GOLDBACH SEJT ÉS? INFORMATIKA. Klopfer Ervin SEJTÉSEK

Átírás

1 GOLDBACH SEJT ÉS? Klopfer Ervin ÖSSZEFOGLALÓ A Goldbach-ejté (GC) egyike a zámelmélet legrégebbi, megoldatlan problémájának. Modern formájában azt állítja, hogy minden kettőnél nagyobb páro zám két prím özege. Nagyon egyzerűnek tűnő kijelenté, de bizonyítáa közel 70 éve kifogott a matematikuokon. Az elmúlt évzázadok orán ok rézeredmény zületett. Rényi Alfréd é Pintz Jáno magyar matematikuok i foglalkoztak a Goldbachejtéel. A GC megoldára jelentő pénzözzeget i kitűztek, de a kérdé máig nyitott. Lehetége, hogy a GC-t egyáltalán nem tudják bizonyítani. SUMMARY The Goldbach Conjecture (GC) i one of the oldet unolved problem in number theory. In it modern form it tate that every even number larger than two can be expreed a a um of two prime number. It eem that thi tatement i very imple but it proof ha been unolved for nearly 70 year. Many partial olution were born during the lat couple of centurie. Hungarian mathematician Alfréd Rényi and Jáno Pintz alo dealt with Goldbach Conjecture. For the olution of the GC-problem a lot of money wa offered but the GC ha remained unolved. Poibly there i no olution for the proof of the GC.. ábra Erdő Pál (93-996) SEJTÉSEK Mottó: Sejt é bizonyít! (Erdő Pál) A ejtéek a matematika történetében meghatározó jelentőégűek voltak. Erdő Pál (93-996), a világhírű, magyar matematiku, prímember é világegyetemi tanár (. ábra) mondta: Egy jó ejté gyakran többet ér, mint egy zép bizonyítá. Az alábbiakban felorolunk néhány nevezete matematikai ejtét: Nagy Fermat ejté. A ejtét Pierre de Fermat (60-665) francia matematiku fogalmazta meg 637-ben, amely zerint két n-edik hatvány özege oha nem lehet n-edik hatvány, ha n >. A bizonyítát 995-ben Andrew John Wile amerikai matematiku adta meg, de levezetée hibát tartalmazott, amelyet 997-re Richard Taylorral közöen ikerült kiküzöbölnie, így a ejté tétel zintjére emelkedett. Goldbach-ejté. 74-ben fogalmazta meg Chritian Goldbach poroz matematiku, majd Leonhard Euler pontoította. A bizonyítá máig várat magára; a továbbiakban ennek a ejtének a történetével foglalkozunk. Négyzín-ejté, amelyet 85-ben fogalmazott meg Franci Guthrie (83-899) angol matematiku, ügyvéd é botaniku. A ejté azt állítja, hogy minden térkép négy zínnel kizínezhető úgy, hogy azono zínű területek ne érintkezzenek. A ejté egzakt módon nem bizonyított, de 976-ban Kenneth Appel é Wolfgang Haken amerikai matematikuok zámítógépe bizonyítát adtak, amelyet azonban a matematikuok egy réze máig nem fogadott el, mondván: a zilícium logikája nem azono a neuronok logikájával. Riemann-hipotézi. 859-ben fogalmazta meg G.F. Bernhard Riemann (86-866) német matematiku. E zerint a Riemannféle egyváltozó, komplex zeta függvény minden nem triviáli gyökének való értéke ½. A ejté máig nem bizonyított (lád kéőbb). 8 Vol. XII. No..

2 PRÍMSZÁMOK Mottó: A tudományok királynője a matematika, é matematika királynője a zámelmélet (Carl Friedrich Gau) A prímek világítótornyok a zámok tengerében E cikk témája matematika, ezen belül i zámelmélet. A zámelmélet tárgya az egéz zámok Z gyűrűje, amelyben az özeadá, kivoná é a zorzá korlátozá nélkül elvégezhető, de az oztá nem! A zámelmélet alapvetően az ozthatóágot vizgálja; fő munkaezközei a prímzámok é a maradékok. A zámelméletnek azt az ágát, amely az egéz zámoknak prímzámokból özeadá vagy kivoná útján történő előállítáával foglalkozik, additív zámelméletnek nevezik. A Goldbach-ejté alapvetően additív zámelméleti probléma. A prímzámok (törzzámok) hétköznapi definíciója zerint prímzám az a pozitív egéz zám, amelynek az -en é önmagán kívül ninc oztója. Ez a definíció azonban nem ponto, mert ennek alapján az i prímzám lenne. Az azonban per definitionem nem prím, mivel cak egyetlen oztója van, önmaga. Az egzakt matematikai definíció úgy zól, hogy prímzám az olyan pozitív egéz zám, amelynek pontoan kettő darab pozitív oztója van; em több, em keveebb. Valamennyi egynél nagyobb zám vagy prím, vagy ún. özetett (kompozit) zám. Egyetlen páro prím van, a ; ez egyben a legkiebb prímzám. A prímek a termézete zámok építőkövei, azaz minden termézete zám a tényezők orrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímzámok zorzataként (kanoniku alak); ez a zámelmélet alaptétele. Végtelen ok prímzám van; erre alexandriai Euklidéz (kb. i. e ) görög matematiku minden idők egyik legzebb matematikai bizonyítáát adta. A prímzámok megtaláláára Eratoztenéz (i. e ) görög matematiku é cillagáz adott egy roppant egyzerű módzert, ez az ún. Eratoztenéz-zita. A zita-módzer zámítógépe programmal könnyen futtatható, de laú. Bolyai Jánot (80-860), a kiváló magyar matematikut már fiatalon érdekelték a prímek. Már kigyermek koromban írja feltettem magamnak a kérdét, hogy végtelen ok prímzám létezik-e? A zámelmélet iránti vonzódáa egéz életében elkíérte. Az egéz zámtan mezején vallja egy máik helyen alig van zebb é érdekeebb, mint a prímzámok oly mély homályba rejlő titka. Hozú ideig kereett olyan eljárát, amelynek egítégével bármely törzzám zárt képlettel kifejezhető. Ilyen formulánk máig nincen. Már a 8. z. végére prímtáblázat kézült ig, amelyet 87-re kiterjeztettek ig. Az 50-nél kiebb prímek:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47; özeen 5 darab. 000-ig 68 darab, ig darab prím található. A prímek a zámelmélet középpontjában állnak. Miként a vegyi elemek a kémia, a zubatomi rézeckék a fizika, úgy a prímek az egéz zámok építőkövei. De míg az elemek é a rézeckék záma mai tudáunk zerint vége, a prímek végtelen okan vannak, é teljeen zabálytalanul helyezkednek el a termézete zámok halmazában (. ábra). Az ábra megalkotója Staniław Ulam ( ) lengyel zármazáú amerikai matematiku, a Manhattan Project é a H-bomba kifejleztéének egyik kulcfigurája, Teller Ede munkatára volt.. ábra Számítógép által kézített ún. Ulam-pirál a prímek (fehér pontok) elozlááról ig A prímzámok fogalmát minden valózínűég zerint már az ókorban imerték. Az egyik legrégebbi matematikai leletet Zairében (Kongói Demokratiku Köztáraág), az Edward-tó menti Ihango-ban találták. Ez egy contdarab talán zerzámnyél, amelyet berovátkoltak, é a végébe egy kvarcdarabot erőítettek; vééhez vagy írához haználhatták. Kézítéének ideje i. e közé eik. Az egyik oldalán rovátka van, ami azt ugallja, hogy kézítői imerték a törzzámokat. Valózínűíthető, hogy a prímeket az egyiptomiak é mezopotámiaiak i imerték, de rézleteebben előzör cak a pitagoreuok foglalkoztak velük. Vol. XII. No.. 9

3 GOLDBACH ÉLETE Chritian Goldbach ( ) poroz történéz é amatőr matematiku a Balti-tenger közelében, a Pregel (Pregolja) folyó partján fekvő akkor poroz Königbergben (ma az Orozorzághoz tartozó Kalinyingrád) zületett; apja protetán lelkipáztor volt. A Königbergi Egyetemen némi matematikát, de főleg jogot é orvolát tanult. 70-ben beutazta Ézak- Európát, Németorzágot, Auztriát, Angliát, Itáliát, é találkozott kora legkiválóbb matematikuaival. Leibniz-cel 7-ben találkozott Lipcében; utána évig leveleztek latinul. 7-ben, Angliában találkozott Nichola (I) Bernoulli-val é de Moivre-val, Velencében Nicolau (II) Bernoullival, é elkezdett levelezni annak tetvérbátyjával, Daniel (I) Bernoulli-val, amelyet 7 évig folytatott. 74-ben tért viza Königbergbe, ahol kapcolatba került Georg Bernhard Bilfinger-rel é Jakob Hermann-nal, akik nagy hatáal voltak rá között zámo matematika tárgyú cikket publikált. 75-ben Riga-i tartózkodáa alatt folyamodott álláért a Szentpétervári Birodalmi Akadémiára (a kéőbbi Szentpétervári Tudományo Akadémiára), amelynek 75 decemberében matematika é történelem profezora, majd között titkára lett. Leonhard Euler ( ) 77-ben érkezett Pétervárra; Goldbach-al való levelezéük 79- ben kezdődött é 35 évig tartott. Goldbach 78-ban Mozkvába ment é nevelője lett Péter cárevicnek, a kéőbbi II. Péter cárnak (78-73). Goldbach 734-ben vizatért Pétervárra, majd 74-től Mozkvában külügyminiztériumi tiztvielő. Jelentő eredményeket ért el a zámelmélet, a végtelen orok özegezée, a görbék é egyenletek elméletében. Eulerhez é Daniel Bernoullihoz özeen mintegy 00 levelet írt. A GOLDBACH-SEJTÉS SZÜLETÉSE Mottó: Liez Euler, liez Euler, c et notre maitre à tou (Olvaátok Eulert, olvaátok Eulert; Ő mindenben a mi meterünk, Pierre Simon de Laplace) Mathematicu nacitur, non fit (Matematikut nem lehet képezni, matematikunak zületni kell) Imagination i more important than knowledge (A képzelet okkal fontoabb, mint a tudá, Albert Eintein) Every even number i the um of two prime and every marriage i the um of two individual (Minden páro zám két prím, minden házaág két egyéniég özege, Manur Darlington) A Goldbach-ejté egyike a matematika (ezen belül a zámelmélet) egyik legnehezebb, legrégebben nyitott é legtöbbet tanulmányozott problémájának. 3. ábra Chritian Goldbach nevezete ejtéét tartalmazó levele Leonhard Eulerhez 0 Vol. XII. No..

4 Chritian Goldbach, akit néhol németként, máhol orozként i emlegetnek főleg Szentpétervárott é Mozkvában élt é dolgozott. 74. júniu 7-én Mozkvából azt írta Leonhard Eulernek Berlinbe, hogy: Legalábbi úgy tűnik, hogy minden -nél nagyobb zám három prímzám özege (E cheinet wenigten, da eine jede Zahl, die gröer it al, ein aggregatum trium numerorum primorum ey, 3. ábra) [0]. Megjegyzendő, hogy Goldbach é az ő korában minden matematiku az -et i prímnek tekintette. Az eredeti Goldbach-ejté mai kié módoított alakja: Minden 5-nél nagyobb páratlan zám legalább egyféle módon felírható három prím özegeként. Euler (4. ábra) 74. júniu 30-án azt válazolta Berlinből, hogy ennek bizonyítáához elegendő belátni, hogy minden -nél nagyobb páro zám felbontható két prímzám özegére, vagyi n = P + P, ha n >. Termézeteen megengedett a P = P i. Ez az ún. páro Goldbach-ejté, amelyet erő Goldbachejté -nek (trong GC, GC) vagy kettő Goldbach-ejté -nek (binári GC) i neveznek. Euler még hozzátette; úgy véli, hogy az állítá igaz (bár nem tudta bizonyítani). A két prímre való felbontá általában többféle módon i elvégezhető, pl.: 4 = +; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 0 = 3+7 = 5+5; 0 = 7+3 = +09 = 3+07 = 7+03 = 9+0 = 3+97 = 3+89 = = 4+79 = = = ábra Leonhard Euler ( ), minden idők egyik legnagyobb matematikua, a Goldbach-ejté végő megfogalmazója Euler gondolatmenete Goldbach eredeti ejtéére könnyen reprodukálható. Tegyük fel, hogy n, vagyi n 4. Ekkor igaz, hogy n + 6, é Goldbach zerint ez a páro zám n + = P + P + P 3. Mivel azonban három páratlan prím özege páratlan, így az egyik mondjuk a P 3 páro prím kell legyen, amely cak a lehet. Vagyi n = P + P, így igaz, hogy minden páro zám két prím özege. Tehát nem Goldbach, hanem Euler fogalmazta meg a ejté véglege formáját, amely ma Goldbach nevét vieli. Hongbo Li (Mathematic Mechanization Reearch Center, Intitute of Sytem Science, Chinee Academy of Science, Peking) meghatározáa zerint (999), azokat a pozitív (páro) egéz zámokat, amelyek előállnak, mint két páratlan prím özege, Goldbach-zámoknak nevezzük. Pl.: 6=3+3; 8=5+3; 36=7+9; tb. Mint látható, Goldbach a ejtét Eulerhez írt levelének margójára írta. Úgy látzik, hogy a margók a matematikai ejtéek megfogalmazáában gyakran kapnak jelentő zerepet, így pl. a Nagy Fermat ejté, amely mint fentebb láttuk Sir Andrew John Wile 997-e, kijavított bizonyítáa óta már tétel. A Nagy Fermat ejtét Fermat Diophantoz Arithmetica című 670- ben Touloue-ban kiadott könyvének margójára jegyezte le. Goldbach Eulerhez írt levelét előzör 843-ban Pavel Nyikolajevic Fuz ( ) oroz matematiku tette közzé. [0] A Goldbach-ejté legegyzerűbb formájában tehát így hangzik: MINDEN KETTŐNÉL NAGYOBB PÁROS SZÁM KÉT PRÍM ÖSSZEGE Egy kié pontoabban: Minden kettőnél nagyobb páro zám legalább egyféleképpen előáll, mint két nem zükégzerűen különböző prím özege. Ez az állítá nagyon ártatlannak tűnik egy kiikolá i megérti azonban közel 70 éve kifogott minden matematiku bizonyítái kíérletén, é okat az őrületbe kergetett []. A ejtét mindeddig nem bizonyította, de nem i cáfolta meg enki. Az erő GC termézeteen úgy i megfogalmazható, hogy minden egynél nagyobb egéz zám két prím zámtani közepe, hizen ha n = P + P, akkor n = (P + P )/. Érdeke Euler 75-ben írt véleménye a prímzámokról: A matematikuok hiába kutattak, hogy fel tudjanak fedezni valami rendzert a prímzámok orozatában, é jó alapja van annak, hogy azt higgyük, ez miztérium, amit ohaem fog az emberi agy megérteni. Ahhoz, hogy erről meg tudjunk győződni, elég zemeinket a prímzámok táblázatára vetni: néhány ember vette a fáradágot é 00 ezrekig zámolt, hogy orba állíta őket, é nem látott benne emmi törvényt. A legmeglepőbb ebben az aritmetikában az, hogy ok olyan bizto zabállyal Vol. XII. No..

5 látott el bennünket, amelyek egítégével az ilyen zámok orozatát folytathatjuk olyan mezzire, amennyire akarjuk, anélkül, hogy valami nyomát találnánk köztük valamilyen zabálynak. A probléma azért olyan különöen nehéz, mert az egéz zámok multiplikatív é additív truktúrája együtt zerepel a GC-ben. Ugyani a prímzámok a zorzára nézve elemi építőkövekként, atomok -ként vielkednek; minden egynél nagyobb egéz zám vagy prím, vagy a tényezők orrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímzámok zorzataként. Az özeadára nézve pedig az egéz zámok zerkezete nagyon egyzerű; az egy imételt özeadáával minden egéz zám megkapható. Az GC enyhébb formája a páratlan Goldbachejté ( hárma Goldbach-ejté, gyenge Goldbach-ejté, weak GC [wgc] vagy három prím probléma ), amely zerint: minden 7-nél nagyobb páratlan zám felírható, mint három páratlan prím özege. Pl: 9=3+3+3; =3+3+5; 59=7+9+3; 03= ; =3++97; 7=7+9+7; 89= tb. Fenti állítáal egyenértékű az a megfogalmazá, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan zám előáll, mint három prím özege (lád fentebb). Bár egyik ejtét em ikerült igazolni, a wgc valózínűleg könnyebben megoldható, mint az GC. Ha az erő GC-t ikerülne megoldani, ezzel automatikuan megoldódna a gyenge GC i, de ez megfordítva nem igaz. VARIÁNS SEJTÉSEK A Goldbach-ejtére alapozva má, varián ejtéek i zülettek, pl.: () minden n 6 páro zám két páratlan prím özege (pl.: 6 = 3+3; 8 = 7+). () minden n > 5 páratlan zám felírható, mint egy páratlan prím pluz egy prím kétzeree. A ejtét a wgc alapján (n = p + q + r) eredetileg Émile Lemoine [840-9] francia matematiku fogalmazta meg 894-ben, mondván: ha n páratlan, akkor felírható p + q alakban. Hyman Levy [ ] kót matematiku 963-ban zigorította Lemoine ejtéét; n = p + q, é p > q. Azóta Levy-ejté a neve. Pl.: 7=3+( 7); 47=3+( 7); 5=5+( 3) tb. A Levy-ejté tehát a gyenge Goldbach-ejté egy változata, amelyet n 0 9 -ig zámítógéppel igazoltak. (3) minden n > 7 egéz zám pontoan három különböző prím özege, pl.: 5=3+5+7; 3=+7+3. Andrzej Schinzel mutatta meg, hogy a GC ekvivalen ezzel a ejtéel. (4) minden páro zám két egymát követő prím különbége. Pl.: =5 3=7 5=3-=3-9; 4=-7; 6=9 3=37 3; 8=97 89; 0=9 8=5 4; = ; 4=33-37; tb. (Alphone de Polignac, 849). Egyébként René du Peron Decarte ( ) francia matematiku, fiziku é filozófu már jóval Goldbach é Euler előtt imerte a ma GC-nek nevezett problémát, é egy poztumuz közzétett levelében említette. Bár nem volt teljeen meggyőződve róla, de így fogalmazott: Minden páro zám egy, kettő vagy három prím özege. Pl: ==+; 4=+=++; 6=3+3=+5=++; 8=3+5=++5; 0=5+5= =+3+5; =5+7=+5+5; tb. Decarte i prímnek tekintette az -et. Erdő Pál azt mondta: Jobb, hogy a ejtét Goldbach után nevezték el, mivel matematiku nyelven zólva Decarte végtelenül gazdag, Goldbach pedig nagyon zegény volt. Egy páro zám két prímre való felbontáa (partíció) n = P + P általában okféle módon lehetége. Alább néhány példát adunk páro zámok (n = E) két prím özegére való felbontáának lehetőégeiről [g(e)]: E = 4 = + g(4) = E = 6 = 3+3 g(6) = E = 8=3+5 g(8) = E = 0=3+7=5+5 g(0) = E = = 5+7 g() = E = 4=5+9=7+7= =+3 g(4) = 3 E = 34=3+3=5+9= =+3=7+7 g(34) = 4 E = 48=5+43=7+4= =+37=7+3=9+9 g(48) = 5 E = 60=7+53=3+47= =7+43=9+4= =3+37=9+3 g(60) = 6 E = 66=5+6=7+59= =3+53=9+47= =3+43=9+37 g(66) = 6 E = 68=7+6=3+37 g(68) = E = 98 g(98) = 3 Vol. XII. No..

6 g(e) 5. ábra Egy E páro zám két prím özegére való felbontáainak záma, az ún. g(e) Goldbach-függvény, ha E 60 E Amint látható, a zámok (E) növekedéével nem monoton növekzik a két prím özegére való felbontáok g(e) záma. Koordinátarendzerben ábrázolva cak a páro zámokhoz rendelhető ordináta-érték; minden páro E zámhoz egy pont (egyetlen partíció, g[e]) tartozik. A páratlan E zámok eetén g(e) 0. Az így kirajzolódó grafikon az ún. Goldbach függvény vagy Goldbach-ütökö (5., 6., 7., 8., é 9. ábra), amely a partíciók g(e) zámát ábrázolja E függvényében. A grafikont előzör 989-ben publikálta két amerikai kutató, Henry F. Fliegel é Dougla S. Roberton, E 0 5 -ig. A Goldbach-partíciók (Goldbach-párok) zámában g(e) értékei zélőége eltéréeket mutathatnak, ha egyik páro zámról a zomzédora lépünk. Pl partícióinak záma 905, míg az egyik zomzédo páro zámnak, a nak 37, a zomzédo páronak 5 felbontáa van. A Goldbach-függvénynek E 300 eetén már látható finomzerkezete van é pázmákra, cóvákra haad fel. E = 0 6 -nál a grafikon már nagyon jól mutatja az elkülönülő cóvákat (9. ábra). Az ütökö aló határa éle, é a G(E) = e exp AE B exponenciáli függvényt követi, ahol A > 0, é 0 < B <. Megjegyzendő, hogy az irodalomban néha találkozhatunk olyan cikkekkel, amelyek az azono prímekből álló párokat nem tekintik külön felbontának (pl. 38 = 7+3, de nem vezi tekintetbe a 38 = 9+9 felbontát [3]). Ez abból ered, hogy ha n = p + q, é p = q, akkor n = p, vagyi triviáli, hogy egy prím kétzeree (mint páro zám) felbontható két azono prím özegére. Má cikkek vizont az addíció orrendjét i megkülönböztetik, é nem veznek tudomát az özeadá kommutatív voltáról, így pl. 0=3+7=7+3, é ezt kétféle partíciónak tekintik. Vol. XII. No.. 3

7 g(e) 6. ábra A g(e) függvény, ha E 50 E g(e) 7. ábra A g(e) függvény, ha E 000 E 4 Vol. XII. No..

8 g(e) 8. ábra A g(e) függvény ha E 000 E g(e) 9. ábra A g(e) függvény egy jól elkülönülő rézlete logaritmiku kálán, ha 0 5 E 0 6 E Vol. XII. No.. 5

9 0. ábra A Goldbach-párokra való minimáli felbontázám, ha E 0 9 A Goldbach-partíciók egy máik jellemző ábrázoláa [0. ábra], ha az abzcizára a felbontandó E páro zámok logaritmuát, az ordinátára egy adott (loge loge ) = log(e /E ) tartományban a legkiebb prímpár-felbontá zámot, g(e) min -ot vizük fel [33]. Ez a pontor valójában a Goldbach-ütökö legaló, éle határát jeleníti meg. MEGOLDÁSI ERŐFESZÍTÉSEK Mottó: Nonne mathematici veri natique poetae? Sunt, ed quod fingunt, hoce probare decet (Vajon nem zületett é igaz poéták a matematikuok i? Azok, de azt, amit kiagyalnak, bizonyítaniok kell, Leopold Kronecker) Eentiae rerum unt icut numeri (A dolgok lényegei a zámok,gottfried Wilhelm Leibniz) Another roof, another proof (Ahány ház, annyi bizonyítá, Erdő Pál) A matematiku olyan zerkezet, amely a kávéból tételeket kézít (Rényi Alfréd) Butul az öreg, eliramlik a tétel (Erdő Pál) 93-ban két angol zámelméléz, Godfrey Harold Hardy ( ) é John Edenor Littlewood ( ) ún. azimptotiku módzerrel bebizonyították, hogy egy igen nagy N 0 zám felett minden páratlan zám három prím özege. 93-ben Lev Genrikovic Snyirelman ( ), fiatalon elhunyt zovjet matematiku bebizonyította, hogy minden termézete zám előáll vége zámú prím özegeként ben Snyirelman beclét i adott erre a vége zámra, majd bebizonyította, hogy minden n 4 páro zám előáll keveebb, mint (!) prím özegeként. Ez enyhén zólva i meglepő volt. Snyirelman kéőbb bebizonyította, hogy ehhez legfeljebb 0 prím i elegendő, majd 7 prímre redukálódott a küzöb. Ez már valamennyire elfogadható volt, de még mindig nagyon távol állt a Goldbach-ejté bizonyítáától. 937-ben Ivan Matvejevic Vinogradov (89-983) zovjetoroz matematiku (. ábra) i bizonyította, hogy egy»elegendően nagy«n 0 küzöbzám felett minden páratlan zám előáll, mint 3 prím özege, vagyi: (n + ) = P + P + P 3, ha (n + ) > N 0, é N 0 nagy. Ez a gyenge GC egy partikulári megoldáa. Vinogradov eredményéhez trigonometriku özzegek ún. éle beclé -én kereztül jutott; bizonyítáa indirekt volt. Vinogradov azonban nem tudta megmondani, hogy mekkora ez az»elegendően nagy«n 0 zám. Kéőbb Hua Lo-keng (90-985) kínai matematiku lényegeen leegyzerűítette Vinogradov 937-e bizonyítáát. 6 Vol. XII. No..

10 956-ban Kontantin V. Borodzin, Vinogradov tanítványa megmutatta, hogy ez az»elegendően nagy«n 0 zám gigantiku: N 0 3 exp(3 5 ) = e exp(e ) = 3, n = P + (P P P k ) = P + P(k), ha n nagy, de a k tényezőzám kérdée. Itt a P(k) zimbólum k darab prím zorzatát jelöli. Fenti kifejezé az ún. gyengített Goldbachejté. Ez a zám caknem 7 millió jegyű. A wgc tehát még nagyon meze volt az igazolától. Megjegyzendő, hogy Metagalaxiunk kb nukleonból áll! 989-ben Wang Tian-ze é Cen Jing-run két kínai matematiku Vinogradov zámát N 0,503 ( e ) e 3, ben határozta meg. 00-ben Liu Ming-ci é Wang Tian-ze ezt a küzöböt N 0 e ra cökkentették, amely még mindig egy 347 jegyű zám.. ábra Rényi Alfréd (9-970). ábra Ivan Matvejevic Vinogradov (89-983) 936-ban Giovanni Ricci ( ) olaz matematiku, (Pármai Egyetem) bebizonyította, hogy minden»elegendően nagy«egéz zám előáll legfeljebb 67 prím özegeként. 940-ben N. Pipping fentieket 0 4 -ig numerikuan i igazolta. A.A Buchtab é Yuan Wang kéőbb bebizonyították, hogy a n = P + P(7) kifejezében a P(7), amely egy hét tényező prímzorzat P(4)-re redukálható, majd Enrico Bombieri (940-) olaz/amerikai matematiku é Vinogradov egymától függetlenül bebizonyították, hogy n = P + P(3) lehet. 947-ben Rényi Alfréd (9-970) magyar matematiku, J.V. Linnyik é Vinogradov tanítványa (. ábra) tovább fejleztette az ún. Linnyik-féle nagy zita módzert, é az GC-vel kapcolatban általánoágban igazolta, hogy minden»elegendően nagy«páro zám egy prím é egy olyan kompozit zám özege, amely legfeljebb k darab prím zorzata, vagyi: 950-ben Atle Selberg norvég matematiku bebizonyította, hogy n = P() + P(3), vagyi, hogy minden (nagy) páro zám előáll, mint egy olyan özeg, amelynek egyik tagja két prímből, máik tagja három prímből álló zorzat. 968-ban Theodor Etermann (90-99) angol matematiku bizonyította, hogy minden»elegendően nagy«páro zám előáll egy prím pluz legfeljebb 6 darab prím zorzataként, vagyi: n = P + P(6), ha n nagy. Itt a P(6) zimbólum hat darab prím zorzatát jelöli. 995-ben Olivier Ramaré francia matematiku (Lillei Egyetem) bebizonyította, hogy minden páro zám előáll legfeljebb hat prím özegeként [9]. Még ugyanabban az évben L. Kaniecki lengyel matematiku igazolta, hogy ha a Riemann-hipotézi (lád alább) igaz, akkor minden páratlan zám előáll legfeljebb öt prím özegeként. Pl.: 5= ; 39= tb. Paul Stein é Staniław Ulam fogalmazták meg azt a ejtét, hogy minden»elegendően nagy«páro zám felírható, mint két darab (6k + ) alakú prím özege. Megjegyzendő, hogy a (6k ± ) alakú zámok között ok a prím é az ikerprím, továbbá, hogy a (4k ± ) alakú zámok között i igen ok (talán végtelen ok) a prímzám. Vol. XII. No.. 7

11 997-ben Jean-Marc Dehouiller, G. Effinger, Herman J.J te Riele é D. Zinovjev bebizonyították, hogy ha az általánoított Riemann-ejté igaz, akkor minden 5-nél nagyobb páratlan zám három prím özege. Ez a wgc bizonyítáa lenne. Cakhogy a Riemann-hipotézi máig em bizonyított (lád alább). A Riemann-ejté egyike a hét, ún. millenniumi problémának, amelyek megoldááért egy 000- ben alakult nonprofit alapítvány, a Clay Matematikai Intézet (CMI, Cambridge, MA, USA) egyegy millió dollárt ajánlott fel. A díjat egy botoni milliomo üzletember, Landon T. Clay által 998-ban alapított fenti intézet zponzorálja. Clay vagyona több mint 300 millió dollár. A prímzámok elozláával zoro kapcolatban álló ejtéét Bernhard Riemann (86-866) német matematiku, akinek a nem-euklidezi geometriával kapcolato munkáágára kéőbb Eintein i támazkodott 859-ben vetette fel egy zámelméleti íráában. A Riemannhipotézi zerint az ún. komplex zeta-függvény ζ() öze nem triviáli gyöke ½ való rézű, vagyi Re( i ) = ½. A triviáli gyökök a negatív páro zámok: -, -4, -6 tb. A ejté, a többi nagy ejtéhez haonlóan, az idők orán kultikuá nőtte ki magát; zámo matematiku tette fel az életét megoldáára. John Forbe Nah [98-], a codálato elme, a Fine Hall fantomja (Princeton Egyetem, NJ, USA, közgazdaági Nobel-díj 994) i megpróbálkozott vele, de eddig em igazolni, em cáfolni nem ikerült enkinek [4]. A Riemann-féle komplex zeta függvény: () ζ = = σ + iτ n= n Im = Re () = σ () τ Ha >, akkor a függvény konvergen, ha =, akkor divergen. A ζ () or özegezéével a Bernoulli-fivérek nem boldogultak; ez végül Eulernek ikerült 740-ben: = ζ() 6 + = n = 5 n = π +... = 6 =, A or laú konvergenciája miatt a gyakorlatban nem alkalma a π ok tizede jegyre való kizámítáára. Ugyancak Euler eredménye a fenti or prímtényező produktumként való kifejezée i: n = = p n= p= prím p= prím p = p = Ha =, akkor: n = = p n = p= prím p= prím p = p = = π. 6 Felmerül a nem teljeen megalapozatlan kérdé; vajon honnan tudják a prímek, hogy mennyi a π értéke? Pintz Jáno (950-) magyar matematiku (MTA Matematikai Kutatóintézet, Budapet) kimutatta, hogy az GC alóli kivételek záma, ha egyáltalán vannak ilyenek kevé. Azon N-nél kiebb páro zámok darabzámára, amelyek nem állnak elő két prímzám özegeként, az f(n /3 ) korlátot adta. 3. ábra Cen Jing-run ( ) 973-ban Cen Jing-run ( , 3. ábra) kínai matematiku (Kínai Akadémia Matematikai Intézete, Peking) döntő áttörét hozott a problémában. Közzétette azt a bizonyítáát, hogy minden»elegendően nagy«páro zám felírható egy prím pluz legfeljebb két prím zorzataként, vagyi n = P + (P i P k ) = P + P() alakú. Megengedettek az azono prímek i. A zárójele kifejezé a emi-prím (vagy almot prime = 8 Vol. XII. No..

12 majdnem prím) nevet vieli, amely két prím zorzatából álló, kompozit zám. Cen Jing-run eredményét zoká Cen prímtételnek nevezni é (P+P) vagy P(,) formalizmual i felírni. Pl.: 6=+( ), 8=+( 3), 6=7+(3 3), 8=3+(3 5), 60=+(7 7), 00=3+(7 ), 0=9+(7 3) tb. Cen nagyon közel került a Goldbach-ejté bizonyítáához; prímtételét Margaret Corbit (Cornell Elméleti Központ, Ithaca, NY, USA) 0 9 -ig ellenőrizte. 997-ben J.-M. Dehouiller, Yannick Saouter é H.J.J te Riele bebizonyították, hogy Cen prímtétele 0 4 -ig igaz. Cen-prímnek neveznek egy P prímet, ha P + vagy prím (ikerprím-eet), vagy két prím zorzata. 966-ban Cen bebizonyította, hogy végtelen ok Cen-prím létezik, pl.:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 tb. Vizont nem Cen-prímek: 43, 6, 73, 79, 97, 03, 5, 63, 73 tb. Rudolf Ondrejka (98-00, NJ USA) alkotta meg a következő, cupa Cen-prímből álló bűvö négyzetet, amelynek özegzáma 77 = 3 59 (4. ábra): ábra Mágiku, 3 3-a Cen-prímnégyzet 999-ben Cen Jing-run GC bizonyítáában elért eredményének tizteletére a kínai pota bélyeget adott ki, amelyen ziluettje é prímtétele látható. Cen reflexiója: maga megtiztelteté, de a továbblépé gondokat jelent. KÍSÉRLETI ELLENŐRZÉS MUNKÁBAN A SZÁMÍTÓGÉPEK Mottó: Pourquoi faire imple i on peut faire compliqué? (Miért legyen valami egyzerű, amikor bonyolult i lehet?) A meterége intelligencia oha nem pótolhatja a termézete butaágot A legtöbb matematiku eladná a lelkét egy bizonyítáért (Marcu du Sautoy) Minden út jó út, mert valahová vezet (Hiozi Tatioz) A 0. z. máodik felében megjelentek a gyor, elektroniku, digitáli, programvezérelt zámítógépek, amelyekkel a GC ellenőrzée egyre nagyobb zámokig elfogadható idő alatt elvégezhető volt. Az alábbi özeállítá mutatja, hogy kik, mikor é meddig igazolták zámoláal a páro Goldbach-ejtét: Adolphe Debove (kézi) N. Pipping (mech.) Mok-Kong Shen 964 3,3 0 7 (el. gép) M.L. Stein & P.R. Stein A. Granville, J.v.d. Lune, Herman J.J te Riele Matti K. Sinialo (IBM) Jean-M. Dehouiller, H.J.J te Riele, Yannick Saouter (Cray) Jörg Richtein Tomá Oliveira e Silva Tomá Oliveira e Silva Tomá Oliveira e Silva (Cray) Tomá Oliveira e Silva , , év alatt tehát több mint 4 nagyágrenddel jutottak előre a numeriku ellenőrzéel. Ez azonban cak azt igazolja, hogy az GC alól, ig nincen kivétel. Nem tudhatjuk, hogy ha a zámítógépe ellenőrzéel eljutunk több nagyágrenddel tovább, találunk-e kivételt? Megjegyzendő, hogy H.J.J. te Riele é munkatárai véletlenzerű mintavétellel ellenőrzét végeztek nagyobb zámokig i, de nem találtak kivételt. A ejté általáno matematikai bizonyítáa vagy cáfolata azonban a mai napig nem ikerült. Több neve zámelméléz azt mondta/mondja, hogy a ejté egzakt bizonyítáa teljeen reménytelen (lád alább). VÉLEMÉNYEK ÉS KÉTSÉGEK Mottó: Iten létezik, mert a matematika konzizten, de létezik a Sátán i, mert ezt nem tudjuk bizonyítani (Andrè Weil) Srinivaza Ramanujan (887-90), a zeniáli hindu matematiku (az angol Hardy felfedezettje é kéőbbi munkatára) véleménye az volt, hogy valamilyen nagyon nagy zám felett a Vol. XII. No.. 9

13 Goldbach-ejté ellenpéldájára bukkanhatunk, tehát az eredeti ejté nem igaz. 9-ben Edmund Landau ( ) német matematiku azt mondta a Goldbach-ejtéről, hogy az a tudomány mai álláa zerint megoldhatatlan. A Goldbach-ejtéel kapcolatban 95-ben fordulat következett be, amikor Jean Merlin ézrevette, hogy a ejté, bár közvetett módon, de özefüggében van az ikerprímekkel. Sajno korai halála miatt munkáját nem fejezhette be. Ikerprímek azok a prímzámok, ahol két zomzédo prím különbége kettő; (P P ) =. Pl.: [3;5], [5;7], [;3], [7;9], [9;3] tb. Hogy az ikerprímek a prímeken belül kivétele helyet foglalnak el, arra Viggo Brun ( ) norvég matematiku felfedezée mutatott rá. Azt tudjuk, hogy a prímek reciprokának ora divergen, vagyi, ha p i az i-edik prím, akkor: = i p = i A prímzámok reciprokának fenti ora extrém laan tart a végtelenhez. Ha az elő 50 millió tagját tekintjük, még mindig cak < 4 özeget kapunk. A or 00 tagjának özege, Brun bebizonyította, hogy az ikerprímek reciprokának ora vizont konvergen; özege a tizteletére elnevezett Brun-állandó: B = , G.H. Hardy egy 9. október 6-án tartott előadáában annak a véleményének adott hangot, hogy a Goldbach-ejté valózínűleg a matematika egyik legnehezebb problémája. Alan Baker Field-érme (970) matematiku (Cambridge Egyetem, UK) ezt mondta: Cen bizonyítáa végül i az eddigi legjobb eredmény, de valózínűtlen, hogy további eredmény nyerhető valamilyen nagy áttöré nélkül. Sajno nincen haonló nagy ötlet a láthatáron. Ha vizont jön egy nagy ötlet, akkor erre valamit rá lehet, é kell építeni. Nem gondolom, hogy a pénz (Faber-díj, lád alább) ebben jelentő hajtóerőt jelent. Ha az emberek megoldják, akkor ezt nem a pénzért, hanem a kihíváért tezik. A matematika problémáinak egyféle, lehetége coportoítáa a következő: () megoldottak vagy biztoan megoldhatók, () nagyon nehezen, de megoldhatók, (3) talán megoldhatók, (4) mai imereteink zerint megoldhatatlanok. Kurt Gödel ( ) oztrák/amerikai matematikai logiku leghíreebb eredménye az 93- ben megfogalmazott, ún. nemteljeégi tétel, amely azt állítja, hogy minden önmagában ellentmondámente (konzizten) axiómarendzer, amely tartalmazza a termézete zámok axiómarendzerét, nem telje, azaz vannak eldönthetetlen problémái. Má zóval: minden nem emmitmondó axiómarendzer alapján meg lehet fogalmazni olyan állítát, amely az adott axiómarendzer keretei között eldönthetetlen; em be nem bizonyítható, em meg nem cáfolható (nem verifikálható é nem falzifikálható). Ebből az következik, hogy ha egy matematikai ejté igaz, az még nem jelenti azt, hogy az adott axiómarendzeren belül bizonyítható i. Alan Mathion Turing (9-954) brit matematiku, a modern zámítógép-tudomány egyik nagy alakja volt. Nevéhez fűződik a németek Enigma-kódjának megfejtée (943). Azt az állítát fogalmazta meg, hogy a priori (eleve) nem eldönthető, hogy egy matematikai állítá vagy ejté bizonyítható-e vagy em. Gödel é Turing eredményeinek tükrében lehetége, hogy a Goldbach-ejté a megoldhatatlan kategóriába tartozik. Ennek a félelemnek ellentmond a Nagy Fermat ejté, amelynek bizonyítáa 350 évig váratott magára. Alátámaztja vizont az aggodalmat a Gödel-tétel, amely ebben az eetben (i) áthághatatlan korlátot jelent(het). Gödel tételéhez kié haonló a fizikában a Heienberg-féle határozatlanági reláció (97), amely zerint a kanonikuan konjugált változópárok egyidejű méréének hibazorzata alulról korláto, pl.: Δx i Δp i ħ/ é ΔE Δt ħ/. Vagyi nem lehetége egyzerre, tetzé zerinti pontoággal helyet é impulzut, energiát é időt tb. mérni. A Goldbach-ejté egzakt matematikai bizonyítáa klaziku eetben három úton lehetége: algebrai, analitiku é geometriai. Miután megjelentek a nagy teljeítményű, elektroniku 30 Vol. XII. No..

14 zámítógépek, elvileg megnyílt a negyedik út, a gép, é az erre alapozott kíérleti matematika (experimental mathematic). Ez az út pl. a négyzín-ejté bizonyítáánál (976) jól működött. A komputer pl. képe lehet egy nagy páro zámról kimutatni, hogy nem állítható elő, mint két prím özege ezzel megdőlne a GC. 98-ben Dougla B. Lenat komputer tudó Automata Matematikua újra felfedezte a Goldbach-ejtét. Ez volt az elő demontráció arra, hogy meterége intelligencia (Artifical Intelligency, AI) képe tudományo felfedezét produkálni márciu 0-án Tony Faber, a Faber & Faber brit könyvkiadó cég tulajdonoa (az Uncle Petro and Goldbach Conjecture c. könyv eredeti kiadója) egymillió dolláro díjat tűzött ki a Goldbach-ejté két éven belüli megoldáára. Boldog lennék, ha valaki megnyerné mondta. A díj kiíráakor az volt a vélemény, hogy a világon legfeljebb 0 ember lehet eélye a díjra. Megjegyzendő, hogy a díjra cak 8 év feletti, brit vagy amerikai állampolgár lehetett jogoult. Érdemi megoldá nem érkezett; a probléma továbbra i nyitott maradt. Doxiadi könyve 004- ben az Európa Könyvkiadó gondozáában, magyarul i megjelent Petroz báci é a Goldbach-ejté címmel. Apotolo Doxiadi (953-) Uncle Petro and Goldbach Conjecture c. könyve 5 nyelvre lefordított beteller lett. Az auztrál zerző Athénban nevelkedett, a Columbia Egyetemen matematikát végzett, kéőbb irodalommal é zínházzal foglalkozott. Regényhőe, Petroz Papakriztoz (Petroz báci) megzállott matematiku, kicit nevetége, öntelt, bizalmatlan é hóborto, codabogár zobatudó, aki a Goldbach-ejté bizonyítáára tette fel az életét. Caládja véleménye, hogy Petroz báci kéz cődtömeg. A könyv zerint az 90-e évek végén matematiku zeniként Cambridge-be kerül, ahol együtt dolgozik a kor legkiválóbb zámelmélézeivel (G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan), majd kapcolatba kerül C. Charatheodory-val, A. Turing-gal é K. Gödel-lel i. Berlinben egyetemi katedrát kap. Kéőbb vizahúzódva, magányoan él, kutatáait titkolja, nehogy ellopják, é cak matematiku unokaöccének fedi fel, hogy a GC-témán dolgozik. A ejté megoldáát elemi módzerekkel kíérli meg; álmaiban az egéz zámok életre kelnek (pl. 99 é 00, mint gyönyörű ikerlányok), é zemélye, jó barátaivá válnak. Felfogáa, zámmizticizmura való hajlama é titkolódzáa a pitagoreui ikolát idézi. Amikor végre eldönti, hogy fonto rézeredményeit publikálja, kiderül, hogy előtte ezt már máok megtették. Petroz özeomlik, majd amikor érteül Gödel nemteljeégi tételéről i, é világo lez zámára, hogy kitűzött célja talán megoldhatatlan, megőrül. Egyik éjzaka azt hizi, hogy mégi megoldotta a GC problémát, de mielőtt közölhetné unokaöccével a (vélt) megoldát, egy zélüté végez vele, é titka írba záll. [] Amikor Doxiadit megkérdezték; mi a véleménye a Faber-díjról, azt mondta: Igen, tudom, hogy Andrew Wile hét évet töltött el a Nagy Fermat Sejté bizonyítáával. De ha valaki Wile bizonyítái bejelentée előtt azt mondta volna;»azt gondolom, hogy néhány éven belül megoldom«, őrültnek tartották volna. Néha a dolgok váratlanul bukkannak elő. Ian Stewart (945-) Faraday-érme (995) matematiku (Univerity of Warwick, Coventry, UK), a világ egyik legimertebb matematikaimeretterjeztője ugyancak utalva a Faberdíjra optimitább: Azt gondolom, hogy néhány matematikut elkápráztat egymillió dollár. Helyrebillenthetné az egyenúlyukat. Martin Gardner (94-) amerikai matematiku mondta: Azt hizem, ha záz év múlva felébrednék, kívánci lennék arra, hogy mi minden újat fedeztek fel a matematikában é a fizikában. Bebizonyították-e a Goldbach-ejtét? A Riemann-hipotézit? 007-ben megkérdezték Terence Chi-Sen Tao (975-) Field-érme auztrál/amerikai matematikut (Univerity of California), hogy zerinte igaz-e a GC? Tao válaza: Termézeteen igaz; a numeriku eredmények meggyőzőek. De hogy bizonyítható-e, az már má kérdé. Hermann Klau Hugo Weyl ( ) német zármazáú amerikai matematiku még 9- ben a következőket mondta: Vajon tényleg igaz, hogy minden páro zám két prím özege? Úgy tűnik, hogy ennek megmutatáa túl van jelenlegi matematikánk teljeítőképeégén. A prímzámok nagyon ravaz fickóknak bizonyulnak. IRODALOM [] Apoztoloz Doxiadiz: Petroz báci é a Goldbach-ejté. Európa Könyvkiadó Kft, Budapet (004). [] Simon Singh: A nagy Fermat-ejté. Park Könyvkiadó, Budapet (999). [3] S.K. Kapoor: Proof of Goldbach Theorem. [4] S.K. Kapoor: Vedic Mathematic Newletter, New Delhi, India, Iue 0 (000). Vol. XII. No.. 3

15 [5] Jagadguru Swami Sri Bharati Krna Tirthaji Maharaja: Vedic Mathematic. Motilal Banaraida Publiher, New Delhi, India (965). [6] Proceeding of the London Mathematical Society, Vol. 4, pp 4-6. [7] On the Goldbach-Euler Theorem Regarding Prime Number. The Mathematical Paper, Vol. IV, pp , Chelea Publihing Co, New York, USA. [8] Godfrey Harold Hardy: Mathematical Society of Coppenhagen. [9] On Schnirelmann Contant. Ann. Sc. Norm. Super, Vol. 4, pp (995). [0] P.H. Fu: Correpondance mathématique et phyique de quelquecélébre géométre du XVIIIéme iécle, tome I. St. Peterburg (843). [] A. Debove: Nouv. Ann. Math. 4, p 93 (855). [] Rudolf Knjzek: About the maximum lenght of covered block. [3] Goldbach'_conjecture [4] Sylvia Naar: Egy codálato elme. A Nobel-díja matematika géniuz, John Nah élete. Gabo Könyvkiadó é Kerekedelmi Kft., Budapet (00). [5] Paul Hoffman: A Prímember. Erdő Pál kalandjai a matematika végtelenjében. Scolar Kiadó, Budapet (999). [6] Dr Szendrei Jáno: Algebra é zámelmélet. Tankönyv (006). [7] Freud Gyarmati: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapet (000) [8] Klopfer Ervin: A Goldbach-ejté története. Computer Panoráma XVI. évf. 005/3, CD/DVD melléklet, E-book, pp-3 (005. márciu) [9] Paul Truman: The Goldbach Conjecture. Exceter College, Oxford (005) [0] L.E. Dickon: Hitory of the Theory of Number. Vol., New York (934) [] Richard K. Guy: Unolved Problem in Number Theory. Springer Verlag [] phpzakkor/varguz/prim.php [3] Goldbach _conjecture [4] correpondence/letter/oo0765.pdf (Lettre XLII) [5] [6] e/86/touritb.html [7] Goldbach.pdf [8] [9] hodge/mm-.pdf [30] Yuan Wang: The Goldbach Conjecture, Second Edition, Serie in Pure Mathematic, Volume 4, World Scientific. [3] Mathematical myterie: the Goldbach conjecture. (A Goldbach Calculator). [3] calculator/ource/prime-number.htm [33] 3 Vol. XII. No..