X 1 = {A,B,C,... Z} Y 1 = {1,2,3,... 26} v = (1,2,3,4), u = (2,1,3,4)

Átírás

1 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ Ö ÒÞ ÝÜÔ ÕÜÛ ÐÒ ºÞÚÛÔØÐ ÞÒ ÞÐÒÜØ Ð ÞÜ ÐÜÞ ÝÔ ÓÒ ÞÐÛÝ ÜØÕ ÞÖ ÐÖ ÜÔÝ ÑÖØ Ð Ö ÒÞ ÝÒ ÞÔÐ ºÝÐ ÔÒÕ ÞÚÛ ºÑÐÝ ÜÕÐ ÞÝ ÐÐ ÑÔÒÐ ÐÝ Õ ÚÛ ºÞÐ ÞÔÐ ÞÞ ÒÐ X = {A,B,C,... Z} Y = {,,3,... 6} ÑÐÕÐÕÒ ÑÜÕ º X ÓØ ÓÒÕ ÑÔÒÐ ÜØÕÒµ X ÚÛ Ð ÑÜÕ ÑÖ ÐÐÞÐ Ð ºÚÛ Þ ÑÔÒÐ ÜÕÐ ÞÝ ÓÝ ÑÔÚÒ Ð ÑÜÛ ÑÔÒÕÒ Ñ ÑÔÒÐ ÜÕÐ ÞÝ Ý ÑÔÚÒÝ ÑÐÜ ÒÐ ºÞÚÛ v = (,,3,4), u = (,,3,4) ºÑÔÝ ÑÜÛ ÔÝ Ñ v ¹ u ºX ¹ Ü ÐÐ Y ¹Ò Ü ÐÝ ÒÞ Y ÚÛÐ X ÚÛÒ ÚÛÔØ º ÜÛÔ Y ¹ ÚÛÔØ ÐÝ ÑÞ ÜÛÔ X f : X Y ÓÒÕÔµ Y ¹Ð X ¹Ò ÚÛÔØ f ÐÖÐ Y ¹ X ÜÖ ÒÐ ÞÜÒ

2 f (A) = ÑÔÒÕÒ A f (B) = ÑÔÒÕÒ B... f (Z) = 6 ÑÔÒÕÒ Z 6 g : {A,B,C,...,Z,a,b,c... z} {,,...,6} ÔÝ Ò g(a) =, g(a) = g(b) =, g(b) = º, º g(z) = 6,g(z) = 6 ºÕÜÛ ÔÕ Ð ÐÝ ÓÚ ÞÚÛÔØ ÞØÕÔ Ò h : {ÛÜÔÒÛ ÕÜÛ ÑÔÕ} {0,,,...,00} Ö ÚÛÔØ ½ ÔÝ Ü ÑÞ X ÐÝ Ü ÐÐ Ñ Ö ÚÛÔØ ÜÛÞ f : X Y ÚÛÔØ ºY ÐÝ ÞÒ Ü ÑÞ Ð ÞÔÐ Þµ X ÐÝ Ü ÐÐ Ö ÐÖÐ f º ¾ ¹Ð ½ Ó ÜØÕÒµ Y ÐÝ ÔÝ Ü ÞÐ ÑÒÞÒ g ÐÝ ÑÞ ÐÝÒÐ b Ñ B Ñ Ö Ô ÐÖÐ g ºÑÔÕ 80¹ Ð º ¾ ÜØÕÒµ g ÐÝ ÑÔÚ 0 ÛÜ ÝÝ ÓÒ Ö Ô ÐÖÐ h ºÐ ÛÜ ÓÚ ÔÕ ÐÐ ÞÞÐ ÐÚÞ Ð h ÑÝ ÜÒÐ ÐÖ ÚÛÔØ ¾ X ¹ ÞØÐ µ Ü Ý Y ¹ Ü ÐÐ Ñ ÐÖ ÜÛÞ f : X Y ÚÛÔØ ºÐ ÑÞÒÝ ¾

3 ÑÞ Ü Ý ¾ ¹Ð ½ Ó ÜØÕÒµ Ü ÐÐ ÐÖ f ÚÛÔØ ÑÞ Ü ÞØÐ Ý Ü ÐÐ ºÐ ÞÒÞÒÝ Z A Þµ ºÐÖ Ó¹Ñ g ÚÛÔØ º ÑÔÝ Ý ÝÖÒе Ð ÑÞÒÝ 00 ¹Ð 90 Ó ÓÚ ÐÛ ÑÔÕ ÐÝ Ô ÐÖ Þ Ð ÜÔµ h ºÔÕ ÑÝ ÜÖ Ð ÐÝÒÐ 0µ ÑÜ ÑÔÚÐ Ð ÐÖ Ð ÓÝ ÞÚÛÔØ ÔÞ º ÞÐÞ ÓÔ ÐÖ Ö ÞÔÞÝ Ð ÒÝ ºÖ ÐÖ ÐÖ Ð Ö Ö Ð ÐÖ Ö ÞÖÜÒ ÐÐ ÞÞÝÒÝ ÔÐ ÞÜÒ ÞØÕÔ ÞÚÛÔØ Ó Ò ÐÝ ÐÐ ÑÕ Ö ÒÞ ºÐÖ Ö ÚÛÔØ Ñ Ö ÒÞ ÜÛÞ f : X Y ÚÛÔØ ÞÝ ÓÔ Ö ÒÞ ÞÒÛ ÞØÕ ÞÚÛ ÓÞÝ Y ¹ X Ñ f : Y X Ø ÚÛÔØ ÞÒÛ Ó Ò ºÑÜ ÐÝ Ý ÜØÕÒ ÞÚÛ ºÖ ÒÞ ÑÝ º 6 ¹ Ý ÑÜ ÜØÕÒ Y ¹ X ¹ Óµ Ó f º Ö Ôµ Ð g º ÐÖ Ô Ö Ôµ Ð h ÛÐÞ ÑÐÜÞÒ ÞÜÚØÐ ÞÔÖµ Þ ÐÜÞ ÞÝ ÜÚÐ ÞØÕÔ Ò f : {ÑÔÕ} {ÑÔÕ} ºÞÐ ÑÔÕ f (ÔÕ) = Ý ÐÝ Ó Ñ º ÑÝÒÝ ÑÔÝÐ Ñ Ü ¹Ó Ý ÔÕ ÐÐ µ Ö f ÜØÕÒ Þ ÑÞ ÜÜ ÜÛÒ º ¹Ó Ý ÔÕ ÐÐ µ ÐÖ ºÑÜ

4 ÐÜÞ ÑÔÕ n ÐÝ Þ ÑÝÔ k ÐÝ Ö ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ºÛ Ñ k ÑÖØÒ Ó n Ü ÞÜÔ ÑÐÒ ÜØÕÒÐ Ý f : {Ñ k ÑÖ n Ü ÞÜÔ ÑÐÒ Õ} {ÑÔÕ n ÞÒ ÜÔÝ ÑÝÔ k ÐÝ ÑÖ Õ} ÚÛÔØ ÜÔ ÜÖ ºn Ð Ó ÜÕ ÜØÕÒ ÐÛ ÔÕ Ð ÓØ ÜÞ ÚÛÔØ ºÖÐ Ü i ¹ ÔÕ ¹ ¹Ð Ý i ¹ Þ Ñ n Ü ÞÜÔ ÐÒ ºÖÐ Ü Ð i ¹ ÔÕ ¹ 0 ¹Ð Ý i ¹ Þ Ñ º ÞÜÒ ÚÛÔØ ÓÐ º Ûµ Ö ÑÞÒ ÐÒ ÐÐ Ð ÒÝ Ý i ÑÛ Ü ºx y ÞÔÝ ÞÜÔ ÑÐÒ ÞÝ ÞÔÞÔ Ö ÖÐ Þ ÞÒÖÐ ºÜ Ð i ¹ ÔÕ f(x) ÖÐ ºy i = ¹ x i = 0 ¹ÔØÝ ÓÒ ºÑÔÝ ÑÒÞÒ ÑÖ ÓÐ ºÜ Ó ÔÕ f(y) ºÖ f ÚÛ ÜÔÝ ÑÔÕ ÐÝ ÜÕ ÑÜØÕÒ Þ ÓÒÕÔ ºÑÔÕ k ÐÝ Ö ÓÞÔ ÐÖ ÜØ 0 ÞÞ ÐÝ n Ü x ÐÒ ÜÔ ºs,s,...,s k ÖÐ ÓÐ ÔÐÞ ÔÒÒÝ Ö Û f(x) º Ý s,s,...,s k ÞÞÐ ºÐÖ f Ü ÞÜÔ ÑÐÒ ÜØÕÒ ÓÐ ºÐÖ Ö ÔÜÝ f ÚÛÔØ ÔÛÕÒ ÚÛ ÞÒ ÑÔÕ k ÐÝ Ö ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒÐ Ý Ñ k ÑÖ n ºÑÔÕ n ÐÝ ÜØÕÒ Ò

5 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÑØÜÚ ÞØÐ ÞÜÒÞ ÞÜ ½ ÝÒ ÑÔØ n A ¹ A¹ ÔÒÕÔÝ ÝÒ ÜÐ ÜÝØ Ñ Ü ÓÜÛÖ B A µ ÑÔÝ ÓÒ ÞÜÐ ÑÔØ n B ¹ B¹ ÔÒÕÔÝ Ü ºÑÔØ n A + n B Ý ÑÔÝ Ð Ð Ü Ð ÜÐ ÑÔØ n A ¹ A Ü Þ ÜÐ ÜÝØ Ñ ÐØ ÓÜÛÖ ÐÔ ÜÕ ÑÔÝ ÞÜÐ ÑÔØ n B ¹ B Ü Þ ÜÐ ÜÝØ ºÞÜÝØ n A n B Ý B ÜÐ Aµ P(n) = n! ÑÔÝ ÑÒÚÖ n ÜÕÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ ÞÜÒÞ ³ÕÒ ÞÝ ÑÖ ÑÔÝ ÑÒÚÖ n ÞÒ ÑÒÚÖ k ÜÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ ÞØÐ ³ÕÒ P(n,k) = n! (n k)! ÜÕÐ ÞÝ ÐÐ ÑÔÝ ÑÒÚÖ n ÞÒ ÑÒÚÖ k ÜÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ ÑØÜÚ ³ÕÒ C(n,k) = ( ) n = k n! (n k)!k! ÜÕÐ ÑÐÜÞ ¾ ºÑÔ k¹ ÞÔ Ñ ØÝÒ º½ ÐÖ ÓÐÝ Õ ÑÜÕÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ Ò µ (k + 5)! ÐÖÒ ÑÜÕÐ ÑÔÝ ÑÝÔ k + 6 ÔÐ Ý ½

6 ÖÛ Ý ÑÛÒ Ð Ñ µ (k + 5)! Ð ÞÕ ÜÝ Þ ÜÕÔ Þ ÝÔ ÔÝ Ð ÒÞ ÑÝ Ñ Ñ µ ºÐÖÒ ÑÝÔ k+5 ÝÐ ÜÚ ÝÖ º Ý Ð ÑÐ ÕÞÔ ÔÝ Ð ÞÝÐ ÑÐ Ñ Ð (k+4)! ÞÜÝØ ÕÒ º (k + 4)! Õ ÓÐ ºÑÔØ Û ØÐ Ý ÑÜÖÚ ÔÝÝ ÜÕ Ñ µ ºB ÖÜÒ Û¹Ð ÜÕÐ A ÖÜÒ Û ÜÕÐ ÜÛÔ m + n = (k + 5)! ÑÕ ºÓÐÝ Õ ÝÐ ÜÕ ÝÜØ ÑÒ ÑÜ ÞÖÜÒ m Þ ÙÐÔ º ³ ÖÕÐ ÐÛµ n = (k + 4)!¹Ý Ñ ÑÖ ÔÔ (k + 5)! (k + 4)! ÝÞ ÐÛÔ ºÑ ÝÒ Ó ÛÐÐ ÞÜÕ ½¼ ÞÔÞÔ º¾ Þ ÞÜÕÝ Ô Ý ÛÐÐ ÞÜÝØ Ò µ ÐÛ Ð Ð ÞÜÕ Ò ÔÝÒÝ Ò ÐÝ Ð ÑÝÔ ÝÒÐ ½¼ ÝÒÐ º ÝÒÐ ¼ ÑÐ ¼ ÑÐ ½ º ÑÐ ½¼ ºÞÜÝØ ½½ Õ ÞÔÝ ÞÜÕ ÑÖØ Ð ÑÛ ÖÕ Ò µ ÞÔÜÞØ ÔÝ ÑÕ Û ØÐ ºÐÛÒ ÝÒÝ ÞÜÕ ÜØÕÒ Þ i¹ ÓÒÕÔ ºi 0 i=0 ( ) 0 i ÖÐ Ð ÜÕ Ð ÜÕ ÐÝ Ò ÞÛÔ ÐÖ ÐÞÕÔ ºii ½¼ Ó Ý Õ ºÞÜÝØ ÞÝ Ñ ÐÝ ÝÒ ÐÝ ØÐ ¹ÜÝØ ÞÚÞ ¾ ÑÒ Ð ÞÜÕ ½¼ ÜÖµ ÑÜ ÞÖÜÒ º 0 ÐÛÔ ÐØÒ Û Þ ÐÖØÔ ºÞ º Ý ÞÐÖØ ÞØ ÞÝÜ 0 ÝÞ Þ ÖÔ Ô ¾

7 ¹ÐÐ ÞÛÐÒ ÞÜÕ Ð Ü Ð ÑÖØ Ð ÞÔÝ ÞÜÕ µ Ñ ÑÐ ÝÒÐ ÞÜÝØ ÞÚÞ Ý ÜÕ ÞÛе ÖÜÒ ÐÐ º3 0 ÓÐ ÝÞ ºÞÔÚÔÚÐ Ü ÑÔÝ ÒÞµ ÑÐ 0¹Ð ÓÛÐÐ ÑÚÜ ÞÔÝ ÞÜÕ 0 Ý ÞÖ µ Þ ÜÕ Û ÐÛ Ð ÐÝ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÞÖ º ØÖ ÔÔµ ÑÕÒ ÜÕ ÑÐ Þ ÝÔ º0! ÞÜÕ Þ ÜÕÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÛÐ ÑÐÖ Þ ÐÜÞ ÞÝ ÑÝÐ ºÑÔÕ n ÛÜÔÒÛ ÕÜÛ º Þ ÞÝÖÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ Ò ºÞÐ ÛÐÞÐ ÝÒÐ ÞÜ ÓÒ Ý Ò ÛÜ ÜÕÐ Ý ÔÝ Þµ ÞÔÜÞØ ÔÝ ÐÝÐ ÓÝ ÜÕÐ ÞÝ Ðе ÑÔÕ ÞÒ ÓÝÜ Þ ÜÔ µ Þ ÜÔ ÞÖ º( n ) ÞÜÝØ ³ÕÒ º ÔÝÒ ÔÔ Ð Þ ÜÕ Õ ÔÜØÕ ºÐ ÑÜÞÔ ÓÒ ÔÝ ( n )( n ) ( ) 4 ÛÐÐ ÜÚ ÓÐ ºÞ Ó ÜÕ ÔÕÔ Þ ÜÚ Ð ºÞÜÝØ ÝÞ º(n!) Þ Þ ÜÕÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ( n )( n ) ( 4 ) n! ØÐ ÖÛ Þ ÞÜÝØ (n)! µ ÜÝ ÑÔÕ Þ ÜÕÔ µ º Ð Þ ÜÕ Ñ Þ Ó ÜÕ ÔÜÚ ÜÚ ºÓÞÔ ÜÕ Ð ÜÕÐ Þ Þ ÜÕÐ ÞÜÝØ ³ÕÒ ÛÐÐ ÔÐÖ ÓÐ (n)! n!(!) n Ñ ÐÕØÕ ÐÖ ÑÝÔ n ÝÐ Ý ÞÜÝØ Ò º ÒÚ Û Ðµ ÔÒÒ ÓÖÒÝ Þ Ü ÓÜ µ ÞÔÜÞØ ÔÝ

8 Óݵ ÜÕÐ ÞÝ Ð ÓÖÒÝ ÓÜ ÜÖ ÞÒÛÒ ÔÝ ÜÔ ºi ³ÕÒ º ÓÖÒÝ ÓÜ Ó ÜÕ ÞÒÛÒ ÜÔÝ ÖÜÒ ÑÝÔ ÜÝ Þ ÜÕÔ ÝÖ º( n ( ) n (n )! ) ÞÜÝØ ¹ÒÝ Þ Ü Óܵ ÞÛ ÞÜÝØ ÐÒ ÜÒÕ ÐÛÝÒ ºii ¹ÒÝ Þ Ü Óܵ Þ۹РÞÜÝØ ÐÛÐ ÓÞÔ ÔÒÒ ÓÖ ºÐ ÓÖÒÝ ÓÜ ÐÝ ÑÞÒÛÒ ÞØÐ Ö ÐÒÝÒ ÓÖ ÞÜÝØ ÜØÕÒÐ Ý ÞÛ ÞÜÝØ ÜØÕÒÝ ÖÔ ÓÐ ºn!/ ÝÞ ÓÐ n! ÓÞÝ ÑÕ ºÞÜÕ ÐÒÝÒ ÐÚ Þ Ü Ô ÔÒÒ ÓÖÒÝ Þ Ü ÓÜ µ ÞÔÜÞØ ÔÝ Ý ÜÖ ÞÒÛÒ ÔÝ ÓÖÒÝ ÓÜ ÜÖ ÞÒÛÒ ÔÝ ÜÔ ºi ÑÜÞÔ Ð Þ ÜÕÔ ÕÐ ºÔ ÐÚ ( n )( n ) (n 4)! ÞÚÛ Þ ÛÐÐ ÓÞÔ ÑÛ ÖÕ ÐÝ ÐÐ ÑÒ ÑÔÖÒ ºii ÜÕ ÞÛÐ ÞÕÞÒ Ð¹ÞÝ ÞÚÛ ¹Ð ÞÜÝØ ºn!/4 ÝÞ ÓÐ ºÞ ÔÝ ÐÝ Ý ÞÛ ÜÕ ÞÜÝØ ÞÝ Ý ÞÖ º( n 3 Ð Þ ÜÕÔ ÕÐ ÐÒÝÒ Ð Þ ÓÜ Þ Ü ÓÖÒÝ µ ) ÞÒÛÒ ÝÐÝ ÜÔ ºi º ÓÖÒÝ ÐÝ ÐÒÝÒ ÑÔÝ Ð Óܵ ( ) n (n 3)! 3 ÑÜÞÔ ÜÒÕ ÐÛÝÒ Ý ºii ¹Ø ÜÕÐ ÑÞ ÞÐÛÝ ÞÛÐÒ 3!¹Ð ÑÜÕ Þ ÛÐÔ ÐÐ ÞÛÐÒ ÝÝ ÓÒ ÑÞÝ ÛÜ ºÐ ÓÖÒÝ ÓÜ ÐÝ ÒÔ n! 6 = n! 3 ÐÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÓÐ ÞÛ

9 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÞÜ ÑÖ ÑØÜÚ ÞÜÒÞ ÜØÕ ÞÝ ÑÕ ÐØ Ü Û ½ ½º½ ÝÒ ÑÔØ n A ¹ A¹ ÔÒÕÔÝ ÝÒ ÜÐ ÜÝØ Ñ Ü ÓÜÛÖ B A µ ÑÔÝ ÓÒ ÞÜÐ ÑÔØ n B ¹ B¹ ÔÒÕÔÝ Ü ºÑÔØ n A + n B Ý ÑÔÝ Ð Ð Ü Ð ÜÐ ÑÔØ n A ¹ A Ü Þ ÜÐ ÜÝØ Ñ ÐØ ÓÜÛÖ ÐÔ ÜÕ ÑÔÝ ÞÜÐ ÑÔØ n B ¹ B Ü Þ ÜÐ ÜÝØ ºÞÜÝØ n A n B Ý B ÜÐ Aµ n ÞÒ k ÞÜ ½º¾ ÜÕÐ ÞÝ ÑÖ ÜÕÐ ÞÝ Ð ÞÜ Ð n! (nk)! ( n ) k = n! (nk)!k! ÞÜ ÑÖ n k ( n+k ) k ½

10 ÞÜÒÞ ½º ÑÔÒÐ n ÜÕ ºn! ÞÜ Ð q t ººº ÕÒ ÑÔÒÐ q ÕÒ ÑÔÒÐ q ÑÔÞÔ ÜÝ ÞÜ ÑÖ t ÕÒ ÑÔÒÐ (q + q q t )! q! q!... q t! ( ) n + k k ÞÜ ÑÖ ÑØÜÚ ½º ÞÐÛÝ Ó Þ ÞÖ ºÝ Ð ÜÕ ÜÝ ÞÜ ÑÖ ÑÕ n ÞÒ k ÐÝ Ü ºÑÔÝ ÑÞ n Ð Ñ ÑÜ k ÞÛÐ ÑÖ x i ÜÝ x + x x n = k ÝÒ ÐÝ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ º ÕØ Ðе ÞÒ ¾ º Þ ÐÒ ÑÒÖØ ÜÒе ÞÞ ÞÔÞÔ º½ ÞØÐ ÖØÐ ÜÚ Þ Ð Ñ ÓÒ ÜÚÐ ÓÞÔ ÞÞ ½¼ ÞÔ ÑÐÒ Ò ÑÒÖØ Ò Û ÞÖÐ ÔÐÖ ÞÜ ÑÖ ÞÜÒÞ ÐÝ ÕÔ ÝÒÞÝÐ ÑÜ ÑÜÛÒÐ ÜØÔ ÓÐ ºÕ ÐÒ Ý ÞÞ º ÑÒÖØ ÞÖØÒ ÞÞ Üݵ ÑÒÖØ ÖØÒ Þ Þ µ Ý ÑÒÖØ ÖØÒÝ Þ ÞÜÐ ÞÜÝØ ÓÔÝ ÜÛÒ 0! 4!!!! ÞÞ Þ ÜÕÐ ¾

11 ¹ÒÖØ ÞÖØÒ ÞÜÞÔ ÑÞÝ ÑÒÖØ ÝÐÝ ÞÖØÒ ÞÞ ÞÝ µ ( 4 ) ÜØÕÒ ÑÒÖØ ÔÖØÞÝ ÞÞ Þ ÜÐ ÞÜÝØ = 6 ÓÔÝ Ü Ðе ÑÜÝØ ÑÜÕ 0! 3!3!!! ºÑ 4 0! 4!!!! + 6 0! 3!3!!! ÐÒ ÝÞ ÑÔ ÖÚ Ý Ñܵ ÑÐÕ ÑÐ ÑÒ ÑÜ ÐÝ ÒÜÖ Ý º¾ Ý ÑÜ ½¼ ÑÞÒ ÜÐ ÓÞÔ ÑÜ Ò º Ñ Ö ÜÐ ÜÞÔÝ Ò ÞÖ ÑÒ ÞØÐ ÞÐ ÑÜÚ µ ºÑÒ ÑÜ ÐÞ ÜÔ ÑÔÝ ÑÞ ¹Ð Ñ ÑÜ ÞÛÜÐ ÐÛݵ ÑÕ ÞÒ ÑÜ ( ) 5 + (3 ) = 5 ( ) 7 = 5 ÜÒÐ ÑÒ ÑÜ ÜÞ ÐÐ ÞÐ ÑÜÚ µ ÞÜÞÒ ÞÜÕµ ÐÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÑÐÝÒ ÞÝ ÝÒÞÝÔ ( 0+(3) ) ÑÛÞÒ Ð Ñ ÞÜÕ ÞÜÝØ ÜØÕÒ Ò º 0 Ò ºÑÒ ÞØÐ Ý Ü ÑÒ ÜÞ ÐÐ ÝÝ ( 4+(3) ) ÓÜÞØ 4 Ú ÑÛ ÖÕÐ ( 0 + (3 ) 0 ) ( ) 4 + (3 ) 4 ½¹ Þ ÑÖØ Þ Ðµ ÞÔÝ ÞÞ ÜÖÐ ÑÚÜ ÞÜÝÛÞ Û Ü º ÜØÐ ÞÞ ÞÝ Ð Ó ºÓÔ ÜØÐ ÑÜÚÝ Ñµ ÑÜ ºÑÚ Ð ÞÞ Ó ÚÒÐ Ñ ÑÜ Ð Ü ÞØÐ ÒÐ a b c d e ÞÛ ÞÖ ÜØÕÒ Ò ººÞÛ Ö ÖÛÐ ÜÞÔÝ Ò ÞÖ º5! ÞÔÝ ÞÞ ÐÝ ÜÕ Þ ÖÛÔ ÞÝÜ

12 Ü ÞØÐ Ý ÞÞ Ó ÞÒÛÒÐ ÑÜ ÞÛÐ Þ a b c d e ºÞÒÕ ÞÞ ÞÝ Ð Ó Ñܵ Ñ ÑÜ ½¹ ÞÞ Ó ÞÒÛÒµ ÑÔÝ ÑÞ ÔÐ Ý ¹Ü ½½ ÜÞÔ ÝÖÒÐ º Ü ÞØÐ Þ ÐÝ ÛÐÐ ÜÚÝ ÝÞ ºÛÐÐ Ñ ( ) ( ) + (4 ) 4 5! = 5! Þ ÞÝÒÐ Ý ÞÔÜÞØ Ò º 00 i= x i = 0 x i {0,} µ ¼ Üݵ x i = ¹Ý i ¾¼ ÜÐ ÑÚÖ ÜÚ ( ) i= x i 00 x i {0,} µ º 00 ÓÐ ½ ¼ ÞÐ Ð x i Ð ºÞÔÜÞØ ÐÖ Ð Ó ÑÚÖ 00 i= x i = 00 0 x i Z µ ÑÔÞÝÒµ ÑÔÝ ÑÞ ½¼¼¹Ð ÞÒÐÝ Þµ Ñ ÑÜ ¾¼¼ ÛÐÐ Ý ( ) ( ) 00 + (00 ) 99 = i= x i = 00 x i Z µ ÑÜÞÔ ½¼¼¹ Þ ÛÐÔ Þ Ð Ü ÐÞ ÑÝÔ ( ) ( ) 00 + (00 ) 99 = i= x i 00 0 x i Z µ ÝÒÐ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ Þ ÚÒÔ x 0 ÔÞÝÒ Ö ÕÔ 0 ( ) 00 + (0 ) = 00 ( ) i= x i = 00

13 ÑÕ ÜÝÝ ÑÝÒ ÞÜÛÒ ÝÒ ÐÝ Ð ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ ¹Ý ÜÖ Û ÝÜØ 00¹Ò ÓÛ ÞÜÛÒ ÝÒ Ñx i ¹ ºÝ ÝÒ x 0 ÔÞÝÒ ÐÛ ÞÛÐ Ò ºÞÐØÒ ÞØÞÞÝÒ ÑÝÒ n + Ý ÔÒÐÜØÐ ÞÜ º ÞÐØÒ ¾ ÐÝ ÚÐÛ ÐÐÝ Ð ÒÜ ÞÐØÒ Ó ÑÝÒ ÐÝ ÞÔÝ Ü Þܵ ÑÝÒ n ÜÞ ÐÐ ÐÛÐ Þ ÐØÒ ÐÝ ÖÛ ÔÞ ÞÝ Ý ÝÒÞÝÔ ºÛØÕÒ Ü ÔÞ º ÞÜ ÞÝ ÐÖ Ü Ð ÑÐÝÒ ¹Ü n+ ÛÐÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÐÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÞÐØÒ Ðµ ÑÔÝ ÑÞ ¹Ð ÑÝÒµ Ñ Ñ ( ) ( ) n + + (3 ) n + 3 = n + ÐØÒ ÞÒÛ Ó ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÞÜÕ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ºÞ Þ ÛÜ ÞÐ ÐÝ Ð ÑÝÔ ºÞØÐ ÑÝÒ n + Ý Ð ºÑÞ ¹Ð ÛÐÐ ÑÜ n+(n+) = n ÔÐ ÜÞÔ ÜÛÒ ÞÐÝ ÐØÒ Þ ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÐØÔ ( )( ) 3 n + (3 ) n ( n + 3 ) ( ) n + 3 n ÓÜÞØ Õ ÝÒ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ ÞÚÒÐ ÐÛÝ Ö ÓÜÞØ ³ Ü x + x + x 3 = n +, 0 x i n x i := n y i ÚÔ ÞÖ 0 y i n ÜÒÐ 0 n y i n ÔÞÐ ÐÛÝ 0 x i n ÔÞµ ÞÜÛÒ ÝÒÐ ÐÛÝÝ ÝÒ ÐÛÔ n y + n y + n y 3 = n +, 0 y i n

14 y + y + y 3 = n, 0 y i n ¹ÜÞØÐ ÐÔ Ú Öµ ÑÞÒ Ý ÝÒ ÐÝ ÓÜÞØ ÐÝ Ð ÒÝ ºÞÜÛÒ ÝÒ ÐÝ Ó Ý Ñy i ¹ ÑÕ Ñ Ü ÞÖÒÝÒ ÞÜÕ ÞÖ y i ÐÖ Ð Ð ÝÒ ÐÝ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ ÓÐ ºy i n ÑÛÞÒ n ¹Ð ÐÝ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒÐ y + y + y 3 = n, 0 y i ( ) n + (3 ) = n ¹Ð Ý ÑÖ Ü Ô ( n + n )

15 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÓÔ ÑÔ ÞÜÔÒÛ Þ ÚÛÔ ½ t ( ) ( ) n + k n + t + = r r + k=0 ( ) n r + t ÐÖ ÚÛÔ ( ) n = r ( ) ( ) n + n r + r + ( ) ( ) n n + = r r + ( ) n + r + t = 0 ÕÕ ºÐÛÕØ ÝÐÝÒ ÓÝ t = p + ÜÖ Ô 0 t p ÑÛÒÝ t ÐÐ ÞÔÔ ÔÔ ÖÚ p+ ( ) ( ) n + k n + p + = + r r k=0 p ( ) n + k k=0 r = }{{} Ð = = ( ) ( ) ( ) n + p + n + p + n + = r r + r + }{{} ( n + p + r + ÐÛÕØ ÝÐÝÒ Þ ) ( n r + ) ½

16 t k=0 ( ) k = r ÐÛÔ ÔÝ Þ n = 0 ÚÔ ÜØ ÜÛÒ ( ) ( ) t + 0 r + r + ( 0 ) ÓÐ r+ Ó ÑÕØÞÒ ÐÒÝÒÝ ÑÕ ÑÔÝÜ ÑÜ r Ð t k=r ( ) k = r ( ) t + r + ÞÜÔÒÛ Þ ¾ Þ ÜÞØÐ ÓÞÔ ÑÜÒ ÞÜÔÒÛ Ö ÑÚÒ ÞÜÔÒÛ ºÓÝ ÐÝ Ü ÚÐ ÐÒ Ü Ð ÜÝ ÞÔÝ ÑÜ ÞÝ ÐÜÞ ¾º½ ( ) n = ( n ) + n n ¹ ÑÜ n ÐÝ ÚÛ ÞÒ ÑÝÔ ¾ ÐÝ Ö ÜÐ ÓÞÔ ÑÔØ Ò Ö ºÑÝÔ ºÐÜ ÐÒÝ Ú ºÑÔÝ ÑÜÛÒ ÝÐÝ ÑÔÝ ÓÒ Ú ºÞÜÝØ n Þ Ý Ü ÐÝ Ü ( n ºÞÜÝØ ) ÑÝÔ ÐÝ Ü ( n ºÞÜÝØ ) ÑÜ ÐÝ Ü ºÑÐÝ ÑÕ ÓÝ ÐÝ ÓÒ Ú ¾

17 ÐÜÞ ¾º¾ n (i ) ni = n n i= Ñ ÞØÐ Ñ n Ü ÑÜÔ ÑÜÛ ÜØÕÒ Ò Ö ÜØÕÒ ÞÒ ÜÕÔ º n n Ü ÑÜÔ ÑÜÛ ÜØÕÒ ÓÒ Ú ÜÛ ÜÖ Ö ÞÜÝØ nµ Ý Ñ ÑÜÔ ÑÜÛ ÐÛÔ ºÑÕØ ÐÝ n n Þ i Ö ÓÒÕÔ ºÑ ÔÝ ÞØÐ ÖØÐ Ñ ÜÛ ÐÒÝ Ú ºn¹Ð Ó ÖÔ i ºÐÒÝÒ ÔÝ ¹ ÐÝ ÑÛÒ ºÑÕØ ¹ ÜÝ Ý ÐÒÝÒ ÐÝ ÑÛÒ Þ ÔÖÛÝ Ü i Ý ÜÛ ÑÐÒÝ ÞÒÛÒ i ÐÝ ÓÞ ÖÛÐ ÐÝ ÓÐ ni Ý ÓÐ Ñ 0 Ñ ÖØÐ ÑÐ ÐÝ ÔÒÒ ºÞÜÝØ Õ º ¹Ð ÔÒÒÝ ÜÛ ÐÝ ÛÐ ÐÝ ÓÞ Þ ÖÛÐ ÞÜÝØ n (i ) ni i= ÔÐÛ ÓÔ ÑÔ ÞÜÞ º½ (x + y) n = n i=0 ÑÛÞÒ ÑÐÝ n ÐÐ y ¹ x ÐÐ ( ) n x i y ni i ( + x) n = n i=0 ( ) n x i i Ý ÜØ ÜÛÒ

18 ÐÜÞ º¾ ( n ) ( ) ( ) ( ) n n n n 3 n ÑÕ Ý ÒÐ ÞÕÔ ÝÒÞÝÐ ÓÞÔÝ Þ ÞÚÛ ÓÛÞÐ ÕÔÔ = n ( n ( ) i i i= n ( ) n i = i i= ) + ( ) 0 ( n 0 n ( ) n ( ) i = i i= ) ( ) 0 ( n 0 ) = i=0 = ( + ) n = 5 n. ÓÜÞØ ¹Ð Ý ºÑÔ n ( ) ( ) n n ( ) i ( ) 0 = i 0 ÑÔ ÞÕÔ ÝÒÝ Ö ÐÜÞ º ÐÝ ÝØ ÑÛÒ Ò ( + x) n ( + x )m ( + x) n ( + x )m = ( + x) n(x + )m x m ( n+m º m = ( + x)n+m x m = x m n+m i=0 ( m + n ) ÝÞ ÜÒÐ ºi = m ÜÝ ÐÛÔ ÝØ Ü Þ i ÞÔ ) x i ( + x) n ( + x )m = = ( n i=0 n ( ) ) n x i i m i=0 j=0 ( n i ÜØÔ ÑÔ Ð ÝÔ ³ Ü )( m j m j=0 ) x ij ( ) m j x j

19 ¹Ð Ý ÓÐ i = j ÜÝ ÜÒÐ i j = 0 ÜÝ ÐÛÞÒ ÝØ ÑÛÒ min n,m i=0 ( n i )( m j ) min n,m i=0 ( n i Þ Þ ÔÐÛ ÐÜÞ ÓÜÞØÒ ÔÛÕÒ )( m j ) ( ) m + n = m ÞÜÔÒÛ ÞÖÚÒ Þ ÞÜÐ ÓÞÔ Ñ

20 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÜØ Ð ÓÜÛÖ ÞÜÞ ¹ ÜØ Ð ÓÜÛÖ ½ ÔÞ ÐÐ Õ ÔÒÐ Ð ºp,p,...,p t ÞÔÞ t ÞÔÞÔ ºÑÔÒÐ n ÑÔÞÔ ºÞ ÑÛÒ Ð Þ ÑÛÒ ÓÒÕÔ ºp i ÔÞ ÑÒÛÒÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(p i ) ºp i,p j ÞÔÞ ÑÒÛÒÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(p i,p j ) ºp,p,...,p t ÞÔÞ ÑÒÛÒÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(p,p,...,p t ) ÜÔ ºÕ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(0) = n ÑÔÒÐ ÜØÕÒ Ü Ô W() Ð ÒÝ ¹¹ W() = t i= W(p i) ºn¹Ò Ð ÞÐ Ð W() ÜØ ºÞ ÔÞ ÑÒÛÒÝ ºÞÔÞ Þ Ð ÐÖ ÑÕ ¹¹ W() = i<j t W(p i,p j ) ÐÝ Þ¹r Ð ÐÖ ÑÕ ¹¹ W(r) = i <i <...<i r t W(p i,p i,...,p ir ) ºÞÔÞ W(t) = W(p,p,...,p t ) ÔÞ ÑÒÛÒ ÐÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ t E(0) = W(p,p,,p t) = () r W(r) r=0 ½

21 ÐÜÞ ¾ ºÑÔ Ó ÞÜÐ ÑÖ ¹ ÞÞ ÑÖ ÐÛÝ ÑÖ ÐÔ ÑÖ ÑÛÜ Ð Ý ØÛÒ ºÑÕÒ ÛÜ ÝÛ Ô Ð ÜÛÐ ÑÐ Ð ÞÝ ºÔÔ Ð Þ ÐÒÐ ÐÞ Ó ³Ý ÑÛÜ ÝÛÐ ÑÔ Ð ÑÜ Ò ÞÝÛ ÞÔÞ ÜÔ ºÐÔ ÑÖ ÑÛÜÐ ÞÝÛ ¹Ò ÜÞ Ý ¹ P ºÐÛÝ ÑÖ ÑÛÜÐ ÞÝÛ ¹Ò ÜÞ Ý ¹ P ºÞÞ ÑÖ ÑÛÜÐ ÞÝÛ ¹Ò ÜÞ Ý ¹ P 3 ºÔÔ ÑÖ ÑÛÜÐ ÞÝÛ ¹Ò ÜÞ Ý ¹ P 4 W(P,P,P 3,P 4 ) Þ ÝÐ ÑÔÔÖÒ Ô ÐÐ ÞÔÞ ÔÒ n = 4 8 ÞÐ ÐÐ ÞÜÝØ ÞÝÛ ÜØÕÒ W(P ) = ÐÔÐ ÞÝÛ = ( 8 ( 7) ) = 5 W(P ) = ÐÛÝÐ ÞÝÛ ¹Ð Ó = 8 ( 8 i=4 i) 3 8i = 7459 W(P 3 ) = W(P ) = 5 W(P 4 ) = ( 8) ( 8 ( 7) ) = 77 ÜÖ Ñ Ñµ W(P i,p j ) = 0 P i,p j ÞÔÞ ÞÝ ÐÐÝ Ð ÑÝÔ ÞÖ º ÓÒ ÑÕØÞÒ ÞÔÞ ÐÝ ÞÖÜ ÞÝÐÝ 4 = W(P,P,P 3,P 4) = n W(P i ) = 4 8 ( ) i= ÐÜÞ ÜÚ ÐÝ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ÑÜØÕÒ ÜÝ ÜÕÐ ÓÞÔ ÑÔØ Ò Ñ ÑÜØÕÒ ÐÝ ÑØÚÜ ÓÜÞØ º ÚÜ ÞÖØÒ i ÞÜØÕ ÝÐÝ ¹ p i º i 3 ÜÝ p i ÞÔÞ ÝÐÝ ÜÔ ºE(0) Þ ÑÝØÒ ¾

22 W(0) = 9! (3!) 3 ºÐÔ ÑÜØÕÒ ÐÝ ÑÜÕ Ð ÑÐÖ Ð W(p ) = W(p ) = W(p 3 ) = 7! 3! 3! W() = 3 7! W(p i ) = 3 3! 3! i= W(p,p ) = W(p,p 3 ) = W(p,p 3 ) = 5! 3! W() = i<j 3 W(p i,p j ) = 3 5! 3! W(3) = W(p,p,p 3 ) = 3! ÓÜÞØ ØÐ 3 E(0) = () r W(r) = W(0) W() + W() W(3) r=0 ÐÜÞ ¹Ð Þ ÞÐÔ ÞÞ ÞÜØÕµ ÑÞ ¹Ò ÞÜÒ ÝÒÐ ÞÛ ÒÕÕ ÞÞ ÞÝ ÞØÐ Þ ÔÛ ÞÐÔ Þ ÞØÐ Þ ÜØÕ ÞØÐ Ð Ý ÞÛ ÞÒÕÕ Ò ºÞÐ ÞÐ ÐÐ ÞÒÕÕ Ð ÑÐÖ ÓÜÞØ W(0) = ( ) 8 = 6 8 W(P ) = (6 + 6) 8 = 5 8 W(P ) = (6 + 0) 8 = 36 8 = W(P 3 ) W(P 4 ) = 6 8 (6 + 0) 7 ÞÔÞ ÜÔ ÞÜØÕ Ó ¹ P ÞÔÛ ÞÞ Ó ¹ P ÞÐ ÞÞ Ó ¹ P 3 Þ Ð Þ Û Ý ¹ P 4 ºE(0) Þ ÑÝØÒ ºÞÒÛÒ ¹ Þ ÑÝÐ ÜÝØ Þ Þ ÜÐ ÞÜÝØ 6 Ý µ

23 ºW() Þ ÝÐ ÔÒÕ W(P,P ) = 6 8 = W(P,P 3 ) W(P,P 3 ) = 0 8 W(P,P 4 ) = W(P,P 4 ) = W(P 3,P 4 ) = 0 ºW() Þ ÝÐ ÔÒÕ ÐÛÒ ÑÛÞÐ ÞÐ Ð ÐÔ ÞÔÞÒ ÞÔÞ ÝÐÝ W(3) = 0 ÞÞ ÞÐ ÞÞ Ð ÒÕÕ ÓÞÞ Ð ¹ ÐÝÒе ÝÐ ÒÕÕ ÐÝ ¹ÛÞÒ Ð ÞÔÞ ÝÐÝ Ð Ñµ W(4) = 0¹Ý ÜÜ Ñ ÓÒ º ÞÜØÕ ÞÔÛ ÞÔÒ ÐÖ ÙÔ Ð Þ ÔÝ Ð ÞÔÞ Ñ ÐÛÒ ÞÒ ºE(0) Þ ÐÛÐ

24 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÜØ Ð ÓÜÛÖ ÞÜÞ ¹ ÜØ Ð ÓÜÛÖ ½ ÔÞ ÐÐ Õ ÔÒÐ Ð ºp,p,...,p t ÞÔÞ t ÞÔÞÔ ºÑÔÒÐ n ÑÔÞÔ ºÞ ÑÛÒ Ð Þ ÑÛÒ ÓÒÕÔ ºp i,p i,...,p ik ÞÔÞ ÑÒÛÒÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(p i,p i,...,p ik ) ºÕ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ ¹¹ W(0) = n W(r) = W(p i,p i,...,p ir ) i <i <...<i r t ºÞÔÞ ÐÝ Þ¹r Ð ÐÖ ÑÕ ¹¹ ÔÞ ÑÒÛÒ ÐÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ t E(0) = W(p,p,,p t) = () r W(r) E(m) = r=0 ÞÔÞ m Û ÑÒÛÒÝ ÑÔÒÐ ÜØÕÒ t ( ) r () rm W(r) m r=m ½

25 ÐÜÞ ¾ ÑÝÛÒ (n k)¹ ÝÜÞÐ ÑÚÜ k ÑÞÒ Þ n ÑÒÖ ÞÔÜÐ ÜÞ ÑÝÔ ÜÞ ÑÜ ÜÞµ ÑÜÞ ÔÝ ÑÜÕÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ Ò ºÓÞÞÐ Ú ÒÖ Ð ÝÜÞÐ ÑÚÜ Ô ÔÝÝ ÓÜÞØ ÑÝÜÞÒ Ô Ð ÛÜ ÞÔÐܵ ÞÔÞ k ÜÔ º Ú ÑÒÖ ÝÜÞÐ ÑÚÜ ÞÒµ i¹ Ô ¹¹ p i ºE(0) Þ ÝØÔ ºW(0) = (n!) ºÑÜÞ ÔÝ ÑÜ n ÐÝ ÑÝÔ n ÐÝ ÑÜÕ Ð ÑÐÖ Ð Þ ÞÝ ÒÖÞ i¹ Ü Ð ºÞÜÝØ n!¹ ÜÞ ÑÜ ÜÕÔ W(p i ) ÓÐ ºÑÔØ (n )!¹ ÞÜÜÝ ÓØ ÔÜÕÞ ÑÝÔ ÜÝ W(p i ) = n!(n )! W() = k W(p i ) = i= W(p i,p j ) = n!(n )! ( ) k n!(n )! Ò ÓØ W(p i,p j ) W() = i<j k W(p i,p j ) = ( ) k n!(n )! ÓÐ W(r) = ( ) k n!(n r)! r ÐÛÔ ÐÐ ÓØ E(0) = k () r W(r) = r=0 k ( ) k () r n!(n r)! r r=0 ÐÛÔ ÕÐ ¾

26 ÐÜÞ ÝÒÐ Ý ÑÔÝ ÑÐÐݹ ÑÒÐÝ ÞÔÜÞØ Ò x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 0 x i 8 ÜÝ ÓÜÞØ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÜÒÐ Ð Ð ÞÔÜÞØ Õ Ñ ÑÐÖ ÑÜØ W(0) = ( ) ( = 5 ) 0 ºÑÔÝ ÑÞ ÝÝÐ Ñ ÑÜ 0 ÛÜÐ º Ò Ð ÜÖ ÐÛÒ x i ÔÞÝÒ ÓÜÞØ ¹¹ p i ÔÞ ºÞÔÞ ÜÔ ºE(0) Þ ÝØÔ ÑÜ ÑÝÔ ÞÝÜ ºx i 9 Ñ ÐÔ ÝÒÐ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ W(p i ) ( ) + 6 W(p i ) = = ºÝØ ÓØ ÑÜ ½½ ÜÝ Þ ÜØÔ ¹Ü i¹ Þ ( ) 6 W() = 6 W(p i ) = i= ( 6 )( ) + 6 Þ ÛÜ ÜØÔ j¹ Þ ÑÜ i¹ Þ ÑÜ ÑÝÔ ÞÖ ¹ W(p i,p j ) ( ) + 6 W(p i,p j ) = = ( ) 7 W() = i<j 6 ºÜÝÔÝ ÑÜ ÔÝ ( )( ) 6 7 W(p i,p j ) = ÓÐ ºÞÔÒ ÞÒÛÞÒ ÞÔÞ ÞÝÒ ÜÞÝ ÓÞ ÐÝ Ð ÑÝÔ W(3) = W(4) = W(5) = W(6) = 0 E(0) = = 6 () r W(r) = W(0) W() + W() r=0 ( ) 5 0 ( 6 )( + 6 ÞØÕ ÝÞ ÓÐ ) + ( 6 )( ) 7

27 ÐÜÞ ÑÜØÕ ÞÐ n ÐÝ ÜÕ Ð ÑÒÖØ n ÓÞ ÑÐÒ ºÞ ÞÛ ÞÝ ÞÔÞÔ º{(,),(,),(3, 3), (4,4),(5,5), (6,6)} Ñ ÑÐ ºÚ ÑÔÝ ÑÐ Ò {(,),(3,),(,),(6,4), (,)} Ò (,),(,) ÑÔÝ ÑÐ ÔÝ Ú Ò ºÑÔÝ ÑÐ ¾ Û Ú Ñ ÞÐÚÒ ÜÛÞ ÞÐ ÞÜÕ Ý ÜÕ ÞÐ ÜÕ ÜÝ ÓÔÝ ÞÐÚÒ ÞÜÕ ÞÛ ÞÝ ÐÝ Ð ÐÐ ºÞÔÝ ÞÜÕ ÜØÕÒ Þ ÐÞ ÝÔ ÓÜÞØ ºÞÜÝØ ÞÜÕ W(0) = n ( +6 Ý ÓÐ ÞÜÝØ ÞÚÞ ) = Ý Þ ºÞÐ ÞÜÕ ÖØ Ð (i,i) Ð ¹ ( i 6) p i ÞÔÞ ÜÔ ¾ ÛÝ ÖÔ ÖØ Ð ÑÐ Û Ñ E(4) ÝÛÒ ÓÜÞØ ºÖØ Ó ÑÐ ÑÛÒ ÐÐ ÞÛ ÞÜÝØ 0 ÛÜ ÓÜÞÔ ÓÐ (i,i) ÚÝ ÜÕ W(p i ) W(p i ) = ( ) n W() = 6 W(p i ) = i= ( ) 6 ( ) n ºÜÕ ÞÔÞ ÞÝ ÜÖ Ò ÓØ ( ) 6 W(p i,p j ) = ( ) n W() = ( ) n W(r) = ( ) 6 ( r) n r ÐÐ ÓØ 6 ( ) r E(4) = () r4 W(r) 4 r=4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = 7 n 6 n + 5 n ÞØÕ ÝÞ ÖØÒ (i,i) Ð ¹ q i ÞÖ ÜÞ ÞÔÞ Þ ÜÐ ÔÐ ÜÖ Þµ Ð ºE() Þ ÝÐ ÑÜÚ Ô ºÞÐ ÞÜÕ Þ ÑÖØ ÞØе ºW(r) Þ ÝÐ ÜÞ Ü ÝÛ ÜÛÒ Þ

28 ÐÜÞ n ( ) n () i (n i) n = n! i i=0 ÑÜÔÒÛ ÑÐÛÝÒ ºÞ ÑÜÞØ ÑØ ÔÝÝ ÞÜÔÒÛ Ö ÚÒÐ ÔÐÖ ÚÔ Ð ÞÖ ÜØÞÔ ÓÐ ºE(0) Þ ÞÜÚ ÜÒ ÐÒÝ Ú Ý Ð ÑÝÔ ºE(0) ÔÜÞØÝ ÜØ n () r W(r) = r=0 n ( ) n () i (n i) n i i=0 Ñ ÞÝ ØÐ ÓÒ ÞÔÞ n ÓÔÝ W(r) = ( n r) (n r) n W(0) = n n ÜØ ºÐ ÐÐ...n ÑÜØÕÒ ÑÖØÒ Ñ n Ü ÑÜÛ ÐÝ ÑÐÖ ÓÔÞÔ W() = n W(p r ) = r= ( ) n (n ) n W(p j ) = (n ) n ¹Ò ÑÜÒ ÑÜÛ ÜØÕÒ r¹ ÔÞ ÐÖ ÑÜØ ÜØÕÒ ÜÒÐ ºÖØÒ Ô r ÜØÕÒ Ñ n Ü ÑÜÛ Ñ Ð ºÑÔÝ ÑÜØÕÒ n º( i n) i ÜØÕÒ Þ ÐÒ Ô ÜÛ ¹¹ p i W(r) = ( ) n (n r) n r ÓÝ ÛÔ...n ÑÜØÕÒÒ Ð Ñ n Ü ÑÜÛ ÜØÕÒ Ò E(0) Ð ºn! Ý ÑÜØÕÒ n ÐÝ ÞÜÒÞ ÜØÕÒ Û ÐÔ ÑÜÛ ÜØÕÒ ºÖØÒ ºÓÒ Ð Ý

29 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÕÜÛÜ ÑÐÒ Ð ÜÝ n Ü ÑÜÔ ÑÜÛ ÜØÕÒÐ ÞÕÜÛÜ ÕÔ ÚÒ Û ÜÔ ÜÛ ºF(n) Ö ÝÛÒ ÜØÕÒ Þ ÓÒÕÔ ÓÜÞØ º00 ÚÜ Þ Þ ÞÜÚÒ Þ ÐÖ Ô x x x }{{} n ½¹ ÐÞÒ ÜÛ º ÖØÝ ÜÕ Ñ¹x n Ó µ F(n ) Ô Ð ÑÜÛ ÜØÕÒ º 00 0 x x x }{{} n 0¹ ÐÞÒ ÜÛ º ºF(n ) Ô Ð ÑÜÛ ÜØÕÒ 0 0 x x x }{{} n 00¹ ÐÞÒ ÜÛ º ÞÜØÕ Ð ºººÐ 0 ÞÖÜ ÜØÕ Ñ 0 ÞÝÐÝ ÜØÕ ºÑÕØ ÐÝ ÜÛ ¹¹ Þ ÞÜÝØ ÛÜ Ý º0 ÞÐ Þ ÞÜÝØ ÜØÕÒ Õ F(n) = F(n ) + F(n ) +, (n ) F(0) =, F() = ÐÞ ÔÞ ÑÖ ÞÚÞ ºÛÝÒ ÞÜÛÔ ÞÐ n ÐÝ ÞÚÞ ÞÜÕ ºÑÒÖØ n Û ÑÐÒ F(n, k) ºÞÒÛ Ð ÞÚÞÐ Ñ Ð ÜÛÞ Ð ÔÞ ÕÔ ÞÕÔ ÚÒ ºÑÐ k Û Ý Ñ ÑÔÝ ÑÛÝÒ ÜØÕÒ ½

30 º0 k n ÜÖ F(n, k) ÝÐ ÐÞ Þ ÞÐ ÑÖ ÛÝÒ ÜÖ Ò 6,, 3, 3, 3,,, º ÑÐ ÜØÕÒ ¹ Ð ÐÝ ÚÞÐ Þ ÝÔ n¹ Ð ÐÝ ÚÞ ÐÖ ÐÞÕÔ ÓÜÞØ ºn ÞÐ n Ó n ¹ Ð ÐÝ Ð Ý n¹ Ð ÞÚÞ Ñ ºF(n, k )¹Ð Ý Ð ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÓÐ ÑÐ k ÞÔÝÜ ÞÐ n Ó n¹ Ð ÞÚÞÒ ÔÝ n¹ Ð ÞÚÞ Ñ 5 F(n, k)¹ð Ý Ð ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÓÐ ÑÐ k ÞÔÝÜ ºn¹ ÐÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒÒ ÞÖÔ 5¹ ÐØ ÜÝ F(n, k) = F(n, k ) + 5F(n, k), (n, k ) ÔÐÛ Õ ºF(n, k )¹ F(n, k)¹ ÐÞ F(n, k) ÑÜ ÕÔ ÞÕÔ ÞÒ ÐÞ ÔÞ k (n,k) (n,k) (n,k) k k (n,k) (n,k) n n n ¾

31 F(n, k) Ý ÐÐ ºF(, k) Þ ÜÚÔ F(n, k) ÞÒ ÐÛÞÒ F(n, k)¹ý ÐÐ ºF(n, 0) Þ Ñ ÜÚÔ F(n, k ) ÞÒ ÐÛÞÒ F(n, 0) = 6 5 n F(, k) = 0, k ºÑÛØÕÒ ÐÞ ÔÞ Ñ ¹Ò ÑÐÝ ÜÕÐ Ý ÞÜÝØ Ò ºÑÔÛÜ n ÑØÞÞÝÒ ÑÛÜ ÞÕÒ ÐÖÒ Þ ÜÕ Ý ÑÐÖÒ Ó ÜÕ Óµ ÑÐÖ ¹ÜØÕÒ ÞÖÚÒ ÑÔÛÜ Þ ÜØÕÒÔ ºF(n) ÞÖÚÒ ÝÞ Þ ÓÒÕÔ ÓÜÞØ ¹ÛÜ ÜØÕÒ Þ k¹ ÓÒÕÔ º½ ÜØÕÒ ÓÛÜ ÚÒÔ Ý ÐÖÒ ÓÔÞÔ ºn Ö ¹Ò Ñ ÓÛÜÐ Üص ÐÖÒÐ ÑÔÛÜ ÞÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ º ÐÖÒÝ ÑÔ ( ) n k ½ ³ÕÒ (k )! ÐÖÒ ÑÜÕ ÑÐÖÒ ÑÔÛÜ n k ÜÞ ÐÝ ÜÕ F(n k) F(n) = n k= ( ) n (k )!F(n k) k F(0) = ÑÐÛÒ ÐÞ ÔÞ ÐÐ ÔÞ ÛØÞÕÐ ÜÝØ ºÛÜ ÜÕ Þ ÛÜ Ý ÑÔÛÜ 0 ÜÖ ¹ ÑÞ ÝÐ ÜÝØ ÓÐ Ð ÑÒÛ Ð Þ ÝÐ F(n)¹ ÝÜÔ n ºF(0)¹Ò Ð

32 Ñ ÝÝ n Ü ÑÜÔÜ ÑÜÛ ÜØÕÒ ÝÐ ÕÔ ÔÞ ÚÒ º ºÑ¹½ ÐÝ ÜØÕÒ ÜØÕ ÐÖ ÐÞÕÔ Þ ÜØÕÒ ÑÖ n Ü ÜÛ ÐÛÐ ÓÜÞØ ÜÛ ÔÜ Ý Ü ÑÔÝÜ ÞÒÛÒ n ¹ ¼ ÔÜ ÜØÕ Ñ º ÞÜÝØ F(n )µ Þ ÐÝ ÜØÕÒ ºÞÜÝØ F(n ) ÐÛÔ Ý ¾ ÔÜ ÜØÕ Ñ ÜØÕÒ ÑÔÝÜ ÞÒÛÒ n ¹ ½ ÔÜ ÜØÕ Ñ º ÞÜÝØ 3 n F(n )µ Þ ÐÝ ¹ F(n) = F(n ) + 3 n F(n ) ÕÔ ÞÕÔ F(n) = F(n ) + 3 n F(0) = ÐÞ ÔÞ º 3n + ³¹ ÝÜ Þ ÑÒÛÒÝ ÑÜÛ ÜØÕÒÝ º ÚÛÔ Þ Ô ÓÜÞØ ºÝÜ Þ ÑÛÒ n = µ ÕÕ F(n) = F(n ) + 3 n = }{{} Ð 3 n n = 3n + ÖÚ

33 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÕÔ ÞÕÔ ÓÜÞØ ÕÔ ÞÕÔ ÓÜÞØ ½ ºa n ¹Ð ÞÝÜØÒ ÕÔ ÚÒÔ º a 0 = 0,a n = a n + ÜÕ ÔÞÔ ÝÔ ÞÝ ½º½ ºÞÐÚÔÔØÕÛ Ð a n ÐÝ ÜÖ ÑÝÔÒ a n = a n + ÜÝÛ ÞÒ a n = Aγ n + B ÜÚÒ ÓÜÞØ ÐÖ ÑÜÒÒ 0 = a 0 = A + B A = B ÖÔ ÐÞ ÔÞ ÞÒ n ÐÐ ÑÐÛÒ a n = a n + ÞÐ ÑÚÒ ºÕÔ ÞÕÔ ÝÒÞÝÔ Aγ n + B = (Aγ n + B) + ÐÒÝ Ð n¹ ÑÐÞÝ ÑÜÒ ÓÒ Ð n¹ ÑÐÞ ÐÝ ÑÜÒ ÜÖÔ Aγ n Aγ n = B + Aγ n (γ ) = B + ½

34 γ 0¹ ÜÒ ºn¹ ÐÞ Ô Ð ÐÒÝ Ñ ÓÐ n¹ ÐÞ Ô ÓÒ ÔÞÔ ÜÕÐ ÑÞÒ ÐÝ ÐÜ ÓÜÞØ ÔÐ Ý Þܵ A 0¹ γ ¹ ºγ = ¹Ý ÖÔ n¹ ÐÞ Ð ÐÒÝ Ý ÞÔÒ¹ÐÖ A = B = B + = 0 a n = Aγ n + B = n ÞÝÜØÒ ÕÔ Þ ÔÐ ÓÞÔ ÓÜÞØ ÕÔ ÓÜÞØ Ð ÐÔ ÞÝÒ ÞÜÖÒÐÝ ÓÞ Ñ ÐÝ Ð ÞÖÒÝÒ Ò ÞÔÜÞØ ÞÜ ÞÚ ÞÝ ½º¾ a n = a n + = (a n + ) + = 4a n + + = 4(a n3 + ) + + = 8a n3 + (4 + + ) = = n a 0 + ( n + n ) a n ¹Ð ÞØÔ ÜÒ Ü ÑÕ ÔÝ ÑÜ ºa 0 = 0 0 Ô ÑÕ ÓÝÜ ÑÜ a n = n = n ÓÐ ÕÔ ÞÕÔ ÞÐ Ú Ö Û a 0 = 0 = 0 a n + = ( n ) + = n = a n ºÓÔ Ó ÕÜÛÜ ÔÞÝÒ ÞØÐ ÜÒе ÐÝ ÞÖ Û n¹ý ÔÔ f() = 0, f(n) = f( n )+ ÔÞÔ ÓØ f(n) Þ ÞÐ ÓÞÔ º n = k f( k ) = f( k ) +, f() = 0 g(k) = g(k ) +, g(0) = 0 ½º ÐÛÔ g(k) f( k ) ÓÒÕÔ Ñ ¾

35 ÞÒÞÒ ÞÚ Ü ºg(k) = k ÜÞØÐ ÑÖ Ü Ô ÕÔ Þ f(n) = n ÞÔØ ÝÒ ÞÝ ½º S n = as n + bs n ÕÔ ÞÕÔ ÜÖ x ax b = 0, b 0 ÞÐ ÞÔØ ÝÒ Þ ÜÔ ØÝÒ ½ºº½ ÞÕÔ ÐÝ ÓÜÞØ r,r ÑÔÝ ÑÝÜÝ ÔÝ ÞÔØ ÝÒÐ Ñ º ÐÔ ÕÔ S n = c r n + c r n ºS 0,S Ö ÑÖÛÔ ÑÖÛ c,c ÜÝ r ÝÜÝ ÞÔØ ÝÒÐ Ñ º S n = c r n + c nr n ºS 0,S Ö ÑÖÛÔ ÑÖÛ c,c ÜÝ ÐÝ ÓÜÞØ Ð ÓÐ b 0 ÔÝÜ ÞÔØ ÝÒ ÞÜÝ Ð ÑÝÔ ÓÜÞØ ÜÖ ÞÔÖ ÜØÕÒ Ô ØÝÒ Þ Ð ÝÔÝ ÔØÐ ºÕØÒ ÔÝ ¹ÛÒ ÓÜÞØ S n := r n ÞÔØ ÝÒ ÐÝ ÝÜÝ r Ñ ½ ÔÖ ºÕÔ ÞÕÔ Þ Ñ Ý ÞÜÐ ÑÚÜ ÑÚÖ ÔÔ r n = ar n + br n ÞÔØ ÝÒ Þ Û ÐÛÔ r 0 ܵ r n ¹ ÛÐÔ Ñ ÓÔ r = ar + b ÐÝ ÝÜÝ r¹ý

36 ºS n := λα n Ñ ÕÔ ÞÕÔ Þ ÑÛÒ α n Ñ ¾ ÔÖ S n = λα n = λ(aα n + bα n ) = a(λα n ) + b(λα n ) = as n + bs n ºS n := α n + β n Ñ ÕÔ ÞÕÔ Þ ÑÒÛÒ β n ¹ α n Ñ ÔÖ S n = α n + β n = (aα n + bα n ) + (aβ n + bβ n ) = a(α n + β n ) + b(α n + β n ) = as n + bs n ºÜÔÐ ÜÒ ÕÔ ÞÕÔ ÐÝ ÞÔÜÞØ ÞÚÛ ÔÛÕÒ ÝÒ ÐÝ ÑÔÝ ÑÝÜÝ Ñ r ¹ r ÑÝ ÖÔ ÔÜ ÔÛÕÒÒ º ÐÐ ÕÔ ÞÝÒ ÐÝ ÓÜÞØ S n := c r n + c r n ÞÔØ º S ¹ S 0 µ ÐÞ ÔÞ Þ ÑÒÛÒÝ c,c ÚÒÐ ÜÞÔ ÞÖ ºc,c { S0 = c + c ÝÜÔ S = c r + c r ÞÐÞ ÞÐ Ó c,c ÑÔÞÝÒ ÞÝÒ ÓÐ (r r ) ÑÔÝ ÑÝÜÝ º(c,c ) ÓÜÞØ ÑÛ ÓÐ ÞÜÔÐ ÔÖ Ö Ð Ý ÖÕ ÓÜÞØ ÜÚÐ º S n := nr n Ñ ÞÔØ ÝÒ ÐÝ ÐØ ÝÜÝ r Ñ ÔÖ ºÕÔ ÞÕÔ Þ ÑÛÒ ÓÜÞØ ÞÔØ ÝÒ ÐÛÔ (x r) = 0 Ý ÓÒ x rx + r = 0 ÕÔ ÔÞ b = r a = r ÓÐ S n = rs n r S n. nr n = r (n )r n r (n )r n ¹Ý ÞÜÐ ÑÚÜ ÔÔ

37 n = (n ) (n ) = n ÐÛÔ r n ¹ ÛÐÔ Ñ ÓÔ ÐÝ ÓÜÞØ S n := c r n + c r n ¹Ý ÔÐÛ ÑÛ Ò ÓØ Þ ÓÐ ÔÞ Þ ÑÒÛÒÝ c,c ÚÒÐ ÜÞÔ ÞÖ ºc,c ÐÐ ÕÔ ÞÝÒ { S0 = c S = c r + c r ÝÜÔ º S ¹ S 0 µ ÐÞ º(c,c ) ÓÜÞØ ÑÛ ÓÐ ÓÔÒ ÜÛÒ Þܵ r 0 ÝÜÝ Ò ½ºº¾ ÕÔ ÞÕÔ ÔÞÔ F(n) = F(n ) + F(n ), F(0) = F() = F(n) = c ( x x = 0 x, = ± ) n + c ( ºF(n)¹Ð ÝÜØÒ ÚÒ ÞÔØ ÝÒ ÑÝÜÔ ºÓÜÞØ ÐÝ ÞÔÜÞØ ÕÜÛÜ ÞÝÒ ÞÐ ÚÔ ) n 5 { F(0) = = c + c F() = = c + c ÐÞ ÔÞ ÞÒ ÑÐÛÒ Þ ÞÜÖÒ Þ ÑÜÞØ F(n) = ( { c = c = ) n 5 ( 5 ) n 5 5 ÑÕÐ

38 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÞÜÚ ÞÚÛÔØ ÞÜÚ ÞÚÛÔØ ÞÜÞ ½ ½º½ ÞÜÚ ÚÛÔØ ÑÞÔ a 0,a,a,,a n, ÞØÕÔ ÞØÕµ ÑÜØÕÒ ÐÝ ÜÕÐ f(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n + Ö ÞÜÒ ÐÝ ºÓÐÝ ÞÜÚ ÞÚÛÔØÐ ÞÜÕÐ ÞÒ ÜØÕÒ ÑÞÜ ÚÜ f(x) = ( ) n + 0 ( ) n, 0 ( ) n x + ( ) n, ( ) n,, ( ) n x + + ( ) n n ( n n ÜÕÐ Ò ÞÜÚ ÚÛÔØ ÒÞÒ ) x n = ( + x) n,,, ÜÕÐ Ò f(x) = + x + x + + x n + = x ÞÜÚ ÚÛÔØ ÒÞÒ f (x) = + x + 3x + 4x nx n + = x ØÐ ÜÔ ( x) ½

39 ,,3,4,,n, ÜÕ ÐÝ ÞÜÚ ÚÛÔØ ÝÒ ÐÝ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ ½º¾ f(x) = ( + x + x + ) n = ÞÜÚ ÚÛÔØÐ ÒÞÒ ÜÕ ( x) n ÓØ f(x) Þ ÑÝÜÐ ÜÝØ f(x) = ( + x + x + ) }{{}... ( + x + x + ) = ÑÒÖØ n ( x) n ÝÒ ÐÝ ÑÒÐݵ ÞÔÜÞØ ÜØÕÒ Û x k ÐÝ ÑÛÒ t + t + + t n = k Û ÑÖ Ü Ô ÜÖ ºt i 0 ÜÝ ( ) n + k k f(x) = ( n + k k=0 ÓØ Ñ f(x) Þ ÞÐ ÜÝØ ÓÐ k ( x m ) n = ) x k = ( x) n ÐÛÔ ÔÜ ÕÔ x ÑÛÒ x m ÚÔ Ñ k=0 ( n + k k ) x m k ¾

40 ÐÜÞ ½º t + t + t 3 = 30 ÝÒÐ Ý ÑÖ ÞÔÜÞØ Ò ºt,t 4,t 3 7 ÕÔ t ѹ t 3,t ÜÝ ÓÜÞØ f(x) = (x + x 3 + x 5 + )(x 4 + x 6 + x 8 + )(x 7 + x 9 + x + ) = x x 4 x 7 ( + x + x 4 + ) 3 = x ( x ) 3 ( ) k + = x x k k k=0 ÑÛÒ ÕÔ ÝÒÝ Ö ºÝÞ Ñ Þ º( ) 9 ÑÛÒ k = 9 ÜÝ ÐÛÞÒ x 30 ÑÜ ÐÜÞ ½º ºa n ¹Ð ÞÝÜØÒ ÕÔ ÚÒÔ º a 0 = 0,a n = a n + ÜÕ ÔÞÔ f(x) = a n x n n=0 ÓÒÕÔ ÓÜÞØ x n ¹ ÐØÔ ºa n = a n + ÓÞÔ ÞÒ a n x n = a n x n + x n a n x n = (a n x n + x n ) n= n= n= n=0 n ÐÝ ÑÜÖ ÔعÐÖ ÑÕÔ a 0 = 0 Üݵ ÐÒÝ Ú a n x n = a n x n = f(x)

41 ÓÒ Ú (a n x n + x n ) = n= n=0 n=0 a n x n + n= n= x n = x a n x n + x x n = xf(x) + x x ÔÐÛ f(x) = xf(x) + x x x f(x) = ( x)( x) ÑÛÐ ÑÜÝÐ (x)(x) Þ ÛÜØÔ = ( x)( x) = A x + B x A( x) + B( x) (A + B) + x(a B) = ( x)( x) ( x)( x) { { A + B = A = A B = 0 B = ÕÔÐ ÜÔ x f(x) = ( x)( x) = x( x x ) = x[ (x) n x n ] = ( n )x n x n=0 = n=0 n=0 ( n+ )x n+ = n=0 ( m )x m m= ºa m = m ÓÐ m Ô x m ÐÝ ÑÛÒ

42 ÐÜÞ ½º ÞÜÒ f(x) ÚÛÔØ f(x) = ( x)( x 5 )( x 0 )( x 5 )( x 50 ) ÐÝÐ ÝÞÐ ÞÝÞÝ f(x)¹ ÜÝÛ ÐÝ ÛÒ ÕÔ º,5,0,5 ÐÝ ÞÖÒÐ ÜÐ ÝÒ ÐÝ ÜÝ ÜØÐ ÓÞÔ ÑÔØ Ò ÔÕ 50¹ ¹ ÚÛÔØ ÓÔÞÔ ÓÜÞØ f(x) = ( x)( x 5 )( x 0 )( x 5 )( x 50 ) = ( + x + x + ) ( + x 5 + x 0 + ) ( + x 0 + x 0 + ) ( + x 5 + x 50 + ) ( + x 50 + x 00 + ) ÐÝ ÑÕ 500 Þ ÚÐ ÑÔØ ÜØÕÒÐ Ý x 500 ÐÝ ÑÛÒ º³ 0¹ ÝÐÝ ¹ ÔÝ ½¹ ÛÐÞÒ ÓÝÜ ÜÝ ÑÜØÕÒ ÝÒ f(x) ÐÝ ÞØ x500 ÐÝ ÑÛÒ Ò ÐÝ ÓÐ º ³ ÖÕÒµ ÞÖÒ ÞÖÐ ÐÛÝ ÞØÕÔ ÐÝ ÕÔ ÑÐÝ º ÝÒÐ Ý ÑÐÐݹ ÑÒÐÝ ÞÔÜÞØ Ò ÝÞ x + 5x + 0x 3 + 5x x 5 = 500 ÞÜÚ ÞÚÛÔØ ÞÜÖ ³ÚÔØ ÞÜÕÐ ÓÜÞØ ÞÚÒ ½º ºa n ¹Ð ÞÝÜØÒ ÕÔ ÚÒÔ º a 0 =,a =,a n = a n + a n ÜÕ ÔÞÔ f(x) = a n x n n=0 ÓÒÕÔ ÓÜÞØ x n ¹ ÐØÔ ºa n = a n + a n ÓÞÔ ÞÒ a n x n = a n x n + a n x n

43 n= n= n= ¾¹Ò Ð n ÐÝ ÑÜÖ ÔعÐÖ ÑÕÔ a n x n = (a n x n + a n x n ) a n x n = a n x n a 0 a x = f(x) x n= n=0 (a n x n + a n x n ) = x a n x n x + a n x n ( ) = x a m x m + x a m x m = x a m x m a 0 + x a m x m n= n= m= m=0 m=0 m=0 = x(f(x) a 0 ) + x f(x) = xf(x) + x f(x) x ÐÒÝ Ú ÓÒ Ú ( x f(x) x = xf(x) + x f(x) x f(x) ( x x + ) = f(x) = x + x ÔÐÛ ÑÐÛÒ ÜÝ ÐÝ ÔÒÒ ÞÖÜ ÝÒ ÑÜÞØ f(x) = ( ) ( ) x x + 5 ) ( ÑÛÐ ÑÜÝÐ x + 5 = = ( ( x+ + 5 A ) = + x Ax + 5 A ( A 5 )( x+ 5 B x Bx + B + 5 ) ( ) x x + 5 ) + B (A + B)x ( ) ( ) x x + 5 ) Þ ÛÜØÔ

44 { A 5 + B + 5 = A + B = 0 { ( ) A = B = A ÑÐÛÒ { A = / 5 B = / 5 ÕÔÐ ÜÔ f(x) = ( ) 5 x + + ( ) = 5 5 x = ( ( ) + + x 5 ( + 5 x) ) ( ) 55 + x 5 ( ) 5 5 ( x) 5 f(x) = ( ) n x n=0 5 5 n=0 µ ÝÒ ÝÒÞÝÔ ( ) n 5 x Þ ÝØÔ ( ( 5) ( ) n 5) f(x) = 5( + 5)( 5) ( + 5)( 5) x n=0 ( + ( 5) ( + ) n 5) 5( 5)( + 5) ( 5)( + 5) x n=0 = ( 5 ) n 5 x + + ( ) n 5 x 5 n=0 n=0 [ + ( 5 = + ) n 5 ( 5 5 ) n ] 5 x n 5 n=0 a n = ( + ) n 5 ( 5 ) n 5 5 Ô x n ÐÝ ÑÛÒ ÓÐ

45 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÑÕÕ ÑÝÒ ÑØÜ ÞÜÞ ½ V = {v,v,,v n } ÑÞÒÚ ÞÚÛÒ ÜÒ ÔÒ Ô G(V,E) ÓÒ Ð Ü ¹ÞÒÚ ÐÝ ÞÝÛ Ð ÜÝ E = {e,e,,e m } ÞÞÝÛ ÞÚÛ ºV ¹Ò Ñ e ºv k i vj ÑÜÕÒ ÞÝÛ ÐÝ ÞÚÛ ÓÒ Ü ÞÒÚÖ ÐÐ ÜÛÞ ÞÒÚ Þ Ñ ÐÝ ÚÛ ÞÒÚ ÔÝÝ ÞÝÛ ºÒÚÖ ºÞÐÛÒ ÞÞÝÛ Ó Ñ ÓÐÝ ÚÛ ÞÒÚ ÔÝÝ ÞÞÝÛ ÞÝ ºÞÐÛÒÔ ÞÞÝÛ ÞÐÛÒ ÞÞÝÛ Ó ÐÔ ÓÒ Ü ºÞÐÛÒ ÞÞÝÛ ÐÐ ÞÒÚÖ ÞÐÐ ÐÐ Ü ÝØ Ü ÐÜÞ ¾ ÞÞÝÛ m ÑÔÝ ÑÞÒÚ n ÑÖ ÑØÜ Ò ÐÝ ÜÖ Ð Þ ÑÐÝ ÑÒÛ ÝØ ÓÒ Ð ÓÒ Ð ÝØ ÓÒ ÓÒ ÞÞÝÛ ÞÔÝ ÞÞÝÛ Þ ÓÜÞØ Þ ÞÞÝÛ ½

46 ( n ÐÝ Þ ) ÓÔÝ ºÑÞÒÚ ÔÝ Ó ÞÜÒ ÞÝÛ Ð ÝØ ÓÒ Ð Ü ÐÐ ÞÜ Ðе ÞÝÛ ÜÝ Þ m ÑÜ ÑÞÒ ºÑÞÒÚ ÐÛÔ Õ º Ü ÜÕÐ ÞÝ (( n ) ) m Þ n(n) ÑÔÝ ÓÐ ºÑÜÕÒ Ñ ÑÞÒÚ ÐÝ Þ ÝØ ÓÒ Ü ÜÕÐ ÞÝ ÐÐ ÞÜ ÐÐ m ÑÞÒ ÑÜ ÞÖ ºÑÞÒÚ ÐÝ ( ) n(n ) m ÐÛÔ Õ ºÜ ¹Õ Ý ÓÐ ÞÒÚÖ ÞÐÐ ÔÞÞ ÞÖ ÝØ Ü Ð ÓÒ Ð Ü ( n ( ) + n = n+ ) Ñ ÔÞÞ ºÑÜÝØ ÑÜÕ ÑÞÒÚ Þ Ð ºÞÜ ÑÖ Þ ÞÞÝÛÐ ÞÒÛÒ ÞÜ ÓÐ ÞÐÛÒ ÞÞÝÛ ( ( m + n+ ) ) m Õ ÓÐ ÜÕÐ ÞÝ Ý Ñ ÞÒÚÖ ÞÐÐ ÔÞÞ ÝØ Ü Ð ÓÒ Ü ÞÒÛÒ ÞÜ ºÑÞÒÚ ÐÝ Þ n Ý ÓÐ º Þ ÑÞÒÚ ÓÐ ÞÜ ÑÖ Þ ÞÞÝÛÐ ( m + n ) m ÞÔÝ ÞÞÝÛ ÑÜÝ ÑÖØ Ð º,,...,n ÑÜØÕÒ ÞÖÚÒ ÞÞÝÛ Þ ÜØÕÒÔ ÜØÕÒ ÞÝÛÐ ÑÛÒ ÜÔ ÑÛ ÓØ Þ ÝÖÔ ÞÝÛ ÜÖ ÑÛÒ ÞØ ÞÞÝÛÐ ÞÒÛÒ ÞÜ ÓÐ ººº³ ¾ ÜØÕÒ ÞÝÛÐ ¹Ü ½ ÜÕÐ ÞÝ ÐÐ Ü ÑÛÒ Ü ÜÕÐ ÞÝ ÑÖ Ü ÞÐ Ð Ð Þ ÞÞÝÛ ÜÖ ÞÚÞ Ò ÔÞ ÞÚÞ ºÜ ÞÝ ÐÐ ÞÞÝÛ Þ ÑÝÐ Ø µ ÑÞÒÚ Þ ÔÜÝ ÑÛÒ ºÜ ÜÕÐ ÞÝ ÑÖ ÑÞ ÜÔ ÝÖ Ü ÜÕÐ Ð ÞÒÝÜ ÞØÕ ÞÚÞ ¾

47 ÝØ ÓÒ Ð ÓÒ Ð ÝØ ÓÒ ÓÒ ÞÞÝÛ ( ( n ) ( ) m m! n+ ) m ( n(n) ) m m! (n ) m ÞÔÝ ( ( n ) ( ) m+( n+ m ) m ) ( n(n) m ) ( m+n ) m ÞÞÝÛ Þ ÑÐÖÒ ÑÐÐÕÒ ÜÚÒ ÞÞÝÛ ÑÞÒÚ ÞÜÕ Ô Ü (Path) ÐÐÕÒ a 0,a 0 e a,a,a e a,,a i e i a i,a i,a i e i+ a i+,,a l e l a l,a l ºÑÞÒÚ ÞÜÕ Ð ÞÞÝÛ ÞÜÕ Ð ÐÐÕÒÐ ÑÕÞÒ ÑÒÖØÐ ºÑÞÒÚ Ö ÛÜ ÐÐÕÒ ÜÐ ÛØÕÒ Ð ÝØ Ð Ü Ñ Ð ÒÝ º ÔÜ ÞÝÛ ÐÝ ÚÛ ÞÒÚÐ ÐÝ ÐÞ ÞÒÚÝ ÐÐÕÒ ÐÖÒ ºÞ ÑÖØ Û ÞÒÚ Ð ÜÖÝ ÐÖÒ ÔÐÒ ÐÖÒ ºÛ Þ ÑÖØ ÖØÒ ÞÝÛ Ð Ý ÐÐÕÒ ÜÐ ÐÐÕÒ ºÐÖÒ Ý ÜÐ ÐÐÕÒ ÜÐ ÐÖÒ ½ ºÜÐ ÐÖÒµ ÐÐÕÒ ÑÛ Ñ ÐÖÒµ ÜÐ ÜÛ Ü ºÞÒÚ ÐÐ ÞÒÚ ÐÒ ÞÝÛ Ý Ñ ÐÒ ÜÛ Ü ºÞÒÚ ÐÐ ÞÒÚ ÐÒ ÐÐÕÒ Ý Ñ ÜÝÛ ÜÛ Ü ÜÐ ÐÖÒ ÐÐÕÒ ÐÝ ÜÝÛ Ü ÑÛÐ ÑÔÞ ÞÒÕÒ Ð ÞÔÝ ÞÜ ÞÝ Ø Ý ÑÜÕ ÐÐ ÑÚÖ ½

48 ÜÐ ÐÖÒ ÐÖÒ ÔÝ ÜÐ ÐÐÕÒ ÓÒ Ð Ü Þ ÑÞÒÚ Ð ÞÜ Þ¹ Ü ÐÖ Û ÑÞÒÚ ÔÝ ÓÒ Ü d in (v) = d out (v) ÑÛÞÒ v ÞÒÚ ÐÐ d in (s) + = d out (s) s ÞÒÚ ÑÛ d in (t) = d out (t) + t ÞÒÚ ÑÛ d in (v) = d out (v) ÑÞÒÚ ÜÝ ÐÐ ÐÜÞ ÑÞÒÚ n ÑÖ ÝØ ÐÒ Ü Ý ÑÔÐÒ ÑÐÖÒ Ò º Ü ÑÛ ÑÞÒÚ n¹ò ÜÚÐ ÚÜÔÝ ÐÖÒ Ð ÐÒ ÜÝ Ó ÓÜÞØ Ñ Ð ºÑÞÒÚ n ÐÝ ÑÐÖÒ (n )! Ý ÐÐ ÓØ Ý Ð ÑÐÖÒ Ò ÑÖ Þ ÑÖØ ÑÒÖØ ÐÔ Ý Ü ÔÐÒ ÐÖÒ ÐÝ ÓÔ ÐÞÕÔ ºÓÖÝ Ó Ô ÔÝ ÑÖØ ÓÖÝ Ó Ò ÓÒÒ Ý ÒÐ ÞÖÒÝÒ Þ ÐÖÒ ÑÝÔ ÔÜÕÝ Ó ÜÛ Ò µ Ð Ý Ò ÝÝ Ü Ü ºÑ¹Ó ÐÐ ÐÒÝÒ Ý ÓÐ ºÞØÜ ÔÒ Þ ÔÝÒ Ð ÐÖÒ ÐÝ ÛÝ ÓÐ ÞÝÛ Ð Ý Ò Ð (n)! ÔÔ ÝÞ Ó ÐÒÒ ÑÝ Ð ÞÒÛÞÒ Ð ÕÔ n = ¹ n = ÜÖ ÜÖ ºÐÖÒ ÐÜÞ Ü Ý ÞÒÚÒ K¹Ð ÛÝ ÑÛÒ ÓÒ ÞÐ ÜÝÛ ØÕ Ü ÑÝ ÑÜ ÑÐÐÕÒ K¹Ð ÞÞÝÛ ÐÝ ÛÐ ÚÒÐ ÓÞÔ K ÜÖ Þ ºÛ ÐÐÕÒÐ ÞÝ ÞÝÛ ÐÝ ÓØ ÞÞÝÛ Þ¹ Ü ÐÖ ÑÞÒÚ Þ ÓÒÕÔ ºG(V,E) Ö ÓÞÔ Ü Þ ÓÒÕÔ ÓÜÞØ

49 ÞÖÚÒ G(V,E)¹Ò ÐÛÞÒ ÜÝ G (V,E ) Ý Ü ÔÔ ºu,u,...,u K Ö ÜÐ Ü Ô G Ü ºu u,u 3 u 4,,u K u K ÞÞÝÛ ÞØÕ ºÞ Ü ÐÖ Ñ ÐÝ ÑÞÒÚ Ð ÓÒ ÞÐ ÜÝÛ Ý ÓÒ ÐÖÒ ÓØ ÜÔ Ý ÜÐ ÐÖÒ v u i u i u i3 u i4 u ik u ik v Ñ ÑÐÐÕÒ ºÔØÕÝ ÞÞÝÛ Ó ÐÔ u ij u ij+ ÞÞÝÛ ÜÝ ÝÜÔ ÑÐÐÕÒ K Ñ u i u i3 u i4 u i5 u ik u i ÑÖØ ÜÞ ÐÐ ÖØÒ ÞÝÛ Ð ÜÐ ÐÔ ÐÖÒÝ ÓÒ ºÑÜ Ð ÑÐÐÕÒ ÓÐ ºÜÞ ÐÐ ÐÐÕÒ ÖØÞ ÞÝÛ Ð ÓÐ ºÞ ÞÞÝÛ ÛÜ ÔÒÒ ÔÜ G ÐÝ ÞÞÝÛ Ð Þ Ð ÐÔ ÐÖÒÝ ÓÒ ÞÞÝÛ Ð Þ ÑÐÒ ÔÔÝ ÑÐÐÕÒ G ÞÔ ÐÒ ÔØÕÝ ºG ÐÝ Ó ºÝÜÔ ÑÐÐÕÒ ÔÚÒ

50 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ Óܹ ØÜ ÞÜÞ ½ G σ,n (V,E) Óܹ Ü ºΣ = {0,,,...,σ } ÞØÐ ÓÞÔ V = Σ n E = Σ n ÜÚÒ Ó Ü ÞÞÝÛ (a a... a n ) a a...a n (a a 3...a n ) ÞÝ ÞÖ º ÞÒÚ ÑÛ w Σ n ÐÒ ÐÐ º ÞÝÛ ÞÒÛ w Σ n ÐÒ ÐÐ ºσ Ú ÞÜ ÕÔ ÞÜ Ý ÞÒÚ ÐÐ ºÐÖÒ ÜÐ G σ,n (V,E) n ÐÐ σ ÐÐ ÐÖÒ a 0 a...a L ÞÐÛÚ ÜÕ Óܹ ÞÜÕ n σ ÓÞÔ Ü a i a i+...a i+n = w ÑÛÞÒÝ i ÑÛ w Σ n ÐÒ ÐÐÝ Σ º L ÐÒ Ý Üݵ ºL = σ n ÜÕ Ü ÓÐ σ n ÑÐÒ ÜØÕÒ ÜÖ ½

51 Ò ¾ G,3 Ü ÜÐ ÐÖÒ ÑÛ Ü º0000 ÒÞÒ Óܹ ÞÜÕ ÐÜÞ ÞÞÝÛ ÑÖ (00000)¹ (000000) ÑÞÒÚ ÔÝ G¹Ò ÚÔ ºG,7 Óܹ Ü G ºÐÛÞÒÝ Ü G ºÐ ÑÞÒÚ ÞÖØÝ ÜØ ºÜÐ ÐÐÕÒ ÑÛ G ¹ º ºÜÐ ÐÐÕÒ ÑÛ G ÐÝ ÞÞÝÞ Ü º ¾

52 ºÔÜÝ ÑÞÒÚ ÞÖÔÝ ÞÞÝÛ ÓÔÞÔ º ÓÜÞØ º ÑÞÒÚÒ ÞÞÝÛ ÞÕÔÔ 00000¹Ð º ÑÞÒÚÐ ÞÞÝÛ ÞÚ 00000¹Ò º ÑÞÒÚÒ ÞÞÝÛ ÞÕÔÔ ¹Ð º ÑÞÒÚÐ ÞÞÝÛ ÞÚ ¹Ò ºÞÞÝÛ ÞÜÒ ÖØÝ ÜÝ Ü ÐÝ ÛÐ Þ ÝÒÒ ÜÚ ÑØÕÔ ÑÞÒÚ ÔÝÐ ÑÞÒÚ ÔÝ ÐÝ Ü Ü ÞÜÐ ÓÞÔ ÓÒ Ü ÜÐ ÐÐÕÒ ÑÛÐ ÔÞ ºd in (v) = d out (v) + ÑÛÞÒ 0000¹ ÜÝÛ d in (s) + = d out (s) s ÞÒÚ ÑÛ d in (t) = d out (t) + t ÞÒÚ ÑÛ d in (v) = d out (v) ÑÞÒÚ ÜÝ ÐÐ ºÜÚÔÝ Ü ÜÐ ÐÐÕÒ Ó ÓÐ ºÑÛÞÒ Ð ÔÞ ºÑÞÒÚ ÞÜ ÐÝ Þ ÞÜÝÛ ÛÔ ÞÞÝÞ Ü º

53 ÞÖµ ÔÜÝ ÑÞÒÚ ÔÝ Ü ÑÜÖÝ ÑÐÐÕÒ ÛÜ ÖØÐ ÑÐÐÖ ÞÜÝÛ ÑÞÒÚ ÐÝ Ð Ó ØÐ ÐÐÕÒ ÚÒÔ º ÑÔÒ Ð ÑÐÐÕÒ ÐÖ ÑÜÒ Þ ÐÐ ÓÞÔ ÐÝ ÐÐÕÒ¹ÞÞ ÛÒ ÖÛ ÝÒÞÝÝ ÐÐÕÒ ÐÐ ºÜÝÔÝ Ü ÐÐÕÒ¹ÞÞ Ó ºÜÝÛ ÜÝÔ ÞÞÝÞ Ü Ó Ü ÓÐ 00000¹ 0000 ÑÞÒÚ ÔÝ ÛÜ ÐÝ Þ ÞÔÞÝ ÞÜ Þ ºÞ¹ Ü ÐÖ ÑÞÒÚ ÔÝ ÛÜ Ý ¹Ö ÑÞÒÚ ¾ ÑÒÛ ÜÝÛ Ü ÑÛÞÒ ÜÐ ÐÐÕÒ ÑÛÐ ÔÞ ÔÛÕÒ ºÜÐ ÐÐÕÒ ÑÛ ÓÐ ºÞ¹ Ü Ð ÐÜÞ Ü ÐÝ ÞÒÚ Ð ÖØÒ Ý ÐÖÒµ ÐÐÕÒ ÓÐÒ ÐÖÒµ ÐÐÕÒ Ü ºÔÐÒ ÐÖÒ ÐÐÕÒ ÝÝ Ü ÔÐÒ Ü ºÛ Þ ÑÖØ ºn ÐÐ ÔÐÒ Ô G,n Óܹ Ü G,n+ Ü ÓÐÒ ÐÖÒ ÑÛ ÜÔ ºÐÜ ØÝÒ n = ÜÖ ºn ÜÖ ¹ Ü ÜÐ ÐÖÒ ÐÝ ÞÞÝÛ ÞÖÚÒ Ú P = e,e,...,e k ÞÒÞÒ n Ü ÑÐÒ w,w,...,w k ºØÝÒ ÞÒ ÑÛ ¹¹ G,n ÓÜ ºG,n+ Ü ÞÒÚÐ ÒÞÒ Þ ÐÒ Ð Ð ÑÝÔ ºP ÐÐÕÒ ÞÞÝÛÐ

54 ÜÔ ºw,w,...,w k ÑÐÒÐ ÑÒÞÒ G,n+ Ü ÑÞÒÚ v,v,...,v k ºG,n+ ¹ ÓÐÒ ÐÐÕÒ Ò (v,v,...,v k ) ÜÕÝ ºÐÖÒ Ò (v,v,...,v k ) ÑÞÒÚ ÞÜÕ (v,v,...,v k ) ÜÕ v i+ v i ÑÔÝ ÑÞÒÚ ÔÝ ÐÐ ÞÜÐ ÜÚ ºG,n+ Ü v i v i+ ÞÝÛ ÞÒÛ a a...a n e i (a,...,a n ) e i+ a...a na n+ G,n v i v i+ (a,a,...,a n) a a...a na n+ (a,...,a n,a n+ ) G,n+ ºÕ ÞÒ ÞÒÛ v k v ÞÝÛ Ñ ÜÖ ºÓÐÒ ÐÐÕÒ Ò (v,v,...,v k ) ÜÚÔÝ ÐÐÕÒ ÑÖØ ÖØÒ ÞÝÛ Ð w,w,...,w k ÐÐÕÒ Þ ÑÖØ ÖØÒ ÞÒÚ Ð v,v,...,v k ÐÐÕÒ ÓÐ ºÞ ÑÖØ ÖØÒ w {0,} n ÐÒ Ð ÓÐ Þ ÐÖÒ v,v,...,v k ÐÖÒ ÓÐ ºÞ ÑÖØ ÖØÒ ÞÒÚ Ð G,n+ Ü ºG,n+ ¹ ÔÐÒ

55 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÑÔÒ Ð ÑÚÖ ÓÒ Ð ÙÖ ÐÝ ÞÐÛÝ ÞÜ ½ ÒÒ ÙÖ G(V,E) ÓÒ Ð Ü ÑÐÖÒ ÜÕ ÜÝÛ G ÐÖÒ ÜÚÔ E¹Ð ÞÝÛ ÐÝ ØÕ ÐÐ ÑÐÖÒ ÜÕ G ÜÒÝ ÝØ ÐÐÕÒ ÑÛ ÑÞÒÚ ÔÝ ÐÐ ÞÒÚÖ ÞÐÐ Ó G¹ ºÑÔ ºÜÝÛ ÞÐ ÞÐ Ø G E¹Ò ÞÝÛ ÐÝ ÜÕ ÐÐ ÜÝÛ G Ò v v6 v7 v3 v4 v5 v8 v v9 ÑØÕ ÑÚÖ ÐÝ ÞÔÞ ¾ ÑÐÛÝ Ñ Ñ ÑÔÞ ÞÝÐÝ º V = n ÓÒ Ð ØÕ Ü G(V,E) ½

56 ºÙÖ G ºÞÞÝÛ n Ð Ý ÑÐÖÒ ÜÕ G ºÞÞÝÛ n Ð Ý ÜÝÛ G ÝÜØ ÙÖ Ñ G(V,E) Ü ÐÝ ÝÜØ ÙÖ ÜÛÔ G (V,E ) Ü Ü V = V E E ºÙÖ G ºÝÜØ ÙÖ ÑÛ ÓÒ ÞÐ ÜÝÛ ØÕ ÜÐ ÔÖ ÑÞÜÐ Þ ÖÚÔ ºÓÒ ÞÐ ÜÝÛ ØÕ Ü G(V,E) ºÐÖÒ ÓÒ Þ ÞÝÛ ÛÒÔ ÐÖÒ Ü ÑÛ Ö Ð ºÑÐÖÒ Ó ÐÛÞÒÝ Ü ÑÞÕÒ ÑÞÜÐ ÜÝ ÔÔ ºÜÝÛ Ü ÞÒÛÞÒ ÜÒÝ ÑÞÜÐ ÖÚ Ð ÜÐ ºv ÞÒÚÐ u ÞÒÚ Ó ÐÐÕÒ ÛÞÔ u v ÞÝÛ ÞÛÒÝ ÐÝ ÐÐÝ ºÜÞÕ ºv¹Ð u Ó ÕÔ ÐÐÕÒ ÞÐ ÓÐ ÐÖÒÒ ÞÝÛ ÔÛÒ Ð ºÙÖ ÓÐ ÑÐÖÒ ÜÕ ÜÝÛ Ý Ü ÔÐÛ ÔÛÕÒ ÐÜÞ º½ E V + ÚÒÐ ÜÝØ ÓÒ ÞÐ ÜÝÛ ØÕ G(V,E) Ü ÐÝ ºÜ ÐÖÒ ÖØÒ ÔÝ Þ ÞÝÛ Ý ÑÒ ÐÝ ÑÝØ ÑÐÖÒ º F = V ÓÐ ÙÖ T ºG(V,E) Ü ÐÝ ÝÜØ ÙÖ T(V,F) ÔÞ ºT ¹ Ð Ð G ÓÝ ÓÝ ÞÞÝÛ E F = E V + ÞÒÛ ÓÐ ºÐÐ ÞÞÝÛ {e,e,...,e E V + } ÐÖÒ ºC i ÝØ ÐÖÒ ÞÜÚ T ¹Ð e i ÞÝÛ ÞØÕ i =,..., E V + ÐÐ ºG Ü ÐÖÒ C i ÓÐ ºe i ¹Ò T ÐÝ ÞÞÝÛÒ ÜÒ E V + Ô e i ÞÝÛ G Ü ÑÐÖÒ E V + Ñ {C i } i= ÔÛÕÒ ºÐÝÒ ºC i ¹Ð ÜØ ÐÖÒ ÑÝ ÖØÒ ¾

57 ÜÖ ºÑÐÖÒ ÜÕ Ñ ÜÖ ÜÛ ÓÒ Ð Ü Ü ÐÝ ÜÝÛ ÞРܹÞÞ ÜÚÞ ÞÐ Üݵ ÐÒÕÒ ÜÝÛ Ü¹ÞÞ Ü ºÜÝÛ Ü ÜÛÔ Ü ÜÖ ÐÝ ÑÜÝÛ ÑÜ Õ ÐÖ ÐÞÕÔ Ñ ºÜÝÛ ÞÐ Ð ÜÖ ºÑÚÖ ÐÝ ÜÖ ÓÐ ºÙÖ ÓÐ ÑÐÖÒ ÜÕ ÜÝÛ ÑÒ Ð C Ck C ÐÜÞ º½ ÜÖ Ý ÞÞÝÛ Ò ºÑÞÒÚ 00 ÑÜÝÛ ÑÜ 00 Ý ÜÖ Ü ÜÖ ºÙÖ Ò ÒÚÖ Ü Ð ºÓÞÔ Ü G(V,E) ÓÜÞØ ÞÞÝÛ ÑÞÒÚ ÜØÕÒ Þ m i n i ¹ ÓÒÕÔ i 00 C i i¹ ÞÜÝÛ n i = m i n i = m i + 00 i= i= ÑÛÞÒ ºÒÞ ÑÜ Ð ÐÖ ÑÕÔ ÓÒ 00 ÐÐ ÞÞÝÛ ÜØÕÒ = E = n i 00 = = 00 i=

58 ÐÛ ØÝÒ ºn n ÑÔÝ ÑÞÒÚ n ÐÖÒ ÑÔÒ Ð ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÑÔÝ ÑÞÒÚ n ÐÖÒ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÞÚÛÒ Ó ÐÖ Ö ÒÞ ÜÔ ºÞÞ n Ó ÐÖÒ n Ü ÑÐÒ ÕÐ {,,,n} ÑÔÒÕÒ ÐÒ ÝÜØ ÙÖ ºa a a n ÐÒ ÔÒÒ ÔÔ ºÑÞÒÚ n ÐÖ G(V,E) ÙÖ ÓÞÔ ÑÞÜÐ n Ö i = ÜÖ ºÙÖÒ j Þ Ú ºÙÖ ÜÞ ÒÔ ÜØÕÒ ÐÖ ÐÖ j ºÙÖ j ÐÝ ÓÝ Ô k ÜÝ a i = k ÖÛ Ð ÐÝ ÞÜ ÓÒ ÞÖÐ ÜÝØ a a a n ÐÒ ÐÖ ÞÐÞÕ Ö Ô º Ö ÖØÒ k Ý ÑÒÖØ ÜØÕÒÐ Ý d(k) k ÞÒÚ ÐÝ Ü º Ü ÞÒÚ ÝÜØ ÙÖ ÐÒ ºÜÛÒ ÙÖ Þ ÔÒÒ ÜÝÔ ºa = a a a n ÐÒ ÔÞÔ j ÑÞÜÐ d(v) + (a v ÐÝ ÞÖØ ÜØÕÒ) i n Ö i = ÜÖ a i ÞÝÛ Ô ºd(j) = ÐÖ ÐÒÔÒ j ºd(a i ) d(a i ) d(j) 0 ÜÝ º Ü ÐÖ ÑÞÒÚ ÔÝ Ó ÞÝÛ Ô

59 Ò

60 ÐÜÞ ÑÖ,,,n ÑÜØÕÒÒ ÑÔÝ ÑÞÒÚ n ÐÖ ÑÔÒ Ð ÑÚÖ ÜØÕÒ Ò ¾ Ò Ð ÞÜÝ Ð ÞÒÚ Û ÑÐÖ < k ÓÜÞØ ÞÞÝÛ n Ý ÙÖ ºd ÞÖÚÒ ÙÖ ÞÒÚ ÐÝ ÞÐÒÕÒ ÞÜ Þ ÓÒÕÔ ºn ÑÞÒÚ Ð ÐÝ ÞÜ ÑÕ ÓÐ º½ Ü ÐÖ ÑÞÒÚ k ÑÔÝ º¾ Ü ÐÖ ÑÞÒÚ n k ÑÔÝ ºd Ü ÐÖ ÞÒÚ ÔÝ

61 ÑÕÔ k + (n k ) + d = n d = k ºÐÛ ØÝÒ ÐÝ ÒÞ ØÐ ÐÔ ÑÚÖÐ ÞÒÞÒÝ ÑÐÒ ÞÚÛ Þ ÓØÔ ÑÞÒÚ k ÓÐ ºÙÖ ÐÝ ÜÒ ½¹ ÓÛ ÐÒ ÞÒÚ ÐÝ ÞÖØ ÜØÕÒ ÜÔ ÞÒÚ º Ð Þ ÑÖØ ÑÖØÒ ÑÞÒÚ n k ºÐÒ ÐÐ ÑÖØÒ Ð ( n º k ) ºÑÒÖØ k ÖØÒ º( n ) k Ü ÐÖ ÞÒÚ ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ¾ Ü ÐÖ ÑÞÒÚ ÜÝÔÝ ÒÒ ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ ÞÔÝ ÞÞ ÜÝ Ð Þ ÞÞ k ÑÖ n Ü ÑÐÒ ÜØÕÒ º (n)! (k)! ( n )( n k ) (n )! (k )! ÐÛÔ Õ

62 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÑÚÖ ÑÔÝ ÑÝÔ ÞÒ ÞÒÐ ½ v¹ò ÐÐÕÒ ÑÛ Ñ G ÐÝ ÝÜÝ v ÞÒÚ G(V,E) ÓÒ Ü ÓÞÔ Ü º Ü ÞÒÚ ÐÐ Ñ ÓÒ Ü {v,v,...,v k } ÑÞÒÚ ÞÚÛ ÐÝ ÞÒ v ÞÒÚ Ü º ¼ Ü Ñ ÞÐ Ð ÐÐÕÒµ ÚÛ ÞÒÚÒ ÐÐ ÐÐÕÒ v¹ò Ý ÐÜÞ ºÝÜÝ Ý ÜÐ ÞÒ Ý ÓÒ ØÕ Ü ÑÞÒÚ ÐÐ Ñ ÜØÕÒ k(v) Þ G Ü v ÞÒÚ ÐÐ ÜÔ ºÝÜÝ Ó G¹Ý ÐÐÝ ÔÔ k(a) ÜØÕÒ ÑÖ ÞÒÚ Þ a Ö ÓÒÕÔ ºÑÐ v¹ò ÐÐÕÒ ÑÛÝ Ü ÑÞÒÚ º Ü ÜÞ ºv¹ a ÐÝ ÞÒ b ºv¹Ð a¹ò ÐÐÕÒ ÓÝ v ÞÒÚ ÑÛ Ô ÞÒ ÞÐÒÕÛÒÐ ÜÞÕ k(a) < k(b) ÓÐ ºv¹Ð b¹ò a¹ð b¹ò ÑÐÐÕÒ ÑÒÛ b ºÐÝÒ ºk(a) ÐÝ v a ½

63 ÐÜÞ ¾ ÞÝÛ ÐÐ ºG ÓÒ Ð Ü ÐÝ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÔÝ T ¹ T ÔÞ ÞÒÛÞÒÝ e (T T ) ÞÝÛ ÞÒÛ e (T T ) T = (T {e }) {e } T = (T {e }) {e } ÑÜÒ T Ñ T ºG ÐÝ ÑÝÜØ ÑÚÖ Ñ Þ ÛÜØÞ T ÙÖÒ ÞÜÕ T ¹ Ð T ¹ ÞÚÒÔ e = (u,v)¹ý ÔÔ ºÜ Ü ¹Ð ÑÚÒÔ v¹ u ÜÝ C ¹ C ¹ ÞÜÝÛ Ü ÔÝÐ ÐÐÕÒ ÞÐ Þ ÓÐ ÐÐÕÒ T ¹ Ý v¹ð u Ó T ÙÖÐ ÜÖÔ ÞÖ ÞÝÛ ºÑÝØÒ ÔÔÝ e ÞÝÛ º Òе C ¹ ÞÒÚÐ C ¹ ÞÒÚ Ó ÞÝÛ C ¹Ð C Ó ÞÜÒÝ T ¹ ÞÝÛ e ÜÒ T ¹ ÞÚÒÔ Ð e ºT ¹ ÞÚÒÔ Ð e Ü T {e } ¹Ý C ¹ C ÞÜÝÛ Ü Þ e ÞÖÚÒ ÝÒ ÜÔ ÞÖ ¹ ÙÖ Ýµ T ¹ Ò ÞÞÝÛ ÜØÕÒ Þ ÑÖ ÜÝÛ Ü Ý ÔÐÛ ºÝÜØ ÙÖ (T {e }) {e }¹Ý ÔÜ ÑÞ Ð ÑÔÒ ÞÜÝÛ Ü ÔÝ ÔÐÛ Ý ºe ÞÝÛ Þ T ¹Ò ÜÕÔ ÞÖ ÓÐ º Òе Ü Ü ¹Ð ÑÚÒÔ v¹ u Ý Ð ¹ ÑÛ Ò ÑÜ ¹Ý ÐÛÔ ÑÛ Ò ÓØ Þ ÐÔ ÑÜ ÔÝ Ó ÜÞ e ÐÝ ØÕ ºÐºÝºÒ ºÝÜØ ÙÖ (T {e }) {e } ÝØ ÐÐÕÒ ÐÖ Þ Ý ÔÝÜ ÖÒ ºe Þ ÔÜ Ð ÒÝ ÜÖ ÞÜÒÝ ÞÝÛ ÑÞÕ Þ Ý ÝÜÐ ÔÛØÞÕ Ð ÒÐ v¹ð u Ó º ÞÖØÒÝ ÞÒÐ ÞÝ ÐÖ ÞÔÖÐ ÑÖ ÑÞÝ ¾¹Ð ½ Ó ¾

64 ÐÜÞ u Ó µ ÝØ ÐÐÕÒ Ü ÞÐ d(u,v) Þ ÜÔ ºÙÖ T = (V,E) ºÐÒÔÒ e(v) max u V d(v,u) ÜÖÝ v ÞÒÚ T ÙÖ ÜÒ ºÙÖ v¹ð ¹ ÑÔÝ Ý Ñ ÜÞ Ðµ ÑÔÝ ÜÒ Ý ØÕ ÙÖ Ð ºÑÔÝ Ñ ÐÖ ÚÛÔ ÔÖ Þ Ô ÙÖ ÑÞÒÚ ÜØÕÒ Þ n¹ ÓÒÕÔ n ºÜÒ ÞÒÚ ÛÜ Ý n = ÜÖ ÕÕ ºÜÒ ÑÒ ÑÔÝ ÞÝÛ ÑÜÒ ÑÞÒÚ ÔÝ ÙÖ n = ÜÖ ÙÖÝ ÑÖ Ô ºn¹Ò ÓÛ ÑÞÒÚ ÜØÕÒ ÑÖ ÙÖÐ ÞÔÔ ÔÔ n > ÜÖ ÖÚ ÙÖ ÝÐ v ÞÒÚÒ ÜÞ ÛÜ ÞÒÚ ¹ Ó ÐÖ ÜÞ ºÑÐÖ ÔÝ ÞØÐ Ý ÝÒÐ ÓÞÔ ÐÖ Ô v¹ò ÛÜ ÞÒÚ u Ñ Þܵ ÐÖ ÞÐ º ÜÞÕ ¹ ÜÞ ÛÜ ÞÒÚÐ ÖÐ ÞØÕÔ ÞÝÛ u¹ð v¹ò ÐÐÕÒ Þ ºÜÒ ÔÔ ÐÖ ÔÖ ÑÛÞÒ u x,y ÞÒÚ ÐÐ ºÐ ÜÒÝ ÞÒÚ y¹ ÐÖ x ÔÔ ºÐÒÔÒ Ô e(x) max u V d(x,u) > max u V d(y,u) ÓÐ d(x,u) > d(y,u) Ø ºn > ¹Ý ÔÝÒÞݵ ºÜÞÕ ¹ÔÝ ÞÞÝÛ ÑÖ T ÙÖÒ ÑÐÖ Ð ÞÛÒ Ö T Ý ÙÖ ÜÚÔ ÞÖ ÙÖ T ÖÒµ ºÑ ÞÖ v¹ò ÜÞ ÛÜ ÞÒÚ ÐÐ ÐÐÕÒ µ ¹ Ü e(v) T ¹ ÐÖ ÔÝ v ÞÒÚ ÐÐ ÐÖ ÔØÐÝ ÞÒÚ ÜÝÔ ÓÖ ÑÐÖ Ð Þ ÔÛÒÝ ÜÐ ÐÖ ÑÞÕ ÐÒÔÒ e(v) ÑÖ T ¹ Ý ÞÒÚ Ð ÓÐ º v¹ò e(v) ÛÜÒ ÐÐÕÒ ºÞÐÒÔÒ ÐÖ T ¹ ÜÒÝ ÚÛÔ ÞÔ ØÐ ºT ¹ ÜÒ ÑÒ T ¹ ÜÒ ÞÒÚ ÔÛÕÒ ÞÒÛÞÒ ÔÖ ÓÐ ÑÔÝ Ñ ÑÔÝ Ý Ñµ ÑÔÝ ÜÒ Ý T ¹ ºT ¹ Ñ

65 ÝÒ ÖÒÐ ÛÜÔÒÛ ÑÔÒ ÑÚÖ ÞÜØÕ ÞÜÞ ½ ÞÜ ÞÚÜÒ ÑÜÒ º V = n ÞÒÚÖ ÞÐÐ ÐÐ G(V,E) ÓÒ Ü ÓÞÔ ÓØ ÞÔÝ ÞÚÜÒ ÑÖ ÐÐÞРе n n Ð D ÕÔ { din (i), i = j D i,j = k, j Ð i Ò G ÞÞÝÛ ÜØÕÒ k ºr ÒÖ r ÜÝ ÐÝ ÛÒ Ö D ÚÜÒÒ ÞÐÛÞÒ D r ÚÜÒ ÑÜÒ ÐÝ Ý Ö ÐÛÞÒ r ÝÜÝ ÑÖ G ÐÝ ÑÝÜØ ÑÔÒ ÑÚÖ ÜØÕÒ ØÝÒ º D r ÔÒÕÝ D r ÚÜÒ ÐÝ ÔÔÒÜ Ò ¾ Ü ÓÞÔ 3 D = 0 3 ÓÞÔ Ü ÜÖ D ÚÜÒ ½

66 ÚÜÒ ÐÛÔ ºÔÝÜ ÒÖ ÔÝÜ ÜÝ ÛÒÔ D = ( 0 3 ) ÛÔ º3 ÞÒÚ ÝÜÝ ÑÖ ÑÔÒ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÓÐ D = 3 ÑÛÞÒ T T T ºÑÚÖ ÝÐÝ ÑÒÛ Ó ÖÒ º¼¹Ð Ý ÕÔ ÞÜ ÞÚÜÒ ÐÝ ÒÖ Ð ÑÜØÕÒ ÑÕ Ô ºÓÒ Ð Ü ÐÝ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÝÐ ÓÞÔ Ò ÓØ Ý ÜÖ ÜÛÒ ºÞÜÒÕ Þ ÕÔ ÞÜ ÞÚÜÒ º r n r Ð ÜÖ D r Ö ÓÞÔ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÐÜÞ º(000) ÝÜÝ ÑÖ G,4 Óܹ Ü ÐÝ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ Þ Ý ÑÝÜÔ º 000 ÝÜÝ ÑÖµ Ü ÐÝ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ Þ ÝÔ ÓÜÞØ ºD 000 Þ ÝÔ º8 8 ÚÜÒ ºD ÚÜÒ ÐÝ ÕØÒ ÞÔÝ ÞÕÔ ¾

67 ¹ÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ Þ ÔÝ Ð ¹ 000 ÑÞÒÚ ÞÒÚÖ ÞÐÐ ÜÔ ÐÝ ÔÝÜ ÒÖ ÔÝÜ ÜÝ ÑÛÒ ÓÐ 000 ÞÒÚ ÙÖ ÐÝ ÝÜÝ D 000 = ºÑ ÚÜÒ ºÐÔ ÚÜÒ ÐÝ ÔÔÒÜ ÜÖ Û ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÔÔÒÜ Þ ÝÐ ÓÒ ÜÞÔ ÑÒÝÜ i ÜÝ ÞÒ i + 4 ÜÝ ÑÜÕÒ i =,,3 ÜÖ Ñ¹ ÑÐÒ ºi ÜÝ ÑÛÒ

68 ÒÖ ÑÖ i ÒÖ ÑÜÒ i =,,3 ÜÖ ÓØ ÑÖ ÑÒÚÒÚÒ ºi + 4 ÒÖ ÑÛÒ ÚÞ Þ ÑÒÝÜ i + 4 4¹ ÜÝ ÑÛÒ ÑÒÝÜ 4¹ ÜÝÐ ÞÔÜ ÞÜÝ 3 ÑÜÒ 3 det Ð Ý Þ ÚÜÒ ÐÝ ÔÔÒÜ ÑÔÒ ÑÚÖ ÜØÕÒÐ ÒÞÒÝ ÚÜÒ Û Ó ÒÝÜÝ ÚÜÒ ÝÐ ÓÞÔ ÐÝ ÔÔÒÜ Þ 3 3 ÚÜÒ ºG,3 Ü 00 ÝÜÝ ÑÖ det = ÜÐ ÕÜÛ ÒÐÔÝ ÕÔ Ø¹ÐÖ ÝÜØÒ [ 0 ] [ 0 () 0 ] [ + () 0 ] = 4 = º ºÞØÕ ÝÞ º 3 = 6¹Ð Ý D 000 ÐÝ ÔÔÒÜ ÓÐ

69 ÐÜÞ ÚÜÒ ÐÝ ÔÔÒÜ Þ Ý ¹Ò ÒÖ ÜÝ ÐÝ ÛÒÒ ÞÐÛÞÒÝ D r Þ ÚÜÒÝ ÔÔ ÓÖÜ Þ ÝÔ ÕÔ ÞÜ ÞÚÜÒ Þ ÜÝÔ ºÞÒÕÒ ÕÔ ÞÜ ÚÜ ºÑÞÒ Ü ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ ÑÜØÕÒ ÑÕ Ô ÝÒÞÝÔ º¼¹ ÒÖ Þ ¼¹ ÜÝ Þ ÜÝÔ ÔÞ ÞÔÔÖÒ Ð ¼¹ ÒÖ º¼¹Ð Ý ÕÔ ÞÜ ÞÚÜÒ ÐÝ ÒÖ Ð ÔÐÛ ºÙÖ ÞÞÝÐ ÞÐ Ð Ó ÙÖ ÝÜÝÐ ÞÕÔÔÝ ÞÞÝÛ ÞÔÚÒ D = ÚÜÒ ÑÞÒ Ü Ð ÜÚÒ Ñ Ñ ÑÜÝØ ÑÚÖÝ ÜÝÒ ÞÜÐ ÓÞÔ

70 º ¹Ð ¼¹Ò ÞÝÛ ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ º¾ ½¹Ð ¹Ò ÞÝÛ ÜÐ ÞÜÝØ ÜØÕÒ º ÓØ ÞÖÛÔ ÙÖ ÞÞÝÛ ÜÝ Ð ¼ ÝÜÝ ÑÖ ÑÝÜØ ÑÚÖ ÜØÕÒ Õ ÓÐ 4 = 8 ºÔÞÔ ÚÜÒ ÞÔÔÒÜ Ñ

71 .- תשקה תפתתשמ אל םהבש {,,,n} םיתמצה לע םישרופה םיצעה רפסמ תא אצמ :(ףוהכריק) ןורתפ תשקה אלל םלשה ףרגה לש הסינכה תגרד תצירטמ תא הנבנ.(,) = 0 0 n n n n D L L M O M M M O M M L L L L,ףוהכריק טפשמ יפל D תשקה אלל םיתמצnםישרופה םינווכמ אלה םיצעה רפסמ אוה.(,) :הז תא בשחנ = n C C C n C n n n n D K O M M L L < + 0 n i n C i C i C n n n L L M M M O M L L = L M M M O M L L n n n 0 0 ) ( 0 0 L M M O L n n n 3 ) ( = n n n :(יטנגלא יכה הירטמיס ימעטמ) ןורתפ םיתמצnםע טושפ ןווכמ-אל ףרגב תוירשפאה תותשקה לכ תצובקEיהת ונחנא לוגרתהמ) -ש םיעדוי = n E.( לכל e E ב ןמסנ C e e תשקה םע םישרופה םיצעה רפסמ תא. ימעטמ לכל,הירטמיס e E םייקתמ C =C e (,), ןכלו (,) (,) C n EC C E e e = =..לאמש ףגא תא תפסונ ךרדב בשחנ

72 e עץ פורש עם הקשת, Tהוא e E C e e E e E C e = n n טענה: n) ( E Tעץ = ( V, שפורשnצמתים. לכל קשת הוכחה: יהא ).C e כיוון ש n, Tתורם E = n לסכום ולכן תורם ל לסכום כל עץ פורש תורם.C = n n 3 (,). e E C e = n n ( n) C e e E n n C, ומזה נובע ש (,) = n ( n) n קיבלנו ש nעצים שפורשיםnצמתים, לכן מספר העצים הפורשים שבהם הקשת n n3 n. n n = ( n ) n n 3 לפי משפט קיילי, יש (,) משתתפת הוא