m = tgα = α 6, 6, v(; 1), n(1; ) vagy n( 1; ); b) m = tgα = α 1, 7, v(; ), n(; ) vagy n( ; ); c) m = tgα = α 146,, v(; ), n(; ) vagy n( ; )

20 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 0 14 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányvektora v, és átmegy a megadott ponton! a) v(; 5), A(1; ); b) v( ; 7), B(0; ); c) v(0; 4), C(0; 0); d) v( ; ), D( 4; 6) Megoldás: a) 5x y = 4 ; b) 7x + y = 6 ; c) x = 0 ; d) x + y = Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n, és átmegy a megadott ponton! a) n( ; 5), A(; 0); b) n(0; ), C(0; 0); c) n(5; 10), B( ; 4); d) n( ; ), D( ; ) Megoldás: a) x + 5y = 9 ; b) y = 0; c) x + y = 6; d) x + y = 5 16 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége m, és átmegy a megadott ponton! a) m = 4, A(4; ); b) m = 1, B( ; ); c) m =, C(4; ); d) m = 0, D( ; ) Megoldás: a) y = x 5 ; b) y = x 4 ; c) y = x + ; d) y = 4 17 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányszöge α, és átmegy a megadott ponton! a) α = 45, A ( ; 4) ; b) α = 15, P(0; ) ; c) α = 60, C (5; 1) ; d) α = 141,, R(5; 6) Megoldás: a) y = x + 7 ; b) y = x + ; c) y = x 1 5 ; d) y = 0,8x Határozd meg a következő egyenesek irányszögét, valamely irányvektorát és normálvektorát! a) e : x y = 5 ; b) f : 4y 7 = x ; c) g : x + 7 = 0; d) h : y = Megoldás: Egy normálvektor leolvasható az Ax + By = Ax 0 + By0 alakból, a meredekség pedig v az y = mx + b alakból, de a feladat másképpen is megoldható, például m = v 1 A = B Eredmények: a) n(; 1), v(1; ), m = ; b) n(; 4), v(4; ), m = 0,5; c) n(1; 0), v(0; 1), m nincs; d) n(0; 1), v(1; 0), m = 0

21 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 19 Az egyenes négy irányjellemző adatából (α, m, v és n) egyet megadtunk Add meg a többi jellemző értékét! a) m = ; b) v( ; 7); c) n( 5; ); d) α = 66, 04 Megoldás: a) v 1 ;, n ; 1, α, 7 ; b) n(7; ), 7 m =, α 11, ; 5 c) v(; 5), m =, α 11 ; d) m, 5, v(1;,5), n(,5; 1) 6 igaz-hamis totó: igaz-hamis kérdések az egyenes jellemzőiről Módszertani megjegyzés: Minden csoport kap egyet a totóból, amelyet adott időre kell kitölteni Javasoljuk, hogy ezután a tanár maga javítsa ki így kap egyfajta képet arról, hogy a tanulók mennyire értik az anyagot Mintapélda Adott A( 4; 1), B(4; 5) és C(4; 5) Írjuk fel az ABC háromszög néhány nevezetes vonalának egyenletét: m c magasság, s a súlyvonal és k c középvonal egyenletét keressük Megoldás: Az egyenesek egyenletéhez olyan vektorokat keresünk, amelyek párhuzamosak az adott egyenessel vagy merőlegesek rá m c felírásához az AB vektort használjuk, mert merőleges m c -re, így normálvektor: n = AB ( b1 a1; b a ) = AB(8; 4) n(8; 4) m c : C(4; 5) Ax + By = Ax + By 8x + 4y = m c 0 : x + y = 0 / : 4 s a egyenes párhuzamos AF vektorral Az AF -t meghatározzuk, ez a keresett súlyvonal egyenesének egyik irányvektora Az egyenes egyenletének meghatározásához mindegy, hogy az A vagy az F pont koordinátáit helyettesítjük be, ugyanazt az eredményt kapjuk

22 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató b + c b + c 1 1 A felezőpont: F ; = F( 4; 0) AF s a ( f1 a1; f a ) = AF(8; 1) v(8; 1) : F(4;0) v x v y = v x 1 x 8y = ( 1) s a : x + 8y = 4 0, v y k c középvonallal párhuzamos az AB, és a középvonal átmegy az F felezőponton Mivel ( 8; 4) AB, ezért a normálvektor: n(4; 8) k c n(4; 8) : F(4;0) Ax + By = Ax 4x 8y = c : x y = By 0 ( 8) 0 0 / : 4 Feladatok 0 Készíts vázlatot, majd írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! a) A( 1; 5), B(5; 1); b) A( ; ), B(7; 4); 8 10 c) A( ; 1), B(1; 7); d) A ;, B ; 1 Megoldás: a) F(; ), n = AB ( 4; 4), y = x ; b) 5 x y = 1; c) x y = 5 ; d) x y = 1 1 Adott egy háromszög három csúcsa: A(; 5), B(0; 4), C( 4; 4) Lehet-e az e : y = x + 7 egyenes a háromszög egyik magassága? Megoldás: Segít az ábrázolás, mert megsejthető belőle, hogy melyik oldalhoz tartozó magasság lehet az e egyenes BC ( 4;8), az e egyenes normálvektora (1; ), vagyis e merőleges BC oldalra A koordinátái igazzá teszik e egyenletét, ezért A illeszkedik e-re, és így e az ABC háromszög A-beli magassága Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a tengelyeket az A és B pontokban metszi! a) A(; 0), B(0; 6); b) A( 4; 0), B(0; ); c) A( 6; 0), B(0; 5); d) A(; 0), B(0; 5) Megoldás: a) v = ( ; 6) AB n(6; ); bármelyik ponttal: x + y = 6 ; b) y = x + 4 ; c) 6 y + 5x + 0 = 0 ; d) 5 x y = 15

23 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató Mekkora területű háromszöget vág le a tengelyekből az az egyenes, amely az AB vektorral párhuzamos, és átmegy a P ponton? a) A(; 5), B(4; ), P( ; 1); b) A(1; 4), B( ; ), P(4; 4) Megoldás: a) v = ( ; ) AB n(; ); az egyenes: x + y = 11, tengelymetszetei: 11 x =, y =, a terület: T = = 10, 1 te; 1 b) v = ( ; ) AB n(; ); az egyenes: x y = 4, tengelymetszetei: x =, y =, a terület: T = = 1, te 4 Egy háromszög oldalfelező pontjai P( ; 0), Q(0; ) és R(; ) Határozd meg a háromszög oldalait alkotó egyenesek egyenleteit! Megoldás: Például a PR irányvektorú, Q-n áthaladó egyenes az egyik oldalegyenes A keresett egyenletek: x + y = 10; y = x + 6; x 5y = 10 5 Adott A(; 4), B( 5; 4) és C(0; ) Írd fel az ABC háromszög legrövidebb oldalának és a hozzá tartozó nevezetes vonalaknak (oldalfelező merőleges, magasság, súlyvonal, középvonal) az egyenleteit! Megoldás: A legrövidebb oldal az AC Egyenlete: y = x +, az oldalfelező merőleges: x + y =,5, a magasságvonal: y = x, a súlyvonal: 6 x 1y =, a középvonal: x + y = 6 6 Bizonyítsd be, hogy A( 7; 0), B( 1; ) és C(8; 5) egy egyenesbe eső pontok! 1 Megoldás: Meghatározva az AB és AC vektorokat megállapítható, hogy ezek egymás skalárszorosai: AB ( 6; ) és ( 15; 5) 5 AC, AC = AB, így párhuzamos vektorok Mivel kezdőpontjuk megegyezik, a három pont egy egyenesbe esik Megoldás: Felírjuk bármelyik kettőn átmenő egyenes egyenletét ( y = x + 7 ) és a harmadik pont koordinátáit behelyettesítve megmutatjuk, hogy azok igazzá teszik az egyenletet 7 Adottak az A( 5; 4), B(1; 0) és C( 11; 6) pontok Bizonyítsd be, hogy ez a három pont nem esik egy egyenesbe! Megoldás: Az AB egyenes egyenlete: x + y = A C koordinátái nem teszik igazzá az egyenletet

24 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 4 III Egyenesek kölcsönös helyzete Egyenesek metszéspontja Két metsző egyenes metszéspontja mindkét egyenesre illeszkedik, ezért a metszéspont koordinátái igazzá teszik mindkét egyenes egyenletét Az egyenesek (és bármely két görbe) metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert Feladatok 8 Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete y = x 4 és y + x = Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10 Megoldás: A(6; 8), és 10 egység a távolság: e) 9 Készíts vázlatot, majd határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad az e és f egyenes metszéspontján, és még egy adott P ponton! Megoldás: a) : x + y = 1; f : y + 5 = x; P( ; 1) e ; b) : y = x + 1; f : y + 1 = x; P( 1; ) e ; c) : y = x + 17; f : 4y + x = 6; P( ; 1) e a) Az egyenletrendszer megoldása után a metszéspont: ( ; 1) b) A metszéspont: ( 7; 4) c) A metszéspont: ( 4; 4,5) R, a megoldás: x 4y = 5; R, a megoldás: 4y + 7x = 10 R, a megoldás: y = 1;

25 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 0 Adott a háromszög három csúcsa: A( 5; 5), B(7; 1), C( 1; 7) Határozd meg az C csúcshoz tartozó magasság talppontját! Megoldás: A talppont: T = c m Az m c egyenes normálvektora: AB ( 1; 4), és az egyenes c átmegy az C csúcson Egyenlete: m c : x y = 4 A c oldal egyenlete: c : x + y = 10, metszéspontjuk: T (,;,6) 1 Adott a háromszög három csúcsa: A(0; 6), B( 6; ), C(4; ) Határozd meg a következő pontokat: a) Az a oldalhoz tartozó magasság és a b oldalhoz tartozó súlyvonal metszéspontja; b) A c oldalhoz tartozó magasság és a c oldalhoz tartozó középvonal metszéspontja; c) A háromszög magasságpontja; Megoldás: a) m a = BC( 10; 4) ( 0; 6) n : ma :5x y = 1 ; A a1 + c1 a + c ; ( ; ) ; s : y = F = F b Az egyenletrendszert megoldva, a keresett pont: ( 1,6; ) b) Hasonlóan: m : x + y = 8; k : x y = c c A metszéspont: 0 ; 1 1 c) M = m a mc, a magasságpont: 1 19 M ; 4

26 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 6 Párhuzamos és merőleges egyenesek Mintapélda 4 Módszertani megjegyzés: a bemutató segítségével érdemes kivetíteni a mintapéldát, vagy sokszorosítva kiadni a csoportoknak Egy háromszög csúcsai: A(0; ), B(8; ), C( 4; 5) a) Írjuk fel a C csúccsal szemközti oldalegyenes (c), a c oldalhoz tartozó magasság (m) és oldalfelező merőleges (f), valamint a c oldallal párhuzamos középvonal (k) egyenletét! b) Határozzuk meg c, k, m és f egyenesek valamely irányvektorát, valamely normálvektorát és meredekségét! c) Hasonlítsuk össze az előbb kapott értékeket és keressünk szabályt: mikor párhuzamos egymással két egyenes, illetve mikor merőleges egymásra két egyenes? Megoldás: 90 a) AB ( b a b a ) AB( 8; 6) (6; 8) 1 1; a + c a + c 1 1 AC felezőpontja: ; = ( ; 1) a + b a + b 1 1 AB felezőpontja: ; = ( 4; 0),, v = AB(8; 6) c : c : x 4y = 1 A(0; ) v = AB(8; 6) k : c : x 4y = 10 (-; 1) = AB(8; 6) m : n n = AB(8; 6) c : 4x + y = 9 f : c : 4x + y = 16 A(0; ) (4; 0) b) A normálvektorokat leolvassuk az egyenesek Ax + By = Ax 0 + By0 alakú egyenletéből: n c (; 4); n k (; 4); n m (4; ); n f (4; ) A normálvektort 90 -kal elforgatva kapunk irányvektorokat: v c (4; ); v k (4; ); v m (; 4); v f (; 4) A meredekségeket leolvashatjuk, ha az egyenesek egyenleteit y = mx + b alakúra átalakítjuk, de használhatjuk az v m = v 1 összefüggést is: m c = m k = m m = m f = ; 4 ; ;

27 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 c) Egymással párhuzamos egyenesek esetén az irányvektorai, illetve a normálvektorai is párhuzamosak (egymás skalárszorosai) Irányvektora azonban végtelen sok lehet egy egyenesnek, ezért célszerű az iránytényezők között is összefüggést megfogalmazni (mármint ha van az egyenesnek iránytényezője) Természetesen a párhuzamos egyenesek irányszöge megegyezik, míg a merőleges egyenesek irányszögének különbsége 90 Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha iránytényezőjük megegyezik: e f m e = m Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha iránytényezőjük egymás negatív reciproka: e f m f e 1 = m f A fenti feltételrendszer csak iránytényezővel rendelkező egyenesekre érvényes (A merőleges esetben egyik iránytényező sem nulla) Feladatok 4 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az f : y = x egyenesre, és átmegy a P(; 6) ponton! Megoldás: A keresett egyenes iránytényezője: után: 7 x + 4y = 45 7 m =, egyenlete y = x rendezés Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az f : 4y + x = 1, egyenessel, és átmegy a P( 5; ) ponton! Megoldás: Leolvassuk a normálvektort: n f (1; 4), ez a keresett egyenes normálvektora is egyben Felírva a normálvektoros egyenletet, a megoldás: x + 4 y = 4 Az e egyenes egyenlete: 4y = px 5

28 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 8 a) Igaz-e, hogy p = esetén e párhuzamos az f : y + 1 = 4x egyenessel? b) p milyen értéke mellett lesz e merőleges az f : y + = 1x egyenesre? Megoldás: a) Átalakítva az egyenes egyenletét: = p 5 4 x p y, vagyis a meredekség p = esetén a meredekség f meredeksége: f : y = x miatt Mivel a két meredekség 4 nem egyenlő, az egyenesek nem párhuzamosak b) f : y = 4x A merőlegesség feltétele az, hogy a meredekségek egymás negatív p 1 reciprokai legyenek: = p = Az alábbi egyenesek közül melyik merőleges az y + x = 5 egyenesre? e : y = x f : y = x + g : y = x 1 h : y = x i : y = x Megoldás: f 6 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : y = x + 10és f : y + x = 5 egyenesek metszéspontján, és párhuzamos a g : y = x + egyenessel! Megoldás: e és f metszéspontja az egyenletrendszer megoldása után: P( 1; ) g normálvektora: (; ) lesz a keresett egyenes normálvektora A végeredmény h : x y = 11 7 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : y + x = 1és f : y + = x egyenesek metszéspontján, és merőleges a g : y + x = 5 egyenesre! Megoldás: e és f metszéspontja az egyenletrendszer megoldása után: P(1; 1) g normálvektora (; ), ezt 90 -kal elforgatva (; ) lesz a keresett egyenes normálvektora A végeredmény h : x y = 5

29 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 64 triminó Az eddigi feladatok összefoglalásaként használhatjuk a 64 triminót, csoportmunkában 65 diagnosztika Diagnosztikai céllal javasoljuk a 65 következő kérdéssort, amelyet diákkvartettben is feldolozhatunk A bemutató tartalmazza a feladatokat, de feladatlapot is találunk az eszköz leírásánál A feladat ismertetése után adjunk időt a csoportoknak, hogy a választ megbeszélhessék, majd a tanár jelére a csapatok szóvivői egyszerre, feltartott ujjaik számával jelzik a megoldás számát Ha több megoldás is van, akkor mindkét kézzel jelez egy-egy jó megoldást a jó megoldások száma egyik kérdés esetében sem több kettőnél Olyan feladatok következnek, amelyekben az iránytényezőt célszerű használni Mintapélda 5 Határozzuk meg a következő két egyenes hajlásszögét: e : y = x 7 és f : y = x Megoldás: A feladat megoldásához célszerű felrajzolni az egyeneseket és az ábrán megvizsgálni a hajlásszögüket, amelyek nagysága az iránytangensekből számítható: tgα1 = α1 6, 4 és tgα = α 6, 87 4 A két szög összege adja a hajlásszöget: α1 + α 100, Mivel ez 90 -nál nagyobb, ezért a megoldás , = 79, 7 Mintapélda 6 Határozzuk meg a következő két egyenes távolságát: e : y = x 4 és f : y = x + 1 Megoldás: Észrevehetjük, hogy a két egyenesnek egyenlő az iránytényezője, ezért párhuzamosak Az f egyenes egyik tetszőleges pontját (P) kiválasztva, ezen át merőlegest állítunk az e egyenesre (g) és meghatározzuk e és g metszéspontját (R) Végül kiszámítjuk a PR távolságot (d)

30 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 0 ( ; 6) P g : y 6 = = m = R = e g e : x + y = 8 g : x + y = ( x ) g : x + y R ; d = PR = ( p1 r1 ) + ( p r ) PR =, 9 1 Megoldás: Tekintsük az ábrán látható ABC derékszögű háromszöget, melynek α szöge az egyenesek irányszögével egyenlő: m = tgα = α 56, Az AB távolság meghatározásához tudjuk, hogy AC = 7 egység, és az ABC háromszögből szögfüggvénnyel kiszámítjuk a keresett távolságot: d = AC cosα, 9 Megjegyzés: Mindkét megoldási módszernek van előnye és hátránya Az első megoldás több számolással (és ezzel együtt több hibázási lehetőséggel is) jár, viszont pontos irracionális értéket kapunk A második esetben rövidebb, egyszerűbb a számítás, de a kerekítések (és a lehetséges kerekítési hibák) miatt előfordulhat, hogy az előzőnél kevésbé pontos megoldást kapunk Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat javasoljuk csoportmunkában, ellenőrzés párban módszerrel feldolgozni Az ellenőrző tanuló a koordináta-rendszerben rajzol, hogy a végén a számított és a leolvasott értékeket összevethessék 8 Határozd meg az origó és az adott egyenesek távolságát, ha a) y +1 = x ; b) y = 4 x + 10; c) 5 x + 8y = 16 ; d) x = 8y Megoldás: a) y = x 4 tgα = α 18, 4, d = 4 cosα,8 Hasonlóan számítva, a következő közelítő értékeket kapjuk: b),4; c) 1,7; d) 1,5

31 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 9 Határozd meg a P pont és az e egyenes távolságát, ha a) P( 4; 4), e : x = ; b) P( 4; 7), e : y = x + ; c) P( 4; 1), e : x + y = 16 Megoldás: a) Egyszerűbb esetekben leolvasható a távolság: 7; b) Felírjuk az adott P ponton áthaladó, e-re merőleges egyenes egyenletét (f), majd a metszéspont (R) kiszámítása után meghatározzuk a PR távolságot Megjegyzés: A távolság kiszámításához használhatjuk azokat a derékszögű háromszögeket, amelyek átfogóját a rajzon szaggatott vonallal jelöltük ( 0,5;,5), d = = 40,5 6, 4 f : y = x +, R PR ; c) f : y = x + 10, R ;, d = PR = 7, Határozd meg e és f egyenesek hajlásszögét! a) e : y = x + 7, f : y + x = 5 ; b) e : y = x + 1, és az f egyenes áthalad a P(0; 4) és R( ; ) pontokon Megoldás: a) Meghatározzuk az ábrán látható szögeket a két egyenes 1 hajlásszögéből: tgα1 = α1 6, 57 és tg( α ) = α 56, 1 A két szög összege a megoldás: α 8, 9 b) Hasonlóan járunk el, mint az a) esetben, csak előbb f egyenletét meg kell határoznunk f y = x 4 α 71, 57 : α1, 69, ahonnan a hajlásszög: α 74, 7 (két egyenes hajlásszöge 0 és 90 közé esik)

32 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 41 Határozd meg e és f egyenesek távolságát, ha a) e : y = x 5; f : y = x + ; b) e : 5y + 4 = x; f : x + 7 = 5y ; c) e : 4x + y = ; f : 4x + y = 1 Megoldás: a) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amely átfogójának végpontjai az egyenesek y tengellyel alkotott metszéspontjai, hossza 8 egység Az irányszög m = tg α = miatt α 71, 6, és d = 8 cosα,5 Hasonlóan számítva: 11 b) m = tgα = α 1,8, d = cosα, 0 ; m = tgα = α 16,9, d = α c) sin( 180 ), 7 4 Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete y x = 15és y = x 15 Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6; b) 9 5 ; c) 8; d) 45 ; e) 10 Megoldás: A( 6; ), és 45 egység a távolság: d) 4 Egy négyzet két oldalegyenesének egyenlete: x + 5y = 10 és x + 5y = 15 Határozd meg a négyzet területét! Megoldás: A négyzet oldalának hossza a két egyenes távolsága (d) Az egyenesek iránytényezője, ahonnan az ábrán jelölt szög: 5 α 1, 0 A keresett távolság: d = 5cosα 4, 9, a négyzet területe: d 18, 4 te

33 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 44 Egy szabályos hatszög két oldalegyenesének egyenlete: 4 y = x + 18 és 4y = x 1 Határozd meg a hatszög területét! 1 0 Megoldás: tg α = α 14, 0, és d = cosα 7, d 7,8 = m = r r = 4,0, T = 6 r 45,9 te 4 45 Egy repülő a megfigyelő radar képernyőjén az e : 4y + x = 7 egyenletű egyenesen halad Mellette mindkét oldalon, tőle 4 egység távolságban két másik repülő nyomvonala látható Határozd meg a másik két repülő útjának egyenletét! 7 Megoldás: Átalakítva e : y = x, tg α = α 6, 87, t = = 5, így a két párhuzamos 4 cosα 1 egyenes egyenlete: y = x + x + 4y = 1és y = x x + 4y = 7 4 4

34 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 4 IV Vegyes feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatok egyik célja a gyakorláson kívül az algoritmikus gondolkodás elsajátítása A feladatok megoldásának kezdetén átgondoljuk a lépéseket, vagyis egy stratégiát dolgozunk ki, amely után már csak a konkrét számításokat kell elvégezni A feladatok megoldásához érdemes vázlatot készíteni úgy, mint ahogyan a síkgeometriai feladatok megoldása során tesszük, és a megoldás menetét a kész ábra alapján könnyebb megtalálni Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a szerkesztett ábrák nem jelentik a megoldás ellenőrzését, de útmutatónak és becslésre megfelelőek Például az egyenes kiszámított egyenletét y = mx + b alakra hozzuk, és összevetjük a szerkesztett ábra megfelelő egyenesével Javasoljuk a következő feladatok megoldását önállóan, esetleg tanári segítséggel végezni 46 Adott az egyenlőszárú háromszög alapjának két végpontja: A( 1; 1) és B( 5; 5), a harmadik (C) csúcs az e : y + = x egyenesre illeszkedik Határozd meg C koordinátáit! Megoldás: AB felezőpontja: F( ; ), ( 4; 6) BA az alap felezőmerőlegesének normálvektora f : x y = 1 C = e f, az egyenletrendszert megoldva C(; 6)-nak adódik 47 Adott egy háromszög két csúcsa: A( 5; ) és B(9; 6), valamint a súlypontja S(; 1) a) Határozd meg a hiányzó C csúcsot! b) Határozd meg a háromszög oldalegyeneseit! Megoldás: a) A súlypont képletéből C(; 6) b) Az oldalegyenesek: a : 1x + 7y = 66, b : 9x 7y = 4, c : x + 14y = A P pontot tükröztük az e egyenesre Határozd meg a tükörkép (P ) koordinátáit! a) e : y + 4x = 9, P( 4; ) ; b) : y + 6 = x, P( 6; ) Megoldás: Felírjuk a P-n átmenő, e-re merőleges f egyenes egyenletét, majd kiszámoljuk e és f metszéspontját (K) PK -t K-ból felmérve kapjuk P koordinátáit 90 f a) n ( 4; ) n ( ; 4) e e

35 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 ( ; 4) ( 4; ) n f : f : x = y + P Az eredmény: P (1,; 0,4) 90 b) n ( ; 1) n ( 1; ) e f ( 1; ) ( 6; ) n f : f : x + y = P Az eredmény: P ( ; 0) ; K e f K( 1,4; 1,7 ), PK(,6; 1,) = ; ; K e f K( 1, 5; 15, ), PK( 4, 5; 15, ) = ; 49 Egy tűzoltó helikopter repül a B(8; 6) bázisról a T( 4; ) tűzesethez, miközben vizet vesz fel az y = 1egyenletű folyóból Határozd meg a folyónak azt a pontját, amelyet a lehető legrövidebb út megtétele közben érintenie kell! Megoldás: T pontot tükrözzük az y = 1egyenesre (T ), felírjuk f egyenletét és meghatározzuk y = 1és f metszéspontját (P) 90 T ( 4; 4), T ' B( 1; 10) n(10; 1) f egyenlete: 5 x 6y = 4, a keresett pont koordinátái: P ; Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(4; 4) pontban, a kék golyó a B(16; 10) pontban áll A pirossal a falat (x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) A faltól számítva milyen szögben indítsuk a piros golyót?

36 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 6 Megoldás: A pontot tükrözzük az x tengelyre az ábra szerint, így kapjuk A pontot A és B pontokon átmenő e egyenes egyenletét kell felírni, majd megvizsgálni a hajlásszögét 5 A ' 4; 4, e : 7x = 6y + 5 P ; 0 és A(4; 4) pontok egyenese: 7 x + 6y = 5 7 a) ( ) 7 b) e hajlásszöge: m = α 49, 4, ekkorának kell lennie az indítási szögnek, a gurítás iránya ekkora szöget zár be az x tengellyel (a 6 fallal) 51 Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(; 10) pontban, a kék golyó a B(16; 4) pontban áll A pirossal mindkét falat (y, majd x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) Milyen szögben indítsuk a piros golyót? Megoldás: A pontokat tükrözzük a koordináta-tengelyekre az ábra szerint, így kapjuk az A és B pontokat Ezen a két ponton átmenő e egyenes segítségével kell felírni az AM egyenes egyenletét, majd megvizsgálni a tengelyekkel bezárt hajlásszögét a) A '( ; 10), B' ( 16; 4), e : 7x + 9y = 76 e metszés- 76 pontja az y tengellyel: 0 ;, a keresett egyenes 9 ezen és az A ponton megy keresztül Az eredmény: 7x 9y = 76 7 b) e meredeksége, irányszöge β = 14,1, 90 α 7,9 α 5, 1 szöget zárjon be a golyó útja az y tengelyen levő 9 fallal 5 Egy háromszög két csúcsának koordinátái A( 5; 5) és B(1; 6), és a harmadik csúcsnál levő szöget az y = egyenes felezi Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit! Megoldás: B pontot tükrözzük az y = egyenesre: B (1; ), és az AB egyenes egyenletének felírása után meghatározzuk

37 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 az y = egyenessel vett metszéspontját Az egyenes egyenlete: x y = 5, a keresett pont: C(9; ) 5 Adott az A( 5; ) és B(7; 6) pont Határozd meg az x tengelynek azt a P pontját, amelyre az APB törött vonal hossza a lehető legrövidebb! Megoldás: B-t tükrözzük az x tengelyre (B ) Az x tengely bármelyik Q pontjára AQB és AQB törött vonal hossza egyenlő (a tengelyes tükrözés távolságtartása miatt) AQB akkor a legrövidebb, ha az A, Q és B egy egyenesen vannak Felírjuk az AB egyenes egyenletét: x + 4y =, és ennek x tengellyel vett metszéspontja, a ( 1; 0) pont a megoldás 54 Állítsunk az e : y = x + 4 egyenesre merőlegest a 4 abszcisszájú pontjában Ennek az egyenesnek melyik lesz az a pontja, amelynek az ordinátája kétszer akkora, mint az abszcisszája? Megoldás: x = 4 behelyettesítése után adódik az e egyenes P(4; 4) pontja e normálvektora ( 1; ), ezt 90 -kal elforgatva kapjuk a keresett f egyenes normálvektorát: (; 1), amiből f : x + y = 1 y = x behelyettesítése után a megoldás: (; 6) 55 Egy négyzet átlójának egyenese e : 5y = x + 1, egyik csúcsa A(; 7) Határozd meg a négyzet többi csúcsát! Megoldás: Felírjuk az A ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenletét, majd kiszámoljuk a metszéspontjukat (K) AK és 90 -os elforgatottjai segítségével felírjuk a négyzet B és D csúcsát 90 e : x + 5y = 1 n e f ( 5; 1) ( ; 7) n f : f : 5x + y = 8 A 1 K = e f K ; ( 1; 5) n ( 5; 1)

38 Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 8 AK ; AK ( k a k a ) ; ; AK -t K pontból felmérve kapjuk a C(0; 8) csú- 15 csot Ha 90 -kal elforgatjuk AK -t: ; és ezt, valamint az ellentettjét felmérjük K- ból kapjuk a másik két csúcsot: B( 6; 1) és D(9; ) 56 Az A(; 6) pont és e : x + y = 5 egyenesre tükrözött képe (C) egy négyzet szemközti csúcsait adják Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! Megoldás: Meghatározzuk f egyenletét, kiszámoljuk e és f metszéspontját (K), majd AK vektort használva kapjuk a négyzet hiányzó csúcsait n e 90 f ( 1; ) n ( ; 1) ( ; 1) ( ; 6) f n : f : y = x A ; ( 1; ), ( ; 4) K = e f K AK Az eredmények: C( 1; ), B( ; 4), D(5; 0) 57 A( ; 6) a négyzet egyik csúcsa, e : 18x 4y = 5 az egyik középvonala Határozd meg a hiányzó csúcsokat! Megoldás: Az e-re merőleges, A-ra illeszkedő f felírása után kiszámoljuk e és f metszéspontját (F), AF -et F-ből felmérve kapjuk B-t AB = AF és ezt 90 -kal elforgatva, majd az A és B pontokból felmérve számítjuk a további csúcsokat (Két négyzetet kapunk) n e f ( ; 4) n ( 4; 18) ( 4; 18) ( ; 6) n f : f : x + 9y = 50 ; A (,5; 5), ( 4,5; 1) F = e f F AF Az eredmények: B(7; 4), C 1 (5; 5), D 1 ( 4; ), C (9; 1), D (0; 15)

39 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 58 Egy háromszög egyik csúcsa A( 6; 0), másik két csúcson átmenő magasságvonal egyenlete m b : 9x + 5y = 4 és : 5x y = 0 Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit! Megoldás: A b egyenes merőleges m b -re és áthalad az A csúcson m b normálvektora: (9; 5), ezt 90 -kal elforgatva kapjuk az (5; 9) vektort, amelyik b normálvektora b egyenlete: 5x 9y = 0, és C = b, ahonnan C(; 5) Hasonlóan, B( 1; ) m c m c 59 A g : y + x = 6 egyenesnek melyik pontja van egyenlő távolságra az e : y = x + 10 és f : y = x 6 párhuzamos egyenesektől? 1 1 Megoldás: Átalakítva e : y = x + 5, f : y = x, így a középpárhuzamosuk egyenlete 1 h : y = x + 1 A keresett pont: h g, az egyenletrendszert megoldva (; ) adódik 60 Adott a háromszög B( 6; 6) csúcsa, valamint az a oldalhoz tartozó súlyvonalának és Megoldás: magasságvonalának egyenlete: s : 9x 8y + 6 = 0, m :5y = 4x + 6 Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! A = s a m A(6; 10); a m a -ra merőleges, B csúcson áthaladó a oldalegyenes egyenlete a : 5x + 4y = 6, F = a s F( ; 1) C-t úgy kapjuk, hogy a BF (4; 5) vektort felmérjük F-ből: C(; 4) a a a

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIK A 9. évfolyam 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

2. modul MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOK KÖRÉBEN

2. modul MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOK KÖRÉBEN Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 2. modul MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOK KÖRÉBEN MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 2. modul: MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN

4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN MATEMATIK A 9. évfolyam 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 4. modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 13. modul SZÖVEGES FELADATOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 13. modul: SZÖVEGES FELADATOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK

17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK MATEMATIK A 9. évfolyam 17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A 9. évfolyam. 17. modul: EGYENLETEK,

Részletesebben

18. modul: STATISZTIKA

18. modul: STATISZTIKA MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

MATEMATIKA A 11. évfolyam

MATEMATIKA A 11. évfolyam MATEMATIKA A 11. évfolyam Vektorok 5. modul Készítette: Vidra Gábor Matematika A 11. évfolyam 5. modul: Vektorok Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK!

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK! Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK! MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul:gondolkodjunk, RENDSZEREZZÜNK! Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul: EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben